L’Encyclopédie/1re édition/EXPOSANT

Rallier, d’Alembert, Boucher d’Argis

L’Encyclopédie, 1^re éd.

1751 (Tome 6, p. 312-314).

EXPOSANT, s. m. (Algebre.) Ce terme a différentes acceptions selon les différens objets auxquels on le rapporte. On dit, l’exposant d’une raison, l’exposant du rang d’un terme dans une suite, l’exposant d’une puissance.

L’exposant d’une raison (il faut entendre la géométrique, car dans l’Arithmétique ce qu’on pourroit appeller de ce nom, prend plus particulierement celui de différence) : l’exposant donc d’une raison géométrique est le quotient de la division du conséquent par l’antécédent. Ainsi dans la raison de 2 à 8, l’exposant est $\scriptstyle {\frac {8}{2}}=4$ ; dans celle de 8 à 2, l’exposant est $\scriptstyle {\frac {2}{8}}={\frac {1}{4}}$, &c. Voyez Proportion.

C’est l’égalité des exposans de deux raisons qui les rend elles-mêmes égales, & qui établit entr’elles ce qu’on appelle proportion. Chaque conséquent est alors le produit de son antécédent par l’exposant commun. Il semble donc, pour le dire en passant, qu’ayant à trouver le quatrieme terme d’une proportion géométrique, au lieu du circuit qu’on prend ordinairement, il seroit plus simple de multiplier directement le troisieme terme par l’exposant de la premiere raison, au moins quand celui-ci est un nombre entier. Par exemple, dans la proportion commencée 8.24∷17.*, le quatrieme terme se trouveroit tout-d’un-coup, en multipliant 17 par l’exposant 3 de la premiere raison ; au lieu qu’on prescrit de multiplier 24 par 17, & puis de diviser le produit par 8. Il est vrai que les deux méthodes exigent également deux opérations, puisque la recherche de l’exposant suppose elle-même une division ; mais dans celle qu’on propose, ces deux opérations, s’exécutant sur des termes moins composés, en seroient plus courtes & plus faciles. Voyez Regle de Trois.

L’exposant du rang est, comme cela s’entend assez, le nombre qui exprime le quantieme est un terme dans une suite quelconque. On dira, par exemple, que 7 est l’exposant du rang du terme 13 dans la suite des impairs ; que celui de tout autre terme T de la même suite est $\scriptstyle {\frac {T+1}{2}}$ ; & plus généralement que l’exposant du rang d’un terme pris où l’on voudra dans une progression arithmétique quelconque, dont le premier terme est désigné par p, & la difference par d, est $\scriptstyle {\frac {T-p}{d}}+1$.

On nomme exposant, par rapport à une puissance, un chiffre (en caractere minuscule) qu’on place à la droite & un peu au-dessus d’une quantité, soit numérique, soit algébrique, pour désigner le nom de la puissance à laquelle on veut faire entendre qu’elle est élevée. Dans $\scriptstyle a^{4}$, par exemple, 4 est l’exposant qui marque que a est supposé élevé à la quatrieme puissance.

Souvent, au lieu d’un chiffre, on employe une lettre ; & c’est ce qu’on appelle exposant indéterminé. $\scriptstyle a^{n}$ est a élevé à une puissance quelconque désignée par n. Dans $\scriptstyle {\sqrt[{n}]{a}}$, n désigne le nom de la racine qu’on suppose extraite de la grandeur a, &c.

Autrefois, pour représenter la quatrieme puissance de a, on écrivoit aaaa ; expression incommode, & pour l’auteur, & pour le lecteur, sur-tout lorsqu’il s’agissoit de puissances fort élevées. Descartes vint, qui à cette répétition fastidieuse de la même racine substitua la racine simple, surmontée vers la droite de ce chiffre qu’on nomme exposant, lequel annonce au premier coup-d’œil combien de fois elle est censée répétée après elle-même.

Outre l’avantage de la briéveté & de la netteté, cette expression a encore celui de faciliter extrèmement le calcul des puissances de la même racine, en le réduisant à celui de leurs exposans, lesquels pouvant d’ailleurs être pris pour les logarithmes des puissances auxquelles ils se rapportent, les font participer aux commodités du calcul logarithmique. Dans l’exposé qui va suivre du calcul des exposans des puissances, nous aurons soin de ramener chaque résultat à l’expression de l’ancienne méthode, comme pour servir à la nouvelle de démonstration provisionnelle ; renvoyant pour une démonstration plus en forme à l’article Logarithme, qui est en droit de la revendiquer.

Multiplication. Faut-il multiplier $\scriptstyle a^{m}$ par $\scriptstyle a^{n}$ ? On fait la somme des deux exposans, & l’on écrit $\scriptstyle a^{m+n}$. En effet que $\scriptstyle m=3$, & $\scriptstyle n=2$ ; $\scriptstyle a^{m+n}=a{3+2}=a^{5}=aaaaa=aaa\times aa$.

Division. Pour diviser $\scriptstyle a^{m}$ par $\scriptstyle a^{n}$, on prend la différence des deux exposans, & l’on écrit $\scriptstyle a^{m-n}$. En effet que $\scriptstyle m=5$, & $\scriptstyle n=2$ ; $\scriptstyle a^{m-n}=a^{5-2}=a^{3}=aaa={\frac {aaaaa}{aa}}$.

Si $\scriptstyle n=m$, l’exposant réduit devient 0, & le quotient est $\scriptstyle a^{0}=1$ ; car (au lieu de n, substituant m qui lui est égale par supposition) $\scriptstyle a^{0}=a^{m-m}={\frac {a^{m}}{a^{m}}}=1$.

Si $\scriptstyle n>m$, l’exposant du quotient sera négatif. Par exemple, que $\scriptstyle m=2$, & $\scriptstyle n=5$ ; $\scriptstyle a^{m-n}=a^{2-5}=a^{-3}$. Mais qu’est-ce que $\scriptstyle a^{-3}$ ? Pour le savoir, interrogeons l’ancienne méthode. $\scriptstyle a^{-3}$ est donné pour l’expression de $\scriptstyle {\frac {aa}{aaaaa}}={\frac {1}{aaa}}={\frac {1}{a^{3}}}$. Ce qui fait voir qu’une puissance négative équivaut à une fraction, dont le numérateur étant l’unité, le dénominateur est cette puissance même devenue positive : comme réciproquement une puissance positive équivaut à une fraction, dont le numérateur est encore l’unité, & le dénominateur cette même puissance devenue négative. En général $\scriptstyle a^{\pm n}={\frac {1}{a\mp m}}$. On peut donc sans inconvénient substituer l’une de ces deux expressions à l’autre : ce qui a quelquefois son utilité.

Elévation. Pour élever $\scriptstyle a^{m}$ à la puissance dont l’exposant est n, on fait le produit des deux exposans, & l’on écrit $\scriptstyle a^{m\times n}$… En effet que $\scriptstyle m=2$, & $\scriptstyle n=3$ ; $\scriptstyle a^{m\times n}=a^{2\times 3}=a^{6}=aaaaaa=aa\times aa\times aa$.

Extraction. Comme cette opération est le contraire de la précédente ; pour extraire la racine n de $\scriptstyle a^{m}$, on voit qu’il faut diviser m par n, & écrire $\scriptstyle a^{\frac {m}{n}}$. En effet que $\scriptstyle m=6$, & $\scriptstyle n=3$ ; $\scriptstyle a^{\frac {m}{n}}=a^{\frac {6}{3}}=a^{2}=aa={\sqrt[{3}]{aaaaaa}}$.

On peut donc bannir du calcul les signes radicaux qui y jettent souvent tant d’embarras, & traiter les grandeurs qu’ils affectent comme des puissances, dont les exposans sont des nombres rompus. Car $\scriptstyle {\sqrt[{n}]{a}}=a^{\frac {1}{n}}$, $\scriptstyle {\sqrt[{n}]{a^{-m}}}=a^{\frac {-m}{n}}$, &c.

On ne dit rien de l’addition, ni de la soustraction ; parce que ni la somme, ni la différence de deux puissances de la même racine, ne peuvent se rappeller à un exposant commun, & qu’elles n’ont point d’expression plus simple que celle-ci, $\scriptstyle a^{m}\pm apn$. Mais elles ont d’ailleurs quelques propriétés particulieres, que je ne sache pas avoir jusqu’ici été remarquées, quoiqu’elles puissent trouver leur application. Elles ne seront point déplacées en cet article.

Premiere propriété. La différence de deux puissances quelconques de la même racine, est toûjours un multiple exact de cette racine diminuée de l’unité, c’est-à-dire que $\scriptstyle {\frac {a^{m}-a^{n}}{a-1}}$ donne toûjours un quotient exact.

$\scriptstyle {\frac {4^{3}-4^{1}}{3}}={\frac {64-4}{3}}={\frac {60}{3}}=20$	sans reste.
$\scriptstyle {\frac {4^{3}-4^{0}}{3}}={\frac {64-1}{3}}={\frac {63}{3}}=21$

Observez en passant que dans le premier exemple $\scriptstyle 4^{3}-4^{1}=60={\overline {3\times 4\times 5}}$. Ce qui n’est point un hasard, mais une propriété constante de la différence des troisieme & premiere puissances, laquelle est toûjours égale au produit continu des trois termes consécutifs de la progression naturelle, dont le moyen est la premiere puissance même ou la racine. $\scriptstyle a^{3}-a^{1}={\overline {a-1}}\times a\times {\overline {a+1}}$.

Seconde propriété. La différence de deux puissances quelconques de la même racine est un multiple exact de cette racine augmentée de l’unité, quand la différence des exposans des deux puissances est un nombre pair ; c’est-à-dire que $\scriptstyle {\frac {a^{m}-a^{n}}{a+1}}$ donne un quotient exact, quand $\scriptstyle m-n$ exprime un nombre pair. $\scriptstyle {\frac {4^{3}-4^{1}}{5}}={\frac {64-4}{5}}={\frac {60}{5}}=12$, sans reste, parce que $\scriptstyle 3-1=2$, nombre pair. Mais $\scriptstyle {\frac {4^{3}-4^{0}}{5}}={\frac {64-1}{5}}={\frac {63}{5}}$ laisse un reste, parce que $\scriptstyle 3-0=3$ n’est pas un nombre pair.

Troisieme propriété. La somme de deux puissances quelconques de la même racine est un multiple exact de cette racine augmentée de l’unité, quand la différence des exposans des deux puissances est un nombre impair ; c’est-à-dire que $\scriptstyle {\frac {a^{m}+a^{n}}{a+1}}$ donne un quotient exact, quand $\scriptstyle m-n$ exprime un nombre impair. $\scriptstyle {\frac {4^{3}+4^{0}}{5}}={\frac {64+1}{5}}={\frac {65}{5}}=13$, sans reste, parce que $\scriptstyle 3-0=3$, nombre impair. Mais $\scriptstyle {\frac {4^{3}+4^{1}}{5}}={\frac {64+4}{5}}={\frac {68}{5}}$ laisse un reste, parce que $\scriptstyle 3-1=2$ n’est pas un nombre impair.

Démonstration commune.

Si l’on compare $\scriptstyle a^{m}\pm a^{n}$, considéré d’une part comme dividende avec $\scriptstyle a\pm 1$, considéré de l’autre comme diviseur, il en résulte quatre combinaisons différentes ; savoir,

$\scriptstyle {\frac {a^{m}+a^{n}}{a-1}}$ * $\scriptstyle {\frac {a^{m}-a^{n}}{a-1}}$ * $\scriptstyle {\frac {a^{m}-a^{n}}{a+1}}$ * $\scriptstyle {\frac {a^{m}+a^{n}}{a-1}}$

.

Maintenant, si l’on vient à effectuer sur chacune la division indiquée, on trouvera (& c’est une suite des lois générales de la division algébrique)

1°. Que dans toutes les hypothèses, les termes du quotient (supposé exact) sont par ordre les puissances consécutives & décroissantes de a, depuis & y compris $\scriptstyle a^{m-1}$ jusqu’à $\scriptstyle a^{n}$ inclusivement ; d’où il suit que le nombre des termes du quotient exact, ou, ce qui est la même chose, l’exposant du rang de son dernier terme est $\scriptstyle m-n$.

2°. Que dans les deux premieres hypothèses les termes du quotient ont tous le signe +, & que dans les deux dernieres ils ont alternativement & dans le même ordre les signes + & − ; de sorte que le signe + appartient à ceux dont l’exposant du rang est impair, & le signe − à ceux dont l’exposant du rang est pair.

3°. Que, pour rendre la division exacte, le dernier terme du quotient doit avoir le signe − dans les premiere & troisieme hypothèses, & le signe + dans la seconde & dans la quatrieme.

La figure suivante met sous les yeux le résultat des deux derniers articles. La ligne supérieure représente l’ordre des signes qui affectent les divers termes du quotient, relativement aux quatre différentes hypothèses ; l’inférieure marque le signe que doit avoir dans chacune le dernier terme du quotient, pour rendre la division exacte.

I. hypothese.	Seconde.	Troisieme.	Quatrieme.
+ . + . + . &c.	+ . + . + . &c.	+ . − . + . − . &c.	+ . − . + . − . &c.
−	+	−	+

La seule inspection de la figure fait voir que la division exacte ne peut avoir lieu dans la premiere hypothèse, puisqu’elle exige le signe-au dernier terme du quotient, & que tous y ont le signe+ ; que par une raison contraire elle a toûjours lieu dans la seconde ; qu’elle l’a dans la troisieme, quand l’exposant du rang du dernier terme, où (suprà) $\scriptstyle m-n$ est pair ; & dans la quatrieme, quand $\scriptstyle m-n$ est impair.

J’ai remarqué (& d’autres sans doute l’auront fait avant moi) que la différence des troisieme & premiere puissances de la même racine est égale au produit continu de trois termes consécutifs de la progression naturelle, dont le moyen est la premiere puissance même ou la racine… $\scriptstyle r^{3}-r^{1}={\overline {r-1}}\times r^{1}\times {\overline {r+1}}$.

Cette propriété au reste dérive d’une autre ultérieure. Les exposans des deux puissances étant quelconques, pourvû que leur différence soit 2, on a généralement $\scriptstyle r^{m}-r^{n}={r-1}\times r^{n}\times {r+1}$ ; … & la démonstration en est aisée. Car dans le second membre le produit des extrèmes est $\scriptstyle rr-1$ : or si l’on multiplie le terme moyen $\scriptstyle r^{n}$ par $\scriptstyle rr-1$, on aura $\scriptstyle r^{n+2}-r^{n}$ : mais $\scriptstyle r^{n+2}=r^{m}$, puisque (par supposition) $\scriptstyle m-n=2$, d’où $\scriptstyle m=n+2$.

Ceci est peu de chose en soi : mais n’en pourroit-on pas faire usage, pour résoudre avec facilité toute équation d’un degré quelconque, qui aura ou à qui on pourra donner cette forme $\scriptstyle x^{m}-x^{n}-a=0$, de sorte que $\scriptstyle m-n$ y soit = 2, & dont une des racines sera un nombre entier.

En effet, cherchant tous les diviseurs ou facteurs de a, & pour plus de commodité les disposant par ordre deux à deux, de façon que chaque paire contienne deux facteurs correspondans de a, comme on voit ici ceux de 12 … $\scriptstyle {\begin{matrix}1~~.~2~.~3\\12~~~6~~~4\end{matrix}}$ … on est assûré qu’il s’en trouvera une paire qui sera $\scriptstyle {\begin{matrix}{\overline {x-1}}\times {\overline {x+1}}\\x^{n}\end{matrix}}$. Choisissant donc dans la ligne inférieure (que je suppose contenir les plus grands facteurs) ceux qui sont des puissances du degré n, ou bien il ne s’en trouvera qu’un, & dès-là sa n^ieme racine sera la valeur de x, ou il s’en trouvera plusieurs ; & alors les comparant avec leurs co-facteurs, on se déterminera pour celui dont le co-facteur est le produit de sa n^ieme racine diminuée de l’unité par la même racine augmentée de l’unité. Par exemple,
Soit l’équation à résoudre… $\scriptstyle x^{5}-x^{3}-3000=0$, on trouve que les facteurs de 3000 sont par ordre,

1	.	2	.	3	.	4	.	5	.	6	.	8	.	10	.	12	.
3000		1500		1000		750		600		500		375		300		250
15	.	20	.	24	.	25	.	30	.	40	.	50	.
200		150		125		125		100		75		60

En consultant, si on le juge nécessaire, la table des puissances, on trouve que la ligne inférieure ne contient que deux cubes, 1000 & 125. Le premier ne peut convenir, parce que son co-facteur est 3, & que ($\scriptstyle {\sqrt[{3}]{1000}}$ étant 10) il devroit être $\scriptstyle {\overline {10-1}}\times {\overline {10+1}}=9\times 11=99$ : mais le second convient parfaitement, parce que d’un côté sa racine cubique étant 5, de l’autre son co-facteur est $\scriptstyle 24=4\times 6={\overline {5-1}}\times {\overline {5+1}}$… On a donc $\scriptstyle x=5$.

Reste à trouver le moyen de donner à toute équation proposée la forme requise, c’est-à-dire de la réduire à ses premier, troisieme, & dernier termes ; de façon que les deux premiers soient sans coefficiens, & les deux derniers négatifs. C’est l’affaire des Algébristes, & pour eux une occasion précieuse d’employer utilement l’art des transformations, s’il va jusque-là.

Il est au moins certain que dans les cas où l’on pourra ainsi transformer l’équation, la méthode qu’on propose ici aura lieu, pourvû qu’une des racines de l’équation soit un nombre entier. On convient que cette méthode ne s’étend jusqu’ici qu’à un très-petit nombre de cas, puisqu’on n’a point encore, & qu’on n’aura peut-être jamais de méthode générale pour réduire les équations à la forme & à la condition dont il s’agit : mais on ne donne aussi la méthode dont il s’agit ici, que comme pouvant être d’usage en quelques occasions. Article de M. Rallier des Ourmes.

Il ne nous reste qu’un mot à ajoûter à cet excellent article, sur le calcul des exposans. Que signifie, dira-t-on, cette expression $\scriptstyle a^{-m}$ ? Quelle idée nette présente-t-elle à l’esprit ? Le voici. Il n’y a jamais de quantités négatives & absolues en elles-mêmes. Elles ne sont telles, que relativement à des quantités positives dont on doit ou dont on peut supposer qu’elles sont retranchées ; ainsi $\scriptstyle a^{-m}$ ne désigne quelque chose de distinct, que relativement à une quantité $\scriptstyle a^{n}$ exprimée ou sousentendue ; en ce cas $\scriptstyle a^{-m}$ marque que si on vouloit multiplier $\scriptstyle a^{n}$ par $\scriptstyle a^{-m}$, il faudroit retrancher de l’exposant n autant d’unités qu’il y en a dans m ; voilà pourquoi $\scriptstyle a^{-m}$ équivaut à $\scriptstyle a^{\frac {1}{m}}$, ou à une divisron par $\scriptstyle a^{m}$ : $\scriptstyle a^{-m}$ n’est autre chose qu’une maniere d’exprimer $\scriptstyle a^{\frac {1}{m}}$, plus commode pour le calcul. De même $\scriptstyle a^{0}$ n’indique autre chose que $\scriptstyle a^{m}\times a^{-m}$ ou $\scriptstyle {\frac {a^{m}}{a^{m}}}$ ; $\scriptstyle a^{0}$ indique, suivant la notion des exposans, que la quantité a ne doit plus se trouver dans le calcul ; & en effet elle ne s’y trouve plus : comme $\scriptstyle a^{-m}$ indique que la quantité a doit se trouver dans le calcul avec m dimensions de moins, & qu’en général elle doit abaisser de m dimensions la quantité algébrique où elle entre par voie de multiplication. Voyez Négatif.

Passons aux exposans fractionaires. Que signifie $\scriptstyle a^{\frac {1}{2}}$ ? Pour en avoir une idée nette, je suppose $\scriptstyle a=bb$ ; donc $\scriptstyle a^{\frac {1}{2}}$ est la même chose que $\scriptstyle (bb)^{\frac {1}{2}}$ : or dans $\scriptstyle (bb)^{3}$, par exemple, l’exposant indique que b doit être écrit un nombre de fois triple du nombre de fois qu’il est écrit dans le produit (bb) ; & comme il y est écrit deux fois (bb), il s’ensuit que $\scriptstyle (bb)^{3}$ indique que b doit être écrit 6 fois ; donc $\scriptstyle (bb)^{3}$ est égal à $\scriptstyle b^{6}$ ; donc par la même raison $\scriptstyle (bb)^{\frac {1}{2}}$ indique que b doit être écrit la moitié de fois de ce qu’il est écrit dans la quantité bb ; donc il doit être écrit une fois ; donc $\scriptstyle (bb)^{\frac {1}{2}}=b$ ; donc $\scriptstyle a^{\frac {1}{2}}=b={\sqrt {a}}$.

Il n’y aura pas plus de difficulté pour les exposans radicaux, dont très-peu d’auteurs ont parlé. Que signifie, par exemple, $\scriptstyle a^{\sqrt {2}}$ ? Pour le trouver, on remarquera que $\scriptstyle {\sqrt {2}}$ n’est point un vrai nombre, mais une quantité dont on peut approcher aussi près qu’on veut, sans l’atteindre jamais ; ainsi supposons que $\scriptstyle {\frac {p}{q}}$ exprime une fraction par laquelle on approche continuellement de $\scriptstyle {\sqrt {2}}$ ; $\scriptstyle a^{\sqrt {2}}$ aura pour valeur approchée la quantité $\scriptstyle a^{\frac {p}{q}}$, dans laquelle p & q seront des nombres entiers qu’on pourra rendre aussi exacts qu’on voudra, jusqu’à l’exactitude absolue exclusivement. Ainsi $\scriptstyle a^{\sqrt {2}}$ indique proprement la limite d’une quantité, & non une quantité réelle ; c’est la limite de a élevé à un exposant fractionnaire qui approche de plus en plus de la valeur de $\scriptstyle {\sqrt {2}}$. Voyez Exponentiel, Limite, &c. (O)

EXPOSANT, (Jurisp.) est le terme usité dans les lettres de chancellerie pour désigner l’impétrant, c’est-à-dire celui qui demande les lettres, & auquel elles sont accordées. On l’appelle exposant, parce-que ces lettres énoncent d’abord que de la part d’un tel il a été exposé telle chose ; & dans le narré du fait, en parlant de celui qui demande les lettres, on le qualifie toûjours d’exposant ; & dans la partie des lettres qui contient la disposition, le roi mande à ceux auxquels les lettres sont adressées, de remettre l’exposant au même état qu’il étoit avant un tel acte : si ce sont des lettres de rescision, ou si ce sont d’autres lettres, de faire joüir l’exposant du bénéfice desdites lettres. Voyez les styles de chancellerie. (A)