NOTE VII.
Sur un théorème de Poisson.
Poisson a fait connaître, dans l’un de ses Mémoires, un théorème très général sur lequel il avait fondé une manière nouvelle de présenter la théorie de la variation des constantes arbitraires. Quoique ce théorème semblât extrêmement remarquable en lui-même, Poisson se contenta de l’appliquer au but spécial qu’il se proposait, sans indiquer même qu’il fût possible d’en faire un autre usage. Plus de trente années après, au moment même de la mort de Poisson, l’attention des géomètres fut appelée de nouveau sur ce point par l’illustre Jacobi, qui signala le théorème de Poisson comme un résultat prodigieux, et le plus important à ses yeux de toute la science du mouvement. Jacobi n’ajoutait d’ailleurs aucun développement à cette assertion, sur laquelle ses œuvres posthumes nous donneront peut-être quelques détails. Le but de cette Note est de faire connaître le théorème de Poisson et d’indiquer le parti que l’on peut en tirer pour l’intégration des équations différentielles de la Mécanique.
I.
Considérons un problème quelconque de Mécanique auquel s’applique la transformation de M. Hamilton exposée dans la Note précédente. Soient
(1)
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les équations différentielles de ce problème. Si l’on suppose connues deux intégrales de ce système d’équations, contenant chacune une constante arbitraire et résolues par rapport à ces constantes,
(2)
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(3)
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le théorème de Poisson consiste en ce que l’expression
(4)
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qu’il désigne par
conserve une valeur constante pendant la durée du mouvement ; en sorte que, si l’équation
![{\displaystyle (\alpha ,\beta )=\mathrm {const} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3498a209152aca392a02356c5ce13cea8ffa450d)
n’est pas une identité, elle sera une intégrale du système d’équations différentielles proposé.
Pour démontrer cette proposition, nous allons former la dérivée de l’expression
et vérifier qu’elle est nulle ; on a
(5)
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Or,
et
étant des intégrales du système (1),
et
sont nuls identiquement lorsque l’on a égard à ces équations, et l’on a
![{\displaystyle {\frac {\partial \alpha }{\partial t}}+\sum {\frac {\partial \alpha }{\partial p_{i}}}{\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial q_{i}}}-{\frac {\partial \alpha }{\partial q_{i}}}{\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial p_{i}}}=0,\qquad {\frac {\partial \beta }{\partial t}}+\sum {\frac {\partial \beta }{\partial p_{i}}}{\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial q_{i}}}-{\frac {\partial \beta }{\partial q_{i}}}{\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial p_{i}}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f18a361b784aacd54f93ad9330f938b60bd7a93)
si l’on différentie ces deux équations par rapport à
et à
désignant un indice quelconque, on aura
(6)
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(7)
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et deux autres équations qui ne différeraient de celles-là que par le changement de
en ![{\displaystyle \beta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a7eccdb23980e06f136fbea999c8e96e7db1b6b)
On a d’ailleurs
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial \alpha }{\partial p_{i'}}}=&{\frac {\partial ^{2}\alpha }{\partial t\partial p_{i'}}}+\sum {\frac {\partial ^{2}\alpha }{\partial p_{i}\partial p_{i'}}}{\frac {dp_{i}}{dt}}+{\frac {\partial ^{2}\alpha }{\partial q_{i}\partial p_{i'}}}{\frac {dq_{i}}{dt}}\\=&{\frac {\partial ^{2}\alpha }{\partial t\partial p_{i'}}}+\sum {\frac {\partial ^{2}\alpha }{\partial p_{i}\partial p_{i'}}}{\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial q_{i}}}-{\frac {\partial ^{2}\alpha }{\partial q_{i}\partial p_{i'}}}{\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial p_{i}}},\\{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial \alpha }{\partial q_{i'}}}=&{\frac {\partial ^{2}\alpha }{\partial t\partial q_{i'}}}+\sum {\frac {\partial ^{2}\alpha }{\partial p_{i}\partial q_{i'}}}{\frac {dp_{i}}{dt}}+{\frac {\partial ^{2}\alpha }{\partial q_{i}\partial q_{i'}}}{\frac {dq_{i}}{dt}}\\=&{\frac {\partial ^{2}\alpha }{\partial t\partial q_{i'}}}+\sum {\frac {\partial ^{2}\alpha }{\partial p_{i}\partial q_{i'}}}{\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial q_{i}}}-{\frac {\partial ^{2}\alpha }{\partial q_{i}\partial q_{i'}}}{\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial p_{i}}},\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0378f99d6f5719aa771bcc551fc6e39ff9e8e0d2)
en vertu de ces relations, les équations (6) et (7) peuvent s’écrire
(8)
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(9)
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et l’on aurait de même
(10)
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(11)
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Si l’on déduit des équations (8), (9), (10), (11) les valeurs de
pour toutes les valeurs de l’indice
et qu’on les reporte dans l’équation (5) que nous voulons démontrer, on obtiendra une identité, comme on s’en assure bien simplement en remarquant qu’après cette substitution tous les termes du second membre contiennent en facteur une seconde dérivée de la fonction
en réunissant les termes qui correspondent à la même dérivée, on verra qu’ils sont au nombre de quatre et se détruisent deux. On en conclut
![{\displaystyle {\frac {d(\alpha ,\beta )}{dt}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c79c11ffd1af072841cc2b37fce083ba53a7c8)
et, par suite,
![{\displaystyle (\alpha ,\beta )=\mathrm {const.} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2649bd0babcdfcf516c621f459426416d0931aa4)
ce qui est précisémentle théorème de Poisson.
Si
est une fonction des variables
que l’on ne puisse pas considérer comme fonction de
et de
cette équation
sera une troisième intégrale que l’on pourra combiner avec les deux intégrales
et
de manière à former une nouvelle expression constante qui, dans certains cas, pourra être une quatrième intégrale, et ainsi de suite. Malheureusement, les cas dans lesquels ce procédé ne conduit pas à des intégrales nouvelles sont excessivement nombreux. Nous allons donner quelques détails sur cette question importante.
II.
Soient
![{\displaystyle \alpha =\varphi _{1},\qquad \beta =\varphi _{2},\qquad \gamma =\varphi _{3},\qquad \ldots ,\qquad \lambda =\varphi _{2k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6e3cc04719151023f387d80d9a19a8239bca40f)
les intégrales d’un problème de Mécanique
représentant des fonctions des inconnues et de la lettre
qui conservent la même valeur pendant toute la durée du mouvement. Une fonction arbitraire de
partagera évidemment la même propriété, et nous pourrons regarder
![{\displaystyle \mathrm {A} =\operatorname {F} _{1}\left(\varphi _{1},\,\varphi _{2},\,\ldots ,\,\varphi _{2k}\right)=\operatorname {F} _{1}\left(\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots ,\eta ,\lambda \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96a4ceba5ec9793535000a838c185786e8fb6171)
comme étant aussi une intégrale des équations différentielles du mouvement.
Si nous considérons une seconde intégrale
![{\displaystyle \mathrm {B} =\operatorname {F} _{2}\left(\varphi _{1},\,\varphi _{2},\,\ldots ,\,\varphi _{2k}\right)=\operatorname {F} _{2}\left(\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots ,\eta ,\lambda \right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d494ac45f3196092f3cae287bcc3fe9c1c8950c)
et
désignant deux fonctions arbitraires, on vérifiera bien facilement, par les seules règles de la différentiation, qu’en combinant les deux intégrales
et
comme il a été dit dans le paragraphe précédent, on obtiendra identiquement
![{\displaystyle \quad (\mathrm {A,B} )=+(\alpha ,\beta )\left({\frac {\partial \operatorname {F} _{1}}{\partial \alpha }}{\frac {\partial \operatorname {F} _{2}}{\partial \beta }}-{\frac {\partial \operatorname {F} _{1}}{\partial \beta }}{\frac {\partial \operatorname {F} _{2}}{\partial \alpha }}\right)+(\alpha ,\gamma )\left({\frac {\partial \operatorname {F} _{1}}{\partial \alpha }}{\frac {\partial \operatorname {F} _{2}}{\partial \gamma }}-{\frac {\partial \operatorname {F} _{1}}{\partial \gamma }}{\frac {\partial \operatorname {F} _{2}}{\partial \alpha }}\right)+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc2b1e6c3c71463b53ae083fb7de875bbbfc7ba6)
![{\displaystyle +(\beta ,\gamma )\left({\frac {\partial \operatorname {F} _{1}}{\partial \beta }}{\frac {\partial \operatorname {F} _{2}}{\partial \gamma }}-{\frac {\partial \operatorname {F} _{1}}{\partial \gamma }}{\frac {\partial \operatorname {F} _{2}}{\partial \beta }}\right)+\ldots +(\eta ,\lambda )\left({\frac {\partial \operatorname {F} _{1}}{\partial \eta }}{\frac {\partial \operatorname {F} _{2}}{\partial \lambda }}-{\frac {\partial \operatorname {F} _{1}}{\partial \lambda }}{\frac {\partial \operatorname {F} _{2}}{\partial \eta }}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaf017ebfe57b3ed7932fecfc814c53d1db52b3c)
Cette formule fournit le résultat de la combinaison de deux intégrales
et
en fonction des résultats obtenus par la combinaison des intégrales dont
et
dépendent ; elle nous sera fort utile.
III.
Lorsque l’on connaît deux intégrales, que nous désignerons, pour abréger, par le nom des constantes
et
qui y figurent, il peut arriver, de deux manières différentes, que le résultat de leur combinaison ne fournisse pas une intégrale nouvelle. Cela aura lieu, en effet, si l’expression
est identiquement constante, et si, sans être identiquement constante, elle est fonction de
et de
de manière à pouvoir résulter de la combinaison de ces deux intégrales. Il est important d’examiner ces deux cas et de reconnaître s’ils doivent fréquemment se présenter. Nous démontrerons d’abord un théorème qui permet de les rattacher l’un à l’autre.
Si
![{\displaystyle \alpha =\varphi ,\qquad \beta =\psi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8592909c7a3f5defbe6a923f5482afc047fb0baf)
sont deux intégrales d’un même problème, telles que
soit une fonction de
et de
il existe toujours une fonction de
et de
qui, égalée à une constante
fournira une intégrale telle que
soit identiquement l’unité.
On
en effet, d’après la formule du paragraphe précédent,
![{\displaystyle (\alpha ,\gamma )=(\alpha ,\beta ){\frac {\partial \gamma }{\partial \beta }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0b0ef5b77a3b9c64fc23cfa029f0f267fb6d15c)
si donc
est, comme on l’a supposé, fonction de
et de
on pourra toujours déterminer
par la condition
![{\displaystyle {\frac {\partial \gamma }{\partial \beta }}={\frac {1}{(\alpha ,\beta )}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc699b6fa10e44df345061b70bb053578eadc3e0)
et faire en sorte que
soit égal à l’unité.
IV.
Après avoir montré que les deux cas dans lesquels le théorème de Poisson donne des résultats illusoires sont liés intimementl’un à l’autre, nous allons nous borner à étudier les intégrales qui, combinées avec une intégrale donnée, donnent à l’expression de Poisson une valeur identiquement constante.
Nous démontrerons le théorème suivant :
Quelle que soit une intégrale donnée
on peut toujours compléter la solution du problème en lui adjoignant d’autres intégrales
qui, combinées avec
donnent à l’équation de Poisson une forme identique, de telle sorte que l’on ait
![{\displaystyle (\alpha ,\beta _{1})=1,\quad (\alpha ,\beta _{2})=0,\quad (\alpha ,\beta _{3})=0,\quad \ldots ,\quad (\alpha ,\beta _{2k-1})=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37405c3718c48e9fa868afa691cffc15e9795bed)
Nous commencerons par remarquer que, quelle que soit l’intégrale
il est impossible qu’il n’en existe pas moins une autre
telle que
soit différent de zéro. Si, en effet, il en était autrement, l’équation
![{\displaystyle \sum {\frac {\partial \alpha }{\partial p_{1}}}{\frac {\partial \beta }{\partial q_{1}}}-{\frac {\partial \alpha }{\partial q_{1}}}{\frac {\partial \beta }{\partial p_{1}}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/276c5788ce51303ae4dc92af81bb281e6a9b1d3e)
dans laquelle la fonction
est regardée comme inconnue, admettrait toutes les solutions de l’équation
![{\displaystyle \sum {\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial p_{1}}}{\frac {\partial \beta }{\partial q_{1}}}-{\frac {\partial \mathrm {H} }{\partial q_{1}}}{\frac {\partial \beta }{\partial p_{1}}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/939d3d8704055ca23ba609f3ec5d536206145074)
qui exprime que
est une intégrale. Or, ces deux équations étant linéaires et contenant le même nombre de variables indépendantes, ne peuvent avoir la même intégrale générale sans être identiques, ce qui exige, évidemment, que ex soit une fonction de
c’est-à-dire que l’intégrale donnée soit celle des forces vives. Mais, dans ce cas-là même, il existe une intégrale qui, combinée avec, donne pour résultat l’unité ; c’est celle dont la constante est ajoutée au temps. Notre assertion est donc démontrée dans tous les cas.
Nous montrerons, en second lieu, qu’à une intégrale donnée
il en correspond toujours au moins une autre
telle que
![{\displaystyle (\alpha ,\beta )=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94cfa1e18517e0ecda66193f6ee45bb40a78677d)
Soit, en effet,
une intégrale, telle que
soit différent de zéro. Posons
![{\displaystyle {\begin{aligned}(\alpha ,\gamma )=&\delta ,\\(\alpha ,\delta )=&\varepsilon ,\\(\alpha ,\varepsilon )=&\eta ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4408ece771010dcc55213ec933fb277bf6aa2668)
et arrêtons-nous lorsque l’une des intégrales
sera identiquement constante ou fonction des précédentes. Il est impossible que l’un de ces cas ne finisse pas par se présenter, car le nombre des intégrales distinctes est nécessairement limité. Supposons, par exemple, que l’on ait
![{\displaystyle \eta =\operatorname {F} (\alpha ,\gamma ,\delta ,\varepsilon ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3f2d2f565661ab7e292f2d7dc07bcb004ecea7b)
la fonction
pouvant se réduire à une simple constante. Soit
une nouvelle intégrale que je nomme
on aura
![{\displaystyle (\alpha ,\zeta )=\delta {\frac {\partial \varpi }{\partial \gamma }}+\varepsilon {\frac {\partial \varpi }{\partial \delta }}+\eta {\frac {\partial \varpi }{\partial \varepsilon }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/281246ff6901b7828ad334d23b019f1a0df5566d)
et, en posant
on obtiendra une équation différentielle de laquelle on déduira ![{\displaystyle \varpi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/708f6611303e54eefbedd289cd48ca2ed16af127)
Nous pouvons actuellement donner la démonstration du théorème qui fait l’objet de ce paragraphe.
Une intégrale
étant donnée, on peut toujours compléter la solution du problème par des intégrales
telles que
![{\displaystyle (\alpha ,\beta _{1})=1,\qquad (\alpha ,\beta _{2})=0,\qquad \ldots ,\qquad (\alpha ,\beta _{2k-1})=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/770d3fd39afb0dd8a99064ae45fe2d990576dfea)
L’existence de l’intégrale
telle que
a été démontrée plus haut. Il reste donc à prouver qu’il existe
intégrales distinctes de
et de
qui, combinées avec
donnent à l’équation de Poisson la forme
Nommons, en effet,
le nombre des intégrales qui remplissent cette condition, et désignons-les par
Si
est moindre que
il existera des intégrales indépendantes de celles-là, ainsi que de
et de
Soit
une de ces intégrales, posons
![{\displaystyle (\alpha ,\beta _{\mu +2})=\beta _{\mu +3}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f52a75f9de92e0c609a69a9fe5af243297934ca1)
sera, par hypothèse, différent de zéro. Il le sera également de l’unité, car on aurait sans cela
![{\displaystyle (\alpha ,\beta _{\mu +2}-\beta _{1})=,0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ab5c0bfda12ccdfcbc5fcf2c332519f16c70c26)
et
serait alors, d’après ce que nous avons supposé, fonction de
en sorte que
ne serait pas une intégrale nouvelle.
Posons
![{\displaystyle {\begin{aligned}(\alpha ,\beta _{\mu +3})=&\beta _{\mu +4},\\(\alpha ,\beta _{\mu +4})=&\beta _{\mu +5},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afd62a8b617a808e74a0d89b92a75f42e29960ce)
et ainsi de suite, jusqu’à ce que nous arrivions à une intégrale identiquement constante ou fonction des précédentes. Soit
![{\displaystyle \beta _{\mu +i}=\operatorname {F} \left(\beta _{\mu +i-1},\,\beta _{\mu +i-2},\,\beta _{\mu +i-3},\,\ldots ,\,\beta _{1},\,\alpha \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e26c7036d71d970ee7f1753ae338d2f0bf6eaa3)
cette intégrale, et posons
![{\displaystyle \gamma =\varpi \left(\beta _{\mu +i-1},\,\beta _{\mu +i-2},\,\beta _{\mu +i-3},\,\ldots ,\,\beta _{1},\,\alpha \right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4da8062588a32ebd7df1846e36e44ef7842fe4f5)
nous aurons
![{\displaystyle (\alpha ,\gamma )={\frac {\partial \varpi }{\partial \beta _{\mu +i-1}}}\operatorname {F} +{\frac {\partial \varpi }{\partial \beta _{\mu +i-2}}}\beta _{\mu +i-1}+\ldots +{\frac {\partial \varpi }{\partial \beta _{1}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d571c782f7ca1edb53cb57a0abfe20c7669cc09)
et, en égalant
à zéro, on obtiendra évidemment une équation en, dont l’intégrale fournira des solutions fonctions de
et distinctes de
car, sans cela, il existerait, contrairement à ce que l’on a supposé, une relation entre les intégrales obtenues avant ![{\displaystyle \beta _{\mu +1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1152c05fd6d2c2db4dce5021b460299c56a88d7)
Nous avions donc fait une hypothèse impossible en limitant à
![{\displaystyle \mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161)
le nombre des intégrales qui, combinées avec
![{\displaystyle \alpha ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b2cc8f6d373595f06dcd33f127dadf2b9d5727f)
donnent un résultat identiquement nul, et il est impossible que
![{\displaystyle \mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161)
soit différent de
Le théorème énoncé est, par conséquent, démontré.
V.
D’après ce qui précède, une intégrale
étant donnée, on peut compléter la solution du problème par des intégrales
qui, combinées avec
donnent toutes à la formule de Poisson une formule identique. Il ne faut pas croire cependant que toutes les intégrales du problème soient pour cela dans le même cas.
Considérons, en effet, l’intégrale la plus générale
![{\displaystyle \varpi (\alpha ,\,\beta _{1},\,\beta _{2},\,\ldots ,\,\beta _{2k-1})=\eta \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c2fbf2c3f9f161380d21936119d5b0457300919)
on aura, d’après la formule du paragraphe II,
![{\displaystyle (\alpha ,\eta )=(\alpha ,\beta _{1}){\frac {\partial \eta }{\partial \beta _{1}}}={\frac {\partial \eta }{\partial \beta _{1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a53a5e07b2b097633cf680260a7a2b9fb0c81178)
et, par conséquent, l’expression
ne sera identiquement constante que si
est constant lui-même ; mais on voit que toutes les intégrales, en nombreinfini, qui résultent de la combinaison de
donneront un résultat identiquement nul, si on les combine avec
Celles-là seules, qui contiennent
peuvent conduire à des résultats non identiques. Les deux intégrales
et
se trouvent, d’après cela, liées l’une à l’autre d’une manière toute spéciale, et je proposerai de les désigner sous le nom d’intégrales conjuguées. Les propriétés de ces intégrales conjuguées formeraient une étude intéressante, dont les développements ne doivent pas trouver place ici. Pour l’application que l’on peut faire du théorème de Poisson à l’intégration des équations différentielles de la Mécanique, je renverrai à un Mémoire publié dans le tome XVII du Journal de M. Liouville, page 393.
(
Note de M. J. Bertrand.)