Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste/Chap.02

Henri Poincaré

Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste

Gauthier-Villars et Fils, 1892 (1, p. 48-78).

CHAPITRE II.

INTÉGRATION PAR LES SÉRIES.

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Définitions et lemmes divers.

20.La méthode de Cauchy, pour démontrer l’existence de l’intégrale des équations différentielles, a été appliquée par d’autres géomètres à la démonstration d’un grand nombre de théorèmes. Comme cette méthode et ces théorèmes nous seront utiles dans la suite, je suis forcé d’y consacrer un Chapitre préliminaire. Pour cette exposition, je ferai usage d’une notation que j’ai déjà introduite dans un autre Mémoire et qui m’évitera des longueurs et des redites.

Soient $\varphi (x,y)$ et $\psi (x,y)$ deux séries développées suivant les puissances croissantes de $x$ et de $y\,;$ supposons que chacun des coefficients de la série $\psi$ soit réel et positif et plus grand en valeur absolue que le coefficient correspondant de la série $\varphi$ : nous écrirons alors

$\varphi (x,y)\ll \psi (x,y)$

ou, s’il est nécessaire de mettre en évidence les variables par rapport auxquelles se fait le développement,

$\varphi \ll \psi \quad (\mathrm {arg.} \;x,y).$

On voit sans peine que, si $\varphi (x,y)$ est une série qui converge pour certaines valeurs de $x$ et de $y$ (représentant, par conséquent, une fonction de $x$ et de $y,$ holomorphe pour $x=y=0$), on pourra toujours trouver deux nombres réels et positifs $\mathrm {M}$ et $\alpha ,$ tels que

$\varphi (x,y)\ll {\frac {\mathrm {M} }{(1-\alpha x)(1-\alpha y)}}\ll {\frac {\mathrm {M} }{1-\alpha (x+y)}}$

Dans le cas où la fonction $\varphi$ s’annule pour $x=y=0,$ on peut écrire

${\begin{aligned}\varphi &\ll {\frac {\mathrm {M} \alpha (x+y)}{1-\alpha (x+y)}}\\[0.5ex]&\ll {\frac {\mathrm {M} \alpha (x+y)[1+\alpha (x+y)]}{1-\alpha (x+y)}}\\\end{aligned}}$

Supposons que $\varphi ,$ outre les arguments $x$ et $y,$ par rapport auxquels on la suppose développée, dépende en outre d’une autre variable $t\,:$ les nombres $\mathrm {M}$ et $\alpha$ seront des fonctions généralement continues de $t\,;$ si ces deux nombres ne s’annulent pour aucune des valeurs de $t$ envisagées, on pourra leur assigner une limite inférieure ; on pourra donc donner à $\mathrm {M}$ et $\alpha$ des valeurs constantes assez grandes pour que les inégalités précédentes subsistent.

21.Le calcul des inégalités définies dans le numéro précédent repose sur les principes suivants, que je me borne à énoncer sans démonstration, à cause de leur évidence :

i^o Si la série $\psi$ converge, il en sera de même de la série $\varphi$ toutes les fois qu’on aura

$\varphi \ll \psi .$

2^o On peut additionner un nombre quelconque d’inégalités de même sens

$\varphi _{1}\ll \psi _{1},\qquad \varphi _{2}\ll \psi _{2},\qquad \dots ,\qquad \varphi _{n}\ll \psi _{n}.$

3^o Si l’on a un nombre infini d’inégalités de même sens,

$\varphi _{0}\ll \psi _{0},\quad \varphi _{1}\ll \psi _{1},\quad \dots ,\quad \varphi _{n}\ll \psi _{n},\quad \dots \quad \mathrm {ad.} \;\mathrm {inf.} \;(\mathrm {arg.} \;x,y),$

on pourra écrire, en introduisant un argument nouveau,

$\varphi _{0}+\lambda \varphi _{1}+\lambda ^{2}\varphi _{2}+\dots \ll \psi _{0}+\lambda \psi _{1}+\lambda ^{2}\psi _{2}+\dots \quad (\mathrm {arg.} \;x,\,y,\,\lambda ).$

4^o On peut multiplier deux inégalités de même sens.

5^o Si l’on a

$\varphi (x_{1},\,x_{2},\,\dots ,\,x_{n})\ll \psi (x_{1},\,x_{2},\,\dots ,\,x_{n})\quad (\mathrm {arg.} \;x_{1},\,x_{2},\,\dots ,\,x_{n})$

et, d’autre part,

${\begin{array}{l}f_{1}(x,y)\ll \theta _{1}(x,y),\quad f_{2}(x,y)\ll \theta _{2}(x,y),\\\,\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots ,\\f_{n}(x,y)\ll \theta _{n}(x,y)\,\quad (\mathrm {arg.} \;x,y),\end{array}}$

on pourra, dans l’inégalité (1), à la place de $x_{1},$ $x_{2},$ $\dots ,$ $x_{n},$ substituer dans le premier membre $f_{1},$ $f_{2},$ $\dots ,$ $f_{n}$ et dans le second membre $\theta _{1},$ $\theta _{2},$ $\dots ,$ $\theta _{n}.$ On pourra donc écrire

${\begin{array}{c}\varphi [f_{1}(x,y),\,f_{2}(x,y),\dots ,f_{n}(x,y)]\ll \psi [\theta _{1}(x,y),\,\theta _{2}(x,y),\dots ,\theta _{n}(x,y)]\\(\mathrm {arg.} \;x,y).\\\end{array}}$

6^o Il est permis de différentier l’inégalité

(1)

$\varphi (x,y)\ll \psi (x,y)\quad (\mathrm {arg.} \;x,y).$

par rapport à l’un des deux arguments $x$ et $y.$

7^o Il est permis d’intégrer une inégalité ; mais cela peut s’entendre de deux manières ; on peut d’abord intégrer l’inégalité (1) par rapport à l’un des deux arguments $x$ et $y,$ en prenant 0 comme limite inférieure d’intégration.

On trouve alors

$\int _{0}^{x}\varphi (x,y)\,dx\ll \int _{0}^{x}\psi (x,y)\,dx.$

Il va sans dire que, dans le calcul des intégrales, $y$ doit momentanément être regardée comme une constante.

8^o Mais il peut arriver également que les fonctions $\varphi$ et $\psi$ dépendent non seulement des deux arguments $x$ et $y,$ mais d’une autre variable $t,$ sans qu’on la regarde comme développée suivant les puissances de cette variable.

Supposons que l’inégalité (1) soit vraie pour toutes les valeurs de $t$ comprises entre $t_{0}$ et $t_{1}\,;$ on pourra intégrer cette inégalité par rapport à $t,$ en regardant $x$ et $y$ comme des constantes, et écrire

$\int \varphi (x,y,t)\,dt\ll \int \psi (x,y,t)\,dt\quad (\mathrm {arg.} \;x,y),$

pourvu, bien entendu, que les limites d’intégration soient comprises entre $t_{0}$ et $t_{1}.$

22.Considérons une fonction

$\varphi (x,y),$

développée suivant les puissances de $x$ et de $y.$ Il arrivera souvent que $x$ et $y$ dépendront d’un certain paramètre $\mu$ et qu’on pourra les développer suivant les puissances de ce paramètre. Écrivons donc

(1)

$\left\{{\begin{aligned}x&=x_{0}+\mu x_{1}+\mu ^{2}x_{1}+\dots \\y&=y_{0}+\mu y_{1}+\mu ^{2}y_{1}+\dots \\\end{aligned}}\right.$

Supposons que, dans la fonction $\varphi ,$ on substitue à la place de $x$ et de $y$ leurs développements (1) ; alors $\varphi$ deviendra une fonction de $\mu ,$ de $x_{0},$ $x_{1},$ $\dots ,x_{p},$ $\dots$ ad inf. ; et de $y_{0},$ $y_{1},$ $\dots ,$ $y_{p},$ $\dots$ ad inf. ; de plus elle pourra être développée suivant les puissances de $\mu ,$ de sorte qu’on aura

$\varphi =\varphi _{0}+\mu \varphi _{1}+\mu ^{2}\varphi _{2}+\dots$

On voit aisément que $\varphi _{0}$ ne dépend que de $x_{0}$ et $y_{0}\,;$ $\varphi _{1}$ de $x_{0},$ $y_{0}$ $x_{1},$ et $y_{1},\dots \,;$ et, en général, $\varphi _{p}$ de $x_{0},$ $x_{1},$ $\dots ,$ $x_{p}\,;$ $y_{0},$ $y_{1},$ $\dots ,$ $y_{p}.$

Supposons maintenant que l’on ait

$\varphi (x,y)\ll \psi (x,y)\qquad (\mathrm {arg.} \;x,y)$

Dans $\psi$ substituons, à la place de $x$ et de $y,$ leurs développements (1), de sorte que l’on ait

$\psi =\psi _{0}+\mu \psi _{1}+\mu ^{2}\psi _{2}+\dots$

On voit aisément qu’il vient

${\begin{array}{ll}\varphi _{0}\ll \psi _{0}&(\mathrm {arg.} \;x_{0},\,y_{0}),\\\varphi _{1}\ll \psi _{1}&(\mathrm {arg.} \;x_{0},\,y_{0}\,;x_{1},\,y_{1}),\\\dots \dots \dots &\,\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots ..,\\\varphi _{p}\ll \psi _{p}&(\mathrm {arg.} \;x_{0},\,x_{1},\,\dots ,\,x_{p}\,;\;y_{0},\,y_{1},\,\dots ,\,y_{p}).\end{array}}$

On s’en rend compte en appliquant le cinquième principe du numéro précédent, ce qui montre que

$\varphi \ll \psi \quad (\mathrm {arg.} \;\mu ,\,x_{0},\,x_{1},\,\dots \;\mathrm {ad} \;\mathrm {inf.} \,;\,y_{0},\,y_{1},\,\dots \;\mathrm {ad} \;\mathrm {inf.} ).$

Nous conviendrons d’écrire, pour abréger, $\varphi _{p}(x_{i},y_{i}),$ au lieu de $\varphi _{p}(x_{0},\,x_{1},\,\dots ,\,x_{p}\,;\,y_{0},\,y_{1},\,\dots ,\,y_{p}).$

Théorème de Cauchy.

23.Le théorème de Cauchy se trouve aujourd’hui dans tous les Traités classiques ; aussi me bornerais-je à l’énoncer sans démonstration si je ne me proposais de le compléter en quelques points.

Considérons les équations différentielles

(1)

${\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=\theta (x,y,z,\mu ),&{\frac {dy}{dt}}&=\varphi (x,y,z,\mu ),&{\frac {dz}{dt}}&=\psi (x,y,z,\mu ).\end{aligned}}$

Je suppose que les fonctions $\varphi$ et $\psi$ sont développées suivant les puissances croissantes de la variable indépendante $x,$ des deux fonctions inconnues $y$ et $z$ et d’un paramètre arbitraire $\mu .$

En supposant que la variable indépendante $t$ n’entre pas dans les seconds membres des équations (1), je ne diminue pas la généralité, car un système d’ordre $n,$ où la variable indépendante entre explicitement, peut toujours être remplacé par un système d’ordre $n+1$ où cette variable indépendante n’entre pas.

Soient, en effet, par exemple,

${\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=\varphi (x,y,t),\\[0.5ex]{\frac {dy}{dt}}&=\psi (x,y,t)\,:\end{aligned}}$

il est manifeste que ces deux équations peuvent être remplacées par les trois suivantes

${\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=\varphi (x,y,z),\\[0.5ex]{\frac {dy}{dt}}&=\psi (x,y,z),\\[0.5ex]{\frac {dz}{dt}}&=1.\end{aligned}}$

Je me propose de démontrer qu’il existe trois séries convergentes développées suivant les puissances de $t,$ de $\mu ,$ de $x_{0},y_{0},z_{0},$ qui satisfont aux équations (1), quand on les y substitue à la place de $x,$ de $y$ et de $z,$ et qui se réduisent respectivement à $x_{0},$ à $y_{0}$ et à $z_{0}$ pour $t=0.$

Ainsi, au lieu de développer seulement, comme le faisait Cauchy, par rapport à la variable indépendante $x,$ je développe en outre par rapport au paramètre $\mu$ et par rapport aux valeurs initiales $x_{0},$ $y_{0},$ $z_{0}.$ Mais je dois auparavant démontrer deux nouveaux lemmes.

24.Soient

(1)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=\varphi (x,y,t,\mu ),\\[0.5ex]{\frac {dy}{dt}}&=\psi (x,y,t,\mu )\end{aligned}}\right.$

deux équations différentielles, où $\varphi$ et $\psi$ sont des séries ordonnées, suivant les puissances des fonctions inconnues $x$ et $y,$ de la variable $t$ et d’un paramètre arbitraire $\mu .$

Il est aisé de vérifier qu’il existe deux séries

(2)

$f(t,\mu ),\quad f_{1}(t,\mu ),$

ordonnées selon les puissances de $t$ et de $\mu ,$ s’annulant avec $t,$ et qui, substituées dans les équations (1) à la place de $x$ et de $y,$ d’après les règles ordinaires du calcul, satisfont formellement à ces équations.

En cherchant à déterminer les coefficients de ces séries $f$ et $f_{1}$ par la méthode des coefficients indéterminés, on trouve qu’un coefficient quelconque de $f$ (ou de $f_{1}$) est un polynôme entier à coefficients positifs par rapport aux divers coefficients de $\varphi$ et de $\psi .$

Considérons donc d’autres équations de même forme que (1)

(1 bis)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=\varphi '(x,y,t,\mu ),\\[0.5ex]{\frac {dy}{dt}}&=\psi '(x,y,t,\mu ),\end{aligned}}\right.$

et qui soient telles que

$\varphi <\varphi ',\qquad \psi <\psi '\qquad (\mathrm {arg.} \;x,y,t,\mu )\,;$

si les séries

(2 bis)

$f'(t,\mu ),\quad f'_{1}(t,\mu )$

sont ordonnées suivant les puissances de $t$ et de $\mu ,$ s’annulent avec $t$ et satisfont formellement aux équations (1 bis) quand on les substitue à la place de $x$ et de $y,$ il est permis de conclure que

$f\ll f',\quad f_{1}\ll f'_{1}\quad (\mathrm {arg.} \;t,\mu ).$

25.Reprenons les équations (1) du numéro précédent ; supposons que $\varphi$ et $\psi$ soient développables suivant les puissances de $x,$ $y$ et $\mu$ pour toutes les valeurs de $t$ comprises entre 0 et $t_{1}$ $(t_{1}>0$) [nous conviendrons de ne considérer que les valeurs de $t$ comprises entre ces deux limites]. Je ne suppose pas d’ailleurs que $\varphi$ et $\psi$ soient développables suivant les puissances de $t.$

Il existera alors des séries

$f(t,\mu ),\quad f_{1}(t,\mu )$

qui seront ordonnées suivant les puissances de $\mu$ (le coefficient d’une puissance quelconque de $\mu$ étant une fonction de $t,$ qui peut ne pas être développable suivant les puissances de $t,$) qui s’annuleront et qui satisferont formellement aux équations (1).

Comment peut-on déterminer les coefficients des deux séries $f$ et $f_{1}$ ?

Soient $x_{m}$ le coefficient de $\mu ^{m}$ dans $f,$ et $y_{m}$ celui de $\mu ^{m}$ dans $f_{1}.$

On trouve alors, pour déterminer $x_{m}$ et $y_{m},$ les équations suivantes

${\begin{aligned}{\frac {dx_{0}}{dt}}&=\varphi (x_{0},y_{0},t_{0},0),&{\frac {dy_{0}}{dt}}&=\psi (x_{0},y_{0},t,0),\\[0.5ex]{\frac {dx_{1}}{dt}}&={\frac {d\varphi }{dx_{0}}}x_{1}+{\frac {d\varphi }{dy_{0}}}y_{1}+\mathrm {X} _{1},&{\frac {dy_{1}}{dt}}&={\frac {d\psi }{dx_{0}}}x_{1}+{\frac {d\psi }{dy_{0}}}y_{1}+\mathrm {Y} _{1},\\[0.5ex].\dots &\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots ,&.\dots &\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots ,\\{\frac {dx_{m}}{dt}}&={\frac {d\varphi }{dx_{0}}}x_{m}+{\frac {d\varphi }{dy_{0}}}y_{m}+\mathrm {X} _{m}\,;&{\frac {dy_{m}}{dt}}&={\frac {d\psi }{dx_{0}}}x_{m}+{\frac {d\psi }{dy_{0}}}y_{m}+\mathrm {Y} _{m}.\end{aligned}}$

$\mathrm {X} _{m}$ et $\mathrm {Y} _{m}$ étant développées suivant les puissances de

$x_{1},\;y_{1};\;x_{2},\;y_{2};\;\dots ;\;x_{m-1},\;y_{m-1},$

et dépendant, d’autre part, de $x_{0},\,y_{0}$ et de $t.$

D’ailleurs, dans ${\frac {d\varphi }{dx_{0}}},$ ${\frac {d\varphi }{dy_{0}}},$ ${\frac {d\psi }{dx_{0}}},$ ${\frac {d\psi }{dy_{0}}},$ $x,$ $y$ et $\mu$ doivent être remplacés par $x_{0},$ $y_{0}$ et 0.

Soient maintenant des équations

(1 bis)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=\varphi '(x,y,t,\mu )\\[0.5ex]{\frac {dy}{dt}}&=\psi '(x,y,t,\mu )\end{aligned}}\right.$

telles que

$\varphi \ll \varphi ',\qquad \psi \ll \psi '\qquad (\mathrm {arg.} \;x,\,y\;\mathrm {et} \;\mu ,$ mais non $\mathrm {arg.} \;t).$

Soient

${\begin{aligned}f'(t,\mu )&=x'_{0}+\mu x'_{1}+\mu ^{2}x'_{2}+\dots ,\\f'_{1}(t,\mu )&=y'_{0}+\mu y'_{1}+\mu ^{2}y'_{2}+\dots \end{aligned}}$

les séries ordonnées suivant les puissances de $\mu$ et s’annulant avec $t,$ qui satisfont formellement aux équations (1 bis).

Il viendra

${\begin{aligned}{\frac {dx'_{0}}{dt}}&=\varphi '(x'_{0},y'_{0},t,0),&{\frac {dy'_{0}}{dt}}&=\psi '(x'_{0},y'_{0},t,0),\\.\dots &\dots \dots \dots \dots \dots .,&.\dots &\dots \dots \dots \dots \dots .,\\{\frac {dx'_{m}}{dt}}&={\frac {d\varphi '}{dx'_{0}}}x'_{m}+{\frac {d\varphi '}{dy'_{0}}}y'_{m}+\mathrm {X} '_{m}\,;&{\frac {dy'_{m}}{dt}}&={\frac {d\psi '}{dx'_{0}}}x'_{m}+{\frac {d\psi '}{dy'_{0}}}y'_{m}+\mathrm {Y} '_{m}.\end{aligned}}$

À l’origine des temps, on aura

$x'_{0}=x_{0}=0,\qquad y'_{0}=y_{0}=0$

et d’ailleurs

(2)

$|\varphi |<\varphi ',\qquad |\psi |<\psi '\,;$

d’où

(3)

$\left|{\frac {dx_{0}}{dt}}\right|<{\frac {dx'_{0}}{dt}},\qquad \left|{\frac {dy_{0}}{dt}}\right|<{\frac {dy'_{0}}{dt}}.$

$x'_{0}$ et $y'_{0},$ pour les petites valeurs positives de $t,$ sont donc positifs et plus grands en valeur absolue que $x_{0}$ et $y_{0}.$

J’écris donc

(4)

$\left|x_{0}\right|<x'_{0},\qquad \left|y_{0}\right|<y'_{0}.$

Les inégalités (4) ne pourraient cesser d’être satisfaites sans que les inégalités (3) cessassent les premières de l’être. Mais il ne pourra en être ainsi ; car les inégalités (4), jointes aux inégalités (2), entraînent les inégalités (3) comme conséquences. Donc les inégalités (4) subsisteront toutes les fois que

$0<t<t_{1}.$

Je suppose qu’on ait démontré de même que

(5)

$\left\{{\begin{aligned}|x_{1}|&<x'_{1},&|x_{2}|&<x'_{2},&&\dots ,&|x_{m-1}|&<x'_{m-1}\,;\\|y_{1}|&<y'_{1},&|y_{2}|&<y'_{2},&&\dots ,&|y_{m-1}|&<y'_{m-1},\end{aligned}}\right.$

et je me propose de démontrer que

$|x_{m}|<x'_{m},\qquad |y_{m}|<y'_{m}$

En effet, on conclut des inégalités (5) que

${\begin{aligned}\left|{\frac {d\varphi }{dx_{0}}}\right|&<{\frac {d\varphi '}{dx'_{0}}},&\left|{\frac {d\varphi }{dy_{0}}}\right|&<{\frac {d\varphi '}{dy'_{0}}},&\left|{\frac {d\psi }{dy_{0}}}\right|&<{\frac {d\psi '}{dy'_{0}}},&\left|{\frac {d\psi }{dx_{0}}}\right|&<{\frac {d\psi '}{dx'_{0}}},\\[0.75ex]&&\left|\mathrm {X} _{m}\right|&<\mathrm {X} '_{m},&\left|\mathrm {Y} _{m}\right|&<\mathrm {Y} '_{m}.&\end{aligned}}$

Nous devons donc conclure que les inégalités

$|x_{m}|<x'_{m},\qquad |y_{m}|<y'_{m}$

entraînent les suivantes :

$\left|{\frac {dx_{m}}{dt}}\right|<{\frac {dx'_{m}}{dt}},\qquad \left|{\frac {dy_{m}}{dt}}\right|<{\frac {dy'_{m}}{dt}}.$

Un raisonnement tout semblable à celui qui précède montrerait ensuite que l’on a

$|x_{m}|<x'_{m},\qquad |y_{m}|<y'_{m}\qquad \mathrm {pour} \;0<t<t_{1}.$

Ces inégalités peuvent d’ailleurs s’écrire

$f<f',\qquad f_{1}<f'_{1}\qquad (\mathrm {arg.} \;\mu ,$ mais non $\mathrm {arg.} t).$

26.Reprenons les équations (1) du n^o 23.

(1)

${\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=\theta (x,y,z,\mu ),&{\frac {dy}{dt}}&=\varphi (x,y,z,\mu ),&{\frac {dz}{dt}}&=\psi (x,y,z,\mu ).\end{aligned}}$

Ces équations sont satisfaites formellement par certaines séries

(3)

$\left\{{\begin{aligned}x&=f_{1}(t,x_{0},y_{0},z_{0},\mu ),\\y&=f_{2}(t,x_{0},y_{0},z_{0},\mu ),\\z&=f_{3}(t,x_{0},y_{0},z_{0},\mu ),\end{aligned}}\right.$

développées suivant les puissances croissantes de $t,$ $x_{0},$ $y_{0},$ $z_{0},$ $\mu ,$ et se réduisant respectivement à $x_{0},$ $y_{0}$ et $z_{0}$ pour $t=0.$

Pour démontrer la convergence de ces séries, comparons-les aux séries obtenues en partant d’équations différentes.

On peut toujours trouver trois nombres réels positifs $\mathrm {M} ,$ $\alpha$ et $\beta ,$ tels qu’en posant

(1)

$\theta '=\varphi '=\psi '={\frac {\mathrm {M} }{(1-\beta \mu )[1-\alpha (x+y+z)]}},$

on ait

$\left.{\begin{aligned}\theta &<\theta '\\\varphi &<\varphi '\\\psi &<\psi '\\\end{aligned}}\right\}(\mathrm {arg.} \;x,y,z,\mu ).$

Envisageons les équations

(2 bis)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=\theta ',\\{\frac {dy}{dt}}&=\varphi ',\\{\frac {dz}{dt}}&=\psi '.\\\end{aligned}}\right.$

qui peuvent aussi s’écrire

(3 bis)

${\frac {dx}{dt}}={\frac {dy}{dt}}={\frac {dz}{dt}}={\frac {\mathrm {M} }{(1-\beta \mu )[1-\alpha (x+y+z)].}}$

On peut satisfaire à ces équations par des séries analogues aux séries (3), ordonnées comme elles suivant les puissances de $t,$ $x_{0},$ $y_{0},$ $z_{0}$ et $\mu ,$ et se réduisant comme elles à $x_{0},$ $y_{0},$ $z_{0}$ pour $t=0.$

Les principes du n^o 24 montrent que les séries (3) convergeront toutes les fois que les séries (3 bis) convergeront elles-mêmes.

Or les équations (2 bis) s’intègrent aisément, et l’on trouve que les équations (3 bis), qui en sont les intégrales, peuvent s’écrire

${\begin{aligned}x&=x_{0}+{\frac {1}{3\alpha }}\left(\mathrm {S} -{\sqrt {\mathrm {S} ^{2}-ht}}\right),\\y&=y_{0}+{\frac {1}{3\alpha }}\left(\mathrm {S} -{\sqrt {\mathrm {S} ^{2}-ht}}\right),\\z&=z_{0}+{\frac {1}{3\alpha }}\left(\mathrm {S} -{\sqrt {\mathrm {S} ^{2}-ht}}\right).\\\end{aligned}}$

où nous avons posé, pour abréger,

$\mathrm {S} =1-\alpha (x_{0}+y_{0}+z_{0}),\qquad h={\frac {6\alpha \mathrm {M} }{1-\beta \mu }}\cdot$

Ces séries, développées suivant les puissances de $\mu ,$ $t,$ $x_{0},$ $y_{0},$ $z_{0},$ convergent pourvu que

$|\mu |,\quad |t|,\quad |x_{0}|,\quad |y_{0}|,\quad |z_{0}|$

soient assez petits.

Il en sera donc de même des séries (3). C.Q.F.D.

Extension du théorème de Cauchy.

27.Les considérations développées au n^o 26 montrent la possibilité de développer les solutions d’une équation différentielle, suivant les puissances d’un paramètre arbitraire $\mu \,;$ mais seulement pour les valeurs de la variable indépendante $t$ dont le module est assez petit. Nous allons chercher maintenant à nous affranchir de cette restriction.

Considérons les équations suivantes

(1)

${\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=\varphi (x,y,t,\mu ),&{\frac {dy}{dt}}&=\psi (x,y,t,\mu ).\end{aligned}}$

Je suppose donc de nouveau que la variable $t$ entre explicitement dans les équations.

Soient

$x=\theta (t,\mu ),\qquad y=\omega (t,\mu )$

celle des solutions des équations (1) qui est telle que les valeurs initiales de $x$ et de $y,$ pour $t=0,$ soient nulles.

Je suppose que, pour toutes les valeurs de $t$ comprises entre 0 et $t_{0},$ les deux fonctions $\varphi$ et $\psi$ puissent se développer suivant les puissances de

$\mu ,\quad x-\theta (t,0),\quad y-\omega (t,0)$

(les coefficients des développements étant des fonctions d’ailleurs quelconques de $t$).

Cette condition peut s’énoncer d’une autre manière : lorsque pour un certain système de valeurs de $x,$ $y,$ $t$ et $\mu ,$ l’une des fonctions $\varphi$ et $\psi$ cesse d’être holomorphe, on dit que ce système de valeurs correspond à un point singulier des équations (1). Par conséquent, nous pouvons énoncer la condition qui précède en disant, dans un langage assez incorrect, mais commode, que la solution particulière

$\mu =0,\qquad x=\theta (t,0),\qquad y=\omega (t,0)$

ne va passer par aucun point singulier.

Je dis que, si cette condition est remplie, $\theta (t,\mu ),$ $\omega (t,\mu )$ pourront, pour toutes les valeurs de $t$ comprises entre 0 et $t_{0},$ être développées suivant des puissances de $\mu$ (je dis de $\mu$ et non pas de $t$ et de $\mu$), pourvu que $|\mu |$ soit assez petit.

J’observe d’abord que l’on peut, sans restreindre la généralité, supposer que les fonctions $\varphi$ et $\psi$ s’annulent identiquement quand on y fait

$x=y=\mu =0$

ou, ce qui revient au même, que l’on a identiquement

$\theta (t,0)=\omega (t,0)=0.$

Si, en effet, cela n’était pas, on changerait de variables en posant

$x'=x-\theta (t,0),\qquad y'=y-\omega (t,0)$

et l’on serait ramené au cas que nous venons d’énoncer ; car les équations transformées admettraient comme solution, pour $\mu =0,$

$x'=0,\qquad y'=0.$

Faisons donc cette hypothèse ; les fonctions $\varphi$ et $\psi$ seront développables suivant les puissances de $x,$ $y$ et $\mu \,;$ mais je ne les suppose pas développées suivant les puissances de $t.$

Nous pourrons trouver des séries (3) développées suivant les puissances de $\mu$ et qui, substituées à la place de $x$ et de $y,$ satisferont formellement aux équations (1). De plus, ces séries s’annuleront pour

$t=0.$

Pour démontrer la convergence de ces séries, formons des équations analogues aux équations (2 bis) du n^o 26.

Les fonctions $\varphi$ et $\psi$ sont développables suivant les puissances de $x,$ $y$ et $\mu ,$ pourvu que

$0<t<t_{0}$

Quand $t$ variera de 0 à $t_{0},$ les rayons de convergence de ces développements varieront également ; mais on pourra leur assigner une limite inférieure. On pourra donc, d’après le n^o 20, trouver deux nombres positifs $\mathrm {M}$ et $\alpha ,$ tels que, pour toutes les valeurs de $t$ comprises entre 0 et $t_{0},$ on ait

$\varphi <\varphi ',\quad \psi <\psi '\quad (\mathrm {arg.} \;x,y,\mu )$

en posant

$\varphi '=\psi '={\frac {\mathrm {M} (x+y+\mu )[1+\alpha (x+y+\mu )]}{1-\alpha (x+y+\mu )}}\cdot$

Formons alors les équations

(2 bis)

${\frac {dx}{dt}}=\varphi ',\quad {\frac {dy}{dt}}=\psi '.$

Nous pouvons satisfaire à ces équations par des séries (3 bis) de même forme que les séries (3), et qui satisfont formellement à ces équations.

D’après le n^o 25, les séries (3) convergeront pourvu que les séries (3 bis) convergent.

Or, si nous posons

$x+y+\mu =\mathrm {S} ,$

nos équations donnent

$x=y={\frac {\mathrm {S} -\mu }{2}}$

et

${\frac {d\mathrm {S} }{dt}}={\frac {2\mathrm {MS} (\mathrm {S} +1)}{1-\mathrm {S} }}$

ou

$2\mathrm {M} \,dt={\frac {d\mathrm {S} }{\mathrm {S} }}-{\frac {2\,d\mathrm {S} }{\mathrm {S} +1}}\,;$

d’où, puisque $\mathrm {S} =\mu$ pour $t=0,$

$2\mathrm {M} t=\mathrm {L} {\frac {\mathrm {S} }{(\mathrm {S} +1)^{2}}}-\mathrm {L} {\frac {\mu }{(\mu +1)^{2}}}\cdot$

On vérifiera sans peine que $\mathrm {S}$ et, par conséquent, $x$ et $y$ peuvent se développer suivant les puissances de $\mu$ et que le développement converge pour toutes les valeurs de $t$ pourvu que $|\mu |$ soit suffisamment petit ; on peut en conclure que les séries (3 bis) et les séries (3) convergent. C.Q.F.D.

Applications au Problème des trois Corps.

28.Les résultats du numéro précédent subsistent évidemment quand, au lieu d’un seul paramètre arbitraire $\mu ,$ on en a plusieurs. Voici l’usage que nous allons faire de ce résultat : nous n’avons, dans le n^o 27, envisagé que la solution particulière pour laquelle les valeurs initiales de $x$ et de $y$ sont nulles.

Supposons que nous considérions la solution particulière pour laquelle ces valeurs initiales sont $x_{0}$ et $y_{0},$ et que nous nous proposions de développer cette solution suivant les puissances de $x_{0},$ $y_{0}$ et $\mu .$

Mais nous pouvons encore aller plus loin : reprenons les équations (1) du numéro précédent, et envisageons la solution particulière telle que

$x=x_{0},\quad y=y_{0}$

pour $t=0\,;$ cherchons ensuite à développer les valeurs de $x$ et de $y$ pour $t=t_{0}+\tau$ suivant les puissances de $x_{0},y_{0},\mu$ et $\tau .$

Posons ensuite

$x=x'+x_{0},\qquad y=y'+y_{0},\qquad t=t'{\frac {t_{0}+\tau }{t_{0}}},$

les équations (1) deviendront

${\begin{aligned}{\frac {dx'}{dt'}}&={\frac {t_{0}}{t_{0}+\tau }}\varphi \left(x'+x_{0},\,y'+y_{0},\,t'{\frac {t_{0}+\tau }{t_{0}}},\,\mu \right),\\[0.5ex]{\frac {dy'}{dt'}}&={\frac {t_{0}}{t_{0}+\tau }}\psi \left(x'+x_{0},\,y'+y_{0},\,t'{\frac {t_{0}+\tau }{t_{0}}},\,\mu \right)\end{aligned}}$

Nous pourrons y regarder $x',$ $y'$ et $t'$ comme les variables et $\mu ,$ $\tau ,$ $x_{0},$ $y_{0}$ comme quatre paramètres arbitraires.

La solution particulière que nous envisageons est telle que, pour $t=0,$ on a

$x=x_{0},\quad y=y_{0}$

et, par conséquent,

$x'=y'=0.$

Nous avons, d’ailleurs, à calculer les valeurs de $x'$ et de $y'$ pour $t=t_{0}+\tau ,$ c’est-à-dire pour $t'=t_{0}.$

Nous retombons donc sur le cas étudié au numéro précédent, et nous voyons que $x$ et $y$ sont développables suivant les puissances de $x_{0},$ $y_{0},$ $\tau$ et $\mu ,$ pourvu que les modules de ces quantités soient assez petits. Il y a à cela une seule condition, c’est que la solution particulière, pour laquelle les valeurs initiales de $x$ et de $y$ sont nulles, et dans laquelle on suppose de plus $\mu =0,$ ne passe par aucun point singulier.

Appliquons cela aux équations du n^o 13

${\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}},&{\frac {dy_{i}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}},\end{aligned}}$

où

$\mathrm {F} =\mathrm {F} _{0}+\mu \mathrm {F} _{1}+\mu ^{2}\mathrm {F} _{2}+\dots$

et où $\mathrm {F} _{0}$ ne dépend pas des $y.$

$\mathrm {F}$ sera une fonction des $x$ et des $y$ qui ne cessera d’être holomorphe qu’en certains points singuliers. Il pourra se faire que, si l’on donne aux $x$ les valeurs suivantes

${\begin{aligned}x_{1}&=x_{1}^{0},&x_{2}&=x_{2}^{0},&&\dots ,&x_{p}&=x_{p}^{0},&\end{aligned}}$

la fonction $\mathrm {F}$ reste holomorphe pour toutes les valeurs des $y.$

Imaginons alors que l’on se propose le problème suivant :

Envisageant la solution particulière, telle que, pour $t=0,$ on ait

${\begin{aligned}x_{1}&=x_{1}^{0}+\xi _{1},&x_{2}&=x_{2}^{0}+\xi _{2},&&\dots ,&x_{p}&=x_{p}^{0}+\xi _{p},\\y_{1}&=y_{1}^{0}+\eta _{1},&y_{2}&=y_{2}^{0}+\eta _{2},&&\dots ,&y_{p}&=y_{p}^{0}+\eta _{p},\end{aligned}}$

et considérant en particulier les valeurs des variables pour

$t=t_{0}+\tau ,$

développer ces valeurs suivant les puissances de $\mu ,$ de $\tau ,$ des $\xi$ et des $\eta .$

Ce développement sera possible ; en effet, si l’on fait à la fois

$\mu =\tau =\xi _{i}=\eta _{i}=0$

la solution particulière envisagée se réduit à

$x_{i}=x_{i}^{0},\qquad y_{i}=n_{i}t+y_{i}^{0}$

(où $n_{i}$ est la valeur de $-{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}}}$ pour $x_{i}=x_{i}^{0}$), et, d’après ce que nous venons de supposer, cette solution ne passe par aucun point singulier.

Voyons ce qui arrive dans le cas particulier du Problème des trois Corps. La fonction $\mathrm {F}$ ne peut cesser d’être holomorphe que si deux des trois corps viennent à se choquer. La solution particulière que nous considérons représente, dans le cas de $\mu =0,$ l’ensemble de deux ellipses képlériennes décrites par les deux petites masses sous l’attraction d’une masse égale à 1 placée à l’origine. Pour qu’un choc puisse se produire, il faudrait que ces deux ellipses se coupassent ; or c’est ce qui n’arrive jamais dans les applications astronomiques.

Nous arrivons donc à cette conclusion :

Dans le Problème des trois Corps, nous définirons la situation du système par les douze variables définies au n^o 11.

On se donne les valeurs $x_{i}^{0}+\xi _{i},$ $y_{i}^{0}+\eta _{i}^{0}$ de ces variables pour $t=0,$ et l’on demande quelles seront les valeurs de ces mêmes variables à l’époque $t_{0}+\tau .$

Nous venons de voir que ces valeurs sont développables suivant les puissances des masses, des $\xi ,$ des $\eta$ et de $\tau .$

Il n’y a qu’un cas d’exception, qui est le suivant : supposons que, pour $t=0,$ les valeurs initiales des variables soient $x_{i}^{0}$ et $y_{i}^{0},$ et que, les masses étant supposées nulles, le mouvement se continue ensuite d’après les lois de Képler, si, dans ces conditions, un choc se produisait avant l’époque $t_{0},$ ce que nous venons de dire ne serait plus vrai.

On pourrait calculer de la sorte une limite inférieure du temps pendant lequel il est permis de développer les coordonnées des planètes suivant les puissances des masses ; mais la limite ainsi obtenue serait beaucoup trop éloignée de la limite précise pour que ce calcul présentât de l’intérêt.

Emploi des séries trigonométriques.

29.Les séries de puissances ne sont pas les seules qui puissent servir à l’intégration des équations différentielles ; on se sert également des séries trigonométriques. Je veux en dire ici quelques mots avant d’aborder les équations aux dérivées partielles.

On sait qu’une fonction de $x$ périodique et de période 2π peut se développer en une série de la forme suivante

${\begin{aligned}\mathrm {F} (x)=\mathrm {A} _{0}&+\mathrm {A} _{1}\cos x+\mathrm {A} _{2}\cos 2x+\dots +\mathrm {A} _{n}\cos nx+\dots \\&+\mathrm {B} _{1}\sin x\,+\mathrm {B} _{2}\sin 2x\,+\dots +\mathrm {B} _{n}\sin nx\,+\dots \\\end{aligned}}$

J’ai montré dans le Bulletin astronomique (novembre 1886) que, si la fonction $f(x)$ est finie et continue, ainsi que ses $p-2$ premières dérivées, et si sa $(p-1)$^ième dérivée est finie, mais peut devenir discontinue en un nombre limité de points, on peut trouver un nombre positif $\mathrm {K} ,$ tel que l’on ait, quelque grand que soit $n,$

$\left|n^{p}\mathrm {A} _{n}\right|<\mathrm {K} ,\qquad \left|n^{p}\mathrm {B} _{n}\right|<\mathrm {K} .$

Si $f(x)$ est une fonction analytique, elle sera finie et continue ainsi que toutes ses dérivées. On pourra donc trouver un nombre $\mathrm {K,}$ tel que

$\left|n^{2}\mathrm {A} _{n}\right|<\mathrm {K} ,\qquad \left|n^{2}\mathrm {B} _{n}\right|<\mathrm {K} .$

Il résulte de là que la série

${\begin{aligned}\left|\mathrm {A} _{0}\right|&+\left|\mathrm {A} _{1}\right|+\left|\mathrm {A} _{2}\right|+\dots +\left|\mathrm {A} _{n}\right|+\dots \\&+\left|\mathrm {B} _{1}\right|+\left|\mathrm {B} _{2}\right|+\dots +\left|\mathrm {B} _{n}\right|+\dots \end{aligned}}$

converge et, par conséquent, que la série (1) est absolument et uniformément convergente.

Cela posé, considérons un système d’équations différentielles linéaires

(2)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {dx_{1}}{dt}}&=\varphi _{1,1}x_{1}+\varphi _{1,2}x_{2}+\dots +\varphi _{1,n}x_{n},\\[0.5ex]{\frac {dx_{2}}{dt}}&=\varphi _{2,1}x_{1}+\varphi _{2,2}x_{2}+\dots +\varphi _{2,n}x_{n},\\\dots &\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots ..,\\{\frac {dx_{n}}{dt}}&=\varphi _{n,1}x_{1}+\varphi _{n,2}x_{2}+\dots +\varphi _{n,n}x_{n}.\\\end{aligned}}\right.$

Les $n^{2}$ coefficients $\varphi _{i,k}$ sont des fonctions de $t$ périodiques et de période 2π.

Les équations (2) ne changent donc pas quand on change $t$ en $t+2\pi .$ Cela posé, soient

(3)

$\left\{{\begin{aligned}x_{1}&=\psi _{1,1}(t),&x_{2}&=\psi _{1,2}(t),&&\dots ,&x_{n}&=\psi _{1,n}(t),\\x_{1}&=\psi _{2,1}(t),&x_{2}&=\psi _{2,2}(t),&&\dots ,&x_{n}&=\psi _{2,n}(t),\\..&\dots \dots \dots ,&..&\dots \dots \dots ,&&\dots ,&..&\dots \dots \dots ,\\x_{1}&=\psi _{n,1}(t),&x_{2}&=\psi _{n,2}(t),&&\dots ,&x_{n}&=\psi _{n,n}(t)\end{aligned}}\right.$

$n$ solutions, linéairement indépendantes, des équations (2).

Les équations ne changent pas quand on change $t$ en $t+2\pi ,$ et les $n$ solutions deviendront

${\begin{aligned}x_{1}&=\psi _{1,1}(t+2\pi ),&&\dots ,&x_{n}&=\psi _{1,n}(t+2\pi ),\\x_{1}&=\psi _{2,1}(t+2\pi ),&&\dots ,&x_{n}&=\psi _{2,n}(t+2\pi ),\\..&\dots \dots \dots \dots ..,&&\dots ,&..&\dots \dots \dots \dots \dots \\x_{1}&=\psi _{n,1}(t+2\pi ),&&\dots ,&x_{n}&=\psi _{n,n}(t+2\pi ).\end{aligned}}$

Elles devront donc être des combinaisons linéaires des $n$ solutions (3), de sorte qu’on aura

(4)

$\left\{{\begin{aligned}\psi _{1,1}(t+2\pi )&=\mathrm {A} _{1,1}\psi _{1,1}(t)+\mathrm {A} _{1,2}\psi _{2,1}(t)+\dots +\mathrm {A} _{1,n}\psi _{n,1}(t),\\\psi _{2,1}(t+2\pi )&=\mathrm {A} _{2,1}\psi _{1,1}(t)+\mathrm {A} _{2,2}\psi _{2,1}(t)+\dots +\mathrm {A} _{2,n}\psi _{n,1}(t),\\..\dots \dots \dots &\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\\psi _{n,1}(t+2\pi )&=\mathrm {A} _{n,1}\psi _{1,1}(t)+\mathrm {A} _{n,2}\psi _{2,1}(t)+\dots +\mathrm {A} _{n,n}\psi _{n,1}(t),\end{aligned}}\right.$

les $\mathrm {A}$ étant des coefficients constants.

On aura d’ailleurs de même (avec les mêmes coefficients)

${\begin{aligned}\psi _{1,2}(t+2\pi )&=\mathrm {A} _{1,1}\psi _{1,2}(t)+\mathrm {A} _{1,2}\psi _{2,2}(t)+\dots +\mathrm {A} _{1,n}\psi _{n,2}(t),\\\dots \dots \dots \dots &\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\\end{aligned}}$

Cela posé, formons l’équation en $\mathrm {S}$

(5)

$\left|{\begin{array}{cccc}\mathrm {A} _{1,1}-\mathrm {S} &\mathrm {A} _{1,2}&\dots &\mathrm {A} _{1,n}\\\mathrm {A} _{2,1}&\mathrm {A} _{2,2}-\mathrm {S} &\dots &\mathrm {A} _{2,n}\\\dots \dots &\dots \dots &\dots &\dots \dots \\\mathrm {A} _{n,1}&\mathrm {A} _{n,2}&\dots &\mathrm {A} _{n,n}-\mathrm {S} \\\end{array}}\right|=0.$

Soit $\mathrm {S} _{1}$ l’une des racines de cette équation. D’après la théorie des substitutions linéaires, il existera toujours $n$ coefficients constants

$\mathrm {B} _{1},\quad \mathrm {B} _{2},\quad \dots ,\quad \mathrm {B} _{n},$

tels que si l’on pose

$\theta _{1,1}(t)=\mathrm {B} _{1}\psi _{1,1}(t)+\mathrm {B} _{2}\psi _{2,1}(t)+\dots +\mathrm {B} _{n}\psi _{n,1}(t),$

et de même

$\theta _{1,i}(t)=\mathrm {B} _{1}\psi _{1,i}(t)+\mathrm {B} _{2}\psi _{2,i}(t)+\dots +\mathrm {B} _{n}\psi _{n,i}(t),$

on ait

$\theta _{1,1}(t+2\pi )=\mathrm {S} _{1}\theta _{1,1}(t)$

et de même

$\theta _{1,i}(t+2\pi )=\mathrm {S} _{1}\theta _{1,i}(t).$

Posons

$\mathrm {S} _{1}=e^{2\alpha _{1}\pi },$

il viendra

$e^{-\alpha _{1}(t+2\pi )}\theta _{1,1}(t+2\pi )=\mathrm {S} _{1}e^{-2\alpha _{1}\pi }e^{-\alpha _{1}t}\theta _{1,1}(t)=e^{-\alpha _{1}t}\theta _{1,1}(t)$

Cette équation exprime que

$e^{-\alpha _{1}t}\theta _{1,1}(t)$

est une fonction périodique que nous pourrons développer en une série trigonométrique

$\lambda _{1,1}(t).$

Si les fonctions périodiques $\varphi _{i,k}(t)$ sont analytiques, il en sera de même des solutions des équations différentielles (2) et de $\lambda _{1,1}(t).$ La série $\lambda _{1,1}(t)$ sera donc absolument et uniformément convergente.

De même

$e^{-\alpha _{1}t}\theta _{1,i}(t)$

sera une fonction périodique que l’on pourra représenter par une série trigonométrique

$\lambda _{1,i}(t).$

Nous avons donc une solution particulière des équations (2) qui s’écrit

(6)

${\begin{aligned}x_{1}&=e^{\alpha _{1}t}\lambda _{1,1}(t),&x_{2}&=e^{\alpha _{1}t}\lambda _{1,2}(t),&&\dots ,&x_{n}&=e^{\alpha _{1}t}\lambda _{1,n}(t).\end{aligned}}$

À chaque racine de l’équation (5) correspond une solution de la forme (6).

Si l’équation (5) a toutes ses racines distinctes, nous aurons $n$ solutions de cette forme linéairement indépendantes, et la solution générale s’écrira

(7)

$\left\{{\begin{aligned}x_{1}&=\mathrm {C} _{1}e^{\alpha _{1}t}\lambda _{1,1}(t)+\mathrm {C} _{2}e^{\alpha _{2}t}\lambda _{2,1}(t)+\dots +\mathrm {C} _{n}e^{\alpha _{n}t}\lambda _{n,1}(t),\\x_{2}&=\mathrm {C} _{1}e^{\alpha _{1}t}\lambda _{1,2}(t)+\mathrm {C} _{2}e^{\alpha _{2}t}\lambda _{2,2}(t)+\dots +\mathrm {C} _{n}e^{\alpha _{n}t}\lambda _{n,2}(t),\\..&\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots ,\\x_{n}&=\mathrm {C} _{1}e^{\alpha _{1}t}\lambda _{1,n}(t)+\mathrm {C} _{2}e^{\alpha _{2}t}\lambda _{2,n}(t)+\dots +\mathrm {C} _{n}e^{\alpha _{n}t}\lambda _{n,n}(t).\end{aligned}}\right.$

Les $\mathrm {C}$ sont des constantes d’intégration, les $\alpha$ sont des constantes et les $\lambda$ sont des séries trigonométriques absolument et uniformément convergentes.

Voyons maintenant ce qui arrive quand l’équation (5) a une racine double, par exemple quand $\alpha _{1}=\alpha _{2}.$ Reprenons la formule (7), faisons-y

$\mathrm {C} _{3}=\mathrm {C} _{4}=\dots =\mathrm {C} _{n}=0,$

et faisons-y tendre $\alpha _{2}$ vers $\alpha _{1}.$ Il vient

$x_{1}=e^{\alpha _{1}t}\left[\mathrm {C} _{1}\lambda _{1,1}(t)+\mathrm {C} _{2}e^{(\alpha _{2}-\alpha _{1})t}\lambda _{2,1}(t)\right]$

ou, en posant

${\begin{aligned}\mathrm {C} _{1}&=\mathrm {C} '_{1}-\mathrm {C} _{2},\\\mathrm {C} _{2}&={\frac {\mathrm {C} '_{2}}{\alpha _{2}-\alpha _{1}}},\end{aligned}}$

il viendra

$x_{1}=e^{\alpha _{1}t}\left[\mathrm {C} '_{1}\lambda _{1,1}(t)+\mathrm {C} '_{2}{\frac {e^{(\alpha _{2}-\alpha _{1})t}\lambda _{2,1}(t)-\lambda _{1,1}(t)}{\alpha _{2}-\alpha _{1}}}\right]\cdot$

Il est clair que la différence

$\lambda _{2,1}(t)-\lambda _{1,1}(t)$

s’annulera pour $\alpha _{2}=\alpha _{1}.$ Nous pourrons donc poser

$\lambda _{2,1}(t)=\lambda _{1,1}(t)+(\alpha _{2}-\alpha _{1})\lambda '(t).$

Il vient ainsi

$x_{1}=e^{\alpha _{1}t}\left[\mathrm {C} '_{1}\lambda _{1,1}+\mathrm {C} '_{2}\lambda _{1,1}{\frac {e^{(\alpha _{2}-\alpha _{1})t}-1}{\alpha _{2}-\alpha _{1}}}+\mathrm {C} '_{2}\lambda '(t)e^{(\alpha _{2}-\alpha _{1})t}\right],$

et à la limite (pour $\alpha _{2}=\alpha _{1}$),

$x_{1}=\mathrm {C} _{1}e^{\alpha _{1}t}\lambda _{1,1}+\mathrm {C} '_{2}e^{\alpha _{1}t}\left[t\lambda _{1,1}+\lim \lambda '(t)\right].$

On verrait que la limite $\lambda '(t)$ pour $\alpha _{2}=\alpha _{1},$ est encore une série trigonométrique absolument et uniformément convergente.

Ainsi l’effet de la présence d’une racine double dans l’équation (5) a été d’introduire dans la solution des termes de la forme suivante

$e^{\alpha _{1}t}t\lambda (t),$

$\lambda (t)$ étant une série trigonométrique.

On verrait sans peine qu’une racine triple introduirait des termes de la forme

$e^{\alpha _{1}t}t^{2}\lambda (t),$

et ainsi de suite.

Je n’insiste pas sur tous ces points de détail. Ces résultats sont bien connus par les travaux de MM. Floquet, Callandreau, Bruns, Slieltjes, et, si j’ai donné ici la démonstration in extenso pour le cas général, c’est que son extrême simplicité me permettait de le faire en quelques mots.

Fonctions implicites.

30.Si l’on a $n+p$ quantités $y_{1},y_{2},\dots y_{n}\,;$ $x_{1},x_{2},\dots ,x_{p}$ entre lesquelles ont lieu $n$ relations

(7)

$\left\{{\begin{aligned}f_{1}(y_{1},y_{2},\dots y_{n};\,x_{1},x_{2},\dots x_{p})&=0,\\f_{2}(y_{1},y_{2},\dots y_{n};\,x_{1},x_{2},\dots x_{p})&=0,\\..\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots &\dots .,\\f_{n}(y_{1},y_{2},\dots y_{n};\,x_{1},x_{2},\dots x_{p})&=0,\end{aligned}}\right.$

si les $f$ sont développables suivant les puissances des $x$ et des $y$ et s’annulent avec ces $n+p$ variables ;

Si enfin le déterminant fonctionnel des $f$ par rapport aux $y$ n’est pas nul quand les $x$ et les $y$ s’annulent à la fois ;

On pourra tirer des équations (7) les $n$ inconnues $y$ sous la forme des séries développées suivant les puissances de $x_{1},$ $x_{2},$ $\dots ,$ $x_{n}.$

Considérons, en effet, $x_{1}$ comme la seule variable indépendante, $x_{2},$ $x_{3},$ $\dots ,$ $x_{n}$ comme des paramètres arbitraires : nous pourrons remplacer les équations (7) par les $n$ équations différentielles

${\frac {df_{i}}{dy_{1}}}{\frac {dy_{1}}{dx_{1}}}+{\frac {df_{i}}{dy_{2}}}{\frac {dy_{2}}{dx_{1}}}+\dots +{\frac {df_{i}}{dy_{n}}}{\frac {dy_{n}}{dx_{1}}}+{\frac {df_{i}}{dx_{1}}}=0\quad (i=1,\,2,\,\dots ,\,n).$

Nous sommes ainsi ramenés au cas dont nous venons de nous occuper.

En particulier, si $f(y,x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ est une fonction développable suivant les puissances de $y$ et des $x,$ si pour

$y=x_{1}=x_{2}=\dots =x_{n}=0,$

on a

$f=0,\qquad {\frac {df}{dy}}\gtrless 0,$

et si $y$ est défini par l’égalité

$f(y,x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=0,$

$y$ sera développable suivant les puissances des $x.$

31.Ce résultat peut s’énoncer d’une autre manière ; considérons en effet une équation algébrique quelconque

$f(x)=0.$

Si, pour une certaine valeur $x_{0}$ de $x,$ $f(x)$ s’annule sans que sa dérivée s’annule, on dit que $x_{0}$ est une racine simple de l’équation ; c’est au contraire une racine multiple d’ordre $n$ si $f$ s’annule, ainsi que ses $n-1$ premières dérivées.

De même, si l’on a un système quelconque d’équations algébriques, trois par exemple, à savoir

${\begin{aligned}f_{1}(x,y,z)&=0,\\f_{2}(x,y,z)&=0,\\f_{3}(x,y,z)&=0,\\\end{aligned}}$

on dit que

$x=x_{0},\quad y=y_{0},\quad z=z_{0}$

est une solution simple de ce système si pour ces valeurs $f_{1},$ $f_{2},$ $f_{3},$ s’annulent sans que leur jacobien ou déterminant fonctionnel s’annule.

On peut conserver la même dénomination quand $f_{1},$ $f_{2}$ et $f_{3},$ au lieu d’être des polynômes entiers en $x,$ $y,$ $z,$ sont des fonctions holomorphes en $x,$ $y,$ $z.$

Le résultat du numéro précédent peut alors s’énoncer comme il suit : si l’on a $p$ équations (où les inconnues sont $y_{1},$ $y_{2},$ $\dots ,$ $y_{p}$)

$\left.{\begin{aligned}f_{1}(y_{1},y_{2},\dots y_{p};\,x_{1},x_{2},\dots x_{n})&=0,\\f_{2}(y_{1},y_{2},\dots y_{p};\,x_{1},x_{2},\dots x_{n})&=0,\\..\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots &\dots .,\\f_{p}(y_{1},y_{2},\dots y_{p};\,x_{1},x_{2},\dots x_{n})&=0,\end{aligned}}\right.$

dont les premiers membres sont holomorphes, si, pour

$x_{1}=x_{2}=\dots =x_{n}=0,$

le système de valeurs

$y_{1}=y_{2}=\dots =y_{p}=0$

est une solution simple des équations, les $y$ peuvent se développer suivant les puissances croissantes des $x.$ Si donc on donne aux $x$ des valeurs suffisamment petites, nos équations admettront encore une solution réelle.

Points singuliers algébriques.

32.Considérons une équation

(1)

$f(y,x)=0,$

et supposons que, pour

$x=y=0,$

$f$ s’annule ainsi que ses $m-1$ premières dérivées par rapport à $y.$ Alors, pour $x=0,$ la valeur 0 de $y$ est une solution d’ordre $m$ de l’équation.

On démontre qu’il existe $m$ développements convergents de $y$ suivant les puissances positives et fractionnaires de $x,$ s’annulant avec $x$ et satisfaisant à l’équation (voir les travaux classiques de M. Puiseux sur les équations algébriques).

Mais ces $m$ développements convergents se répartissent en groupes de la manière suivante.

Soit

(2)

$y=\alpha _{1}x^{\frac {1}{p}}+\alpha _{2}x^{\frac {2}{p}}+\dots +\alpha _{n}x^{\frac {n}{p}}+\dots$

un de ces développements, et soit $\lambda$ une racine $p$^ième de l’unité.

Le développement

$y=\alpha _{1}\lambda x^{\frac {1}{p}}+\alpha _{2}\lambda ^{2}x^{\frac {2}{p}}+\dots +\alpha _{n}\lambda ^{n}x^{\frac {n}{p}}+\dots$

satisfera également à l’équation (1). On pourra donc déduire du développement (2) $p-1$ autres développements qui formeront avec lui un groupe ; je dirai que ce groupe est d’ordre $p.$

La somme des ordres de tous les groupes est manifestement égale à $m.$

Supposons qu’il y ait $q_{p}$ groupes d’ordre $p,$ la somme de leurs ordres sera $q_{p}p,$ et l’on aura

$q_{1}+2q_{2}+\dots +pq_{p}+\dots =m.$

Les coefficients des $pq_{p}$ développements appartenant à des groupes d’ordre $p$ seront donnés par des équations algébriques d’ordre $pq_{p}.$

Si $pq_{p}$ est impair, ces équations auront au moins une racine réelle et un des développements au moins aura ses coefficients réels ; comme de plus $p$ est impair, si $pq_{p}$ est impair, la valeur correspondante de $y$ sera encore réelle.

Mais, si $m$ est impair, l’une au moins des quantités $pq_{p}$ est impaire ; l’une au moins des valeurs de $y$ doit donc être réelle.

Si donc $m$ est impair, l’équation (1) admettra encore au moins une solution réelle pour les petites valeurs de $x.$

J’ajouterai que les nombres de solutions réelles pour les petites valeurs négatives de $x$ sont tous deux de même parité que $m\,;$ j’entends parler des solutions réelles qui s’annulent avec $x.$

Élimination.

33.Considérons maintenant une équation

(1)

$f(y,x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=0$

et imaginons que, quand $y$ et les $x$ s’annulent, $f$ s’annule ainsi que ses $m-1$ premières dérivées par rapport à $y,$ sans que la dérivée $m$^ième s’annule.

Au début de ma Thèse inaugurale sur les fonctions définies par les équations aux dérivées partielles (Paris, Gauthier-Villars, 1879), j’ai démontré qu’une pareille équation peut être transformée en une autre de la forme suivante

$\varphi (y,x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=0,$

où $\varphi$ est un polynôme de degré $m$ en $y,$ où le coefficient de $y^{m}$ est égal à 1, et où les autres coefficients sont holomorphes par rapport aux $x.$

Si l’on suppose $m=1,$ cette équation $x$ se réduit à

$y{}-{}$ fonction holomorphe des $\;x=0,$

et l’on retombe sur le théorème du n^o 30.

J’ai démontré également dans cette même Thèse (lemme IV, p. 14) que :

Si $\varphi _{1},\varphi _{2},\dots ,\varphi _{p}$ sont $p$ fonctions holomorphes en $z_{1},$ $z_{2},$ $\dots ,$ $z_{p}\,;$ $x_{1},$ $x_{2},$ $\dots ,$ $x_{p}\,;$ si ces fonctions s’annulent quand on annule tous les $z$ et tous les $x\,;$ si les équations

$\varphi _{1}=\varphi _{2}=\dots =\varphi _{p}=0$

restent distinctes quand on annule tous les $x\,;$ si enfin on définit les $z$ en fonction des $x$ par les équations

(2)

$\varphi _{1}=\varphi _{2}=\dots =\varphi _{p}=0,$

les $p$ fonctions ainsi définies sont algébroïdes ; ce qui veut dire, dans le langage de la Thèse citée, que les équations (2) peuvent être remplacées par $p$ autres équations

${\begin{aligned}\psi _{1}&=0,&\psi _{2}&=0,&&\dots ,&\psi _{p}&=0\end{aligned}}$

de même forme, mais dont les premiers membres sont des polynômes entiers par rapport aux $z.$

Cela posé, soient deux équations simultanées

(3)

$\left\{{\begin{aligned}\varphi (x,y,z)&=0,\\\psi (x,y,z)&=0,\end{aligned}}\right.$

définissant $y$ et $z$ en fonction de $x\,;$ je suppose que les premiers membres soient holomorphes en $x,$ $y$ et $z$ et s’annulent avec ces trois variables.

De deux choses l’une, ou bien, quand on annulera $x,$ les deux équations resteront distinctes ; on pourra alors, d’après ce que nous venons de voir, remplacer ces deux équations par deux autres équivalentes

${\begin{aligned}\varphi _{1}(x,y,z)&=0,\\\psi _{1}(x,y,z)&=0,\end{aligned}}$

dont les premiers membres seront des polynômes entiers en $y$ et $z\,;$ on peut alors, entre ces deux équations devenues algébriques, par rapport aux deux inconnues $y$ et $z,$ éliminer $z,$ par exemple, et arriver à une équation unique

$\mathrm {F} (x,y)=0,$

ou bien, quand on annulera $x,$ les deux équations (3) cesseront d’être distinctes.

Mais alors deux cas pourront se présenter.

Ou bien on pourra trouver un nombre $\alpha ,$ tel que les équations (3) restent distinctes quand on fera $x=\alpha y.$

Alors, si nous posons $x'=x-\alpha y,$ les équations restent distinctes pour $x'=0$ et l’on retombe sur le cas précédent ; on peut éliminer $z$ entre les deux équations (3) et les réduire à une équation unique entre $x'$ et $y$ ou, ce qui revient au même, entre $x$ et $y.$

Ou bien on ne pourra pas trouver un pareil nombre $\alpha \,;$ mais cela ne peut arriver que si les équations (3) ne sont pas distinctes ; sauf ce cas exceptionnel, l’élimination sera donc toujours possible.

Plus généralement, soient

(4)

$\left\{{\begin{aligned}\varphi _{1}(z_{1},z_{2},\dots ,z_{p}\,;\,x)&=0,\\\varphi _{2}(z_{1},z_{2},\dots ,z_{p}\,;\,x)&=0,\\..\dots \dots \dots \dots \dots \dots &\dots .,\\\varphi _{p}(z_{1},z_{2},\dots ,z_{p}\,;\,x)&=0\end{aligned}}\right.$

$p$ équations dont les premiers membres soient holomorphes et qui définissent les $z$ en fonctions de $x\,;$ si ces équations sont distinctes, on pourra toujours éliminer $z_{2},z_{3},\dots ,z_{p}$ entre ces $p$ équations et les ramener à une équation unique de même forme

(5)

$\mathrm {F} (x,z_{1})=0.$

Je suppose que les équations (4) soient encore distinctes pour $x=\alpha$ et, par conséquent, que $\mathrm {F}$ ne soit pas divisible par $x.$

Je suppose que $\varphi _{1},\,\varphi _{2},\,\dots ,\,\varphi _{p}$ s’annulent avec les $z$ et avec $x,$ de sorte que

(6)

$z_{1}=z_{2}=\dots =z_{p}=0$

est une solution du système (4) pour $x=0,$ et que $z_{1}=0$ est une solution de l’équation (5).

Si $z_{1}=0$ est une solution d’ordre $m$ de l’équation (5), je dirai également que la solution (6) est une solution d’ordre $m$ du système (4).

Si la solution est d’ordre impair, nous pourrons affirmer que l’équation (5) et, par conséquent, le système (4) admettent encore des solutions réelles pour les petites valeurs de $x.$

Théorème sur les maxima.

34.Soit $\mathrm {F} (z_{1},z_{2},\dots ,z_{p})$ une fonction quelconque holomorphe par rapport aux $z\,;$ on sait qu’on trouvera tous les maxima de cette fonction en résolvant le système

(1)

${\frac {d\mathrm {F} }{dz_{1}}}={\frac {d\mathrm {F} }{dz_{2}}}=\dots ={\frac {d\mathrm {F} }{dz_{p}}}=0\,;$

mais on sait également que toutes les solutions de ce système ne correspondent pas à des maxima.

Je dis qu’une condition nécessaire, mais non suffisante bien entendu, pour qu’une solution puisse correspondre à un maximum de $\mathrm {F} ,$ c’est que cette solution soit d’ordre impair.

La chose est évidente si l’on n’a qu’une seule variable $z,$ et une seule équation

${\frac {d\mathrm {F} }{dz_{1}}}=0.$

On sait, en effet, qu’il ne peut y avoir de maximum si la première dérivée de $\mathrm {F}$ qui ne s’annule pas n’est pas d’ordre pair.

Étendons le même résultat au cas général et, pour fixer les idées, considérons le cas de deux variables seulement $z_{1}$ et $z_{2}.$ Regardons $z_{1}$ et $z_{2}$ comme les coordonnées d’un point dans un plan ; nous pouvons toujours supposer que l’on ait pris pour origine le point qui correspond au maximum, de façon que ce maximum ait lieu pour

$z_{1}=z_{2}=0.$

On pourra alors décrire autour de l’origine une courbe fermée $\mathrm {C}$ très petite, et telle qu’en tous ces points on ait

$\mathrm {F} (z_{1},z_{2})<\mathrm {F} (0,0).$

Mais il y a plus : nous pouvons supposer que cette courbe ait pour équation

$\mathrm {F} (z_{1},z_{2})=\mathrm {F} (0,0)-\lambda ^{2},$

$\lambda$ étant une constante très petite, et qu’à l’intérieur de cette courbe fermée $\mathrm {C}$ on ait

$\mathrm {F} (z_{1},z_{2})>\mathrm {F} (0,0)-\lambda ^{2}\,;$

par conséquent, quand on franchira la courbe $\mathrm {C}$ en allant de l’extérieur à l’intérieur, $\mathrm {F}$ ira en augmentant.

Ce qu’il s’agit d’établir, c’est que

$z_{1}=z_{2}=0$

est une solution d’ordre impair du système

${\frac {d\mathrm {F} }{dz_{1}}}={\frac {d\mathrm {F} }{dz_{2}}}=0\,;$

mais cela revient à dire ce qui suit : soit

$\mathrm {F} (z_{1},z_{2},\mu )$

une fonction de $z_{1}$ et de $z_{2}$ qui se réduise à $\mathrm {F} (z_{1},z_{2})$ pour $\mu =0.$

Le système

(1)

${\frac {d\mathrm {F} }{dz_{1}}}={\frac {d\mathrm {F} }{dz_{2}}}=0$

a, pour $\mu =0,$ une solution multiple qui est

$z_{1}=z_{2}=0\,;$

mais on peut toujours choisir la fonction $\mathrm {F} (z_{1},z_{2},\mu )$ [qui ne nous est donnée que pour $\mu =0,$ et qui reste arbitraire pour les autres valeurs de $\mu$], de telle façon que, pour les valeurs de $\mu$ différentes de zéro, ce même système n’ait plus que des solutions simples. Eh bien, ce qu’il s’agit d’établir, c’est que, si $\mu$ est assez petit, il y a, dans l’intérieur de la courbe $\mathrm {C} ,$ un nombre impair de ces solutions simples.

Dans mon Mémoire Sur les courbes définies par les équations différentielles [IV^e Partie, Chap. XVIII (Journal de Liouville, 4^e série, t. II, p. 177)], j’ai eu l’occasion d’étudier la distribution de points singuliers d’un système d’équations différentielles et de définir pour cela l’indice kroneckérien d’une courbe fermée ou d’une surface fermée par rapport à ce système d’équations différentielles.

Le système que nous aurons à considérer ici est le suivant

(2)

${\frac {dz_{1}}{\displaystyle \left({\frac {d\mathrm {F} }{dz_{1}}}\right)}}={\frac {dz_{2}}{\displaystyle \left({\frac {d\mathrm {F} }{dz_{2}}}\right)}}$

et, plus généralement,

${\frac {dz_{1}}{\displaystyle \left({\frac {d\mathrm {F} }{dz_{1}}}\right)}}={\frac {dz_{2}}{\displaystyle \left({\frac {d\mathrm {F} }{dz_{2}}}\right)}}=\dots ={\frac {dz_{n}}{\displaystyle \left({\frac {d\mathrm {F} }{dz_{n}}}\right)}}\cdot$

Les points singuliers du système (2) seront les solutions du système (1).

Nous aurons à calculer l’indice kroneckérien de la courbe fermée $\mathrm {C}$ par rapport au système (2). On peut vérifier qu’il est égal à 1 pour $\mu =0,$ et l’on en conclura qu’il sera encore égal à 1 pour les petites valeurs de $\mu ,$ puisqu’il ne peut varier que si une des solutions du système (1) vient à franchir cette courbe $\mathrm {C} .$

Le nombre des points singuliers positifs du système (2), situés à l’intérieur de $\mathrm {C} ,$ est donc égal au nombre des points singuliers négatifs plus un.

Le nombre total des points singuliers, c’est-à-dire le nombre total des solutions du système (1) supposées simples, situées à l’intérieur de $\mathrm {C} ,$ est donc impair. C.Q.F.D.

Ce raisonnement s’applique sans changement au cas où il y a plus de deux variables.

Nouvelles définitions.

35.Je ne parlerai pas pour le moment, afin de pas trop allonger ces préliminaires, de l’application des méthodes de Cauchy aux équations aux dérivées partielles, bien que je me réserve de revenir plus tard sur cette question.

Je terminerai ce Chapitre en donnant une nouvelle extension à la notation $\ll$ du n^o 20.

Soient $\varphi (x,y,t),\;\psi (x,y,t)$ deux séries ordonnées suivant les puissances croissantes de $x$ et de $y,$ de telle façon que les coefficients soient des fonctions périodiques de $t,$ développées suivant le sinus ou le cosinus des multiples de $t$ ou, ce qui revient au même, suivant les puissances positives et négatives de $e^{it}.$

Considérons donc le développement de $\varphi$ et de $\psi$ suivant les puissances de $x,$ $y$ et $e^{it}\,;$ si chaque coefficient de $\psi$ est réel, positif et plus grand en valeur absolue que le coefficient correspondant de $\varphi ,$ nous écrirons

$\varphi \ll \psi \quad (\mathrm {arg.} \;x,y,e^{\pm it})\cdot$

Si la série $\psi$ est convergente pour

$x=|x_{0}|,\qquad y=|y_{0}|,\qquad t=0,$

la série $\varphi$ convergera pour

$x=x_{0},\qquad y=y_{0},\qquad t=$ quantité réelle quelconque.

J’ajoute qu’il suffit que la série $\psi$ converge quand $t=0$ pour qu’elle converge quel que soit $t.$

Si la série $\varphi (x,y,t)$ converge et si elle représente une fonction analytique, il résulte de ce que nous avons vu au numéro précédent que la convergence est absolue et uniforme.

On peut donc trouver une constante $\alpha$ réelle et positive et une fonction $\mathrm {M}$ de $t,$ périodiques et de période $2\pi ,$ qui soient telles :

1^o Que le développement de $\mathrm {M} ,$ suivant les puissances positives et négatives de $e^{it},$ ait tous ses coefficients réels et positifs ;

2^o Que l’on ait

$\varphi \ll {\frac {\mathrm {M} }{1-\alpha (x+y)}}\quad (\mathrm {arg.} \;x,y,e^{\pm it}).$

On aura donc a fortiori, quel que soit $t,$

$\varphi \ll {\frac {\displaystyle \mathrm {M} _{0}}{1-\alpha (x+y)}}\quad (\mathrm {arg.} \;x,y),$

$\mathrm {M_{0}}$ étant la valeur de $\mathrm {M}$ pour $t=0.$

En effet, soit

$\varphi =\sum \mathrm {A} \,x^{m}y^{n}e^{pit}\,;$

il viendra

${\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}=-\sum \mathrm {A} \,p^{2}x^{m}y^{n}e^{pit}.$

Cette série devra converger, par hypothèse, pour toutes les valeurs réelles de $t$ et pour les valeurs de $x$ et $y$ qui sont intérieures au cercle de convergence. Supposons, par exemple, que la convergence ait lieu pour

$x=y={\frac {1}{\alpha }}\cdot$

Les termes de la série devront être limités en valeur absolue, de sorte qu’on pourra écrire, en appelant $\mathrm {K}$ une constante positive,

$|\mathrm {A} |<{\frac {\alpha ^{m+n}}{p^{2}}}\mathrm {K} .$

Si nous posons

$\mathrm {M} =\sum {\frac {\mathrm {K} \,e^{pit}}{p^{2}}},$

il viendra

$\varphi \ll {\frac {\mathrm {M} }{(1-\alpha x)(1-\alpha y)}}\ll {\frac {\mathrm {M} }{1-\alpha (x+y)}}\cdot$