Mécanique analytique/Notes du volume 1/Note 6

J. Bertrand

Mécanique analytique

Gauthier-Villars, 1868 (Œuvres de Lagrange. Tome XI, p. 468-484).

NOTE VI.

Sur les équations différentielles des problèmes de Mécanique, et la forme que l’on peut donner à leurs intégrales.

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Dans la Section IV de la seconde Partie, Lagrange fait connaître la forme très remarquable que prennent les équations de la Dynamique, lorsque l’on substitue aux coordonnées des divers points un système quelconque de variables. Nous allons revenir, dans cette Note, sur la formation de ces équations. Nous indiquerons ensuite une transformation très heureuse que leur a fait subir M. Hamilton, et dont on peut déduire plusieurs propriétés de leurs intégrales qui conviennent à tous les problèmes auxquels s’applique la transformation de M. Hamilton.

I.

Soient $x_{1},\,y_{1},\,z_{1},\,x_{2},\,y_{2},\,z_{2},,\ldots ,\,x_{n},\,y_{n},\,z_{n}$ les $3n$ coordonnées des points d’un système ; $\Pi _{1}=0,\,\Pi _{2}=0,\ldots ,\,\Pi _{3n-k}=0,$ $3n-k$ équations de liaisons qui définissent le système. Dans ces équations, les $3n$ coordonnées peuvent figurer d’une manière quelconque avec le temps $t\,;$ désignons par $q_{1},q_{2},\ldots ,q_{k},$ $k$ variables nouvelles, telles que l’on puisse exprimer les $3n$ coordonnées $x_{1},\,y_{1},\,z_{1},\,\ldots ,\,x_{n},\,y_{n},\,z_{n}$ en fonction de ces variables et du temps $t,$ les formules qui expriment les coordonnées étant telles, bien entendu, que les équations $\Pi _{1}=0,\,\Pi _{2}=0,\ldots ,\,\Pi _{3n-k}=0$ deviennent identiques lorsqu’on y substitue aux diverses coordonnées leur expression en fonction des variables nouvelles.

Les équations du mouvement ont, comme on sait, pour type général

(1)

$\left\{{\begin{aligned}m_{i}{\frac {d^{2}x_{i}}{dt^{2}}}=&\mathrm {X} _{i}+\lambda _{1}{\frac {\partial \Pi _{1}}{\partial x_{i}}}+\lambda _{2}{\frac {\partial \Pi _{2}}{\partial x_{i}}}+\ldots +\lambda _{3n-k}{\frac {\partial \Pi _{3n-k}}{\partial x_{i}}},\\m_{i}{\frac {d^{2}y_{i}}{dt^{2}}}=&\mathrm {Y} _{i}+\lambda _{1}{\frac {\partial \Pi _{1}}{\partial y_{i}}}+\lambda _{2}{\frac {\partial \Pi _{2}}{\partial y_{i}}}+\ldots +\lambda _{3n-k}{\frac {\partial \Pi _{3n-k}}{\partial y_{i}}},\\m_{i}{\frac {d^{2}z_{i}}{dt^{2}}}=&\mathrm {Z} _{i}\,+\lambda _{1}{\frac {\partial \Pi _{1}}{\partial z_{i}}}+\lambda _{2}{\frac {\partial \Pi _{2}}{\partial z_{i}}}+\ldots +\lambda _{3n-k}{\frac {\partial \Pi _{3n-k}}{\partial z_{i}}},\end{aligned}}\right.$

la lettre $i$ désignant un nombre entier quelconque au plus égal à $n,$ $m_{i}$ la masse du point dont les coordonnées sont $x_{i},\,y_{i},\,z_{i},$ et $\mathrm {X} _{i},\,\mathrm {Y} _{i},\,\mathrm {Z} _{i}$ les composantes de la force qui sollicite ce point.

Multiplions les équations (1), respectivement, par ${\frac {\partial x_{i}}{\partial q_{m}}},\,{\frac {\partial y_{i}}{\partial q_{m}}},\,{\frac {\partial z_{i}}{\partial q_{m}}},$ et ajoutons-les à toutes les équations analogues que l’on obtiendrait en attribuant à $i$ les $n$ valeurs dont il est susceptible ; il viendra

(2)

$\left\{{\begin{aligned}&\sum m_{i}\left({\frac {\partial x_{i}}{\partial q_{m}}}{\frac {d^{2}x_{i}}{dt^{2}}}+{\frac {\partial y_{i}}{\partial q_{m}}}{\frac {d^{2}y_{i}}{dt^{2}}}+{\frac {\partial z_{i}}{\partial q_{m}}}{\frac {d^{2}z_{i}}{dt^{2}}}\right)\\=&\sum \left(\mathrm {X} _{1}{\frac {\partial x_{i}}{\partial q_{m}}}+\mathrm {Y} _{1}{\frac {\partial y_{i}}{\partial q_{m}}}+\mathrm {Z} _{1}{\frac {\partial z_{i}}{\partial q_{m}}}\right)\,;\end{aligned}}\right.$

les facteurs $\lambda _{1},\,\lambda _{2},\,\ldots ,\,\lambda _{3n-k}$ disparaissent dans l’addition à cause de la relation

(3)

$\sum \left({\frac {\partial \Pi _{\alpha }}{\partial x_{\beta }}}{\frac {\partial x_{\beta }}{\partial q_{m}}}+{\frac {\partial \Pi _{\alpha }}{\partial y_{\beta }}}{\frac {\partial y_{\beta }}{\partial q_{m}}}+{\frac {\partial \Pi _{\alpha }}{\partial z_{\beta }}}{\frac {\partial z_{\beta }}{\partial q_{m}}}\right)=0,$

qui résulte de ce que la fonction $\Pi _{\alpha }$ ($\alpha$ désignant un indice quelconque au plus égal à $3n-k$) s’annule identiquement lorsque $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},$ $y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n},$ $z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n},$ sont remplacés par leurs valeurs en $q_{1},\,q_{2},\,\ldots ,\,q_{k},$ et $t.$

Le second membre de l’équation (2) doit être regardé comme une fonction connue des variables $q_{1},\,q_{2},\,\ldots ,\,q_{k}$ et $t\,;$ car $\mathrm {X} _{i},\,\mathrm {Y} _{i},\,\mathrm {Z} _{i},\,x_{i},\,y_{i},\,z_{i}$ sont donnés par l’énoncé du problème en fonction de ces $k+1$ variables. Il n’y a donc pas lieu de transformer ce second membre, et nous le désignerons par une lettre $\mathrm {Q} _{m}.$

Pour transformer le premier membre, écrivons-le de la manière suivante

(4)

$m_{i}\sum \left({\frac {\partial x_{i}}{\partial q_{m}}}{\frac {dx'_{i}}{dt}}+{\frac {\partial y_{i}}{\partial q_{m}}}{\frac {dy'_{i}}{dt}}+{\frac {\partial z_{i}}{\partial q_{m}}}{\frac {dz'_{i}}{dt}}\right),$

en désignant par $x'_{i},\,y'_{i},\,z'_{i}$ les composantes de la vitesse du point dont les

coordonnées sont $x_{i},\,y_{i},\,z_{i},$ On a identiquement

(5)

$\left\{{\begin{aligned}&\sum m_{i}\left({\frac {\partial x_{i}}{\partial q_{m}}}{\frac {dx'_{i}}{dt}}+{\frac {\partial y_{i}}{\partial q_{m}}}{\frac {dy'_{i}}{dt}}+{\frac {\partial z_{i}}{\partial q_{m}}}{\frac {dz'_{i}}{dt}}\right)\\={\frac {d}{dt}}&\sum m_{i}\left(x'_{i}{\frac {\partial x_{i}}{\partial q_{m}}}+y'_{i}{\frac {\partial y_{i}}{\partial q_{m}}}+z'_{i}{\frac {\partial z_{i}}{\partial q_{m}}}\right)\\-&\sum m_{i}\left(x'_{i}{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial x_{i}}{\partial q_{m}}}+y'_{i}{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial y_{i}}{\partial q_{m}}}+z'_{i}{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial z_{i}}{\partial q_{m}}}\right).\end{aligned}}\right.$

$x_{i},\,y_{i},\,z_{i}$ sont donnés, par hypothèse, en fonction de $q_{1},\,q_{2},\,\ldots ,\,q_{k}$ et $t\,;$ en différentiant les formules qui les expriment, on aura

(6)

$\left\{{\begin{aligned}x'_{i}=&{\frac {\partial x_{i}}{\partial t}}+{\frac {\partial x_{i}}{\partial q_{1}}}q'_{1}+{\frac {\partial x_{i}}{\partial q_{2}}}q'_{2}+\ldots +{\frac {\partial x_{i}}{\partial q_{k}}}q'_{k},\\y'_{i}=&{\frac {\partial y_{i}}{\partial t}}+{\frac {\partial y_{i}}{\partial q_{1}}}q'_{1}+{\frac {\partial y_{i}}{\partial q_{2}}}q'_{2}+\ldots +{\frac {\partial y_{i}}{\partial q_{k}}}q'_{k},\\z'_{i}=&{\frac {\partial z_{i}}{\partial t}}+{\frac {\partial z_{i}}{\partial q_{1}}}q'_{1}+{\frac {\partial z_{i}}{\partial q_{2}}}q'_{2}+\ldots +{\frac {\partial z_{i}}{\partial q_{k}}}q'_{k},\end{aligned}}\right.$

d’où l’on conclut

${\frac {\partial x_{i}}{\partial q_{m}}}={\frac {\partial x'_{i}}{\partial q'_{m}}},\qquad {\frac {\partial y_{i}}{\partial q_{m}}}={\frac {\partial y'_{i}}{\partial q'_{m}}},\qquad {\frac {\partial z_{i}}{\partial q_{m}}}={\frac {\partial z'_{i}}{\partial q'_{m}}}\,;$

on a, d’ailleurs,

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial x_{i}}{\partial q_{m}}}={\frac {\partial ^{2}x_{i}}{\partial q_{m}\partial t}}+{\frac {\partial ^{2}x_{i}}{\partial q_{1}\partial q_{m}}}q'_{1}+{\frac {\partial ^{2}x_{i}}{\partial q_{2}\partial q_{m}}}q'_{2}+\ldots +{\frac {\partial ^{2}x_{i}}{\partial q_{k}\partial q_{m}}}q'_{k},$

ce qui équivaut évidemment, d’après la valeur de $x'_{i}$ fournie par l’équation (6), à ${\frac {\partial x'}{\partial q_{m}}}.$ On obtiendrait de même

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial y_{i}}{\partial q_{m}}}={\frac {\partial y'_{i}}{\partial q_{m}}},\qquad {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial z_{i}}{\partial q_{m}}}={\frac {\partial z'_{i}}{\partial q_{m}}}.$

Si nous avons égard à ces relations et si, de plus, nous posons

$\mathrm {T} ={\frac {1}{2}}\sum m_{i}\left(x_{i}^{_{'}2}+y_{i}^{_{'}2}+z_{i}^{_{'}2}\right),$

l’équation (4) deviendra

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q'_{m}}}-{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q_{m}}}=\mathrm {Q} _{m}.$

On obtiendra $k$ équations de même forme en attribuant successivement à

l’indice $m$ chacune des valeurs $1,\,2,\,\ldots ,\,k,$ et l’on formera ainsi les $k$ équations différentielles suivantes :

${\begin{aligned}&{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q'_{1}}}-{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q_{1}}}=\mathrm {Q} _{1},\\&{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q'_{2}}}-{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q_{2}}}=\mathrm {Q} _{2},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\&{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q'_{k}}}-{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q_{k}}}=\mathrm {Q} _{k},\end{aligned}}$

qui sont précisémentles équations de Lagrange. Dans ces équations, les inconnues sont $q_{1},\,q_{2},\,,\ldots ,\,q_{k},$ et leurs dérivées $q'_{1},\,q'_{2},\,,\ldots ,\,q'_{k}\,;$ $\mathrm {Q_{1},\,Q_{2},}$ $\ldots ,\,\mathrm {Q} _{k},$ sont des fonctions données de ces inconnues ; il en est de même de $\mathrm {T} ,$ car $x_{i},\,y_{i},\,z_{i},$ étant donnés, par hypothèse, on peut former, par la différentiation, $x'_{i},\,y'_{i},\,z'_{i}.$ Il est importantde remarquer que, d’après les règles de la différentiation, $x'_{i},\,y'_{i},\,z'_{i}$ seront des fonctions linéaires de $q'_{1},\,q'_{2},$ $\ldots ,\,q'_{k},$ et que, par suite, $\mathrm {T}$ sera une fonction algébrique entière et de degré $2$ de ces diverses dérivées. Si les expressions de $x_{i},\,y_{i},\,z_{i}$ ne contiennentpas explicitement la lettre $t,$ et cela aura lieu toutes les fois que les liaisons seront indépendantes du temps, on voit facilement que $x'_{i},\,y'_{i},\,z'_{i}$ seront des fonctions homogènes du premier degré, et, par suite, $\mathrm {T}$ une fonction homogène de degré $2$ par rapport aux variables $q'_{1},\,q'_{2},\,,\ldots ,\,q'_{k}.$ Cette remarque a une grande importance.

II.

Nous supposerons, dans les considérations qui vont suivre, un système dont les liaisons sont indépendantes du temps, sollicité par des forces ayant pour composantes les dérivées partielles d’une même fonction. Nous admettrons, en un mot, que le principe des forces vives soit applicable au problème dont nous nous occupons.

Reprenons les équations différentielles du mouvement

(1)

$\left\{{\begin{aligned}&{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q'_{1}}}-{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q_{1}}}=\mathrm {Q} _{1},\\&{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q'_{2}}}-{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q_{2}}}=\mathrm {Q} _{2},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\&{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q'_{k}}}-{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q_{k}}}=\mathrm {Q} _{k}\,;\end{aligned}}\right.$

ces équations sont du second ordre, mais on peut les ramener au premier ordre en considérant $q'_{1},\,q'_{2},\,\ldots ,\,q'_{k},$ comme $k$ inconnues nouvelles définies par les équations

(2)

${\frac {dq_{1}}{dt}}=q'_{1},\qquad {\frac {dq_{2}}{dt}}=q'_{2},\qquad \ldots ,\qquad {\frac {dq_{k}}{dt}}=q'_{k},$

et nous aurons, de cette manière, un système de $2k$ équations du premier ordre.

Poisson a eu l’idée de transformer le système des équations (1) et (2) en substituant aux inconnues $q'_{1},\,q'_{2},\,\ldots ,\,q'_{k},$ les inconnues nouvelles ${\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q'_{1}}},$ ${\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q'_{2}}},\,\ldots ,\,{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q'_{k}}},$ qui en sont des fonctions linéaires ; mais il n’a pas développé son calcul de transformation, et M. Hamilton a donné, le premier, les équations très simples auxquelles ces variables nouvelles vont nous conduire.

Posons

${\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q'_{1}}}=p_{1},\qquad {\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q'_{2}}}=p_{2},\qquad \ldots ,\qquad {\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q'_{k}}}=p_{k},$

les équations (1) deviendront

${\frac {dp_{1}}{dt}}-{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q'_{1}}}=\mathrm {Q} _{1},\quad {\frac {dp_{2}}{dt}}-{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q'_{2}}}=\mathrm {Q} _{2},\quad \ldots \quad {\frac {dp_{k}}{dt}}-{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q'_{k}}}=\mathrm {Q} _{k}\,;$

mais la substitution des variables $p_{1},\,p_{2},\,\ldots ,\,p_{k}$ à $q'_{1},\,q'_{2},\,\ldots ,\,q'_{k}$ exige que les seconds termes de ces équations soient transformés. Il est clair, en effet, que $\mathrm {T}$ étant exprimé en fonction de $q_{1},\,q_{2},\,\ldots ,\,q_{k},\,q'_{1},\,q'_{2},\,\ldots ,\,q'_{k}$ puis en fonction de $q,\,q_{2},\,\ldots ,\,q_{k},\,p_{1},\,p_{2},\,\ldots ,\,p_{k},$ n’aura pas, sous les deux formes, la même dérivée par rapport à $q_{m}.$

$\mathrm {T}$ étant une fonction homogène de degré $2$ des variables $q'_{1},\,q'_{2},\,\ldots ,\,q'_{k},$ on a, identiquement,

$2\mathrm {T} =q'_{1}{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q'_{1}}}+q'_{2}{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q'_{2}}}+\ldots +q'_{k}{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q'_{k}}},$

ce que l’on peut écrire

(3)

$\mathrm {T} =q'_{1}{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q'_{1}}}+q'_{2}{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q'_{2}}}+\ldots +q'_{k}{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q'_{k}}}-\mathrm {T} =q'_{1}p_{1}+q'_{2}p_{2}+\ldots +q'_{k}p_{k}-\mathrm {T} .$

Prenons la variation des deux membres en faisant varier toutes les variables

à la fois ; il vient

(4)

$\delta \mathrm {T} =q'_{1}\delta p_{1}+q'_{2}\delta p_{2}+\ldots +q'_{k}\delta p_{k}-{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q_{1}}}\delta q_{1}-{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q_{2}}}\delta q_{2}-\ldots -{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q_{k}}}\delta q_{k}.$

(Nous supprimons, dans le second membre, les termes $p_{m}\delta q'_{m}$ et $-{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q'_{m}}}\delta q'_{m}$ qui se détruisent.)

Or, en considérant $\mathrm {T}$ comme fonction de $p_{1},\,p_{2},\,\ldots ,\,p_{k},\,q_{1},\,q_{2},\,\ldots ,\,q_{k},$ on conclut évidemment de l’équation (4)

${\begin{alignedat}{5}&(5)&{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p_{1}}}=&q'_{1},&{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p_{2}}}=&q'_{2},&&\ldots ,&{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p_{k}}}=&q'_{k},\\&(6)\qquad &{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q_{1}}}=&-{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q_{1}}},\qquad &{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q_{2}}}=&-{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q_{2}}},\qquad &&\ldots ,\qquad &{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q_{k}}}=&-{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q_{k}}}.\end{alignedat}}$

Les équations (6) donnent aux équations du mouvement la forme

(A)

${\frac {dp_{1}}{dt}}=\mathrm {Q} _{1}-{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q_{1}}},\quad {\frac {dp_{2}}{dt}}=\mathrm {Q} _{2}-{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q_{2}}},\quad \ldots ,\quad {\frac {dp_{k}}{dt}}=\mathrm {Q} _{k}-{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q_{k}}}\,;$

et, si on leur adjoint les relations (5),

(B)

${\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p_{1}}}={\frac {dq_{1}}{dt}},\qquad {\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p_{2}}}={\frac {dq_{2}}{dt}},\qquad \ldots ,\qquad {\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p_{k}}}={\frac {dq_{k}}{dt}},$

on aura $2k$ équations différentielles du premier ordre entre les inconnues $p_{1},\,p_{2},\,\ldots ,\,p_{k},\,q_{1},\,q_{2},\,\ldots ,\,q_{k}.$ Pour simplifier ces équations, rappelons-nous que $\mathrm {X} _{i},\,\mathrm {Y} _{i},\,\mathrm {Z} _{i},$ composantes de la force qui sollicite le point $x_{i},y_{i},z_{i},$ sont, par hypothèse, les dérivées partielles d’une même fonction $\mathrm {U} ,$ et que l’on a

$\mathrm {X} _{i}={\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial x_{i}}},\qquad \mathrm {Y} _{i}={\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial y_{i}}},\qquad \mathrm {Z} _{i}={\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial z_{i}}}\,;$

donc, en se reportant à la définition de la fonction $\mathrm {Q} _{m},$

$\mathrm {Q} _{m}=\sum \mathrm {X} _{i}{\frac {\partial x_{i}}{\partial q_{m}}}+\mathrm {Y} _{i}{\frac {\partial y_{i}}{\partial q_{m}}}+\mathrm {Z} _{i}{\frac {\partial z_{i}}{\partial q_{m}}},$

on en conclut

$\mathrm {Q} _{m}={\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial q_{m}}}.$

Si l’on remet dans les équations (A), à la place de $\mathrm {Q} _{1},\,\mathrm {Q} _{2},\,\ldots ,\,\mathrm {Q} _{k},$ les valeurs fournies par cette formule, et que l’on pose, de plus, $\mathrm {U-T=H} ,$ ces équa-

tions deviennent

(C)

${\frac {dp_{1}}{dt}}={\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial q_{1}}},\qquad {\frac {dp_{2}}{dt}}={\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial q_{2}}},\qquad \ldots ,\qquad {\frac {dp_{k}}{dt}}={\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial q_{k}}}\,;$

si l’on remarque, en outre, que, $\mathrm {U}$ ne contenant pas $p_{1},\,p_{2},\,\ldots ,\,p_{k},$ on a ${\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial p_{i}}}=-{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p_{i}}},$ les équations (B) pourront s’écrire

(D)

${\frac {dq_{1}}{dt}}=-{\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial p_{1}}},\qquad {\frac {dq_{2}}{dt}}=-{\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial p_{2}}},\qquad \ldots ,\qquad {\frac {dq_{k}}{dt}}=-{\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial p_{k}}}.$

Les systèmes $(\mathrm {C} )$ et $(\mathrm {D} )$ donnent, sous la forme la plus simple, les équations d’un problème de Mécanique auquel s’applique le principe des forces vives. On voit que deux problèmes de ce genre ne diffèrent l’un de l’autre que par le nombre des variables et la forme de la fonction $\mathrm {H} .$

III.

Quoique l’on soit loin de savoir intégrer, en général, les équations (C) et (D) du paragraphe précédent, leur forme permet, néanmoins, d’établir plusieurs théorèmes fort importants, qui s’appliquent à toutes les questions représentées par ces équations.

Nous commencerons par établir le théorème suivant, qui est dû à Hamilton :

Théorème. — Les intégrales d’un problème de Mécanique auquel s’applique le principe des forces vives peuvent toutes s’exprimer en égalant à des constantes les dérivées partielles d’une même fonction prises par rapport à d’autres constantes.

Reprenons les équations différentielles d’un problème de Mécanique auquel s’applique le principe des forces vives :

(1)

$\left\{{\begin{alignedat}{4}{\frac {dp_{1}}{dt}}=&+{\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial q_{1}}},\qquad &{\frac {dp_{2}}{dt}}=&+{\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial q_{2}}},\qquad &&\ldots ,\qquad &{\frac {dp_{k}}{dt}}=&+{\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial q_{k}}},\\{\frac {dq_{1}}{dt}}=&-{\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial p_{1}}},\qquad &{\frac {dq_{2}}{dt}}=&-{\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial p_{2}}},\qquad &&\ldots ,\qquad &{\frac {dq_{k}}{dt}}=&-{\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial p_{k}}},\\\end{alignedat}}\right.$

Supposons que, ces équations ayant été intégrées, $p_{1},\,p_{2},\,\ldots ,\,p_{k},$ $q_{1},\,q_{2},$ $\ldots ,\,q_{k}$ soient connus en fonction de $t$ et de $2k$ constantes arbitraires. Si nous remet-

tons ces valeurs dans la fonction $\mathrm {H} ,$ nous aurons, en différentiant le résultat par rapport à l’une des constantes $\alpha ,$

${\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial \alpha }}={\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial p_{1}}}{\frac {\partial p_{1}}{\partial \alpha }}+\ldots +{\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial p_{k}}}{\frac {\partial p_{k}}{\partial \alpha }}+{\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial q_{1}}}{\frac {\partial q_{1}}{\partial \alpha }}+{\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial q_{2}}}{\frac {\partial q_{2}}{\partial \alpha }}+\ldots +{\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial q_{k}}}{\frac {\partial q_{k}}{\partial \alpha }},$

c’est-à-dire, en ayant-égard aux équations (1), qui sont, par hypothèse, satisfaites,

(2)

${\begin{aligned}{\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial \alpha }}=&-{\frac {dq_{1}}{dt}}{\frac {\partial p_{1}}{\partial \alpha }}-{\frac {dq_{2}}{dt}}{\frac {\partial p_{2}}{\partial \alpha }}-\ldots -{\frac {dq_{k}}{dt}}{\frac {\partial p_{k}}{\partial \alpha }}\\&+{\frac {dp_{1}}{dt}}{\frac {\partial q_{1}}{\partial \alpha }}+{\frac {dp_{2}}{dt}}{\frac {\partial q_{2}}{\partial \alpha }}+\ldots +{\frac {dp_{k}}{dt}}{\frac {\partial q_{k}}{\partial \alpha }},\end{aligned}}$

ce que l’on peut écrire de la manière suivante :

(3)

${\begin{aligned}{\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial \alpha }}=&\quad \ \ {\frac {d}{dt}}\left(p_{1}{\frac {\partial q_{1}}{\partial \alpha }}+p_{2}{\frac {\partial q_{2}}{\partial \alpha }}+\ldots +p_{k}{\frac {\partial q_{k}}{\partial \alpha }}\right)\\&-{\frac {\partial }{\partial \alpha }}\left(p_{1}{\frac {dq_{1}}{dt}}+p_{2}{\frac {dq_{2}}{dt}}+\ldots +p_{k}{\frac {dq_{k}}{dt}}\right).\end{aligned}}$

Mais, la fonction $\mathrm {T}$ étant homogène, de degré $2,$ par rapport à $q'_{1},\,q'_{2},\,\ldots ,\,q'_{k},$ on a

${\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q'_{1}}}q'_{1}+{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q'_{2}}}q'_{2}+\ldots +{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q'_{k}}}q'_{k}=2\mathrm {T} .$

Or cette expression ne diffère pas de celle dont la dérivée, par rapport à $\alpha ,$ figure dans le second membre de l’équation (3), en sorte que cette équation devient

${\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial \alpha }}={\frac {d}{dt}}\left(p_{1}{\frac {\partial q_{1}}{\partial \alpha }}+p_{2}{\frac {\partial q_{2}}{\partial \alpha }}+\ldots +p_{k}{\frac {\partial q_{k}}{\partial \alpha }}\right)-2{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial \alpha }},$

ou encore

(4)

${\frac {\mathrm {\partial (H+2T)} }{\partial \alpha }}={\frac {d}{dt}}\left(p_{1}{\frac {\partial q_{1}}{\partial \alpha }}+p_{2}{\frac {\partial q_{2}}{\partial \alpha }}+\ldots +p_{k}{\frac {\partial q_{k}}{\partial \alpha }}\right),$

ou, en intégrant les deux membres par rapport à $t,$

(5)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial a}}\int _{0}^{t}(\mathrm {H+2T} )dt=&+\left(p_{1}{\frac {\partial q_{1}}{\partial \alpha }}+p_{2}{\frac {\partial q_{2}}{\partial \alpha }}+\ldots +p_{k}{\frac {\partial q_{k}}{\partial \alpha }}\right)_{t}\\&-\left(p_{1}{\frac {\partial q_{1}}{\partial \alpha }}+p_{2}{\frac {\partial q_{2}}{\partial \alpha }}+\ldots +p_{k}{\frac {\partial q_{k}}{\partial \alpha }}\right)_{0},\end{aligned}}\right.$

les indices $0$ et $t$ placés au-dessous des parenthèses indiquant qu’il faut y supposer le temps égal à zéro ou à $t.$

L’intégrale $\int _{0}^{t}(\mathrm {H+2T} )dt$ est une fonction de $t$ et des $2k$ constantes arbitraires ; désignons-la par $\mathrm {S} ,$ l’équation précédente deviendra

(6)

${\begin{aligned}{\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial \alpha }}=&\quad \,\left(p_{1}{\frac {\partial q_{1}}{\partial \alpha }}+p_{2}{\frac {\partial q_{2}}{\partial \alpha }}+\ldots +p_{k}{\frac {\partial q_{k}}{\partial \alpha }}\right)_{t}\\&-\left(p_{1}{\frac {\partial q_{1}}{\partial \alpha }}+p_{2}{\frac {\partial q_{2}}{\partial \alpha }}+\ldots +p_{k}{\frac {\partial q_{k}}{\partial \alpha }}\right)_{0}\,;\end{aligned}}$

si nous la multiplions par $d\alpha ,$ pour l’ajouter ensuite à toutes les équations analogues que l’on obtiendrait en remplaçant la constante $\alpha ,$ successivement, par toutes celles qui figurent dans les intégrales du problème, on aura

(7)

$\left\{{\begin{aligned}\delta \mathrm {S} =&p_{1}\delta q_{1}+p_{2}\delta q_{2}+\ldots +p_{k}\delta q_{k}\\&-(p_{1})_{0}(\delta q_{1})_{0}-(p_{2})_{0}(\delta q_{2})_{0}-\ldots -(p_{k})_{0}(\delta q_{k})_{0},\end{aligned}}\right.$

en désignant par le signe $\delta$ la variation totale d’une fonction des diverses constantes, lorsque celles-ci varient toutes à la fois.

Remarquons, actuellement, que $\mathrm {S} ,$ étant une fonction de $t$ et des $2k$ constantes arbitraires, peut s’exprimer en fonction de $t$ et de $q_{1},\,q_{2},\,\ldots ,\,q_{k},$ $(q_{1})_{0},\,(q_{2})_{0},\,\ldots ,\,(q_{k})_{0}.$ On a admis, en effet, que $q_{1},\,q_{2},\,\ldots ,\,q_{k}$ sont des fonctions de $t$ et de $2k$ constantes ; si, dans les $k$ équations qui les déterminent, on fait $t=0,$ on obtiendra $k$ équations nouvelles, dans lesquelles $(q_{1})_{0},\,(q_{2})_{0},$ $\ldots ,\,(q_{k})_{0}$ remplaceront $q_{1},\,q_{2},\,\ldots ,\,q_{k},$ et qui, jointes aux précédentes, permettent d’exprimer les $2k$ constantes en fonction de $t$ et de $q_{1},\,q_{2},\,\ldots ,\,q_{k},$ $(q_{1})_{0},\,(q_{2})_{0},\,\ldots ,\,(q_{k})_{0}.$ Si nous supposons que le calcul indiqué soit effectué, l’équation (7) fournira la variation de $\mathrm {S} ,$ lorsque toutes les variables dont cette fonction dépend, à l’exception de $t$ seulement, reçoivent des accroissements infiniment petits. On en conclut, d’après les principes du Calcul différentiel,

(8)

$\left\{{\begin{aligned}&{\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial q_{1}}}=p_{1},\qquad {\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial q_{2}}}=p_{2},\qquad \ldots ,\qquad {\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial q_{k}}}=p_{k},\\&{\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial (q_{1})_{0}}}=-(p_{1})_{0},\quad {\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial (q_{2})_{0}}}=-(p_{2})_{0},\quad \ldots ,\quad {\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial (q_{k})_{0}}}=-(p_{k})_{0},\end{aligned}}\right.$

et ces équations ayant lieu entre $p_{1},\,p_{2},\,\ldots ,\,p_{k},\,q_{1},\,q_{2},\,\ldots ,\,q_{k},$ le temps $t$ et les $2k$ constantes $(p_{1})_{0},\,(p_{2})_{0},\,\ldots ,\,(p_{k})_{0},\,(q_{1})_{0},\,(q_{2})_{0},\,\ldots ,\,(q_{k})_{0},$ elles sont, évidemment, les intégrales complètes du problème. On peut remarquer que les équations qui composent la deuxième ligne du groupe (8) forment un système à part, dans lequel ne figurent pas $p_{1},\,p_{2},\,\ldots ,\,p_{k},$ et permettent, par conséquent, de calculer les inconnues $q_{1},\,q_{2},\,\ldots ,\,q_{k}$ en fonction du temps et de toutes les valeurs initiales $(q_{1})_{0},\,(q_{2})_{0},\,\ldots ,\,(q_{k})_{0},$ $(p_{1})_{0},\,(p_{2})_{0},\,\ldots ,\,(p_{k})_{0}.$

IV.

D’après la manière dont la fonction $\mathrm {S}$ s’est introduite au paragraphe précédent, il semble que, pour la connaître, il soit nécessaire d’avoir préalablement résolu le problème dont on s’occupe. Mais nous allons montrer que cette fonction satisfait à une équation différentielle partielle du premier ordre, dont toute intégrale complète peut la remplacer dans la formation des équations intégrales du problème de Mécanique.

Nous avons posé

(1)

$\mathrm {S} =\int _{0}^{t}(\mathrm {H+2T} )dt\,;$

en se reportant au paragraphe II, on a

$\mathrm {H=U-T} \,;$

donc

$\mathrm {S} =\int _{0}^{t}(\mathrm {U+T} )dt.$

Différentions les deux membres par rapport à $t,$ et remarquons que $\mathrm {S}$ contient $t,$ explicitement, et aussi à cause de $q_{1},\,q_{2},\,\ldots ,\,q_{k},$ qui en dépendent ; nous aurons

(2)

$\mathrm {U+T} ={\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial t}}+{\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial q_{1}}}{\frac {dq_{1}}{dt}}+{\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial q_{2}}}{\frac {dq_{2}}{dt}}+\ldots +{\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial q_{k}}}{\frac {dq_{k}}{dt}}.$

Or ${\frac {dq_{1}}{dt}},\,{\frac {dq_{2}}{dt}},\,\ldots ,\,{\frac {dq_{k}}{dt}}$ sont des fonctions linéaires de $p_{1},\,p_{2},\,\ldots ,\,p_{k},$ c’est-à-dire (§ III) de ${\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial q_{1}}},\,{\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial q_{2}}},\,\ldots ,\,{\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial q_{k}}},$ de sorte que, par la substitution de ces valeurs, l’équation (2) deviendra une équation différentielle partielle du second degré par rapport aux dérivées de $\mathrm {S} .$ Pour former cette équation, il faudrait transformer, comme nous l’avons indiqué, la somme

${\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial q_{1}}}q'_{1}+{\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial q_{2}}}q'_{2}+\ldots +{\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial q_{k}}}q'_{k},$

qui figure dans le second membre ; or le résultat de ce calcul sera évidemment le même si l’on substitue à cette somme l’expression

$p_{1}q'_{1}+p_{2}q'_{2}+\ldots +p_{k}q'_{k},$

qui n’en diffère que par le changement de ${\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial q_{1}}},\,{\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial q_{2}}},\,\ldots ,\,{\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial q_{k}}}$ en $p_{1},\,p_{2},\,\ldots ,\,p_{k},$ changement dont l’effet sera détruit par le changement inverse que l’on doit faire à la fin du calcul. Or, la fonction $\mathrm {T}$ étant homogène du second degré par rapport à $q'_{1},\,q'_{2},\,\ldots ,\,q'_{k},$ on a, identiquement,

$2\mathrm {T} ={\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q'_{1}}}q'_{1}+{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q'_{2}}}q'_{2}+{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q'_{k}}}q'_{k}=p_{1}q'_{1}+p_{2}q'_{2}+\ldots +p_{k}q'_{k}\,;$

en sorte que l’équation (2), à laquelle satisfait la fonction $\mathrm {S} ,$ peut s’écrire symboliquement

$\mathrm {U+T} ={\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial t}}+2\mathrm {T} ,$

c’est-à-dire

(3)

$\mathrm {U} ={\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial t}}+(\mathrm {T} ),$

les parenthèses qui entourent $\mathrm {T}$ indiquant que cette fonction doit être exprimée en fonction de $p_{1},\,p_{2},\,\ldots ,\,p_{k},$ et que ces variables seront ensuite remplacées par ${\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial q_{1}}},\,{\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial q_{2}}},\,\ldots ,\,{\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial q_{k}}}.$

L’équation (3) admettra une infinité de solutions contenant chacune $k$ constantes arbitraires, et que Lagrange nomme les intégrales complètes. L’une de ces intégrales sera la fonction $\mathrm {S}$ que nous avons définie dans le paragraphe précédent ; mais nous allons montrer que toute autre intégrale complète peut remplacer celle-là et fournir la solution du problème de Mécanique dont on s’occupe.

Soit, en effet,

(4)

$\mathrm {S} =\operatorname {F} \left(t,q_{1},\,q_{2},\,\ldots ,\,q_{k},a_{1},\,a_{2},\,\ldots ,\,a_{k}\right)$

une telle intégrale, satisfaisant identiquement à l’équation (3) et contenant $k$ constantes arbitraires ; si l’on pose

(5)

${\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial a_{1}}}=b_{1},\qquad {\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial a_{2}}}=b_{2},\qquad \ldots \qquad {\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial a_{k}}}=b_{k},$

je dis que l’on aura la solution complète du problème proposé, et que ces équations (5) fourniront les valeurs de $q_{1},\,q_{2},\,\ldots ,\,q_{k}$ en fonction de $t$ et de $2k$ constantes arbitraires. Pour le démontrer, rappelons-nous que les

équations différentielles du mouvement sont

(6)

$\left\{{\begin{alignedat}{4}{\frac {dp_{1}}{dt}}=&+{\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial q_{1}}},\qquad &{\frac {dp_{2}}{dt}}=&+{\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial q_{2}}},\qquad &&\ldots ,\qquad &{\frac {dp_{k}}{dt}}=&+{\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial q_{k}}},\\{\frac {dq_{1}}{dt}}=&-{\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial p_{1}}},\qquad &{\frac {dq_{2}}{dt}}=&-{\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial p_{2}}},\qquad &&\ldots ,\qquad &{\frac {dq_{k}}{dt}}=&-{\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial p_{k}}},\end{alignedat}}\right.$

dans lesquelles $\mathrm {H}$ désigne la différence $\mathrm {U-T} .$ $\mathrm {U}$ ne contenant pas $p_{1},\,p_{2},$ $\ldots ,\,p_{k},$ on a

${\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial p_{1}}}=-{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p_{1}}},$

en sorte que la seconde ligne des équations (6) peut s’écrire

(7)

${\frac {dq_{1}}{dt}}={\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p_{1}}},\qquad {\frac {dq_{2}}{dt}}={\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p_{2}}},\qquad \ldots ,\qquad {\frac {dq_{k}}{dt}}={\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p_{k}}}.$

Nous commencerons par montrer que ces équations (7) peuvent se déduite du système des équations (5).

En différentiant ces équations (5) par rapport à $t,$ nous aurons

(8)

${\frac {\partial ^{2}\mathrm {S} }{\partial a_{1}\partial t}}+{\frac {\partial ^{2}\mathrm {S} }{\partial q_{1}\partial a_{1}}}q'_{1}+{\frac {\partial ^{2}\mathrm {S} }{\partial q_{2}\partial a_{1}}}q'_{2}+\ldots +{\frac {\partial ^{2}\mathrm {S} }{\partial q_{k}\partial a_{1}}}q'_{k}=0,$

à laquelle il faudra adjoindre $k-1$ équations que l’on formera en changeant dans celle-ci $a_{1}$ en $a_{2},\,a_{3},\,\ldots ,\,a_{k}.$ Le système des $k$ équations ainsi obtenues donnera les valeurs de $q'_{1},\,q'_{2},\,\ldots ,\,q'_{k},$ qui résultent des relations (5).

Or, en différentiant par rapport à $a_{1}$ l’équation (3), à laquelle $\mathrm {S}$ satisfait identiquement, il vient

(9)

${\frac {\partial ^{2}\mathrm {S} }{\partial t\partial a_{1}}}+{\frac {\partial (\mathrm {T} )}{\partial a_{1}}}=0,$

${\frac {\partial (\mathrm {T} )}{\partial a_{1}}}$ désignant ici la dérivée par rapport à $a_{1}$ de l’expression dans laquelle se transforme $\mathrm {T} ,$ lorsque l’on y remplace $p_{1},\,p_{2},\,\ldots ,\,p_{k}$ par ${\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial q_{1}}},\,{\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial q_{2}}},$ $\ldots ,\,{\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial q_{k}}}.$ On a évidemment, d’après cela,

(10)

${\frac {\partial (\mathrm {T} )}{\partial a_{1}}}={\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p_{1}}}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {S} }{\partial q_{1}\partial a_{1}}}+{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p_{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {S} }{\partial q_{2}\partial a_{1}}}+\ldots +{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p_{k}}}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {S} }{\partial q_{k}\partial a_{1}}}\,;$

et, dans le second membre de cette équation, il faudra encore transformer ${\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p_{1}}},\,{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p_{2}}},\,\ldots ,\,{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p_{k}}},$ en y remplaçant $p_{1},\,p_{2},\,\ldots ,\,p_{k}$ par ${\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial q_{1}}},\,{\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial q_{2}}},$ $\ldots ,\,{\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial q_{k}}}.$

Pour indiquer cette transformation, nous placerons ces quantités entre des parenthèses. L’équation (9) deviendra alors

(11)

${\frac {\partial ^{2}(\mathrm {S} )}{\partial t\partial a_{1}}}+\left({\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p_{1}}}\right){\frac {\partial ^{2}\mathrm {S} }{\partial q_{1}\partial a_{1}}}+\left({\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p_{2}}}\right){\frac {\partial ^{2}\mathrm {S} }{\partial q_{2}\partial a_{1}}}+\ldots +\left({\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p_{k}}}\right){\frac {\partial ^{2}\mathrm {S} }{\partial q_{k}\partial a_{1}}}=0,$

à laquelle on pourra joindre $k-1$ équations que l’on formerait en changeant dans celle-ci $a_{1}$ en $a_{2},\,a_{3},\,\ldots ,\,a_{k}.$ Or, si l’on compare le système des équations ainsi obtenues avec celui dont l’équation (8) est le type, on en conclut que ce dernier sera satisfait par les valeurs suivantes des inconnues $q'_{1},\,q'_{2},$ $\ldots ,\,q'_{k}\,:$

(12)

$q'_{1}=\left({\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p_{1}}}\right),\quad q'_{2}=\left({\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p_{2}}}\right),\quad \ldots ,\quad q'_{k}=\left({\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p_{k}}}\right).$

Or, on a démontré [§ II, équation (5)] les relations

${\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p_{1}}}=q'_{1},\qquad {\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p_{2}}}=q'_{2},\qquad \ldots ,\qquad {\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p_{k}}}=q'_{k},$

en sorte que les formules précédentes peuvent s’écrire

(13)

$q'_{1}=(q'_{1}),\qquad q'_{2}=(q'_{2}),\qquad \ldots ,\qquad q'_{k}=(q'_{k}),$

$(q'_{1}),\,(q'_{2}),\,\ldots ,\,(q'_{k})$ désignant ce que deviennent les expressions $q'_{1},\,q'_{2},$ $\ldots ,\,q'_{k},$ lorsque, après les avoir exprimées en fonction de $p_{1},\,p_{2},\,\ldots ,\,p_{k},$ on remplace ces dernières variables par ${\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial q_{1}}},\,{\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial q_{2}}},\,\ldots ,\,{\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial q_{k}}}.$ Supposons maintenant qu’en faisant subir cette transformation aux seconds membres des équations (12) on exprime en même temps, et par les formules mêmes dont on aura à faire usage, les premiers membres en fonction de $p_{1},\,p_{2},\,\ldots ,\,p_{k}\,;$ on formera un système d’équations dont les deux membres ne différeront que par le changement de $p_{1},\,p_{2},\,\ldots ,\,p_{k}$ en ${\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial q_{1}}},\,{\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial q_{2}}},\,\ldots ,\,{\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial q_{k}}},$ et dont on déduira, par conséquent,

(14)

$p_{1}={\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial q_{1}}},\qquad p_{2}={\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial q_{2}}},\qquad \ldots ,\qquad p_{k}={\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial q_{k}}}.$

Si nous revenons actuellement aux équations (12), on peut les écrire

(15)

$q'_{1}={\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p_{1}}},\qquad q'_{2}={\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p_{2}}},\qquad \ldots ,\qquad q'_{k}={\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p_{k}}},$

en supprimant les parenthèses qui n’ont plus d’autre objet que d’indiquer la

substitution de ${\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial q_{1}}},\,{\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial q_{2}}},\,\ldots ,\,{\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial q_{k}}}$ à des quantités qui leur sont égales en vertu des équations (14). Les formules (15) forment une moitié des équations différentielles du mouvement, qui sont, par conséquent, satisfaites.

Les équations qui, jointes au système (15), représentent les conditions complètes du problème sont les suivantes :

(16)

${\frac {dp_{1}}{dt}}={\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial q_{1}}},\qquad {\frac {dp_{2}}{dt}}={\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial q_{2}}},\qquad \ldots ,\qquad {\frac {dp_{k}}{dt}}={\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial q_{k}}}.$

Pour montrer qu’elles sont également satisfaites, différentions par rapport à $t$ les équations (14) ; les résultats obtenus seront de la forme

(17)

${\frac {dp_{1}}{dt}}={\frac {\partial ^{2}\mathrm {S} }{\partial q_{1}\partial t}}+{\frac {\partial ^{2}\mathrm {S} }{\partial q_{1}^{2}}}q'_{1}+{\frac {\partial ^{2}\mathrm {S} }{\partial q_{1}\partial q_{2}}}q'_{2}+\ldots +{\frac {\partial ^{2}\mathrm {S} }{\partial q_{1}\partial q_{k}}}q'_{k},$

ou, en remplaçant $q_{1},\,q_{2},\,\ldots ,\,q_{k}$ par leurs valeurs ${\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p_{1}}},\,{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p_{2}}},\,\ldots ,\,{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p_{k}}},$

(18)

${\frac {dp_{1}}{dt}}={\frac {\partial ^{2}\mathrm {S} }{\partial q_{1}\partial t}}+{\frac {\partial ^{2}\mathrm {S} }{\partial q_{1}^{2}}}{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p_{1}}}+{\frac {\partial ^{2}\mathrm {S} }{\partial q_{1}\partial q_{2}}}{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p_{2}}}+\ldots +{\frac {\partial ^{2}\mathrm {S} }{\partial q_{1}\partial q_{k}}}{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p_{k}}}.$

Différentions actuellement par rapport à $q_{1}$ l’équation

(19)

$\mathrm {U} ={\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial t}}+(\mathrm {T} )\,;$

il viendra

(20)

$\left\{{\begin{alignedat}{2}{\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial q_{1}}}=&{\frac {\partial ^{2}\mathrm {S} }{\partial t\partial q_{1}}}+{\frac {\partial (\mathrm {T} )}{\partial q_{1}}}\\=&{\frac {\partial ^{2}\mathrm {S} }{\partial t\partial q_{1}}}+\left({\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q_{1}}}\right)&+\left({\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p_{1}}}\right){\frac {\partial ^{2}\mathrm {S} }{\partial q_{1}^{2}}}+\left({\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p_{2}}}\right){\frac {\partial ^{2}\mathrm {S} }{\partial q_{2}\partial q_{1}}}\\&&+\ldots +\left({\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p_{k}}}\right){\frac {\partial ^{2}\mathrm {S} }{\partial q_{k}\partial q_{1}}},\end{alignedat}}\right.$

ou, en remplaçant $\left({\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p_{1}}}\right),\,\left({\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial p_{2}}}\right),\,\ldots$ par leurs valeurs $q'_{1},\,q'_{2},\,\ldots ,\,q'_{k},$

(21)

${\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial q_{1}}}={\frac {\partial ^{2}\mathrm {S} }{\partial t\partial q_{1}}}+{\frac {\partial ^{2}\mathrm {S} }{\partial t\partial q_{1}}}+\left({\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q_{1}}}\right)+q'_{1}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {S} }{\partial q_{1}^{2}}}+q'_{2}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {S} }{\partial q_{2}\partial q_{1}}}+\ldots +q'_{k}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {S} }{\partial q_{k}\partial q_{1}}}.$

En comparant les équations (17) et (21), on conclut

${\frac {dp_{1}}{dt}}={\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial q_{1}}}-\left({\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q_{1}}}\right).$

Or on peut, en vertu des relations (14), enlever les parenthèses qui entourent ${\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial q_{1}}},$ et l’on a enfin

${\frac {dp_{1}}{dt}}={\frac {\mathrm {\partial (U-T)} }{\partial q_{1}}}={\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial q_{1}}}.$

C’est précisément la relation que nous voulions établir ; on obtiendrait des valeurs analogues pour ${\frac {dp_{2}}{dt}},\,\ldots ,\,{\frac {dp_{k}}{dt}},$ et il est prouvé, par conséquent, que toutes les équations du mouvement sont satisfaites par le système des relations (5).

L’idée de substituér à la fonction $\mathrm {S}$ de M. Hamilton l’une quelconque des intégrales de l’équation à laquelle elle satisfait est due à Jacobi^[1]. La démonstration a été développée par lui dans le cas d’un système sans liaisons. Plusieurs géomètres ont traité depuis la même question, mais je crois la démonstration précédente plus simple que celles qui avaient été données jusqu’ici.

V.

M. Hamilton nomme la fonction $\mathrm {S} ,$ à laquelle se rapportent les calculs précédents, la fonction principale du problème. Il a considéré, en outre, une autre fonction qu’il nomme caractéristigue, et que nous désignerons par $\mathrm {V} .$ Nous croyons devoir placer ici la définition de cette fonction $\mathrm {V}$ et l’indication de sa propriété la plus importante. C’est elle qui s’est présentée d’abord à M. Hamilton, et c’est en l’étudiant qu’il est, je crois, le plus facile d’apercevoir les idées qui l’ont guidé.

La fonction $\mathrm {V}$ n’est autre chose que l’intégrale $\int _{0}^{t}dt\sum mv^{2}$ que l’on considère dans le principe de la moindre action, de telle sorte qu’en cherchant à démontrer ce principe on peut être conduit de la manière la plus naturelle, comme on va le voir, à la belle découverte de M. Hamilton.

D’après la notation adoptée dans cette Note, on a

$\mathrm {V} =\int _{0}^{t}2\mathrm {T} dt=\int _{0}^{t}\left(p_{1}q'_{1}+p_{2}q'_{2}+\ldots +p_{n}q'_{n}\right)dt\,;$

on en déduit

${\begin{aligned}\delta \mathrm {V} a=&+\int _{0}^{t}\left(p_{1}\delta q'_{1}+p_{2}\delta q'_{2}+\ldots +p_{n}\delta q'_{n}\right)dt\\&+\int _{0}^{t}\left(q'_{1}\delta p_{1}+q'_{2}\delta p_{2}+\ldots +q'_{n}\delta p_{n}\right)dt,\end{aligned}}$

le signe $\delta$ se rapportant à la variation de toutes les constantes qui figurent dans $q_{1},\,q_{2},\,\ldots ,\,q_{n},\,p_{1},\,p_{2},\,\ldots ,\,p_{n}.$

En intégrant par parties les termes de la première intégrale, et remarquant que $\delta q'_{1}={\frac {d\,\delta q_{1}}{dt}},$ il vient

${\begin{aligned}\delta \mathrm {V} &=\\&\int _{0}^{t}\left(-\delta q_{1}{\frac {dp_{1}}{dt}}-\delta q_{2}{\frac {dp_{2}}{dt}}-\ldots -\delta q_{n}{\frac {dp_{n}}{dt}}+q'_{1}\delta p_{1}+q'_{2}\delta p_{2}+\ldots +q'_{n}\delta p_{n}\right)dt\\&+\left(p'_{1}\delta q_{1}+p'_{2}\delta q_{2}+\ldots +p'_{n}\delta q_{n}\right)_{0}^{t},\end{aligned}}$

les indices $0$ et $t$ placés après les parenthèses indiquant qu’il faut y remplacer successivement le temps par $0$ et $t,$ et faire la différence des deux résultats. Or, d’après les équations différentielles du mouvement, on a évidemment

$-\delta \mathrm {H} =-\delta q_{1}{\frac {dp_{1}}{dt}}-\delta q_{2}{\frac {dp_{2}}{dt}}-\ldots -\delta q_{n}{\frac {dp_{n}}{dt}}+q'_{1}\delta p_{1}+q'_{2}\delta p_{2}+\ldots +q'_{n}\delta p_{n}\,;$

en sorte que, $\delta \mathrm {H}$ étant constant en vertu du principe des forces vives, l’équation précédente devient

$\delta \mathrm {V} =-t\,\delta \mathrm {H} +p_{1}\delta q_{1}+p_{2}\delta q_{2}+\ldots +p_{n}\delta q_{n}-p_{1}^{0}\delta q_{1}^{0}-p_{2}^{0}\delta q_{2}^{0}-\ldots -p_{n}^{0}\delta q_{n}^{0}.$

Si donc on considère $\mathrm {V}$ comme une fonction de $q_{1},\,q_{2},\,\ldots ,\,q_{n},$ $q_{1}^{0},\,q_{2}^{0},\,\ldots ,\,q_{n}^{0},$ et de $\mathrm {H} ,$ on aura

${\begin{alignedat}{5}{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial q_{1}}}=&p_{1},&{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial q_{2}}}=&p_{2},&&\ldots ,&{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial q_{n}}}=&p_{n},\\{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial q_{1}^{0}}}=&-p_{1}^{0},\quad &{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial q_{2}^{0}}}=&-p_{2}^{0},\quad &&\ldots ,\quad &{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial q_{n}^{0}}}=&-p_{n}^{0},\quad &\mathrm {\frac {\partial V}{\partial H}} =&-t.\end{alignedat}}$

Ces équations peuvent être considérées comme la solution complète du problème proposé, qui sera, par conséquent, résolu si l’on parvient à déterminer la fonction caractéristique $\mathrm {V} \,;$ $\mathrm {V}$ satisfait comme $\mathrm {S}$ à une équation différentielle partielle dont une seule intégrale complète suffit pour résoudre le problème. Mais nous renverrons, pour l’étude de cette équation, au Mémoire de Jacobi, qui a traité avec développement le cas d’un système libre ; le

cas d’un système à liaisons quelconques ne présentera aucune difficulté aux personnes qui auront étudié les propositions analogues démontrées plus haut et relatives à la fonction $\mathrm {S} .$

Nous ne pouvons indiquer ici aucune application particulière de la théorie qui fait l’objet de cette Note. On pourra consulter utilement plusieurs Mémoires de M. Liouville, insérés aux tomes XIV et XVI de son Journal et dans les Additions à la Connaissance des Temps pour 1850. (Note de M. J. Bertrand.)

1. Journal de Crelle, t. 17.