L’Encyclopédie/1re édition/EXTRÈME

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EXTRÈME, (Géom.) Quand une ligne est divisée, de maniere que la ligne entiere est à l’une de ses parties, comme cette même partie est à l’autre, on dit en Géométrie que cette ligne est divisée en moyenne & extrème raison. Voici comme on trouve cette division : Soit la ligne donnée AB = a (Pl. géom. fig. 64. n. 1.) ; soit le grand segment x, le petit sera ax ; alors par l’hypothèse a : xx : ax. Donc aaax = xx, par conséquent aa = xx + ax ; & en ajoûtant de chaque côté, pour faire de un quarré parfait, l’équation sera .

Or, puisque la derniere quantité est exactement un quarré, sa racine  ; & par transposition on trouvera . Cela posé, sur AB=a, élevés à angles droits  ; ensuite tirez CA, dont le quarré est égal à . Donc  ; avec AC décrivez l’arc AD, vous aurez CA=CD ; ainsi . Portez donc BD sur la ligne AB, depuis B jusqu’en E ; & la ligne AB sera coupée en moyenne & extrème raison au point E.

Cela ne peut pas se faire exactement par les nombres ; mais si on veut avoir une approximation raisonnable, il faut ajoûter ensemble le quarré d’un nombre quelconque, & le quarré de sa moitié, & extraire par approximation la racine quarrée de toute la somme ; d’où ôtant la moitié de la grandeur donnée, le reste sera le plus grand segment. Voyez Approximation, Extraction, & l’article Equation, &c. (E)

Extrèmes d’une proportion, sont le premier & le quatrieme terme. Voyez Proportion & Moyen.