La Logique déductive dans sa dernière phase de développement/2/14

Alessandro Padoa

La Logique déductive dans sa dernière phase de développement

Gauthier-Villars, 1912 (p. 46-47).

Ponctuation

57. Pour séparer les parties d’une formule, Leibniz et Newton employèrent des barres horizontales (qu’on appelait vinculum) placées au-dessous ou au-dessus de chaque partie ; on emploie encore ces barres dans l’écriture des fractions et des racines des nombres.

Jacques Bernoulli (1654-1705) et son frère Jean (1667-1748), qui furent les premiers disciples de Leibniz, introduisirent et répandirent l’emploi des parenthèses, qui ensuite furent universellement adoptées dans les formules de l’Arithmétique et de l’Algèbre, pour marquer l’ordre selon lequel les opérations indiquées doivent être exécutées, et dont nous faisons le même usage dans les formules analogues.

Mais, dans les autres cas, nous préférons les points isolés « . » ou groupés « : », « $.^{\,\cdot }.$ », etc., dont Leibniz avait fait le même usage dans quelques-uns de ses manuscrits.

Les parenthèses et les points forment la ponctuation logique, qui remplit le même rôle que les pauses dans le discours et que la ponctuation grammaticale dans l’écriture commune ; mais elle le remplit avec une précision et une évidence sans exceptions, qui permet justement de se passer complètement des flexions [25].

Voici un ex., qui permet une comparaison entre l’emploi des parenthèses et des points dans une même formule^[1] :

$(ab)\;\left\{(cde)\,[f(gh)]\right\}\qquad \quad ab\,.^{\,\cdot }.\,cde\,:\,f\,.\,gh$

Les points sont sans doute moins encombrants et forment par suite un système de ponctuation plus simple et plus clair.

Voici donc la forme définitive de la $\mathrm {P}$ (10) [54]

$x\;\varepsilon \;\mathrm {2N} \,.\,\supset \,.\,(x+1)\;\varepsilon \;\mathrm {(2N+1)}$

qu’on lira : « si $x$ est un nombre pair, alors $x+1$ est un nombre impair ».

Dans le Formulaire on a établi des conventions sur la ponctuation, pour la réduire au minimum strictement nécessaire ; l’application de ces conventions est sans doute très commode, mais leur explication pourrait fatiguer plus que la chose ne le mérite, c’est pourquoi ici j’y renonce.

« Et cum dico A est B, et A et B sont propositiones, intelligo ex A sequi B ». Le signe « $\subset$ » avait été employé par Gergonne, mais seulement pour les inclusions (a. 1816), et par Abel (1802-1829), mais seulement pour les implications. C’est justement pour lui donner le double rôle que M. Peano a préféré, même pour les inclusions, le signe $\subset$ en abandonnant le signe $\supset$ [31].

1. À chaque place, on met autant de points qu’il y avait de signes de parenthèses ; mais on supprime tout signe aux extrêmes.