Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 3/Proposition 22

Euclide

Les Éléments - Livre 3

Traduction par F. Peyrard.
C. F. Patris, 1814 (1, p. 212-213).

ΠΡΟΤΑΣΙΣ κβʼ.	PROPOSITIO XXII.
“Ιῶν ἐν τοῖς κύκλοις τετραπλεύρων αἱ ἀπεναν- τίον γωνίαι δυσὶν ὀρθαζς ἴσαι εἰσίν.	In circulis quadrilaterorum oppositi anguli duobus rectis æquales sunt.
Εστω καὐκλὸς Ο ΑΒΓΙΔ, καὶ ἐν αὐτῷ τετρά- πλεύρον ἔστω τὸ ΑΒΡΔ. λέγω ὅτι αἱ ἀπεναγτίον αὐτοῦ γωνίαι δυσὶν ορθαῖς ἴσαι εἰσίν.	Sit cireulus ABΓA2, et in ipso quadrilaterum sit ABΓΔ ; dico eppositos ipsius angulos duo- bus rectis æquales esse.
Επεζεύχθωσαν αἱ ΑΓ, ΒΔ.	Jungantur AΓ, BΔ.

Ἐπεὶ οὐν1 παντὸς τριγώνου αἱ τρεῖς γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσὶν, τοῦ ΑΒΓ ἄρα τριγώνου23 αἱ τρεῖς γωνίαι αἱ ὑπὸ ΓΑΒ, ΑΒΓ, ΒΓΑ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. Ιση δὲ ἡ μὲν ὑπὸ ΓΔΒ τῇ ὑπὸ ΒΑΓ, ἐν γὰρ τῷ αὐτῷ τμήματιί εἰσι τῷ ΒΑΔΙ, ἡ δὲ ὑπὸ ΑΓΒ τῇ ὑπὸ ΑΔΒ, ἐν γὰρ τῷ αὐτῷ τμήματί εἰσι τῷ ΑΔΓΒ. " ὁλη ἄρα ἡή ὑπὸ ΑΔΓ ταῖς ὑπὸ ΒΑΓ, ΑΓΒ ἴση ἐστί. Κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΑΒΓς αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΒΓΙΓ,	Quoniam igitur omnis trianguli tres anguli duobus rectis æquales sunt, ipsius ABΓ triangul tres anguli VAB, ABΓ, BΓA duobus rectis æquales sunt. Jqualis autem quidem ΓAB ipsi BAΓ, ete- nim in eodem sunt segmento BAΔΓ, et AΓB ips ABB, etenim in eodem sunt segmento AAAR, Totus igitur AΔΓ ipsis BAΓ, AΓB æmualis est Communis addatur ABΓ ; ergo ABΓ, BAΓ, AIB
ΒΑΓ, ΑΓΒ ταῖς ὑπὸ ΑΒΓ, ΑΔΓ ἴσαι εἰσίν. Αλλ αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ἈΆΓ, ΑΓΓΒ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσί-. καὶ αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΑΔΓ ἄραϑ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι. εἰσίν. Ομοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ αἱ ὑπὸ ΒΑΔ, ΔΓΒ γωμίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσί, Τῶν ἄρα ἐν τοῖς κύκλοις, καὶ τὰ ἐξῆς.	ipsis ABΓ, AAΓ æquales sunt. Sed ABΓ, BAΓ, AΓB duobus rectis Áæquales sunt ; et ABΓ, AAΓ igitur duobus rectis æquales sunt. Similiter uti- que ostendemus, et BAΔ, AEB angulos duobus rectis esse. Ín circulis igitur, etc.

PROPOSITION XXII.

Les angles opposés des quadrilatères inscrits dans des cercles sont égaux à deux droits.

Soit le cercle ABΓΔ, et que le quadrilatère ÂBΓ5 lui soit inscrit ; je dis que les angles opposés de ce quadrilatère sont égaux à deux droits.

Joignons AΓ, ΒΔ.

Puisque les trois angles de tout triangle sont égaux à deux droits (32. 1) , les trois angles ΓAB, ABΓ, ΒΓΑ du triangle ΑΒΓ sont égaux à deux droits. Mais l’angle ΓΔΒ est égal à l’angle ΒΑΓ (z21. 3) , car ils sont dans le même segment BAAT ; et l’angle AΓB est égal à l’angle ΑΔΒ, car ils sont dans le même segment ΑΔΙΒ ; donc l’angle entier ΑΔΓ est égal aux angles BAΓ, ΑΓΒ. Ajoutons l’angle commun ΑΒΓ ; les angles ABΓ, ΒΑΓ, ΑΓΒ seront égaux auxangles ΑΒΓ, ΑΔΓ. Mais les angles ΑΒΓ, BAÀ, , ΑΓΒ sont égaux à deux droits ; donc les angles ABΓ, ΑΔΓ sont égaux à deux angles droits. Nous démontrerons semblablement que les angles ΒΑΔ, ΔΙΒ sont aussi égaux à deux droits. Donc, etc.