Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 3/Proposition 37
C. F. Patris, (1, p. 242-244).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ λζʹ. | PROPOSITIO XXXVII. |
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Ἐὰν κύχλου ληφθῇ τι σημεῖον ἐκτὸς, ἀπὸ δὲ τοῦ σημειίου πρὸς τὸν κύκλον προσπίπτωσι δύο εὐθεῖαι, καὶ ἡ μὲν αυὐτὼν τέμνῃ τὸν κύκλον, ἡ δὲ |
Si extra cirenlum sumatur aliquod punctum, ex puncto autem in circulum cadant duz rectz, et una quidem earum secet circulum altera, vero
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προσπίπτῃ ἢ δὲ τὸ ὑπὸ τῆς ὐλης τηοῦ τεμνού- σης καὶ τῆς ἐκτὸς ἀαπολαμμΡὌανομένης μεταζὺ του τε σημείου καὶ τηῆς κυρτης. περιφερείὰς ἰσὸν τῷ ἀπὸ τῆς προσπιπτοὐυσηςΚ ἡ προσηιίπτουσα ἐφάψεται του κυκλου. |
in eum cadat, sit autem ipsum sub totà secante et ipsá exterius sumptà inter et punctum et con- vexam circumferentiam æquale ipsi ex incidente ; incidens continget circulum. |
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Κύελου γὰρ τοῦ ΑΒΓ εἰλήφθω τι σημεῖον ἐκτὸς τὸ Δ, Καὶ απὸὺὸ τοὺ Δ προς τὸν ΑΒΓ κυκλον σροσς, πιπτέτωσαν ὄυο εὐθεῖαι αἱ ΔΕΑ, ΔΒ, καὶ ἡ μὲν |
Estra cireulum ABΓ sumatur aliquod punc- tum A, et ex Δ in ABΓ circulum incidant duæg rectÀ AΓA, 4A4B, et ipsa quidem AΓr4 secet |
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ΔΓΑ τἐμνέτω τὸν κύκλον, ἡ δὲ ΔΒ προσπιπτέτω, ἔστω δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΙΓΣ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΔΒ. λέγω ὅτι ἡ ΔΒ ἐφάπτεται τοῦ ΑΒΓ κύκλου. |
circulum, ipsa vero ΔB in eum incidst, sit autem ipsum sub AΔ, AFΓ » quale ipsi ex ΔB ; dico ipsam AB contingere ABΓ circulum. |
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Ηχθω γὰρ τοῦ ΑΒΓ ἐφαπτομένη ἡ ΔΕ, καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓ κύκλου, καὶ ἔστω τὸ Ζ3, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΕ, ΖΒ, ΖΔ. ἡ ἄρα ὑπὸ ΖΕΔ ὀρθη ἐστι. |
Ducatur enim ipsum ABΓ contingens ipsa AE, et sumatur centrum circal ; ABΓ, et sit Z, et jungantur ZE, ZB, Zz ; ipse igitur ZEΔ rectus est. |
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Καὶ ἐπεὶ ἡ ΔΕ ἐφάπτεται τοῦ ΑΒΓ κύκλου, τέμνει δὲ ἡ ΔΙΑ. τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ ἴσον |
Et quoniam AE contingit ABΓ circulum, se- cat autem ipsa AΓA ; ipsum igitur sub AΔ, ΔΓ
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ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΕ. Η͂ν δὲ καὶπἝ τὸ, ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ ἴσον τῶ ἀπὸ τῆς ΔΒ. τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΔΕ ἴσον ἐστὶνδα τῷ ἀπὸ τῆς ΔΒ. ἴση ἄρα ἡ ΔΕ τῇ ΔΒ. Εστι δὲ καὶ ἡ ΖΕ τῇ Ζ2Β ἴση, δώο δὴ αἱ ΔΕ, ΕΖ δυσὶ ταῖς ΔΒ, ΒΖ ἴσαι εἰσὶ. καὶ βάσις αὐτῶν κοινὴ ἡ 2ΖΔ, Γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΕΖ γωνίᾳ |
æquale est ipsi ex AE. Erat autem et ipsum sub AΔ, AΓ æquale ipsi ex AB ; ipsum igitur e AE æquale est ipsi ex ΔAB ; æqualis igitur Ag ipsi AB. Est autem et ZE ipsi ZB æqualis, duæ igitur AE, EZ duabus AB, BZ æquales sunt, et hbasis ipsarum communis Z^4 ; angulus igitur |
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τῇ ὑπὸ ΔΒΖ ἐστὶν ἴση. Ορθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΔΕΖ. ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ : ὑπὸ ΔΒΖ. Καὶ ἔστιν ἡ ΒΖ ἐκὍαλλο- μΈένη διάμετρος, ἡ δὲ τῇ διαμέτρῳ τοῦ κύκλου πρὸς ὀρθὰς ἀπὶ ἄκρας ἀγομένη ἐφάπτεται καὶ τοῦ κὐκλου. ἡ ΔΒ ἄρα ἐφάπτεται τοῦ ΑΒΓ κύ- κλου. Ομοίως δὲ δειχθήσεται κἂν τὸ κέντρον ἐπὶ τᾶῆς ΑΓ τυγχάνῃ. Εὰν ἄρα κύκλου, καὶ τὰ ἐξῆς, |
AEZ angulo ABZ est æqualis. Rectus autem AEZ ; rectus igitur et ABZ. Et est BZ product diameter, ipsa vero diametro circuli ab ezxtre mitate ducta contingit et circulum ; ipsa 4, igitur contingit ABΓ circulum. Gimiliter autem ostendemus, et si centrum in AΓ sit, Si igitu extra circulum, etc. |
Si l’on prend un point quelconque hors d’un cercle, et si de ce point on mène deux droites dont l’une coupe ce cercle, et dont l’angle tombe sur ce cercle, et si le rectangle sous la sécante entière et la droite prise extérieurement entre ce point et la circonférence convexe est égal au quarré de la droite qui tombe sur ce cercle, la droite qui tombe sur le cercle sera tangente à ce cercle.
Hors du cercle ABΓ prenons un point quelconque ñ, et menons de ce point les deux droites ΔΓA, ΔB, que la droite ΔΓΑ coupe le cercle, et que la droite AB tombe sur le cercle ; que le rectangle sous ΑΔ, nT soit égal au quarré de AB ; je dis que la droite ΔΒ est tangente au cercle ABT.
Menons la droite ΔῈ tangente au cercle ΑΒΓ (17. 3) , prenons le centre du cercle ABr (1. 3) , qu’il soit Z ; joignons ZE, zZB, ΖΔ ; l’angle ΖΕΔ sera droit (18. 3) .
Puisque ΔΕ touche le cercle ΑΒγ, et que ΔΙΕΑ le coupe, le rectangle sous AΔ ΔΓ est égal au quarré de ΔE (36. 3) . Mais le rectangle sous ΑΔ, ΔΓ est égal au quarré de nB ; donc le quarré de est égal au quarré de 33 ; donc ΔE est égal à nB. Mais ZE est égal à ΖΒ, donc les deux droites ΔΕ, EZ sont égales aux deux droites ôB, BZ ; mais la base zr est commune ; donc l’angle ΔΕΖ est égal à l’angle ΔΒΖ (3. 1) - Mais l’angle ΔΕΖ est droit ; donc l’angle ΔΒΖ est droit aussi. Mais la droite ΒΖ prolongés est un diamètre, et une droite perpendiculaire au diamètre et menée d’une de ses extrémités est tangente au cercle (16. 3) . Donc la droite ûB est tangente au cercle ΑΒΓ. La démonstration serait la même si le centre était dans ΑΓ. Donc, etc.