LEÇON SEPTIÈME.
Sur la manière de rapporter les fonctions dérivées à différentes variables.
Nous avons vu comment les fonctions dérivées naissent des fonctions primitives par le simple développement, lorsqu’on attribue à une variable de la fonction un accroissement indéterminé.
Ainsi toute fonction dérivée est nécessairement relative à une variable, et une fonction qui contient plusieurs quantités peut avoir différentes fonctions dérivées, suivant les quantités qu’on y considère comme variables. Lorsque ces quantités dépendent les unes des autres, il y a aussi une relation entre les fonctions dérivées qui y sont relatives, par laquelle on peut déduire les fonctions les unes des autres ; cette relation étant un point important de la théorie des fonctions, nous allons nous en occuper dans cette Leçon.
En regardant 
comme une simple fonction de 
on sait que devient 
devenant 
Si l’on suppose que soit elle-même une fonction d’une autre variable quelconque 
et qu’on veuille regarder y comme fonction de alors 
devenant 
ou bien (pour ne pas confondre les accroissements de et de ), devenant 
deviendra aussi de la forme
Mais pour distinguer les fonctions dérivées 
qui dans la première formule se rapportent à celles de la seconde, qui se rapportent à nous désignerons pour un moment les premières par 
de manière que, devenant 
deviendra
Or étant regardé comme fonction de lorsque devient devient
donc, si dans la formule précédente l’on met à la place de 
l’accroiscroissement de qui est 
on aura également ce que devient lorsque devient 
Ainsi on aura l’équation identique
d’où l’on tire, par la comparaison des termes affectés des différentes puissances de 
La première équation donne
la seconde donnera
et, substituant la valeur précédente de l’on aura
La troisième équation donnerait la valeur de 
et ainsi de suite. 
Mais j’observe que l’on peut déduire immédiatement la valeur de 
de celle de et successivement celle de 
de celle de par la loi uniforme qui doit régner entre ces fonctions dérivées successives.
En effet, puisque 
fonction dérivée de par rapport à est égale à 
c’est-à-dire à la fonction dérivée de par rapport à divisée par celle de 
de même fonction dérivée de par rapport à sera égale à la fonction dérivée de par rapport à divisée par et ainsi de suite. Or la fonction dérivée de est 
donc on aura
comme on l’a trouvé par la seconde équation. Et ainsi de suite.
Par ces substitutions on dépouille, pour ainsi dire, les fonctions dérivées de ce qui dépend de la variable à laquelle elles se rapportaient originairement, et on les généralise de manière qu’elles peuvent se rapporter également à toute autre variable.
Or ce qui déterminait les fonctions dérivées de à se rapporter à la variable c’était qu’elles résultaient de l’accroissement attribué à cette variable ; au lieu qu’en rapportant ces fonctions à une autre variable dont est censée fonction, l’accroissement de devient alors 
étant l’accroissement de la nouvelle variable. Ainsi, comme le cas particulier où l’accroissement de est simplement résulte de l’expression générale de l’accroissement de en y faisant 
il s’ensuit que 
est la condition, qui détermine les fonctions dérivées à se rapporter à la variable et qu’en général pour les rapporter à toute autre variable il n’y aura qu’à supposer égale à l’unité la fonction prime de cette variable.
Il résulte de là cette conclusion générale que, si une formule contient les fonctions dérivées relatives à une variable et qu’on veuille les rapporter à une autre variable quelconque, il faudra changer
![{\displaystyle {\begin{aligned}&y'{\text{ en }}{\frac {y'}{x'}},\\&y''{\text{ en }}{\frac {\left({\cfrac {y'}{x'}}\right)'}{x'}}={\frac {y''}{x'^{2}}}-{\frac {y'x''}{x'^{3}}},\\&y'''{\text{ en }}{\frac {\left[{\cfrac {\left({\cfrac {y'}{x'}}\right)'}{x'}}\right]'}{x'}}={\frac {\left({\cfrac {y''}{x'^{2}}}-{\cfrac {y'x''}{x'^{3}}}\right)'}{x'}}={\frac {y'''}{x'^{3}}}-{\frac {3y''x''}{x'^{4}}}-y'\left({\frac {x'''}{x'^{4}}}-{\frac {3x''^{2}}{x'^{5}}}\right),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fff0dec9c5d58337f0fdc4d453a4e18daccce387)
et ainsi de suite. Si
est la nouvelle variable à laquelle on veut rapporter les fonctions dérivées, cette variable étant une fonction quelconque de
et
il n’y aura qu’à faire
et par conséquent
équations par lesquelles on déterminera les valeurs de
ou de
Ce principe est général et doit s’appliquer à toutes les fonctions dérivées qui se rapportent à une même variable. Il est d’un grand usage dans le calcul des fonctions, et constitue un des principes fondamentaux de l’algorithme de ce calcul.
Le cas le plus simple est celui où, étant supposé fonction de et ses fonctions dérivées 
étant rapportées à on veut au contraire regarder comme fonction de et rapporter à les fonctions dérivées 
On fera dans ce cas les substitutions indiquées ci-dessus, et l’on supposera
On substituera donc 
à la place de 
à la place de 
et ainsi des autres.
Ainsi, ayant trouvé dans la Leçon IV que 
donne, relativement à
on pourra avoir immédiatement la valeur de 
relativement à en substituant simplement à la place de ce qui donnera
Comme est le logarithme de pour la base 
on a par là la fonction dérivée du logarithme.
De même, en supposant
on a vu dans la Leçon V que l’on a, relativement à
donc, pour avoir réciproquement la fonction dérivée 
de l’angle par
le sinus
il n’y aura qu’à substituer
à la place de
ce qui donnera
Si l’on fait
on a
donc, on obtiendra de la même manière
Ces résultats s’accordent avec ceux qu’on a trouvés dans les endroits cités d’une manière directe, mais plus longue.
Enfin ayant vu, dans la Leçon VI, que
si l’on veut avoir la fonction dérivée de l’arc par la tangente, on aura sur-le-champ
En général, puisque
on aura réciproquement
étant une fonction quelconque de 
Si maintenant on veut regarder comme fonction de et rapporter la fonction dérivée 
à la variable on fera 
et l’on aura
comme ci-dessus.
La formule 
est très propre pour trouver facilement les fonctions dérivées de des ordres supérieurs. En effet, on aura d’abord
en substituant la valeur précédente de
Prenantde nouveau les fonctions dérivées, on aura
et, continuant de la même manière, on aura
et ainsi de suite.
Ayant ainsi toutes les fonctions dérivées de relativement à c’est-à-dire, en supposant 
si on les substitue dans la formule
on aura la valeur de répondant à 
Ainsi l’on aura la valeur de l’arc dont la tangente sera 
exprimée par la série
formule remarquable par sa simplicité et sa généralité.
Si l’on fait 
on trouvera
formule connue et due à Leibnitz ; mais il n’est permis de faire 
qu’autant qu’on est assuré d’avance de la forme de la série.
