Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 3/Proposition 19

Euclide

Les Éléments - Livre 3

Traduction par F. Peyrard.
C. F. Patris, 1814 (1, p. 208-209).

ΠΡΟΤΎΑΣΙΣ ιθʹ.	PROPOSITIO XIX.
ΕὴάἷἂὰἩνν κύκλου ἐφαπτηταί τις εὐθεῖα, ἀπὸ δὲὲ τῆς ἀφῆς τῇ ἐφαπτομένῃ πρὸς δρθὰς1 εὐθεῖα γραμμὴ ἀχθθιὌ, ἐπὶ τῆς ἀχθείσης ἔσται τὸ κεν- τρον του κυκλου.	Si circilum eontingat aliqua recta, 3 con- tactu autem contingenti ad rectos recta lineg ducatur, in ductá erit centrum circuli.
Κύκλου γὰρ τοῦ ΑΒΓ ἀπτέσθω τις εὐθεῖα ἡ ΔῈΕ κχατὰ τὸ Γ σημειον. καὶ ἀπὸ τοὺῦ ΓΓ τὴ ΔΒΕ πρὸς ὀρθας3 ἠχθω ἡ ΓΑ. λέγω ὁτι ἐπὶ τῆς ΑΓ. ἐστιί τὸ κέντρον τοὺ κυκλου.	Circulum enim ABΓ contingat aliqua recti AE in Γ puncto, et a Γ ipsi ΔE ad rectos du. catur ΓA ; dieo in AΓ esse centrum eirculi.

Μὴ γὰρ, ἀλλ᾽ εἰ δυνατὸν, ἐστὼω τὸ Ζ, καὶ ἐπε- ζεύχθω η ΓΖ.	Non enim, sed si possibile, sit Z, et jungatur ΓZ.
Ἐπεὶ οὐνΘ κύκλου τοῦ ΑΒΓ ἐφάππεταί τις εὐθεῖα ἡ ΔΕ, ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου ἐπὶ τὴν ἀφὴν ἐπέζευκται ἡ ΖΓ, ἡ 2ΖΤ ἄρα καθετός ἐστιν ἐπὶ τὴν ΔΕ. ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΖΓΒ. Εστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΕ ὀρθὴ". ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΖΙῊ τῇ ὑπὸ ΑΓΕ, ἡ ἐλάττων τῇ μείζονι, ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. Οὐκ ἄρα τὸ Ζ κἔέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου. Ομοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδ᾽ὲ ἀλλό τι πλὴν ἐπὶ τῆς ΑΓ, Εὰν ἄρα κύκλου, καὶ τὰ εξῆς.	Quoniam igitur circulum ABΓ contingit ali- qua rectia 4, o3Ó centro autem ad contactum ducta est ZΓ, ZΓ ergo perpendicularis est ad AE ; rectus igitur est ZzE. Est autem et AΓE rectus ; æqualis igitur est ZΓE ipsi AΓE, minor majori, quod est impossibile. Non igitur Z cen- trum est ABΓ circuli. Similiter utique ostende- mus, neque aliud aliquod esse pryterquam in ipsá AΓ. Si igitur circulum, etc.

PROPOSITION XIX.

Si une droite touche un cercle, et si du point de contact on mène une ligne droite perpendiculaire à la tangente, le centre du cercle sera dans la droite qui aura été menée.

Car qu’une droite ΔΕ touche le cercle ΑΒΓ au point Γ, et du point Γ menons ΓΑ perpendiculaire à ΔΕ ; je dis que le centre du cercle est dans ΑΓ.

Car que cela ne soit point, mais s’il est possible, que le centre soit z, et joignons ΓΖ. Puisque la droite ΔE touche le cercle ΑΒΓ, et que ΖΓ a été mené du centre au point de contact, la droite zr est perpendiculaire à ΔῈ (18. 3) ; donc l’angle ZTE est droit. Mais l’angle AΓEB est droit aussi ; donc l’angle ZTE est égal à l’angle ATE, le plus petit au plus grand, ce qui est impossible. Donc le point Ζ m’est pas le centre du cercle ΑΒΓγ. Nous démontrerons semblablement qu’aucun autre point ne peut l’être, à moins qu’il ne soit dans Αγ. Donc, etc.