Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 3/Proposition 36
C. F. Patris, (1, p. 239-242).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ λς. | PROPOSITIO XXXVI. |
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Εῶἷὄν κύκλου ληφθῇ τι σημεῖον ἐκτὸς, καὶ ἀπ αὐτοῦ πρὸς τὸν κύκλον προσπίπτωσι δύο εὐθεαι, καὶ ἡ μὲν αὐτῶν τέμνῃ τὸν χαύκλον. ἡ δὲ ἐράπτηται" ἔσται τὸ ὑπὸ ὁλης τῆς τεμνού- σης καὶ τῆς ἐκτὸς ἀπολαμξανομένης μεταξὺ |
Si extra circulum sumatur aliquod punctum, et ab eo in circulum cadant duæg rectæ, et una quidem earum secet circulum, altera vero con- tingat ; erit ipsum sub totà sccante et ipsá ex- terius sumpti inter et punctum et convexam
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τοῦτε σημεῖου καὶ τῆς κυρτῆς πϑθριφερείας πε- ριεχόμενον ὀρθογώνιον1 ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ἐφαπτο- μένης τετραγώνῳ. |
circumferentiam contentum rectangulum æquile ipsi ex contingente quadrato. |
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Κύκλου γὰρ τοῦ ΑΒΓ εἰλήφθω τι σημεῖον ἐκτὸς τὸ Δ, χαὶ ἀπὸ τοῦ Δ πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον προσ- πιπτέτωσαν δύο εὐθεῖαι αἱ ΔΡὕᾺ, ΔΒ. καὶ ἡ μὲν ΔΓΑ τεμνέτω τὸν ΑΒΓ κύκλον, ἡ δὰ ΔΒ ἐφαπτέ- σθω λέγω ὁτι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΒ τετραγῶνῳ. Η ἀρὰ ΔΓΑἱ ἥτοι διὰ τοῦ κέντρου ἐστίν, ἡ ου. |
Extra circulum ABΓ sumatur aliquod punc- tum &Δ, eta ad ABΓ cireulum ecadant du, reci ? AΓAR, AB, et ipsa quidem AΓÍ4A secet ABΓ ! circulum, ipsa vero AB contingat ; dico ipsum suh AΔ, ) Γ contentum rectangulum ? quale esse ipsi ex AB quadrato. Ipsa igitur AΓA ved per eentrum est, vel non. |
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Εστω πρότερον διὰ τοῦ κέγτρου, καὶ ἔστω τὸ Ζ κέντρον τοὺ ΑΒΓ κύκλου, καὶ ἐπεζεῤχθω ἡ ΖΒ ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΖΒΔ. Καλ. ἐπεὶ εὐθεῖα ἡ ΑΓ δίχα τέτμηται κατὰ τὸ Ζ, πρόσκειται δὲ αὐτῇ ἡ ΓΔ. τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓΘΆΘ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀσοὸ τῆς ΖΔ. Ιση δὲ ΖΓ τῇ 18. τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΙ μετὰ |
Sit prinum per centrum, et sit Z centrum ipsius ABΓ circuli, ei jungatur ZD ; rectus igi tur est ZBb. Etquoniam recta AΓ bifariam secta est in Z, adjicitur vero ipsi ipsa ΓΔ ; ipsum ig. tur sub AΔ, AΓ cum ipso ex ZΓ æquale est ipi ex Z&. æqualis autem ZΓ ipsi ZB ; ipsum ig- tursub AΔ, AΓ cum ipso ex ZB æquale est ipsi
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τοῦ ἀπὸ τῆς 2Β ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΖΔ. Τῷ δὲ ἀσὸ τῆς ΖΔ ἴσα ἐστὶ τὰ1λά ἀπὸ τῶν ΖΒ. ΒΔ, ὀρβὴ γὰρ ἡ ὑπὸ ΖΒΔϑ. τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ μέτὰ τοὺυ ἀπὸ τῆς ΖΒ ἰσὸν ἐστὶ τοῖς απὸ τῶν ΖΒ, ΒΔ. Κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΖΒ. λοι- σὸν ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΒ ἐφαπτομένης. |
ex ZΔ. Ipsi vero ex Z£d æqualia sunt ipsa exzB, BΔ, rectus enim ipseZB^ ; ipsum igitur sub AΔ, AΓ cum ipso ex ZB æquale est ipsis ex ZB, BΔ. Commune auferatur ipsum ex ZB ; reliquum igi- tur sub AΔ, AΓ æquale est ipsi ex AB contiu- gente. |
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Αλλὰ δὴ ἡ ΔΙΑ μὴ ἔστω διωα τοῦ κέντρου τοῦ ΑΒΓ κύκλου, καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τὸ 1, καὶ ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὴν ΑΓ κάθετος ἴἤχθω ἡ ΒΕΖ, καὶ ἐπεζεὐυχθωσαν αἱ ΕΒ, ΒΓ, ΒΔ. ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΕΖΔ. Καὶ ἐπεὶ εὐθεϊά τις διὰ τοῦ κέντρου ἡ ΕΖ εὐθεξάν τινα μὴ διὰ τοῦ κέντρου τὴν ΑΓ. πρὸς ὀρθὰς τέμνει, καὶ δίχα αὐτῆν τεμεῖἷ ἡ ΑΖ ἄρα τῇ 2Γ ἐστὶ » ἴση. Καὶ ἐπεὶ εὐθεῖα ἡ ΑΓ τέτμη- ται δῖχα κατὰ τὸ Ζ σημεῖονθ, πρόσκειται δὲ αὐτῇ ἡ ΓΔ. τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς 2Γ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ, τῆς ΖΔ. Κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ. τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ μετὰ τῶν ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΕ ἴσον7 ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΔΖ, ΖΕ. Αλλὰ τοῖς ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΖΕ |
Sed et AΓA non sit per centrum ipsius ABΓ circuli, et sumatur centrum E, et ex Ead AΓ perpendicularis ducatur EZ, et jungantur EB, EΓ, E^ ; rectus igitur est EZΔ. Et quoniam recta aliqua EZ per centrum rectam aliquam AΓ non per centrum ad rectos secat, et bifa- riam ipsam secabit ; AZ igitur ipsi ZÉ est æqua- lis. Et quoniam recta AΓ secatur bifariani in Z puucte, adjicitur vero ipsi ipsa ΓAó ; ipsum igitur sub AΔ, AΓ cum ipsoZΓ æquale est ipsi ex Zà. Communue addatur ex ZE ; ipsum igitur sub AΔB, . AΓ cum ipsis ex ΓZ, ZE æquale est ipsis ex AZ, ZE. Ged ipsis ex ΓZ, ZE æquale est ipsum ex EΓ, rectus enim EZΓ angulus ; ip-
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ἔσον τὸ ἀπὸ τῆς ΕΓ, ὀρθὼ γὰρ ἡ ὑπὸ ΕΖΓ γωνία. τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΔΖ, ΖΕ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΔϑ. τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΔ. Ιση δὲ ἡ ΒΓ τῇ ΕΒ. τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΒ |
sis autem ex AZ, ZE æquale est ipsum €x REÀ, Ipsum igitur sub AΔ, AΓ cum ipso ex EΓ q. quale est ipsi ex EΔ. JEqualis autem EΓ ipsi EB ; ipsum igitur AΔ, , AΓ cum ipso ex EB æ- quale est ipsi ex EΔ. Ipsi autem er E/ dqua. |
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ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΔ, Τῷ δὲ απὸ τῆς ΕΔ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΕΒ, ΒΔ, ὀρθή γὰρ ἡ ὑπὸ ΒΒΔ γωνία. κ τῷ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΒ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΕΒ, ΒΔ, καοινὸν ἀφηρησθω τὸ ἀπὸ τῆς ΕΒ » " λοιποὸν ἀρὰ Τὸ ὑπὸ τὼν ΑΔ, ΔΓΓ ἰσὸν ἐστὶ τῷ α΄πὸὺ τῆς ΔΒ. ξαν ἄρὰ κύυκλου, καὶ τὰ ἐξῆς. |
lia sunt ipsa ex EBR, BΔ, rectus enim EBΔan gulus ; ipsum igitur sub AΔ, AΓ cum ipso ex EB æquale est ipsis ex EB, BΔ. Cominune ui feratur ipsum ex EB ; reliquum igitur sub AΔ, AΓ æquale est ipsi ex AB. Si igitur extra cir- culum, etc. |
Si l’on prend un point quelconque hors du cercle, et si de ce point on mène deux droites dont lune coupe le cercle, et dont l’autre lui soit tangente, le rectangle compris sous la sécante entière et la droite prise extérieurement entre ce point et la circonférence convexe est égal au quarré de la tangente.
Hors du cercle ÂBΓ, prenons un point quelconque Δ, et de ce point menons les deux droites ΔΓΑ, nB ; que la droite ΔΓΑ coupe le cercle Αβγ, et que la droite δβ Jui soit tangente ; je dis que le rectangle compris sous ΑΔ ; ΔΙΓ est égal au quarré de ΔΒ, soit que la droite ÛΓΔ passe par le centre, qu non.
Qu’elle passe premièrement par le centre du cercle, et que Ζ soit le centré du cercle ΑΒΓ, joignons zB ; l’angle ΖΒΔ sera droit (18. 3) . Et puisque la droite AΓ est coupée en deux parties égales au point z, et que la droite Γ lui est ajoutée, le rectangle sous ΑΔ, ΔΓ, avec le quarré de Ζ2Γ, est égal au quarré de ΖΔ (6. 1) . Mais la droite zr est égale à la droite zB ; donc le rectangle sous AB, ΔΓ, avec le quarré de zB, est égal au quarré de ΖΔ. Mais les quarrés des droites ZB, BA sont égaux au quarré de ΖΔ (47. : ) , car lʼangle ΖΒΔ est droit ; donc le rectangle sous ΑΔ, ΔΓ, avec le quarré de zB, est égal aux quarrés des droites ΖΒ, ΒΔ. Retranchons le quarré commun de ΖΒ, le rectangle restant sous ΑΔ, AΓ ; sera égal au quarré de la tangente nB.
Mais que la droite ΔΓΑ ne passe pas par le centre du cercle ABΓ ; prenons le centre B, et du point E menons ΕΖ perpendiculaire à ΑΓ (12. 11, et joignons EB, EΓ, Eñ ; l’angle EZ4 sera droit. Et puisque : la droite EZ menée par le centre coupe à angles droits 1ὰ droite ΑΓ ΠΟη menée par le centre, la droite EZ coupe la droite aΓ. en deux. parties égales (J. 3) ; donc la droite 4Z est égale à la droite zt. Êt puisque la droite ΑΓ est coupée en deux parties égales au point Ζ, et que la droite ΓΔ lui est ajoutée, le rectangle sous les droites AB, AT, avec le quarré de 7T, est égal au quarré de ΖΔ (6. 2) . Ajoutons le quarré commun de ΖΕ ; le rectangle sous ΑΔ, AT, avec les quarrés des droites ΓΖ, ZE, sera égal aux quarrés des droites ΔΖ, ZE. Mais le quarré de ΕΓ est égal aux quarrés de ΓΖ, ZE (47. 1) , car l’angle EZT est droit, et le quarré de ΕΔ est égal aux quarrés des droites ΔΖ, ZE ; donc le rectangle sous ΑΔ, ΔΓ, avec le quarré de ΕΓ, est égal au quarré de Eñ. Mais EΓ est égal à EB ; donc le rectangle sous ΑΔ, ΔΙΠγ, avec le quarré de EB est égal au quarré de ΕΔ. Mais les quarrés des droites EB, ΒΔ sont égaux au quarré de ΕΔ (47- 1) , car l’angle ΕΒΔ est droit ; donc le rectangle sous ΑΔ, δΔΓγ, avec le quarré ΕΒ, est égal aux quarrés des droites EB, BA. Retranchons le quarré commun de EB, le rectangle restant sous ΑΔ, ΔΓ sera égal au quarré de ΔΒ, Donc, etc.