Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 6/Proposition 13
C. F. Patris, (1, p. 368-369).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ ιγʹ. | PROPOSITIO XIII. |
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Δύο δοθεισῶν εὐθειῶν, μέσην ἀνάλογον σροσ- εὑρεῖν. |
Duabus datis rectis, mediam proportiona, lem invenire. |
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Ἑστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι. , αὐ ΑΒ. - ΒΓ" δὲῖ δὴ τῶν ΑΒ, ΒΓ μέσην ἀνάλογον προσευρεῖν. |
Sint date due recte AB, Br ; oportet igitur ipsis AB, BIʼ mediam proportionalem Invenire, |
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Κείσθωσαν ἐπὶ εὐθείας. καὶ γεγράφθω επὶ τῆς ΑΓ ἡμικύκλιον τὸ ΑΔΙ. καὶ ἤχθω απὸ τοῦ Β σημείου τῇ ΑΤ εὐθείᾳ πρὸς ὀρθας ἡ ΒΔ) καὶ ἐπε- ζεύχθωσαν αἱ ΑΔ. ΔΙ. |
Ponantur in directum, et describatur super lpsáà AL semüicirculus AAT, et ducatur a 3 puncio ipsi AP recte ad rectos BA, et jun- gantur AA, AT. |
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Καὶ ἐπεὶ ἐεν Ἡμικυκλίῳ γῶνιω ἐστιν ἢ ὑπὸο ΑΔΙ. οΡθπ εἐστιν. Καὶ ἐπεῖὶ ἐν ορθογωνἷῳ τρι- γώνῳ τῷ ΑΔΙ ἀπὸ τῆς ορθῆς γωνίας ἐπὶ ΤῊΡ |
Et quoniam in semicirculo angulus est AAT, rectus cst. Et quoniam in rectangulo triangulo AAT a recto angulo ad basim per-
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βάσιν κάθετος ἧκται ἡΔΒʼ ἡ ΔΒ ἄρα τῶν τῆς βάσεως τμημάτων τῶν ΑΒ » ΒΓ μέση ἀνάλογόν ἐστιν. |
pendicularis ducta cst AB ; ipsa AB igitur inter basis segmenta AB, BTIʼ media propor- tionalis. est. |
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Δύο ἄρα δοθεισῶν εὐθειῶν τῶν ΑΒ. ΒΓ. μέση ἀνώλογον προσεύρεται ἢ ΒΔ. Οπερ εδὲ ; στοιῆσαι. |
Duabus igitur datis rectis AB, BP, media proporüonalis inventa est BA, Quod oportebat facere. |
Deux droites étant données, trouver une moyenne proportionnelle.
Soient AB, Br les deux droites données ; il faut trouver une moyenne proportionnelle entre AB, BΓ.
Plaçons ces droites dans la même direction, et sur la droite AT décrivons le demi-cercle AΔΓ ; du point B menons BA perpendiculaire à AT, et joignons AA ; AT (11. 1).
Puisque l’angle AAT est dans un demi-cercle, cet angle est droit (51. 3). Et puisque dans le triangle rectangle AAT on a mené de l’angle droit la droite ΔB perpendiculaire à la base, la droite AB est moyenne proportionnelle entre les segments AB, Br de la base (cor. 8. 6).
Donc les deux droites AB, BT étant données, on a trouvé une moyenne proportionnelle BΔ. Ce qu’il fallait faire.