Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 3/Proposition 28

Euclide

Les Éléments - Livre 3

Traduction par F. Peyrard.
C. F. Patris, 1814 (1, p. 221-222).

ΠΡΟΤΑΣΙΣ κή.	PROPOSITIO XXVIII.
Εν τοῖς ἰσοις κύκλοις αἱ ἴσαι εὐθεῖαι ἴσας σε- ριφερείας ἀφαιροῦσι, τὴν μὲν μείζονα τῇ μείζονι, τάν δὲ ἐλαττονὰ τῇ ἐλάττονι.	In æqualibus circulis æBquales rectæ æquales circumferentias auferunt, majorem quidem ma- jori, minorem vero minori.
Εστωσαν ἴσοι κύκλοι οἱ ΑΒΓ, ΔΕΖ, καὶ ἐν αὐτοῖςῖ ἴσαι εὐθεῖαι ἐστωσαν αἱ ΑΒ, ΔΕ, τὰς μὴὲὲεν ΑΓΒ, ΔΖΕ περιφερείας μείζονας ἀαφαιρου-	Sint æquales circuli ABΓ, AEZ, et in ipsis æquales rectæ sint AB, AE, ipsas quidem AΓB, AZE circumferentias majores auferentes, ipsas

σαι, τὰς δὲ ΑΗΒ, ΔΘΕ ἐλάττοναςΚΞ λέγω ὅτι ἡ μὲν ΑΓΒ μείζων περιφέρεια ἴση ἐστὶ τῇ ΔΖΕ μείξν. περιφερείᾳ, ἡ δὲ ΑΗΒ ἐλάττων περιφέ. - ρειὰ τῇ ΔΘΕ ἐλαττον3,	vero AHB, ] 8E minores ; dico ipsani quidem AΓB majorem circumferentiam æqualem esse ipsi AZE majori circumferentiæ, ipsam vero AHB minorem ip : i AdE minori.
Εἰλήφθω γὰρ τὰ κέντρα τῶν κὐυκλων, τὰ Κ, Δ, καὶ ἐπεζεύχϑωσαν αἱ ΒΚ, Κβ, ΔΔΛ, ΛΕ.	Sumantur enim centra circulorum, K, A, «  jungantur BK, EB, AàB, AE.
Καὶ {πεὶ ἰσοι κύυκλοι εἰσίν. ἰΙἰσαι εἰσι και αι ἐκ τῶν κεντρων δύο δὴ αἱ ΑΚ, ΚΒ ᾧσὶ ταῖς ΔΔΛ, ΛΔΛΕ ἴσαι εἰσὶ, καὶ βάσις ἡ ΑΒ βασει τῇ ΔΕ ἴσηςο γωνία ἀρὰ ἡ ὑπὸ ΑΚΒ γωνίῷ τηῃ υτσὸο	Et quoniam æquales circulü sunt, æquale sunt et ipse ex centris ; du& igitur AE, kg duabus AΔ, AE æquales sunt, et basis AB ha, AE æqualis ; angulus igitur AKB ipsi MAE æqua-

ΔΛΕ ἴση ἐστίν. Αἱ δὲ ἴσαι γωνίαι ἐπὶ ἴσων πέ- ριφερειῶν βεδήκασιν, ὁταν πρὸς τοῖς κέντροις ὠὦσιν. ἴση ἀρὰ ἡ ΑΗΒ περιφερειω τῇ ΔΘῊ περίφε- ρείᾳ3, Ἐστι δὲ καὶ ὅλος ὁ ΑΒΓ κύκλος ὅλῳ τῷ, ΔΒΖ κύκλῳ ἴσος. καὶ ! λοιπη ἀρὰ ἡ ΑΓΒ περι- φεέρειὰ λοιπὴῃ τη ΔΖΕ περιφερείᾳ ἴση ἐστίν. Eν ἄρα τοῖς ἴσοις, καὶ τὰ ἐξῆς.

lis est. Æquales autem anguli æqualibus cir cumferentiis insistunt, quando ad centra sunt ; æqualis igitur AHB circumferentia ipsi ΔE cir- cumferentism. Est autem et totus ABΓ circulus toti AEZ circulo æqualis ; reliqua igitur et AΓB circumferentia reliqueg AZE circumferentiæ æ- qualis est. In æqualibus igitur, etc.

PROPOSITION XXVIII.

Dans des cercles égaux, les droites égales soutendent des arcs égaux, le plus grand étant égal au plus grand, et le plus petit égal au plus petit.

Soient les cercles égaux ABΓ, ΔΕΖ, et que dans ces cercles, les droites égales ΑΒ, ΔE soutendent les plus grands arcs ΑΓΒ, nZE, et les plus petits arcs AHB, ΔΘΕ ; je dis que le plus grand arc ΑΓΒ est ; égal au plus grand arc ΔΖΕ, et que le plus petit arc AHB est égal au plus petit arc ΔΘΕ. Prenons les centrés K, ΔΛ de ces cercles (1. 3) , et joignons ΑΚ, ΚΒ, δλ ἐς

Puisque ces cercles sont égaux, leurs rayons sont égaux ; donc les deux droites : Ak, , ΚΒ sont égales aux deux droites δλ, XB ; mais la base ΑΒ est égale à la base ΔΕ ; . donc l’angle AKB est égal à l’angle ûÛB (8. 1) . Mais des angles égaux comprènent des arcs égaux, quand ils sont aux centres (26. 3) ; donc Parc ÛHB est égal à l’arc noa. Mais la circonférence entière ABΓ est égale à la circonférence entière ΔΕΖ ; donc l’arc restant ATB est égal à l’arc restant ΔΖΒ, Donc, etc.