Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 3/Proposition 16
C. F. Patris, (1, p. 201-204).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ ιϛʹ. | PROPROSITIO XVI. |
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Ἡ τῇ διαμετρῷ τοῦ κύκλου πρὸς ὀρθὰᾶὰς ἀπ ακρας αγομενη εκτος πεσείται τοῦ κυκλου καὶ εἰς του μετάξυ τοπονρ Τῆς ΤΕε ευθειας κα Τῆς ’περιφε- ρεια, ς ἐΤἓΡὥ ευθεια, ου παρεμπεσειται πα ἡ μεν του υμικωελιου γῶώνία απασῆς γωνιᾶς οξειας ξυ- Θυγρ : ιμμου με : ζων ἐστίν" ἢ δὲ λοιπΉ ἐλάττων. |
Recta diametro circuli ad rectos ab extremi- tate ducta extra cadet circulum ; et in locum inter et rectam et circumferentiam altera recta non cadet ; et quidem semicirculi angulus quo- vis angulo acuto rectilineo major est ; reliquus vero minor.
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Εστω κύκλος ὁ ΑΒΓ περὶ κέντρον τὸ Δ καὶ διάμετρον τὴν ΑΒ. λέγω ὅτι ἡ ἀπὸ τοῦ Α τῇ ΗΒ πρὸς ὀρθὰς ἀπ᾽ ἄκρας ἀγόμένη ἐκτὸς πεσεῖται τοῦ κύκλου. |
Sit circulus ABΓ circa centrum & et diame. trum AB ; dico ipsam ab A ad AB ad recto ; ij extremitate ductam extra cadere circulum. |
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Μὴ γὰρ, ἀλλ᾽ εἰ δυνατὸν, πιπτέτω ἐντὸς, ὡς ἥ ΑΓ, καὶ ἐπεζιύχθω ἡ ΔΓ. |
Non enim, sed si possibile, cadat intus, u AΓ, et jungatur AΓ. |
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Ἐπέὲὶ (ἐζτἡ ἐττὶν ἡ ΔΑ τῃ Δ΄, καὶ γωνία ἡ ὑπὸα ΔΑΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΓΔ ἴση ἐστίν". Ορθή δὲ ἡ ὑπὸ ΔΑΓ, ὀρθη ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΔ. τριγώνου δὴη τοῦ ΑΓΔ αἱ δυὸ γωνίαι αἰά ὑπὸ ΔΑΓ, ΑΓΔ δυσὶγ ορθαῖς ἴσαι εἰσὶν, ὁπερ ἐστὶν ἀδύνωτον. Οὐκ ἡ αστὸΚ τοῦ Α σημεῖου, τῇ ΒΑ πρὸς ὀρθὰς ἀγομένη ἐντὸς πέσεῖται τοὺῦ κύκλου. Ομοίως δὴ εἰζομεν, ὁτι οὐδ᾽ ἐπὶ τῆς περιφερείας. ἐκτὸς ἄρὰ πιπτετω. ς ἡ ΑΕ. |
Quoniam æqualis est Δ ipsi AΓ, et angulu AAΓ augulo AΓΔ æqualis est. Hectus autem AAΓ) , rectus igitur et AΓΔ ; trianguli utique AΓΔ duo auguli AMΓ, AΓAΔ duobus rectis - quales sunt, quod est impossibile. Non igitur ab A puncto, ipsi BA ad rectos ducta intra c det circulum. Siniliter utique ostendemus, ne que iu circumferentiam ; extra igitur cadet, ut AE. |
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Λέχω δὴ5 ὁτι εἰς τὸν μεταξὺ τόπον, τῆς τ- ΑΕ εὐυθϑείας καὶ τῆς ΓΘΑ περιφερείας, ἐτέρα ευ. θεῖα οὐ πάρεμπεσεῖται. |
Dico etiam in locum inter AE rectam et ΓΘA circumferentiam alteram rectam non cadere.
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Εἰ γὰρ δυνατὸν, παρεπιπτέτω ὡς ἡ ΖΑ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Δ σημείου ἐπὶ τὴν ΖΑ καθετος η ΔΗῆ. |
Si enim possibile, cadat ut ZA, et ducatur a puncto ^Δ ad ZA perpendieularis AH. |
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Καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΗ͂Δ, ἐλάττων δὲ ὀρθῆς ἤ ὑποὸο ΔΑΗ͂. μείζων ἄρα ἥ ΑΔ της ΔΗ. Ιση δὲ ἡ ΑΔ τῇ ΔΘ » μείζων ἄρα ἡ ΔΘ τῆς ΔΗ, ἡ ἐλάττων τῆς μείζονος, ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. Οὐυκ ἄρὰ εἰς τὸν μεταξὺ τόπον, τῆς τε ευθείας καὶ τῆς περιφερείας, ἐτέρα εὐθεῖα παρεμπεσεῖται. |
Et quoniam rectus est AHΔ, , minor autem recto ipse AAH ; major igitur AΔ ipsá AH. Æqualis autem AΔ ipsi ^Ae ; major igitur à9 ipsá ΔóMH, minor majore, quod est impossibile. Non igi- tur in locum inter rectam et circumferentiam altera recta cadet. |
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Λέγω ὁτι καὶ ἡ μὲν τοῦ ἡμικυκλίου γωνία, ἢ περιεχομένη ὑπὸ τε τῆς ΒΑ εὐθείας καὶ τῆς ΓΘΑ περιφερείας, ἁπασῆης γωνίιὰς ὀξείαςὅ εὐθυ- γράμμου μείζων ἐστίν. ἡ δὲ λοιπὴ, ἡ7 περιεχο- μένη ὑπὸ τε τῆς ΓΘΑ περιφερείας καὶ τῆς ΔῈ εὐθεας, ἁπάσης γωνίας ὀξείας εὐθυγράμμουη ἐλάττων ἐστίνς. |
Dico et quidem semicirculi angulum, com- prehensum et a BA rectá et ΓΔA circumfe- rentiáà, quovis angulo acuto rectilineo majorem esse ; reiquum vero comprehensum et a ΓC |
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Εἰ γὰρ ἐστί τις γωνία εὐθύγραμμος, μείζων μὲν τῆς περιεχομεένης ὑπὸ τέ τῆς ΒΑ εὐθείας καὶ τῆς ΓΘΑ περιφέρείας, ἐλαττων δὲ τῆς περιέχομε- νης ὑπὸ τε τῆς ΓΘΑ περιφερείας καὶ τῆς ΔΕ εὐυ- ρείας καὶ τῆς ΑΕ εὐθείας εὐθεῖα παρεμπεσεῖται, ἡτις ποιύσει μείζονα μὲν τῆς περιεχομέτης ὑπότε |
Si enim est aliquis angulus rectilineus, major quidem comprehenso ct a BA rectá et ΓΔA cir- cumferentià, minor vero comprehenso et a ΓÀX circumferentid et AE rectá, in locum inter et ΓΘΔW circumferentiam et AE rectam recta cadet, quæ faciet angulum a rectis comprehen- sum, mojorem quidem comprehenso etaBA rectà
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τῆς ΒΑ εὐθείας καὶ τῆς ΓΘΑ περιφερείας ὑπὸ εὐὕ. - θεύων περιεχομένην, ἐλάττονα δὲ τῆς περιεχομέ- νης ὑπό τε τῆς ΓΘΑ περιφερείας καὶ τῆς ΑΒ εὐ- θείας. Οὐ παριμπίπτει δέ. οὐκ ἄρα τῆς περιέεχο- μένης γωνίας ὑπὸ τε τῆς ΒΑ εὐθείας καὶ τῆς ΓΘΑ περιφερείας ἔσται μείζων ὀζξε, α ὑπὸ εὐθειὼν περιε- χομένη. οὐδὲ μὲν ἐλάττων τῆς περιεχομένης ὑπό τε τῆς ΓΘΑ περιφερείας καὶ τῆς ΑΕ εὐθείας. Οπερ ἔδει δεῖξαιϑ, |
et ΓΔAW circumfcrentià, minorem vero com. prehenso et a ΓwRÀÀ circumferentià et AE recid. Non cadit autem ; non igitur comprehenso an- gulo et a BA rectá et ΓzA circumferentià erit major acutus a rectis comprehensus, neque quidem minor comprehenso et a ΓwA circum- ferentià et AE rectàá. Quod oportebat ostendere. |
| ΠΟΡΙΣΜΑ. | COROLLARIUM. |
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Εκ δὲ τούτου10 φανερὸν, ὅτιἡ τῇ διαμετρῳ του κύκλου πρὸς ὀρθὰς ἀπ᾽ ἄκρας ἀγομένη ἐφάπτεται τοὺ κύὐκλου" καὶ ὁτι εὐθεῖα κύκλου καθ᾽ ἐν μΖόνον ἐφάπτεται σημειον. Ἐπεπὶ ὀππερ χαὶ ἢ κατὰά υὸ αἀυτῷ συμβθαλλουσα ἐντὸς αὐτου πἰίπτουσα ἐδείχθηῖ11. |
Ex hoc utique manifestum est rectam diame- tro circuli ad rectos ab extremitate ductam con- lingere cireulum ; et rectam circulum in unico contingere puncto. Quoniam et recta in duobus ipsi occurens intra ipsum cadere ostensa est. |
Une perpendiculaire au diamètre d’un cercle et menée de l’une de ses extrémités, tombe hors de ce cercle ; dans l’espace compris entre cette perpendiculaire et la circonférence, on ne peut pas mener une autre droite ; et l’angle du demi-cercle est plus grand, et l’angle restant est plus petit qu’aucun angle rectiligne aigu. Soit le cercle ΑΒΓ ayant pour centre le point Δ, et pour diamètre la droite AB ; je dis que la perpendiculaire menée du point Α à la droite AB, tombe hors du cercle.
Car que cela ne soit point, mais s’il est possible, qu’elle tombe en-dedans comme TA, et joignons T.
Puisque ΔΑ est égal à ΔΓ, l’angle ΔΑΓ est égal à lʼangle ΑΓΔ (5. 1) ; mais l’angle ΔΑΓ est droit ; donc l’angle AΓΔ ; est droit aussi ; donc les angles ΔΑΓ, ΑΓΔ du triangle ΑΓΔ sont égaux à deux angles droits, ce qui est impossible (17 : 1) ; donc la perpendiculaire menée du point Α au diamètre ΑB, ne tombe point dans le cercle. Nous démontrerons semblablement quʼelle ne tombe point dans la circonférence ; donc elle tombe en-dehors comme AE.
Je dis encore qu’aucune droite ne peut tomber dans l’espace qui est entre la droite AE et la circonférence ΓΘA. Car si cela est possible, qu’elle tombe comme ΖΑ, et du point à menons nH perpendiculaire à ΖΑ.
Puisque l’angle ΑΗΔ est droit, et que l’angle ΔΑΗ est plus petit qu’un droit, la droite ΑΔ est plus grande que nH. Mais as est égal à ΔΘ ; donc ΔΘ est plus grand que ΔΗ, le plus petit que le plus grand, ce qui est impossible. Donc une droite ne peut pas tomber dans l’espace quiʼ est entre la droite Æ et la circonférence.
Je dis enfin, que l’angle du demi-cercle compris par la droite ΒΑ et la circonférence ΓΘΑ est plus grand que tout angle rectiligne aigu, et que l’angle restant compris par la circonférence ΓΘΑ et la droite ΑΒ est plus petit que tout angle rectiligne aigu.
Car s’il y a un angle rectiligne plus grand que l’angle compris par la droite BA et par la circonférence ΓΘΑ, et un angle plus petit que l’angle compris par la circonférence ΓΘΑ͂ et la droite ΑΒ, dans l’espace compris entre la circonférence ΓθA et la droite AE, il y aura une droite qui fera un angle plus grand que l’angle compris par la droite BA et la circonférence ΓθA, et un angle plus petit que l’angle compris par la circonférence ΓθA et la droite AE. Mais il n’y en a point ; donc il n’y a point d’angle aigu, compris par des droites, plus grand que l’angle compris par la droite BA et la circonférence ΓθA, ni d’angle plus petit que l’angle compris par la circonférence ΓθA et la droite AE. Ce qu’il fallait démontrer.
De là il est évident que la droite perpendiculaire au diamètre, et menée d’une de ses extrémités, touche la circonférence, et que cette droite ne la touche qu’en un seul point. Puisqu’il a été démontré que la droite qui rencontre un cercle en deux points entre dans ce cercle (2. 3) .