Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 3/Proposition 31

Euclide

Les Éléments - Livre 3

Traduction par F. Peyrard.
C. F. Patris, 1814 (1, p. 225-229).

ΠΡΟΤΑΣΙΣ λα.	PROPOSITIO XXXI.
Ἐν κύκλῳ, ἡ μὲν ἐν τῷ ἡμικυκλίῳ γωνία οὀρθη ἐστιν » ἡ δὲ ἐν τῷ μείζονι τμήματι ἐλάττων ορθῖς. ἡ δὲ ἐν τῷ ἐλάττονι τμήμάτι1 μείζων ὀρθῆς. Καὶ ἐτι ἡ μὲν τοῦ μείζονος τμήματος γωνία μείζων ἐστὶν ὀρθῆς. ἡ δὲ τοῦ ἐλάττονος τμήματος γωνία ἐλάττων ὀρθῆς2.	In circulo, ipse quidem in semicircalo angu- lus rectus est ; ipse vero in majore segmeuto minor recto ; ipse autem in minore segniento major recto. Et insuper ipse quidem majoris scgmenti angulus major est recto ; ipse vero mi- noris segmenti angulus minor recto.
Ἐστω κύχκλος ὁ ΑΒΓΔ, διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἔστω ὁ ΒΓ, κέντρον δὲ τὸ Β, καὶ ἐπεζεύχθωσαν	Sit circulus ABΓΔZ, diameter autem ipsius sit BΓ, ceutrum vero E, et jungantur BXA, AΓ,

αἱ ΒΑ, ΑΓ, ΑΔʼ, ΔΙ. Λέγω ὅτι ἡ μὲν ἐν τῷ ΒΑΓ ἡμικυκλίῳ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΓΘ ὀρθή ἐστιν. ἡ δὲ	AΔ, AΓ ; dico ipsum quidem in BAΓ semicir- culo angulum BAΓ rectum esse ; ipsum autem in
ἐν τῷ ΑΒΓ μείζονι τοῦ ἡμικυκλίου τμήματι γω- νία, ἡ ὑπὸ ΑΒΓ, ἐλάττων ὀρθῆς. ἡ δὲ ἐν τῷ ΑΔΓ ἐλάττονι τοῦ ἡμικυκλίου τμήματι γωνία ἡ ὑπὸ ΑΔΓίέ μείζων ἐστὶν ὀρθῆς.	ABΓ majore semicirculo segmento angulum Abc minorem recto ; ipsum vero in AΔΓ minoren semicirculo segmento angulum AAΓ mmzjorem esse recto.
Επεζεύχθω ἡ ΑΕ, καὶ διήχθω ἡ ΒΑ ἐπὶ τὸ Ζ.	Jungatur AE, et producatur BΔ ad Z.
Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΒΕΑ, ἴση ἐστὶ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΕ τῇ ὑπὸ ΒΑΕ. Πάλιν, ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡΓΕ τῇ ΒΑ, ἴση ἐστὶ καὶϑ ἡ ὑπὸ ΑΓἔ τῇ ὑπὸ	Et quoniam æqualis est BE ipsi EA, æquali est et angulus ABE, ipsi BAE. Rursus, quoniam æqualis est ΓPE ipsiEA, æqualis est et AΓE ipsi

ΓΑὈὈ ὅλη ἄρα ἭἪ ὑπὸ ΒΑΓ δυσὶ ταῖς ὑπὸ ΑΒΓ, ΑΓΒ ἴση ἐστίν. Εστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΖΑΓ ἐκτὸς τοῦ ΑΒΓ τριγώνου δυσὶ ταῖς ὑπὸ ΑΒΓ, ΑΓΒ γωνίαις ἴση. ἴση ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΑΙ, ὀρθὴ ἄρα ἐκατέρα. ἡ ἄρα ἐν τῷ ΒΑΓΓ ἡμικυκλίῳ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΓ ὀρθη ἐστι.	ΓAE ; totus igitur BAΓ duobus ABΓ, AΓB æqu lis est. Est autem et ipse ZAΓ, extra ABΓ triangu- lum, duobus ABΓ, AΓB angulis æqualis ; Àqualis igitur et BAΓ angulus ipsi ZAΓ ; recus igitur uterque ; ipse igitur in BAΓ semicirculo angulus BAΓ rectus est.
Καὶ ἐπεὶ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου δύο γωνίαι αἱ ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΑΓ δύο ὀρθὼν ἐλάττονές εἰσιν, ὀρθὴ	Et quoniam ABΓ trianguli duo anguli ARΓ, BAΓ duobus rectis minores sunt, rectus autem
δὲ ἡ ὑπὸ ΒΑΓΟ. ἐλώττων ἄρω ὀρθῆς ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία, καὶ ἐστιν ἐν. τῷῳε ΑΒΙ μείζονι του ημικυκλίου τμημάατι.	BAΓ ; minor igitur recto est ABΓ angulus, et in ABΓ segmento semicirculo majore.
Καὶ ἐπεὶ ἐν κυκλῳ τἐτρασπλευρὸν ἐστι τὸ ΑΒΓΔ, τῶν δὲ ἐν τοῖς κύκλοις τετραπλεύρων αἱ ἀπεναν- τίον γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. αὖ ἄρα ὑπὸ ΑΒΓ, ΑΔΓ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσί. Καὶ ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΒΓ ἐλάττων ὀρθῆς. λοίπη ἀρὰ ἥ ὑπὸ ΑΔΙΓ γωνία μείζων ὀρθῆς ἐστι, καὶ ἔστιν ἐν τῷ AΔΓ ἐλάττονι τοὺ ἡμικυκλίου τμηματιΖῖα.	Et quoniam in circulo quadrilatum est ABΓ2, in circulis autem quadrilatorum oppositi duo- bus rectis æÀquales sunt ; ipsi igitur ABΓ, AΔΓ duobus rectis æquales sunt. Et est ABΓ minor recto ; reliquus igitun AΔΓ angulus major recto est, et est in AΔΓ segmento se- micirculo minore.
Λεγω8 ὁτι καὶ ἡ μὲν τοὺυ μείζονος τμἵμα- τὸς γωνία, η περιεχομένη ὑπὸ τεϑ τῆς ΑΒΓ πε- ριφερείας καὶ τῆς ΑΓ εὐθείας, μείζων ἐστὶν ὀρθῆς. ἡ δὲ τοῦ ἐλάττονος τμήματος γωνία, ἡ περιε- χομένη υπὸ τεῖο τῇς ΑΔΓ περιφερείας Καὶ τῆς ΑΓ εὐθείας, ἐλάττων ἐστὶν ὀρθῆς, Καὶ ἔστιν αὐ- τόθεν φανερόν. Ἐπεὶ γὰρ ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ εὐ- θειῶν πεέριεχομένη ὀρθ γωνίατι ἐστὶν, ἡ ἄρα ὑπὸ τῆς ΑΒΓ περιφερείας καὶ τῆς ΑΓ εὐθείας περιεχομένη μείζων ἐστὶν ὀρθῆς. Πάλιν, ἐπεὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΑΖ εὐθειῶν ὀρθή ἐστιν ἥ ἄρα ὑπὸ τίϊς ΓΑ εὐθείας καὶ τῆς ΑΓΔ περιφερείας περιεχομένη ἐλαττων ἐστὶν ὀρθῖς. Εν κύκλῳ ἄρα, καὶ τὰ ἐεξῆς.	Dico autem et majoris quidem segmeili angulum comprehensuin et ab ABΓ circum- ferentià et AΓ rectá, majorem esse recto ; minoris vero segmenti angulum comprehensum et ab AΔΓ circumferentià et AΓ rectà, mino- rem esse recto. Et est hoc manifestum. Quo- niam enim ipse a BΔ, AΓ rectis comprehensus rectus angulus est, ergo ab ABΓ circumteren- tiá et AΓ rectá comprehensus niajor est recto. Rursus, quoniam ipse ab AΓ, Az rectis com- prehensus rectus est, ergo a ΓA rectá, et AΓΔ circumferentià comprehensus minor est recto. In circulo igitur, etc.

ΑΛΛΩΣ.	ALITER.
Η13 ἀπόδειξις τοῦ ὀρθὴν εἶγαι τὴν ὑπὸ ΒΑΓ. Επεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΒΕΓ τῆς ὑπὸ ΒΑE ἴση γὰρ δυσὶ ταῖς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον » ἐστὶ δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΕΒ διπλῆ τῆς ὑπὸ ΒΑΓ. αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΕΒ, ΑΕΓ διπλασίονές εἰσι τῆς ὑπὸ ΒΑΓ. Αλλὰ αἱ ὑπὸ ΑΕΒ, ΑΕΓ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. ἡ ἄρα ὑπὸ ΒΑΓ ὀρθή ἐστιν. Οπερ ἔδει δεῖξαι.	Demonstratur rectum esse BAΓ. Quoniam duplus est AEΓ ipsitÓs BAE, æqualis enim due. bus interioribus et oppositis ; est autem et AEB duplus ipsius EAΓ ; ipsi igitur AEB, AEΓ dupli sunt ipsius BAΓ. Sed ipsi AEB, AEΓ duobu rectis æquales sunt ; ergo BAΓ rectus est. Quod oportebat ostendere.

ΠΟΡΙΣΜΑ.	COROLLARIUM.
Εκ δὴ τούτου φανερὸν, ὅτι ἐὰν ἡ μία γωνία τριγώνου ταῖς δυσὶν ἴση ἢ, ὀρθῃη ἐστιν ἡ γωνία	Ex hoc utique manifestum, si unus angulu trianguli duobus æqualis sit, rectum esse angu-
διᾳὰ τὸ καὶ τἂν ἐκείνης ἐκτος ταῖς αὐυὐταῖς ἴσην ἄναι. Οταν δὲ ἐφεξῆς ἴσαι ὦσιν, ὀρθαί εἰσιν14,	lum, propterea quod et ejus angulus exterior iisdem est æqualis. Quando autem ipsi deinceps sunt æquales, recti sunt.

PROPOSITION XXXI.

Dans un cercle, l’angle placé dans le demi-cercle est droit ; l’angle placé dans un segment plus grand est plus petit qu’un droit ; l’angle placé dans un segment plus petit est plus grand qu’un droit ; l’angle du plus grand segment est plus grand qu’un droit, et l’angle du plus petit segment est plus petit qu’un droit.

Soit le cercle ABΓΔ, dont le diamètre est BΓ et le centre le point E ; joignons BA, AΓ, AB, AT ; je dis que l’angle BAΓ placé dans le demi-cercle BAΓ est droit ; que l’angle ABΓ placé dans le segment ΑΒΓ plus grand que le demi-cercle ABΓ est plus petit qu’un droit, et que l’angle ΑΔΓ placé dans le segment ABΓ plus petit que le demi-cercle, est plus grand qu’un droit.

Joignons ΑΒ, et prolongeons BA vers Z.

Puisque BE est égal à EA, l’angle ABE est égal à l’angle ΒΑE (5. 1) . De plus, puisque TE est égal à ΒΑ, l’angle ΑΓΕ est égal à lʼangle ΓΑΒ ; donc l’angle entier ΒΑΓ est égal aux deux angles 4BΓ, rûp. Mais l’angle ΖΑΓ placé hors du triangle ΑΒΓΙ est égal aux deux angles ΑΒΓ, ΑΓΒ (32. 1) ; donc l’angle ΒΑΓ est égal à l’angle ΖΑΓ ; donc chacun de ces angles est droit (déf. 10. 1) ; donc l’angle BAΓ, placé dans le dermi-cercle BAT, est droit.

Puisque les deux angles ABΓ, BAΓ du triangle ABΓ sont plus petits que deux droits (17. 2) , et que l’angle ΒΑΓ est droit, lʼangle ΑΒΓ est plus petit qu’un droit, et cet angle est dans le segment ΑΒΓ plus grand que le demi-cercle.

Puisque le quadrilatère ΑΒΓΔ est dans un cercle ; et que les angles opposés des quadrilatères inscrits dans des cercles sont égaux à deux droits (22. 3) , les angles ÛBΓ, ΑΔΓ sont égaux à deux droits. Mais l’angle ΑΒΓ est plus petit qu’un droit ; donc l’angle restant ΑΔΓ est plus grand qu’un droit, et cet angle est dans le segment ΑΔΙ plus petit que le demi-cercle.

Je dis aussi que l’angle du plus grand segment, compris par l’arc ΑΒΓ et la droite ΑΓ, est plus grand qu’un droit, et que l’angle du plus petit segment, compris par Parc ΑΔΙ et la droite ΑΓγ, est plus petit qu’un droit, ce qui est évident ; car puisque l’angle compris par les droites BA, ΑΓ est droit, lʼangle compris par Parc ΑΒΓ et la droite ΑΓ est plus grand qu’un droit. De plus, puisque l’angle compris par les droites A, àz est droit, l’angle com- pris par la droite Γ ; et l’arc ΑΓΔ est plus petit qu’un droit. Donc, etc.

AUTREMENT.

On démontre autrement que l’angle ΒΑΓ est droit. En effet, puisque l’angle AN est double de l’angle ΒΑΒ, car il est égal aux deux angles intérieurs et opposés (32. 1) , et que l’angle ΑΕΒ est double de l’angle EAΓ, les angles) EB, AFT, sont doubles de l’angle BAΓ. Mais les angles ΑΕΒ, AEΓ, sont égaux à deux droits (13- 1) ; donc l’angle ΒΑΓ est droit. Ce qu’il fallait démontrer.

COROLLAIRE.

De là il est évident que si un des angles d’un triangle est égal aux deux autres, cet angle est droit, parce que son angle extérieur est égal à ces mêmes angles, et que quand deux angles de suite sont égaux, ils sont droits (déf. 10. 1)