CHAPITRE III.
SOLUTIONS PÉRIODIQUES.
36.Soit
(1)
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un système d’équations différentielles, où les sont des fonctions
uniformes données de
Soit maintenant
(2)
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une solution particulière de ce système. Imaginons qu’à l’époque
les variables reprennent leurs valeurs initiales, de telle façon
que l’on ait
Il est clair qu’à cette époque on se retrouvera identiquement
dans les mêmes conditions qu’à l’époque 0 et, par conséquent,
qu’on aura, quel que soit
En d’autres termes, les fonctions seront des fonctions périodiques
de
On dit alors que la solution (2) est une solution périodique
des équations (1).
Supposons maintenant que les fonctions dépendent non seulement
des mais du temps J’imagine, de plus, que les
soient des fonctions périodiques de et que la période soit égale
à Alors, si les fonctions sont telles que
on pourra encore en conclure que
et la solution (2) sera encore périodique.
Voici un autre cas un peu plus compliqué. Supposons de nouveau
que les fonctions ne dépendent plus que des mais
qu’elles soient des fonctions périodiques des premières à savoir
de de telle sorte que les ne changent pas
quand on change en ou bien en …,
ou bien en
Imaginons maintenant que l’on ait
étant des entiers.
À l’époque les premières variables auront augmenté d’un
multiple de les dernières n’auront pas changé ; les
n’auront donc pas changé, et l’on se retrouvera dans les mêmes
conditions qu’à l’époque 0. On aura donc
Nous conviendrons encore de dire que la solution (2) est une
solution périodique.
Enfin il peut arriver qu’un changement convenable de variables
fasse apparaître des solutions périodiques qu’on ne rencontrait pas
avec les variables anciennes.
Reprenons, par exemple, les équations (2) du no 2
Il s’agit, on se le rappelle, du mouvement d’un point rapporté à
deux axes mobiles Oξ et Oη et soumis à une force dont les composantes
suivant ces deux axes sont et
Dans beaucoup d’applications, ne dépend que de et de et les équations admettent des solutions particulières telles, que
et soient des fonctions périodiques de la période étant
égale à
Si l’on avait rapporté le point à des axes fixes et on
aurait eu
et et n’auraient pas été des fonctions périodiques de à moins
que ne soit commensurable avec
On fait donc apparaître une solution périodique en passant des
axes fixes aux axes mobiles.
Le problème que nous allons traiter ici est le suivant :
Supposons que, dans les équations (1), les fonctions dépendent
d’un certain paramètre supposons que dans le cas de
on ait pu intégrer les équations, et qu’on ait reconnu ainsi
l’existence d’un certain nombre de solutions périodiques. Dans
quelles conditions aura-t-on le droit d’en conclure que les équations
comportent encore des solutions périodiques pour les petites
valeurs de ?
Prenons pour exemple le Problème des trois corps : nous sommes
convenus plus haut (no 11) d’appeler et les masses des
deux plus petits corps, étant très petit, et finis. Pour
le problème est intégrable, chacun des deux petits corps décrivant
autour du troisième une ellipse képlérienne ; il est aisé de voir alors
qu’il existe une infinité de solutions périodiques. Nous verrons
plus loin qu’il est permis d’en conclure que le Problème des trois
corps comporte encore une infinité de solutions périodiques, pourvu
que soit suffisamment petit.
Il semble d’abord que ce fait ne puisse être d’aucun intérêt pour
la pratique. En effet, il y a une probabilité nulle pour que les
conditions initiales du mouvement soient précisément celles qui
correspondent à une solution périodique. Mais il peut arriver
qu’elles en diffèrent très peu, et cela a lieu justement dans les cas
où les méthodes anciennes ne sont plus applicables. On peut alors
avec avantage prendre la solution périodique comme première approximation,
comme orbite intermédiaire, pour employer le langage
de M. Gyldén.
Il y a même plus : voici un fait que je n’ai pu démontrer rigoureusement,
mais qui me parait pourtant très vraisemblable.
Étant données des équations de la forme définie dans le no 13
et une solution particulière quelconque de ces équations, on peut
toujours trouver une solution périodique (dont la période peut, il
est vrai, être très longue), telle que la différence entre les deux solutions
soit aussi petite qu’on le veut, pendant un temps aussi
long qu’on le veut. D’ailleurs, ce qui nous rend ces solutions
périodiques si précieuses, c’est qu’elles sont, pour ainsi dire, la
seule brèche par où nous puissions essayer de pénétrer dans une
place jusqu’ici réputée inabordable.
37.Reprenons les équations
(1)
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en supposant que les soient des fonctions des inconnues
du temps et d’un paramètre arbitraire
Supposons, de plus, que ces fonctions soient périodiques par
rapport à et que la période soit
Imaginons que, pour ces équations admettent une solution
périodique de période
de telle sorte que
Cherchons si les équations (1) admettront encore une solution
périodique de période quand ne sera plus nul, mais très petit.
Considérons maintenant une solution quelconque.
Soit la valeur de pour
soit
la valeur de pour
Les seront, d’après le théorème du no 27, des fonctions
holomorphes de et des et ces fonctions s’annuleront pour
Pour écrire que la solution est périodique, il faut écrire les
équations
(1)
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Si le déterminant fonctionnel ou jacobien des par rapport aux
n’est pas nul pour le théorème du no 30 nous apprend
que l’on peut résoudre ces équations par rapport aux et
que l’on trouve
étant développable suivant les puissances de et s’annulant
avec
On doit en conclure que, pour les valeurs de suffisamment
petites, les équations différentielles admettent encore une solution
périodique.
Cela est vrai si le jacobien des n’est pas nul ou, en d’autres
termes, si pour les équations (1) admettent le système
comme solution simple.
Qu’arrivera-t-il maintenant si cette solution est multiple ?
Supposons qu’elle soit multiple d’ordre Soient le nombre
des solutions du système (1) pour les petites valeurs positives de
et le nombre des solutions de ce même système pour les
petites valeurs négatives de j’entends parler des solutions qui
sont telles, que tendent vers 0 avec
D’après ce que nous avons vu aux nos 32 et 33, les trois nombres
et sont de même parité. Si donc est impair, on
sera assuré qu’il existe encore des solutions périodiques pour les
petites valeurs de tant positives que négatives.
Si n’est pas égal à la différence ne peut être qu’un
nombre pair ; il peut donc arriver que, quand on fait croître d’une
façon continue, un certain nombre de solutions périodiques disparaissent
au moment où change de signe (ou plus généralement,
puisque rien ne distingue la valeur des autres valeurs
de au moment où passera par une valeur quelconque ) ;
mais ce nombre doit toujours être pair.
Une solution périodique ne peut donc disparaître qu’après s’être
confondue avec une autre solution périodique.
En d’autres termes, les solutions périodiques disparaissent
par couples à la façon des racines réelles des équations algébriques.
D’après le no 33, on peut éliminer entre les équations (1), les variables
et obtenir une équation unique
(2)
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dont le premier membre est holomorphe en et et s’annule
avec ces variables.
Si l’on regarde un instant et comme les coordonnées d’un
point dans un plan, cette équation représente une courbe passant
par l’origine ; à chacun des points de cette courbe correspond une
solution périodique.
On pourra donc se rendre compte de toutes les circonstances
qui peuvent se présenter en étudiant la forme de cette courbe dans
le voisinage de l’origine.
Un cas particulier intéressant est celui où, pour les
équations différentielles admettent une infinité de solutions périodiques.
Soit
un système de solutions périodiques, contenant une constante
arbitraire Quelle que soit cette constante, les fonctions sont
périodiques de période par rapport à et elles satisfont aux
équations différentielles quand on les y substitue à la place des
et qu’on fait
Dans ce cas, pour les équations (1) ne sont plus distinctes,
et l’équation (2) doit se réduire à une identité.
Alors la fonction doit contenir en facteur et se réduire à
de telle façon que la courbe (2) se décompose en une droite
et une autre courbe
À chaque point de cette courbe correspond une solution
périodique, de sorte que l’étude de cette courbe nous fera
connaître les diverses circonstances qui pourront se présenter.
Mais cette courbe ne passe pas toujours par l’origine.
Nous devons donc avant tout disposer de la constante arbitraire
de façon que cette courbe passe par l’origine.
Un autre cas particulier qui me semble digne d’intérêt est le suivant : Supposons qu’on ait reconnu par un moyen quelconque que
la courbe présente une branche B passant par l’origine. À
chacun des points de cette branche correspondra une solution périodique.
Imaginons de plus que l’on sache d’une manière quelconque
que la branche B n’est pas tangente à la droite
supposons enfin que le déterminant fonctionnel des par rapport aux
soit nul. On en conclura que
et, comme la branche B par hypothèse n’est pas tangente à la droite
on devra avoir
Cela montre que la courbe présente à l’origine un point
multiple ; par conséquent une ou plusieurs branches de courbe
autres que B vont passer par l’origine.
Sauf des cas exceptionnels sur lesquels nous aurons à revenir plus tard, une au moins
de ces branches est réelle.
Il existera donc, en dehors des solutions périodiques correspondant
à la branche B, un autre système de solutions périodiques, et
les solutions des deux systèmes se confondront en une seule pour
Voici une circonstance où ce cas se présentera.
Nous avons appelé plus haut
la valeur de pour et
la valeur de pour
Appelons de même
la valeur de pour étant entier.
Je suppose que, pour le déterminant
fonctionnel des par rapport aux que j’appelle ne
s’annule pas, tandis que le déterminant fonctionnel des par rapport
aux que j’appelle s’annule.
De ce que ne s’annule pas, on peut conclure qu’il existe une
solution périodique, de période qui se réduit à
pour Si nous construisons la courbe
correspondant aux solutions périodiques ainsi définies, cette courbe
passera par l’origine, et sa tangente ne sera pas la droite
puisque n’est pas nul.
Mais une solution de période peut aussi être regardée également
comme une solution périodique de période
Cherchons donc les solutions périodiques de période Pour
cela, nous aurons à résoudre les équations
En éliminant entre ces équations
nous obtiendrons une équation unique
qui, d’après nos conventions, représentera une courbe passant par l’origine.
Nous devons retrouver nos solutions de période donc la
courbe sera une des branches de la courbe (
sera don divisible par ), et cette branche ne touchera pas la droite
De plus, comme est nul, on aura
Donc l’origine est un point multiple de la courbe Il existe
donc des solutions de période distinctes de la solution de période
et se confondant avec elle pour
Il y a quelques cas d’exception sur lesquels nous reviendrons dans la suite.
J’ai encore à parler du cas où les équations (1) du no 36 admettent une intégrale
dont le premier membre (que j’écrirai, pour abréger, )
est fonction périodique de de période
Je dis que dans ce cas les équations
(1)
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ne seront pas distinctes en général.
En effet, on aura identiquement
(2)
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Considérons donc l’équation
(3)
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Le premier membre est développable suivant les puissances des
des et de de plus il s’annule
quand les s’annulent.
Supposons que l’on n’ait pas
pour
La dérivée du premier membre de (3) par rapport à ne s’annulera pas pour
Donc, en vertu du théorème du no 30, nous pourrons tirer de l’équation (3)
étant une série développée suivant les puissances de
et et s’annulant quand on a à la fois
La ième des équations (1) est donc une conséquence des premières.
Si l’on avait
pour ce serait la première des équations (1) qui serait
une conséquence des dernières.
Dans tous les cas les équations (1) ne seraient pas distinctes.
Il n’y aurait d’exception que si l’on avait à la fois
pour
On supprimera donc l’une des équations (1), par exemple
et l’on résoudra par rapport aux le système
auquel on adjoindra une ième équation choisie arbitrairement, par exemple
( étant une constante donnée).
Pour chaque valeur de il y a donc une infinité de solutions périodiques
de période si toutefois on regarde la constante (à
laquelle est égalée ) comme une donnée de la question il n’y en a
plus qu’une en général.
Si, au lieu d’une intégrale uniforme, nous en avions deux
les deux dernières équations (1) seraient une conséquence des
premières, pourvu que le jacobien
ne soit pas nul pour
On pourrait alors supprimer ces deux dernières équations
et les remplacer par deux autres équations choisies arbitrairement.
Cas où le temps n’entre pas explicitement dans les équations.
38.Dans ce qui précède, nous avons supposé que les fonctions
qui entrent dans les équations différentielles (1),
dépendent du temps Les résultats seraient modifiés si le temps
n’entre pas dans ces équations.
Il y a d’abord entre les deux cas une différence qu’il est impossible
de ne pas apercevoir. Nous avions supposé dans ce qui précède
que les étaient des fonctions périodiques du temps et que
la période était il en résultait que, si les équations admettaient
une solution périodique, la période de cette solution devait être
égale à ou à un multiple de Si, au contraire, les sont
indépendants de la période d’une solution périodique peut être
quelconque.
En second lieu, si les équations (1) admettent une solution périodique
(et si les ne dépendent pas de ), elles en admettent
une infinité.
Si, en effet,
est une solution périodique des équations (1), il en sera de même,
quelle que soit la constante de
Ainsi le cas sur lequel nous nous sommes étendus d’abord et dans
lequel, pour les équations (1) admettent une solution périodique
et une seule, ne peut se présenter si les ne dépendent pas
de
Plaçons-nous donc dans le cas où le temps n’entre pas explicitement
dans les équations (1) et supposons que pour ces
équations admettent une solution périodique de période
(4)
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Soit la valeur de pour soit
la valeur de pour
Les seront des fonctions holomorphes de de
et de s’annulant avec ces variables.
Nous avons donc à résoudre par rapport aux inconnues
les
équations
(5)
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Nous avons une inconnue de trop ; nous pouvons donc poser arbitrairement,
par exemple,
Nous tirerons ensuite des équations (5), et en
fonctions holomorphes de s’annulant avec Cela est possible, à
moins que le déterminant
ne soit nul pour
Si ce déterminant était nul, au lieu de poser arbitrairement
on poserait, par exemple, et la méthode ne serait en
défaut que si tous les déterminants contenus dans la matrice
étaient nuls à la fois. (Il est à remarquer que le déterminant obtenu
en supprimant la dernière colonne de cette matrice est toujours
nul pour )
Comme en général tous ces déterminants ne seront pas nuls à la
fois, les équations (1) admettront, pour les petites valeurs de une
solution périodique de période
Appelons
les déterminants contenus dans cette matrice ; sera le déterminant
obtenu en y supprimant la ième colonne.
La solution périodique, qui nous a servi de point de départ et
qui appartient aux équations (1) pour s’écrivait, on se le rappelle,
Je désigne par la dérivée de cette fonction
et voici ce que je me propose de démontrer :
Si n’est pas nul, le déterminant ne peut s’annuler sans
que tous les déterminants
s’annulent à la fois.
En effet, supposons que tous ces déterminants ne soient pas
nuls à la fois et que soit nul, je dis que sera nul.
Les équations différentielles ne contenant pas le temps explicitement,
admettront encore pour la solution périodique
quelle que soit la constante
Si donc on fait
les s’annuleront, quelle que soit
Cela aura lieu encore si est infiniment petit, ce qui donne les relations
(6)
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Ces relations (6) montrent d’abord que est nul.
De plus, il ne pourra pas y avoir entre les quantités
d’autres relations linéaires de la même forme, c’est-à-dire de la forme
(2)
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Sans cela, en effet, tous les déterminants s’annuleraient à la fois.
Nous avons supposé que est nul. Or ce déterminant n’est
autre chose que le déterminant fonctionnel de
et par rapport à et
Dire que ce déterminant est nul,
c’est donc dire que l’on a entre les dérivées des des relations de
la forme (2) et que l’on a de plus
c’est-à-dire
Or il ne peut y avoir d’autres relations de la forme (2) que
les relations (1). On a donc
et, par conséquent,
Si donc n’est pas nul (et l’on peut toujours le supposer ;
car, s’il n’en était pas ainsi, un changement de variables approprié
suffirait pour nous ramener à ce cas), il est inutile d’envisager tous
les déterminants la considération de suffit.
Si n’est pas nul, on résoudra par rapport aux les équations
(3)
|
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Il semble d’abord que l’introduction arbitraire de l’équation
diminue la généralité et qu’on ne peut trouver ainsi que les
solutions périodiques, qui sont telles que soit nul pour
Mais on trouvera les autres en changeant en étant une
constante quelconque.
Si, au contraire, est nul, on éliminera et entre les équations (3), et l’on obtiendra une équation unique
analogue à l’équation de même forme du numéro précédent.
Cette équation pourra être regardée comme représentant une
courbe passant par l’origine, et l’étude de cette courbe fera connaître
toutes les circonstances qui pourront se présenter.
Nous rencontrerons d’ailleurs absolument les mêmes particularités
que dans le numéro précédent.
Par exemple, les solutions périodiques, quand on fera varier
d’une manière continue, ne pourront disparaître que par couples,
à la façon des racines des équations algébriques.
Il pourra aussi arriver que, si l’on fait et il existe
une infinité de solutions périodiques. Alors est divisible par
et l’on peut écrire
de telle façon que la courbe se décompose en deux, la droite
et la courbe On aura, dans ce cas, avantage à
remplacer l’équation
par l’équation
Il arrivera même que quelques-unes des fonctions soient
divisibles par de telle façon que, par exemple,
étant des fonctions holomorphes de
des et de
On aura alors avantage à remplacer les équations (3) par les suivantes :
Nous en verrons des exemples dans la suite.
Si l’on suppose qu’il existe une intégrale
les équations (3) ne sont plus distinctes et on les remplacera avec avantage par les suivantes
où
pendant que est une constante quelconque.
On pourra aussi remplacer les équations (3) par les suivantes :
d’où cette conséquence importante : dans le cas général, il n’y a
pas, pour les petites valeurs de de solution périodique ayant
même période que pour au contraire, s’il existe une
intégrale on pourra trouver, pourvu que soit assez petit,
une solution périodique ayant précisément pour période
En effet, si l’on n’a pas
pour
les équations
entraînent
Voici une autre circonstance que nous avons rencontrée dans le
numéro précédent et que nous retrouverons ici.
Soient la valeur de pour
la valeur de pour et la valeur
de pour étant un entier.
Imaginons que le déterminant fonctionnel des par rapport à
ne soit pas nul, mais que le déterminant
fonctionnel des soit nul.
Éliminons et entre les équations
nous obtiendrons l’équation unique
que nous regarderons comme représentant une courbe ; cette courbe a un point simple à l’origine.
Éliminons maintenant et entre les équations
il viendra
On verrait, comme au numéro précédent, que est divisible
par La courbe peut donc être regardée comme une des
branches de la courbe comme le déterminant fonctionnel
des est nul, on doit avoir
Donc, ou bien la courbe a plusieurs branches passant
par l’origine, ou bien la tangente doit être la droite
Mais nous connaissons déjà l’une des branches de la courbe
savoir et nous savons que la tangente à cette
branche n’est pas la droite Donc la courbe a d’autres
branches passant par l’origine.
Ce qui veut dire que les équations différentielles admettent des
solutions périodiques dont la période est peu différente de qui
sont distinctes des solutions périodiques de période pour les
petites valeurs de mais qui se confondent avec elles pour
Application au Problème des trois corps.
39. Le Problème des trois corps admet-il des solutions périodiques ?
Reprenons les notations du no 11 et désignons les trois masses
par et Si l’on fait c’est-à-dire si les deux
petites masses sont regardées comme nulles, la grande masse sera
fixe et chacune des deux petites décrira autour de la grande une
ellipse képlérienne.
il est clair alors que, si les moyens mouvements de ces deux
petites masses sont commensurables entre eux, au bout d’un certain
temps, tout le système se retrouvera dans sa situation initiale
et, par conséquent, la solution sera périodique.
Ce n’est pas tout : au lieu de rapporter les trois masses à des
axes fixes (ou à des axes mobiles qui restent constamment parallèles
aux axes fixes, comme dans le no 11), on peut les rapporter
à des axes mobiles animés d’un mouvement de rotation uniforme.
Il peut se faire alors que les coordonnées des trois masses, par
rapport aux axes fixes, ne soient pas des fonctions périodiques du
temps, tandis que les coordonnées par rapport aux axes mobiles
seront, au contraire, des fonctions périodiques du temps (cf. no 36.)
Supposons maintenant que les deux petites masses décriront
des ellipses képlériennes ; supposons que ces deux ellipses
soient dans un même plan, dans le plan des par exemple, et
que leur excentricité soit nulle. Le mouvement des deux petites
masses sera alors circulaire et uniforme ; soient et les moyens
mouvements de ces deux masses ().
Supposons que l’origine du temps ait été choisie au moment
d’une conjonction de telle sorte que la longitude initiale des deux
masses soit nulle.
Au bout du temps ces longitudes seront devenues respectivement
et leur différence sera égale à
Les deux masses se retrouvant en conjonction, les trois corps
seront de nouveau dans la même situation relative. Tout le système
aura seulement tourné d’un angle égal à
Si donc l’on rapporte le système à des axes mobiles tournant
d’un mouvement uniforme avec une vitesse angulaire égale à
les coordonnées des trois corps par rapport à ces axes mobiles
seront des fonctions périodiques du temps de période
À ce point de vue, et d’après ce que nous avons dit à la fin du
no 36, cette solution pourra encore être regardée comme périodique.
Ainsi dans le cas-limite où le problème des trois corps
admet des solutions périodiques. Avons-nous le droit d’en conclure
qu’il en admettra encore pour les petites valeurs de ? C’est
ce que les principes des nos 37 et 38 vont nous permettre de
décider.
La première solution périodique qui ait été signalée pour le cas
où est celle qu’a découverte Lagrange et où les trois corps
décrivent des ellipses képlériennes semblables, pendant que leurs distances mutuelles restent dans un rapport constant (Cf. Laplace,
Mécanique céleste, Livre X, Chapitre VI). Ce cas est trop
bien étudié pour que nous ayons à y revenir.
M. Hill, dans ses très remarquables recherches sur la théorie
de la Lune (American Journal of Mathematics, T. I), en a
étudié une autre, dont l’importance est beaucoup plus grande au
point de vue pratique.
J’ai repris la question dans le Bulletin astronomique (T. I,
p. 65) et j’ai été conduit à distinguer trois sortes de solutions
périodiques : pour celles de la première sorte, les inclinaisons
sont nulles et les excentricités très petites ; pour celles de la
deuxième sorte, les inclinaisons sont nulles et les excentricités
finies ; enfin, pour celles de la troisième sorte, les inclinaisons ne
sont plus nulles.
Pour les unes comme pour les autres, les distances mutuelles
des trois Corps sont des fonctions périodiques du temps ; au bout
d’une période, les trois Corps se retrouvent donc dans la même
situation relative, tout le système ayant seulement tourné d’un
certain angle. Il faut donc, pour que les coordonnées des trois
Corps soient des fonctions périodiques du temps, qu’on les rapporte
à un système d’axes mobiles animés d’un mouvement de
rotation uniforme.
La vitesse de ce mouvement de rotation est finie pour les solutions
de la première sorte et très petite pour celles des deux dernières
sortes.
Solutions de la première sorte.
40. Je vais reproduire ici ce que j’ai exposé au sujet de ces
trois sortes de solutions. Je commencerai par celles de la première
sorte, qui contiennent, comme cas particulier, celle de M. Hill.
Reprenons les notations du no 11. Soient A, B, C les trois
masses, que je supposerai rester constamment dans un même plan.
Soit D le centre de gravité de A et de B. Soient et les
coordonnées de B par rapport à des axes parallèles aux axes fixes
ayant leur origine en A ; soient et les coordonnées de C par
rapport à des axes parallèles aux axes fixes et ayant leur origine
en D.
Adoptons les variables du no 12, c’est-à-dire les variables
Ici, le mouvement se passant dans un plan, on aura
Les distances mutuelles des trois Corps et les dérivées de ces
distances par rapport au temps sont des fonctions de
(1)
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|
|
et de
Pour que la solution soit périodique, il faut donc qu’au bout
d’une période les variables (1) reprennent leurs valeurs primitives
et que augmente d’un multiple de dans l’espèce,
augmentera de
Si l’on fait le mouvement est képlérien ; supposons, de
plus, que les valeurs initiales de
soient nulles ; alors le mouvement sera circulaire et uniforme.
Si les valeurs initiales et de et
sont choisies de telle sorte que les moyens mouvements soient et la solution
sera périodique de période
Ne supposons plus maintenant que soit nul, et considérons
une solution quelconque ; nous pourrons choisir l’origine du temps
au moment d’une conjonction et prendre pour origine des longitudes
la longitude de cette conjonction.
Les valeurs initiales de et de seront nulles.
Soient les valeurs initiales de
et de
Soient les valeurs initiales de
et
Ce seront aussi les valeurs initiales des quatre dernières variables (1).
Soit maintenant la valeur de au bout de la période
Soit, au bout de cette même période,
les valeurs de et et
les valeurs des quatre dernières variables (1).
Pour que la solution soit périodique, il faut que
Ces équations ne sont pas distinctes ; les équations différentielles
du mouvement admettent en effet deux intégrales : celle
des forces vives et celle des aires. Le jacobien de ces deux intégrales
par rapport à et n’est pas nul pour
Les équations sont donc une conséquence des
cinq autres.
Nous avons donc à résoudre le système
(2)
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|
|
auquel nous adjoindrons l’équation des forces vives où nous
regarderons la constante comme une donnée de la question.
Il faut donc que nous considérions le déterminant fonctionnel
des premiers membres de ces six équations par rapport aux six variables
et que nous démontrions que ce déterminant ne s’annule pas pour
Or, pour on a
et étant des constantes dépendant des masses,
où
et désignent donc les valeurs des deux longitudes à la fin de
la période, de telle façon que
On voit ainsi que, pour et dépendent seulement de
et et de
et et de
et
Notre déterminant fonctionnel est donc le produit de trois autres :
1o Celui de et par rapport à et
2o Celui de et par rapport à et
3o Celui de et par rapport à et
Le premier de ces trois déterminants ne s’annule que pour
cela n’a d’ailleurs pas d’importance, parce
que, s’il s’annule, au lieu d’adjoindre au système (2) l’équation des
forces vives, on y adjoindra toute autre équation arbitrairement
choisie entre et quoi qu’il en soit, le cas de
présentant des difficultés de diverse nature et n’ayant pas d’importance
au point de vue des applications, nous le laisserons de côté.
2o Le second déterminant se réduit à
Il ne peut donc s’annuler que si est multiple de
Pour
on a
Notre déterminant ne s’annulera donc que si est multiple
de
3o De même le troisième déterminant ne s’annulera que si
et par conséquent est multiple de
En conséquence :
Pour toutes les valeurs de la constante des forces vives qui est égaie à
et pour les petites valeurs de le problème des trois Corps admettra
une solution périodique de la première sorte dont la période sera
Il n’y aura d’exception que si est multiple de ou si
Il y a une quadruple infinité de solutions périodiques de la
première sorte ; nous pouvons en effet, si est assez petit, choisir
arbitrairement :
1o La période
2o La constante
3o Le moment de la conjonction, que nous avions pris dans le
calcul précédent pour origine du temps ;
4o La longitude de la conjonction, que nous avions prise pour
origine des longitudes, de sorte que nous avons, pour chaque
valeur de solutions périodiques.
On peut retrouver ces solutions de la manière suivante :
Supposons qu’à l’origine des temps on ait
les trois Corps seront en conjonction et leurs vitesses seront perpendiculaires
à la droite qui les joint ; cette droite sera d’ailleurs
l’axe qui se confondra à cet instant avec l’axe
Il résulte immédiatement de cette symétrie de la position des trois corps à
l’instant 0 les conséquences suivantes :
Les valeurs des rayons vecteurs, à l’instant et à l’instant
seront les mêmes ; les valeurs des longitudes à l’instant et à
l’instant seront égales et de signe contraire.
Nous dirons alors qu’à l’époque 0 les trois corps se trouvent
en conjonction symétrique.
Nous avons supposé qu’il y a conjonction symétrique au temps 0
et qu’à ce moment la longitude commune des trois corps est
nulle ; nous avons ainsi déterminé quatre des éléments osculateurs
et
il nous en reste encore quatre qui sont arbitraires, à
savoir, et
Nous en disposerons de façon qu’à l’instant
il y ait de nouveau conjonction symétrique et que la longitude commune des trois Corps soit ou plus exactement
que l’on ait (en appelant et les longitudes vraies)
Il ne s’agit donc pas, à proprement parler, d’une conjonction
symétrique, mais d’une opposition symétrique.
Pour qu’il y ait conjonction (ou opposition) symétrique, il
faut, comme nous venons de le voir, quatre conditions ; nous aurons
donc quatre équations pour déterminer nos quatre éléments
restés arbitraires. Ces quatre équations pourront être résolues si
le déterminant fonctionnel correspondant, n’est pas nul ; or il ne
l’est pas en général : c’est ce qu’on verrait par un calcul facile,
tout semblable à celui qui précède et qu’il est inutile de reproduire ici.
Ainsi les rayons vecteurs ont même valeur à l’époque et à
l’époque même valeur encore à l’époque et à l’époque
(puisqu’il y a encore conjonction symétrique à l’époque ).
Quant à la différence des longitudes, ses valeurs aux époques
et (ou bien encore aux époques et ) sont égales et de
signe contraire. Donc les distances mutuelles des trois corps sont
des fonctions périodiques dont la période est Ces solutions,
qui présentent alternativement des conjonctions et des oppositions
symétriques sont donc des solutions périodiques.
On pourrait croire que les solutions périodiques ainsi définies
sont moins générales que celles dont nous avions d’abord démontré
l’existence. Il n’en est rien ; il y en a aussi une quadruple infinité ;
car nous pouvons choisir arbitrairement l’époque de la
conjonction et de l’opposition, et la longitude des trois corps au
moment de cette conjonction et de cette opposition ; il reste donc
quatre arbitraires : ce qui montre que toutes les solutions de la
première sorte rentrent dans cette même catégorie. Si l’on choisit
convenablement l’époque 0, il y a, pour toutes les solutions de
la première sorte, conjonction symétrique au début de chaque
période et opposition symétrique au milieu de chaque période.
On peut encore s’en rendre compte de la façon suivante :
Il est toujours permis de supposer que l’origine des temps ait
été choisie de telle sorte que les valeurs initiales de et de
soient nulles. Il suffit pour cela de prendre pour origine des
temps l’époque d’une conjonction et pour origine des longitudes
la longitude de cette conjonction.
D’autre part, les équations du problème des trois corps présentent
une symétrie telle qu’elles ne changent pas quand on
change en ou bien quand on change simultanément en
et en
Si donc il y a solution périodique quand les valeurs initiales des variables
seront
il y aura encore solution périodique quand ces
valeurs initiales seront
Les équations (3) ne changent donc pas quand on y change et
en et
Or ces équations (3) ne comportent qu’une seule solution ; on
devra donc avoir
ce qui veut dire qu’à l’origine des temps il y a conjonction symétrique.
C.Q.F.D.
Les solutions périodiques de la première sorte sont liées les
unes aux autres par des relations simples. On peut passer de l’une
à l’autre : 1o en changeant l’origine des temps ; 2o en changeant
l’origine des longitudes ; 3o en changeant simultanément les unités
de longueur et de temps de façon que l’unité de longueur soit
multipliée par quand celle de temps est multipliée par Tous
ces changements n’altèrent pas la forme des équations et, par
conséquent, ne peuvent que changer les solutions périodiques les
unes dans les autres. Il n’y a donc en réalité qu’une simple infinité
de solutions périodiques réellement distinctes ; chacune de
ces solutions réellement distinctes est caractérisée par le rapport
ou, ce qui revient au même, par la différence entre la
longitude d’une conjonction symétrique et celle de l’opposition
qui la suit.
Recherches de M. Hill sur la Lune.
41.Il y a un cas particulier où les solutions de la première
sorte se simplifient : c’est celui où l’une des masses, la masse
par exemple, est infiniment petite. Le mouvement de par rapport
à restant alors képlérien, il ne peut y avoir de conjonction
symétrique que quand passe au périhélie ou à l’aphélie, à
moins que le mouvement de ne soit circulaire. Mais la longitude
d’une conjonction symétrique devrait donc différer de la
longitude de l’opposition symétrique qui la suit immédiatement
d’un angle qui devrait être un multiple de Or il n’en sera pas
ainsi, à moins que ne soit entier, cas que nous avons
précisément exclu. Nous devons donc conclure que le mouvement
de est circulaire.
La simplicité est plus grande encore si l’on suppose que la
masse de est beaucoup plus grande que celle de et que la distance
de est très grande (ce qui est le cas dans la théorie de
la Lune). Si nous supposons infiniment grand et la masse de
infiniment grande, de façon que la vitesse angulaire de sur
son orbite reste finie ; si, en même temps, on rapporte la masse
à deux axes mobiles, à savoir à un axe coïncidant avec
et à un axe perpendiculaire au premier, les équations du mouvement
deviendront, comme M. Hill l’a démontré,
(1)
|
|
|
désigne la vitesse angulaire de
Les solutions périodiques de la première sorte subsistent encore
dans ce cas et ce sont celles dont M. Hill a reconnu le premier
l’existence, ainsi que je l’ai dit plus haut.
Elles comportent des conjonctions et des oppositions symétriques
qui ne peuvent avoir lieu que sur l’axe des Mais elles
comportent encore d’autres situations remarquables que l’on
pourrait appeler des quadratures symétriques ; dans ces situations l’angle est droit et la vitesse du point
par rapport au point est perpendiculaire à
En effet, les équations comportent une symétrie telle qu’elles
ne changent pas quand on change en les solutions périodiques
ne doivent donc pas changer non plus quand on change
en si donc on envisage la trajectoire relative du point par
rapport au système des axes mobiles et cette trajectoire
est une courbe fermée (puisque la solution est périodique) qui est
symétrique à la fois par rapport à et par rapport à
Si, au contraire, tout en supposant le mouvement de circulaire
et en prenant pour axe des la droite on n’avait pas
supposé la distance infinie (si, en d’autres termes, on avait,
en faisant la théorie de la Lune, tenu compte de la parallaxe du
Soleil en continuant de négliger l’inclinaison des orbites et l’excentricité
du Soleil), cette trajectoire relative aurait encore été
une courbe fermée symétrique par rapport à l’axe des mais elle
n’aurait plus été symétrique par rapport à l’axe des
Les équations (1) admettent une intégrale qui s’écrit
M. Hill a étudié comment varient les solutions de la première
sorte quand on fait augmenter il a reconnu que la trajectoire
relative est une courbe fermée symétrique dont la forme rappelle
grossièrement celle d’une ellipse dont le grand axe serait l’axe
des Quand est très petite, cette sorte d’ellipse diffère très
peu d’un cercle et son excentricité augmente rapidement avec
Pour les grandes valeurs de la courbe commence à différer
beaucoup d’une ellipse, mais le rapport du grand axe au petit
continue à croître avec enfin, pour une certaine valeur de
que j’appellerai la courbe présente deux points de rebroussement
situés sur l’axe des C’est ce que M. Hill appelle l’orbite
de la « Moon of maximum lunation ». Son calcul, fondé, tantôt
sur l’emploi des séries, tantôt sur l’emploi des quadratures mécaniques,
est beaucoup trop long pour trouver place ici ; je dirai
seulement que M. Hill a construit exactement la courbe point par
point pour diverses valeurs de et en particulier pour Il ne peut donc y avoir aucune espèce de doute au sujet de
l’exactitude de ses résultats.
Il est aisé de se rendre compte de la signification de ces points
de rebroussement. Je suppose qu’à un instant quelconque la vitesse
relative de la masse par rapport aux axes mobiles devienne
nulle, de façon qu’on ait à la fois
il est clair que la trajectoire relative présentera un point de rebroussement.
C’est ce qui arrive pour la « Moon of maximum lunation »
de M. Hill.
M. Hill s’exprime ensuite comme il suit :
« The Moon of the last line (c’est-à-dire the Moon of maximum
lunation) is, of the class of satellites considered in this Chapter,
that which, having the longest lunation, is still able to appear
at all angles with the Sun and then undergo all possible
phases. Whether this class of satellites is properly to be prolonged
beyond this Moon, can only be decided by further employment
of mechanical quadratures. But it is at least certain that the
orbits, if they do exist, do not intersect the line of quadratures
and that the Moons describing them would make oscillations
to and for, never departing as much as 90° from the points of conjunction
or of opposition. »
Ce n’est là, de la part de l’auteur, qu’une simple intuition ne
reposant sur aucun calcul ou raisonnement. De simples considérations
de continuité analytique me permettent d’affirmer que cette
intuition l’a trompé.
On peut d’abord se demander si les solutions de la première
sorte existent encore pour ou, en d’autres termes, si la
classe de satellites étudiée par M. Hill peut être prolongée au delà
de la Lune de lunaison maximum. Supposons, à cet effet, qu’à
l’origine des temps la masse (c’est-à-dire la Lune) soit en quadrature
(sur l’axe des ), et que sa vitesse relative par rapport aux
axes mobiles soit perpendiculaire à l’axe des
J’appelle les valeurs initiales de
et
Dans le cas de la Lune de lunaison maximum de M. Hill, on a
et j’appelle la valeur correspondante de
Au bout d’un temps égal au quart d’une période, cette Lune
se trouvera en conjonction symétrique, et l’on aura
Considérons maintenant une autre solution particulière de nos
équations différentielles, et soient
les valeurs initiales de
de telle façon qu’à l’origine des temps on soit en quadrature symétrique.
Considérons les valeurs de et de au bout du temps
et soient
et seront développables suivant les puissances de de
et de et s’annuleront pour
Si l’on a
(2)
|
|
|
on sera, au bout du temps en conjonction symétrique, et
la solution sera périodique de période
On peut tirer des équations (2) et en fonctions de
et et seront développables suivant les puissances de
Il n’y aurait d’exception en vertu du no 30 que si le déterminant
fonctionnel de et par rapport à et s’annulait
précisément pour
Il est extrêmement invraisemblable qu’il en soit ainsi ; quelques
doutes pourraient cependant encore subsister, si les quadratures
mécaniques de M. Hill ne prouvaient nettement le contraire. Voici, en effet, comment M. Hill a procédé pour déterminer
il a calculé, pour différentes valeurs de et de les fonctions
et il a déterminé ensuite par interpolation les valeurs de et
de pour lesquelles ces deux fonctions s’annulent. Si le déterminant
fonctionnel de et de s’annulait précisément pour ces
valeurs, l’interpolation serait devenue impossible par les procédés
ordinaires. Nous devons donc conclure que la classe de satellites
découverte par M. Hill peut être prolongée au delà de la Lune de
lunaison maximum.
Que devient donc, au delà de cette Lune, la forme de l’orbite ?
Les valeurs de et de dépendent du temps et du paramètre
puisque l’autre valeur initiale est donnée en fonction de
par les équations (2).
Si et sont assez petits, et sont développables suivant
les puissances de ces deux variables. De plus, par raison de symétrie,
ne contiendra que des puissances impaires de et ne
contiendra que des puissances paires de Nous aurons donc
étant la valeur initiale de la dérivée ième de
Si et sont assez petits, je puis, sans erreur sensible, réduire
à ses deux premiers termes ; de plus, est développable
suivant les puissances croissantes de mais, comme est très
petit, je puis réduire à la valeur que prend cette quantité pour
Or, pour on a
il vient donc
(3)
|
|
|
Pour les Lunes considérées par M. Hill et dont la lunaison est
moindre que celle de la Lune de lunaison maximum, est négatif,
les deux termes du second membre de (3) sont de même
signe, et ne peut s’annuler pour des valeurs très petites de si
ce n’est pour
Au contraire, pour les satellites nouveaux dont il s’agit et que
l’on rencontre après la Lune de lunaison maximum, est positif
et s’annule pour
Il y a donc trois valeurs de très petites pour lesquelles s’annule,
c’est-à-dire trois quadratures à des époques très rapprochées.
La trajectoire relative pour présente donc la forme
représentée par la figure ci-contre.
Fig. 1.
Dans le cours d’une période, la masse se trouve six fois en
quadrature, car sa trajectoire relative coupe l’axe des en deux
points doubles et en deux points simples.
Ainsi M. Hill se trompe en supposant que cette sorte de satellites
ne seraient jamais en quadrature ; il y aurait, au contraire,
trois quadratures entre deux syzygies consécutives.
Ce n’est pas qu’il n’existe des solutions périodiques pour lesquelles
la masse ne peut jamais être en quadrature : nous les
étudierons plus loin, au no 52 ; mais ces solutions ne sont pas la
continuation analytique de celles dont M. Hill a fait si magistralement
l’étude dans l’American Journal.
Les mêmes résultats sont encore vrais quand on ne néglige pas
la parallaxe du Soleil, sauf que la symétrie par rapport à l’axe
des disparaît.
Application au problème général de la Dynamique.
42. Nous allons maintenant, avant d’aborder l’étude des solutions
périodiques de la deuxième et de la troisième sorte, étudier d’une façon plus générale les solutions périodiques des équations
de la Dynamique.
Reprenons les équations du no 13,
(1)
|
|
|
et les hypothèses de ce numéro. La fonction est développée suivant
les puissances d’un paramètre très petit de sorte que
est fonction périodique des est fonction
des seulement. Je supposerai, pour fixer les idées, qu’il n’y a que 3 degrés de
liberté. Il est aisé d’intégrer ces équations quand et que
En effet, ne dépendant pas des ces équations se réduisent à
Les et par conséquent les sont donc des constantes.
Ainsi, les équations (1) admettent pour solution, quand
les et les étant des constantes d’intégration, et les des
fonctions des
Il est clair que, si
sont multiples de cette solution est périodique de période
Supposons maintenant que cesse d’être nul, et imaginons
que, dans une certaine solution, les valeurs des et des pour
soient respectivement
Supposons que, dans cette même solution, les valeurs des et des pour soient
La condition pour que cette solution soit périodique de période
c’est que l’on ait
(12)
|
|
|
Les six équations (12) ne sont pas distinctes. En effet, comme
est une intégrale des équations (1), et que d’ailleurs
est périodique par rapport aux on a
Il nous suffira donc de satisfaire à cinq des équations (12). Je supposerai,
de plus,
Il suffit, pour cela, de choisir l’origine du temps de telle sorte
que soit nul pour
Il est aisé de voir que les et les sont des fonctions
holomorphes de et des s’annulant quand toutes ces variables s’annulent.
Il s’agit donc de démontrer que l’on peut tirer des cinq dernières
équations (12) les en fonctions de
Remarquons que, quand est nul, on a identiquement
Par conséquent, et développés suivant les puissances
de et des contiennent en facteur. Nous supprimerons ce
facteur et nous écrirons par conséquent les cinq équations (12)
que nous avons à résoudre sous la forme
(13)
|
|
|
Pour on connaît la solution générale des équations (1) ;
on trouve donc aisément
Le déterminant fonctionnel de et par rapport à
et est donc égal, au facteur près au
hessien de par rapport aux
Je me propose maintenant d’exprimer et
en fonctions de et
en supposant et en même temps
Or on trouve
d’où
ou, pour
(3)
|
|
|
Puisque nous supposons et en même temps
et si l’on se rappelle que nous devons, dans le second
membre de l’équation (3), remplacer
respectivement par
Alors devient une fonction périodique de
Nous pouvons écrire
étant des entiers positifs, pendant que et
sont des fonctions des indépendantes des
Il vient alors
où l’on a posé, pour abréger,
devient ainsi une fonction périodique de de période
c’est également une fonction périodique de période par rapport à
et
Je désignerai par la valeur moyenne de la fonction périodique
de telle façon que
le signe signifiant que la sommation doit être étendue à tous les
termes tels que
Il vient alors
On en conclut :
1o Qu’il est toujours possible de choisir et de telle façon
que les équations
soient satisfaites pour
En effet, la fonction qui est finie, est périodique en et
en elle admet donc un maximum et un minimum ; on aura,
pour ce maximum ou ce minimum,
et, par conséquent,
C.Q.F.D.
2o Que le déterminant fonctionnel de et
par rapport à et est égal à multiplié par
le hessien de par rapport à et
Il résulte de là que l’on peut choisir les constantes et de
façon à satisfaire aux équations (13). Il reste, pour établir l’existence
des solutions périodiques, à faire voir que le déterminant
fonctionnel de ces équations, c’est-à-dire
n’est pas nul.
Or,pour et ne dépendent que de
et non de et de
Ce déterminant fonctionnel est donc le produit de deux autres
Or nous venons de calculer ces deux déterminants fonctionnels,
et nous avons vu qu’ils sont égaux, à un facteur constant près,
l’un au hessien de par rapport à et à
l’autre au hessien de par rapport aux
Donc, si aucun de ces deux hessiens n’est nul, les équations
(1) admettront des solutions périodiques pour les petites valeurs de
Nous allons maintenant chercher à déterminer, non plus seulement
les solutions périodiques de période mais les solutions de
période peu différente de Nous avons pris pour point de départ
les trois nombres nous aurions pu tout aussi bien
choisir trois autres nombres, pourvu qu’ils soient
commensurables entre eux, et nous serions arrivés à une solution
périodique dont la période aurait été le plus petit commun multiple de
Si nous prenons en particulier
ces trois nombres seront commensurables entre eux,
puisqu’ils sont proportionnels aux nombres et
Ils nous conduiront donc à une solution périodique de période
de telle façon que nous aurons
(14)
|
|
|
les et les étant des fonctions développables suivant les
puissances de et de et périodiques en mais de façon que la
période dépende de
Si dans nous remplaçons les et les par
leurs valeurs (14), doit devenir une constante indépendante du temps [puisque
est une des intégrales des équations (1)]. Mais cette
constante, qui est dite constante des forces vives, dépendra de
et de et pourra être développée suivant les puissances croissantes
de ces variables.
Si la constante des forces vives est une donnée de la question, l’équation
peut être regardée comme une relation qui lie à Si donc nous
nous donnons arbitrairement il existera toujours une solution
périodique, quelle que soit la valeur choisie pour cette constante ;
mais la période dépendra de et par conséquent de
Un cas plus particulier que celui que nous venons de traiter en
détail est celui où il n’y a que 2 degrés de liberté. ne dépend
alors que de quatre variables,
et la fonction ne dépend plus que d’une seule variable
Les relations (6) se réduisent alors à
(15)
|
|
|
et le hessien de se réduit à
d’où cette conclusion :
À chacune des racines simples de l’équation (15) correspond
une solution périodique des équations (1), qui existe pour toutes
les valeurs de suffisamment petites.
Je pourrais même ajouter qu’il en est encore de même pour chacune
des racines d’ordre impair.
L’existence des solutions périodiques une fois démontrée, il
reste à faire voir que ces solutions peuvent se développer suivant
les puissances de et s’écrire
étant des fonctions périodiques de
développables selon les sinus et cosinus des multiples de
D’après le théorème du no 28, nous aurons
si sont les valeurs initiales de
pour
sera développable suivant les puissances de
si est assez petit et si est assez voisin de
et de
Nous prendrons
De plus, nous prendrons
Nous choisirons les et de façon à obtenir une solution
périodique, c’est-à-dire de façon à satisfaire aux équations (9). Nous
venons de voir que, si et les satisfont à ces équations (9),
on pourra développer
suivant les puissances croissantes de
et que et les s’annuleront avec
On aura donc
étant une fonction développée suivant les puissances de
ne dépend pas seulement de il dépend encore de
nous écrirons donc
en rappelant toutefois que est développé suivant les puissances
de mais non pas suivant celles de
Cela posé, quand on augmente de on augmente
de et, comme on s’est arrangé de manière à avoir une solution
périodique de période ne doit pas changer ; on a donc
(10)
|
|
|
étant développable suivant les puissances de
on peut écrire
ne dépendant que de
L’identité (10) montre alors que ne change pas quand on change en Donc
est une fonction périodique et peut se développer suivant les
sinus et les cosinus des multiples de
C.Q.F.D.
Cas où le hessien est nul.
43.Il peut y avoir difficulté dans le cas où le hessien de
est nul.
Voici comment il est permis, dans un assez grand nombre de
cas, de tourner la difficulté.
Supposons que le hessien de par rapport aux variables soit
nul, mais que l’on puisse trouver une fonction de que l’on appellera
et dont le hessien ne soit pas nul.
Nous allons transformer les équations (1) de la manière suivante.
Ces équations admettent l’intégrale des forces vives qui s’écrit
Soit la dérivée de la fonction on aura pour
et sera une constante qui pourra être regardée comme connue,
si l’on suppose que les conditions initiales du mouvement soient
données et permettent par conséquent de calculer la constante
Les équations (1) peuvent alors s’écrire
Elles conservent la même forme, mais la fonction est remplacée
par dont le hessien n’est pas nul.
Prenons, par exemple, le cas particulier du problème des trois
Corps étudiés au no 6, celui où l’une des masses est nulle et où les
deux autres se meuvent circulairement.
Dans ce cas, nous avons trouvé
on a donc
Notre hessien est donc identiquement nul ; mais, si nous prenons
le hessien de
est égal à
et est différent de 0.
Ainsi tout ce qui précède est applicable à ce cas particulier du
problème des trois Corps qui possède des solutions périodiques
pour les petites valeurs de
Considérons au contraire le cas général du problème des trois
Corps traité au no 11.
Nous avons trouvé que ce problème pouvait être ramené à la
forme canonique, les deux séries de variables étant
La fonction peut se développer suivant les puissances de
et l’on a
Si, pour reprendre les notations employées dans ce Chapitre,
nous désignons les deux séries de variables conjuguées par
de telle sorte que
il viendra
le hessien de sera manifestement nul.
Si nous considérons une fonction quelconque cette
fonction ne dépendra encore que de et de et son hessien sera
encore nul. L’artifice que nous avons employé plus haut n’est donc
plus applicable et les raisonnements du présent numéro ne suffisent
plus pour établir l’existence des solutions périodiques.
C’est là l’origine des difficultés que nous chercherons à vaincre
dans les nos 46 à 48.
Ces difficultés proviennent encore, comme on vient de le voir,
de ce que ne dépend que de et de c’est-à-dire
de ce que l’on a
ou encore, si
Ces équations signifient que dans le mouvement képlérien les
périhélies et les nœuds sont fixes.
Or, avec toute autre loi d’attraction que celle de Newton, les
périhélies et les nœuds ne seraient plus fixes.
Donc, avec une loi différentes de la loi newtonienne, on ne rencontrerait
plus, dans la recherche des solutions périodiques du
problème des trois Corps, la difficulté que je viens de signaler et à
laquelle seront consacrés plus loin les n
os 46 à
48.
Calcul direct des séries.
44.Nous venons de démontrer que les équations (1) du no 43
admettent des solutions périodiques, et que ces solutions peuvent
être développées suivant les puissances de
Cherchons maintenant à former effectivement ces développements,
dont nous avons ainsi démontré d’avance l’existence et la
convergence.
Je commence par observer qu’on peut, dans le calcul de ces
développements, introduire une importante modification. Nous
avons introduit plus haut trois nombres :
tels que
soient multiples de et par conséquent commensurables entre
eux. Ces trois nombres caractérisent la solution périodique envisagée.
Je dis que l’on peut toujours, quand on étudie une solution
périodique particulière, supposer que
Supposons, en effet, qu’il n’en soit pas ainsi. Nous changerons
de variables en posant
Les équations (avec les nouvelles variables et ) conserveront
la forme canonique.
Si, de plus, les les les sont entiers et que leur
déterminant soit égal à 1, la fonction périodique par rapport aux
sera également périodique par rapport aux
Si nous appelons ce que deviennent les trois nombres
caractéristiques et après le changement de variables, ces trois nombres nous seront donnés par les équations
comme et sont commensurables entre eux, on peut
évidemment choisir les entiers et
de telle sorte que
Il est donc toujours permis de supposer
c’est ce que nous ferons désormais.
Nous allons donc chercher à satisfaire aux équations (1) en faisant
(2)
|
|
|
les et les étant des fonctions périodiques du temps de
période Les sont des constantes telles que
et l’on a d’autre part
d’où
et étant des constantes que nous nous
réservons de déterminer plus complètement dans la suite.
L’origine du temps restant arbitraire, nous pourrons la choisir
de telle façon que quel que soit pour Il en résulte
que seront nuls à la fois
pour et que
Dans à la place des et des
substituons leurs valeurs (2), puis développons suivant les puissances croissantes
de ainsi qu’il a été dit au no 22. Il viendra
et l’on aura
Il viendra ensuite (si l’on se souvient que
et que )
(3)
|
|
|
Plus généralement, on aura
et
dépendra seulement
Par rapport aux elle est périodique de période
Cela posé, les équations différentielles peuvent s’écrire, en égalant
les puissances de même nom de
On trouve ensuite
(4)
|
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et
(5)
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|
|
et plus généralement
(4′)
|
|
|
et
(5′)
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|
|
Intégrons d’abord les équations (4). Dans nous remplacerons
par leurs valeurs
Alors les seconds membres des équations (4) sont des fonctions
périodiques de de période ces seconds membres peuvent
donc être développés en séries procédant suivant les sinus et les
cosinus des multiples de
Pour que les valeurs de et
tirées des équations (4) soient des fonctions périodiques de il
faut et il suffit que ces séries ne contiennent pas de termes tout connus.
Je puis écrire, en effet,
où sont des entiers positifs ou négatifs et où
et sont des fonctions de
J’écrirai, pour abréger,
en posant
Je trouverai alors
et
Parmi les termes de ces séries, je distinguerai ceux pour lesquels
et qui sont indépendants de
étant une fonction périodique de j’appellerai
la valeur moyenne de cette fonction et j’aurai
la sommation représentée par le signe s’étendant à tous les termes de pour lesquels le coefficient
de est nul. Nous aurons alors
Si donc on a
(6)
|
|
|
il viendra, puisque d’ailleurs est nul,
(7)
|
|
|
Si donc les relations (6) sont satisfaites, les séries
ne contiendront pas de terme tout connu, et les équations (4) nous donneront
et
étant trois nouvelles constantes d’intégration.
Il me reste à démontrer que l’on peut choisir les constantes
et de façon à satisfaire aux relations (6). La fonction
est une fonction périodique de et de qui ne change pas
quand l’une de ces deux variables augmente de De plus elle est finie ; elle
aura donc au moins un maximum et un minimum. Il y a donc au
moins deux manières de choisir et de façon à satisfaire
aux relations (6).
Je pourrais même ajouter qu’il y en a au moins quatre, sans
pouvoir toutefois affirmer qu’il en est encore de même quand le
nombre de degrés de liberté est supérieur à 3.
Je vais maintenant chercher à déterminer, à l’aide des équations
(5), les trois fonctions et les trois constantes
Nous pouvons regarder comme connus les et les les
sont connus également aux constantes près Je puis donc écrire
les équations (5) sous la forme suivante,
(8)
|
|
|
où les représentent des fonctions entièrement connues
développées en séries suivant les sinus et cosinus des multiples de
Les coefficients de et
sont des constantes que l’on peut regarder comme connues.
Pour que la valeur tirée de cette équation soit une fonction
périodique de il faut et il suffit que dans le second membre le
terme tout connu soit nul. Si donc désigne le terme tout connu
de la série trigonométrique je devrai avoir
(9)
|
|
|
Les trois équations linéaires (9) déterminent les trois constantes
et
Il n’y aurait d’exception que si le déterminant de ces trois équations
était nul ; c’est-à-dire si le hessien de par rapport à
et était nul ; nous exclurons ce cas.
Les équations (8) me donneront donc
ou
les étant des fonctions périodiques de entièrement connues et
les étant trois nouvelles constantes d’intégration. Il résulte
d’ailleurs des équations que je viens d’écrire que
pour
Venons maintenant aux équations (4′) en y faisant et
et cherchons à déterminer, à l’aide des trois équations
ainsi obtenues, les trois fonctions et les trois constantes
Il est aisé de voir que nous avons
où dépend seulement des des et des
et où l’on a, comme plus haut,
Les équations (4′) s’écrivent alors
ou
(10)
|
|
|
étant une fonction périodique de que l’on peut regarder
comme entièrement connue. Pour que l’on puisse tirer de cette
équation sous la forme d’une fonction périodique, il faut et il
suffit que les seconds membres des équations (10), développés en
séries trigonométriques, ne possèdent pas de termes tout connus.
Nous devons donc disposer des quantités de manière à annuler
ces termes tout connus. Nous serions ainsi conduits à trois équations
linéaires entre les trois quantités mais, comme le
déterminant de ces trois équations est nul, il y a une petite difficulté et
je suis forcé d’entrer dans quelques détails.
Comme nous avons supposé plus haut que pour
nous aurons
nous n’aurons plus alors que deux inconnues et et trois
équations à satisfaire ; mais ces trois équations ne sont pas distinctes,
comme nous allons le voir.
Appelons, en effet, le terme tout connu de ces trois
équations s’écriront (si l’on se rappelle que le signe de sommation
se rapporte aux termes tels que )
(11)
|
|
|
les deux dernières des équations (11) pourront aussi s’écrire
De ces deux équations, on peut tirer et à moins que le hessien
de par rapport à et ne soit nul.
Si l’on donne aux les valeurs ainsi obtenues, les deux dernières équations (10) nous
donneront et sous la forme suivante
les étant des fonctions périodiques de entièrement connues et
les étant de nouvelles constantes d’intégration.
Pour trouver nous pouvons, au lieu d’employer la première
des équations (10), nous servir des considérations suivantes :
Les équations (1) admettent une intégrale
étant une constante d’intégration que je supposerai développée
suivant les puissances de en écrivant
de sorte que l’on a
étant autant de constantes différentes.
Le premier membre de l’équation
dépend des des des des de
et de qui sont des
fonctions connues de et de que nous n’avons pas encore calculée.
De cette équation, nous pourrons donc tirer sous la forme suivante
sera une fonction périodique de entièrement déterminée et
est une constante qui dépend de de et de
.
Nous pouvons conclure de là que la première des équations (11)
doit être satisfaite et par conséquent que ces trois équations (11)
ne sont pas distinctes.
Prenons maintenant les équations (5′) et faisons-y nous
obtiendrons trois équations qui nous permettront de déterminer les constantes et
et d’où l’on tirera en outre les sous la forme
les étant des fonctions périodiques de entièrement connues et
les étant trois nouvelles constantes d’intégration.
Reprenons ensuite les équations (4′) en y faisant si nous
supposons nous pourrons tirer des trois équations ainsi
obtenues, d’abord les deux constantes et puis les
sous forme
les étant des fonctions périodiques connues de et les
étant trois nouvelles constantes d’intégration.
Et ainsi de suite.
Voilà un procédé pour trouver des séries ordonnées suivant les
puissances de périodiques de période par rapport au temps
et satisfaisant aux équations (1). Ce procédé ne serait en défaut
que si le hessien de par rapport aux était nul ou si le
hessien de par rapport à et était nul.
Démonstration directe de la convergence.
45.Il pourrait être utile de connaître une démonstration directe
de la convergence des séries que nous venons de former et dont
nous avions préalablement démontré, dans le no 28, l’existence et
la convergence. Je donnerai d’abord cette démonstration directe
dans un cas particulier.
Soit
(1)
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|
une équation différentielle ; nous avons vu au no 2 que cette équation
(considérée par M. Gyldén, puis par M. Lindstedt dans leurs
recherches sur la Mécanique céleste) peut être regardée comme un
cas particulier des équations de la Dynamique avec 2 degrés de
liberté seulement.
Je supposerai que peut être développé suivant les puissances croissantes de et que l’on a
étant des fonctions de que je supposerai périodiques
et de période Je supposerai de plus que la valeur moyenne
de est nulle,
Cela posé, je vais chercher à développer suivant les puissances
de de telle sorte que
En substituant cette valeur de dans il vient
et les équations différentielles deviendront
Nous voulons que soient des fonctions périodiques
de Cela sera possible, pourvu que les valeurs moyennes des
seconds membres soient nulles, c’est-à-dire que l’on ait
La première condition est remplie d’elle-même, car on a
D’autre part, il vient
ne dépendant que de
Soit la valeur moyenne de et posons
de telle façon que soit une fonction périodique de dont la
valeur moyenne soit nulle.
Cela posé, imaginons que nous ayons déterminé par un calcul
préalable
(2)
|
|
|
et, par conséquent aussi, et que nous nous
proposions de calculer et
La relation peut s’écrire
Dans cette équation et peuvent être regardés comme
connus, puisque les quantités (2) sont connues ; est une
constante donnée ; on peut donc en tirer
On a ensuite
Si je pose
il viendra
Les les et les peuvent donc se calculer de la sorte par
récurrence.
Il résulte de là que, si est une fonction périodique de telle
que l’on ait, en reprenant la notation du no 20, complétée au no 35,
on aura a fortiori
Nous écrirons dans ce qui va suivre
de telle sorte que
Cela posé, soit une fonction de et de de même forme que
c’est-à-dire telle que
étant des fonctions périodiques de et supposons
de plus que l’on ait
Si nous posons ensuite
il viendra
Nous poserons également
d’où
Nous écrirons enfin
Soient maintenant et trois fonctions inconnues liées par
la relation
et développées suivant les puissances de de sorte que
Définissons ces fonctions par les équations suivantes
(3)
|
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|
on trouvera tout d’abord
et comme on a, d’autre part,
on en conclura
On trouve ensuite
et, d’autre part,
d’où
Il vient ensuite
et, d’autre part,
d’où
puis
et, d’autre part,
d’où
et ainsi de suite ; la loi est manifeste, on aura
et
Si donc la série
converge, la série
(4)
|
|
|
convergera a fortiori. Il me reste donc à établir que la série converge, ou, ce qui revient au même, que les équations (3) peuvent
être résolues par rapport à et à
Or le déterminant fonctionnel relatif à ces équations (3) peut s’écrire
et sa valeur pour est égale à 1. Il n’est donc pas
nul et, par conséquent, d’après le théorème du no 30, les équations
(3) peuvent être résolues.
Donc la série (4) converge. C.Q.F.D.
Les équations traitées dans ce numéro sont un cas particulier
de celles qui ont fait l’objet du numéro précédent. Une démonstration
directe tout à fait analogue pourrait être donnée dans le
cas général. Nous y reviendrons plus loin.
Examen d’un important cas d’exception.
46.D’après ce que nous venons de voir, les principes du no 42
se trouvent en défaut quand le hessien de par rapport aux
est nul.
Examinons donc le cas où ce hessien est nul, et plus particulièrement
le cas où est indépendant de quelques-unes des
variables
Je supposerai, pour fixer les idées, qu’il y a quatre degrés de
liberté, que deux des variables et entrent dans
que les deux autres et n’y entrent pas, et enfin que le hessien de
par rapport à et à n’est pas nul
(le hessien par rapport à et
est nul puisque ).
Pour la solution générale des équations différentielles s’écrit
(1)
|
|
|
les et les étant des constantes.
Si et ont été choisis de telle sorte que
et soient
multiples de la solution sera périodique de période et cela
quelles que soient les valeurs initiales
et
Considérons maintenant une solution quelconque pour une
valeur quelconque de et soient
(2)
|
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|
les valeurs initiales des et des pour Soient
les valeurs des des et des pour
Pour que la solution soit périodique, il faut et il suffit que l’on ait
(3)
|
|
|
Je remarquerai :
1o Que je puis toujours choisir l’origine du temps de telle façon
que la valeur initiale de soit nulle, aussi bien pour la solution
périodique (1) que pour la solution qui correspond aux valeurs
initiales (2). On aura donc
2o Que est une intégrale de nos équations différentielles
et que n’est pas nul
est égal à Les équations (3) ne
sont donc pas distinctes et je puis supprimer la première d’entre elles,
3o Que pour on a identiquement
que par conséquent sont divisibles par
Je puis donc remplacer le système (3) par le suivant :
(4)
|
|
|
Je me propose :
io De déterminer
( et sont déjà supposés déterminés et est
supposé nul), de façon que les équations (4) soient satisfaites pour
2o De rechercher si le déterminant fonctionnel des premiers
membres du système (4) est nul, ou, en d’autres termes, si pour
la solution
est une solution simple de ce système, ou pour le moins une solution
d’ordre impair.
Pour cela, il faut que nous recherchions ce que deviennent les
équations (4) pour
Nous avons
ou, puisque
ou, pour
(5)
|
|
|
pour on a
Substituons ces valeurs des et des dans le second membre de
l’équation (5).
Si nous faisons de plus et se réduisent à et et la fonction devient une
fonction périodique de de période c’est, en outre, une fonction de
qui est périodique et de période enfin elle dépend encore de
et Nous pouvons écrire
et étant des entiers, et
des fonctions des
En effet, la fonction est par hypothèse périodique de période
par rapport aux
Après la substitution, il vient
où
Parmi les termes du développement de je distingue ceux
pour lesquels est nul et j’appelle l’ensemble de ces termes, de
telle sorte que
la sommation étant étendue à tous les termes pour lesquels on a
La fonction est une fonction périodique du temps de période
et n’est autre chose que la valeur moyenne de cette fonction,
de telle sorte que l’on a
ou, en différentiant par rapport à
mais on a
L’équation (5) devient donc
on trouverait de même
On trouve, par un calcul tout pareil,
ou, pour
et de même
D’autre part, il vient
ou, pour
On trouve de même
Nous voulons d’abord que pour
le système (4) soit satisfait. Or, si l’on a et
se réduisent à et et se réduisent à 0 ; de sorte que deux
des équations (4) sont satisfaites d’elles-mêmes. Le système (4)
se réduit simplement à
(6)
|
|
|
Ainsi, dans la fonction annulons les et les
considérons ensuite comme fonction de
si cette fonction
admet un maximum ou un minimum et qu’on donne aux variables et les valeurs qui correspondent
à ce maximum ou à ce minimum, on satisfera aux équations (6).
Cette solution du système (6) nous conduit-elle à des solutions
périodiques existant encore pour les petites valeurs de
Il suffit pour cela que le déterminant fonctionnel des équations
(4) ne s’annule pas pour
Or et ne dépendent (quand on fait ) que de
et car et ses deux diviseurs
et ne sont fonctions que
de et
Ce déterminant fonctionnel est donc le produit de deux autres.
1o De celui de et par rapport à et (mais ce n’est autre
chose que le hessien de par rapport à et que
nous supposons différent de 0).
2o de celui de
(7)
|
|
|
par rapport à
Or les quantités (7) sont des fonctions de
La dérivée de l’une quelconque des quantités (7) par rapport à ou
est égale à sa dérivée par rapport à ou à
Le déterminant cherché est donc le déterminant fonctionnel des
quantités (7) par rapport à
(8)
|
|
|
Mais nous devons calculer les valeurs de ce déterminant pour
Mais, quand et s’annulent, les quantités (7) se réduisent
aux premiers membres des équations (6).
Notre déterminant n’est donc autre chose que le hessien de
par rapport aux variables (8).
Si ce hessien n’est pas nul, nos équations différentielles admettront
encore des solutions périodiques pour les petites valeurs de
Ce résultat peut encore s’énoncer autrement.
Il existera des solutions périodiques pour les petites valeurs de
pourvu que les équations (6) admettent une solution simple.
Mais il y a plus, il existera encore des solutions périodiques pourvu
que les équations (6) admettent une solution d’ordre impair.
Mais, d’après le no 34, à un maximum de la fonction correspondra
toujours une solution d’ordre impair des équations (6).
Donc, si la fonction admet un maximum ou un minimum, nos
équations différentielles admettront des solutions périodiques pour
les petites valeurs de
Solution de la deuxième sorte.
47.Appliquons ce qui précède au problème des trois Corps, en
supposant d’abord que ces trois Corps se meuvent dans un même
plan, et occupons-nous de déterminer les solutions périodiques de
la deuxième sorte.
Adoptons les variables du no 15, c’est-à-dire les variables
Une solution sera périodique si au bout d’une période et
ont repris leurs valeurs primitives, et si
et ont augmenté d’un multiple de
La fonction est égale à
et ne dépend que de et de
Si donc on suppose et qu’on appelle
les valeurs initiales de nos six variables, quatre de ces six variables,
et seront des constantes et l’on aura
Si, de plus, on pose
on aura
Donc, pour si et ont été choisis de telle sorte que
et soient multiples de
la solution sera périodique de période quelles que soient d’ailleurs les constantes
Voici la question que nous posons :
Est-il possible de choisir les constantes et
de telle sorte que, pour les petites valeurs de les équations du mouvement
admettent une solution périodique de période et qui soit telle
que les valeurs initiales des six variables soient respectivement
les étant des fonctions de s’annulant avec
Pour résoudre cette question, il suffit d’appliquer les principes
du numéro précédent.
étant périodique en et
nous pouvons écrire
et étant des fonctions de
et
Remplaçons dans les six variables
par
il viendra
où
est une fonction périodique de soit
la valeur moyenne de cette fonction, de sorte que
la sommation étant étendue à tous les termes, tels que
D’après les principes du numéro précédent, on trouvera les valeurs
cherchées de et
en résolvant le système
Nous pouvons toujours supposer que l’origine du temps ait été
choisie de telle sorte que
D’autre part, d’après la définition de la fonction on a
On peut donc remplacer le système précédent par le système plus simple
(1)
|
|
|
Il pourrait arriver que toutes les solutions du système (1) ne
conviennent pas ; mais il y a des solutions qui conviendront
certainement : ce sont celles dont l’ordre de multiplicité est impair, et
en particulier celles qui correspondent à un maximum ou à un
minimum véritable de
Pour établir l’existence des solutions de la deuxième sorte, il me
suffit donc de montrer que la fonction a un maximum.
Or cette fonction est essentiellement finie ; de plus elle est
périodique en et elle dépend encore de
j’ajouterai qu’elle est développable suivant les puissances de
(2)
|
|
|
étant la constante des aires.
La fonction ne sera donc réelle que si l’on a
(3)
|
|
|
et devra toujours être compris entre ces deux limites. Je puis toujours choisir une variable telle que
et les deux radicaux (2)
soient des fonctions doublement périodiques de
Ainsi est une fonction uniforme, périodique et finie, de trois
variables seulement (puisque et
sont considérés comme données, et que ), à savoir de
et
Cette fonction admet donc au moins un maximum et un minimum,
de sorte qu’il y a toujours au moins deux solutions périodiques
de la deuxième sorte.
On sait que le développement de la fonction perturbatrice
ne contient que des cosinus, de sorte que la quantité que nous
venons d’appeler est toujours nulle.
Si donc on fait
on aura
il restera à satisfaire à l’équation
ou, ce qui revient au même, à
Cela sera toujours possible, car est une fonction périodique
de qui doit avoir au moins un maximum et un minimum.
Il existe donc toujours au moins deux solutions de la deuxième
sorte, pour lesquelles
Si les valeurs initiales de et
sont donc nulles, ce qui revient à dire qu’il y a conjonction symétrique.
Par un raisonnement tout pareil à celui du no 40 (p. 102) on
en conclurait qu’il y a encore conjonction symétrique pour les
petites valeurs de et que, si au début de la période on a
conjonction symétrique, il en est encore de même au milieu de la période.
Parmi les solutions périodiques de la deuxième sorte, il y en a
donc toujours qui admettent des conjonctions (ou oppositions) symétriques au commencement et au milieu de chaque période.
Une difficulté pourrait toutefois se présenter et je suis obligé
d’en dire quelques mots.
La fonction dépend de
puisque nous considérons
et comme donnés et que nous choisissons nul.
La fonction est périodique en et en de plus,
la troisième variable est soumise à certaines inégalités,
par exemple à la suivante
Nous en avons conclu que la fonction admet toujours un maximum
et un minimum.
Mais on peut se demander ce qui arriverait si ce maximum était
précisément atteint quand atteint une des limites qui lui sont
assignées par les inégalités (3).
Les conclusions du no 46 seraient-elles encore applicables ?
On pourrait en douter, car, si atteint son maximum pour
par exemple, la dérivée
n’est pas nulle, elle est au contraire infinie.
Il est vrai que, pour le problème des trois Corps, on pourrait
vérifier sans peine que le maximum de n’a pas lieu pour cette
valeur de mais, comme ce cas pourrait se présenter avec d’autres
forces perturbatrices que celles que l’on envisage dans le problème
des trois Corps, il n’est pas sans intérêt de l’examiner de plus près.
Supposons, par exemple, que l’on considère les valeurs de très
voisines de nous pourrons adopter les variables du no 17,
c’est-à-dire les variables
Appelons alors
les valeurs initiales de ces six variables et cherchons si l’on peut
choisir ces valeurs initiales de telle façon que la solution soit périodique,
les seront des fonctions de qui devront s’annuler
avec
Pour cela, nous l’avons vu, il suffit de choisir
de telle façon que soit maximum ou minimum ; nous savons
d’autre part que et doivent être regardés comme des données
et que l’on peut toujours supposer que est nul. Si atteint son
maximum pour avec les nouvelles variables, ce maximum
sera atteint pour
Mais cette fois il n’y a plus de difficulté, parce que est une fonction
holomorphe de et de développable suivant les puissances
de ces variables, tandis que la difficulté provenait avec les anciennes
variables de ce que cesse d’être une fonction holomorphe de
pour et est développable, non pas suivant les puissances
entières de mais suivant celles de
Les résultats du présent numéro subsisteraient donc alors même
que la fonction atteindrait son maximum pour
ou plus généralement quand atteint l’une des limites qui lui sont assignées
par les inégalités (3).
Solution de la troisième sorte.
48.Cherchons maintenant à déterminer les solutions périodiques
de la troisième sorte, c’est-à-dire celles pour lesquelles
les inclinaisons ne sont pas nulles.
Adoptons les variables du no 16, c’est-à-dire
Supposons d’abord et soient
les valeurs initiales de ces huit variables. Si et sont choisis de telle sorte que
soient multiples de la solution sera périodique, quelles que
soient les six constantes
Peut-on choisir ces six constantes de telle façon que, pour les
petites valeurs de les équations du problème des trois Corps
admettent une solution périodique de période qui soit telle que
les valeurs initiales des huit variables soient des fonctions de
qui se réduisent à
pour
Nous opérerons comme dans le numéro précédent. Nous supposerons
d’abord que l’origine du temps ait été choisie de telle
sorte que
Ensuite nous formerons, comme dans le numéro précédent, les
fonctions et
D’après les résultats des deux numéros précédents, nous devons
déterminer les cinq constantes
et de façon à
rendre maximum ou minimum.
À chaque maximum ou à chaque minimum de correspondra
une solution périodique.
considéré comme fonction de et
est une fonction périodique de période D’autre part, et
sont assujettis à certaines inégalités (3) que j’écrirai, comme au no 18,
(3)
|
|
|
Les deux variables et ne peuvent donc varier
que dans un champ limité.
La fonction admettra donc forcément un maximum et un
minimum auxquels devront correspondre des solutions périodiques.
Une difficulté peut néanmoins se présenter, comme dans le
numéro précédent. Ne peut-il pas se faire que la fonction atteigne
son maximum au moment où les variables et
atteignent les limites qui leur sont assignées par les inégalités (3) ? Qu’arrive-t-il
alors ?
Supposons d’abord que le maximum soit atteint pour
Nous adopterons alors les variables du no 18, c’est-à-dire
Nous poserons, en conséquence,
Nous verrons alors que atteint son maximum pour
et, comme est développable suivant les puissances de
et la difficulté sera levée.
Si donc le maximum est atteint pour il n’en sera pas
moins vrai qu’une solution périodique correspondra à ce maximum ;
il en sera encore de même pour la même raison si le maximum
est atteint pour
Il reste à examiner le cas où le maximum serait atteint pour des
valeurs de et satisfaisant à la condition
mais ce cas est celui où les inclinaisons sont nulles ; si donc le
maximum est atteint pour de pareilles valeurs de et
on retombe sur le cas des solutions de la deuxième sorte étudié dans
le numéro précédent. À un pareil maximum correspond donc
encore une solution périodique.
En résumé, nous avons démontré que la fonction admet toujours
au moins un maximum et un minimum et qu’à chacun de
ces maxima et de ces minima correspond une solution périodique ;
une difficulté subsiste encore cependant.
Les solutions de la troisième sorte que nous étudions ici comprennent,
comme cas particulier, les solutions de la deuxième
sorte dont nous avons démontré plus haut l’existence.
On peut se demander s’il en existe d’autres ; c’est ce qu’un
examen plus approfondi va nous apprendre. Nous verrons que la
fonction a d’autres maxima et minima que ceux qui se
produisent quand les inclinaisons sont nulles, et par conséquent qu’il
existe des solutions de la troisième sorte distinctes de celles de la
deuxième sorte.
À cet effet, examinons de plus près la forme de la fonction
Nous avons à satisfaire, d’une part, aux relations
(4)
|
|
|
d’autre part, aux relations
(5)
|
|
|
Je dis qu’on satisfera aux conditions (4) en faisant
de sorte qu’on n’aura plus qu’à satisfaire aux équations (5), c’est-à-dire
à rechercher les maxima et minima de considérée comme
fonction de et seulement.
J’observe, en effet, que est de la forme suivante (si l’on suppose,
comme nous le faisons, ),
dépendant de
Si donc on suppose
on aura à la fois
Imaginons que l’on change de variables en prenant pour variables
nouvelles les excentricités et
et les inclinaisons et c’est-à-dire en posant
de telle sorte que l’une des équations des aires devienne
(6)
|
|
|
et l’autre
(7)
|
|
|
Il s’agit maintenant de chercher les maxima de considérée
comme fonction de et ces quatre variables
étant supposées liées entre elles par les équations des aires (6) et (7). Nous
pouvons donc écrire les équations auxquelles nous serons conduits
et qui, jointes à (7), doivent déterminer et
sous la forme suivante (où désigne une quantité auxiliaire) :
(8)
|
|
|
Est-il possible de satisfaire à ces équations ? Pour nous en rendre
compte voyons quelle est la forme de la fonction J’observe
d’abord que cette fonction ne dépend de et de que par leur
différence de telle sorte que l’on a
Ensuite se présentera, sous la forme d’une série développée
suivant les puissances croissantes de et
de telle sorte que le terme général du développement sera de la forme suivante (à un
coefficient près, ne dépendant que de et ) :
De plus on devra avoir, ainsi que je l’ai dit plus haut,
et, d’autre part,
Je dis que les termes de pour lesquels et
ne seront pas nuls à la fois, seront du troisième degré au moins par rapport aux
excentricités et aux inclinaisons, à moins que ne soit multiple
de
En effet, soient deux nombres entiers et
qui peuvent être positifs ou négatifs, mais qui ne sont pas nuls à la fois et qui satisfont aux égalités
Si nous posons
il viendra
Je vois d’abord que ne peut être nul, sans quoi et
seraient nuls à la fois. Comme, d’autre part, et
doivent être entiers, et que est égal à
ou à le nombre devrait être entier,
ce qui veut dire que devrait être multiple de
C’est ce que nous ne supposerons pas.
Donc, pour calculer jusqu’aux termes du deuxième ordre inclusivement,
il suffit de faire, dans
c’est-à-dire de ne conserver dans que les termes dits séculaires.
Or le calcul de ces termes a été fait depuis longtemps par les
fondateurs de la Mécanique céleste. Je me bornerai donc à renvoyer
par exemple à la Mécanique céleste de M. Tisserand (t. I, p. 406). On trouve alors
Les coefficients et
qui ne dépendent que de et sont définis dans l’Ouvrage cité de M. Tisserand
et désigne un ensemble de termes du troisième degré au moins par rapport à
et
La question est donc de rendre cette fonction maximum ou minimum en
supposant que et sont liés par la relation
(7)
|
|
|
Les équations (8) peuvent alors s’écrire (en supposant, comme plus haut,
),
(9)
|
|
|
les désignant un ensemble de termes du second degré au moins
par rapport à et
Quant à l’équation (7), elle s’écrira
(10)
|
|
|
désignant une constante positive égale à
et désignant un ensemble de termes du troisième degré au
moins par rapport à et
Des équations (9) et (10) on peut tirer et
en séries développées suivant les puissances croissantes de et cela de six manières
différentes.
Posons, en effet,
substituons dans les équations (9), que nous diviserons par et
dans les équations (10), que nous diviserons par Les deux
membres de ces équations seront alors développés suivant les puissances croissantes de
et
J’ajouterai même que les deux membres de ces équations pourront être développés suivant les puissances de
(si ces quantités sont assez petites en valeur absolue), quelles que soient les constantes
Pour ces équations se réduisent à
(11)
|
|
|
Les équations (11) comportent six solutions, à savoir :
(12)
|
|
|
Chacune de ces six solutions est simple, d’où nous pouvons conclure,
d’après ce que nous avons vu au no 30, que l’on peut de six manières différentes
développer et
et par conséquent et
suivant les puissances croissantes de
Nous pouvons donc écrire:
(13)
|
|
|
l’indice pourra prendre les valeurs 1, 2, 3, 4, 5 et 6 ; on prendra
quand on prendra pour point de départ la première des
solutions (12) ; on prendra quand on choisira pour point de
départ la seconde des solutions (12) et ainsi de suite.
Des six développements (13), les quatre derniers doivent être
rejetés, car ils donnent
et les solutions périodiques auxquelles ils conduiraient ne différeraient
pas des solutions de la seconde sorte étudiées au numéro
précédent. Mais les deux premiers peuvent être conservés et conduisent
à des solutions périodiques nouvelles pour lesquelles les
inclinaisons ne sont pas nulles, et que l’on peut appeler solutions
de la troisième sorte.
Les deux développements ne conduisent pas d’ailleurs à deux
solutions périodiques réellement distinctes.
Nous avons étudié plus spécialement les solutions pour lesquelles
on a
ces équations expriment qu’il y a conjonction symétrique au début
de la période dans le cas de
Un raisonnement, tout semblable à celui du no 40, montrerait
que, pour toutes les valeurs de il y a encore conjonction
symétrique au début et au milieu de chaque période.
Cela ne veut pas dire qu’il n’existe pas également des solutions
périodiques de la troisième sorte pour lesquelles il n’y ait pas de
conjonction symétrique ; il pourrait se faire, en effet, que la fonction
admît d’autres maxima ou minima que ceux qui correspondent
au cas de Il y aurait donc lieu de revenir sur cette question.
Applications des solutions périodiques.
49.Il est, comme nous l’avons dit, infiniment peu probable que,
dans aucune application pratique, les conditions initiales du mouvement
se trouvent être précisément celles qui correspondent à une
solution périodique. Il semble donc que les considérations exposées
dans ce Chapitre doivent nécessairement rester stériles. Il n’en
est rien ; elles ont déjà été utiles à l’Astronomie et je ne doute pas
que les astronomes n’y aient souvent recours à l’avenir.
Je montrerai dans le Chapitre suivant comment on peut prendre
une solution périodique comme point de départ d’une série d’approximations
successives, et étudier ainsi les solutions qui en diffèrent
fort peu. L’utilité des solutions périodiques paraîtra alors
évidente.
Mais je veux, pour le moment, me placer à un point de vue un
peu différent.
Supposons que, dans le mouvement d’un astre quelconque, il se
présente une inégalité très considérable. Il pourra se faire que le
mouvement véritable de cet astre diffère fort peu de celui d’un astre
idéal dont l’orbite correspondrait à une solution périodique.
Il arrivera alors assez souvent que l’inégalité considérable dont
nous venons de parler aura sensiblement le même coefficient pour
l’astre réel et pour cet astre idéal ; mais ce coefficient pourra se
calculer beaucoup plus facilement pour l’astre idéal dont le mouvement
est plus simple et l’orbite périodique.
C’est à M. Hill que nous devons la première application de ce
principe. Dans sa théorie de la Lune, il remplace ce satellite dans
une première approximation par une Lune idéale, dont l’orbite
est périodique. Le mouvement de cette Lune idéale est alors celui
qui a été décrit au no 41, où nous avons parlé de ce cas particulier
des solutions périodiques de la première sorte, dont nous devons
la connaissance à M. Hill.
Il arrive alors que le mouvement de cette Lune idéale, comme
celui de la Lune réelle, est affecté d’une inégalité considérable bien
connue sous le nom de variation ; le coefficient est à peu près le
même pour les deux Lunes. M. Hill calcule sa valeur pour sa Lune
idéale avec un grand nombre de décimales. Il faudrait, pour passer
au cas de la nature, corriger le coefficient ainsi obtenu en tenant
compte des excentricités, de l’inclinaison et de la parallaxe. C’est
ce que M. Hill eût sans doute fait s’il avait achevé la publication
de son admirable Mémoire.
Voici un autre cas qui se présentera souvent et sur lequel je
désirerais attirer l’attention. Nous avons vu plus haut que les solutions
périodiques de la première sorte cessent d’exister quand le
rapport des moyens mouvements et est égal à
étant un entier ; c’est-à-dire quand
est égal à un entier
Mais si le rapport sans être entier, est très voisin d’un
entier, la solution périodique existe et elle présente alors une inégalité très considérable. Si les conditions initiales
véritables du mouvement diffèrent peu de celles qui correspondent à une semblable
solution périodique, cette grande inégalité existera encore
et le coefficient en sera sensiblement le même ; on pourra donc,
avec avantage, en calculer la valeur par la considération des solutions périodiques.
C’est ce qu’a fait M. Tisserand (Bulletin astronomique, t. III,
p. 425) dans l’étude du mouvement d’Hypérion (satellite de
Saturne). Le rapport du moyen mouvement de ce satellite à celui
de Titan est en effet très voisin de
Les mêmes considérations sont applicables à celles des petites
planètes dont le moyen mouvement est à peu près double de celui
de Jupiter, et qui ont été l’objet d’un remarquable travail de
M. Harzer, et à la planète Hilda, dont le moyen mouvement est à
peu près égal à fois celui de Jupiter.
M. Tisserand signale, en outre, dans le travail que nous citons,
le cas d’Uranus et de Neptune où le rapport des mouvements est
voisin de Dans tous ces cas, il existe une inégalité importante
et l’étude de cette inégalité peut être facilitée par la considération
des solutions périodiques de la première sorte.
Au contraire, les solutions périodiques de la deuxième et de la
troisième sorte n’ont pas encore reçu d’applications pratiques ;
tout indique cependant qu’elles en auront un jour, et c’est ce qui
arriverait si les prévisions de Gauss au sujet de Pallas venaient à
se confirmer.
Satellites de Jupiter.
50.Mais l’exemple le plus frappant nous est fourni par Laplace
lui-même et par son admirable théorie des satellites de Jupiter.
Il existe, en effet, de véritables solutions périodiques de la première
sorte quand, au lieu de trois corps, on en considère quatre
ou un plus grand nombre. Considérons, en effet, un corps central
de grande masse et trois autres petits corps de masse nulle circulant
autour du premier conformément aux lois de Képler. Imaginons
que les excentricités et les inclinaisons soient nulles, de telle
façon que les mouvements soient circulaires. Supposons qu’il y
ail, entre les trois moyens mouvements et une relation linéaire à coefficients entiers
étant trois entiers, premiers entre eux, tels que
on pourra trouver alors trois entiers et tels que
et on aura
et étant des quantités quelconques.
Au bout d’un temps les longitudes des trois corps auront
augmenté de
et les différences de longitude du second et du troisième satellite
avec le premier auront augmenté de
Si donc on choisit de telle sorte que soit multiple de
les angles formés par les rayons vecteurs menés du corps central
aux trois satellites auront repris leur valeur primitive. Ainsi la
solution considérée pour est périodique de période
Le problème comportera-t-il encore une solution périodique de
période quand on tiendra compte des actions mutuelles des trois
petits corps, et que leur mouvement ne sera plus képlérien, ou
en d’autres termes quand on donnera au paramètre non plus la
valeur 0, mais une valeur très petite ?
Une analyse toute semblable à celle du no 40 prouve qu’il en
est effectivement ainsi ; il y a une solution périodique de période
analogue aux solutions de la première sorte et où les orbites sont
presque circulaires. Les trois petits corps sont, tant au début
qu’au milieu de chaque période, en conjonction ou en opposition
symétrique.
Laplace a démontré que les orbites de trois des satellites de
Jupiter diffèrent très peu de celles qu’ils suivraient dans une
pareille solution périodique, et les positions de ces trois petits
corps oscillent constamment autour des positions qu’ils auraient
dans cette solution périodique.
Solutions périodiques dans le voisinage d’une position d’équilibre.
51.Les solutions périodiques dont il a été question jusqu’ici
ne sont pas les seules dont il soit possible de démontrer l’existence.
Ainsi le problème des trois Corps comporte des solutions périodiques
de la nature suivante : les deux petits corps décrivent autour
du grand des orbites très peu différentes de deux ellipses képlériennes
et à un certain moment, ces deux petits corps passent
très près l’un de l’autre et exercent l’un sur l’autre des perturbations
considérables ; puis ils s’éloignent de nouveau et décrivent
alors des orbites qui se rapprochent beaucoup de deux nouvelles
ellipses képlériennes et
très différentes de et Les
deux petits corps s’écartent très peu des ellipses et
jusqu’à ce qu’ils se trouvent encore une fois très près l’un de l’autre.
Ainsi le mouvement est presque képlérien, sauf à certains moments
où la distance des deux corps devient très petite et où il se produit
des perturbations très considérables, mais de très courte durée.
Il peut arriver que ces sortes de collisions se reproduisent périodiquement
et de telle sorte qu’au bout d’un certain temps les deux
corps se retrouvent sur les ellipses et
La solution est alors périodique. Je reviendrai plus tard sur cette sorte de solutions
périodiques qui diffèrent complètement de celles que nous avons
étudiées dans ce Chapitre.
Je réserverai également à un autre volume les solutions périodiques
que j’ai appelées du second genre et que j’ai définies dans
mon Mémoire du t. xiii des Acta mathematica, mais dont
l’étude ne peut précéder celle des invariants intégraux.
Il est toutefois une catégorie de solutions périodiques dont la
théorie se rattache à celle des solutions du second genre, mais
dont je veux cependant dire quelques mots ici, quitte à y revenir
avec plus de détails en temps et lieu.
Soit
(1)
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un système d’équations différentielles. Je suppose que les sont
développables suivant les puissances croissantes de
et d’un paramètre
Je suppose de plus que pour
on ait à la fois (et quel que soit )
Alors le système (1) admettra comme solution particulière
et comme les valeurs de sont constantes, cette
solution pourra être regardée comme une solution périodique de
période quelconque.
Je me propose d’étudier les solutions périodiques qui en diffèrent fort peu.
Soient les valeurs initiales de
soient
les valeurs de ces mêmes variables pour
On peut développer suivant les puissances de
et
Considérons l’équation suivante en
où l’on suppose qu’on ait fait
Si cette équation n’a pas de racine multiple, j’appellerai
ses n racines.
On vérifie alors que le déterminant fonctionnel des par rapport
aux quand on y fait
devient égal à
Pour que la solution considérée soit périodique de période il
faut et il suffit que l’on ait
(2)
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|
Ce système comporte une solution qui est évidente et qui est la
suivante :
(3)
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Cela ne nous apprend rien de nouveau, puisque nous savons déjà
que peut être regardée comme une solution
périodique des équations (1). En dehors de cette solution
périodique évidente, ces équations en admettent-elles d’autres qui
en soient distinctes tout en en différant très peu ? En d’autres
termes, les équations (2) peuvent-elles être satisfaites quand on y
substitue à la place des des fonctions de
qui sans être identiquement nulles, s’annulent pour
Si le déterminant n’est pas nul, la solution (3) est pour
une solution simple du système (2) ; donc, en dehors de la solution
(3), le système (2) ne pourra être satisfait par des fonctions
s’annulant avec
Si, au contraire, le déterminant s’annule, on pourra trouver
d’une ou de plusieurs manières des séries convergentes ordonnées
suivant les puissances fractionnaires de s’annulant avec cette
variable et qui, substituées à la place des satisfont aux équations
(2). Les séries ainsi définies ont-elles leurs coefficients réels ?
C’est ce qu’une discussion spéciale, sur laquelle je reviendrai
quand je traiterai des solutions périodiques du second genre,
pourrait seule nous apprendre ; si ces séries ont leurs coefficients
réels, elles définissent une catégorie nouvelle de solutions périodiques qui existent pour les petites valeurs de
et pour lesquelles et
ne prennent jamais que de très petites valeurs.
Pour que s’annule, il faut et il suffit que l’un de ses facteurs
s’annule, c’est-à-dire que l’on ait
étant une des racines de l’équation en Pour que cela soit
possible, il faut que soit imaginaire ; l’équation en
admettra alors la racine imaginaire conjuguée et on aura encore
ce qui montre que deux des facteurs de s’annuleront à la fois.
Lunes sans quadrature.
52.Comme application, reprenons les équations de M. Hill
(1)
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Ces équations sont satisfaites si l’on fait
(2)
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On voit que et sont alors des constantes ; les équations (2)
peuvent être regardées comme définissant une solution périodique
des équations (1).
Il est aisé d’apercevoir la signification astronomique de cette
solution. L’équation signifie que la Lune est constamment
en conjonction ou en opposition, et la seconde des équations (2)
signifie que la distance de la Lune à la Terre est constante. Cette
solution périodique n’est donc autre chose que celle qu’a définie
Laplace dans sa Mécanique céleste, Livre VI, Chapitre X.
Mais nous nous proposons de déterminer les solutions périodiques
qui en diffèrent fort peu, en appliquant les principes du
numéro précédent.
Pour cela commençons par supposer que l’unité de longueur ait
été choisie de telle sorte que
et que l’unité de temps ait été choisie de telle sorte que
étant un paramètre très petit.
Si nous posons le système (1) peut être remplacé par
le suivant, qui est analogue au système (1) du numéro précédent.
Si nous formons ensuite l’équation en du numéro précédent il vient
Cette équation admet deux racines réelles et deux racines imaginaires
Si alors nous prenons
il vient
Le déterminant du numéro précédent est donc nul.
On peut donc former des séries ordonnées suivant les puissances
fractionnaires de (ici ces séries seraient ordonnées suivant les
puissances entières de ) et qui, substituées à la place des
satisfont aux équations (2) du numéro précédent. On vérifierait (et j’y
reviendrai plus loin) que les coefficients de ces séries sont réels.
Les équations (1) de M. Hill admettent donc des solutions périodiques peu différentes de la solution (2). Dans ces solutions,
reste très petit et la Lune, par conséquent, est toujours presque en
opposition (ou en conjonction). M. Hill a donc eu raison d’annoncer
qu’on peut imaginer une classe de satellites qui ne pourront jamais
être en quadrature ; seulement le procédé par lequel il avait cru
pouvoir arriver à un résultat, qu’il avait pour ainsi dire deviné,
n’était en aucune façon capable de l’y conduire ; car cette classe de
satellites n’est pas, comme il l’avait cru, la continuation analytique
de celle qu’il avait étudiée d’abord d’une façon si approfondie et
si brillante.
J’ajouterai que, dans cette catégorie de solutions périodiques,
la Lune se trouve en opposition symétrique au commencement et
au milieu de chaque période.