Recherches arithmétiques

Carl Friedrich Gauss

Recherches arithmétiques

Traduction par A.-C.-M. Poullet-Delisle.
Courcier, 1807.

TABLE DES MATIÈRES.

Section première. Des Nombres congrus en général.

1 — 3. — 

Nombres congrus, modules, résidus et non-résidus 

 1

4. — 

Résidus minima 

 2

5 — 11. — 

Propositions élémentaires sur les nombres congrus 

 3

11 et 12. — 

Applications 

 4

Section seconde. Des Congruences du premier degré.

13 — 25. — 

Théorèmes préliminaires sur les nombres premiers, les diviseurs, etc. 

 6

26 — 31. — 

Résolution des congruences du premier degré 

 11

32 — 36. — 

De la recherche d’un nombre congru à des nombres donnés suivant des modules donnés 

 15

37. — 

Congruences du premier degré à plusieurs inconnues 

 19

38 et suiv. — 

Différens théorèmes 

 22

Section troisième. Des résidus des puissances.

45 — 48. — 

Les résidus des termes d’une progression géométrique qui commence par l’unité, forment une suite périodique 

 31

___Des modules qui sont des nombres premiers.

49. — 

Si le module est un nombre premier $p$, le nombre des termes de la période divise nécessairement $p-1$ 

 32

50, 51. — 

Théorème de Fermat 

 34

52 — 56. — 

À combien de nombres répondent les périodes dont le nombre des termes est un diviseur donné de $p-1$ 

 35

57. — 

Racines primitives, bases, indices 

 40

58, 59. — 

Algorithme des indices 

 40

60 — 68. — 

Des racines de la congruence $x^{n}\equiv A$ 

 42

69 — 71. — 

Relation entre les indices pour différens systèmes 

 50

72. — 

Bases choisies pour des usages particuliers 

 52

73, 74. — 

Méthode pour trouver les racines primitives 

 53

75 — 81. — 

Divers théorèmes sur les périodes et les racines primitives 

 55

76. — 

(Théorème de Wilson) 

 56

82 — 89. — 

Des modules qui sont des puissances de nombres premiers 

 60

90 — 91. — 

Des modules qui sont des puissances de $2$ 

 65

92, 93. — 

Des modules composés 

 67

Section quatrième. Des congruences du second degré.

94, 95. — 

Résidus et non-résidus quadratiques 

 69

96, 97. — 

Toutes les fois que le module est un nombre premier, le nombre des résidus moindres que lui est égal au nombre des non-résidus 

 76

98, 99. — 

La question de savoir si un nombre composé est résidu d’un nombre premier donné, dépend de la nature de ses facteurs 

 72

100 — 105. — 

Des modules composés 

 73

106. — 

Caractère général auquel on peut reconnaître si un nombre donné est résidu ou non-résidu d’un nombre premier donné 

 78

107 et suiv. — 

Recherches sur les nombres premiers qui ont pour résidus ou non-résidus des nombres premiers donnés 

 79

108 — 111. — 

Résidu $-1$ 

 79

112 — 116. — 

Résidu $+2$ et $-2$ 

 81

117 — 120. — 

Résidu $+3$ et $-3$ 

 85

121 — 123. — 

Résidu $+5$ et $-5$ 

 87

124. — 

Résidu $+7$ et $-7$ 

 90

125 — 129. — 

Préparation à une recherche générale 

 91

130 — 134. — 

Le théorème général (fondamental) s’établit par induction ; conclusions qu’on en déduit 

 95

135 — 144. — 

Démonstration rigoureuse de ce théorème 

 101

145. — 

Méthode analogue de démontrer le théorème du n^o 114 

 106

146. — 

Solution du problème général 

 108

147 — 150. — 

Des formes linéaires qui contiennent tous les nombres premiers dont un nombre quelconque donné est résidu ou non-résidu 

 110

151. — 

Travaux des autres géomètres sur ce sujet 

 114

152. — 

Des congruences complètes du second degré 

 116

Section cinquième. Des formes et des équations du second degré.

153. — 

Objet de la recherche ; définition et notation des formes 

 118

154. — 

Représentation des nombres ; déterminans 

 119

155, 156. — 

Valeurs de l’expression $\textstyle {\sqrt {(b^{2}-ac)}}{\pmod {M}}$ auxquelles appartient la représentation du nombre $M$ par la forme $(a,b,c)$ 

 119

157. — 

Forme qui en contient une autre, ou qui y est contenue ; transformation propre ou impropre 

 121

158. — 

Équivalence propre et impropre 

 122

159. — 

Formes opposées 

 123

160. — 

contiguës 

 125

161. — 

Diviseurs communs des coefficiens des formes 

 125

162. — 

Relation entre les transformations semblables d’une forme donnée en une autre forme donnée 

 126

163. — 

Formes ambiguës 

 131

164 — 165. — 

Théorème relatif au cas où une forme est contenue à-la-fois dans une autre proprement et improprement 

 132

166 — 170. — 

Considérations générales sur les représentations des nombres par les formes et leur liaison avec les transformations 

 137

171 — 182. — 

Des formes de déterminant négatif 

 141

182. — 

Applications particulières à la décomposition des nombres en deux quarrés, en un quarré et le double d’un autre, en un quarté et le triple d’un autre 

 155

Section cinquième . Des formes et des équations du second degré. (suite 1)

183 — 205. — 

Des formes de déterminant positif non quarré 

 159

Section cinquième . Des formes et des équations du second degré. (suite 2)

206 — 212. — 

Des formes de déterminant quarré 

 200

213 — 214. — 

Des formes qui sont contenues dans d’autres, auxquelles elles ne sont cependant pas équivalentes 

 206

215. — 

Des formes de déterminant $=0$ 

 212

216 — 221. — 

Solution générale en nombres entiers de toutes les équations indéterminées du second degré à deux inconnues 

 215

222. — 

Remarques historiques 

 221

Section cinquième . Des formes et des équations du second degré. (suite 3)

Recherches ultérieures sur les formes.

223 — 225. — 

Distribution par classes des formes de déterminant donné 

 223

226 — 227. — 

........................ des classes en ordres 

 227

228 — 237. — 

Division des ordres en genres 

 230

238 — 244. — 

De la composition des formes 

 254

Section cinquième . Des formes et des équations du second degré. (suite 4)

245. — 

Comparaison des ordres 

 268

246 — 248. — 

.............. des genres 

 268

249 — 251. — 

.............. des classes 

 273

252. — 

Pour un déterminant donné chaque genre d’un même ordre contient le même nombre de classes 

 277

253 — 256. — 

Composition des nombres de classes contenues dans deux genres d’ordres differens 

 277

257 — 260. — 

Du nombre de classes ambiguës 

 287

261. — 

Il y a toujours une moitié des caractères assignables pour un déterminant donné, à laquelle ne répond aucun genre proprement primitif (positif quand le déterminant est négatif) 

 295

262. — 

Seconde démonstration du théorème fondamental, et des théorèmes relatifs aux résidus $-1$, $+2$ et $-2$ 

 296

263 — 264. — 

On déterminera plus exactement cette moitié des caractères assignables auxquels ne répond aucun genre 

 299

265. — 

Méthode particulière pour décomposer un nombre premier donné en deux quarrés 

 302

Section cinquième . Des formes et des équations du second degré. (suite 5)

266 — 285. — 

Digression contenant un traité des formes ternaires, 

 304

Section cinquième . Des formes et des équations du second degré. (fin)

286 — 307. — 

___Quelques applications à la théorie des formes binaires

286. — 

Trouver une forme de la duplication de laquelle résulte une forme binaire donnée 

 338

287 (3^o). — 

Il répond effectivement des genres à tous les caractères, excepté à ceux qui (n^os 262, 263) ont été démontrés impossibles 

 340

288 — 292. — 

Théorie de la décomposition des nombres et des formes binaires en trois quarrés 

 342

293. — 

Démonstration des théorèmes de Fermat, que tout nombre entier est décomposable en trois nombres triangulaires ou en quatre quarrés 

 353

294 — 295. — 

Résolution de l’équation $ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=0$ 

 354

296 — 298. — 

Sur la méthode par laquelle Legendre a traité le théorème fondamental 

 359

299. — 

Représentation de zéro par des formes ternaires quelconques 

 364

300. — 

Résolution générale en nombres rationnels des équations indéterminées du second degré à deux inconnues 

 367

301. — 

Du nombre moyen de genres 

 368

302 — 304. — 

...................rde classes 

 370

305 — 307. — 

Algorithme particulier des classes proprement primitives ; déterminans réguliers et irréguliers 

 376

Section sixième. Application des recherches précédentes.

308. — 

 

 388

309 — 311. — 

Décomposition des fractions en fractions plus simples 

 388

312 — 318. — 

Réduction des fractions ordinaires en fractions décimales 

 390

319 — 322. — 

Résolution de la congruence $x^{2}\equiv A$ par une méthode d’exclusion 

 398

323 — 326. — 

Résolution de l’équation indéterminée $mx^{2}+ny^{2}=A$ par exclusions 

 402

327, 328. — 

Autre méthode pour résoudre la congruence $x^{2}\equiv A$, quand $A$ est négatif 

 411

329 et suiv. — 

Deux méthodes pour distinguer les nombres composés des nombres premiers, et pour chercher leurs facteurs 

 416

Section septième. Des équations qui déterminent les divisions du cercle.

335. — 

 

 429

336. — 

On réduit la recherche au cas le plus simple, où le nombre des parties en lesquelles on doit diviser le cercle, est un nombre premier 

 430

337. — 

Équations pour les fonctions trigonométriques des arcs qui sont une ou plusieurs parties aliquotes de la circonférence. Réduction des fonctions trigonométriques aux racines de l’équation $x^{n}-1=0$ 

 431

339, 340. — 

Théorie des racines de cette équation, en supposant n un nombre premier ; si l’on omet la racine 1, les autres $(\Omega )$ seront données par l’équation $X=x^{n-1}+x^{n-2}+{\text{etc.}}+x+1=0$ 

 433

341. — 

La fonction $X$ ne peut être décomposée en facteurs de degré moindre dans lesquels les coefficiens soient rationnels 

 435

342. — 

Objet des recherches suivantes 

 437

343. — 

Toutes les racines $\Omega$ sont distribuées par périodes 

 438

344 — 351. — 

Divers théorèmes sur ces périodes 

 440

352. — 

Solution de l’équation $X=0$ établie sur ces recherches 

 452

353, 354. — 

Exemples pour $n=19$, où la difficulté est réduite à deux équations du troisième degré et une du second, et pour $n=17$, où elle est réduite à quatre équations du second degré 

 455

356. — 

Recherches ultérieures sur ce sujet. Les valeurs des périodes dans lesquelles le nombre de termes est pair, sont toujours réelles 

 463

357, 358. — 

De l’équation qui détermine la distribution en deux, ou en trois périodes 

 465

359, 360. — 

Les équations qui donnent les racines $\Omega$ peuvent toujours être ramenées à des équations à deux termes 

 473

361. — 

Application des recherches précédentes aux fonctions trigonométriques ; Méthode pour distinguer les angles qui répondent aux différentes racines $\Omega$ 

 478

362. — 

On tire des sinus et cosinus les valeurs des tangentes, cotangentes, sécantes, cosécantes, sans se servir de la division 

 480

363, 364. — 

Méthode pour abaisser successivement les équations qui donnent les fonctions trigonométriques 

 482

365, 366. — 

Divisions du cercle qui peuvent s’effectuer par de seules équations du second degré, c’est-à-dire, par des constructions géométriques 

 487

ADDITIONS DE L’AUTEUR.

N^o 28 

 490

N^os 151, 296, 297 

 490

N^o 288 — 293 

 491

N^o 306, VIII 

 491

N^o 306, X 

 491

NOTES DU TRADUCTEUR

Note sur le n^o 162 

 492

Note sur le n^o 164 

 494

TABLES.

Table première (n^os 58, 91) 

 497

Table II (n^o 99) 

 499

Table III (n^o 316) 

 501

FIN DE LA TABLE DES MATIÈRES.