Les Principes fondamentaux de la géométrie/7

David Hilbert

Les Principes fondamentaux de la géométrie

Traduction par Léonce Laugel.
Gauthier-Villars, imprimeur-libraire, 1900 (p. 94-106).

CHAPITRE VII

Les constructions géométriques reposant sur les axiomes I-V.

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§ 36.

Les constructions géométriques au moyen de la règle et
du transporteur de segments.

Soit assignée une Géométrie de l’espace où les axiomes I-V sont tous vérifiés ; pour plus de simplicité, nous considérerons seulement dans ce Chapitre une Géométrie plane faisant partie de cette Géométrie, et nous étudierons la question de savoir quelles sont les constructions géométriques élémentaires que l’on peut effectuer dans une telle Géométrie.

En se basant sur les axiomes I la résolution du problème suivant est toujours possible

Problème — I. Joindre doux points par une droite et trouver le point d’intersection de deux droites, lorsque ces dernières ne sont pas parallèles.

L’axiome II rend possible la résolution du problème suivant :

Problème II. — Par un point donné mener une parallèle une droite donnée.

En se basant sur les axiomes de la congruence IV le transport des segments et des angles est possible, c’est-à-dire que l’on peut, dans la Géométrie assignée, résoudre les problèmes suivants

Problème III. — Porter sur un segment donné à partir d’un point donné un segment donné.

Problème IV. — Porter un angle donné le long d’une droite donnée, c’est-à-dire construire une droite coupant une droite donnée sous un angle donné.

Il n’est possible de résoudre aucun nouveau problème en se basant sur les axiomes des groupes II et V ; et l’on voit ainsi qu’en employant exclusivement les axiomes I-V on peut résoudre tous les problèmes de construction qui sont réductibles aux problèmes I-IV, et ceux-là seuls.

Aux problèmes fondamentaux I-IV nous adjoindrons encore le suivant :

Problème V. — Élever une perpendiculaire à une droite donnée.

Nous voyons immédiatement que ce problème V peut être résolu de diverses manières au moyen des problèmes I-IV.

Pour résoudre le problème I, nous avons besoin de la règle. Un instrument servant à résoudre le problème III, c’est-à-dire à transporter un segment sur une droite donnée, nous le nommerons un transporteur de segments. Nous nous proposons maintenant de démontrer que les problèmes II, IV et V peuvent être ramenés à la résolution des problèmes I et III et que les problèmes I-V sont tout résolubles uniquement au moyen de la règle et du transporteur de segments. Nous arriverons donc au résultat suivant

Théorème XL. — Les problèmes de constructions géométriques qui sont résolubles en employant exclusivement les axiomes I-V sont nécessairement possibles à résoudre uniquement au moyen de la règle et du transporteur de segments.

Démonstration. Pour ramener le problëme II aux problèmes I et III joignons le point donné P (fig. 48) à un point A quelconque de la droite donnée et prolongeons PA au delà de A d’une longueur AC égale à PA. Joignons alors C à un point quelconque B de la droite donnée et prolongeons $CB$ au delà de $B$ d’une longueur $BQ$ égale à $CB$ ; la droite $PQ$ est la parallèle cherchée.

Nous résoudrons le problème V de la manière suivante Soit $A$ (fig.49) un point quelconque de la droite donnée ; portons alors sur

cette droite à partir de $A$ et de chaque côté de ce point deux segments égaux $AB$ et $AC$ et déterminons alors sur deux autres droites quelconques issues de $A$ les points $E$ et $D$, tels que les segments $AD$ et $AE$ soient égaux aux segments $AB$ et $AC$. Les droites $BD$ et $CE$ se couperont en un certain point $F$ et les droites $BE$ et $CD$ en un autre point $H$ ; $FH$ alors sera la perpendiculaire cherchée. En effet, les angles $<BDC$ et $<BEC$ étant des angles inscrits dans la demi-circonférence de diamètre $BC$ sont des angles droits, et par suite, en vertu du théorème sur le point d’intersection des hauteurs d’un triangle, ici le triangle $BCF$, $FH$ sera également perpendiculaire à $BC$.

Nous pouvons maintenant résoudre sans peine le problème IV, simplement en menant des droites et en transportant des segments. Nous emploierons la méthode suivante, où l’on n’a qu’à mener des parallèles et élever des perpendiculaires : Soit $\beta$l’angle qu’il s’agit de transporter et soit $A$ son sommet (fig. 50). Par le point $A$ menons une droite $l$ parallèle à la droite donnée le long de laquelle nous devons transporter l’angle $\beta .$ D’un point quelconque $B$ de l’un des côtés de l’angle $\beta$ abaissons des perpendiculaires sur l’autre côté de l’angle $\beta$ et sur la droite $l$.

Soient $D$ et $C$ les pieds de ces perpendiculaires. La construction de ces perpendiculaires se fait au moyen des problèmes II et V. Menons ensuite du point $A$ une perpendiculaire à $CD$, et soit $E$ son pied. D’après la démonstration du § 14, on aura $<CAE=\beta$ ; le problème IV est donc ramené aux problèmes I et III, et, par suite, le théorème XL est parfaitement démontre.

§ 37.

Représentation analytique des coordonnées des points
que l’on peut construire.

Outre les problèmes de Géométrie élémentaire traités dans le § 36, il y a encore une nombreuse série de problèmes dont la solution repose exclusivement sur le tracé de droites et le transport de segments. Ann d’embrasser d’un coup d’œil le domaine de tous les problèmes résolubles de cette manière, prenons comme base des considérations que nous allons exposer un système de coordonnées rectangulaires, et supposons que les coordonnées des points soient, comme d’habitude, représentées par des nombres réels ou des fonctions de certains paramètres arbitraires. Pour répondre à la question relative a la totalité des points susceptibles d’être construits, nous emploierons les considérations suivantes

Soit donné un système de points déterminés ; avec les coordonnées de ces points nous composerons un domaine $R$ ; ce domaine contient certains nombres réels et certains paramètres arbitraires $p$. Considérons alors l’ensemble de tous les points susceptibles d’être construits en tirant des droites et en transportant des segments déterminés au moyen du système assigné de points. Le domaine formé par les coordonnées de ces points sera nommé $\Omega (R)\,;$ ce domaine renferme certains nombres réels et certaines fonctions des paramètres arbitraires

Nos considérations du § 17 montrent que le tracé de droites et de parallèles revient analytiquement à l’application de l’addition, multiplication, soustraction ou division de segments. Ensuite la formule connue relative à une rotation, exposée au § 9, enseigne que le transport de segments sur une droite quelconque ne nécessite aucune opération analytique autre que l’extraction de la racine carrée d’une somme de deux carrés dont on a déjà construit les bases. Réciproquement, on peut toujours, d’après le théorème de Pythagore et au moyen d’un triangle rectangle, construire la racine carrée d’une somme de deux carrés segmentaires en transportant simplement des segments.

De ces considérations résulte que le domaine $\Omega (R)$ renferme les nombres réels et les fonctions des paramètres $p$, et ceux-là seulement qui proviennent des nombres et paramètres de $R$ au moyen d’un nombre fini d’applications des cinq opérations, a savoir les quatre opérations élémentaires auxquelles nous ajouterons, comme cinquième opération, l’extraction de la racine carrée d’une somme de deux carrés. Nous énoncerons ce résultat ainsi

Théorème XLI. — Un problème de construction géométrique est résoluble par le tracé de droites et le transport de segments, c’est-à-dire au moyen de la règle et du transporteur de segments, au seul et unique cas où, dans la solution analytique du problème, les points cherchés sont des fonctions des coordonnées des points donnés dont l’expression n’exige que des opérations rationnelles et de plus l’opération de l’extraction de la racine carrée d’une somme de deux carrés.

Ce théorème nous montre immédiatement que tout problème résoluble à l’aide du compas ne l’est pas forcément quand on ne se sert que de la règle et du transporteur de segments. Pour le voir, considérons la Géométrie que nous avons édifiée au § 9 à l’aide du domaine numérique algébrique $\Omega$ ; dans cette Géométrie, il n’y a que des segments susceptibles d’être construits au moyen de la règle et du transporteur de segments, à savoir les segments déterminés par les nombres du domaine $\Omega$.

Soit $\omega$ un nombre quelconque de $\Omega$ ; la définition du domaine $\Omega$ nous montre que tout nombre algébrique conjugué de $\omega$ doit aussi faire partie de $\Omega$, et, puisque les nombres du domaine $\Omega$ sont évidemment tous réels, il en résulte que le domaine $\Omega$ ne peut contenir que des nombres réels algébriques dont les conjugués sont également réels.

Proposons-nous maintenant le problème qui consiste à construire un triangle rectangle d’hypoténuse égale a $t$, et dont l’un des côtés de l’angle droit soit égal à $|{\sqrt {2}}|-1$. Or le nombre algébrique ${\sqrt {2|{\sqrt {2}}|-2}}$ qui exprime la valeur numérique de l’autre côté de l’angle droit, n’est pas contenu dans le domaine numérique $\Omega$, car son conjugué ${\sqrt {-2|{\sqrt {2}}|-2}}$ se trouve être imaginaire. Le problème proposé n’est donc pas résoluble dans la Géométrie assignée et ne peut donc pas être résolu au moyen de la règle et du transporteur de segments, bien que la construction en soit immédiatement possible au moyen du compas.

§ 38.

Représentation des nombres algébriques et des fonctions rationnelles entières comme sommes de carrés.

La question de la possibilité des constructions géométriques à l’aide de la règle et du transporteur de segments nécessite, pour être traitée plus complètement, quelques théorèmes d’un caractère arithmétique et algébrique, qui me semblent présenter, par eux-mêmes, un grand intérêt.

On sait, depuis Fermat, que tout nombre entier rationnel positif peut être représenté comme somme de quatre carrés. Ce théorème de Fermat admet la remarquable généralisation suivante :

Définition. Soit $k$ un corps de nombres quelconques ; soit $m$ le degré de ce corps $k$ ; désignons par $k',k'',\ldots k^{(m-1)}$ les $m-1$ corps conjugués de $k$. Parmi les $m$ corps $k,k^{1},\ldots ,k^{m-1}$ s’il s’en présente un ou plusieurs composés de nombres tous réels, nous nommerons ces corps des corps réels : supposons que ce soient, par exemple, les corps $k,k^{1},\ldots ,k^{s-1}.$ Un nombre $\alpha$ du corps $k$ est alors dit totalement positif dans $k$ quand les $s$ nombres conjugués à $\alpha$ : respectivement contenus dans $k,k^{1},\ldots ,k^{s-1}$ sont tous positifs. Au contraire, s’il se présente aussi des nombres imaginaires, dans chacun des $m$ corps $k,k^{1},\ldots ,k^{m-1}$ chaque nombre $\alpha$ dans $k$ sera toujours dit totalement positif.

Théorème XLII. — Tout nombre totalement positif dans $k$ est représentable comme somme de quatre carrés dont les bases sont des nombres entiers ou fractionnaires du corps $k$.

La démonstration de ce théorème présente des difficultés considérables ; elle repose essentiellement sur la théorie des corps relativement quadratiques que j’ai développée dernièrement dans plusieurs travaux^[1]. Je ne citerai ici que le théorème de cette théorie qui assigne les conditions nécessaires pour qu’on puisse résoudre l’équation ternaire de Diophante de la forme

$\alpha \xi ^{2}+\beta \eta ^{2}+\gamma \zeta ^{2}=0$,

où les coefficients $\alpha ,\beta ,\gamma$ sont des nombres donnés de $k$ et où $\xi ,\eta ,\zeta$ désignent des nombres cherchés de $k$. La démonstration du théorème XLII se fait au moyen de l’application réitérée du théorème précédent.

Du théorème XLII découle une suite de propositions relatives a la représentation des fonctions rationnelles d’une variable a coefficients rationnels, qui ne prennent jamais de valeurs négatives. Je ne citerai que le théorème suivant, qui nous sera utile dans les paragraphes suivants

Théorème XLIII. — Désignons par $f(x)$ une fonction entière rationnelle de $x,$ dont les coefficients sont des nombres rationnels et qui ne prend jamais des valeurs négatives quand on donne à $x$ des valeurs réelles quelconques. Cela posé, $f(x)$ est toujours représentable comme quotient de deux sommes de carrés dont toutes les bases sont des fonctions entières rationnelles de $x$ à coefficients rationnels.

Démonstration. — Désignons par $m$ le degré de la fonction assignée $f(x)$ ; ce degré doit être évidemment toujours pair. Dans le cas $m=o$, c’est-à-dire quand $f(x)$ est un nombre rationnel, l’exactitude du théorème XLIII est une conséquence immédiate du théorème de Fermat sur la représentation d’un nombre positif comme somme de quatre carrés. Supposons maintenant que le théorème ait été démontré pour les fonctions de degré $2,4,6\ldots ,m-2$, et démontrons alors qu’il a encore lieu pour le cas d’une fonction de degré $m$ ainsi qu’il suit.

Considérons d’abord rapidement le cas où $f(x)$ est décomposable en un produit de deux ou plusieurs fonctions entières de $x$ à coefficients rationnels. Supposons que $p(x)$ soit une telle fonction contenue dans $f(x)$ et qui ne soit pas elle-même décomposable en un produit de fonctions entières à coefficients rationnels ; alors, du caractère défini que nous avons attribué à la fonction $f(x)$ résulte que le facteur $p(x)$ se présente dans $f(x)$ élevé a une puissance paire, ou bien qu’il est lui-même défini, c’est-à-dire que c’est une fonction qui, pour les valeurs réelles de $x$, ne prend jamais une valeur négative. Dans le premier cas, le quotient ${\tfrac {f(x)}{[p(x)]^{2}}}$ dans le second, $p(x)$, ainsi que ${\tfrac {f(x)}{p(x)}}$, sont des fonctions définies, et ces fonctions ont un degré pair $<m$. Par suite de notre hypothèse, ${\tfrac {f(x)}{[p(x)]^{2}}}$ dans le premier cas, et $p(x)$ ainsi que ${\tfrac {f(x)}{p(x)}}$ dans le second, sont donc représentables comme quotients de sommes de carrés de la nature indiquée dans le théorème XLIII, et, par conséquent, dans les deux cas, la fonction $f(x)$ admet aussi la représentation demandée.

Considérons maintenant l’hypothèse où $f(x)$ ne peut pas être décomposé en un produit de deux fonctions entières à coefficients rationnels. L’équation $f(\vartheta )=0$ définit alors un corps de nombres algébriques $k(\vartheta )$ de degré $m$ qui est imaginaire, ainsi que tous ses corps conjugués. Puisque, d’après la définition qui précède le théorème XLII, tout nombre situé dans $k(\vartheta )$ et, par suite aussi, en particulier le nombre est totalement positif dans $k(\vartheta )$, il y aura, d’après le théorème XLII, une représentation du nombre $-t$ par une somme de quatre carrés de certains nombres de $k(\vartheta )$ ; soit, par exemple,

(1)

$-t=\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}+\delta ^{2}$,

(1)

$\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ étant des nombres entiers ou fractionnaires de $k(\vartheta )$.

Posons

$\alpha =a_{1}\vartheta ^{m-1}+a_{2}\vartheta ^{m-2}+\cdots +a_{m}=\phi (\vartheta )$, $\beta =b_{1}\vartheta ^{m-1}+b_{2}\vartheta ^{m-2}+\cdots +b_{m}=\psi (\vartheta )$, $\gamma =c_{1}\vartheta ^{m-1}+c_{2}\vartheta ^{m-2}+\cdots +c_{m}=\chi (\vartheta )$, $\delta =d_{1}\vartheta ^{m-1}+d_{2}\vartheta ^{m-2}+\cdots +d_{m}=\rho (\vartheta )$;

ici $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m},\ldots ,d_{1},d_{2},\ldots ,d_{m}$ désignent des coeficients numériques rationnels et $\phi (\vartheta ),\psi (\vartheta ),\chi (\vartheta ),\rho (\vartheta )$ les fonctions rationnelles entières en question de degré $(m-1)$ en $\vartheta$.

En vertu de (1) on a

$1+[\phi (\vartheta )]^{2}+[\psi (\vartheta )]^{2}+[\chi (\vartheta )]^{2}+[\rho (\vartheta )]^{2}=0$

et, en ayant égard à l’irréductibilité de l’équation $f(x)=0$, on voit que l’expression

$F(x)=[\phi (x)]^{2}+[\psi (x)]^{2}+[\chi (x)]^{2}+[\rho (x)]^{2}$

représente nécessairement une fonction entière rationnelle de $x$, divisible par $f(x)$. $F(x)$ est évidemment une fonction définie de degré $(2m-2)$ ou de degré moindre, et par conséquent le quotient ${\tfrac {F(x)}{f(x)}}$ est une fonction définie de degré $(m-2)$ en $x$ ou de degré moindre, à coefficients rationnels. Par suite, en ayant égard à notre hypothèse, ${\tfrac {F(x)}{f(x)}}$ est représentable comme le quotient de deux sommes de quatre carrés de la nature indiquée dans le théorème XLIII et, comme $F(x)$ même est une somme de tels carrés, il en résulte que $f(x)$) aussi est nécessairement le quotient de deux sommes de carrés de la nature indiquée dans le théorème XLIII. Nous avons ainsi complètement démontré le théorème XLIII.

Il serait peut-être très difficile d’établir et de démontrer les propositions analogues pour des fonctions entières rationnelles de deux ou plusieurs variables ; je me bornerai à remarquer que j’ai démontré d’une manière tout à fait différente la possibilité de représenter une fonction entière rationnelle définie quelconque de deux variables comme quotient de sommes de carrés de fonctions entières, en supposant que les fonctions représentantes puissent avoir des coefficients non seulement rationnels, mais encore réels quelconques^[2].

§ 39.

Criterium de la possibilité d’effectuer les constructions géométriques au moyen de la règle et du transporteur de segments.

Étant donné un problème de construction géométrique qui soit résoluble au moyen du compas, nous nous proposerons maintenant de rechercher un criterium qui nous permettra de décider, au moyen de la nature analytique du problème et de ses solutions, si la construction en est possible en se servant uniquement de la règle et du transporteur de segments. Cette recherche nous conduit au théorème suivant :

Théorème XLIV. — Étant donné un problème de construction géométrique tel que dans la solution analytique de ce problème on puisse trouver les coordonnées des points cherchés en se servant uniquement d’opérations rationnelles et d’extractions de racines carrées, portant sur les coordonnées des points donnés, soit n le nombre minimum de racines carrées qui suffisent à l’évaluation des coordonnées ; pour que le problème de construction proposé puisse être résolu uniquement en tirant des droites et en transportant des segments, il est nécessaire et suffisant que le problème géométrique ait exactement 2ⁿ solutions réelles, et cela pour toutes les positions des points donnés, c’est-à-dire pour toutes les valeurs des paramètres arbitraires qui se présentent dans les coordonnées des points donnés.

Démonstration. — Nous démontrerons ce théorème XLIV exclusivement dans le cas où les coordonnées des points donnés sont des fonctions rationnelles à coefficients rationnels d’un paramètre $p$.

La nécessité du criterium énoncé est évidente. Pour démontrer que le criterium est suffisant, supposons-le vérifié et considérons alors parmi les $n$ racines carrées celle qui, dans l’évaluation des coordonnées du point cherché, doit être extraite la première. L’expression sous le radical en question est une fonction rationnelle $f_{1}(p)$ a coefficients rationnels du paramètre $p$ ; cette fonction rationnelle ne pourra prendre de valeurs négatives pour aucune valeur réelle du paramètre $p$ ; sinon le problème pourrait, pour certaines valeurs de $p$, avoir des solutions imaginaires, ce qui serait contraire à l’hypothèse. Il résulte donc alors du théorème XLIII que $f_{1}(p)$ est représentable par un quotient de sommes de carrés de fonctions rationnelles entières.

Maintenant les formules

${\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}={\sqrt {({\sqrt {a^{2}+b^{2}}})^{2}+c^{2}}}$ ${\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}}={\sqrt {({\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}})^{2}+d^{2}}}$ .............................................................................

font voir que l’extraction de la racine carrée d’une somme d’un nombre quelconque de carrés peut toujours se ramener à l’extraction réitérée de la racine carrée d’une somme de deux carrés.

En joignant cette observation aux résultats précédents, on reconnait que l’expression ${\sqrt {f_{1}(p)}}$ peut être construite à l’aide de la règle et du transporteur de segments.

Considérons maintenant, parmi les $n$ racines carrées, celle qui dans l’évaluation des coordonnées du point cherché doit être extraite la deuxième. L’expression sous le radical dont il est alors question est une fonction rationnelle $f_{2}(p,{\sqrt {f_{1}}})$ du paramètre $p$ et de la racine carrée considérée en premier lieu ; cette fonction f₂ n’est pour aucune valeur paramétrique réelle $p$, ni pour aucun des deux signes de ${\sqrt {f_{1}}}$ susceptible de valeurs négatives, sinon le problème assigné pourrait, pour certaines valeurs de $p$, admettre parmi ses $2^{n}$ solutions des solutions imaginaires, ce qui serait contraire à l’hypothèse. De là résulte que $f_{2}$ doit vérifier une équation quadratique de la forme

$f_{2}^{2}-\varphi _{1}(p)f_{2}+\psi _{1}(p)=0$ où $\varphi _{1}(p)$ et $\psi _{1}(p)$ sont nécessairement des fonctions rationnelles de $p$ à coefficients rationnels, qui pour des valeurs réelles de $p$ ne prennent jamais des valeurs négatives. De la dernière équation quadratique on tire $f_{2}={\frac {f_{2}^{2}+\psi _{1}(p)}{\varphi _{1}(p)}}$

Or, en vertu du théorème XLIII, les fonctions $\varphi _{1}(p)$ et $\psi _{1}(p)$ doivent être des quotients de sommes de carrés de fonctions rationnelles et, d’autre part, l’expression $f_{2}$ est, d’après ce qui précède, susceptible d’être construite au moyen de la règle et du transporteur de segments ; l’expression trouvée pour $f_{2}$ montre donc que $f_{2}$ est un quotient de sommes de carrés de fonctions que l’on sait aussi construire. Par conséquent, l’expression ${\sqrt {f_{2}}}$ est également susceptible d’être construite au moyen de la règle et du transporteur de segments.

De même que l’expression $f_{2}$, toute autre fonction rationnelle $\varphi _{2}(p,{\sqrt {f_{1}(p)}}$ de $p$ et de $f_{1}$ est également un quotient de deux sommes de carrés de fonctions que l’on sait construire, pourvu que cette fonction rationnelle jouisse de la propriété de ne jamais prendre de valeurs négatives pour des valeurs réelles du paramètre $p$ et pour les deux déterminations de $f_{1}$.

Cette remarque permet de réitérer le procédé de déduction employé jusqu’ici, de la manière suivante :

Soit $f_{2}\left(p,{\sqrt {f_{1}}},{\sqrt {f_{2}}}\right)$ une expression dépendant rationnellement des trois arguments $p,{\sqrt {f_{1}}},{\sqrt {f_{2}}}$ et dont la racine carrée, dans l’évaluation analytique des coordonnées des points cherchés, doit être extraite la troisième. Comme précédemment, nous concluons que $f_{2}$ ne prendra de valeurs négatives pour aucune valeur réelle de p et pour aucune des deux déterminations de ${\sqrt {f_{1}}}$ et${\sqrt {f_{2}}}$ ; ce fait montre encore que $f_{3}$ doit vérifier une équation quadratique de la forme

$f_{3}^{2}-\varphi _{2}\left(p,{\sqrt {f_{1}}},{\sqrt {f_{2}}}\right)f_{3}+\psi _{2}\left(p,{\sqrt {f_{1}}},{\sqrt {f_{2}}}\right)=0$

où $\varphi _{2}$ et $\psi _{2}$ désignent des fonctions rationnelles de $p$ et de ${\sqrt {f_{1}}}$ et ${\sqrt {f_{2}}}$ qui, pour aucune valeur réelle de $p$ et pour aucune des deux déterminations de ${\sqrt {f_{1}}}$ et de ${\sqrt {f_{2}}}$ ne peuvent prendre des valeurs négatives. Or, puisque $\varphi _{2}$ et $\psi _{2}$ d’après une remarque précédente, sont des quotients de deux sommes de carrés d’expressions que l’on sait construire, il s’ensuit qu’il en est de même de l’expression

$f_{3}={\frac {f_{3}^{2}+\psi _{2}(p,{\sqrt {f_{1}}},{\sqrt {f_{1}}})}{\varphi _{1}(p,{\sqrt {f_{1}}},{\sqrt {f_{2}}})}}$

et que, par conséquent, ${\sqrt {f_{3}}}$ est également susceptible d’être construit au moyen de la règle et du transporteur de segments.

L’itération de cette méthode de raisonnement conduit à la démonstration du théorème XLIV dans le cas envisagé d’un paramètre.

L’exactitude du théorème XLIV dans le cas général dépend de la question de savoirs si le théorème XLIII peut être étendu d’une manière analogue au cas de plusieurs variables.

On peut, comme exemple de l’application du théorème XLIV, considérer les polygones réguliers qui sont susceptibles d’être construits a l’aide du compas. Dans ce cas, il ne se présente pas de paramètre arbitraire p, et les expressions que l’on doit construire représentent simplement toutes des nombres algébriques. On voit sans peine que le criterium du théorème XLIV est rempli et l’on reconnait, par suite que tous ces polygones réguliers peuvent être construits en se servant uniquement de la règle et du transporteur de segments, résultat que l’on pourrait d’ailleurs tirer directement de la Théorie de la division du cercle (Kreistheilung).

En ce qui concerne les autres problèmes de construction connus de la Géométrie élémentaire, je me bornerai à dire ici que le problème de Malfatti peut être résolu en ne se servant que de la règle et du transporteur de segments, tandis qu’il n’en est pas de même du problème de contacts d’Apollonius.

1. Ueber die Theorie der relativ-quadratischen Zahlkörper (Jahrensbericht d. Deutschen Math. Vereinigung, t. VI, 1899, et Math. Annalen, t. LI) ; enfin : Ueber die Theorie der relativ-abelschen Zahlkörper (Nach. d. K. Ges. d. Wiss. zu Göttingen, 1898).
   (D. Hilbert)
2. Uber ternäre definite Formen (Acta mathematica, t. XVII)