CHAPITRE II.
INTÉGRATION PAR LES SÉRIES.
Définitions et lemmes divers.
20.La méthode de Cauchy, pour démontrer l’existence de l’intégrale
des équations différentielles, a été appliquée par d’autres géomètres
à la démonstration d’un grand nombre de théorèmes. Comme
cette méthode et ces théorèmes nous seront utiles dans la suite, je
suis forcé d’y consacrer un Chapitre préliminaire. Pour cette exposition,
je ferai usage d’une notation que j’ai déjà introduite
dans un autre Mémoire et qui m’évitera des longueurs et des redites.
Soient et deux séries développées suivant les
puissances croissantes de et de supposons que chacun des coefficients
de la série soit réel et positif et plus grand en valeur absolue
que le coefficient correspondant de la série : nous écrirons
alors
ou, s’il est nécessaire de mettre en évidence les variables par rapport
auxquelles se fait le développement,
On voit sans peine que, si est une série qui converge
pour certaines valeurs de et de (représentant, par conséquent,
une fonction de et de holomorphe pour ), on pourra
toujours trouver deux nombres réels et positifs et tels que
Dans le cas où la fonction s’annule pour on peut écrire
Supposons que outre les arguments et par rapport auxquels
on la suppose développée, dépende en outre d’une autre variable
les nombres et seront des fonctions généralement
continues de si ces deux nombres ne s’annulent pour aucune des
valeurs de envisagées, on pourra leur assigner une limite inférieure ;
on pourra donc donner à et des valeurs constantes assez
grandes pour que les inégalités précédentes subsistent.
21.Le calcul des inégalités définies dans le numéro précédent
repose sur les principes suivants, que je me borne à énoncer sans
démonstration, à cause de leur évidence :
io Si la série converge, il en sera de même de la série toutes
les fois qu’on aura
2o On peut additionner un nombre quelconque d’inégalités de même sens
3o Si l’on a un nombre infini d’inégalités de même sens,
on pourra écrire, en introduisant un argument nouveau,
4o On peut multiplier deux inégalités de même sens.
5o Si l’on a
et, d’autre part,
on pourra, dans l’inégalité (1), à la place de
substituer
dans le premier membre et dans le second
membre On pourra donc écrire
6o Il est permis de différentier l’inégalité
(1)
|
|
|
par rapport à l’un des deux arguments et
7o Il est permis d’intégrer une inégalité ; mais cela peut s’entendre
de deux manières ; on peut d’abord intégrer l’inégalité (1)
par rapport à l’un des deux arguments et
en prenant 0 comme limite inférieure d’intégration.
On trouve alors
Il va sans dire que, dans le calcul des intégrales, doit momentanément
être regardée comme une constante.
8o Mais il peut arriver également que les fonctions et dépendent
non seulement des deux arguments et mais d’une autre
variable sans qu’on la regarde comme développée suivant les
puissances de cette variable.
Supposons que l’inégalité (1) soit vraie pour toutes les valeurs
de comprises entre et on pourra intégrer cette inégalité par
rapport à en regardant et comme des constantes, et écrire
pourvu, bien entendu, que les limites d’intégration soient comprises
entre et
22.Considérons une fonction
développée suivant les puissances de et de Il arrivera souvent
que et dépendront d’un certain paramètre et qu’on pourra les développer suivant les puissances de ce paramètre. Écrivons donc
(1)
|
|
|
Supposons que, dans la fonction on substitue à la place de
et de leurs développements (1) ; alors deviendra une fonction
de de ad inf. ;
et de ad
inf. ; de plus elle pourra être développée suivant les puissances de
de sorte qu’on aura
On voit aisément que ne dépend que de et
de et
et, en général, de
Supposons maintenant que l’on ait
Dans substituons, à la place de et de leurs développements
(1), de sorte que l’on ait
On voit aisément qu’il vient
On s’en rend compte en appliquant le cinquième principe du
numéro précédent, ce qui montre que
Nous conviendrons d’écrire, pour abréger, au lieu de
Théorème de Cauchy.
23.Le théorème de Cauchy se trouve aujourd’hui dans tous les
Traités classiques ; aussi me bornerais-je à l’énoncer sans démonstration si je ne me proposais de le compléter en quelques points.
Considérons les équations différentielles
(1)
|
|
|
Je suppose que les fonctions et sont développées suivant les
puissances croissantes de la variable indépendante des deux
fonctions inconnues et et d’un paramètre arbitraire
En supposant que la variable indépendante n’entre pas dans
les seconds membres des équations (1), je ne diminue pas la généralité,
car un système d’ordre où la variable indépendante entre
explicitement, peut toujours être remplacé par un système d’ordre
où cette variable indépendante n’entre pas.
Soient, en effet, par exemple,
il est manifeste que ces deux équations peuvent être remplacées
par les trois suivantes
Je me propose de démontrer qu’il existe trois séries convergentes
développées suivant les puissances de de de qui satisfont
aux équations (1), quand on les y substitue à la place de
de et de et qui se réduisent respectivement à à et à
pour
Ainsi, au lieu de développer seulement, comme le faisait Cauchy,
par rapport à la variable indépendante je développe en outre par
rapport au paramètre et par rapport aux valeurs initiales
Mais je dois auparavant démontrer deux nouveaux lemmes.
24.Soient
(1)
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|
|
deux équations différentielles, où et sont des séries ordonnées,
suivant les puissances des fonctions inconnues et de la variable
et d’un paramètre arbitraire
Il est aisé de vérifier qu’il existe deux séries
(2)
|
|
|
ordonnées selon les puissances de et de s’annulant avec et
qui, substituées dans les équations (1) à la place de et de
d’après les règles ordinaires du calcul, satisfont formellement à
ces équations.
En cherchant à déterminer les coefficients de ces séries et
par la méthode des coefficients indéterminés, on trouve qu’un coefficient
quelconque de (ou de ) est un polynôme entier à coefficients
positifs par rapport aux divers coefficients de et de
Considérons donc d’autres équations de même forme que (1)
(1 bis)
|
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et qui soient telles que
si les séries
(2 bis)
|
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|
sont ordonnées suivant les puissances de et de s’annulent
avec et satisfont formellement aux équations (1 bis) quand on les
substitue à la place de et de il est permis de conclure que
25.Reprenons les équations (1) du numéro précédent ; supposons
que et soient développables suivant les puissances de et pour toutes les valeurs de
comprises entre 0 et )
[nous conviendrons de ne considérer que les valeurs de comprises
entre ces deux limites]. Je ne suppose pas d’ailleurs que
et soient développables suivant les puissances de
Il existera alors des séries
qui seront ordonnées suivant les puissances de (le coefficient
d’une puissance quelconque de étant une fonction de qui peut
ne pas être développable suivant les puissances de ) qui s’annuleront
et qui satisferont formellement aux équations (1).
Comment peut-on déterminer les coefficients des deux séries
et ?
Soient le coefficient de dans et celui de dans
On trouve alors, pour déterminer et les équations suivantes
et étant développées suivant les puissances de
et dépendant, d’autre part, de et de
D’ailleurs, dans
et doivent être remplacés
par et 0.
Soient maintenant des équations
(1 bis)
|
|
|
telles que
mais non
Soient
les séries ordonnées suivant les puissances de et s’annulant avec
qui satisfont formellement aux équations (1 bis).
Il viendra
À l’origine des temps, on aura
et d’ailleurs
(2)
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d’où
(3)
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|
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et pour les petites valeurs positives de sont donc positifs
et plus grands en valeur absolue que et
J’écris donc
(4)
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Les inégalités (4) ne pourraient cesser d’être satisfaites sans que
les inégalités (3) cessassent les premières de l’être. Mais il ne pourra
en être ainsi ; car les inégalités (4), jointes aux inégalités (2), entraînent
les inégalités (3) comme conséquences. Donc les inégalités
(4) subsisteront toutes les fois que
Je suppose qu’on ait démontré de même que
(5)
|
|
|
et je me propose de démontrer que
En effet, on conclut des inégalités (5) que
Nous devons donc conclure que les inégalités
entraînent les suivantes :
Un raisonnement tout semblable à celui qui précède montrerait
ensuite que l’on a
Ces inégalités peuvent d’ailleurs s’écrire
mais non
26.Reprenons les équations (1) du no 23.
(1)
|
|
|
Ces équations sont satisfaites formellement par certaines séries
(3)
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développées suivant les puissances croissantes de
et se réduisant respectivement à et pour
Pour démontrer la convergence de ces séries, comparons-les
aux séries obtenues en partant d’équations différentes.
On peut toujours trouver trois nombres réels positifs et
tels qu’en posant
(1)
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on ait
Envisageons les équations
(2 bis)
|
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qui peuvent aussi s’écrire
(3 bis)
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|
On peut satisfaire à ces équations par des séries analogues aux
séries (3), ordonnées comme elles suivant les puissances de
et et se réduisant comme elles à
pour
Les principes du no 24 montrent que les séries (3) convergeront
toutes les fois que les séries (3 bis) convergeront elles-mêmes.
Or les équations (2 bis) s’intègrent aisément, et l’on trouve que
les équations (3 bis), qui en sont les intégrales, peuvent s’écrire
où nous avons posé, pour abréger,
Ces séries, développées suivant les puissances de
convergent pourvu que
soient assez petits.
Il en sera donc de même des séries (3).
C.Q.F.D.
Extension du théorème de Cauchy.
27.Les considérations développées au no 26 montrent la possibilité
de développer les solutions d’une équation différentielle,
suivant les puissances d’un paramètre arbitraire mais seulement
pour les valeurs de la variable indépendante dont le module
est assez petit. Nous allons chercher maintenant à nous affranchir
de cette restriction.
Considérons les équations suivantes
(1)
|
|
|
Je suppose donc de nouveau que la variable entre explicitement dans les équations.
Soient
celle des solutions des équations (1) qui est telle que les valeurs
initiales de et de pour soient nulles.
Je suppose que, pour toutes les valeurs de comprises entre 0
et les deux fonctions et puissent se développer suivant les
puissances de
(les coefficients des développements étant des fonctions d’ailleurs
quelconques de ).
Cette condition peut s’énoncer d’une autre manière : lorsque
pour un certain système de valeurs de et l’une des fonctions
et cesse d’être holomorphe, on dit que ce système de
valeurs correspond à un point singulier des équations (1). Par conséquent,
nous pouvons énoncer la condition qui précède en disant, dans un langage assez incorrect, mais commode, que la solution
particulière
ne va passer par aucun point singulier.
Je dis que, si cette condition est remplie, pourront,
pour toutes les valeurs de comprises entre 0 et être
développées suivant des puissances de (je dis de et non pas de
et de ), pourvu que soit assez petit.
J’observe d’abord que l’on peut, sans restreindre la généralité,
supposer que les fonctions et s’annulent identiquement quand
on y fait
ou, ce qui revient au même, que l’on a identiquement
Si, en effet, cela n’était pas, on changerait de variables en
posant
et l’on serait ramené au cas que nous venons d’énoncer ; car les
équations transformées admettraient comme solution, pour
Faisons donc cette hypothèse ; les fonctions et seront développables
suivant les puissances de et mais je ne les suppose
pas développées suivant les puissances de
Nous pourrons trouver des séries (3) développées suivant les
puissances de et qui, substituées à la place de et de satisferont
formellement aux équations (1). De plus, ces séries s’annuleront pour
Pour démontrer la convergence de ces séries, formons des équations
analogues aux équations (2 bis) du no 26.
Les fonctions et sont développables suivant les puissances
de et pourvu que
Quand variera de 0 à les rayons de convergence de ces
développements varieront également ; mais on pourra leur assigner
une limite inférieure. On pourra donc, d’après le no 20, trouver
deux nombres positifs et tels que, pour toutes les valeurs de
comprises entre 0 et on ait
en posant
Formons alors les équations
(2 bis)
|
|
|
Nous pouvons satisfaire à ces équations par des séries (3 bis)
de même forme que les séries (3), et qui satisfont formellement à
ces équations.
D’après le no 25, les séries (3) convergeront pourvu que les
séries (3 bis) convergent.
Or, si nous posons
nos équations donnent
et
ou
d’où, puisque pour
On vérifiera sans peine que et, par conséquent, et peuvent
se développer suivant les puissances de et que le développement
converge pour toutes les valeurs de pourvu que soit suffisamment petit ; on peut en conclure que les séries (3 bis) et les séries
(3) convergent.
C.Q.F.D.
Applications au Problème des trois Corps.
28.Les résultats du numéro précédent subsistent évidemment
quand, au lieu d’un seul paramètre arbitraire on en a plusieurs.
Voici l’usage que nous allons faire de ce résultat : nous n’avons,
dans le no 27, envisagé que la solution particulière pour laquelle
les valeurs initiales de et de sont nulles.
Supposons que nous considérions la solution particulière pour
laquelle ces valeurs initiales sont et et que nous nous proposions
de développer cette solution suivant les puissances de
et
Mais nous pouvons encore aller plus loin : reprenons les
équations (1) du numéro précédent, et envisageons la solution
particulière telle que
pour cherchons ensuite à développer les valeurs de et de
pour suivant les puissances de et
Posons ensuite
les équations (1) deviendront
Nous pourrons y regarder et comme les variables et
comme quatre paramètres arbitraires.
La solution particulière que nous envisageons est telle que,
pour on a
et, par conséquent,
Nous avons, d’ailleurs, à calculer les valeurs de et de pour
c’est-à-dire pour
Nous retombons donc sur le cas étudié au numéro précédent, et
nous voyons que et sont développables suivant les puissances
de et pourvu que les modules de ces quantités soient
assez petits. Il y a à cela une seule condition, c’est que la solution
particulière, pour laquelle les valeurs initiales de et de sont
nulles, et dans laquelle on suppose de plus ne passe par
aucun point singulier.
Appliquons cela aux équations du no 13
où
et où ne dépend pas des
sera une fonction des et des qui ne cessera d’être holomorphe
qu’en certains points singuliers. Il pourra se faire que, si
l’on donne aux les valeurs suivantes
la fonction reste holomorphe pour toutes les valeurs des
Imaginons alors que l’on se propose le problème suivant :
Envisageant la solution particulière, telle que, pour
on ait
et considérant en particulier les valeurs des variables pour
développer ces valeurs suivant les puissances de de des et
des
Ce développement sera possible ; en effet, si l’on fait à la fois
la solution particulière envisagée se réduit à
(où est la valeur de
pour ), et, d’après ce que
nous venons de supposer, cette solution ne passe par aucun point singulier.
Voyons ce qui arrive dans le cas particulier du Problème des
trois Corps. La fonction ne peut cesser d’être holomorphe que si
deux des trois corps viennent à se choquer. La solution particulière
que nous considérons représente, dans le cas de l’ensemble
de deux ellipses képlériennes décrites par les deux petites
masses sous l’attraction d’une masse égale à 1 placée à l’origine.
Pour qu’un choc puisse se produire, il faudrait que ces deux
ellipses se coupassent ; or c’est ce qui n’arrive jamais dans les applications
astronomiques.
Nous arrivons donc à cette conclusion :
Dans le Problème des trois Corps, nous définirons la situation
du système par les douze variables définies au no 11.
On se donne les valeurs de ces variables pour
et l’on demande quelles seront les valeurs de ces mêmes
variables à l’époque
Nous venons de voir que ces valeurs sont développables suivant
les puissances des masses, des des et de
Il n’y a qu’un cas d’exception, qui est le suivant : supposons que,
pour les valeurs initiales des variables soient et et
que, les masses étant supposées nulles, le mouvement se continue
ensuite d’après les lois de Képler, si, dans ces conditions, un
choc se produisait avant l’époque ce que nous venons de dire
ne serait plus vrai.
On pourrait calculer de la sorte une limite inférieure du temps
pendant lequel il est permis de développer les coordonnées des
planètes suivant les puissances des masses ; mais la limite ainsi
obtenue serait beaucoup trop éloignée de la limite précise pour
que ce calcul présentât de l’intérêt.
Emploi des séries trigonométriques.
29.Les séries de puissances ne sont pas les seules qui puissent
servir à l’intégration des équations différentielles ; on se sert
également des séries trigonométriques. Je veux en dire ici quelques mots avant d’aborder les équations aux dérivées partielles.
On sait qu’une fonction de périodique et de période 2π peut
se développer en une série de la forme suivante
J’ai montré dans le Bulletin astronomique (novembre 1886)
que, si la fonction est finie et continue, ainsi que ses
premières dérivées, et si sa ième dérivée est finie, mais peut
devenir discontinue en un nombre limité de points, on peut
trouver un nombre positif tel que l’on ait, quelque grand que
soit
Si est une fonction analytique, elle sera finie et continue
ainsi que toutes ses dérivées. On pourra donc trouver un nombre
tel que
Il résulte de là que la série
converge et, par conséquent, que la série (1) est absolument et
uniformément convergente.
Cela posé, considérons un système d’équations différentielles
linéaires
(2)
|
|
|
Les coefficients sont des fonctions de périodiques et de
période 2π.
Les équations (2) ne changent donc pas quand on change en
Cela posé, soient
(3)
|
|
|
solutions, linéairement indépendantes, des équations (2).
Les équations ne changent pas quand on change en
et les solutions deviendront
Elles devront donc être des combinaisons linéaires des solutions
(3), de sorte qu’on aura
(4)
|
|
|
les étant des coefficients constants.
On aura d’ailleurs de même (avec les mêmes coefficients)
Cela posé, formons l’équation en
(5)
|
|
|
Soit l’une des racines de cette équation. D’après la théorie
des substitutions linéaires, il existera toujours coefficients constants
tels que si l’on pose
et de même
on ait
et de même
Posons
il viendra
Cette équation exprime que
est une fonction périodique que nous pourrons développer en une
série trigonométrique
Si les fonctions périodiques sont analytiques, il en sera
de même des solutions des équations différentielles (2) et de
La série sera donc absolument et uniformément
convergente.
De même
sera une fonction périodique que l’on pourra représenter par une
série trigonométrique
Nous avons donc une solution particulière des équations (2)
qui s’écrit
(6)
|
|
|
À chaque racine de l’équation (5) correspond une solution de
la forme (6).
Si l’équation (5) a toutes ses racines distinctes, nous aurons
solutions de cette forme linéairement indépendantes, et la solution générale s’écrira
(7)
|
|
|
Les sont des constantes d’intégration, les sont des constantes
et les sont des séries trigonométriques absolument et uniformément convergentes.
Voyons maintenant ce qui arrive quand l’équation (5) a une racine
double, par exemple quand Reprenons la formule (7), faisons-y
et faisons-y tendre
vers
Il vient
ou, en posant
il viendra
Il est clair que la différence
s’annulera pour Nous pourrons donc poser
Il vient ainsi
et à la limite (pour ),
On verrait que la limite pour est encore une série
trigonométrique absolument et uniformément convergente.
Ainsi l’effet de la présence d’une racine double dans l’équation
(5) a été d’introduire dans la solution des termes de la forme suivante
étant une série trigonométrique.
On verrait sans peine qu’une racine triple introduirait des
termes de la forme
et ainsi de suite.
Je n’insiste pas sur tous ces points de détail. Ces résultats sont
bien connus par les travaux de MM. Floquet, Callandreau, Bruns,
Slieltjes, et, si j’ai donné ici la démonstration in extenso pour le
cas général, c’est que son extrême simplicité me permettait de le
faire en quelques mots.
Fonctions implicites.
30.Si l’on a quantités
entre lesquelles ont lieu relations
(7)
|
|
|
si les sont développables suivant les puissances des et des et
s’annulent avec ces variables ;
Si enfin le déterminant fonctionnel des par rapport aux n’est
pas nul quand les et les s’annulent à la fois ;
On pourra tirer des équations (7) les inconnues sous la forme
des séries développées suivant les puissances de
Considérons, en effet, comme la seule variable indépendante,
comme des paramètres arbitraires : nous pourrons
remplacer les équations (7) par les équations différentielles
Nous sommes ainsi ramenés au cas dont nous venons de nous
occuper.
En particulier, si est une fonction développable
suivant les puissances de et des si pour
on a
et si
est défini par l’égalité
sera développable suivant les puissances des
31.Ce résultat peut s’énoncer d’une autre manière ; considérons
en effet une équation algébrique quelconque
Si, pour une certaine valeur de s’annule sans que sa
dérivée s’annule, on dit que est une racine simple de l’équation ;
c’est au contraire une racine multiple d’ordre si s’annule, ainsi
que ses premières dérivées.
De même, si l’on a un système quelconque d’équations algébriques,
trois par exemple, à savoir
on dit que
est une solution simple de ce système si pour ces valeurs
s’annulent sans que leur jacobien ou déterminant fonctionnel s’annule.
On peut conserver la même dénomination quand et au
lieu d’être des polynômes entiers en sont des fonctions
holomorphes en
Le résultat du numéro précédent peut alors s’énoncer comme il suit : si l’on a équations (où les inconnues sont
)
dont les premiers membres sont holomorphes, si, pour
le système de valeurs
est une solution simple des équations, les peuvent se développer
suivant les puissances croissantes des Si donc on donne aux
des valeurs suffisamment petites, nos équations admettront
encore une solution réelle.
Points singuliers algébriques.
32.Considérons une équation
(1)
|
|
|
et supposons que, pour
s’annule ainsi que ses premières dérivées par rapport à
Alors, pour la valeur 0 de est une solution d’ordre de
l’équation.
On démontre qu’il existe développements convergents de
suivant les puissances positives et fractionnaires de s’annulant
avec et satisfaisant à l’équation (voir les travaux classiques de
M. Puiseux sur les équations algébriques).
Mais ces développements convergents se répartissent en
groupes de la manière suivante.
Soit
(2)
|
|
|
un de ces développements, et soit une racine ième de l’unité.
Le développement
satisfera également à l’équation (1). On pourra donc déduire du
développement (2) autres développements qui formeront
avec lui un groupe ; je dirai que ce groupe est d’ordre
La somme des ordres de tous les groupes est manifestement égale
à
Supposons qu’il y ait groupes d’ordre la somme de leurs
ordres sera et l’on aura
Les coefficients des développements appartenant à des
groupes d’ordre seront donnés par des équations algébriques
d’ordre
Si est impair, ces équations auront au moins une racine
réelle et un des développements au moins aura ses coefficients
réels ; comme de plus est impair, si est impair, la valeur
correspondante de sera encore réelle.
Mais, si est impair, l’une au moins des quantités est impaire ;
l’une au moins des valeurs de doit donc être réelle.
Si donc est impair, l’équation (1) admettra encore au moins
une solution réelle pour les petites valeurs de
J’ajouterai que les nombres de solutions réelles pour les petites
valeurs négatives de sont tous deux de même parité que j’entends
parler des solutions réelles qui s’annulent avec
Élimination.
33.Considérons maintenant une équation
(1)
|
|
|
et imaginons que, quand et les s’annulent, s’annule ainsi que
ses premières dérivées par rapport à sans que la dérivée
ième s’annule.
Au début de ma Thèse inaugurale sur les fonctions définies par
les équations aux dérivées partielles (Paris, Gauthier-Villars, 1879), j’ai démontré qu’une pareille équation peut être transformée en
une autre de la forme suivante
où est un polynôme de degré en où le coefficient de
est égal à 1, et où les autres coefficients sont holomorphes par
rapport aux
Si l’on suppose cette équation se réduit à
fonction holomorphe des
et l’on retombe sur le théorème du no 30.
J’ai démontré également dans cette même Thèse (lemme IV, p. 14) que :
Si sont fonctions holomorphes en
si ces fonctions s’annulent quand on annule
tous les et tous les si les équations
restent distinctes quand on annule tous les si enfin on définit
les en fonction des par les équations
(2)
|
|
|
les fonctions ainsi définies sont algébroïdes ; ce qui veut dire,
dans le langage de la Thèse citée, que les équations (2) peuvent être
remplacées par autres équations
de même forme, mais dont les premiers membres sont des polynômes
entiers par rapport aux
Cela posé, soient deux équations simultanées
(3)
|
|
|
définissant et en fonction de je suppose que les premiers
membres soient holomorphes en et et s’annulent avec ces
trois variables.
De deux choses l’une, ou bien, quand on annulera les deux équations resteront distinctes ; on pourra alors, d’après ce que nous
venons de voir, remplacer ces deux équations par deux autres
équivalentes
dont les premiers membres seront des polynômes entiers en et
on peut alors, entre ces deux équations devenues algébriques,
par rapport aux deux inconnues et éliminer par exemple, et
arriver à une équation unique
ou bien, quand on annulera les deux équations (3) cesseront
d’être distinctes.
Mais alors deux cas pourront se présenter.
Ou bien on pourra trouver un nombre tel que les équations
(3) restent distinctes quand on fera
Alors, si nous posons les équations restent distinctes
pour et l’on retombe sur le cas précédent ; on peut
éliminer entre les deux équations (3) et les réduire à une équation
unique entre et ou, ce qui revient au même, entre et
Ou bien on ne pourra pas trouver un pareil nombre mais cela
ne peut arriver que si les équations (3) ne sont pas distinctes ;
sauf ce cas exceptionnel, l’élimination sera donc toujours possible.
Plus généralement, soient
(4)
|
|
|
équations dont les premiers membres soient holomorphes et qui
définissent les en fonctions de si ces équations sont distinctes,
on pourra toujours éliminer entre ces équations
et les ramener à une équation unique de même forme
(5)
|
|
|
Je suppose que les équations (4) soient encore distinctes pour
et, par conséquent, que ne soit pas divisible par
Je suppose que s’annulent avec les et avec
de sorte que
(6)
|
|
|
est une solution du système (4) pour et que est une
solution de l’équation (5).
Si est une solution d’ordre de l’équation (5), je dirai
également que la solution (6) est une solution d’ordre du système (4).
Si la solution est d’ordre impair, nous pourrons affirmer que l’équation
(5) et, par conséquent, le système (4) admettent encore des
solutions réelles pour les petites valeurs de
Théorème sur les maxima.
34.Soit une fonction quelconque holomorphe
par rapport aux on sait qu’on trouvera tous les maxima de cette
fonction en résolvant le système
(1)
|
|
|
mais on sait également que toutes les solutions de ce système ne
correspondent pas à des maxima.
Je dis qu’une condition nécessaire, mais non suffisante bien entendu,
pour qu’une solution puisse correspondre à un maximum
de c’est que cette solution soit d’ordre impair.
La chose est évidente si l’on n’a qu’une seule variable et une
seule équation
On sait, en effet, qu’il ne peut y avoir de maximum si la première
dérivée de qui ne s’annule pas n’est pas d’ordre pair.
Étendons le même résultat au cas général et, pour fixer les idées,
considérons le cas de deux variables seulement et Regardons
et comme les coordonnées d’un point dans un plan ; nous
pouvons toujours supposer que l’on ait pris pour origine le point qui correspond au maximum, de façon que ce maximum ait lieu pour
On pourra alors décrire autour de l’origine une courbe fermée
très petite, et telle qu’en tous ces points on ait
Mais il y a plus : nous pouvons supposer que cette courbe ait
pour équation
étant une constante très petite, et qu’à l’intérieur de cette courbe
fermée on ait
par conséquent, quand on franchira la courbe en allant de l’extérieur
à l’intérieur, ira en augmentant.
Ce qu’il s’agit d’établir, c’est que
est une solution d’ordre impair du système
mais cela revient à dire ce qui suit : soit
une fonction de et de qui se réduise à pour
Le système
(1)
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a, pour
une solution multiple qui est
mais on peut toujours choisir la fonction [qui ne nous
est donnée que pour et qui reste arbitraire pour les autres
valeurs de ], de telle façon que, pour les valeurs de différentes de zéro, ce même système n’ait plus que des solutions simples. Eh
bien, ce qu’il s’agit d’établir, c’est que, si est assez petit, il y a,
dans l’intérieur de la courbe un nombre impair de ces solutions
simples.
Dans mon Mémoire Sur les courbes définies par les équations différentielles
[IVe Partie, Chap. XVIII (Journal de Liouville,
4e série, t. II, p. 177)], j’ai eu l’occasion d’étudier la distribution
de points singuliers d’un système d’équations différentielles
et de définir pour cela l’indice kroneckérien d’une courbe fermée
ou d’une surface fermée par rapport à ce système d’équations différentielles.
Le système que nous aurons à considérer ici est le suivant
(2)
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et, plus généralement,
Les points singuliers du système (2) seront les solutions du système (1).
Nous aurons à calculer l’indice kroneckérien de la courbe fermée
par rapport au système (2). On peut vérifier qu’il est égal
à 1 pour et l’on en conclura qu’il sera encore égal à 1 pour les
petites valeurs de puisqu’il ne peut varier que si une des solutions
du système (1) vient à franchir cette courbe
Le nombre des points singuliers positifs du système (2), situés
à l’intérieur de est donc égal au nombre des points singuliers
négatifs plus un.
Le nombre total des points singuliers, c’est-à-dire le nombre
total des solutions du système (1) supposées simples, situées à l’intérieur
de est donc impair.
C.Q.F.D.
Ce raisonnement s’applique sans changement au cas où il y a
plus de deux variables.
Nouvelles définitions.
35.Je ne parlerai pas pour le moment, afin de pas trop allonger
ces préliminaires, de l’application des méthodes de Cauchy aux
équations aux dérivées partielles, bien que je me réserve de revenir
plus tard sur cette question.
Je terminerai ce Chapitre en donnant une nouvelle extension
à la notation du no 20.
Soient deux séries ordonnées suivant les
puissances croissantes de et de de telle façon que les coefficients
soient des fonctions périodiques de développées suivant
le sinus ou le cosinus des multiples de ou, ce qui revient au
même, suivant les puissances positives et négatives de
Considérons donc le développement de et de suivant les
puissances de et si chaque coefficient de est réel, positif
et plus grand en valeur absolue que le coefficient correspondant
de nous écrirons
Si la série est convergente pour
la série convergera pour
quantité réelle quelconque.
J’ajoute qu’il suffit que la série converge quand pour
qu’elle converge quel que soit
Si la série converge et si elle représente une fonction
analytique, il résulte de ce que nous avons vu au numéro précédent
que la convergence est absolue et uniforme.
On peut donc trouver une constante réelle et positive et une
fonction de périodiques et de période qui soient telles :
1o Que le développement de suivant les puissances positives
et négatives de ait tous ses coefficients réels et positifs ;
2o Que l’on ait
On aura donc a fortiori, quel que soit
étant la valeur de pour
En effet, soit
il viendra
Cette série devra converger, par hypothèse, pour toutes les valeurs
réelles de et pour les valeurs de et qui sont intérieures
au cercle de convergence. Supposons, par exemple, que la convergence ait lieu pour
Les termes de la série devront être limités en valeur absolue, de
sorte qu’on pourra écrire, en appelant une constante positive,
Si nous posons
il viendra