La Logique déductive dans sa dernière phase de développement/3/04

Alessandro Padoa

La Logique déductive dans sa dernière phase de développement

Gauthier-Villars, 1912 (p. 69-73).

Propriétés simplificative, commutative, associative et distributive
des opérations logiques

94. Nous appellerons « signe d’opération », ou simplement « opération », tout signe qui, placé entre deux objets a et b d’un ensemble donné, désigne un objet déterminé du même ensemble ; en ajoutant que, parfois, le choix de a et de b, dans l’ensemble donné, est assujetti à des restrictions.

Par ex., le signe « $+$ », dans toutes ses acceptions, est un signe d’opération ; car, selon que a et b sont des nombres ou des longueurs ou des angles ou des vitesses, etc., l’écriture « $a+b$ » désigne respectivement un nombre, une longueur, un angle, une vitesse, etc.

De même pour le signe « $-$ » (moins) ; sauf que, si l’on veut s’occuper seulement des nombres et des grandeurs absolus, il faut assujettir a et b à la restriction que a ne soit pas plus petit que b.

Notre idéographie logique a deux signes d’opérations, savoir « $\smallsmile$ » [39, 67] et « $\smallfrown$ » [39, 63] (puisque je ne m’occupe plus du signe « $\circ$ » [73]) ; car, selon qu’ils sont placés entre deux $\mathrm {Cls}$ ou deux conditions, ils donnent naissance à une $\mathrm {Cls}$ (la réunion ou l’intersection des $\mathrm {Cls}$ données) ou à une condition (l’affirmation alterne ou simultanée des conditions données).

Tous les deux, et dans le double rôle de chacun, ils ont des propriétés analogues à celles des signes « $+$ » et « $\times$ », ainsi que l’avaient remarqué Leibniz et ses disciples [49,68] ; en effet, les deux opérations logiques ont la propriété commutative :

72.               $a\,\smallsmile \,b=b\,\smallsmile \,a$

73.               $a\,\smallfrown \,b=b\,\smallfrown \,a$

et la propriété associative :

74.$(a\smallsmile b)\smallsmile c=a\smallsmile (b\smallsmile c)$75.$(a\smallfrown b)\smallfrown c=a\smallfrown (b\smallfrown c)$

Mais ces opérations ont aussi une propriété :

76.          $a\,\varepsilon \,\mathrm {Cls} \,.\supset .\,a\,\smallsmile \,a=a$

77.          $a\,\varepsilon \,\mathrm {Cls} \,.\supset .\,a\,\smallfrown \,a=a$

qu’on peut appeler simplificative, dont ne jouissent pas les opérations correspondantes de l’Arithmétique

(car, si « $a\,\varepsilon \,\mathrm {N}$ », alors « $a+a=2a$ » et « $a\times a=a^{2}$ »).

Les propriétés commutative et simplificative avaient été remarquées par Leibniz ; la propriété associative du signe « $\smallfrown$ » a été découverte par Boole (a. 1854) et celle du signe « $\smallsmile$ », par Schröder (a. 1877).

95. Tout le monde sait que, si « $a,b,c\,\varepsilon \,\mathrm {N}$ », alors
$c\times (a+b)=(c\times a)+(c\times b)$
et$\,(a+b)\times c\ \,=(a\times c)+(b\times c)$

ce qu’on exprime en disant que la multiplication est distributive (à gauche et à droite) par rapport à l’addition.

Eh bien ! Chacune des opérations logiques représentées par les signes « $\smallfrown$ » et « $\smallsmile$ » est distributive (à gauche et à droite) par rapport à l’autre ; c’est-à-dire :

78.$c\smallfrown (a\smallsmile b)=(c\smallfrown a)\smallsmile (c\smallfrown b)$
79.$(a\smallsmile b)\smallfrown c=(a\smallfrown c)\smallsmile (b\smallfrown c)$
80.$c\smallsmile (a\smallfrown b)=(c\smallsmile a)\smallfrown (c\smallsmile b)$
81.$(a\smallfrown b)\smallsmile c=(a\smallsmile c)\smallfrown (b\smallsmile c)$

La propriété distributive du signe « $\smallfrown$ » par rapport au signe « $\smallsmile$ »
Fig. 7. a été découverte par Lambert (a. 1781) et celle du signe « $\smallsmile$ » par rapport au signe « $\smallfrown$ » par Peirce (a. 1867).

Voilà donc un autre manque d’analogie, puisqu’en Arithmétique l’addition n’est pas distributive par rapport à la multiplication^[1].

Les $\mathrm {P}$ 79 et 81 sont des conséquences immédiates des $\mathrm {P}$ 78 et 80, d’après les $\mathrm {P}$ 73 et 72.

On peut vérifier chacune des $\mathrm {P}$ 74, 75, 78, 79, 80, 81 en exécutant séparément sur la figure 7 [34] les opérations indiquées par leurs deux membres^[2].

L’application simultanée des $\mathrm {P}$ 78, 79 et des $\mathrm {P}$ 80, 81 donne les P

82.$\,(a\smallsmile b)\smallfrown (c\smallsmile d)=(a\smallfrown c)\smallsmile (b\smallfrown c)\smallsmile (a\smallfrown d)\smallsmile (b\smallfrown d)$

(Lambert)

83.$\,(a\smallfrown b)\smallsmile (c\smallfrown d)=(a\smallsmile c)\smallfrown (b\smallsmile c)\smallfrown (a\smallsmile d)\smallfrown (b\smallsmile d)$

qui apprennent à transformer une intersection de réunions dans une réunion d’intersections et réciproquement ; et dont seulement la première a son analogue pour les signes « $+$ » et « $\times$ ».

96. En échangeant entre eux les deux membres de la $\mathrm {P}$ 3 (et en y écrivant le signe « $\smallfrown$ », qui y est sous-entendu par la $\mathrm {P}$ 2) et de la $\mathrm {P}$ 15 [67], on obtient :

$x\,\varepsilon \,(a\smallfrown b):=:x\,\varepsilon \,a.\smallfrown .x\,\varepsilon \,b$

$x\,\varepsilon \,(a\smallsmile b):=:x\,\varepsilon \,a.\smallsmile .x\,\varepsilon \,b$

On peut dire que le signe « $\varepsilon$ » a la propriété distributive (à gauche) par rapport aux signes « $\smallfrown$ » et « $\smallsmile$ ». Mais il faut remarquer que ces signes changent de rôle d’un membre à l’autre ; car, dans les premiers membres ils désignent respectivement une intersection ou une réunion de $\mathrm {Cls}$, tandis que dans les seconds ils désignent une affirmation simultanée ou alterne de conditions.

D’après la $\mathrm {P}$ 1, les $\mathrm {P}$ 13 et 16 permettent de dire, avec la même remarque, qu’aussi le signe « $\varepsilon$ » a la propriété distributive (à gauche) par rapport aux signes « $\smallfrown$ » et « $\smallsmile$ »).

97. Le signe « $\supset$ » a aussi la propriété distributive (à gauche) par rapport au signe « $\smallfrown$ », qui conserve ou change son rôle selon que a, b, c sont des conditions ou des $\mathrm {Cls}$ :

84.                    $a\supset b\smallfrown c:=:a\supset b.a\supset c$(Mc Coll, a. 1878^[3])

ainsi qu’on peut vérifier, dans le cas des $\mathrm {Cls}$, en se rapportant à la figure 8.

Mais le signe « $\supset$ » n’a pas la propriété distributive à droite par rapport au signe « $\smallfrown$ ». En effet, tandis que (fig. 9):

85.                    $b\,\supset \,a\,.\,c\,\supset \,a\,:\,\supset \,:\,b\,\smallfrown \,c\,\supset \,a$(Leibnitz)

« $b\,\smallfrown \,c\,\supset \,a$ » n’implique pas « $b\,\supset \,a\,.\,c\,\supset \,a$ » (fig. 10).

Fig. 8.

Fig. 9.

L’analogie entre les propriétés des signes « $\smallfrown$ » et « $\smallsmile$ » (telle qu’elle résulte, par ex., de la comparaison des $\mathrm {P}$ 72, 74, 76, 78, 80, 82 avec les

Fig. 10.

$\mathrm {P}$ 73, 75, 77, 79, 81, 83) justifierait l’attente que le signe « $\supset$ » eût la propriété distributive à gauche aussi par rapport au signe « $\smallsmile$ »

Fig. 11.

Fig. 12.

Mais le signe « $\supset$ » n’a pas du tout la propriété distributive par rapport au signe « $\smallsmile$ », ni à gauche ni à droite. En effet, tandis que (si a, b, c sont trois $\mathrm {Cls}$ ou trois conditions)

86.                    $a\supset b\,.\,\smallsmile \,.\,a\supset c\,:\,\supset \,:\,a\supset b\smallsmile c$ (Mc Coll, a. 1878)

(ainsi qu’il résulte de la fig. 11, même en y échangeant entre elles les lettres b et c), « $a\supset b\smallsmile c$ » n’implique pas « $a\supset b\,.\,\smallsmile \,.\,a\supset c$ » (fig. 12). Encore (fig. 9) de la P

87.                    $b\smallsmile c\supset a\,:\,=\,:\,b\supset a\,.\,c\supset a$(Mc Coll, a. 1878^[4])

(qui relie le signe « $\supset$ » aux signes « $\smallsmile$ » et « $\smallfrown$ », dont celui-ci est sous entendu) on déduit^[5]

$b\smallsmile c\supset a\,:\,\supset \,:\,b\supset a\,.\,\smallsmile \,.\,c\supset a$

mais« $b\supset a\,.\,\smallsmile \,.\,c\supset a$ » n’implique pas « $b\smallsmile c\supset a$ »

Fig. 13.

(ainsi qu’il résulte de la figure 13, même en y échangeant entre elles les lettres b et c).

Dans la suite [115] il résultera que ce manque d’analogie, entre les propriétés des signes « $\smallfrown$ » et « $\smallsmile$ » par rapport au signe « $\supset$ », est tout à fait apparent.

1. On devrait avoir :
                                 $a+(b\times c)=(a+b)\times (a+c)$
   ce qui est vrai seulement si
                                 « $a=0$ » ou si « $a+b+c=1$ ».
2. Cette figure représente le cas le plus général, au sens que les trois $\mathrm {Cls}$ qu’on suppose données partagent le tout dans le plus grand nombre possible de $\mathrm {Cls}$. On obtient tous les cas particuliers, en imaginant qu’une ou plusieurs des huit $\mathrm {Cls}$ obtenues soient égale à rien [37].
3. Leibniz avait énoncé seulement que $a\supset b.a\supset c:\supset :a\supset b\smallfrown c$
   Pour abréger, dans les formules du type « $a\supset (b\smallfrown c)$ » ou « $(b\smallfrown c)\supset a$ » on sous-entend les parenthèses [$\mathrm {P}$ 84, 85] ; et de même pour les formules du type « $a\supset (b\smallsmile c)$ » [$\mathrm {P}$ 86] ou « $(b\smallsmile c)\supset a$ » [$\mathrm {P}$ 87].
4. Leibniz avait énoncé seulement que $b\supset a\,.\,c\supset a\,:\,\supset \,:\,b\smallsmile c\supset a$.
5. Cette $\mathrm {P}$ a une importance momentanée, en vue de notre discours ; mais elle est dépourvue d’intérêt, étant comprise dans la $\mathrm {P}$ 87 [note à la p. suivante].