Recherches arithmétiques/Section septième

Carl Friedrich Gauss

Recherches arithmétiques

Traduction par A.-C.-M. Poullet-Delisle.
Courcier, 1807 (p. 429-489).

SECTION SEPTIÈME.

Des Équations qui déterminent les Sections circulaires.

335. Parmi les accroissemens importans dont les travaux des modernes ont enrichi les Mathématiques, les fonctions circulaires tiennent sans aucun doute le premier rang. Cette étonnante espèce de quantités, à laquelle nous sommes conduits à chaque instant dans des recherches qui y semblent tout-à-fait étrangères, et du secours desquelles ne peut se passer aucune partie des Mathématiques, a occupé avec tant d’assiduité la pénétration des plus grands géomètres, et ils en ont fait une théorie si vaste, qu’on ne pouvait guère s’attendre qu’une partie de cette théorie, partie élémentaire et pour ainsi dire placée à l’entrée, pût recevoir des accroissemens considérables. Je parle de la théorie des fonctions trigonométriques, qui répondent aux arcs commensurables avec la circonférence, ou de la théorie des polygones réguliers, dont on ne connaît jusqu’à présent que la plus petite partie, ainsi qu’on le verra par cette Section. Le lecteur pourrait s’étonner de rencontrer une semblable recherche dans un ouvrage consacré à une doctrine qui paraît au premier abord absolument hétérogène ; mais l’exposition fera voir bien clairement quelle est la liaison de ce sujet et de l’Arithmétique transcendante.

Au reste, les principes de la théorie que nous entreprenons d’exposer, s’étendent bien plus loin que nous ne le faisons voir ici ; ils peuvent en effet s’appliquer non-seulement aux fonctions circulaires, mais aussi avec autant de succès à beaucoup d’autres fonctions transcendantes, par exemple, à celles qui dépendent de l’intégrale $\int {\frac {dx}{\sqrt {1-x^{4}}}},$ et en outre à différens genres de congruences ; mais comme nous préparons un Ouvrage assez étendu sur les fonctions transcendantes, et que dans la suite de ces Recherches arithmétiques nous traiterons amplement des congruences, nous avons cru ne devoir considérer ici que les fonctions circulaires, et même quoique nous pussions les embrasser dans toute leur généralité, nous les réduirons au cas le plus simple, comme on va le voir dans le n^o suivant, tant dans le dessein d’abréger, que pour rendre d’une intelligence plus facile les principes tout-à-fait nouveaux de cette théorie.

336. Si nous désignons par $P$ la circonférence du cercle, ou quatre angles droits, que nous supposions entiers les nombres $m$ et $n,$ et $n$ égal au produit des facteurs premiers entre eux $a,b,c,{\text{etc}}.\ ;$ l’angle $A={\frac {mP}{n}}$ peut, par le n^o 310, être mis sous la forme

$A=\left({\frac {\alpha }{a}}+{\frac {\beta }{b}}+{\frac {\gamma }{c}}\ +\ {\text{etc}}.\right)P,$

et les fonctions trigonométriques qui en dépendent se déduiront, par les méthodes connues, des fonctions correspondantes aux parties $A={\frac {\alpha P}{a}},\ {\frac {\beta P}{b}},\ {\text{etc}}.$ Ainsi, comme on peut toujours prendre pour $a,b,c,etc.$ des nombres premiers ou des puissances de nombres premiers, il suffit évidemment de considérer la section du cercle en parties dont le nombre est premier, ou une puissance d’un nombre premier, et le polygone de n côtés se déduira sur-le-champ des polygones de $a,b,c,etc.$ côtés. Cependant ici nous bornerons nos recherches au cas où l’on doit diviser le cercle en un nombre premier impair de parties. En effet, il est constant que les fonctions circulaires qui répondent à l’angle ${\frac {mP}{p^{2}}},$ se déduisent de celles qui appartiennent à l’angle ${\frac {mP}{p}},$ par la solution d’une équation du degré des premières on déduira, par une équation de même degré, celles qui appartiennent à l’angle ${\frac {mP}{p^{3}}},$ de manière que, si l’on connaît déjà le polygone de $p$ côtés, on a nécessairement besoin de la résolution de $\lambda -1$ équations du degré $p$ pour obtenir le polygone de $p^{\lambda }$ côtés ; et même si nous pouvions étendre notre théorie à ce cas, nous n’en serions pas moins conduits au même nombre d’équations du degré $p,$ qui ne peuvent se réduire en aucune manière, si $p$ est un nombre premier.

Ainsi, par exemple, nous ferons voir plus bas que le polygone de $17$ côtés peut être construit géométriquement ; mais pour déterminer le polygone de $289$ côtés, on ne peut éviter d’aucune manière l’équation du dix-septième degré.

337. Tout le monde sait que les fonctions trigonométriques des angles ${\frac {kP}{n}}$, $k$ désignant indéfiniment les nombres $0$, $1$, $2$, …$n-1$, sont les racines d’une équation du degré $n$ ; ces équations sont :

pour les sinus,— $x^{n}-{\frac {1}{4}}nx^{n-2}$ $+{\frac {1}{16}}{\frac {n(n-3)}{1.2}}x^{n-4}$

$-{\frac {1}{64}}{\frac {n(n-4)(n-5)}{1.2.3}}x^{n-6}$ + etc. $=0$ ….(I)

pour les-cosinus,— $x^{n}-{\frac {1}{4}}nx^{n-2}$ $+{\frac {1}{16}}{\frac {n(n-3)}{1.2}}x^{n-4}$

$-{\frac {1}{64}}{\frac {n(n-4)(n-5)}{1.2.3}}x^{n-6}$ $+$ etc. $={\frac {1}{2^{n-1}}}$ …(II)

pour les-tangentes,— $x^{n}$ $-{\frac {n(n-1)}{1.2}}nx^{n-2}$

$+{\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{1.2.3.4}}x^{n-4}$ $+$ etc. $\pm nx$ $=0$ …(III)

Ces équations, qui sont toutes vraies quand $n$ est impair (la seconde l’est même quand $n$ est pair), se réduisent facilement au degré $m$, en faisant $x=2m+1$, savoir, pour la première et la troisième, en divisant par $x$ et posant ensuite $x^{2}=y$ ; quant à la seconde, elle renferme nécessairement la racine $x=1=\cos 0$, et les autres sont égales deux à deux, $\cos {\frac {P}{n}}=\cos {\frac {(n-1)P}{n}}$, $\cos {\frac {2P}{n}}=\cos {\frac {(n-2)P}{n}}$, etc. Donc l’équation est divisible par $x-1$ et le quotient est un quarré. En extrayant la racine, l’équation devient
$x^{m}+{\frac {1}{2}}x^{m-1}$ $-{\frac {1}{4}}(m-1)x^{m-2}$ $-{\frac {1}{8}}(m-2)x^{m-3}$

$\textstyle +{\frac {1}{16}}{\frac {(m-2)(m-3)}{1.2}}x^{m-4}$ $\textstyle +{\frac {1}{32}}{\frac {(m-1)(m-4)}{1.2}}x^{m-5}-$ etc. $=0$,

dont les racines sont les cosinus des angles ${\frac {P}{n}}$, ${\frac {2P}{n}}$, ${\frac {3P}{n}}$, …${\frac {nP}{n}}$. On ne connaissait pas jusqu’à présent de réductions ultérieures de ces équations, même pour le cas où $n$ est un nombre premier.

Cependant aucune de ces équations n’est si commode à traiter, ni se prête tant à notre dessein, que l’équation $x^{n}-1=0$, dont on sait que les racines sont intimement liées avec les racines des premières. En effet, si l’on représente par $i$ la quantité imaginaire ${\sqrt {-1}}$, les racines de l’équation $x^{n}-1=0$ sont représentées par la formule

$\cos {\frac {KP}{n}}+i\,\sin {\frac {KP}{n}}=r$,

où l’on doit prendre pour $K$ tous les nombres $1$, $2$, $3$,…$n-1$ ; ainsi, comme on a

${\frac {1}{r}}=\cos {\frac {KP}{n}}-i\,\sin {\frac {KP}{n}}$,

les racines de l’équation (I) seront exprimées par

${\frac {1}{2i}}\left(r-{\frac {1}{r}}\right),\quad {\text{ou}}\quad {\frac {i\left(1-r^{2}\right)}{2r}}$ ;

celles de l’équation (II) par ${\frac {1}{2}}\left(r+{\frac {1}{r}}\right)={\frac {1+r^{2}}{2r}}$ ;

celles de l’équation (III) par ${\frac {i\left(1-r^{2}\right)}{1+r^{2}}}$.

C’est pourquoi nous établirons nos considérations sur l’équation $x^{n}-1=0$, en supposant que $n$ soit un nombre premier impair ; mais pour ne pas interrompre l’ordre de nos recherches, nous commencerons par le lemme suivant.

338. Problème. Étant donnée l’équation (W)…$\mathrm {} z^{m}+Az^{m-2}+{\text{etc.}}=0,$ trouver une équation (W'), dont les racines soient les puissances $\lambda$ de celles de l’équation (W), $\lambda$ étant un nombre entier positif donné.

Désignons les racines de l’équation (W) par $a$, $b$, $c$, etc., celles de l’équation (W') devront être $a^{\lambda }$, $b^{\lambda }$, $c^{\lambda }$, etc. Or, par le théorème de Newton, on peut trouver en fonction des coefficiens de l’équation (W), la somme des puissances quelconques des racines $a$, $b$, $c$, etc. ; on cherchera donc les sommes

$a^{\lambda }+b^{\lambda }+c^{\lambda }$, ——$a^{2\lambda }+b^{2\lambda }+c^{2\lambda }+$ etc., etc.,

jusqu’à $\qquad a^{m\lambda }+b^{m\lambda }+c^{m\lambda }+$ etc.,
d’où par le procédé inverse tiré du même théorème, on pourra déduire les coefficiens de l’équation (W’). On voit en même temps que si les coefficiens de l’équation (W) sont tous rationnels, ceux de l’équation (W’) le seront aussi ; on pourrait même prouver par une autre voie, que si les premiers sont entiers, les autres le seront ; mais comme ce théorème ne nous est pas nécessaire, nous ne nous y arrêterons pas ici.

339. L’équation $x^{n}-1=0$ (en supposant, comme il faut toujours le faire par la suite, que $n$ est un nombre premier impair), ne renferme qu’une seule racine réelle $x=1$ ; les $n-1$ autres, qui sont donnés par l’équation

$x^{n-1}+x^{n-2}+\,{\text{etc.}}\,+x+1=0,$…………(X)

sont toutes imaginaires ; nous en désignerons l’ensemble par $\Omega$. Si donc $r$ est une racine quelconque de $X=0$, on aura

$1=r^{2}=r^{2n}=\,{\text{etc.}},$ et généralement $\,1=r^{en}$

pour toute valeur entière de $e$, soit positive, soit négative. D’où l’on voit que si $\lambda$ et $\mu$, sont des nombres entiers congrus suivant $n$, on aura $r^{\lambda }=r^{\mu }$ ; mais si $\lambda$ et $\mu$ sont incongrus suivant le module $n$, $r^{\lambda }$ et $r^{\mu }$ seront inégaux. Dans ce cas, on peut déterminer un nombre entier $\nu$, tel qu’on ait

$(\lambda -\mu )\nu \equiv 1{\pmod {n}}$ et partant, $r^{(\lambda -\mu )\nu }=r$ ;

donc $r^{\lambda -\mu }$ ne sera certainement pas $=1$ : or il est clair que toute puissance de $r$ est racine de l’équation $x^{n}-1=0$ ; parconséquent comme toutes les quantités $1=r^{0}$, $r$, $r^{2}$, $r^{3}$,…$r^{n-1}$ sont différentes, elles représentent toutes les racines de l’équation $x^{n}-1=0$, et $r$, $r^{2}$…$r^{n-1}$ coïncident avec les racines $\Omega .$ On conclut facilement de là que $\Omega$ coïncide avec $r^{e}$, $r^{2e}$, $r^{3e}$… $r^{(n-1)e}$, $e$ étant un entier quelconque, positif ou négatif, et non-divisible par $n$. On aura parconséquent

$X=(x-r^{e})(x-r^{2e})(x-r^{3e})+\ldots \ldots +(x-r^{(n-1)e})$ ;

d’où........	$r^{e}+r^{2e}+\ r^{3e}+\ldots \ldots +r^{(n-1)e}$	$=-1\,;$
et.............	$1+r^{e}+r^{2e}+\ldots \ldots \ldots \ldots +r^{(n-1)e}$	$=0.$

Nous appellerons réciproques deux racines telles que $r$ et ${\frac {1}{r}}$, ou plus généralement $r^{e}$, $r^{-e}$, et il est clair que le produit des deux facteurs simples $x-r$ et $x-{\frac {1}{r}}$ est

$x^{2}-2x\,\cos \omega +1$,

l’angle $\omega$ étant $={\frac {P}{n}}$, ou à un de ses multiples.

340. Ainsi, comme en représentant une racine de $X=0$ par $r$, toutes les racines de l’équation $x^{n}-1=0$ sont exprimées par les différentes puissances de $r$, le produit de plusieurs d’entre ces racines pourra être exprimé par $r^{\lambda }$, de quelque manière qu’il soit composé, $\lambda$ étant $=0$, ou positif et $<n$ ; et si l’on désigne par $\varphi (t,u,v...)$ une fonction algébrique rationnelle et entière des indéterminées $t$, $u$, $v$, etc., dont les différens termes soient de la forme $ht^{\alpha }u^{\beta }v^{\gamma },$ etc., il est évident, qu’en prenant pour $t$, $u$, $v$, etc. quelques-unes des racines de l’équation $x^{n}-1=0$, par exemple, $t=a$, $u=b$, $v=c$, etc .; $\varphi (t,u,v...)$ pourra être mise sous la forme

$A+A'r+A''r^{2}+A'''r^{3}+......+A^{\nu }r^{n-1}\,;$

de manière que les coefficiens $A$, $A'$, etc. (dont quelques-uns peuvent être = 0), soient des quantités déterminées ; et tous ces coefficiens seront entiers, si tous ceux qui sont représentés indéfiniment par $h$ sont des nombres entiers. Si ensuite l’on substitue $a^{2}$, $b^{2}$, $c^{2}$… pour $t$, $u$, $v$… respectivement, le terme tel que $ht^{\alpha }u^{\beta }v^{\gamma }$… qui se réduisait à $r^{\lambda }$, se réduira par la nouvelle substitution, à $r^{2\lambda }$, desorte que l’on aura

$\varphi (a^{2},b^{2},c^{2}...)=A+A'r^{2}+A''r^{4}+A'''r{6}+......+A^{\nu }r^{2n-2}.$

On aura de même en général, $\mu$ étant un nombre entier quelconque

$\varphi (a^{\mu },b^{\mu },c^{\mu }...)=A+A'r^{\mu }+A''r^{2\mu }+A'''r^{3\mu }+...+A^{\nu }r^{(n-1)\mu },$

proposition extrêmement importante, et qui sert de base aux recherches que nous allons faire.

Il suit de là que

$\varphi (1,1,1,...)=\varphi (a^{n},b^{n},c^{n})=A+A'+A''...+A^{\nu },$

et que

$\varphi (a,b,c)+\varphi (a^{2},b^{2},c^{2})+\ {\text{etc}}.\ +\varphi (a^{n},b^{n},c^{n})=nA.$

Ainsi cette somme est toujours divisible par $n$ quand tous les coefficiens déterminés (tels que $h$), dans $\varphi (t,u,v)$ sont des nombres entiers.

341. Théorème. Si la fonction $\mathrm {X}$ (n^o 339) est divisible par une fonction d’un degré inférieur

$\mathrm {P=x^{\lambda }+Ax^{\lambda -1}+Bx^{\lambda -2}+\,{\text{etc.}}\,+Kx+L} ,$

les coefficiens $\mathrm {A} ,$ $\mathrm {B} ,\dots$ $\mathrm {L}$ ne peuvent pas être tous entiers ni rationnels.

Soit $X=PQ$, (π) l’ensemble des racines de l’équation $P=0$, (χ) l’ensemble des racines de l’équation $Q=0$, ensorte que Ω soit composé de (π) et de (χ) ; soit encore (ϱ) l’ensemble des racines réciproques aux racines (π), et (σ) l’ensemble des racines réciproques aux racines (χ), et supposons que les racines contenues dans (ϱ) soient données par l’équation $R=0$, qui sera évidemment

$x^{\lambda }+{\frac {K}{L}}x^{\lambda -1}+\ {\text{etc}}.\ +{\frac {A}{L}}x+{\frac {1}{L}}=0,$

tandis que les racines contenues dans (σ) seront données par l’équation $S=0$. Il est manifeste que les racines (ϱ) et (σ) prises ensemble composent Ω, et qu’ainsi l’on aura $RS=X$. Cela posé, nous avons quatre cas à distinguer :

1^o . Quand (π) coïncide avec (ϱ) et qu’on a parconséquent $P=R$. Dans ce cas les racines (π) seront réciproques deux à deux, et parconséquent $P$ est le produit de ${\frac {1}{2}}\lambda$ facteurs doubles tels que

$x^{2}-2x\,\cos \omega +1=(x-\cos \omega )^{2}+\sin ^{2}\omega ,$

d’où il suit que quel que soit $x$, pourvu qu’il soit réel, $P$ obtiendra une valeur réelle positive. Soient

$P'=0,\quad P''=0,\quad P'''=0,\dots P^{\nu }=0$

les équations qui donnent les quarrés, cubes, biquarrés, etc., $n-1$ puissances, des racines (π), et $p,$ $p',$ $p'',$…$p^{\nu }$ les valeurs de $P,$ $P',$ $P''$…$P^{\nu }$ respectivement, quand on y fait $x=1\,:$ par ce qui a été dit précédemment $p,$ $p'\dots$ $p^{\nu }$ seront des quantités réelles et positives. Or $p$ est la valeur qu’obtient la fonction

$(1-t)(1-u)(1-v)\,{\text{etc.}}$

quand on y substitue pour $t$, $u,$ $v,$ etc. les racines (π) ; $p'$ est la valeur de cette même fonction, quand on substitue pour $t,$ $u,$ $v,$ etc. les quarrés de ces mêmes racines ; et d’ailleurs la valeur qui résulte de la supposition $t=1,$ $u=1,$ $v=1,$ etc., est évidemment $=0\,;$ donc la somme $p+p'+p''+{\text{etc.}}+p^{\nu }$ sera entière et divisible par $n\,:$ en outre on voit facilement que le produit $PP'P''\dots =X^{\lambda },$ et partant $pp'p''\dots =n^{\lambda }.$

Maintenant si tous les coefficiens de $P$ étaient rationnels, tous ceux de $P',$ $P'',$ etc. le seraient aussi, par le n^o 338, et par le n^o 42, ils seraient tous entiers ; donc $p,$ $p',$ $p'',$ etc. le seraient ; comme d’ailleurs le produit de ces derniers nombres est $n^{\lambda },$ et que leur nombre est $n-1>\lambda ,$ plusieurs d’entre eux devraient être égaux à $1,$ et les autres seraient égaux à $n,$ ou à une puissance de $n.$ Si donc il y en a $g$ qui soient égaux à $1,$ on aura

$p+p'+p''+\,{\text{etc}}.\,\equiv g{\pmod {n}},$

et partant non-divisible par $n.$ Donc la supposition ne peut subsister.

2^o . Quand (π) et (ϱ) ne coïncident pas, mais contiennent quelques racines qui leur sont communes, soit (τ) l’ensemble de ces racines, et $T=0$ l’équation qui les donnerait ; il suit de la théorie des équations que $T$ sera le plus grand commun diviseur des fonctions $P$ et $R.$ Or il est évident que les racines comprises dans (τ) sont réciproques deux à deux, d’où l’on conclura par ce qui a été démontré précédemment, que tous les coefficiens de $T$ ne peuvent être rationnels. Mais cela arriverait nécessairement si tous les coefficiens de $P$ et partant ceux de $R$ étaient rationnels, comme on peut le voir par la nature de l’opération par laquelle on cherche le plus grand diviseur commun ; donc cette supposition est absurde.

3^o . Quand (χ) et (p) coïncident, ou du moins renferment des racines communes, on prouvera de la même manière, que tous les coefficiens de $Q$ ne peuvent pas être rationnels ; or ils le seraient nécessairement si ceux de $P$ l’étaient ; donc cette dernière supposition est impossible.

4^o . Si enfin il n’y a aucune racine commune ni à (π) et (ϱ), ni à (χ) et (σ), toutes les racines (π) coïncideront nécessairement avec les racines (σ), et les racines (χ) avec les racines (ϱ), et partant on aura $P=S$, $Q=R$ ; donc

$\textstyle X=PQ=PR$

   $\textstyle =\left(x^{\lambda }+Ax^{\lambda -1}+\dots +Kx+L\right)\left(x^{\lambda }+{\frac {K}{L}}x^{\lambda -1}+\dots +{\frac {A}{L}}x+{\frac {1}{L}}\right),$

d’où résulte, en faisant $x=1,$

$nL=(1+A+\dots +K+L)^{2}.$

Or si tous les coefficiens de $P$ étaient rationnels, ils seraient entiers (n^o 42), partant ceux de $R$ le seraient aussi ; donc $L$, qui devrait diviser l’unité, dernier terme de $X$, ne pourrait être que $\pm 1$, et il s’ensuivrait que $\pm n$ serait un quarré, ce qui est absurde, puisque $n$ est un nombre premier.

Il suit évidemment de ce théorème, que, de quelque manière que l’on décompose $X$ en facteurs, les coefficiens, ou du moins une partie d’entre eux, sont irrationnels, et parconséquent ne peuvent être déterminés que par des équations qui passent le premier degré.

342. Le but de nos recherches, qu’il n’est pas inutile d’annoncer ici en peu de mots, est de décomposer $X$ graduellement en un nombre de facteurs de plus en plus grand, et cela de manière à ce que les coefficiens de ces facteurs puissent être déterminés par des équations du degré le plus bas possible, jusqu’à ce que, de cette manière, on parvienne à des facteurs simples, ou aux racines Ω. Nous ferons voir que si l’on décompose le nombre $p-1$ en facteurs entiers quelconques $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, etc. (pour lesquels on peut prendre les facteurs premiers), $X$ est décomposable en $\alpha$ facteurs du degré ${\frac {n-1}{\alpha }}$, dont les coefficiens seront déterminés par une équation du degré $\alpha$ ; que chacun de ces facteurs est décomposable en $\beta$ facteurs du degré ${\frac {n-1}{\alpha \beta }}$, à l’aide d’une équation de degré $\beta$, etc. Desorte que $\nu$ étant le nombre des facteurs $\alpha ,$ $\beta ,$ $\gamma ,$ etc., la recherche des racines $\Omega$ est ramenée à la résolution de $\nu$ équations des degrés $\alpha ,$ $\beta ,$ $\gamma ,$ etc.

Par exemple, pour $n=17$, on a $n=2.2.2.2$ ; il faut résoudre quatre équations du second degré ; pour $n=73$, il faut en résoudre trois du second et deux du troisième.

Comme nous aurons souvent à considérer par la suite des puissances de $r$ dont les exposans sont eux-mêmes des puissances, et que ces sortes d’expressions se prêtent difficilement à l’impression, nous userons de l’abréviation suivante pour $r$, $r^{2}$, $r^{3}$, etc. Nous écrirons $[1]$ , $[2]$, $[3]$, etc. et généralement $[\lambda ]$ pour $r^{\lambda }$, $\lambda$ étant un nombre entier quelconque. Ces expressions ne sont pas entièrement déterminées, mais elles le deviennent lorsque l’on prend pour $r$ ou $[1]$ une racine déterminée de $\Omega$. Ainsi $[\lambda ]$ et $[\mu ]$ seront en général égaux ou inégaux, suivant que $\lambda$ et $\mu$ seront congrus ou incongrus suivant le module $n$. En outre on a

$[0]=1$,——-.$[\lambda ].[\mu ]=[\lambda +\mu ]$, ——$[\lambda ]^{\mu }=[\lambda \mu ]$,

et …………$[0]+[\lambda ]+[2\lambda ]+[3\lambda ]+\,etc.\,+[(n-1)\lambda ]=0$, ou $n$,

suivant que $\lambda$ est non-divisible ou divisible par $n$.

343. Si, pour le module $n$, $g$ est un de ces nombres que (Section III) nous avons appelés racines primitives, les $n-1$ nombres $1$, $g$, $g^{2}$, …$g^{n-2}$ seront congrus aux nombres $1$, $2$, $3$,…$n-1$ suivant le module $n$, quoique l’ordre ne soit pas le même, c’est-à-dire que tout nombre de la première suite sera congru à un de ceux de la seconde. Il suit de là que les racines

$[1]$,——$[g]$, ——$[g^{2}]$.....——$[g^{n-2}]$,

coïncident avec $\Omega$ ; et de même plus généralement

$[\lambda ]$,——$[\lambda g]$, ——$[\lambda ]g^{2}]$.....——$[\lambda g^{n-2}]$

coïncident avec $\Omega$, si $\lambda$ est un nombre entier quelconque, mais non-divisible par $n$. Et comme on a $g^{n-1}\equiv 1{\pmod {n}}$, on voit sans peine que les deux racines $[\lambda g^{\mu }]$, $[\lambda g^{\nu }]$ sont identiques ou différentes, suivant que $[\lambda g^{\mu }]$ et $[\lambda g^{\nu }]$ sont congrus ou incongrus suivant le module $n-1$.

Si donc $G$ est une autre racine primitive, les racines $[1]$, $[g]$……$[g^{n-2}]$ coïncideront ainsi avec les racines $[1]$, $[G]$,…$[G^{n-2}]$, abstraction faite de l’ordre. Mais en outre, on prouve facilement que si $e$ est un diviseur de $n-1$, et qu’on pose $n-1=ef$, $g^{e}=h$, $G^{e}=H$, les $f$ nombres

$[1]$,——$[h]$, ——$[h^{2}]$.....——$[h^{f-1}],$

sont congrus, suivant le module $n$, à ceux-ci :

$[1]$,——$[H]$, ——$[H^{2}]$.....——$[H^{f-1}],$

sans avoir égard à l’ordre. Supposons en effet $G\equiv g^{\omega }{\pmod {n}}$, et soit $\mu$ un nombre quelconque positif et $<f$, et $\nu$ le résidu minimum de $\mu \omega {\pmod {f}}$, on aura $\nu e\equiv \mu \omega e{\pmod {n-1}}$, donc

$g^{\nu e}\equiv g^{\mu \omega e}\equiv g^{\mu e}{\pmod {n}}$——ou——$H^{\mu }\equiv h^{\mu },$

c’est-à-dire que tout nombre de la première suite $1$, $h$, $h^{2}$, etc. est congru à un de ceux de la seconde $1$, $H$, $H^{2}$, etc., et réciproquement.

Il suit de là évidemment qu’il y a identité entre les racines

$[1]$,-$[h]$, -$[h^{2}]$.....-$[h^{f-1}]$ —et— $[1]$,-$[H]$, -$[H^{2}]$.....-$[H^{f-1}],$

ou plus généralement entre les racines

$[\lambda ]$, $[\lambda h]$, $[\lambda h^{2}]$, ,… $[\lambda h^{f-1}]$ —et— $[\lambda ]$, $[\lambda H]$, $[\lambda H^{2}]$,… $[\lambda H^{f-1}]$.

Nous désignerons par $(f,\lambda )$ la somme de semblables racines, telle que

$[\lambda ]+[\lambda h]+[\lambda h^{2}]+$, etc. $+[\lambda h^{f-1}]\,;$

et comme elle ne change pas, lorsque l’on prend pour $g$ une autre racine primitive, elle doit être regardée comme indépendante de $g$, et l’ensemble de ces racines s’appellera période $(f,\lambda )$, dans laquelle on ne considère pas l’ordre des racines^[1].

Pour présenter une pareille période, il sera convenable de réduire chacune des racines qui la composent à sa plus simple expression, en remplaçant les nombres $\lambda$, $\lambda h$, $\lambda h^{2}$, etc. par leurs résidus minima, suivant le module $n$ ; et si l’on veut, on peut ordonner les termes de la période suivant la grandeur de ces nombres.

Exemple. Pour $n=19$, $2$ est racine primitive, et la période $(6,1)$ est composée des racines

${\begin{array}{lcccccc}&[1],&[8],&[64],&[512],&[4096],&[32768],\\{\text{ou}}.......&[1],&[7],&[8],&[11],&[12],&[18]\,;\\\end{array}}$

de même la période $(6,2)$ est composée des racines

${\begin{array}{lcccccc}[2],&[3],&[5],&[14],&[16],&[17]\,;\\\end{array}}$

la période $(6,3)$ coïncide avec la précédente, et la période $(6,4)$ contient les racines

${\begin{array}{lcccccc}[4],&[6],&[9],&[10],&[13],&[15].\\\end{array}}$

344. On remarquera, au sujet de ces périodes, les observations suivantes, qui se présentent d’elles-mêmes :

1^o . Comme on a $\lambda h^{f}\equiv \lambda ,\;\lambda h^{f+1}\equiv \lambda h,\,{\text{etc.}}{\pmod {n}}$, il est évident que les périodes

$(f,\lambda ),\quad (f,\lambda h)\quad (f,\lambda h^{2}),\,{\text{etc.}}\,$

sont composées des mêmes racines, et généralement si $\lambda '$ est une racine quelconque de $(f,\lambda )$, cette période sera identique avec $(f,\lambda ')$. Donc deux périodes, de même nombre de termes (que nous nommerons périodes semblables), seront identiques, si elles ont une seule racine commune, et parconséquent il est impossible que de deux racines contenues dans une certaine période, il ne s’en trouve qu’une seule dans une période semblable : et il est clair que si les racines $[\lambda ]$, $[\lambda ']$ appartiennent à la même période, la valeur de l’expression ${\frac {\lambda '}{\lambda }}{\pmod {n}}$ sera congrue à une certaine puissance de $h$, ou que l’on peut supposer $\lambda '\equiv \lambda g^{\nu e}{\pmod {n}}$.

2^o. Si $f=n-1$, on a $e=1$, et la période $(f=1)$ coïncide avec $\Omega$ ; mais dans les autres cas $\Omega$ sera composé des $e$ périodes $(f,1),(f,g),(f,g^{2}),\,{\text{etc.,}}\,\dots \,(f,g^{e-1})$, et comme ces périodes sont toutes différentes entre elles, il est clair que toute autre période semblable $(f,\lambda )$ coïncide avec l’une d’elles, pourvu que $[\lambda ]$ soit une des racines $\Omega ,$ c’est-à-dire, que $\lambda$ ne soit pas divisible par $n.$ Quant à la période $(f,0)$ ou $(f,kn),$ elle est évidemment composée de $f$ unités. On voit même que si $\lambda$ est un nombre quelconque non-divisible par $n,$ l’ensemble des $e$ périodes

$(f,\lambda )$,——$(f,\lambda g)$, ——$(f,\lambda g^{2})$,——$(f,\lambda g^{3})$,…——$(f,\lambda g^{e-1})$

coïncide encore avec $\Omega .$

Ainsi, par exemple, pour $n=19$ et $f=6,$ $\Omega$ est composé des trois périodes $(6,1),$ $(6,2),$ $(6,4),$ à une desquelles toute autre semblable, excepté $(6,0),$ peut être ramenée.

3^o . Si $n-1$ est le produit des trois nombres positifs $a,$ $b,$ $c,$ il est évident que toute période de $bc$ termes est composée de $b$ périodes dont chacune a $c$ termes, c’est-à-dire que $(bc,\lambda )$ est composée des périodes

$(c,\lambda )$,——$(c,\lambda g^{a})$, ——$(c,\lambda g^{2a})$,…——$(c,\lambda g^{ab-a})\,;$

c’est pourquoi nous dirons que ces dernières sont contenues dans $(bc,\lambda ).$

Ainsi, pour $n=19,$ la période $(6,1)$ est composée des trois $(2,1),$ $(2,8),$ $(2,7),$ dont la première contient les racines $r,$ $r^{18}\,;$ la seconde, $r^{8},$ $r^{11}\,;$ la troisième, $r^{7},$ $r^{12}.$

345. Théorème. Soient $(f,\lambda ),$ $(f,\mu )$ deux périodes semblables, identiques ou différentes, et $[\lambda ],$ $[\lambda '],$ $[\lambda ''],$ etc. les racines qui composent $(f,\lambda )\,;$ le produit de $(f,\lambda )$ par $(f,\mu )$ sera la somme de $f$ périodes semblables, c’est-à-dire,

$=(f,\lambda +\mu )+(f,\lambda '+\mu )+(f,\lambda ''+\mu )+$, etc. $=W.$.

Soit comme plus haut $n-1=ef,$ $g$ une racine primitive pour le module $n,$ et $h=ge,$ on aura par ce qui précède

$(f,\lambda )=(f,\lambda h)=(f,\lambda h^{2})$, etc. ;

le produit cherché sera donc

$[\mu ].(f,\lambda )+[\mu h].(f,\lambda h)+[\mu h^{2}].(f,\lambda h^{2})+$, etc.,

et partant

${\begin{array}{lllll}&[\lambda +\mu ]&+[\lambda h+\mu ]&+[\lambda h^{2}+\mu ]&...+[\lambda h^{f-1}+\mu ]\\+&[\lambda h+\mu h]&+[\lambda h^{2}+\mu h]&+[\lambda h^{3}+\mu h]&...+[\lambda h^{f}+\mu h]\\+&[\lambda h^{2}+\mu h^{2}]&+[\lambda h^{3}+\mu h^{2}]&+[\lambda h^{4}+\mu h^{2}]&...+[\lambda h^{f+1}+\mu h^{2}]\\+&{\text{etc.}}\,\end{array}}$

Cette expression contiendra en tout $f^{2}$ racines, et si l’on prend séparément la somme de chaque colonne verticale, on trouve que la somme totale est, comme nous l’avons annoncé, égale à

$=(f,\lambda +\mu )+(f,\lambda h+\mu )+(f,\lambda h^{2}+\mu )+...+(f,\lambda h^{f-1}+\mu )\,;$

or $\lambda '\equiv \lambda h,\,\lambda ''\equiv \lambda h^{2},$ etc., suivant le module $n$, et partant

$\lambda '+\mu \equiv \lambda h+\mu ,\,\lambda ''+\mu \equiv \lambda h^{2}+\mu ,+\,{\text{etc.}}\,$

Nous joindrons à ce théorème les corollaires suivans :

1^o . $k$ étant un nombre entier quelconque, le produit de $(f,k\lambda )$ par $(f,k\mu )$ est

$\left(f,k(\lambda +\mu )\right)+\left(f,k(\lambda '+\mu )\right)+\left(f,k(\lambda ''+\mu )\right)+$ etc.

2^o . Comme les différentes parties qui composent $W$ coïncident évidemment avec $(f,0)=n$, ou avec une des périodes

$(f,1),\quad (f,g),\quad (f,g^{2})\dots (f,g^{e-1}),$

il est évident que $W$ peut se ramener à la forme suivante :

$W=af+b(f,1)+b'(f,g)+b''(f,g^{2})+\,{\text{etc.}}\,+b^{(\sigma )}(f,g^{e-1}),$

où les coefficiens $a$, $b$, $b'$, etc. sont entiers et positifs ou quelques-uns $=0$ ; et en outre, que le produit de $(f,k\lambda )$ par $(f,k\mu )$ devient alors

$af+b(f,k)+b'(f,gk)+b''(f,g^{2}k)+\,{\text{etc.}}\,+b^{(\sigma )}(f,g^{e-1}k).$

Ainsi, pour $n=19$, le produit de la somme $(6,1)$ par elle-même, ou le quarré de cette somme, est

$(6,2)+(6,8)+(6,9)+(6,12)+(6,13)+(6,19),$

ou…………$(6,2)+2(6,1)+(6,2)+2(6,4).$

3^o . Comme le produit de chacun des termes de $W$ par une période semblable $(f,\nu )$ peut être ramené à une forme analogue, il est évident que le produit $(f,\lambda ).(f,\mu ).(f,\nu )$ peut être représenté par

$cf+d(f,1)+d'(f,g)+\,{\text{etc}}.\,+d^{(\sigma )}(f,g^{e-1}),$

$c,\,d,\,d'$, etc. étant tous entiers et positifs, et qu’en outre, si $k$ est entier, on a

$(f,\lambda k).(f,\mu k).(f,\nu k)=cf+d(f,k)+\,{\text{etc}}.+\,d^{(\sigma )}(f,g^{e-1}).$

On étendra de la même manière ce théorème aux produits de tant de périodes semblables qu’on voudra, et il importe peu que ces périodes soient toutes différentes, ou en partie différentes, et en partie identiques, ou même toutes identiques.

4^o . Il suit de là que si dans une fonction algébrique rationnelle et entière $F=\varphi (t,u,v...),$ on substitue pour les indéterminées $t,\,u,\,v,\,{\text{etc.}}$ respectivement, les périodes semblables $(f,\lambda ),\,(f,\mu ),\,(f,\nu ),\,{\text{etc.}},$ la valeur de cette fonction est toujours réductible à la forme

$A+B(f,1)+B'(f,g)+B''(f,g^{2})\dots +B^{(\sigma )}(f,g^{e-1}),$

et que les coefficiens $A,\,B,\,B',\,{\text{etc.}}$ seront tous entiers, si les coefficiens de la fonction $F$ le sont eux-mêmes. Si ensuite on substitue pour $t,\,u,\,v,\,{\text{etc}},$ respectivement les périodes $(f,\lambda k),$ $(f,\mu k)$, $(f,\nu k),$ la valeur de $F$ sera de la forme

$A+B(f,k)+B'(f,kg)+\,{\text{etc.}}$

346. Théorème. Si l’on suppose que $\lambda$ est un nombre non-divisible par $\mathrm {n} ,$ et que pour abréger on fasse $\mathrm {(f,\lambda )=p} ,$ toute autre période semblable $\mathrm {(f,\mu )}$ où $\mu$ est aussi non-divisible par $\mathrm {n} ,$ peut être mise sous la forme

$\mathrm {\alpha +\beta p+\gamma p^{2}+\,{\text{etc.}}\,+\theta p^{e-1}} ,$

de manière que les coefficiens $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,\dots \theta ,$ soient rationnels et déterminés.

Désignons par $p',\,p'',\,p''',\,{\text{etc.}}$ les périodes $(f,\lambda g),\,(f,\lambda g^{2}),\,{\text{etc.}}$ jusqu’à $(f,\lambda g^{e-1}),$ dont le nombre est $e-1,$ et avec une desquelles $(f,\mu )$ coïncidera nécessairement. On aura sur-le-champ l’équation

$0=1+p+p'+p''+p'''+\,{\text{etc}}.$………(I),

et en formant, d’après le n^o précédent, les puissances de $p$ jusqu’à $p^{e-1},$ on aura les $e-2$ autres équations ${\begin{array}{llllllllll}0&=p^{2}&+A&+ap&+a'p'&+a''p''&+a'''p'''&+&{\text{etc.}}&.....(II)\\0&=p^{3}&+B&+bp&+b'p'&+b''p''&+b'''p'''&+&{\text{etc.}}&.....(III)\\0&=p^{4}&+C&+cp&+c'p'&+c''p''&+c'''p'''&+&{\text{etc.}}&.....(IV),\\&{\text{etc}}.\end{array}}$

où tous les coefficiens $A,\,a,\,a',{\text{etc.,}}\,B,\,b,\,b',\,{\text{etc.}},\,{\text{etc.}}$ sont entiers et indépendans de $\lambda ,$ ainsi qu’on peut le conclure du n^o précédent ; c’est-à-dire, que les mêmes équations auront lieu quelle que soit la valeur que l’on donne à $\lambda \ ;$ cette remarque s’étend à l’équation (I), pourvu que $\lambda$ ne soit pas divisible par $n.$

Supposons maintenant $(f,\mu )=p'\,;$ si $(f,\mu )$ était égale à une autre des périodes $p''$, $p''',\,{\text{etc.}},$ il est évident que l’on pourrait employer des raisonnemens analogues. Comme le nombre des équations (I), (II), (III), etc. est $e-1$, les quantités $p'',\,p'''\,{\text{etc.}},$ dont le nombre est $e-2,$ pourront être éliminées de manière à ce qu’on ait une équation telle que

$0=A'+B'p+C'p^{2}+\,{\text{etc.}}\,+M'p^{e-1}+N'p'$………(Z),

dans laquelle $A',\,B',\,\dots N'$ sont entiers et ne sont pas tous nuls à-la-fois. Or si $N'$ n’est pas $=0,$ il est clair que cette équation donnera pour $p'$ une valeur de la forme annoncée ; ainsi il ne nous reste plus qu’à démontrer que l’on ne peut avoir $N'=0.$

En supposant $N'=0,$ l’équation Z devient

$M'p^{e-1}+\,{\text{etc.}}\,+C'p^{2}+B'p+A'=0,$

à laquelle ne peut satisfaire au plus qu’un nombre $e-1$ de valeurs de $p.$ Mais comme les équations dont on a tiré Z sont indépendantes de $\lambda ,$ il est clair que l’équation Z elle-même ne dépend pas de $\lambda$, c’est-à-dire qu’elle a lieu pour toute valeur de $\lambda$ entière et non-divisible par $n.$ Cette équation sera donc satisfaite par les valeurs des $e$ périodes

$(f,1),\,\quad (f,g),\,\quad (f,g^{2}),\,\dots \,(f,g^{e-1}),$

d’où il suivrait que les valeurs de deux de ces périodes au moins seraient égales entre elles. Supposons qu’elles contiennent respectivement les racines

$[\zeta ],\,[\zeta '],\,[\zeta ''],\,{\text{etc.}},\,;\qquad [\eta ],\,[\eta '],\,[\eta ''],\,{\text{etc.}},$

et que les nombres $\zeta ,\,\zeta ',\,\zeta '',\,{\text{etc.}},\,\eta ,\,\eta ',\,\eta '',\,{\text{etc.}}$ soient positifs et $<n,$ ce qui est permis ; il est évident qu’ils seront tous différens, et qu’aucun d’eux ne sera $=0.$ Désignons par $Y$ la fonction

$x^{\zeta }+x^{\zeta '}+x^{\zeta ''}+$ etc. $-x^{\eta }-x^{\eta '}-x^{\eta ''}-\,{\text{etc.}},$

dont le terme le plus élevé ne surpassera pas $x^{n-1}\,;$ il est clair qu’on aurait $Y=0,$ si l’on faisait $x=[1]\,;$ donc $Y$ contiendrait le facteur $x-[1],$ qui lui serait commun avec la fonction déjà désignée par $X$ (n^o 339) : or il est facile de démontrer l’absurdité de cette dernière supposition. En effet, si $X$ et $Y$ avaient un diviseur commun, il s’ensuivrait, par la nature de l’opération, qui sert à chercher le plus grand commun diviseur de deux fonctions semblables dont les coefficiens sont rationnels, que ce plus grand commun diviseur aurait tous ses coefficiens rationnels ; car il est d’ailleurs évident qu’il ne peut être du degré $n-1,$ puisque $Y$ est divisible par $x.$ Mais nous avons fait voir (n^o 341) que $X$ ne peut être divisible par une fonction de degré inférieur à $n-1,$ dont les coefficiens soient rationnels, donc on ne peut supposer que l’on ait $N'=0.$

Exemple. Pour $n=19$ et $f=6,$ on a

$0=1+p+p'+p'',\qquad p^{2}=6+2p+p'+2p'',$

d’où l’on tire ……$p'=4-p^{2},\qquad p''=-5-p+p^{2}$ ;

ainsi

$(6,2)$	$=4$	$-(6,1)^{2}$ ;	—	$(6,4)$	$=-5$	$-(6,1)$	$+(6,1)^{2}$
$(6,4)$	$=4$	$-(6,2)^{2}$ ;	—	$(6,1)$	$=-5$	$-(6,2)$	$+(6,2)^{2}$
$(6,1)$	$=4$	$-(6,4)^{2}$ ;	—	$(6,2)$	$=-5$	$-(6,4)$	$+(6,4)^{2}$.

347. Théorème. Si $\mathrm {F=\varphi (t,u,v...)}$ est une fonction invariable^[2] algébrique rationnelle et entière de $\mathrm {f}$ indéterminées $\mathrm {t,\,u,\,v} ,$ etc., et qu’en substituant à la place de ces indéterminées les $\mathrm {f}$ racines contenues dans la periode, $\mathrm {(f,\lambda )} ,$ on ramène cette fonction à la forme

$\mathrm {A+A'[1]+A''[2]+}$ etc. $=\mathrm {W} ,$

d’après ce qui a été dit (n^o 340) ; les racines qui, dans cette expression, appartiendront à une même période quelconque de $\mathrm {f}$ termes, auront des coefficiens égaux.

Soient, $[p],$ $[q]$ deux racines qui appartiennent à une même période, et supposons $p$ et $q$ positifs et moindres que $n\,;$ il s’agit de démontrer, que $[p]$ et $[q]$ auront dans $W$ le même coefficient. Soit encore $q\equiv pg^{\nu },$ et nommons $[\lambda ],\,[\lambda '],\,[\lambda ''],{\text{ etc.}}\,;$ les racines contenues dans $(f,\lambda ),$ où nous supposons $\lambda ,\,\lambda ',\,\lambda '',{\text{ etc. }},$ positifs et moindres que $n\,;$ soient enfin $\mu ,\,\mu ',\,\mu '',{\text{ etc.}}$ les résidus minima positifs des nombres $\lambda g^{\nu e},\ \lambda 'g^{\nu e},\ \lambda ''g^{\nu e},{\text{ etc.}}$ suivant le module $n\,;$$\mu ,\,\mu ',{\text{ etc.}},$ seront évidemment identiques avec $\lambda ,\,\lambda ',{\text{ etc. }},$ si l’on ne fait pas attention à l’ordre. Or il suit du n^o 340, que la fonction

$\varphi \{[\lambda g^{\nu e}],[\lambda 'g^{\nu e}],[\lambda ''g^{\nu e}],\dots \}\quad$ (I)

peut être ramené à la forme

$A+A'[g^{\nu e}]+A''[2g^{\nu e}]+{\text{etc. ou}}\quad A+A'[\theta ]+A''[\theta ']+{\text{etc.}}=W'\,;$

en désignant par $\theta ,,\,\theta ',\,\theta '',{\text{ etc.}}$. les résidus minima des nombres $g^{\nu e},\,2g^{\nu e},{\text{ etc.}}$ suivant le module $n\,;$ il est évident, d’après cela que $[q]$ aura dans $W'$ le même coefficient que $[p]$ dans $W$. Mais on voit sans peine que le développement de l’expression (I) donne le même résultat que le développement de l’expression

$\varphi \{[\mu ],[\mu '],[\mu '']{\text{, etc.}}\},$

puisque $\mu \equiv \lambda g^{\nu e},\,\mu '\equiv \lambda 'g^{\nu e}{\text{, etc.}}{\pmod {n}}\,;$ mais cette expression donne le même résultat que

$\varphi \{[\lambda ],[\lambda '],[\lambda '']{\text{, etc.}}\},$

parceque les nombres $\mu ,\,\mu ',\,\mu ''{\text{, etc.}}$ ne diffèrent des nombres $\lambda ,\,\lambda ',\,\lambda ''{\text{, etc.}}$ que relativement à l’ordre, qui n’influe en rien dans une fonction invariable ; donc $W'$ et $W$ seront identiques, et partant $[p]$ et $[q]$ auront même coefficient dans $W$.

Il suit évidemment de là que $W$ peut être ramené sous la forme

$A+a(f,1)+a'(f,g)+a''(f,g^{2})+\,{\text{etc.}}\,+a^{(\epsilon )}(f,g^{e-1})\,:$

les coefficiens $A$, $a,\,a',\,{\text{etc.}}$ seront entiers et déterminés, si tous les coefficiens de $F$ sont rationnels et entiers.

Ainsi, par exemple, si $n=19$, $f=6$ et $\lambda =1,$ et que la fonction $\varphi$ désigne la somme des produits des indéterminées prises deux à deux, sa valeur se ramène à

$3+(6,1)+(6,4).$

De plus, il est facile de voir que si l’on substitue ensuite pour $t,\,u,\,v,\,{\text{etc.}}$ les racines d’une autre période $(f,k\lambda ),$ la valeur de $F$ devient

$A+a(f,k)+a'(f,kg)+a''(f,kg^{2}),\,{\text{etc.}}$

348. Comme dans toute équation

$x^{f}-\alpha x^{f-1}+\beta x^{f-2}-\gamma x^{f-3}+\,{\text{etc}}.\,=0$

les coefficiens $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma$, etc. sont des fonctions invariables des racines, savoir, $\alpha$ la somme, $\beta$ la somme des produits des racines prises deux à deux, $\gamma$ la somme des produits trois à trois, etc. ; il en résulte que dans l’équation qui donne les racines contenues dans la période $(f,\lambda )$, le premier coefficient sera $(f,\lambda )$, et chacun des autres pourra être ramené à la forme

$A+a(f,1)+a'(f,g)+a''(f,g^{2})+\,{\text{etc}}.\,+a^{(\epsilon )}(f,g^{e-1}),$

où $A$, $a$, $a'$, etc. sont des entiers. D’ailleurs il est clair que l’équation qui donnerait les racines que contient toute autre période $(f,\lambda k)$ se déduirait de celle-là, si dans chacun des coefficiens on substituait $(f,k)$ pour $(f,1)$, $(f,kg)$ pour $(f,g)$, et généralement $(f,kp)$ pour $(f,p)$. On pourra donc de cette manière assigner un nombre $e$ d’équations

$z=0,\qquad z'=0,\qquad z''=0,\qquad {\text{etc.}}$

qui donneront respectivement les racines contenues dans les périodes

$(f,1),\qquad (f,g),\qquad (f,g^{2}),\qquad {\text{etc.}}$

aussitôt que l’on connaîtra les sommes $(f,1)$, $(f,g)$, $(f,g^{2})$, etc., ou même, que l’on en connaîtra une seule, puisque (n^o 346), la valeur de chacune d’elles peut s’exprimer rationnellement en fonction d’une seule. Cela fait, la fonction $X$ sera décomposée en $e$ facteurs du degré $f\,:$ le produit des fonctions $z,\,z',\,z'',{\text{ etc.}}$

sera évidemment $=X.$

Exemple. Pour $n=19,$

la somme de toutes les racines contenues dans la période $(6,1)$ est………………………………	$=(6,1)$	$=\alpha \,;$
la somme des produits deux à deux est………	$=3+(6,1)+(6,4)$	$=\beta \,;$
la somme des produits trois à trois est…………	$=2+2(6,1)+(6,2)$	$=\gamma \,;$
la somme des produits quatre à quatre est……	$=3+(6,1)+(6,4)$	$=\delta \,;$
la somme des produits cinq à cinq est…………	$=(6,1)$	$=\epsilon \,;$
le produit de toutes………………………………		$=1\,;$

donc l’équation

$z=x^{6}-\alpha x^{5}+\beta x^{4}-\gamma x^{3}+\delta x^{2}-\epsilon +1=0$

donnera toutes les racines contenues dans la période $(6,1).$ Si, dans les coefficiens $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, etc. on substitue

$(6,2),(6,4),(6,1)\qquad {\text{pour}}\qquad (6,1),(6,2),(6,4)$

respectivement, il en résulte l’équation $z',=0$ qui donnera les racines contenues dans $(6,2)\,;$ si l’on fait dans celle-ci le même changement, on a l’équation $z''=0,$ qui donnera les racines contenues dans $(6,4),$ et le produit $zz'z''$ sera égal à $X.$

349. Il est souvent plus commode, surtout quand $f$ est un grand nombre, de déduire les coefficiens $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma ,\,{\text{etc.}}$ des sommes des puissances des racines. Il est évident que la somme des quarrés des racines contenues dans $(f,\lambda )$ est $=(f,2\lambda ),$ que la somme des cubes est $=(f,3\lambda ),\,{\text{etc.}}\,;$ ainsi en faisant pour abréger,

$(f,\lambda )=q,\quad (f,2\lambda )=q',\quad (f,3\lambda )=q'',\quad {\text{etc.}},$

on aura

$\alpha =q,\quad 2\beta =\alpha q-q',\quad 3\gamma =\beta q-\alpha q'+q'',\quad {\text{etc.}}\,;$

expressions dans lesquelles on doit convertir sur-le-champ (n^o 345), les produits de deux périodes en sommes de périodes. Ainsi, dans notre exemple, si l’on fait pour abréger,

$(6,1)=p,\quad (6,2)=p',\quad (6,4)=p'',$

on trouve —$q=p,\quad q'=q''=q^{IV}=p',\quad q'''=q^{V}=p''\,;$
donc

$\alpha$	$=p$,
$2\beta$	$=p^{2}-p'$,	$=6+2p+2p''$,
$3\gamma$	$=(3+p+p'')p-pp'+p'$	$=6+6p+3p'$,
$4\delta$	$=(2+2p+p')-(3+p+p'')p'-p''$	$=12+4p+4p''$,
etc.

Au reste, il suffit de calculer de cette manière la moitié des coefficiens, car on prouve sans difficulté que les derniers sont égaux aux premiers dans l’ordre inverse, savoir le dernier $=1$, l’avant-dernier $=\alpha$, l’antépénultième $=\beta$, etc. ; ou qu’ils s’en déduisent en substituant pour $(f,1)$, $(f,g)$, etc., les périodes $(f,-1)$, $(f,-g)$, etc., c’est-à-dire $(f,n-g)$, $(f,n-1)$. Le premier cas a lieu quand $f$ est pair, le second quand $f$ est impair ; mais le dernier coefficient est toujours $=1$. Cette propriété se tire du théorème du n^o 79, mais nous sommes forcés de ne pas nous arrêter sur ce sujet.

350. Théorème. Si $\mathrm {n} -1$ est le produit de trois nombres entiers positifs $\alpha ,$ $\beta ,$ $\gamma ,$ et que la période $(\beta \gamma ,\lambda ),$ qui a $\beta \gamma$ termes, soit composée de $\beta$ périodes $(\gamma ,\lambda ),$ $(\gamma ,\lambda '),$ $(\gamma ,\lambda ''),$ etc., dont chacune a $\gamma$ termes ; si de plus, en substituant les sommes $(\gamma ,\lambda ),$ $(\gamma ,\lambda '),$ $(\gamma ,\lambda ''),$ etc. à la place de $\mathrm {t} ,$ $\mathrm {u} ,$ $\mathrm {v} ,$ etc., dans une fonction $\mathrm {F} =\varphi \mathrm {(t,u,v\dots )}$ telle qu’au n^o 347, elle se réduit à $\mathrm {A+a} (\gamma ,1)+\mathrm {a'} (\gamma ,g)...+\mathrm {a} ^{\zeta }(\gamma ,\mathrm {g} ^{\alpha \beta -\alpha })\dots +\mathrm {a} ^{\theta }(\gamma ,\mathrm {g} ^{\alpha \beta -1})=\mathrm {W} \,;$ en supposant d’ailleurs que $\mathrm {F}$ soit une fonction invariable ; les périodes comprises dans $(\mathrm {W} )$, qui appartiendront à une même période de $\beta \gamma$ termes, c’est-à-dire, en général celles qui seront telles que $(\gamma ,\mathrm {g} ^{\mu })$ et $(\gamma ,\mathrm {g} ^{\alpha \nu +\mu }),$ $\nu$ étant un entier quelconque, auront nécessairement les mêmes coefficiens.

La période $(\beta \gamma ,\lambda g^{\alpha })$ étant identique avec la période $(\beta \gamma ,\lambda )$, les périodes plus petites $(\gamma ,\lambda g^{\alpha })$, $(\gamma ,\lambda 'g^{\alpha })$, $(\gamma ,\lambda ''g^{\alpha })$, etc. dont la première est évidemment composée, doivent coïncider avec celles qui composent la seconde, abstraction faite de l’ordre. Si donc on suppose que par la substitution de ces périodes à la place des indéterminées $t$, $u$, $v$, etc., le facteur $F$ se change en $W'$, $W'$ devra coïncider avec $W$. Mais (n^o 347) on a

$W'$	$=A+a(\gamma ,g^{\alpha })+a(\gamma ,g^{\alpha +1})\dots +a^{\zeta }(\gamma ,g^{\alpha \beta })\dots +a^{\theta }(\gamma ,g^{\alpha \beta +\alpha -1})$
	$=A+a(\gamma ,g^{\alpha })+a(\gamma ,g^{\alpha +1})\dots +a^{\zeta }(\gamma ,g^{\alpha \beta })\dots +a^{\theta }(\gamma ,g^{\alpha -1})$

Ainsi, puisque cette expression doit coïncider avec $W,$ le premier coefficient de $W$ (en commençant par $a$) devra être identique avec le $\alpha +1$^ème, le second avec le $\alpha +2$^ème, le troisième avec le $\alpha +3$^ème, etc., et généralement les coefficiens des périodes

$(\gamma ,\,g^{\mu }),\,(\gamma ,\,g^{\alpha +\mu }),\,(\gamma ,\,g^{2\alpha +\mu }),\dots \qquad (\gamma ,\,g^{\nu \alpha +\mu }),$

qui sont les

$\mu +1$^ème,—$\alpha +\mu +1$^ème,—$2\alpha +\mu +1$^ème,...—$\nu \alpha +\mu +1$^ème

respectivement, devront être identiques.

Il suit de là évidemment que $W$ peut être ramené à la forme

$A+a(\beta \gamma ,\,1)+a'(\beta \gamma ,\,g)+\dots +a^{\epsilon }(\beta \gamma ,\,g^{\alpha -1}),$

où tous les coefficiens $A,\,a,{\text{etc.}}$ seront entiers, si tous ceux de $F$ le sont. On voit en outre que si l’on substitue dans $F$ à la place des indéterminées, les $\beta$ périodes de $\gamma$ termes qui constituent une autre période de $\beta \gamma$ termes, telle par exemple que $(\beta \gamma ,\,\lambda k),$ périodes qui sont $(\gamma ,\,\lambda k),\,(\gamma ,\,\lambda 'k),\,(\gamma ,\,\lambda ''k),\,{\text{etc.}},$ la valeur qui en résulte est

$A+a(\beta \gamma ,\,k)+a'(\beta \gamma ,\,gk)+\dots +a^{\epsilon }(\beta \gamma ,\,g^{\alpha -1}k).$

Au reste, il est clair que ce théorème s’étend aussi au cas où $\alpha =1,$ c’est-à-dire, où $\beta \gamma =n-1.$ Alors tous les coefficiens de $W$ sont égaux, et $V$ se ramènera à la forme

$A+a(\beta \gamma ,\,1).$

351. Ainsi, en conservant la notation du n^o précédent, on conclura que les différens coefficiens de l’équation qui donnerait les $\beta$ sommes $(\gamma ,\,\lambda ),\,(\gamma ,\,\lambda '),\,(\gamma ,\,\lambda ''),\,{\text{etc.}}$ peuvent être mis sous la forme

$A+a(\beta \gamma ,\,1)+a'(\beta \gamma ,\,g)\dots +a^{\epsilon }(\beta \gamma ,\,g^{\alpha -1}),$

et que les nombres $A,\,a,\,{\text{etc.}}$ seront entiers. Or l’équation qui donnerait les $\beta$ périodes de $\gamma$ termes qui composent une autre période $(\beta \gamma ,\,\lambda k)$, se déduira de la première, en remplaçant dans tous les coefficiens la période quelconque $(\beta \gamma ,\,\mu )$ par $(\beta \gamma ,\,k\mu ).$ Si donc $\alpha =1$, les $\beta$ périodes de $\gamma$ termes se détermineront par une équation de degré $\beta$, dont les coefficiens peuvent être mis sous la forme $A+a(\beta \gamma ,1)$, et sont parconséquent des quantités connues. Si $\alpha >1$, les coefficiens de l’équation dont les racines sont toutes les périodes de $\gamma$ termes contenues dans une période donnée de $\beta \gamma$ termes, seront des quantités connues, dès que l’on connaîtra les valeurs numériques des périodes de $\beta \gamma$ termes.

Au reste le calcul devient souvent plus facile, surtout quand $\beta$ n’est pas un petit nombre, en calculant d’abord les sommes des puissances des racines, et en déduisant les coefficiens par le théorème de Newton, comme ci-dessus, n^o 349.

Exemple 1. On demande pour $n=19$, l’équation dont les racines sont les sommes $(6,1)$, $(6,2)$, $(6,4)$.

Désignons ces racines par $p$, $p'$, $p''$ respectivement, et l’équation cherchée, par

$x^{3}-Ax^{2}+Bx-C=0\,;$

on aura

$A=p+p'+p''$,—$B=pp'+pp''+p'p''$, —$C=pp'p''$ ;

donc $A=(18,1)=-1\,;$ or on a

${\begin{matrix}pp'&=&p&+2p'&+3p'',\\pp''&=&2p&+3p'&+p'',\\p'p''&=&3p&+p'&+2p'',\end{matrix}}$

donc ————$B=6(p+p'+p'')=6(18,1)=-6$ ;

enfin $C=(p+2p'+3p'')p''=3(6,0)+11(18,1)=18-11=7$ ;

donc l’équation cherchée est

$x^{3}+x^{2}-6x-7=0$.

En employant l’autre méthode, nous avons

${\begin{array}{rlll}p+p'+p''&=-&1,\\p^{2}&=&6+2p+p'+2p'',\\p'^{2}&=&6+2p'+p''+2p,\\p''^{2}&=&6+2p''+p+2p'\,;\end{array}}$

d’où………	$p^{2}+p'^{2}+p''^{2}=18+5(p+p'+p'')$	$=13.$
De même…	$p^{3}+p'^{3}+p''^{3}=36+34(p+p'+p'')$	$=2.$

De là, à l’aide du théorème de Newton, on tire la même équation que ci-dessus.

Exemple 2. On demande pour $n=19$, l’équation dont les racines sont les sommes $(2,1)$, $(2,7)$, $(2,8)$.

Désignons-les par $q$, $q'$, $q''$ respectivement, on aura

${\begin{array}{rlcl}q+q'+q''&=&(6,1),\\qq'+qq''+q'q''&=&(6,1)\,&+(6,4),\\qq'q''&=&2&+(6,2).\end{array}}$

donc en conservant la notation de l’exemple précédent, l’équation cherchée sera

$x^{3}-px^{2}+(p+p'')x-2-p'=0$.

L’équation dont les racines sont les sommes $(2,2)$, $(2,3)$, $(2,5)$ contenues dans $(6,2)$, se déduit de la précédente, en substituant $p'$, $p''$, $p$ pour $p$, $p'$, $p''$ respectivement ; et en faisant encore une fois la même substitution, on obtient l’équation dont les racines sont les sommes $(2,4)$, $(2,6)$, $(2,9)$ contenues dans $(6,4)$.

352. Les théorèmes précédens, avec leurs corollaires, contiennent les bases principales de toute la théorie, et le moyen de trouver les racines $\Omega$ peut s’exposer maintenant en peu de mots.

On doit, avant tout, prendre un nombre $g$ qui soit racine primitive pour le module $n$, et trouver les résidus minima des puissances de $g$ jusqu’à $g^{n-2}$. On décomposera $n-1$ en facteurs, et même en facteurs premiers, si l’on veut réduire le problème à des équations du degré le plus simple possible. Soient $\alpha$, $\beta$, $\gamma$,……$\zeta$ les facteurs de $n-1$, et soit fait

${\frac {n-1}{\alpha }}=\beta \gamma ......\zeta =a$,————${\frac {n-1}{\alpha \beta }}=\gamma ......\zeta =b$, etc.

On distribuera les racines $\Omega$ en $\alpha$ périodes de $a$ termes ; chacune de celles-ci en $\beta$ périodes de $b$ termes ; chacune de ces dernières en $\gamma$ périodes, etc. On cherchera, par le n^o 350, l’équation (A) de degré $\alpha$ qui aura pour racines ces $\alpha$ sommes de $a$ termes, sommes dont on connaîtra les valeurs par la résolution de cette équation.

Mais il se présente ici une difficulté ; car on ne voit pas à quelles périodes on doit égaler chaque racine de l’équation $(A)$, c’est-à-dire, quelle est la racine qui doit être représentée par $(a,1)$, quelle est celle qui doit être représentée par $(a,g)$, etc. On remédiera à cet inconvénient de la manière suivante. On peut désigner par $(a,1)$, une racine quelconque de l’équation $(A)$ ; en effet, comme une racine quelconque de l’équation $(A)$ est la somme de $a$ racines $\Omega$, et qu’il est absolument indifférent que l’on ait représenté par $[1]$ telle racine de $\Omega$ plutôt que telle autre, on sera libre de supposer que $[1]$ soit une des racines qui constituent une racine quelconque donnée de l’équation $(A)$, desorte qu’alors cette racine de l’équation $(A)$ deviendra $(a,1)$. Mais la racine $[1]$ n’est-pas encore par-là tout-à-fait déterminée, et le choix de celle des racines comprises dans $(a,1)$ que nous prendrons pour $[1]$ est absolument arbitraire. Au reste, une fois que $(a,1)$ est déterminé, toutes les autres sommes de $a$ racines peuvent en être déduites rationnellement (n^o 346) ; d’où il suit qu’il n’y a qu’une racine de l’équation $(A)$ qu’il soit nécessaire de trouver. On peut aussi employer pour faire cette distinction, la méthode suivante qui est moins directe. On prendra pour $[1]$ une racine déterminée, c’est-à-dire, qu’on fera

$[1]=\cos {\frac {kP}{n}}+i\,\sin {\frac {kP}{n}},$

l’entier $k$ étant pris à volonté, pourvu qu’il ne soit pas divisible par $n$. Alors $[2]$, $[3]$, etc. indiquent des racines déterminées, et parconséquent $(a,1)$, $(a,g)$, etc. Si par les tables des sinus on calcule ces quantités, seulement avec assez de précision pour pouvoir décider quelles sont les plus grandes et les plus petites, il ne restera plus de doute sur la distinction à faire entre les racines de l’équation $(A)$.

Quand on aura trouvé de cette manière les $\alpha$ sommes de $a$ racines, on cherchera (n^o 350) l’équation $(B)$, dont les racines sont les $\beta$ sommes de $b$ termes contenues dans $(a,1)$ ; les coefficiens de cette équation seront des quantités connues. Comme il y a encore de l’indétermination dans le choix de celle des racines contenues dans $(a,1)$, que l’on désignera par $[1]$, toute racine de l’équation $(B)$ peut être représentée par $(b,1)$, parceque l’on peut évidemment supposer qu’une des racines qui la compose soit désignée par $[1]$. On cherchera donc une racine quelconque de l’équation $(B)$ par sa résolution ; on la supposera égale à $(b,1)$, et on en déduira, par le n^o 346, toutes les autres sommes de $b$ racines. De cette manière, nous avons un moyen de vérifier le calcul, puisque les périodes de $b$ racines qui appartiennent à une même période de $a$ termes, doivent produire des sommes que l’on connaît. Dans quelques cas, il est aussi expéditif de former les $\alpha -1$ autres équations de degré $\beta$, dont les racines sont respectivement les $\beta$ différentes périodes de $b$ termes contenues dans les autres périodes de $a$ termes $(a,g)$, $(a,g^{2})$, etc., et de chercher par la résolution les racines de l’équation (B) et de ces différentes équations. Mais alors il faudra, comme plus haut, décider à l’aide de la table de sinus, à quelles périodes de $b$ termes doivent être égalées les racines qui en résultent. Au reste, il existe encore pour cette détermination différens autres artifices, que nous ne pouvons pas expliquer ici complètement. On pourra seulement dans les exemples suivans, remarquer un de ces procédés, pour le cas où $\beta =2$, qui est le plus utile, et qui sera mieux connu par des exemples que par des préceptes.

Quand on aura trouvé de cette manière les valeurs de $\alpha \beta$ périodes de $b$ termes, on déterminera de même par des équations de degré $\gamma$ les $\alpha \beta \gamma$ périodes de $c$ termes, et cela par deux procédés : 1^o . en formant (n^o 350) une équation du degré $\gamma$ dont les racines soient les $\gamma$ périodes de $c$ termes qui composent $(b,1)$, cherchant une des racines de cette équation, l’égalant à $(c,1)$, et déduisant de là (n^o 346) toutes les autres périodes semblables ; 2^o . en formant les $\alpha \beta$ équations de degré $\gamma$, dont les racines sont respectivement les $\gamma$ périodes de $c$ termes qui sont contenues dans les différentes périodes de $b$ termes, résolvant toutes ces différentes équations, et déterminant l’ordre des racines, comme plus haut, par les tables de sinus, ou comme dans les exemples suivans, si $\gamma =2$.

En continuant de cette manière, on parviendra enfin nécessairement à connaître les ${\frac {n-1}{\zeta }}$ périodes de $\zeta$ termes. Cherchant donc par le n^o 348, l’équation de degré $\zeta$ qui donne le $\zeta$ racines de $\Omega$ contenues dans $(\zeta ,1)$, les coefficiens de cette équation seront des quantités connues ; et si l’on tire une seule racine par la résolution, en faisant cette racine $=[1]$, ses puissances donneront toutes les racines $\Omega$. Si on le préfère, on peut chercher toutes les racines de cette équation, et la résolution de ${\frac {n-1}{\zeta }}-1$ autres équations semblables, donnera toutes les racines $\Omega$.

Au reste, il est clair que dès qu’on a résolu l’équation $(A)$, c’est-à-dire, dès qu’on a les valeurs des $\alpha$ périodes de $a$ termes, on est parvenu à décomposer la fonction $X$ en $\alpha$ facteurs de $a$ dimensions ; de la résolution de l’équation $(B),$ soit la décomposition de chacun de ces facteurs en $\beta$, et partant, celle de $X$ en $\alpha \beta$ facteurs de $b$ dimensions ; etc.

353. Exemple 1. Pour $n=19$.

Comme on a ici $n-1=3.3.2$, la recherche des racines $\Omega$ doit pouvoir se ramener à la solution de deux équations du troisième degré et d’une du second. Cet exemple se comprendra d’autant plus facilement, que les opérations nécessaires sont contenues pour la plus grande partie dans ce qui précède. En prenant $2$ pour la racine primitive $g$, on trouve

pour les puissances	$0$,	$1$,	$2$,	$3$,	$4$,	$5$,	$6$,	$7$,	$8$,	$9$,	$10$,	$11$,	$12$,	$13$,	$14$,	$15$,	$16$,	$17$,
les résidus minima	$1$,	$2$,	$4$,	$8$,	$16$,	$13$,	$7$,	$14$,	$9$,	$18$,	$17$,	$15$,	$11$,	$3$,	$6$,	$12$,	$5$,	$10$.

De là, par les n^os 344, 345, on déduit facilement la distribution suivante de toutes les racines $\Omega$ en trois périodes de six termes, et de chacune de ces périodes en trois autres de deux termes.

$\Omega =(18,1)$……	$\left.{\begin{matrix}\ \\\ \\\ \\\ \\\ \\\ \\\ \\\ \end{matrix}}\right\{$	$(6,1)$	$\left.{\begin{matrix}\ \\\ \\\ \end{matrix}}\right\{$	$(2,1)$	……$[1]$,	$[18]$
				$(2,8)$	……$[8]$,	$[11]$
				$(2,7)$	……$[7]$,	$[12]$
		$(6,2)$	$\left.{\begin{matrix}\ \\\ \\\ \end{matrix}}\right\{$	$(2,2)$	……$[2]$,	$[17]$
				$(2,16)$	……$[3]$,	$[16]$
				$(2,14)$	……$[5]$,	$[14]$
		$(6,3)$	$\left.{\begin{matrix}\ \\\ \\\ \end{matrix}}\right\{$	$(2,4)$	……$[4]$,	$[15]$
				$(2,13)$	……$[6]$,	$[13]$
				$(2,9)$	……$[9]$,	$[10]$.

L’équation $(A)$ dont les racines sont les sommes $(6,1)$, $(6,2)$, $(6,4)$ se trouve être (Voy. n^o 351, ex. 1.)

$x^{3}+x^{2}-6x+7=0,$

et une de ses racines $=-1,2218761623$ ; en exprimant cette

racine par $(6,1)$, on trouve

$(6,2)=$	$4-(6,1)^{2}$	$=$	$2,5070186441$,
$(6,4)=-$	$5-(6,1)+(6,1)^{2}$	$=-$	$2,2851424818$.

Donc, si l’on substitue ces valeurs dans les formules du n^o 348, X sera décomposé en facteurs du sixième degré.

L’équation $(B)$, qui a pour racines les sommes $(2,1)$, $(2,7)$, $(2,8)$ est (n^o 351, ex. 2),

$x^{3}-(6,1)x^{2}+\{(6,1)+(6,4)\}x-2-(6,2)=0.$

ou

$x^{3}+\ 1,2218761623\ x^{2}\ -\ 3,5070186441\ x-4,5070186441\ =\ 0.$

On trouve pour une de ses racines $x=1,3545631433$ ; nous l’exprimerons par $(2,1)$, et si l’on fait pour abréger $(2,1)=q$ on aura (n^o 346)

$(2,2)$	$=q^{2}-2,$
$(2,3)$	$=q^{3}-3q,$
$(2,4)$	$=q^{4}-4q^{2}+2,$
$(2,5)$	$=q^{5}-5q^{3}+5q,$
$(2,6)$	$=q^{6}-6q^{4}+9q^{2}\ \;-\;\;2,$
$(2,7)$	$=q^{7}-7q^{5}+14q^{3}-\ \;7q,$
$(2,8)$	$=q^{8}-8q^{6}+20q^{4}-16q^{2}+2,$
$(2,9)$	$=q^{9}-9q^{7}+27q^{5}-30q^{3}+9q.$

On peut, dans le cas actuel, trouver ces valeurs plus commodément, de la manière suivante :

Supposons $[1]=\cos {\frac {kP}{19}}+i\,\sin {\frac {kP}{19}}\,;$

on aura

$[18]=\cos {\frac {18kP}{19}}+i\,\sin {\frac {18kP}{19}}=\cos {\frac {kP}{19}}-i\,\cos {\frac {kP}{19}}\,;$

et partant

$(2,1)=2\cos {\frac {kP}{19}}\,:$

on a de même en général,

$[1]=\cos {\frac {\lambda kP}{19}}+i\,\sin {\frac {\lambda kP}{19}},$

et partant

$(2,\lambda )=[\lambda ]+[18\lambda ]=[\lambda ]+[-\lambda ]=2\cos {\frac {\lambda kP}{19}}.$

Si donc ${\frac {1}{2}}q=\cos \omega$, il en résulte

$(2,2)=2\cos 2\omega$, —— $(2,3)=2\cos 3\omega$, ——etc. ;

d’où, par les équations connues qui donnent les cosinus des arcs multiples, on tirera les mêmes formules que ci-dessus. Ces formules donneront les valeurs numériques suivantes :

$(2,2)=-$	$0,1651586909$,	——	$(2,6)=$	$0,4909709743$,
$(2,3)=$	$1,5782810188$,		$(2,7)=-$	$1,7589475024$,
$(2,4)=-$	$1,9727226068$,		$(2,8)=$	$1,8916344834$,
$(2,5)=$	$1,0938963162$,		$(2,9)=-$	$0,8033908493$.

Les valeurs de $(2,7)$, $(2,8)$, peuvent aussi se tirer de l’équation $(B)$ dont elles sont les deux autres racines, et l’on déterminera laquelle des deux appartient à $(2,7)$ et laquelle appartient à $(2,8)$, ou par un calcul approché d’après les formules suivantes, ou par les tables des sinus, qui, avec une légère attention, prouvent que si l’on fait $\omega ={\frac {7P}{19}}$, on a $(2,1)=\cos \omega$ ; donc il faut faire

	$(2,7)$	$=2\cos {\frac {49}{19}}P$	$=2\cos {\frac {8P}{19}}$,
et—	$(2,8)$	$=2\cos {\frac {56}{19}}P$	$=2\cos {\frac {P}{19}}$.

Les sommes $(2,2)$, $(2,3)$, $(2,5)$ se trouveront de même par l’équation

$x^{3}-(6,4)x^{2}+\{(6,1)+(6,2)x\}x-2-(6,4)=0,$

dont elles sont les racines, en levant d’ailleurs l’incertitude ; comme nous venons de le faire. Les sommes $(2,4)$, $(2,6)$, $(2,9)$ se trouveront par l’équation

$x^{3}-(6,4)x^{2}+\{(6,2)+(6,4)x\}x-2-(6,1)=0.$

Enfin $[1]$ et $[18]$ sont racines de l’équation

$x^{2}-(2,1)x+1=0,$

dont l’une est

$x$	$={\frac {1}{2}}(2,1)+i{\sqrt {\left\{1-{\frac {1}{4}}(2,1)\right\}}}$
	$={\frac {1}{2}}(2,1)+i{\sqrt {\left\{{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}(2,2)\right\}}}$,

et l’autre

$x$

$={\frac {1}{2}}(2,1)+i{\sqrt {\left\{{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}(2,2)^{2}\right\}}}$,

d’où résultent les valeurs numériques

$-0,6772815716\pm 0,7357239107\ i.$

Les seize autres racines se tireront de l’élévation aux puissances de l’une ou de l’autre de ces deux premières, ou de la solution de huit équations semblables, dans laquelle, si l’on emploie la seconde méthode, on décidera du signe de la partie imaginaire, soit par les tables de sinus, soit par l’artifice que nous allons expliquer dans l’exemple suivant. C’est de cette manière qu’ont été trouvées les valeurs suivantes, dans lesquelles le signe supérieur appartient à la première, et le signe inférieur à la seconde.

$[1]$	et	$[18]=-$	$0,6772815716$	$\pm \,0,7357239107$	$i$
$[2]$	et	$[17]=-$	$0,0825793455$	$\pm \,0,9965844930$	$i$
$[3]$	et	$[16]=$	$0,7891405094$	$\pm \,0,6142127127$	$i$
$[4]$	et	$[15]=-$	$0,9863613034$	$\pm \,0,1645945903$	$i$
$[5]$	et	$[14]=$	$0,5469481581$	$\pm \,0,8371664783$	$i$
$[6]$	et	$[13]=$	$0,2454854871$	$\pm \,0,9694002659$	$i$
$[7]$	et	$[12]=-$	$0,8794737512$	$\pm \,0,4759473930$	$i$
$[8]$	et	$[11]=$	$0,9458172417$	$\pm \,0,3246994692$	$i$
$[9]$	et	$[10]=-$	$0,4016954247$	$\pm \,0,9157733267$	$i$.

354. Exemple II. Pour $n=17$.

On a ici $n-1=2.2.2.2$, ainsi le calcul des racines $\Omega$ peut se ramener à quatre équations du second degré. Nous choisirons $3$ pour racine primitive ; ses puissances fournissent, suivant le module $17$, les résidus minima suivans :

$0$,	$\,1$,	$2$,	$3$,	$4$,	$5$,	$6$,	$7$,	$8$,	$9$,	$10$,	$11$,	$12$,	$13$,	$14$,	$15$
$1$,	$\,3$,	$9$,	$10$,	$13$,	$5$,	$15$,	$11$,	$16$,	$14$,	$8$,	$7$,	$4$,	$12$,	$2$,	$6$,

d’où résulte la distribution suivante en deux périodes de huit termes, quatre périodes de quatre termes et huit de deux termes ;

$\Omega =(16,1)$	$\left.{\begin{matrix}\ \\\ \\\ \\\ \\\ \\\ \end{matrix}}\right\{$	$(8,\,1)$	$\left.{\begin{matrix}\ \\\ \\\ \end{matrix}}\right\{$	$(4,\,1)$	$\left.{\begin{matrix}\ \\\ \end{matrix}}\right\{$	$(2,\,1)$	………$[1],$	$[16]$
						$(2,13)$	………$[4],$	$[13]$
				$(4,\,9)$	$\left.{\begin{matrix}\ \\\ \end{matrix}}\right\{$	$(2,\,9)$	………$[8],$	$[9]$
						$(2,15)$	………$[2],$	$[15]$
		$(8,\,3)$	$\left.{\begin{matrix}\ \\\ \\\ \end{matrix}}\right\{$	$(4,\,3)$	$\left.{\begin{matrix}\ \\\ \end{matrix}}\right\{$	$(2,\,3)$	………$[8],$	$[14]$
						$(2,\,5)$	………$[5],$	$[12]$
				$(4,\,10)$	$\left.{\begin{matrix}\ \\\ \end{matrix}}\right\{$	$(2,10)$	………$[7],$	$[10]$
						$(2,11)$	………$[6],$	$[11]$.

L’équation (A) dont les racines sont les sommes $(8,1)$, $(8,3)$, se trouve (n^o 351) être

$x^{2}+x-4=0,$

et ses racines sont :

	$-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {17}}$	$=$	$1,5615528128$
et——	$-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {17}}$	$=-$	$2,5615528128$ ;

nous supposerons que la première soit $(8,1)$, l’autre sera nécessairement $(8,3)$.

L’équation $(B)$, dont les racines sont les sommes $(4,1)$ et $(4,9)$ est

$x^{2}-(8,1)x-1=0,$

et ses racines sont

$x$	$={\frac {1}{2}}(8,1)\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {\{4+(8,1)^{2}\}}}$
	$={\frac {1}{2}}(8,1)\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {\{12+3(8,1)+4(8,3)\}}}$ ;

nous supposerons égale à $(4,1)$ celle de ces deux racines dans laquelle le radical est affecté du signe plus ; on aura ainsi

$(4,1)=2,0494811777,\qquad (4,9)=-0,4879283649.$

Les autres périodes de quatre termes, $(4,3)$ et $(4,10)$ peuvent être calculées de deux manières, savoir :

1^o. Par la méthode du n^o 346, qui donne les formules suivantes, en faisant, pour abréger, $(4,1)=p,$

$(4,3)$	$=-$	${\frac {3}{2}}+3p-{\frac {1}{2}}p^{3}$	$=$	$0,3441507314,$
$(4,10)$	$=$	${\frac {3}{2}}+2p-p^{2}-{\frac {1}{2}}p^{3}$	$=-$	$2,9057035442.$

La même méthode donne aussi la formule

$(4,9)=-1-6p+p^{2}+p^{3},$

d’où l’on tire la même valeur que plus haut.

2^o. En résolvant l’équation dont $(4,3)$, $(4,10)$ sont les racines ; cette équation est

$x^{2}-(8,3)x-1=0$

et donne

	$x={\frac {1}{2}}(8,3)$	$\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {\{4+(8,3)^{2}\}}},$
ou………………	$x={\frac {1}{2}}(8,3)$	$+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\{12+4(8,1)+3(8,3)\}}},$
et………………	$x={\frac {1}{2}}(8,3)$	$-{\frac {1}{2}}{\sqrt {\{12+4(8,1)+3(8,3)\}}}\,;$

nous déciderons, par l’artifice suivant annoncé au n^o 352, laquelle de ces deux racines doit être prise pour $(4,3).$ Faisons le produit de $(4,1)-(4,9)$ par $(4,3)-(4,10),$ il est, calcul fait, $=2(8,1)-2(8,3).$ Or la valeur de cette expression est positive , puisqu’elle est $=2{\sqrt {17}}\,;$ d’ailleurs le premier facteur $(4,1)-(4,9)$ est aussi positif, comme égal à ${\sqrt {\{12+4(8,1)+3(8,3)\}}}\,;$ donc le second facteur doit aussi être positif, et partant $(4,3)$ doit être la racine dans laquelle le radical est positif, et $(4,10)$ l’autre racine^[3]. Au reste, il en résulte les mêmes valeurs que plus haut.

Connaissant toutes les sommes de quatre termes, nous passons maintenant à la recherche des sommes de deux termes. L’équation $(C)$, dont les racines sont $(2,1)$, $(2,13)$, périodes contenues dans $(4,1)$, est

$x^{2}-(4,1)x+(4,3)=0,$

qui donne

$x$	$={\frac {1}{2}}(4,1)\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {\{-4(4,3)+(4,1)^{2}\}}}$
	$={\frac {1}{2}}(4,1)\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {\{4+(4,9)+2(4,3)\}}}$ ;

nous prendrons pour valeur de $(2,1)$ celle de ces deux racines dans laquelle le radical est positif, et il en résulte

$(2,1)=1,8649444588$,——$(2,13)=0,1845367189\,;$

si l’on veut chercher les autres sommes de deux termes par la méthode du n^o 346, on pourra employer pour

$(2,2)$, $(2,3)$, $(2,4)$, $(2,5)$, $(2,6)$, $(2,7)$, $(2,8),$

les formules que nous avons données pour les quantités désignées de la même manière dans l’exemple précédent, savoir :

$(2,2)\,($ ou $(2,15))=(2,1)^{2}-2$, etc. ;

mais, si l’on préfère les déterminer deux à deux par des équations du second degré, on trouve pour $(2,9)$ et $(2,15)$ l’équation

$x^{2}-(4,9)x+(4,10)=0,$

qui donne

${\frac {1}{2}}(4,9)\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {\{4+(4,13)-2(4,3)\}}},$

et l’on déterminera le signe comme plus haut, savoir : le développement du produit de $(2,1)-(2,13)$ par $(2,9)-(2,15)$ donne

$-(4,1)+(4,9)-(4,3)+(4,10),$

quantité évidemment négative ; mais $(2,1)-(2,13)$ est positif ; donc $(2,9)-(2,15)$ doit être négatif ; ainsi, dans la valeur de $x$ que nous avons trouvée, le signe supérieur doit être pris pour $(2,15)$, et le signe inférieur pour$(2,9)$. Il en résulte

$(2,9)=-1,9659461994,$——$(2,15)=1,4780178344.$

De même, comme on a

$\{(2,1)-(2,13)\}\times \{(2,3)-(2,5)\}=(4,9)-(4,10),$

quantité positive, nous en concluons que $(2,3)-(2,5)$ doit être positif. De là, en faisant le calcul nécessaire, on trouve

$(2,3)$	$={\frac {1}{2}}(4,3)+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\{4+(4,10)-2(4,9)\}}}$	$=$	$0,8914767116$
$(2,5)$	$={\frac {1}{2}}(4,3)-{\frac {1}{2}}{\sqrt {\{4+(4,10)-2(4,9)\}}}$	$=-$	$0,5473259801\,;$

on obtient enfin, par des opérations tout-à-fait analogues,

$(2,10)$	$={\frac {1}{2}}(4,10)-{\frac {1}{2}}{\sqrt {\{4+(4,3)+2(4,1)\}}}$	$=-1,7004342715$
$(2,11)$	$={\frac {1}{2}}(4,10)+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\{4+(4,3)+2(4,1)\}}}$	$=-1,2052692728.$

Il reste encore à descendre aux racines $\Omega$ elles-mêmes. L’équation $(D)$, dont $[1]$ et $[16]$ sont les racines, se trouve être

$x^{2}-(2,1)x+1=0,$

qui donne

$x$	$={\frac {1}{2}}(2,1)\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {\{(2,1)^{2}-4\}}}$
	$={\frac {1}{2}}(2,1)\pm {\frac {1}{2}}i{\sqrt {\{4-(2,1)^{2}\}}}$
$x$	$={\frac {1}{2}}(2,1)\pm {\frac {1}{2}}i{\sqrt {\{2-(2,15)\}}}$.

Nous prendrons le signe supérieur pour $[1],$ et partant le signe inférieur pour $[16]$. Les quatorze autres racines se déduiront des puissances de $[1]$, ou de la résolution de sept équations du second degré, dont chacune donnera deux racines, pour lesquelles on lèvera l’incertitude, comme nous l’avons fait plus haut. Par exemple, $[4]$ et $[13]$ sont les racines de l’équation

$x^{2}-(2,13)+1=0,$

qui donne

$x={\frac {1}{2}}(2,13)\pm {\frac {1}{2}}i{\sqrt {\{2-(2,9)\}}}\,;$

or on trouve

$([1]-[16])\times ([4]-[13])=(2,5)-(2,3),$

quantité réelle négative ; ainsi comme $[1]-[16]=i{\sqrt {\{2-(2-15)\}}},$ c’est-à-dire le produit de l’imaginaire $i$ par une quantité réelle positive, $[4]-[13]$ devra être aussi, à cause de $i^{2}=-1$, le produit de $i$ par une quantité réelle positive ; d’où l’on conclura que l’on doit prendre pour $[4]$ le signe supérieur, et pour $[13]$ le signe inférieur. De la même manière, on trouve pour les racines $[8]$ et $[9]$,

${\frac {1}{2}}(2,9)\pm {\frac {1}{2}}i{\sqrt {\left\{2-(2,1)\right\}}},$

et comme

$([1]-[16])\times ([8]-[9])=(2,9)-(2,10),$

quantité négative, on prendra pour $[8]$ le signe supérieur, pour $[9]$ le signe inférieur. En calculant de la même manière les autres racines, on trouve les valeurs numériques suivantes, dans lesquelles le signe supérieur appartient à la première, et le signe inférieur à la seconde.

$[1],[16]...........$	$0,9324722294$	$\pm \,0,3612416662$	$i,$
$[2],[15]...........$	$0,7390089172$	$\pm \,0,6736956436$	$i,$
$[3],[14]...........$	$0,4457383558$	$\pm \,0,8951633914$	$i,$
$[4],[13]...........$	$0,0922683595$	$\pm \,0,9957341763$	$i,$
$[5],[12].........-$	$0,2736629901$	$\pm \,0,9618256432$	$i,$
$[6],[11].........-$	$0,6026346364$	$\pm \,0,7980172273$	$i,$
$[7],[10].........-$	$0,8502171357$	$\pm \,0,5264321629$	$i,$
$[8],[\,\,\,9].........-$	$0,9829730997$	$\pm \,0,1837495178$	$i.$

______________

Ce qui précède pourrait suffire pour la solution de l’équation $x^{n}-1=0$, et parconséquent pour trouver les fonctions trigonométriques qui correspondent aux arcs commensurables avec la circonférence. Cependant, à cause de l’importance du sujet, nous ne pouvons terminer nos recherches sans ajouter quelques-unes des nombreuses observations qui peuvent l’éclaircir, et des conséquences aussi nombreuses que l’on en peut déduire. Nous choisirons de préférence celles qui n’exigent pas beaucoup de recherches étrangères, et l’on ne doit voir dans ce que nous allons exposer, qu’un aperçu de cette immense doctrine dont nous nous proposons de parler par la suite avec détail.

355. Comme $n$ est toujours supposé impair, $2$ sera facteur de $n-1$, et $\Omega$ sera composé de ${\frac {n-1}{2}}$ périodes de deux termes. Une pareille période, telle par exemple que $(2,\lambda )$, sera formée par les deux racines $[\lambda ]$ et $[\lambda g^{\frac {n-1}{2}}]$, $g$ étant, comme ci-dessus, une racine primitive quelconque suivant le module $n$. Mais $g^{\frac {n-1}{2}}\equiv -1{\pmod {n}}$ ; donc $\lambda g^{\frac {n-1}{2}}\equiv -\lambda$ (n^o 62), et partant, $[\lambda g^{\frac {n-1}{2}}]=[-\lambda ]$ ; donc si l’on suppose $[\lambda ]=\cos {\frac {kP}{n}}+i\,\sin {\frac {kP}{n}}$, et partant, $[-\lambda ]=\cos {\frac {kP}{n}}-i\,\sin {\frac {kP}{n}}$, la somme $(2,\lambda )=2\cos {\frac {kP}{n}}$. Nous nous bornons ici à conclure de là que la valeur de toute période de deux termes est une quantité réelle. Comme d’ailleurs toute période dont le nombre de termes est pair et $=2a$, peut être décomposée en périodes de deux termes, il est clair qu’en général la valeur de toute période dont le nombre de termes est pair, est une quantité réelle. Si donc, dans le n^o 352, on réserve $2$ pour le dernier des facteurs $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, etc., toutes les opérations s’exécuteront sur des quantités réelles, jusqu’à ce qu’on soit arrivé aux périodes de deux termes, et les imaginaires ne s’introduiront, que lorsque l’on voudra passer de ces périodes aux racines elles-mêmes.

356. On doit surtout remarquer les équations auxiliaires par lesquelles on détermine, pour une valeur quelconque de $n$, les sommes des périodes qui forment l’ensemble $\Omega$ : elles sont liées d’une manière étonnante avec les propriétés les plus abstraites du nombre $n$. Mais ici nous restreindrons nos considérations aux deux cas suivans : 1^o  à l’équation du second degré qui donne les sommes des périodes de ${\frac {n-1}{2}}$ termes ; 2^o  quand $n-1$ est divisible par $3$, à l’équation du troisième degré qui donne les sommes des périodes de ${\frac {n-1}{3}}$ termes.

Faisons, pour abréger, ${\frac {1}{2}}(n-1)=m$, et désignons par $g$ une racine primitive quelconque, il sera composé de deux périodes $(m,1)$ et $(m,g)$ ; la première contenant les racines $[1]$, $[g^{2}]$, $[g^{4}]$,…$[g^{n-3}],$ et la seconde les racines $[g]$, $[g^{3}]$, $[g^{5}],\dots$ $[g^{n-2}].$ Supposons que les résidus minima positifs des nombres $g^{2}$, $g^{4}$,…$g^{n-3}$ suivant le module $n,$ soient $R$, $R'$, $R''$, etc., abstraction faite de l’ordre, et que les résidus des nombres $g$, $g^{3}$,…$g^{n-2}$, soient $N$, $N'$, $N''$, etc. ; les racines des périodes $(m,1)$ et $(m,g)$ coïncideront avec

$[1],\,[R],\,[R'],\,[R'']$, etc.,——$[N],\,[N'],\,[N'']$, etc.

respectivement. Or il est clair que tous les nombres $1$, $R$, $R'$, $R''$, etc. sont résidus quadratiques de $n$ ; comme ils sont différens, moindres que $n$ et au nombre de ${\frac {n-1}{2}}$, il s’ensuit que ce sont effectivement tous les résidus quadratiques de $n$, positifs et plus petits que lui (n^o 96). Il suit de là en même temps, que les nombres $N$, $N'$, $N''$, etc. qui sont tous différens entre eux, et des nombres $1$, $R$, $R'$, etc., et qui, joints à ces derniers, épuisent les nombres $1,$ $2,$ $3\dots$ $n-1,$ sont tous les non-résidus quadratiques positifs de $n$ et plus petits que lui. Si l’on suppose maintenant que l’équation dont $(m,1)$, $(m,g)$ sont racines, soit

$x^{2}-Ax+B=0,$

on a

$A=(m,1)+(m,g)=-1$,——$B=(m,1)\times (m,g)\,;$

or (n^o 345),

$(m,1)\times (m,g)=(m,N+1)+(m,N'+1)+(m,N''+1)+\,{\text{etc.}}\,=W,$

et peut parconséquent être mis sous la forme

$\alpha (m,0)+\beta (m,1)+\gamma (m,g).$

Pour déterminer les coefficiens $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, observons : 1^o . qu’on a $\alpha +\beta +\gamma =0,$ puisque le nombre des périodes de $W$ est $m$ ; 2^o . que $\beta =\gamma$ (n^o 350), puisque $(m,1)\times (m,g)$ est une fonction invariable des sommes $(m,1)$ et $(m,g)$ qui composent la période plus grande $(n-1,1)$ ; 3^o . que tous les nombres $N+1$, $N'+1$, $N''+1$, etc. étant compris entre les limites $2$ et $n+1$, il est clair que nulle période de $W$ ne coïncidera avec $(n,0)$, ou qu’il n’y en aura qu’une, par exemple $(m,n)$ ; on aura donc $\alpha =1$ ou $=0$, suivant que $n-1$ sera ou ne sera pas parmi les nombres $N$, $N'$, etc. ; il suit de là que dans le premier cas on aura $\alpha =1$, $\beta =\gamma ={\frac {m-1}{2}}$, et dans le second $\alpha =0$, $\beta =\gamma ={\frac {m}{2}}$ ; et comme $\beta$ et $\gamma$ doivent être entiers, le premier cas aura lieu, c’est-à-dire que $n-1$ ou $-1$ se trouvera parmi les non-résidus de $n$ lorsque $m$ sera impair, c’est-à-dire lorsque $n$ sera de la forme $4n+3$ ; le second aura lieu au contraire quand $m$ sera pair, c’est-à-dire quand $n$ sera de la forme $4n+1$. Ainsi, comme on a $(m,0)=m$, et $(m,1)+(m,g)=-1$, le produit cherché sera donc, suivant les mêmes circonstances, ${\frac {1}{2}}(m+1)$, ou ${\frac {-1}{2}}m$, et l’équation sera, dans le premier cas,

$x^{2}+x+{\frac {1}{4}}(n+1)=0$,——qui donne——$x=-{\frac {1}{2}}\pm {\frac {1}{2}}i{\sqrt {n}},$,

et dans le second

$x^{2}+x-{\frac {1}{4}}(n-1)=0$,——qui donne——$x=-{\frac {1}{2}}\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {n}}.$

Ainsi, quelle que soit la racine que l’on ait prise pour $[1]$, si l’on désigne par $\sum [R]$ la somme de toutes les racines $[1]$ , $[R]$, $[R']$, etc., et par $\sum [N]$ celle des racines $[N]$, $[N']$, etc., on aura

$\sum [R]-\sum [N]=\pm {\sqrt {n}}$,——ou——$\pm i{\sqrt {n}},$

suivant que $n\equiv 1$ ou $\equiv 3{\pmod {4}}$. Il suit facilement de là que $k$ étant un nombre entier quelconque non-divisible par $n$, on a

$\sum \cos {\frac {kRp}{n}}-\sum \cos {\frac {kNp}{n}}$	$=\pm {\sqrt {n}}$,	——ou——	$=0$,
$\sum \sin {\frac {kRp}{n}}-\sum \sin {\frac {kNp}{n}}$	$=0$,	——ou——	$\pm {\sqrt {n}}$,

suivant que $n\equiv 1$ ou $\equiv 3{\pmod {4}}$, théorèmes remarquables par leur élégance.

Au reste, nous ferons observer que le signe supérieur a lieu quand $k$ est l’unité, ou plus généralement quand $k$ est résidu quadratique de $n$, et le signe inférieur, quand $k$ est non-résidu. Ces théorèmes conservent toute leur élégance, ou plutôt en acquièrent encore davantage, lorsque $n$ est un nombre composé quelconque ; mais nous sommes forcés de supprimer ces recherches qui demanderaient trop de développement, et de les réserver pour une autre occasion.

357. Soit

$x^{m}-ax^{m-1}+bx^{m-2}-$ etc.

$=0$

——ou——

$z=0$,

l’équation de degré $m$ qui donne les racines contenues dans la période $(m,1)$ ; on aura $a=(m,1)$, et chacun des autres coefficiens pourra être ramené à la forme

$A+B(m,1)+C(m,g),$

où $A$, $B$, $C$ sont des entiers (n^o 348). Désignons par $z'$ ce que devient $z$, quand on y remplace $(m,1)$ par $(m,g)$, et $(m,g)$ par $(m,g^{2})=(m,1)$ ; l’équation $z'=0$ donnera les racines contenues dans $(m,g)$, et l’on aura

$zz'={\frac {x^{n}-1}{x-1}}=X.$

On peut donc mettre $z$ sous la forme

$z=R+S(m,1)+T(m,g),$

où $R$, $S$, $T$ seront des fonctions entières de $x$, dont les coefficiens seront entiers. Cela fait, on aura

$z'=R+S(m,g)+T(m,1).$

Faisons, pour abréger, $(m,1)=p$, $(m,g)=q$ ; on tire de ces équations

$2z$	$=$	$2R+(S+T)(p+q)-(T-S)(p-q)$
	$=$	$2R-S-T-(T-S)(p-q)$,
$2z'$	$=$	$2R-S-T+(T-S)(p-q)$ ;

donc posant $2R-S-T=Y$, $T-S=Z$, on a

$4X=Y^{2}-(p-q)^{2}Z^{2}=Y^{2}\mp nZ^{2},$

puisque $(p-q)^{2}=\pm n$ (n^o précéd.), le signe supérieur ayant lieu quand $n$ est de la forme $4k+1,$ et le signe inférieur quand $n$ est de la forme $4k+3$. C’est le théorème dont nous avons promis la démonstration au n^o 124.

On voit facilement que les deux premiers termes de $Y$ sont $2x^{m}+x^{m-1},$ et que le premier terme de $Z$ est $x^{m-1},$ quant aux autres coefficiens, qui sont évidemment entiers, ils varient suivant la nature du nombre $n$, et ne peuvent être soumis à une formule analytique générale.

Exemple. Pour $n=17,$ l’équation qui donne les huit racines contenues dans $(8,1),$ se trouve être (n^o 348),

$x^{8}-px^{7}+(4+p+2q)x^{6}-(4p+3q)x^{5}+(6+3p+5q)x^{4}$

$-(4p+3q)x^{3}+(4+p+2q)x^{2}-px+1=0,$

qui donne

$R=$	$x^{8}$	$+4x^{6}$	$+6x^{4}$	$+4x^{2}$	$+1$,
$S=$	$-x^{7}$	$+x^{6}$	$-4x^{5}$	$+3x^{4}$	$-4x^{3}$	$+x^{2}$	$-x$,
$T=$	$2x^{6}$	$-3x^{5}$	$+5x^{4}$	$-3x^{3}$	$+2x^{2}\,;$

et partant,

$n$——	$Y$	$Z$
$17$……	——$2x^{8}+x^{7}+5x^{6}+7x^{5}$ $+4x^{4}+7x^{3}+5x^{2}$ $+x+2$.	——$x^{7}+x^{6}+x^{5}$ $+2x^{4}+x^{3}$ $+x^{2}+x$.

Voici encore d’autres exemples :

$n$——	$Y$	$Z$
$3$……	——$2x+1$	——$1$.
$5$……	——$2x^{2}+x+2$	——$x$.
$7$……	——$2x^{3}+x^{2}-x-2$	——$x^{2}+x$.
$11$……	——$2x^{5}+x^{4}-2x^{3}+2x^{2}$ $-x-2$	——$x^{4}+x$.
$13$……	——$2x^{6}+x^{5}+4x^{4}-x^{3}$ $+4x^{2}+x+2$	—— $x^{5}+x^{3}+x$.
$19$……	——$2x^{9}+x^{8}-4x^{7}+3x^{6}$ $+5x^{5}-5x^{4}-3x^{3}+4x^{2}$ $-x-2$	——$x^{8}-x^{6}+x^{5}+x^{4}$ $-x^{3}+x$.
$23$……	——$2x^{11}+x^{10}-5x^{9}-8x^{8}$ $-7x^{7}-4x^{6}+4x^{5}+7x^{4}$ $+8x^{3}+5x^{2}-x-2$.	——$x^{10}+x^{9}-x^{7}-2x^{6}$ $-2x^{5}-x^{4}+x^{2}+x$.

358. Passons à la considération des équations du troisième degré qui, dans le cas où $n$ est de la forme $3k+1$, donne les trois périodes de ${\frac {n-1}{3}}$ termes dont $\Omega$ est composé. Soit $g$ une racine primitive quelconque pour le module $n$, et ${\frac {n-1}{3}}=m$ qui sera un nombre pair ; les trois périodes qui composent $\Omega$ seront $(m,1)$, $(m,g)$, $(m,g^{2})$ que nous désignerons par $p$, $p'$, $p''$, et qui contiennent respectivement les racines

$[1]$,	$[g^{3}]$,	$[g^{6}]$,…… $[g^{n-4}]$
$[g]$,	$[g^{4}]$,	$[g^{7}]$,…… $[g^{n-3}]$
$[g^{2}]$,	$[g^{5}]$,	$[g^{8}]$,…… $[g^{n-2}]$

Supposons que l’équation cherchée soit

$x^{3}-Ax^{2}+Bx-C=0,$

on aura

$A=p+p'+p''$,——$B=pp'+pp''+p'p''$, ——$C=pp'p'',$

d’où l’on tire sur-le-champ $A=-1.$ Soient $\alpha ,$ $\beta ,$ $\gamma ,$ etc., les résidus minima des nombres $g^{3},$ $g^{6},\dots$ $g^{n-4}$ suivant le module $n,$ abstraction faite de l’ordre, et $K$ leur ensemble, en y comprenant $1\,;$ soient de même $\alpha ',$ $\beta ',$ $\gamma ',$ etc. les résidus minima des nombres $g^{2},$ $g^{3},\dots$$g^{n-4},$ et $K'$ leur ensemble ; $\alpha '',$ $\beta '',$ $\gamma '',$ etc. les résidus minima de $g^{2},$ $g^{5}\dots$$g^{n-2},$ et $K''$ leur ensemble. Tous les nombres de $K,$ $K',$ $K''$ seront différens, et ils coïncideront avec la suite $1,$ $2,$ $3,\dots$$n-1.$ On doit observer avant tout que le nombre $n-1$ se trouve toujours dans $K$ puisqu’il est facile de voir qu’il est résidu de $g^{{\frac {3}{2}}m}.$ Il suit de là aussi que les deux nombres $h$ et $n-h$ se trouvent toujours dans la même des trois suites $K,$ $K',$ $K''\,;$ en effet, si l’un est résidu de la puissance $g^{\lambda },$ l’autre sera résidu de la puissance $g^{\lambda +{\frac {3}{2}}m},$ ou $g^{\lambda -{\frac {3}{2}}m},$ si $\lambda >{\frac {3}{2}}m.$ Désignons par le signe $(KK)$ la multitude des nombres de la série $1,$ $2,$ $3\dots$ $p-1,$ qui tant par eux-mêmes qu’étant augmentés de l’unité, sont contenus dans $K\,;$ par $(KK')$ la multitude de ceux qui sont contenus dans $K$ par eux-mêmes, et dans $K'$ lorsqu’on les augmente de l’unité ; on jugera assez par là de la signification des symboles

$(KK''),\,(K'K),\,(K'K'),\,(K'K''),\,(K''K),\,(K''K'),\,(K''K'').$

Cela posé, je dis d’abord qu’on a $(KK')=(K'K)$. Supposons en effet que $h,$ $h',$ $h'',$ etc. soient tous les nombres de la suite $1$, $2$, $3$,…$p-1$, qui par eux-mêmes sont contenus dans $K$ et dans $K'$ lorsqu’on les augmente de l’unité ; c’est-à-dire que $h+1$, $h'+1$, $h''+1$, etc. sont supposés tous contenus dans $K'$ ; il est évident que $n-h$, $n-h'$, $n-h''$, etc. seront tous contenus dans $K'$, et que ces nombres augmentés de l’unité, savoir, $n-h$, $n-h'$, $n-h''$, etc., le seront dans$K$ ; d’où il suit que $(K'K)$ n’est certainement pas plus petit que $(KK'$ ; mais comme on démontre de la même manière qu’on ne peut avoir $(KK')<(K'K)$, il s’ensuit qu’on a nécessairement $(KK')=(K'K)$, et de même $(KK'')=(K''K')$, $(K'K'')=(K''K')$.

Ensuite, comme en considérant un nombre quelconque de $K$, $n-1$ excepté, le nombre immédiatement plus grand doit être contenu ou dans $K$ ou dans $K'$, ou dans $K''$ il s’ensuit que la somme

$(KK)+(KK')+(KK'')=m-1,$

c’est-à-dire, au nombre de termes de $K$ diminué d’une unité. Par une raison semblable, on aura

$(K'K)$	$+(K'K')$	$+(K'K'')$	$=m$
$(K''K)$	$+(K''K')$	$+(K''K'')$	$=m$

Développons maintenant d’après les règles du n^o 345, le produit $pp'$ en

$(m,\alpha '+1)+(m,\beta '+1)+(m,\gamma '+1)$ + etc. ;

on verra facilement que cette expression peut se ramener à la forme

$(K'K)p+(K'K')p'+(K'K'')p''\,;$

et comme (n^o 345) le produit $p'p''$ naît de $pp'$, en changeant $(m,1)$, $(m,g)$, $(m,g^{2})$ en $(m,g)$, $(m,g^{2})$, $(m,1)$ respectivement, c’est- à-dire, $p$, $p'$, $p''$, en $p'$, $p''$, $p$, on aura

$p'p''=(K'K)p'+(K'K')p''+(K'K'')p\,;$

et de même

$pp''=(K'K)p''+(K'K')p+(K'K'')p'\,;$

d’où résulte sur-le-champ

$B=m(p+p'+p'')=-m.$

De plus, comme on aurait pu développer directement $pp''$ de même qu’on a développé $pp'$, ce qui aurait donné

$pp''=(K''K)p+(K''K')p'+(K''K'')p'',$

et que cette expression doit être identique avec la précédente, il s’ensuit qu’on a nécessairement $(K''K)=(K'K')$ et $(K''K'')=(K'K)$. Si donc nous faisons

$(K''K')$	$=(K'K'')$	$=a$,
$(K''K'')$	$=(K'K)$	$=(KK')$,	$=b$,
$(K'K')$	$=(K''K)$	$=(KK'')$,	$=c$,

nous aurons

$(KK)+(KK')+(K'K'')=(KK)+b+c=m-1,$

et ————————————$a+b+c=m,$

d’où ———————————$(KK)=a-1.$

Desorte que ces neuf quantités inconnues se réduisent à trois, ou plutôt à deux, à cause de l’équation $a+b+c=m.$

Enfin il est clair que le quarré $p^{2}$ se développe en

$(m,1+1)+(m,\alpha +1)+(m,\beta +1)+(m,\gamma +1)+$ etc.

Parmi les différens termes de cette expression, on trouvera $(m,n)$ qui se ramène à $(m,0)=m$ ; le reste se réduira évidemment à

$(KK)p+(KK')p'+(KK'')p'',$

d’où l’on tire………$p^{2}=m+(a-1)p+bp'+cp''.$

Ainsi, par les réductions précédentes, nous avons trouvé les quatre équations

$p^{2}=$	$m+(a-1)p+bp'+cp''$,
$pp'=$	$bp+cp'+ap''$,
$pp''=$	$cp+ap'+bp''$,
$p'p''=$	$ap+bp'+cp''$,

où les trois inconnues $a$, $b$, $c$ sont liées par la relation

$a+b+c=m$……… (I)

et sont certainement des nombres entiers. On tire de là

$C$	$=p\times p'p''=ap^{2}+bpp'+cpp''$	$=am+$	$(a^{2}+b^{2}+c^{2}-a)p$
		$+$	$(ab+bc+ac)p'$
		$+$	$(ab+bc+ac)p''$

Mais comme $pp'p''$ est une fonction invariable de $p$, $p'$, $p''$, les coefficiens de ces trois périodes doivent être les mêmes (n^o 350), ce qui donne une nouvelle équation

$a^{2}+b^{2}+c^{2}-a=ab+ac+bc$………(II)

et partant

$C=am+(ab+ac+bc)(p+p'+p'')=a^{2}-bc$………(III)

à cause de l’équation (I), et de l’équation $p+p'+p''=-1.$

Quoique $C$ dépende de trois inconnues qui ne sont liées que par deux équations, la condition qui exige que $a$, $b$, $c$ soient des entiers, suffit pour les déterminer. Afin de le prouver, nous mettrons l’équation (II) sous la forme

$12a+12b+12c+4=$		$36a^{2}$	$+36b^{2}$	$+36c^{2}$
	$-$	$36ab$	$-36ac$	$-36bc$
	$-$	$24a$	$+12b$	$+12c+4$,

qui devient

$4n=(6a-3b-3c-2)^{2}+27(b-c)^{2},$

à cause de $n=3m+1=3a+3b+3c+1$ ; ou, en faisant

$2a-b-c=k$,

$4n=(3k-2)^{2}+27(b-c)^{2}.$

Il suit de là que le nombre $4n$, c’est-à-dire le quadruple de tout nombre premier de la forme $3m+1$, peut être représenté par la forme $x^{2}+27y^{2}$ ; et quoique ce résultat puisse se tirer sans difficulté de la théorie générale des formes binaires, il n’en est pas moins étonnant qu’une telle décomposition soit liée si intimement avec les nombres $a$, $b$, $c$. Or nous démontrerons, comme il suit, que le nombre $4n$ ne peut être décomposé que d’une seule manière en un quarré et le produit d’un autre quarré par $27$^[4]. Si l’on supposait

$t^{2}+27u^{2}=4n$,——et——$t'^{2}+27u'^{2}=4n,$

on en tirerait

1o……	$(tt'-27uu')^{2}+27(tu'+t'u)^{2}$	$=16n^{2}$
2o……	$(tt'-27uu')^{2}+27(tu'+t'u)^{2}$	$=16n^{2}$
3o……	$(tu'+t'u)(tu'-t'u)$	$=4n(u'^{2}-u^{2})$

La troisième équation prouve que $n$, qui est un nombre premier, divise l’un des deux nombres $tu'+t'u$, $tu'-t'u$ ; mais la première et la seconde font voir que chacun de ces nombres est plus petit que $n$ ; donc celui que $n$ divise est nécessairement nul, ce qui donne $u'^{2}-u^{2}=0$, ou $u^{2}=u'^{2}$ et $t^{2}=t'^{2}$, c’est-à-dire que les deux décompositions sont les mêmes. Si donc nous supposons connue la décomposition du nombre $4n$ en un quarré, et le produit d’un autre quarré par $27$, décomposition que l’on peut trouver soit par la méthode directe de la Section V, soit par la méthode indirecte des n^os 323, 324 ; si, par exemple, on a $4n=M^{2}+27N^{2}$, les quarrés $(3k-2)^{2}$, $(b-c)^{2}$ seront déterminés, et on aura deux équations au lieu de l’équation II. On voit clairement, non-seulement que le quarré $(3k-2)^{2}$ est déterminé, mais que la racine $3k-2$ l’est aussi ; en effet, $k$ devant être un nombre entier, on devra prendre $3k-2=+M$ ou $=-M$, suivant que $M$ sera de la forme $3z+1$ ou $3z+2$^[5]. Cela posé, comme on a

$k=2a-b-c=3a-m,$

on en tire

$a={\frac {k+m}{3}}$,——$b+c=m-a={\frac {1}{3}}(2m-k),$

d’où

$C$	$=a^{2}-bc$	$=a^{2}-{\frac {1}{4}}(b+c)^{2}+{\frac {1}{4}}(b-c)^{2}$
		$={\frac {1}{9}}(m+k)^{2}-{\frac {1}{36}}(2m-k)^{2}+{\frac {1}{4}}N^{2}$
		$={\frac {1}{12}}k^{2}+{\frac {1}{3}}km+{\frac {1}{4}}N^{2}$ ;

et ainsi tous les coefficiens de l’équation cherchée se trouvent déterminés.

Cette formule devient encore plus simple, en substituant pour $N^{2}$ sa valeur tirée de l’équation

$(3k-2)^{2}+27N^{2}=4n=12m+4\,;$

ce qui donne

$C={\frac {1}{9}}(m+k+3km)={\frac {1}{9}}(m+kn).$

Cette valeur peut encore se représenter sous la forme

$C=(3k-2)N^{2}+k^{3}-2k^{2}+k-km+m,$

qui est d’une application moins facile, mais qui fait voir par elle-même que C est un nombre entier, comme il le faut.

Exemple. Pour $n=19$ on a $4n=49+27$, d’où $3k-2=7$, $k=3$, $C={\frac {1}{9}}(6+57)=7$, et l’équation cherchée est

$x^{3}+x^{2}-6x-7=0,$

comme ci-dessus (n^o 351).

De même, pour $n=7$, $13$, $31$ $37$, $43$, $61$, $67$, on trouve respectivement $k=1$, $-1$, $2$, $-3$, $-2$, $1$, $-1$ et

$C=1$, $-1$, $8$, $-11$, $-8$, $9$, $-5$.

Au reste, quoique le problème que nous venons de résoudre soit assez compliqué, nous n’avons pas voulu le supprimer, tant à cause de l’élégance de la solution, que parceque les artifices qu’il nous a donné occasion d’employer peuvent être d’une très-grande utilité dans d’autres problèmes.

359. Les recherches précédentes avaient pour but de trouver les équations auxiliaires ; nous allons maintenant exposer sur leur résolution une propriété digne de remarque. On sait que tous les travaux des plus grands géomètres ont échoué contre la résolution générale des équations qui passent le premier degré, ou pour mieux définir l’objet de la recherche, contre la réduction des équations complètes à des équations à deux termes, et il est à peine douteux si ce problème ne renferme pas quelque chose d’impossible, plutôt qu’il ne surpasse les forces actuelles de l’analyse. (Voyez ce que nous avons dit sur ce sujet dans le Mémoire intitulé Demonstratio nova, etc. p. 22). Il est certain néanmoins qu’il y a une infinité d’équations composées dans chaque degré, qui admettent une telle induction, et nous espérons faire plaisir aux géomètres, en prouvant que nos équations auxiliaires sont toujours dans ce cas. Mais à cause de l’étendue du sujet, nous ne présenterons que les principes les plus importans qui sont nécessaires pour démontrer cette possibilité, différant à un autre temps l’exposition plus complète. Nous mettrons en avant quelques observations générales sur les racines de l’équation $x^{e}-1=0$, en comprenant le cas où $e$ est un nombre composé.

1^o . Ces racines sont données, comme on le sait, par les élémens, par la formule

$x=\cos {\frac {kP}{e}}+i\,\sin {\frac {kP}{e}},$

dans laquelle on doit prendre pour e les nombres $0$, $1$, $2$, $3$…$e-1$ ou d’autres nombres quelconques congrus avec eux. Une seule racine est $=1$, celle que l’on obtient en faisant $k=0$, ou plus généralement $k\equiv 0{\pmod {e}}$ ; mais à toute autre valeur de $k$ répondra une valeur de $x$ différente de $1$.

2^o . Comme on a

$\left(\cos {\frac {kP}{e}}+i\,\sin {\frac {kP}{e}}\right)^{\lambda }=\cos {\frac {\lambda kP}{e}}+i\,\sin {\frac {\lambda kP}{e}},$

si $R$ est une racine qui corresponde à une valeur de $k$ première avec $e$, le terme de numéro $e$ dans la progression $R$, $R^{2}$, $R^{3}$, etc. sera $=1$, mais tous les autres seront différens de $1$ ; il suit de là que toutes les quantités $R$, $R^{2}$, $R^{3}$, etc. sont différentes, et comme chacune satisfait à l’équation $x^{2}-1=0$, elles sont les racines de cette équation.

3^o. Enfin dans la même supposition, on a

$1+R^{\lambda }+R^{2\lambda }+R^{3\lambda }+$…$1+R^{(e-1)\lambda }=0,$

pour toute valeur de $\lambda$ entière et non divisible par $e$ ; en effet cette expression équivaut à ${\frac {1-R^{\lambda e}}{1-R^{\lambda }}}$, et le numérateur de cette fraction est $=0$, tandis que le dénominateur ne l’est pas. Mais quand $\lambda$ est divisible par $e$, cette somme est évidemment $=e$.

360. Soit, comme dans tout ce qui précède, $n$ un nombre premier, $g$ une racine primitive pour le module $n$, et $n-1$ les produits de trois nombres entiers positifs $\alpha$, $\beta$, $\gamma$. Pour abréger, nous comprendrons en même temps dans nos recherches le cas, où l’on aurait $\alpha$ ou $\gamma =1$ ; quand $\gamma =1$, il faut remplacer $(\gamma ,1)$, $(\gamma ,g)$, etc. par $[1]$, $[g]$, etc. Supposons donc que les $\alpha$ périodes de $\beta \gamma$ termes, $(\beta \gamma ,1)$, $(\beta \gamma ,g)$, $(\beta \gamma ,g^{2})$…$(\beta \gamma ,g^{\alpha -1})$ soient connues, et que l’on, veuille en déduire les valeurs des périodes de $\gamma$ termes, opération que nous avons réduite plus haut à la résolution d’une équation complète du degré $\beta$, et qu’il s’agit maintenant de ramener à une équation à deux termes de même degré. Pour abréger, nous représenterons respectivement les valeurs des périodes

$(\gamma ,1),$	$(\gamma ,g^{\alpha }),$	$(\gamma ,g^{2\alpha }),$…	$(\gamma ,g^{\alpha \beta -\alpha })$	—par—	$a,$	$b,$	$c,$…	$m,$
$(\gamma ,g),$	$(\gamma ,g^{\alpha +1}),$	………	$(\gamma ,g^{\alpha \beta -\alpha +1})$	—par—	$a',$	$b',$	……	$m',$
$(\gamma ,g^{2}),$	$(\gamma ,g^{\alpha +2}),$	………	$(\gamma ,g^{\alpha \beta -\alpha +2})$	—par—	$a'',$	$b'',$	……	$m'',$

jusqu’à celles qui composent la période $(\beta \gamma ,g^{\alpha -1})$.

1^o . Soit $R$ une racine indéfinie de l’équation $x^{\beta }-1=0$, et supposons que le développement de la puissance $\beta$ de la fonction

$t=a+Rb+R^{2}c+...R^{\beta -1}m.$

soit, par ce qui a été dit (n^o 345),

$N$	$+Aa$	$+Bb$	$+Cc$……	$+Mm$	$\left.{\begin{matrix}\ \\\ \\\ \\\ \end{matrix}}\right\}=T$
	$+A'a'$	$+B'b'$	$+C'c'$……	$+M'm'$
	$+A''a''$	$+B''b''$	$+C''c''$……	$+M''m''$
	$+$ etc.

où les coefficiens $N$, $A$, $B$, $A'$, etc. seront des fonctions rationnelles entières de $R$. Supposons aussi que la puissance $\beta$ des deux autres fonctions

$u=$	$R^{\beta }a$	$+Rb+R^{2}c......+R^{\beta -1}m$,
$u'=$	$b$	$+Rc+R^{2}d......+R^{\beta -2}m+R^{\beta -1}a$,

se développe en $U$ et $U'$, on verra facilement (n^o 350) que $u'$ se tirant de $t$ en changeant $a$, $b$, $c$…$m$ en $b$, $c$, $d$…$a$ respectivement, on aura

$N$	$+Ab$	$+Bc$	$+Cd$……	$+Ma$	$\left.{\begin{matrix}\ \\\ \\\ \\\ \end{matrix}}\right\}=U'$ :
	$+A'b'$	$+B'c'$	$+C'd'$……	$+M'a'$
	$+A''b''$	$+B''c''$	$+C''d''$……	$+M''a''$
	$+$ etc.

d’ailleurs $u=Ru'$, ainsi $U=R^{\beta }U'$ ; et comme $R^{\beta }=1$, les coefficiens correspondans seront les mêmes dans $U$ et $U'$ ; enfin, comme $t$ et $u$ ne diffèrent qu’en ce que $a$ est multiplié par l’unité dans $t$, et dans $u$ par $R^{\beta }$, on voit facilement que les coefficiens correspondans, c’est-à-dire ceux qui multiplient les mêmes périodes, sont les mêmes dans $T$ et dans $U$, et partant dans $T$ et dans $U'$. On a donc

$A=B=C$, etc. $=M$,—$A'=B'=C'$, etc.,—$A''=B''=C''$, etc., etc.

et partant, $T$ se trouve réduit à la forme

$T=N+A(\beta \gamma ,1)+A'(\beta \gamma ,g)+A''(\beta \gamma ,g^{2})+$ etc.,

où chacun des coefficiens $N$, $A$, $A'$, etc. peut être ramené à la forme

$pR^{\beta -1}+p'R^{\beta -2}+p''R^{\beta -3}+$ etc.,

$p$, $p'$, $p''$, etc., étant des nombres entiers donnés.

2^o . Si l’on prend pour $R$ une racine déterminée de l’équation $x^{\beta }-1$ (dont nous supposons avoir déjà la solution), et telle que sa puissance $\beta$ soit la plus petite qui soit égale à l’unité, $T$ sera aussi une quantité déterminée dont on pourra tirer $t$ par l’équation à deux termes $t^{\beta }-T=0$. Comme cette équation a $\beta$ racines.

$t,\,Rt,\,R^{2}t.......\,Rt^{\beta -1},$

le choix de la racine que l’on doit employer reste douteux ; mais on peut prouver comme il suit que cela est indifférent. On doit se souvenir que, toutes les valeurs des périodes de $\beta \gamma$ termes étant supposées connues, la racine $[1]$ n’est déterminée que par la condition d’être une des $\beta \gamma$ racines contenues dans $(\beta \gamma ,1)$, et que parconséquent nous sommes parfaitement maîtres de représenter par $a$ la valeur d’une quelconque des périodes qui composent $(\beta \gamma ,1)$ ; et si la valeur d’une de ces périodes étant représentée par $a$, on a $t=\tau$, et qu’ensuite on représente par $a$ la valeur de la période que l’on représentait par $b$, $c$, $d$,……$a$, $b$, deviendra $b$, $c$… $m$, $a$, ce qui donnerait alors $t={\frac {\tau }{R}}=\tau R^{\beta -1}$. De même, si l’on veut représenter par $a$ la valeur de la période qui était auparavant représentée par $c$, la valeur de $t$ deviendra $\tau R^{\beta -2}$, et ainsi de suite ; $t$ pourra donc être supposé égal à une quelconque des quantités $\tau$, $\tau R^{\beta -1}$, $\tau R^{\beta -2}$, etc., c’est-à-dire à celle qu’on voudra des racines de l’équation $x^{\beta }-T=0$, pourvu que nous supposions que l’on prenne pour $(\gamma ,1)$, tantôt l’une, tantôt l’autre des périodes contenues dans $(\beta \gamma ,1)$.

3^o . Lorsque la quantité $t$ a été déterminée de cette manière, il faut chercher les $\beta -1$ autres qui se déduisent de $t,$ en substituant successivement $R^{2},$ $R^{3},$ $R^{4},\dots$$R^{\beta }$ à la place de $R,$ c’est-à-dire,

$t'=$	$a+R^{2}b+R^{4}c$...... $+R^{2\beta -2}m$,
$t''=$	$a+R^{3}b+R^{6}c$...... $+R^{3\beta -3}m$, etc.

On connaît déjà la dernière, puisqu’elle devient évidemment $=a+b+c...+m=(\beta \gamma ,1)$, et les autres se détermineront comme il suit.

Si, en suivant les règles du n^o 345, on forme le produit $t^{\beta -2}t'$, comme (1^o .) on a formé $t^{\beta }$, on prouvera d’une manière absolument analogue à la précédente, qu’il peut se ramener à la forme

$N_{1}+A_{1}(\beta \gamma ,1)+A'_{1}(\beta \gamma ,g)+A''(_{1}\beta \gamma ,g^{2})+$ etc. $=T',$

$N_{1},$ $A_{1},$ $A'_{1},$ etc. étant des fonctions rationnelles et entières de $R,$ et parconséquent $T'$ une quantité connue ; d’où l’on tire $t'={\frac {T't^{2}}{T}}.$ De même si le développement du produit $t^{\beta -3}t''$ est supposé égal à $T''$, $T'''$ aura une forme semblable, et une fois sa valeur connue, on aura $t'={\frac {T''t^{3}}{T}}$ ; $t'''$ se déterminera par l’équation $t'''={\frac {T'''t^{4}}{T}}$, où $T'''$ sera une quantité connue, etc.

Cette méthode cesserait d’être applicable, si l’on pouvait avoir $t=0$, ce qui donnerait $T=T'=T''=$ etc. $=0$ ; mais nous pourrions prouver que cette supposition est inadmissible, si nous n’étions forcés d’abréger. Il existe aussi des artifices particuliers par lesquels les fractions ${\frac {T'}{T}}$, ${\frac {T''}{T}}$, etc. peuvent être converties en fonctions entières de $R$, et des méthodes plus abrégées pour trouver $t'$, $t''$, etc. lorsqu’on a $\alpha =1$ ; mais nous ne pouvons nous arrêter à ces détails.

4^o . Enfin, dès que l’on connaîtra $t$, $t'$, $t''$, etc., on aura sur-le-champ, par la troisième observation du n^o précédent,

$t+t'+t''+$ etc. $=\beta a,$

équation qui donnera la valeur de $a$, et de cette valeur on pourra (n^o 346) déduire celle de toutes les périodes de $\gamma$ termes. Les valeurs de $b$, $c$, $d$, etc. peuvent aussi se trouver, comme chacun pourra s’en assurer par une légère attention, au moyen des équations suivantes :

$\beta b$	$=R^{\beta -1}t$	$+R^{\beta -2}t'$	$+R^{\beta -3}t''$	+ etc.,
$\beta c$	$=R^{2\beta -2}t$	$+R^{2\beta -4}t'$	$+R^{2\beta -6}t''$	+ etc.,
$\beta d$	$=R^{3\beta -3}t$	$+R^{3\beta -6}t'$	$+$ etc.,	+ etc.,

Parmi les nombreuses observations relatives à la recherche précèdente, nous ne nous arrêterons que sur une seule.

On voit facilement que $T$ obtient le plus souvent une valeur imaginaire de la forme $P+iQ$, desorte que la solution de l’équation dépend de la division en $\beta$ parties, 1^o d’un angle dont la tangente est ${\frac {Q}{P}}$ ; 2^o d’un rapport qui est celui de $1$ à ${\sqrt {(P^{2}+Q^{2})}}$ ; et il est digne de remarque que la valeur de ${\sqrt[{\beta }]{(P^{2}+Q^{2})}}$ peut toujours s’exprimer rationnellement par des quantités déjà connues, desorte que l’on n’a besoin que de la division de l’angle et de l’extraction d’une racine quarrée (nous ne faisons qu’indiquer cette remarque, que nous ne pouvons détailler ici), par exemple, pour $\beta =3$ on n’a besoin que de la trisection de l’angle, tandis que pour la plupart des équations du troisième degré dont toutes les racines sont réelles, on ne peut éviter d’employer la trisection de l’angle et du rapport.

Enfin, comme rien n’empêche que nous ne supposions $\alpha =1$, $\gamma =1$, et partant $\beta =n-1$, il est évident que la solution de l’équation $x^{n}-1=0$ peut être réduite à la solution de l’équation à deux termes du degré $n-1$, $x^{n-1}-T=0$ où $T$ se déterminera par les racines de l’équation $x^{n-1}-1=0$. D’où il résulte, à l’aide de l’observation que nous venons de faire, que la division du cercle en $n$ parties exige :

1^o . La division du cercle en $n-1$ parties ;

2^o . La division en $n-1$ parties d’un arc qui peut se construire, lorsque la première division est faite ;

3^o . Enfin l’extraction d’une racine quarrée, et l’on peut prouver que cette racine est toujours ${\sqrt {n}}$.

361. Il nous reste à examiner de plus près la liaison qui existe entre les racines $\Omega$ et les fonctions trigonométriques des angles

${\frac {P}{n}},\,{\frac {2P}{n}},\,{\frac {3P}{n}},.....{\frac {(n-1)P}{n}}.$

La méthode que nous avons exposée pour trouver les racines $\Omega$, laisse de l’incertitude sur celles de ces racines qui répondent à ces différens angles, c’est-à-dire, sur celle que l’on doit égaler à $\cos {\frac {P}{n}}+i\,\sin {\frac {P}{n}}$, celle que l’on doit égaler à $\cos {\frac {2P}{n}}+i\,\sin {\frac {2P}{n}}$, etc., à moins que l’on ne fasse usage des tables de sinus, ainsi que nous l’avons indiqué, ce qui peut ne pas sembler assez direct. Mais cette incertitude disparaît aisément, si l’on fait attention que les cosinus des angles

${\frac {P}{n}},\,{\frac {2P}{n}},\,{\frac {3P}{n}},.....{\frac {(n-1)P}{2n}},$

vont continuellement en décroissant, pourvu que l’on tienne compte du signe, et que les sinus sont positifs, tandis que pour les angles

${\frac {(n-1)P}{n}},\,{\frac {(n-2)P}{n}},\,{\frac {(n-3)P}{n}}......{\frac {(n+1)P}{2n}},$

qui ont mêmes cosinus que les premiers, les sinus sont tous négatifs, quoique de même grandeur que les autres. Ainsi, parmi les racines $\Omega$, les deux qui ont même partie réelle et pour lesquelles cette partie est la plus grande, répondront aux angles ${\frac {P}{n}}$ et ${\frac {(n-1)P}{n}}$, savoir, au premier celle où la quantité imaginaire est positive, au second celle où elle est négative. Parmi les $n-3$ autres racines, les deux qui auront la plus grande partie réelle répondront aux angles ${\frac {2P}{n}}$, ${\frac {(n-2)P}{n}}$, et ainsi de suite. D’ailleurs, aussitôt que l’on connaît la racine à laquelle répond l’angle ${\frac {P}{n}}$, on pourra distinguer les autres, en remarquant que si on la désigne par $[\lambda ]$, aux angles ${\frac {2P}{n}}$, ${\frac {3P}{n}}$, ${\frac {4P}{n}}$, etc. répondront évidemment les racines $[2\lambda ]$, $[3\lambda ]$, $[4\lambda ]$, etc. Ainsi dans l’exemple du n^o 353, on voit sur-le-champ qu’il n’y a pas d’autre racine que $[11]$ qui puisse répondre à l’angle ${\frac {1}{19}}P$, et à l’angle ${\frac {18}{19}}P$ la racine $[8]$. De même aux angles ${\frac {2}{19}}P,$ ${\frac {17}{19}}P,$ ${\frac {3}{19}}P,$ ${\frac {16}{19}}P,$ etc. répondent les racines $[3],$ $[16],$ $[14],$ $[5],$ etc. Dans l’exemple du n^o 354, la racine $[1]$ répond évidemment à langle ${\frac {1}{17}}P$, la racine $[2]$ à l’angle ${\frac {2}{17}}P$, etc. Ainsi de cette manière les sinus et cosinus des angles ${\frac {P}{n}}$, ${\frac {2P}{n}}$, etc. sont entièrement déterminés.

362. Quant à ce qui regarde les autres fonctions trigonométriques de ces angles, on pourrait les tirer des valeurs des sinus et cosinus, par les méthodes connues, savoir, les sécantes et les tangentes en divisant respectivement l’unité ou les sinus par les cosinus, et les cosécantes et les cotangentes, en divisant le rayon ou les cosinus par les sinus. Mais le plus souvent il sera plus commode d’employer les formules suivantes, qui n’exigent que de simples additions.

Soit $\omega$ un quelconque des angles ${\frac {P}{n}}$, ${\frac {2P}{n}}$,…${\frac {(n-1)P}{n}}$, et $\cos \omega +i\sin \omega =R$ ; $R$ sera une des racines $\Omega$, et l’on aura

$\cos \omega$	$={\frac {1}{2}}\left(R+{\frac {1}{R}}\right)$	$={\frac {1+R^{2}}{2R}},$
$\sin \omega$	$={\frac {1}{2i}}\left(R-{\frac {1}{R}}\right)$	$={\frac {i(1-R^{2})}{2R}},$

et partant

$\operatorname {sec} \omega$	$={\frac {2R}{1+R^{2}}}$,	——	$\tan \omega$	$={\frac {i(1-R^{2})}{1+R^{2}}},$
$\csc \omega$	$={\frac {2Ri}{R^{2}-1}}$,		$\cot \omega$	$={\frac {i(R^{2}+1)}{R^{2}-1}},$

Nous allons donner le moyen de transformer les numérateurs de ces quatre fractions, de manière à les rendre divisibles par les dénominateurs.

1^o . Comme on a $R=R^{n+1}=R^{2n+1}$, il en résulte $2R=R+R^{2n+1}$, expression qui est divisible par $1+R^{2}$, puisque $n$ est un nombre impair ; donc

$\operatorname {sec} \omega =R-R^{3}+R^{5}-R^{7}+\dots +R^{2n-1}\,;$

et partant, puisqu’on a $\sin \omega =-\sin(2n-1)\omega$, $\sin 3\omega =-\sin(2n-3)\omega$, etc., et parconséquent $\sin \omega -\sin 3\omega +\sin 5\omega \dots +\sin(2n-1)\omega =0$,

$\operatorname {sec} \omega =\cos \omega -\cos 3\omega -\cos 5\omega \dots +\cos(2n-1)\omega ,$

ou enfin, puisque $\cos \omega =\cos(2n-1)\omega$, $\cos 3\omega =\cos(2n-3)\omega$, etc.,

$\operatorname {sec} \omega =2\left\{\cos \omega -\cos 3\omega +\cos 5\omega \dots \mp \cos(n-2)\omega \right\}\pm \cos n\omega ,$

le signe supérieur ou inférieur ayant lieu, suivant que $n$ est de la forme $4n+1$ ou $4n+3$. Cette formule peut évidemment se présenter comme il suit :

$\sec \omega =\pm \left\{1-2\cos 2\omega +2\cos 4\omega ....\pm 2\cos(n-1)\omega \right\}.$

2^o . Substituant de même $1-R^{n+2}$ pour $1-R^{2}$, on trouve

$\operatorname {tang} \omega =i(1-R^{2}+R^{4}-R^{6}....-R^{2n}),$

ou, comme $1-R^{2n}=0$, $R^{2}-R^{2n+2}=2i\,\sin 2\omega$, $R^{4}-R^{2n-4}=2i\,\sin 4\omega$, etc.

$\operatorname {tang} \omega =2\left\{\sin 2\omega -\sin 4\omega +\sin 6\omega ....\mp 2\sin(n-1)\omega \right\}.$

3^o . Comme on a

$1+R+R^{2}+R^{4}.....+R^{2n+2}=0,$

on en tire

$n$	$=n-1-R^{2}-R^{4}....-R^{2n+2}$
	$=(1-R^{2})+(1-R^{4})....+(1-R^{2n+2}),$

expression dont les différentes parties sont divisibles par $1-R^{2}$, d’où il résulte

${\frac {n}{1-R^{2}}}$	$=1+(1+R^{2})+(1+R^{2}+R^{4})....$
	$....+(1+R^{2}+R^{4}....R^{2n-4})$
	$=n-1+(n-2)R^{2}+(n-3)R^{4}....+R^{2n-4}\,;$

si l’on multiplie par $2$, que l’on retranche le produit

$(n-1)(1+R^{2}+R^{4}....+R^{2n-2})=0,$

et que l’on multiplie de nouveau par $R$, on a

${\frac {2nR}{1-R^{2}}}$	$=(n-1)R+(n-3)R^{3}+(n-5)R^{5}....$
	$...-(n-3)R^{2n-3}-(n-1)R^{2n-1},$

d’où résulte sur-le-champ,

$\operatorname {cosec} \omega =$	${\frac {1}{n}}\{(n-1)\sin \omega +(n-3)\sin 3\omega$… …$-(n-1)\sin(2n-1)\omega \}$
$=$	${\frac {2}{n}}\{(n-1)\sin \omega +(n-3)\sin 3\omega$ $-$ etc. $+2\sin(n-2)\omega \},$

formule qui peut encore se présenter ainsi

$\operatorname {cosec} \omega =$	$-{\frac {2}{n}}\{2\sin 2\omega +4\sin 4\omega +6\sin 6\omega$…
	$+(n-1)\sin(n-1)\omega \}$

4^o . En multipliant par $1+R^{2}$ la valeur de ${\frac {n}{1-R^{2}}}$ que nous avons donnée plus haut, et en retranchant le produit

$(n-1)(1+R^{2}+R^{4}+....R^{2n-2})=0.$

il vient

${\frac {n(1+R^{2})}{1-R^{2}}}$	$=(n-2)R^{2}+(n-4)R^{4}+(n-6)R^{6}$
	…$-(n-2)R^{2n-2},$

d’où

$\cot \omega =$	${\frac {1}{n}}\{(n-2)\sin 2\omega +(n-4)\sin 4\omega +(n-6)\sin 6\omega$ ——————————————…$-(n-2)\sin(2n-2\omega )\}$
$=$	${\frac {2}{n}}\{(n-2)\sin 2\omega +(n-4)\sin 4\omega$ ——————————…$+3\sin(n-3)\omega +\sin(n-1)\omega \}$,

formule qui peut encore se présenter ainsi qu’il suit :

$\cot \omega =-{\frac {1}{n}}\{\sin \omega +3\sin 3\omega +...(n-2)\sin(n-2)\omega \}.$

363. De même qu’en supposant $n-1=ef$, la fonction $X$ peut être décomposée en $e$ facteurs de degré $f$, aussitôt que l’on connaît les valeurs des $e$ périodes de $f$ termes (n^o 348), si nous supposons maintenant que $Z=0$ soit une équation du degré $n-1$ dont les racines soient les sinus, ou toute autre fonction trigonométrique des angles ${\frac {P}{n}},\,{\frac {2P}{n}},\,\dots {\frac {(n-1)P}{n}}$, la fonction $Z$ pourra se décomposer en $c$ facteurs de degré $f$.

Soient $p=(f,1)$, $p'$, $p''$, etc. les périodes de $f$ termes dont $\Omega$ est composé, et que $p$, $p'$, $p''$, etc. contiennent respectivement, les racines

$[1],[a],[b],[c]$, etc. ——$[a'],[b'],[c']$, etc. ——$[a''],[b''],[c'']$, etc. ;

supposons encore que l’angle $\omega$ réponde à la racine $[1]$, et partant les angles

$a\omega ,b\omega ,$, etc.——$a'\omega ,b'\omega ,$, etc.——$a''\omega ,b''\omega$, etc.,

aux racines

$[a],[b],[c]$, etc. ——$[a'],[b'],$, etc. ——$[a''],[b'']$, etc. ;

On verra facilement que ces angles pris ensemble coïncident^[6], quant à leurs fonctions trigonométriques, avec les angles

${\frac {P}{n}},\,{\frac {2P}{n}},\,{\frac {3P}{n}},.....{\frac {(n-1)P}{n}}\,;$

si donc la fonction dont il s’agit est désignée par le signe $\varphi$ placé devant l’angle, et que l’on fasse

$(x-\varphi \omega )$	$(x-\varphi a\omega )$	etc.	$=Y,$
$(x-\varphi a'\omega )$	$(x-\varphi b'\omega )$	etc.	$=Y',$
$(x-\varphi a''\omega )$	$(x-\varphi b''\omega )$	etc.	$=Y'',$ etc.,

on aura nécessairement

$YY'Y''......=Z.$

Il nous reste à faire voir que tous les coefficiens, dans les fonctions $Y,$ $Y',$ $Y'',$ etc. peuvent être ramenés à la forme

$A+B(f,1)+C(f,g)+D(f,g^{2}).....+L(f,g^{e-1})\,;$

car alors ils devront être regardés comme connus, dès que l’on connaîtra les valeurs de $p,$ $p',$ $p'',$ etc. Or nous le prouverons de la manière suivante.

Le n^o précédent fait voir que de la même manière que l’on a

$\cos \omega ={\frac {1}{2}}[1]+{\frac {1}{2}}[1]^{n-1}$,——$\sin \omega =-{\frac {i}{2}}[1]+{\frac {i}{2}}[1]^{n-1},$

les autres fonctions trigonométriques de l’angle $\omega$ sont réductibles à la forme

$A'+B'[1]+C'[1]^{2}+D'[1]^{3}+$ etc.,

et l’on voit sans la moindre difficulté, que la même fonction pour l’angle $k\omega$ est alors

$A'+B'[k\omega ]+C'[k\omega ]^{2}+D'[k\omega ]^{3}+$ etc.,

$k$ étant un entier quelconque. Or comme les différens coefficiens de $Y$ sont des fonctions invariables rationnelles et entières de $\varphi \omega ,$ $\varphi a\omega ,$ $\varphi b\omega ,$ etc., il est manifeste que si, à la place de ces quantités, on substitue leurs valeurs, les différens coefficiens deviendront des fonctions invariables de $[1],$ $[a],$ $[b],$ etc., et partant (n^o 347) réductibles à la forme

$A+B(f,1)+C(f,g)+D(f,g^{2})+$ etc.,

il en est de même des coefficiens $Y'$, $Y'',$ etc.

364. Nous ajouterons encore quelques observations à l’égard du problème du n^o précédent.

1^o . Comme les racines de la période $P'=(f,a')$ entrent dans les coefficiens de $Y',$ de la même manière que les racines de la période $P$ entrent dans les coefficiens de $Y,$ il suit du n^o 347 que $Y'$ peut se déduire de $Y,$ pourvu que l’on substitue dans $Y$

$(f,a'),(f,a'g),(f,a'g^{2}),\,{\text{etc.}}$ au lieu de $(f,1),(f,g),(f,g^{2}),\,{\text{etc.}}$

De la même manière $Y''$ se déduira de $Y$ en substituant

$(f,a''),(f,a'g'),(f,a''g^{2}),\,{\text{etc.}}$ au lieu de $(f,1),(f,g),(f,g^{2}),\,{\text{etc.}}$

Ainsi, dès que la fonction $Y$ est trouvée, les autres suivent de celle-là sans aucune peine.

2^o . Soit $Y=x^{f}-\alpha x^{f-1}+\beta x^{f-2}-\,{\text{etc.}}$ etc. Les coefîiciens $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,\,{\text{etc.}}$ seront respectivement la somme des racines de l’équation $Y=0,$ la somme de leurs produits deux à deux, etc. Mais souvent ces coefficiens se déterminent plus commodément par une méthode semblable à celle du n^o 349, c’est-à-dire, en calculant la somme des racines $\varphi \omega ,\,\varphi a\omega ,\,\varphi b\omega ,\,{\text{etc.}},$ la somme de leurs quarrés, la somme de leurs cubes, etc., et déduisant de là ces coefficiens par le théorème de Newton. Toutes les fois que $\varphi$ désigne la tangente, sécante, cotangente ou cosécante, on peut encore employer d’autres moyens d’abréviation, mais nous sommes forcés de les passer sous silence.

3^o . Le cas où $f$ est un nombre pair mérite une attention particulière ; alors chacune des périodes $P,\,P',\,P'',\,{\text{etc.}}$ est composée de ${\frac {f}{2}}$ périodes de $2$ termes. Soient $(2,1),\,(2,a_{1}),\,(2,b_{1}),\,(2,c_{1})$, etc. celles qui composent $P$, les nombres $1,\,a,\,b,\,c,\,{\text{etc.}}$ et $n-1,\,n-a,\,n-b,\,{\text{etc.}}$ pris ensemble, coïncideront avec la suite $1$, $a$, $b$, $c,\,{\text{etc.}},$ ou du moins, ce qui revient au même quant à nos considérations, seront congrus à ceux-ci, suivant le module $n$. Mais on a $\varphi (n-1)\omega =\pm \varphi \omega ,\,\varphi (n-a_{1})\omega =\pm \varphi a\omega$, etc. en prenant les signes supérieurs, quand $\varphi$ exprime le cosinus ou la sécante, et les signes inférieurs, quand $\varphi$ exprime le sinus, la tangente, la cotangente ou la cosécante. Il suit de là que dans les deux premiers cas, les facteurs de $Y$ seront égaux deux à deux, et que parconséquent $Y$ sera un quarré $=y^{2},$ si l’on fait

$y=(x-\varphi \omega )(x-\varphi a_{1}\omega )(x-\varphi b_{1}\omega ),\,{\text{etc.}}$

Dans les mêmes cas, $Y',\,Y''$, etc. seront des quarrés, et si l’on suppose que $P'$ soit composé des périodes $(2,a_{1}'),\,(2,b_{1}'),\,(2,c_{1}'),\,{\text{etc.}},\,P''$ des périodes $(2,a_{1}'),\,(2,b_{1}''),\,(2,c_{1}''),\,{\text{etc.}},$ et que l’on fasse

$y'$	$=(x-\varphi a_{1}'\omega )(x-\varphi b_{1}'\omega )(x-\varphi c_{1}'\omega ),{\text{etc.}},$
$y''$	$=(x-\varphi a_{1}''\omega )(x-\varphi b_{1}''\omega )(x-\varphi c_{1}''\omega ),{\text{etc.}},$

on aura $Y'=y'^{2}$, $Y''=y''^{2}$, etc., et la fonction $Z$ elle-même sera un quarré (voyez n^o 337) dont la racine est égale à $yy'y''$, etc. Au reste, on voit facilement que $y'$, $y''$, etc. se dérivent de $y$ de la même manière que $Y'$, $Y''$, etc. de $Y$ (I) ; et que chaque coefficient de $y$ peut aussi se ramener à la forme

$A+B(f,1)+C(f,g)+D(f,g^{2}),{\text{etc.}},$

puisque les sommes des puissances des racines de l’équation $y=0$ sont les moitiés des sommes des puissances des racines de l’équation $Y=0$ et partant réductibles à cette forme.

Dans les quatre autres cas, $Y$ sera le produit des facteurs $x^{2}-(\varphi \omega )^{2}$, $x^{2}-(\varphi a_{1}\omega )^{2}$, $x^{2}-(\varphi b_{1}\omega )^{2}$, etc. et parconséquent de la forme

$x^{f}-\lambda x^{f-2}+\mu x^{f-4}-{\text{etc.}},$

les coefficiens $\lambda$, $\mu$, etc. peuvent se déduire de la somme des quarrés, des biquarrés, etc. des racines $\varphi \omega$, $\varphi a\omega$, $\varphi b\omega$, etc., et de même pour les fonctions $Y'$, $Y''$, etc.

Exemple I. Soit $n=17$,$f=8$, et que $\varphi$ désigne le cosinus. On a

$\textstyle Z=(x^{8}+{\frac {1}{2}}x^{7}-{\frac {1}{4}}x^{6}-{\frac {3}{4}}x^{5}+{\frac {15}{16}}x^{4}+{\frac {5}{16}}x^{3}-{\frac {5}{32}}x^{2}-{\frac {1}{32}}x+{\frac {1}{256}})^{2},$

et il faut parconséquent décomposer ${\sqrt {Z}}$ en deux facteurs du quatrième degré $y$ et $y'$. La période $P=(8,1)$ est composée des périodes

$(2,1),\,(2,9),\,(2,13),\,(2,15),$

d’où

$y=(x-\varphi \omega )(x-\varphi 9\omega )(x-\varphi 13\omega )(x-\varphi 15\omega ).$

Substituons ${\frac {1}{2}}[k]+{\frac {1}{2}}[n-k]$ pour $\varphi k\omega$, et désignons indéfiniment par $S_{m}$ la somme des puissances $m$ des racines $\varphi \omega$, $\varphi 9\omega$, etc., nous trouverons

$S_{1}={\frac {1}{2}}(8,1)$,——$S_{2}=2+{\frac {1}{4}}(8,1)$, ——$S_{3}={\frac {3}{8}}(8,1)+{\frac {1}{8}}(8,1)$, ——$S_{4}={\frac {3}{2}}+{\frac {5}{16}}(8,1)\,;$

et déterminant par là les coefficiens de $y$, à l’aide du théorème de Newton,

$y=x^{4}$	$-{\frac {1}{2}}(8,1)x^{3}+{\frac {1}{4}}\{(8,1)+2(8,3)\}x^{2}$
	$-{\frac {1}{8}}\{(8,1)+3(8,3)x\}+{\frac {1}{16}}\left\{(8,1)+(8,3)\right\}.$

$y'$ se déduit de $y$ en changeant $(8,1)$ en $(8,3)$ et réciproquement ; ainsi substituant les valeurs

$(8,1)=-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {17}}$,——$(8,3)=-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {17}},$

on a

$y=$	$x^{4}+\left({\frac {1}{4}}-{\frac {1}{4}}{\sqrt {17}}\right)x^{3}-\left({\frac {3}{8}}+{\frac {1}{8}}{\sqrt {17}}\right)x^{2}$
	$+\left({\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}{\sqrt {17}}\right)x-{\frac {1}{16}},$
$y'=$	$x^{4}+\left({\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}{\sqrt {17}}\right)x^{3}-\left({\frac {3}{8}}-{\frac {1}{8}}{\sqrt {17}}\right)x^{2}$
	$+\left({\frac {1}{4}}-{\frac {1}{8}}{\sqrt {17}}\right)x-{\frac {1}{16}}.$

${\sqrt {Z}}$ peut de la même manière être décomposé en quatre facteurs du second degré, qui seront

$(x-\varphi \omega )(x-\varphi 13\omega )$,	——	$(x-\varphi 9\omega )(x-\varphi 15\omega ),$
$(x-\varphi 3\omega )(x-\varphi 5\omega )$,		$(x-\varphi 10\omega )(x-\varphi 11\omega ),$

et tous les coefficiens de ces facteurs s’exprimeront au moyen des quatre périodes $(4,1),\,(4,9),\,(4,3),\,(4,10).$ Or il est évident que le produit des deux premiers facteurs est $y$, et celui des deux derniers $y'.$

Exemple II. Si, toutes choses d’ailleurs égales, $\varphi$ est supposé désigner le sinus, ensorte qu’on ait

$Z=x^{15}$	$-{\frac {17}{4}}x^{14}+{\frac {119}{16}}x^{12}-{\frac {221}{32}}x^{10}+{\frac {935}{256}}x^{8}$
	$-{\frac {561}{512}}x^{6}+{\frac {357}{2048}}x^{4}-{\frac {51}{4096}}x^{2}+{\frac {17}{65536}},$

à décomposer en facteurs du huitième degré $y$ et $y'$, $y$ sera le produit des quatre facteurs du second degré

$x^{2}-(\varphi \omega )^{2}$,—$x^{2}-(\varphi 9\omega )^{2}$, —$x^{2}-(\varphi 13\omega )^{2}$, —$x^{2}-(\varphi 15\omega )^{2}.$

Or comme on a $\varphi k\omega =-{\frac {i}{2}}[k]+{\frac {i}{2}}[n-k]$, il en résulte

$(\varphi k\omega )^{2}$	$=-{\frac {1}{4}}[2k]+{\frac {1}{2}}[n]-{\frac {1}{4}}[2n-2k]$
	$={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}[2k]-{\frac {1}{4}}[2n-2k]\,;$

de là, en désignant indéfiniment par $S_{m}$ la somme des puissances $m$ des racines $\varphi \omega ,\,\varphi 9\omega ,\,\varphi 13\omega ,\,\varphi 15\omega ,$ on tire

$S_{2}=2-{\frac {1}{4}}(8,1)$ ;		——$S_{4}={\frac {3}{2}}-{\frac {3}{16}}(8,1)$ ;
$S_{6}={\frac {5}{4}}-{\frac {9}{64}}(8,1)-{\frac {1}{64}}(8,3)$ ;		$S_{8}={\frac {35}{32}}-{\frac {27}{256}}(8,1)-{\frac {1}{32}}(8,3),$

et partant

$y=x^{8}$	$-\left\{2-{\frac {1}{4}}(8,1)\right\}x^{6}$	$+\left\{{\frac {3}{2}}-{\frac {5}{16}}(8,1)+{\frac {1}{8}}(8,3)\right\}x^{4}$
		$-\left\{{\frac {1}{2}}-{\frac {9}{64}}(8,1)+{\frac {5}{64}}(8,3)\right\}x^{2}$
		$+{\frac {1}{16}}-{\frac {5}{256}}(8,1)+{\frac {3}{256}}(8,3).$—

$y'$ se déduit de $y$ en échangeant entre eux $(8,1)$ et $(8,3)$, desorte que par la substitution des valeurs de ces périodes,
on a

$y=x^{8}$	$-\left({\frac {17}{8}}-{\frac {1}{8}}{\sqrt {17}}\right)x^{6}$	$+\left({\frac {51}{32}}-{\frac {7}{32}}{\sqrt {17}}\right)x^{4}$	…
…	$-\left({\frac {17}{32}}-{\frac {7}{64}}{\sqrt {17}}\right)x^{2}$	$+\;\;{\frac {17}{256}}-{\frac {1}{64}}{\sqrt {17}}$,
$y'=x^{8}$	$-\left({\frac {17}{8}}+{\frac {1}{8}}{\sqrt {17}}\right)x^{6}$	$+\left({\frac {51}{32}}+{\frac {7}{32}}{\sqrt {17}}\right)x^{4}$	…
…	$-\left({\frac {17}{32}}+{\frac {7}{64}}{\sqrt {17}}\right)x^{2}$	$+\;\;{\frac {17}{256}}+{\frac {1}{64}}{\sqrt {17}}$.

On pourra de la même manière décomposer $Z$ en quatre facteurs, dont les coefficiens s’exprimeront au moyen des valeurs des périodes de quatre termes ; le produit de deux d’entre eux sera $y$, le produit des autres $y'$.

365. Nous avons ainsi réduit par les recherches précédentes la division du cercle en $n$ parties, si $n$ est un nombre premier, à la solution d’autant d’équations qu’il y a de facteurs dans le nombre $n-1$, et dont le degré est déterminé par la grandeur des facteurs. Ainsi, toutes les fois que $n-1$ est une puissance de $2,$ ce qui arrive pour les valeurs de $n$

$3,\quad 5,\quad 17,\quad 257,\quad 65537,\quad {\text{etc.}},$

la division du cercle est réduite à des équations du second degré seulement, et les fonctions trigonométriques des angles ${\frac {P}{n}},\,{\frac {P}{2n}},\,{\text{etc}}.$ peuvent être exprimées par des racines quarrées plus ou moins compliquées, suivant la grandeur de $n\,;$ donc, dans ces différens cas, la division du cercle en $n$ parties, ou la description du polygone régulier de $n$ côtés, peut s’exécuter par des constructions géométriques. Par exemple, pour $n=17,$ on tire facilement des n^os 354, 361

$\cos {\frac {P}{17}}=$	$-{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{16}}{\sqrt {17}}+{\frac {1}{16}}{\sqrt {(34-2{\sqrt {17}})}}$
	$+$${\frac {1}{8}}{\sqrt {\left\{(17+3{\sqrt {17}})-{\sqrt {(34-2{\sqrt {17}})}}-2{\sqrt {(34+2{\sqrt {17}})}}\right\}}}\,;$

les cosinus des multiples de cet angle ont une forme semblable, les sinus ont un radical de plus. Il y a certainement bien lieu de s’étonner que la divisibilité du cercle en $3$ et $5$ parties ayant été connue dès le temps d’Euclide, on n’ait rien ajouté à ces découvertes dans un intervalle de deux mille ans, et que tous les géomètres aient annoncé comme certain, qu’excepté ces divisions et celles qui s’en déduisent (les divisions en $2^{\mu },\,15,\,3.2^{\mu },\,5.2^{\mu },\,15.2^{\mu }$ parties), on ne pouvait en effectuer aucune par des constructions géométriques.

Au reste ou prouve facilement que si un nombre premier $n$ est $=2^{m}+1$, le nombre $m$ lui-même ne peut avoir d’autres diviseurs que $2$, et qu’il est parconséquent de la forme $2^{\nu }$. En effet si $m$ était divisible par un nombre impair $\zeta$ plus grand que l’unité, et qu’on eût ainsi $m=\zeta \eta$, $2^{m}+1$ serait divisible par $2^{\eta }+1$, et partant composé. Toutes les valeurs de $n$ qui ne conduisent qu’à des équations du second degré, sont donc contenues sous la forme $2^{2^{\nu }}+1$ ; ainsi les cinq nombres $3$, $5$, $17$, $257$, $65537$ s’en déduisent en faisant $\nu =0$, $1$, $2$, $3$, $4$ ou $m=1$, $2$, $4$, $8$, $16$. Mais la réciproque n’est pas vraie, et la division du cercle n’a lieu géométriquement que pour les nombres premiers compris dans cette formule. À la vérité Fermat, trompé par l’induction, avait affirmé que tous les nombres compris sous cette forme étaient nécessairement premiers ; mais Euler a remarqué le premier que cette règle était en défaut dès la supposition $\nu =5$ ou $m=32,$ qui donne

$2^{32}+1=4294967297,$

nombre divisible par $641$.

Toutes les fois que $n-1$ renferme des facteurs différens de $2,$ on est toujours conduit à des équations plus élevées, par exemple à une ou plusieurs équations du troisième degré, si $5$ est une ou plusieurs fois facteur ; à des équations du cinquième degré, quand $n-1$ est divisible par $5,\,{\text{etc.}},$ et nous pouvons démontrer en toute rigueur que ces équations ne sauraient en aucune manière être évitées ni abaissées, et quoique les limites de cet Ouvrage ne nous permettent pas de développer ici la démonstration de cette vérité, nous avons cru devoir en avertir, pour éviter que quelqu’un ne voulût essayer de réduire à des constructions géométriques d’autres divisions que celles données par notre théorie, et n’employât inutilement son temps à cette recherche.

366. Si l’on veut diviser le cercle en $a^{\alpha }$ parties, $a$ étant un nombre premier et $\alpha >1,$ il est aisé de voir que la construction géométrique n’est possible qu’autant que $a=2.$ En effet, si $a>2,$ outre les équations nécessaires pour la division du cercle en $a$ parties, il faut encore résoudre $\alpha -1$ équations du degré $a,$ que l’on ne peut non plus ni éviter, ni abaisser. Ainsi le degré des équations nécessaires se connaîtra généralement par les facteurs premiers du nombre $(a-1)a^{\alpha -1}$ (y compris le cas où $\alpha =1).$

Enfin si l’on doit diviser le cercle en $N=a^{\alpha }b^{\beta }c^{\gamma }\dots$ parties, $a,\,b,\,c,\,{\text{etc.}}$ étant des nombres premiers, il suffit de savoir effectuer les divisions en $a^{\alpha },\,b^{\beta },\,c^{\gamma },\,{\text{etc.}}$ parties (n^o 336). Ainsi, pour connaître le degré des équations nécessaires, on doit considérer les facteurs premiers des nombres

$(a-1)a^{\alpha -1},\quad (b-1)b^{\beta -1},\quad (c-1)c^{\gamma -1},\quad {\text{etc.}},$

ou, ce qui revient au même, les facteurs de leur produit. On remarquera que ce produit indique combien il y a de nombres moindres que $N$ et premiers avec lui (nn^o 38). Ainsi la division ne pourra s’exécuter géométriquement que lorsque ce nombre est une puissance de $2\,;$ mais quand il renferme d’autres facteurs premiers $p,$ $p',\,{\text{etc.}},$ on ne peut éviter en aucune manière les équations de degré $p$, $p',\,{\text{etc.}}$

Il suit de là généralement que pour que la division géométrique du cercle en $N$ parties soit possible, $N$ doit être $2$ ou une puissance de $2,$ ou bien un nombre premier de la forme $2^{m}+1,$ ou encore le produit d’une puissance de $2$ par un ou plusieurs nombres premiers différens de cette forme ; ou d’une manière plus abrégée, il est nécessaire que $N$ ne renferme aucun diviseur impair qui ne soit de la forme $2^{m}+1$ ni plusieurs fois un même diviseur premier de cette forme.

On trouve de cette manière, au-dessous de $300$, les trente-huit valeurs suivantes pour le nombre $N\,:$

$2,\;3,\;4,\;5,\;6,\;8,\;10,\;12,\;15,\;16,\;17,\;20,\;24,\;30,\;32,\;34,\;40,\;48,\;51,$
$60,\;64,\;68,\;80,\;85,\;96,\;102,\;120,\;128,\;136,\;160,\;170,\;192,\;204,\;240,$
$255,\;256,\;257,\;272.$

---

1. Nous pourrons dorénavant donner à la somme le nom de valeur numérique de la période, ou même celui de période, lorsqu’il n’y aura pas d’ambiguité à craindre.
2. On appelle fonctions invariables celles où toutes les indéterminées entrent de la même manière, ou plus clairement, celles qui ne changent pas, de quelque manière que les indéterminées soient permutées entre elles ; telles sont la somme des indéterminées, leur produit, la somme de leurs produits deux à deux, etc.
3. Le fond de cet artifice consiste dans une propriété facile à prévoir, d’après laquelle le développement de ce produit ne contient plus de périodes de quatre termes, mais se trouve exprimé par des périodes de huit termes ; les gens instruits en découvriront facilement la raison que l’envie d’abréger nous force d’omettre.
4. Cette proposition peut être démontrée plus directement par les principes de la Section V.
5. $M$ ne peut être de la forme $3z$, car alors $4n$ serait divisible par $3$. Quant à l’ambiguïté de signe qui porte sur $b-c$, il est inutile de s’y arrêter, et même cette détermination est impossible par la nature même de la chose, puisqu’elle dépend du choix de la racine $g$, de manière que pour quelques racines primitives $b-c$ est positif, tandis que pour d’autres il est négatif.
6. Deux angles coïncident sous ce point de vue, quand leur différence est égale à la circonférence ou à un de ses multiples, c’est-à-dire, lorsqu’ils sont congrus suivant la circonférence, si nous voulons prendre l’expression de congruence dans un sens plus étendu.