Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 3/Proposition 17

Euclide

Les Éléments - Livre 3

Traduction par F. Peyrard.
C. F. Patris, 1814 (1, p. 205-206).

ΠΡΟΤΑΣΙΙΣ ιζ΄	PROPROSITIO XVII.
Απὸ τοῦ δοθέντος σημείου τοῦ δοθέντος κύκλου ἐφαπτομένην εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν.	A dato puncto rectam lineam ducere, quÉæ circulum datum contiugat.
Εστω τὸ μὴν δοθεὲν σημεῖον τὸ Α, ὁ δὲ δοθεὶς κύκλος ὃ ΒΓΔ. δεῖ δὴ ἀπὸ τοῦ Α σημείου τοῦ ΒΓΔ κύκλου ἐφαπτομένην εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγα. - γείο.	Sit datum quidem punctum A, datus vero circulus BΓΔ, ; oportet igitur abʼa puncto rec- tam lineam ducere, qu&æ BΓΔ circulum con- tingat.

Εἰλήφθω γὰρ τὸϊ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Ε, παὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΒΕ, καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Ε διαστήματι δὲ τῷ ΒΕΑ κύκλος γεγράφθω ὁ Α2ῶ0ο3 καὶ ἀπὸ τοῦ Δ. τί ΕΑ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΔΖ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΖ, ΑΒ’ λέγω ὅτι ἀπὸ τοῦ Α σημείου τοῦ ΒΓΔ κύκλου ἐφαπτομένη ἥκται ἡ ΑΒ.	Sumatur enim centrum circuli E, et junga- tur AE, et centro quidem E, intervallo vero EA circulus describatun AZH, et a Δ ipsi EA ad rectos ducatur AgZ, et jungantur EZ, AB ; dico quod ab A puncto ipsum BΓΔ circulum con- tingens ducta est ipsa AB.
Επεὶ γὰρ τὸ Ε κέντρον ἐστὶ τῶν ΒΓΔ, ΑΖΗ κύκλων, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΕΑ τῇ ΕΖ, ἡ δὲ	Quoniam euim E centrum est BΓΔ, AZH circulorum, æqualis igitur est quidem EA ipsi EZ,
ΕΔ τῇ ΕΒ. δύο δὴ αἱ ΑΕ, ΕΒ δυσὶ ταῖς ΖΕ, ἘΔ ἴσαι εἰσὶ, καὶ γωνίαν κοινήν περιέχουσι, τῆν πρὸς τῷ ΒΕ. βάσις ἀρὰ ἡ ΔΖ βάσει τῇ ΑΒ ἴση ἐστί. καὶ τὸ ΕΔΖ τρίγωνον τῷ ΕΒΑ τριγώνῳ ἴσον ἐστὶ, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γω- νίαιςς ἴση ἀρὰ ἡ υπὸ ΒΔΖ τῃ ὑὕὑπὸ ΕΒΑΖ. Ορθη δὲ ἡ ὑπὸ ΕΔΖ, ὀΟρθη ἀρὰ καὶ ἡ ὑπὸ ΕΒΑ. Καὶι	et EN ipsi EB ; duæ utique AE, EB duabu ; ZE, E^ æquales sunt, et angulum communem comprehendunt ad E ; basis igitur AZ basi AB æqualis est ; et EMZ triangulum EBXK triangulo æquale est, et reliqui anguli reliquis angulis ; æqualis igitur EM ipsi EBA. Hectus autem EΔ, rectus igitur et EBA ; et est EB ex cen-

ἐστὶν ἡ ΕΒ ἐκ τοῦ κέντρουʼ ἡ δὲ ΤῇἙ διαμέτρῳ τοῦ κύκλου πρὸός ὀρθὰς ἀπ ἀκρας ἀγομένη ἐφαπτετα, τοῦ κὐκλου ἡ ΑΒ ἀἄρὰ ἐφαττεται τοὺυ ΒΓΑῖ χύκλου.	tro ; diametro autem circuli ad rectos ab extre- mitate ducta contingit circulum ; AB igitur con- tingit BΓX circulum.
Απὸ τοῦ ἀρα δοθέντος35 σημείου τοῦ Α τοῦ δο. θέγτος κύκλου τοῦ ΒΓΔ ἐφαπτομένη εὐϑεῖα γραμ- μὴ ἧκται ἡ ΑΒ, Οπερ ἐδει ποιῆσαι.	A dato igitur puncto A datum circulum BΓpΔ

PROPOSITION XVII.

Dʼun point donné, mener une ligne droite qui touche un cercle donné.

Soit A le point donné, et BΓΔ le cercle donné ; il faut mener du point A une ligne droite qui touche le cercle BΓΔ.

Prenons le centre Ε de ce cercle, joignons çB, du centre E et de l’intervalle EA, décrivons le cercle ΑΖΗ (dém. 3) ; par le point Δ menons ΔΖ perpendiculaire à AE, et joignons EZ, ΑΒ ; je dis que la droite ΑΒ, menée du point A, touche le cercle BΓΔ.

Car puisque le point B est le centre des cercles BΓΔ , AZH, la droite AE est égale à EZ, et EΔ égal à EB ; donc les deux droites ΑΒ, EB sont égales aux deux droites ZE, EΔ ; mais ces droites comprènent un angle commun en E ; donc la base ΔΖ est égale à la base ΑΒ, le triangle ΕΔΖ égal au triangle EB4, et les angles restants égaux aux angles restants (j 1) ; donc l’angle ΕΔΖ est égal à l’angle EBA. Mais l’angle ΕΔΖ est droit ; donc l’angle ΕΒΑ est droit aussi. Mais la droite EB est menée par le centre, et la perpendiculaire au diamètre du cercle, et menée de l’une des extrémités du diamètre touche le cercle (16. 3) ; donc la droite ΑΒ touche le cercle ΒΓΑ.

Donc la ligne droite ΑΒ, menée par le point donné A, touche le cercle BΓΔ. Ce qu’il fallait faire.