Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 3/Proposition 27

Euclide

Les Éléments - Livre 3

Traduction par F. Peyrard.
C. F. Patris, 1814 (1, p. 219-221).

ΠΡΟΤΑΣΙΣ κζʹ.	PROPOSITIO XXVII.
Εν τοῖς ίσοις κὔκλοις αἱ ἐπὶ ἴσων περιΦερειωὼν βεηκυῖαι γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσῖν, ἐὰν τέ σρὸς τοιῖς κέντροις, ἐὰν τε σρὸςὦ τοις σεριφεέρέίαις ῶσι βεϐηκυζαιε.	In æqualibus circulis ips1 æqualibus circum- ferentiis insistentes anguli æquales inter se sunt, sive ad centra, sive ad circumferentias sint in- sistentes.
Eν γὰρ ἴσοις κύκλοις τοῖς ΑΒΓ ἴσων περιφερειῶν τῶν ΒΓ, ΕΖ, πρὸς μὲν τοϊς Η, Θ κέντροις γωνίαι βεθηκέτωσαν αἱ ὑπὸ ΒΗΓ, ΕΘΖ, πρὸς δὲ ταῖς περιφερείαις αἱ ὑπὸ ΒΑΓ, ΕΔΖʼ λέγω ὅτι ἡ μὲν ὑπὸ ΒΗΓ γωνία3 τῇ ὑπὸ ΕΘΖ ἐστὶν ἴση, ἡ δὲ ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ ἐστὶν ἴση3	In æqualibus enim circulis ABΓ, AEZ, æqualibus circumferentiils BΓ, EZ, ad H, æe quidem centra anguli insistant BHΓ, EGZ, jd circuniferentias vero ipsi BAΓ, EΔgZ ; dico BHΓt quidem angulum ipsi EGZ esse æqualem, ip- sum yero BAΓ ipsi EM.

Ἐ γαρ ἄνσος ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΗΓ τῇ ὑπὸ ἘΘΖ, μία αυτων μειζων ἐσται, Ἐστω μειζων ἡ ὑπὸο ΒΗΓ ; καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΒΗ εὐθείᾳ. καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Ἡ. - τῇ ὑπὸ ἘΘΖ γωνίᾳ ἰσὴ Ἡ ὑπὸ ΒΗΚ᾽ αἱ δὲ ἴσαι ! γωνίαι ἐπὶ ἴσων πε- ριφερείὼν βεβήκασιν. ὅταν πρὸς τοῖς κέγτροιίς ὦσιν" ᾿σηῃ ἆρα ἡ ΒΚ περιφερεία τῇ ἘΖ σεριφε- ρεᾳ. Αλλ ἡ ἘΖ τῇ ΒΓΙ ἐστὶν ἰσῆ. καὶ ἡ ΒΚ ἀρὰ τῇ ΒΓ ἐστὶν ἰσῃ. ἡ ἐλάττων τῇ μείζονι, θπερ ἐστὶν ἀδύνατον. Οὖκ ἄρα ἀνισός ἐστιν ἢ ὑπὸ ΒΗΓ γωνία τῇ ὑπὸ ἘΘΖ" ἴση ἄρα. Καύεστι τῆς

s1 enim inæqualis sit BHI ipsi EOGZ, unus ipsorum major erit. Sit major BHLʼ, et consti- tuatur ad BH rectam, et ad punctum in eà H, ipsi EOZ angulo zqualis ipse BHK ;  : quoales autem angul szqualibus circumferentuüs insis- tunt, quando ad centra sunt ; squalis igitur BK circuniferentia ipsi EZ circumferentiz. Sed EZ ipsi BI wqualis est, et BK igitur ipsi BT est equalis, minor majori, quod est impossi- bile. Non 1gitur inzqualis est BHT angulus ipsi EOZ ; æqualis igitur. Et est 1psius quidem BHT

μὲν ὑπὸ ΒΗΓ ἡμίσεια ἡ πρὸς τῷΑ, τῆς δὴ ὑπὸ ΕΘΖ ἡμίσεια ἡ πρὸς τῷ Δ. ἰσὴ ἀρὰ καὶ ἡ πρὸς τῷ Α γωνία τῃ πρὸς τῷ Δ, Εν ἀρὰ τοῖς ἴσοις. και τὰ ἑξῆς.

dimidius ipse ad A, ipsius vero EGz dimidius ipse ad Δ ; æqualis igitur et ad A angulus ipsi ad Δ. In æqualibus igitur, etc.

PROPOSITION XXVII.

Dans les cercles égaux, les angles qui comprènent des arcs égaux sont égaux entr’eux, soit qu’ils soient aux centres, ou aux circonférences. Que dans les cercles égaux ΑΒΓ, ΔΒΖ, les angles BHT, ΕΘΖ placés aux centres H, Θ, et les angles ΒΑΓ, ΕΔΖ placés aux arcs ΒΑΓ, EAZ comprènent les arcs égaux BΓ, EZ ; je dis que l’angle BHΓ est égal à l’angle EΘz, et l’’angle BAΓ égal à l’angle EsZ.

Car si les angles BHT, ΕΘΖ sont inégaux, l’un d’eux sera le plus grand. Que l’angle BHT soit le plus grand ; sur la droite BH, et au point H de cette droite, faisons lʼangle BHK égal à l’angle EΘZ (23. 1) . Puisque les angles égaux comprènent des arcs égaux, lorsqu’ils sont aux centres (26. 3) , lʼarc BK est égal à l’arc EzZ. Mais lʼarc EZ est égal à l’arc ΒΓ ; donc l’arc BK est égal à Parc BT, le plus petit au plus grand, ce qui est impossible. Donc les angles BHT, ΕΘΖ ne sont pas inégaux ; donc ils sont égaux. Mais l’angle en Α est la moitié de l’angle ΒΗΓ, et l’angle en Δ la moitié de l’angle EθZ (20. 3) ; donc l’angle en est égal à l’angle en Δ. Donc, etc.