Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 3/Proposition 20

Euclide

Les Éléments - Livre 3

Traduction par F. Peyrard.
C. F. Patris, 1814 (1, p. 209-210).

ΠΡΟΤΑΣΙΣ κ.	PROPOSITIO XX.
Εν κύκλῳ, ἡ πρὸς τῷ κέντρῳ γωνία διπλα- σίων ἐστὶ τῆς πρὸς τῇ περιφερείᾳ, ὁταν τὴν αὐτὴν περι, Φέρειαν βάσιν ἔχωσιν αἱ γωνίαι. Εστω κύκλος ὁ ΑΒΓΙςε καὶ πρὸς μὲν τῷ κέν- τρῳ αὐτοῦ γωνία ἔστω ἡ ὑπὸ ΒΕΓ, πρὸς δὲ τῇ περιφερείᾳ, ἡ ὑπὸ ΒΑΓ, ἐχέτωσαν δὲ τὴν αὐτὴν περιφέρειαν βάσιν τὴν ΒΓ. λέγω ὅτι διπλασίων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΕΓ γωνία τῆς ὑπὸ ΒΑΓ.	In circulo, ad centrum angulus duplus est ipsius ad circumterentiam, quando eamdem circumferentiam pro basi habent anguli. Sit cirenlus ABΓ, et ad centrum quidem ejus angulus sit BEΓ, ad circumferentiam vero ipsi BAΓ, habeant autem eamdem circumferentiam pro basi BΓ ; dico duplum esse BEΓ angulum ipsius BAΓ,
Επιζευχθεῖσα γὰρ ἡ ΑΕ διήχθω ἐσὶ τὸ Ζ.	Juucta enuim AE producatur ad z.
Επεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΒΑ τῇ ΕΒ, ἴσηϊ καὶ γω. . νία ἡ ὑπὸ ΒΕΑΒ τῇ ὑπὸ ΕΒΑ ! αἱ ἄρα ὑπὸ ΕΑΒ, ΕΒΑ γωνίαι τῆς ὑπὸ ΕΑΒ δυπλασιαί εἶἰσιν. Ττση δὲ ἡ ὑπὸ ΒΕΖ ταῖς ὑπὸ ΕΑΒ, ΕΒΑ" καὶ ἡ ἐπὸ ΒΕΖζ͂ ἀρά τῆς ὑπὸ ΕΑΒ ἐστὶ διπλῆ. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΖΕΓ͂Τ τῖϊς ὑπὸ ΕΑΟΓ ἐστὶ διπλῆ" » ὁλη ἀρὰ ἡ ὑπὸ ΒΕΓ ὅλης τῖς ὑπὸ ΒΑΓ ἐστὶ δυπλῆ.	Quoniam igitur æqualis est EA ipsi EB, æ. qualis et angulus EAB ipsi EBA ; anguli igitur EAB, EBA ipsius EAB dupli sunt. Equalis jg. tem BEZ ipsis EAB, EBA ; et BEZ igitur ipsiu EAB est duplus. Propter eadem utique et ZEQ ipsius EAΓ est duplus ; totus igitur BEΓ tatius BAΓ est duplus.

Κειλάσθω δὴ πάλιν, καὶ ἔστω ἐτέρα γωνία3 ἡ ὑπὸ ΒΔΓ, καὶ ἐπεζευχθεῖσα ἡ ΔῈΕ ἐκὌεῦλησθω ἐπὶ τὸ Η. Ομοίως δὴ δείξομεν, ὁτι διπλῆ ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΗξΓ γωνία τῆς ὑπὸ Η͂ΔΓ, ὧν ἡ ὑπὸ » ΝὟ -ΨΣ ς λ ϑ ΗῸΒ διπλῆ ἐστι τῆς ὑπὰ ΗΔΒ. λοιπτὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΕΓ διπλῆ ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΒΔΓ, ἐν κύκλῳ ἄρα, καὶ τὰ ἐξῆς.

Inclinetur autem rursus, et sit alter angulur BΔΓ) , et juncta AE producatur ad H. Similite utique ostendemus duplum esse HEΓ angulum ipsius HAΓ, quorum HEB duplus est ipsiu HAB ; reliquus igitur BEΓ duplus est BAΓ. In circulo igitur, etc.

PROPOSITION XX.

Dans un cercle, l’angle au centre est double de l’angle à la circonférence, quand ces angles ont pour base le même arc.

Soit le cercle ABΓ, que l’angle ΒΕΓ soit au centre de ce cercle, que l’angle ΒΑΓ soit à la circonférence, et que ces angles ayent pour base le même arc zT ; je dis que l’angle ΒΕΓ est double de l’angle BAT. Joignons la droite AE, et prolongeons-la vers Z.

Puisque ΒΑ est égal à EB, l’angle EAB est égal à l’angle EB4 (5. 1) ; donc les angles EAB, EBA sont doubles de l’angle EAB. Mais l’angle BEZ est égal aux angles EAB, EBA (32. 1) ; donc l’angle BEZ est double de l’angle E/B. L’angle BEZ est double de l’angle ΖΑΓ par la même raison ; donc l’angle entier ΒΕΓ est double de Vangle entier BAT.

Que l’angle ΒΑΓ change de position, et qu’il soit un autre angle BAT ; ayant joint la droite ΔΕ, prolongeons-la vers H. Nous démontrerons semblablement que l’angle ΗμΓ est double de l’angle HAT ; mais l’angle HEB est double de l’angle ΗΔΒ ; donc l’angle restant BEΓ est double de l’angle restant B°Γ. Donc, etc.