NOTES.
NOTE I.
Sur la convergence des séries ordonnées suivant les puissances de l’excentricité qui se présentent dans la théorie du mouvement elliptique ; par M. V. Puiseux.
Nommons l’anomalie moyenne d’une planète, l’anomalie excentrique, l’excentricité de l’orbite, de sorte qu’on ait l’équation
on peut désirer de savoir dans quel cas la variable et les fonctions finies et continues de cette variable peuvent être développées en séries convergentes ordonnées suivant les puissances croissantes de
Pour répondre à cette question, observons d’abord que, étant regardée comme une constante réelle et comme une variable réelle ou imaginaire, l’équation transcendante
détermine pour chaque valeur de une infinité de valeurs de dont l’une se réduit à zéro pour tandis que les autres deviennent infinies. Généralement, les valeurs de correspondantes à une valeur de sont inégales ; mais, pour certaines valeurs de deux valeurs de deviennent égales, et, par conséquent, vérifient à la fois les deux équations
dont la seconde est la dérivée de la première prise par rapport à Parmi ces valeurs de il y en a une dont le module est le plus petit ; nous nommerons ce plus petit module, lequel dépend d’ailleurs de la constante
Cela posé, si l’on assujettit le module de à rester moindre que et la variable à s’annuler pour sera une fonction de complètement déterminée et qui, pour les valeurs réelles de se confondra avec l’anomalie excentrique du mouvement des planètes ; de plus, cette fonction et les fonctions finies et continues de celle-là pourront être développées en séries convergentes ordonnées suivant les puissances croissantes de
Ces propositions, qui résultent de théorèmes bien connus[1], étant admises, la question revient à déterminer le module ou plutôt, comme ce module dépend de à trouver le minimum des valeurs de qui répondent aux diverses valeurs de c’est ce que nous allons faire en suivant la marche tracée par M. Cauchy.
Nommons la base des logarithmes népériens, et soit
la valeur de qui a le module cette valeur de jointe à une valeur convenable de vérifie à la fois les équations
On trouve, en différentiant la première par rapport à
ou simplement, en ayant égard à la seconde,
Mais l’équation
nous donne
et, par suite,
Mettant pour sa valeur il vient
Supposons maintenant la constante telle que prenne sa valeur minimum ; on aura
et l’équation précédente montre qu’alors la partie réelle de sera nulle ; il en sera de même, par conséquent, de la partie réelle de et l’on pourra poser
étant une quantité réelle, ou bien
Portons cette valeur de dans la relation
qui résulte de l’élimination de entre les deux équations
il viendra
ou bien
ou encore
Chaque membre de cette dernière équation doit être nul séparément ; on peut donc poser, ou
ou encore
ou enfin
La première solution doit être rejetée, car on en conclurait
ou bien
équation impossible, étant réel. La seconde solution nous donne [2] et l’équation en peut s’écrire
ou
on voit que la quantité réelle et positive n’a qu’une seule valeur ; en la déterminant par des essais successifs et extrayant la racine carrée, on trouve
On a ensuite
d’où, en ajoutant les carrés,
et, par conséquent,
Pour savoir si le module de est un maximum ou un minimum, il faut chercher si, en adoptant pour cette valeur, on obtient pour une quantité négative ou positive. Or l’équation
nous donne
Mais de l’équation
nous tirons
Il en résulte
ou bien, en remplaçant par
Mais, le premier membre étant réel, le second doit l’être aussi ; on a donc
et, par suite,
Le nombre surpassant l’unité, on voit par là que est une quantité positive, et qu’ainsi la valeur de correspondante à est bien un minimum.
La troisième solution nous donnerait
on aurait en même temps
ou
par suite
Il s’ensuivrait mais cette valeur de ne peut être qu’un maximum, puisque, pour est un minimum, et qu’entre et il n’y a pas de maximum, non plus qu’entre et
Le nombre trouvé ci-dessus est donc bien le seul minimum de et ce minimum répond à Ainsi les développements en série dont on fait usage dans la théorie du mouvement elliptique sont toujours convergents, tant que l’excentricité est inférieure à dès que l’excentricité dépasse cette limite, les séries cessent d’être convergentes, si l’anomalie moyenne est égale à Mais, si l’anomalie moyenne est différente de ces mêmes séries resteront convergentes jusqu’à des valeurs de supérieures à et d’autant plus voisines de que l’anomalie moyenne est elle-même plus voisine de zéro ou de