Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 3/Proposition 32
C. F. Patris, (1, p. 229-231).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ λβ'. | PROPROSITIO XXXII. |
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Εαν κύκλου ἐφαπτηταί τις εὐθεία, ἀπὸ δὲ τῆς άφιες εἰς τὸον κυκλον διαχθη τις ευθειὰ τἐμνουσὰα τὸν κύκλον. ἃς ποιει γωνίας πρὸς τῃ ἐφαπτο- μέεένῃ ἰσαι ἐσονται ταιῖις ἐν τοῖς ἐναλλὰξ τοὺυ χυ- κλου τμύμασι γωνίιαις. |
Si circulum contingat aliqua recta, a con- tactu autem in circulum ducatur aliqua recta ducta secans circulum, quos facit angulos ad contingentem ipsi æquales erunt angulis in al- ternis circuli segmentis. |
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Κύκλου γὰρ τοῦ ΑΒΓΔ ἐφαπτέσθω τις εὐθεῖα ἡ ἘΖ κατὰ ΤΟΒ σήημειον, καὶ ἀπὸ τοὺυ Β σημῪείου |
Cireulum enim ABΓΔ contingat aliqua recta EZ in B puncto, et a B puncto ducatur aliqua |
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δηχθω τις εὐθεῖα εἰςῷζ τὸν ΑΒΓΔ κύκλον τέμ- νουσα αὐυὐτὸν ἡ BΔ λέγω ὁτὶι ἀς ποίει γωνἰιὰς ἡ ΒΔ μετὰ τῆς ΕΖ ἐφαπτομένης ἴσαι ἔσονται ταις ἐν τοις ἐναλλὰξ τὠιημασι του κυκλου γω- |
recta BΔ in ABΓA circulum secans ipsum ; dieo quos facit angulos B cum EZ contingente eos æquales esse angulis in alternis segmentis circuli, hoc est ZBΔ quidem angulum æ-
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νίοις. τουτέστιν, ὁτι ἡ μὲν ὑπὸ ΖΒΔ γωνία ἴση ἐστὶ τῇ ἐν τῷ ΒΑΔ τμήματι συνισταμένῃ γω- νίᾳ, ἡ δὲ ὑπὸ ΔΒE γωνία ἴση ἐστὶ τῇ ἐν τῷ ΔΙΒ τμύματι συνισταμένη γωνίᾳ3. |
qualem esse angulo in BAΔ segmento consti. tuto, ABE vero angulum æqualem esse in AΓB segruento constituto. |
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Ηχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Β τῷ ΕΖ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΒΑ, καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ΒΔ περιφερείας τυχὸν σημεῖον τὸ Γ, καὶ ἐπεζεὐυχθωσαν αἱ ΑΔ, ΔΓ, ΓΒ. |
Ducatur enim a B ipsi EZ ad rectos BA, et sumatur in BΔ circumferentià quodlibet punc- tum Γ, et jungantur AΔ, AΓ, FΓB. |
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Καὶ ἐπεὶ κύκλου τοῦ ΑΒΓΔ ἐφάπτεταί τις εὐθεῖα ΕΖ κατὰ τὸ Β, ἀπὸ δὲ τῆς 1 ἀφῆς ἧκται τῇ ἐφαπτομένῃ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΒΑ, ἐπὶ τῆς ΒΑ ἀραϑ τὸ κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου, Η ΒΑ ἄρα διάμετρός ἐστι τοῦ ΑΒΓΔ κὐκλου. 1 ἄρα ὑπὸ ΑΔΒ γωνία ἐν ἡμικυκλίῳ οὖσα ὀρθή ἐστι" λοιπαὶ ἄρα αἱ ὑπὸ ΒΑΔ, ΑΒΔ μιᾷ ὀρθῇ ἴσαι εἰσίν. Εστὶ δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΖ ὀρθή. ἡ ἄρα ὑπὸ ΑΒΖ ἴση ἐστὶ ταῖς ὑπὸ ΒΑΔ, ΑΒΔ. Κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ ὑπὸ ΑΒΔ. λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΒΖ γωνίωα ἴση ἐστὶ |
Et quoniam circulum ABΓΔ contingit aliqua recta EZ in B, a contactu autem ducta est tan- genti ad rectas BA, in BA igitur centrum est ABΓΔ circuli, BA igitur diameter est ABΓRH circuli ; ; ergo AΔB angulus in semicirculo cons titutus rectus est ; reliqui igitun BAΔ, ABΔ uni recto æquales sunt. Est autem et ABZ rec- tus ; ergo ABZ æqualis est ipsis BAΔ, ABK, Communis auferatur ABΔ ; reliquus igitur AB angulus æqualis est angulo BAΔ in alterno
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τῇ ἐν τῷ ἐναλλὰζξζ τμήματι τοὺυ κὐυκλοὺ γωνίᾳ. τῇ ὑπὸ ΒΑΔ. Καὶ ἐπεὶ ἐν κύκλῳ τετραπλευρον ἐστι τὸ ΑΒΓΔ, αἱ ἀπεναντίον αὐτοῦ γωνίαι δυ. σὶν ορθαῖς ἴσαι εἰσίν. Εἰσὶν δὲ καὶ αἱ ὑπὸ ΔΒΖ, ΔΒΕ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι 79 αἱ ἀρὰ ὑπὸ ΔΒΖ, ΔΒΕ ταῖς υποἕἑ ΒΑΔ, ΒΓΔ ἰσαι εἰσιν, ὧν ἡ υὑπὸ ΒΑΔ τῇ ὑπὸ ΔΒΖ ἐδείχθη ἴσηλ λοιπη ἄρα ἥ ὑπὸ ΔΒΕ τη ἐν τῷ ἐναλλὰξ τοῦ κύκλου τμήματι τῷ ΔΙΒ, τῇ ὑπὸ ΔΙΒ γωνίᾳ ; ἐστὶν ἴση. Βὰν ἀρὰ κὐύυκλου. και τὰ εξῆς. |
segmento circuli. Et quoniam in circulo qua- drilaterum est ABΓA, oppositi ejus anguli duo- bus rectis æquales sunt. Sunt autem etipsi ABZ, ABE duobus rectis æquales ; ipsi igitur ABZ, ABE ipsis BAΔ, BΓAΔ æquales sunt, quorum BAΔ ipsi ABZ ostensus est æqualis ; reliquus igitur ABE angulo AΓEB in alterno circuli segmento AΓB æqualis est. Si igitur circulum, etc. |
Si une droite touche un cercle, et si du point de contact on mène une droite qui coupe ce cercle, les angles que cette droite fait avec la tangente seront égaux aux angles placés dans les segments alternes du cercle.
Qu’une droite EZ touche le cercle ΑΒΓΑ au point B, et du point B menons une droite BA qui coupe le cercle ΑΒΓΔ ; je dis que les angles que fait ΒΔ avec la tangente ΕΖ sont égaux aux angles placés dans les segments alternes du cercle ; c’est-à-dire, que l’angle ZBΔ est égal à lʼangle placé dans le segment ΒΑΔ, et que l’angie ΑBE est égal à l’angle placé dans le segment ΔΓB.
D’un point B menons la droite BA perpendiculaire à EZ (11. 1) , et dans l’arc BA, prenons un point quelconque T, et joignons ΑΔ, ΔΓ, IB.
Puisque la droite EZ touche le cercle ΑΒΓΔ au point B, et que la droite ΒΑ, menée du point de contact B, est perpendiculaire à la tangente EZ, le centre du cercle ΑΒΓΔ est dans la droite BA (19. 3) . Donc ΒΑ est le diamètre du cercle ΑΒΓΔ ; donc l’angle Αδβ, placé dans le demi-cercle, est droit (31. 3) Donc les angles restants ΒΑΔ, ΑΒΔ sont égaux à un droit. Mais l’angle ΑΒΖ est droit ; donc l’angle ΑΒΖ est égal aux angles BAA, ΑΒΔ (not. 10) . Retranchons l’angle commun ABΔ ; l’angle restant ΔBΖ sera égal à l’angle ΒΑΔ placé dans le segment alterne du cercle. Et puisque le quadrilatère ΑΒΓΔ est inscrit dans le cercle, ses angles opposés sont égaux à deux droits (22. 3) . Mais les angles ΔΒΖ, ΔBE sont égaux à deux droits ; donc les angles ΔΒΖ, ABE sont égaux aux angles ΒΑΔ, ΒΓΔ (13. 1) ; mais on a démontré que l’angle BAΔ est égal à l’angle ΔΒΖ ; donc l’angle restant ÛBE est égal à l’angle ΑΓΒ placé dans le segment alterne du cercle ΔΓΒ ; donc, etc.