Livre:Gauss - Recherches arithmétiques, traduction Poullet-Delisle, 1807.djvu

Titre	Recherches arithmétiques
Auteur	Carl Friedrich Gauss
Traducteur	A.-C.-M. Poullet-Delisle
Maison d’édition	Courcier
Lieu d’édition	Paris
Année d’édition	1807
Bibliothèque	Bibliothèque nationale de France
Fac-similés	djvu
Avancement	Terminé

Pages

Titre - Titre -

v vi vii viii ix x

Préface

xi xii xiii xiv xv

Table des matières

xvi xvii xviii xix xx

Errata

xxi xxii

Section I

1 2 3 4 5

Section II

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Section III

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68

Section IV

69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117

Section V

118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387

Section VI

388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428

Section VII

429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489

Additions

490 491

Notes du traducteur

492 493 494 495 496

Tables

497 498 499 500 501 502 -

TABLE DES MATIÈRES.

Section première. Des Nombres congrus en général.

1 — 3. — 

Nombres congrus, modules, résidus et non-résidus 

 1

4. — 

Résidus minima 

 2

5 — 11. — 

Propositions élémentaires sur les nombres congrus 

 3

11 et 12. — 

Applications 

 4

Section seconde. Des Congruences du premier degré.

13 — 25. — 

Théorèmes préliminaires sur les nombres premiers, les diviseurs, etc. 

 6

26 — 31. — 

Résolution des congruences du premier degré 

 11

32 — 36. — 

De la recherche d’un nombre congru à des nombres donnés suivant des modules donnés 

 15

37. — 

Congruences du premier degré à plusieurs inconnues 

 19

38 et suiv. — 

Différens théorèmes 

 22

Section troisième. Des résidus des puissances.

45 — 48. — 

Les résidus des termes d’une progression géométrique qui commence par l’unité, forment une suite périodique 

 31

___Des modules qui sont des nombres premiers.

49. — 

Si le module est un nombre premier $p$, le nombre des termes de la période divise nécessairement $p-1$ 

 32

50, 51. — 

Théorème de Fermat 

 34

52 — 56. — 

À combien de nombres répondent les périodes dont le nombre des termes est un diviseur donné de $p-1$ 

 35

57. — 

Racines primitives, bases, indices 

 40

58, 59. — 

Algorithme des indices 

 40

60 — 68. — 

Des racines de la congruence $x^{n}\equiv A$ 

 42

69 — 71. — 

Relation entre les indices pour différens systèmes 

 50

72. — 

Bases choisies pour des usages particuliers 

 52

73, 74. — 

Méthode pour trouver les racines primitives 

 53

75 — 81. — 

Divers théorèmes sur les périodes et les racines primitives 

 55

76. — 

(Théorème de Wilson) 

 56

82 — 89. — 

Des modules qui sont des puissances de nombres premiers 

 60

90 — 91. — 

Des modules qui sont des puissances de $2$ 

 65

92, 93. — 

Des modules composés 

 67

Section quatrième. Des congruences du second degré.

94, 95. — 

Résidus et non-résidus quadratiques 

 69

96, 97. — 

Toutes les fois que le module est un nombre premier, le nombre des résidus moindres que lui est égal au nombre des non-résidus 

 76

98, 99. — 

La question de savoir si un nombre composé est résidu d’un nombre premier donné, dépend de la nature de ses facteurs 

 72

100 — 105. — 

Des modules composés 

 73

106. — 

Caractère général auquel on peut reconnaître si un nombre donné est résidu ou non-résidu d’un nombre premier donné 

 78

107 et suiv. — 

Recherches sur les nombres premiers qui ont pour résidus ou non-résidus des nombres premiers donnés 

 79

108 — 111. — 

Résidu $-1$ 

 79

112 — 116. — 

Résidu $+2$ et $-2$ 

 81

117 — 120. — 

Résidu $+3$ et $-3$ 

 85

121 — 123. — 

Résidu $+5$ et $-5$ 

 87

124. — 

Résidu $+7$ et $-7$ 

 90

125 — 129. — 

Préparation à une recherche générale 

 91

130 — 134. — 

Le théorème général (fondamental) s’établit par induction ; conclusions qu’on en déduit 

 95

135 — 144. — 

Démonstration rigoureuse de ce théorème 

 101

145. — 

Méthode analogue de démontrer le théorème du n^o 114 

 106

146. — 

Solution du problème général 

 108

147 — 150. — 

Des formes linéaires qui contiennent tous les nombres premiers dont un nombre quelconque donné est résidu ou non-résidu 

 110

151. — 

Travaux des autres géomètres sur ce sujet 

 114

152. — 

Des congruences complètes du second degré 

 116

Section cinquième. Des formes et des équations du second degré.

153. — 

Objet de la recherche ; définition et notation des formes 

 118

154. — 

Représentation des nombres ; déterminans 

 119

155, 156. — 

Valeurs de l’expression $\textstyle {\sqrt {(b^{2}-ac)}}{\pmod {M}}$ auxquelles appartient la représentation du nombre $M$ par la forme $(a,b,c)$ 

 119

157. — 

Forme qui en contient une autre, ou qui y est contenue ; transformation propre ou impropre 

 121

158. — 

Équivalence propre et impropre 

 122

159. — 

Formes opposées 

 123

160. — 

contiguës 

 125

161. — 

Diviseurs communs des coefficiens des formes 

 125

162. — 

Relation entre les transformations semblables d’une forme donnée en une autre forme donnée 

 126

163. — 

Formes ambiguës 

 131

164 — 165. — 

Théorème relatif au cas où une forme est contenue à-la-fois dans une autre proprement et improprement 

 132

166 — 170. — 

Considérations générales sur les représentations des nombres par les formes et leur liaison avec les transformations 

 137

171 — 182. — 

Des formes de déterminant négatif 

 141

182. — 

Applications particulières à la décomposition des nombres en deux quarrés, en un quarré et le double d’un autre, en un quarté et le triple d’un autre 

 155

Section cinquième . Des formes et des équations du second degré. (suite 1)

183 — 205. — 

Des formes de déterminant positif non quarré 

 159

Section cinquième . Des formes et des équations du second degré. (suite 2)

206 — 212. — 

Des formes de déterminant quarré 

 200

213 — 214. — 

Des formes qui sont contenues dans d’autres, auxquelles elles ne sont cependant pas équivalentes 

 206

215. — 

Des formes de déterminant $=0$ 

 212

216 — 221. — 

Solution générale en nombres entiers de toutes les équations indéterminées du second degré à deux inconnues 

 215

222. — 

Remarques historiques 

 221

Section cinquième . Des formes et des équations du second degré. (suite 3)

Recherches ultérieures sur les formes.

223 — 225. — 

Distribution par classes des formes de déterminant donné 

 223

226 — 227. — 

........................ des classes en ordres 

 227

228 — 237. — 

Division des ordres en genres 

 230

238 — 244. — 

De la composition des formes 

 254

Section cinquième . Des formes et des équations du second degré. (suite 4)

245. — 

Comparaison des ordres 

 268

246 — 248. — 

.............. des genres 

 268

249 — 251. — 

.............. des classes 

 273

252. — 

Pour un déterminant donné chaque genre d’un même ordre contient le même nombre de classes 

 277

253 — 256. — 

Composition des nombres de classes contenues dans deux genres d’ordres differens 

 277

257 — 260. — 

Du nombre de classes ambiguës 

 287

261. — 

Il y a toujours une moitié des caractères assignables pour un déterminant donné, à laquelle ne répond aucun genre proprement primitif (positif quand le déterminant est négatif) 

 295

262. — 

Seconde démonstration du théorème fondamental, et des théorèmes relatifs aux résidus $-1$, $+2$ et $-2$ 

 296

263 — 264. — 

On déterminera plus exactement cette moitié des caractères assignables auxquels ne répond aucun genre 

 299

265. — 

Méthode particulière pour décomposer un nombre premier donné en deux quarrés 

 302

Section cinquième . Des formes et des équations du second degré. (suite 5)

266 — 285. — 

Digression contenant un traité des formes ternaires, 

 304

Section cinquième . Des formes et des équations du second degré. (fin)

286 — 307. — 

___Quelques applications à la théorie des formes binaires

286. — 

Trouver une forme de la duplication de laquelle résulte une forme binaire donnée 

 338

287 (3^o). — 

Il répond effectivement des genres à tous les caractères, excepté à ceux qui (n^os 262, 263) ont été démontrés impossibles 

 340

288 — 292. — 

Théorie de la décomposition des nombres et des formes binaires en trois quarrés 

 342

293. — 

Démonstration des théorèmes de Fermat, que tout nombre entier est décomposable en trois nombres triangulaires ou en quatre quarrés 

 353

294 — 295. — 

Résolution de l’équation $ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=0$ 

 354

296 — 298. — 

Sur la méthode par laquelle Legendre a traité le théorème fondamental 

 359

299. — 

Représentation de zéro par des formes ternaires quelconques 

 364

300. — 

Résolution générale en nombres rationnels des équations indéterminées du second degré à deux inconnues 

 367

301. — 

Du nombre moyen de genres 

 368

302 — 304. — 

...................rde classes 

 370

305 — 307. — 

Algorithme particulier des classes proprement primitives ; déterminans réguliers et irréguliers 

 376

Section sixième. Application des recherches précédentes.

308. — 

 

 388

309 — 311. — 

Décomposition des fractions en fractions plus simples 

 388

312 — 318. — 

Réduction des fractions ordinaires en fractions décimales 

 390

319 — 322. — 

Résolution de la congruence $x^{2}\equiv A$ par une méthode d’exclusion 

 398

323 — 326. — 

Résolution de l’équation indéterminée $mx^{2}+ny^{2}=A$ par exclusions 

 402

327, 328. — 

Autre méthode pour résoudre la congruence $x^{2}\equiv A$, quand $A$ est négatif 

 411

329 et suiv. — 

Deux méthodes pour distinguer les nombres composés des nombres premiers, et pour chercher leurs facteurs 

 416

Section septième. Des équations qui déterminent les divisions du cercle.

335. — 

 

 429

336. — 

On réduit la recherche au cas le plus simple, où le nombre des parties en lesquelles on doit diviser le cercle, est un nombre premier 

 430

337. — 

Équations pour les fonctions trigonométriques des arcs qui sont une ou plusieurs parties aliquotes de la circonférence. Réduction des fonctions trigonométriques aux racines de l’équation $x^{n}-1=0$ 

 431

339, 340. — 

Théorie des racines de cette équation, en supposant n un nombre premier ; si l’on omet la racine 1, les autres $(\Omega )$ seront données par l’équation $X=x^{n-1}+x^{n-2}+{\text{etc.}}+x+1=0$ 

 433

341. — 

La fonction $X$ ne peut être décomposée en facteurs de degré moindre dans lesquels les coefficiens soient rationnels 

 435

342. — 

Objet des recherches suivantes 

 437

343. — 

Toutes les racines $\Omega$ sont distribuées par périodes 

 438

344 — 351. — 

Divers théorèmes sur ces périodes 

 440

352. — 

Solution de l’équation $X=0$ établie sur ces recherches 

 452

353, 354. — 

Exemples pour $n=19$, où la difficulté est réduite à deux équations du troisième degré et une du second, et pour $n=17$, où elle est réduite à quatre équations du second degré 

 455

356. — 

Recherches ultérieures sur ce sujet. Les valeurs des périodes dans lesquelles le nombre de termes est pair, sont toujours réelles 

 463

357, 358. — 

De l’équation qui détermine la distribution en deux, ou en trois périodes 

 465

359, 360. — 

Les équations qui donnent les racines $\Omega$ peuvent toujours être ramenées à des équations à deux termes 

 473

361. — 

Application des recherches précédentes aux fonctions trigonométriques ; Méthode pour distinguer les angles qui répondent aux différentes racines $\Omega$ 

 478

362. — 

On tire des sinus et cosinus les valeurs des tangentes, cotangentes, sécantes, cosécantes, sans se servir de la division 

 480

363, 364. — 

Méthode pour abaisser successivement les équations qui donnent les fonctions trigonométriques 

 482

365, 366. — 

Divisions du cercle qui peuvent s’effectuer par de seules équations du second degré, c’est-à-dire, par des constructions géométriques 

 487

ADDITIONS DE L’AUTEUR.

N^o 28 

 490

N^os 151, 296, 297 

 490

N^o 288 — 293 

 491

N^o 306, VIII 

 491

N^o 306, X 

 491

NOTES DU TRADUCTEUR

Note sur le n^o 162 

 492

Note sur le n^o 164 

 494

TABLES.

Table première (n^os 58, 91) 

 497

Table II (n^o 99) 

 499

Table III (n^o 316) 

 501

FIN DE LA TABLE DES MATIÈRES.