Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 6/Proposition 14

Euclide

Les Éléments - Livre 6

Traduction par F. Peyrard.
C. F. Patris, 1814 (1, p. 369-371).

ΠΡΟΤΑΣΙΣ ιδʹ.	PROPOSITIO XIV.
Τῶν ἴσων τε καὶ ἰσογωνίωνὶ παραλληλογραμ- μὼν α » τιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἶσας γωνίας" καὶ ὧν ἰσογωνίων παραλληλογραμ- μων". ἀαντιπεπονθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἰσας γωνίας. ἴσα ἐστὶν εκεῖνα.	JÉqualiumque ct zquiangulorum parallelo- grammorum reciproca sunt latera, circa zqua- les angulos ; et quorum zquiangulorum paral- lelogrammorum reciproca sunt latera circa &-4 quales angulos, æqualia sunt illa.
Ἐστω ισὰ τε καὶ ἰσογωνια παραλληλογρᾶμ-	Sint æqualiaque et æquiangula parallelo-

μα τὰ ΑΒ. ΒΓ. ἴσας ἔχοντα τὰς πρὸς τῷ Β γωγίας. καὶ κείσθωσαν ἐπ εὐθείας αἱ ΔΒ. ΒΕ.	gramma AB, BD, : quales habentia ipsos ad B angulos, et ponantur in directum AB, BE,
ἐπ εὐθείας ο’ἕροι εἰσὶ καὶ αἱ 2ΖΒ. ΒΗ λέγω ὅτι τῶν ΑΒ. ΒΓ ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ, αἱ περὶ πὰς ἴσας γωνίας. τουτέστιν ὅτι ἐστὶν ὡς ἢ ΔΒ ’πρὀς τὴν ΒΕ οὕτως ἡ ἨΒ ’πʼρὄς τὴν ΒΖ.	in directum igitur sunt ct ZB, BH ; dico ip. sorum AB, BT reciproca esse latera circa iqua- les angulos, hoc est esse ut AB ad BEij HB ad BZ.
Συμπεπληρώσθω γάρ τὸ ΖῈ παραλληλόγραμμον.	Compleatur enim ZE parallelogrammum,

Ἐπεὶ οὖν ʼσὸν ἔοἷτἷ τὸ ΑΒ παραλληλόγραμμον τῷ ΒΓ παραλληλογράμμῳ. ἄλλο δὲ τι τὸ ΖΕ" ἐστὶν ἄρα ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΖῈ οὕτως τὸ ΒΓ πρὸς τὸ ΖΕ. Αλλʼ ὡς μὲν τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΖΕ οὕτως ἥ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΕ. ὡς δὲ τὸ ΒΓ πρὸς τὸ ΖῈ οὕτως ἡ ἨΒ ’πρὃς τὴν ΒΖ" καὶ ὡς ο’ι’ροι ἡ ΔΒ σρὸς τὴν ΒΕ οὕτως ἡ ἨΒ ʼπρὃς τὴν ΒΖ. Τῶν ΔΒ. ΒΓ ἀἄραΐ παραλληλογράμμων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ. αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας.	Et quoriam zmquale est AB parallelogram- nium ipsi BI parallelogrammo, aliud autem quoddam ZE ; est igitur ut AB ad ZE ila Br ad ZE, Sed ut AB quidem ad ZE ita A3 ad BE, ut vero BIʼ ad ZE ita HB ad BZ ; et ut igilur AB ad BE ita HB ad BZ. Ipsorum A2, BI igitur parallelogrammorum reciproca sunt latera, circa æquales angulos.
Αλλα δὴ ἀντιπεπονθέτωσαν αἱ πλευραὶ αἱ σπερὶ τὰς ἰσᾶς γωντίας, καὶ " ἐστῶ ὡς ἢ ΔΒ σρος	Sed et reciproca sint latera circa squile angulos, ei sit ut AB ad BE ita HB ad 32 ; dico
τὴν ΒΕ οὕτως ἡ ΗΒ ʼπρὃς τὴν ΒΖ" λξφω ὁτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒ παραλληλόγραμμον τῷ ΒΓ παραλλη- λογράμμῳ.	aequale esse AB parallelogrammum 1psi BD pa- rallelogrammo.
Ἐπεὶ γάρ ἔστιν ὡς ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒῈ οὕτως ἡ ΗΒ πρὸς τὴν ΒΖ, ἀλλ᾽ ὡς μὲν ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΕ οὕτως τὸ ΑΒ ποιροιλλκλο’γραμμον πρὸς τὸ ΖῈ παραλληλύόγραμμον. ὡς δὲ ἡ ΗἨΒ πρὸς τὴν ΒΖ οὕτως τὸ ΒΓ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΖῈ παρωλλπλὄγραμμονδʼ καὶ ὧς ο’ι’ρα τὸ ΑΒ ΄πρὄς τὸ ΖῈ οὕτως τὸ ΒΓ ʼπρὃς τὸ ΖΕ" ἔσον οἰ’ροι ἐστὶ τὸ γράμμῳ. Ἰὼν ἀρὼ ἰσῶν. καὶ τὰ εξπς.	Quoniam enim est ut AB ad BE ita HB ad BZ, sed ut ^B quidem ad BE ita AB paralle- logrammum ad ZE parallelogrammum, ut HB vero ad BZ ita BP parallelogrammum ad ZE pa- rallelogrammum ; et ut igitur AB ad ZE ita BT ad ZE ; equale igitur est AB parallelo- grammum ipsi BI parallelogrammo. Ergo æ qualium, etc.

PROPOSITION XIV.

Deux parallélogrammes étant égaux et équiangles, les côtés autour des angles égaux sont réciproquement proportionnels ; et les parallélogrammes équiangles dont les côtés autour des angles égaux sont réciproquement proportionnels, sont égaux entr’eux.

Soient AB, Br deux parallélogrammes égaux et équiangles, ayant deux angles égaux en B, plaçons BE dans la direction de 4B, la droite BH sera dans la direction de ZB (14. 1) ; je dis que les côtés des parallélogrammes 48, Br autour des angles égaux sont réciproquement proportionnels c’est-à-dire que AB est à BE comme HB est à BZ.

Achevons le parallélogramme ZE.

Puisque le parallélogramme AB est égal au parallélogramme Br, et que Z£ est un autre parallélogramme, AB est à ZE comme Br est à ZE (7. 5). Mas AB est à ZE comme AB est à BE (1. 6) ; et BT est à ZE comme HB est à F ; donc AB est à BE comme HB est à BZ (11. 5) ; donc les côtés des parallélogrammes AB, BIT autour des angles égaux sont réciproquement proportionnels.

Mais que les côtés adjacents aux angles égaux soient réciproquement proportionnels, c’est-à-dire que AB soit à BE comme HB est à BZ ; Je dis que le parallélogramme AB est égal au parallélogramme Br.

Puisque AB est à BE comme HB est à BZ, que AB est à BE comme le parallélogramme AB est au parallélogramme ZE (1. 6) , et que HB est à Bz comme le parallélogramme Br est au parallélogramme ZE, AB est à ZE comme Br est à ZE (11. 5) ; donc le parallélogramme 48 est égal au parallélogramme BT (9. 5) . Donc, etc.