Mécanique analytique/Partie 2/Section 12

Joseph-Louis Lagrange

Mécanique analytique

Gauthier-Villars et Fils, 1869 (Œuvres de Lagrange. Tome XII, p. 323-340).

SECTION DOUZIÈME.

DU MOUVEMENT DES FLUIDES COMPRESSIBLES ET ÉLASTIQUES

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1. Pour appliquer à cette sorte de fluides l’équation générale de l’article 2 de la Section précédente, on observera que le terme _S$\lambda \delta \mathrm {L}$ doit y être effacé, puisque la condition de l’incompressibilité à laquelle ce terme est dû n’existe plus dans l’hypothèse présente ; mais, d’un autre côté, il y faudra tenir compte de l’action de l’élasticité, qui s’oppose à la compression et qui tend à dilater le fluide.

Soit donc $\varepsilon$ l’élasticité d’une particule quelconque $\operatorname {D} m$ du fluide ; comme son effet consiste à augmenter le volume $\operatorname {D} x\operatorname {D} y\operatorname {D} z$ de cette particule, et, par conséquent, à diminuer la quantité $-\operatorname {D} x\operatorname {D} y\operatorname {D} z,$ il en résultera pour cette particule le moment $-\varepsilon \delta (\operatorname {D} x\operatorname {D} y\operatorname {D} z)$ à ajouter au premier membre de la même équation. De sorte qu’on aura pour toutes les particules le terme intégral $-$_S$\varepsilon \delta (\operatorname {D} x\operatorname {D} y\operatorname {D} z)$ à substituer à la place du terme _S$\lambda \delta \mathrm {L} .$ Or, $\delta \mathrm {L}$ étant égal à $\delta (\operatorname {D} x\operatorname {D} y\operatorname {D} z),$ il est clair que l’équation générale demeurera de la même forme, en y changeant simplement $\lambda$ en $-\varepsilon .$ On parviendra donc aussi, par les mêmes procédés, à trois équations finales semblables aux équations (A), savoir

(a)

$\left\{{\begin{aligned}\Delta \left({\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\mathrm {X} \right)+{\frac {\operatorname {D} \varepsilon }{\operatorname {D} x}}=&0,\\\Delta \left({\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\mathrm {Y} \right)+{\frac {\operatorname {D} \varepsilon }{\operatorname {D} y}}=&0,\\\Delta \left({\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+\mathrm {Z} \right)+{\frac {\operatorname {D} \varepsilon }{\operatorname {D} z}}=&0.\end{aligned}}\right.$

Et il faudra de même que la valeur de $\varepsilon$ soit nulle à la surface du fluide, si le fluide y est libre ; mais s’il est contenu par des parois, la valeur de $\varepsilon$ sera égale à la résistance que les parois exercent pour contenir le fluide, ce qui est évident, puisque $\varepsilon$ exprime la force d’élasticité de ses particules.

2. Dans les fluides compressibles, la densité est toujours donnée par une fonction connue de $\varepsilon ,\,x,\,y,\,z,\,t,$ dépendante de la loi de l’élasticité du fluide et de celle de la chaleur, qui est supposée régner à chaque instant dans tous les points de l’espace. Il y a donc quatre inconnues $\varepsilon ,\,x,\,y,\,z,$ à déterminer en $t,$ et, par conséquent, il faut encore une quatrième équation pour la solution complète du problème. Pour les fluides incompressibles, la condition de l’invariabilité du volume a donné l’équation (B) de l’article 3, et celle de l’invariabilité de la densité d’un instant à l’autre a donné l’équation (H) de l’article 11. Dans les fluides compressibles, aucune de ces deux conditions n’a lieu en particulier, parce que le volume et la densité varient à la fois ; mais la masse qui est le produit de ces deux éléments doit demeurer invariable. Ainsi l’on aura

$d(\Delta \operatorname {D} x\operatorname {D} y\operatorname {D} z)=0.$

Donc, en différentiant logarithmiquement

${\frac {d\Delta }{\Delta }}+{\frac {d(\operatorname {D} x\operatorname {D} y\operatorname {D} z)}{\operatorname {D} x\operatorname {D} y\operatorname {D} z}}=0,$

et substituant la valeur de $d(\operatorname {D} x\operatorname {D} y\operatorname {D} z)$ [cette valeur est la même que celle de $\delta (\operatorname {D} x\operatorname {D} y\operatorname {D} z)$ de l’article 2 de la section précédente, en y changeant $d$ en $\delta$], on aura l’équation

(b)

${\frac {d\Delta }{\Delta }}+{\frac {\operatorname {D} dx}{\operatorname {D} x}}+{\frac {\operatorname {D} dy}{\operatorname {D} y}}+{\frac {\operatorname {D} dz}{\operatorname {D} z}}=0,$

laquelle répond à l’équation (B) de l’article 3 de la Section citée, celle-là étant relative à l’invariabilité du volume, et celle-ci à l’invariabilité de la masse.

3. Si l’on regarde les coordonnées $x,\,y,\,z$ comme des fonctions des coordonnées primitives $a,\,b,\,c$ et du temps $t$ écoulé depuis le commencement du mouvement, les équations (a) deviendront, par des procédés semblables à ceux de l’article 5 de la Section précédente, de cette forme

(c)

$\left\{{\begin{aligned}\theta \Delta \left({\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\mathrm {X} \right)&+\alpha \ \,{\frac {\partial \varepsilon }{\partial a}}\,+\beta \ \,{\frac {\partial \varepsilon }{\partial b}}+\gamma \ \ {\frac {\partial \varepsilon }{\partial c}}=0,\\\theta \Delta \left({\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\mathrm {Y} \right)&+\alpha '\ {\frac {\partial \varepsilon }{\partial a}}+\beta '\ {\frac {\partial \varepsilon }{\partial b}}+\gamma '\ {\frac {\partial \varepsilon }{\partial c}}=0,\\\theta \Delta \left({\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+\mathrm {Z} \right)&+\alpha ''{\frac {\partial \varepsilon }{\partial a}}+\beta ''{\frac {\partial \varepsilon }{\partial b}}\,+\gamma ''\,{\frac {\partial \varepsilon }{\partial c}}=0,\end{aligned}}\right.$

ou de celle-ci, plus simple,

(d)

$\left\{{\begin{aligned}\Delta \left[\left({\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\mathrm {X} \right){\frac {\partial x}{\partial a}}+\left({\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\mathrm {Y} \right){\frac {\partial y}{\partial a}}+\left({\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+\mathrm {Z} \right){\frac {\partial z}{\partial a}}\right]+{\frac {\partial \varepsilon }{\partial a}}=&0,\\\Delta \left[\left({\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\mathrm {X} \right){\frac {\partial x}{\partial b}}+\left({\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\mathrm {Y} \right){\frac {\partial y}{\partial b}}+\left({\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+\mathrm {Z} \right){\frac {\partial z}{\partial b}}\right]+{\frac {\partial \varepsilon }{\partial b}}=&0,\\\Delta \left[\left({\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\mathrm {X} \right){\frac {\partial x}{\partial c}}+\left({\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\mathrm {Y} \right){\frac {\partial y}{\partial c}}+\left({\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+\mathrm {Z} \right){\frac {\partial z}{\partial c}}\right]+{\frac {\partial \varepsilon }{\partial c}}=&0,\end{aligned}}\right.$

ces transformées étant analogues aux transformées (C) et (D) de l’endroit cité.

À l’égard de l’équation (b), en y appliquant les transformations de l’article 3 de la Section précédente, elle se réduira à cette forme

${\frac {d\Delta }{\Delta }}+{\frac {d\theta }{\theta }}=0,$

les différentielles $d\Delta$ et $d\theta$ étant relatives uniquement à la variable $t\,;$ de sorte qu’en intégrant, on aura

$\theta \Delta =\operatorname {fonct.} (a,b,c).$

Lorsque $t=0,$ nous avons vu dans l’article cité que $\theta$ devient $1\,;$ donc,

si l’on suppose que $\mathrm {H}$ soit alors la valeur de $\Delta ,$ on aura

$\mathrm {H} =\operatorname {fonct.} (a,b,c),$

et l’équation deviendra $\theta \Delta =\mathrm {H}$ ou bien

$\theta ={\frac {\mathrm {H} }{\Delta }},$

c’est-à-dire, en substituant pour $\theta$ sa valeur

(e)

$\left\{{\begin{aligned}&{\frac {\partial x}{\partial a}}{\frac {\partial y}{\partial b}}{\frac {\partial z}{\partial c}}-{\frac {\partial x}{\partial b}}{\frac {\partial y}{\partial a}}{\frac {\partial z}{\partial c}}+{\frac {\partial x}{\partial b}}{\frac {\partial y}{\partial c}}{\frac {\partial z}{\partial a}}\\-&{\frac {\partial x}{\partial c}}{\frac {\partial y}{\partial b}}{\frac {\partial z}{\partial a}}+{\frac {\partial x}{\partial c}}{\frac {\partial y}{\partial a}}{\frac {\partial z}{\partial b}}-{\frac {\partial x}{\partial a}}{\frac {\partial y}{\partial c}}{\frac {\partial z}{\partial b}}={\frac {\mathrm {H} }{\Delta }},\end{aligned}}\right.$

transformée analogue à la transformée (E) de l’article cité.

Enfin il faudra appliquer aussi à ces équations ce qu’on a dit, dans l’article 8 de la même Section, relativement à la surface du fluide.

4. Mais si l’on veut, ce qui est beaucoup plus simple, avoir des équations entre les vitesses $p,\,q,\,r$ des particules suivant les directions des coordonnées $x,\,y,\,z,$ en regardant ces vitesses, ainsi que les quantités $\Delta$ et $\varepsilon ,$ comme des fonctions de $x,\,y,\,z,\,t,$ on emploiera les transformations de l’article 10 de la Section précédente, et les équations (a) donneront sur-le-champ ces transformées, analogues aux transformées (F) de ce dernier article,

(f)

$\left\{{\begin{aligned}\Delta \left({\frac {\partial p}{\partial t}}+p{\frac {\partial p}{\partial x}}+q{\frac {\partial p}{\partial y}}+r{\frac {\partial p}{\partial z}}+\mathrm {X} \right)&+{\frac {\partial \varepsilon }{\partial x}}=0,\\\Delta \left({\frac {\partial q}{\partial t}}+p{\frac {\partial q}{\partial x}}+q{\frac {\partial q}{\partial y}}+r{\frac {\partial q}{\partial z}}+\mathrm {Y} \right)&+{\frac {\partial \varepsilon }{\partial y}}=0,\\\Delta \left({\frac {\partial r}{\partial t}}+p{\frac {\partial r}{\partial x}}+q{\frac {\partial r}{\partial y}}+r{\frac {\partial r}{\partial z}}+\mathrm {Z} \right)&+{\frac {\partial \varepsilon }{\partial z}}=0.\end{aligned}}\right.$

Dans l’équation (b), outre la substitution de $pdt,\,qdt,\,rdt,$ au lieu de $dx,\,dy,\,dz,$ et le changement de $\mathrm {D}$ en $d,$ il faudra encore mettre pour $d\Delta$ sa valeur complète

$\left({\frac {\partial \Delta }{\partial t}}+p{\frac {\partial \Delta }{\partial x}}+q{\frac {\partial \Delta }{\partial y}}+r{\frac {\partial \Delta }{\partial z}}\right)dt,$

et l’on aura, en divisant par $dt,$ cette transformée

${\frac {1}{\Delta }}{\frac {\partial \Delta }{\partial t}}+{\frac {p}{\Delta }}{\frac {\partial \Delta }{\partial x}}+{\frac {q}{\Delta }}{\frac {\partial \Delta }{\partial y}}+{\frac {r}{\Delta }}{\frac {\partial \Delta }{\partial z}}+{\frac {\partial p}{\partial x}}+{\frac {\partial q}{\partial y}}+{\frac {\partial r}{\partial z}}=0,$

laquelle, étant multipliée par $\Delta ,$ se réduit à cette forme plus simple

(g)

${\frac {\partial \Delta }{\partial t}}+{\frac {\partial (\Delta p)}{\partial x}}+{\frac {\partial (\Delta q)}{\partial y}}+{\frac {\partial (\Delta r)}{\partial z}}=0.$

À l’égard de la condition relative au mouvement des particules à la surface, elle sera représentée également par l’équation (I) de l’article 12 de la Section précédente, savoir

(i)

${\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial t}}+p{\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial x}}+q{\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial y}}+r{\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial z}}=0,$

en supposant que $\mathrm {A} =0$ soit l’équation de la surface.

5. Il est aisé de satisfaire à l’équation (g), en supposant

$\Delta p={\frac {\partial \alpha }{\partial t}},\quad \Delta q={\frac {\partial \beta }{\partial t}},\quad \Delta r={\frac {\partial \gamma }{\partial t}},$

$\alpha ,\,\beta ,\,\gamma$ étant des fonctions de $x,\,y,\,z,\,t.$ Par ces substitutions, l’équation dont il s’agit deviendra

${\frac {\partial \Delta }{\partial t}}+{\frac {\partial ^{2}\alpha }{\partial t\partial x}}+{\frac {\partial ^{2}\beta }{\partial t\partial y}}+{\frac {\partial ^{2}\gamma }{\partial t\partial z}}=0,$

laquelle est intégrable relativement à $t,$ et dont l’intégrale donnera

$\Delta =\mathrm {F} -{\frac {\partial \alpha }{\partial x}}-{\frac {\partial \beta }{\partial y}}-{\frac {\partial \gamma }{\partial z}},$

$\operatorname {F}$ étant une fonction de $x,\,y,\,z$ sans $t,$ dépendante de la loi de la densité initiale du fluide.

On aura ainsi

${\begin{aligned}p=&{\cfrac {\cfrac {\partial \alpha }{\partial t}}{\operatorname {F} -{\cfrac {\partial \alpha }{\partial x}}-{\cfrac {\partial \beta }{\partial y}}-{\cfrac {\partial \gamma }{\partial z}}}},\\q=&{\cfrac {\cfrac {\partial \beta }{\partial t}}{\operatorname {F} -{\cfrac {\partial \alpha }{\partial x}}-{\cfrac {\partial \beta }{\partial y}}-{\cfrac {\partial \gamma }{\partial z}}}},\\r=&{\cfrac {\cfrac {\partial \gamma }{\partial t}}{\operatorname {F} -{\cfrac {\partial \alpha }{\partial x}}-{\cfrac {\partial \beta }{\partial y}}-{\cfrac {\partial \gamma }{\partial z}}}}.\end{aligned}}$

Donc, substituant ces valeurs dans les équations (f) et mettant de plus pour $\varepsilon$ sa valeur en fonction de $\Delta ,\,x,\,y,\,z,\,t$ (art. 2), on aura trois équations aux différences partielles entre les inconnues $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma$ et les quatre variables $x,\,y,\,z,\,t,$ et la solution du problème ne dépendra plus que de l’intégration de ces équations ; mais cette intégration surpasse les forces de l’Analyse connue.

6. En faisant abstraction de la chaleur et des autres circonstances qui peuvent faire varier $l$’élasticité indépendamment de la densité, la valeur de l’élasticité $\varepsilon$ sera donnée par une fonction de la densité $\Delta ,$ de sorte que ${\frac {d\varepsilon }{\Delta }}$ sera une différentielle à une seule variable, et, par conséquent, intégrable, dont nous supposerons l’intégrale exprimée par $\mathrm {E} .$

Soit, de plus, la quantité $\mathrm {X} dx+\mathrm {Y} dy+\mathrm {Z} dz$ une différentielle complète, dont l’intégrale soit $\mathrm {V} ,$ comme dans l’article 15 de la Section précédente.

Les équations (f) de l’article 4, étant multipliées respectivement par $dx,\,dy,\,dz,$ et ensuite ajoutées ensemble, donneront, après la division par $\Delta ,$ une équation de la forme

(l)

$\left\{{\begin{aligned}d\mathrm {E} +d\mathrm {V} =&-\left({\frac {\partial p}{\partial t}}+p{\frac {\partial p}{\partial x}}+q{\frac {\partial p}{\partial y}}+r{\frac {\partial p}{\partial z}}\right)dx\\&-\left({\frac {\partial q}{\partial t}}+p{\frac {\partial q}{\partial x}}+q{\frac {\partial q}{\partial y}}+r{\frac {\partial q}{\partial z}}\right)dy\\&-\left({\frac {\partial r}{\partial t}}+p{\frac {\partial r}{\partial x}}+q{\frac {\partial r}{\partial y}}+r{\frac {\partial r}{\partial z}}\right)dz,\end{aligned}}\right.$

dont le premier membre étant intégrable, il faudra que le second le soit aussi. Ainsi l’on aura de nouveau le cas de l’équation (L) de l’article 15 de la Section précédente, et l’on parviendra, par conséquent, à des résultats semblables.

7. Donc, en général, si la quantité $pdx+qdy+rdz$ se trouve dans un instant quelconque une différentielle complète, ce qui a toujours lieu au commencement du mouvement lorsque le fluide part du repos ou qu’il est mis en mouvement par une impulsion appliquée à la surface, alors la même quantité devra être toujours une différentielle complète (Section précédente, art. 17 et 18).

Dans cette hypothèse on fera, comme dans l’article 20 de la Section précédente,

$pdx+qdy+rdz=d\varphi ,$

ce qui donne

$p={\frac {\partial \varphi }{\partial x}},\qquad q={\frac {\partial \varphi }{\partial y}},\qquad r={\frac {\partial \varphi }{\partial z}},$

et l’équation (l), étant intégrée après ces substitutions, donnera

(m)

$\mathrm {E} =-\mathrm {V} -{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)^{2}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)^{2}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)^{2},$

valeur qui satisfera en même temps aux trois équations (f) de l’article 4.

Or $\mathrm {E} ,$ étant égal à $\int {\frac {d\varepsilon }{\Delta }},$ sera une fonction de $\Delta ,$ puisque $\varepsilon$ est une fonction connue de $\Delta \,;$ donc $\Delta$ sera une fonction de $\mathrm {E} .$ Substituant donc la valeur de $\Delta$ tirée de l’équation précédente, ainsi que celles de $p,q,r,$ dans l’équation (g) de l’article 4, on aura une équation aux différences partielles de $\varphi ,$ laquelle, ne contenant que cette inconnue, suffira pour la déterminer ; de sorte que toute la difficulté sera réduite à cette unique intégration.

8. Dans les fluides élastiques connus, l’élasticité est toujours proportionnelle à la densité ; de sorte qu’on a pour ces fluides $\varepsilon =i\Delta ,$ $i$ étant un coefficient constant qu’on déterminera en connaissant la valeur de l’élasticité pour une densité donnée.

Ainsi, pour l’air, l’élasticité est égale au poids de la colonne de mercure dans le baromètre ; donc, si l’on nomme $\mathrm {H}$ la hauteur du baromètre pour une certaine densité de l’air qu’on prendra pour l’unité, $n$ la densité du mercure, c’est-à-dire le rapport numérique de la densité du mercure à celle de l’air, rapport qui est le même que celui des gravités spécifiques, et $g$ la force accélératrice de la gravité, on aura, lorsque $\Delta =1,$

$\varepsilon =gn\mathrm {H} \,;\qquad \mathrm {par\ cons{\acute {e}}quent,} \qquad i=gn\mathrm {H} ,$

où l’on remarque que $n\mathrm {H}$ est la hauteur de l’atmosphère supposée homogène. De sorte qu’en désignant cette hauteur par $h,$ on aura plus simplement

$i=gh\qquad {\text{et, de là}}\qquad \varepsilon =gh\Delta .$

Donc, puisque $\mathrm {E} =\int {\frac {d\varepsilon }{\Delta }},$ on aura

$\mathrm {E} =gh\log \Delta .$

Or l’équation (g) de l’article 4 peut se mettre sous la forme

${\frac {\partial \log \Delta }{\partial t}}+{\frac {\partial \log \Delta }{\partial x}}p+{\frac {\partial \log \Delta }{\partial y}}q+{\frac {\partial \log \Delta }{\partial z}}r+{\frac {\partial p}{\partial x}}+{\frac {\partial q}{\partial y}}+{\frac {\partial r}{\partial z}}=0.$

Donc, substituant ${\frac {\mathrm {E} }{gh}},\,{\frac {\partial \varphi }{\partial x}},\,{\frac {\partial \varphi }{\partial y}},\,{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}$ à la place de $\log \Delta ,\,p,\,q,\,r,$ et multipliant par $gh,$ elle deviendra

$gf\left({\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2}}}\right)+{\frac {\partial \mathrm {E} }{\partial t}}+{\frac {\partial \mathrm {E} }{\partial x}}{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}+{\frac {\partial \mathrm {E} }{\partial y}}{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}+{\frac {\partial \mathrm {E} }{\partial z}}{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}=0.$

Il n’y aura donc plus qu’à substituer pour $\mathrm {E}$ sa valeur trouvée ci-dessus, et cette substitution donnera l’équation finale en $\varphi$

(n)

$\left\{{\begin{aligned}0=&+gh\left({\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2}}}\right)-{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial x}}{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}-{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial y}}{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}-{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial z}}{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\\&-2{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x\partial t}}-2{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y\partial t}}-2{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z\partial t}}\\&-\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)^{2}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}-\left({\frac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)^{2}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}}-\left({\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)^{2}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2}}}\\&-2{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x\partial y}}-2{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x\partial z}}-2{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y\partial z}},\end{aligned}}\right.$

laquelle contient seule la théorie du mouvement des fluides élastiques dans l’hypothèse dont il s’agit.

9. Lorsque le mouvement du fluide est très petit, et qu’on n’a égard qu’aux quantités très petites du premier ordre, nous avons vu, dans l’article 21 de la Section précédente, que la quantité $pdx+qdy+rdz$ est aussi nécessairement une différentielle complète. Dans ce cas donc, les formules précédentes auront toujours lieu, de quelque manière que le mouvement du fluide ait été engendré, pourvu qu’il soit toujours très petit, et que, par conséquent, la fonction $\varphi$ soit elle-même très petite.

Dans la théorie du son, on suppose que le mouvement des particules de l’air est très petit ; ainsi, regardant dans l’équation (n) la quantité $\varphi$ comme très petite, et négligeant les termes où elle monte au delà de la première dimension, on aura pour cette théorie l’équation générale

$gh\left({\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2}}}\right)-{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial x}}{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}-{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial y}}{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}-{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial z}}{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}=0.$

Or, en négligeant de même les secondes dimensions de $\varphi$ dans la valeur de $\mathrm {E}$ de l’article 7, on aura simplement (art. 8)

$\mathrm {E} =-\mathrm {V} -{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=gh\log \Delta .$

On peut supposer que la fonction $\varphi$ soit nulle dans l’état de repos ou d’équilibre. On aura donc aussi dans cet état

${\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=0,$

et par conséquent

$gh\log \Delta =-\mathrm {V} \quad {\text{et}}\quad \Delta =e^{-{\frac {\mathrm {V} }{gh}}}.$

Lorsque l’air est en vibration, soit sa densité naturelle augmentée en raison de $1+s$ à $1,$ $s$ étant une quantité fort petite ; on aura donc, en général,

$\Delta ==e^{-{\frac {\mathrm {V} }{gh}}}(1+s),$

et de là, en négligeant le carré et les puissances supérieures de $s,$ on aura

$\log \Delta =-{\frac {\mathrm {V} }{gh}}-s\,;\qquad {\text{donc}}\qquad s={\frac {1}{gh}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}.$

À l’égard de la valeur de $\mathrm {V}$ qui dépend des forces accélératrices, en supposant le fluide pesant et prenant, pour plus de simplicité, les ordonnées $z$ verticales et dirigées de haut en bas, on aura, par la formule de l’article 23 (Section précédente),

$\mathrm {V} =-gz,$

$g$ étant la force accélératrice de la gravité. Donc l’équation du son sera

$gh\left({\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2}}}\right)+g{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}={\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}.$

Ayant déterminé $\varphi$ par cette équation, on aura les vitesses $p,\,q,\,r$ de l’air, ainsi que sa condensation $s,$ par les formules

$p={\frac {\partial \varphi }{\partial x}},\qquad q={\frac {\partial \varphi }{\partial y}},\qquad r={\frac {\partial \varphi }{\partial z}},\qquad s={\frac {1}{gh}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}.$

10. Si l’on ne veut avoir égard qu’au mouvement horizontal de l’air, on supposera que la fonction $\varphi$ ne contienne point $z,$ mais seulement $x,\,y,\,t.$ Alors l’équation en $\varphi$ deviendra

$gh\left({\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}}\right)={\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}.$

Mais, avec cette simplification même, elle est encore trop compliquée pour pouvoir s’intégrer rigoureusement^[1].

Au reste, cette équation est entièrement semblable à celle du mouvement des ondes dans un canal horizontal et peu profond. Voir la Section précédente, article 37.

Jusqu’à présent, on n’a pu résoudre complètement que le cas où l’on ne considère dans la masse de l’air qu’une seule dimension, c’est-à-dire celui d’une ligne sonore, dont les particules ne font que des excursions longitudinales.

Dans ce cas, en prenant cette même ligne pour l’axe $x,$ la fonction $\varphi$ ne contiendra point $y,$ et l’équation ci-dessus se réduira à

$gh{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}={\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}},$

laquelle est semblable à celle des cordes vibrantes et a pour intégrale complète

$\varphi =\operatorname {F} \left(x+t{\sqrt {gh}}\right)+f\left(x-t{\sqrt {gh}}\right),$

en dénotant par les caractéristiques ou signes $\operatorname {F}$ et $f$ deux fonctions arbitraires.

Cette formule renferme deux théories importantes, celle du son des flûtes ou tuyaux d’orgue, et celle de la propagation du son dans l’air libre. Il ne s’agit que de déterminer convenablement les deux fonctions arbitraires ; et voici les principes qui doivent guider dans cette détermination.

11. Pour les flûtes, on ne considère que la ligne sonore qui y est contenue ; on suppose que l’état initial de cette ligne soit donné, cet état dépendant des ébranlements imprimés aux particules, et l’on demande la loi des oscillations.

Faisons commencer les abscisses $x$ à l’une des extrémités de cette ligne, et soit sa longueur, c’est-à-dire celle de la flûte, égale à $a.$ Les condensations $s$ et les vitesses longitudinales $p$ seront donc données, lorsque $t=0,$ depuis $x=0$ jusqu’à $x=a\,;$ nous les nommerons $\mathrm {S}$ et $\mathrm {P} .$

Maintenant, puisque $s={\frac {1}{gh}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}$ et $p={\frac {\partial \varphi }{\partial x}},$ si l’on différentie l’expression générale de $\varphi$ de l’article précédent, et qu’on désigne par $\operatorname {F}$ et $f'$ les différentielles des fonctions marquées par $\operatorname {F}$ et $f,$ en sorte que $\operatorname {F} '(x)={\frac {\partial \operatorname {F} (x)}{\partial x}},\,f'(x)={\frac {\partial f(x)}{\partial x}},$ on aura

${\begin{aligned}p=&\operatorname {F} '\left(x+t{\sqrt {gh}}\right)+f'\left(x-t{\sqrt {gh}}\right),\\s{\sqrt {gh}}=&\operatorname {F} '\left(x+t{\sqrt {gh}}\right)-f'\left(x-t{\sqrt {gh}}\right).\end{aligned}}$

Faisant $t=0$ et changeant $p$ en $\mathrm {P}$ et $s$ en $\mathrm {S}$, on aura

$\mathrm {P} =\operatorname {F} '(x)+f'(x),\qquad \mathrm {S} {\sqrt {gh}}=\operatorname {F} '(x)-f'(x).$

Ainsi, comme $\mathrm {P}$ et $\mathrm {S}$ sont données pour toutes les abscisses $x$ depuis $x=0$ jusqu’à $x=a,$ on aura aussi dans cette étendue les valeurs de $\operatorname {F} '(x)$ et de $f'(x)\,;$ par conséquent, on aura les valeurs de $p$ et $s$ pour une abscisse et un temps quelconques, tant que $x\pm t{\sqrt {gh}}$ seront renfermées dans les limites $0$ et $a.$

Mais, le temps $t$ croissant toujours, les quantités $x+t{\sqrt {gh}}$ et $x-t{\sqrt {gh}}$ sortiront bientôt de ces limites, et la détermination des fonctions

$\operatorname {F} '\left(x+t{\sqrt {gh}}\right),\quad f'\left(x-t{\sqrt {gh}}\right)$

dépendra alors des conditions qui doivent avoir lieu aux extrémités de la ligne sonore, selon que la flûte sera ouverte ou fermée.

12. Supposons d’abord la flûte ouverte par ses deux bouts, en sorte que la ligne sonore y communique immédiatement avec l’air extérieur il est clair que son élasticité, dans ces deux points, ne pouvant être contre-balancée que par la pression constante de l’atmosphère, la condensation $s$ y devra toujours être nulle. Il faudra donc que l’on ait, dans ce cas, $s=0,$ lorsque $x=0$ et lorsque $x=a,$ quelle que soit la valeur de $t,$ ce qui donne les deux conditions à remplir

${\begin{aligned}\operatorname {F} '\left(t{\sqrt {gh}}\right)-f'\left(-t{\sqrt {gh}}\right)=&0,\\\operatorname {F} '\left(a+t{\sqrt {gh}}\right)-f'\left(a-t{\sqrt {gh}}\right)=&0,\end{aligned}}$

lesquelles devront subsister toujours, $t$ ayant une valeur positive quelconque.

Donc, en général, en prenant pour $z$ une quantité quelconque positive, on aura

$\operatorname {F} '(a+z)=f'(a-z),\quad f'(-z)=\operatorname {F} '(z).$

Donc, 1^o tant que $z$ est plus petit que $a,$ on connaîtra les valeurs de $\operatorname {F} '(a+z)$ et de $f'(-z),$ puisqu’elles se réduisent à celles de $f'(a-z)$ et de $\operatorname {F} '(z),$ qui sont données.

Mettons dans ces formules $a+z$ au lieu de $z\,;$ elles donneront

${\begin{alignedat}{3}&\operatorname {F} '(2a+z)&=&f'(-z)&=&\operatorname {F} '(z),\\&f'(-a-z)&=&\operatorname {F} '(a+z)&=&f'(a-z).\end{alignedat}}$

Donc, 2^o tant que $z$ sera plus petit que $a,$ on connaîtra aussi les valeurs de $\operatorname {F} '(2a+z)$ et de $f'(-a-z),$ puisqu’elles se réduisent à celles de $\operatorname {F} '(z)$ et de $f'(a-z),$ qui sont données.

Mettons de nouveau dans les dernières formules $a+z$ pour $z\,;$ en les combinant avec les premières, puisque $z$ peut être quelconque, on aura

${\begin{alignedat}{3}&\operatorname {F} '(3a+z)&=&\operatorname {F} '(a+z)&=&f'(a-z),\\&f'(-2a-z)&=&f'(-z)&=&\operatorname {F} '(z).\end{alignedat}}$

Donc, 3^o tant que $z$ sera plus petit que $a,$ on connaîtra encore les valeurs de $\operatorname {F} '(3a+z)$ et de $f'(-2a-z),$ puisqu’elles se réduisent aux valeurs données de $\operatorname {F} '(z)$ et de $f'(a-z).$

On trouvera de même, en mettant derechef $a+z$ pour $z,$

${\begin{alignedat}{3}&\operatorname {F} '(4a+z)&=&f'(-z)&=&\operatorname {F} '(z),\\&f'(-3a-z)&=&\operatorname {F} '(a+z)&=&f'(a-z).\end{alignedat}}$

D’où l’on connaîtra les valeurs de $\operatorname {F} '(4a+z)$ et de $f'(-3a-z),$ tant que $z$ sera plus petit que $a\,;$ et ainsi de suite.

On aura donc de cette manière les valeurs des fonctions $\operatorname {F} '\left(x+t{\sqrt {gh}}\right)$ et de $f'\left(x-t{\sqrt {gh}}\right),$ quel que soit le temps $t$ écoulé depuis le commencement du mouvement de la ligne sonore ; ainsi l’on connaîtra pour chaque instant l’état de cette ligne, c’est-à-dire les vitesses $p$ et les condensations $s$ de chacune de ses particules.

Il est visible, par les formules précédentes, que les valeurs de ces fonctions demeureront les mêmes en augmentant la quantité $t{\sqrt {gh}}$ de $2a,$ ou de $4a,\,6a,\ldots \,;$ de sorte que la ligne sonore reviendra exactement au même état après chaque intervalle de temps déterminé par l’équation

$t{\sqrt {gh}}=2a,$

ce qui donne ${\frac {2a}{\sqrt {gh}}}$ pour cet intervalle.

Ainsi la durée des oscillations de la ligne sonore est indépendante des ébranlements primitifs, et dépend seulement de la longueur a de cette ligne et de la hauteur $h$ de l’atmosphère.

En supposant la force accélératrice de la gravité $g$ égale à l’unité, il faut prendre pour l’unité des espaces le double de celui qu’un corps pesant parcourt librement dans le temps qu’on prend pour l’unité (Sect. II, art. 2). Donc, si l’on prend, ce qui est permis, $h$ pour l’unité des espaces, l’unité des temps sera celui qu’un corps pesant met à descendre de la hauteur ${\frac {h}{2}}\,;$ et le temps d’une oscillation de la ligne sonore sera exprimé par $2a,$ ou, ce qui revient au même, le temps d’une oscillation sera à celui de la chute d’un corps par la hauteur ${\frac {h}{2}}$ comme $2a$ à $h.$

13. Si la flûte était fermée par ses deux bouts, alors les condensations $s$ pourraient y être quelconques, puisque l’élasticité des particules y serait soutenue par la résistance des cloisons ; mais, par la même raison, les vitesses $p$ y devraient être nulles, ce qui donnerait de nouveau les conditions

${\begin{aligned}\operatorname {F} '\left(t{\sqrt {gh}}\right)+f'\left(-t{\sqrt {gh}}\right)=&0,\\\operatorname {F} '\left(a+t{\sqrt {gh}}\right)+f'\left(a-t{\sqrt {gh}}\right)=&0.\end{aligned}}$

Ces formules reviennent à celles que nous avons examinées ci-dessus, en y supposant seulement la fonction marquée par $f'$ négative. Ainsi il en résultera des conclusions semblables, et l’on aura encore la même expression pour la durée des oscillations de la fibre sonore.

Il n’en serait pas de même si la flûte était ouverte par un bout et fermée par l’autre.

Il faudrait alors que $s$ fût toujours nulle dans le bout ouvert, et que $p$ le fût dans le bout fermé.

Ainsi, en supposant la flûte ouverte à la distance $x=0$ et fermée à la distance $x=a,$ on aura les conditions

${\begin{aligned}\operatorname {F} '\left(t{\sqrt {gh}}\right)-f'\left(-t{\sqrt {gh}}\right)=&0,\\\operatorname {F} '\left(a+t{\sqrt {gh}}\right)+f'\left(a-t{\sqrt {gh}}\right)=&0\,;\end{aligned}}$

d’où, par une analyste semblable à celle de l’article 12, on tirera les formules suivantes

${\begin{alignedat}{2}\operatorname {F} '(\ \ a+z)=&-f'(a-z),&f'(-z)=&+\operatorname {F} '(z),\\\operatorname {F} '(2a+z)=&-\operatorname {F} '(z),&f'(-\ \ a-z)=&-f'(a-z),\\\operatorname {F} '(3a+z)=&+f'(a-z),\qquad &f'(-2a-z)=&-\operatorname {F} '(z),\\\operatorname {F} '(4a+z)=&+\operatorname {F} '(z),&f'(-3a-z)=&+f'(a-z),\end{alignedat}}$

et ainsi de suite.

Or, tant que $z$ est plus petit que $a,$ les fonctions $\operatorname {F} '(z)$ et $f'(a-z)$ sont données par l’état primitif de la fihre sonore ; donc on connaîtra aussi par leur moyen les valeurs des autres fonctions

$\operatorname {F} '(a+z),\quad \operatorname {F} '(2a+z),\quad \ldots ,\quad f'(-z),\quad f'(-a-z),\quad \ldots ,$

et, par conséquent, on aura l’état de la fibre après un temps quelconque $t.$

Mais on voit, par les formules précédentes, que cet état ne reviendra le même qu’après un intervalle de temps déterminé par l’équation

$t{\sqrt {gh}}=4a\,;$

d’où il s’ensuit que la durée des vibrations sera une fois plus longue

que dans les flûtes ouvertes ou fermées par les deux bouts, et c’est ce que l’expérience confirme à l’égard des jeux d’orgue qu’on nomme bourdons, et qui, étant bouchés par leur extrémité supérieure opposée à la bouche, donnent un ton d’une octave plus bas que s’ils étaient ouverts.

Voir, au reste, sur la théorie des flûtes, les deux premiers Volumes de Turin, les Mémoires de Paris pour 1762, et les Novi Commentarii de Pétersbourg, tome XVI.

14. Considérons maintenant une ligne sonore d’une longueur indéfinie, qui ne soit ébranlée au commencement que dans une très petite étendue ; on aura le cas des agitations de l’air produites par les corps sonores.

Supposons donc que les agitations initiales ne s’étendent que depuis $x=0$ jusqu’à $x=a,$ $a$ étant une quantité très petite. Les vitesses et les condensations initiales $\mathrm {P,\,S}$ seront donc données pour toutes les abscisses $x,$ tant positives que négatives ; mais elles n’auront de valeurs réelles que depuis $x=0$ jusqu’à $x=a,;$ hors de ces limites, elles seront tout à fait nulles. Il en sera donc aussi de même des fonctions $\operatorname {F} '(x)$ et $f'(x),$ puisqu’en faisant $t=0$ on a

$\mathrm {P} =\operatorname {F} '(x)+f'(x),\quad \mathrm {S} {\sqrt {gh}}=\operatorname {F} '(x)-f'(x)$

et par conséquent

$\operatorname {F} '(x)={\frac {1}{2}}\left(\mathrm {P+S} {\sqrt {gh}}\right),\quad f'(x)={\frac {1}{2}}\left(\mathrm {P-S} {\sqrt {gh}}\right).$

D’où il s’ensuit qu’en prenant pour $z$ une quantité positive, moindre que $a,$ les fonctions $\operatorname {F} '\left(x+t{\sqrt {gh}}\right)$ et $f'\left(x-t{\sqrt {gh}}\right)$ n’auront de valeurs réelles que tant qu’on aura $x\pm t{\sqrt {gh}}=z.$ Par conséquent, après un temps quelconque $t,$ les vitesses $p$ et les condensations $s$ seront nulles pour tous les points de la ligne sonore, excepté pour ceux qui répondront aux abscisses $x=z\mp t{\sqrt {gh}}.$

On explique par là comment le son se propage, et comment il se forme successivement, de part et d’autre du corps sonore et dans des temps égaux, des fibres sonores égales en longueur à la fibre initiale $a.$

La vitesse de la propagation de ces fibres sera exprimée par le coefficient ${\sqrt {gh}}\,;$ elle sera, par conséquent, constante et indépendante du mouvement primitif, ce que l’expérience confirme, puisque tous les sons forts ou faibles paraissent se propager avec une vitesse sensiblement égale.

Quant à la valeur absolue de cette vitesse, en faisant, comme dans l’article 12, $g=1$ et $h=1,$ elle deviendra aussi égale à $1.$ Or l’unité des vitesses est ici celle qu’un corps pesant doit acquérir en tombant de la moitié de l’espace $h,$ qui est pris pour l’unité (Sect. II, art. 2). Donc la vitesse du son sera due à la hauteur ${\frac {h}{2}}.$

15. En supposant, avec la plupart des physiciens, l’air $850$ fois plus léger que l’eau, et l’eau $14$ fois plus légère que le mercure, on a $1$ à $11900$ pour le rapport du poids spécifique de l’air à celui du mercure. Or, prenant la hauteur moyenne du baromètre de $28$ pouces de France, il vient $333\ 200$ pouces ou $27\ 766$ pieds ${\tfrac {2}{3}}$ pour la hauteur $h$ d’une colonne d’air uniformément dense et faisant équilibre à la colonne de mercure dans le baromètre. Donc la vitesse du son sera due à une hauteur de $13883$ pieds ${\tfrac {1}{3}},$ et sera, par conséquent, de $915$ par seconde.

L’expérience donne environ $1088,$ ce qui fait une différence de près d’un sixième ; mais cette différence ne peut être attribuée qu’à l’incertitude des résultats fournis par l’expérience. Sur quoi voir surtout un Mémoire de feu M. Lambert, parmi ceux de l’Académie de Berlin pour 1768^[2].

16. Si la ligne sonore était terminée d’un côté par un obstacle immobile, alors la particule d’air contiguë à cet obstacle n’aurait aucun mouvement ; par conséquent, si $a$ est la valeur de l’abscisse $x$ qui y répond, il faudra que la vitesse $p$ soit nulle lorsque $x=a,$ quel que soit $t,$ ce qui donnera la condition

$\operatorname {F} '\left(a+t{\sqrt {gh}}\right)+f'\left(a-t{\sqrt {gh}}\right)=0.$

Or on a vu (art. 14) que la fonction $f'\left(a-t{\sqrt {gh}}\right)$ a une valeur réelle tant que

$a-t{\sqrt {gh}}=z\,;$

donc, puisque

$\operatorname {F} '\left(a+t{\sqrt {gh}}\right)=-f'\left(a-t{\sqrt {gh}}\right),$

la fonction $\operatorname {F} '\left(a+t{\sqrt {gh}}\right)$ aura aussi des valeurs réelles lorsque

$a-t{\sqrt {gh}}=z,$

c’est-à-dire lorsque

$t{\sqrt {gh}}=a-z.$

Par conséquent, la fonction $\operatorname {F} '\left(x+t{\sqrt {gh}}\right)$ sera non seulement réelle lorsque

$x+t{\sqrt {gh}}=z,$

mais encore lorsque

$x+t{\sqrt {gh}}=2a-z\,;$

d’où il suit que, dans ce cas, les vitesses $p$ et les condensations $s$ seront aussi réelles pour les abscisses

$x=2a-z-t{\sqrt {gh}}.$

Ainsi la fibre sonore, après avoir parcouru l’espace $a,$ sera comme réfléchie par l’obstacle qu’elle rencontre, et rebroussera avec la vitesse, ce qui donne l’explication bien naturelle des échos ordinaires.

On expliquera de la même manière les échos composés, en supposant que la ligne sonore soit terminée des deux côtés par des obstacles immobiles qui réfléchiront successivement les fibres sonores et leur feront faire des espèces d’oscillations continuelles. Sur quoi on peut voir les Ouvrages cités plus haut (art. 13), ainsi que les Mémoires de l’Académie de Berlin pour 1759 et 1765.

1. Cette équation a été intégrée par Poisson, ainsi que l’équation plus générale dans laquelle on suppose $\varphi$ fonction de $x,y$ et $z.$ Voir les nouveaux Mémoires de l’Académie des Sciences, t. III. (J. Bertrand.)
   
2. Laplace a fait connaître la cause probable de cette discordance entre le calcul et l’observation. Voir le cinquième Volume de la Mécanique céleste, livre XII, Chapitre III. (J. Bertrand.)