L’Encyclopédie/1re édition/LIMITE

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LIMITE, s. f. (Mathémat.) On dit qu’une grandeur est la limite d’une autre grandeur, quand la seconde peut approcher de la premiere plus près que d’une grandeur donnée, si petite qu’on la puisse supposer, sans pourtant que la grandeur qui approche, puisse jamais surpasser la grandeur dont elle approche ; ensorte que la différence d’une pareille quantité à sa limite est absolument inassignable.

Par exemple, supposons deux polygones, l’un inscrit & l’autre circonscrit à un cercle, il est évident que l’on peut en multiplier les côtés autant que l’on voudra ; & dans ce cas, chaque polygone approchera toujours de plus en plus de la circonférence du cercle, le contour du polygone inscrit augmentera, & celui du circonscrit diminuera ; mais le périmetre ou le contour du premier ne surpassera jamais la longueur de la circonférence, & celui du second ne sera jamais plus petit que cette même circonférence ; la circonférence du cercle est donc la limite de l’augmentation du premier polygone, & de la diminution du second.

1°. Si deux grandeurs sont la limite d’une même quantité, ces deux grandeurs seront égales entr’elles.

2°. Soit A × B le produit des deux grandeurs A, B. Supposons que C soit la limite de la grandeur A, & D la limite de la quantité B ; je dis que C × D, produit des limites, sera nécessairement la limite de A × B, produit des deux grandeurs A, B.

Ces deux propositions, que l’on trouvera démontrées exactement dans les institutions de Géométrie, servent de principes pour démontrer rigoureusement que l’on a l’aire d’un cercle, en multipliant sa demi-circonférence par son rayon. Voyez l’ouvrage cité p. 331. & suiv. du second tome. (E)

La théorie des limites est la base de la vraie Métaphysique du calcul différentiel. Voyez Différentiel, Fluxion, Exhaustion, Infini. A proprement parler, la limite ne coïncide jamais, ou ne devient jamais égale à la quantité dont elle est la limite ; mais celle-ci s’en approche toujours de plus en plus, & peut en différer aussi peu qu’on voudra. Le cercle, par exemple, est la limite des polygones inscrits & circonscrits ; car il ne se confond jamais rigoureusement avec eux, quoique ceux-ci puissent en approcher à l’infini. Cette notion peut servir à éclaircir plusieurs propositions mathématiques. Par exemple, on dit que la somme d’une progression géométrique décroissante dont le premier terme est a & le second b, est  ; cette valeur n’est point proprement la somme de la progression, c’est la limite de cette somme, c’est-à-dire la quantité dont elle peut approcher si près qu’on voudra, sans jamais y arriver exactement. Car si e est le dernier terme de la progression, la valeur exacte de la somme est , qui est toujours moindre que , parce que dans une progression géométrique même décroissante, le dernier terme e n’est jamais = 0 : mais comme ce terme approche continuellement de zéro, sans jamais y arriver, il est clair que zéro est sa limite, & que par conséquent la limite de est , en supposant e = 0, c’est-à-dire en mettant au lieu de e sa limite. Voyez Suite ou Série, Progression, &c. (O)

Limite des Planetes, (Astronom.) sont les points de leur orbite où elles sont le plus éloignées de l’écliptique. Voyez Orbite.

Les limites sont à 90 degrés des nœuds, c’est-à-dire des points où l’orbite d’une planete coupe l’écliptique.

Limites, en Algebre, sont les deux quantités entre lesquelles se trouvent comprises les racines réelles d’une équation. Par exemple, si on trouve que la racine d’une équation est entre 3 & 4, ces nombres 3 & 4 seront ses limites. Voy. les articles Equation, Cascade & Racine.

Limites d’un problème sont les nombres entre lesquels la solution de ce problème est renfermée. Les problèmes indéterminés ont quelquefois, & même souvent, des limites, c’est-à-dire que l’inconnue est renfermée entre de certaines valeurs qu’elle ne sauroit passer. Par exemple, si on a , il est clair que y ne sauroit être plus grande que a, puisque faisant x = 0, on a y = a ; & que faisant x = a, on a y = 0, & qu’enfin x > a, rend y imaginaire, soit que x soit positive ou négative. Voyez Probleme & Déterminé. (O)