Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste/Chap.03

Henri Poincaré

Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste

Gauthier-Villars et Fils, 1892 (1, p. 79-161).

CHAPITRE III.

SOLUTIONS PÉRIODIQUES.

---

36.Soit

(1)

${\frac {dx_{i}}{dt}}=\mathrm {X} _{i}\quad (i=1,\,2,\,\ldots ,\,n)$

un système d’équations différentielles, où les $\mathrm {X}$ sont des fonctions uniformes données de $x_{1},$ $x_{2},$ $\ldots ,$ $x_{n}.$

Soit maintenant

(2)

$x_{1}=\varphi _{1}(t),\quad x_{2}=\varphi _{2}(t),\quad \ldots ,\quad x_{n}=\varphi _{n}(t),$

une solution particulière de ce système. Imaginons qu’à l’époque $\mathrm {T}$ les $n$ variables $x_{i}$ reprennent leurs valeurs initiales, de telle façon que l’on ait

$\varphi _{i}(0)=\varphi _{i}(\mathrm {T} )\cdot$

Il est clair qu’à cette époque $\mathrm {T}$ on se retrouvera identiquement dans les mêmes conditions qu’à l’époque 0 et, par conséquent, qu’on aura, quel que soit $t,$

$\varphi _{i}(t)=\varphi _{i}(t+\mathrm {T} ).$

En d’autres termes, les fonctions $\varphi _{i}$ seront des fonctions périodiques de $t.$

On dit alors que la solution (2) est une solution périodique des équations (1).

Supposons maintenant que les fonctions $\mathrm {X} _{i}$ dépendent non seulement des $x_{i},$ mais du temps $t.$ J’imagine, de plus, que les $\mathrm {X} _{i}$ soient des fonctions périodiques de $t$ et que la période soit égale à $\mathrm {T} .$ Alors, si les fonctions $\varphi _{i}$ sont telles que

$\varphi _{i}(0)=\varphi _{i}(\mathrm {T} ),$

on pourra encore en conclure que

$\varphi _{i}(t)=\varphi _{i}(t+\mathrm {T} ),$

et la solution (2) sera encore périodique.

Voici un autre cas un peu plus compliqué. Supposons de nouveau que les fonctions $\mathrm {X} _{i}$ ne dépendent plus que des $x,$ mais qu’elles soient des fonctions périodiques des $p$ premières $x,$ à savoir de $x_{1},$ $x_{2},$ $\dots ,$ $x_{p},$ de telle sorte que les $\mathrm {X} _{i}$ ne changent pas quand on change $x_{1}$ en $x_{1}+2\pi ,$ ou bien $x_{2}$ en $x_{2}+2\pi ,$ …, ou bien $x_{p}$ en $x_{p}+2\pi .$

Imaginons maintenant que l’on ait

${\begin{alignedat}{6}\varphi _{1}(\mathrm {T} )&=\varphi _{1}(0)\!+\!2k_{1}\pi ,&\varphi _{2}(\mathrm {T} )&=\varphi _{2}(0)\!+\!2k_{2}\pi ,\;\;&\dots \;\;\varphi _{p}(\mathrm {T} )&=\varphi _{p}(0)\!+\!2k_{p}\pi ,\\\varphi _{p+1}(\mathrm {T} )&=\varphi _{p+1}(0),&\varphi _{p+2}(\mathrm {T} )&=\varphi _{p+2}(0),&\dots \;\;\varphi _{n}(\mathrm {T} )&=\varphi _{n}(0).\end{alignedat}}$

$k_{1},\,k_{2},\,\dots ,\,k_{p}$ étant des entiers.

À l’époque $\mathrm {T} ,$ les $p$ premières variables $x$ auront augmenté d’un multiple de $2\pi ,$ les $n-p$ dernières n’auront pas changé ; les $\mathrm {X} _{i}$ n’auront donc pas changé, et l’on se retrouvera dans les mêmes conditions qu’à l’époque 0. On aura donc

${\begin{alignedat}{6}\varphi _{i}(t+\mathrm {T} )&=\varphi _{i}(t)+2k_{i}\pi &&\quad (i=1,\,2,\,\dots ,\,p)\\\varphi _{i}(t+\mathrm {T} )&=\varphi _{i}(t)&&\quad (i=p+1,\,p+2,\,\dots ,\,n).\end{alignedat}}$

Nous conviendrons encore de dire que la solution (2) est une solution périodique.

Enfin il peut arriver qu’un changement convenable de variables fasse apparaître des solutions périodiques qu’on ne rencontrait pas avec les variables anciennes.

Reprenons, par exemple, les équations (2) du n^o 2

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}-2n{\frac {d\eta }{dt}}&={\frac {d\mathrm {V} }{d\xi }}+n^{2}\xi ,\\{\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}+2n{\frac {d\xi }{dt}}&={\frac {d\mathrm {V} }{d\eta }}+n^{2}\eta .\end{aligned}}$

Il s’agit, on se le rappelle, du mouvement d’un point rapporté ù deux axes mobiles Oξ et Oη et soumis à une force dont les composantes suivant ces deux axes sont ${\frac {d\mathrm {V} }{d\xi }}$ et ${\frac {d\mathrm {V} }{d\eta }}\cdot$

Dans beaucoup d’applications, $\mathrm {V}$ ne dépend que de $\xi$ et de $\eta$ et les équations admettent des solutions particulières telles, que $\xi$ et $\eta$ soient des fonctions périodiques de $t,$ la période étant égale à $\mathrm {T} .$

Si l’on avait rapporté le point à des axes fixes $\mathrm {O} x$ et $\mathrm {O} y,$ on aurait eu

${\begin{aligned}x&=\xi \cos nt-\eta \sin nt,\\y&=\xi \sin nt+\eta \cos nt,\end{aligned}}$

et $x$ et $y$ n’auraient pas été des fonctions périodiques de $t,$ à moins que $\mathrm {T}$ ne soit commensurable avec ${\frac {2\pi }{n}}\cdot$

On fait donc apparaître une solution périodique en passant des axes fixes aux axes mobiles.

Le problème que nous allons traiter ici est le suivant :

Supposons que, dans les équations (1), les fonctions $\mathrm {X} _{i}$ dépendent d’un certain paramètre $\mu \,;$ supposons que dans le cas de $\mu =0$ on ait pu intégrer les équations, et qu’on ait reconnu ainsi l’existence d’un certain nombre de solutions périodiques. Dans quelles conditions aura-t-on le droit d’en conclure que les équations comportent encore des solutions périodiques pour les petites valeurs de $\mu$ ?

Prenons pour exemple le Problème des trois corps : nous sommes convenus plus haut (n^o 11) d’appeler $\alpha _{2}\mu$ et $\alpha _{3}\mu$ les masses des deux plus petits corps, $\mu$ étant très petit, $\alpha _{2}$ et $\alpha _{3}$ finis. Pour $\mu =0,$ le problème est intégrable, chacun des deux petits corps décrivant autour du troisième une ellipse képlérienne ; il est aisé de voir alors qu’il existe une infinité de solutions périodiques. Nous verrons plus loin qu’il est permis d’en conclure que le Problème des trois corps comporte encore une infinité de solutions périodiques, pourvu que $\mu$ soit suffisamment petit.

Il semble d’abord que ce fait ne puisse être d’aucun intérêt pour la pratique. En effet, il y a une probabilité nulle pour que les conditions initiales du mouvement soient précisément celles qui correspondent à une solution périodique. Mais il peut arriver qu’elles en diffèrent très peu, et cela a lieu justement dans les cas où les méthodes anciennes ne sont plus applicables. On peut alors avec avantage prendre la solution périodique comme première approximation, comme orbite intermédiaire, pour employer le langage de M. Gyldén.

Il y a même plus : voici un fait que je n’ai pu démontrer rigoureusement, mais qui me parait pourtant très vraisemblable.

Étant données des équations de la forme définie dans le n^o 13 et une solution particulière quelconque de ces équations, on peut toujours trouver une solution périodique (dont la période peut, il est vrai, être très longue), telle que la différence entre les deux solutions soit aussi petite qu’on le veut, pendant un temps aussi long qu’on le veut. D’ailleurs, ce qui nous rend ces solutions périodiques si précieuses, c’est qu’elles sont, pour ainsi dire, la seule brèche par où nous puissions essayer de pénétrer dans une place jusqu’ici réputée inabordable.

37.Reprenons les équations

(1)

${\frac {dx_{i}}{dt}}=\mathrm {X} _{i}\quad (i=1,\,2,\,\dots ,\,n)$

en supposant que les $\mathrm {X} i$ soient des fonctions des $n$ inconnues $x_{1},$ $x_{2},$ $\dots ,$ $x_{n},$ du temps $t,$ et d’un paramètre arbitraire $\mu .$

Supposons, de plus, que ces fonctions soient périodiques par rapport à $t$ et que la période soit $2\pi .$

Imaginons que, pour $\mu =0,$ ces équations admettent une solution périodique de période $2\pi$

$x_{i}=\varphi _{i}(t),$

de telle sorte que

$\varphi _{i}(0)=\varphi _{i}(2\pi ).$

Cherchons si les équations (1) admettront encore une solution périodique de période $2\pi$ quand $\mu$ ne sera plus nul, mais très petit.

Considérons maintenant une solution quelconque.

Soit $\varphi _{i}(0)+\beta _{i}$ la valeur de $x_{i}$ pour $t=0\,;$ soit $\varphi _{i}(0)+\beta _{i}+\psi _{i}$ la valeur de $x_{i}$ pour $t=2\pi .$

Les $\psi _{i}$ seront, d’après le théorème du n^o 27, des fonctions holomorphes de $\mu$ et des $\beta _{i},$ et ces fonctions s’annuleront pour

$\mu =\beta _{1}=\beta _{2}=\dots =\beta _{n}=0.$

Pour écrire que la solution est périodique, il faut écrire les équations

(1)

$\psi _{1}=\psi _{2}=\dots =\psi _{n}=0.$

Si le déterminant fonctionnel ou jacobien des $\psi ,$ par rapport aux $\beta ,$ n’est pas nul pour $\mu =\beta _{i}=0,$ le théorème du n^o 30 nous apprend que l’on peut résoudre ces $n$ équations par rapport aux $\beta$ et que l’on trouve

$\beta _{i}=\theta _{i}(\mu ),$

$\theta _{i}(\mu )$ étant développable suivant les puissances de $\mu$ et s’annulant avec $\mu .$

On doit en conclure que, pour les valeurs de $\mu$ suffisamment petites, les équations différentielles admettent encore une solution périodique.

Cela est vrai si le jacobien des $\psi$ n’est pas nul ou, en d’autres termes, si pour $\mu =0$ les équations (1) admettent le système

$\beta _{1}=\beta _{2}=\dots =\beta _{n}=0$

comme solution simple.

Qu’arrivera-t-il maintenant si cette solution est multiple ?

Supposons qu’elle soit multiple d’ordre $m.$ Soient $m_{1}$ le nombre des solutions du système (1) pour les petites valeurs positives de $\mu ,$ et $m_{2}$ le nombre des solutions de ce même système pour les petites valeurs négatives de $\mu \,;$ j’entends parler des solutions qui sont telles, que $\beta _{1},$ $\beta _{2},$ $\dots ,$ $\beta _{n}$ tendent vers 0 avec $\mu .$

D’après ce que nous avons vu aux n^os 32 et 33, les trois nombres $m,$ $m_{1}$ et $m_{2}$ sont de même parité. Si donc $m$ est impair, on sera assuré qu’il existe encore des solutions périodiques pour les petites valeurs de $\mu .$ tant positives que négatives.

Si $m_{1}$ n’est pas égal à $m_{2},$ la différence ne peut être qu’un nombre pair ; il peut donc arriver que, quand on fait croître $\mu$ d’une façon continue, un certain nombre de solutions périodiques disparaissent au moment où $\mu$ change de signe (ou plus généralement, puisque rien ne distingue la valeur $\mu =0$ des autres valeurs de $\mu ,$ au moment où $\mu$ passera par une valeur quelconque $\mu _{0}$) ; mais ce nombre doit toujours être pair.

Une solution périodique ne peut donc disparaître qu’après s’être confondue avec une autre solution périodique.

En d’autres termes, les solutions périodiques disparaissent par couples à la façon des racines réelles des équations algébriques.

D’après le n^o 33, on peut éliminer entre les équations (1), les $n-1$ variables $\beta _{1},$ $\beta _{2},$ $\beta _{3},$ $\dots ,$ $\beta _{n-1},$ et obtenir une équation unique

(2)

$\Phi (\beta _{n},\mu )=0$

dont le premier membre est holomorphe en $\beta _{n}$ et $\mu$ et s’annule avec ces variables.

Si l’on regarde un instant $\beta _{n}$ et $\mu$ comme les coordonnées d’un point dans un plan, cette équation représente une courbe passant par l’origine ; à chacun des points de cette courbe correspond une solution périodique.

On pourra donc se rendre compte de toutes les circonstances qui peuvent se présenter en étudiant la forme de cette courbe dans le voisinage de l’origine.

Un cas particulier intéressant est celui où, pour $\mu =0,$ les équations différentielles admettent une infinité de solutions périodiques.

Soit

${\begin{aligned}x_{1}&=\varphi _{1}(t,h),&x_{2}&=\varphi _{2}(t,h),&&\dots ,&x_{n}&=\varphi _{n}(t,h)\end{aligned}}$

un système de solutions périodiques, contenant une constante arbitraire $h.$ Quelle que soit cette constante, les fonctions $\varphi _{i}$ sont périodiques de période $2\pi$ par rapport à $t,$ et elles satisfont aux équations différentielles quand on les y substitue à la place des $x,$ et qu’on fait $\mu =0.$

Dans ce cas, pour $\mu =0,$ les équations (1) ne sont plus distinctes, et l’équation (2) doit se réduire à une identité.

Alors la fonction $\Phi$ doit contenir $\mu$ en facteur et se réduire à $\mu \Phi _{1},$ de telle façon que la courbe (2) se décompose en une droite $\mu =0$ et une autre courbe $\Phi _{1}=0.$

À chaque point de cette courbe $\Phi _{1}=0$ correspond une solution périodique, de sorte que l’étude de cette courbe nous fera connaître les diverses circonstances qui pourront se présenter.

Mais cette courbe $\Phi _{1}=0$ ne passe pas toujours par l’origine.

Nous devons donc avant tout disposer de la constante arbitraire $h$ de façon que cette courbe passe par l’origine.

Un autre cas particulier qui me semble digne d’intérêt est le suivant : Supposons qu’on ait reconnu par un moyen quelconque que la courbe $\Phi =0$ présente une branche B passant par l’origine. À chacun des points de cette branche correspondra une solution périodique. Imaginons de plus que l’on sache d’une manière quelconque que la branche B n’est pas tangente à la droite $\mu =0\,;$ supposons enfin que le déterminant fonctionnel des $\psi$ par rapport aux $\beta$ soit nul. On en conclura que

${\frac {d\Phi }{d\beta _{n}}}=0,$

et, comme la branche B par hypothèse n’est pas tangente à la droite $\mu =0,$ on devra avoir

${\frac {d\Phi }{d\mu }}=0.$

Cela montre que la courbe $\Phi =0$ présente à l’origine un point multiple ; par conséquent une ou plusieurs branches de courbe autres que B vont passer par l’origine. Sauf des cas exceptionnels sur lesquels nous aurons à revenir plus tard, une au moins de ces branches est réelle.

Il existera donc, en dehors des solutions périodiques correspondant à la branche B, un autre système de solutions périodiques, et les solutions des deux systèmes se confondront en une seule pour $\mu =0.$ Voici une circonstance où ce cas se présentera.

Nous avons appelé plus haut

$\varphi _{i}(0)+\beta _{i}$

la valeur de $x_{i}$ pour $t=0$ et

$\varphi _{i}(0)+\beta _{i}+\psi _{i}$

la valeur de $x_{i}$ pour $t=2\pi .$

Appelons de même

$\varphi _{i}(0)+\beta _{i}+\psi _{i}'$

la valeur de $x_{i}$ pour $t=2k\pi ,$ $k$ étant entier.

Je suppose que, pour $\mu =\beta _{1}=\beta _{2}=\dots =\beta _{n}=0,$ le déterminant fonctionnel des $\psi$ par rapport aux $\beta ,$ que j’appelle $\Delta ,$ ne s’annule pas, tandis que le déterminant fonctionnel des $\psi '$ par rapport aux $\beta ,$ que j’appelle $\Delta ',$ s’annule.

De ce que $\Delta$ ne s’annule pas, on peut conclure qu’il existe une solution périodique, de période $2\pi ,$ qui se réduit à

$x_{i}=\varphi _{i}(t)$

pour $\mu =0.$ Si nous construisons la courbe

$\Phi =0$

correspondant aux solutions périodiques ainsi définies, cette courbe passera par l’origine, et sa tangente ne sera pas la droite $\mu =0,$ puisque $\Delta$ n’est pas nul.

Mais une solution de période $2\pi$ peut aussi être regardée également comme une solution périodique de période $2k\pi .$

Cherchons donc les solutions périodiques de période $2k\pi .$ Pour cela, nous aurons à résoudre les équations

$\psi '_{1}=\psi '_{2}=\ldots =\psi '_{n}=0.$

En éliminant entre ces équations $\beta _{1},$ $\beta _{2},$ $\ldots ,$ $\beta _{n-1},$ nous obtiendrons une équation unique

$\Phi '(\beta _{n},\mu )=0,$

qui, d’après nos conventions, représentera une courbe passant par l’origine.

Nous devons retrouver nos solutions de période $2\pi \,;$ donc la courbe $\Phi =0$ sera une des branches de la courbe $\Phi '=0$ ($\Phi '$ sera don divisible par $\Phi$), et cette branche ne touchera pas la droite $\mu =0.$

De plus, comme $\Delta '$ est nul, on aura

${\frac {d\Phi '}{d\beta _{n}}}=0.$

Donc l’origine est un point multiple de la courbe $\Phi '=0.$ Il existe donc des solutions de période $2k\pi ,$ distinctes de la solution de période $2\pi$ et se confondant avec elle pour $\mu =0.$

Il y a quelques cas d’exception sur lesquels nous reviendrons dans la suite.

J’ai encore à parler du cas où les équations (1) du n^o 36 admettent une intégrale

$\mathrm {F} (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},t)=\mathrm {const.} ,$

dont le premier membre (que j’écrirai, pour abréger, $\mathrm {F} [x_{i},t]$) est fonction périodique de $t$ de période $2\pi .$

Je dis que dans ce cas les équations

(1)

$\psi _{1}=\psi _{2}=\dots =\psi _{n}=0,$

ne seront pas distinctes en général.

En effet, on aura identiquement

(2)

$\mathrm {F} [\varphi _{i}(0)+\beta _{i};\,0]=\mathrm {F} [\varphi _{i}(0)+\beta _{i}+\psi _{i};\,2\pi ]=\mathrm {F} [\varphi _{i}(0)+\beta _{i}+\psi _{i};\,0].$

Considérons donc l’équation

(3)

$\mathrm {F} [\varphi _{i}(0)+\beta _{i}+\psi _{i};\,0]-\mathrm {F} [\varphi _{i}(0)+\beta _{i};\,0]=0.$

Le premier membre est développable suivant les puissances des $\psi _{i},$ des $\beta _{i}$ et de $\mu \,;$ de plus il s’annule quand les $\psi _{i}$ s’annulent.

Supposons que l’on n’ait pas

${\frac {d\mathrm {F} }{dx_{n}}}=0$

pour $x_{i}=\varphi _{i}(0),\,\mu =0.$

La dérivée du premier membre de (3) par rapport à $\psi _{n}$ ne s’annulera pas pour

$\psi _{i}=0,\quad \beta _{i}=0,\quad \mu =0.$

Donc, en vertu du théorème du n^o 30, nous pourrons tirer de l’équation (3)

$\psi _{n}=\theta (\psi _{1},\,\psi _{2},\,\dots ,\,\psi _{n-1};\,\beta _{1},\,\beta _{2},\,\dots \beta _{n},\,\,\mu ),$

$\theta$ étant une série développée suivant les puissances de $\psi _{1},$ $\psi 2,$ $\dots ,$ $\psi _{n-1}\,;$ $\beta _{1},$ $\beta _{2},$ $\dots ,$ $\beta _{n}$ et $\mu$ et s’annulant quand on a à la fois

$\psi _{1}=\psi _{2}=\dots =\psi _{n-1}=0.$

La $n$^ième des équations (1) est donc une conséquence des $n-1$ premières.

Si l’on avait

${\frac {d\mathrm {F} }{dx_{n}}}=0,\qquad {\frac {d\mathrm {F} }{dx_{1}}}\gtrless 0$

pour $x_{i}=\varphi _{i}(0),$ ce serait la première des équations (1) qui serait une conséquence des $n-1$ dernières.

Dans tous les cas les équations (1) ne seraient pas distinctes.

Il n’y aurait d’exception que si l’on avait à la fois

${\frac {d\mathrm {F} }{dx_{1}}}={\frac {d\mathrm {F} }{dx_{2}}}=\dots ={\frac {d\mathrm {F} }{dx_{n}}}=0$

pour $x_{i}=\varphi _{i}(0),\,\mu =0.$

On supprimera donc l’une des équations (1), par exemple

$\psi _{n}=0,$

$\left(\mathrm {si} \;{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{n}}}\gtrless 0\right),$ et l’on résoudra par rapport aux $\beta$ le système

$\psi _{1}=\psi _{2}=\dots =\psi _{n-1}=0,$

auquel on adjoindra une $n$^ième équation choisie arbitrairement, par exemple

$\beta _{i}=\mathrm {const.} \;\mathrm {arbitraire} \quad \mathrm {ou} \quad \mathrm {F} =\mathrm {C}$

($\mathrm {C}$ étant une constante donnée).

Pour chaque valeur de $\mu$ il y a donc une infinité de solutions périodiques de période $2\pi \,;$ si toutefois on regarde la constante $\mathrm {C}$ (à laquelle est égalée $\mathrm {F}$) comme une donnée de la question il n’y en a plus qu’une en général.

Si, au lieu d’une intégrale uniforme, nous en avions deux

${\begin{aligned}\mathrm {F} (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},\,t)&=\mathrm {const.,} \\\mathrm {F} _{1}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},\,t)&=\mathrm {const.,} \\\end{aligned}}$

les deux dernières équations (1) seraient une conséquence des $n-2$ premières, pourvu que le jacobien

${\frac {d\mathrm {F} }{dx_{n}}}{\frac {d\mathrm {F_{1}} }{dx_{n-1}}}-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{n-1}}}{\frac {d\mathrm {F_{1}} }{dx_{n}}}$

ne soit pas nul pour $x_{i}=\varphi _{(}0),$ $\mu =0.$

On pourrait alors supprimer ces deux dernières équations

$\psi _{n-1}=\psi _{n}=0,$

et les remplacer par deux autres équations choisies arbitrairement.

Cas où le temps n’entre pas explicitement dans les équations.

38.Dans ce qui précède, nous avons supposé que les fonctions $\mathrm {X} _{1},$ $\mathrm {X} _{2},$ $\dots ,$ $\mathrm {X} _{n},$ qui entrent dans les équations différentielles (1), dépendent du temps $t.$ Les résultats seraient modifiés si le temps $t$ n’entre pas dans ces équations.

Il y a d’abord entre les deux cas une différence qu’il est impossible de ne pas apercevoir. Nous avions supposé dans ce qui précède que les $\mathrm {X} _{i}$ étaient des fonctions périodiques du temps et que la période était $2\pi \,;$ il en résultait que, si les équations admettaient une solution périodique, la période de cette solution devait être égale à $2\pi$ ou à un multiple de $2\pi .$ Si, au contraire, les $\mathrm {X} _{i}$ sont indépendants de $t,$ la période d’une solution périodique peut être quelconque.

En second lieu, si les équations (1) admettent une solution périodique (et si les $\mathrm {X}$ ne dépendent pas de $t$), elles en admettent une infinité.

Si, en effet,

${\begin{aligned}x_{1}&=\varphi _{1}(t),&x_{2}&=\varphi _{2}(t),&&\dots ,&x_{n}&=\varphi _{n}(t)\end{aligned}}$

est une solution périodique des équations (1), il en sera de même, quelle que soit la constante $h,$ de

${\begin{aligned}x_{1}&=\varphi _{1}(t+h),&x_{2}&=\varphi _{2}(t+h),&&\dots ,&x_{n}&=\varphi _{n}(t+h).\end{aligned}}$

Ainsi le cas sur lequel nous nous sommes étendus d’abord et dans lequel, pour $\mu =0,$ les équations (1) admettent une solution périodique et une seule, ne peut se présenter si les $\mathrm {X}$ ne dépendent pas de $t.$

Plaçons-nous donc dans le cas où le temps $t$ n’entre pas explicitement dans les équations (1) et supposons que pour $\mu =0$ ces équations admettent une solution périodique de période $\mathrm {T}$

(4)

${\begin{aligned}x_{1}&=\varphi _{1}(t),&x_{2}&=\varphi _{2}(t),&&\dots ,&x_{n}&=\varphi _{n}(t).\end{aligned}}$

Soit $\varphi _{i}(0)+\beta _{i}$ la valeur de $x_{i}$ pour $t=0\,;$ soit $\varphi _{i}(0)+\beta _{i}+\psi _{i}$ la valeur de $x_{i}$ pour $t=\mathrm {T} +\tau .$

Les $\psi _{i}$ seront des fonctions holomorphes de $\mu ,$ de $\beta _{1},$ $\beta _{2},$ $\dots ,$ $\beta _{n}$ et de $\tau$ s’annulant avec ces variables.

Nous avons donc à résoudre par rapport aux $n+1$ inconnues

$\beta _{1},\,\beta _{2},\,\dots ,\,\beta _{n},\,\tau$

les $n$ équations

(5)

$\psi _{1}=\psi _{2}=\dots =\psi _{n}=0.$

Nous avons une inconnue de trop ; nous pouvons donc poser arbitrairement, par exemple,

$\beta _{n}=0.$

Nous tirerons ensuite des équations (5), $\beta _{1},\,$ $\beta _{2},\,$ $\dots ,\,$ $\beta _{n-1}$ et $\tau$ en fonctions holomorphes de $\mu$ s’annulant avec $\mu .$ Cela est possible, à moins que le déterminant

$\left|{\begin{array}{ccccc}{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{1}}}&{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{2}}}&\dots &{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{n-1}}}&{\dfrac {d\psi _{1}}{d\tau }}\\{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{1}}}&{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{2}}}&\dots &{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{n-1}}}&{\dfrac {d\psi _{2}}{d\tau }}\\\dots &\dots &\dots &\dots &\dots \\{\dfrac {d\psi _{n}}{d\beta _{1}}}&{\dfrac {d\psi _{n}}{d\beta _{2}}}&\dots &{\dfrac {d\psi _{n}}{d\beta _{n-1}}}&{\dfrac {d\psi _{n}}{d\tau }}\\\end{array}}\right|$

ne soit nul pour $\mu =\varphi _{i}=\tau =0.$

Si ce déterminant était nul, au lieu de poser arbitrairement $\beta _{n}=0,$ on poserait, par exemple, $\beta _{i}=0,$ et la méthode ne serait en défaut que si tous les déterminants contenus dans la matrice

$\left|\left|{\begin{array}{ccccc}{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{1}}}&{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{2}}}&\dots &{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{n}}}&{\dfrac {d\psi _{1}}{d\tau }}\\{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{1}}}&{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{2}}}&\dots &{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{n}}}&{\dfrac {d\psi _{2}}{d\tau }}\\\dots &\dots &\dots &\dots &\dots \\{\dfrac {d\psi _{n}}{d\beta _{1}}}&{\dfrac {d\psi _{n}}{d\beta _{2}}}&\dots &{\dfrac {d\psi _{n}}{d\beta _{n}}}&{\dfrac {d\psi _{n}}{d\tau }}\\\end{array}}\right|\right|$

étaient nuls à la fois. (Il est à remarquer que le déterminant obtenu en supprimant la dernière colonne de cette matrice est toujours nul pour $\mu =\beta _{i}=\tau =0.$)

Comme en général tous ces déterminants ne seront pas nuls à la fois, les équations (1) admettront, pour les petites valeurs de $\mu ,$ une solution périodique de période $\mathrm {T} +\tau .$

Appelons

$\Delta _{1},\quad \Delta _{2},\quad \dots ,\quad \Delta _{n},\quad \Delta _{n+1}$

les déterminants contenus dans cette matrice ; $\Delta _{i}$ sera le déterminant obtenu en y supprimant la $i$^ième colonne.

La solution périodique, qui nous a servi de point de départ et qui appartient aux équations (1) pour $\mu =0,$ s’écrivait, on se le rappelle,

$x_{i}=\varphi _{i}(t).$

Je désigne par $\varphi '_{i}(t)$ la dérivée de cette fonction $\varphi _{i}(t)$ et voici ce que je me propose de démontrer :

Si $\varphi '_{n}(0)$ n’est pas nul, le déterminant $\Delta _{n}$ ne peut s’annuler sans que tous les déterminants

$\Delta _{1},\quad \Delta _{2},\quad \dots ,\quad \Delta _{n},\quad \Delta _{n+1}$

s’annulent à la fois.

En effet, supposons que tous ces déterminants ne soient pas nuls à la fois et que $\Delta _{n}$ soit nul, je dis que $\varphi '_{n}(0)$ sera nul.

Les équations différentielles ne contenant pas le temps explicitement, admettront encore pour $\mu =0$ la solution périodique

$x_{i}=\varphi _{i}(t+h),$

quelle que soit la constante $h.$

Si donc on fait

$\tau =0,\qquad \mu =0,\qquad \beta _{i}=\varphi _{i}(h)-\varphi _{i}(0),$

les $\psi$ s’annuleront, quelle que soit $h.$

Cela aura lieu encore si $h$ est infiniment petit, ce qui donne les relations

(6)

${\frac {d\psi _{i}}{d\beta _{1}}}\varphi '_{1}(0)+{\frac {d\psi _{i}}{d\beta _{2}}}\varphi '_{2}(0)+\dots +{\frac {d\psi _{i}}{d\beta _{n}}}\varphi '_{n}(0)$

$(i=1,\,2,\,\dots ,\,n).$

Ces relations (6) montrent d’abord que $\Delta _{n+1}$ est nul.

De plus, il ne pourra pas y avoir entre les quantités

${\frac {d\psi _{i}}{d\beta _{k}}},\quad {\frac {d\psi _{i}}{d\tau }},$

d’autres relations linéaires de la même forme, c’est-à-dire de la forme

(2)

$\mathrm {A} _{1}{\frac {d\psi _{i}}{d\beta _{1}}}+\mathrm {A} _{2}{\frac {d\psi _{i}}{d\beta _{2}}}+\dots +\mathrm {A} _{n}{\frac {d\psi _{i}}{d\beta _{n}}}+\mathrm {A} _{n+1}{\frac {d\psi _{i}}{d\tau }}=0$

$(i=1,\,2,\,\dots ,\,n).$

Sans cela, en effet, tous les déterminants $\Delta _{i}$ s’annuleraient à la fois.

Nous avons supposé que $\Delta _{n}$ est nul. Or ce déterminant n’est autre chose que le déterminant fonctionnel de $\psi _{1},$ $\psi _{2},$ $\dots ,$ $\psi _{n}$ et $\beta _{n}$ par rapport à $\beta _{1},$ $\beta _{2},$ $\dots ,$ $\beta _{n}$ et $\tau .$ Dire que ce déterminant est nul, c’est donc dire que l’on a entre les dérivées des $\psi$ des relations de la forme (2) et que l’on a de plus

$\mathrm {A} _{1}{\frac {d\beta _{n}}{d\beta _{1}}}+\mathrm {A} _{2}{\frac {d\beta _{n}}{d\beta _{2}}}+\dots +\mathrm {A} _{n}{\frac {d\beta _{n}}{d\beta _{n}}}+\mathrm {A} _{n+1}{\frac {d\beta _{n}}{d\tau }}=0,$

c’est-à-dire

$\mathrm {A} _{n}=0.$

Or il ne peut y avoir d’autres relations de la forme (2) que les relations (1). On a donc

$\mathrm {A} _{n}=\varphi '_{n}(0)$

et, par conséquent,

$\varphi '_{n}(0)=0.$

Si donc $\varphi '_{n}(0)$ n’est pas nul (et l’on peut toujours le supposer ; car, s’il n’en était pas ainsi, un changement de variables approprié suffirait pour nous ramener à ce cas), il est inutile d’envisager tous les déterminants $\Delta _{i}\,:$ la considération de $\Delta _{n}$ suffit.

Si $\Delta _{n}$ n’est pas nul, on résoudra par rapport aux $\beta$ les équations

(3)

$\psi _{1}=\psi _{2}=\dots =\psi _{n}=\beta _{n}=0.$

Il semble d’abord que l’introduction arbitraire de l’équation $\beta _{n}=0$ diminue la généralité et qu’on ne peut trouver ainsi que les solutions périodiques, qui sont telles que $\beta _{n}$ soit nul pour $t=0.$ Mais on trouvera les autres en changeant $t$ en $t+h,$ $h$ étant une constante quelconque.

Si, au contraire, $\Delta _{n}$ est nul, on éliminera $\beta _{2},\beta _{3},\dots ,\beta _{n}$ et $\tau$ entre les équations (3), et l’on obtiendra une équation unique

$\Phi (\beta _{1},\mu )=0,$

analogue à l’équation de même forme du numéro précédent.

Cette équation pourra être regardée comme représentant une courbe passant par l’origine, et l’étude de cette courbe fera connaître toutes les circonstances qui pourront se présenter.

Nous rencontrerons d’ailleurs absolument les mêmes particularités que dans le numéro précédent.

Par exemple, les solutions périodiques, quand on fera varier $\mu$ d’une manière continue, ne pourront disparaître que par couples, à la façon des racines des équations algébriques.

Il pourra aussi arriver que, si l’on fait $\mu =0$ et $\beta _{n}=0,$ il existe une infinité de solutions périodiques. Alors $\Phi$ est divisible par $\mu ,$ et l’on peut écrire

$\Phi =\mu \Phi _{1},$

de telle façon que la courbe $\Phi =0$ se décompose en deux, la droite $\mu =0$ et la courbe $\Phi _{1}=0.$ On aura, dans ce cas, avantage à remplacer l’équation

$\Phi =0$

par l’équation

$\Phi _{1}=0.$

Il arrivera même que quelques-unes des fonctions $\psi _{i}$ soient divisibles par $\mu \,;$ de telle façon que, par exemple,

$\psi _{1}=\mu \psi '_{1},\qquad \psi _{2}=\mu \psi '_{2},\qquad \psi _{3}=\mu \psi '_{3},$

$\psi '_{1},\,\psi '_{2},\,\psi '_{3}$ étant des fonctions holomorphes de $\mu ,$ des $\beta$ et de $\tau .$

On aura alors avantage à remplacer les équations (3) par les suivantes :

$\beta _{n}=0,\qquad \psi '_{1}=\psi '_{2}=\psi '_{3}=0,\qquad \psi _{4}=\psi _{5}=\dots =\psi _{n}=0.$

Nous en verrons des exemples dans la suite.

Si l’on suppose qu’il existe une intégrale

$\mathrm {F} (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\mathrm {const.} ,$

les équations (3) ne sont plus distinctes et on les remplacera avec avantage par les suivantes

$\beta _{n}=0,\quad \mathrm {F} =\mathrm {C} +\lambda \mu ,\quad \psi _{1}=\psi _{2}=\dots =\psi _{n}=0.$

où

$\mathrm {C} =\mathrm {F} [\varphi _{1}(0),\varphi _{2}(0),\dots ,\varphi _{n}(0)],$

pendant que $\lambda$ est une constante quelconque.

On pourra aussi remplacer les équations (3) par les suivantes :

$\beta _{n}=0,\qquad \tau =0,\qquad \psi _{2}=\psi _{3}=\dots =\psi _{n}=0\,;$

d’où cette conséquence importante : dans le cas général, il n’y a pas, pour les petites valeurs de $\mu ,$ de solution périodique ayant même période $\mathrm {T}$ que pour $\mu =0\,;$ au contraire, s’il existe une intégrale $\mathrm {F} =\mathrm {const.,}$ on pourra trouver, pourvu que $\mu$ soit assez petit, une solution périodique ayant précisément pour période $\mathrm {T} .$

En effet, si l’on n’a pas

${\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}=0$

pour

$x_{i}=\varphi _{i}(0),$

les équations

$\psi _{2}=\psi _{3}=\dots =\psi _{n}=0$

entraînent $\psi _{1}=0.$

Voici une autre circonstance que nous avons rencontrée dans le numéro précédent et que nous retrouverons ici.

Soient $\beta _{i}$ la valeur de $x_{i}$ pour $t=0,$ $\beta _{i}+\psi _{i}$ la valeur de $x_{i}$ pour $t=\mathrm {T} +\tau ,$ et $\beta _{i}+\psi '_{i}$ la valeur de $x_{i}$ pour $t=k\mathrm {T} +\tau ,$ $k$ étant un entier.

Imaginons que le déterminant fonctionnel des $\psi _{i}$ par rapport à $\beta _{1},$ $\beta _{2},$ $\dots ,$ $\beta _{n-1},$ $\tau$ ne soit pas nul, mais que le déterminant fonctionnel des $\psi '_{i}$ soit nul.

Éliminons $\beta _{2},\beta _{3},\dots ,\beta _{n}$ et $\tau$ entre les équations

$\psi _{i}=0,\quad \beta _{n}=0\,;$

nous obtiendrons l’équation unique

$\Phi (\beta _{1},\mu )=0,$

que nous regarderons comme représentant une courbe ; cette courbe a un point simple à l’origine.

Éliminons maintenant $\beta _{2},$ $\beta _{3},$ $\dots ,$ $\beta _{n}$ et $\tau$ entre les équations

$\psi '_{i}=0,\qquad \beta _{n}=0,$

il viendra

$\Phi (\beta _{1},\mu )=0.$

On verrait, comme au numéro précédent, que $\Phi '$ est divisible par $\Phi .$ La courbe $\Phi =0$ peut donc être regardée comme une des branches de la courbe $\Phi '=0\,;$ comme le déterminant fonctionnel des $\psi '_{i}$ est nul, on doit avoir

${\frac {d\Phi '_{i}}{d\beta _{i}}}=0.$

Donc, ou bien la courbe $\Phi '=0$ a plusieurs branches passant par l’origine, ou bien la tangente doit être la droite $\mu =0.$

Mais nous connaissons déjà l’une des branches de la courbe $\Phi '=0,$ savoir $\Phi =0,,$ et nous savons que la tangente à cette branche n’est pas la droite $\mu =0.$ Donc la courbe $\Phi '=0$ a d’autres branches passant par l’origine.

Ce qui veut dire que les équations différentielles admettent des solutions périodiques dont la période est peu différente de $k\mathrm {T} ,$ qui sont distinctes des solutions périodiques de période $\mathrm {T}$ pour les petites valeurs de $\mu ,$ mais qui se confondent avec elles pour $\mu =0.$

Application au Problème des trois corps.

39. Le Problème des trois corps admet-il des solutions périodiques ?

Reprenons les notations du n^o 11 et désignons les trois masses par $m_{1},$ $\alpha _{2}\mu$ et $\alpha _{3}\mu .$ Si l’on fait $\mu =0,$ c’est-à-dire si les deux petites masses sont regardées comme nulles, la grande masse sera fixe et chacune des deux petites décrira autour de la grande une ellipse képlérienne.

il est clair alors que, si les moyens mouvements de ces deux petites masses sont commensurables entre eux, au bout d’un certain temps, tout le système se retrouvera dans sa situation initiale et, par conséquent, la solution sera périodique.

Ce n’est pas tout : au lieu de rapporter les trois masses à des axes fixes (ou à des axes mobiles qui restent constamment parallèles aux axes fixes, comme dans le n^o 11), on peut les rapporter à des axes mobiles animés d’un mouvement de rotation uniforme.

Il peut se faire alors que les coordonnées des trois masses, par rapport aux axes fixes, ne soient pas des fonctions périodiques du temps, tandis que les coordonnées par rapport aux axes mobiles seront, au contraire, des fonctions périodiques du temps (cf. n^o 36.)

Supposons maintenant que $\mu =0\,;$ les deux petites masses décriront des ellipses képlériennes ; supposons que ces deux ellipses soient dans un même plan, dans le plan des $x_{1}x_{2},$ par exemple, et que leur excentricité soit nulle. Le mouvement des deux petites masses sera alors circulaire et uniforme ; soient $n$ et $n'$ les moyens mouvements de ces deux masses ($n'>n$).

Supposons que l’origine du temps ait été choisie au moment d’une conjonction de telle sorte que la longitude initiale des deux masses soit nulle.

Au bout du temps ${\frac {2\pi }{n'-n}},$ ces longitudes seront devenues respectivement

${\frac {2\pi n}{n'-n}}\quad \mathrm {et} \quad {\frac {2\pi n'}{n'-n}}$

et leur différence sera égale à $2\pi .$

Les deux masses se retrouvant en conjonction, les trois corps seront de nouveau dans la même situation relative. Tout le système aura seulement tourné d’un angle égal à ${\frac {2\pi n}{n'-n}}\cdot$

Si donc l’on rapporte le système à des axes mobiles tournant d’un mouvement uniforme avec une vitesse angulaire égale à $n,$ les coordonnées des trois corps par rapport à ces axes mobiles seront des fonctions périodiques du temps de période ${\frac {2\pi }{n'-n}}\cdot$

À ce point de vue, et d’après ce que nous avons dit à la fin du n^o 36, cette solution pourra encore être regardée comme périodique.

Ainsi dans le cas-limite où $\mu =0,$ le problème des trois corps admet des solutions périodiques. Avons-nous le droit d’en conclure qu’il en admettra encore pour les petites valeurs de $\mu$ ? C’est ce que les principes des n^os 37 et 38 vont nous permettre de décider.

La première solution périodique qui ait été signalée pour le cas où $\mu >0$ est celle qu’a découverte Lagrange et où les trois corps décrivent des ellipses képlériennes semblables, pendant que leurs distances mutuelles restent dans un rapport constant (Cf. Laplace, Mécanique céleste, Livre X, Chapitre VI). Ce cas est trop bien étudié pour que nous ayons à y revenir.

M. Hill, dans ses très remarquables recherches sur la théorie de la Lune (American Journal of Mathematics, T. I), en a étudié une autre, dont l’importance est beaucoup plus grande au point de vue pratique.

J’ai repris la question dans le Bulletin astronomique (T. I, p. 65) et j’ai été conduit à distinguer trois sortes de solutions périodiques : pour celles de la première sorte, les inclinaisons sont nulles et les excentricités très petites ; pour celles de la deuxième sorte, les inclinaisons sont nulles et les excentricités finies ; enfin, pour celles de la troisième sorte, les inclinaisons ne sont plus nulles.

Pour les unes comme pour les autres, les distances mutuelles des trois Corps sont des fonctions périodiques du temps ; au bout d’une période, les trois Corps se retrouvent donc dans la même situation relative, tout le système ayant seulement tourné d’un certain angle. Il faut donc, pour que les coordonnées des trois Corps soient des fonctions périodiques du temps, qu’on les rapporte à un système d’axes mobiles animés d’un mouvement de rotation uniforme.

La vitesse de ce mouvement de rotation est finie pour les solutions de la première sorte et très petite pour celles des deux dernières sortes.

Solutions de la première sorte.

40. Je vais reproduire ici ce que j’ai exposé au sujet de ces trois sortes de solutions. Je commencerai par celles de la première sorte, qui contiennent, comme cas particulier, celle de M. Hill.

Reprenons les notations du n^o 11. Soient A, B, C les trois masses, que je supposerai rester constamment dans un même plan. Soit D le centre de gravité de A et de B. Soient $x_{1}$ et $x_{2}$ les coordonnées de B par rapport à des axes parallèles aux axes fixes ayant leur origine en A ; soient $x_{3}$ et $x_{4}$ les coordonnées de C par rapport à des axes parallèles aux axes fixes et ayant leur origine en D.

Adoptons les variables du n^o 12, c’est-à-dire les variables

${\begin{array}{rrrrrr}\Lambda ,&\Lambda ',&\xi ,&\xi ',&p,&p',\\\lambda ,&\lambda ',&\eta ,&\eta ',&q,&q'.\\\end{array}}$

Ici, le mouvement se passant dans un plan, on aura

$p=p'=q=q'=0.$

Les distances mutuelles des trois Corps et les dérivées de ces distances par rapport au temps sont des fonctions de

(1)

$\left\{{\begin{array}{cccc}\Lambda ,&\Lambda ',&\xi \cos \lambda -\eta \sin \lambda ,&\xi \sin \lambda +\eta \cos \lambda ,\\&&\xi '\cos \lambda '-\eta '\sin \lambda ',&\xi '\sin \lambda '+\eta '\cos \lambda '\\\end{array}}\right.$

et de $\lambda '-\lambda .$

Pour que la solution soit périodique, il faut donc qu’au bout d’une période les variables (1) reprennent leurs valeurs primitives et que $\lambda '-\lambda$ augmente d’un multiple de $2\pi \,;$ dans l’espèce, $\lambda '-\lambda$ augmentera de $2\pi .$

Si l’on fait $\mu =0,$ le mouvement est képlérien ; supposons, de plus, que les valeurs initiales de $\lambda ,\,\lambda ',$ $\xi ,\,\eta ,$ $\xi ',\,\eta '$ soient nulles ; alors le mouvement sera circulaire et uniforme.

Si les valeurs initiales $\Lambda _{0}$ et $\Lambda '_{0}$ de $\Lambda$ et $\Lambda '$ sont choisies de telle sorte que les moyens mouvements soient $n$ et $n',$ la solution sera périodique de période ${\frac {2\pi }{n'-n}}\cdot$

Ne supposons plus maintenant que $\mu$ soit nul, et considérons une solution quelconque ; nous pourrons choisir l’origine du temps au moment d’une conjonction et prendre pour origine des longitudes la longitude de cette conjonction.

Les valeurs initiales de $\lambda$ et de $\lambda '$ seront nulles.

Soient $\Lambda _{0}+\beta _{1},$ $\Lambda '_{0}+\beta _{2}$ les valeurs initiales de $\Lambda$ et de $\Lambda '.$

Soient $\xi _{0},\,\eta _{0},$ $\xi '_{0},\,\eta '_{0},$ les valeurs initiales de $\xi ,\,\eta$ et $\xi ',\,\eta '.$

Ce seront aussi les valeurs initiales des quatre dernières variables (1).

Soit maintenant $2\pi +\psi _{0}$ la valeur de $\lambda '-\lambda$ au bout de la période

${\frac {2\pi }{n'-n}}\cdot$

Soit, au bout de cette même période,

$\Lambda _{0}+\beta _{1}+\psi _{1},\quad \Lambda '_{0}+\beta _{2}+\psi _{2},$

les valeurs de $\Lambda$ et $\Lambda ',$ et

$\xi _{0}+\psi _{3},\quad \eta _{0}+\psi _{4},\quad \xi '_{0}+\psi _{5},\quad \eta '_{0}+\psi _{6}$

les valeurs des quatre dernières variables (1).

Pour que la solution soit périodique, il faut que

$\psi _{0}=\psi _{1}=\psi _{2}=\psi _{3}=\psi _{4}=\psi _{5}=\psi _{6}=0.$

Ces équations ne sont pas distinctes ; les équations différentielles du mouvement admettent en effet deux intégrales : celle des forces vives et celle des aires. Le jacobien de ces deux intégrales par rapport à $\Lambda$ et $\Lambda '$ n’est pas nul pour

$\mu =0,\quad \xi =\eta =\xi '=\eta '=0.$

Les équations $\psi _{1}=\psi _{2}=0$ sont donc une conséquence des cinq autres.

Nous avons donc à résoudre le système

(2)

$\psi _{0}=\psi _{3}=\psi _{4}=\psi _{5}=\psi _{6}=0,$

auquel nous adjoindrons l’équation des forces vives $\mathrm {F} =\mathrm {C} ,$ où nous regarderons la constante $\mathrm {C}$ comme une donnée de la question.

Il faut donc que nous considérions le déterminant fonctionnel des premiers membres de ces six équations par rapport aux six variables

$\beta _{1},\quad \beta _{2},\quad \xi _{0},\quad \eta _{0},\quad \xi '_{0},\quad \eta '_{0}$

et que nous démontrions que ce déterminant ne s’annule pas pour

$\mu =\beta _{1}=\beta _{2}=\xi _{0}=\eta _{0}=\xi '_{0}=\eta '_{0}=0.$

Or, pour $\mu =0,$ on a

$\mathrm {F} =\mathrm {F} _{0}={\frac {\gamma }{\left(\Lambda _{0}+\beta _{1}\right)^{2}}}+{\frac {\gamma '}{\left(\Lambda '_{0}+\beta _{2}\right)^{2}}},$

$\gamma$ et $\gamma '$ étant des constantes dépendant des masses,

${\begin{array}{c}\psi _{0}={\dfrac {2\pi }{n'-n}}\left[n'\left(1+{\dfrac {\beta _{2}}{\Lambda '_{0}}}\right)^{-3}-n\left(1+{\dfrac {\beta _{1}}{\Lambda _{0}}}\right)^{-3}\right],\\{\begin{alignedat}{5}\psi _{3}&=\xi _{0}\left(\cos \lambda _{0}\!-\!1\right)&{}-{}&\eta _{0}\sin \lambda _{0},&\quad &\psi _{4}&=\xi _{0}\sin \lambda _{0}&{}+{}&\eta _{0}\left(\cos \lambda _{0}\!-\!1\right),\\\psi _{5}&=\xi '_{0}\left(\cos \lambda '_{0}\!-\!1\right)&{}-{}&\eta '_{0}\sin \lambda '_{0},&\quad &\psi _{6}&=\xi '_{0}\sin \lambda '_{0}&{}+{}&\eta '_{0}\left(\cos \lambda '_{0}\!-\!1\right),\end{alignedat}}\end{array}}$

où

$\lambda _{0}={\frac {2n\pi }{n'-n}}\left(1+{\frac {\beta _{1}}{\Lambda _{0}}}\right)^{-3},\quad \lambda '_{0}={\frac {2n'\pi }{n'-n}}\left(1+{\frac {\beta _{2}}{\Lambda '_{0}}}\right)^{-3}\cdot$

$\lambda _{0}$ et $\lambda '_{0}$ désignent donc les valeurs des deux longitudes à la fin de la période, de telle façon que

$2\pi +\psi _{0}=\lambda '_{0}-\lambda _{0}.$

On voit ainsi que, pour $\mu =0,$ $\mathrm {F}$ et $\psi _{0}$ dépendent seulement de $\beta _{1}$ et $\beta _{2}\,;$ $\psi _{3}$ et $\psi _{4}$ de $\beta _{1},$ $\xi _{0}$ et $\eta _{0}\,;$ $\psi _{5}$ et $\psi _{6}$ de $\beta _{2},$ $\xi '_{0}$ et $\eta '_{0}.$

Notre déterminant fonctionnel est donc le produit de trois autres :

1^o Celui de $\mathrm {F} _{0}$ et $\psi _{0}$ par rapport à $\beta _{1}$ et $\beta _{2}\,;$

2^o Celui de $\psi _{3}$ et $\psi _{4}$ par rapport à $\xi _{0}$ et $\eta _{0}\,;$

3^o Celui de $\psi _{5}$ et $\psi _{6}$ par rapport à $\xi '_{0}$ et $\eta '_{0}.$

Le premier de ces trois déterminants ne s’annule que pour $\Lambda _{0}=-\Lambda '_{0},$ $n=-n'\,;$ cela n’a d’ailleurs pas d’importance, parce que, s’il s’annule, au lieu d’adjoindre au système (2) l’équation des forces vives, on y adjoindra toute autre équation arbitrairement choisie entre $\beta _{1}$ et $\beta _{2}\,;$ quoi qu’il en soit, le cas de $n=-n'$ présentant des difficultés de diverse nature et n’ayant pas d’importance au point de vue des applications, nous le laisserons de côté.

2^o Le second déterminant se réduit à

$\left(1-\cos \lambda _{0}\right)^{2}+\sin ^{2}\lambda _{0}.$

Il ne peut donc s’annuler que si $\lambda _{0}$ est multiple de $2\pi .$

Pour

$\beta _{1}=\beta _{2}=\xi _{0}=\eta _{0}=\xi '_{0}=\eta '_{0}=0,$

on a

$\lambda _{0}={\frac {2n\pi }{n'-n}}\cdot$

Notre déterminant ne s’annulera donc que si $n$ est multiple de $n'-n.$

3^o De même le troisième déterminant ne s’annulera que si $n',$ et par conséquent $n,$ est multiple de $n'-n.$

En conséquence :

Pour toutes les valeurs de la constante des forces vives $\mathrm {C} ,$ qui est égaie à

$\left({\frac {n}{2}}\right)^{\frac {2}{3}}\gamma ^{\frac {1}{3}}+\left({\frac {n'}{2}}\right)^{\frac {2}{3}}\gamma '^{\frac {1}{3}},$

et pour les petites valeurs de $\mu ,$ le problème des trois Corps admettra une solution périodique de la première sorte dont la période sera ${\frac {2\pi }{n'-n}}\cdot$

Il n’y aura d’exception que si $n$ est multiple de $n'-n$ ou si $n=-n'.$

Il y a une quadruple infinité de solutions périodiques de la première sorte ; nous pouvons en effet, si $\mu$ est assez petit, choisir arbitrairement :

1^o La période ${\frac {2\pi }{n'_{0}-n_{0}}}=\mathrm {T} \,;$

2^o La constante $\mathrm {C} \,;$

3^o Le moment de la conjonction, que nous avions pris dans le calcul précédent pour origine du temps ;

4^o La longitude de la conjonction, que nous avions prise pour origine des longitudes, de sorte que nous avons, pour chaque valeur de $\mu ,$ $\infty ^{4}$ solutions périodiques.

On peut retrouver ces solutions de la manière suivante :

Supposons qu’à l’origine des temps on ait

$\lambda =\lambda '=\eta =\eta '=0\,;$

les trois Corps seront en conjonction et leurs vitesses seront perpendiculaires à la droite qui les joint ; cette droite sera d’ailleurs l’axe $\mathrm {A} x_{1}$ qui se confondra à cet instant avec l’axe $\mathrm {D} x_{3}.$ Il résulte immédiatement de cette symétrie de la position des trois corps à l’instant 0 les conséquences suivantes :

Les valeurs des rayons vecteurs, à l’instant $t$ et à l’instant $-t,$ seront les mêmes ; les valeurs des longitudes à l’instant $t$ et à l’instant $-t$ seront égales et de signe contraire.

Nous dirons alors qu’à l’époque 0 les trois corps se trouvent en conjonction symétrique.

Nous avons supposé qu’il y a conjonction symétrique au temps 0 et qu’à ce moment la longitude commune des trois corps est nulle ; nous avons ainsi déterminé quatre des éléments osculateurs $\lambda ,$ $\lambda ',$ $\eta$ et $\eta '\,;$ il nous en reste encore quatre qui sont arbitraires, à savoir, $\Lambda ,$ $\Lambda ',$ $\xi$ et $\xi '.$ Nous en disposerons de façon qu’à l’instant ${\tfrac {\mathrm {T} }{2}}$ il y ait de nouveau conjonction symétrique et que la longitude commune des trois Corps soit ${\frac {n\pi }{n'-n}}$ ou plus exactement que l’on ait (en appelant $v$ et $v'$ les longitudes vraies)

$v={\frac {n\pi }{n'-n}},\quad v'={\frac {n\pi }{n'-n}}+\pi .$

Il ne s’agit donc pas, à proprement parler, d’une conjonction symétrique, mais d’une opposition symétrique.

Pour qu’il y ait conjonction (ou opposition) symétrique, il faut, comme nous venons de le voir, quatre conditions ; nous aurons donc quatre équations pour déterminer nos quatre éléments restés arbitraires. Ces quatre équations pourront être résolues si le déterminant fonctionnel correspondant, n’est pas nul ; or il ne l’est pas en général : c’est ce qu’on verrait par un calcul facile, tout semblable à celui qui précède et qu’il est inutile de reproduire ici.

Ainsi les rayons vecteurs ont même valeur à l’époque $t$ et à l’époque $-t\,;$ même valeur encore à l’époque $t$ et à l’époque $\mathrm {T} -t$ (puisqu’il y a encore conjonction symétrique à l’époque ${\tfrac {\mathrm {T} }{2}}$). Quant à la différence des longitudes, ses valeurs aux époques $t$ et $-t$ (ou bien encore aux époques $t$ et $\mathrm {T} -t$) sont égales et de signe contraire. Donc les distances mutuelles des trois corps sont des fonctions périodiques dont la période est $\mathrm {T} .$ Ces solutions, qui présentent alternativement des conjonctions et des oppositions symétriques sont donc des solutions périodiques.

On pourrait croire que les solutions périodiques ainsi définies sont moins générales que celles dont nous avions d’abord démontré l’existence. Il n’en est rien ; il y en a aussi une quadruple infinité ; car nous pouvons choisir arbitrairement l’époque de la conjonction et de l’opposition, et la longitude des trois corps au moment de cette conjonction et de cette opposition ; il reste donc quatre arbitraires : ce qui montre que toutes les solutions de la première sorte rentrent dans cette même catégorie. Si l’on choisit convenablement l’époque 0, il y a, pour toutes les solutions de la première sorte, conjonction symétrique au début de chaque période et opposition symétrique au milieu de chaque période.

On peut encore s’en rendre compte de la façon suivante :

Il est toujours permis de supposer que l’origine des temps ait été choisie de telle sorte que les valeurs initiales de $\lambda$ et de $\lambda '$ soient nulles. Il suffit pour cela de prendre pour origine des temps l’époque d’une conjonction et pour origine des longitudes la longitude de cette conjonction.

D’autre part, les équations du problème des trois corps présentent une symétrie telle qu’elles ne changent pas quand on change $t$ en $-t,$ ou bien quand on change simultanément $\lambda$ en $-\lambda$ et $\lambda '$ en $-\lambda '.$

Si donc il y a solution périodique quand les valeurs initiales des variables $\Lambda ,$ $\Lambda ',$ $\lambda ,$ $\lambda ',$ $\xi ,$ $\eta ,$ $\xi ',$ $\eta '$ seront $\Lambda _{0}+\beta _{1},$ $\Lambda '_{0}+\beta _{2},$ $0,\,0,$ $\xi _{0},$ $\eta _{0},$ $\xi '_{0},$ $\eta '_{0},$ il y aura encore solution périodique quand ces valeurs initiales seront

$\Lambda _{0}+\beta _{1},\quad \Lambda '_{0}+\beta _{2},\quad 0,\quad 0,\quad \xi _{0},\quad -\eta _{0},\quad \xi '_{0},\quad -\eta '_{0}.$

Les équations (3) ne changent donc pas quand on y change $\eta _{0}$ et $\eta '_{0}$ en $-\eta _{0}$ et $-\eta '_{0}.$

Or ces équations (3) ne comportent qu’une seule solution ; on devra donc avoir

$\eta '=\eta '_{0}=0,$

ce qui veut dire qu’à l’origine des temps il y a conjonction symétrique. C.Q.F.D.

Les $\infty ^{4}$ solutions périodiques de la première sorte sont liées les unes aux autres par des relations simples. On peut passer de l’une à l’autre : 1^o en changeant l’origine des temps ; 2^o en changeant l’origine des longitudes ; 3^o en changeant simultanément les unités de longueur et de temps de façon que l’unité de longueur soit multipliée par $k^{\frac {2}{3}}$ quand celle de temps est multipliée par $k.$ Tous ces changements n’altèrent pas la forme des équations et, par conséquent, ne peuvent que changer les solutions périodiques les unes dans les autres. Il n’y a donc en réalité qu’une simple infinité de solutions périodiques réellement distinctes ; chacune de ces solutions réellement distinctes est caractérisée par le rapport ${\frac {n'_{0}}{n'_{0}-n_{0}}},$ ou, ce qui revient au même, par la différence entre la longitude d’une conjonction symétrique et celle de l’opposition qui la suit.

Recherches de M. Hill sur la Lune.

41.Il y a un cas particulier où les solutions de la première sorte se simplifient : c’est celui où l’une des masses, la masse $m_{2}$ par exemple, est infiniment petite. Le mouvement de $\mathrm {C}$ par rapport à $\mathrm {A}$ restant alors képlérien, il ne peut y avoir de conjonction symétrique que quand $\mathrm {C}$ passe au périhélie ou à l’aphélie, à moins que le mouvement de $\mathrm {C}$ ne soit circulaire. Mais la longitude d’une conjonction symétrique devrait donc différer de la longitude de l’opposition symétrique qui la suit immédiatement d’un angle qui devrait être un multiple de $\pi .$ Or il n’en sera pas ainsi, à moins que ${\frac {n'_{0}}{n'_{0}-n_{0}}}$ ne soit entier, cas que nous avons précisément exclu. Nous devons donc conclure que le mouvement de $\mathrm {C}$ est circulaire.

La simplicité est plus grande encore si l’on suppose que la masse de $\mathrm {C}$ est beaucoup plus grande que celle de $\mathrm {A}$ et que la distance de $\mathrm {AC}$ est très grande (ce qui est le cas dans la théorie de la Lune). Si nous supposons $\mathrm {AC}$ infiniment grand et la masse de $\mathrm {C}$ infiniment grande, de façon que la vitesse angulaire de $\mathrm {C}$ sur son orbite reste finie ; si, en même temps, on rapporte la masse $\mathrm {B}$ à deux axes mobiles, à savoir à un axe $\mathrm {A} \xi$ coïncidant avec $\mathrm {AC}$ et à un axe $\mathrm {A} \eta$ perpendiculaire au premier, les équations du mouvement deviendront, comme M. Hill l’a démontré,

(1)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}-2n{\frac {d\eta }{dt}}&+\left({\frac {\mu }{r^{3}}}-3n^{2}\right)\xi =0\\{\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}-2n{\frac {d\xi }{dt}}&+{\frac {\mu }{r^{3}}}\eta =0\,;\\\end{aligned}}\right.$

$n$ désigne la vitesse angulaire de $\mathrm {C.}$

Les solutions périodiques de la première sorte subsistent encore dans ce cas et ce sont celles dont M. Hill a reconnu le premier l’existence, ainsi que je l’ai dit plus haut.

Elles comportent des conjonctions et des oppositions symétriques qui ne peuvent avoir lieu que sur l’axe des $\xi .$ Mais elles comportent encore d’autres situations remarquables que l’on pourrait appeler des quadratures symétriques ; dans ces situations l’angle $\mathrm {BAC}$ est droit et la vitesse du point $\mathrm {B}$ par rapport au point $\mathrm {A}$ est perpendiculaire à $\mathrm {BA} .$

En effet, les équations comportent une symétrie telle qu’elles ne changent pas quand on change $\xi$ en $-\xi \,;$ les solutions périodiques ne doivent donc pas changer non plus quand on change $\xi$ en $-\xi \,;$ si donc on envisage la trajectoire relative du point $\mathrm {B}$ par rapport au système des axes mobiles $\mathrm {A} \xi$ et $\mathrm {A} \eta ,$ cette trajectoire est une courbe fermée (puisque la solution est périodique) qui est symétrique à la fois par rapport à $\mathrm {A} \xi$ et par rapport à $\mathrm {A} \eta .$

Si, au contraire, tout en supposant le mouvement de $\mathrm {C}$ circulaire et en prenant pour axe des $\xi$ la droite $\mathrm {AC} ,$ on n’avait pas supposé la distance $\mathrm {AC}$ infinie (si, en d’autres termes, on avait, en faisant la théorie de la Lune, tenu compte de la parallaxe du Soleil en continuant de négliger l’inclinaison des orbites et l’excentricité du Soleil), cette trajectoire relative aurait encore été une courbe fermée symétrique par rapport à l’axe des $\xi ,$ mais elle n’aurait plus été symétrique par rapport à l’axe des $\eta .$

Les équations (1) admettent une intégrale qui s’écrit

${\frac {1}{2}}\left({\frac {d\xi }{dt}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {d\eta }{dt}}\right)^{2}-{\frac {\mu }{2}}-{\frac {3}{2}}n^{2}\xi ^{2}=\mathrm {C} .$

M. Hill a étudié comment varient les solutions de la première sorte quand on fait augmenter $\mathrm {C} \,;$ il a reconnu que la trajectoire relative est une courbe fermée symétrique dont la forme rappelle grossièrement celle d’une ellipse dont le grand axe serait l’axe des $\eta .$ Quand $\mathrm {C}$ est très petite, cette sorte d’ellipse diffère très peu d’un cercle et son excentricité augmente rapidement avec $\mathrm {C} .$ Pour les grandes valeurs de $\mathrm {C} ,$ la courbe commence à différer beaucoup d’une ellipse, mais le rapport du grand axe au petit continue à croître avec $\mathrm {C} \,;$ enfin, pour une certaine valeur de $\mathrm {C} ,$ que j’appellerai $\mathrm {C} _{0},$ la courbe présente deux points de rebroussement situés sur l’axe des $\eta .$ C’est ce que M. Hill appelle l’orbite de la « Moon of maximum lunation ». Son calcul, fondé, tantôt sur l’emploi des séries, tantôt sur l’emploi des quadratures mécaniques, est beaucoup trop long pour trouver place ici ; je dirai seulement que M. Hill a construit exactement la courbe point par point pour diverses valeurs de $\mathrm {C} ,$ et en particulier pour $\mathrm {C} =\mathrm {C} _{0}.$ Il ne peut donc y avoir aucune espèce de doute au sujet de l’exactitude de ses résultats.

Il est aisé de se rendre compte de la signification de ces points de rebroussement. Je suppose qu’à un instant quelconque la vitesse relative de la masse $\mathrm {B}$ par rapport aux axes mobiles devienne nulle, de façon qu’on ait à la fois

${\frac {d\xi }{dt}}={\frac {d\eta }{dt}}=0\,;$

il est clair que la trajectoire relative présentera un point de rebroussement. C’est ce qui arrive pour la « Moon of maximum lunation » de M. Hill.

M. Hill s’exprime ensuite comme il suit :

« The Moon of the last line (c’est-à-dire the Moon of maximum lunation) is, of the class of satellites considered in this Chapter, that which, having the longest lunation, is still able to appear at all angles with the Sun and then undergo all possible phases. Whether this class of satellites is properly to be prolonged beyond this Moon, can only be decided by further employment of mechanical quadratures. But it is at least certain that the orbits, if they do exist, do not intersect the line of quadratures and that the Moons describing them would make oscillations to and for, never departing as much as 90° from the points of conjunction or of opposition. »

Ce n’est là, de la part de l’auteur, qu’une simple intuition ne reposant sur aucun calcul ou raisonnement. De simples considérations de continuité analytique me permettent d’affirmer que cette intuition l’a trompé.

On peut d’abord se demander si les solutions de la première sorte existent encore pour $\mathrm {C} >\mathrm {C} _{0},$ ou, en d’autres termes, si la classe de satellites étudiée par M. Hill peut être prolongée au delà de la Lune de lunaison maximum. Supposons, à cet effet, qu’à l’origine des temps la masse $\mathrm {B}$ (c’est-à-dire la Lune) soit en quadrature (sur l’axe des $\eta$), et que sa vitesse relative par rapport aux axes mobiles soit perpendiculaire à l’axe des $\eta .$

J’appelle $\xi _{0},\,\xi '_{0},\,\eta _{0},\,\eta '_{0}$ les valeurs initiales de $\xi ,$ ${\frac {d\xi }{dt}}=\xi ',$ $\eta$ et ${\frac {d\eta }{dt}}=\eta '.$ Dans le cas de la Lune de lunaison maximum de M. Hill, on a

$\xi _{0}=\xi '_{0}=\eta '_{0}=0,$

et j’appelle $\eta _{0}^{0}$ la valeur correspondante de $\eta _{0}.$

Au bout d’un temps $\mathrm {T} ,$ égal au quart d’une période, cette Lune se trouvera en conjonction symétrique, et l’on aura

$\eta =0,\quad \xi '=0.$

Considérons maintenant une autre solution particulière de nos équations différentielles, et soient

$0,\quad \xi '_{0},\quad \eta _{0},\quad 0$

les valeurs initiales de

$\xi ,\quad \xi ',\quad \eta ,\quad \eta ',$

de telle façon qu’à l’origine des temps on soit en quadrature symétrique.

Considérons les valeurs de $\eta$ et de $\xi '$ au bout du temps $\mathrm {T} +\tau \,;$ et soient

${\begin{aligned}\eta &=f_{1}(\mathrm {T} +\tau ,\,\xi '_{0},\,\eta _{0}),\\\xi '&=f_{2}(\mathrm {T} +\tau ,\,\xi '_{0},\,\eta _{0}).\\\end{aligned}}$

$f_{1}$ et $f_{2}$ seront développables suivant les puissances de $\tau ,$ de $\xi '_{0}$ et de $\eta _{0}-\eta _{0}^{0},$ et s’annuleront pour

$\tau =\xi '_{0}=0,\quad \eta _{0}=\eta _{0}^{0}.$

Si l’on a

(2)

$f_{1}=f_{2}=0,$

on sera, au bout du temps $\mathrm {T} +\tau ,$ en conjonction symétrique, et la solution sera périodique de période $4\mathrm {T} +4\tau .$

On peut tirer des équations (2) $\tau$ et $\eta _{0}$ en fonctions de $\xi '_{0},$ et $\tau$ et $\eta _{0}$ seront développables suivant les puissances de $\xi _{0}.$

Il n’y aurait d’exception en vertu du n^o 30 que si le déterminant fonctionnel de $f_{1}$ et $f_{2}$ par rapport à $\tau$ et $\eta _{0}$ s’annulait précisément pour

$\tau =\xi '_{0}=0,\quad \eta _{0}=\eta _{0}^{0}.$

Il est extrêmement invraisemblable qu’il en soit ainsi ; quelques doutes pourraient cependant encore subsister, si les quadratures mécaniques de M. Hill ne prouvaient nettement le contraire. Voici, en effet, comment M. Hill a procédé pour déterminer $\eta _{0}^{0}\,;$ il a calculé, pour différentes valeurs de $\mathrm {T}$ et de $\eta _{0},$ les fonctions

$f_{1}(\mathrm {T} ,0,\eta _{0}),\quad f_{2}(\mathrm {T} ,0,\eta _{0}),$

et il a déterminé ensuite par interpolation les valeurs de $\mathrm {T}$ et de $\eta _{0},$ pour lesquelles ces deux fonctions s’annulent. Si le déterminant fonctionnel de $f_{1}$ et de $f_{2}$ s’annulait précisément pour ces valeurs, l’interpolation serait devenue impossible par les procédés ordinaires. Nous devons donc conclure que la classe de satellites découverte par M. Hill peut être prolongée au delà de la Lune de lunaison maximum.

Que devient donc, au delà de cette Lune, la forme de l’orbite ? Les valeurs de $\xi$ et de $\eta$ dépendent du temps $t$ et du paramètre $\xi '_{0},$ puisque l’autre valeur initiale $\eta _{0}$ est donnée en fonction de $\xi '_{0}$ par les équations (2).

Si $\xi '_{0}$ et $t$ sont assez petits, $\xi$ et $\eta$ sont développables suivant les puissances de ces deux variables. De plus, par raison de symétrie, $\xi$ ne contiendra que des puissances impaires de $t,$ et $\eta$ ne contiendra que des puissances paires de $t.$ Nous aurons donc

$\xi =\xi '_{0}t+{\frac {\xi _{0}'''}{6}}t^{3}+{\frac {\xi _{0}^{\mathrm {V} }}{120}}t^{5}+\dots ,$

$\xi _{0}^{(n)}$ étant la valeur initiale de la dérivée $n$^ième de $\xi .$

Si $\xi '_{0}$ et $t$ sont assez petits, je puis, sans erreur sensible, réduire $\xi$ à ses deux premiers termes ; de plus, $\xi '''_{0}$ est développable suivant les puissances croissantes de $\xi '_{0}\,;$ mais, comme $\xi '_{0}$ est très petit, je puis réduire $\xi _{0}'''$ à la valeur que prend cette quantité pour $\xi '_{0}=0.$ Or, pour $\xi '_{0}=0,$ on a

$\xi _{0}'''={\frac {-2\mu \,n}{\left(\eta _{0}^{0}\right)^{2}}}\,;$

il vient donc

(3)

$\xi =\xi '_{0}t-{\frac {\mu \,n}{3\left(\eta _{0}^{0}\right)^{2}}}t^{3}.$

Pour les Lunes considérées par M. Hill et dont la lunaison est moindre que celle de la Lune de lunaison maximum, $\xi '_{0}$ est négatif, les deux termes du second membre de (3) sont de même signe, et $\xi$ ne peut s’annuler pour des valeurs très petites de $t,$ si ce n’est pour $t=0.$

Au contraire, pour les satellites nouveaux dont il s’agit et que l’on rencontre après la Lune de lunaison maximum, $\xi '_{0}$ est positif et $\xi$ s’annule pour

$t=0,\quad t=\pm \eta _{0}^{0}{\sqrt {\frac {3\xi '_{0}}{\mu \,n}}}\cdot$

Il y a donc trois valeurs de $t$ très petites pour lesquelles $\xi$ s’annule, c’est-à-dire trois quadratures à des époques très rapprochées.

La trajectoire relative pour $\mathrm {C} >\mathrm {C} _{0}$ présente donc la forme représentée par la figure ci-contre.

Fig. 1.

Dans le cours d’une période, la masse $\mathrm {B}$ se trouve six fois en quadrature, car sa trajectoire relative coupe l’axe des $\eta$ en deux points doubles et en deux points simples.

Ainsi M. Hill se trompe en supposant que cette sorte de satellites ne seraient jamais en quadrature ; il y aurait, au contraire, trois quadratures entre deux syzygies consécutives.

Ce n’est pas qu’il n’existe des solutions périodiques pour lesquelles la masse $\mathrm {B}$ ne peut jamais être en quadrature : nous les étudierons plus loin, au n^o 52 ; mais ces solutions ne sont pas la continuation analytique de celles dont M. Hill a fait si magistralement l’étude dans l’American Journal.

Les mêmes résultats sont encore vrais quand on ne néglige pas la parallaxe du Soleil, sauf que la symétrie par rapport à l’axe des $\eta$ disparaît.

Application au problème général de la Dynamique.

42. Nous allons maintenant, avant d’aborder l’étude des solutions périodiques de la deuxième et de la troisième sorte, étudier d’une façon plus générale les solutions périodiques des équations de la Dynamique.

Reprenons les équations du n^o 13,

(1)

${\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}},&{\frac {dy_{i}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}},\end{aligned}}$

et les hypothèses de ce numéro. La fonction $\mathrm {F}$ est développée suivant les puissances d’un paramètre très petit $\mu ,$ de sorte que

$\mathrm {F} =\mathrm {F} _{0}+\mu \mathrm {F} _{1}+\mu ^{2}\mathrm {F} _{2}+\dots \,;$

$\mathrm {F}$ est fonction périodique des $y,$ $\mathrm {F} _{0}$ est fonction des $x$ seulement. Je supposerai, pour fixer les idées, qu’il n’y a que 3 degrés de liberté. Il est aisé d’intégrer ces équations quand $\mu =0$ et que $\mathrm {F} =\mathrm {F} _{0}.$

En effet, $\mathrm {F} _{0}$ ne dépendant pas des $y,$ ces équations se réduisent à

${\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{dt}}&=0,&{\frac {dy_{i}}{dt}}=-{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}}}=n_{i}.\end{aligned}}$

Les $x_{i}$ et par conséquent les $n_{i}$ sont donc des constantes.

Ainsi, les équations (1) admettent pour solution, quand $\mu =0,$

${\begin{aligned}x_{1}&=a_{1},&x_{2}&=a_{2},&x_{3}&=a_{3},\\y_{1}&=n_{1}t+\varpi _{1},&y_{2}&=n_{2}t+\varpi _{2},&y_{3}&=n_{3}t+\varpi _{3},\end{aligned}}$

les $a$ et les $\varpi$ étant des constantes d’intégration, et les $n$ des fonctions des $a.$

Il est clair que, si

$n_{1}\mathrm {T} ,\quad n_{2}\mathrm {T} ,\quad n_{3}\mathrm {T}$

sont multiples de $2\pi ,$ cette solution est périodique de période $\mathrm {T} .$

Supposons maintenant que $\mu$ cesse d’être nul, et imaginons que, dans une certaine solution, les valeurs des $x$ et des $y$ pour $t=0$ soient respectivement

${\begin{alignedat}{6}x_{1}&=a_{1}&{}+{}&\beta _{1},&x_{2}&=a_{2}&{}+{}&\beta _{2},&x_{3}&=a_{3}&{}+{}&\beta _{3},\\y_{1}&=\varpi _{1}&{}+{}&\beta _{4},\quad &y_{2}&=\varpi _{2}&{}+{}&\beta _{5},\quad &y_{3}&=\varpi _{3}&{}+{}&\beta _{6}.\end{alignedat}}$

Supposons que, dans cette même solution, les valeurs des $x$ et des $y$ pour $t=\mathrm {T}$ soient

${\begin{alignedat}{6}x_{1}&=a_{1}&{}+{}&\beta _{1}&{}+{}&\psi _{1},\\x_{2}&=a_{2}&{}+{}&\beta _{2}&{}+{}&\psi _{2},\\x_{3}&=a_{3}&{}+{}&\beta _{3}&{}+{}&\psi _{1},\\y_{1}&=\varpi _{1}&{}+{}&n_{1}\mathrm {T} &{}+{}&\beta _{4}+\psi _{4},\\y_{2}&=\varpi _{2}&{}+{}&n_{2}\mathrm {T} &{}+{}&\beta _{5}+\psi _{5},\\y_{3}&=\varpi _{3}&{}+{}&n_{3}\mathrm {T} &{}+{}&\beta _{6}+\psi _{6}.\end{alignedat}}$

La condition pour que cette solution soit périodique de période $\mathrm {T} ,$ c’est que l’on ait

(12)

$\psi _{1}=\psi _{2}=\psi _{3}=\psi _{4}=\psi _{5}=\psi _{6}=0.$

Les six équations (12) ne sont pas distinctes. En effet, comme $\mathrm {F} =\mathrm {const.}$ est une intégrale des équations (1), et que d’ailleurs $\mathrm {F}$ est périodique par rapport aux $y,$ on a