Leçons sur le calcul des fonctions/Leçon 07
LEÇON SEPTIÈME.
Nous avons vu comment les fonctions dérivées naissent des fonctions primitives par le simple développement, lorsqu’on attribue à une variable de la fonction un accroissement indéterminé.
Ainsi toute fonction dérivée est nécessairement relative à une variable, et une fonction qui contient plusieurs quantités peut avoir différentes fonctions dérivées, suivant les quantités qu’on y considère comme variables. Lorsque ces quantités dépendent les unes des autres, il y a aussi une relation entre les fonctions dérivées qui y sont relatives, par laquelle on peut déduire les fonctions les unes des autres ; cette relation étant un point important de la théorie des fonctions, nous allons nous en occuper dans cette Leçon.
En regardant comme une simple fonction de on sait que devient devenant Si l’on suppose que soit elle-même une fonction d’une autre variable quelconque et qu’on veuille regarder y comme fonction de alors devenant ou bien (pour ne pas confondre les accroissements de et de ), devenant deviendra aussi de la forme
Mais pour distinguer les fonctions dérivées qui dans la première formule se rapportent à celles de la seconde, qui se rapportent à nous désignerons pour un moment les premières par de manière que, devenant deviendra
Or étant regardé comme fonction de lorsque devient devient
donc, si dans la formule précédente l’on met à la place de l’accroiscroissement de qui est on aura également ce que devient lorsque devient Ainsi on aura l’équation identique
d’où l’on tire, par la comparaison des termes affectés des différentes puissances de
La première équation donne
la seconde donnera
et, substituant la valeur précédente de l’on aura
La troisième équation donnerait la valeur de et ainsi de suite. Mais j’observe que l’on peut déduire immédiatement la valeur de de celle de et successivement celle de de celle de par la loi uniforme qui doit régner entre ces fonctions dérivées successives.
En effet, puisque fonction dérivée de par rapport à est égale à c’est-à-dire à la fonction dérivée de par rapport à divisée par celle de de même fonction dérivée de par rapport à sera égale à la fonction dérivée de par rapport à divisée par et ainsi de suite. Or la fonction dérivée de est donc on aura
comme on l’a trouvé par la seconde équation. Et ainsi de suite.
Par ces substitutions on dépouille, pour ainsi dire, les fonctions dérivées de ce qui dépend de la variable à laquelle elles se rapportaient originairement, et on les généralise de manière qu’elles peuvent se rapporter également à toute autre variable.
Or ce qui déterminait les fonctions dérivées de à se rapporter à la variable c’était qu’elles résultaient de l’accroissement attribué à cette variable ; au lieu qu’en rapportant ces fonctions à une autre variable dont est censée fonction, l’accroissement de devient alors étant l’accroissement de la nouvelle variable. Ainsi, comme le cas particulier où l’accroissement de est simplement résulte de l’expression générale de l’accroissement de en y faisant il s’ensuit que est la condition, qui détermine les fonctions dérivées à se rapporter à la variable et qu’en général pour les rapporter à toute autre variable il n’y aura qu’à supposer égale à l’unité la fonction prime de cette variable.
Il résulte de là cette conclusion générale que, si une formule contient les fonctions dérivées relatives à une variable et qu’on veuille les rapporter à une autre variable quelconque, il faudra changer
et ainsi de suite. Si est la nouvelle variable à laquelle on veut rapporter les fonctions dérivées, cette variable étant une fonction quelconque de et il n’y aura qu’à faire et par conséquent équations par lesquelles on déterminera les valeurs de ou de
Ce principe est général et doit s’appliquer à toutes les fonctions dérivées qui se rapportent à une même variable. Il est d’un grand usage dans le calcul des fonctions, et constitue un des principes fondamentaux de l’algorithme de ce calcul.
Le cas le plus simple est celui où, étant supposé fonction de et ses fonctions dérivées étant rapportées à on veut au contraire regarder comme fonction de et rapporter à les fonctions dérivées On fera dans ce cas les substitutions indiquées ci-dessus, et l’on supposera
On substituera donc à la place de à la place de et ainsi des autres.
Ainsi, ayant trouvé dans la Leçon IV que donne, relativement à
on pourra avoir immédiatement la valeur de relativement à en substituant simplement à la place de ce qui donnera
Comme est le logarithme de pour la base on a par là la fonction dérivée du logarithme.
De même, en supposant
on a vu dans la Leçon V que l’on a, relativement à
donc, pour avoir réciproquement la fonction dérivée de l’angle par
le sinus il n’y aura qu’à substituer à la place de ce qui donnera
Si l’on fait
on a
donc, on obtiendra de la même manière
Ces résultats s’accordent avec ceux qu’on a trouvés dans les endroits cités d’une manière directe, mais plus longue.
Enfin ayant vu, dans la Leçon VI, que
si l’on veut avoir la fonction dérivée de l’arc par la tangente, on aura sur-le-champ
En général, puisque
on aura réciproquement
étant une fonction quelconque de
Si maintenant on veut regarder comme fonction de et rapporter la fonction dérivée à la variable on fera et l’on aura
comme ci-dessus.
La formule est très propre pour trouver facilement les fonctions dérivées de des ordres supérieurs. En effet, on aura d’abord
en substituant la valeur précédente de Prenantde nouveau les fonctions dérivées, on aura
et, continuant de la même manière, on aura
et ainsi de suite.
Ayant ainsi toutes les fonctions dérivées de relativement à c’est-à-dire, en supposant si on les substitue dans la formule
on aura la valeur de répondant à
Ainsi l’on aura la valeur de l’arc dont la tangente sera exprimée par la série
formule remarquable par sa simplicité et sa généralité.
Si l’on fait on trouvera
formule connue et due à Leibnitz ; mais il n’est permis de faire qu’autant qu’on est assuré d’avance de la forme de la série.
