SECTION ONZIÈME.
DU MOUVEMENT DES FLUIDES INCOMPRESSIBLES.
1. On pourrait déduire immédiatement les lois du mouvement de ces fluides de celles de leur équilibre, que nous avons trouvées dans la Section VII de la première Partie ; car, par le principe général exposé dans la Section II, il ne faut qu’ajouter aux forces accélératrices actuelles les nouvelles forces accélératrices
dirigées suivant les coordonnées rectangles
Ainsi, comme, dans les formules de l’article 10 et suivants de la Section VII citée, on a supposé toutes les forces accélératrices du fluide déjà réduites à trois,
dans la direction des coordonnées
il n’y aura, pour appliquer ces formules au mouvement des fluides, qu’à y substituer
![{\displaystyle \mathrm {X} +{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},\qquad \mathrm {Y} +{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}},\qquad \mathrm {Z} +{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09ddab97b1aa7ed4c02de7761a6454f3de3f0ba3)
au lieu de
Mais nous croyons qu’il est plus conforme à l’objet de cet Ouvrage d’appliquer directement aux fluides les équations générales données dans la Section IV pour le mouvement d’un système quelconque de corps.
§ I. — Équations générales pour le mouvement des fluides incompressibles.
2. On peut considérer un fluide incompressible comme composé d’une infinité de particules qui se meuvent librement entre elles sans changer de volume ; ainsi la question rentre dans le cas de l’article 17 de la Section citée ci-dessus.
Soient donc
la masse d’une particule ou élément quelconque du fluide ;
les forces accélératrices qui agissent sur cet élément, réduites, pour plus de simplicité, aux directions des coordonnées rectangles
et tendantes à diminuer ces coordonnées ;
![{\displaystyle \mathrm {L} =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eff6fdfe0f6144c198c62406c7bae95fa352a4ec)
l’équation de condition résultante de l’incompressibilité ou de l’invariabilité du volume
une quantité indéterminée, et S une caractéristique intégrale correspondante à la caractéristique différentielle
et relative à toute la masse du fluide ; on aura, pour le mouvement du fluide, cette équation générale (Sect. IV)
S
S![{\displaystyle \lambda \delta \mathrm {L} =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce10ba53d484e5d418f642c87ecdb0d4ad05e039)
Il faut maintenant substituer dans cette équation les valeurs de
et de
et, après avoir fait disparaître les différences des variations, s’il y en a, égaler séparément à zéro les coefficients des variations indéterminées
Retenons la caractéristique
pour représenter les différences relatives à la situation instantanée des particules contiguës, tandis que la caractéristique
se rapportera uniquement au changement de position de la même particule dans l’espace ; il est clair qu’on peut représenter le volume de la particule
par le parallélépipède
ainsi, en nommant
la densité de cette particule, on aura
![{\displaystyle \operatorname {D} m=\Delta \operatorname {D} x\operatorname {D} y\operatorname {D} z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccc71262fea50fee115e7b40c23c64ca96f57da9)
De plus, il est visible que la condition de l’incompressibilité sera contenue dans l’équation
![{\displaystyle \operatorname {D} x\operatorname {D} y\operatorname {D} z=\mathrm {const} .\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58fbd07a9ef6698ef9a6164b049105941f2bc377)
de sorte qu’on aura
![{\displaystyle \mathrm {L} =\operatorname {D} x\operatorname {D} y\operatorname {D} z-\mathrm {const} .,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73111e13f21241d408d392417b9a0fec01185b90)
et par conséquent
![{\displaystyle \delta \mathrm {L} =\delta (\operatorname {D} x\operatorname {D} y\operatorname {D} z).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c7afdbfd86a61479250508b72cac39be679b510)
Pour déterminer cette différentielle, il faut employer les mêmes consi-
dérations que dans l’article 11 de la Section VII de la première Partie ; ainsi, en changeant
![{\displaystyle d}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e85ff03cbe0c7341af6b982e47e9f90d235c66ab)
en
![{\displaystyle \operatorname {D} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70a9dd309ae777cd525cdf07df0e2b132a8fe6ca)
dans les formules de cet endroit, on aura
![{\displaystyle \delta (\operatorname {D} x\operatorname {D} y\operatorname {D} z)=\operatorname {D} x\operatorname {D} y\operatorname {D} z\left({\frac {\operatorname {D} \delta x}{\operatorname {D} x}}+{\frac {\operatorname {D} \delta y}{\operatorname {D} y}}+{\frac {\operatorname {D} \delta z}{\operatorname {D} z}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04a07ef7e8ae41c6caebc48b8aeb9f066ba16bb2)
Cette quantité étant multipliée par
et intégrée relativement à toute la masse du fluide, on aura la valeur de S
dans laquelle il faudra faire disparaître les doubles signes
par les mêmes procédés déjà employés dans l’article 17 de la Section citée. On aura ainsi
S
S![{\displaystyle \left({\frac {\operatorname {D} \lambda }{\operatorname {D} x}}\delta x+{\frac {\operatorname {D} \lambda }{\operatorname {D} y}}\delta y+{\frac {\operatorname {D} \lambda }{\operatorname {D} z}}\delta z\right)\operatorname {D} x\operatorname {D} y\operatorname {D} z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b815c6456485580928abfa0d528b097e7b8271f3)
S
S![{\displaystyle (\lambda ''\delta y''-\lambda '\delta y')\operatorname {D} x\operatorname {D} z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/430bcd6b231e7ea2167f10e826eb02fd8e785962)
S![{\displaystyle (\lambda ''\delta z''-\lambda '\delta z')\operatorname {D} x\operatorname {D} y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/961295a13f816b9281075fe685cfdd3aee8e69e9)
Faisant donc ces substitutions dans le premier membre de l’équation générale, elle contiendra premièrement cette formule intégrale totale
(a)
S![{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&\left(\Delta {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\Delta \mathrm {X} -{\frac {\operatorname {D} \lambda }{\operatorname {D} x}}\right)\delta x\\+&\left(\Delta {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\Delta \mathrm {Y} -{\frac {\operatorname {D} \lambda }{\operatorname {D} y}}\right)\delta y\\+&\left(\Delta {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+\Delta \mathrm {Z} -{\frac {\operatorname {D} \lambda }{\operatorname {D} z}}\right)\delta z\end{aligned}}\right\}\operatorname {D} x\operatorname {D} y\operatorname {D} z,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fd7a3598c5c1f802a43c3103730e4c7cc3df39d)
dans laquelle il faudra faire séparément égaux à zéro les coefficients des variations
ce qui donnera ces trois équations indéfinies, pour tous les points de la masse fluide,
(A)
|
|
|
Il restera ensuite à faire disparaître les intégrales partielles
S
S
S![{\displaystyle (\lambda ''\delta z''-\lambda '\delta z')\operatorname {D} x\operatorname {D} y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efa6db4d0f7ee2279aa8f416730fd46556ca3385)
lesquelles ne se rapportent qu’à la surface extérieure du fluide ; et l’on en conclura, comme dans l’article 18 de la Section VII citée, que la valeur de
devra être nulle pour tous les points de la surface où le fluide est libre ; on prouvera de plus, comme dans l’article 31 de la même Section, que, relativement aux endroits où le fluide sera contenu par des parois fixes, les termes des intégrales précédentes se détruiront mutuellement, en sorte qu’il n’en résultera aucune équation ; et, en général, on démontrera, par un raisonnement semblable à celui des articles 32, 38, 39, que la quantité
rapportée à la surface du fluide,
exprimera la pression que le fluide y exerce, et qui, lorsqu’elle n’est pas nulle, doit être contre-balancée par la résistance ou l’action des parois.
3. Les équations qu’on vient de trouver renferment donc les lois générales du mouvement des fluides incompressibles ; mais il y faut joindre encore l’équation même qui résulte de la condition de l’incompressibilité du volume
pendant que le fluide se meut : cette équation sera donc représentée par
![{\displaystyle d(\operatorname {D} x\operatorname {D} y\operatorname {D} z)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a44585fc494920c7de68abbc5ef3902c87027ab4)
de sorte qu’en changeant
\delta
en
dans l’expression
\delta(\operatorname Dx\operatorname Dy\operatorname Dz)
trouvée ci-dessus, et égalant à zéro, on aura
(B)
|
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|
Cette équation, combinée avec les trois équations (A) de l’article précédent, servira donc à déterminer les quatre inconnues
et ![{\displaystyle \lambda .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bb9c58e3f6b2de892e10ef516f96f07da0423e0)
4. Pour avoir une idée nette de la nature de ces équations, il faut considérer que les variables
qui déterminent la position d’une particule dans un instant quelconque doivent appartenir à la fois à toutes les particules dont la masse fluide est composée ; elles doivent donc être des fonctions du temps
et des valeurs que ces mêmes variables ont eues au commencement du mouvement, ou dans un autre instant donné. Nommant donc
les valeurs de
lorsque
égale zéro, il faudra que les valeurs complètes de
soient des fonctions de
De cette manière, les différences marquées par la caractéristique
se rapporteront uniquement à la variabilité de
et les différences marquées par l’autre caractéristique
se rapporteront simplement à la variabilité de
Mais comme, dans les équations trouvées, il y a des différences relatives aux variables mêmes
il faudra réduire celles-ci aux différences relatives à
ce qui est toujours possible ; car on n’a qu’à concevoir qu’on ait substitué dans les fonctions, avant la différentiation, les valeurs mêmes de
en
5. En regardant donc les variables
comme des fonctions de
et représentant les différentielles selon la notation ordinaire des différences partielles, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {D} x=&{\frac {\partial x}{\partial a}}da+{\frac {\partial x}{\partial b}}db+{\frac {\partial x}{\partial c}}dc,\\\operatorname {D} y=&{\frac {\partial y}{\partial a}}da+{\frac {\partial y}{\partial b}}db+{\frac {\partial y}{\partial c}}dc,\\\operatorname {D} z=&{\frac {\partial z}{\partial a}}da+{\frac {\partial z}{\partial b}}db+{\frac {\partial z}{\partial c}}dc\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a9583e639aa33f35eadf0d6b28b8ff5d42a9c2b)
et, regardant en même temps la fonction
comme une fonction de
et comme une fonction de
on aura
![{\displaystyle \operatorname {D} \lambda ={\frac {\operatorname {D} \lambda }{\operatorname {D} x}}\operatorname {D} x+{\frac {\operatorname {D} \lambda }{\operatorname {D} y}}\operatorname {D} y+{\frac {\operatorname {D} \lambda }{\operatorname {D} z}}\operatorname {D} z={\frac {\operatorname {D} \lambda }{\partial a}}da+{\frac {\operatorname {D} \lambda }{\partial b}}db+{\frac {\operatorname {D} \lambda }{\partial c}}dc\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb34f5eb4dfcb60fcfe5d59d8d9645f83e5c4334)
ces deux expressions de
devant être identiques, si l’on substitue dans la première les valeurs de
en
il faudra que les coefficients de
soient les mêmes de part et d’autre,
ce qui fournira trois équations qui serviront à déterminer les valeurs de
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {D} \lambda }{\operatorname {D} x}},\,{\frac {\operatorname {D} \lambda }{\operatorname {D} y}},\,{\frac {\operatorname {D} \lambda }{\operatorname {D} z}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51f56e162f0f82ce644c6bc93dabb31a2f912a21)
en
![{\displaystyle {\frac {\partial \lambda }{\partial a}},\,{\frac {\partial \lambda }{\partial b}},\,{\frac {\partial \lambda }{\partial c}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fc4ba832b6d8d3e3d3c17671cd0f2fb794fa005)
ce sera la même chose si l’on substitue dans la seconde expression de
![{\displaystyle \operatorname {D} \lambda }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8844a8211dae5500bb0a7f77a6dda25de2997de1)
les valeurs de
![{\displaystyle da,\,db,\,dc}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a824da6449bf716a18429df65b51c8d589cf18e)
en
![{\displaystyle \operatorname {D} x,\,\operatorname {D} y,\,\operatorname {D} z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4308f1495ef1474db53f0503f37293af51d9413d)
tirées des expressions de ces dernières quantités ; alors la comparaison des termes affectés de
![{\displaystyle \operatorname {D} x,\operatorname {D} y,\operatorname {D} z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5387964598edf6b5942faacf257e4537725c2663)
donnera immédiatement les valeurs de
Or, par les règles ordinaires de l’élimination, on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}da=&{\frac {\alpha \operatorname {D} x+\alpha '\operatorname {D} y+\alpha ''\operatorname {D} z}{\theta }},\\db=&{\frac {\beta \operatorname {D} x+\beta '\operatorname {D} y+\beta ''\operatorname {D} z}{\theta }},\\dc=&{\frac {\gamma \operatorname {D} x+\gamma '\operatorname {D} y+\gamma ''\operatorname {D} z}{\theta }},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e8a7ff36267c0c727f09837598efd8b34c4588e)
en supposant
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\alpha \ \,=&{\frac {\partial y}{\partial b}}{\frac {\partial z}{\partial c}}-{\frac {\partial y}{\partial c}}{\frac {\partial z}{\partial b}},\quad &\beta \ \,=&{\frac {\partial y}{\partial c}}{\frac {\partial z}{\partial a}}-{\frac {\partial y}{\partial a}}{\frac {\partial z}{\partial c}},\quad &\gamma \ \,=&{\frac {\partial y}{\partial a}}{\frac {\partial z}{\partial b}}-{\frac {\partial y}{\partial b}}{\frac {\partial z}{\partial a}},\\\alpha '\ =&{\frac {\partial x}{\partial c}}{\frac {\partial z}{\partial b}}-{\frac {\partial x}{\partial b}}{\frac {\partial z}{\partial c}},&\beta '\ =&{\frac {\partial x}{\partial a}}{\frac {\partial z}{\partial c}}-{\frac {\partial x}{\partial c}}{\frac {\partial z}{\partial a}},&\gamma '\ =&{\frac {\partial x}{\partial b}}{\frac {\partial z}{\partial a}}-{\frac {\partial x}{\partial a}}{\frac {\partial z}{\partial b}},\\\alpha ''=&{\frac {\partial x}{\partial b}}{\frac {\partial y}{\partial c}}-{\frac {\partial x}{\partial c}}{\frac {\partial y}{\partial b}},&\beta ''=&{\frac {\partial x}{\partial c}}{\frac {\partial y}{\partial a}}-{\frac {\partial x}{\partial a}}{\frac {\partial y}{\partial c}},&\gamma ''=&{\frac {\partial x}{\partial a}}{\frac {\partial y}{\partial b}}-{\frac {\partial x}{\partial b}}{\frac {\partial y}{\partial a}},\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/491e30ed21b298c6425025caf959816fbcd4dd4e)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\theta =&+{\frac {\partial x}{\partial a}}{\frac {\partial y}{\partial b}}{\frac {\partial z}{\partial c}}-{\frac {\partial x}{\partial b}}{\frac {\partial y}{\partial a}}{\frac {\partial z}{\partial c}}\\&+{\frac {\partial x}{\partial b}}{\frac {\partial y}{\partial c}}{\frac {\partial z}{\partial a}}-{\frac {\partial x}{\partial c}}{\frac {\partial y}{\partial b}}{\frac {\partial z}{\partial a}}\\&+{\frac {\partial x}{\partial c}}{\frac {\partial y}{\partial a}}{\frac {\partial z}{\partial b}}-{\frac {\partial x}{\partial a}}{\frac {\partial y}{\partial c}}{\frac {\partial z}{\partial b}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35942e8a194fea729a4cad10cc60551e91dd075e)
Faisant donc ces substitutions dans l’expression
![{\displaystyle {\frac {\partial \lambda }{\partial a}}da+{\frac {\partial \lambda }{\partial b}}db+{\frac {\partial \lambda }{\partial c}}dc,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d73365e6f3f4525f44a62628fb03328c9ffb1c01)
et comparant ensuite avec l’expression identique
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {D} \lambda }{\operatorname {D} x}}\operatorname {D} x+{\frac {\operatorname {D} \lambda }{\operatorname {D} y}}\operatorname {D} y+{\frac {\operatorname {D} \lambda }{\operatorname {D} z}}\operatorname {D} z,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62713d9c7d76dc1f344f5fd47581dfea668ccb10)
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\operatorname {D} \lambda }{\operatorname {D} x}}=&{\frac {\alpha }{\theta }}\ \ {\frac {\partial \lambda }{\partial a}}+{\frac {\beta }{\theta }}\ \ {\frac {\partial \lambda }{\partial b}}+{\frac {\gamma }{\theta }}\ \ {\frac {\partial \lambda }{\partial c}},\\{\frac {\operatorname {D} \lambda }{\operatorname {D} y}}=&{\frac {\alpha '}{\theta }}\ {\frac {\partial \lambda }{\partial a}}+{\frac {\beta '}{\theta }}\ {\frac {\partial \lambda }{\partial b}}+{\frac {\gamma '}{\theta }}\ {\frac {\partial \lambda }{\partial c}},\\{\frac {\operatorname {D} \lambda }{\operatorname {D} z}}=&{\frac {\alpha ''}{\theta }}{\frac {\partial \lambda }{\partial a}}+{\frac {\beta ''}{\theta }}{\frac {\partial \lambda }{\partial b}}+{\frac {\gamma ''}{\theta }}{\frac {\partial \lambda }{\partial c}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1a20dcb7c95244a8a1b1db99685ccf907559c20)
Ainsi, substituant ces valeurs dans les trois équations (A) de l’article 2, elles deviendront de cette forme, après avoir multiplié par
(C)
|
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|
où il n’y a, comme l’on voit, que des différences partielles relatives à ![{\displaystyle a,\,b,\,c,\,t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3356e0b50a11a608c8f6946450d3354d0fe5875f)
Dans ces équations, là quantité
qui exprime la densité est une fonction donnée de
sans
puisqu’elle doit demeurer invariable pour chaque particule ; et si le fluide est homogène,
sera alors une constante indépendante de
Quant aux quantités
qui représentent les forces accélératrices, elles seront le plus souvent données en fonctions de
6. Mais on peut réduire les équations précédentes à une forme plus simple, en ajoutant ensemble, après les avoir multipliées respectivement et successivement par
par
et par
car, d’après les expressions de
données ci-dessus, il est aisé de voir qu’on aura
![{\displaystyle \theta =\alpha {\frac {\partial x}{\partial a}}+\alpha '{\frac {\partial y}{\partial a}}+\alpha ''{\frac {\partial z}{\partial a}}=\beta {\frac {\partial x}{\partial b}}+\beta '{\frac {\partial y}{\partial b}}+\beta ''{\frac {\partial z}{\partial b}}=\gamma {\frac {\partial x}{\partial c}}+\gamma '{\frac {\partial y}{\partial c}}+\gamma ''{\frac {\partial z}{\partial c}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6da90689c1a829adcf21ffeefc2726462b05a7bf)
ensuite
![{\displaystyle {\begin{aligned}\beta {\frac {\partial x}{\partial a}}+\beta '{\frac {\partial y}{\partial a}}+\beta ''{\frac {\partial z}{\partial a}}=&0,\\\gamma {\frac {\partial x}{\partial a}}+\gamma '{\frac {\partial y}{\partial a}}+\gamma ''{\frac {\partial z}{\partial a}}=&0,\\\alpha {\frac {\partial x}{\partial a}}+\alpha '{\frac {\partial y}{\partial a}}+\alpha ''{\frac {\partial z}{\partial a}}=&0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd605a25db60d31d5e1e05eec809fd722cd45474)
et ainsi de suite ; de sorte que, par ces opérations et ces réductions, on aura les transformées
(D)
|
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[1] On aurait pu parvenir directement à ces dernières équations, en introduisant dans les formules de l’article 2, au lieu des variations
celles des coordonnées de l’état initial,
car, en regardant
comme fonctions de
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\delta x=&{\frac {\partial x}{\partial a}}\delta a+{\frac {\partial x}{\partial b}}\delta b+{\frac {\partial x}{\partial c}}\delta c,\\\delta y=&{\frac {\partial y}{\partial a}}\delta a+{\frac {\partial y}{\partial b}}\delta b+{\frac {\partial y}{\partial c}}\delta c,\\\delta z=&{\frac {\partial z}{\partial a}}\delta a+{\frac {\partial z}{\partial b}}\delta b+{\frac {\partial z}{\partial c}}\delta c.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/462cafc07b24c1db1ea00a444bc036b0d190b8fe)
On fera ces substitutions dans la formule (a) de l’article 2, et l’on égalera à zéro les quantités multipliées par ![{\displaystyle \delta a,\,\delta b,\,\delta c.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc0da81ab621ce21ad2f43f2629332cdcab37761)
En observant que,
étant fonction de
on a, par rapport à
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \lambda }{\partial a}}=&{\frac {\operatorname {D} \lambda }{\operatorname {D} x}}{\frac {\partial x}{\partial a}}+{\frac {\operatorname {D} \lambda }{\operatorname {D} y}}{\frac {\partial y}{\partial a}}+{\frac {\operatorname {D} \lambda }{\operatorname {D} z}}{\frac {\partial z}{\partial a}},\\{\frac {\partial \lambda }{\partial b}}=&{\frac {\operatorname {D} \lambda }{\operatorname {D} x}}{\frac {\partial x}{\partial b}}+{\frac {\operatorname {D} \lambda }{\operatorname {D} y}}{\frac {\partial y}{\partial b}}+{\frac {\operatorname {D} \lambda }{\operatorname {D} z}}{\frac {\partial z}{\partial b}},\\{\frac {\partial \lambda }{\partial c}}=&{\frac {\operatorname {D} \lambda }{\operatorname {D} x}}{\frac {\partial x}{\partial c}}+{\frac {\operatorname {D} \lambda }{\operatorname {D} y}}{\frac {\partial y}{\partial c}}+{\frac {\operatorname {D} \lambda }{\operatorname {D} z}}{\frac {\partial z}{\partial c}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b69079e9a1b278d80936af995ea26f8e3bbf0b86)
on aura tout de suite les équations dont il s’agit, lesquelles, dans le cas où
![{\displaystyle \mathrm {X} dx+\mathrm {Y} dy+\mathrm {Z} dz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa88dd4c0d6cf3a6302f569ae78306e209094951)
est une différentielle complète représentée par
![{\displaystyle d\mathrm {V} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a529d8b8362b1f455a7d2ce5b0ebf93e720b822)
peuvent se mettre sous cette forme plus simple
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \left({\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}{\frac {\partial x}{\partial a}}+{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}{\frac {\partial y}{\partial a}}+{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}{\frac {\partial z}{\partial a}}+{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial a}}\right)-{\frac {\partial \lambda }{\partial a}}=0,\\\Delta \left({\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}{\frac {\partial x}{\partial b}}+{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}{\frac {\partial y}{\partial b}}+{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}{\frac {\partial z}{\partial b}}+{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial b}}\right)-{\frac {\partial \lambda }{\partial b}}=0,\\\Delta \left({\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}{\frac {\partial x}{\partial c}}+{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}{\frac {\partial y}{\partial c}}+{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}{\frac {\partial z}{\partial c}}+{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial c}}\right)-{\frac {\partial \lambda }{\partial c}}=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6763c4ffb5c7028499f85ccc53d6b5a27298da9)
7. On transformera, d’une manière semblable, l’équation (B) de l’article 3 ; et, pour cela, comme, d’après la remarque de l’article 4, les différentielle
ne sont relatives qu’à la variable
on les réduira d’abord aux différences partielles
en sorte que l’équation dont il s’agit, étant divisée par
sera de la forme
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {D} {\cfrac {\partial x}{\partial t}}}{\operatorname {D} x}}+{\frac {\operatorname {D} {\cfrac {\partial y}{\partial t}}}{\operatorname {D} y}}+{\frac {\operatorname {D} {\cfrac {\partial z}{\partial t}}}{\operatorname {D} z}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34a6b40c7b9fff84a03ba56e7f1ca9e7147fc6ad)
Or, par les formes trouvées ci-dessus pour les valeurs de
on aura pareillement, en substituant
à la place de ![{\displaystyle \lambda ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00aebb041f4a569408e310294efcc29e0eded7dc)
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {D} {\cfrac {\partial x}{\partial t}}}{\operatorname {D} x}}={\frac {\alpha }{\theta }}{\frac {\partial }{\partial a}}{\frac {\partial x}{\partial t}}+{\frac {\beta }{\theta }}{\frac {\partial }{\partial b}}{\frac {\partial x}{\partial t}}+{\frac {\gamma }{\theta }}{\frac {\partial }{\partial c}}{\frac {\partial x}{\partial t}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b6e9c6ae01a894ecb1b259f5c01cbf91ca77d9e)
et comme, dans le second membre de cette équation, la quantité
est regardée comme une fonction de
on aura
![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial a}}{\frac {\partial x}{\partial t}}={\frac {\partial ^{2}x}{\partial a\partial t}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9225fbbbefe2bb13df491dd0228c47e36d398462)
et ainsi des autres différences partielles de
de sorte qu’on aura simplement
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {D} {\cfrac {\partial x}{\partial t}}}{\operatorname {D} x}}={\frac {\alpha }{\theta }}{\frac {\partial ^{2}x}{\partial a\partial t}}+{\frac {\beta }{\theta }}{\frac {\partial ^{2}x}{\partial b\partial t}}+{\frac {\gamma }{\theta }}{\frac {\partial ^{2}x}{\partial c\partial t}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6b6fb783b0a2f77bc818368146745f58cb4a7b0)
On trouvera des expressions semblables pour les valeurs de
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {D} {\cfrac {\partial y}{\partial t}}}{\operatorname {D} y}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d28bf6826fab1f1df5b3bb77ae2f0d20e7647e3d)
et
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {D} {\cfrac {\partial z}{\partial t}}}{\operatorname {D} z}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccbdff6a6baaf241919b7843380b24608fc3e68c)
et il n’y aura pour cela qu’échanger, dans la formule précédente,
![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
en
![{\displaystyle y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d)
et
Faisant donc ces substitutions dans l’équation ci-dessus, elle deviendra, après y avoir effacé le dénominateur commun
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\alpha \ \ {\frac {\partial ^{2}x}{\partial a\partial t}}+\beta \ \ {\frac {\partial ^{2}x}{\partial b\partial t}}+\gamma \ \,{\frac {\partial ^{2}x}{\partial c\partial t}}\\+&\alpha '\ {\frac {\partial ^{2}y}{\partial a\partial t}}+\beta '\ {\frac {\partial ^{2}y}{\partial b\partial t}}+\gamma '\ {\frac {\partial ^{2}y}{\partial c\partial t}}\\+&\alpha ''{\frac {\partial ^{2}y}{\partial a\partial t}}+\beta ''{\frac {\partial ^{2}y}{\partial b\partial t}}+\gamma ''{\frac {\partial ^{2}y}{\partial c\partial t}}=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a18521bebb2b61cb356d34ea68bf5132c7cb815)
Le premier membre de cette équation n’est autre chose que la valeur de
comme on peut s’en assurer par la différentiation actuelle de l’expression de
(art. 5).
Ainsi l’équation devient
![{\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial t}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b59abbecd2888527d629b4222ced2e11ed3dd9e1)
dont l’intégrale est
![{\displaystyle \theta =\operatorname {fonct.} (a,b,c).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/420f33a82fc7bc0e99e3f0594ce1cce7e0cec535)
Supposons, dans cette équation,
et soit
ce que devient alors la quantité
on aura
par conséquent, l’équation sera
![{\displaystyle \theta =\mathrm {K} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05c5af7a455f63f65baac950a1396a8ec1395199)
Or nous avons supposé que, lorsque
on a
![{\displaystyle x=a,\qquad y=b,\qquad z=c\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e557d10ea1b2e28fa093c9a8fa2490c064e69c98)
donc on aura aussi alors
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\frac {\partial x}{\partial a}}=&1,\qquad &{\frac {\partial x}{\partial b}}=&0,\qquad &{\frac {\partial x}{\partial c}}=&0,\\{\frac {\partial y}{\partial a}}=&0,&{\frac {\partial y}{\partial b}}=&1,&{\frac {\partial y}{\partial c}}=&0,\\{\frac {\partial z}{\partial a}}=&0,&{\frac {\partial z}{\partial b}}=&0,&{\frac {\partial z}{\partial c}}=&1.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83074e91d8b8be404d480d9b1a688f317aed4145)
Ces valeurs étant substituées dans l’expression de
![{\displaystyle \theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e5ab2664b422d53eb0c7df3b87e1360d75ad9af)
(
art. 5), on a
![{\displaystyle \theta =1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/576d5d351891989a94a26da6a7a7eea6bb15fb53)
donc
Donc, remettant pour
sa valeur dans l’équation dont il s’agit, elle sera de la forme
(E)
|
|
|
Cette équation, combinée avec les trois équations (C) ou (D) des \piticles 5 et 6, servira donc à déterminer les valeurs de
en fonctions de
Cette équation peut aussi se trouver d’une manière plus simple, sans passer par l’équation différentielle (B) de l’article 3. En effet, l’équation (B) exprime seulement que la variation du volume
de la particule
est nulle, tandis que le temps
varie ; de sorte que la valeur de
doit être constante et égale à la valeur primitive
Or nous avons donné dans l’article 5 les expressions de
en
mais il faut remarquer que, dans la formule
la différence
doit être prise en y regardant
et
comme constantes ; que, de même, la différence
doit être prise en regardant
et
comme constantes, et qu’enfin la différence
suppose
et
constantes, ce qui est évident en considérant le parallélépipède rectangle représenté par
Supposons donc d’abord
et
constantes, et, par conséquent,
et
nuls ; on aura les deux équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial x}{\partial a}}da+{\frac {\partial x}{\partial b}}db+{\frac {\partial x}{\partial c}}dc=&0,\\{\frac {\partial y}{\partial a}}da+{\frac {\partial y}{\partial b}}db+{\frac {\partial y}{\partial c}}dc=&0\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b8226b2358ec97382e05ba28dfd582f267fa818)
d’où l’on tire
![{\displaystyle da={\frac {{\cfrac {\partial x}{\partial b}}{\cfrac {\partial y}{\partial c}}-{\cfrac {\partial x}{\partial c}}{\cfrac {\partial y}{\partial b}}}{{\cfrac {\partial x}{\partial a}}{\cfrac {\partial y}{\partial b}}-{\cfrac {\partial y}{\partial a}}{\cfrac {\partial x}{\partial b}}}}dc,\qquad db={\frac {{\cfrac {\partial x}{\partial c}}{\cfrac {\partial y}{\partial a}}-{\cfrac {\partial x}{\partial a}}{\cfrac {\partial y}{\partial c}}}{{\cfrac {\partial x}{\partial a}}{\cfrac {\partial y}{\partial b}}-{\cfrac {\partial y}{\partial a}}{\cfrac {\partial x}{\partial b}}}}dc\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a9e3e8f1ed9642fe710ec4a7c016e35267eb279)
ces valeurs, substituées dans l’expression de
![{\displaystyle \operatorname {D} z,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22a80c044ff46fcec0012b6d9976c5d7eda3cc4e)
donneront
![{\displaystyle \operatorname {D} z={\cfrac {{\cfrac {\partial z}{\partial a}}\left({\cfrac {\partial x}{\partial b}}{\cfrac {\partial y}{\partial c}}-{\cfrac {\partial x}{\partial c}}{\cfrac {\partial y}{\partial b}}\right)+{\cfrac {\partial z}{\partial b}}\left({\cfrac {\partial x}{\partial c}}{\cfrac {\partial y}{\partial a}}-{\cfrac {\partial x}{\partial a}}{\cfrac {\partial y}{\partial c}}\right)+{\cfrac {\partial z}{\partial c}}\left({\cfrac {\partial x}{\partial a}}{\cfrac {\partial y}{\partial b}}-{\cfrac {\partial y}{\partial a}}{\cfrac {\partial x}{\partial b}}\right)}{{\cfrac {\partial x}{\partial a}}{\cfrac {\partial y}{\partial b}}-{\cfrac {\partial y}{\partial a}}{\cfrac {\partial x}{\partial b}}}}dc.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff59fd5008fc99a132b7f84b11a2960b3bda8450)
Pour avoir de même la valeur de
on supposera
et
ce qui donne
![{\displaystyle dc=0,\qquad {\frac {\partial x}{\partial a}}da+{\frac {\partial x}{\partial b}}db=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bef035f70f867146d14d06d1cdc0e62040786d87)
d’où l’on tire
![{\displaystyle da=-{\frac {\cfrac {\partial x}{\partial b}}{\cfrac {\partial x}{\partial a}}}db,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f79c1c4ec7310c8cc75072eeff6803912fa341d)
et cette valeur ainsi que celle de
égale à
étant substituées dans l’expression de
donneront
![{\displaystyle \operatorname {D} y={\cfrac {{\cfrac {\partial x}{\partial a}}{\cfrac {\partial y}{\partial b}}-{\cfrac {\partial x}{\partial b}}{\cfrac {\partial y}{\partial a}}}{\cfrac {\partial x}{\partial a}}}db.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bff9c381ece656a7906bb44a99664c3c078722ba)
Enfin, pour avoir la valeur de
on fera
ce qui donne
![{\displaystyle db=0,\quad dc=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/028c9fbae8554fc542f88deab5983b6e956eaff7)
et par conséquent,
![{\displaystyle \operatorname {D} x={\frac {\partial x}{\partial a}}da.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5da67589f2e651b436ea0ced09ac507ea910a399)
Multipliant ensemble ces valeurs de
on aura
![{\displaystyle \operatorname {D} x\operatorname {D} y\operatorname {D} z=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4467c44cc1ea83ee1f685e6dbf30926daf7d3bbd)
![{\displaystyle \left[{\frac {\partial z}{\partial a}}\left({\frac {\partial x}{\partial b}}{\frac {\partial y}{\partial c}}-{\frac {\partial x}{\partial c}}{\frac {\partial y}{\partial b}}\right)+{\frac {\partial z}{\partial b}}\left({\frac {\partial x}{\partial c}}{\frac {\partial y}{\partial a}}-{\frac {\partial x}{\partial a}}{\frac {\partial y}{\partial c}}\right)+{\frac {\partial z}{\partial c}}\left({\frac {\partial x}{\partial a}}{\frac {\partial y}{\partial b}}-{\frac {\partial y}{\partial a}}{\frac {\partial x}{\partial b}}\right)\right]da\,db\,dc.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b78c5e453c6b069ebcb81ddc61911b19f1da5ff6)
Faisant donc
on aura tout de suite l’équation (E).
Il est bon de remarquer que cette valeur de
est celle qu’on doit employer dans les intégrales triples relatives à
lorsqu’on veut y substituer, à la place des variables
des fonctions données d’autres variables
8. Comme les équations dont il s’agit sont à différences partielles, l’intégration y introduira nécessairement différentes fonctions arbitraires et la détermination de ces fonctions devra se déduire en partie de l’état initial du fluide, lequel doit être supposé donné, et en partie de la considération de la surface extérieure du fluide, qui est aussi donnée si le fluide est renfermé dans un vase, et qui doit être représentée par l’équation
lorsque le fluide est libre (art. 2).
En effet, dans le premier cas, si l’on représente par
l’équation des parois du vase,
étant une fonction donnée des coordonnées
de ces parois et du temps
si les parois sont mobiles ou d’une forme variable, en y mettant pour ces variables leurs valeurs en
on aura une équation entre les coordonnées initiales
et le temps
laquelle représentera, par conséquent, la surface que formaient dans l’état initial les mêmes particules qui, après le temps
forment la surface représentée par l’équation donnée
Si donc on veut que les mêmes particules qui sont une fois à la surface y demeurent toujours et ne se meuvent que le long de cette surface, condition qui paraît nécessaire pour que le fluide ne se divise pas, et qui est reçue généralement dans la théorie des fluides, il faudra que l’équation dont il s’agit ne contienne point le temps
par conséquent, la fonction
de
devra être telle, que
y disparaisse après la substitution des valeurs de
en
Par la même raison, l’équation
de la surface libre ne devra point contenir
ainsi la valeur de
devra être une simple fonction de
sans
Au reste, il y a des cas, dans le mouvement d’un fluide qui s’écoule d’un vase, où la condition dont il s’agit ne doit pas avoir lieu ; alors les déterminations qui résultent de cette condition ne sont plus nécessaires.
9. Telles sont les équations par lesquelles on peut déterminer directement le mouvement d’un fluide quelconque incompressible. Mais ces équations sont sous une forme un peu compliquée, et il est possible de les réduire à une plus simple, en prenant pour inconnues, à la place des coordonnées
les vitesses
dans la direction des coordonnées, et en regardant, ces vitesses comme des fonctions de
En effet, d’un côté, il est clair que, puisque
sont fonctions de
les quantités
seront aussi fonctions des mêmes variables
donc, si l’on conçoit qu’on substitue dans ces fonctions les valeurs de
en
tirées de celles de
en
on aura
exprimées en fonctions de
et
D’un autre côté, il est clair que, pour la connaissance actuelle du mouvement du fluide, il suffit de connaître à chaque instant le mouvement d’une particule quelconque qui occupe un lieu donné dans l’espace, sans qu’il soit nécessaire de savoir les états précédents de cette particule ; par conséquent, il suffit d’avoir les valeurs des vitesses
en fonctions de
D’ailleurs, ces valeurs étant connues, si on les nomme
on aura les équations
![{\displaystyle dx=p\,dt,\qquad dy=q\,dt,\qquad dz=r\,dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75f6de0c2f7a2a1e552ba247deccccd3486d94ef)
entre
lesquelles, étant ensuite intégrées de manière que
deviennent
lorsque
donneront les valeurs mêmes de
en ![{\displaystyle a,\,b,\,c,\,t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3356e0b50a11a608c8f6946450d3354d0fe5875f)
Au reste, si l’on chasse
de ces équations différentielles, on aura ces deux-ci
![{\displaystyle p\,dy=q\,dx,\qquad p\,dz=r\,dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79b582b9016024f2326066b0fbfb4ded5747cabb)
lesquelles expriment la nature des différentes courbes dans lesquelles tout le fluide se meut à chaque instant, courbes qui changent de place et de forme d’un instant à l’autre.
10. Reprenons donc les équations fondamentales (A) et (B) des articles 2 et 3, et introduisons-y les variables
![{\displaystyle p={\frac {dx}{dt}},\qquad q={\frac {dy}{dt}},\qquad r={\frac {dz}{dt}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e80040b38a82fc3e324a493d49e6ffb3998b6db7)
regardées comme des fonctions de ![{\displaystyle x,y,z,t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f900c45a4288c1f7896cb3c26372c48d7f34233)
Il est clair que les quantités
peuvent être mises sous la forme
où les quantités
sont censées des fonctions de
En les regardant donc comme telles, on aura, pour la différence de
![{\displaystyle {\frac {\partial {\cfrac {dx}{dt}}}{\partial t}}dt+{\frac {\partial {\cfrac {dx}{dt}}}{\partial a}}da+{\frac {\partial {\cfrac {dx}{dt}}}{\partial b}}db+{\frac {\partial {\cfrac {dx}{dt}}}{\partial c}}dc,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe3711f491065c42c48bcc9edd35a95c6efede55)
et ainsi des autres ; mais en les regardant comme fonctions de
et les désignant par
leurs différences complètes seront
![{\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial t}}dt+{\frac {\partial p}{\partial x}}dx+{\frac {\partial p}{\partial y}}dy+{\frac {\partial p}{\partial z}}dz,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/093f165c0f1e516a729f2091b7252209a41d8c01)
et ainsi des autres différence ; donc, si dans ces dernières expressions on met pour
leurs valeurs en
il faudra qu’elles deviennent identiques avec les premières ; mais,
étant regardé comme fonction de
on a
![{\displaystyle dx={\frac {\partial x}{\partial t}}dt+{\frac {\partial x}{\partial a}}da+{\frac {\partial x}{\partial b}}db+{\frac {\partial x}{\partial c}}dc,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72be7308b888e712a0be920ddcb648b48be4cd9f)
où
est évidemment
en supposant qu’on mette dans
les valeurs de
en ![{\displaystyle a,\,b,\,c,\,t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3356e0b50a11a608c8f6946450d3354d0fe5875f)
Ainsi l’on aura
![{\displaystyle dx=p\,dt+{\frac {\partial x}{\partial a}}da+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7376a5d46c1f79b4484d7f12adc0b7cce713b8dc)
et, de même,
![{\displaystyle dy=q\,dt+{\frac {\partial y}{\partial a}}da+\ldots ,\quad dz=r\,dt+{\frac {\partial z}{\partial a}}da+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83b3c9f033a462ee8cf6167d65617d554f489a21)
Substituant ces valeurs dans l’expression de la différence complète de
les termes affectés de
seront
![{\displaystyle \left({\frac {\partial p}{\partial t}}+p{\frac {\partial p}{\partial x}}+q{\frac {\partial p}{\partial y}}+r{\frac {\partial p}{\partial z}}\right)dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e41dbb0de88e2fe3ea660e589bc8cd55ba897c5a)
lesquels devant être identiques avec le terme correspondant
ou bien
on aura
![{\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}={\frac {\partial p}{\partial t}}+p{\frac {\partial p}{\partial x}}+q{\frac {\partial p}{\partial y}}+r{\frac {\partial p}{\partial z}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e39fa5144db3291894cceb9af9c7639d7384484a)
et l’on trouvera de la même manière
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=&{\frac {\partial q}{\partial t}}+p{\frac {\partial q}{\partial x}}+q{\frac {\partial q}{\partial y}}+r{\frac {\partial q}{\partial z}},\\{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=&{\frac {\partial r}{\partial t}}+p{\frac {\partial r}{\partial x}}+q{\frac {\partial r}{\partial y}}+r{\frac {\partial r}{\partial z}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/399c82283c4f1178984bd5d1833f220110c5901c)
On fera donc ces substitutions dans les équations (A) ; et comme dans ces mêmes équations les termes
représentent des différencies partielles de
relativement à
en supposant
constant, on y pourra changer la caractéristique
en
On aura ainsi les transformées
(F)
|
|
|
À l’égard de l’équation (B) de l’article 3, dans laquelle les différences marquées par
sont relatives à
et celles qui sont marquées par
sont relatives à
il n’y aura qu’à y mettre à la place de
leurs valeurs
et, changeant la caractéristique
en
puisque la caractéristique est indifférente dans les différences partielles, on aura sur-le-champ, à cause de
constant,
(G)
|
|
|
On voit que ces équations sont beaucoup plus simples que les équations (C) ou (D) et (E) auxquelles elles répondent ; ainsi il convient de les employer de préféreiice dans la théorie des fluides.
Ces quatre équations (F) et (G) donneront
et
en fonctions de
et de
regardé comme constant dans leur intégration. Et si l’on voulait ensuite avoir les valeurs de
en fonctions de
et des coordonnées primitives
comme dans la première solution, il n’y aurait qu’à intégrer les équations
![{\displaystyle dx=p\,dt,\qquad dy=q\,dt,\qquad dz=r\,dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75f6de0c2f7a2a1e552ba247deccccd3486d94ef)
en y introduisant comme constantes arbitraires les valeurs initiales
de ![{\displaystyle x,\,y,\,z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79380584a7e07a6e498d1b5aac2483389009b3b)
11. Dans les fluides homogènes et de densité uniforme, la quantité
qui exprime la densité est tout à fait constante ; c’est le cas le plus ordinaire, et le seul que nous examinerons dans la suite.
Mais, dans les fluides hétérogènes, cette quantité doit être une fonction constante relativement au temps
pour la même particule, mais variable d’une particule à l’autre, selon une loi donnée. Ainsi, en considérant le fluide dans l’état initial où les coordonnées
sont
la quantité
sera une fonction donnée et connue de
donc, si l’on regarde comme fonction de
et
il faudra qu’en y substituant les valeurs de
en fonctions de
et
la variable
disparaisse, et, par conséquent, que la différentielle de
par rapport à
soit nulle. On aura donc, à cause de
fonctions de
l’équation
![{\displaystyle {\frac {\partial \Delta }{\partial t}}+{\frac {\partial \Delta }{\partial x}}{\frac {dx}{dt}}+{\frac {\partial \Delta }{\partial y}}{\frac {dy}{dt}}+{\frac {\partial \Delta }{\partial z}}{\frac {dz}{dt}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8890a8af781ff42d39ce36d0081fdafa7f484781)
où il faudra mettre pour
leurs valeurs ![{\displaystyle p,\,q,\,r.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bb82ac1574faa7c198d09988d8daf10daffd81d)
Ainsi on aura l’équation
(H)
|
|
|
qui servira à déterminer l’inconnue
dans les équations (F), parce que dans ces équations on doit traiter
comme une fonction de ![{\displaystyle x,\,y,\,z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79380584a7e07a6e498d1b5aac2483389009b3b)
À cet égard, elles sont moins avantageuses que les équations (C) ou (D), dans lesquelles on peut regarder
comme une fonction connue de
12. Ce que nous venons de dire relativement à la fonction
il faudra l’appliquer aussi à la fonction
en tant que
est l’équation des parois du vase et qu’on suppose que le fluide contigu aux parois ne peut se mouvoir qu’en coulant le long de ces parois, de manière que les mêmes particules restent toujours à la surface ; car cette condition demande, comme on l’a vu dans l’article 8, que
devienne une fonction de
sans
de sorte qu’en regardant cette quantité comme une fonction de
on aura aussi l’équation
(I)
|
|
|
Pour les parties de la surface où le fluide sera libre, on aura l’équation
(art. 2) ; il faudra, par conséquent, pour satisfaire à la même condition, relativement à cette surface, que l’on ait aussi
(K)
|
|
|
13. Voilà les formules les plus générales et les plus simples pour la détermination rigoureuse du mouvement des fluides. La difficulté ne consiste plus que dans leur intégration ; mais elle est si grandie que jusqu’à présent on a été obligé de se contenter, même dans les problèmes les plus simples, de méthodes particulières et fondées sur des hypothèses plus ou moins limitées. Pour diminuer autant qu’il est possible cette difficulté, nous allons examiner comment et dans quels cas ces formules peuvent encore être simplifiées ; nôus en ferons ensuite l’application à quelques questions sur le mouvement des fluides dans des vases ou des canaux.
14. Rien n’est d’abord plus facile que de satisfaire à l’équation (G) de l’article 10 ; car, en faisant
![{\displaystyle p={\frac {\partial \alpha }{\partial z}},\qquad q={\frac {\partial \beta }{\partial z}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27fb72fab5bddfc4cf2a972e1896f96f60436cb7)
elle devient
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\alpha }{\partial x\partial z}}+{\frac {\partial ^{2}\beta }{\partial y\partial z}}+{\frac {\partial r}{\partial z}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbb6b348f5b2840d5ca032bdebb5e78e0ec1158d)
laquelle est intégrable relativement à
et donne
![{\displaystyle r=-{\frac {\partial \alpha }{\partial x}}-{\frac {\partial \beta }{\partial y}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29dbe6801bc708ced37f45fccf2f53a5cbad493e)
il n’est point nécessaire d’ajouter ici une fonction arbitraire, à cause des quantités indéterminées
et ![{\displaystyle \beta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a7eccdb23980e06f136fbea999c8e96e7db1b6b)
Ainsi l’équation dont il s’agit sera satisfaite par ces valeurs
![{\displaystyle p={\frac {\partial \alpha }{\partial z}},\qquad q={\frac {\partial \beta }{\partial z}},\qquad r=-{\frac {\partial \alpha }{\partial x}}-{\frac {\partial \beta }{\partial y}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ca0f716003029fc21e0c71dc84ba5a5a6dc270d)
lesquelles étant ensuite substituées dans les trois équations (F) du même article, il n’y aura plus que trois inconnues
et
et même il sera très facile d’éliminer
par des différentiations partielles. De sorte que, de cette manière, si la densité
est constante, le problème se trouvera réduit à deux équations uniques entre les inconnues
et
et, si la densité
est variable, il y faudra joindre l’équation (H) de l’article 11. Mais l’intégration de ces équations surpasse les forces de l’Analyse connue.
15. Voyons donc si les équations (F), considérées en elles-mêmes, ne sont pas susceptibles de quelque simplification.
En ne considérant dans la fonction
que la variabilité de
on a
![{\displaystyle d\lambda ={\frac {\partial \lambda }{\partial x}}dx+{\frac {\partial \lambda }{\partial y}}dy+{\frac {\partial \lambda }{\partial z}}dz.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a84bd6c18ad17d8e0190783c2fe9526e65c4208)
Donc, substituant pour
leurs valeurs tirées de ces équations, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}d\lambda =&+\left({\frac {\partial p}{\partial t}}+p{\frac {\partial p}{\partial x}}+q{\frac {\partial p}{\partial y}}+r{\frac {\partial p}{\partial z}}+\mathrm {X} \right)\Delta dx\\&+\left({\frac {\partial q}{\partial t}}+p{\frac {\partial q}{\partial x}}+q{\frac {\partial q}{\partial y}}+r{\frac {\partial q}{\partial z}}+\mathrm {Y} \right)\Delta dy\\&+\left({\frac {\partial r}{\partial t}}+p{\frac {\partial r}{\partial x}}+q{\frac {\partial r}{\partial y}}+r{\frac {\partial r}{\partial z}}+\mathrm {Z} \right)\Delta dz.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f161bafbf682ccaa26a680645ce69803308d674e)
Le premier membre de cette équation étant une différentielle complète, il faudra que le second en soit une aussi, relativement à
et la valeur de
qu’on en tirera satisfera à la fois aux équations (F).
Supposons maintenant que le fluide soit homogène, en sorte que la densité
soit constante ; et faisons-la, pour plus de simplicité, égale à l’unité.
Supposons, de plus, que les forces accélératrices
soient telles que la quantité
soit une différentielle complète. Cette condition est celle qui est nécessaire pour que le fluide puisse être en équilibre par ces mêmes forces, comme on l’a vu dans l’article 19 de la Section VII de la Ire Partie. Elle a d’ailleurs toujours lieu lorsque ces forces viennent d’une ou de plusieurs attractions proportionnelles à des fonctions quelconques des distances aux centres, ce qui est le cas de la nature, puisqu’en nommant les attractions
et les distances
on a, en général (Ire Partie, Sect. V, art. 7),
![{\displaystyle \mathrm {X} dx+\mathrm {Y} dy+\mathrm {Z} dz=\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b4c9469dd20d2aed84dbe2252dcd6170db3d16c)
Faisant donc
![{\displaystyle \Delta =1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf46f3fc2f930287a56caef6549a2909c3978fbd)
et
![{\displaystyle \mathrm {X} dx+\mathrm {Y} dy+\mathrm {Z} dz=\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\ldots =d\mathrm {V} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/508376148baff362d224c411ea77e3e17fd5ff77)
l’équation précédente deviendra
(L)
|
|
|
et il faudra que le second membre de cette équation soit une différentielle complète, puisque le premier en est une. Cette équation équivaudra aussi aux équations (F) de l’article 10.
Or, en considérant la différentielle de
prise relativement à
il n’est pas difficile de voir qu’on peut donner au second membre de l’équation dont il s’agit cette forme
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\left(p^{2}+q^{2}+r^{2}\right)}{2}}+{\frac {\partial p}{\partial t}}dx+{\frac {\partial q}{\partial t}}dy+{\frac {\partial r}{\partial t}}dz&+\left({\frac {\partial p}{\partial y}}-{\frac {\partial q}{\partial x}}\right)(qdx-pdy)\\+\left({\frac {\partial p}{\partial z}}-{\frac {\partial r}{\partial x}}\right)(rdx-pdz)&+\left({\frac {\partial q}{\partial z}}-{\frac {\partial r}{\partial y}}\right)(rdy-qdz)\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fee42aad44ae3cd886db121545b2e7023e781244)
et l’on voit d’abord que cette quantité sera une différentielle complète, toutes les fois que
le sera elle-même ; car alors sa différentielle par rapport à
savoir
le sera aussi, et, de plus, les conditions connues de l’intégrabilité donneront
![{\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial y}}-{\frac {\partial q}{\partial x}}=0,\quad {\frac {\partial p}{\partial z}}-{\frac {\partial r}{\partial x}}=0,\quad {\frac {\partial q}{\partial z}}-{\frac {\partial r}{\partial y}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cfade80af0f2b1578652986ef03091460b3ddec)
D’où il suit qu’on pourra satisfaire à l’équation (L) par la simple supposition que
soit une différentielle complète : et le calcul du mouvement du fluide sera par là beaucoup simplifié. Mais, comme ce n’est qu’une supposition particulière, il importe d’examiner, avant tout, dans quels cas elle peut et doit avoir lieu.
16. Soit, pour abréger,
![{\displaystyle \alpha ={\frac {\partial p}{\partial y}}-{\frac {\partial q}{\partial x}},\quad \beta ={\frac {\partial p}{\partial z}}-{\frac {\partial r}{\partial x}},\quad \gamma ={\frac {\partial q}{\partial z}}-{\frac {\partial r}{\partial y}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5367f3feb6d0038df98b8ee3e71a775b255d53b9)
il ne s’agira que de rendre une différentielle exacte la quantité[2]
![{\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial t}}dx+{\frac {\partial q}{\partial t}}dy+{\frac {\partial r}{\partial t}}dz+\alpha (q\,dx-p\,dy)+\beta (r\,dx-p\,dz)+\gamma (r\,dy-q\,dz).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a9362ef25d87de4cda3cec9570111d716681193)
En regardant
comme des fonctions de
on peut supposer
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{6}&p&=&p'&+&p''t&+&p'''t^{2}&+&p^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}t^{3}&+&\ldots ,\\&q&=&q'&+&q''t&+&q'''t^{2}&+&q^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}t^{3}&+&\ldots ,\\&r&=&r'&+&r''t&+&r'''t^{2}&+&r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}t^{3}&+&\ldots ,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6a7824efcbfb66a633f91fdf37131ad2c42268a)
les quantités
étant des fonctions de
sans ![{\displaystyle t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07)
Ces valeurs étant substituées dans les trois quantités
elles deviendront
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{6}&\alpha &=&\alpha '&+&\alpha ''t&+&\alpha '''t^{2}&+&\alpha ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}t^{3}&+&\ldots ,\\&\beta &=&\beta '&+&\beta ''t&+&\beta '''t^{2}&+&\beta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}t^{3}&+&\ldots ,\\&\gamma &=&\gamma '&+&\gamma ''t&+&\gamma '''t^{2}&+&\gamma ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}t^{3}&+&\ldots ,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/396449af431a5c45e8006d0251c4f563752c725c)
en supposant
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\alpha '=&{\frac {\partial p'}{\partial y}}-{\frac {\partial q'}{\partial x}},\qquad &\alpha ''=&{\frac {\partial p''}{\partial y}}-{\frac {\partial q''}{\partial x}},\qquad &\ldots ,\\\beta '=&{\frac {\partial p'}{\partial z}}-{\frac {\partial r'}{\partial x}},&\beta ''=&{\frac {\partial p''}{\partial z}}-{\frac {\partial r''}{\partial x}},&\ldots ,\\\gamma '=&{\frac {\partial q'}{\partial z}}-{\frac {\partial r'}{\partial y}},&\gamma ''=&{\frac {\partial q''}{\partial z}}-{\frac {\partial r''}{\partial y}},&\ldots .\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a70f2961aa4cdbde6285807c1a88b61637b4e9e)
Ainsi la quantité
![{\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial t}}dx+{\frac {\partial q}{\partial t}}dy+{\frac {\partial r}{\partial t}}dz+\alpha (q\,dx-p\,dy)+\beta (r\,dx-p\,dz)+\gamma (r\,dy-q\,dz)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ae52cff52bc41d5e93e7dcffe368a9f732f1b6c)
deviendra, après ces différentes substitutions, et en ordonnant les termes par rapport aux puissances de
![{\displaystyle {\begin{aligned}p''dx&+q''dy+r''dz+\alpha '(q'dx-p'dy)+\beta '(r'dx-p'dz)+\gamma '(r'dy-q'dz)\\&+t\left[2(p'''dx+q'''dy+r'''dz)\right.\\&\ \ \qquad +\alpha '\ (q''dx-p''dy)+\beta '\ (r''dx-p''dz)+\gamma '\ (r''dy-q''dz)\\&\ \ \qquad \left.+\ \alpha ''(q'\ dx-p'\ dy)+\beta ''(r'\ dx-p'\ dz)+\gamma ''(r'\,dy-q'\ dz)\right]\\\\&+t^{2}\left[3(p^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dx+q^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dy+r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dz)\right.\\&\ \ \qquad +\alpha '\ \,(q'''dx-p'''dy)+\beta '\ \ (r'''dx-p'''dz)+\gamma '\ (r'''dy-q'''dz)\\&\ \ \qquad +\alpha ''\ (q''\ dx-p''\,dy)+\beta ''\ (r''\ dx-p''\ dz)+\gamma ''(r''\ dy-q''\ dz)\\&\ \ \qquad \left.+\ \alpha '''(q'\ \ dx-p'\ \,dy)+\beta '''(r'\ \,dx-p'\ \,dz)+\gamma '''(r'\ \,dy-q'\ \,dz)\right]\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f6a42206c78a0636797bfb173bdbeac901f50d2)
et comme cette quantité doit être une différentielle exacte, indépendamment de la valeur de
il faudra que les quantités qui multiplient chaque puissance de
soient, chacune en particulier, des différentielles exactes.
Cela posé, supposons que
soit une différentielle exacte ; on aura, par les théorèmes connus,
![{\displaystyle {\frac {\partial p'}{\partial y}}={\frac {\partial q'}{\partial x}},\quad {\frac {\partial p'}{\partial z}}={\frac {\partial r'}{\partial x}},\quad {\frac {\partial q'}{\partial z}}={\frac {\partial r'}{\partial y}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1b6fc26785f6dff46333c2a06edbe39f7803deb)
donc
![{\displaystyle \alpha '=0,\qquad \beta '=0,\qquad \gamma '=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ad47d8f181e855712793eb069a975e44218e4fa)
donc la première quantité qui doit être une différentielle exacte se réduira à
et l’on aura, par conséquent, ces équations de condition
![{\displaystyle \alpha ''=0,\qquad \beta ''=0,\qquad \gamma ''=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6518eb7b5edfa9540f72a7fce03b9b90365d9d56)
Alors la seconde quantité qui doit être une différentielle exacte deviendra
et il résultera de là les nouvelles équations
![{\displaystyle \alpha '''=0,\qquad \beta '''=0,\qquad \gamma '''=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a923d12c39213b7ac6b7bc1a268d8b4db731307)
De sorte que la troisième quantité qui doit être une différentielle
exacte sera
![{\displaystyle 3(p^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dx+q^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dy+r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dz)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e96adb5301a2dd005091250deb36a65a145be092)
d’où l’on tirera pareillement les équations
![{\displaystyle \alpha ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=0,\qquad \beta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=0,\qquad \gamma ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01b911199d119efb5450c1411467c73d8cc1305a)
et ainsi de suite. Donc, si
est une différentielle exacte, il faudra que
![{\displaystyle p''dx+q''dy+r''dz,\quad p'''dx+q'''dy+r'''dz,\quad p^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dx+q^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dy+r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dz,\quad \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/557293be772fb3d22b56674ef69db9e283827ebb)
soient aussi, chacune en particulier, des différentielles exactes. Par conséquent, la quantité entière
sera, dans ce cas, une différentielle exacte, le temps
étant supposé fort petit.
17. Il s’ensuit de là que, si la quantité
est une différentielle exacte lorsque
elle devra l’être aussi lorsque
aura une valeur quelconque ; donc, en général, comme l’origine des
est arbitraire, et qu’on peut prendre également
positif ou négatif, il s’ensuit que, si la quantité
est une différentielle exacte dans un instant quelconque, elle devra l’être pour tous les autres instants. Par conséquent, s’il y a un seul instant dans lequel elle ne soit pas une différentielle exacte, elle ne pourra jamais l’être pendant tout le mouvement ; car, si elle l’était dans un autre instant quelconque, elle devrait l’être aussi dans le premier.
18. Lorsque le mouvement commence du repos, on a alors
lorsque
donc
sera intégrable pour ce moment et, par conséquent, devra l’être toujours pendant toute la durée du mouvement.
Mais s’il y a des vitesses imprimées au fluide au commencement, tout dépend de la nature de ces vitesses, selon qu’elles seront telles que
![{\displaystyle p\,dx+q\,dy+r\,dz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2658d42aab92469594b4f961826da13f7689fb2)
soit une quantité intégrable ou non ; dans le premier cas, la quantité
![{\displaystyle p\,dx+q\,dy+r\,dz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2658d42aab92469594b4f961826da13f7689fb2)
sera toujours intégrable ; dans le second, elle ne le sera jamais.
Lorsque les vitesses initiales sont produites par une impulsion quelconque sur la surface du fluide, comme par l’action d’un piston, on peut démontrer que
doit être intégrable dans le premier instant. Car il faut que les vitesses
que chaque point du fluide reçoit en vertu de l’impulsion donnée à la surface soient telles que, si l’on détruisait ces vitesses en imprimant en même temps à chaque point du fluide des vitesses égales et en sens contraire, toute la masse du fluide demeurât en repos ou en équilibre. Donc il faudra qu’il y ait équilibre dans cette masse, en vertu de l’impulsion appliquée à la surface et des vitesses ou forces
appliquées à chacun des points de son intérieur ; par conséquent, d’après la loi générale de l’équilibre des fluides (Ire Partie, Sect. VII, art. 19), les quantités
devront être telles que
soit une différentielle exacte. Ainsi, dans ce cas, la même quantité devra toujours être une différentielle exacte dans chaque instant du mouvement.
19. On pourrait peut-être douter s’il y a des mouvements possibles dans un fluide, pour lesquels
ne soit pas une différentielle exacte.
Pour lever ce doute par un exemple très simple, il n’y a qu’à considérer le cas où l’on aurait
![{\displaystyle p=gy,\qquad q=-gx,\qquad r=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c11aee7d3fd6f7f7a587c1c6e624ba9f6097539)
étant une constante quelconque. On voit d’abord que, dans ce cas,
ne sera pas une différentielle complète, puisqu’elle devient
qui n’est pas intégrable ; cependant l’équation (L) de l’article 15 sera intégrable d’elle-même, car on aura
![{\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial y}}=g,\quad {\frac {\partial q}{\partial x}}=-g,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e8dd2880d0f2373f8c100e1a550197463f751eb)
et toutes les autres différences partielles de
et
seront nulles ; de sorte que l’équation dont il s’agit
![{\displaystyle d\lambda -d\mathrm {V} =-g^{2}(xdx+ydy),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/425bda7576156217cabcc3f89e631642f0cf1929)
dont l’intégrale donne
![{\displaystyle \lambda =\mathrm {V} -{\frac {g^{2}}{2}}\left(x^{2}+y^{2}\right)+\mathrm {fonct} .t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7781423488c656e473725168f67a5324f5039848)
valeur qui satisfera donc aux trois équations (F) de l’article 10.
À l’égard de l’équation (G) du même article, elle aura lieu aussi, puisque les valeurs supposées donnent
![{\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial x}}=0,\qquad {\frac {\partial q}{\partial y}}=0,\qquad {\frac {\partial r}{\partial z}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e5607d2a8049e239b3b30c8bc1c5a66ffe05dbe)
Au reste, il est visible que ces valeurs de
représentent le mouvement d’un fluide qui tourne autour de l’axe fixe des coordonnées
avec une vitesse angulaire constante et égale à
et l’on sait qu’un pareil mouvement peut toujours avoir lieu dans un fluide.
On peut conclure de là que, dans le calcul des oscillations de la mer en vertu de l’attraction du Soleil et de la Lune, on ne peut pas supposer que la quantité
soit intégrable, puisqu’elle ne l’est pas lorsque le fluide est en repos par rapport à la Terre, et qu’il n’a que le mouvement de rotation qui lui est commun avec elle.
20. Après avoir déterminé les cas dans lesquels on est assuré que la quantité
doit être une différentielle complète, voyons comment, d’après cette condition, on peut résoudre les équations du mouvement des fluides.
Soit donc
![{\displaystyle pdx+qdy+rdz=d\varphi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c92de151901f3b9c623b9930968fca7c095af974)
étant une fonction quelconque de
et de la variable
laquelle est regardée comme constante dans la différentielle
on aura donc
![{\displaystyle p={\frac {\partial \varphi }{\partial x}},\qquad q={\frac {\partial \varphi }{\partial y}},\qquad r={\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4e2dbf5e84fd765dd92e79b14126fd99aa40979)
et, substituant ces valeurs dans l’équation (L) de l’article 15, elle
deviendra
![{\displaystyle {\begin{aligned}d\lambda -d\mathrm {V} =&+\left({\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t\partial x}}+{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}\ +{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x\partial y}}+{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x\partial z}}\right)dx\\&+\left({\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t\partial y}}+{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x\partial y}}+{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}}\ +{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y\partial z}}\right)dy\\&+\left({\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t\partial z}}+{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x\partial z}}+{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y\partial z}}+{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2}}}\ \right)dz,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39748c2d8018a961a8be4e5b47b30afe2880eac8)
dont l’intégrale, relativement à
est évidemment
![{\displaystyle \lambda -\mathrm {V} ={\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79562027659c5199cea376f76025c89d9ddce7a5)
On pourrait y ajouter une fonction arbitraire de
puisque cette variable est regardée dans l’intégration comme constante ; mais j’observe que cette fonction peut être censée renfermée dans la valeur de
car, en augmentant
d’une fonction quelconque
de
les valeurs de
demeurent les mêmes qu’auparavant, et le second membre de l’équation précédente se trouvera augmenté de la fonction
qui est arbitraire. On peut donc, sans déroger à la généralité de cette équation, se dispenser d’y ajouter aucune fonction arbitraire de
On aura donc, par cette équation,
![{\displaystyle \lambda =\mathrm {V} +{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f62d75e7755794c384c375912b4f7930196f5825)
valeur qui satisfera à la fois aux trois équations (F) de l’article 10 ; et la détermination de
dépendra de l’équation (G) du même article, laquelle, en substituant pour
leurs valeurs
devient
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2}}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c38691e09c3f3af92d9d040a333a67aa584e5550)
Ainsi toute la difficulté ne consistera plus que dans l’intégration de cette dernière équation.
21. Il y a encore un cas très étendu, dans lequel la quantité
![{\displaystyle pdx+qdy+rdz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12ea2e69b4d670d05a2f8fd26e7d6cec1a7370d7)
doit être une différentielle exacte c’est celui où l’on suppose que les vitesses
![{\displaystyle p,\,q,\,r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e881c17751f73596b6b5204ed719370cc32ce994)
soient très petites et qu’on néglige les quantités très petites du second ordre et des ordres suivants. Gar il est visible que, dans cette hypothèse, la même équation (L) se réduira à
![{\displaystyle d\lambda -d\mathrm {V} ={\frac {\partial p}{\partial t}}dx+{\frac {\partial q}{\partial t}}dy+{\frac {\partial r}{\partial t}}dz,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/289ac86e51bdb1dabe3ed45359f1c94b9e16b07a)
où l’on voit que,
devant être intégrable relativement à
la quantité
devra l’être aussi. On aura ainsi les mêmes formules que dans l’article précédent, en supposant
une fonction très petite et négligeant les secondes dimensions de
et de ses différentielles.
On pourra de plus, dans ce cas, déterminer les valeurs mêmes de
pour un temps quelconque, car il n’y aura pour cela qu’à intégrer les équations (art. 9)
![{\displaystyle dx=pdt,\qquad dy=qdt,\qquad dz=rdt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1e6cb92bea97397f95db2d1e1f797c7c847555d)
dans lesquelles, puisque
sont très petites et que, par conséquent,
sont aussi très petites du même ordre vis-à-vis de
on pourra regarder
comme constantes par rapport à
De sorte qu’en traitant
seul comme variable dans les fonctions
et ajoutant les constantes
on aura sur-le-champ
![{\displaystyle x=a+\int pdt,\qquad y=b+\int qdt,\qquad z=c+\int rdt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a843d120f26e00ee8496312aeb249421daf6763)
Donc faisant, pour abréger,
![{\displaystyle \Phi =\int \varphi dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6070f62c8980cde9ce8cbe8d1f71cb484cb9e579)
et changeant dans
les variables
en
on aura simplement
![{\displaystyle x=a+{\frac {\partial \Phi }{\partial a}},\qquad y=b+{\frac {\partial \Phi }{\partial b}},\qquad z=c+{\frac {\partial \Phi }{\partial c}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3da855eadb911b61e244bac2b7cd2f95c4c28782)
où la fonction
devra être prise de manière qu’elle soit nulle lorsque
afin que
soient les valeurs initiales de ![{\displaystyle x,\,y,\,z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79380584a7e07a6e498d1b5aac2483389009b3b)
Ce cas a lieu dans la théorie des ondes et dans toutes les petites oscillations.
22. En général, lorsque la masse du fluide est telle que l’une de ses dimensions soit considérablement plus petite que chacune des deux autres, en sorte qu’on puisse regarder, par exemple, les coordonnées
comme très petites vis-à-vis de
et
cette circonstance servira dans tous les cas à faciliter la résolution des équations générales.
Car il est clair qu’on pourrait donner alors aux inconnues
la forme suivante
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{5}&p&=&p'&+&p''\ \,z&+&p'''\ \,z^{2}&+&\ldots ,\\&q&=&q'&+&q''\ \,z&+&q'''\ \,z^{2}&+&\ldots ,\\&r&=&r'&+&r''\ \,z&+&r'''\ \,z^{2}&+&\ldots ,\\&\Delta &=&\Delta '&+&\Delta ''z&+&\Delta '''z^{2}&+&\ldots ,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63609a5215e5647b8ff8205ef23f095be1c43eab)
dans lesquelles
seraient des fonctions de
sans
de sorte qu’en faisant ces substitutions on aurait des équations en séries, lesquelles ne contiendraient que des différences partielles relatives à ![{\displaystyle x,\,y,\,t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a817d7a2d1db8c0c23e68e06d76c0632e6444aa)
Pour donner là-dessus un essai de calcul, supposons de nouveau qu’il ne s’agisse que d’un fluide homogène, où
et commençons par substituer les valeurs précédentes dans l’équation (G) de l’article 10 ; en ordonnant les termes par rapport à
on aura
![{\displaystyle {\frac {\partial p'}{\partial x}}+{\frac {\partial q'}{\partial y}}+r''+z\left({\frac {\partial p''}{\partial x}}+{\frac {\partial q''}{\partial y}}+2r'''\right)+z^{2}\left({\frac {\partial p'''}{\partial x}}+{\frac {\partial q'''}{\partial y}}+3r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)+\ldots =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/519649cab0e987a7edecc5afd1b11b2fb976db1a)
De sorte que, comme
ne doivent point contenir
on aura ces équations particulières
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial p'}{\partial x}}\ \,+{\frac {\partial q'}{\partial y}}\ +r''\ \ &=0,\\{\frac {\partial p''}{\partial x}}\ +{\frac {\partial q''}{\partial y}}+r'''\ &=0,\\{\frac {\partial p'''}{\partial x}}+{\frac {\partial q'''}{\partial y}}+r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}&=0,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &.\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9248cb9f7024db344e7e7d1d128c17ff8dc038a1)
par lesquelles on déterminera d’abord les quantités
et
les autres quantités
![{\displaystyle r',\,p',\,p'',\ldots ,\,q',\,q'',\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1aa740cdd3a95a004a9bc0bc6f36281dcef82468)
demeureront encore indéterminées.
On fera les mêmes substitutions dans l’équation (L) de l’article 15, laquelle équivaut aux trois équations (F) de l’article 10, et il est aisé de voir qu’elle se réduira à la forme suivante
![{\displaystyle {\begin{aligned}d\lambda -d\mathrm {V} =&\alpha dx+\beta dy+\gamma dz+z(\alpha 'dx+\beta 'dy+\gamma 'dz)\\&+z^{2}(\alpha ''dx+\beta ''dy+\gamma ''dz)+\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fb1cf00aa7f148aae768aff4c2083bdb10e6ae8)
en faisant, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha =&{\frac {\partial p'}{\partial t}}+p'{\frac {\partial p'}{\partial x}}+q'{\frac {\partial p'}{\partial y}}+r'p'',\\\beta =&{\frac {\partial q'}{\partial t}}+p'{\frac {\partial q'}{\partial x}}+q'{\frac {\partial q'}{\partial y}}+r'q'',\\\gamma =&{\frac {\partial r'}{\partial t}}+p'{\frac {\partial r'}{\partial x}}+q'{\frac {\partial r'}{\partial y}}+r'r'',\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/790a8bb292a2ff3cf7a08785c4e688a37b26de47)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha '=&{\frac {\partial p''}{\partial t}}+p'{\frac {\partial p''}{\partial x}}+p''{\frac {\partial p'}{\partial x}}+q'{\frac {\partial p''}{\partial y}}+q''{\frac {\partial p'}{\partial y}}+2r'p'''+r''p'',\\\beta '=&{\frac {\partial q''}{\partial t}}+p'{\frac {\partial q''}{\partial x}}+p''{\frac {\partial q'}{\partial x}}+q'{\frac {\partial q''}{\partial y}}+q''{\frac {\partial q'}{\partial y}}+2r'q'''+r''q'',\\\gamma '=&{\frac {\partial r''}{\partial t}}+p'{\frac {\partial r''}{\partial x}}+p''{\frac {\partial r'}{\partial x}}+q'{\frac {\partial r''}{\partial y}}+q''{\frac {\partial r'}{\partial y}}+2r'r'''+r''r'',\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3a25099881b294e314500bd8b8e94900ef1f95e)
et ainsi de suite.
Donc, pour que le second membre de cette équation soit intégrable, il faudra que les quantités
![{\displaystyle \alpha dx+\beta dy,\quad \gamma dz+z(\alpha 'dx+\beta 'dy),\quad \gamma 'zdz+z^{2}(\alpha ''dx+\beta ''dy),\quad \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9490c062b59b52d2e04d69973613f03a1986fced)
soient chacune intégrables en particulier.
Si donc on dénote par
une fonction de
sans
on aura ces conditions
![{\displaystyle \alpha ={\frac {\partial \omega }{\partial x}},\quad \beta ={\frac {\partial \omega }{\partial y}},\quad \alpha '={\frac {\partial \gamma }{\partial x}},\quad \beta '={\frac {\partial \gamma }{\partial y}},\quad \alpha ''={\frac {1}{2}}{\frac {\partial \gamma '}{\partial x}},\quad \beta ''={\frac {1}{2}}{\frac {\partial \gamma '}{\partial y}},\quad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4a4cc88c3d26af626cd45f4ae85aab5f705ae46)
Alors l’équation intégrée donnera
![{\displaystyle \lambda =\mathrm {V} +\omega +\gamma z+{\frac {1}{2}}\gamma 'z^{2}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49df96a7e3a2c41439cd5c475e4e3adb298f6408)
et il ne s’agira que de satisfaire aux conditions précédentes par le moyen des fonctions indéterminées
Le calcul deviendrait plus facile encore si les deux variables
et
étaient très petites en même temps vis-à-vis de
car on pourrait supposer alors
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{7}&p&=&p'&+&p''y&+&p'''z&+&p^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}y^{2}&+&p^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}yz&+&\ldots ,\\&q&=&q'&+&q''y&+&q'''z&+&q^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}y^{2}&+&q^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}yz&+&\ldots ,\\&r&=&r'&+&r''y&+&r'''z&+&r^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}y^{2}&+&r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}yz&+&\ldots ,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dd3e9653def007b948e6fa12df4aee5b473976b)
les quantités
étant de simples fonctions de ![{\displaystyle x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d07e9f568a88785ae48006ac3c4b951020f1699a)
Faisant ces substitutions dans l’équation (G) et égalant séparément à zéro les termes affectés de
et de leurs produits, on aurait
![{\displaystyle {\frac {\partial p'}{\partial x}}+q''+r'''=0,\quad {\frac {\partial p''}{\partial x}}+2q^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+r^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}=0,\quad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a28929fb9a4e15eee2d55498bd0c2f9b9143f112)
Ensuite l’équation (L) deviendrait de la forme
![{\displaystyle {\begin{aligned}d\lambda -d\mathrm {V} =&\alpha dx+\beta dy+\gamma dz+y(\alpha 'dx+\beta 'dy+\gamma 'dz)\\&+z(\alpha ''dx+\beta ''dy+\gamma ''dz)+\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88582d4599edecfaf7fa1b3bd35f417588be17c3)
en supposant
![{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha \ =&{\frac {\partial p'}{\partial t}}\ +p'{\frac {\partial p'}{\partial x}}\ +q'p''+r'p''',\\\beta \ =&{\frac {\partial q'}{\partial t}}\ +p'{\frac {\partial q'}{\partial x}}\ +q'q''+r'q''',\\\gamma \ =&{\frac {\partial r'}{\partial t}}\ +p'{\frac {\partial r'}{\partial x}}\ +q'r''+r'r''',\\\alpha '=&{\frac {\partial p''}{\partial t}}+p'{\frac {\partial p''}{\partial x}}+p''{\frac {\partial p'}{\partial x}}+2q'p^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+q''p''+r'p^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}+r''p''',\\..\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e4279a5e25a0f2047408ce96f521e154cacb741)
et l’on aurait pour l’intégrabilité de cette équation les conditions
![{\displaystyle \alpha '={\frac {\partial \beta }{\partial x}},\quad \alpha ''={\frac {\partial \gamma }{\partial x}},\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/deb232c84f3897f463aefd8273be36abd4ebcafb)
moyennant quoi elle donnerait
![{\displaystyle \lambda =\mathrm {V} +\int \alpha dx+\beta dy+\gamma dz+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/347d203705d27929cd0f70a26e2fef5e35e48a5c)
Enfin on pourra aussi quelquefois simplifier le calcul par le moyen des substitutions, en introduisant à la place des coordonnées
d’autres variables
lesquelles soient des fonctions données de celles-là ; et si, par la nature de la question, la variable
par exemple, ou les deux variables
et
sont très petites vis-à-vis de
on pourra employer des réductions analogues à celles que nous venons d’exposer.
§ II. — Du mouvement des fluides pesants et homogènes dans des vases ou
canaux de figure quelconque.
23. Pour montrer l’usage des principes et des formules que nous venons de donner, nous allons les appliquer aux fluides qui se meuvent dans des vases ou des canaux de figure donnée.
Nous supposerons que le fluide soit homogène et pesant, et qu’il parte du repos ou qu’il soit mis en mouvement par l’impulsion d’un piston appliqué à sa surface ; ainsi les vitesses
de chaque particule devront être telles, que la quantité
soit intégrable (art. 18) ; par conséquent, on pourra employer les formules de l’article 20.
Soit donc
[3] une fonction de
et
déterminée par l’équation
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2}}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3f949f4695597ef8a27b3b78ea20f5f2997a2f1)
on aura d’abord, pour les vitesses de chaque particule suivant les directions des coordonnées
ces expressions
![{\displaystyle p={\frac {\partial \varphi }{\partial x}},\qquad q={\frac {\partial \varphi }{\partial y}},\qquad r={\frac {\partial \varphi }{\partial z}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76be3bcc6761bdd42a7b183fc91d0ef3e93d6d70)
Ensuite on aura
![{\displaystyle \lambda =\mathrm {V} +{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f62d75e7755794c384c375912b4f7930196f5825)
quantité qui devra être nulle à la surface extérieure libre du fluide
(art. 2).
Quant à la valeur de
qui dépend des forces accélératricesdu fluide (art. 15), si l’on exprime par
la force accélératrice de la gravité, et qu’on nomme
les angles que les axes des coordonnées
font avec la verticale menée du point d’intersection de ces axes et dirigée de haut en bas, on aura
![{\displaystyle \mathrm {X} =-g\cos \xi ,\qquad \mathrm {Y} =-g\cos \eta ,\qquad \mathrm {Z} =-g\cos \zeta \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7f8b4e758371d4b795cd6e74900ef7dd08a46b2)
je donne le signe
aux valeurs des forces
parce que ces forces sont supposées tendre à diminuer les coordonnées
Donc, puisque
![{\displaystyle d\mathrm {V} =\mathrm {X} dx+\mathrm {Y} dy+\mathrm {Z} dz,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae4c54c119e6c2a96dc3f4b20206a0754f0b1b5f)
on aura, en intégrant,
![{\displaystyle \mathrm {V} =-gx\cos \xi -gy\cos \eta -gz\cos \zeta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0f47d2547c3e677b53bfff04892d3809f80a8cb)
24. Soit maintenant
ou
l’équation d’une des parois du canal,
étant une fonction donnée de
sans
ni
Pour que les mêmes particules du fluide soient toujours contiguës à cette paroi, il faudra remplir l’équation (I) de l’article 12, en y supposant
On aura donc
![{\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial z}}-{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}{\frac {\partial \alpha }{\partial x}}-{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}{\frac {\partial \alpha }{\partial y}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/023a5b230512b19c97933312cdd9a52792c84304)
équation à laquelle devra satisfaire la valeur
Chaque paroi fournira aussi une équation semblable.
De même, puisque
est l’équation de la surface extérieure du fluide, pour que les mêmes particules soient constamment sur cette surface, on aura l’équation
![{\displaystyle {\frac {\partial \lambda }{\partial t}}+{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}{\frac {\partial \lambda }{\partial x}}+{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}{\frac {\partial \lambda }{\partial y}}+{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}{\frac {\partial \lambda }{\partial z}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da96d2c64fdc3dfc6095c927b2bc3988bcb2a232)
laquelle devra avoir lieu et donner, par conséquent, une même valeur de
que l’équation
Mais cette équation ne sera plus nécessaire dès que la condition dont il s’agit cessera d’avoir lieu.
25. Cela posé, il faut commencer par déterminer la fonction
Or, l’équation d’où elle dépend n’étant intégrable, en général, par aucune méthode connue, nous supposerons que l’une des dimensions de la masse fluide soit fort petite vis-à-vis des deux autres, en sorte que les coordonnées
par exemple, soient très petites relativement à
et
Par le moyen de cette supposition, on pourra représenter la valeur de
par une série de cette forme
![{\displaystyle \varphi =\varphi '+z\varphi ''+z^{2}\varphi '''+z^{3}\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/746e791a2dcf5da9e174c9e016054a7d092c2d45)
où
seront des fonctions de
sans ![{\displaystyle z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd7f273b229260c8fe9aa42378b0471336394cc2)
Faisant donc cette substitution dans l’équation précédente, elle deviendra
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}\varphi '}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi '}{\partial y^{2}}}+2\varphi '''&+z\ \left({\frac {\partial ^{2}\varphi ''}{\partial x^{2}}}\ +{\frac {\partial ^{2}\varphi ''}{\partial y^{2}}}\ +2.3\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)\\&+z^{2}\left({\frac {\partial ^{2}\varphi '''}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi '''}{\partial y^{2}}}+3.4\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\right)+\ldots =0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/179549f14419865b938aa427af37d074b4cbadbb)
De sorte qu’en égalant, séparément à zéro les termes affectés des différentes puissances de
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi '''\ &=-\ \,{\frac {1}{2}}\ \ {\frac {\partial ^{2}\varphi '}{\partial x^{2}}}-\ \ {\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}\varphi '}{\partial y^{2}}},\\\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}&=-{\frac {1}{2.3}}{\frac {\partial ^{2}\varphi ''}{\partial x^{2}}}-{\frac {1}{2.3}}{\frac {\partial ^{2}\varphi ''}{\partial y^{2}}},\\\varphi ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\ &=-{\frac {1}{3.4}}{\frac {\partial ^{2}\varphi '''}{\partial x^{2}}}-{\frac {1}{3.4}}{\frac {\partial ^{2}\varphi '''}{\partial y^{2}}}={\frac {1}{2.3.4}}{\frac {\partial ^{4}\varphi '}{\partial x^{4}}}+{\frac {1}{3.4}}{\frac {\partial ^{4}\varphi '}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}+{\frac {1}{2.3.4}}{\frac {\partial ^{4}\varphi '}{\partial y^{4}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/669df0af365be8e4e1ebeaf2f4bb04ff54c859c5)
Ainsi l’expression de
deviendra
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi =\varphi '&+z\varphi ''-{\frac {z^{2}}{2}}\left({\frac {\partial ^{2}\varphi '}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi '}{\partial y^{2}}}\right)-{\frac {z^{3}}{2.3}}\left({\frac {\partial ^{2}\varphi ''}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi ''}{\partial y^{2}}}\right)\\&+{\frac {z^{4}}{2.3.4}}\left({\frac {\partial ^{4}\varphi '}{\partial x^{4}}}+{\frac {\partial ^{4}\varphi '}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi '}{\partial y^{4}}}\right)+\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/921f47cc81a2fc7ba6f89a41ac13ce5fe37f70d5)
dans laquelle les fonctions
et
sont indéterminées, ce qui fait voir que cette expression est l’intégrale complète de l’équation proposée.
Ayant trouvé l’expression de
on aura par la différenciation celles de
comme il suit :
![{\displaystyle {\begin{aligned}p={\frac {\partial \varphi }{\partial x}}={\frac {\partial \varphi '}{\partial x}}&+z{\frac {\partial \varphi ''}{\partial x}}-{\frac {z^{2}}{2}}\left({\frac {\partial ^{3}\varphi '}{\partial x^{3}}}+{\frac {\partial ^{3}\varphi '}{\partial x\partial y^{2}}}\right)-{\frac {z^{3}}{2.3}}\left({\frac {\partial ^{3}\varphi ''}{\partial x^{3}}}+{\frac {\partial ^{3}\varphi ''}{\partial x\partial y^{2}}}\right)+\ldots ,\\q={\frac {\partial \varphi }{\partial y}}={\frac {\partial \varphi '}{\partial y}}&+z{\frac {\partial \varphi ''}{\partial y}}-{\frac {z^{2}}{2}}\left({\frac {\partial ^{3}\varphi '}{\partial x^{2}\partial y}}+{\frac {\partial ^{3}\varphi '}{\partial y^{3}}}\right)-{\frac {z^{3}}{2.3}}\left({\frac {\partial ^{3}\varphi ''}{\partial x^{2}\partial y}}+{\frac {\partial ^{3}\varphi ''}{\partial y^{3}}}\right)+\ldots ,\\r={\frac {\partial \varphi }{\partial z}}=\ \varphi ''\ \ &-z\left({\frac {\partial ^{2}\varphi '}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi '}{\partial y^{2}}}\right)-{\frac {z^{2}}{2}}\left({\frac {\partial ^{2}\varphi ''}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi ''}{\partial y^{2}}}\right)\\&+{\frac {z^{3}}{2.3}}\left({\frac {\partial ^{4}\varphi '}{\partial x^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}\varphi '}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}\varphi '}{\partial y^{4}}}\right)+\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1101bea120b6adac5c31dc473dbf3e90b3e1907)
Et substituant ces valeurs dans l’expression de
de l’article 23, elle deviendra de cette forme
![{\displaystyle \lambda =\lambda '+z\lambda ''+z^{2}\lambda '''+z^{3}\lambda ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b9d4893209e42b984e8f1c175a30b003de34d32)
dans laquelle
![{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda '\ \,=&-g(x\cos \xi +y\cos \eta )+{\frac {\partial \varphi '}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \varphi '}{\partial x}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \varphi '}{\partial y}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\varphi ''^{2},\\\lambda ''\ =&-g\cos \zeta +{\frac {\partial \varphi ''}{\partial t}}+{\frac {\partial \varphi '}{\partial x}}{\frac {\partial \varphi ''}{\partial x}}+{\frac {\partial \varphi '}{\partial y}}{\frac {\partial \varphi ''}{\partial y}}-\varphi ''\left({\frac {\partial ^{2}\varphi '}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi '}{\partial y^{2}}}\right),\\\lambda '''=&-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial ^{3}\varphi '}{\partial t\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{3}\varphi '}{\partial t\partial y^{2}}}\right)+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \varphi ''}{\partial x}}\right)^{2}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial \varphi '}{\partial x}}\left({\frac {\partial ^{3}\varphi '}{\partial x^{3}}}+{\frac {\partial ^{3}\varphi '}{\partial x\partial y^{2}}}\right)+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \varphi ''}{\partial y}}\right)^{2}\\&-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial \varphi '}{\partial y}}\left({\frac {\partial ^{3}\varphi '}{\partial x^{2}\partial y}}+{\frac {\partial ^{3}\varphi '}{\partial y^{3}}}\right)+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial ^{2}\varphi '}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi '}{\partial y^{2}}}\right)^{2}-{\frac {1}{2}}\varphi ''\left({\frac {\partial ^{2}\varphi ''}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi ''}{\partial y^{2}}}\right),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba11786cfcbf9727322b16437de1fe52f4c839b6)
et ainsi de suite.
26. Maintenant, si
est l’équation des parois,
étant une fonction fort petite de
et
sans
l’équation de condition pour que les mêmes particules soient toujours contiguës à ces parois (art. 24) deviendra, par les substitutions précédentes,
![{\displaystyle {\begin{aligned}0=\varphi ''&-{\frac {\partial \varphi '}{\partial x}}{\frac {\partial \alpha }{\partial x}}-{\frac {\partial \varphi '}{\partial y}}{\frac {\partial \alpha }{\partial y}}-z\left({\frac {\partial ^{2}\varphi '}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi '}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial \varphi ''}{\partial x}}{\frac {\partial \alpha }{\partial x}}+{\frac {\partial \varphi ''}{\partial y}}{\frac {\partial \alpha }{\partial y}}\right)\\&-{\frac {1}{2}}z^{2}\left[{\frac {\partial ^{2}\varphi ''}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi ''}{\partial y^{2}}}-\left({\frac {\partial ^{3}\varphi }{\partial x^{3}}}+{\frac {\partial ^{3}\varphi '}{\partial x\partial y^{2}}}\right){\frac {\partial a}{\partial x}}-\left({\frac {\partial ^{3}\varphi '}{\partial x^{2}\partial y}}+{\frac {\partial ^{3}\varphi '}{\partial y^{3}}}\right){\frac {\partial a}{\partial y}}\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dc82823c6aabe90832697e0cf51f4cc439955fc)
laquelle, devant avoir lieu lorsqu’on fait
![{\displaystyle z=\alpha ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67bb9632f2cff754cdeec19c565440f5e9b8a097)
se réduira à cette forme plus simple
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi ''&-{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\alpha {\frac {\partial \varphi '}{\partial x}}\right)-{\frac {\partial }{\partial y}}\left(\alpha {\frac {\partial \varphi '}{\partial y}}\right)-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\alpha ^{2}{\frac {\partial \varphi ''}{\partial x}}\right)-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial y}}\left(\alpha ^{2}{\frac {\partial \varphi ''}{\partial y}}\right)\\&+{\frac {1}{2.3}}{\frac {\partial }{\partial x}}\left[\alpha ^{3}\left({\frac {\partial ^{3}\varphi '}{\partial x^{3}}}+{\frac {\partial ^{3}\varphi '}{\partial x\partial y^{2}}}\right)\right]+{\frac {1}{2.3}}{\frac {\partial }{\partial y}}\left[\alpha ^{3}\left({\frac {\partial ^{3}\varphi '}{\partial x^{2}\partial y}}+{\frac {\partial ^{3}\varphi '}{\partial y^{3}}}\right)\right]+\ldots =0\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/745bada246fd1d0f58d2a37da6b6cd36280a9e4c)
et il faudra que cette équation soit vraie dans toute l’étendue des parois données.
27. Enfin l’équation de la surface extérieure et libre du fluide, étant
sera de la forme
![{\displaystyle \lambda '+z\lambda ''+z^{2}\lambda '''+z^{3}\lambda ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+\ldots =0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b6184abacb1236d43656205f3f7ec7a1fdd1daa)
et l’équation de condition pour que les mêmes particules demeurent à la surface (art. 24) sera
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \lambda '}{\partial t}}&+{\frac {\partial \varphi '}{\partial x}}{\frac {\partial \lambda '}{\partial x}}+{\frac {\partial \varphi '}{\partial y}}{\frac {\partial \lambda '}{\partial y}}+\varphi ''\lambda ''\\&+z\ \left[{\frac {\partial \lambda ''}{\partial t}}+{\frac {\partial \varphi ''}{\partial x}}{\frac {\partial \lambda '}{\partial x}}+{\frac {\partial \varphi '}{\partial x}}{\frac {\partial \lambda ''}{\partial x}}+{\frac {\partial \varphi ''}{\partial y}}{\frac {\partial \lambda '}{\partial y}}+{\frac {\partial \varphi '}{\partial y}}{\frac {\partial \lambda ''}{\partial y}}\right.\\&\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left.+2\varphi ''\lambda ''-\left({\frac {\partial ^{2}\varphi '}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi '}{\partial y^{2}}}\right)\lambda ''\right]\\\\&+z^{2}\left[{\frac {\partial \lambda '''}{\partial t}}+{\frac {\partial \varphi ''}{\partial x}}{\frac {\partial \lambda ''}{\partial x}}+{\frac {\partial \varphi '}{\partial x}}{\frac {\partial \lambda '''}{\partial x}}+{\frac {\partial \varphi ''}{\partial y}}{\frac {\partial \lambda ''}{\partial y}}+{\frac {\partial \varphi '}{\partial y}}{\frac {\partial \lambda '''}{\partial y}}\right.\\&\qquad \qquad \quad -{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial ^{3}\varphi '}{\partial x^{3}}}+{\frac {\partial ^{3}\varphi '}{\partial x\partial y^{2}}}\right){\frac {\partial \lambda '}{\partial x}}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial ^{3}\varphi '}{\partial x^{2}\partial y}}+{\frac {\partial ^{3}\varphi '}{\partial y^{3}}}\right){\frac {\partial \lambda '}{\partial y}}\\&\qquad \qquad \quad \ \left.-2\left({\frac {\partial ^{2}\varphi '}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi '}{\partial y^{2}}}\right)\lambda '''-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial ^{2}\varphi ''}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi ''}{\partial y^{2}}}\right)\lambda ''+3\varphi ''\lambda ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right]+\ldots =0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4eaa0354197f17f4282a8684c3971100cce49c2)
Chassant
de ces deux équations, on en aura une qui devra subsister d’elle-même pour tous les points de la surface extérieure.
Application de ces formules au mouvement d’un fluide qui coule
dans un vase étroit et presque vertical.
28. Imaginons maintenant que le fluide coule dans un vase étroit et à peu près vertical, et supposons, pour plus de simplicité, que les abscisses
soient verticales et dirigées de haut en bas ; on aura (art. 23)
![{\displaystyle \xi =0,\qquad \qquad \eta =90^{\circ },\quad \quad \zeta =90^{\circ }\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/351738f4b3b2fb691df03822cf29eebc82a27df0)
donc
![{\displaystyle \cos \xi =1,\qquad \cos \eta =0,\qquad \cos \zeta =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70a608c7c40ba69f51abcf462ef5b73b803712c4)
Supposons de plus, pour simplifier la question autant qu’il est possible, que le vase soit plan, en sorte que, des deux ordonnées
et
les premières
soient nulles, et les secondes
soient fort petites.
Enfin, soient
et
les équations des deux parois du vase,
et
étant des fonctions de
connues et fort petites. On aura, relativement à ces parois, les deux équations (art. 26)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi ''-{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\alpha {\frac {\partial \varphi '}{\partial x}}\right)&-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\alpha ^{2}{\frac {\partial \varphi ''}{\partial x}}\right)+\ldots =0,\\\varphi ''-{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\beta {\frac {\partial \varphi '}{\partial x}}\right)&-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\beta ^{2}{\frac {\partial \varphi ''}{\partial x}}\right)+\ldots =0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebbff95922df120a9c2b76d2d04a394eea81be2b)
lesquelles serviront à déterminer les fonctions
et ![{\displaystyle \varphi ''.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d523aa041bd02bca9a270815a81017d8e7d1345)
Nous regarderons les quantités
comme très petites du premier ordre, et nous négligerons, du-moins dans la première approximation, les quantités du second ordre et des ordres suivants. Ainsi les deux équations précédentes se réduiront à celles-ci
![{\displaystyle \varphi ''-{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\alpha {\frac {\partial \varphi '}{\partial x}}\right)=0,\qquad \varphi ''-{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\beta {\frac {\partial \varphi '}{\partial x}}\right)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc1104bb077e713d9de737503b448bcb5ed0d0d7)
lesquelles, étant retranchées l’une de l’autre, donnent
![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\left[(\alpha -\beta ){\frac {\partial \varphi '}{\partial x}}\right]=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1951ae396b2f4a0b3428b370842581ba2e37c8a)
équation dont l’intégrale est
![{\displaystyle (\alpha -\beta ){\frac {\partial \varphi '}{\partial x}}=\theta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbf25cdd14f43585538699d472656efb13d0245a)
étant une fonction arbitraire de
laquelle doit être très petite du premier ordre.
Or il est visible que est la largeur horizontale du vase, que nous représenterons par
Ainsi on aura
![{\displaystyle {\frac {\partial \varphi '}{\partial x}}={\frac {\theta }{\gamma }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b9fea55c9d0b60b8503bd360f442a792726d16e)
et, intégrant de nouveau par rapport à ![{\displaystyle x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/feff4d40084c7351bf57b11ba2427f6331f5bdbe)
![{\displaystyle \varphi '=\theta \int {\frac {dx}{\gamma }}+\vartheta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5461a763d642f93fa53c39aa4cc9f2dba332dd16)
en désignant par
une nouvelle fonction arbitraire de ![{\displaystyle t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07)
Si l’on ajoute ensemble les mêmes équations et qu’on fasse
![{\displaystyle {\frac {\alpha +\beta }{2}}=\mu ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b542ef67de0157292d84f3a516eec25389063d8)
on en tirera
![{\displaystyle \varphi ''={\frac {\partial }{\partial x}}\left(\mu {\frac {\partial \varphi '}{\partial x}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b0bef6f042b7dd02c4b142a67dc86d8bf543f31)
ou, en substituant la valeur de ![{\displaystyle {\frac {\partial \varphi '}{\partial x}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15a9e4e640da914f22d71b4d036e518a30fb5ddc)
![{\displaystyle \varphi ''=\theta {\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\mu }{\gamma }}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dda195a72343ea3aea89ade71297a04a10c62a94)
D’où l’on voit que, puisque
sont des quantités très petites du premier ordre,
sera aussi très petite du même ordre.
Donc, en négligeant toujours les quantités du second ordre, on aura, par les formules de l’article 25, la vitesse verticale
![{\displaystyle p={\frac {\partial \varphi '}{\partial x}}={\frac {\theta }{\gamma }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79cdb9c8f0232700047d3d7338963fbc10d390ed)
la vitesse horizontale
![{\displaystyle r=\varphi ''-z{\frac {\partial ^{2}\varphi '}{\partial x^{2}}}=\theta {\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\mu }{\gamma }}\right)-z{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {1}{\gamma }}\right)={\frac {\theta }{\gamma }}\left({\frac {\partial \mu }{\partial x}}+{\frac {z-\mu }{\gamma }}{\frac {\partial \gamma }{\partial x}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b6e1c94bb5a14fb752beef35c00ef326318bcb1)
Ensuite, à cause de
la quantité
sera aussi très petite du premier ordre. Par conséquent, la valeur de
se réduira (art. 25) à
![{\displaystyle \lambda '=-gx+{\frac {d\theta }{dt}}\int {\frac {dx}{\gamma }}+{\frac {d\vartheta }{dt}}+{\frac {\theta ^{2}}{2\gamma ^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f264907dded161b1262706d959f733054e24f828)
Cette valeur, égalée à zéro, donnera la figure de la surface du fluide ; et comme elle ne renferme point l’ordonnée
mais seulement l’abscisse
et le temps
il s’ensuit que la surface du fluide devra être à chaque instant plane et liorizontale.
Enfin l’équation de condition pour que les mêmes particules soient toujours à la surface se réduira, par la même raison, à celle-ci (art. 27)
![{\displaystyle {\frac {\partial \lambda '}{\partial t}}+{\frac {\partial \varphi '}{\partial x}}{\frac {\partial \lambda '}{\partial x}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6603d41a8e0e22dad21c1b08415f0f77a566916)
savoir
![{\displaystyle {\frac {\partial \lambda }{\partial t}}+{\frac {\theta }{\gamma }}{\frac {\partial \lambda }{\partial x}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4db0296babf9bc880fd1461d375ad7ddacd02d96)
laquelle ne contient pas non plus
mais seulement
et ![{\displaystyle t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07)
29. Pour distinguer les quantités qui se rapportent à la surface supérieure du fluide de celles qui se rapportent à la surface inférieure, nous marquerons les premières par un trait et les secondes par deux traits. Ainsi
seront l’abscisse, la largeur du vase, … pour la surface supérieure ;
seront de même l’abscisse, la largeur du vase, … à la surface inférieure.
Donc aussi,
dénoteront dans la suite les valeurs de
pour les deux surfaces ; de sorte que l’on aura, pour la surface supérieure, l’équation
![{\displaystyle \lambda '=-gx'+{\frac {d\theta }{dt}}\int {\frac {dx'}{\gamma '}}+{\frac {d\vartheta }{dt}}+{\frac {\theta ^{2}}{2\gamma '^{2}}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/140b712b9c0f208b3732629fcb4c34d56f9ddd05)
et, pour la surface inférieure, l’équation semblable
![{\displaystyle \lambda ''=-gx''+{\frac {d\theta }{dt}}\int {\frac {dx''}{\gamma ''}}+{\frac {d\vartheta }{dt}}+{\frac {\theta ^{2}}{2\gamma ''^{2}}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e20d2c789b66dbd0105c4ade582cd085749e176)
Enfin
![{\displaystyle {\frac {\partial \lambda '}{\partial t}}+{\frac {\theta }{\gamma '}}{\frac {\partial \lambda '}{\partial x'}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/858deddde5f3a38d2ee4242c9536a8e1f4cc7082)
sera l’équation de condition pour que les mêmes particules qui sont une fois à la surface supérieure y restent toujours, et
![{\displaystyle {\frac {\partial \lambda ''}{\partial t}}+{\frac {\theta }{\gamma ''}}{\frac {\partial \lambda ''}{\partial x''}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e50ca2201b05ee490125a91546b44ad377f6dd4)
sera l’équation de condition pour que la surface inférieure contienne toujours les mêmes particules du fluide.
Cela posé, il faut distinguer quatre cas dans la manière dont un fluide peut couler dans un vase ; et chacun de ces cas demande une solution particulière.
30. Le premier cas est celui où une quantité donnée de fluide coule dans un vase indéfini. Dans ce cas, il est visible que l’une et l’autre surface doit toujours contenir les mêmes particules, et qu’ainsi on aura pour ces deux surfaces les équations
![{\displaystyle \lambda '=0,\quad \lambda ''=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b43000753ab6ffe9d9d16aea68f478ba161ad26d)
et, de plus,
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \lambda '}{\partial t}}\ &+{\frac {\theta }{\gamma '}}\ {\frac {\partial \lambda '}{\partial x'}}\ =0,\\{\frac {\partial \lambda ''}{\partial t}}&+{\frac {\theta }{\gamma ''}}{\frac {\partial \lambda ''}{\partial x''}}=0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b6a6aa70b0f8d527238988935f2c7d4b13d65d6)
quatre équations qui serviront à déterminer les variables
en ![{\displaystyle t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07)
L’équation
étant différentiée, donne
![{\displaystyle {\frac {\partial \lambda '}{\partial x'}}dx'+{\frac {\partial \lambda '}{\partial t}}dt=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/107d3bd3211c7ea2e9def543c30ddfc42c1e0749)
donc
![{\displaystyle {\frac {\partial \lambda '}{\partial t}}=-{\frac {\partial \lambda '}{\partial x'}}{\frac {dx'}{dt}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc4a53afa8b7ddd45de8499294c446d44ad7c651)
substituant cette valeur dans l’équation
![{\displaystyle {\frac {\partial \lambda '}{\partial t}}+{\frac {\theta }{\gamma '}}{\frac {\partial \lambda '}{\partial x'}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c5de0ed6e39bbd210708018a08f3565c426f2c3)
et divisant par
on aura
![{\displaystyle {\frac {dx'}{dt}}={\frac {\theta }{\gamma '}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c64322ba63bbf62ae6b1a4f6198089f40ff499b)
On trouvera de même, en combinant l’équation
avec l’équation
![{\displaystyle {\frac {\partial \lambda ''}{\partial t}}=-{\frac {\partial \lambda ''}{\partial x''}}{\frac {dx''}{dt}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f38c72cb51184618070cc001cd0e0bdb5b9acc50)
celle-ci
![{\displaystyle {\frac {dx''}{dt}}={\frac {\theta }{\gamma }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55bd2f86ab6c7acacfe9ea6083b12144f77a0272)
Donc on aura
![{\displaystyle \theta dt=\gamma 'dx'=\gamma ''dx'',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e586fe783dd6dbbb3c8294b1ca020bdc2882809e)
équations séparées ; par conséquent, on aura, en intégrant,
![{\displaystyle \int \gamma ''dx''-\int \gamma 'dx'=m,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1223865c2e94d173fb30b74fc85d4b578b6b3368)
étant une constante, laquelle exprime évidemment la quantité donnée du fluide qui coule dans le vase. Cette équation donnera ainsi la valeur de
en ![{\displaystyle x'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0965efc45e4f3efbc0e1f88108328343a7331c4d)
Maintenant, si l’on substitue, dans l’équation
pour
sa valeur
elle devient
![{\displaystyle -gx'+{\frac {\theta d\theta }{\gamma 'dx'}}\int {\frac {dx'}{\gamma '}}+{\frac {\theta d\vartheta }{\gamma 'dx'}}+{\frac {\theta ^{2}}{2\gamma '^{2}}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46afea1e8f99516e170b7bee0c04e8ff36b6b5d5)
laquelle, étant multipliée par
donne celle-ci
![{\displaystyle g\gamma 'x'dx'-\theta d\theta \int {\frac {dx'}{\gamma '}}-\theta d\vartheta -{\frac {\theta ^{2}dx'}{2\gamma '}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54221370851e934b66af39b4af72cdf180081f79)
qu’on voit être intégrable et dont l’intégrale sera
![{\displaystyle g\int \gamma 'x'dx'-{\frac {\theta ^{2}}{2}}\int {\frac {dx'}{\gamma '}}-\int \theta d\vartheta =\mathrm {const} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b870b33d4008973fa4364dc411549608710f684f)
On trouvera de la même manière, en substituant
à la place de
dans l’équation
et multipliant par
une nouvelle équation intégrable, et dont l’intégrale sera
![{\displaystyle g\int \gamma ''x''dx''-{\frac {\theta ^{2}}{2}}\int {\frac {dx''}{\gamma ''}}-\int \theta d\vartheta =\mathrm {const} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8000bd56b30fa2cc42c6370491c096400ecb463)
Retranchant ces deux équations l’une de l’autre, pour en éliminer le terme
on aura celle-ci
![{\displaystyle g\left(\int \gamma ''x''dx''-\int \gamma 'x'dx'\right)-{\frac {\theta ^{2}}{2}}\left(\int {\frac {dx''}{\gamma ''}}-\int {\frac {dx'}{\gamma '}}\right)=\mathrm {L} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20ae8f34511f3b6d5ce67eea3c79111fde1c0cb6)
dans laquelle les quantités
et
expriment les intégrales de
et de
prises depuis
jusqu’à
et où
est une constante.
Cette équation donnera donc
en
puisque
est déjà connue en
par l’équation trouvée plus haut. Ayant ainsi
en
on trouvera aussi
en
par l’équation
dont l’intégrale est
![{\displaystyle t=\int {\frac {\gamma 'dx'}{\theta }}+\mathrm {H} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/919f13eef9ff0304edc04dbf912932b523c2ef5d)
étant une constante arbitraire.
À l’égard des deux constantes
et
on les déterminera par l’état initial du fluide. Car, lorsque
la valeur de
sera donnée par la position initiale du fluide dans le vase ; et si l’on suppose que les vitesses initiales du fluide soient nulles, il faudra que l’on ait
lorsque
pour que les expressions
(art. 28) deviennent nulles. Mais si le fluide avait été mis d’abord en mouvement par des impulsions quelconques, alors les valeurs de
et
seraient données lorsque
puisque la quantité
rapportée à la surface du fluide exprime la pression que le fluide y exerce, et qui doit être contrebalancée par la pression extérieure (art. 2). Or on a (art. 29)
![{\displaystyle \lambda ''-\lambda '=-g(x''-x')+{\frac {d\theta }{dt}}\left(\int {\frac {dx''}{\gamma ''}}-\int {\frac {dx'}{\gamma '}}\right)+{\frac {\theta ^{2}}{2}}\left({\frac {1}{\gamma ''^{2}}}-{\frac {1}{\gamma '^{2}}}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b38f9f70188758dc5e201bb2f0a02a1f8ed22a9)
donc, en faisant
![{\displaystyle t=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55ff4c2b109c38fe7038da6238ae875f4d37e643)
on aura une équation qui servira à déterminer la valeur initiale de
Ainsi le problème est résolu, et le mouvement du fluide est entièrement déterminé.
31. Le second cas a lieu lorsque le vase est d’une longueur déterminée et que le fluide s’écoule par le fond du vase. Dans ce cas, on aura, comme dans le cas précédent, pour la surface supérieure, les deux équations
![{\displaystyle \lambda '=0,\quad {\frac {\partial \lambda '}{\partial t}}+{\frac {\theta }{\gamma '}}{\frac {\partial \lambda '}{\partial x'}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0da283b039ffe87d847fd944002cb0d5dccafaad)
mais, pour la surface inférieure, on aura simplement l’équation
puisque, à cause de l’écoulement du fluide, il doit y avoir à chaque instant de nouvelles particules à cette surface. Mais, d’un autre côté, l’abscisse
pour cette même surface, sera donnée et constante ; de sorte qu’il n’y aura que trois inconnues à déterminer, savoir,
et ![{\displaystyle \vartheta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc50a330e6d40f6e3e8e10945d479001da007d96)
Les deux premières équations donnent d’abord, comme dans le cas précédent, celles-ci
![{\displaystyle dt={\frac {\gamma 'dx'}{\theta }},\quad g\gamma 'x'dx'-\theta d\theta \int {\frac {dx'}{\gamma '}}-\theta d\vartheta -{\frac {\theta ^{2}dx'}{2\gamma '}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c74fed67c5f0d71562d015d3a84d54843acf016)
ensuite l’équation
donnera
![{\displaystyle -gx''+{\frac {d\theta }{dt}}\int {\frac {dx''}{\gamma ''}}+{\frac {d\vartheta }{dt}}+{\frac {\theta ^{2}}{2\gamma ''^{2}}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e42613ff73850a10cf6df3fde609cd92f9092152)
où l’on remarquera que
et
sont des constantes, que nous dénoterons, pour plus de simplicité, par
Ainsi, en substituant à
sa valeur
multipliant ensuite par
on aura l’équation
![{\displaystyle gf\gamma 'dx'-n\theta d\theta -\theta d\vartheta -{\frac {\theta ^{2}\gamma 'dx'}{2h^{2}}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f46a0642eb379bc95ab67f301637c55ca74e616c)
Donc retranchant de celle-ci l’équation précédente, pour en éliminer les termes
on aura
![{\displaystyle g(f-x')\gamma 'dx'-\left(n-\int {\frac {dx'}{\gamma '}}\right)\theta d\theta -\left({\frac {\gamma '}{2h^{2}}}-{\frac {1}{2\gamma '}}\right)\theta ^{2}dx'=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/572645c9a70c5b5437bbba3fe7a3a8cd33e7f332)
équation qui ne contient que les deux variables
et
et par laquelle on pourra donc déterminer une de ces variables en fonction de l’autre.
Ensuite on aura
exprimé par la même variable, en intégrant l’équation
![{\displaystyle dt={\frac {\gamma 'dx'}{\theta }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/042a2d3184a473de50611405830a0901a15bac9e)
et l’on déterminera les constantes par l’état initial du fluide, comme dans le problème précédent.
32. Le troisième cas a lieu lorsqu’un fluide coule dans un vase indéfini, mais qui est entretenu toujours plein à la même hauteur par de nouveau fluide qu’on y verse continuellement. Ce cas est l’inverse du précédent ; car on aura ici pour la surface inférieure les deux équations
![{\displaystyle \lambda ''=0\qquad {\text{et}}\qquad {\frac {\partial \lambda ''}{\partial t}}+{\frac {\theta }{\gamma ''}}{\frac {\partial \lambda ''}{\partial x''}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/609994c47abbfc8a43d0118cddb7e52dc7ccd3cc)
et, pour la surface supérieure, on aura simplement l’équation
à cause du changement continuel des particules de cette surface. Ainsi il n’y aura qu’à changer dans les équations de l’article précédent les quantités
en
et prendre pour
les valeurs données de ![{\displaystyle x',\,\gamma ',\,\int {\frac {dx'}{\gamma '}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/155cff3a5573725ec96c900316d114f676eb64e0)
Au reste, nous supposons que l’addition du nouveau fluide se fait de manière que chaque couche prend d’abord la vitesse de celle qui la suit immédiatement, et qu’ainsi l’augmentation ou la diminution de vitesse de cette couche, pendant le premier instant, est la même que si le vase n’était pas entretenu plein à la même hauteur durant cet instant.
33. Enfin, le dernier cas est celui où le fluide sort d’un vase de longueur déterminée ; et qui est entretenu toujours plein à la même hauteur. Ici les particules des surfaces supérieure et inférieure se renouvellent entièrement ; par conséquent, on aura simplement, pour ces deux surfaces, les équations
![{\displaystyle \lambda '=0,\qquad \lambda ''=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/571907fa4aaa0ec180af1ef67c45371c7099b8d1)
mais en même temps les deux abscisses
et
seront données et constantes, en sorte qu’il n’y aura que les deux inconnues
et
à déterminer en ![{\displaystyle t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07)
Soit donc
![{\displaystyle x'=f,\quad \gamma '=h,\quad \int {\frac {dx'}{\gamma '}}=n,\quad x''=\mathrm {F} ,\quad \gamma ''=\mathrm {H} ,\quad \int {\frac {dx''}{\gamma ''}}=\mathrm {N} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/635fb61475bbdad0c0a65726df682c5da9ec6cd6)
les deux équations
deviendront
![{\displaystyle {\begin{aligned}-gf+{\frac {d\theta }{dt}}n\,+{\frac {d\vartheta }{dt}}+\ {\frac {\theta ^{2}}{2h^{2}}}=&0,\\-g\mathrm {F} +{\frac {d\theta }{dt}}\mathrm {N} +{\frac {d\vartheta }{dt}}+{\frac {\theta ^{2}}{2\mathrm {H} ^{2}}}=&0\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edfed798dc939f65017f56a8374764928247c78b)
d’où, chassant
on aura
![{\displaystyle g(\mathrm {F} -f)-(\mathrm {N} -n){\frac {d\theta }{dt}}-\left({\frac {1}{2\mathrm {H} ^{2}}}-{\frac {1}{2h^{2}}}\right)\theta ^{2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1dda85eef520e316b85f5f48074de294bca8faa)
d’où l’on tire
![{\displaystyle dt={\frac {(\mathrm {N} -n)d\theta }{g(\mathrm {F} -f)-\left({\cfrac {1}{2\mathrm {H} ^{2}}}-{\cfrac {1}{2h^{2}}}\right)\theta ^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f60935e7a53414065beff2590456216fd00057e3)
équation séparée, et qui est intégrable par des arcs de cercle ou des logarithmes.
34. Les solutions précédentes sont conformes à celles que les premiers auteurs auxquels on doit des théories du mouvement des fluides ont trouvées, d’après la supposition que les différentes tranches du fluide conservent exactement leur paralléli\sine en descendant dans le vase. (Voir l’Hydrodynamique de Daniel Bernoulli, l’Hydraulique de
Jean Bernoulli, et le Traité des fluides de d’Alembert.) Notre analyse fait voir que cette supposition n’est exacte que lorsque la largeur du vase est infiniment petite, mais qu’elle peut, dans tous les cas, être employée pour une première approximation, et que les solutions qui en résultent sont exactes, aux quantités du second ordre près, en regardant les largeurs du vase comme des quantités du premier ordre.
Mais le grand avantage de cette analyse est qu’on peut par son moyen approcher de plus en plus du vrai mouvement des fluides, dans des vases de figure quelconque ; car, ayant trouvé, ainsi que nous venons de le faire, les premières valeurs des inconnues, en négligeant les secondes dimensions des largeurs du vase, il sera facile de pousser l’approximation plus loin, en ayant égard successivement aux termes négligés. Ce détail n’a de difficulté que la longueur du calcul, et nous n’y entrerons point quant à présent.
Applications des mêmes formules au mouvement d’un fluide contenu dans un canal peu profond et presque horizontal, et en particulier au mouvement des ondes.
35. Puisqu’on suppose la hauteur du fluide fort petite, il faudra prendre les coordonnées
verticales et dirigées de haut en bas ; les abscisses
et les autres ordonnées
deviendront horizontales, et l’on aura (art. 23)
![{\displaystyle \cos \xi =0,\qquad \cos \eta =0,\qquad \cos \zeta =1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28e3204f3e8e4a244ee8ab8d9717343bce6ada43)
En prenant les axes des
et
dans le plan horizontal formé par la surface supérieure du fluide dans l’état d’équilibre, soit
l’équation du fond du canal,
étant une fonction de
et ![{\displaystyle y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83f72471aff7c6fbb27df0f971283a068efe091f)
Nous regarderons les quantités
et
comme très petites du premier ordre, et nous négligerons les quantités du second ordre et des suivants, c’est-à-dire celles qui contiendront les carrés et les produits de
et
L’équation de condition relative au fond du canal donnera (art. 26)
![{\displaystyle \varphi ''={\frac {\partial }{\partial x}}\left(\alpha {\frac {\partial \varphi '}{\partial x}}\right)+{\frac {\partial }{\partial y}}\left(\alpha {\frac {\partial \varphi '}{\partial y}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5eb41f9c0eea606d396fccad0abf80c924dfe81)
d’où l’on voit que
est une quantité du premier ordre.
Ensuite la valeur de la quantité
se réduira à
(art. 25) ; et il faudra négliger dans l’expression de
les quantités du second ordre, et dans celle de
les quantités du premier. Ainsi, à cause de
![{\displaystyle \cos \xi =0,\qquad \cos \eta =0,\qquad \cos \zeta =1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0788e8e73fe89899f031159633000c081ee0515)
on aura, par les formules du même article,
![{\displaystyle \lambda '={\frac {\partial \varphi '}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \varphi '}{\partial x}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \varphi '}{\partial y}}\right)^{2},\quad \lambda ''=-g.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/252cf53f665ba0bf3c4be98cd9db930fe44f5117)
On aura donc (art. 27), pour la surface supérieure du fluide, l’équation
![{\displaystyle \lambda '-gz=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9e46e3a747addbfa3b9316fc9c95ba5006ab4e6)
et ensuite l’équation de condition
![{\displaystyle {\frac {\partial \lambda '}{\partial t}}+{\frac {\partial \varphi '}{\partial x}}{\frac {\partial \lambda '}{\partial x}}+{\frac {\partial \varphi '}{\partial y}}{\frac {\partial \lambda '}{\partial y}}-g\varphi ''+gz\left({\frac {\partial ^{2}\varphi '}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi '}{\partial y^{2}}}\right)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b29fc8ec03cbf03f0df9b8b21f6a5f19cc3d14bf)
L’équation
donne sur-le-champ
pour la figure de la surface supérieure du fluide à chaque instant, et, comme l’équation de condition doit avoir lieu aussi relativement à la même surface, il faudra qu’elle soit vraie en y substituant à
cette même valeur
Cette équation deviendra donc par là de cette forme
![{\displaystyle {\frac {\partial \lambda '}{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\lambda '{\frac {\partial \varphi '}{\partial x}}\right)+{\frac {\partial }{\partial y}}\left(\lambda '{\frac {\partial \varphi '}{\partial y}}\right)-g\varphi ''=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7a025dd75ea086c8793f0a080a27f6e0372f1a1)
et, substituant encore pour
sa valeur trouvée ci-dessus, elle se réduira à celle-ci
![{\displaystyle {\frac {\partial \lambda '}{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\left[(\lambda '-g\alpha ){\frac {\partial \varphi '}{\partial x}}\right]+{\frac {\partial }{\partial y}}\left[(\lambda '-g\alpha ){\frac {\partial \varphi '}{\partial y}}\right]=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7c2c5de42069c29977fbd81907ed2c306bb9f80)
dans laquelle il n’y aura plus qu’à mettre à la place de
sa valeur
![{\displaystyle {\frac {\partial \varphi '}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \varphi '}{\partial x}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \varphi '}{\partial y}}\right)^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a39800d92bb831d401d774121b93f405b6a5b96b)
et l’on aura une équation aux différences partielles du second ordre, qui servira à déterminer
en fonction de ![{\displaystyle x,\,y,\,t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a817d7a2d1db8c0c23e68e06d76c0632e6444aa)
Après quoi on connaîtra la figure de la surface supérieure du fluide, par l’équation
![{\displaystyle z={\frac {1}{g}}{\frac {\partial \varphi '}{\partial t}}+{\frac {1}{2g}}\left({\frac {\partial \varphi '}{\partial x}}\right)^{2}+{\frac {1}{2g}}\left({\frac {\partial \varphi '}{\partial y}}\right)^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/477c295065bde23760d6bd0922b66b7fe913694a)
et si l’on voulait connaître aussi les vitesses horizontales
de chaque particule du fluide, on les aurait par les formules (art. 25)
![{\displaystyle p={\frac {\partial \varphi '}{\partial x}},\qquad q={\frac {\partial \varphi '}{\partial y}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63266ce43eb776fdbe1004730ec1d964573ebb85)
36. Le calcul intégral des équations aux différences partielles est encore bien éloigné de la perfection nécessaire pour l’intégration d’équations aussi compliquées que celle dont il s’agit, et il ne reste d’autre ressource que de simplifier cette équation par quelque limitation.
Nous supposerons pour cela que le fluide, dans son mouvement, ne s’élève ni ne s’abaisse au-dessus ou au-dessous du niveau qu’infiniment peu, en sorte que les ordonnées
de la surface supérieure soient toujours très petites, et qu’outre cela les vitesses horizontales
et
soient aussi infiniment petites. Il faudra donc que les quantités
soient infiniment petites, et qu’ainsi la quantité
soit elle-même infiniment petite.
Ainsi, négligeant dans l’équation proposée les quantités infiniment petites du second ordre et des ordres ultérieurs, elle se réduira à cette forme linéaire
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\varphi '}{\partial t^{2}}}-g{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\alpha {\frac {\partial \varphi '}{\partial x}}\right)-g{\frac {\partial }{\partial y}}\left(\alpha {\frac {\partial \varphi '}{\partial y}}\right)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1665336e6c5f832352661c9473e4eacda9051fe3)
et l’on aura
![{\displaystyle z={\frac {1}{g}}{\frac {\partial \varphi '}{\partial t}},\qquad p={\frac {\partial \varphi '}{\partial x}},\qquad q={\frac {\partial \varphi '}{\partial y}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f1b4f0dbaf9d6049324ca9b6ea861d14996186c)
Cette équation contient donc la théorie générale des petites agitations d’un fluide peu profond, et, par conséquent, la vraie théorie des ondes formées par les élévations et les abaissements successifs et infiniment petits d’une eau stagnante et contenue dans un canal ou bassin peu profond. La théorie des ondes que Newton a donnée dans la proposition xlvi du Livre II des Principes étant fondée sur la supposition précaire et peu naturelle que les oscillations verticales des ondes soient analogues à celles de l’eau dans un tuyau recourbé, doit être regardée comme absolument insuffisante pour expliquer ce problème.
37. Si l’on suppose que le canal ou bassin ait un fond horizontal, alors la quantité
sera constante et égale à la profondeur de l’eau, et l’équation pour le mouvement des ondes deviendra
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\varphi '}{\partial t^{2}}}=g\alpha \left({\frac {\partial ^{2}\varphi '}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi '}{\partial y^{2}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a4040a2a9a68f04c5b98cdf88c3f63d684fa6c9)
Cette équation est entièrement semblable à celle qui détermine les petites agitations de l’air dans la formation du son, en n’ayant égard qu’au mouvement des particules parallèlement à l’horizon, comme on le verra dans l’article 9 de la Section suivante. Les élévations
au-dessus du niveau de l’eau répondent aux condensations de l’air, et la profondeur
de l’eau dans le canal répond à la hauteur de l’atmosphère supposée homogène, ce qui établit une parfaite analogie entre les ondes formées à la surface d’une eau tranquille, par les élévations et les abaissements successifs de l’eau, et les ondes formées dans l’air, par les condensations et raréfactions successives de l’air, analogie que plusieurs auteurs avaient déjà supposée, mais que personne jusqu’ici n’avait encore rigoureusement démontrée.
Ainsi, comme la vitesse de la propagation du son se trouve égale à celle qu’un corps grave acquerrait en tombant de la moitié de la hauteur de l’atmosphère supposée homogène, la vitesse de la propagation des ondes sera la même que celle qu’un corps grave acquerrait en descendant d’une hauteur égale à la moitié de la profondeur de l’eau dans le canal. Par conséquent, si cette profondeur est d’un pied, la vitesse des ondes sera de
pieds par seconde ; et si la profondeur de l’eau est plus ou moins grande, la vitesse des ondes variera en raison sous-doublée des profondeurs, pourvu qu’elles ne soient pas trop considérables.
Au reste, quelle que puisse être la profondeur de l’eau[4] et la figure de son fond, on pourra toujours employer la théorie précédente, si l’on suppose que, dans la formation des ondes, l’eau n’est ébranlée et remuée qu’à une profondeur très petite, supposition qui est très plausible en elle-même, à cause de la ténacité et de l’adhérence mutuelle des particules de l’eau, et que je trouve d’ailleurs confirmée par l’expérience, même à l’égard des grandes ondes de la mer. De cette manière donc, la vitesse des ondes déterminera elle-même la profondeur
à laquelle l’eau est agitée dans leur formation ; car, si cette vitesse est de
pieds par seconde, on aura
![{\displaystyle \alpha ={\frac {n^{2}}{30{,}196}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70b4a59e1f51e1ebd0d797e68b8e2fa3037c5647)
pieds.
On trouve, dans le Tome X des anciens Mémoires de l’Académie des Sciences de Paris, des expériences sur la vitesse des ondes, faites par M. de la Hire, et qui ont donné un pied et demi par seconde pour cette vitesse, ou plus exactement
pieds par seconde. Faisant donc
on aura la profondeur
de
de pied, savoir de
de pouce, ou
lignes à peu près.