SECTION SEPTIÈME.
Des Équations qui déterminent les Sections circulaires.
335. Parmi les accroissemens importans dont les travaux des
modernes ont enrichi les Mathématiques, les fonctions circulaires tiennent sans aucun doute le premier rang. Cette étonnante
espèce de quantités, à laquelle nous sommes conduits à chaque
instant dans des recherches qui y semblent tout-à-fait étrangères,
et du secours desquelles ne peut se passer aucune partie des Mathématiques, a occupé avec tant d’assiduité la pénétration des
plus grands géomètres, et ils en ont fait une théorie si vaste,
qu’on ne pouvait guère s’attendre qu’une partie de cette théorie,
partie élémentaire et pour ainsi dire placée à l’entrée, pût recevoir des accroissemens considérables. Je parle de la théorie des
fonctions trigonométriques, qui répondent aux arcs commensurables avec la circonférence, ou de la théorie des polygones réguliers, dont on ne connaît jusqu’à présent que la plus petite
partie, ainsi qu’on le verra par cette Section. Le lecteur pourrait s’étonner de rencontrer une semblable recherche dans un
ouvrage consacré à une doctrine qui paraît au premier abord absolument hétérogène ; mais l’exposition fera voir bien clairement
quelle est la liaison de ce sujet et de l’Arithmétique transcendante.
Au reste, les principes de la théorie que nous entreprenons
d’exposer, s’étendent bien plus loin que nous ne le faisons voir
ici ; ils peuvent en effet s’appliquer non-seulement aux fonctions
circulaires, mais aussi avec autant de succès à beaucoup d’autres
fonctions transcendantes, par exemple, à celles qui dépendent de
l’intégrale
et en outre à différens genres de congruences ;
mais comme nous préparons un Ouvrage assez étendu sur les fonctions transcendantes, et que dans la suite de ces Recherches arithmétiques nous traiterons amplement des congruences, nous
avons cru ne devoir considérer ici que les fonctions circulaires,
et même quoique nous pussions les embrasser dans toute leur généralité, nous les réduirons au cas le plus simple, comme on va
le voir dans le no suivant, tant dans le dessein d’abréger, que
pour rendre d’une intelligence plus facile les principes tout-à-fait
nouveaux de cette théorie.
336. Si nous désignons par
la circonférence du cercle, ou
quatre angles droits, que nous supposions entiers les nombres
et
et
égal au produit des facteurs premiers entre eux
l’angle
peut, par le no 310, être mis sous
la forme
![{\displaystyle A=\left({\frac {\alpha }{a}}+{\frac {\beta }{b}}+{\frac {\gamma }{c}}\ +\ {\text{etc}}.\right)P,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f03292cb6cbef575a53f1b877ec402aba742835)
et les fonctions trigonométriques qui en dépendent se déduiront,
par les méthodes connues, des fonctions correspondantes aux parties
Ainsi, comme on peut toujours prendre pour
des nombres premiers ou des puissances de nombres
premiers, il suffit évidemment de considérer la section du cercle
en parties dont le nombre est premier, ou une puissance d’un
nombre premier, et le polygone de n côtés se déduira sur-le-champ des polygones de
côtés. Cependant ici nous
bornerons nos recherches au cas où l’on doit diviser le cercle en
un nombre premier impair de parties. En effet, il est constant
que les fonctions circulaires qui répondent à l’angle
se déduisent de celles qui appartiennent à l’angle
par la solution
d’une équation du degré des premières on déduira, par une
équation de même degré, celles qui appartiennent à l’angle
de manière que, si l’on connaît déjà le polygone de
côtés, on
a nécessairement besoin de la résolution de
équations du
degré
pour obtenir le polygone de
côtés ; et même si nous
pouvions étendre notre théorie à ce cas, nous n’en serions pas
moins conduits au même nombre d’équations du degré
qui ne peuvent se réduire en aucune manière, si
est un nombre
premier.
Ainsi, par exemple, nous ferons voir plus bas que le polygone
de
côtés peut être construit géométriquement ; mais pour déterminer le polygone de
côtés, on ne peut éviter d’aucune
manière l’équation du dix-septième degré.
337. Tout le monde sait que les fonctions trigonométriques
des angles
,
désignant indéfiniment les nombres
,
,
, …
,
sont les racines d’une équation du degré
; ces équations sont :
pour les sinus,—
![{\displaystyle -{\frac {1}{64}}{\frac {n(n-4)(n-5)}{1.2.3}}x^{n-6}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15f033095db4243305996eb4ff2b46393c7f207b)
+ etc.
![{\displaystyle =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dc9e66de468806365c20e32e83456cc526ce29e)
….(I)
pour les-cosinus,—
![{\displaystyle +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406)
etc.
![{\displaystyle ={\frac {1}{2^{n-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f8a5d9c593e90679f52afcf4becaad1396d2e34)
…(II)
pour les-tangentes,—
Ces équations, qui sont toutes vraies quand
est impair (la seconde l’est même quand
est pair), se réduisent facilement au
degré
, en faisant
, savoir, pour la première et la
troisième, en divisant par
et posant ensuite
; quant à
la seconde, elle renferme nécessairement la racine
,
et les autres sont égales deux à deux,
,
, etc. Donc l’équation est divisible par
et le quotient est un quarré. En extrayant la racine, l’équation
devient
![{\displaystyle \textstyle +{\frac {1}{32}}{\frac {(m-1)(m-4)}{1.2}}x^{m-5}-}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5771c6ce313a17682e2843367b636822c2f634a)
etc.
![{\displaystyle =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dc9e66de468806365c20e32e83456cc526ce29e)
,
dont les racines sont les cosinus des angles
,
,
, …
.
On ne connaissait pas jusqu’à présent de réductions ultérieures
de ces équations, même pour le cas où
est un nombre premier.
Cependant aucune de ces équations n’est si commode à traiter,
ni se prête tant à notre dessein, que l’équation
, dont on sait que les racines sont intimement liées avec les racines des premières. En effet, si l’on représente par
la quantité imaginaire
, les racines de l’équation
sont représentées
par la formule
![{\displaystyle \cos {\frac {KP}{n}}+i\,\sin {\frac {KP}{n}}=r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/345884636c874eaac63711d05307ea0f460656a4)
,
où l’on doit prendre pour
tous les nombres
,
,
,…
;
ainsi, comme on a
![{\displaystyle {\frac {1}{r}}=\cos {\frac {KP}{n}}-i\,\sin {\frac {KP}{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/556408f9cf45da90d37a7dcaf931028943b958ff)
,
les racines de l’équation (I) seront exprimées par
![{\displaystyle {\frac {1}{2i}}\left(r-{\frac {1}{r}}\right),\quad {\text{ou}}\quad {\frac {i\left(1-r^{2}\right)}{2r}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba32f51b43a180566ab71f2286baad15c1028652)
;
celles de l’équation (II) par
;
celles de l’équation (III) par
.
C’est pourquoi nous établirons nos considérations sur l’équation
, en supposant que
soit un nombre premier impair ; mais pour ne pas interrompre l’ordre de nos recherches, nous commencerons par le lemme suivant.
338. Problème. Étant donnée l’équation (W)…
trouver une équation (W'), dont les racines soient les puissances
de celles de l’équation (W),
étant un nombre entier positif donné.
Désignons les racines de l’équation (W) par
,
,
, etc., celles de l’équation (W') devront être
,
,
, etc. Or, par le théorème de Newton, on peut trouver en fonction des coefficiens de l’équation (W), la somme des puissances quelconques des racines
,
,
, etc. ; on cherchera donc les sommes
![{\displaystyle a^{\lambda }+b^{\lambda }+c^{\lambda }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6308735b899e268e8e7e46d78133fcdea0ae6c9d)
,
——![{\displaystyle a^{2\lambda }+b^{2\lambda }+c^{2\lambda }+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/912cb6fd6a1ee9f9c912d0feb4196b59791324c8)
etc., etc.,
jusqu’à
etc.,
d’où par le procédé inverse tiré du même théorème, on pourra
déduire les coefficiens de l’équation (W’). On voit en même temps
que si les coefficiens de l’équation (W) sont tous rationnels, ceux
de l’équation (W’) le seront aussi ; on pourrait même prouver par
une autre voie, que si les premiers sont entiers, les autres le seront ; mais comme ce théorème ne nous est pas nécessaire, nous
ne nous y arrêterons pas ici.
339. L’équation
(en supposant, comme il faut toujours le faire par la suite, que
est un nombre premier impair),
ne renferme qu’une seule racine réelle
; les
autres,
qui sont donnés par l’équation
![{\displaystyle x^{n-1}+x^{n-2}+\,{\text{etc.}}\,+x+1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c6cf7c57d322abfacfc672096077b12ffafe516)
…………(X)
sont toutes imaginaires ; nous en désignerons l’ensemble par
. Si
donc
est une racine quelconque de
, on aura
![{\displaystyle 1=r^{2}=r^{2n}=\,{\text{etc.}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a65e29a445070469fff946e0e40c61c29b683ce)
et généralement
![{\displaystyle \,1=r^{en}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b549a63d19996d3b0b8d71bd52df17a384494589)
pour toute valeur entière de
, soit positive, soit négative. D’où l’on voit que si
et
, sont des nombres entiers congrus suivant
, on aura
; mais si
et
sont incongrus suivant le module
,
et
seront inégaux. Dans ce cas, on peut déterminer un nombre entier
, tel qu’on ait
![{\displaystyle (\lambda -\mu )\nu \equiv 1{\pmod {n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33666a50743a2d257f405a4ae4215cfb765e6604)
et partant,
![{\displaystyle r^{(\lambda -\mu )\nu }=r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6e68a4a507d56f32033157dc53c65b66201cf66)
;
donc
ne sera certainement pas
: or il est clair que
toute puissance de
est racine de l’équation
; parconséquent comme toutes les quantités
,
,
,
,…
sont différentes, elles représentent toutes les racines de l’équation
, et
,
…
coïncident avec les racines
On conclut facilement de là que
coïncide avec
,
,
…
,
étant un entier quelconque, positif ou négatif, et non-divisible par
. On aura parconséquent
![{\displaystyle X=(x-r^{e})(x-r^{2e})(x-r^{3e})+\ldots \ldots +(x-r^{(n-1)e})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03669155034fceeee4f9862799d5eaecc9129bed)
;
d’où........
|
|
|
|
et.............
|
|
|
|
Nous appellerons réciproques deux racines telles que
et
, ou
plus généralement
,
, et il est clair que le produit des
deux facteurs simples
et
est
![{\displaystyle x^{2}-2x\,\cos \omega +1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2f8207b95d60bf875f59c80f0a23a7d512bd20b)
,
l’angle
étant
, ou à un de ses multiples.
340. Ainsi, comme en représentant une racine de
par
, toutes les racines de l’équation
sont exprimées par les différentes puissances de
, le produit de plusieurs d’entre ces racines pourra être exprimé par
, de quelque manière qu’il soit composé,
étant
, ou positif et
; et si l’on désigne par
une fonction algébrique rationnelle et entière des indéterminées
,
,
, etc., dont les différens termes soient de la forme
etc., il est évident, qu’en prenant pour
,
,
, etc. quelques-unes des racines de l’équation
,
par exemple,
,
,
, etc .;
pourra être mise sous la forme
![{\displaystyle A+A'r+A''r^{2}+A'''r^{3}+......+A^{\nu }r^{n-1}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/302afc720ed5cc1db78b5b71e8deba0edc8d0910)
de manière que les coefficiens
,
, etc. (dont quelques-uns peuvent être = 0), soient des quantités déterminées ; et tous ces coefficiens seront entiers, si tous ceux qui sont représentés indéfiniment par
sont des nombres entiers. Si ensuite l’on substitue
,
,
… pour
,
,
… respectivement, le terme tel que
… qui se réduisait à
, se réduira par la nouvelle
substitution, à
, desorte que l’on aura
![{\displaystyle \varphi (a^{2},b^{2},c^{2}...)=A+A'r^{2}+A''r^{4}+A'''r{6}+......+A^{\nu }r^{2n-2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a072ec38c8993054039f203b11111ed47c8f5b0)
On aura de même en général,
étant un nombre entier quelconque
![{\displaystyle \varphi (a^{\mu },b^{\mu },c^{\mu }...)=A+A'r^{\mu }+A''r^{2\mu }+A'''r^{3\mu }+...+A^{\nu }r^{(n-1)\mu },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31ec93f1526588d6de7338d2801c22beeaa28e9d)
proposition extrêmement importante, et qui sert de base aux recherches que nous allons faire.
Il suit de là que
![{\displaystyle \varphi (1,1,1,...)=\varphi (a^{n},b^{n},c^{n})=A+A'+A''...+A^{\nu },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd3527a8b01c2ece4b9ab0112d7d2206e0b2510e)
et que
![{\displaystyle \varphi (a,b,c)+\varphi (a^{2},b^{2},c^{2})+\ {\text{etc}}.\ +\varphi (a^{n},b^{n},c^{n})=nA.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5992b8adc8d18bfa7535cf13efdbc549d44717bf)
Ainsi cette somme est toujours divisible par
quand tous les coefficiens déterminés (tels que
), dans
sont des nombres entiers.
341. Théorème. Si la fonction
(no 339) est divisible par une fonction d’un degré inférieur
![{\displaystyle \mathrm {P=x^{\lambda }+Ax^{\lambda -1}+Bx^{\lambda -2}+\,{\text{etc.}}\,+Kx+L} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb1f1b9b5a1584d2aecade3d94fb79a1a6a5c1a7)
les coefficiens
ne peuvent pas être tous entiers ni rationnels.
Soit
, (π) l’ensemble des racines de l’équation
, (χ) l’ensemble des racines de l’équation
, ensorte que Ω soit composé de (π) et de (χ) ; soit encore (ϱ) l’ensemble des racines réciproques aux racines (π), et (σ) l’ensemble des racines réciproques aux racines (χ), et supposons que les racines contenues dans (ϱ) soient données par l’équation
, qui sera évidemment
![{\displaystyle x^{\lambda }+{\frac {K}{L}}x^{\lambda -1}+\ {\text{etc}}.\ +{\frac {A}{L}}x+{\frac {1}{L}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bf79e11c515fa84c57ff1b61a922a80666c80c6)
tandis que les racines contenues dans (σ) seront données par
l’équation
. Il est manifeste que les racines (ϱ) et (σ) prises ensemble composent Ω, et qu’ainsi l’on aura
. Cela
posé, nous avons quatre cas à distinguer :
1o. Quand (π) coïncide avec (ϱ) et qu’on a parconséquent
. Dans ce cas les racines (π) seront réciproques deux à deux, et parconséquent
est le produit de
facteurs doubles tels que
![{\displaystyle x^{2}-2x\,\cos \omega +1=(x-\cos \omega )^{2}+\sin ^{2}\omega ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db207bf1516900b2982966cc1434527c06a65e6a)
d’où il suit que quel que soit
, pourvu qu’il soit réel,
obtiendra une valeur réelle positive. Soient
![{\displaystyle P'=0,\quad P''=0,\quad P'''=0,\dots P^{\nu }=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f4debaa7c33fef610230ad2c8fd4d552d9e8e65)
les équations qui donnent les quarrés, cubes, biquarrés, etc.,
puissances, des racines (π), et
…
les valeurs
de
…
respectivement, quand on y fait
par
ce qui a été dit précédemment
seront des quantités réelles et positives. Or
est la valeur qu’obtient la fonction
![{\displaystyle (1-t)(1-u)(1-v)\,{\text{etc.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a5034226314b8691a1e16d726f64681615dbf8b)
quand on y substitue pour
,
etc. les racines (π) ;
est
la valeur de cette même fonction, quand on substitue pour
etc. les quarrés de ces mêmes racines ; et d’ailleurs la valeur qui résulte de la supposition
etc., est évidemment
donc la somme
sera entière et divisible par
en outre on voit facilement que le produit
et partant
Maintenant si tous les coefficiens de
étaient rationnels, tous ceux de
etc. le seraient aussi, par le no 338, et par le no 42, ils seraient tous entiers ; donc
etc. le seraient ; comme d’ailleurs le produit de ces derniers nombres est
et que leur nombre est
plusieurs d’entre eux devraient
être égaux à
et les autres seraient égaux à
ou à une puissance de
Si donc il y en a
qui soient égaux à
on aura
![{\displaystyle p+p'+p''+\,{\text{etc}}.\,\equiv g{\pmod {n}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c871662e74ab13d04450619e1368d0c636b70b5f)
et partant non-divisible par
Donc la supposition ne peut subsister.
2o. Quand (π) et (ϱ) ne coïncident pas, mais contiennent
quelques racines qui leur sont communes, soit (τ) l’ensemble de
ces racines, et
l’équation qui les donnerait ; il suit de la théorie des équations que
sera le plus grand commun diviseur des fonctions
et
Or il est évident que les racines comprises dans (τ) sont réciproques deux à deux, d’où l’on conclura par ce qui a été démontré précédemment, que tous les coefficiens de
ne peuvent être rationnels. Mais cela arriverait nécessairement si tous les coefficiens de
et partant ceux de
étaient rationnels, comme on peut le voir par la nature de l’opération par laquelle on cherche le plus grand diviseur commun ; donc cette supposition est absurde.
3o. Quand (χ) et (p) coïncident, ou du moins renferment des
racines communes, on prouvera de la même manière, que tous
les coefficiens de
ne peuvent pas être rationnels ; or ils le seraient nécessairement si ceux de
l’étaient ; donc cette dernière supposition est impossible.
4o. Si enfin il n’y a aucune racine commune ni à (π) et (ϱ),
ni à (χ) et (σ), toutes les racines (π) coïncideront nécessairement
avec les racines (σ), et les racines (χ) avec les racines (ϱ),
et partant on aura
,
; donc
![{\displaystyle \textstyle X=PQ=PR}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1474bf0dad833eb544070621f3cb07673c5fab9)
![{\displaystyle \textstyle =\left(x^{\lambda }+Ax^{\lambda -1}+\dots +Kx+L\right)\left(x^{\lambda }+{\frac {K}{L}}x^{\lambda -1}+\dots +{\frac {A}{L}}x+{\frac {1}{L}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3f25a79a21c6f18a4201ca6bca091a25b6c7d38)
d’où résulte, en faisant
![{\displaystyle nL=(1+A+\dots +K+L)^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a56b9a2acc331c1296315f5b125bda4089ca421e)
Or si tous les coefficiens de
étaient rationnels, ils seraient entiers (no 42), partant ceux de
le seraient aussi ; donc
, qui
devrait diviser l’unité, dernier terme de
, ne pourrait être que
, et il s’ensuivrait que
serait un quarré, ce qui est absurde, puisque
est un nombre premier.
Il suit évidemment de ce théorème, que, de quelque manière
que l’on décompose
en facteurs, les coefficiens, ou du moins une partie d’entre eux, sont irrationnels, et parconséquent ne peuvent être déterminés que par des équations qui passent le premier degré.
342. Le but de nos recherches, qu’il n’est pas inutile d’annoncer ici en peu de mots, est de décomposer
graduellement en un nombre de facteurs de plus en plus grand, et cela de manière à ce que les coefficiens de ces facteurs puissent être déterminés par des équations du degré le plus bas possible, jusqu’à ce que, de cette manière, on parvienne à des facteurs simples, ou aux racines Ω. Nous ferons voir que si l’on décompose le nombre
en facteurs entiers quelconques
,
,
, etc. (pour lesquels on peut prendre les facteurs premiers),
est décomposable en
facteurs du degré
, dont les coefficiens seront déterminés par une équation du degré
; que chacun de ces facteurs est décomposable en
facteurs du degré
, à l’aide d’une équation de degré
, etc. Desorte que
étant le nombre des facteurs
etc., la recherche des racines
est ramenée à la résolution de
équations des degrés
etc.
Par exemple, pour
, on a
; il faut résoudre quatre équations du second degré ; pour
, il faut en résoudre trois du second et deux du troisième.
Comme nous aurons souvent à considérer par la suite des
puissances de
dont les exposans sont eux-mêmes des puissances, et que ces sortes d’expressions se prêtent difficilement à l’impression, nous userons de l’abréviation suivante pour
,
,
, etc. Nous écrirons
,
,
, etc. et généralement
pour
,
étant
un nombre entier quelconque. Ces expressions ne sont pas entièrement déterminées, mais elles le deviennent lorsque l’on prend
pour
ou
une racine déterminée de
. Ainsi
et
seront en général égaux ou inégaux, suivant que
et
seront
congrus ou incongrus suivant le module
. En outre on a
![{\displaystyle [0]=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81c6b2fb4c2822be87aed0736dba535e53e61bea)
,
——-.![{\displaystyle [\lambda ].[\mu ]=[\lambda +\mu ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fcf312b596043230105af386e85ea793c84afed)
,
——![{\displaystyle [\lambda ]^{\mu }=[\lambda \mu ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9388c9a177c982c233cf67d03a2caf01a89ce68)
,
et …………
![{\displaystyle [0]+[\lambda ]+[2\lambda ]+[3\lambda ]+\,etc.\,+[(n-1)\lambda ]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d2b8c01786f86730ef9a8c8ea04fe6b7031fbb7)
, ou
![{\displaystyle n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)
,
suivant que
est non-divisible ou divisible par
.
343. Si, pour le module
,
est un de ces nombres que (Section III) nous avons appelés racines primitives, les
nombres
,
,
, …
seront congrus aux nombres
,
,
,…
suivant le module
, quoique l’ordre ne soit pas le même, c’est-à-dire que tout nombre de la première suite sera congru à un de ceux de la seconde. Il suit de là que les racines
![{\displaystyle [1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83021ecdd7307a04dbb7873affcaac031e7e935a)
,
——![{\displaystyle [g]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6545341f409fd77429f02ba8bb88e4445bc2002a)
,
——![{\displaystyle [g^{2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a19f2c6b4935849443394aad14dbd758355fd529)
.....
——![{\displaystyle [g^{n-2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e41b4078a4820717121329d0acd3bd57425a5f37)
,
coïncident avec
; et de même plus généralement
![{\displaystyle [\lambda ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a54ab3f6292bddd34e7098eb06759e9830394ec)
,
——![{\displaystyle [\lambda g]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8bdb35420ecde34b4951e654176abcd7f382cd7)
,
——![{\displaystyle [\lambda ]g^{2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ec2b5f99676a24de987b884d92cfd10446f7f67)
.....
——![{\displaystyle [\lambda g^{n-2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8aa37a692cf372d154ff739c6033f52c3d39bff)
coïncident avec
, si
est un nombre entier quelconque, mais non-divisible par
. Et comme on a
, on voit sans peine que les deux racines
,
sont identiques ou
différentes, suivant que
et
sont congrus ou incongrus suivant
le module
.
Si donc
est une autre racine primitive, les racines
,
……
coïncideront ainsi avec les racines
,
,…
, abstraction faite de l’ordre. Mais en outre, on prouve
facilement que si
est un diviseur de
, et qu’on pose
,
,
, les
nombres
![{\displaystyle [1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83021ecdd7307a04dbb7873affcaac031e7e935a)
,
——![{\displaystyle [h]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/495b120a49645594b0e587207059eb2391ecc8ac)
,
——![{\displaystyle [h^{2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f99b9cf6d74deea036a8d4744dfab3b89cf44c8)
.....
——![{\displaystyle [h^{f-1}],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ad8d64787fefeaf9355dab53f8d3bab9c21e51b)
sont congrus, suivant le module
, à ceux-ci :
![{\displaystyle [1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83021ecdd7307a04dbb7873affcaac031e7e935a)
,
——![{\displaystyle [H]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59d2226487b5eb5f8a607d7233b5825b05775db6)
,
——![{\displaystyle [H^{2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/465532329001b288820f07d147143f7aac78bc58)
.....
——![{\displaystyle [H^{f-1}],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c794681e0005f2a7ee9e55e5df95490183bc150)
sans avoir égard à l’ordre. Supposons en effet
, et soit
un nombre quelconque positif et
, et
le résidu
minimum de
, on aura
, donc
——ou
——![{\displaystyle H^{\mu }\equiv h^{\mu },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee961385aec9b098fc25e465ef7cdcf3e749e81d)
c’est-à-dire que tout nombre de la première suite
,
,
, etc. est congru à un de ceux de la seconde
,
,
, etc., et réciproquement.
Il suit de là évidemment qu’il y a identité entre les racines
![{\displaystyle [1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83021ecdd7307a04dbb7873affcaac031e7e935a)
,
-![{\displaystyle [h]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/495b120a49645594b0e587207059eb2391ecc8ac)
,
-![{\displaystyle [h^{2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f99b9cf6d74deea036a8d4744dfab3b89cf44c8)
.....
-
—et
— ![{\displaystyle [1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83021ecdd7307a04dbb7873affcaac031e7e935a)
,
-![{\displaystyle [H]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59d2226487b5eb5f8a607d7233b5825b05775db6)
,
-![{\displaystyle [H^{2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/465532329001b288820f07d147143f7aac78bc58)
.....
-![{\displaystyle [H^{f-1}],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c794681e0005f2a7ee9e55e5df95490183bc150)
ou plus généralement entre les racines
![{\displaystyle [\lambda ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a54ab3f6292bddd34e7098eb06759e9830394ec)
,
,
, ,…
—et
— ![{\displaystyle [\lambda ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a54ab3f6292bddd34e7098eb06759e9830394ec)
,
![{\displaystyle [\lambda H]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc79dfb8e1b174eb46081bf85e339ddd48e419d5)
,
![{\displaystyle [\lambda H^{2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c77630c9124ddb5ba1a85177250799b19eb7f1e2)
,…
![{\displaystyle [\lambda H^{f-1}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92dde2a425ffc220a6e3ebe0973947903580c92c)
.
Nous désignerons par
la somme de semblables racines, telle que
![{\displaystyle [\lambda ]+[\lambda h]+[\lambda h^{2}]+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8ab0d42275e26860ae907edab65b2aa587b2441)
, etc.
![{\displaystyle +[\lambda h^{f-1}]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c3e7808dbfad0e629c9981750b7d702195ed6bb)
et comme elle ne change pas, lorsque l’on prend pour
une autre racine primitive, elle doit être regardée comme indépendante de
, et l’ensemble de ces racines s’appellera période
, dans laquelle on ne considère pas l’ordre des racines[1].
Pour présenter une pareille période, il sera convenable de
réduire chacune des racines qui la composent à sa plus simple
expression, en remplaçant les nombres
,
,
, etc. par leurs résidus minima, suivant le module
; et si l’on veut, on peut
ordonner les termes de la période suivant la grandeur de ces
nombres.
Exemple. Pour
,
est racine primitive, et la période
est composée des racines
de même la période
est composée des racines
la période
coïncide avec la précédente, et la période
contient les racines
344. On remarquera, au sujet de ces périodes, les observations suivantes, qui se présentent d’elles-mêmes :
1o. Comme on a
, il est
évident que les périodes
![{\displaystyle (f,\lambda ),\quad (f,\lambda h)\quad (f,\lambda h^{2}),\,{\text{etc.}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c165075f80569bb68bda17d271dfeec00f96be7d)
sont composées des mêmes racines, et généralement si
est une racine quelconque de
, cette période sera identique
avec
. Donc deux périodes, de même nombre de termes (que nous nommerons périodes semblables), seront identiques, si elles ont une seule racine commune, et parconséquent il est impossible que de deux racines contenues dans une certaine période, il ne s’en trouve qu’une seule dans une période semblable :
et il est clair que si les racines
,
appartiennent à la même période, la valeur de l’expression
sera congrue à une certaine puissance de
, ou que l’on peut supposer
.
2o. Si
, on a
, et la période
coïncide avec
; mais dans les autres cas
sera composé des
périodes
, et comme ces périodes sont toutes différentes entre elles, il est clair que toute autre période semblable
coïncide avec l’une d’elles,
pourvu que
soit une des racines
c’est-à-dire, que
ne
soit pas divisible par
Quant à la période
ou
elle est évidemment composée de
unités. On voit même que si
est un nombre quelconque non-divisible par
l’ensemble des
périodes
![{\displaystyle (f,\lambda )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e69a3a8b5cfdfef3d44c51b79648e71ee8221ce4)
,
——![{\displaystyle (f,\lambda g)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12819c1e21f4df707a00a27c0200879443150400)
,
——![{\displaystyle (f,\lambda g^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a6e2f5b922d53704350d5fa713cea74c87239a7)
,
——![{\displaystyle (f,\lambda g^{3})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c43b34ada4c6266963951f462f6f1217b6e0eb5)
,…
——![{\displaystyle (f,\lambda g^{e-1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9149f3b4ec0fa3975f2c3d066802c12eb81d376)
coïncide encore avec
Ainsi, par exemple, pour
et
est composé des trois périodes
à une desquelles toute autre semblable, excepté
peut être ramenée.
3o. Si
est le produit des trois nombres positifs
il est évident que toute période de
termes est composée de
périodes dont chacune a
termes, c’est-à-dire que
est composée des périodes
![{\displaystyle (c,\lambda )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40d19c3d687ac4ed3c8689e87d2fc82715823e7e)
,
——![{\displaystyle (c,\lambda g^{a})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1e4b0a732d0f6491c8e8e677a1a8a149aa17fc3)
,
——![{\displaystyle (c,\lambda g^{2a})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/866e7d7eeec207bd338a3e5c048a0635a6486d33)
,…
——![{\displaystyle (c,\lambda g^{ab-a})\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11ad4d1d7e2eec17b1a3ac0fd32170b6f102435b)
c’est pourquoi nous dirons que ces dernières sont contenues dans
Ainsi, pour
la période
est composée des trois
dont la première contient les racines
la seconde,
la troisième,
345. Théorème. Soient
deux périodes semblables, identiques ou différentes, et
etc. les racines qui composent
le produit de
par
sera la somme de
périodes semblables, c’est-à-dire,
![{\displaystyle =(f,\lambda +\mu )+(f,\lambda '+\mu )+(f,\lambda ''+\mu )+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1c273b1aa1d386b4068c0dbade12ec41f504959)
, etc.
![{\displaystyle =W.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5aa292347aecfda2bb8ada24664034d76bda0d19)
.
Soit comme plus haut
une racine primitive pour le module
et
on aura par ce qui précède
![{\displaystyle (f,\lambda )=(f,\lambda h)=(f,\lambda h^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/302a25c29eebe50de7f023024d3729c588c59973)
, etc. ;
le produit cherché sera donc
![{\displaystyle [\mu ].(f,\lambda )+[\mu h].(f,\lambda h)+[\mu h^{2}].(f,\lambda h^{2})+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fbf1bae85f838b326db0ad0d42389ceae1851d8)
, etc.,
et partant
Cette expression contiendra en tout
racines, et si l’on prend séparément la somme de chaque colonne verticale, on trouve que la somme totale est, comme nous l’avons annoncé, égale à
![{\displaystyle =(f,\lambda +\mu )+(f,\lambda h+\mu )+(f,\lambda h^{2}+\mu )+...+(f,\lambda h^{f-1}+\mu )\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6271fc4d1f069a775b473a76a1d8f698beaeb9d)
or
etc., suivant le module
, et partant
![{\displaystyle \lambda '+\mu \equiv \lambda h+\mu ,\,\lambda ''+\mu \equiv \lambda h^{2}+\mu ,+\,{\text{etc.}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf9bba0b3ea7fe51aa15bc0ac8e4b17c5f5782e5)
Nous joindrons à ce théorème les corollaires suivans :
1o.
étant un nombre entier quelconque, le produit de
par
est
![{\displaystyle \left(f,k(\lambda +\mu )\right)+\left(f,k(\lambda '+\mu )\right)+\left(f,k(\lambda ''+\mu )\right)+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d2c35f50d6c37fd82105577eb872be6a381d68e)
etc.
2o. Comme les différentes parties qui composent
coïncident évidemment avec
, ou avec une des périodes
![{\displaystyle (f,1),\quad (f,g),\quad (f,g^{2})\dots (f,g^{e-1}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d27c34f711a3d5520a03226efad773976522f693)
il est évident que
peut se ramener à la forme suivante :
![{\displaystyle W=af+b(f,1)+b'(f,g)+b''(f,g^{2})+\,{\text{etc.}}\,+b^{(\sigma )}(f,g^{e-1}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b41dd7141d66882d723a64e6d8583442f2cf309e)
où les coefficiens
,
,
, etc. sont entiers et positifs ou quelques-uns
; et en outre, que le produit de
par
devient alors
![{\displaystyle af+b(f,k)+b'(f,gk)+b''(f,g^{2}k)+\,{\text{etc.}}\,+b^{(\sigma )}(f,g^{e-1}k).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34ea0e8b1a4134ad0940780dfae98a56f2437432)
Ainsi, pour
, le produit de la somme
par elle-même, ou le quarré de cette somme, est
![{\displaystyle (6,2)+(6,8)+(6,9)+(6,12)+(6,13)+(6,19),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/939af060d9e5aeda658fbf04c015ef87fc95b69f)
ou…………
![{\displaystyle (6,2)+2(6,1)+(6,2)+2(6,4).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb4c50e99ecb8e00463023097916b3d8817ecb09)
3o. Comme le produit de chacun des termes de
par une
période semblable
peut être ramené à une forme analogue, il est évident que le produit
peut être représenté par
![{\displaystyle cf+d(f,1)+d'(f,g)+\,{\text{etc}}.\,+d^{(\sigma )}(f,g^{e-1}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba87a377594788f7d8db632b06ceb3543c8552bd)
, etc. étant tous entiers et positifs, et qu’en outre, si
est entier, on a
![{\displaystyle (f,\lambda k).(f,\mu k).(f,\nu k)=cf+d(f,k)+\,{\text{etc}}.+\,d^{(\sigma )}(f,g^{e-1}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ec645d17e8ad976ba3f2d47d62589f299e64ac6)
On étendra de la même manière ce théorème aux produits de
tant de périodes semblables qu’on voudra, et il importe peu
que ces périodes soient toutes différentes, ou en partie différentes, et en partie identiques, ou même toutes identiques.
4o. Il suit de là que si dans une fonction algébrique rationnelle et entière
on substitue pour les indéterminées
respectivement, les périodes semblables
la valeur de cette fonction est
toujours réductible à la forme
![{\displaystyle A+B(f,1)+B'(f,g)+B''(f,g^{2})\dots +B^{(\sigma )}(f,g^{e-1}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/626ba75fe91741d7cc90adfa4811ec0550036326)
et que les coefficiens
seront tous entiers, si les coefficiens de la fonction
le sont eux-mêmes. Si ensuite on
substitue pour
respectivement les périodes
,
la valeur de
sera de la forme
![{\displaystyle A+B(f,k)+B'(f,kg)+\,{\text{etc.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2516e8ca24ed06f1afec8af14552165ae9763f4)
346. Théorème. Si l’on suppose que
est un nombre non-divisible par
et que pour abréger on fasse
toute autre période semblable
où
est aussi non-divisible par
peut être mise sous la forme
![{\displaystyle \mathrm {\alpha +\beta p+\gamma p^{2}+\,{\text{etc.}}\,+\theta p^{e-1}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/484c35a6bfde83f843f6396c989cfb2adc31b889)
de manière que les coefficiens
soient rationnels et déterminés.
Désignons par
les périodes
jusqu’à
dont le nombre est
et avec une desquelles
coïncidera nécessairement. On aura sur-le-champ
l’équation
![{\displaystyle 0=1+p+p'+p''+p'''+\,{\text{etc}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2221856c0978417f4ed6f3401f8c0e9bbaa3746)
………(I),
et en formant, d’après le no précédent, les puissances de
jusqu’à
on aura les
autres équations
où tous les coefficiens
sont entiers et indépendans de
ainsi qu’on peut le conclure du no précédent ; c’est-à-dire, que les mêmes équations auront lieu
quelle que soit la valeur que l’on donne à
cette remarque s’étend à l’équation (I), pourvu que
ne soit pas divisible par
Supposons maintenant
si
était égale à une autre des périodes
,
il est évident que l’on pourrait
employer des raisonnemens analogues. Comme le nombre des
équations (I), (II), (III), etc. est
, les quantités
dont le nombre est
pourront être éliminées de manière à
ce qu’on ait une équation telle que
![{\displaystyle 0=A'+B'p+C'p^{2}+\,{\text{etc.}}\,+M'p^{e-1}+N'p'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ae54ee5c728ad046c5bf16a113693e4a51a0a8b)
………(Z),
dans laquelle
sont entiers et ne sont pas tous nuls à-la-fois. Or si
n’est pas
il est clair que cette équation donnera pour
une valeur de la forme annoncée ; ainsi il ne nous reste plus qu’à démontrer que l’on ne peut avoir
En supposant
l’équation Z devient
![{\displaystyle M'p^{e-1}+\,{\text{etc.}}\,+C'p^{2}+B'p+A'=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e73bf35e9422d0c376b0be7fa0d6ddd571ccb0f)
à laquelle ne peut satisfaire au plus qu’un nombre
de valeurs de
Mais comme les équations dont on a tiré Z sont indépendantes de
il est clair que l’équation Z elle-même ne dépend pas de
, c’est-à-dire qu’elle a lieu pour toute valeur
de
entière et non-divisible par
Cette équation sera donc satisfaite par les valeurs des
périodes
![{\displaystyle (f,1),\,\quad (f,g),\,\quad (f,g^{2}),\,\dots \,(f,g^{e-1}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00aa58b5cf5c6e7828d7c1d9b1dfd3aab4521627)
d’où il suivrait que les valeurs de deux de ces périodes au moins seraient égales entre elles. Supposons qu’elles contiennent respectivement les racines
![{\displaystyle [\zeta ],\,[\zeta '],\,[\zeta ''],\,{\text{etc.}},\,;\qquad [\eta ],\,[\eta '],\,[\eta ''],\,{\text{etc.}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c633c5cb9eaa5e66269218000c0e4450c02c3a5e)
et que les nombres
soient positifs
et
ce qui est permis ; il est évident qu’ils seront tous différens, et qu’aucun d’eux ne sera
Désignons par
la fonction
![{\displaystyle x^{\zeta }+x^{\zeta '}+x^{\zeta ''}+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33d6e2f916fa3fd44e875beaadd790aeb7b5e46d)
etc.
![{\displaystyle -x^{\eta }-x^{\eta '}-x^{\eta ''}-\,{\text{etc.}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46b843f964f88a1f1ae8ba034980e3ec1e991b81)
dont le terme le plus élevé ne surpassera pas
il est clair qu’on aurait
si l’on faisait
donc
contiendrait
le facteur
qui lui serait commun avec la fonction déjà désignée par
(no 339) : or il est facile de démontrer l’absurdité de cette dernière supposition. En effet, si
et
avaient un diviseur commun, il s’ensuivrait, par la nature de l’opération, qui
sert à chercher le plus grand commun diviseur de deux fonctions
semblables dont les coefficiens sont rationnels, que ce plus grand
commun diviseur aurait tous ses coefficiens rationnels ; car il est
d’ailleurs évident qu’il ne peut être du degré
puisque
est divisible par
Mais nous avons fait voir (no 341) que
ne peut être divisible par une fonction de degré inférieur à
dont les coefficiens soient rationnels, donc on ne peut supposer
que l’on ait
Exemple. Pour
et
on a
![{\displaystyle 0=1+p+p'+p'',\qquad p^{2}=6+2p+p'+2p'',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15093bbc6ac8f3f6eff97f81f8ae4d10843b4114)
d’où l’on tire ……
;
ainsi
![{\displaystyle (6,2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e3e6fb08c7fe2b5d33a81f7c479c7fa98897436) |
![{\displaystyle =4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bbe2072f480789d021eb04e8c224613042ef6b0) |
; |
—
|
![{\displaystyle (6,4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6613195022149d81836b4140f98c5b066f31504) |
![{\displaystyle =-5}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de805bfba07e219fba7fd83f2f2f4d537210b929) |
![{\displaystyle -(6,1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6406c626b6ecfa5487c4e54169152dd8a44e74cd) |
|
![{\displaystyle (6,4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6613195022149d81836b4140f98c5b066f31504) |
![{\displaystyle =4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bbe2072f480789d021eb04e8c224613042ef6b0) |
; |
—
|
![{\displaystyle (6,1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3e4b90c39fe377ca107acdf94f0ebd8a32de939) |
![{\displaystyle =-5}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de805bfba07e219fba7fd83f2f2f4d537210b929) |
|
|
![{\displaystyle (6,1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3e4b90c39fe377ca107acdf94f0ebd8a32de939) |
![{\displaystyle =4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bbe2072f480789d021eb04e8c224613042ef6b0) |
; |
—
|
![{\displaystyle (6,2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e3e6fb08c7fe2b5d33a81f7c479c7fa98897436) |
![{\displaystyle =-5}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de805bfba07e219fba7fd83f2f2f4d537210b929) |
|
.
|
347. Théorème. Si
est une fonction invariable[2] algébrique rationnelle et entière de
indéterminées
etc., et qu’en substituant à la place de ces indéterminées les
racines contenues dans la periode,
on ramène cette fonction à la forme
etc.
![{\displaystyle =\mathrm {W} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da6d057d1c3ad17c682162770a480c3b332d265e)
d’après ce qui a été dit (no 340) ; les racines qui, dans cette expression, appartiendront à une même période quelconque de
termes, auront des coefficiens égaux.
Soient,
deux racines qui appartiennent à une même période, et supposons
et
positifs et moindres que
il s’agit
de démontrer, que
et
auront dans
le même coefficient. Soit encore
et nommons
les racines contenues dans
où nous supposons
positifs et moindres que
soient enfin
les résidus minima positifs des nombres
suivant le module ![{\displaystyle n\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29fa02a86c74ebd7771bb02f441fd79ee6fe90ba)
seront évidemment identiques avec
si l’on ne fait pas attention à l’ordre. Or il suit du no 340, que la fonction
![{\displaystyle \varphi \{[\lambda g^{\nu e}],[\lambda 'g^{\nu e}],[\lambda ''g^{\nu e}],\dots \}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc8d6f8d3ea86601fa0a97d65b272645d606b97b)
(I)
peut être ramené à la forme
![{\displaystyle A+A'[g^{\nu e}]+A''[2g^{\nu e}]+{\text{etc. ou}}\quad A+A'[\theta ]+A''[\theta ']+{\text{etc.}}=W'\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db12b6ae3acb955b9cd8ac920879ee4d9ff0cc3e)
en désignant par
. les résidus minima des nombres
suivant le module
il est évident, d’après cela que
aura dans
le même coefficient que
dans
. Mais on voit sans peine que le développement de l’expression (I) donne le même résultat que le développement de l’expression
![{\displaystyle \varphi \{[\mu ],[\mu '],[\mu '']{\text{, etc.}}\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9da3ce4b9bca2e8a20872549cc5dc6105e7310db)
puisque
mais cette expression donne le même résultat que
![{\displaystyle \varphi \{[\lambda ],[\lambda '],[\lambda '']{\text{, etc.}}\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a46e0a19e52267a3512c007b5d3e2261af2dda7)
parceque les nombres
ne diffèrent des nombres
que relativement à l’ordre, qui n’influe en rien dans une fonction invariable ; donc
et
seront identiques, et partant
et
auront même coefficient dans
.
Il suit évidemment de là que
peut être ramené sous la forme
![{\displaystyle A+a(f,1)+a'(f,g)+a''(f,g^{2})+\,{\text{etc.}}\,+a^{(\epsilon )}(f,g^{e-1})\,:}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e8dd16cc194d9779223ecf43c0dc332d90617f5)
les coefficiens
,
seront entiers et déterminés, si tous
les coefficiens de
sont rationnels et entiers.
Ainsi, par exemple, si
,
et
et que la fonction
désigne la somme des produits des indéterminées prises deux à deux, sa valeur se ramène à
![{\displaystyle 3+(6,1)+(6,4).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/076dd441f30adc3a30753561348ffe680b7faca2)
De plus, il est facile de voir que si l’on substitue ensuite
pour
les racines d’une autre période
la
valeur de
devient
![{\displaystyle A+a(f,k)+a'(f,kg)+a''(f,kg^{2}),\,{\text{etc.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52aad8f4c8944f59c5dbe45b7b0e4621696df56b)
348. Comme dans toute équation
![{\displaystyle x^{f}-\alpha x^{f-1}+\beta x^{f-2}-\gamma x^{f-3}+\,{\text{etc}}.\,=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae9bd59608c7cff872230158eadbf7692285a8a5)
les coefficiens
, etc. sont des fonctions invariables des
racines, savoir,
la somme,
la somme des produits des racines prises deux à deux,
la somme des produits trois à
trois, etc. ; il en résulte que dans l’équation qui donne les racines contenues dans la période
, le premier coefficient sera
, et chacun des autres pourra être ramené à la forme
![{\displaystyle A+a(f,1)+a'(f,g)+a''(f,g^{2})+\,{\text{etc}}.\,+a^{(\epsilon )}(f,g^{e-1}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cabbaa1b72d5dda6f77d49560c2421074e7c07d6)
où
,
,
, etc. sont des entiers. D’ailleurs il est clair que l’équation qui donnerait les racines que contient toute autre période
se déduirait de celle-là, si dans chacun des coefficiens on substituait
pour
,
pour
,
et généralement
pour
. On pourra donc de cette manière assigner un nombre
d’équations
![{\displaystyle z=0,\qquad z'=0,\qquad z''=0,\qquad {\text{etc.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81cce25896ace22641aabc55ed4e4dd05fc812c9)
qui donneront respectivement les racines contenues dans les périodes
![{\displaystyle (f,1),\qquad (f,g),\qquad (f,g^{2}),\qquad {\text{etc.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8111dad0f491f8c163c7878bb53e8e734360e587)
aussitôt que l’on connaîtra les sommes
![{\displaystyle (f,1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/014ec0d5a39d78a35b19de5acba9297b77b8024a)
,
![{\displaystyle (f,g)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a230d05990654b0fdcc68c1987f0cc6a27ead28c)
,
![{\displaystyle (f,g^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6946c3e64946878f95f54d50e49b73342da72105)
, etc., ou même, que l’on en connaîtra une seule, puisque (
no 346), la valeur de chacune d’elles peut s’exprimer rationnellement en fonction d’une seule. Cela fait, la fonction
![{\displaystyle X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
sera décomposée en
![{\displaystyle e}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd253103f0876afc68ebead27a5aa9867d927467)
facteurs du degré
![{\displaystyle f\,:}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31728b63516f52cb29e9f2cc6c4884fcb219ada9)
le produit des fonctions
sera évidemment
Exemple. Pour
la somme de toutes les racines contenues dans la période est………………………………
|
|
|
la somme des produits deux à deux est………
|
|
|
la somme des produits trois à trois est…………
|
|
|
la somme des produits quatre à quatre est……
|
|
|
la somme des produits cinq à cinq est…………
|
|
|
le produit de toutes………………………………
|
|
|
donc l’équation
![{\displaystyle z=x^{6}-\alpha x^{5}+\beta x^{4}-\gamma x^{3}+\delta x^{2}-\epsilon +1=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d517ac873b6adea171dc3d77d9a836cc17f416e)
donnera toutes les racines contenues dans la période
Si, dans les coefficiens
,
,
, etc. on substitue
![{\displaystyle (6,2),(6,4),(6,1)\qquad {\text{pour}}\qquad (6,1),(6,2),(6,4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5bd9c3b8414ae368312ecdff312245e2b41ab73)
respectivement, il en résulte l’équation
qui donnera les racines contenues dans
si l’on fait dans celle-ci le même changement, on a l’équation
qui donnera les racines contenues dans
et le produit
sera égal à
349. Il est souvent plus commode, surtout quand
est un grand nombre, de déduire les coefficiens
des sommes des
puissances des racines. Il est évident que la somme des quarrés
des racines contenues dans
est
que la somme des cubes est
ainsi en faisant pour abréger,
![{\displaystyle (f,\lambda )=q,\quad (f,2\lambda )=q',\quad (f,3\lambda )=q'',\quad {\text{etc.}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e39c33dc76323ef31840780f6362177e7ab5647d)
on aura
![{\displaystyle \alpha =q,\quad 2\beta =\alpha q-q',\quad 3\gamma =\beta q-\alpha q'+q'',\quad {\text{etc.}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab26e8cee2cba9f54095188b63ad77936b82ddde)
expressions dans lesquelles on doit convertir sur-le-champ (no 345), les produits de deux périodes en sommes de périodes. Ainsi, dans notre exemple, si l’on fait pour abréger,
![{\displaystyle (6,1)=p,\quad (6,2)=p',\quad (6,4)=p'',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6914084474c30df9c9b7168a55e4bcaf75fd426a)
on trouve —
donc
![{\displaystyle \alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3) |
,
|
![{\displaystyle 2\beta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbd74eba3e136b73b2770f298e7708fae1a3b0a3) |
, |
, |
|
![{\displaystyle 3\gamma }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36eb9ef4bcb2fcbfeb17fe5a2e9a5c41ad9246bc) |
![{\displaystyle =(3+p+p'')p-pp'+p'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d62a789326fed329e0579adcbbb7a6f894eabedd) |
, |
|
![{\displaystyle 4\delta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f95bf585282b18daf4bf743db8b2f2a661d5f5a4) |
![{\displaystyle =(2+2p+p')-(3+p+p'')p'-p''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19339d1879b1d73ae3f24f1bc91b7afd1e109a45) |
, |
|
etc.
|
Au reste, il suffit de calculer de cette manière la moitié des coefficiens, car on prouve sans difficulté que les derniers sont égaux aux premiers dans l’ordre inverse, savoir le dernier
, l’avant-dernier
, l’antépénultième
, etc. ; ou qu’ils s’en déduisent en substituant pour
,
, etc., les périodes
,
, etc., c’est-à-dire
,
. Le premier cas a lieu quand
est pair, le second quand
est impair ; mais le dernier coefficient est toujours
. Cette propriété se tire du
théorème du no 79, mais nous sommes forcés de ne pas nous arrêter sur ce sujet.
350. Théorème. Si
est le produit de trois nombres entiers positifs
et que la période
qui a
termes, soit composée de
périodes
etc., dont chacune a
termes ; si de plus, en substituant les sommes
etc. à la place de
etc., dans une fonction
telle qu’au no 347, elle se réduit à
en supposant d’ailleurs que
soit une fonction invariable ; les périodes comprises dans
, qui appartiendront à une même période de
termes, c’est-à-dire, en général celles qui seront telles que
et
étant un entier quelconque, auront nécessairement les mêmes coefficiens.
La période
étant identique avec la période
,
les périodes plus petites
,
,
, etc. dont la première est évidemment composée, doivent coïncider avec celles qui composent la seconde, abstraction faite de l’ordre. Si donc on suppose que par la substitution de ces périodes à la place des indéterminées
,
,
, etc., le facteur
se change en
,
devra coïncider avec
. Mais (no 347) on a
![{\displaystyle W'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a7711e657a81de5a414d0228558c123784d8402) |
|
|
|
Ainsi, puisque cette expression doit coïncider avec
le premier coefficient de
(en commençant par
) devra être identique avec le
ème, le second avec le
ème, le troisième
avec le
ème, etc., et généralement les coefficiens des périodes
![{\displaystyle (\gamma ,\,g^{\mu }),\,(\gamma ,\,g^{\alpha +\mu }),\,(\gamma ,\,g^{2\alpha +\mu }),\dots \qquad (\gamma ,\,g^{\nu \alpha +\mu }),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ade3b543acaf5356de77703eff049da542d8e3b)
qui sont les
ème,
—
ème,
—
ème,...
—
ème
respectivement, devront être identiques.
Il suit de là évidemment que
peut être ramené à la forme
![{\displaystyle A+a(\beta \gamma ,\,1)+a'(\beta \gamma ,\,g)+\dots +a^{\epsilon }(\beta \gamma ,\,g^{\alpha -1}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc7e70e81e6e8bc8ffda9658af66569daec88733)
où tous les coefficiens
seront entiers, si tous ceux de
le sont. On voit en outre que si l’on substitue dans
à la place des indéterminées, les
périodes de
termes qui constituent une autre période de
termes, telle par exemple que
périodes qui sont
la valeur qui en résulte est
![{\displaystyle A+a(\beta \gamma ,\,k)+a'(\beta \gamma ,\,gk)+\dots +a^{\epsilon }(\beta \gamma ,\,g^{\alpha -1}k).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12cee7c1b9e777315880267f2c5c43444af516a6)
Au reste, il est clair que ce théorème s’étend aussi au cas où
c’est-à-dire, où
Alors tous les coefficiens de
sont égaux, et
se ramènera à la forme
![{\displaystyle A+a(\beta \gamma ,\,1).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6a023e7fbe0d4739de2f9c0d869771b50208d8e)
351. Ainsi, en conservant la notation du no précédent, on
conclura que les différens coefficiens de l’équation qui donnerait
les
sommes
peuvent être mis sous la forme
![{\displaystyle A+a(\beta \gamma ,\,1)+a'(\beta \gamma ,\,g)\dots +a^{\epsilon }(\beta \gamma ,\,g^{\alpha -1}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d155fde19245dc73542e470e6071cc02044fbe4)
et que les nombres
seront entiers. Or l’équation qui donnerait les
périodes de
termes qui composent une autre
période
, se déduira de la première, en remplaçant dans tous les coefficiens la période quelconque
par
Si donc
, les
périodes de
termes se détermineront par une équation de degré
, dont les coefficiens peuvent être mis sous
la forme
, et sont parconséquent des quantités connues. Si
, les coefficiens de l’équation dont les racines sont toutes les périodes de
termes contenues dans une période donnée de
termes, seront des quantités connues, dès que l’on connaîtra les valeurs numériques des périodes de
termes.
Au reste le calcul devient souvent plus facile, surtout quand
n’est pas un petit nombre, en calculant d’abord les sommes des puissances des racines, et en déduisant les coefficiens par le théorème de Newton, comme ci-dessus, no 349.
Exemple 1. On demande pour
, l’équation dont les racines sont les sommes
,
,
.
Désignons ces racines par
,
,
respectivement, et l’équation cherchée, par
![{\displaystyle x^{3}-Ax^{2}+Bx-C=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b2a29dd4e54975ed53f06852c8709ba1b3ba161)
on aura
![{\displaystyle A=p+p'+p''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ffe37dcf087f6b1769a3d92e32be98923f84dea)
,
—![{\displaystyle B=pp'+pp''+p'p''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebb69193be1ea94a3b31f9030afa8b740183907a)
,
—![{\displaystyle C=pp'p''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8582c8dba420516407d9ed41101180f3c589a831)
;
donc
or on a
donc ————
;
enfin
;
donc l’équation cherchée est
![{\displaystyle x^{3}+x^{2}-6x-7=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/910d9f2ae5c0ced18fbe77fa72e9c652ef4f3b83)
.
En employant l’autre méthode, nous avons
d’où……… |
![{\displaystyle p^{2}+p'^{2}+p''^{2}=18+5(p+p'+p'')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afb9c8282e822b447839ce8245a0465f5ee1c7c5) |
![{\displaystyle =13.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef6226a0517271b2606128aca044148f3aab27b2) |
|
De même… |
![{\displaystyle p^{3}+p'^{3}+p''^{3}=36+34(p+p'+p'')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c17cf44cf022f38f195f00902d3158d1234da3d) |
![{\displaystyle =2.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4931c53f4bb7b3e4537602aefcc5d2451081f8ea) |
|
De là, à l’aide du théorème de Newton, on tire la même équation que ci-dessus.
Exemple 2. On demande pour
, l’équation dont les racines sont les sommes
,
,
.
Désignons-les par
,
,
respectivement, on aura
donc en conservant la notation de l’exemple précédent, l’équation cherchée sera
![{\displaystyle x^{3}-px^{2}+(p+p'')x-2-p'=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06c138661d32b4d517311874a83c46b807f30fff)
.
L’équation dont les racines sont les sommes
,
,
contenues dans
, se déduit de la précédente, en substituant
,
,
pour
,
,
respectivement ; et en faisant encore une fois la même substitution, on obtient l’équation dont les racines sont les sommes
,
,
contenues dans
.
352. Les théorèmes précédens, avec leurs corollaires, contiennent
les bases principales de toute la théorie, et le moyen de trouver
les racines
peut s’exposer maintenant en peu de mots.
On doit, avant tout, prendre un nombre
qui soit racine primitive pour le module
, et trouver les résidus minima des puissances de
jusqu’à
. On décomposera
en facteurs, et même en facteurs premiers, si l’on veut réduire le problème à des
équations du degré le plus simple possible. Soient
,
,
,……
les facteurs de
, et soit fait
![{\displaystyle {\frac {n-1}{\alpha }}=\beta \gamma ......\zeta =a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/202706507bdab160cda6e71aa6057c353d0bf7bf)
,
————![{\displaystyle {\frac {n-1}{\alpha \beta }}=\gamma ......\zeta =b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb8ea5aff19565a4cdf5af12736a74862ada532d)
, etc.
On distribuera les racines
en
périodes de
termes ; chacune
de celles-ci en
périodes de
termes ; chacune de ces dernières en
périodes, etc. On cherchera, par le no 350, l’équation (A)
de degré
qui aura pour racines ces
sommes de
termes, sommes
dont on connaîtra les valeurs par la résolution de cette équation.
Mais il se présente ici une difficulté ; car on ne voit pas à quelles périodes on doit égaler chaque racine de l’équation
, c’est-à-dire, quelle est la racine qui doit être représentée par
, quelle est celle qui doit être représentée par
, etc. On remédiera à cet inconvénient de la manière suivante. On peut désigner par
, une racine quelconque de l’équation
;
en effet, comme une racine quelconque de l’équation
est la somme de
racines
, et qu’il est absolument indifférent que l’on ait représenté par
telle racine de
plutôt que telle autre,
on sera libre de supposer que
soit une des racines qui constituent une racine quelconque donnée de l’équation
, desorte qu’alors cette racine de l’équation
deviendra
. Mais la racine
n’est-pas encore par-là tout-à-fait déterminée, et le choix de celle des racines comprises dans
que nous prendrons pour
est absolument arbitraire. Au reste, une fois que
est déterminé, toutes les autres sommes de
racines peuvent en être
déduites rationnellement (no 346) ; d’où il suit qu’il n’y a qu’une racine de l’équation
qu’il soit nécessaire de trouver. On peut aussi employer pour faire cette distinction, la méthode suivante qui est moins directe. On prendra pour
une racine déterminée, c’est-à-dire, qu’on fera
![{\displaystyle [1]=\cos {\frac {kP}{n}}+i\,\sin {\frac {kP}{n}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/787285192b8df6442e9ab094dbbcb7d25fc21d5b)
l’entier
étant pris à volonté, pourvu qu’il ne soit pas divisible par
. Alors
,
, etc. indiquent des racines déterminées,
et parconséquent
,
, etc. Si par les tables des sinus on calcule ces quantités, seulement avec assez de précision pour pouvoir décider quelles sont les plus grandes et les plus petites, il ne restera plus de doute sur la distinction à faire entre les racines de l’équation
.
Quand on aura trouvé de cette manière les
sommes de
racines, on cherchera (no 350) l’équation
, dont les racines sont les
sommes de
termes contenues dans
; les coefficiens de cette équation seront des quantités connues. Comme il y a encore de l’indétermination dans le choix de celle des racines contenues dans
, que l’on désignera par
, toute racine de l’équation
peut être représentée par
, parceque l’on peut évidemment supposer qu’une des racines qui la compose soit désignée par
. On cherchera donc une racine quelconque de l’équation
par sa résolution ; on la supposera égale à
, et on en déduira, par le no 346, toutes les autres sommes de
racines. De cette manière, nous avons un moyen de vérifier le
calcul, puisque les périodes de
racines qui appartiennent à une même période de
termes, doivent produire des sommes que l’on connaît. Dans quelques cas, il est aussi expéditif de former les
autres équations de degré
, dont les racines sont respectivement les
différentes périodes de
termes contenues dans les autres périodes de
termes
,
, etc., et de chercher
par la résolution les racines de l’équation (B) et de ces différentes équations. Mais alors il faudra, comme plus haut, décider à l’aide de la table de sinus, à quelles périodes de
termes doivent être égalées les racines qui en résultent. Au reste, il existe encore pour cette détermination différens autres artifices, que nous ne pouvons pas expliquer ici complètement. On pourra seulement dans les exemples suivans, remarquer un de ces procédés, pour le cas où
, qui est le plus utile, et qui sera mieux connu par des exemples que par des préceptes.
Quand on aura trouvé de cette manière les valeurs de
périodes de
termes, on déterminera de même par des équations de degré
les
périodes de
termes, et cela par deux procédés : 1o. en formant (no 350) une équation du degré
dont les racines soient
les
périodes de
termes qui composent
, cherchant une des racines de cette équation, l’égalant à
, et déduisant de là
(no 346) toutes les autres périodes semblables ; 2o. en formant les
équations de degré
, dont les racines sont respectivement les
périodes de
termes qui sont contenues dans les différentes périodes de
termes, résolvant toutes ces différentes équations, et déterminant l’ordre des racines, comme plus haut, par les tables de sinus, ou comme dans les exemples suivans, si
.
En continuant de cette manière, on parviendra enfin nécessairement à connaître les
périodes de
termes. Cherchant donc par le no 348, l’équation de degré
qui donne le
racines de
contenues dans
, les coefficiens de cette équation seront des quantités connues ; et si l’on tire une seule racine par la résolution, en faisant cette racine
, ses puissances donneront toutes les racines
. Si on le préfère, on peut chercher toutes les racines de cette équation, et la résolution de
autres équations semblables, donnera toutes les racines
.
Au reste, il est clair que dès qu’on a résolu l’équation
, c’est-à-dire, dès qu’on a les valeurs des
périodes de
termes, on est parvenu à décomposer la fonction
en
facteurs de
dimensions ; de la résolution de l’équation
soit la décomposition de chacun de ces facteurs en
, et partant, celle de
en
facteurs de
dimensions ; etc.
353. Exemple 1. Pour
.
Comme on a ici
, la recherche des racines
doit pouvoir se ramener à la solution de deux équations du troisième degré et d’une du second. Cet exemple se comprendra d’autant plus facilement, que les opérations nécessaires sont contenues
pour la plus grande partie dans ce qui précède. En prenant
pour
la racine primitive
, on trouve
pour les puissances |
, |
, |
, |
, |
, |
, |
, |
, |
, |
, |
, |
, |
,
|
, |
, |
, |
, |
, |
|
les résidus minima |
, |
, |
, |
, |
, |
, |
, |
, |
, |
, |
, |
, |
, |
, |
, |
, |
, |
. |
|
De là, par les nos 344, 345, on déduit facilement la distribution suivante de toutes les racines
en trois périodes de six
termes, et de chacune de ces périodes en trois autres de deux
termes.
…… |
|
![{\displaystyle (6,1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3e4b90c39fe377ca107acdf94f0ebd8a32de939) |
|
![{\displaystyle (2,1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f035f80fd643b702206b4e4f9ed87d458a5826af) |
…… , |
![{\displaystyle [18]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad50bc04d13a65fe3181ecbc814a9a5a062e5650) |
|
![{\displaystyle (2,8)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02acdb61f21921e43e544989f0e0423fc6c7d2fa) |
…… , |
![{\displaystyle [11]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d426f0c2ea60bca9bd8523f49ed8c75aaebd6b6c) |
|
![{\displaystyle (2,7)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5d98ec22e597396059df5bac8fcc1f2b01d97b7) |
…… , |
![{\displaystyle [12]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bb78fb91ce38053821d154b651d89dcc21f2f5d) |
|
![{\displaystyle (6,2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e3e6fb08c7fe2b5d33a81f7c479c7fa98897436) |
|
![{\displaystyle (2,2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94d0ca163bd6ff9c2757666390d7a4c0ee7273b7) |
…… , |
![{\displaystyle [17]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0daf4af24ccc812987083f0549a73e4ede1f8748) |
|
![{\displaystyle (2,16)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57b9fb8c648e02c5dbb0275c84b9ff53123fa232) |
…… , |
![{\displaystyle [16]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/482b7dc46564f640d54d83aaf9ce06eea913d036) |
|
![{\displaystyle (2,14)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22e4736691a3d46f2b42e0a2b35289ddf668326d) |
…… , |
![{\displaystyle [14]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/256d678e21cd1f359c175f7ed6985787dce91d6f) |
|
![{\displaystyle (6,3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f272cdd319109f701788528a8e25e04f5ae2cee0) |
|
![{\displaystyle (2,4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79d7e5d868bec37d10c0a8a2ff7481eb5bb8d219) |
…… , |
![{\displaystyle [15]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ad996ea02765f49445be9d3869087ab728183de) |
|
![{\displaystyle (2,13)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7bf4dc5e426286c0cd88fe8477c3af5ec9e05f0) |
…… , |
![{\displaystyle [13]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1353e1024ff14952dd351e5cf7660375d5bd7123) |
|
![{\displaystyle (2,9)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc83b73dfa731c0d0ebfb98f6e36d781c8dee962) |
…… , |
. |
|
L’équation
dont les racines sont les sommes
,
,
se trouve être (Voy. no 351, ex. 1.)
![{\displaystyle x^{3}+x^{2}-6x+7=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef9a4c3d8ca5fc8da24ccc3003b25cd7a4e57f4f)
et une de ses racines
; en exprimant cette
racine par
![{\displaystyle (6,1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3e4b90c39fe377ca107acdf94f0ebd8a32de939)
, on trouve
![{\displaystyle (6,2)=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/560c950c0fd104c08f3847fabb93fa4b5cdc3164) |
![{\displaystyle 4-(6,1)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c96969a44f14c1921e505365e5e24428a6b3a447) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
, |
|
![{\displaystyle (6,4)=-}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92db11b2db35fc64f2d1d3e7b086f6a55bba3520) |
![{\displaystyle 5-(6,1)+(6,1)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67b9b7ddfd2944b4899274e0099f79064d8664fb) |
![{\displaystyle =-}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c11ee5143dfa298a5d7ce0e739cf0c88852f84a5) |
. |
|
Donc, si l’on substitue ces valeurs dans les formules du no 348, X sera décomposé en facteurs du sixième degré.
L’équation
, qui a pour racines les sommes
,
,
est (no 351, ex. 2),
![{\displaystyle x^{3}-(6,1)x^{2}+\{(6,1)+(6,4)\}x-2-(6,2)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3aa5801553e3a4aac02dccde2313d579ff9963e6)
ou
![{\displaystyle x^{3}+\ 1,2218761623\ x^{2}\ -\ 3,5070186441\ x-4,5070186441\ =\ 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf522c8ce62f54f299dce7ed6792d6f5c9a52b77)
On trouve pour une de ses racines
; nous
l’exprimerons par
, et si l’on fait pour abréger
on aura (no 346)
![{\displaystyle (2,2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94d0ca163bd6ff9c2757666390d7a4c0ee7273b7) |
|
![{\displaystyle (2,3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b31c93ba409b1d9834540d2a9fa66e8ab5a3d8dc) |
|
![{\displaystyle (2,4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79d7e5d868bec37d10c0a8a2ff7481eb5bb8d219) |
|
![{\displaystyle (2,5)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a94c81fce0078411311c7dfe221a9cdc6c6ccc9) |
|
![{\displaystyle (2,6)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9469e295eacf9382a1787e155526c7eb4edb7c28) |
|
![{\displaystyle (2,7)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5d98ec22e597396059df5bac8fcc1f2b01d97b7) |
|
![{\displaystyle (2,8)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02acdb61f21921e43e544989f0e0423fc6c7d2fa) |
|
![{\displaystyle (2,9)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc83b73dfa731c0d0ebfb98f6e36d781c8dee962) |
|
On peut, dans le cas actuel, trouver ces valeurs plus commodément, de la manière suivante :
Supposons
on aura
![{\displaystyle [18]=\cos {\frac {18kP}{19}}+i\,\sin {\frac {18kP}{19}}=\cos {\frac {kP}{19}}-i\,\cos {\frac {kP}{19}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/315adcc08fa1959bf268a22a2f057a2865a99591)
et partant
![{\displaystyle (2,1)=2\cos {\frac {kP}{19}}\,:}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a375817cfa87153eaf2656aa942027695dc6359)
on a de même en général,
![{\displaystyle [1]=\cos {\frac {\lambda kP}{19}}+i\,\sin {\frac {\lambda kP}{19}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b41a1dd4c524aca7ca81eb2e7ab86a86f86c13d7)
et partant
![{\displaystyle (2,\lambda )=[\lambda ]+[18\lambda ]=[\lambda ]+[-\lambda ]=2\cos {\frac {\lambda kP}{19}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bafdf2042f04efe062d65bf1287f858ba295df59)
Si donc
, il en résulte
![{\displaystyle (2,2)=2\cos 2\omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/060656335624dc03552880a3f1965b9abb7d3326)
,
—— ![{\displaystyle (2,3)=2\cos 3\omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e23cb2709f684b17121ec96f3727cbaf1305434)
,
——etc. ;
d’où, par les équations connues qui donnent les cosinus des arcs multiples, on tirera les mêmes formules que ci-dessus. Ces formules donneront les valeurs numériques suivantes :
![{\displaystyle (2,2)=-}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85baa34af20915119f01699e9b5b2f38676e6986) |
, |
—— |
![{\displaystyle (2,6)=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/978b498291694f12384c4e45dc6cc10e83bca2a2) |
,
|
![{\displaystyle (2,3)=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0518996f581d0b8001961f258ecd92b26163dcdc) |
, |
|
![{\displaystyle (2,7)=-}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f6d3e6f3f09808d6ce30eeaa4547013a8dc0b9d) |
,
|
![{\displaystyle (2,4)=-}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1eb59b57076ccaa6c5a53ae388dd8b71cb863bda) |
, |
|
![{\displaystyle (2,8)=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b1c0c5d653a3d2d624861e8d2e3f1e51759f032) |
,
|
![{\displaystyle (2,5)=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/993973f90c168e26db59274d5814346b94066d37) |
, |
|
![{\displaystyle (2,9)=-}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0725ecce1b7552d95a22b9e238a5b2c9b190b7f6) |
.
|
Les valeurs de
,
, peuvent aussi se tirer de l’équation
dont elles sont les deux autres racines, et l’on déterminera laquelle des deux appartient à
et laquelle appartient
à
, ou par un calcul approché d’après les formules suivantes, ou par les tables des sinus, qui, avec une légère attention, prouvent que si l’on fait
, on a
; donc il faut faire
|
![{\displaystyle (2,7)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5d98ec22e597396059df5bac8fcc1f2b01d97b7) |
![{\displaystyle =2\cos {\frac {49}{19}}P}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e40900e24301dc7f840fc13aa414c414b8d1cce1) |
, |
|
et— |
![{\displaystyle (2,8)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02acdb61f21921e43e544989f0e0423fc6c7d2fa) |
![{\displaystyle =2\cos {\frac {56}{19}}P}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27f64c6fd41d7016d3694a6ef6cb77af488964de) |
. |
|
Les sommes
,
,
se trouveront de même par l’équation
![{\displaystyle x^{3}-(6,4)x^{2}+\{(6,1)+(6,2)x\}x-2-(6,4)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d21bbee815fb045853c7cda4c052fda76ec7ed5)
dont elles sont les racines, en levant d’ailleurs l’incertitude ; comme nous venons de le faire. Les sommes
,
,
se trouveront par l’équation
![{\displaystyle x^{3}-(6,4)x^{2}+\{(6,2)+(6,4)x\}x-2-(6,1)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90bb19cdcc84ff71a994194ef3f942d0a41ffdd0)
Enfin
et
sont racines de l’équation
![{\displaystyle x^{2}-(2,1)x+1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2384706b50fb18c96b44738cc5c9a06ff785d94e)
dont l’une est
![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4) |
|
|
, |
|
et l’autre
![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4) |
, |
|
d’où résultent les valeurs numériques
![{\displaystyle -0,6772815716\pm 0,7357239107\ i.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f6672b7eb74c898f12d0a608109e4481676f49a)
Les seize autres racines se tireront de l’élévation aux puissances de l’une ou de l’autre de ces deux premières, ou de la solution de huit équations semblables, dans laquelle, si l’on emploie la seconde méthode, on décidera du signe de la partie imaginaire, soit par les tables de sinus, soit par l’artifice que nous allons expliquer dans l’exemple suivant. C’est de cette manière qu’ont été
trouvées les valeurs suivantes, dans lesquelles le signe supérieur
appartient à la première, et le signe inférieur à la seconde.
![{\displaystyle [1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83021ecdd7307a04dbb7873affcaac031e7e935a) |
et |
![{\displaystyle [18]=-}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7c318aad123c4e1a708ad7e33d520243506ae25) |
![{\displaystyle 0,6772815716}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2537a63d7e791785071a4bb037a5553e150b1372) |
|
|
![{\displaystyle [2]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa32363c093f4cfd50ecba68068bcfd396ea8bff) |
et |
![{\displaystyle [17]=-}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dad4fdaa54325584bac0f29aa41a465a2259fc9) |
![{\displaystyle 0,0825793455}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7b4aad1ab45d048779defd4cd6293a339828955) |
![{\displaystyle \pm \,0,9965844930}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2ca286871f7b7a8927104344c03efbbbc94b576) |
|
![{\displaystyle [3]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f671027d56f9c24d65c03a4a26eb0d3b933f4f15) |
et |
![{\displaystyle [16]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71c34ccd27ef35b69bb247e2f9825fcfe473d226) |
![{\displaystyle 0,7891405094}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2dabe945f0e4e6ace34707aba39cc0b656b5468) |
![{\displaystyle \pm \,0,6142127127}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd81bd861d9d5c50633fadf2ee353959bd5a5ac9) |
|
![{\displaystyle [4]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d865272ff436d713d5069ae3066bbe07a000a99) |
et |
![{\displaystyle [15]=-}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e01abbc5ea20b40b4fb84513247aff61876e1ed) |
![{\displaystyle 0,9863613034}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae9f3b929315d7f78eff5626a783c30e311cab3b) |
![{\displaystyle \pm \,0,1645945903}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e383b70a697c05e4ecd62dfcf41285623b1a66dc) |
|
![{\displaystyle [5]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/958ef87021d704de46ad116821bc677e07d9a5fe) |
et |
![{\displaystyle [14]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dda694d917ef2b4310b2eb7dee389e1fc476d473) |
![{\displaystyle 0,5469481581}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c25c4648fc8e3aeca3cbb54e5efdee881e52a76) |
![{\displaystyle \pm \,0,8371664783}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/288a1e1c423b623b4ceb79f6d4f85510811d43b3) |
|
![{\displaystyle [6]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/162951515fcb56919dffe17b119f4a0aa7e9dae6) |
et |
![{\displaystyle [13]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/365cb69e4a32e641338e9ac71e2f58329b945e2a) |
![{\displaystyle 0,2454854871}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed4f51ac95cff635f5b29b49cb669d23bbfa43d2) |
![{\displaystyle \pm \,0,9694002659}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d6ded6dab1be2a5162999e57ce956c677e1b621) |
|
![{\displaystyle [7]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae3ad60d04a4ab654d5432b8d207c296bc9157ba) |
et |
![{\displaystyle [12]=-}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3d46236162d8d2feca10968ee707ee7c1cd968e) |
![{\displaystyle 0,8794737512}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ccdf1b654db7ced840c10fbe4c20ac7400b2280) |
![{\displaystyle \pm \,0,4759473930}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99f1289b9065eff758047352696ceb432316af14) |
|
![{\displaystyle [8]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0373ce939c1f16322ce7388567feeb75976f4b9) |
et |
![{\displaystyle [11]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f1d06ecf13a1c9eab6d0272a01c5f4d54161956) |
![{\displaystyle 0,9458172417}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7a1271ceda610252d74175159e2ef256b56362e) |
![{\displaystyle \pm \,0,3246994692}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c70b030a6ef957a1be30c3c8bd9c8f906345a66) |
|
![{\displaystyle [9]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcb3a6d44040e53101b9857c425f7ddc95d75488) |
et |
![{\displaystyle [10]=-}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c3813cff1d8a57101068f20bf002d6fb90cc210) |
![{\displaystyle 0,4016954247}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c144e62f5a507f4e32ef88e73f160203559733c) |
![{\displaystyle \pm \,0,9157733267}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/353283f50e1f703e1babea658a09b10ff3de4345) |
.
|
354. Exemple II. Pour
.
On a ici
, ainsi le calcul des racines
peut
se ramener à quatre équations du second degré. Nous choisirons
pour racine primitive ; ses puissances fournissent, suivant le
module
, les résidus minima suivans :
, |
, |
, |
,
|
, |
, |
, |
,
|
, |
, |
, |
,
|
, |
, |
, |
|
, |
, |
, |
,
|
, |
, |
, |
,
|
, |
, |
, |
,
|
, |
, |
, |
,
|
d’où résulte la distribution suivante en deux périodes de huit termes, quatre périodes de quatre termes et huit de deux termes ;
![{\displaystyle \Omega =(16,1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97b1fc292b67edd3e6efbee4800b7ea9cbda74ed) |
|
![{\displaystyle (8,\,1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d9726b49dc0cc667de6cc571b3073141ea238db) |
|
![{\displaystyle (4,\,1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ac478807f780f14436fa3c66fcc63c44882c936) |
|
![{\displaystyle (2,\,1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/595e160a47b9f9e2bc7f75e0905cd9ae1b735eab) |
………![{\displaystyle [1],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f75c7327bcdedf0545982f06337ac6713e1555d) |
![{\displaystyle [16]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/482b7dc46564f640d54d83aaf9ce06eea913d036) |
|
![{\displaystyle (2,13)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7bf4dc5e426286c0cd88fe8477c3af5ec9e05f0) |
………![{\displaystyle [4],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6088218a2cead7a21be644918a3eb0e5ef295079) |
![{\displaystyle [13]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1353e1024ff14952dd351e5cf7660375d5bd7123) |
|
![{\displaystyle (4,\,9)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/774b7ebdac5d96ed848ac811e42194682eceb7c2) |
|
![{\displaystyle (2,\,9)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/951afe1c8efe760f74b60cd1fbf85a9c56929a00) |
………![{\displaystyle [8],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f1b30039a480223c88ece0979ae1e580cdfd115) |
![{\displaystyle [9]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcb3a6d44040e53101b9857c425f7ddc95d75488) |
|
![{\displaystyle (2,15)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea06c6f9bbaff1241466dce1f79013a6c71a122f) |
………![{\displaystyle [2],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17ba9c1bb3bfdcf4ccb387f075913ad3a13f0305) |
![{\displaystyle [15]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ad996ea02765f49445be9d3869087ab728183de) |
|
![{\displaystyle (8,\,3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e3889649c367a20de98afe286889d76b5a41904) |
|
![{\displaystyle (4,\,3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8447d7b73331a6aae3f9b1f511c195b300f8b979) |
|
![{\displaystyle (2,\,3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1421282a1ffb464e2bf7c147c978d41e2bff919f) |
………![{\displaystyle [8],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f1b30039a480223c88ece0979ae1e580cdfd115) |
![{\displaystyle [14]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/256d678e21cd1f359c175f7ed6985787dce91d6f) |
|
![{\displaystyle (2,\,5)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da49c6ec9d40b05be1e78983086d651ef2f98d5a) |
………![{\displaystyle [5],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30e6e2b9593c96e102611e45f81d5a10de3e32d1) |
![{\displaystyle [12]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bb78fb91ce38053821d154b651d89dcc21f2f5d) |
|
![{\displaystyle (4,\,10)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/144da37277483a06d0ff5c08813507ac636a581b) |
|
![{\displaystyle (2,10)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c47d8103c1aab37cfaf38e4b43fbdbfb7049bc5d) |
………![{\displaystyle [7],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a8eb7e0a6da38e6d6ce5482e873c487b702b805) |
![{\displaystyle [10]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbbff6612d63e1c78af2fd62335e8ceb487ac57a) |
|
![{\displaystyle (2,11)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/490fc2d1ed06fc1763dacefeb2edb1e09304968a) |
………![{\displaystyle [6],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88860aa4c3f5d6f6f1ea19ff9a70422ef5f5b74c) |
. |
|
L’équation (A) dont les racines sont les sommes
,
, se trouve (no 351) être
![{\displaystyle x^{2}+x-4=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c78bc662fb974ef84b4fc89bf40d5b82ae67276c)
et ses racines sont :
|
![{\displaystyle -{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {17}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44a93b0ceda3469d8150780f673e8596efc7e50f) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
|
et—— |
![{\displaystyle -{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {17}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac049c06551b6de451854061fa2772e7a49f7519) |
![{\displaystyle =-}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c11ee5143dfa298a5d7ce0e739cf0c88852f84a5) |
;
|
nous supposerons que la première soit
![{\displaystyle (8,1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/472348d4db6395a6d48e646378b9e1d7ddb41337)
, l’autre sera nécessairement
![{\displaystyle (8,3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c24b4039976491a8721e161b209eb99ead04b2c)
.
L’équation
, dont les racines sont les sommes
et
est
![{\displaystyle x^{2}-(8,1)x-1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a904b42a7f28ad7bbdb246a0ffe49eaa56256ccb)
et ses racines sont
![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4) |
![{\displaystyle ={\frac {1}{2}}(8,1)\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {\{4+(8,1)^{2}\}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebee867c938615b1280c1cb7ac938e4b46403411) |
|
|
; |
|
nous supposerons égale à
celle de ces deux racines dans laquelle le radical est affecté du signe plus ; on aura ainsi
![{\displaystyle (4,1)=2,0494811777,\qquad (4,9)=-0,4879283649.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5cda2f80cb7b842366decd17caf224e8f735230)
Les autres périodes de quatre termes,
et
peuvent être calculées de deux manières, savoir :
1o. Par la méthode du no 346, qui donne les formules suivantes, en faisant, pour abréger,
![{\displaystyle (4,3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4de9af4fe18d617acc7de162a026923a249bae30) |
![{\displaystyle =-}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c11ee5143dfa298a5d7ce0e739cf0c88852f84a5) |
![{\displaystyle {\frac {3}{2}}+3p-{\frac {1}{2}}p^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/525fbbf465198ddbe131a82dee7f5a134f938274) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
|
![{\displaystyle (4,10)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66a4246fd432f3a24ac6bb85ca9db239845b86f5) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle {\frac {3}{2}}+2p-p^{2}-{\frac {1}{2}}p^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebeb6d4feeb3cffbd24d20056954969e2cf442fa) |
![{\displaystyle =-}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c11ee5143dfa298a5d7ce0e739cf0c88852f84a5) |
|
La même méthode donne aussi la formule
![{\displaystyle (4,9)=-1-6p+p^{2}+p^{3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c36d8f34eee719140f4c334c25726bbb8688ac01)
d’où l’on tire la même valeur que plus haut.
2o. En résolvant l’équation dont
,
sont les racines ; cette équation est
![{\displaystyle x^{2}-(8,3)x-1=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ac5628fe2ce5bdc313550dde33bf66207a7dc06)
et donne
|
![{\displaystyle x={\frac {1}{2}}(8,3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5b186444a8acabd4fd2e150eabbf5631ce35274) |
![{\displaystyle \pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {\{4+(8,3)^{2}\}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6a150257d497b2d51a64431f650a0d342198c12) |
|
ou……………… |
![{\displaystyle x={\frac {1}{2}}(8,3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5b186444a8acabd4fd2e150eabbf5631ce35274) |
![{\displaystyle +{\frac {1}{2}}{\sqrt {\{12+4(8,1)+3(8,3)\}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba094fe099773ca6aafa77cc03c06f02b27d91cf) |
|
et……………… |
![{\displaystyle x={\frac {1}{2}}(8,3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5b186444a8acabd4fd2e150eabbf5631ce35274) |
![{\displaystyle -{\frac {1}{2}}{\sqrt {\{12+4(8,1)+3(8,3)\}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41412aea4e73936523906e833eb603ed31023554) |
|
nous déciderons, par l’artifice suivant annoncé au no 352, laquelle de ces deux racines doit être prise pour
Faisons le produit de
par
il est, calcul fait,
Or la valeur de cette expression est positive , puisqu’elle est
d’ailleurs le premier facteur
est aussi positif, comme égal à
donc le second facteur doit aussi être positif, et partant
doit être la racine dans laquelle le radical est positif, et
l’autre racine[3]. Au reste, il en résulte les mêmes valeurs que plus haut.
Connaissant toutes les sommes de quatre termes, nous passons
maintenant à la recherche des sommes de deux termes. L’équation
, dont les racines sont
,
, périodes contenues dans
, est
![{\displaystyle x^{2}-(4,1)x+(4,3)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19661e7021cf8d391f86d0f6156bc56ae6ada8af)
qui donne
![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4) |
![{\displaystyle ={\frac {1}{2}}(4,1)\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {\{-4(4,3)+(4,1)^{2}\}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b7b5584bf606d42ef44a4a40e3deb64a8c20fc7) |
|
|
; |
|
nous prendrons pour valeur de
celle de ces deux racines
dans laquelle le radical est positif, et il en résulte
![{\displaystyle (2,1)=1,8649444588}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f9f8feebd2747e65033df7d286384cdb371916c)
,
——![{\displaystyle (2,13)=0,1845367189\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2795f496d41cf93e267b2704a19e112d58720bb)
si l’on veut chercher les autres sommes de deux termes par la
méthode du no 346, on pourra employer pour
![{\displaystyle (2,2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94d0ca163bd6ff9c2757666390d7a4c0ee7273b7)
,
![{\displaystyle (2,3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b31c93ba409b1d9834540d2a9fa66e8ab5a3d8dc)
,
![{\displaystyle (2,4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79d7e5d868bec37d10c0a8a2ff7481eb5bb8d219)
,
![{\displaystyle (2,5)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a94c81fce0078411311c7dfe221a9cdc6c6ccc9)
,
![{\displaystyle (2,6)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9469e295eacf9382a1787e155526c7eb4edb7c28)
,
![{\displaystyle (2,7)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5d98ec22e597396059df5bac8fcc1f2b01d97b7)
,
![{\displaystyle (2,8),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5c0d9f9efb8323d25fbcebcf42660cc5ddf408b)
les formules que nous avons données pour les quantités désignées de la même manière dans l’exemple précédent, savoir :
![{\displaystyle (2,2)\,(}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7973049e503d35370d35be0e925f83929d46f138)
ou
![{\displaystyle (2,15))=(2,1)^{2}-2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5044ebb00b2959de2d6073e1b27d5eda079bb74)
, etc. ;
mais, si l’on préfère les déterminer deux à deux par des équations du second degré, on trouve pour
et
l’équation
![{\displaystyle x^{2}-(4,9)x+(4,10)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28fe93d476285173f75d94933ccd4cfc8dfe811a)
qui donne
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}(4,9)\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {\{4+(4,13)-2(4,3)\}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1d93d895d40790cd77b6e9e212ed43d58c5926d)
et l’on déterminera le signe comme plus haut, savoir : le développement du produit de
par
donne
![{\displaystyle -(4,1)+(4,9)-(4,3)+(4,10),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a343da3cb592b34ff54fdeb2fe2d7720e8b1ba5e)
quantité évidemment négative ; mais
![{\displaystyle (2,1)-(2,13)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15f786459b2189a4cb11eb67f96f752e79ba47f4)
est positif ; donc
![{\displaystyle (2,9)-(2,15)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/719442a0812655bb3e5fafdc5b826fb9bef4a14b)
doit être négatif ; ainsi, dans la valeur de
![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
que nous avons trouvée, le signe supérieur doit être pris pour
![{\displaystyle (2,15)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea06c6f9bbaff1241466dce1f79013a6c71a122f)
, et le signe inférieur pour
![{\displaystyle (2,9)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc83b73dfa731c0d0ebfb98f6e36d781c8dee962)
. Il en résulte
——![{\displaystyle (2,15)=1,4780178344.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8eb5e6cb9ba009f64e36fa3c8736a0496efcc6fd)
De même, comme on a
![{\displaystyle \{(2,1)-(2,13)\}\times \{(2,3)-(2,5)\}=(4,9)-(4,10),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db636e0ba27a585c5ec9273f489328f008b17ce7)
quantité positive, nous en concluons que
doit être positif. De là, en faisant le calcul nécessaire, on trouve
![{\displaystyle (2,3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b31c93ba409b1d9834540d2a9fa66e8ab5a3d8dc) |
![{\displaystyle ={\frac {1}{2}}(4,3)+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\{4+(4,10)-2(4,9)\}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14523717a10ef015776a46fa0fd0842ff02d73d1) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
|
![{\displaystyle (2,5)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a94c81fce0078411311c7dfe221a9cdc6c6ccc9) |
![{\displaystyle ={\frac {1}{2}}(4,3)-{\frac {1}{2}}{\sqrt {\{4+(4,10)-2(4,9)\}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/049ae1cd48a2700aebbf7adb33abbb6c62f56579) |
![{\displaystyle =-}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c11ee5143dfa298a5d7ce0e739cf0c88852f84a5) |
|
on obtient enfin, par des opérations tout-à-fait analogues,
![{\displaystyle (2,10)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c47d8103c1aab37cfaf38e4b43fbdbfb7049bc5d) |
![{\displaystyle ={\frac {1}{2}}(4,10)-{\frac {1}{2}}{\sqrt {\{4+(4,3)+2(4,1)\}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d709b8df5094e4345160f900fbfab222e4d29e0) |
|
![{\displaystyle (2,11)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/490fc2d1ed06fc1763dacefeb2edb1e09304968a) |
![{\displaystyle ={\frac {1}{2}}(4,10)+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\{4+(4,3)+2(4,1)\}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/734f3d4105d9372188703d5bf6b187ae0154a65e) |
|
Il reste encore à descendre aux racines
elles-mêmes. L’équation
, dont
et
sont les racines, se trouve être
![{\displaystyle x^{2}-(2,1)x+1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2384706b50fb18c96b44738cc5c9a06ff785d94e)
qui donne
![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4) |
|
|
|
![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4) |
.
|
Nous prendrons le signe supérieur pour
et partant le signe inférieur pour
. Les quatorze autres racines se déduiront des puissances de
, ou de la résolution de sept équations du second degré, dont chacune donnera deux racines, pour lesquelles on lèvera l’incertitude, comme nous l’avons fait plus haut. Par exemple,
et
sont les racines de l’équation
![{\displaystyle x^{2}-(2,13)+1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f76dbda92bce7b22c1cb25b8d1fb2b6bd8d95051)
qui donne
![{\displaystyle x={\frac {1}{2}}(2,13)\pm {\frac {1}{2}}i{\sqrt {\{2-(2,9)\}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a51e1da28f3613db75e3a2b4b7f8d4c3f2824148)
or on trouve
![{\displaystyle ([1]-[16])\times ([4]-[13])=(2,5)-(2,3),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c67c380b5bbcf470aefe7e1bff3481f7ee3c4ab)
quantité réelle négative ; ainsi comme
c’est-à-dire le produit de l’imaginaire
par une quantité réelle positive,
devra être aussi, à cause de
, le
produit de
par une quantité réelle positive ; d’où l’on conclura
que l’on doit prendre pour
le signe supérieur, et pour
le signe inférieur. De la même manière, on trouve pour les racines
et
,
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}(2,9)\pm {\frac {1}{2}}i{\sqrt {\left\{2-(2,1)\right\}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e93b169c41926c24d84c447b460a816765ec7557)
et comme
![{\displaystyle ([1]-[16])\times ([8]-[9])=(2,9)-(2,10),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2959f3dda7c6df7ef300a0dc7bdc1d85d0c9c31e)
quantité négative, on prendra pour
le signe supérieur, pour
le signe inférieur. En calculant de la même manière les autres racines, on trouve les valeurs numériques suivantes, dans lesquelles le signe supérieur appartient à la première, et le signe inférieur à la seconde.
![{\displaystyle [1],[16]...........}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88147c6d97b122b369a45194d666755e1032c6c7) |
![{\displaystyle 0,9324722294}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee973eb41fe057c4c95ea179d01ce654c1a3cfa6) |
![{\displaystyle \pm \,0,3612416662}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d91e44618741e5d24870a947f6fcdbe45d27b26e) |
|
![{\displaystyle [2],[15]...........}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ac8794a3b0b53934ed27aad6bb3530128244832) |
![{\displaystyle 0,7390089172}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b727654f1d8b4aadaf60738676b1eac57fafe39) |
![{\displaystyle \pm \,0,6736956436}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e5679fbbf5ef391ce9e1c2c7180342636532e62) |
|
![{\displaystyle [3],[14]...........}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15a6ec20c348cb5521b9d5cdcae7955c4efd9265) |
![{\displaystyle 0,4457383558}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc42a0e68856a39dc39363ed206c7493775e6327) |
![{\displaystyle \pm \,0,8951633914}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b83cf6193528997cb91f259a764942f6bd342e1) |
|
![{\displaystyle [4],[13]...........}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d44045991cbf48a5106f04d32f4856daa2c36306) |
![{\displaystyle 0,0922683595}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/904ee27c993b28c14d8b2828b50ff36e4580e7e1) |
![{\displaystyle \pm \,0,9957341763}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9193815142a731f952ca8216fd8a840082c9e853) |
|
![{\displaystyle [5],[12].........-}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f017039af13f8e379a2cb49570940693cd0f5a2) |
![{\displaystyle 0,2736629901}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72ff7fa6de8475008b05411f1ce3ace72b840d9a) |
![{\displaystyle \pm \,0,9618256432}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/096c7069957d11324248ac183a78cd97c0f3aa76) |
|
![{\displaystyle [6],[11].........-}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd0257e932b4ee3b22fb346f6c4c111fd862dd98) |
![{\displaystyle 0,6026346364}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2bbcdb718a316a1f07feefb8946e7fcaa9d0860) |
![{\displaystyle \pm \,0,7980172273}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/151ada1e97c5ed02c6f15eb3ffe8caebef44520c) |
|
![{\displaystyle [7],[10].........-}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2dc1c29d38203791054f356894a4c98737289c9) |
![{\displaystyle 0,8502171357}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/524b3b3559c95f4f45231c8ca50767229e1b2963) |
![{\displaystyle \pm \,0,5264321629}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/468624b4e621637c51327d1151743c19dbb17222) |
|
![{\displaystyle [8],[\,\,\,9].........-}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/930565bd10fc5029c4ba709b754ff1f5efe2de38) |
![{\displaystyle 0,9829730997}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fd131f50fba7a036135aa32871fe99719528347) |
![{\displaystyle \pm \,0,1837495178}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/897d8b057668ccb414aa2a5aa761b7c5f24243e4) |
|
______________
Ce qui précède pourrait suffire pour la solution de l’équation
, et parconséquent pour trouver les fonctions trigonométriques qui correspondent aux arcs commensurables avec la circonférence. Cependant, à cause de l’importance du sujet, nous
ne pouvons terminer nos recherches sans ajouter quelques-unes des
nombreuses observations qui peuvent l’éclaircir, et des conséquences aussi nombreuses que l’on en peut déduire. Nous choisirons de préférence celles qui n’exigent pas beaucoup de recherches étrangères, et l’on ne doit voir dans ce que nous allons exposer, qu’un aperçu de cette immense doctrine dont nous nous proposons de parler par la suite avec détail.
355. Comme
est toujours supposé impair,
sera facteur de
, et
sera composé de
périodes de deux termes. Une
pareille période, telle par exemple que
, sera formée par les deux racines
et
,
étant, comme ci-dessus, une racine primitive quelconque suivant le module
. Mais
; donc
(no 62), et partant,
; donc si l’on suppose
, et partant,
, la somme
. Nous nous bornons ici à conclure de là que la valeur de toute période de deux termes est une quantité réelle. Comme d’ailleurs toute période dont le nombre de termes est pair et
, peut être décomposée en périodes de deux termes,
il est clair qu’en général la valeur de toute période dont le nombre
de termes est pair, est une quantité réelle. Si donc, dans le no 352, on réserve
pour le dernier des facteurs
,
,
, etc., toutes les opérations s’exécuteront sur des quantités réelles, jusqu’à ce qu’on soit arrivé aux périodes de deux termes, et les imaginaires ne s’introduiront, que lorsque l’on voudra passer de ces périodes aux racines elles-mêmes.
356. On doit surtout remarquer les équations auxiliaires par lesquelles on détermine, pour une valeur quelconque de
, les sommes des périodes qui forment l’ensemble
: elles sont liées d’une manière
étonnante avec les propriétés les plus abstraites du nombre
. Mais ici nous restreindrons nos considérations aux deux cas suivans : 1o à l’équation du second degré qui donne les sommes des périodes de
termes ; 2o quand
est divisible par
, à l’équation
du troisième degré qui donne les sommes des périodes de
termes.
Faisons, pour abréger,
, et désignons par
une racine primitive quelconque, il sera composé de deux périodes
et
; la première contenant les racines
,
,
,…
et la seconde les racines
,
,
Supposons que les résidus minima positifs des nombres
,
,…
suivant le module
soient
,
,
, etc., abstraction faite de l’ordre, et que les résidus des nombres
,
,…
, soient
,
,
, etc. ; les racines des périodes
et
coïncideront avec
![{\displaystyle [1],\,[R],\,[R'],\,[R'']}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69fb84dfbf3f489e743cea9af2a21f43476fdc8d)
, etc.,
——![{\displaystyle [N],\,[N'],\,[N'']}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8a07d6014f8a175b0e6b34404e654d6a83524a1)
, etc.
respectivement. Or il est clair que tous les nombres
,
,
,
, etc. sont résidus quadratiques de
; comme ils sont différens, moindres que
et au nombre de
, il s’ensuit que ce sont effectivement tous les résidus quadratiques de
, positifs et plus petits que lui (no 96). Il suit de là en même temps, que les nombres
,
,
, etc. qui sont tous différens entre eux, et des nombres
,
,
, etc., et qui, joints à ces derniers, épuisent les nombres
sont tous les non-résidus quadratiques positifs de
et plus petits que lui. Si l’on suppose maintenant que l’équation dont
,
sont racines, soit
![{\displaystyle x^{2}-Ax+B=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/522e1f67764ef2a8449227ce7b3811e4b7c895f2)
on a
![{\displaystyle A=(m,1)+(m,g)=-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b748df56393f0b7f2ff076df5c4012dafa71a4a)
,
——![{\displaystyle B=(m,1)\times (m,g)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b55c3a520782c4228dde2f63dd965d427f2e7c69)
or (no 345),
![{\displaystyle (m,1)\times (m,g)=(m,N+1)+(m,N'+1)+(m,N''+1)+\,{\text{etc.}}\,=W,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86c9a8baea5a8f4bb946816a589ce0885e5507b4)
et peut parconséquent être mis sous la forme
![{\displaystyle \alpha (m,0)+\beta (m,1)+\gamma (m,g).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/390f05d7443553cd3bb0308aa23f832bdf7cc07b)
Pour déterminer les coefficiens
,
,
, observons : 1o. qu’on a
puisque le nombre des périodes de
est
;
2o. que
(no 350), puisque
est une fonction
invariable des sommes
et
qui composent la période plus grande
; 3o. que tous les nombres
,
,
, etc. étant compris entre les limites
et
, il est clair que nulle période de
ne coïncidera avec
, ou qu’il
n’y en aura qu’une, par exemple
; on aura donc
ou
, suivant que
sera ou ne sera pas parmi les nombres
,
, etc. ; il suit de là que dans le premier cas on aura
,
, et dans le second
,
; et comme
et
doivent être entiers, le premier cas aura lieu, c’est-à-dire que
ou
se trouvera parmi les non-résidus de
lorsque
sera impair, c’est-à-dire lorsque
sera de la forme
; le second aura lieu au contraire quand
sera pair, c’est-à-dire quand
sera de la forme
. Ainsi, comme on a
, et
, le produit cherché sera donc, suivant les mêmes circonstances,
, ou
, et l’équation sera, dans le premier cas,
![{\displaystyle x^{2}+x+{\frac {1}{4}}(n+1)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f68455dc5ae81e370819c6476a3d29bea4baba44)
,
——qui donne
——![{\displaystyle x=-{\frac {1}{2}}\pm {\frac {1}{2}}i{\sqrt {n}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89870fc177b0bb97d636ca087cab33a8fb297297)
,
et dans le second
![{\displaystyle x^{2}+x-{\frac {1}{4}}(n-1)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2394b268e593d5802fcdbf1374e272ddd31cfb0)
,
——qui donne
——![{\displaystyle x=-{\frac {1}{2}}\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {n}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bedbe3043d80f2a7d66e94a49a3ba3ac6fd6cd3)
Ainsi, quelle que soit la racine que l’on ait prise pour
, si l’on désigne par
la somme de toutes les racines
,
,
, etc., et par
celle des racines
,
, etc., on aura
![{\displaystyle \sum [R]-\sum [N]=\pm {\sqrt {n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75e7e03748353bbf20ed920ef646dddfe6831be2)
,
——ou
——![{\displaystyle \pm i{\sqrt {n}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a699ee339dbe74f8524e6a71f5706f91deb9d08)
suivant que
ou
. Il suit facilement de là que
étant un nombre entier quelconque non-divisible par
, on a
![{\displaystyle \sum \cos {\frac {kRp}{n}}-\sum \cos {\frac {kNp}{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09dadadb9b728dcc896e378f934b3106c65dde6a) |
, |
——ou—— |
, |
|
![{\displaystyle \sum \sin {\frac {kRp}{n}}-\sum \sin {\frac {kNp}{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7c8e4107abf88061945d370be0753865bbf8488) |
, |
——ou—— |
, |
|
suivant que
ou
, théorèmes remarquables par leur élégance.
Au reste, nous ferons observer que le signe supérieur a lieu
quand
est l’unité, ou plus généralement quand
est résidu quadratique de
, et le signe inférieur, quand
est non-résidu. Ces
théorèmes conservent toute leur élégance, ou plutôt en acquièrent
encore davantage, lorsque
est un nombre composé quelconque ; mais nous sommes forcés de supprimer ces recherches qui demanderaient trop de développement, et de les réserver pour une autre occasion.
357. Soit
etc. |
![{\displaystyle =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dc9e66de468806365c20e32e83456cc526ce29e) |
——ou—— |
, |
|
l’équation de degré
qui donne les racines contenues dans la
période
; on aura
, et chacun des autres coefficiens pourra être ramené à la forme
![{\displaystyle A+B(m,1)+C(m,g),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a5de87b157f71cf6f49a5aa564d25e99812b87d)
où
,
,
sont des entiers (no 348). Désignons par
ce que
devient
, quand on y remplace
par
, et
par
; l’équation
donnera les racines contenues dans
, et l’on aura
![{\displaystyle zz'={\frac {x^{n}-1}{x-1}}=X.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08937ee8713e06a96abad6544b98fff0fa170255)
On peut donc mettre
sous la forme
![{\displaystyle z=R+S(m,1)+T(m,g),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85def68daea6a2672d4f4218b8282113072ffcb8)
où
,
,
seront des fonctions entières de
, dont les coefficiens
seront entiers. Cela fait, on aura
![{\displaystyle z'=R+S(m,g)+T(m,1).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0945684a651c0387320e23dc0346dc1d05db381d)
Faisons, pour abréger,
,
; on tire de ces équations
![{\displaystyle 2z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfd15d7c6ac4bac2c4aabe31b341e1cff448b304) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
|
|
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
,
|
![{\displaystyle 2z'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e4b5d2bf0d73edcc1aa937e859126e12dcbb952) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
;
|
donc posant
,
, on a
![{\displaystyle 4X=Y^{2}-(p-q)^{2}Z^{2}=Y^{2}\mp nZ^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e06766b02d8222768eed23ef4aa8756107b6e87b)
puisque
(no précéd.), le signe supérieur ayant lieu quand
est de la forme
et le signe inférieur quand
est de la forme
. C’est le théorème dont nous avons promis la démonstration au no 124.
On voit facilement que les deux premiers termes de
sont
et que le premier terme de
est
quant aux autres coefficiens, qui sont évidemment entiers, ils varient suivant
la nature du nombre
, et ne peuvent être soumis à une formule analytique générale.
Exemple. Pour
l’équation qui donne les huit racines contenues dans
se trouve être (no 348),
![{\displaystyle x^{8}-px^{7}+(4+p+2q)x^{6}-(4p+3q)x^{5}+(6+3p+5q)x^{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53253755a2f242f5bc32eb9d7ed1aa808b5caf8e)
![{\displaystyle -(4p+3q)x^{3}+(4+p+2q)x^{2}-px+1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f402d76729a2515b3f7ce817de6f0036e958f81)
qui donne
![{\displaystyle R=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e302251ceae37515baa64235baca2cc543dcccf3) |
![{\displaystyle x^{8}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd38d454ecee1b299d927818db4edee936f3092e) |
![{\displaystyle +4x^{6}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f989d3e753eaeca3f618439f50543ddd4550e47) |
![{\displaystyle +6x^{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/737035dfc3fe58e80be1797b37ee3ed1dec397cd) |
![{\displaystyle +4x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2302383ce8f4e54b9299cb6e460fff607607e8fa) |
,
|
![{\displaystyle S=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cc88ca7e9ccc189fd2091b0a553758e250998d0) |
![{\displaystyle -x^{7}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2050bfb746cecd8ff13b7e0a37324c2b9dfeb3f3) |
![{\displaystyle +x^{6}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/523e97bb4cc6d09010056848771d6490a2cff741) |
![{\displaystyle -4x^{5}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8797e13358e1469f33e406a995a00c6490128bfb) |
![{\displaystyle +3x^{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f87fc9cefcdf53fc9141993625019aec97368727) |
![{\displaystyle -4x^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32076caa5fe9155253c01489012805459848d911) |
![{\displaystyle +x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6153f0d5ee4768f0616eb1d8fda0aa6780013d0) |
,
|
![{\displaystyle T=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/171d587325b2aad818d6ee7ea41d5874030ece6b) |
![{\displaystyle 2x^{6}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fab0c44f37fe2a04aac4a744587922defde8b8b) |
![{\displaystyle -3x^{5}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05e57c557377ce68ee543309425f48935d4818b2) |
![{\displaystyle +5x^{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aef5427d96312871a28e0b366b791aeecff7682f) |
![{\displaystyle -3x^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3ae34b67992c6a9ed206321224c308e66a3e6e8) |
|
et partant,
——
|
|
|
……
|
——![{\displaystyle 2x^{8}+x^{7}+5x^{6}+7x^{5}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bddcac02f38316a5cb3fe7eaba2c75d65d1e8c30)
![{\displaystyle +4x^{4}+7x^{3}+5x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8232b5b2ac501efc65a24cee1c473f4beefd52f1)
. |
——![{\displaystyle x^{7}+x^{6}+x^{5}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cf19ffce3da6a37cada4ca1dda6971fe1d4a003)
![{\displaystyle +2x^{4}+x^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b77bbe90ad215079b3795a9cac30a5d1a5ab5a6)
.
|
Voici encore d’autres exemples :
——
|
|
|
……
|
——![{\displaystyle 2x+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec86c7ed988e98a84b2b33e07f0737a421bfba07)
|
—— .
|
……
|
——![{\displaystyle 2x^{2}+x+2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3eca10d9f2f45ce557e6d24b282078c058069f79)
|
—— .
|
……
|
——![{\displaystyle 2x^{3}+x^{2}-x-2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b49a864108bd98b6b4e2aa65e2ad10b197929d8)
|
—— .
|
……
|
——![{\displaystyle 2x^{5}+x^{4}-2x^{3}+2x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8defe46bf866be6218f1c1402fd498357d17a711)
![{\displaystyle -x-2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90b339b2a91a6603b2b3c15e493df0e10842bf93)
|
—— .
|
……
|
——![{\displaystyle 2x^{6}+x^{5}+4x^{4}-x^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3bb3c2eae7a38d1a3816db393bc748dfd1124d5)
![{\displaystyle +4x^{2}+x+2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/084a302d25e60e26fd57d8d178b7765aa896038d)
|
—— .
|
……
|
——![{\displaystyle 2x^{9}+x^{8}-4x^{7}+3x^{6}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fd4bf67018eb5dcd54d578c5cba9e66f30f283b)
![{\displaystyle +5x^{5}-5x^{4}-3x^{3}+4x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1c763b2fed249327931b4e39a29027a80451f82)
![{\displaystyle -x-2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90b339b2a91a6603b2b3c15e493df0e10842bf93)
|
——![{\displaystyle x^{8}-x^{6}+x^{5}+x^{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ef686b7625e76b8935296abc7682027a4697b8a)
.
|
……
|
——![{\displaystyle 2x^{11}+x^{10}-5x^{9}-8x^{8}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecf5edd6ceeee802ba56bb72ed76c7f82cf654f3)
![{\displaystyle -7x^{7}-4x^{6}+4x^{5}+7x^{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fb5e039410165ae35b3cefb9908459d50dc6df9)
.
|
——![{\displaystyle x^{10}+x^{9}-x^{7}-2x^{6}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8806ab371d5e334d1f171f46d13dec9f8882ec3)
.
|
358. Passons à la considération des équations du troisième degré
qui, dans le cas où
est de la forme
, donne les trois périodes de
termes dont
est composé. Soit
une racine primitive quelconque pour le module
, et
qui sera un
nombre pair ; les trois périodes qui composent
seront
,
,
que nous désignerons par
,
,
, et qui contiennent respectivement les racines
, |
, |
,…… ![{\displaystyle [g^{n-4}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/923335b14afe899889916b6367ef683ec00f25a6) |
|
, |
, |
,…… ![{\displaystyle [g^{n-3}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b7fcba8132f08cecb2bfeb38e332fc69d14accc) |
|
, |
, |
,…… ![{\displaystyle [g^{n-2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e41b4078a4820717121329d0acd3bd57425a5f37) |
|
Supposons que l’équation cherchée soit
![{\displaystyle x^{3}-Ax^{2}+Bx-C=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b96195bc293ee80a28311215b7d628cfa72ca06)
on aura
![{\displaystyle A=p+p'+p''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ffe37dcf087f6b1769a3d92e32be98923f84dea)
,
——![{\displaystyle B=pp'+pp''+p'p''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebb69193be1ea94a3b31f9030afa8b740183907a)
,
——![{\displaystyle C=pp'p'',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa5621ae08b7ffe814d240d8879d8033d8274c11)
d’où l’on tire sur-le-champ
Soient
etc., les
résidus minima des nombres
suivant le module
abstraction faite de l’ordre, et
leur ensemble, en y comprenant
soient de même
etc. les résidus minima des nombres
![{\displaystyle g^{3},\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76577729710d4d16e80463e7f6842576c1136e29)
et
leur ensemble ;
etc. les résidus minima de
![{\displaystyle g^{5}\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d96b860497327b14ddb51b943fedfc99d8e7eb09)
et
leur ensemble. Tous les nombres de
seront différens, et ils coïncideront avec la suite
![{\displaystyle 3,\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1cf93b2900ac7c76465c488bc12b07cade4c09d)
On doit observer avant tout que le nombre
se trouve toujours dans
puisqu’il est facile de voir qu’il est résidu de
Il suit de là aussi que les deux nombres
et
se trouvent toujours dans la même des trois suites
en effet, si l’un est résidu de la puissance
l’autre sera résidu de la puissance
ou
si
Désignons par le signe
la multitude des nombres de la série
qui tant par eux-mêmes qu’étant augmentés de l’unité, sont contenus dans
par
la multitude de ceux qui sont contenus dans
par
eux-mêmes, et dans
lorsqu’on les augmente de l’unité ; on jugera assez par là de la signification des symboles
![{\displaystyle (KK''),\,(K'K),\,(K'K'),\,(K'K''),\,(K''K),\,(K''K'),\,(K''K'').}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f1359c518899b97b555835316b4dd05d6a68c21)
Cela posé, je dis d’abord qu’on a
. Supposons en effet que
etc. soient tous les nombres de la suite
,
,
,…
, qui par eux-mêmes sont contenus dans
et dans
lorsqu’on les augmente de l’unité ; c’est-à-dire que
,
,
, etc. sont supposés tous contenus dans
;
il est évident que
,
,
, etc. seront tous contenus dans
, et que ces nombres augmentés de l’unité, savoir,
,
,
, etc., le seront dans
; d’où il suit que
n’est certainement pas plus petit que
; mais comme on démontre de la même manière qu’on ne peut avoir
, il s’ensuit qu’on a nécessairement
, et de même
,
.
Ensuite, comme en considérant un nombre quelconque de
,
excepté, le nombre immédiatement plus grand doit être contenu ou dans
ou dans
, ou dans
il s’ensuit que la somme
![{\displaystyle (KK)+(KK')+(KK'')=m-1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b91a2e4a52361226184c0b91612a367faa20d25)
c’est-à-dire, au nombre de termes de
diminué d’une unité. Par une raison semblable, on aura
![{\displaystyle (K'K)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2e1faf7aa34e7acd8b8e20bcd0ee302a2487fa3) |
![{\displaystyle +(K'K')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cb121f26c37d27d34211de0c757a186b21c28e6) |
![{\displaystyle +(K'K'')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36ee4edfe51b4a21ba59a7fa2f217363682a32ed) |
|
![{\displaystyle (K''K)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ab97791ce66d004f5b11c0c2c7b0e7bde4771ac) |
![{\displaystyle +(K''K')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d5497e76ec315824529e67ef362b60f5898254f) |
![{\displaystyle +(K''K'')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb1173349ed10caec0cd0d913099122d4ade7a4f) |
|
Développons maintenant d’après les règles du no 345, le produit
en
![{\displaystyle (m,\alpha '+1)+(m,\beta '+1)+(m,\gamma '+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d013714f2589c5a90079216d5c00c730d7c2721)
+ etc. ;
on verra facilement que cette expression peut se ramener à la
forme
![{\displaystyle (K'K)p+(K'K')p'+(K'K'')p''\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c2323e6f653e18f3e20abc4e1ce46bafa9d4f71)
et comme (no 345) le produit
naît de
, en changeant
,
,
en
,
,
respectivement, c’est-
à-dire,
,
,
, en
,
,
, on aura
![{\displaystyle p'p''=(K'K)p'+(K'K')p''+(K'K'')p\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82733f8c92fe3ebbe3b41a3c85b900f15e2c9a1a)
et de même
![{\displaystyle pp''=(K'K)p''+(K'K')p+(K'K'')p'\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88444e57ccda8d4dcc1d6d5922fdf0c89eb96cfb)
d’où résulte sur-le-champ
![{\displaystyle B=m(p+p'+p'')=-m.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bbad65ab6e6d163b7aeb42033936727ac734f87)
De plus, comme on aurait pu développer directement
de même qu’on a développé
, ce qui aurait donné
![{\displaystyle pp''=(K''K)p+(K''K')p'+(K''K'')p'',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/727d10c2222da48c4f37e053153c400c37f52a22)
et que cette expression doit être identique avec la précédente, il s’ensuit qu’on a nécessairement
et
. Si donc nous faisons
![{\displaystyle (K''K')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/241e577f9692ef8dca1aa5216586c4010f86aa43) |
![{\displaystyle =(K'K'')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e318895ac73f9054300ba8b3007feb77a909cb1b) |
, |
|
![{\displaystyle (K''K'')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e625634de9997b724e2753aca8cfefd17cab335a) |
![{\displaystyle =(K'K)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37cfd3e4fb3dc688f2b2c50cf3eb25a9c969a065) |
, |
,
|
![{\displaystyle (K'K')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e494344b4bc22ba2b4f7feeefef20b3fcafa5607) |
![{\displaystyle =(K''K)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54f79a855b05ff6974aba769452acea868d088bc) |
, |
,
|
nous aurons
![{\displaystyle (KK)+(KK')+(K'K'')=(KK)+b+c=m-1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3bfc1a75072ab5138c0b4b4d488a01146a2fae5)
et ————————————
d’où ———————————
Desorte que ces neuf quantités inconnues se réduisent à trois, ou plutôt à deux, à cause de l’équation
Enfin il est clair que le quarré
![{\displaystyle p^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef685027b97072ee63a8c738f395cd40f63767e1)
se développe en
![{\displaystyle (m,1+1)+(m,\alpha +1)+(m,\beta +1)+(m,\gamma +1)+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7693e1e6d3093ebc3ea9fbfd2904ddaa442d12bd)
etc.
Parmi les différens termes de cette expression, on trouvera
qui se ramène à
; le reste se réduira évidemment à
![{\displaystyle (KK)p+(KK')p'+(KK'')p'',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e985971f255a35ba5649941eda516e1806aa5376)
d’où l’on tire………
Ainsi, par les réductions précédentes, nous avons trouvé les
quatre équations
![{\displaystyle p^{2}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8f217066ebba5df2bd32365c5426a866bfe1e72) |
,
|
![{\displaystyle pp'=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04e7378a1c404fc9c0f59bbc077e0a3e4879fdf0) |
,
|
![{\displaystyle pp''=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f9e84977feb45f96a79c6da87627ddb9dacd12a) |
,
|
![{\displaystyle p'p''=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e800fd268121116e42a40e4f25a919afb05408b1) |
,
|
où les trois inconnues
,
,
sont liées par la relation
![{\displaystyle a+b+c=m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a44be72c2669a576a61cb827c26ed66d6d357ade)
……… (I)
et sont certainement des nombres entiers. On tire de là
![{\displaystyle C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029) |
![{\displaystyle =p\times p'p''=ap^{2}+bpp'+cpp''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d0146ade1a07f27d016c05b0a23a71487970d93) |
![{\displaystyle =am+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02a750a1d79dfa9706e66c1626579c567f30398e) |
![{\displaystyle (a^{2}+b^{2}+c^{2}-a)p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da83b679c54aa4f7aa531aead35a93ba4e075cd7) |
|
|
|
![{\displaystyle +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406) |
![{\displaystyle (ab+bc+ac)p'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aee9e3743745699a08a0a73a6398f27de9763e19) |
|
|
|
![{\displaystyle +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406) |
![{\displaystyle (ab+bc+ac)p''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d3fa655f64bf41a105ba30441a2f721fc9553f1) |
|
Mais comme
est une fonction invariable de
,
,
, les
coefficiens de ces trois périodes doivent être les mêmes (no 350), ce qui donne une nouvelle équation
![{\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}-a=ab+ac+bc}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3af88533a2ced0d6359a5ff634db7b2afcd9428)
………(II)
et partant
![{\displaystyle C=am+(ab+ac+bc)(p+p'+p'')=a^{2}-bc}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed3984d9f431909db2d359c76646139339d0e678)
………(III)
à cause de l’équation (I), et de l’équation
Quoique
dépende de trois inconnues qui ne sont liées que par deux équations, la condition qui exige que
,
,
soient des entiers, suffit pour les déterminer. Afin de le prouver, nous mettrons l’équation (II) sous la forme
![{\displaystyle 12a+12b+12c+4=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/212d6a1f1409f690a95a9a6c24bacbc72e5f92e2) |
|
![{\displaystyle 36a^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9271223413fec585206feaebed207355fb0da07a) |
![{\displaystyle +36b^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82a2b9612496db1f305345a5f1c6be23867ccb45) |
![{\displaystyle +36c^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4c9e049d133c2c30ff88abc0848d908ff32a15c) |
|
|
![{\displaystyle -}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04bd52ce670743d3b61bec928a7ec9f47309eb36) |
![{\displaystyle 36ab}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76a3af420c87552474c7d96dbcd787040eb2ffba) |
![{\displaystyle -36ac}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9c138945158fbdb8e11d05bf5956c51c2bfc8a9) |
![{\displaystyle -36bc}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3525cf5c4e00e43ff03bd93d416e978082bf0749) |
|
|
![{\displaystyle -}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04bd52ce670743d3b61bec928a7ec9f47309eb36) |
![{\displaystyle 24a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f679005f807515727ca3d95b71d68696ebaf1ea8) |
![{\displaystyle +12b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a62e0ccc96b2ce8ba5502e74ad6beac41623f14c) |
,
|
qui devient
![{\displaystyle 4n=(6a-3b-3c-2)^{2}+27(b-c)^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce9e9fe0eb91ee0c6e2191f8883b6cd4a87b7764)
à cause de
![{\displaystyle n=3m+1=3a+3b+3c+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7265d062356f56e6ab928656eeea2185f8db790b)
; ou, en faisant
,
![{\displaystyle 4n=(3k-2)^{2}+27(b-c)^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5510ca4d971dc5e8e0022da2545321913a7ea19)
Il suit de là que le nombre
, c’est-à-dire le quadruple de tout nombre premier de la forme
, peut être représenté par la forme
; et quoique ce résultat puisse se tirer sans difficulté de la théorie générale des formes binaires, il n’en est pas moins étonnant qu’une telle décomposition soit liée si intimement avec les nombres
,
,
. Or nous démontrerons, comme il suit, que le nombre
ne peut être décomposé que d’une seule manière en un quarré et le produit d’un autre quarré par
[4]. Si l’on supposait
![{\displaystyle t^{2}+27u^{2}=4n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ddb5bbed8d3def16027b3de2093e35cc610c6db)
,
——et
——![{\displaystyle t'^{2}+27u'^{2}=4n,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/907688742a6d93a76cf0789059f035acba239ade)
on en tirerait
1o…… |
![{\displaystyle (tt'-27uu')^{2}+27(tu'+t'u)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/451ad082f9ee73d9585daf73b8d45db0f433b4d3) |
![{\displaystyle =16n^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a6c0c7c6b408ee4e8b1ded32ceb1b6c9ff14bc6) |
|
2o…… |
![{\displaystyle (tt'-27uu')^{2}+27(tu'+t'u)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/451ad082f9ee73d9585daf73b8d45db0f433b4d3) |
![{\displaystyle =16n^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a6c0c7c6b408ee4e8b1ded32ceb1b6c9ff14bc6) |
|
3o…… |
![{\displaystyle (tu'+t'u)(tu'-t'u)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34584509df0c7e74df71e5e1af2334ae948a8235) |
![{\displaystyle =4n(u'^{2}-u^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a88ff30657f0346c953a011ec882936ccf43ab8) |
|
La troisième équation prouve que
, qui est un nombre premier, divise l’un des deux nombres
,
; mais la première et la seconde font voir que chacun de ces nombres est plus petit que
; donc celui que
divise est nécessairement nul, ce qui
donne
, ou
et
, c’est-à-dire que les deux décompositions sont les mêmes. Si donc nous supposons connue la décomposition du nombre
en un quarré, et le produit d’un autre quarré par
, décomposition que l’on peut trouver
soit par la méthode directe de la Section V, soit par la méthode
indirecte des nos 323, 324 ; si, par exemple, on a
, les quarrés
,
seront déterminés, et on aura deux équations au lieu de l’équation II. On voit clairement, non-seulement que
le quarré
est déterminé, mais que la racine
l’est aussi ; en effet,
devant être un nombre entier, on devra prendre
ou
, suivant que
sera de la forme
ou
[5]. Cela posé, comme on a
![{\displaystyle k=2a-b-c=3a-m,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/930c70f44325623a756c0203fc2a4116b1fd434e)
on en tire
![{\displaystyle a={\frac {k+m}{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/567581b6edf4bcfc926196290f50f88546308e9a)
,
——![{\displaystyle b+c=m-a={\frac {1}{3}}(2m-k),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ef1be42f24adfa9bebbd176cb09599e73abb241)
d’où
![{\displaystyle C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029) |
![{\displaystyle =a^{2}-bc}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7f9ce253299c519f22c706a4518302462b5b474) |
![{\displaystyle =a^{2}-{\frac {1}{4}}(b+c)^{2}+{\frac {1}{4}}(b-c)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/659b26ab90c7dc69e28648fa7fe2bfbd3c227bd1) |
|
|
|
![{\displaystyle ={\frac {1}{9}}(m+k)^{2}-{\frac {1}{36}}(2m-k)^{2}+{\frac {1}{4}}N^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d8ec4be9f926f10fe8a5d7b045bc6134100025e) |
|
|
|
; |
|
et ainsi tous les coefficiens de l’équation cherchée se trouvent déterminés.
Cette formule devient encore plus simple, en substituant pour
sa valeur tirée de l’équation
![{\displaystyle (3k-2)^{2}+27N^{2}=4n=12m+4\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d8661588c23587d9f6d82ee9d2e55f2297f572a)
ce qui donne
![{\displaystyle C={\frac {1}{9}}(m+k+3km)={\frac {1}{9}}(m+kn).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ec680e82bb99ef6ff19f82a2476380865729a55)
Cette valeur peut encore se représenter sous la forme
![{\displaystyle C=(3k-2)N^{2}+k^{3}-2k^{2}+k-km+m,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/118f8702381e798f31dc1a71714096ece75fe1fd)
qui est d’une application moins facile, mais qui fait voir par elle-même que C est un nombre entier, comme il le faut.
Exemple. Pour
on a
, d’où
,
,
, et l’équation cherchée est
![{\displaystyle x^{3}+x^{2}-6x-7=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bdf42b68b9b4c8100c4afa6fe50a92fc97daca7)
comme ci-dessus (no 351).
De même, pour
,
,
,
,
,
, on trouve respectivement
,
,
,
,
,
,
et
![{\displaystyle C=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/605a443c472808db9a502a801b8a2dfa5ee15d08)
,
![{\displaystyle -1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/704fb0427140d054dd267925495e78164fee9aac)
,
![{\displaystyle 8}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1aaa997e6ad67716cfaa9a02c4df860bf60a95b5)
,
![{\displaystyle -11}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be67ebcac4c17ac03b54c835303473cb058f4d4e)
,
![{\displaystyle -8}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b24cf97579cf40493908c64dc45971c781c97e78)
,
![{\displaystyle 9}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32d3d1e1f9dfe0254c628379e69a69711fe4eabd)
,
![{\displaystyle -5}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffa50dcaacd32d77fb512af521f6066839464c82)
.
Au reste, quoique le problème que nous venons de résoudre soit
assez compliqué, nous n’avons pas voulu le supprimer, tant à
cause de l’élégance de la solution, que parceque les artifices qu’il
nous a donné occasion d’employer peuvent être d’une très-grande
utilité dans d’autres problèmes.
359. Les recherches précédentes avaient pour but de trouver les
équations auxiliaires ; nous allons maintenant exposer sur leur résolution une propriété digne de remarque. On sait que tous les
travaux des plus grands géomètres ont échoué contre la résolution
générale des équations qui passent le premier degré, ou pour
mieux définir l’objet de la recherche, contre la réduction des
équations complètes à des équations à deux termes, et il est à
peine douteux si ce problème ne renferme pas quelque chose d’impossible, plutôt qu’il ne surpasse les forces actuelles de l’analyse.
(Voyez ce que nous avons dit sur ce sujet dans le Mémoire intitulé Demonstratio nova, etc. p. 22). Il est certain néanmoins
qu’il y a une infinité d’équations composées dans chaque degré,
qui admettent une telle induction, et nous espérons faire plaisir
aux géomètres, en prouvant que nos équations auxiliaires sont
toujours dans ce cas. Mais à cause de l’étendue du sujet, nous
ne présenterons que les principes les plus importans qui sont nécessaires pour démontrer cette possibilité, différant à un autre
temps l’exposition plus complète. Nous mettrons en avant quelques
observations générales sur les racines de l’équation
,
en comprenant le cas où
est un nombre composé.
1o. Ces racines sont données, comme on le sait, par les élémens, par la formule
![{\displaystyle x=\cos {\frac {kP}{e}}+i\,\sin {\frac {kP}{e}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99f90041c3f64993da6b975083818961ad152aad)
dans laquelle on doit prendre pour e les nombres
,
,
,
…
ou d’autres nombres quelconques congrus avec eux. Une seule racine est
, celle que l’on obtient en faisant
, ou plus généralement
; mais à toute autre valeur de
répondra une valeur de
différente de
.
2o. Comme on a
![{\displaystyle \left(\cos {\frac {kP}{e}}+i\,\sin {\frac {kP}{e}}\right)^{\lambda }=\cos {\frac {\lambda kP}{e}}+i\,\sin {\frac {\lambda kP}{e}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/598b9bd9e31a99549026a20db996c1e917924423)
si
est une racine qui corresponde à une valeur de
première avec
, le terme de numéro
dans la progression
,
,
, etc. sera
, mais tous les autres seront différens de
; il suit de là
que toutes les quantités
,
,
, etc. sont différentes, et comme chacune satisfait à l’équation
, elles sont les racines de cette équation.
3o. Enfin dans la même supposition, on a
![{\displaystyle 1+R^{\lambda }+R^{2\lambda }+R^{3\lambda }+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09fbf9a4ac01fe72565a3629a072b32c8cf45e71)
…
![{\displaystyle 1+R^{(e-1)\lambda }=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b1d1c3aea854aea3870eca7773f3554ed8fbbdc)
pour toute valeur de
entière et non divisible par
; en effet cette expression équivaut à
, et le numérateur de cette fraction est
, tandis que le dénominateur ne l’est pas. Mais quand
est divisible par
, cette somme est évidemment
.
360. Soit, comme dans tout ce qui précède,
un nombre
premier,
une racine primitive pour le module
, et
les produits de trois nombres entiers positifs
,
,
. Pour abréger, nous comprendrons en même temps dans nos recherches le cas, où l’on aurait
ou
; quand
, il faut remplacer
,
, etc. par
,
, etc. Supposons donc que les
périodes de
termes,
,
,
…
soient connues, et que l’on, veuille en déduire les valeurs des périodes de
termes, opération que nous avons réduite plus haut à la résolution d’une équation complète du degré
, et qu’il s’agit maintenant de ramener à une équation à deux termes de même degré. Pour abréger, nous représenterons respectivement les valeurs des périodes
![{\displaystyle (\gamma ,1),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19fbb8a941334cb2900e40ff9afbf6b723bc9417) |
![{\displaystyle (\gamma ,g^{\alpha }),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d991388ba25cecfc5b9af674df940bf22de0737c) |
… |
![{\displaystyle (\gamma ,g^{\alpha \beta -\alpha })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/baff5b0409a63516baff1d1fe09b2b9dd0ce6c51) |
—par— |
![{\displaystyle a,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f059f053fcf9f421b7c74362cf3bd5ed024e19d1) |
![{\displaystyle b,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdb96677ba71b937617ca8751955f884f6306b64) |
… |
|
![{\displaystyle (\gamma ,g),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c2a2695277f314dd74aa1841793b6bb94fd7d16) |
![{\displaystyle (\gamma ,g^{\alpha +1}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e613fd272db82e1ab92ccd07ec9b4de7ec53e79) |
……… |
![{\displaystyle (\gamma ,g^{\alpha \beta -\alpha +1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5da3e505710e9010f1d3ac0348b0bb5bcc7dfb71) |
—par— |
![{\displaystyle a',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b05a49df2e92f2cdc842f7aa3b156376d22ffd4a) |
![{\displaystyle b',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07157eaea1e9c4b66912f2ae6fa79e5b24853096) |
…… |
|
![{\displaystyle (\gamma ,g^{2}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c479b595d2fd25bf3311f60365c7d1821a16c74d) |
![{\displaystyle (\gamma ,g^{\alpha +2}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1eb8d24b3d80f1219a3864e970268cc778ed17d) |
……… |
![{\displaystyle (\gamma ,g^{\alpha \beta -\alpha +2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0213abdc46174fe9e3442be1462d5069a94f7c) |
—par— |
![{\displaystyle a'',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00a2f32c6938238c4a8e9b709a00c6299106f9c9) |
![{\displaystyle b'',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/542c3e5f1b4f0f7bf25f553d67eab79169feffcb) |
…… |
|
jusqu’à celles qui composent la période
.
1o. Soit
une racine indéfinie de l’équation
, et supposons que le développement de la puissance
de la fonction
![{\displaystyle t=a+Rb+R^{2}c+...R^{\beta -1}m.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56756f887b8000ea7185f1dbb7620df4ee078781)
soit, par ce qui a été dit (no 345),
![{\displaystyle N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3) |
![{\displaystyle +Aa}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49dad2f546d4bb2fd8fb7af25f742095282d8e5d) |
![{\displaystyle +Bb}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/984424db76ccadd43af98fd0e161252bd8afa81d) |
…… |
![{\displaystyle +Mm}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/306e0456b55d406aba3f7018dca35fae0e0a52c5) |
|
|
![{\displaystyle +A'a'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d81eaffb53d58d17356f43de4dbfc76f2bd11e8b) |
![{\displaystyle +B'b'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b94875598e4406b70e5c54881e45ea84672a63e) |
…… |
|
|
![{\displaystyle +A''a''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc101c020755f556134999a943244a148c6c879b) |
![{\displaystyle +B''b''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/913ea6a109f87f784556337baf77831d461e375c) |
…… |
|
|
etc.
|
où les coefficiens
,
,
,
, etc. seront des fonctions rationnelles entières de
. Supposons aussi que la puissance
des deux
autres fonctions
![{\displaystyle u=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ea08ed932b6883d805e392918b1df37de2a891e) |
![{\displaystyle R^{\beta }a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1a6436887955bbe6a9884b69cb75aff9231e515) |
, |
|
![{\displaystyle u'=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8212346ec6b87d6d1df6534f1bfd4b61dad38015) |
![{\displaystyle b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3) |
, |
|
se développe en
et
, on verra facilement (no 350) que
se tirant de
en changeant
,
,
…
en
,
,
…
respectivement, on aura
![{\displaystyle N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3) |
![{\displaystyle +Ab}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/480477204585aa4d4f873d36527dd94ff1dd6c5d) |
![{\displaystyle +Bc}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/385069cdfc80ccc774bab45f4c3bf3610a3c05ad) |
…… |
![{\displaystyle +Ma}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4af3f5ec0e7c9eef838d57515c2110a7be29f973) |
:
|
|
![{\displaystyle +A'b'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee2305ceb93bee203fba4940f459c07e5754433b) |
![{\displaystyle +B'c'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76a0566a0a1767b2ab39402fc1478238d8d15060) |
…… |
|
|
![{\displaystyle +A''b''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a3b9d95c01bc67baca69acd419785adf784a6c) |
![{\displaystyle +B''c''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40c9a53520258c73482a1cffb3bdc53052c2bd00) |
…… |
|
|
etc.
|
d’ailleurs
, ainsi
; et comme
, les
coefficiens correspondans seront les mêmes dans
et
; enfin, comme
et
ne diffèrent qu’en ce que
est multiplié par l’unité
dans
, et dans
par
, on voit facilement que les coefficiens correspondans, c’est-à-dire ceux qui multiplient les mêmes périodes, sont les mêmes dans
et dans
, et partant dans
et dans
. On a donc
![{\displaystyle A=B=C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c8a7e503dce9189c3025127bda01e72c2bdfa0b)
, etc.
![{\displaystyle =M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c4d1daecfbafa2cfb7340fb13a8bb8872389e3a)
,
—![{\displaystyle A'=B'=C'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c8cbb697c74541b31f81c9ec2d60df1cba82def)
, etc.,
—![{\displaystyle A''=B''=C''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/850595fea77611a4cbd3f66143e8da0c7c11a04e)
, etc., etc.
et partant,
se trouve réduit à la forme
![{\displaystyle T=N+A(\beta \gamma ,1)+A'(\beta \gamma ,g)+A''(\beta \gamma ,g^{2})+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26062bcb22d54257ea9a65f87ee9e1c8ee4f6dd7)
etc.,
où chacun des coefficiens
,
,
, etc. peut être ramené à la forme
![{\displaystyle pR^{\beta -1}+p'R^{\beta -2}+p''R^{\beta -3}+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47fdafb01804373fecaa7712ce71910747e62711)
etc.,
,
,
, etc., étant des nombres entiers donnés.
2o. Si l’on prend pour
une racine déterminée de l’équation
(dont nous supposons avoir déjà la solution), et telle que sa puissance
soit la plus petite qui soit égale à l’unité,
sera aussi une quantité déterminée dont on pourra tirer
par l’équation à deux termes
. Comme cette équation a
racines.
![{\displaystyle t,\,Rt,\,R^{2}t.......\,Rt^{\beta -1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1970cd769ae57ec0e7a1dc7355d6a89251084fd4)
le choix de la racine que l’on doit employer reste douteux ; mais on peut prouver comme il suit que cela est indifférent. On doit
se souvenir que, toutes les valeurs des périodes de
termes étant supposées connues, la racine
n’est déterminée que par la condition d’être une des
racines contenues dans
, et que parconséquent nous sommes parfaitement maîtres de représenter par
la valeur d’une quelconque des périodes qui composent
; et si la valeur d’une de ces périodes étant représentée par
, on a
, et qu’ensuite on représente par
la valeur de la période
que l’on représentait par
,
,
,……
,
, deviendra
,
…
,
,
ce qui donnerait alors
. De même, si l’on veut représenter par
la valeur de la période qui était auparavant représentée par
, la valeur de
deviendra
, et ainsi de suite ;
pourra donc être supposé égal à une quelconque des quantités
,
,
, etc., c’est-à-dire à celle qu’on voudra des racines de l’équation
, pourvu que nous supposions que l’on prenne pour
, tantôt l’une, tantôt l’autre des périodes contenues dans
.
3o. Lorsque la quantité
![{\displaystyle t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560)
a été déterminée de cette manière, il faut chercher les
![{\displaystyle \beta -1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d03c3c82283521942bcefe611c9ed9128749ca0d)
autres qui se déduisent de
![{\displaystyle t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ea3ad87830a1055c7b85c04cf940cfd3b847ae6)
en substituant successivement
![{\displaystyle R^{4},\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71e0848f1a56d8e3fd40587c541386920bdb5a19)
![{\displaystyle R^{\beta }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/949f456010cdaaf2b4783a20e48b320b3eabc457)
à la place de
![{\displaystyle R,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f035e033d7d2c784a07e01448f7605945dfd435)
c’est-à-dire,
![{\displaystyle t'=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f5a0a11b501a147b2e6db0f7528ebd85b80db06) |
...... , |
|
![{\displaystyle t''=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4683c199c25ad83a6beedf7273674803f0a6fad) |
...... , etc. |
|
On connaît déjà la dernière, puisqu’elle devient évidemment
, et les autres se détermineront comme il suit.
Si, en suivant les règles du no 345, on forme le produit
, comme (1o.) on a formé
, on prouvera d’une manière absolument analogue à la précédente, qu’il peut se ramener à la forme
![{\displaystyle N_{1}+A_{1}(\beta \gamma ,1)+A'_{1}(\beta \gamma ,g)+A''(_{1}\beta \gamma ,g^{2})+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcff689d4adb91cd8700dba0504cd0c936b8512a)
etc.
![{\displaystyle =T',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8137f82a0076c3a4cce6ae89df43833666aecb0)
etc. étant des fonctions rationnelles et entières de
et parconséquent
une quantité connue ; d’où l’on tire
De même si le développement du produit
est supposé égal
à
,
aura une forme semblable, et une fois sa valeur connue, on aura
;
se déterminera par l’équation
, où
sera une quantité connue, etc.
Cette méthode cesserait d’être applicable, si l’on pouvait avoir
, ce qui donnerait
etc.
; mais nous pourrions prouver que cette supposition est inadmissible, si nous n’étions forcés d’abréger. Il existe aussi des artifices particuliers par lesquels les fractions
,
, etc. peuvent être converties en fonctions entières de
, et des méthodes plus abrégées pour trouver
,
, etc. lorsqu’on a
; mais nous ne pouvons nous arrêter à ces détails.
4o. Enfin, dès que l’on connaîtra
,
,
, etc., on aura sur-le-champ, par la troisième observation du no précédent,
![{\displaystyle t+t'+t''+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c992e44da47a82c358dca79e38715ede7d3da505)
etc.
![{\displaystyle =\beta a,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e03a1fa8fb21eb5545b91d21fffaf298a944287)
équation qui donnera la valeur de
![{\displaystyle a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)
, et de cette valeur on pourra (
no 346) déduire celle de toutes les périodes de
![{\displaystyle \gamma }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a223c880b0ce3da8f64ee33c4f0010beee400b1a)
termes. Les valeurs de
![{\displaystyle b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3)
,
![{\displaystyle c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455)
,
![{\displaystyle d}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e85ff03cbe0c7341af6b982e47e9f90d235c66ab)
, etc. peuvent aussi se trouver, comme chacun pourra s’en assurer par une légère attention, au moyen des équations suivantes :
![{\displaystyle \beta b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8fa721d3b93d651a1e52ae0cceeb90d08a977ae) |
![{\displaystyle =R^{\beta -1}t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/855ca6ffbb254b5daa029be09f6da3433a327688) |
![{\displaystyle +R^{\beta -2}t'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c10f47e994fa142bed962b4526718df492d562eb) |
![{\displaystyle +R^{\beta -3}t''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bea783d1bcf26dc3aecf6f20b4b3ff9e802d098) |
+ etc.,
|
![{\displaystyle \beta c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9714487cea624913e88c2333fbf41401497f46f5) |
![{\displaystyle =R^{2\beta -2}t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ee7937fdf71f930c58c367ff3792ec7e698e4df) |
![{\displaystyle +R^{2\beta -4}t'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0aa2c5911bf6fb5673c0494e8d27e345596234ac) |
![{\displaystyle +R^{2\beta -6}t''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44dfeb807df6c889e1ad5634a7c7a7ff0f204809) |
+ etc.,
|
![{\displaystyle \beta d}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8da403026742c1ccc1dccafbe5615c8a682d4a7) |
![{\displaystyle =R^{3\beta -3}t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b5c1e5859c3c8df2a2f0d883fb1454dcc03473f) |
![{\displaystyle +R^{3\beta -6}t'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c277a158378666f3057a8edabd776c918732059d) |
etc., |
+ etc.,
|
Parmi les nombreuses observations relatives à la recherche précèdente, nous ne nous arrêterons que sur une seule.
On voit facilement que
obtient le plus souvent une valeur imaginaire de la forme
, desorte que la solution de l’équation dépend de la division en
parties, 1o d’un angle dont la tangente est
; 2o d’un rapport qui est celui de
à
; et il est digne de remarque que la valeur de
peut toujours s’exprimer rationnellement par des quantités déjà connues, desorte que l’on n’a besoin que de la division de l’angle et de l’extraction d’une racine quarrée (nous ne faisons qu’indiquer cette
remarque, que nous ne pouvons détailler ici), par exemple, pour
on n’a besoin que de la trisection de l’angle, tandis que pour la plupart des équations du troisième degré dont toutes les racines sont réelles, on ne peut éviter d’employer la trisection de l’angle et du rapport.
Enfin, comme rien n’empêche que nous ne supposions
,
, et partant
, il est évident que la solution de l’équation
peut être réduite à la solution de l’équation à deux termes du degré
,
où
se déterminera par les racines de l’équation
. D’où il résulte, à l’aide de l’observation que nous venons de faire, que la division du cercle en
parties exige :
1o. La division du cercle en
parties ;
2o. La division en
parties d’un arc qui peut se construire,
lorsque la première division est faite ;
3o. Enfin l’extraction d’une racine quarrée, et l’on peut prouver
que cette racine est toujours
.
361. Il nous reste à examiner de plus près la liaison qui existe entre les racines
et les fonctions trigonométriques des angles
![{\displaystyle {\frac {P}{n}},\,{\frac {2P}{n}},\,{\frac {3P}{n}},.....{\frac {(n-1)P}{n}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7329d2cab94106a02da29d0b505182e35aca86ab)
La méthode que nous avons exposée pour trouver les racines
, laisse de l’incertitude sur celles de ces racines qui répondent à ces différens angles, c’est-à-dire, sur celle que l’on doit égaler à
, celle que l’on doit égaler à
, etc., à moins que l’on ne fasse usage des tables de sinus, ainsi que nous l’avons indiqué, ce qui peut ne pas sembler assez direct. Mais cette incertitude disparaît aisément, si l’on fait attention que les cosinus des angles
![{\displaystyle {\frac {P}{n}},\,{\frac {2P}{n}},\,{\frac {3P}{n}},.....{\frac {(n-1)P}{2n}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02ca86c009f22c66f2f4ca2e39749052d861cb7f)
vont continuellement en décroissant, pourvu que l’on tienne compte du signe, et que les sinus sont positifs, tandis que pour les angles
![{\displaystyle {\frac {(n-1)P}{n}},\,{\frac {(n-2)P}{n}},\,{\frac {(n-3)P}{n}}......{\frac {(n+1)P}{2n}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84943e1ff2457743c70160a9bc7cc9c744573809)
qui ont mêmes cosinus que les premiers, les sinus sont tous négatifs, quoique de même grandeur que les autres. Ainsi, parmi
les racines
, les deux qui ont même partie réelle et pour lesquelles cette partie est la plus grande, répondront aux angles
et
, savoir, au premier celle où la quantité imaginaire
est positive, au second celle où elle est négative. Parmi les
autres racines, les deux qui auront la plus grande partie réelle répondront aux angles
,
, et ainsi de suite. D’ailleurs, aussitôt que l’on connaît la racine à laquelle répond l’angle
, on pourra distinguer les autres, en remarquant que si on la désigne par
, aux angles
,
,
, etc. répondront évidemment les racines
,
,
, etc. Ainsi dans l’exemple du no 353, on voit sur-le-champ qu’il n’y a pas d’autre racine que
qui puisse répondre à l’angle
, et à l’angle
la racine
. De même aux angles
etc. répondent les racines
etc. Dans l’exemple du no 354, la racine
répond évidemment à langle
, la racine
à l’angle
, etc. Ainsi de cette manière les sinus et cosinus des angles
,
, etc. sont entièrement déterminés.
362. Quant à ce qui regarde les autres fonctions trigonométriques de ces angles, on pourrait les tirer des valeurs des sinus et cosinus, par les méthodes connues, savoir, les sécantes et les tangentes en divisant respectivement l’unité ou les sinus par les cosinus, et les cosécantes et les cotangentes, en divisant le rayon ou les cosinus par les sinus. Mais le plus souvent il sera plus commode d’employer les formules suivantes, qui n’exigent que de simples additions.
Soit
un quelconque des angles
,
,…
, et
;
sera une des racines
, et l’on aura
![{\displaystyle \cos \omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d37b8f211b8a478b2911ced89a0af37917bd7382) |
![{\displaystyle ={\frac {1}{2}}\left(R+{\frac {1}{R}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a61e614ec7a404010c6c3ef8f75acef84f15cc4c) |
|
![{\displaystyle \sin \omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15d15b5c79e1d9202b1858c256210e0823aa4fe0) |
![{\displaystyle ={\frac {1}{2i}}\left(R-{\frac {1}{R}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebac2c7cfec9bc709b86a24dedf65efa3878dc23) |
|
et partant
![{\displaystyle \operatorname {sec} \omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b813f3752755d5597c172ee68f0afebe2f9b01c) |
, |
—— |
![{\displaystyle \tan \omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df16302f728ddf254324eadf23c1540a041b765b) |
|
![{\displaystyle \csc \omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7402dde0501d8be72410ee28b3f14854558d84ab) |
, |
|
![{\displaystyle \cot \omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5feb88698b173dcae006d175b8d9ad8d8c4bf086) |
|
Nous allons donner le moyen de transformer les numérateurs de
ces quatre fractions, de manière à les rendre divisibles par les
dénominateurs.
1o. Comme on a
, il en résulte
, expression qui est divisible par
, puisque
est un nombre impair ; donc
![{\displaystyle \operatorname {sec} \omega =R-R^{3}+R^{5}-R^{7}+\dots +R^{2n-1}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2166d9c42b156f24a3248e0011f85d6e7faedd6b)
et partant, puisqu’on a
,
, etc., et parconséquent
,
![{\displaystyle \operatorname {sec} \omega =\cos \omega -\cos 3\omega -\cos 5\omega \dots +\cos(2n-1)\omega ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebdddbf1cb45705c195fbbe09c47d5af81a37a4f)
ou enfin, puisque
,
, etc.,
![{\displaystyle \operatorname {sec} \omega =2\left\{\cos \omega -\cos 3\omega +\cos 5\omega \dots \mp \cos(n-2)\omega \right\}\pm \cos n\omega ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f5eb77bc77935d94c071b8ee8bebc3172d8a56d)
le signe supérieur ou inférieur ayant lieu, suivant que
est
de la forme
ou
. Cette formule peut évidemment se présenter comme il suit :
![{\displaystyle \sec \omega =\pm \left\{1-2\cos 2\omega +2\cos 4\omega ....\pm 2\cos(n-1)\omega \right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f8ea0b0dffb5687f4ced4403a56c9de1b9d508e)
2o. Substituant de même
pour
, on trouve
![{\displaystyle \operatorname {tang} \omega =i(1-R^{2}+R^{4}-R^{6}....-R^{2n}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7c5bc74f0983c5507e36c854d548b619b429c44)
ou, comme
,
,
, etc.
![{\displaystyle \operatorname {tang} \omega =2\left\{\sin 2\omega -\sin 4\omega +\sin 6\omega ....\mp 2\sin(n-1)\omega \right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/338d8a84f674755e1f17f68262c87442d35e68e8)
3o. Comme on a
![{\displaystyle 1+R+R^{2}+R^{4}.....+R^{2n+2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9f041c8992dbf8c54f7d71c55a7ca67c15d18c7)
on en tire
![{\displaystyle n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b) |
|
|
|
expression dont les différentes parties sont divisibles par
, d’où il résulte
![{\displaystyle {\frac {n}{1-R^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53ebf0ff19bb83a6180a0387bfe2f4500a7f0c24) |
|
|
|
|
|
si l’on multiplie par
, que l’on retranche le produit
![{\displaystyle (n-1)(1+R^{2}+R^{4}....+R^{2n-2})=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/686dc1383d9ed9e3693d5e69c85572c416bcc375)
et que l’on multiplie de nouveau par
, on a
![{\displaystyle {\frac {2nR}{1-R^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/061ec487f470a6093b7d135a13c3b8c342dee1e8) |
|
|
|
d’où résulte sur-le-champ,
![{\displaystyle \operatorname {cosec} \omega =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18e67e0f106e6757be0b7b79ceea80902d42d088)
|
… …
|
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743)
|
![{\displaystyle {\frac {2}{n}}\{(n-1)\sin \omega +(n-3)\sin 3\omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ffc93443795f6d93064f138d653ff4e3c89f861)
etc.
|
formule qui peut encore se présenter ainsi
![{\displaystyle \operatorname {cosec} \omega =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18e67e0f106e6757be0b7b79ceea80902d42d088) |
…
|
|
|
4o. En multipliant par
la valeur de
que nous avons donnée plus haut, et en retranchant le produit
![{\displaystyle (n-1)(1+R^{2}+R^{4}+....R^{2n-2})=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/966056dc12c190f4b488f5e190b1b888625d540f)
il vient
![{\displaystyle {\frac {n(1+R^{2})}{1-R^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ef8d195b54724b524b24e0dbf7991c0ba35e717) |
|
|
…
|
d’où
![{\displaystyle \cot \omega =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2b8c457480af585bec3bb80e084ddf6c4fe5b4d)
|
![{\displaystyle {\frac {1}{n}}\{(n-2)\sin 2\omega +(n-4)\sin 4\omega +(n-6)\sin 6\omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1b0cbf27067b0b1772de89c401aaafd9ae3683e) ——————————————…
|
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743)
|
![{\displaystyle {\frac {2}{n}}\{(n-2)\sin 2\omega +(n-4)\sin 4\omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68812ce55efd780357cd45c1b00bba45f3855069) ——————————… ,
|
formule qui peut encore se présenter ainsi qu’il suit :
![{\displaystyle \cot \omega =-{\frac {1}{n}}\{\sin \omega +3\sin 3\omega +...(n-2)\sin(n-2)\omega \}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/410178fb2d08075fc766058b57f219c6097cb083)
363. De même qu’en supposant
, la fonction
peut être décomposée en
facteurs de degré
, aussitôt que l’on connaît les valeurs des
périodes de
termes (no 348), si nous supposons maintenant que
soit une équation du degré
dont les racines soient les sinus, ou toute autre fonction trigonométrique des angles
, la fonction
pourra se décomposer en
facteurs de degré
.
Soient
,
,
, etc. les périodes de
termes dont
est composé, et que
,
,
, etc. contiennent respectivement, les racines
![{\displaystyle [1],[a],[b],[c]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adb2716336055c19a9bf9e0b84c97f7e34e5b617)
, etc.
——![{\displaystyle [a'],[b'],[c']}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f39c7aa4613721e4e892d667bd49a669f4c20ff)
, etc.
——![{\displaystyle [a''],[b''],[c'']}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c9498e09e54954c36089136bdc8c2ef3eeaacb0)
, etc. ;
supposons encore que l’angle
réponde à la racine
, et partant les angles
![{\displaystyle a\omega ,b\omega ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35c1610a71ac7dd4d94a8f102210b5e7469fa911)
, etc.
——![{\displaystyle a'\omega ,b'\omega ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82c6f6010b8ec63cd974af5ef6a7f16fd8465f14)
, etc.
——![{\displaystyle a''\omega ,b''\omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ab6c948f3f512d5b80d778f5212234dc47743d1)
, etc.,
aux racines
![{\displaystyle [a],[b],[c]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03d33744601cfa2a1245dc6778080d328ff7f991)
, etc.
——![{\displaystyle [a'],[b'],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c51646fa6260dbdf7942ce59eb3e0d53a6f3e1b9)
, etc.
——![{\displaystyle [a''],[b'']}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9d615b292ab6b8229c57a3b8e7fdb90146d895e)
, etc. ;
On verra facilement que ces angles pris ensemble coïncident[6], quant à leurs fonctions trigonométriques, avec les angles
![{\displaystyle {\frac {P}{n}},\,{\frac {2P}{n}},\,{\frac {3P}{n}},.....{\frac {(n-1)P}{n}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fd75e8bc37d6eaf0d370bcab5e148d33e7c3703)
si donc la fonction dont il s’agit est désignée par le signe
![{\displaystyle \varphi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e)
placé devant l’angle, et que l’on fasse
![{\displaystyle (x-\varphi \omega )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a212d86a0074ede2040d519defe4c8534a772ab9) |
![{\displaystyle (x-\varphi a\omega )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93badeeebc3239e5f3a73a6265de88d9569645fb) |
etc. |
|
![{\displaystyle (x-\varphi a'\omega )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60ea21ee0920a90d15e6a850c12f80746073c982) |
![{\displaystyle (x-\varphi b'\omega )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/995ec1689b842886ac00de531d59e3b816695e0e) |
etc. |
|
![{\displaystyle (x-\varphi a''\omega )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12a0bb7a763d8e7ae4e1c5f002fc8f2ccdf3a79d) |
![{\displaystyle (x-\varphi b''\omega )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1a1d014f831eef18a84011d5f026aabe0e56889) |
etc. |
etc.,
|
on aura nécessairement
![{\displaystyle YY'Y''......=Z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be1c07790b961bc553688a8763079b64e8123691)
Il nous reste à faire voir que tous les coefficiens, dans les
fonctions
etc. peuvent être ramenés à la forme
![{\displaystyle A+B(f,1)+C(f,g)+D(f,g^{2}).....+L(f,g^{e-1})\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1be1274e14886a13f9b4fefce55e74a3afe1e881)
car alors ils devront être regardés comme connus, dès que l’on connaîtra les valeurs de
etc. Or nous le prouverons de la manière suivante.
Le no précédent fait voir que de la même manière que l’on a
![{\displaystyle \cos \omega ={\frac {1}{2}}[1]+{\frac {1}{2}}[1]^{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0479b58f4e65e72ed5c4ff407ac586c06ac42f81)
,
——![{\displaystyle \sin \omega =-{\frac {i}{2}}[1]+{\frac {i}{2}}[1]^{n-1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c4dcef86fe856f4db2d99a5563d599ccdd41123)
les autres fonctions trigonométriques de l’angle
sont réductibles à la forme
![{\displaystyle A'+B'[1]+C'[1]^{2}+D'[1]^{3}+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b98bf6cff6ef40a9947fe76bd5a51d3dc84e7f4)
etc.,
et l’on voit sans la moindre difficulté, que la même fonction
pour l’angle
est alors
![{\displaystyle A'+B'[k\omega ]+C'[k\omega ]^{2}+D'[k\omega ]^{3}+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3e4cffb4aad0ef372490f60d6dade73c3dc221e)
etc.,
étant un entier quelconque. Or comme les différens coefficiens de
sont des fonctions invariables rationnelles et entières de
etc., il est manifeste que si, à la place de ces
quantités, on substitue leurs valeurs, les différens coefficiens deviendront des fonctions invariables de
etc., et partant (no 347) réductibles à la forme
![{\displaystyle A+B(f,1)+C(f,g)+D(f,g^{2})+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/041e4a5c389441c96afbcbe0ec078b2f50f28bf5)
etc.,
il en est de même des coefficiens
,
etc.
364. Nous ajouterons encore quelques observations à l’égard
du problème du no précédent.
1o. Comme les racines de la période
entrent dans les coefficiens de
de la même manière que les racines de la période
entrent dans les coefficiens de
il suit du no 347 que
peut se déduire de
pourvu que l’on
substitue dans
![{\displaystyle (f,a'),(f,a'g),(f,a'g^{2}),\,{\text{etc.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60eb0178d59c7dfa9aba28b888cf2d51303796ee)
au lieu de
![{\displaystyle (f,1),(f,g),(f,g^{2}),\,{\text{etc.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6df0bc72cf7d48fe46c1cd78faef7de94343bc8f)
De la même manière
se déduira de
en substituant
![{\displaystyle (f,a''),(f,a'g'),(f,a''g^{2}),\,{\text{etc.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d0fd4bbeef62d3a5eaf8dfb3b7d4f284dbe07e1)
au lieu de
![{\displaystyle (f,1),(f,g),(f,g^{2}),\,{\text{etc.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6df0bc72cf7d48fe46c1cd78faef7de94343bc8f)
Ainsi, dès que la fonction
est trouvée, les autres suivent de celle-là sans aucune peine.
2o. Soit
etc.
Les coefîiciens
seront respectivement la somme des
racines de l’équation
la somme de leurs produits deux à deux, etc. Mais souvent ces coefficiens se déterminent plus commodément par une méthode semblable à celle du no 349, c’est-à-dire, en calculant la somme des racines
la somme de leurs quarrés, la somme de leurs cubes, etc., et déduisant de là ces coefficiens par le théorème de Newton. Toutes les fois que
désigne la tangente, sécante, cotangente ou cosécante, on peut encore employer d’autres moyens d’abréviation, mais nous sommes forcés de les passer sous silence.
3o. Le cas où
est un nombre pair mérite une attention particulière ; alors chacune des périodes
est composée
de
périodes de
termes. Soient
, etc. celles qui composent
, les nombres
et
pris ensemble, coïncideront avec la
suite
,
,
,
ou du moins, ce qui revient au même
quant à nos considérations, seront congrus à ceux-ci, suivant le
module
. Mais on a
, etc. en prenant les signes supérieurs, quand
exprime le cosinus ou la sécante, et les signes inférieurs, quand
exprime le sinus, la
tangente, la cotangente ou la cosécante. Il suit de là que dans
les deux premiers cas, les facteurs de
seront égaux deux à deux, et que parconséquent
sera un quarré
si l’on fait
![{\displaystyle y=(x-\varphi \omega )(x-\varphi a_{1}\omega )(x-\varphi b_{1}\omega ),\,{\text{etc.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c60965b7bcc1098575c8073953ca5aa8f5dddce8)
Dans les mêmes cas,
, etc. seront des quarrés, et si l’on suppose que
soit composé des périodes
des périodes
et que l’on fasse
![{\displaystyle y'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a535de94a2183d7130731eab8a83531d7c35c6b) |
|
![{\displaystyle y''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/147ec60507e44a6d376237c0a16132cf7461cd62) |
|
on aura
,
, etc., et la fonction
elle-même sera un quarré (voyez no 337) dont la racine est égale à
, etc.
Au reste, on voit facilement que
,
, etc. se dérivent de
de la même manière que
,
, etc. de
(I) ; et que chaque coefficient de
peut aussi se ramener à la forme
![{\displaystyle A+B(f,1)+C(f,g)+D(f,g^{2}),{\text{etc.}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/856b7c03c11ecbc7831ec497695ba2bd6b2a679e)
puisque les sommes des puissances des racines de l’équation
sont les moitiés des sommes des puissances des racines de l’équation
et partant réductibles à cette forme.
Dans les quatre autres cas,
sera le produit des facteurs
,
,
, etc. et parconséquent de la forme
![{\displaystyle x^{f}-\lambda x^{f-2}+\mu x^{f-4}-{\text{etc.}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ea7346f565758b5dbb71bf72722cfc9e34acc99)
les coefficiens
,
, etc. peuvent se déduire de la somme des quarrés, des biquarrés, etc. des racines
,
,
, etc., et de même pour les fonctions
,
, etc.
Exemple I. Soit
,
, et que
désigne le cosinus. On a
![{\displaystyle \textstyle Z=(x^{8}+{\frac {1}{2}}x^{7}-{\frac {1}{4}}x^{6}-{\frac {3}{4}}x^{5}+{\frac {15}{16}}x^{4}+{\frac {5}{16}}x^{3}-{\frac {5}{32}}x^{2}-{\frac {1}{32}}x+{\frac {1}{256}})^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f438b08afff10ccf64235e16884d279634b9442d)
et il faut parconséquent décomposer
en deux facteurs du quatrième degré
et
. La période
est composée des périodes
![{\displaystyle (2,1),\,(2,9),\,(2,13),\,(2,15),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ddc9daa7f31a01db53739bfcaa7d2b15a479ae3)
d’où
![{\displaystyle y=(x-\varphi \omega )(x-\varphi 9\omega )(x-\varphi 13\omega )(x-\varphi 15\omega ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f32fc65e9c659de19ee38cf1053da91735f5e282)
Substituons
pour
, et désignons indéfiniment
par
la somme des puissances
des racines
,
, etc., nous trouverons
![{\displaystyle S_{1}={\frac {1}{2}}(8,1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c90f31af44289a59234b2fb313f26182127b77b9)
,
——![{\displaystyle S_{2}=2+{\frac {1}{4}}(8,1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb54bd8f6af049fbb4b229f6e09b8a8b12d52ef4)
,
——![{\displaystyle S_{3}={\frac {3}{8}}(8,1)+{\frac {1}{8}}(8,1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/229ba0da53dea8d3cb235e8a8c221f71dcba7aed)
,
——![{\displaystyle S_{4}={\frac {3}{2}}+{\frac {5}{16}}(8,1)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17ae4beeb17dd4392744f6acbed4c01c0ca7765a)
et déterminant par là les coefficiens de
![{\displaystyle y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d)
, à l’aide du théorème de
Newton,
![{\displaystyle y=x^{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5d1f7abd775fba5602237752d4a503bc4aa0c8a) |
|
|
|
se déduit de
en changeant
en
et réciproquement ; ainsi substituant les valeurs
![{\displaystyle (8,1)=-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {17}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7728930031f5f919b843ed453fa0afa7ebf45298)
,
——![{\displaystyle (8,3)=-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {17}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8ebaccc60a0807618215f3d66feb51b6a58c933)
on a
![{\displaystyle y=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b65dd6cfd102bf21539fdabb5b129901cbba4f8) |
|
|
|
![{\displaystyle y'=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42048897f95b485938e65af1742450dd18d3b1ca) |
|
|
|
peut de la même manière être décomposé en quatre facteurs du second degré, qui seront
, |
—— |
|
, |
|
|
et tous les coefficiens de ces facteurs s’exprimeront au moyen des quatre périodes
Or il est évident que le produit des deux premiers facteurs est
, et celui des deux derniers
Exemple II. Si, toutes choses d’ailleurs égales,
est supposé désigner le sinus, ensorte qu’on ait
![{\displaystyle Z=x^{15}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ce533fc8a83bd7516c38246096731480f65d61b) |
![{\displaystyle -{\frac {17}{4}}x^{14}+{\frac {119}{16}}x^{12}-{\frac {221}{32}}x^{10}+{\frac {935}{256}}x^{8}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a80a5803d84352e1fe118afe991fc82a134ce411) |
|
|
|
à décomposer en facteurs du huitième degré
et
,
sera le produit des quatre facteurs du second degré
![{\displaystyle x^{2}-(\varphi \omega )^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22065bb7e387fc295bef26410107919809d59cad)
,
—![{\displaystyle x^{2}-(\varphi 9\omega )^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c445b27782ff292a413f61dbff296228440c6a4)
,
—![{\displaystyle x^{2}-(\varphi 13\omega )^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c72c7bef394eae6362ee27f8851c6507babb147)
,
—![{\displaystyle x^{2}-(\varphi 15\omega )^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a65b516ee588963e14d4b5a8df31465a3b48601)
Or comme on a
, il en résulte
![{\displaystyle (\varphi k\omega )^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44fbcf243f2b6a06d0e80219510158ca540635de) |
|
|
|
de là, en désignant indéfiniment par
la somme des puissances
des racines
on tire
; |
|
—— ;
|
; |
|
|
et partant
![{\displaystyle y=x^{8}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25180b09811e46e5acb4afee46b7b5ac6263929c) |
![{\displaystyle -\left\{2-{\frac {1}{4}}(8,1)\right\}x^{6}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a7ea8df925396ba192ce10679aed908a717de4a) |
|
|
|
|
|
|
—
|
se déduit de
en échangeant entre eux
et
, desorte que par la substitution des valeurs de ces périodes,
on a
![{\displaystyle y=x^{8}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25180b09811e46e5acb4afee46b7b5ac6263929c) |
![{\displaystyle -\left({\frac {17}{8}}-{\frac {1}{8}}{\sqrt {17}}\right)x^{6}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de7df68990088af1f2722527cbb5b9e22d61169b) |
![{\displaystyle +\left({\frac {51}{32}}-{\frac {7}{32}}{\sqrt {17}}\right)x^{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d89cadf34bf14dc39da53eb988437422313707f) |
…
|
… |
![{\displaystyle -\left({\frac {17}{32}}-{\frac {7}{64}}{\sqrt {17}}\right)x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f750435c946f90f14751c1a6033d6e3e01f6edc) |
,
|
![{\displaystyle y'=x^{8}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42b0d25b5f9616dbd37a122a55221959236c105c) |
![{\displaystyle -\left({\frac {17}{8}}+{\frac {1}{8}}{\sqrt {17}}\right)x^{6}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2c23e5dc894d3cfcdc7de99b2f7d06f75aa989a) |
![{\displaystyle +\left({\frac {51}{32}}+{\frac {7}{32}}{\sqrt {17}}\right)x^{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e5e722ef9eaaf8a6adca2c55147bb843f2bddd0) |
…
|
… |
![{\displaystyle -\left({\frac {17}{32}}+{\frac {7}{64}}{\sqrt {17}}\right)x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65ad2b91e71453bdef14228174c4586721815eca) |
.
|
On pourra de la même manière décomposer
en quatre facteurs, dont les coefficiens s’exprimeront au moyen des valeurs des périodes de quatre termes ; le produit de deux d’entre eux sera
, le produit des autres
.
365. Nous avons ainsi réduit par les recherches précédentes
la division du cercle en
parties, si
est un nombre premier, à la solution d’autant d’équations qu’il y a de facteurs dans le nombre
, et dont le degré est déterminé par la grandeur
des facteurs. Ainsi, toutes les fois que
est une puissance de
ce qui arrive pour les valeurs de
![{\displaystyle 3,\quad 5,\quad 17,\quad 257,\quad 65537,\quad {\text{etc.}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95bde2e83504ca1292defd3980c0c11096bf956b)
la division du cercle est réduite à des équations du second
degré seulement, et les fonctions trigonométriques des angles
peuvent être exprimées par des racines quarrées plus ou moins compliquées, suivant la grandeur de
donc, dans ces différens cas, la division du cercle en
parties, ou la description du polygone régulier de
côtés, peut s’exécuter par des constructions géométriques. Par exemple, pour
on tire facilement des nos 354, 361
![{\displaystyle \cos {\frac {P}{17}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abd7189307dedee9f581674a6fe7be86a34360df) |
![{\displaystyle -{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{16}}{\sqrt {17}}+{\frac {1}{16}}{\sqrt {(34-2{\sqrt {17}})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61c59aedad2ef6a29fcc49a06fdcf9dc6c812fb6) |
|
|
![{\displaystyle +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406) ![{\displaystyle {\frac {1}{8}}{\sqrt {\left\{(17+3{\sqrt {17}})-{\sqrt {(34-2{\sqrt {17}})}}-2{\sqrt {(34+2{\sqrt {17}})}}\right\}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8221b5ee56966e5110420a640abf50be599721ae) |
|
les cosinus des multiples de cet angle ont une forme semblable, les sinus ont un radical de plus. Il y a certainement bien lieu de s’étonner que la divisibilité du cercle en
et
parties ayant été connue dès le temps d’Euclide, on n’ait rien ajouté à ces découvertes dans un intervalle de deux mille ans, et que tous les géomètres aient annoncé comme certain, qu’excepté ces divisions et celles qui s’en déduisent (les divisions en
parties), on ne pouvait en effectuer aucune par des constructions géométriques.
Au reste ou prouve facilement que si un nombre premier
est
, le nombre
lui-même ne peut avoir d’autres diviseurs que
, et qu’il est parconséquent de la forme
. En effet
si
était divisible par un nombre impair
plus grand que
l’unité, et qu’on eût ainsi
,
serait divisible par
, et partant composé. Toutes les valeurs de
qui ne conduisent qu’à des équations du second degré, sont donc contenues
sous la forme
; ainsi les cinq nombres
,
,
,
,
s’en déduisent en faisant
,
,
,
,
ou
,
,
,
,
. Mais la réciproque n’est pas vraie, et la division du
cercle n’a lieu géométriquement que pour les nombres premiers
compris dans cette formule. À la vérité Fermat, trompé par
l’induction, avait affirmé que tous les nombres compris
sous cette forme étaient nécessairement premiers ; mais Euler a
remarqué le premier que cette règle était en défaut dès la supposition
ou
qui donne
![{\displaystyle 2^{32}+1=4294967297,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35b512e15b0b7c70378fd823fd7a794b034cdbca)
nombre divisible par
.
Toutes les fois que
renferme des facteurs différens de
on est toujours conduit à des équations plus élevées, par exemple
à une ou plusieurs équations du troisième degré, si
est une
ou plusieurs fois facteur ; à des équations du cinquième degré,
quand
est divisible par
et nous pouvons démontrer en toute rigueur que ces équations ne sauraient en aucune manière être évitées ni abaissées, et quoique
les limites de cet Ouvrage ne nous permettent pas de développer
ici la démonstration de cette vérité, nous avons cru devoir en
avertir, pour éviter que quelqu’un ne voulût essayer de réduire
à des constructions géométriques d’autres divisions que celles
données par notre théorie, et n’employât inutilement son temps
à cette recherche.
366. Si l’on veut diviser le cercle en
parties,
étant un
nombre premier et
il est aisé de voir que la construction
géométrique n’est possible qu’autant que
En effet, si
outre les équations nécessaires pour la division du cercle en
parties,
il faut encore résoudre
équations du degré
que l’on
ne peut non plus ni éviter, ni abaisser. Ainsi le degré des équations nécessaires se connaîtra généralement par les facteurs premiers du nombre
(y compris le cas où
Enfin si l’on doit diviser le cercle en
parties,
étant des nombres premiers, il suffit de savoir
effectuer les divisions en
parties (no 336). Ainsi,
pour connaître le degré des équations nécessaires, on doit considérer les facteurs premiers des nombres
![{\displaystyle (a-1)a^{\alpha -1},\quad (b-1)b^{\beta -1},\quad (c-1)c^{\gamma -1},\quad {\text{etc.}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f580808a600638acda1cf6a85ed27fa11a2b6342)
ou, ce qui revient au même, les facteurs de leur produit. On
remarquera que ce produit indique combien il y a de nombres
moindres que
et premiers avec lui (nno 38). Ainsi la division
ne pourra s’exécuter géométriquement que lorsque ce nombre
est une puissance de
mais quand il renferme d’autres facteurs
premiers
on ne peut éviter en aucune manière les
équations de degré
,
Il suit de là généralement que pour que la division géométrique
du cercle en
parties soit possible,
doit être
ou une puissance de
ou bien un nombre premier de la forme
ou encore le produit d’une puissance de
par un ou plusieurs
nombres premiers différens de cette forme ; ou d’une manière plus
abrégée, il est nécessaire que
ne renferme aucun diviseur impair qui ne soit de la forme
ni plusieurs fois un même
diviseur premier de cette forme.
On trouve de cette manière, au-dessous de
, les trente-huit
valeurs suivantes pour le nombre