APPLICATION DE LA MÉTHODE
EXPOSÉE DANS LE MÉMOIRE PRÉCÉDENT
À LA SOLUTION DE
DIFFÉRENTS PROBLÈMES DE DYNAMIQUE.
(Miscellanea Taurinensia, t. II, 1760-1761.)
M. Euler, dans une Addition à son excellent ouvrage qui a pour titre : Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes : sive solutio Problematis isoperimetrici latissimo sensu accepti, a démontré ce principe que, dans les trajectoires que des corps décrivent par des forces centrales, l’intégrale de la vitesse, multipliée par l’élément de la courbe, fait toujours un maximum ou un minimum.
Je me propose ici de généraliser ce même principe, et d’en faire voir l’usage pour résoudre avec facilité toutes les questions de Dynamique.
Principe général. — Soient tant de corps qu’on voudra
qui agissent les uns sur les autres d’une manière quelconque, et qui soient de plus, si l’on veut, animés par des forces centrales proportionnelles à des jonctions quelconques des distances ; que
dénotent les espaces parcourus par ces corps dans le temps
et que
soient leurs vitesses à la fin de ce temps ; la formule
![{\displaystyle \mathrm {M} \int uds+\mathrm {M} '\int u'ds'+\mathrm {M} ''\int u''ds''+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b46f782e0457dc55c22de1fc632fbf65886047f)
sera toujours un maximum ou un minimum.
I.
Problème I. — Trouver le mouvement d’un corps
attiré vers tant de centres fixes qu’on voudra par des forces
exprimées par des fonctions quelconques des distances.
Solution. — Comme il n’y a ici qu’un seul corps
la formule qui doit être un maximum ou un minimum sera simplement
on aura donc, suivant la méthode expliquée dans le Mémoire précédent, l’équation
![{\displaystyle \delta \left(\mathrm {M} \int uds\right)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64f5f49d172f302b7e44571bfe609b60aefd5e7f)
ou, en divisant par
qui est constante,
![{\displaystyle \delta \left(\int uds\right)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19778b780077590e119b6ce01959b389d0e5f570)
Or,
![{\displaystyle \delta (uds)=u\delta ds+\delta uds\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/327754264a6f5329a1862941c9e35449824889dc)
donc, changeant l’expression
en son équivalente
comme on l’a enseigné (Article I, Mémoire précédent), on aura l’équation
![{\displaystyle \int (u\delta ds+\delta uds)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/747abddc3facfc15a0f56ca3b35403f8d5dbae41)
Soient
les distances du corps
aux centres des forces
on aura, comme tous les Géomètres le savent,
![{\displaystyle {\frac {u^{2}}{2}}=\mathrm {const} -\int \left(\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\ldots \right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7ba048df95914cd42d15cfce95f7d1a0eeaf71d)
donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}u\delta u&=-\delta \int \left(\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\ldots \right)\\&=-\int \left(d\mathrm {P} dp+\mathrm {P} \delta dp+\delta \mathrm {Q} dq+\mathrm {Q} \delta dq+\delta \mathrm {R} dr+\mathrm {R} \delta dr+\ldots \right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b51ed356c8521bd6420bd3c8bc6ab454f40f6898)
ou en changeant
en
et intégrant
par parties les termes
![{\displaystyle {\begin{aligned}u\delta u=&-\mathrm {P} \delta p-\mathrm {Q} \delta q-\mathrm {R} \delta r-\ldots \\&+\int \left(\delta \mathrm {P} dp-d\mathrm {P} \delta p+\delta \mathrm {Q} dq-d\mathrm {Q} \delta q+\delta \mathrm {R} dr-d\mathrm {R} \delta r+\ldots \right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9037e1fd05ed7fa04af70eda36c033c8d004b05)
Or, par hypothèse,
![{\displaystyle \mathrm {P=fonct} .p,\quad \mathrm {Q=fonct} .q,\quad \mathrm {R=fonct} .r,\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e50190003f26ac6f744bdc1c3d87d7d7b9126d8)
on trouvera donc, en différentiant,
![{\displaystyle {\frac {\delta \mathrm {P} }{\delta p}}={\frac {d\mathrm {P} }{dp}},\quad {\frac {\delta \mathrm {Q} }{\delta r}}={\frac {d\mathrm {Q} }{dq}},\quad {\frac {\delta \mathrm {R} }{\delta r}}={\frac {d\mathrm {R} }{dr}},\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5e1f99bc73926dfce319e4d6c5c7471bcb00124)
et par conséquent
![{\displaystyle \delta \mathrm {P} dp-d\mathrm {P} \delta p=0,\qquad \delta \mathrm {Q} dq-d\mathrm {Q} \delta q=0,\qquad \delta \mathrm {R} dr-d\mathrm {R} \delta r=0,\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79d314b1eb836fed5ca2fd90b4285bbdb51c86d1)
donc
![{\displaystyle u\delta u=-\mathrm {P} \delta p-\mathrm {Q} \delta q-\mathrm {R} \delta r-\ldots \ \ {\text{et}}\ \ \delta uds=-\mathrm {P} dt\delta p-\mathrm {Q} dt\delta q-\mathrm {R} dt\delta r-\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99715846dde3fe662218564abcc878a64bd1814a)
en mettant au lieu de
son égale
donc l’équation ci-dessus se changera en celle-ci
(A)
|
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|
Il faut maintenant chercher le rapport que les différences ![{\displaystyle \delta p,\delta q,\delta r,\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66d9883268a72c09b77c898cdbf0a7debcf798d5)
ont entre elles, ce qui se fera différemment selon les différentes sortes de coordonnées qu’on emploiera pour représenter la trajectoire. Et, premièrement, soient prises trois coordonnées rectangles
on aura
![{\displaystyle ds={\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d147b1e420e71da090b47161c5f3d2f4cace17d)
par conséquent,
![{\displaystyle \delta ds={\frac {dx\delta dx+dy\delta dy+dz\delta dz}{ds}}={\frac {dxd\delta x+dyd\delta y+dzd\delta z}{ds}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40627796503ac81f6abd5cfaae1fcb90e4183d82)
en changeant
en ![{\displaystyle d\delta x,\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0ab9b3487632083fa9444057eb716cb93be0d0f)
donc
![{\displaystyle \int u\delta ds=\int \left({\frac {udx}{ds}}d\delta x+{\frac {udy}{ds}}d\delta y+{\frac {udz}{ds}}d\delta z\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4554fbb6b298a5ebf6bc4426292a2e33783068e)
Qu’on fasse disparaître dans cette expression les différentielles de
\delta x,\delta y,\delta z
par la méthode des intégrations par parties, pratiquée dans le Mémoire précédent, on aura la transformée suivante :
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int u\delta ds=&-\int \left(d{\frac {udx}{ds}}\delta x+d{\frac {udy}{ds}}\delta y+d{\frac {udz}{ds}}\delta z\right)\\&+{\frac {udx}{ds}}\delta x+{\frac {udy}{ds}}\delta y+{\frac {udz}{ds}}\delta z.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34e3a93d6a111034ac7a84efd1a04f65ffbb7523)
Il ne s’agit plus que d’exprimer les différences
par les
Pour cela, on cherchera les valeurs analytiques des lignes
rapportées aux coordonnées
et on prendra leurs différentielles en mettant
pour
Soit supposé, en général,
![{\displaystyle {\begin{aligned}dp=&\mathrm {L} \ dx+l\,\ \ dy+\lambda dz,\\dq=&\mathrm {M} dx+mdy+\mu dz,\\dr=&\mathrm {N} \,dx+n\ dy+\nu dz\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32cd2ab6002ecc52e68f8a97409c0b0776b2d4e5)
il est clair qu’on aura aussi
![{\displaystyle {\begin{aligned}\delta p=&\mathrm {L} \ \delta x+l\,\ \ \delta y+\lambda \delta z,\\\delta q=&\mathrm {M} \delta x+m\delta y+\mu \delta z,\\\delta r=&\mathrm {N} \,\delta x+n\ \delta y+\nu \delta z\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53ed80ae0e2398a9dc98f2c2b3893408e4263009)
Donc, si on fait, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {PL+QM+RN} =&\Pi ,\\\mathrm {P} l\ +\mathrm {Q} m\,+\mathrm {R} n=&\varpi ,\\\mathrm {P} \lambda +\mathrm {Q} \ \mu \ +\mathrm {R} \nu =&\Psi ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f8649136104485136b880ee506627d45b269c07)
on aura
![{\displaystyle \mathrm {P} \delta p+\mathrm {Q} \delta q+\mathrm {R} \delta r+\ldots =\Pi \delta x+\varpi \delta y+\Psi \delta z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b932d6ded946bd436aa915419d3b210a5e726591)
Faisant toutes ces différentes substitutions dans l’équation (A), elle deviendra
(B)
|
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|
équation qui doit avoir lieu, quelques valeurs qu’on suppose aux différences
![{\displaystyle \delta x,\delta y,\delta zi\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/872c5f14dd605f3ad7951a3cb8858cc547130e32)
c’est pourquoi l’on fera les trois équations suivantes :
![{\displaystyle {\begin{aligned}d{\frac {udx}{ds}}+\Pi dt=&0,\\d{\frac {udy}{ds}}+\varpi dt=&0,\\d{\frac {udz}{ds}}+\Psi dt=&0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8e7c22b7955605c6c65e0511f1763ead13ea458)
Ce sont ces équations qui serviront à déterminer la courbe décrite par le corps
et sa vitesse à chaque instant.
Si on met
au lieu de
qu’on multiplie la première équation par
la seconde par
la troisième par
et qu’ensuite on les intègre, on aura
![{\displaystyle {\frac {d^{2}x}{2dt^{2}}}=a^{2}-\int \Pi dx,\quad {\frac {d^{2}y}{2dt^{2}}}=b^{2}-\int \varpi dy,\quad {\frac {d^{2}z}{2dt^{2}}}=c^{2}-\int \Psi dz\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bce0ca0bc67c1c52475f46e1339a8e8e0dc3adc8)
d’où l’on tire, en chassant
et extrayant la racine carrée,
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{\sqrt {a^{2}-\int \Pi dx}}}=&{\frac {dy}{\sqrt {b^{2}-\int \varpi dy}}},\\{\frac {dx}{\sqrt {a^{2}-\int \Pi dx}}}=&{\frac {dz}{\sqrt {c^{2}-\int \Psi dz}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f17abf0fe4dfe972d33fb7272e1ffe2bc38d7400)
équations où les indéterminées seront séparées si ![{\displaystyle \Pi =\mathrm {fonct} .x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0f1ca62a9de5e661d57e469c8228ac6deba3cb8)
![{\displaystyle \varpi =\mathrm {fonct} .y,\ \Psi =\mathrm {fonct} .z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f74f2751ea8e9610a0dcd050fcc2b3461d53d978)
II.
Remarque. — Quant aux termes
![{\displaystyle {\frac {udx}{ds}}\delta x+{\frac {udy}{ds}}\delta y+{\frac {udz}{ds}}\delta z,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a8637591b9f361642cdd9eb2741d07a7edf4fb7)
on pourra se dispenser d’y avoir égard, en supposant que les deux extrémités de la trajectoire soient données de position, car cette supposition
fera évanouir les premiers et les derniers
\delta x,\delta y,\delta z,
et par conséquent aussi tous les termes en question. (Voyez l’Article IV du Mémoire précédent.)
III.
Corollaire. — Imaginons que le mobile
sollicité par les mêmes forces
soit contraint de se mouvoir sur une surface courbe donnée par l’équation
en changeant
en
on aura
substituant cette valeur de
dans l’équation (B), et faisant les deux coefficients de
et de
chacun égal à zéro, on aura deux équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}d{\frac {udx}{ds}}+\Pi dt+\left[d{\frac {udz}{ds}}+\Psi dt\right]p=&0,\\d{\frac {udy}{ds}}+\varpi dt+\left[d{\frac {udz}{ds}}+\Psi dt\right]q=&0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a581df6c2e6c4d22c160c4f1923fd2d433f5f19e)
qui, avec l’équation donnée
![{\displaystyle dz=pdx+qdy,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3033b447705a03bd7721015abd62a1cb1d7d0041)
suffiront pour résoudre le Problème.
IV.
Autre solution. — Qu’on prenne, à la place des deux coordonnées rectangles
un rayon variable
qui tourne autour d’un point fixe dans le même plan des
et des
et dont la position à chaque instant soit déterminée par un angle
Conservant la troisième coordonnée
qu’on imaginera élevée de l’extrémité du rayon
perpendiculairement au plan de l’angle
il est facile de trouver que l’élément
de la courbe sera
![{\displaystyle {\sqrt {x^{2}d\varphi ^{2}+dx^{2}+dz^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/298faffde4ec49b1f808b0a5395c81ea1afa71cb)
ainsi on aura, en différenciant,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\delta ds=&{\frac {x^{2}d\varphi \delta d\varphi +xd\varphi ^{2}\delta x+dx\delta dx+dz\delta dz}{ds}}\\=&{\frac {x^{2}d\varphi d\delta \varphi +xd\varphi ^{2}\delta x+dxd\delta x+dzd\delta z}{ds}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/091425daa16b3a6a22acbdaf9b9f5a7c12434e2c)
Mettant donc cette valeur dans la formule intégrale
![{\displaystyle \int u\delta ds,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3d6bc99fb8207dd95f97215099155c264dd1904)
et faisant disparaître les différentielles de
![{\displaystyle \delta \varphi ,\delta x,\delta z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c668e07d74951df6a3318ccb1e41a4f236befa2e)
par la voie ordinaire des intégrations par parties, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int u\delta ds=&-\int \left[d{\frac {ux^{2}d\varphi }{ds}}\delta \varphi +\left(d{\frac {udx}{ds}}-{\frac {uxd\varphi ^{2}}{ds}}\right)\delta x+d{\frac {udz}{ds}}\delta z\right]\\&+{\frac {ux^{2}d\varphi }{ds}}\delta \varphi +{\frac {udx}{ds}})\delta x+{\frac {udz}{ds}}\delta z.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff6674a4599bd4d054e02788c157fe672d44ff14)
Après la substitution de cette valeur de
dans l’équation (A) de l’Article I, il n’y aura plus qu’à réduire les différences
aux différence
Pour cela soit supposé, en général,
![{\displaystyle {\begin{aligned}dp=&\mathrm {L} dx\ +l\,\ \ d\varphi +\lambda dz,\\dq=&\mathrm {M} dx+md\varphi +\mu dz,\\dr=&\mathrm {N} dx\,+n\ d\varphi +\nu dz.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d69d838fb5fa91172d1fef5084fabf1488dd7f4c)
on aura de même
![{\displaystyle {\begin{aligned}dp=&\mathrm {L} dx\,+l\ \ \,d\varphi +\lambda dz,\\dq=&\mathrm {M} dx+md\varphi +\mu dz,\\dr=&\mathrm {N} dx\,+n\ d\varphi +\nu dz.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7477d779be55e381ebd65de20191836a0d0b7359)
Donc, si on fait les mêmes suppositions que dans la solution précédente, on aura aussi
![{\displaystyle \mathrm {P} \delta p+\mathrm {Q} \delta q+\mathrm {R} \delta r+\ldots =w\mathrm {P} \delta x+\varpi \delta \varphi +\psi \delta z,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3eec956c1342fdbfaeb9d9b5403eafb10c40ac03)
et l’équation (A) deviendra enfin
(C)
|
|
|
Maintenant, si on suppose, comme dans l’Article II, que le premier et le dernier point de la trajectoire sont donnés, il est clair que les
qui y répondent seront nulles d’elles-mêmes, et que par conséquent
les trois premiers termes de cette équation le seront aussi. Donc, pour satisfaire au reste de l’équation, indépendamment des différences indéterminées
\delta\varphi,\delta x,\delta z,
on fera chacun de leurs coefficients égal à zéro, et l’on aura pour les équations générales du mouvement du corps
![{\displaystyle {\begin{aligned}&d{\frac {ux^{2}d\varphi }{ds}}+\varpi dt=0,\\&d{\frac {udx}{ds}}-{\frac {uxd\varphi ^{2}}{ds}}+\Pi dt=0,\\&d{\frac {udz}{ds}}+\Psi dt=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/182b28527bf3fb5efbea22bcd42397f17e3eaf46)
Qu’on mette dans ces équations
pour
et qu’on intègre la première, après l’avoir multipliée par
on aura
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\left({\frac {x^{2}d\varphi }{dt}}\right)^{2}=a^{2}-\int \varpi x^{2}d\varphi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0cb93cadf12533c19f58aeb371782debceecf90)
d’où l’on tire
![{\displaystyle dt={\frac {x^{2}d\varphi }{\sqrt {2a^{2}-2\int \varpi x^{2}d\varphi }}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7bf41888ab2822247fe0f08347b1f14b00f3844)
substituant cette valeur dans la seconde équation et faisant, pour abréger,
![{\displaystyle {\sqrt {2a^{2}-2\int \varpi x^{2}d\varphi }}=\mathrm {U} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f486d27fefaae47ebcfb8d584cd427a331e3b178)
on aura
![{\displaystyle d{\frac {\mathrm {U} dx}{x^{2}d\varphi }}-{\frac {\mathrm {U} d\varphi }{x}}+{\frac {\Pi x^{2}d\varphi }{\mathrm {U} }}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5902c390367c72f794458a4270775b032877b29c)
ou, en mettant
pour ![{\displaystyle {\frac {1}{x}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e63fa28e791cf9cde0847703b7856e4d9ce53185)
![{\displaystyle -d{\frac {\mathrm {U} dy}{d\varphi }}-\mathrm {U} yd\varphi +{\frac {\Pi d\varphi }{\mathrm {U} y^{2}}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f4521b9c37ee5d4a32fcb4aa9ff80e13347c3af)
ce qui donnera par la différentiation, en regardant
comme constante et multipliant par ![{\displaystyle {\frac {d\varphi }{\mathrm {U} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8211e668d627135b9bd900a1bc08cc1367c25116)
![{\displaystyle -d^{2}y-{\frac {d\mathrm {U} }{\mathrm {U} }}dy-yd\varphi ^{2}+{\frac {\Pi d\varphi ^{2}}{\mathrm {U} ^{2}y^{2}}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da32689d917ee653ceda87bc41cd33c7cbdbbd9f)
savoir, à cause de
équation constructible dans plusieurs cas particuliers.
Enfin, la troisième équation étant multipliée par
et ensuite intégrée, deviendra
![{\displaystyle {\frac {2dz^{2}}{dt^{2}}}=b^{2}-\int \Psi dz,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40e01b9c6854d2459f526b73ccd8e830c3aa02e9)
d’où l’on tirera la valeur de
laquelle étant comparée à celle qu’on a trouvée plus haut fournira l’équation
![{\displaystyle {\frac {dz}{\sqrt {2b^{2}-2\int \Psi dz}}}={\frac {d\varphi }{\mathrm {U} y^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3436121dba4943299283cc42d48e1cb49a25ace1)
V.
Corollaire. — Si le corps était obligé de se mouvoir sur une surface courbe donnée, alors rapportant cette surface aux trois variables
et la supposant exprimée par l’équation
![{\displaystyle dz=pd\varphi +qdx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b698564dfe2ab34495902a342ec43a1743fe412c)
on mettrait dans l’équation (C)
au lieu de
ensuite on égalerait à zéro les coefficients de
et de
et l’on aurait
![{\displaystyle {\begin{aligned}&d{\frac {ux^{2}d\varphi }{ds}}+\varpi dt+\left(d{\frac {udz}{ds}}+\Psi dt\right)p=0,\\&d{\frac {udx}{ds}}-{\frac {uxd\varphi ^{2}}{ds}}+\Pi dt+\left(d{\frac {udz}{ds}}+\Psi dt\right)q=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee524c45276c36e8da656e1d582c9545eea516e5)
VI.
Remarque I. — Nous avons supposé que les forces
étaient comme des fonctions quelconques des distances
cependant il est facile de démontrer, par les principes de Dynamique, que les équations trouvées sont générales pour toutes sortes de forces accélératrices, et l’on peut d’ailleurs s’en convaincre par cette seule raison que les équations dont il s’agit ne renferment point la loi suivant laquelle les forces
croissent ou décroissent, mais seulement les quantités et les directions instantanées de ces forces, comme il est aisé de le voir en substituant pour
et
leurs valeurs. Au reste, à examiner les solutions précédentes, il est évident que l’hypothèse de
![{\displaystyle \mathrm {P=fonct} .p,\quad \mathrm {Q=fonct} .q,\quad \mathrm {R=fonct.} r,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f306e7ad765c0100c995dd715f45538c3e177ea2)
ne sert qu’à rendre égale à zéro la formule intégrale
![{\displaystyle \int (\delta \mathrm {P} dp-d\mathrm {P} \delta p+\delta \mathrm {Q} dq-d\mathrm {Q} \delta q+\delta \mathrm {R} dr-d\mathrm {R} \delta r+\ldots =0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/441ad642c345a9f94f5ec40bdb9232ed847a288d)
Or, pour cela, il suffirait que les quantités
eussent entre elles un rapport tel que
![{\displaystyle \delta \mathrm {P} dp-d\mathrm {P} \delta p+\delta \mathrm {Q} dq-d\mathrm {Q} \delta q+\delta \mathrm {R} dr-d\mathrm {R} \delta r+\ldots =0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7e4e69a966604c79f908476afd05eb36e1606b2)
soient donc
des fonctions quelconques de
de sorte que l’on ait par la différentiation
![{\displaystyle {\begin{aligned}d\mathrm {P} =&\mathrm {A} dp+\mathrm {B} dq+\mathrm {C} dr+\ldots ,\\d\mathrm {Q} =&\mathrm {D} dp+\mathrm {E} dq+\mathrm {F} dr+\ldots ,\\d\mathrm {R} =&\mathrm {G} dp+\mathrm {H} dq+\mathrm {I} dr+\ldots \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2682197716bdedd1cb086b611de52a31e55c657)
il est clair qu’on aura également
![{\displaystyle {\begin{aligned}\delta \mathrm {P} =&\mathrm {A} \delta p+\mathrm {B} \delta q+\mathrm {C} \delta r+\ldots ,\\\delta \mathrm {Q} =&\mathrm {D} \delta p+\mathrm {E} \delta q+\mathrm {F} \delta r+\ldots ,\\\delta \mathrm {R} =&\mathrm {G} \delta p+\mathrm {H} \delta q+\mathrm {I} \delta r+\ldots \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/054fc88363a68686fdbd791e0d441c392f9cb0a5)
Substituant ces valeurs dans l’équation de condition et réduisant, on aura
![{\displaystyle (\mathrm {B-D} )(dp\delta q-dq\delta p)+(\mathrm {C-G} )(dp\delta r-dr\delta p)+(\mathrm {F-H} )(dq\delta r-dr\delta q)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/589a400dea6bfd9f9744751cd5da6c0f361b5712)
donc
![{\displaystyle \mathrm {B-D=0,\qquad C-G=0,\qquad F-H=0} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45b4070736e6dfb0825e5e2e95e73cb78d6d484c)
savoir
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {P} }{dq}}={\frac {d\mathrm {Q} }{dp}},\qquad {\frac {d\mathrm {P} }{dr}}={\frac {d\mathrm {R} }{dp}},\qquad {\frac {d\mathrm {Q} }{dr}}={\frac {d\mathrm {R} }{dq}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65f39e0efa8be749c38a16dbbb4e5e98a07becfb)
c’est-à-dire que
devra être une différentielle complète. Si cette condition a lieu, la valeur de
sera simplement
![{\displaystyle -\mathrm {P} \delta p-\mathrm {Q} \delta q-\mathrm {R} \delta r-\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f952e6a0d990338e153f86eaeb2a8da550732aef)
autrement, il faudra encore tenir compte de l’intégrale
![{\displaystyle \int (\delta \mathrm {P} dp-d\mathrm {P} \delta p+\ldots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04b861b2d096bbd1fb889fc9120a5bad8703fe36)
pour rendre la formule
un vrai maximum ou minimum ; mais les équations qu’on trouverait alors ne seraient plus les véritables équations du mouvement du corps.
VII.
Remarque II. — Ce Problème est le seul auquel M. Euler ait appliqué son principe. Il l’a aussi résolu pour les deux cas des coordonnées rectangles et des rayons partant d’un centre fixe. Mais pour pouvoir comparer ses solutions avec les nôtres, il faut remarquer :
1o Que M. Euler n’a considéré que des courbes à simple courbure ;
2o Qu’il n’a cherché le maximum ou le minimum de la formule
qu’eu égard à la variabilité de l’ordonnée
dans le premier cas, et à celle de l’angle que nous avons nommé
dans le second. (Voyez l’Addition citée au commencement de ce Mémoire.)
Au reste, il est clair que par notre méthode on pourra encore varier la solution de ce Problème en plusieurs autres manières, selon les différentes sortes de coordonnées qu’on choisira pour représenter la trajectoire cherchée.
VIII.
Problème II général. — Soit un système quelconque de plusieurs corps,
qui soient sollicités par tant de forces centrales qu’on voudra, savoir :
par les forces
par les forces
par les forces
et qui agissent de plus les uns sur les autres par des forces quelconques d’attraction mutuelle ; trouver le mouvement de chacun de ces corps.
Solution. — Tout se réduit à rendre la formule
![{\displaystyle \mathrm {M} \int uds+\mathrm {M} '\int u'ds'+\mathrm {M} ''\int u''ds''+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b46f782e0457dc55c22de1fc632fbf65886047f)
un maximum ou un minimum. On fera donc, suivant notre méthode,
![{\displaystyle \delta \left(\mathrm {M} \int uds\right)+\delta \left(\mathrm {M} '\int u'ds'\right)+\delta \left(\mathrm {M} ''\int u''ds''\right)+\ldots =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29265a3153395226b00d621a3dc28959e59ce096)
Or, à cause que
est constant (Article I),
![{\displaystyle \delta \left(\mathrm {M} \int uds\right)=\mathrm {M} \delta \int uds=\mathrm {M} \int (u\delta ds+u\delta udt)=\int \mathrm {M} (u\delta uds+u\delta udt).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/245e978175aaa6909d10fcb543d47939f20ba2f5)
On trouvera de même, en substituant toujours
pour ![{\displaystyle {\frac {ds'}{u'}},{\frac {ds''}{u''}},\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e50f75ae119ab0007316d2cd0be60d38907045da)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\delta \left(\mathrm {M} '\ \int u'\ ds'\ \right)=&\int \mathrm {M} '\ (u'\ \delta u'\ ds+u'\ \delta u'\ dt),\\\delta \left(\mathrm {M} ''\int u''ds''\right)=&\int \mathrm {M} ''(u''\delta u''ds+u''\delta u''dt),\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3cf88c82d63c7f15884427959c730334285a897)
et ainsi de suite ; on aura donc l’équation
(D)
|
|
|
Maintenant, soient
les distances du corps
aux centres des forces
et
celles des autres corps
aux centres de leurs forces
Soient, outre cela,
la distance entre le corps
et le corps
et
la force avec laquelle chaque point de l’un attire chaque point de l’autre ; de même
la distance entre les corps
et
et
leur force d’attraction, et ainsi de suite. Soient encore
la distance entre le corps
et le corps
et
leur attraction, et ainsi pour tous les autres corps ; on aura, par le principe général de la conservation des forces vives, l’équation
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {M} u^{2}&+\mathrm {M} 'u'^{2}+\mathrm {M} ''u''^{2}+\ldots =\mathrm {MU^{2}+M'U'^{2}+M''U''^{2}} +\ldots \\&-2\mathrm {M} \ \ \int \left(\mathrm {P} \ \ dp\ \ +\mathrm {Q} \ \ dq\ \ +\mathrm {R} \ \ dr\ \ +\ldots \right)\\&-2\mathrm {M} '\ \int \left(\mathrm {P} '\,dp'\ +\mathrm {Q} 'dq'\ +\mathrm {R} '\,dr'\ +\ldots \right)\\&-2\mathrm {M} ''\int \left(\mathrm {P} ''dp''+\mathrm {Q} ''dq''+\mathrm {R} ''dr''+\ldots \right)\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\&-2\mathrm {MM'} \int \mathrm {F} df\\&-2\mathrm {MM''} \int \mathrm {F} 'df'-2\mathrm {M'M''} \int \mathrm {G} dg-\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa52c677f169af979c084a722ac37ba1aa05212e)
étant les vitesses primitives des corps ![{\displaystyle \mathrm {M,M',M''} ,\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c98ca00797f75af499d3205272456491bfe14818)
Or, soient supposés
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\mathrm {P} \ =&\mathrm {fonct} .p\ ,&\mathrm {Q} \ =&\mathrm {fonct} .q\ ,&\mathrm {R} \ =&\mathrm {fonct} .r\ ,\ldots ,\\\mathrm {P} '=&\mathrm {fonct} .p',\qquad &\mathrm {Q} '=&\mathrm {fonct} .q',\qquad &\mathrm {R} '=&\mathrm {fonct} .r',\ldots ,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07d14ba2d82ae3f6aa3e66c4982bb89e58dda9cc)
![{\displaystyle \mathrm {F\,\ =fonct} .f,\ldots ,\qquad \mathrm {G=fonct} .g,\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/924be725cf57ba4883fbe85ca3c2007df8b0a058)
on trouvera, par un calcul analogue à celui qu’on a fait dans le Problème I, l’équation différentielle
(U)
|
|
|
Il faut maintenant trouver les valeurs des différences ![{\displaystyle \delta ds,\delta ds',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/152d5ac8e664749b3e1d68b86a0d9cb20e9f2a08)
et cette recherche dépend, comme on le voit, de la nature des coordonnées qu’on emploie pour représenter les courbes décrites par chaque corps.
IX.
Premier cas. — Soient, comme dans l’Article I,
trois coordonnées rectangles qui déterminent la position du corps
dans un temps quelconque, et soient de même
d’autres coordonnées rectangles et parallèles à celles-là pour la position des autres corps
dans le même temps ; on aura, comme dans l’Article cité,
![{\displaystyle \delta ds={\frac {dxd\delta x+dyd\delta y+dzd\delta z}{ds}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a755d5713e311a1e06b5a7f31394b6d072c4d741)
et de même
![{\displaystyle {\begin{aligned}\delta ds'\ =&{\frac {dxd\delta x'+dy'd\delta y'+dz'd\delta z'}{ds'}},\\\delta ds''=&{\frac {dxd\delta x''+dy''d\delta y''+dz''d\delta z''}{ds''}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e51a1572d34c332ce2cbdb3923ece1dd67315cd)
et ainsi de suite.
Qu’on substitue ces valeurs dans l’équation (D), et qu’on fasse disparaître, comme à l’ordinaire, les différentielles de
on aura, en négligeant tous les termes hors du signe
qui peuvent être supposés nuls par la remarque de l’Article II,
(E)
|
|
|
Il ne s’agira plus maintenant que de substituer dans cette équation, au lieu de
![{\displaystyle \mathrm {M} u\delta u+\mathrm {M} '\delta u'\delta u'+\mathrm {M} ''u''\delta u''+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6220931339941c5c3eea1c334765c899b5c736d1)
sa valeur tirée de l’équation (U), et de réduire ensuite les différences
![{\displaystyle \delta p,\delta q,\delta r,\ldots ,\delta p',\delta q',\ldots ,\delta f,\delta f',\ldots ,\delta g,\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a43e029c7edd44ffc3308cc974eb186f4db2de1a)
aux différences
![{\displaystyle \delta x,\delta y,\delta z,\delta x',\delta y',\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ba3f3dc59a834fa84f4cfe8af76bc809517c2a2)
par une méthode analogue à celle que l’on a pratiquée dans le Problème précédent ; après quoi, si chaque corps est entièrement libre, en sorte que toutes les différences
demeurent indéterminées, on fera chacun de leurs coefficients égal à zéro, et l’on aura trois fois autant d’équations qu’il y a de corps, lesquelles, prises ensemble, suffiront pour déterminer toutes les vitesses et les courbes cherchées ; mais si un ou plusieurs de ces corps sont forcés de se mouvoir sur des courbes ou des surfaces données, et qu’ils agissent de plus les uns sur les autres, soit en se poussant, soit en se tirant par des fils ou des verges inflexibles, ou de quelque autre manière que ce soit, alors on cherchera les rapports qui devront nécessairement se trouver entre les différences
On réduira par là ces différences au plus petit nombre possible, et on fera ensuite chacun de leurs coefficients égal à zéro, ce qui donnera toutes les équations nécessaires pour la solution du Problème.
X.
Corollaire. — Supposons le système entièrement libre, et que les corps agissent les uns sur les autres d’une manière quelconque ; supposons outre cela que tous les corps soient sollicités par trois forces
dirigées parallèlement aux coordonnées
et qui soient les mêmes pour chacun d’eux ; on mettra dans l’équation (U)
à la place de
et l’on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {M} &u\delta u+\mathrm {M} 'u'\delta u'+\mathrm {M} ''u''\delta u''+\ldots \\=&-\mathrm {M} (\mathrm {P} \delta x+\mathrm {Q} \delta y+\mathrm {R} \delta z)-\mathrm {M} '\left(\mathrm {P} \delta x'+\mathrm {Q} \delta y'+\mathrm {R} \delta z\right)\\&-\mathrm {M} ''\left(\mathrm {P} \delta x''+\mathrm {Q} \delta y''+\mathrm {R} \delta z''\right)-\ldots \\&-\mathrm {MM'F} \delta f-\mathrm {MM''F'} \delta f'-\ldots -\mathrm {M'M''G} \delta g-\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2915632ff61104f4a7a581963fcda31ebfcdafc)
Cette valeur de
![{\displaystyle \mathrm {M} u\delta u+\mathrm {M} 'u'\delta u'+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fc83df91507763cd8c6f536268bb3cc7a33855c)
étant substituée dans l’équation (E), soit fait
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}x'\ =&x+\mathrm {X} ,&y'\ =&y+\mathrm {Y} ,&z'\ =&z+\mathrm {Z} ,\\x''=&x+\mathrm {X} ',\qquad &y''=&y+\mathrm {Y} ',\qquad &z''=&z+\mathrm {Z} ',\\\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42d4ae1cea9b280e5453c8bf2098fa240fb99046)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
et par conséquent
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\delta x'\ =&\delta x+\delta \mathrm {X} ,&\delta y'\ =&\delta y+\delta \mathrm {Y} ,&\delta z'\ =&\delta z+\delta \mathrm {Z} ,\\\delta x''=&\delta x+\delta \mathrm {X} ',\qquad &\delta y''=&\delta y+\delta \mathrm {Y} ',\qquad &\delta z''=&\delta z+\delta \mathrm {Z} ',\\\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5d190bb6fa2a3fb03a53bb3fdf43fc0fb830af8)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
il est clair que les lignes
qui marquent les distances des corps entre eux, dépendront uniquement des lignes
qui déterminent leur position respective, et qu’ainsi les expressions des différences
ne renfermeront aucunement les différences
on remarquera de plus que ces mêmes différences
seront absolument indépendantes de toutes les autres différences
Car il est évident que, l’action mutuelle des corps ne dépendant que de leur position respective, savoir des lignes
il n’y aura que les seules différences
de ces mêmes lignes qui soient liées entre elles par des rapports donnés par la nature du Problème ; d’où il suit que les termes affectés des différences
dans l’équation (E) devront être chacun en particulier égal à zéro ; ce qui donnera les trois équations générales
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {M} d{\frac {udx}{ds}}+\mathrm {M} 'd{\frac {u'dx'}{ds'}}+\mathrm {M} ''d{\frac {u''dx''}{ds''}}+\ldots +\mathrm {(M+M'+M''+\ldots )P} dt=&0,\\\mathrm {M} d{\frac {udy}{ds}}+\mathrm {M} 'd{\frac {u'dy'}{ds'}}+\mathrm {M} ''d{\frac {u''dy''}{ds''}}+\ldots +\mathrm {(M+M'+M''+\ldots )Q} dt=&0,\\\mathrm {M} d{\frac {udz}{ds}}+\mathrm {M} 'd{\frac {u'dz'}{ds'}}+\mathrm {M} ''d{\frac {u''dz''}{ds''}}+\ldots +\mathrm {(M+M'+M''+\ldots )R} dt=&0,\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc5fce46cfb345ce10aa24fa9e40bf39ad2ecefe)
Or,
![{\displaystyle {\frac {ds}{u}}={\frac {ds'}{u'}}={\frac {ds''}{u''}}=\ldots =dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a08a7e869396754964ebaefc12e6d28fb0c9f2f7)
donc, ces équations deviendront celles-ci :
![{\displaystyle {\begin{aligned}d{\frac {\mathrm {M} dx+\mathrm {M} 'dx'+\mathrm {M} ''dx''+\ldots }{dt}}+\mathrm {(M+M'+M''+\ldots )P} dt=&0,\\d{\frac {\mathrm {M} dy+\mathrm {M} 'dy'+\mathrm {M} ''dy''}{dt}}+\ldots +\mathrm {(M+M'+M''+\ldots )Q} dt=&0,\\d{\frac {\mathrm {M} dz+\mathrm {M} 'dz'+\mathrm {M} ''dz''}{dt}}+\ldots +\mathrm {(M+M'+M''+\ldots )R} dt=&0\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62b3a809a66c4f4f414cf7a98ac0ed09a0b55a5f)
d’où l’on voit que si l’on prend à chaque instant dans le système un point tel que sa position soit déterminée par trois coordonnées, l’une parallèle à
et égale à
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {M} x+\mathrm {M} 'x'+\mathrm {M} ''x''+\ldots }{\mathrm {M+M'+M''} +\ldots }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d975bbde2f9efe3f6cc907bfc20bc7608cf6ed2b)
l’autre parallèle à
et égale à
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {M} y+\mathrm {M} 'y'+\mathrm {M} ''y''+\ldots }{\mathrm {M+M'+M''} +\ldots }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/620aecd9d15bb36850938aacf6c940f7dbc937ea)
et la troisième parallèle à
et égale à
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {M} z+\mathrm {M} 'z'+\mathrm {M} ''z''+\ldots }{\mathrm {M+M'+M''} +\ldots }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fcba9d3a35594dbcfa88ae98d60ecc831a52a66)
ce point se mouvra comme ferait un corps sollicité simplement par les trois forces
Or il est évident que ce point ne sera autre chose que le centre de gravité du système, savoir, de tous les corps
qui le composent.
XI.
Second cas. — Soit pris, comme dans l’Article IV, au lieu des deux coordonnées rectangles
et
un rayon vecteur
avec un angle
et soient de même substitués aux autres coordonnées
les rayons vecteurs
partant du même point fixe que le rayon
avec les angles correspondants
pris dans le même plan de l’angle
on trouvera, comme dans l’Article cité,
![{\displaystyle \delta ds={\frac {x^{2}d\varphi d\delta \varphi +xd\varphi ^{2}\delta x+dxd\delta x+dzd\delta z}{ds}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3813dad4d44869eff5a5564ec6aa892b1526669f)
et de même
![{\displaystyle {\begin{aligned}\delta ds'\ =&{\frac {x'^{2}d\varphi 'd\delta \varphi '+x'd\varphi '^{2}\delta x'+dx'd\delta x'+dz'd\delta z'}{ds'}},\\\delta ds''=&{\frac {x''^{2}d\varphi ''d\delta \varphi ''+x''d\varphi ''^{2}\delta x''+dx''d\delta x''+dz''d\delta z''}{ds''}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c26c8242d5cf18eb2c8e07124971f516e285cfb)
et ainsi des autres. On substituera ces valeurs dans l’équation (D) de l’Article VIII et pratiquant les mêmes réductions que dans l’Article IV, elle deviendra
(F)
|
|
|
équation dans laquelle j’ai rejeté tous les termes qui sont hors du signe
parce que ces termes deviennent évidemment nuls dans la supposition que le premier et le dernier point de chaque trajectoire soient donnés. Or, cette équation étant analogue à l’équation (E) de l’Article VIII ne demandera plus que des opérations semblables pour trouver le mouvement de chaque corps. On en verra des exemples dans les Problèmes suivants.
XII.
Corollaire. — Si le système est entièrement libre ou qu’il soit simplement assujetti à se mouvoir autour d’un point fixe, et que toutes les forces sollicitatrices des corps concourent à ce point, prenant ce point pour le centre des rayons vecteurs
et faisant,
![{\displaystyle \varphi '=\varphi +\Phi ,\qquad \varphi ''=\varphi +\Phi '\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af7d1be8925137b5e1748ba1732babd4a2d335f5)
il est facile de voir que
sera absolument indépendante des autres
différences
![{\displaystyle \delta \Phi ,\delta \Phi ',\ldots ,\delta x,\delta x',\delta x'',\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7acd6136b7825df98fe603bcf0f4c4b0f673a466)
quelle que soit l’action réciproque des corps les uns sur les autres ; il est de plus évident que toutes les différences
![{\displaystyle \delta p,\delta q,\delta f,\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6eaa147f63fa1b2376f113b75d64b281b615b6f)
qui entrent dans la valeur de
![{\displaystyle \mathrm {M} u\delta u+\mathrm {M} 'u'\delta u',\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2e15a445437603f32252b0070f969bb5148994e)
seront aussi indépendantes de la différence
![{\displaystyle \delta \varphi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e293e1b4704106323b414cd838466fc151f59fb)
d’où il suit que tous les termes de l’équation (F) qui se trouveront affectés de la différence
![{\displaystyle \delta \varphi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a20ab8d5592114820c259a44b32191b518ab6b12)
après les substitutions de
![{\displaystyle \delta \varphi +\delta \Phi ,\ \delta \varphi +\delta \Phi ',\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d51d55c6832b604b9acf7fd3522423f6fdf845f6)
à la place de
![{\displaystyle \delta \varphi ',\delta \varphi '',\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9595d12f87a0aeac76849ec7a752438f22afb7d0)
devront être égaux à zéro séparément du reste de l’équation ; on aura donc en général, après avoir effacé le
![{\displaystyle \delta \varphi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3c5617d226476eaf1c76a270ddecd0e8f737bbb)
l’équation
![{\displaystyle \mathrm {M} d{\frac {ux^{2}d\varphi }{ds}}+\mathrm {M} 'd{\frac {u'x'^{2}d\varphi '}{ds'}}+\mathrm {M} ''d{\frac {u''x''^{2}d\varphi ''}{ds''}}+\ldots =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22d01e0f406a3ece61d61bfb1c170ae147abf9f7)
dont l’intégrale est
(G)
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|
ou, en mettant
pour
et en nommant
la constante,
![{\displaystyle \mathrm {M} x^{2}d\varphi +\mathrm {M} 'x'^{2}d\varphi '+\mathrm {M} ''x''^{2}d\varphi ''+\ldots =\mathrm {H} dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e819e8a044d0b64b2cd8085a20ada67e9b942028)
et intégrant de nouveau, il vient
![{\displaystyle \mathrm {M} \int x^{2}d\varphi +\mathrm {M} '\int x'^{2}d\varphi '+\mathrm {M} ''\int x''^{2}d\varphi ''+\ldots =\mathrm {H} t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d21d2d8932091e716fc3de5f98b21db47f7c04e8)
Il est visible que l’intégrale
![{\displaystyle \int x^{2}d\varphi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dca94ad286d6278a6dea9e812ddd065ae69eb180)
exprime l’aire que la projection du corps
décrit autour du centre des forces, et que les autres intégrales
![{\displaystyle \int x'^{2}d\varphi ',\qquad \int x''^{2}d\varphi '',\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97901baa90db226b2b7c3367ee8184d760263722)
expriment de même les aires décrites par les projections des autres corps
autour du même centre ; donc la somme de chacune de
ces aires, multipliée par la masse du corps qui la décrit, est toujours proportionnelle au temps.
Le lecteur qui sera curieux de voir une démonstration de ce théorème tirée des principes de Mécanique, la trouvera dans un Mémoire de M. le chevalier d’Arcy, imprimé parmi ceux de l’Académie royale des Sciences de Paris, année 1747 ; il y trouvera aussi l’usage de ce même théorème pour résoudre plusieurs questions de Dynamique.
Au reste, nous remarquerons que l’équation (G) renferme le principe que MM. Daniel Bernoulli et Euler ont appelé la conservation du moment du mouvement circulatoire, et qui consiste en ce que la somme des produits de chaque corps
par sa vitesse circulatoire
\frac{uxd\varphi}{ds}
et par sa distance au centre de
est constante pendant le mouvement du système. (Voyez les Mémoires de l’Académie royale des Sciences de Berlin, année 1745, et les Opuscules de M. Euler imprimés à Berlin en 1746.)
La même équation (G) renferme aussi le principe de M. le chevalier d’Arcy, que la somme des produits de chaque corps
par sa vitesse
et par la perpendiculaire
menée du centre sur la direction du corps, fait toujours une quantité constante. (Voyez les Mémoires de l’Académie de Paris, années 1749, 1752.)
XIII.
Remarque. — Il est aisé de trouver, par la méthode que j’ai donnée dans la Remarque de l’Article VI que l’équation (U) sera exacte en général toutes les fois que la formule
![{\displaystyle -\mathrm {M} (\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\ldots )-\mathrm {M} '\left(\mathrm {P} 'dp'+\mathrm {Q} 'dq'+\mathrm {R} 'dr'+\ldots \right)-\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c45c789a224cfd4b6378ea4eee2da9b15a712026)
qui exprime la valeur de
![{\displaystyle \mathrm {M} udu+\mathrm {M} 'u'du'+\mathrm {M} ''u''du''+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d820a08d35d30ecde998858c26d76a384fb8249)
sera une différentielle complète. Dans tous les autres cas, cette équation ne pourra plus servir à trouver les conditions de la maximité ou de la
minimité de la formule intégrale
![{\displaystyle \mathrm {M} \int uds+\mathrm {M} '\int u'ds'+\mathrm {M} ''\int u''ds''+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/345cc790d823a4903aae970162b459a4a1036032)
mais elle servira toujours également pour trouver les mouvements des corps
quelles que soient les forces dont ils sont animés. Ainsi, sans s’embarrasser que la formule dont nous parlons soit réellement un maximum ou un minimum, on pourra toujours employer l’équation (U) dans quelque hypothèse de forces que ce soit.
XIV.
Problème III. — Trois corps
s’attirent mutuellement par des forces d’attraction
trouver les orbites des corps
par rapport au corps
regardé comme en repos.
Solution. — Les mêmes noms étant conservés que dans l’Article IX on fera de plus, comme dans l’Article X,
![{\displaystyle x'=x+\mathrm {X} ,\qquad y'=y+\mathrm {Y} ,\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50a0a953aa00a2f4c22b38a8c3bf67d132d18230)
et l’on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}ds\ \ =&{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}},\\ds'\ =&{\sqrt {(dx+d\mathrm {X} \ )^{2}+(dy+d\mathrm {Y} \ )^{2}+(dz+d\mathrm {Z} \ )^{2}}},\\ds''=&{\sqrt {\left(dx+d\mathrm {X} '\right)^{2}+\left(dy+d\mathrm {Y} '\right)^{2}+\left(dz+d\mathrm {Z} '\right)^{2}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6cae48973f2a0d75790db8c7ce662c377c5defd)
d’où l’on tirera, par la différentiation, les valeurs de
qu’il faudra substituer dans l’équation (D) de l’Article VIII.
Mais pour mieux représenter les orbites relatives des corps
soient pris, au lieu des coordonnées rectangles
deux rayons vecteurs
avec deux angles correspondants
tels que l’on ait
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\mathrm {X} \ =&r\ \cos \varphi ,&\mathrm {Y} \ =&r\ \sin \varphi ,\\\mathrm {X} '=&r'\cos \varphi ',\qquad &\mathrm {Y} '=&r'\sin \varphi '\,;\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cf255a09ab2265024c7476c98ca6d7aef0952a6)
ayant fait ces substitutions dans les valeurs de
![{\displaystyle ds',ds'',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f844f669d8f0a673110de2dadf112339c6795638)
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}ds'\ =&{\sqrt {ds^{2}+2dxd(r\ \cos \varphi \ \ )+2dyd(r\ \sin \varphi \ \ )+r^{2}\ d\varphi ^{2}\,+dr^{2}\,+2dzd\mathrm {\mathrm {Z} } \ +d\mathrm {\mathrm {Z} } ^{2}}},\\ds''=&{\sqrt {ds^{2}+2dxd\left(r'\cos \varphi '\right)+2dyd\left(r'\sin \varphi '\right)+r'^{2}d\varphi '^{2}+dr'^{2}+2dzd\mathrm {Z} '+d\mathrm {Z} '^{2}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84a4aca88f06ec07bc1515a696ebdef20a8a5bcd)
Maintenant, si l’on veut regarder l’orbite du corps
comme connue, on prendra les différences
en supposant
constantes ; on aura
![{\displaystyle \delta ds\ \ =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaea97aa67ad859456031372143db01fc9e03320)
![{\displaystyle \delta ds'\ =-{\frac {1}{ds'}}\left[dx\delta d(r\cos \varphi )+dy\delta d(r\sin \varphi )+r^{2}d\varphi \delta \right.d\varphi +rd\varphi ^{2}\delta r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/803b880a83aae64bea28f63c4d9cc3304bf8709a)
![{\displaystyle +\left.dr\delta dr+(dz+d\mathrm {Z} )\delta d\mathrm {Z} \right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9f05fa324c65a7d48a6b12dd053235e47efbb9f)
![{\displaystyle \delta ds''=-{\frac {1}{ds''}}\left[dx\delta d(r'\cos \varphi ')+dy\delta d(r'\sin \varphi ')+r'^{2}d\varphi '\delta \right.d\varphi '+r'd\varphi '^{2}\delta r'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a6092c967d827f9250ce77e3f3aa5977dfa259e)
![{\displaystyle +\left.dr'\delta dr'+(dz+d\mathrm {Z} ')\delta d\mathrm {Z} '\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8389f36c10d925f04397c341269571e31d3b8d1a)
Avant que de faire ces substitutions dans l’équation (D) de l’Article VIII je remarque que les corps
dont on cherche le mouvement étant entièrement libres par l’hypothèse du Problème, les différences de leurs coordonnées
sont nécessairement indépendantes entre elles ; d’où il suit qu’on peut faire pour chacun de ces corps un calcul à part, en ne considérant à la fois que les variations des trois coordonnées
ou
Qu’on ne prenne d’abord que les trois premières
pour variables, il est clair qu’on aura
par conséquent l’équation mentionnée deviendra simplement
![{\displaystyle \int \left[\mathrm {M} 'u'\delta ds'+\left(\mathrm {M} u\delta u+\mathrm {M} 'u'\delta u'+\mathrm {M} ''u''\delta u''+\ldots \right)dt\right]=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd6458f0be3c8c80b263c1b37f780673990c5df5)
Pour appliquer cette équation au Problème présent, on commencera par substituer, à la place des
sa valeur trouvée ci-dessus, en y mettant, pour plus de simplicité, au lieu de
son égale
ensuite on intégrera par parties tous les termes qui renfermeront des différences affectées du double signe
après avoir changé ce signe dans son équivalent
cette opération donnera les transformées suivantes :
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int &{\frac {dxd\delta (r\cos \varphi )}{dt}}\\&={\frac {dx\delta (r\cos \varphi )}{dt}}-\int (d\left({\frac {dx}{dt}}\right)\delta (r\cos \varphi )\\&={\frac {dx}{dt}}(\cos \varphi \delta r-r\sin \varphi \delta \varphi )-\int d\left({\frac {dx}{dt}}\right)(\cos \varphi \delta r-r\sin \varphi \delta \varphi )\\&=-\int d\left({\frac {dx}{dt}}\right)(\cos \varphi \delta r-r\sin \varphi \delta \varphi )\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bc139030aba13cfdc14facbe887740140bbb1a4)
(en rejetant les termes qui sont hors du signe d’intégration et qui s’évanouissent toujours dans l’hypothèse de l’Article II), et de même
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\int {\frac {dyd\delta (r\sin \varphi )}{dt}}=-\int d\left({\frac {dy}{dt}}\right)(\sin \varphi \delta r+r\cos \varphi \delta \varphi ).\\&\int {\frac {r^{2}d\varphi d\delta \varphi )}{dt}}=-\int d\left({\frac {r^{2}d\varphi }{dt}}\right)\delta \varphi ,\quad \int {\frac {dr\delta dr}{dt}}=-\int d\left({\frac {dr}{dt}}\right)\delta r,\\&{\frac {(dz+d\mathrm {Z} )d\delta \mathrm {Z} }{dt}}=-\int d{\frac {(dz+d\mathrm {Z} )}{dt}}\delta \mathrm {Z} .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c5d2d880a42d41273157f6ee8dde66ee9f7aab7)
En joignant ensemble toutes ces transformées, et y ajoutant le terme
on aura la valeur de
exprimée par la formule suivante :
![{\displaystyle \int \left[\left(r\sin \varphi d{\frac {dx}{dt}}-r\cos \varphi d{\frac {dy}{dt}}-d{\frac {r^{2}d\varphi }{dt}}\right)\delta \varphi \right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75093c592f78e3d2e42bd3bd10467bc67989170f)
![{\displaystyle \left.-\left(\cos \varphi d{\frac {dx}{dt}}+\sin \varphi d{\frac {dy}{dt}}+d{\frac {dr}{dt}}-{\frac {r^{2}d\varphi ^{2}}{dt}}\right)\delta r-d{\frac {dz+d\mathrm {Z} }{dt}}\delta \mathrm {Z} \right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66aaae254afe29858c3769c671228ce2233cd981)
À présent, pour avoir la valeur de
![{\displaystyle \mathrm {M} u\delta u+\mathrm {M} 'u'\delta u'+\mathrm {M} ''u''\delta u'',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a34b4ef29194048a6a068ddfb7a2d6c2d14c17a)
on fera dans l’équation (U) de l’Article VIII toutes les quantités
qui représentent des forces étrangères égales à zéro, et l’on aura
![{\displaystyle \mathrm {M} u\delta u+\mathrm {M} 'u'\delta u'+\mathrm {M} ''u''\delta u''=-\mathrm {MM'F} \delta f-\mathrm {MM''F'} \delta f'-\mathrm {M'M''G} \delta g.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96c3b06f6a73f371b918b861b037227da95495a9)
Or il est facile de trouver que
![{\displaystyle {\begin{aligned}f\ =&{\sqrt {\mathrm {X^{2}+Y^{2}+Z^{2}} }}={\sqrt {r^{2}+\mathrm {Z} ^{2}}},\\f'=&{\sqrt {\mathrm {X'^{2}+Y'^{2}+Z'^{2}} }}={\sqrt {r'^{2}+\mathrm {Z} '^{2}}},\\g\ =&{\sqrt {\mathrm {(X'-X)^{2}2+(Y'-Y)^{2}+(Z'-Z)^{2}} }}\\&\qquad \qquad \qquad ={\sqrt {r'^{2}+r^{2}-2r'r\cos(\varphi '-\varphi )+(\mathrm {Z'-Z} )^{2}}}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87b4d547659dae893fe7159eb38aff19a5fcb257)
d’où l’on tirera, en regardant toujours
et
comme constantes,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\delta f=&{\frac {r\delta r+\mathrm {Z\delta Z} }{f}},\qquad \delta f'=0,\\\delta g=&{\frac {r-r'\cos(\varphi '-\varphi )}{g}}\delta r-{\frac {r'r\sin(\varphi '-\varphi )}{g}}\delta \varphi -{\frac {\mathrm {Z'-Z} }{g}}\delta \mathrm {Z} .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9382b67a6cd2962d7bdc32e320bd67398634061)
Ayant fait ces substitutions, on ajoutera ensemble les valeurs de
et de
et l’on aura une formule intégrale, dont chaque terme contiendra une des différences
et qui devra être égale à zéro, quelles que soient les valeurs de ces différences. On trouvera donc, en faisant séparément égal à zéro chacun de leurs coefficients, et divisant par
![{\displaystyle {\begin{aligned}&-d{\frac {r^{2}d\varphi }{dt}}+r\sin \varphi d{\frac {dx}{dt}}-r\cos \varphi d{\frac {dy}{dt}}+{\frac {r'r\sin(\varphi '-\varphi )}{g}}\mathrm {M''G} dt=0,\\&d{\frac {dr}{dt}}-{\frac {rd\varphi ^{2}}{dt}}+\cos \varphi d{\frac {dx}{dt}}+\sin \varphi d{\frac {dy}{dt}}\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +{\frac {r}{f}}\mathrm {MF} dt+{\frac {r'-r\cos(\varphi '-\varphi )}{g}}\mathrm {M''G} dt=0,\\&d{\frac {dz+d\mathrm {Z} }{dt}}-{\frac {\mathrm {Z'-Z} }{g}}\mathrm {M''G} dt=0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b134ae1b0e155cd09e6acfccd3b895215bb8921a)
équations qui se réduisent à la forme de celles de l’Article IV en supposant
![{\displaystyle {\begin{aligned}&r\sin \varphi d{\frac {dx}{dt}}-r\cos \varphi d{\frac {dy}{dt}}+{\frac {r'r\sin(\varphi '-\varphi )}{g}}\mathrm {M''G} dt=-\varpi dt,\\&\cos \varphi d{\frac {dx}{dt}}+\sin \varphi d{\frac {dy}{dt}}+{\frac {r}{f}}\mathrm {MF} dt+{\frac {r'-r\cos(\varphi '-\varphi )}{g}}\mathrm {M''G} dt=\Pi dt,\\&d{\frac {dz}{dt}}-{\frac {\mathrm {Z'-Z} }{g}}\mathrm {M''G} dt=\Psi dt.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fc36035871fff91eb614efa9745ac6a242f01a3)
Et ces équations suffiront pour déterminer l’orbite du corps
en supposant connues les orbites des deux autres corps
Qu’on fasse maintenant, dans les expressions de
les changeantes
variables au lieu des
on trouvera, par des raisonnements et des opérations semblables aux précédentes, trois autres équations, qui ne différeront des équations ci-dessus que parce qu’il y aura
à la place de
et réciproquement, et ces équations seront celles de l’orbite du corps
XV.
Corollaire I — Si l’on ne connaissait pas l’orbite absolue du corps
alors, pour déterminer les valeurs des quantités
il faudrait aussi faire varier les trois changeantes
dans les valeurs de
ce qui donnerait
![{\displaystyle {\begin{aligned}\delta ds\ \ =&{\frac {1}{ds}}\left(dx\delta dx+dy\delta dy+dz\delta dz\right),\\\delta ds'\ =&{\frac {1}{ds'}}\left[dx+d(r\cos \varphi )\delta dx\right]+\left[dy+d(r\sin \varphi )\right]\delta dy+(dz+d\mathrm {Z} )\delta dz,\\\delta ds''=&{\frac {1}{ds''}}\left[dx+d(r'\cos \varphi ')\right]\delta dx+\left[dy+d(r'\sin \varphi ')\right]\delta dy+(dz+d\mathrm {Z} ')\delta dz.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54ef1cbc2f6f46cfac542fc53cd39c742b96f55f)
On substituerait ces valeurs dans l’équation générale (D) de l’Article VIII et faisant après les réductions ordinaires les trois coefficients de
chacun égal à zéro, on aurait trois équations, par lesquelles on pourrait déterminer les valeurs de
Au reste, ces équations reviendraient au même que celles de l’Article X, en y faisant
chacun égal à zéro.
XVI.
Corollaire II. — Les équations qu’on trouverait par la méthode du Corollaire précédent ne renfermeraient point les forces
mais seulement les changeantes
avec leurs différences ; mais, pour ne pas trop charger de différentielles les équations du mouvement des corps
il sera mieux de chercher les valeurs de
en considérant directement les orbites absolues de ces deux corps.
Que
soient les ordonnées rectangles des orbites dont nous parlons : on parviendra à une équation qui sera la même que l’équation (E) du Problème II, et dans laquelle, à cause que les corps sont libres, il faudra faire les coefficients de
chacun égal à zéro. Or il est facile de trouver que
![{\displaystyle {\begin{aligned}f\ =&{\sqrt {(x'\ -x\ )^{2}+(y'\ -y\ )^{2}+(z'\ -z\ )^{2}}},\\f''=&{\sqrt {(x''-x\ )^{2}+(y''-y\ )^{2}+(z''-z\ )^{2}}},\\g\ =&{\sqrt {(x''-x')^{2}+(y''-y')^{2}+(z''-z')^{2}}}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f2efa665fa79864d1f6f315a5afd199d9bc47d1)
pour notre cas, il suffit de faire varier
seulement ; on aura donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}\delta f\ =&-{\frac {x'\ -x}{f}}\delta x-{\frac {y'\ -y}{f}}\delta y-{\frac {z'\ -z}{f}}\delta z,\\\delta f'=&-{\frac {x''-x}{f}}\delta x-{\frac {y''-y}{f}}\delta y-{\frac {z''-z}{f}}\delta z,\\\delta g\ =&0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4d888c4ce93e67d6eb4a304d100914ff58cf206)
On substituera ces valeurs dans l’expression
![{\displaystyle -\mathrm {MM'F} \delta f-\mathrm {MM''F'} \delta f'-\mathrm {M'M''G} \delta g,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eec121b78a94f797a2d45d3ee1783893d8008ff0)
et à cause de
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}x'\ -x=&\mathrm {X} \ =r\ \cos \varphi ,&y'\ -y=&\mathrm {Y} \ =r\ \sin \varphi ,&z'\ -z=&\mathrm {Z} ,\\x''-x=&\mathrm {X} '=r'\cos \varphi ',\qquad &y''-y=&\mathrm {Y} '=r'\sin \varphi ',&\qquad z''-z=&\mathrm {Z} ',\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81dc7543864e5be5001a53ab3da92e85a216f1df)
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {M} u\delta u+\mathrm {M} 'u'\delta u'+\mathrm {M} ''u''\delta u''\\&=\mathrm {M} \left({\frac {\mathrm {M'F} r\cos \varphi }{f}}+{\frac {\mathrm {M''F'} r'\cos \varphi '}{f'}}\right)\delta x+\mathrm {M} \left({\frac {\mathrm {M'F} r\sin \varphi }{f}}+{\frac {\mathrm {M''F'} r'\sin \varphi '}{f'}}\right)\delta y\\&\quad +\mathrm {M} \left({\frac {\mathrm {M'FZ} }{f}}+{\frac {\mathrm {M''F'Z'} }{f'}}\right)\delta z.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/587163671da6c7cede314a76f8e2b2c8b79cc6a4)
Mettant cette valeur de
![{\displaystyle \mathrm {M} u\delta u+\mathrm {M} 'u'\delta u'+\mathrm {M} ''u''\delta u''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6364820542eace8cea19f5fd3520b858113563bd)
dans l’équation (E), et faisant égal à zéro séparément chacun des trois coefficients de
il viendra, après avoir divisé le tout par
et mis
à la place de ![{\displaystyle {\frac {ds}{u}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/528227921fa40f7ee825249545ba474eae78c7b8)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&d{\frac {dx}{dt}}-\left({\frac {\mathrm {M'F} r\cos \varphi }{f}}+{\frac {\mathrm {M''F'} r'\cos \varphi '}{f'}}\right)dt=0,\\&d{\frac {dy}{dt}}-\left({\frac {\mathrm {M'\ F} r\sin \varphi }{f}}+{\frac {\mathrm {M''F'} r'\sin \varphi '}{f'}}\right)dt=0,\\&d{\frac {dz}{dt}}-\left({\frac {\mathrm {M'FZ} }{f}}+{\frac {\mathrm {M''F'Z'} }{f'}}\right)dt=0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8734b05c95584e9d01aca531e0c205c2f2a69f2)
Par là, les valeurs de
de l’Article XIV deviendront, après quelques réductions fort simples,
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {M} ''\left({\frac {\mathrm {G} }{g}}-{\frac {\mathrm {F} '}{f'}}\right)rr'\sin(\varphi '-\varphi )=\varpi ,\\&(\mathrm {M+M'} ){\frac {\mathrm {F} r}{f}}+\mathrm {M} ''\left\{{\frac {\mathrm {G} }{g}}\left[r-r'\cos(\varphi '-\varphi )\right]+{\frac {\mathrm {F} '}{f'}}r'\cos(\varphi '-\varphi )\right\}=\Pi .\\&\mathrm {M} '{\frac {\mathrm {FZ} }{f}}+\mathrm {M} ''\left[{\frac {\mathrm {F'Z'} }{f'}}-{\frac {\mathrm {G(Z'-Z)} }{g}}\right]=\Psi .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93d07c690eb88e0c28e5df2daa083ebd9dc81fe0)
XVII.
Problème IV. — Un corps
étant sollicité par tant de forces qu’on voudra
et tirant après lui deux autres corps
par le moyen de deux fils de longueurs données, trouver le mouvement de chacun de ces trois corps. On suppose, pour plus de simplicité, qu’ils se meuvent tous trois dans le même plan.
Solution. — Soient
les longueurs données des fils, c’est-à-dire les distances invariables des corps
au corps
les coordonnées rectangles de la courbe décrite par le corps
et
les angles que les lignes
forment à chaque instant avec l’axe des
prenant
pour les coordonnées rectangles des autres corps
on aura
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}x'\ =&x-f\cos \varphi ,&y'\ =&y-f\sin \varphi ,\\x''=&x-f'\cos \varphi '',\qquad &y''=&y-f'\sin \varphi ',\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad9b93966e3d12cd2ccfd718afdd4725dccc1d41)
![{\displaystyle {\begin{aligned}ds^{2}\ \ =&dx^{2}\ \ +dy^{2},\\ds'2\ =&dx'2\ +dy'2\,=dx^{2}+dy^{2}+2f\ (\sin \varphi \ dx-\cos \varphi \ dy)d\varphi +f^{2}\ d\varphi ^{2},\\ds''2=&dx''2+dy''2=dx^{2}+dy^{2}+2f'\left(\sin \varphi 'dx-\cos \varphi 'dy\right)d\varphi '+f'^{2}d\varphi '^{2},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82459a5ed71677d4607a0c427deee7bb25aef281)
d’où l’on tire
![{\displaystyle {\begin{aligned}\delta ds\ \ =&{\frac {1}{ds}}(dx\delta dx+dy\delta dy),\\\delta ds'\ =&{\frac {1}{ds'}}\left[(dx+f\sin \varphi d\varphi )\delta dx+(dy-f\cos \varphi d\varphi )\delta dy\right.\\&\qquad \left.+fd\varphi (\cos \varphi dx+\sin \varphi dy)\delta \varphi +f\left(\sin \varphi dx-\cos \varphi dy+fd\varphi \right)\delta d\varphi \right],\\\delta ds''=&{\frac {1}{ds''}}\left[\left(dx+f'\sin \varphi 'd\varphi '\right)\delta dx+\left(dy-f'\cos \varphi 'd\varphi '\right)\delta dy\right.\\&\left.+f'd\varphi '(\cos \varphi 'dx+\sin \varphi 'dy)\delta \varphi '+f'\left(\sin \varphi 'dx-\cos \varphi 'dy+f'd\varphi '\right)\delta d\varphi '\right],\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eca4424fc472dd93f0e08153c470b7d2673a3db2)
On substituera ces valeurs dans les intégrales
![{\displaystyle \int u\delta ds,\qquad \int u'\delta ds',\qquad \int u''\delta ds''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0975a217e5d192a1e54b877684a6cf2d71532cf6)
de l’équation (D) de l’Article VIII et faisant les transformations et les réductions ordinaires, on trouvera
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int u\ \delta ds\ =&-\int \left(d{\frac {dx}{dt}}\delta x+d{\frac {dy}{dt}}\delta y\right),\\\int u'\delta ds'=&-\int \left[d{\frac {dx+f\sin \varphi d\varphi }{dt}}\delta x+d{\frac {dy-f\cos \varphi d\varphi }{dt}}\delta y\right.\\&\left.-\left({\frac {\cos \varphi dx+\sin \varphi dy}{dt}}fd\varphi -d{\frac {\sin \varphi dx-\cos \varphi dy-fd\varphi }{dt}}f\right)\delta \varphi \right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0928233d355812be4d823b24519f6f3692bccac)
Et l’on aura pour
la même expression que pour
en marquant seulement d’un trait les lettres
et
comme il est aisé de s’en assurer par le calcul.
Pour avoir maintenant la valeur de
![{\displaystyle \mathrm {M} udu+\mathrm {M} 'u'\delta u'+\mathrm {M} ''u''\delta u'',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d46d043e96f0f17df4d0e82c5b37cbd967838c42)
on aura recours à l’équation générale (U) de l’Article VIII laquelle donnera pour le cas présent
![{\displaystyle \mathrm {M} u\delta u+\mathrm {M} 'u'\delta u'+\mathrm {M} ''u''\delta u''=-\mathrm {M} (\mathrm {P} \delta p+\mathrm {Q} \delta q+\mathrm {R} \delta r)=-\mathrm {M} (w\mathrm {P} \delta x+\varpi \delta y),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f95c726216b28827866e2e1e9f88f53303a28084)
en faisant les mêmes suppositions que dans l’Article I.
Il n’y a plus qu’à mettre ces différentes transformées dans l’équation (D) ; or, si l’on fait, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {M} \left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right)+\mathrm {M} 'd\left[{\frac {1}{dt}}(dx+f\sin \varphi d\varphi )\right]+\mathrm {M} ''d\left[{\frac {1}{dt}}(dx+f'\sin \varphi 'd\varphi ')\right]=[x],\\&\mathrm {M} \left(d{\frac {dy}{dt}}+\varphi dt\right)+\mathrm {M} 'd\left[{\frac {1}{dt}}(dy-f\sin \varphi d\varphi )\right]+\mathrm {M} ''d\left[{\frac {1}{dt}}(dy-f'\cos \varphi 'd\varphi ')\right]=[y],\\&{\frac {\mathrm {M} 'fd\varphi }{dt}}(\cos \varphi dx+\sin \varphi dy)-\mathrm {M} 'd\left[{\frac {f}{dt}}(\sin \varphi dx-\cos \varphi dy+fd\varphi )\right]=[\varphi ],\\&{\frac {\mathrm {M} ''f'd\varphi '}{dt}}(\cos \varphi 'dx+\sin \varphi 'dy)-\mathrm {M} ''d\left[{\frac {f'}{dt}}\left(\sin \varphi 'dx-\cos \varphi 'dy+f'd\varphi '\right)\right]=[\varphi '],\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b4387d37b242af07059aeb3a916b3f8f76a745b)
on trouve
(H)
|
|
|
d’où l’on tire par notre méthode
![{\displaystyle [x]=0,\quad [y]=0,\quad [\varphi ]=0,\quad [\varphi '.].=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07589b44feaee7cc8a241a8301c2db8207a34d1c)
quatre équations qui suffiront pour déterminer le rapport des indéterminées
au temps
et par conséquent le mouvement de chacun des trois corps
XVIII.
Corollaire I. — Si le corps
était mù dans une rainure courbe représentée par l’équation
![{\displaystyle dy=mdx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06c71df209e313ee280a6f245ff38b5ef01af438)
alors il n’y aurait qu’à mettre, dans l’équation (H),
pour
et
faire ensuite chacun des trois coefficients de
![{\displaystyle \delta x,\delta \varphi ,\delta \varphi '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3854e3476a3c71fe802472590460ff286524e8f)
égal à zéro ; ce qui donnerait pour les équations du mouvement des corps
![{\displaystyle [x]+m[y]=0,\qquad [\varphi ]=0,\qquad [\varphi ']=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b66e0510055b5a20269ce6bff6e806db1f664ac5)
Si le corps
était, outre cela, obligé de se mouvoir avec une vitesse dont la loi à chaque point de la courbe fût donnée, alors, comme le mouvement de ce corps serait entièrement donné, on aurait
et
c’est pourquoi il faudrait supprimer les équations
et
et mettre dans les deux autres
au lieu de
leurs valeurs données.
XIX.
Corollaire II. — Supposons que les trois corps
au lieu de se tenir par des fils, soient attachés à une verge inflexible, en sorte que l’angle des lignes
soit constant et égal à
on aura donc en ce cas
![{\displaystyle \varphi '=\varphi +\alpha \quad {\text{et}}\quad \delta \varphi '=\delta \varphi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9149a89f5ee01382f38b7b871869d45e65c867e2)
ainsi, il ne faudra qu’écrire, dans l’équation (H),
pour
et
pour
et faisant ensuite les coefficients de
chacun en particulier égal à zéro, on aura
![{\displaystyle [x]=0,\qquad [y]=0,\qquad [\varphi ]+[\varphi ']=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bd8407e5da50f54e8fa2fe09c27bfae0a735c37)
XX.
Corollaire III. — Si l’on veut de plus, dans le cas du Corollaire précédent, que le corps
se meuve dans une rainure courbe dont l’équation soit
mettant, comme dans l’Article XVIII
au lieu de
et faisant chacun égal à zéro les coefficients de
et
on aura simplement les deux équations
![{\displaystyle [x]+m[y]=0,\quad {\text{et}}\quad [\varphi ]+[\varphi ']=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f4a07881d711d0afd809d4a5e49edd059457acd)
Mais si la vitesse du corps
est aussi donnée, en ce cas,
et
étant nuls, il ne restera que l’équation
![{\displaystyle [\varphi ]+[\varphi ']=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1e2ef40da3848bed642cffbb251698adca50ccd)
dans laquelle il faudra mettre, au lieu de
leurs valeurs données.
XXI.
Corollaire IV — Si les corps
étaient liés par un même fil, de longueur donnée, le long duquel l’autre corps
pût couler librement par le moyen d’un anneau, on pourrait résoudre le Problème de la même manière en faisant les quantités
variables dans les expressions de
et de leurs différences
Pour cela, il n’y aurait qu’à augmenter la valeur de
trouvée ci-dessus (Article XVII) de la quantité
![{\displaystyle -2(\cos \varphi dx+\sin \varphi dy)df+df^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a94440979dc0e52842101421fbdea2914ac2cefa)
et ensuite celle des
de la quantité
![{\displaystyle (\sin \varphi dx-\cos \varphi dy+fd\varphi )d\varphi \delta f-(\cos \varphi dx+\sin \varphi dy-df)\delta df}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7242ce5360005e334d63cadac441bd2c59cf94de)
![{\displaystyle +(\sin \varphi dx-\cos \varphi dy)df\delta \varphi -\cos \varphi df\delta dx-\sin \varphi df\delta dy}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/795913d2218fcf2cd214980b432865d813e2dc12)
divisée par
c’est pourquoi la valeur de la formule intégrale
serait augmentée de
![{\displaystyle \int \left\{d{\frac {\cos \varphi df}{dt}}\delta x+d{\frac {\sin \varphi df}{dt}}\delta y+{\frac {df}{dt}}(\sin \varphi dx-\cos \varphi dy)\delta \varphi \right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d761ec10fa9689ed3d5fe01b5cd6b0d18db3f85)
![{\displaystyle \left.+\left[{\frac {d\varphi }{dt}}(\sin \varphi dx-\cos \varphi dy+fd\varphi )+d{\frac {1}{dt}}(\cos \varphi dx+\sin \varphi dy-fd\varphi )\right]\delta \varphi \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/993bcb9f2af52f61179dd240299ed02a5cbd2772)
Et l’autre formule intégrale
serait aussi augmentée de la même quantité, en marquant seulement d’un trait les deux lettres
et
Par là, l’équation (H) deviendrait de cette forme :
(I)
|
|
|
dans laquelle
![{\displaystyle {\begin{aligned}(x)=&[x]-\mathrm {M} 'd{\frac {\cos \varphi df}{dt}}-\mathrm {M} ''d{\frac {\cos \varphi 'df}{dt}},\\(y)=&[y]-\mathrm {M} 'd{\frac {\sin \varphi df}{dt}}-\mathrm {M} ''d{\frac {\sin \varphi 'df'}{dt}},\\(\varphi \ )=&[\varphi \ ]+\mathrm {M} '\ {\frac {df\ }{dt}}(\sin \varphi \ dx-\cos \varphi \ dy),\\(\varphi ')=&[\varphi ']+\mathrm {M} ''{\frac {df'}{dt}}(\sin \varphi 'dx-\cos \varphi 'dy),\\(f\ )=&\mathrm {M} '\ {\frac {d\varphi \ }{dt}}(\sin \varphi \ dx-\cos \varphi \ dy-f\ d\varphi \ )\\&\qquad \qquad \qquad \qquad +\mathrm {M} '\ d\left[{\frac {1}{dt}}\left(\cos \varphi \ dx+\sin \varphi 'dy-df\ \right)\right],\\(f')=&\mathrm {M} ''{\frac {d\varphi '}{dt}}(\sin \varphi 'dx-\cos \varphi 'dy-f'd\varphi ')\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dc0f839809342b05858b9f40d1676f58bf768e7)
[1]
Maintenant, les deux corps
étant attachés fixement aux extrémités du fil qui est supposé inextensible, il faut que la somme des lignes
et
soit constante ; soit cette somme, c’est-à-dire la longueur totale du fil, égale à
on aura
![{\displaystyle f'=a-f\quad {\text{et}}\quad \delta f'=-\delta f\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a9e0af23e6238424acfbcfcc03cf96acdcdbb4c)
on fera donc ces substitutions dans l’équation (I), et mettant ensuite chacun égal à zéro les coefficients des différences restantes ![{\displaystyle \delta x,\delta y,\delta \varphi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac6eb4282e35b96b633d9ecbb0f32d5004bff2f4)
on aura les cinq équations
![{\displaystyle (x)=0,\quad (j)=0,\quad (\varphi )=0,\quad (\varphi ')=0,\quad (f)-(f')=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/833ffc294f681799f0c9d6bf6a70ff617d4166f7)
lesquelles donneront le rapport des cinq indéterminées
au temps ![{\displaystyle t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07)
XXII.
Corollaire V. — Si le corps
était fixe, ou, ce qui revient au même, si le fil qui joint les deux corps
passait à travers un anneau immobile, on aurait pour lors
et
chacun égal à zéro, et les équations du mouvement des deux corps seraient
![{\displaystyle (\varphi )=0,\quad (\varphi ')=0\quad {\text{et}}\quad (f)-(f')=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82adc0336599dd3b7d56c9277313dc0e9a8e004b)
savoir, à cause que
et ![{\displaystyle f'=a-f,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35f14f7002db2ce17c3398daa30f86743138bc02)
![{\displaystyle d{\frac {f^{2}d\varphi }{dt}}=0,\qquad {\frac {(a-f)^{2}d\varphi '}{dt}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82bf2acb9e752cbc5f1d9c277bbd6cbc049b3bc0)
et
[2].
Les deux premières équations, étant intégrées, donneront
![{\displaystyle d\varphi ^{2}={\frac {\mathrm {A} dt^{2}}{f^{4}}},\qquad d\varphi '^{2}={\frac {\mathrm {B} dt^{2}}{(a-f)^{4}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b215c5cf8eba2fd06aa97097d482937440da351)
et, ces valeurs substituées dans la troisième, on aura
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {A} dt}{f^{3}}}-{\frac {\mathrm {B} dt}{(a-f)^{3}}}+2d{\frac {df}{dt}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1de4050995905517282d16b82b96abc755e0779d)
laquelle étant multipliée par
et ensuite intégrée, devient
![{\displaystyle -{\frac {\mathrm {A} }{2f^{2}}}+{\frac {\mathrm {B} }{2(a-f)^{2}}}+{\frac {df^{2}}{dt^{2}}}=\mathrm {C} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/731d91392dcbae4691e4535852fdcfbadcf4f705)
d’où l’on tire
![{\displaystyle dt={\frac {df}{\sqrt {\mathrm {C} +{\cfrac {\mathrm {A} }{2f^{2}}}-{\cfrac {\mathrm {B} }{2(a-f)^{2}}}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91804f5356fda1efcdeeddbdb34d0492cd465f7a)
XXIII.
Corollaire VI — Si dans le cas du Corollaire précédent les deux corps
étaient attachés à une verge droite et inflexible, alors on aurait
et
et les équations
n’en feraient plus qu’une seule, savoir
on aurait donc simplement les deux équations
![{\displaystyle (\varphi )+(\varphi ')=0\quad {\text{et}}\quad (f)-(f'')=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a4d738ccffb81ba69a980a61cf8a2cbf7a6679f)
c’est-à-dire
![{\displaystyle d{\frac {\left(a^{2}-2af+2f^{2}\right)}{dt}}=0\quad {\text{et}}\quad {\frac {(2f-a)d\varphi ^{2}}{dt}}+2d{\frac {df}{dt}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5afe2f8304474071f409a229ab4137979c00e613)
lesquelles donnent, en chassant ![{\displaystyle dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/993271528b71660c0c4282c0d0b0f4cbf88e5e74)
![{\displaystyle {\frac {(2f-a)d\varphi }{a^{2}-2af+2f^{2}}}+2d{\frac {df}{\left(a^{2}-2af+2f^{2}\right)d\varphi }}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b98dd06ea5486d89e73b7d5bf58eee127ceefbd)
Cette équation étant multipliée par
et ensuite intégrée, en regardant
comme constante, deviendra celle-ci
![{\displaystyle {\frac {d\varphi }{2\left(a^{2}-2af+2f^{2}\right)}}+{\frac {df^{2}}{\left(a^{2}-2af+2f^{2}\right)^{2}d\varphi }}={\frac {d\varphi }{\mathrm {A} ^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06d2cd81add2afbfdf1f0fba09194ebd5fc928d8)
qui se réduit à
![{\displaystyle d\varphi ={\frac {\mathrm {A} df{\sqrt {2}}}{\sqrt {2\left(a^{2}-2af+2f^{2}\right)^{2}-\mathrm {A} ^{2}\left(a^{2}-2af+2f^{2}\right)}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4674a09ac301c4af375b790e02637757c6445230)
XXIV.
Problème V — Trouver le mouvement d’un fil fixe en une de ses extrémités, et chargé de tant de corps pesants qu’on voudra
Solution. — Ayant pris, comme dans l’Article IX ![{\displaystyle x,y,z,x',y',z',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67137d37152815d60020fba6740957791b37563a)
pour les coordonnées rectangles des corps
on a d’abord l’équation (E). Soit maintenant
la portion du fil interceptée entre l’extrémité fixe et le corps
soient aussi
les portions du même fil interceptées entre les corps
et
et
et ainsi de suite ; on aura les équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}f\ \ =&{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\\f'\ =&{\sqrt {(x'-x)^{2}+(y'-y)^{2}+(z'-z)^{2}}},\\f''=&{\sqrt {(x''-x')^{2}+(y''-y')^{2}+(z''-z')^{2}}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88d9543ecec0dd2c94d4b4a2f8b7a6f2f6e242d8)
l’origine des abscisses
![{\displaystyle x,x',x'',\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddeb468e6957cb850f94d0030b13f6ce46b11b81)
étant à l’extrémité fixe du fil. On lire de là
![{\displaystyle {\begin{aligned}x\ \ =&{\sqrt {f^{2}-y^{2}-z^{2}}},\\x'\ =&x\ +{\sqrt {f'^{2}\ -(y'\ -y\ )^{2}-(z'\ -z\ )^{2}}},\\x''=&x'+{\sqrt {f''^{2}-(y''-y')^{2}-(z''-z')^{2}}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f026329897ba5fb1ec5747e38361cf4981e83dbc)
et par conséquent
![{\displaystyle {\begin{aligned}\delta x\ \ =&-{\frac {1}{x}}(y\delta y+z\delta z),\\\delta x'\ =&\delta x-{\frac {1}{x'-x}}\left[(y'-y)(\delta y'-\delta y)+(z'-z)(\delta z'-\delta z)\right]\\=&\left({\frac {y'-y}{x'-x}}-{\frac {y}{x}}\right)\delta y-{\frac {y'-y}{x'-x}}\delta y'+\left({\frac {z'-z}{x'-x}}-{\frac {z}{x}}\right)\delta z-{\frac {z'-z}{x'-x}}\delta z',\\\delta x''=&\delta x'-{\frac {1}{x''-x'}}\left[(y''-y')(\delta y''-\delta y')+(z''-z')(\delta z''-\delta z')\right]\\=&\left({\frac {y'-y}{x'-x}}-{\frac {y}{x}}\right)\delta y+\left({\frac {y''-y'}{x''-x'}}-{\frac {y'-y}{x'-x}}\right)\delta y'-{\frac {y''-y'}{x''-x'}}\delta y''\\=&\left({\frac {z'-z}{x'-x}}-{\frac {z}{x}}\right)\delta z+\left({\frac {z''-z'}{x''-x'}}\,-{\frac {z'-z}{x'-x}}\right)\delta z'-{\frac {z''-z'}{x''-x'}}\delta z'',\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd0266046d0b46166f15441b5cc3f9bd0cc79b29)
et ainsi de suite.
Maintenant, si on suppose, ce qui est absolument arbitraire, l’axe des
vertical, et que
exprime la pesanteur absolue des corps, il faudra mettre dans l’équation (U) de l’Article VIII
au lieu de
au lieu de
et toutes les autres forces
égales à zéro ; on aura donc
![{\displaystyle \mathrm {M} u\delta u+\mathrm {M} 'u'\delta u''+\mathrm {M} ''u''\delta u''+\ldots =\mathrm {P} \left(\mathrm {M} \delta x+\mathrm {M} '\delta x'+\mathrm {M} ''\delta x''+\ldots \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/366dc47b88270f0688f668c08314e7d2ce87f04e)
Faisant ces substitutions dans l’équation (E) citée ci-devant, et ordonnant les termes, elle deviendra de la forme suivante :
![{\displaystyle \int \left([y]\delta y+[y']\delta y''+[y'']\delta y''+\ldots +[z]\delta z+[z']\delta z'+[z'']\delta z''+\ldots \right)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff014d87d134b6e8985238f8240666f32271e092)
dans laquelle on aura, après avoir mis au lieu de
leur
valeur commune
![{\displaystyle [y]\ \ =\mathrm {M} \left[d{\frac {dy}{dt}}+{\frac {y}{x}}\left(\mathrm {P} dt-d{\frac {dx}{dt}}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/069c14c02fc622e64ee83e10afc8fece27ce66ee)
![{\displaystyle -\left[{\frac {y'-y}{x'-x}}-{\frac {y}{x}}\right]\left[\mathrm {M} '\left(\mathrm {P} dt-d{\frac {dx'}{dt}}\right)+\mathrm {M} ''\left(\mathrm {P} dt-d{\frac {dx''}{dt}}\right)\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5a1ac930a452555255ba3540aaaf23d661850ec)
![{\displaystyle +\left.\mathrm {M} '''\left(\mathrm {P} dt-d{\frac {dx'''}{dt}}\right)+\ldots \right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08bd3814fc234a6665bb17ce7aa71659e010b2d1)
![{\displaystyle [y']\ =\mathrm {M} '\left[d{\frac {dy'}{dt}}+{\frac {y'-y}{x'-x}}\left(\mathrm {P} dt-d{\frac {dx'}{dt}}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/754729000e6ef285baa3527d3fb216745b313a7e)
![{\displaystyle -\left[{\frac {y''-y'}{x''-x'}}-{\frac {y'-y}{x'-x}}\right]\left[\mathrm {M} ''\left(\mathrm {P} dt-d{\frac {dx''}{dt}}\right)+\mathrm {M} '''\left(\mathrm {P} dt-d{\frac {dx'''}{dt}}\right)+\ldots \right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dd4d8c03bfc8d056b12e2dcb500fe5ee35cfe29)
![{\displaystyle [y'']=\mathrm {M} ''\left[d{\frac {dy''}{dt}}+{\frac {y''-y'}{x''-x'}}\left(\mathrm {P} dt-d{\frac {dx''}{dt}}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb21ac28b66a83140acaf7a36db1f36cf0a93ae4)
![{\displaystyle -\left[{\frac {y'''-y''}{x'''-x''}}-{\frac {y''-y'}{x''-x'}}\right]\left[\mathrm {M} '''\left(\mathrm {P} dt-d{\frac {dx'''}{dt}}\right)+\ldots \right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be090eb7ec2ebb3fe78155d11eb6773fa55df7fc)
![{\displaystyle \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f27b293ce6a2a47eec68b1202d68da8ba6b66280)
et les valeurs de
seront les mêmes que celles de ![{\displaystyle [y],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b54525cb764376bd9d8893d4b7eb10a388dd63c1)
en y mettant simplement
au lieu de ![{\displaystyle y,y',y'',\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48a393abace9172fa8430a656bd3a60fc29d1cb9)
On fera donc, suivant notre méthode,
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}[y]=&0,\qquad &[y']=&0,\qquad &[y'']=&0,\ldots ,\\\ [z]=&0,\qquad &[z']=&0,\qquad &[z'']=&0,\ldots ,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2306a7f22a737d5a35a0baa6923cc93e68cabd1)
équations qui, avec celles qu’on a trouvées plus haut, suffiront pour résoudre le Problème.
XXV.
Corollaire. — Soient les corps
infiniment petits, et placés à des distances égales les uns des autres ; marquant par la lettre
la différence de deux coordonnées consécutives quelconques, on aura en général
![{\displaystyle {\frac {y'-y}{x'-x}}={\frac {dy}{dx}}\quad {\text{et}}\quad {\frac {y''-y'}{x''-x'}}-{\frac {y'-y}{x'-x}}=d{\frac {dy}{dx}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88dcb43735647d7a3abddcf4c69050a7ddab0ff8)
gnée par
![{\displaystyle \mathrm {T} dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3ba94c7f6e298db6068693c1f4e17776fe88182)
la somme des valeurs de
![{\displaystyle dm\left(\mathrm {P} dt-d{\frac {dx}{dt}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1f5decc2e0bf56332486e318f66ed16f6f0333f)
pour toute la longueur du fil, et la somme indéfinie des mêmes valeurs prise relativement à l’abscisse
![{\displaystyle x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/feff4d40084c7351bf57b11ba2427f6331f5bdbe)
marquée par la lettre
![{\displaystyle \mathrm {S} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9044c1a27dd84b9c1aa9cc2c1b6cd36f3f956ffb)
de cette manière
![{\displaystyle \mathrm {S} dm\left(\mathrm {P} dt-d{\frac {dx}{dt}}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e288a66bd3f1a7e23e5acb1254f2bc377884e0a8)
il est facile de voir que les équations
se réduiront toujours à celle-ci générale :
![{\displaystyle dm\left[d{\frac {dy}{dt}}+{\frac {dy}{dx}}\left(\mathrm {P} dt-d{\frac {dx}{dt}}\right)\right]-d{\frac {dy}{dx}}\left[\mathrm {T} dt-\mathrm {S} dm\left(\mathrm {P} dt-d{\frac {dx}{dt}}\right)\right]=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dffa73b926dbb7770b7ef92094750cddbc8ec0a9)
que de même les équations
se changeront en
![{\displaystyle dm\left[d{\frac {dz}{dt}}+{\frac {dz}{dx}}\left(\mathrm {P} dt-d{\frac {dx}{dt}}\right)\right]-d{\frac {dz}{dx}}\left[\mathrm {T} dt-\mathrm {S} dm\left(\mathrm {P} dt-d{\frac {dx}{dt}}\right)\right]=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb6d95c687696aacc36dff2184cc562a77e097cf)
Ce seront donc ces deux équations qui serviront à déterminer le mouvement du fil ; mais il y faudra encore ajouter une troisième équation qui se déduira de ce que chaque élément du fil, dont l’expression générale est
doit demeurer constant, pendant que le fil varie de courbe. Cette équation sera donc
![{\displaystyle {\frac {d{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}}}{dt}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bed3740fd7a05b04ccbce89f6ffdbb171182a2fb)
Dans le cas des oscillations infiniment petites on a
parce qu’alors chaque point du fil répond toujours à très-peu près au même point de l’axe ; de plus, si on regarde le fil comme uniformément épais, et que l’élément de sa courbe
soit dénoté par
on aura
et la formule intégrale
se réduira à
à cause de
constant,
étant la longueur de la partie du fil qui répond à l’abscisse
par conséquent, si la longueur totale du fil est
on aura
et les deux premières équations deviendront celles-ci, beaucoup plus simples,
![{\displaystyle {\begin{aligned}ds\left(d{\frac {dy}{dt}}+{\frac {dy}{dx}}\mathrm {P} dt\right)-\mathrm {P} dtd{\frac {dy}{dx}}(l-s)=&0,\\ds\left(d{\frac {dz}{dt}}+{\frac {dz}{dx}}\mathrm {P} dt\right)-\mathrm {P} dtd{\frac {dz}{dx}}(l-s)=&0\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb094b39a6a3b8133b66190bc3ac79f9e0f38cac)
la troisième sera inutile.
XXVI.
Scolie. — Si les fils
qui joignent les corps
étaient extensibles et élastiques, on aurait alors les équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}f\ \ \delta f\ \ =&x\delta x+y\delta y+z\delta z,\\f'\ \delta f'\ =&(x'-x)(\delta x'-\delta x)+(y'-y)(\delta y'-\delta y)+(z'-z)(\delta z'-\delta z),\\f''\delta f''=&(x''-x')(\delta x''-\delta x')+(y''-y')(\delta y''-\delta y')+(z''-z')(\delta z''-\delta z'),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53ffa901f668328fcd1341fc138148af6cd812bd)
et ainsi de suite.
On trouvera de plus, en appelant
les forces d’élasticité ou de contraction des fils
que l’équation (U) deviendra
![{\displaystyle \mathrm {M} u\delta u+\mathrm {M} 'u'\delta u'+\mathrm {M} ''u''\delta u''+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30a45fef35b2c9a055a33fc910000bcc7de5ea26)
![{\displaystyle =\mathrm {P} \left(\mathrm {M} \delta x+\mathrm {M} '\delta x'+\mathrm {M} ''\delta x''+\ldots \right)-\mathrm {F} \delta f-\mathrm {F} '\delta f'-\mathrm {F} '''\delta f''-\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f71bba36e06da6d327f2819f631fba8ea13d77c4)
comme il est facile de s’en assurer en appliquant le principe de la conservation des forces vives au cas dont il s’agit ici.
On mettra donc, dans cette expression de
![{\displaystyle \mathrm {M} u\delta u+\mathrm {M} 'u'\delta u'+\mathrm {M} ''u''\delta u''+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30a45fef35b2c9a055a33fc910000bcc7de5ea26)
au lieu de
les valeurs qu’on vient de trouver, et on la substituera ensuite dans l’équation (E) de l’Article IX ; ce qui donnera, après avoir ordonné les termes et mis
à la place de ![{\displaystyle {\frac {ds}{u}},{\frac {ds'}{u}},{\frac {ds''}{u}},\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91cb541c87c97071c8de161c8ada108c24317bd9)
une équation de cette forme :
![{\displaystyle \int \left[(x)\delta x+(x')\delta x'+(x'')\delta x''+\ldots +(y)\delta y+(y')\delta y'+(y'')\delta y''+\ldots \right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d320fe2a2f7daf040838c1740f8dba38a688b6e7)
![{\displaystyle \left.+(z)\delta z+(z')\delta z'+(z'')\delta z''+\ldots \right]=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48b81ac22c718ad0949803aebae36d96b9c06376)
dans laquelle
![{\displaystyle {\begin{aligned}(x)\ \ &=\mathrm {M} \ \,\left(d{\frac {dx}{dt}}\ \ -\mathrm {P} dt\right)+\left({\frac {x}{f}}\mathrm {F} -{\frac {x'-x}{f'}}\mathrm {F} '\right)dt,\\(x')\ &=\mathrm {M} '\,\left(d{\frac {dx'}{dt}}\ -\mathrm {P} dt\right)+\left({\frac {x'\ -x\ }{f'}}\mathrm {F} '\,-{\frac {x''\ -x'\ }{f''}}\mathrm {F} ''\ \right)dt,\\(x'')&=\mathrm {M} ''\left(d{\frac {dx''}{dt}}-\mathrm {P} dt\right)+\left({\frac {x''-x'}{f''}}\mathrm {F} ''-{\frac {x'''-x''}{f'''}}\mathrm {F} '''\right)dt,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\(y)\ \ &=\mathrm {M} \ \ d{\frac {dy}{dt}}\ \,+\left({\frac {y}{f}}\mathrm {F} -{\frac {y'-y}{f'}}\mathrm {F} '\right)dt,\\(y')\ &=\mathrm {M} '\ d{\frac {dy'}{dt}}\,+\left({\frac {y'\ -y\ }{f'}}\mathrm {F} '\,-{\frac {y''\ -y'\ }{f''}}\mathrm {F} ''\ \right)dt,\\(y'')&=\mathrm {M} ''d{\frac {dy''}{dt}}+\left({\frac {y''-y'}{f''}}\mathrm {F} ''-{\frac {y'''-y''}{f'''}}\mathrm {F} '''\right)dt,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99a6ad6dd8508a2f3cf8ea101126107753fe89a8)
et les autres expressions
seront les mêmes que les ![{\displaystyle (y),(y'),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/405a987adca4ae95a73174b22182b94adbc74518)
en changeant seulement
en
en
en ![{\displaystyle z'',\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4846bc5b4b912b5286f7392dcb28a1f4a1d5ba3c)
De cette équation on tirera donc, suivant notre méthode, les équations particulières
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}(x)=&0,\qquad &(x')=&0,\qquad &(x'')=&0,\ldots ,\\(y)=&0,\qquad &(y')=&0,\qquad &(y'')=&0,\ldots ,\\(z)=&0,\qquad &(z')=&0,\qquad &(z'')=&0,\ldots ,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4122578edb4f85c2a9ecc1fedb74e74a1b0ed9c0)
qui seront celles du mouvement des corps ![{\displaystyle \mathrm {M,M',M''} ,\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c98ca00797f75af499d3205272456491bfe14818)
XXVII.
Corollaire. — Si l’on veut que les masses
soient infiniment petites et placées à des distances infiniment petites les unes des autres, conservant les suppositions faites dans l’Article XXV on aura en général
et l’on trouvera que les équations ci-dessus se changeront dans les trois suivantes :
![{\displaystyle {\begin{aligned}dm&\left(d{\frac {dx}{dt}}-\mathrm {P} dt\right)-d{\frac {\mathrm {F} dx}{ds}}dt=0,\\dm&d{\frac {dy}{dt}}-d{\frac {\mathrm {F} dy}{ds}}dt=0,\\dm&d{\frac {dz}{dt}}-d{\frac {\mathrm {F} dz}{ds}}dt=0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92cba0216e155de72a55b81bb892aa030a1cd84a)
où la quantité
marque l’élasticité variable de chaque élément du fil.
Si l’on fait abstraction de la pesanteur
et qu’on suppose, outre cela, les oscillations du fil infiniment petites, en sorte que l’abscisse
demeure toujours la même pour chaque élément
la première équation se réduira à
![{\displaystyle -d{\frac {\mathrm {F} dx}{ds}}dt=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2070dfe8c7a5951298c4bbba5f7c7947a8e2c47)
dont l’intégrale est
ce qui donne
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {F} }{ds}}={\frac {k}{dx}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64d075ccb6d9344c1187e1e2aa3fd4ca87c05276)
et cette valeur étant substituée dans les deux autres équations, on aura, à cause de
constant,
![{\displaystyle dmd{\frac {dy}{dt}}=d{\frac {dy}{dx}}kdt,\qquad dmd{\frac {dz}{dt}}=d{\frac {dz}{dx}}kdt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbd6bc07ac0452098cd2d6cb84adf04f84626732)
Soit
l’épaisseur du fil, en sorte que
(il faudrait mettre à la rigueur
mais comme on suppose les vibrations infiniment petites, il est clair que
et
seront aussi infiniment petites par rapport à
et qu’ainsi
sera à très-peu près égal à
), on trouvera en différentiant et prenant
et
pour constantes, ce qui est permis,
![{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}={\frac {k}{\mathrm {X} }}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},\qquad {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}={\frac {k}{\mathrm {X} }}{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab655ad3c177ef98821df9ebcaafdfc8800d6234)
équations connues.
XXVIII.
Remarque. — Les équations trouvées pour le mouvement d’un fil vibrant, élastique ou non, peuvent encore l’être d’une autre manière plus directe, en regardant d’abord le fil comme un assemblage d’une infinité de points mobiles ; c’est ce qu’il est bon de faire voir pour développer davantage l’application de notre principe général à ces sortes de questions.
XXIX.
Problème VI. — Trouver le mouvement d’un fil inextensible, dont tous les points sont sollicités par des forces quelconques
Solution. — En conservant les noms donnés dans l’Article XXV soient, de plus,
la vitesse de chaque élément du fil, et
le petit espace qu’il parcourt dans le temps
il est facile de voir que la formule du principe général deviendra
![{\displaystyle \mathrm {S} dm\int uds.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3670e5bcc5e0b65d47723425490a66d8489972b)
On fera donc, suivant notre méthode, l’équation
![{\displaystyle \delta \mathrm {S} dm\int uds=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f14a9b5def7baf208ab3c42cbb2269c7d624e81d)
qui se réduira d’abord, à cause que
est constant pendant que le fil varie de courbe, à
![{\displaystyle \mathrm {S} dm\delta \int uds=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0ca440f019fd847b7c3787ee902f34523641b1c)
savoir à
![{\displaystyle \mathrm {S} dm\int (u\delta ds+\delta uds)=\mathrm {S} dm\int u\delta ds+\mathrm {S} dm\int u\delta udt=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/088199ad2fd57c7dd2adfc4a97efec6bf99c0ec0)
en mettant
pour ![{\displaystyle {\frac {ds}{u}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc9de4a02d352bc9cd2bdfcb8762dbfd3789d4fc)
Maintenant, si on prend pour chaque élément du fil trois coordonnées rectangles
comme dans le Problème I, on aura aussi
![{\displaystyle \delta ds={\frac {1}{ds}}(dxd\delta x+dyd\delta y+dzd\delta z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/593f80af28fb0af002345e4a205838310ec1dbc0)
et
![{\displaystyle \int u\delta ds=-\int \left(d{\frac {dx}{dt}}\delta x+d{\frac {dy}{dt}}\delta y+d{\frac {dz}{dt}}\delta z\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d8875f9a570c09c046af3593a6a178bdd337ecd)
en mettant
pour
donc l’intégrale
deviendra
![{\displaystyle -\int \mathrm {S} dm\left(d{\frac {dx}{dt}}\delta x+d{\frac {dy}{dt}}\delta y+d{\frac {dz}{dt}}\delta z\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf9928a8c60507b90a5027316c89491bd33b7f8f)
en transposant les signes
ce qui est évidemment permis.
On changera aussi par la même transposition des signes la formule
en
et l’on aura l’équation
(K)
|
|
|
Il s’agit maintenant de trouver la valeur de
Or il n’est pas difficile de voir que l’équation (U) de l’Article VIII appliquée à la question présente donne
![{\displaystyle \mathrm {S} dm\,u\delta u=-\mathrm {S} dm(\mathrm {P} \delta p+\mathrm {Q} \delta q+\mathrm {R} \delta r+\ldots ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03cf9406be525d341d09368a252ad89a10228254)
On aura donc, en multipliant par
dont la valeur est la même pour tous les éléments du fil,
![{\displaystyle \mathrm {S} dm\,u\delta u\,dt=-\mathrm {S} dm(\mathrm {P} \delta p+\mathrm {Q} \delta q+\mathrm {R} \delta r+\ldots )dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8390851e54051edeb40773b65e0d18d49192c8d)
ou bien en mettant, selon les suppositions de l’Art. I,
au lieu de ![{\displaystyle \mathrm {P} \delta p+\mathrm {Q} \delta q+\mathrm {R} \delta r+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc7225d14c0258842486f0a4efa3d5761df637f8)
(X)
|
|
|
Cette valeur substituée dans l’équation (K), il viendra
(L)
|
|
|
Présentement, comme chaque élément du fil,
est supposé inextensible, on a, comme dans l’Article XXV, l’équation
![{\displaystyle \operatorname {d} x{\frac {d\operatorname {d} x}{dt}}+\operatorname {d} y{\frac {d\operatorname {d} y}{dt}}+\operatorname {d} z{\frac {d\operatorname {d} z}{dt}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5af4a342f23530c4ee2922beda056f87fad9aeb4)
On a de plus, par la même raison,
![{\displaystyle \delta {\sqrt {\operatorname {d} x^{2}+\operatorname {d} y^{2}+\operatorname {d} z^{2}}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dcf9f0a048987da98434547f5d1abad777d68db)
ce qui donne
![{\displaystyle \operatorname {d} x\delta \operatorname {d} x+\operatorname {d} y\delta \operatorname {d} y+\operatorname {d} z\delta \operatorname {d} z=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c018af8ead41152028500e96f492f2d199babfbb)
savoir, en transposant les deux caractéristiques ![{\displaystyle \delta ,\operatorname {d} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ec8ffdfa801c6b42b2b3147b1d72ecb5b4767a2)
![{\displaystyle \operatorname {d} x\operatorname {d} \delta x+\operatorname {d} y\operatorname {d} \delta y+\operatorname {d} z\operatorname {d} \delta z=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b73b0ce84793baf0ac2691445f8ca4f658559a49)
d’où l’on tire
![{\displaystyle \operatorname {d} \delta x=-{\frac {\operatorname {d} y\operatorname {d} \delta y+\operatorname {d} z\operatorname {d} \delta z}{\operatorname {d} x}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/209d77e8d0a72c30ce6b4a8a99d03e48d476c86d)
et, en intégrant,
![{\displaystyle S\operatorname {d} \delta x=\delta x=\delta {\grave {\,}}\!x-S{\frac {\operatorname {d} y\operatorname {d} \delta y+\operatorname {d} z\operatorname {d} \delta z}{\operatorname {d} x}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90148a208260baebcf0574c447a182be41222a4d)
dénote la valeur de
lorsque l’intégrale marquée par
est zéro, savoir la valeur du
à la première extrémité du fil. La substitution de cette valeur de
dans l’équation (L) changera l’expression intégrale
![{\displaystyle \mathrm {S} dm\left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right)\delta x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53f5b9c7e83c69c6b0047f78a94306374facb293)
en celle-ci
![{\displaystyle \mathrm {S} dm\left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right)\delta {\grave {\,}}\!x-\mathrm {S} dm\left[\left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right)\mathrm {S} \left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\operatorname {d} \delta y+{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}\operatorname {d} \delta z\right)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64f29d3d51210569a8d47e154b8c8043530df85b)
Or la différence
étant constante, peut être dégagée du signe d’intégration ; donc si
exprime la valeur totale de l’intégrale
![{\displaystyle \mathrm {S} dm\left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bee66b581fb1c99d002c19ddda072549f24add92)
l’expression
se réduira à celle-ci plus simple,
Il s’agit maintenant de faire disparaître les différences de
et
![{\displaystyle \delta z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/883725beda7157cd8e10b796edd13dccaa956b32)
dans l’autre expression
![{\displaystyle \left[\mathrm {S} dm\left(d{\tfrac {dx}{dt}}+\Pi dt\right)\mathrm {S} \left({\tfrac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\operatorname {d} \delta y+{\tfrac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}\operatorname {d} \delta z\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/835517186722befe1c43a31fec411b5c7ccb3df9)
c’est de quoi l’on viendra aisément à bout par la méthode de l’Article IX du Mémoire précédent. Suivant cette méthode, on trouvera que, si
![{\displaystyle \mathrm {T} dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3ba94c7f6e298db6068693c1f4e17776fe88182)
représente, comme ci-devant, la valeur totale de l’intégrale
![{\displaystyle \mathrm {S} dm\left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bee66b581fb1c99d002c19ddda072549f24add92)
et qu’on fasse, pour abréger,
![{\displaystyle \mathrm {T} dt-\mathrm {S} dm\left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right)=\mathrm {U} dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4d86813d6eca2d3b00365266c7191b74f269c33)
on aura
![{\displaystyle \mathrm {S} dm\left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right)\mathrm {S} {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\operatorname {d} \delta y={\frac {\mathrm {U} dt\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\delta y-\mathrm {S} \operatorname {d} {\frac {\mathrm {U} dt\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\delta y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e9f858ad9032372a2f44c61940fbbda828ba25b)
et de même
![{\displaystyle \mathrm {S} dm\left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right)\mathrm {S} {\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}\operatorname {d} \delta z={\frac {\mathrm {U} dt\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}\delta z-\mathrm {S} \operatorname {d} {\frac {\mathrm {U} dt\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}\delta z,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b6a89313e31f61dcff61ca00ef040ecaab5ebea)
où les termes qui se trouvent hors du signe d’intégration
doivent être pris avec les conditions énoncées à la fin de l’Article I du Mémoire précédent ; or la valeur de
qui répond au dernier point du fil est nulle, parce que
devient alors égal à
et, pour le premier point, cette valeur est égale à
parce que
est égal à zéro ; donc, si l’on marque par
les coordonnées qui répondent à ce point, on aura
pour la valeur exacte du terme
et
pour celle de l’autre terme
Par ces substitutions, on aura donc
![{\displaystyle \left[\mathrm {S} dm\left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right)\mathrm {S} \left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\operatorname {d} \delta y+{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}\operatorname {d} \delta z\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3df7fce0932350f61efc37a25332b341d3e999b7)
![{\displaystyle =-\mathrm {T} dt\left(\delta \,{\grave {\,}}\!x+{\frac {\operatorname {d} {\grave {\,}}\!y}{\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x}}\delta {\grave {\,}}\!y+{\frac {\operatorname {d} {\grave {\,}}\!z}{\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x}}\delta {\grave {\,}}\!z\right)-\mathrm {S} \left(d{\frac {\mathrm {U} dt\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\delta y+\operatorname {d} {\frac {\mathrm {U} dt\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}\delta z\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37fa850c3d67b218264bc395528bee291a097b59)
et l’équation (L) se changera en celle-ci :
(M)
|
|
|
d’où l’on tire pour tous les points du fil en général
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {d} {\frac {\mathrm {U} dt\,\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}+dm\left(d{\frac {dy}{dt}}+\varpi dt\right)=&0,\\\operatorname {d} {\frac {\mathrm {U} dt\,\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}+dm\left(d{\frac {dz}{dt}}+\Psi dt\right)=&0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a528cbaf7a26917f56d14cb76a468d88e7dd5655)
et ces équations, avec celle qui a été trouvée précédemment
![{\displaystyle \operatorname {d} x\left(d{\frac {\operatorname {d} x}{dt}}\right)+\operatorname {d} y\left({\frac {d\operatorname {d} y}{dt}}\right)+\operatorname {d} z\left({\frac {d\operatorname {d} z}{dt}}\right)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b74f11a6bf2c3d083acb4dc49c8c80f5e8aa8b2f)
serviront pour déterminer le mouvement du fil.
Si l’on fait dans ces équations
elles reviendront au même que celles de l’Article XXV comme il est facile de s’en assurer par un calcul fort simple.
XXX.
Scolie I — Maintenant, pour satisfaire au reste de l’équation (M), on fera encore
![{\displaystyle \left(\delta {\grave {\,}}\!x+{\frac {\operatorname {d} {\grave {\,}}\!y}{\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x}}\delta {\grave {\,}}\!y+{\frac {\operatorname {d} {\grave {\,}}\!z}{\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x}}\delta {\grave {\,}}\!z\right)\mathrm {T} dt=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02497e539fee09e59b9903f2bf438944493ddf7e)
équation qui appartient uniquement au premier point du fil.
Supposons d’abord ce point absolument fixe : il est clair qu’on aura
ce qui rendra nuls tous les termes de l’équation dont il s’agit ; donc les équations trouvées à la fin de l’Article précédent suffiront dans ce cas pour résoudre le Problème.
Mais si l’autre bout du fil est aussi fixe, il faudra faire alors quelques changements à ces équations. Pour cela soit reprise l’équation,
![{\displaystyle \delta x=\delta {\grave {\,}}\!x-\mathrm {S} \left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\operatorname {d} \delta y+{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}\operatorname {d} \delta z\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1a3cd733d695f75dd061350ef9979b66859becb)
on trouvera, en intégrant par parties avec l’addition des constantes nécessaires,
![{\displaystyle \delta x=\delta {\grave {\,}}\!x-{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\delta y-{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}\delta z+{\frac {\operatorname {d} {\grave {\,}}\!y}{\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x}}\delta {\grave {\,}}\!y+{\frac {\operatorname {d} {\grave {\,}}\!z}{\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x}}\delta {\grave {\,}}\!z+\mathrm {S} \left(\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\delta y+\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}\delta z\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6215b0e88cd539ad091262d3da296fdb29524986)
Désignons par
les valeurs de
qui répondent à l’extrémité du fil, et rapportons l’équation qu’on vient de trouver à ce point, on aura, en transposant,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\delta x'+{\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} x'}}\delta y'+{\frac {\operatorname {d} z'}{\operatorname {d} x'}}\delta z'-\delta {\grave {\,}}\!x&-{\frac {\operatorname {d} {\grave {\,}}\!y}{\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x}}\delta {\grave {\,}}\!y-{\frac {\operatorname {d} {\grave {\,}}\!z}{\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x}}\delta {\grave {\,}}\!z\\&-\mathrm {S} \left(\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\delta y+\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}\delta z\right)=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae329311e4b58acb8efe88baf66f137de2e3eb19)
l’intégrale
![{\displaystyle \mathrm {S} \left(\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\delta y+\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}\delta z\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/764a26cc41d779627c181e104eea42a63dfb9d79)
étant prise pour toute la longueur du fil. Cette équation étant vraie pour tous les instants du mouvement du fil, on peut la multiplier par
et en prendre l’intégrale relativement au temps
on aura donc, en affectant tous les termes du signe ![{\displaystyle \int ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91ed1e60a9a47e097aca9a397fab1464c5ae063b)
(N)
|
|
|
équation qui doit avoir lieu en même temps que l’équation générale (M) en faisant
égaux à zéro conformément à l’hypothèse, ce qui la réduit à
![{\displaystyle -\int \mathrm {S} \left(\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\delta y+\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}\delta z\right)dt=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f78f97e2386fce6d8422dad7eae6635f98b8058)
je multiplie donc cette équation par un coefficient indéterminé
![{\displaystyle k,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44e185ab9c990830d5055fa3ae698a4225ce67e0)
et je l’ajoute à l’équation (M) ; j’ai, à cause de
![{\displaystyle \delta {\grave {\,}}\!x,\delta {\grave {\,}}\!y,\delta {\grave {\,}}\!z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee619dc41184c054fa5907c455716748c1e56ee6)
égaux à zéro,
![{\displaystyle {\begin{aligned}-\int \mathrm {S} &\left[\left(\operatorname {d} {\frac {\mathrm {U} dt\,\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}+dm\,d{\frac {dy}{dt}}+dm\,\varpi \,dt+\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}kdt\right)\delta y\right.\\&\left.+\left(\operatorname {d} {\frac {\mathrm {U} dt\,\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}+dm\,d{\frac {dz}{dt}}+dm\,\Psi \,dt+\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}kdt\right)\delta z\right]=0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04785a715a48caf0b103961adfff44b238e47c18)
d’où je tire pour le mouvement du fil
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {d} {\frac {\mathrm {U} dt\,\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}+dm\left(d{\frac {dy}{dt}}+\varpi \,dt\right)+\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}kdt=0,\\&\operatorname {d} {\frac {\mathrm {U} dt\,\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}+dm\left(d{\frac {dz}{dt}}+\Psi \,dt\right)+\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}kdt=0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bdf1600c9668a75fac8fa7a598408462cda8179)
et la troisième équation sera la même que dans l’Article précédent.
XXXI.
Scolie II. — L’équation (N) étant multipliée par un coefficient indéterminé
et ensuite ajoutée à l’équation (M), on a en général
![{\displaystyle \int \left[\left(\operatorname {d} x'\delta x'+\operatorname {d} y'\delta y'+\operatorname {d} z'\delta z'\right)kdt\operatorname {d} x'-\left(\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x\delta {\grave {\,}}\!x+\operatorname {d} {\grave {\,}}\!y\delta {\grave {\,}}\!y+\operatorname {d} {\grave {\,}}\!z\delta {\grave {\,}}\!z\right){\frac {\mathrm {T} +k}{\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x}}dt\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39838dcb1a6fc06b6971b31b950f06d7ad286261)
![{\displaystyle -\int \mathrm {S} \left[\left(\operatorname {d} {\frac {\mathrm {U} dt\,\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}+\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}kdt+dm\,d{\frac {dy}{dt}}+dm\,\varpi \,dt\right)\delta y\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b1eb4b642166adec358a3edf22a3640f00b2130)
![{\displaystyle \left.+\left(\operatorname {d} {\frac {\mathrm {U} dt\,\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}+\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}kdt+dm\,d{\frac {dz}{dt}}+dm\,\Psi \,dt\right)\delta z\right]=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21ad142be36c2f955b5d72f430ab81984f88c709)
Les termes affectés du double signe
fourniront d’abord pour le mouvement général du fil les mêmes équations que dans l’Article précédent ; ensuite les autres termes affectés simplement du signe
donneront l’équation
![{\displaystyle \left(\operatorname {d} x'\delta x'+\operatorname {d} y'\delta y'+\operatorname {d} z'\delta z'\right){\frac {kdt}{\operatorname {d} x'}}-\left(\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x\delta {\grave {\,}}\!x+\operatorname {d} {\grave {\,}}\!y\delta {\grave {\,}}\!y+\operatorname {d} {\grave {\,}}\!z\delta {\grave {\,}}\!z\right){\frac {\mathrm {T} +k}{\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x}}dt=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a386ac40d224cd3cc135baedb84ba182923fa424)
d’où l’on tire les conclusions suivantes :
1o Si le fil est fixement arrêté à ses deux extrémités, les différences
sont nulles par elles-mêmes, et l’équation dont il s’agit ne fournit aucune condition nouvelle ; c’est le cas de l’Article précédent.
2o S’il n’y a qu’une des extrémités du fil qui soit fixe, alors on aura simplement
ou
égaux à zéro ; dans le premier cas, il restera l’équation
![{\displaystyle \left(\operatorname {d} x'\delta x'+\operatorname {d} y'\delta y'+\operatorname {d} z'\delta z'\right){\frac {kdt}{\operatorname {d} x'}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58b01e9a828d5e87a575fb5cdebedb94b2032599)
à laquelle on ne peut satisfaire qu’en mettant
dans le second, l’équation restante sera
![{\displaystyle -\left(\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x\delta {\grave {\,}}\!x+\operatorname {d} {\grave {\,}}\!y\delta {\grave {\,}}\!y+\operatorname {d} {\grave {\,}}\!z\delta {\grave {\,}}\!z\right){\frac {k+\mathrm {T} }{\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf2b75579db993ed2e1d7e8db45d84ff71d2885c)
laquelle donnera nécessairement
![{\displaystyle k+\mathrm {T} =0,\quad {\text{savoir}}\quad \mathrm {T} =-k,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f1eccf4c0903465c978a10d7342c7e3f861fa43)
3o Si le fil est attaché d’un côté à une verge fixe le long de laquelle il puisse couler par le moyen d’un anneau, et que l’équation de la verge soit en général
![{\displaystyle dz=mdx+ndy,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7e4c366ba69b7dcbda88ebc7319c6c467d95286)
alors on supposera
![{\displaystyle \delta {\grave {\,}}\!z={\grave {\,}}\!m\delta {\grave {\,}}\!x+{\grave {\,}}\!n\delta {\grave {\,}}\!y,\quad {\text{ou}}\quad \delta z'=m'\delta x'+n'\delta y',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/019d321b23aa057f2b2ecfee6e8f3e8d20917467)
selon que ce sera le premier ou le dernier point du fil qui décrira la courbe donnée ; et substituant dans l’équation ci-dessus la valeur de
ou de
on en tirera pour le premier cas les deux conditions
![{\displaystyle \operatorname {d} {\grave {\,}}\!x+{\grave {\,}}\!m\operatorname {d} {\grave {\,}}\!z=0,\qquad \operatorname {d} {\grave {\,}}\!y+{\grave {\,}}\!n\operatorname {d} {\grave {\,}}\!z=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/050e536eb7faa2d4cb3bdad435f55590c9e994d3)
et de plus
si l’autre bout du fil est libre, et pour le second cas on trouvera de même
![{\displaystyle \operatorname {d} x'+m'\operatorname {d} z'=0,\qquad \operatorname {d} y'+n'\operatorname {d} z'=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8294a79678920e077ec8f879305faab14a3aa683)
et de plus
si le premier point du fil est libre.
4
o Si les deux bouts du fil coulent le long de deux courbes représentées par les équations
![{\displaystyle d{\grave {\,}}\!z={\grave {\,}}\!md{\grave {\,}}\!x+{\grave {\,}}\!nd{\grave {\,}}\!y,\quad {\text{ou}}\quad dz'=m'dx'+n'dy',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e2c61558ae97df01fefc559844fd80a2aae6611)
on mettra
pour
et
pour
et l’on fera en conséquence
![{\displaystyle \operatorname {d} {\grave {\,}}\!x+{\grave {\,}}\!m\operatorname {d} {\grave {\,}}\!z=0,\ \ \operatorname {d} {\grave {\,}}\!y+{\grave {\,}}\!n\operatorname {d} {\grave {\,}}\!z=0,\ \ \operatorname {d} x'+m'\operatorname {d} z'=0,\ \ \operatorname {d} y'+n'\operatorname {d} z'=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59e9eac055415ce8072fbf4a9680208045a8a031)
5o Si les deux bouts du fil sont attachés l’un à l’autre, en sorte qu’il en résulte une courbe rentrant en elle-même, on aura dans ce cas
et l’équation générale se réduira à
![{\displaystyle -\left(\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x\delta {\grave {\,}}\!x+\operatorname {d} {\grave {\,}}\!y\delta {\grave {\,}}\!xy\operatorname {d} {\grave {\,}}\!z\delta {\grave {\,}}\!z\right){\frac {\mathrm {T} dt}{\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff9bf39c436bb1c486d9e9e5d28f8090d99d98e8)
d’où
comme dans le premier cas du no I.
Toutes ces équations, au reste, devront se vérifier au moyen des constantes qui se trouveront dans les équations générales de l’Article précédent après leur intégration.
XXXII.
Scolie III — Imaginons que le fil soit emporté par un corps de masse finie
attaché à son extrémité et animé par des puissances quelconques
Il est clair que dans ce cas la formule, qui doit être un maximum ou un minimum, ne sera plus simplement
mais
![{\displaystyle \mathrm {S} dm\int uds+\mathrm {M} '\int u'ds',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0fe0fe8e80b6cd102573bd603943266755a731f)
en nommant
la vitesse du corps
et
l’élément de la courbe qu’il décrit. Or cette dernière formule, étant traitée comme celle du Problème I, donnera pour sa différentielle
![{\displaystyle -\mathrm {M} '\int \left[\left(d{\frac {dx'}{dt}}+\Pi 'dt\right)\delta x'+\left(d{\frac {dy'}{dt}}+\varpi 'dt\right)\delta y'+\left(d{\frac {dz'}{dt}}+\Psi 'dt\right)\delta z'\right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b89f8cb9a706a6c20c841d3eea86fcbf94ac42b)
on ajoutera donc cette quantité au premier membre de l’équation générale de l’Article précédent, et l’on aura celle-ci :
(P)
|
|
|
Les termes affectés du double signe
donneront pour le mouvement du fil en général les mêmes équations de l’Article XXX qu’il est inutile de répéter. Les autres termes fourniront l’équation
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left(\mathrm {M} 'd{\frac {dx'}{dt}}+\mathrm {M} '\Pi 'dt-kdt\right)\delta x'\\+&\left(\mathrm {M} 'd{\frac {dy'}{dt}}+\mathrm {M} '\varpi 'dt-{\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} x'}}kdt\right)\delta y'\\+&\left(\mathrm {M} 'd{\frac {dz'}{dt}}+\mathrm {M} '\Psi 'dt-{\frac {\operatorname {d} z'}{\operatorname {d} x'}}kdt\right)\delta z'\\+&\left(\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x\delta {\grave {\,}}\!x+\operatorname {d} {\grave {\,}}\!y\delta {\grave {\,}}\!y+\operatorname {d} {\grave {\,}}\!z\delta {\grave {\,}}\!z\right){\frac {\mathrm {T} +k}{\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x}}dt=0\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b53986b218c6b60a5582ea3e62f7b295b87a5b94)
Or, si le corps
est libre, en sorte que les différentiations
demeurent indéterminées, on fera
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {M} '\left(d{\frac {dx'}{dt}}+\Pi 'dt\right)-kdt=0,\\&\mathrm {M} '\left(d{\frac {dy'}{dt}}+\varpi 'dt\right)-{\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} x'}}kdt=0,\\&\mathrm {M} '\left(d{\frac {dz'}{dt}}+\Psi 'dt\right)-{\frac {\operatorname {d} z'}{\operatorname {d} x'}}kdt=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/199de036f2c147da4378028fe5243448788b0b7b)
Ce sont les équations qui serviront à déterminer le mouvement du corps
Si ce corps était contraint de se mouvoir sur une surface donnée par l’équation
![{\displaystyle dz'=m'dx'+n'dy',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af144b24080dab6c5617f101fa9f391740adb514)
on mettrait, comme à l’ordinaire,
au lieu de
et l’on en tirerait les équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {M} '\left(d{\frac {dx'}{dt}}+\Pi 'dt\right)-kdt+\left[\mathrm {M} '\left(d{\frac {dz'}{dt}}+\Psi 'dt\right)-{\frac {\operatorname {d} z'}{\operatorname {d} x'}}kdt\right]m'=0,\\&\mathrm {M} '\left(d{\frac {dy'}{dt}}+\varpi 'dt\right)-{\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} x'}}kdt+\left[\mathrm {M} '\left(d{\frac {dz'}{dt}}+\Psi 'dt\right)-{\frac {\operatorname {d} z'}{\operatorname {d} x'}}kdt\right]n'=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd715d2ba89bc1585547dbad8ff587a88fb34fd)
À l’égard des termes
![{\displaystyle \left(\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x\delta {\grave {\,}}\!x+\operatorname {d} {\grave {\,}}\!y\delta {\grave {\,}}\!y+\operatorname {d} {\grave {\,}}\!z\delta {\grave {\,}}\!z\right){\frac {\mathrm {T} +k}{\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x}}dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64686b8fa27a32399330dd59c9bf058233f411d4)
qui appartiennent au premier point du fil, ils fourniront les mêmes conditions que dans l’Article précédent, selon les différentes circonstances du mouvement de ce point. Mais si l’on imaginait de plus en ce point un autre corps
animé des puissances
en sorte que le fil fût emporté par deux corps
fixement attachés à ses extrémités, alors on aurait, pour la formule du maximum ou du minimum,
![{\displaystyle \mathrm {S} dm\int uds+\mathrm {M} '\int u'ds'+{\grave {\,}}\!\mathrm {M} \int {\grave {\,}}\!ud{\grave {\,}}\!s,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecd17b9569bd36445e3016a46412066ef44c2087)
et l’on trouverait, en faisant le calcul de la même manière que ci-dessus, que le premier membre de l’équation (P) serait augmenté des termes
![{\displaystyle -\mathrm {M} \int \left[\left(d{\frac {d{\grave {\,}}\!x}{dt}}+{\grave {\,}}\!\Pi dt\right)\delta {\grave {\,}}\!x+\left(d{\frac {d{\grave {\,}}\!y}{dt}}+{\grave {\,}}\!\varpi dt\right)\delta {\grave {\,}}\!y+\left(d{\frac {d{\grave {\,}}\!z}{dt}}+{\grave {\,}}\!\Psi dt\right)\delta {\grave {\,}}\!z\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db567b521f6423ab48fee7ab20c437d3c9554476)
ce qui ne changerait rien aux formules trouvées pour le mouvement du
fil et de l’autre corps
![{\displaystyle \mathrm {M} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a11bc96cd0a6ddc87299a6673a391c826f21d483)
mais on aurait de plus l’équation
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left[{\grave {\,}}\!\mathrm {M} d{\frac {d{\grave {\,}}\!x}{dt}}+{\grave {\,}}\!\mathrm {M} {\grave {\,}}\!\Pi dt+(\mathrm {T} +k)dt\right]\delta {\grave {\,}}\!x\\&\left[{\grave {\,}}\!\mathrm {M} d{\frac {d{\grave {\,}}\!y}{dt}}+{\grave {\,}}\!\mathrm {M} {\grave {\,}}\!\Pi dt+{\frac {\operatorname {d} {\grave {\,}}\!y}{\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x}}(\mathrm {T} +k)dt\right]\delta {\grave {\,}}\!y\\&\left[{\grave {\,}}\!\mathrm {M} d{\frac {d{\grave {\,}}\!z}{dt}}+{\grave {\,}}\!\mathrm {M} {\grave {\,}}\!\Pi dt+{\frac {\operatorname {d} {\grave {\,}}\!z}{\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x}}(\mathrm {T} +k)dt\right]\delta {\grave {\,}}\!z=0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45b197a60fc57104fbc78bcbb9dc595568f4ceb8)
d’où l’on tirerait pour le mouvement du corps
des formules analogues à celles qu’on a trouvées pour le corps ![{\displaystyle \mathrm {M} '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11c44eea476e20cbf9e00186d44b59ffc49333f8)
XXXIII.
Problème VII. — Résoudre le Problème précédent, en supposant que le fil soit extensible et élastique.
Solution. — Soit
le ressort, c’est-à-dire la force de contraction de chaque élément du fil, on aura, en général, par l’équation (U) de l’Article VIII
![{\displaystyle \mathrm {S} dm\,u\,\delta u=-\mathrm {S} dm(\mathrm {P} \delta p+\mathrm {Q} \delta q+\mathrm {R} \delta r+\ldots )-\mathrm {SF} \delta f\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67e66c276d86a00a96dedc3cd8ae5ca3e826f72f)
ce qui donne, en multipliant par
et mettant
au lieu de
et
au lieu de ![{\displaystyle f,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e9687ea22c0f310582e97ee5f6c6a5fca28203d)
(Y)
|
|
|
Or
![{\displaystyle ds={\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}+}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/605b4f2aada7f5826144713bbb00057e67708d3c)
donc
![{\displaystyle \delta ds={\frac {\operatorname {d} x\delta \operatorname {d} x+\operatorname {d} y\delta \operatorname {d} y+\operatorname {d} z\delta \operatorname {d} z}{\operatorname {d} s}}={\frac {\operatorname {d} x\operatorname {d} \delta x+\operatorname {d} y\operatorname {d} \delta y+\operatorname {d} z\operatorname {d} \delta z}{\operatorname {d} s}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e0bfe54361406648465d5828e2e9bb645cdf411)
donc, mettant cette valeur dans
et intégrant par parties avec les constantes nécessaires, on aura
![{\displaystyle \mathrm {SF} dt\delta \operatorname {d} s={\frac {\mathrm {F} 'dt}{\operatorname {d} s'}}\left(\operatorname {d} x'\delta x'+\operatorname {d} y'\delta y'+\operatorname {d} z'\delta z'\right)-{\frac {{\grave {\,}}\!\mathrm {F} dt}{\operatorname {d} {\grave {\,}}\!s}}\left(\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x\delta {\grave {\,}}\!x+\operatorname {d} {\grave {\,}}\!y\delta {\grave {\,}}\!y+\operatorname {d} {\grave {\,}}\!z\delta {\grave {\,}}\!z\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a95e5835bf9fc2fd2ed6a23afce60d69d60bee8)
![{\displaystyle -\mathrm {S} \left(\operatorname {d} {\frac {\mathrm {F} \operatorname {d} x}{\operatorname {d} s}}\delta x+\operatorname {d} {\frac {\mathrm {F} \operatorname {d} y}{\operatorname {d} s}}\delta y+\operatorname {d} {\frac {\mathrm {F} \operatorname {d} z}{\operatorname {d} s}}\delta z\right)dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a3ae61efb6a25e05e8d6f0ac8384c403a743a01)
Maintenant, pour résoudre le Problème, il n’y a plus qu’à mettre dans l’équation (K) de l’Article
XXIX au lieu de
![{\displaystyle \mathrm {S} dm\,u\delta u\,dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d97201eccd7acd3ef1c1cf3cec10f59054a85d66)
la valeur qu’on vient de trouver, et l’on aura, en ordonnant les termes,
![{\displaystyle {\begin{aligned}&-\int \left[\left(\operatorname {d} x'\delta x'+\operatorname {d} y'\delta y'+\operatorname {d} z'\delta z'\right){\frac {\mathrm {F} 'dt}{\operatorname {d} s'}}-\left(\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x\delta x{\grave {\,}}\!+\operatorname {d} y{\grave {\,}}\!\delta {\grave {\,}}\!y+\operatorname {d} {\grave {\,}}\!z\delta {\grave {\,}}\!z\right){\frac {{\grave {\,}}\!\mathrm {F} dt}{\operatorname {d} {\grave {\,}}\!s}}\right]\\&+\int \mathrm {S} \left[\left(\operatorname {d} {\frac {\mathrm {F} \operatorname {d} x}{\operatorname {d} s}}dt-dm\Pi dt-dm\,d{\frac {dx}{dt}}\right)\delta x\right.\\&\qquad +\left(\operatorname {d} {\frac {\mathrm {F} \operatorname {d} y}{\operatorname {d} s}}dt-dm\varpi dt-dm\,d{\frac {dy}{dt}}\right)\delta y\\&\qquad +\left.\left(\operatorname {d} {\frac {\mathrm {F} \operatorname {d} z}{\operatorname {d} s}}dt-dm\Psi dt-dm\,d{\frac {dz}{dt}}\right)\delta z\right]=0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac7ff742ff1648627fb07abd4eb6817fc1d2325e)
d’où l’on tire, pour les équations générales du mouvement du fil,
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {d} {\frac {\mathrm {F} \operatorname {d} x}{\operatorname {d} s}}dt-dm\left(\Pi dt+d{\frac {dx}{dt}}\right)=0,\\&\operatorname {d} {\frac {\mathrm {F} \operatorname {d} y}{\operatorname {d} s}}dt-dm\left(\varpi dt+d{\frac {dy}{dt}}\right)=0,\\&\operatorname {d} {\frac {\mathrm {F} \operatorname {d} z}{\operatorname {d} s}}dt\,-dm\left(\Psi dt+d{\frac {dz}{dt}}\right)=0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c384d5aee6b249615c7d7eb24bf88f7afdf9752)
ce qui s’accorde avec ce qu’on a trouvé dans l’Article XXVII en mettant
et
et
au lieu de ![{\displaystyle \Pi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/258cc515d57db2d995c29082014a55edfe602396)
On aura de plus l’équation
![{\displaystyle \left(\operatorname {d} x'\delta x'+\operatorname {d} y'\delta y'+\operatorname {d} z'\delta z'\right){\frac {\mathrm {F} 'dt}{\operatorname {d} s'}}-\left(\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x\delta x{\grave {\,}}\!+\operatorname {d} y{\grave {\,}}\!\delta {\grave {\,}}\!y+\operatorname {d} {\grave {\,}}\!z\delta {\grave {\,}}\!z\right){\frac {{\grave {\,}}\!\mathrm {F} dt}{\operatorname {d} {\grave {\,}}\!s}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bdc01d0d2c58a82120948e74070c57bb4d57815)
qu’on traitera ainsi qu’on a fait ci-devant l’équation (P), et qui donnera par conséquent des conclusions semblables sur le mouvement des deux extrémités du fil. J’en laisse le détail au lecteur.
XXXIV.
Problème VIII. — Trouver le mouvement d’un corps de figure quelconque animé par des forces quelconques.
Solution — Soient nommées
chaque particule du corps,
sa vitesse et
l’espace qu’elle parcourt dans le temps
on aura, comme dans l’Article XXIX,
pour la formule qui doit être un maximum ou un minimum.
En suivant la méthode expliquée dans cet Article, on parviendra de même à l’équation (L)
![{\displaystyle -\int \mathrm {S} dm\left[\left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right)\delta x+\left(d{\frac {dy}{dt}}+\varpi dt\right)\delta y+\left(d{\frac {dz}{dt}}+\Psi dt\right)\delta z\right]=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d896ede570e665f9e3ded227843060e90a2c0f38)
et il n’y aura plus qu’à substituer dans cette équation les valeurs de
et
convenables à chaque particule du corps donné.
Pour trouver ces valeurs, je prends dans l’intérieur du corps un point quelconque fixe que j’appelle le centre de rotation et dont je suppose que la position soit représentée par les coordonnées rectangles
je rapporte à ce centre chacun des autres points du corps par le moyen de trois nouvelles coordonnées
prises dans les mêmes axes que les
j’ai ainsi
![{\displaystyle x=\mathrm {X} +p,\qquad y=\mathrm {Y} +q,\qquad z=\mathrm {Z} +r\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cc2bbe9dd785903879c4716f753688c3c78f33c)
par conséquent
![{\displaystyle dx=d\mathrm {X} +dp,\qquad dy=d\mathrm {Y} +dq,\qquad dz=d\mathrm {Z} +dr,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1791f200bbb993bb5aaa2869642a6f56309bedd9)
et de même
![{\displaystyle \delta x=\delta \mathrm {X} +\delta p,\qquad \delta y=\delta \mathrm {X} +\delta q,\qquad \delta z=\delta \mathrm {Z} +\delta r.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/436c9bc08669340be027c305b70a8369a99206e1)
Il s’agit maintenant de trouver les valeurs des différences de
pour chaque point du corps ; pour cela il faut considérer le mouvement du corps autour de son centre et déterminer les variations qui en résultent dans chacune des lignes
Or il est facile de voir que, quel que soit ce mouvement, il peut toujours être regardé comme formé de trois mouvements de rotation autour de trois axes perpendiculaires entre eux, et passant par le centre dont nous parlons ; donc, si l’on prend pour les axes de rotation ceux des coordonnées
on trouvera par un calcul très-simple que, tandis que le corps tourne autour de l’axe des
d’un mouvement angulaire
la ligne
croîtra de la quantité
et la ligne
décroîtra de la quantité
que de même, en nommant
l’angle de rotation autour de l’axe des
les lignes
et
deviendront par ce mouvement
et qu’enfin l’angle de rotation autour de l’axe des
étant
il en résultera dans la ligne
un accroissement égal à
et dans la ligne
un décroissement égal à
Donc, en ajoutant ensemble toutes ces différentes variations des lignes
et exprimant les variations totales par
on aura, en général,
(Q)
|
|
|
et par conséquent aussi, en changeant
en ![{\displaystyle \delta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/019f26293a6ac6d9e1521a005825cc3716cf12ed)
![{\displaystyle \delta p=r\delta \mathrm {Q} +q\delta \mathrm {R} ,\qquad \delta q=r\delta \mathrm {P} -p\delta \mathrm {R} ,\qquad \delta r=-q\delta \mathrm {P} -p\delta \mathrm {Q} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a9bcb9c25be4d85eb505bb38efcf924328c4398)
On aura donc par là
![{\displaystyle {\begin{aligned}\delta x\ =&\delta \mathrm {X} +r\delta \mathrm {Q} +q\delta \mathrm {R} ,\\\delta y\ =&\delta \mathrm {Y} +r\delta \mathrm {P} -p\delta \mathrm {R} ,\\\delta z\ =&\delta \mathrm {Z} -q\delta \mathrm {P} -p\delta \mathrm {Q} \,;\\{\frac {dx}{dt}}=&{\frac {d\mathrm {X} }{dt}}+r{\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}+q{\frac {d\mathrm {R} }{dt}},\\{\frac {dy}{dt}}=&{\frac {d\mathrm {Y} }{dt}}+r{\frac {d\mathrm {P} }{dt}}-p{\frac {d\mathrm {R} }{dt}},\\{\frac {dz}{dt}}=&{\frac {d\mathrm {Z} }{dt}}-q{\frac {d\mathrm {P} }{dt}}-p{\frac {d\mathrm {Q} }{dt}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/725dd1f481f71ab41534dc14f0741fb93bccd4e7)
d’où l’on tire
![{\displaystyle d{\frac {dx}{dt}}=d{\frac {d\mathrm {X} }{dt}}+rd{\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}+dr{\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}+qd{\frac {d\mathrm {R} }{dt}}+dq{\frac {d\mathrm {R} }{dt}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd395364052e977dafaa53a57b8c61721c84de0e)
savoir, en mettant pour
leurs valeurs,
![{\displaystyle d{\frac {dx}{dt}}=d{\frac {d\mathrm {X} }{dt}}+rd{\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}+qd{\frac {d\mathrm {R} }{dt}}-q{\frac {d\mathrm {P} d\mathrm {Q} }{dt}}-p{\frac {d\mathrm {Q} ^{2}}{dt}}+r{\frac {d\mathrm {P} d\mathrm {R} }{dt}}-p{\frac {d\mathrm {R} ^{2}}{dt}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68b2454783adec0415a31008c70efb5f5eb5da98)
on aura de la même manière
![{\displaystyle {\begin{aligned}d{\frac {dy}{dt}}=&d{\frac {d\mathrm {Y} }{dt}}+rd{\frac {d\mathrm {P} }{dt}}-pd{\frac {d\mathrm {R} }{dt}}\,-q{\frac {d\mathrm {P} ^{2}}{dt}}-p{\frac {d\mathrm {P} d\mathrm {Q} }{dt}}-r{\frac {d\mathrm {Q} d\mathrm {R} }{dt}}-q{\frac {d\mathrm {R} ^{2}}{dt}},\\d{\frac {dz}{dt}}=&d{\frac {d\mathrm {Z} }{dt}}\,-qd{\frac {d\mathrm {P} }{dt}}\,-pd{\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}-r{\frac {d\mathrm {P} ^{2}}{dt}}+p{\frac {d\mathrm {P} d\mathrm {R} }{dt}}-r{\frac {d\mathrm {Q} ^{2}}{dt}}-q{\frac {d\mathrm {Q} d\mathrm {R} }{dt}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/577140ddc5a39ea6d138be537f8fbbe8b1ff4b03)
Substituant ces valeurs dans l’équation (L) ci-dessus, et faisant sortir hors du signe
les quantités ![{\displaystyle d\mathrm {X} ,d\mathrm {Y} ,d\mathrm {Z} ,\delta \mathrm {X} ,\delta \mathrm {Y} ,\delta \mathrm {Z} ,d\mathrm {P} ,d\mathrm {Q} ,d\mathrm {R} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c466d9e4ea0195b583d399ceb2e6b9aafc0e9ebb)
qui sont les mêmes pour chaque point du corps, enfin ordonnant les termes par rapport à
on aura une équation de la forme suivante :
(S)
|
|
|
dans laquelle
![{\displaystyle {\begin{aligned}&[\mathrm {X} ]=\mathrm {M} d{\frac {d\mathrm {X} }{dt}}+\mathrm {S} rdm\left(d{\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}+{\frac {d\mathrm {P} d\mathrm {R} }{dt}}\right)+\mathrm {S} qdm\left(d{\frac {d\mathrm {R} }{dt}}-{\frac {d\mathrm {P} d\mathrm {Q} }{dt}}\right)\\&\qquad -\mathrm {S} pdm{\frac {d\mathrm {Q} ^{2}+d\mathrm {R} ^{2}}{dt}}+\mathrm {S} \Pi dm\,dt,\\&[\mathrm {Y} ]=\mathrm {M} d{\frac {d\mathrm {Y} }{dt}}+\mathrm {S} rdm\left(d{\frac {d\mathrm {P} }{dt}}+{\frac {d\mathrm {Q} d\mathrm {R} }{dt}}\right)+\mathrm {S} qdm{\frac {d\mathrm {P} ^{2}+d\mathrm {R} ^{2}}{dt}}\\&\qquad -\mathrm {S} pdm\left(d{\frac {d\mathrm {R} }{dt}}+{\frac {d\mathrm {P} d\mathrm {Q} }{dt}}\right)+\mathrm {S} \varpi dm\,dt,\\&[\mathrm {Z} ]=\mathrm {M} d{\frac {d\mathrm {Z} }{dt}}-\mathrm {S} rdm{\frac {d\mathrm {P} ^{2}+d\mathrm {Q} ^{2}}{dt}}-\mathrm {S} qdm\left(d{\frac {d\mathrm {P} }{dt}}+{\frac {d\mathrm {P} d\mathrm {R} }{dt}}\right)\\&\qquad -\mathrm {S} pdm\left(d{\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}+{\frac {d\mathrm {P} d\mathrm {R} }{dt}}\right)+\mathrm {S} \Psi dm\,dt.\\&[\mathrm {P} ]=\mathrm {S} rdm\,d{\frac {d\mathrm {Y} }{dt}}-\mathrm {S} qdm\,d{\frac {d\mathrm {Z} }{dt}}+\left(\mathrm {S} r^{2}dm+\mathrm {S} q^{2}dm\right)d{\frac {d\mathrm {P} }{dt}}\\&+\mathrm {S} pq\,dm\,d{\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}-\mathrm {S} pr\,dm\,d{\frac {d\mathrm {R} }{dt}}+\mathrm {S} qr\,dm\,{\frac {d\mathrm {Q} ^{2}-d\mathrm {R} ^{2}}{dt}}-\mathrm {S} pr\,dm{\frac {d\mathrm {P} d\mathrm {Q} }{dt}}\\&-\mathrm {S} pq\,dm{\frac {d\mathrm {P} d\mathrm {R} }{dt}}+\left(\mathrm {S} q^{2}dm-\mathrm {S} r^{2}dm\right){\frac {d\mathrm {Q} d\mathrm {R} }{dt}}+\mathrm {S} \varpi rdm\,dt-\mathrm {S} \Psi qdm\,dt.\\&[\mathrm {Q} ]=\mathrm {S} rdm\,d{\frac {d\mathrm {X} }{dt}}-\mathrm {S} qdm\,d{\frac {d\mathrm {Z} }{dt}}+\left(\mathrm {S} r^{2}dm+\mathrm {S} p^{2}dm\right)d{\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}\\&+\mathrm {S} pq\,dm\,d{\frac {d\mathrm {P} }{dt}}+\mathrm {S} qr\,dm\,d{\frac {d\mathrm {R} }{dt}}+\mathrm {S} pr\,dm\,{\frac {d\mathrm {P} ^{2}-d\mathrm {R} ^{2}}{dt}}-\mathrm {S} qr\,dm{\frac {d\mathrm {P} d\mathrm {Q} }{dt}}\\&+\mathrm {S} pq\,dm{\frac {d\mathrm {Q} d\mathrm {R} }{dt}}+\left(\mathrm {S} r^{2}dm-\mathrm {S} p^{2}dm\right){\frac {d\mathrm {P} d\mathrm {R} }{dt}}+\mathrm {S} \Pi rdm\,dt-\mathrm {S} \Psi pdm\,dt.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44859576aee5c735853ee89f1948cbb362f85841)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&[\mathrm {R} ]=\mathrm {S} qdm\,d{\frac {d\mathrm {X} }{dt}}-\mathrm {S} pdm\,d{\frac {d\mathrm {Y} }{dt}}+\left(\mathrm {S} p^{2}dm+\mathrm {S} q^{2}dm\right)d{\frac {d\mathrm {R} }{dt}}\\&+\mathrm {S} qr\,dm\,d{\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}-\mathrm {S} pr\,dm\,d{\frac {d\mathrm {P} }{dt}}+\mathrm {S} pq\,dm\,{\frac {d\mathrm {P} ^{2}-d\mathrm {Q} ^{2}}{dt}}+\mathrm {S} qr\,dm{\frac {d\mathrm {P} d\mathrm {R} }{dt}}\\&+\mathrm {S} pr\,dm{\frac {d\mathrm {Q} d\mathrm {R} }{dt}}+\left(\mathrm {S} p^{2}dm-\mathrm {S} q^{2}dm\right){\frac {d\mathrm {P} d\mathrm {Q} }{dt}}+\mathrm {S} \Pi qdm\,dt-\mathrm {S} \varpi pdm\,dt\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/562333cac068f978ccc4356b21ffe41f871d2689)
exprime la valeur de
savoir la masse entière du corps.
Cette équation donnera la solution du Problème en faisant, comme à l’ordinaire, les coefficients des différences marquées par
chacun en particulier égal à zéro, comme on va le voir dans les Corollaires suivants.
XXXV.
Remarque. — On peut simplifier les expressions de ![{\displaystyle \mathrm {[X],[Y],[Z]} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/077974723a5c53b2752d202876622b00793b88f8)
en faisant tomber le centre de rotation dans le centre de gravité du corps. Car alors les intégrales
qui expriment la somme des moments de toutes les particules du corps par rapport à ses trois axes de rotation, deviendront nécessairement égales à zéro, par la propriété connue de ce centre.
À l’égard des autres intégrales
il faut observer que leur valeur dépend de la position instantanée du corps, et qu’elle varie par conséquent avec le temps
En effet,
![{\displaystyle d(\mathrm {S} p^{2}dm)=\mathrm {S} d(p^{2}dm)=2\mathrm {S} p\,dp\,dm=2\mathrm {S} pr\,dm\,d\mathrm {Q} +2\mathrm {S} pq\,dm\,d\mathrm {R} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb9c8b4f3a33da456e864a8988632ad8de60f04d)
en mettant au lieu de
sa valeur
on trouvera de la même manière
![{\displaystyle {\begin{aligned}d\left(\mathrm {S} q^{2}dm\right)\,=&2(\mathrm {S} qr\,dm)d\mathrm {P} -2(\mathrm {S} pq\,dm)d\mathrm {R} ,\\d\left(\mathrm {S} r^{2}dm\right)\,=&-2(\mathrm {S} qr\,dm)d\mathrm {P} -2(\mathrm {S} pr\,dm)d\mathrm {Q} ,\\d(Spq\,dm)=&(\mathrm {S} pr\,dm)d\mathrm {P} +(\mathrm {S} qr\,dm)d\mathrm {Q} +\left(\mathrm {S} q^{2}dm-\mathrm {S} p^{2}dm\right)d\mathrm {R} ,\\d(Spr\,dm)=&-(\mathrm {S} pq\,dm)d\mathrm {P} +\left(\mathrm {S} r^{2}dm-\mathrm {S} p^{2}dm\right)d\mathrm {Q} +\left(\mathrm {S} q^{2}\,dm\right)d\mathrm {R} ,\\d(Sqr\,dm)=&\left(\mathrm {S} r^{2}dm-\mathrm {S} q^{2}dm\right)d\mathrm {P} -(\mathrm {S} pq\,dm)d\mathrm {Q} +(\mathrm {S} pr\,dm)d\mathrm {R} .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8a1d78561526d537c86f058c2b433532fa7ffc6)
Ce sont ces équations qui serviront à déterminer les valeurs générales des quantités
![{\displaystyle \mathrm {S} p^{2}dm,\mathrm {S} q^{2}dm,\mathrm {S} r^{2}dm,\mathrm {S} pqdm,\mathrm {S} prdm,\mathrm {S} qrdm}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcb5c66d4fbca41b02ecc257a8cc0af998081c8f)
qui entrent dans les expressions
![{\displaystyle \mathrm {[X],[Y]} ,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0616f5a48afa5b07765200ff8179ae54bef2beaf)
de l’équation (S) ; mais c’est de quoi il ne paraît pas facile de venir à bout, à cause de la difficulté d’intégrer ces sortes d’équations.
XXXVI.
Corollaire I. — Or, si le corps est entièrement libre, en sorte que les différences
n’aient entre elles aucun rapport déterminé, il faut, pour vérifier l’équation (S), faire les coefficients de ces différences chacun en particulier égal à zéro, ce qui donne les six équations ![{\displaystyle \mathrm {[X]=0,[Y]=0} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ce7cd6b1b9edb6c50d93bd4c5ecb895eb8d53be)
par où l’on peut connaître le mouvement du corps à chaque instant. Si l’on fait dans ces équations ![{\displaystyle \mathrm {S} pdm=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f34caa809d76f10aeb44a055a7985de14240fb5b)
selon l’hypothèse de l’Article précédent, les trois premières deviendront celles-ci :
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {M} d{\frac {d\mathrm {X} }{dt}}+\mathrm {S} \Pi dm\,dt=&0,\\\mathrm {M} d{\frac {d\mathrm {Y} }{dt}}+\mathrm {S} \varpi dm\,dt=&0,\\\mathrm {M} d{\frac {d\mathrm {Z} }{dt}}+\mathrm {S} \Psi dm\,dt=&0,\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26a96bf70c800fba569b6e6e91c9f11b1d88e0b0)
lesquelles montrent que le centre de gravité du corps se meut de la même manière que si toute la masse du corps était réunie dans ce centre.
Les trois autres équations ne contiendront que les variables
d’où dépend le mouvement de rotation du corps autour du centre de gravité ; ainsi ce mouvement sera tout à fait indépendant de celui du centre de gravité.
Imaginons que le corps ne tourne qu’autour d’un seul axe, on supposera, dans les équations
deux quelconques des trois variables
égales à zéro. Soient d’abord
égales à zéro, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left(\mathrm {S} r^{2}dm+\mathrm {S} q^{2}dm\right)d{\frac {d\mathrm {P} }{dt}}+\mathrm {S} \varpi r\,dm\,dt-\mathrm {S} \Psi qdm\,dt=0,\\&(\mathrm {S} pq\,dm)d{\frac {d\mathrm {P} }{dt}}+(\mathrm {S} pr\,dm){\frac {d\mathrm {P} ^{2}}{dt}}+\mathrm {S} \Pi rdm\,dt-\mathrm {S} \Psi pdm\,dt=0,\\-&(\mathrm {S} pr\,dm)d{\frac {d\mathrm {P} }{dt}}+(\mathrm {S} pq\,dm){\frac {d\mathrm {P} ^{2}}{dt}}+\mathrm {S} \Pi qdm\,dt-\mathrm {S} \varpi pdm\,dt=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/511afd6d07423bc724b19f5803803a32f7924d77)
On trouvera, de plus, par les formules données à la fin de l’Article précédent,
![{\displaystyle {\begin{aligned}d\left(\mathrm {S} r^{2}dm\right)+&d(\mathrm {S} q^{2}dm)=0,\\d(\mathrm {S} pq\,dm)=&(\mathrm {S} pr\,dm)d\mathrm {P} ,\\d(\mathrm {S} pr\,dm)=&-(\mathrm {S} pq\,dm)d\mathrm {P} ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49451a48acb36cebdee5ca20e7b84f4f01129208)
d’où
1
o![{\displaystyle \qquad \qquad \qquad \mathrm {S} r^{2}dm+\mathrm {S} q^{2}dm=\mathrm {const} .,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04ab2555b8571d326bffdbe43dacfaf72242294d)
constante que j’appellerai
2
o![{\displaystyle \qquad \qquad \qquad {\frac {d(\mathrm {S} pq\,dm)}{\mathrm {S} pr\,dm}}={\frac {d(\mathrm {S} pr\,dm)}{\mathrm {S} pq\,dm}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c49edee126980659d3bc9114abb4c90a7d51ff16)
savoir :
![{\displaystyle (\mathrm {S} pq\,dm)d(\mathrm {S} pq\,dm)=-(\mathrm {S} pr\,dm)d(\mathrm {S} pr\,dm),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f18b52bdefde5a369e13bb5e39d6cf64e1ea8d0)
ce qui donne, en intégrant et réduisant,
![{\displaystyle (\mathrm {S} pqdm)^{2}+(\mathrm {S} prdm)^{2}=\mathrm {const} .;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e96fbfd57c59ed6d93d3cc00d7a0d7c9eadb2697)
soit cette constante égale à
on aura
![{\displaystyle \mathrm {S} pr\,dm={\sqrt {\mathrm {B} ^{2}-(\mathrm {S} pq\,dm)^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23c531c966732f13568ab099ff250c08a2ec9aa9)
donc
![{\displaystyle {\frac {d(\mathrm {S} pq\,dm)}{\sqrt {\mathrm {B} ^{2}-(\mathrm {S} pq\,dm)^{2}}}}=d\mathrm {P} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9fd26883f3b1318bd81d119e5430cde94af7b63)
d’où
![{\displaystyle \mathrm {S} pq\,dm=\mathrm {B} \sin(\alpha +\mathrm {P} ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c3b6238ae54fe3799e1aa4b857a9d61b556ec64)
étant un angle constant tel, que
au commencement
de la rotation du corps ; par conséquent,
![{\displaystyle \mathrm {S} pr\,dm=\mathrm {B} \cos(a+\mathrm {P} )\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c14a0bb5ce9291eef8d540ae46452723283a1fac)
donc, si l’on substitue ces valeurs dans les trois équations ci-dessus, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {\mathrm {A} } d{\frac {d\mathrm {\mathrm {P} } }{dt}}+\mathrm {\mathrm {S} } \varpi rdm\,dt-\mathrm {\mathrm {S} } \Psi qdm\,dt=0,\\&\mathrm {B} \sin(\alpha +\mathrm {P} )d{\frac {d\mathrm {P} }{dt}}+\mathrm {B} \cos(\alpha +\mathrm {P} )d{\frac {d\mathrm {P} ^{2}}{dt}}+\mathrm {S} \Pi rdm\,dt-\mathrm {S} \Psi pdm\,dt=0,\\-&\mathrm {B} \cos(\alpha +\mathrm {P} )d{\frac {d\mathrm {P} }{dt}}+\mathrm {B} \sin(\alpha +\mathrm {P} )d{\frac {d\mathrm {P} ^{2}}{dt}}+\mathrm {S} \Pi qdm\,dt-\mathrm {S} \varpi pdm\,dt=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e6689c7d7c8776027099fbc2dea127f5202f9d7)
La première de ces équations étant multipliée par
et ensuite intégrée, donne
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {A} d\mathrm {P} ^{2}}{2dt^{2}}}+\int (\mathrm {S} \varpi rdm-\mathrm {S} \Psi qdm)d\mathrm {P} ={\frac {\mathrm {A} c^{2}}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f5a904f41f0ef03e61cb721c171be0c0b8cc054)
étant la valeur de
lorsque
c’est-à-dire la vitesse primitive de rotation ; donc, substituant dans la seconde et dans la troisième équation, au lieu de
et de
leurs valeurs, on aura, après avoir divisé par ![{\displaystyle dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/993271528b71660c0c4282c0d0b0f4cbf88e5e74)
![{\displaystyle {\begin{aligned}-\mathrm {\frac {B}{A}} &\sin(\alpha +\mathrm {P} )(\mathrm {S} \varpi rdm-\mathrm {S} \Psi qdm)\\&-\mathrm {\frac {2B}{A}} \cos(\alpha +\mathrm {P} )\int (\mathrm {S} \varpi rdm-\mathrm {S} \Psi qdm)d\mathrm {P} \\&\qquad +\mathrm {B} c^{2}\cos(\alpha +\mathrm {P} )+\mathrm {S} \Pi rdm-\mathrm {S} \Psi pdm)=0,\\\\\mathrm {\frac {B}{A}} &\cos(\alpha +\mathrm {P} )(\mathrm {S} \varpi rdm-\mathrm {S} \Psi qdm)\\&-\mathrm {\frac {2B}{A}} \sin(\alpha +\mathrm {P} )\int (\mathrm {S} \varpi rdm-\mathrm {S} \Psi qdm)d\mathrm {P} \\&\qquad +\mathrm {B} c^{2}\sin(\alpha +\mathrm {P} )+\mathrm {S} \Pi qdm-\mathrm {S} \varpi pdm)=0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/618d8f58289a046985fca029e9f79b00c0fc19d4)
et ces équations renfermeront les conditions nécessaires pour que le corps tourne librement autour d’un axe immobile.
Si les forces
sont nulles, ou constantes, ou bien si elles sont proportionnelles à
on a
![{\displaystyle \mathrm {S} \varpi rdm-\mathrm {S} \Psi qdm=0,\ \ \mathrm {S} \Pi rdm-\mathrm {S} \Psi pdm=0,\ \ \mathrm {S} \Pi qdm-\mathrm {S} \varpi pdm=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/349ea520866b4ec83a2e89afba250e2ee36422c6)
par conséquent,
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {P} ^{2}}{dt^{2}}}=c^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5482bc834009d48c7db01e9d42eee41fa7149e04)
c’est-à-dire que le mouvement de rotation est uniforme, et les équations précédentes se réduisent à
![{\displaystyle \mathrm {B} c^{2}\cos(\alpha +\mathrm {P} )=0,\qquad \mathrm {B} c^{2}\sin(\alpha +\mathrm {P} )=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78cd135b67986a50e63a435af37b9c0e4d4b0cf5)
ce qui donne
on aura donc
![{\displaystyle {\sqrt {(\mathrm {S} pq\,dm)^{2}+(\mathrm {S} pr\,dm)^{2}}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3d645f0de804ad1212ba2e9abb1ccdc49996a84)
ce qui ne peut arriver, à moins que l’on n’ait
Voilà donc les conditions par lesquelles on déterminera la position de l’axe de rotation au dedans du corps. Il est clair que ces conditions sont suffisantes pour une telle détermination, puisqu’on sait que la position d’une droite qui passe par un point donné ne dépend que de deux variables.
Soient maintenant
![{\displaystyle d\mathrm {P} =0,\quad d\mathrm {R} =0\quad {\text{ou}}\quad d\mathrm {P} =0,\quad d\mathrm {Q} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19928ad2106f428fb0f1bd4dcac1133088eaae83)
dans les équations
![{\displaystyle \mathrm {[P]=0,\quad [Q]=0,\quad [R]=0} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e50e5f610693645147bdcc2b5454c8b008426e87)
on trouvera, par des procédés semblables à ceux que nous venons de pratiquer, les conditions de la rotation du corps autour de deux autres axes.
Dans la supposition de
![{\displaystyle \mathrm {S} \varpi rdm-\mathrm {S} \Psi qdm=0,\ \ \mathrm {S} \Pi rdm-\mathrm {S} \Psi pdm=0,\ \ \mathrm {S} \Pi qdm-\mathrm {S} \varpi pdm=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e90240eded9b4a917430a1e08bd821994d54166c)
les équations dont il s’agit seront
![{\displaystyle {\begin{aligned}&(\mathrm {S} pq\,dm)d{\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}+(\mathrm {S} qr\,dm){\frac {d\mathrm {Q} ^{2}}{dt}}=0,\\&\left(\mathrm {S} r^{2}dm+\mathrm {S} p^{2}dm\right)d{\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}=0,\\&(\mathrm {S} qr\,dm)d{\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}-(\mathrm {S} pq\,dm){\frac {d\mathrm {Q} ^{2}}{dt}}=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/842d021d8551eaced9ba9d6dbf558e7eaf6ae929)
pour le cas où
et
![{\displaystyle {\begin{aligned}-&(\mathrm {S} pr\,dm)d{\frac {d\mathrm {R} }{dt}}-(\mathrm {S} qr\,dm){\frac {d\mathrm {R} ^{2}}{dt}}=0,\\&(\mathrm {S} qr\,dm)d{\frac {d\mathrm {R} }{dt}}-(\mathrm {S} pr\,dm){\frac {d\mathrm {R} ^{2}}{dt}}=0,\\&\left(\mathrm {S} p^{2}dm+\mathrm {S} q^{2}dm\right)d{\frac {d\mathrm {R} }{dt}}=0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b89f2be81453112e68d5c2714bc50f7ce02be82)
pour le cas où ![{\displaystyle d\mathrm {P} =0,\ d\mathrm {Q} =0,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7aa69847f6d41bd1172f96e5709563f0b678c75)
Dans le premier cas on aura donc
c’est-à-dire que la rotation sera uniforme, et de plus
pour la détermination de l’axe de rotation.
Le second cas donnera pareillement
savoir la rotation uniforme, et
pour la détermination de son axe.
On trouvera donc trois axes fixes autour de chacun desquels le corps
pourra tourner librement et uniformément, en cherchant dans ce corps la position de trois droites, qui passent par son centre de gravité, et qui soient telles que
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\mathrm {S} pq\,dm=&0,\qquad &\mathrm {S} pr\,dm=&0,\\\mathrm {S} qr\,dm=&0,&\mathrm {S} pq\,dm=&0,\\\mathrm {S} qr\,dm=&0,&\mathrm {S} pr\,dm=&0,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe71cd6a6dcb4d1d0a03fd2660f52d909d36080c)
savoir :
![{\displaystyle \mathrm {S} pq\,dm=0,\quad \mathrm {S} pr\,dm=0,\quad \mathrm {S} qr\,dm=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d637c99b34332e4dc8efc2ba3c4d7fc7e35ba8c9)
étant les coordonnées rectangles qui déterminent la position de chaque particule du corps par rapport à chacune de ces droites ; d’où il
est aisé de conclure que les trois axes de rotation dont il s’agit sont nécessairement perpendiculaires entre eux.
Au reste, quel que soit le mouvement du corps autour de son centre de gravité, il y aura toujours un axe instantané de rotation qui passera par ce centre, et qui sera facile à déterminer dès qu’on connaîtra les mouvements angulaires
Soient
les coordonnées qui répondent à chacun des points placés dans l’axe dont nous parlons : il est clair que ces points devant être immobiles pour un instant, on doit avoir
![{\displaystyle {\begin{aligned}dp'=&r'd\mathrm {Q} +q'd\mathrm {R} =0,\\dq'=&r'd\mathrm {P} \ -p'd\mathrm {R} =0,\\dr'=&-q'd\mathrm {P} -p'd\mathrm {Q} =0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72c7a8085cb35480ac50511820d269e6fe0d9ecd)
équations dont la troisième est, comme on le voit, une suite nécessaire des deux premières ; c’est pourquoi on fera simplement
![{\displaystyle r'd\mathrm {Q} +q'd\mathrm {R} =0,\qquad r'd\mathrm {P} -p'd\mathrm {R} =0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bac7f3f486feb18513db5e0074b2c9febcae009)
ce qui, en regardant
comme variables, et
comme constantes, donne une droite dont la position est aisée à déterminer par rapport aux axes des coordonnées ![{\displaystyle p',q',r'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83bcce58a18280a516e4be19e7c7f99c9feb0afa)
Dans le premier instant du mouvement on a, en faisant ![{\displaystyle d\mathrm {P} =0,\ d\mathrm {Q} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7ac0dbe504120f1a20236d34f078a5b306eaf42)
dans les équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left(\mathrm {S} r^{2}dm+\mathrm {S} q^{2}dm\right)d{\frac {d\mathrm {P} }{dt}}+(\mathrm {S} pq\,dm)d{\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}-(\mathrm {S} pr\,dm)d{\frac {d\mathrm {R} }{dt}}&\\+\mathrm {S} \varpi r\,dm\,dt-\mathrm {S} \Psi q\,dm\,dt&=0,\\\left(\mathrm {S} r^{2}dm+\mathrm {S} p^{2}dm\right)d{\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}+(\mathrm {S} pq\,dm)d{\frac {d\mathrm {P} }{dt}}-(\mathrm {S} qr\,dm)d{\frac {d\mathrm {R} }{dt}}&\\+\mathrm {S} \Pi r\,dm\,dt-\mathrm {S} \Psi p\,dm\,dt&=0,\\\left(\mathrm {S} p^{2}dm+\mathrm {S} q^{2}dm\right)d{\frac {d\mathrm {R} }{dt}}+(\mathrm {S} qr\,dm)d{\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}-(\mathrm {S} pr\,dm)d{\frac {d\mathrm {P} }{dt}}&\\+\mathrm {S} \Pi q\,dm\,dt-\mathrm {S} \varpi p\,dm\,dt&=0\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd413a808dbf1d9471fb190fd11831075d8c3fcd)
de plus, les équations
![{\displaystyle r'd\mathrm {Q} +q'd\mathrm {R} =0,\qquad r'd\mathrm {P} -p'd\mathrm {R} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff9436f5f8b3575b795fe8ca4d5a844f9301f5a1)
étant divisées par
![{\displaystyle dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebee76a835701fd1f26047a09855f2ea36bb08fc)
et ensuite différentiées, donnent, à cause de
![{\displaystyle d\mathrm {P} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dac671bfad9334ea024d6c6031d8d7e8920d4ba2)
![{\displaystyle r'd{\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}+q'd{\frac {d\mathrm {R} }{dt}}=0,\qquad r'd{\frac {d\mathrm {P} }{dt}}-p'd{\frac {d\mathrm {R} }{dt}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91cfcc6c5da0927428e062aa4cbb6b2cc45493f8)
d’où l’on tire
![{\displaystyle d{\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}=-{\frac {q'}{r'}}d{\frac {d\mathrm {R} }{dt}},\qquad d{\frac {d\mathrm {P} }{dt}}={\frac {p'}{r'}}d{\frac {d\mathrm {R} }{dt}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f787b1a4ca5d48ec2d7fe8bc6fbe405b2cfee1d4)
ces valeurs substituées dans les équations ci-devant, on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left[\left(\mathrm {S} r^{2}dm+\mathrm {S} q^{2}dm\right){\frac {p'}{r'}}+(\mathrm {S} pq\,dm){\frac {q'}{r'}}-\mathrm {S} pr\,dm\right]d{\frac {d\mathrm {R} }{dt}}\quad &\\+\mathrm {S} \varpi r\,dm\,dt-\mathrm {S} \Psi q\,dm&dt=0,\\\left[-\left(\mathrm {S} r^{2}dm+\mathrm {S} p^{2}dm\right){\frac {q'}{r'}}+(\mathrm {S} pq\,dm){\frac {p'}{r'}}-\mathrm {S} qr\,dm\right]d{\frac {d\mathrm {R} }{dt}}&\\+\mathrm {S} \Pi r\,dm\,dt-\mathrm {S} \Psi p\,dm&dt=0,\\\left[\mathrm {S} p^{2}dm+\mathrm {S} q^{2}dm-(\mathrm {S} qr\,dm){\frac {q'}{r'}}-(\mathrm {S} pr\,dm){\frac {p'}{r'}}\right]d{\frac {d\mathrm {R} }{dt}}\quad &\\+\mathrm {S} \Pi q\,dm\,dt-\mathrm {S} \varpi p\,dm&dt=0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17f52904f7606e46c751c15a04972056d8d87bce)
et, en éliminant
dt
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\left(\mathrm {S} r^{2}dm+\mathrm {S} q^{2}dm\right)p'-(\mathrm {S} pq\,dm)q'-(\mathrm {S} pr\,dm)r'}{(\mathrm {S} pq\,dm)p'-\left(\mathrm {S} r^{2}dm+\mathrm {S} p^{2}dm\right)q'+(\mathrm {S} qr\,dm)r'}}={\frac {\mathrm {S} \Psi q\,dm-\mathrm {S} \varpi r\,dm}{\mathrm {S} \Psi p\,dm-\mathrm {S} \Pi r\,dm}},\\&{\frac {\left(\mathrm {S} r^{2}dm+\mathrm {S} q^{2}dm\right)p'-(\mathrm {S} pq\,dm)q'-(\mathrm {S} pr\,dm)r'}{-(\mathrm {S} pr\,dm)p'-\left(\mathrm {S} r'dm+\mathrm {S} q^{2}dm\right)q'+(\mathrm {S} qr\,dm)r'}}={\frac {\mathrm {S} \Psi q\,dm-\mathrm {S} \varpi r\,dm}{\mathrm {S} \varpi p\,dm-\mathrm {S} \Pi q\,dm}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0dbaf4778649813c7a247f50cf203ce80cbbcf94)
équations qui donnent le rapport des coordonnées
entre elles, et par conséquent la position de l’axe de rotation au commencement du mouvement.
XXXVII.
Corollaire II. — Si le corps n’est pas absolument libre, mais qu’un de ses points quelconque soit obligé de se mouvoir sur une surface donnée, alors, prenant ce point pour le centre de rotation, et supposant la surface exprimée par l’équation
![{\displaystyle d\mathrm {Z} =md\mathrm {X} +nd\mathrm {Y} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efed0ac86e639bdbc41173c294e97dd315bd3021)
on ne fera que mettre, dans l’équation (S),
pour
et l’on aura, au lieu des trois équations
ces deux-ci :
![{\displaystyle \mathrm {[X]+m[Z]=0,\qquad [Y]+n[Z]=0} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65acc30bd736faa6c43f3d4435c422f57a7ed8b7)
les trois autres ne recevant aucun changement. Mais si, pour simplifier les expressions de
on veut que le centre de rotation soit le centre de même de gravité du corps, suivant la Remarque de l’Article XXXV alors on ne doit plus prendre
pour les coordonnées de la surface proposée, mais
étant les coordonnées qui déterminent la position du point qui se meut sur cette surface par rapport au centre de gravité ; on aura donc
![{\displaystyle d\mathrm {Z} +dr'=m(d\mathrm {X} +dp')+n(d\mathrm {Y} +dq'),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b704bfe2c7d26c2a25ce7bfc0e4189e0245974ba)
et mettant au lieu de
leurs valeurs
![{\displaystyle r'd\mathrm {Q} +q'd\mathrm {R} ,\qquad r'd\mathrm {P} -p'd\mathrm {R} ,\qquad -q'd\mathrm {P} -p'd\mathrm {Q} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/642a5db39769f45967ecb629acdce1a90c73f794)
et ordonnant les termes,
![{\displaystyle d\mathrm {Z} =md\mathrm {X} +nd\mathrm {Y} +(q'+nr')d\mathrm {P} +(p'+mr')d\mathrm {Q} +(mr'-np')d\mathrm {R} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/270dc1897f94101c2ddba7743c14823137dc9efa)
on trouvera par un raisonnement semblable
![{\displaystyle \delta \mathrm {Z} =m\delta \mathrm {X} +n\delta \mathrm {Y} +(q'+nr')\delta \mathrm {P} +(p'+mr')\delta \mathrm {Q} +(mq'-np')\delta \mathrm {R} \,:}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1ab9eb9d27eedf2a37aeacf9e8a1e3e93135153)
donc, substituant cette valeur de
dans l’équation (S), et faisant les coefficients des différences restantes chacun égal à zéro, on aura les cinq équations
![{\displaystyle [\mathrm {X} ]+m[\mathrm {Z} ]=0,\qquad [\mathrm {Y} ]+n[\mathrm {Z} ]=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3baff2630559ec5c01f5b123312411ec21434a2)
![{\displaystyle [\mathrm {P} ]+(q'+nr')-[\mathrm {Z} ]=0,\ \ [\mathrm {Q} ]+(p'+mr')[\mathrm {Z} ]=0,\ \ [\mathrm {R} ]+[mr'-np')[\mathrm {Z} ]=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec00b72dd81c405240c2df460f8d52745ced774f)
et pour la sixième équation on prendra celle qu’on a trouvée ci-dessus.
savoir
![{\displaystyle d\mathrm {Z} =md\mathrm {X} +nd\mathrm {Y} +(q'+nr')d\mathrm {P} +\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a1ed42d78731c1df99ab0388b6716d2d9774b10)
Mais si l’on supposait que le point qui répond aux coordonnées
fût fixement attaché, alors on ferait
![{\displaystyle \delta \mathrm {X} +dp'=0,\qquad d\mathrm {Y} +dq'=0,\qquad d\mathrm {Z} +dr'=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c3bb214b359587c04b98c99ca9b74d67928c3bd)
ce qui donnerait, en mettant au lieu de
leurs valeurs,
![{\displaystyle d\mathrm {X} =-r'd\mathrm {Q} -q'd\mathrm {R} ,\qquad d\mathrm {Y} =-r'd\mathrm {P} +p'd\mathrm {R} ,\qquad d\mathrm {Z} =q'd\mathrm {P} +p'd\mathrm {Q} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7380ee5da3112d4d3b712ab276e4f3e9466a382)
on aurait par la même raison
![{\displaystyle \delta \mathrm {X} =-r'\delta \mathrm {Q} -q'\delta \mathrm {R} ,\qquad \delta \mathrm {Y} =-r'\delta \mathrm {P} +p'\delta \mathrm {R} ,\qquad \delta \mathrm {Z} =q'\delta \mathrm {P} +p'\delta \mathrm {Q} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a58a0aed6cf583481497a531fe7c795af5d8d9de)
et, ces valeurs substituées dans l’équation (S), on trouverait, en faisant les coefficients de
chacun égal à zéro, les trois équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}-r'[\mathrm {Y} ]+q'\mathrm {[Z]+[P]} =0,\\-r'[\mathrm {X} ]+q'\mathrm {[Z]+[Q]} =0,-q'[\mathrm {X} ]+p'\mathrm {[Y]+[R]} =0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6243b2c8d210c3a02e5da11cc5c257f0de00883d)
XXXVIII.
Corollaire III. — Imaginons que le corps soit posé sur un plan ou sur une surface quelconque le long de laquelle il puisse glisser librement, en tournant sur lui-même d’une manière quelconque ; soient
les coordonnées de la superficie du corps, et
![{\displaystyle dr'=\mathrm {M} dp'+\mathrm {N} dq'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b66d3697ceffffa6fe81aad8d283b143a3ec2c7f)
son équation différentielle, il est clair :
1o Que tandis que le corps a ses divers mouvements ![{\displaystyle d\mathrm {X} ,d\mathrm {Y} ,d\mathrm {Z} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1c96070b1a6166d384b04667d47826b5c4cedac)
chaque point de sa surface parcourt les espaces
![{\displaystyle d\mathrm {X} +r'd\mathrm {Q} +q'd\mathrm {R} ,\qquad d\mathrm {Y} +r'd\mathrm {P} -p'd\mathrm {R} ,\qquad d\mathrm {Z} -q'd\mathrm {P} -p'd\mathrm {Q} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3612cd715e30e4e7d8d44876138dbc8667c9f2d)
dans la direction des coordonnées ![{\displaystyle \mathrm {X,Y,Z} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50abc1162e613f2414bc28be2b315b3f25ef40c0)
Que le point d’attouchement, étant mobile sur cette surface, parcourra de plus dans les mêmes directions les espaces
![{\displaystyle dp',dq',dr',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88ea36af9d5c7ceca484da1c0d4ec2c45729c8ec)
savoir
![{\displaystyle dp',dq',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b005b0529728205ec3ba9ee34767b9fcd09ca20c)
![{\displaystyle \mathrm {M} dp'+\mathrm {N} dq',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42f0949424783111dec91d1dd975c0146a9ce8f9)
d’où il suit que les espaces entiers parcourus par le point touchant seront
![{\displaystyle {\begin{aligned}d\mathrm {X} &+r'd\mathrm {Q} +q'd\mathrm {R} +dp',\\d\mathrm {Y} &+r'd\mathrm {P} -p'd\mathrm {R} +dq',\\d\mathrm {Z} &-q'd\mathrm {P} -p'd\mathrm {Q} +\mathrm {M} dp'+\mathrm {N} dq'.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bb7bce7b1aa74071b409cbb52f5aa94274739fb)
Or, ce point devant aussi se mouvoir sur une surface représentée par l’équation
![{\displaystyle d\mathrm {Z} =md\mathrm {X} +nd\mathrm {Y} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efed0ac86e639bdbc41173c294e97dd315bd3021)
ou bien
![{\displaystyle dz=mdx+ndy,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7e4c366ba69b7dcbda88ebc7319c6c467d95286)
en appelant
les coordonnées de cette surface pour les distinguer des
qui appartiennent au centre de gravité du corps, il faudra mettre dans cette équation, au lieu de
les quantités qu’on vient de trouver, ce qui donnera après les réductions
![{\displaystyle {\begin{aligned}d\mathrm {Z} =&md\mathrm {X} +nd\mathrm {Y} +-(q'+nr')d\mathrm {P} +(p'+mr')d\mathrm {Q} +(mq'-np')d\mathrm {R} \\&+(m-\mathrm {M} )dp'+(n-\mathrm {N} )dq'.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/490f6dc75a30e7f02798b2043a09347780ebbd88)
Cette équation appartiendrait en général à tous les points dans lesquels la superficie du corps pourrait rencontrer la surface proposée ; mais dans notre cas, où l’on veut que les deux surfaces se touchent, il faudra de plus supposer qu’elles aient les mêmes tangentes dans leurs points de rencontre, c’est-à-dire que
donc l’équation trouvée se réduira à
![{\displaystyle d\mathrm {Z} =md\mathrm {X} +nd\mathrm {Y} +(q'+nr')d\mathrm {P} +(p'+mr')d\mathrm {Q} +(mq'-np')d\mathrm {R} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/746b88b665398b471e2b6c25bd31b5426c245c2d)
Par les mêmes raisonnements, on trouvera, en considérant les différences marquées par
![{\displaystyle \delta \mathrm {Z} =m\delta \mathrm {X} +n\delta \mathrm {Y} +(q'+nr')\delta \mathrm {P} +(p'+mr')\delta \mathrm {Q} +(mq'-np')\delta \mathrm {R} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b0d90300ff0d34a8973c85310193ea2ca7bc9fa)
Il n’y aura donc plus qu’à substituer cette valeur de
![{\displaystyle \delta \mathrm {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2431e717a1911e83f9a54eb692f99509a50b966)
dans l’équation (S), et à égaler ensuite à zéro chacun des coefficients des différences
![{\displaystyle \delta \mathrm {X} ,\delta \mathrm {Y} ,\delta \mathrm {P} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b707df860a67e6b9f60038df0f5d50d4c65b493)
![{\displaystyle \delta \mathrm {Q} ,\delta \mathrm {R} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e814974ed133b43954a8ca7cbc40961292755da8)
ce qui donnera les cinq équations
![{\displaystyle [\mathrm {X} ]+m[\mathrm {Z} ]=0,\qquad [\mathrm {Y} ]+n[\mathrm {Z} ]=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3baff2630559ec5c01f5b123312411ec21434a2)
![{\displaystyle [\mathrm {P} ]+(q'+nr')[\mathrm {Z} ]=0,\ \ [\mathrm {Q} ]+(p'+mr')[\mathrm {Z} ]=0,\ \ [\mathrm {R} ]+(mq'-np')[\mathrm {Z} ]=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/666b0d94a00fa616653eaa0dba11715504d48c5d)
lesquelles étant jointes avec l’équation ci-dessus,
![{\displaystyle d\mathrm {Z} =md\mathrm {X} +nd\mathrm {Y} +(q'+nr')d\mathrm {P} +\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fe087930e150274dd4e7b667bb455cda4ba3cec)
serviront à déterminer le mouvement du corps.
Si l’on voulait que le corps n’eût à chaque instant qu’un mouvement autour du point touchant, c’est-à-dire qu’il n’eût aucun mouvement pour glisser le long de la surface sur laquelle il se meut, alors il est clair que les espaces parcourus par le point d’attouchement sur la surface dont nous parlons et sur celle du corps devraient être exactement les mêmes ; il faudrait donc que
![{\displaystyle {\begin{aligned}d\mathrm {X} &+r'd\mathrm {Q} +q'd\mathrm {R} +dp'=dp',\\d\mathrm {Y} &+r'd\mathrm {P} -p'd\mathrm {R} +dq'=dq',\\d\mathrm {Z} &-q'd\mathrm {P} -p'd\mathrm {R} +dr'=dr',\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cf6618d90a288bcce0cbc1f9670c022cdaeced2)
savoir
![{\displaystyle d\mathrm {X} +r'd\mathrm {Q} +q'd\mathrm {R} =0,\ \ d\mathrm {Y} +r'd\mathrm {P} -p'd\mathrm {R} =0,\ \ d\mathrm {Z} -q'd\mathrm {P} -p'd\mathrm {R} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e89c38af663958877558bb28c48b5109591772ff)
et pareillement
![{\displaystyle \delta \mathrm {X} +r'\delta \mathrm {Q} +q'\delta \mathrm {R} =0,\ \ \delta \mathrm {Y} +r'\delta \mathrm {P} -p'\delta \mathrm {R} =0,\ \ \delta \mathrm {Z} -q'\delta \mathrm {P} -p'\delta \mathrm {R} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb0123a7fa1d1c330dff66041713db3b64dc87e0)
d’où l’on aurait pour
les mêmes valeurs que dans le second cas de l’Article XXXVII et ces valeurs substituées dans l’équation (S) donneraient par conséquent aussi les mêmes équations pour le mouvement du corps, mais avec cette différence que les coordonnées
répondraient ici non plus à un point fixe, mais à un point mobile qui change continuellement de place tant sur la surface du corps que sur celle le long de laquelle le corps se meut.
XXXIX.
Scolie. — Les expressions
sont en général
![{\displaystyle {\begin{aligned}&[\mathrm {X} ]=\mathrm {M} d{\frac {d\mathrm {X} }{dt}}+\mathrm {S} (d{\frac {dp}{dt}}+\Pi dt)dm,\\&[\mathrm {Y} ]=\mathrm {M} d{\frac {d\mathrm {Y} }{dt}}+\mathrm {S} (d{\frac {dq}{dt}}+\varpi dt)dm,\\&[\mathrm {Z} ]=\mathrm {M} d{\frac {d\mathrm {Z} }{dt}}+\mathrm {S} (d{\frac {dr}{dt}}+\Psi dt)dm,\\\\&[\mathrm {P} ]=(\mathrm {S} rdm){\frac {d\mathrm {Y} }{dt}}-(\mathrm {S} qdm)d{\frac {d\mathrm {Z} }{dt}}\\&\qquad +\mathrm {S} \left(d{\frac {dq}{dt}}+\varpi dt\right)rdm-\mathrm {S} \left(d{\frac {dr}{dt}}+\Psi dt\right)qdm.\\&[\mathrm {Q} ]=(\mathrm {S} rdm){\frac {d\mathrm {X} }{dt}}-(\mathrm {S} pdm)d{\frac {d\mathrm {Z} }{dt}}\\&\qquad +\mathrm {S} \left(d{\frac {dp}{dt}}+\Pi dt\right)rdm-\mathrm {S} \left(d{\frac {dr}{dt}}+\Psi dt\right)pdm.\\&[\mathrm {R} ]=(\mathrm {S} qdm){\frac {d\mathrm {X} }{dt}}-(\mathrm {S} pdm)d{\frac {d\mathrm {Y} }{dt}}\\&\qquad +\mathrm {S} \left(d{\frac {dp}{dt}}+\Pi dt\right)qdm-\mathrm {S} \left(d{\frac {dq}{dt}}+\varpi dt\right)pdm.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8083191a79b5b8430633e32fc059818b42638363)
Dans les formules de l’Article XXXIV nous avons mis à la place de
leurs valeurs tirées de l’équation (Q), et cette substitution a introduit les quantités
qui ne peuvent être déterminées que par l’intégration des équations données dans l’Article XXXV. Or, pour éviter cet embarras, il n’y aura qu’à exprimer les coordonnées
par d’autres variables, dont les unes dépendent uniquement de la situation du corps et soient par conséquent les mêmes pour chacun de ses points, et les autres au contraire soient différentes pour tous les points du corps et demeurent toujours les mêmes pendant qu’il change de situation. Pour cela, ayant imaginé deux axes perpendiculaires l’un à l’autre, qui passent par le centre de rotation et qui demeurent toujours fixes au dedans du corps, on remarquera : 1o que la position de ces deux axes relativement à un plan fixe quelconque ne dépend que de trois variables qu’on peut nommer
2o que la position de chaque point du corps, relativement à ces axes, dépend encore de trois autres variables que j’appellerai
d’où il suit que la position de chaque point du corps par rapport à un plan fixe quelconque dépendra en tout de six variables
et qu’ainsi les quantités
ne seront que des fonctions de ces mêmes variables, fonctions toujours faciles à déterminer par les éléments de Géométrie. Ayant donc trouvé les valeurs de
en
on en tirera aisément celles de
en faisant varier
on substituera ensuite toutes ces valeurs dans les expressions ci-dessus, et l’on intégrera les termes affectés du signe
en regardant
comme variables, après quoi il ne restera plus de variables que les
qui représentent la position du corps à chaque instant.
Au reste les expressions de
dont nous venons de parler peuvent servir aussi à trouver les valeurs des différences
Soient en général pour chaque point du corps, c’est-à-dire en regardant
comme constantes,
![{\displaystyle {\begin{aligned}dp=&\mathrm {A} d\mathrm {P+B} d\mathrm {Q+C} d\mathrm {R} ,\\dq=&\mathrm {D} d\mathrm {P+E} d\mathrm {Q+F} d\mathrm {R} ,\\dr=&\mathrm {G} d\mathrm {P+H} d\mathrm {Q+I} d\mathrm {R} ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8caf146168b4681344454c83eae6c6861166d3f2)
on aura également
![{\displaystyle {\begin{aligned}\delta p=&\mathrm {A} \delta \mathrm {P+B} \delta \mathrm {Q+C} \delta \mathrm {R} ,\\\delta q=&\mathrm {D} \delta \mathrm {P+E} \delta \mathrm {Q+F} \delta \mathrm {R} ,\\\delta r=&\mathrm {G} \delta \mathrm {P+H} \delta \mathrm {Q+I} \delta \mathrm {R} ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5c19c932b6cc60082eb08d3ab1f52ccfa124621)
et par conséquent
![{\displaystyle {\begin{aligned}\delta x=\delta \mathrm {X} +&\delta p=\delta \mathrm {X+A} \delta \mathrm {P+B} \delta \mathrm {Q+C} \delta \mathrm {R} ,\\\delta y=\delta \mathrm {Y} +&\delta q=\delta \mathrm {Y+D} \delta \mathrm {P+E} \delta \mathrm {Q+F} \delta \mathrm {R} ,\\\delta z=\delta \mathrm {Z} +&\delta r\,=\delta \mathrm {Z+G} \delta \mathrm {P+H} \delta \mathrm {Q+I} \delta \mathrm {R} .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a38874ead338ce7df3953d7f45b8600d1d5d00f)
Substituant ces valeurs dans l’équation (L), on aura une équation de la même forme que (S), dans laquelle les quantités
seront exprimées comme ci-dessus, et les
auront les valeurs suivantes :
![{\displaystyle {\begin{aligned}&[\mathrm {P} ]=(\mathrm {SA} dm)d{\frac {d\mathrm {X} }{dt}}+(\mathrm {SD} dm)d{\frac {d\mathrm {Y} }{dt}}+(\mathrm {SG} dm)d{\frac {d\mathrm {Z} }{dt}}\\&\qquad +\mathrm {S} \left[\left(d{\frac {dp}{dt}}+\Pi dt\right)\mathrm {A} +\left(d{\frac {dq}{dt}}+\varpi dt\right)\mathrm {D} +\left(d{\frac {dr}{dt}}+\Psi dt\right)\mathrm {G} \right]dm.\\&[\mathrm {Q} ]=(\mathrm {SB} dm)d{\frac {d\mathrm {X} }{dt}}+(\mathrm {SE} dm)d{\frac {d\mathrm {Y} }{dt}}+(\mathrm {SH} dm)d{\frac {d\mathrm {Z} }{dt}}\\&\qquad +\mathrm {S} \left[\left(d{\frac {dp}{dt}}+\Pi dt\right)\mathrm {B} +\left(d{\frac {dq}{dt}}+\varpi dt\right)\mathrm {E} +\left(d{\frac {dr}{dt}}+\Psi dt\right)\mathrm {H} \right]dm.\\&[\mathrm {R} ]=(\mathrm {SC} dm)d{\frac {d\mathrm {X} }{dt}}+(\mathrm {SF} dm)d{\frac {d\mathrm {Y} }{dt}}+(\mathrm {SI} dm)d{\frac {d\mathrm {Z} }{dt}}\\&\qquad +\mathrm {S} \left[\left(d{\frac {dp}{dt}}+\Pi dt\right)\mathrm {C} +\left(d{\frac {dq}{dt}}+\varpi dt\right)\mathrm {F} +\left(d{\frac {dr}{dt}}+\Psi dt\right)\mathrm {I} \right]dm.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52d751b22f3c08c25ed5184eae7f28c3b8c5bf0c)
Je laisse au lecteur le détail de l’application de cette équation, qui n’aura aucune difficulté, après ce que nous avons dit dans les Corollaires précédents.
XL.
Problème IX. — Trouver les lois du mouvement des fluides non élastiques.
Solution. — Il est visible que l’équation (L), qui a servi pour résoudre le Problème précédent, a encore lieu ici, cette équation étant générale pour un système quelconque de corpuscules
agités par des forces quelconques
Soit
la densité de chaque particule du fluide
on aura
![{\displaystyle dm=\mathrm {D} \operatorname {d} x\operatorname {d} y\operatorname {d} z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c6ae72960a2c9dea7bf1f212dd5565a9b552ceb)
et l’équation dont il s’agit sera
![{\displaystyle (a)\quad \left\{{\begin{aligned}\int \mathrm {S} ^{3}\operatorname {d} x\operatorname {d} y\operatorname {d} z\mathrm {D} \left[\left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right)\delta x+\left(d{\frac {dy}{dt}}+\varpi dt\right)\delta y\ \ \right.&\\\left.+\left(d{\frac {dz}{dt}}+\Psi dt\right)\delta z\right]&=0.\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf98558957645b7a8d6962e1456d82ed790e0203)
Je mets l’exposant
![{\displaystyle ^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73c05e3410279c99fc3d8b9fcdaa15b71a98772a)
au signe
![{\displaystyle \mathrm {S} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9044c1a27dd84b9c1aa9cc2c1b6cd36f3f956ffb)
pour exprimer les trois intégrations que ce signe renferme, relativement aux trois variables
![{\displaystyle x,y,z,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d08d690d7e19ea7aee8574fc6abd6a15d97fa026)
intégrations que nous aurons souvent occasion dans la suite de considérer chacune en particulier.
Maintenant, comme le fluide est supposé incompressible, il faut que le volume de chaque particule
lequel est exprimé par
reste toujours le même ; on aura donc
![{\displaystyle \operatorname {d} y\operatorname {d} zd\operatorname {d} x+\operatorname {d} x\operatorname {d} zd\operatorname {d} y+\operatorname {d} x\operatorname {d} yd\operatorname {d} z=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25653e1b34f4ad264c70e7e68b8c55f465cc7912)
savoir
![{\displaystyle {\frac {d\operatorname {d} x}{\operatorname {d} x}}+{\frac {d\operatorname {d} y}{\operatorname {d} y}}+{\frac {d\operatorname {d} z}{\operatorname {d} z}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0578ea5c9b4d5e83a7ad425e130484e752e24200)
ou, en mettant
au lieu de ![{\displaystyle d\operatorname {d} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65296bec8637b0ef4c87d3f05de7a187c0c230c3)
![{\displaystyle (b)\qquad \qquad \qquad \qquad {\frac {\operatorname {d} dx}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} dy}{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} dz}{\operatorname {d} z}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/220d6879eb24139be6c020f1bd5b4c95b2a84540)
On aura par la même raison
![{\displaystyle \operatorname {d} y\operatorname {d} z\delta \operatorname {d} x+\operatorname {d} x\operatorname {d} z\delta \operatorname {d} y+\operatorname {d} x\operatorname {d} y\delta \operatorname {d} z=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f30d721f3ab5a045271940d2ff7ee528aed5d954)
ou bien
![{\displaystyle \operatorname {d} y\operatorname {d} z\operatorname {d} \delta x+\operatorname {d} x\operatorname {d} z\operatorname {d} \delta y+\operatorname {d} x\operatorname {d} y\operatorname {d} \delta z=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1cc71981f26e5ed7b5bd27393d1812d2cc21902)
ce qui donne
![{\displaystyle \operatorname {d} \delta x=-\operatorname {d} x\left({\frac {\operatorname {d} \delta y}{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} \delta z}{\operatorname {d} z}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aedb347094ab18d864079dec036c766956a991bd)
et par conséquent
![{\displaystyle (c)\quad \qquad \qquad \mathrm {S} \operatorname {d} \delta x=\delta x=\delta {\grave {\,}}\!x-\mathrm {S} \operatorname {d} x\left({\frac {\operatorname {d} \delta y}{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} \delta z}{\operatorname {d} z}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df3264255f9d9ebeddd7cf50e1178c5ed2beccff)
est la valeur de
quand l’intégrale
est nulle ; or, comme cette intégrale doit être prise en variant seulement
il s’ensuit que la quantité
sera constante par rapport à
mais variable par rapport à
et
c’est-à-dire que cette quantité sera une fonction de
et ![{\displaystyle z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd7f273b229260c8fe9aa42378b0471336394cc2)
Donc, mettant dans l’équation
, à la place de
la valeur qu’on vient de trouver, l’expression intégrale
![{\displaystyle \mathrm {S} ^{3}\operatorname {d} x\operatorname {d} y\operatorname {d} z\mathrm {D} \left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right)\delta x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a35227d22bb767a6e6e9a069a6d2173575e0d455)
se changera en celle-ci :
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {S} ^{3}\operatorname {d} x\operatorname {d} y\operatorname {d} z\mathrm {D} \left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right)\delta {\grave {\,}}\!x\\-&\mathrm {S} ^{3}\operatorname {d} x\operatorname {d} y\operatorname {d} z\left[\mathrm {D} \left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right)\mathrm {S} \operatorname {d} x\left({\frac {\operatorname {d} \delta y}{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} \delta z}{\operatorname {d} z}}\right)\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e93f091e21773d8847c51a588e8af9ef6da8956)
J’écris d’abord le premier membre transformé ainsi :
![{\displaystyle \mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} y\operatorname {d} z\mathrm {S} \operatorname {d} x\mathrm {D} \left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right)\delta {\grave {\,}}\!x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c919a7dedaee05886f0b2fe9da4b28f0af4e68ad)
expression qu’on voit bien être équivalente à la proposée. Or, soit la valeur totale de
![{\displaystyle \mathrm {S} dx\mathrm {D} \left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cc16036a0b8fb45b44ff99e0e7bbfacd94caeb3)
exprimée par
il est clair qu’on aura, à cause que
est constant par rapport à ![{\displaystyle x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/feff4d40084c7351bf57b11ba2427f6331f5bdbe)
![{\displaystyle \mathrm {S} dx\mathrm {D} \left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right)\delta {\grave {\,}}\!x=\delta {\grave {\,}}\!x\mathrm {S} dx\mathrm {D} \left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right)=\delta {\grave {\,}}\!x\mathrm {T} dt\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dff12d3a7b1db9debd900f664c081c05bbcfac6a)
donc
![{\displaystyle \mathrm {S} ^{3}\operatorname {d} x\operatorname {d} y\operatorname {d} z\mathrm {D} \left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right)\delta {\grave {\,}}\!x=\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} y\operatorname {d} z\mathrm {T} dt\delta {\grave {\,}}\!x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b199986b567df0d2e0245f40da557920a9d85285)
Je mets de même le second membre sous la forme suivante :
![{\displaystyle \mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} y\operatorname {d} z\mathrm {S} \operatorname {d} x\left[\mathrm {D} \left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right)\mathrm {S} \operatorname {d} x\left({\frac {\operatorname {d} \delta y}{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} \delta z}{\operatorname {d} z}}\right)\right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d31db5f4c5428b98e3ce4d638a0f4c19beddbaad)
j’opère sur l’intégrale
![{\displaystyle \mathrm {S} \operatorname {d} x\left[\mathrm {D} \left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right)\mathrm {S} \operatorname {d} x\left({\frac {\operatorname {d} \delta y}{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} \delta z}{\operatorname {d} z}}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/678f21f842753a75d15a1562b7dc3ba8e774ad97)
suivant la méthode de l’Article IX Mémoire précédent : j’aurai, en sup-
posant, pour abréger,
![{\displaystyle \mathrm {U} dt=\mathrm {T} dt-\mathrm {S} \operatorname {d} x\mathrm {D} \left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f001072cc5db027ffe71f62ca306c65859010e1)
la transformée
![{\displaystyle \mathrm {S} \operatorname {d} x\mathrm {U} dt\left({\frac {\operatorname {d} \delta y}{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} \delta z}{\operatorname {d} z}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01e0059c296167afe79e451650abcbbaa2b5e27a)
où il n’y a plus qu’un seul signe d’intégration ; la formule proposée deviendra donc
![{\displaystyle \mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} y\operatorname {d} z\mathrm {S} \operatorname {d} x\mathrm {U} dt\left({\frac {\operatorname {d} \delta y}{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} \delta z}{\operatorname {d} z}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa978c6c604a3ca85b0072d48346f3834ea89995)
ou, ce qui est la même chose,
![{\displaystyle \mathrm {S} ^{3}\operatorname {d} x\operatorname {d} y\operatorname {d} z\mathrm {U} dt\left({\frac {\operatorname {d} \delta y}{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} \delta z}{\operatorname {d} z}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd9a3b32897abe71a5db22ca04f3fa14f75a2fb6)
dans laquelle il ne s’agit plus que de faire disparaître les différences de
et ![{\displaystyle \delta z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae10d4362d6fec6d0d35a94049e7ec3e02055b7f)
Pour cela il est nécessaire de distinguer d’abord les intégrations relatives à la variabilité de
et de
en mettant cette intégrale sous la forme suivante :
![{\displaystyle \mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} x\operatorname {d} z\mathrm {S} \operatorname {d} y{\frac {\mathrm {U} dt\operatorname {d} \delta y}{\operatorname {d} y}}+\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} x\operatorname {d} \operatorname {y} \mathrm {S} \operatorname {d} z{\frac {\mathrm {U} dt\operatorname {d} \delta z}{\operatorname {d} z}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4e6d4e06a91b0f1ced9c76132c80809cf289557)
Or, par la méthode ordinaire des intégrations par parties, on trouve
![{\displaystyle \mathrm {S} \operatorname {d} y{\frac {\mathrm {U} dt\operatorname {d} \delta y}{\operatorname {d} y}}=\mathrm {U} dt\delta y-\mathrm {S} \operatorname {d} y{\frac {\operatorname {d} (\mathrm {U} dt)}{\operatorname {d} y}}\delta y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfe5e141321038a957844a498060e0b7e7a5e673)
J’écris
au lieu de
qui lui est égal, pour dénoter que cette intégrale, de même que la différentielle
doit être prise en ne considérant que la variabilité de
seul. Soient maintenant
la valeur de
lorsque l’intégrale
commence, et
sa valeur lorsque cette intégrale finit ; et soit exprimé par
ce que devient
en y mettant
à la place de
et par
ce que la même quantité devient en faisant
on trouvera, par la Remarque faite à la fin
de l’Article I du Mémoire précédent, que la valeur complète du terme
![{\displaystyle \mathrm {U} dt\delta y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/167f92e61013d9b0e426f945155f8eb3f2442832)
sera
Mais pour peu qu’on réfléchisse sur la nature de nos formules, il est aisé de voir que quand
l’intégrale
est nulle, et que quand
cette intégrale est précisément égale à
c’est pourquoi l’on aura
et
donc enfin
![{\displaystyle \mathrm {S} \operatorname {d} y{\frac {\mathrm {U} dt\operatorname {d} \delta y}{\operatorname {d} y}}=-\mathrm {T} \delta {\grave {\,}}\!y-\mathrm {S} \operatorname {d} y{\frac {\operatorname {d} (\mathrm {U} dt)}{\operatorname {d} y}}\delta y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fd442ee4d09276bbff7498218aba2b0dd50979e)
On trouvera par des opérations et des raisonnements semblables
![{\displaystyle \mathrm {S} \operatorname {d} z{\frac {-\mathrm {U} dt\operatorname {d} \delta z}{\operatorname {d} z}}=-\mathrm {T} \delta {\grave {\,}}\!z-\mathrm {S} \operatorname {d} z{\frac {\operatorname {d} (\mathrm {U} dt)}{\operatorname {d} z}}\delta z\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a24c666030b203c0f28c2ada40212f94dd98f42)
donc
![{\displaystyle \mathrm {S} ^{3}\operatorname {d} x\operatorname {d} y\operatorname {d} z\mathrm {U} dt\left({\frac {\operatorname {d} \delta y}{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} \delta z}{\operatorname {d} z}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b60417232eab5b647f41a458f115e96b49287e84)
se changera en
![{\displaystyle {\begin{aligned}&-\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} x\operatorname {d} z\mathrm {T} dt\delta {\grave {\,}}\!y-\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} x\operatorname {d} z\mathrm {S} \operatorname {d} y{\frac {\operatorname {d} (\mathrm {U} dt)}{\operatorname {d} y}}\delta y\\&-\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} x\operatorname {d} y\mathrm {T} dt\delta {\grave {\,}}\!z-\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} x\operatorname {d} y\mathrm {S} \operatorname {d} z{\frac {\operatorname {d} (\mathrm {U} dt)}{\operatorname {d} z}}\delta z,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0f4cff414b1238d8c392c210e85f4ae986d0b4a)
ou, en réduisant,
![{\displaystyle -\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} x\operatorname {d} z\mathrm {T} dt\delta {\grave {\,}}\!y-\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} x\operatorname {d} z\mathrm {T} dts\delta {\grave {\,}}\!z-\mathrm {S} ^{3}\operatorname {d} x\operatorname {d} y\operatorname {d} z\left({\frac {\operatorname {d} (\mathrm {U} dt)}{\operatorname {d} y}}\delta y+{\frac {\operatorname {d} (\mathrm {U} dt)}{\operatorname {d} z}}\delta z\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4355bb9333fc25d0888b5abbf63f0d97ae484e4)
donc
![{\displaystyle \mathrm {S} ^{3}\operatorname {d} x\operatorname {d} y\operatorname {d} z\mathrm {D} \left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right)\delta x=\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} y\operatorname {d} z\mathrm {T} dt\delta {\grave {\,}}\!x-\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} x\operatorname {d} z\mathrm {T} dt\delta {\grave {\,}}\!y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dbbe6b015fa0297c6e2f718ac8a370eca16fec4)
![{\displaystyle -\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} x\operatorname {d} y\mathrm {T} dt\delta {\grave {\,}}\!z+\mathrm {S} ^{3}\operatorname {d} x\operatorname {d} y\operatorname {d} z\left({\frac {\operatorname {d} (\mathrm {U} dt)}{\operatorname {d} y}}\delta y+{\frac {\operatorname {d} (\mathrm {U} dt)}{\operatorname {d} z}}\delta z\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15ce88e3d65f1f41d614ac520fc35f6b845bb8e5)
donc l’équation
deviendra
![{\displaystyle (d)\quad \left\{{\begin{aligned}\int &\left(\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} y\operatorname {d} z\mathrm {T} dt\delta {\grave {\,}}\!x+\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} x\operatorname {d} z\mathrm {T} dt\delta {\grave {\,}}\!y+\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} x\operatorname {d} y\mathrm {T} dt\delta {\grave {\,}}\!z\right)\\&+\int \mathrm {\mathrm {S} } ^{3}\operatorname {d} x\operatorname {d} y\operatorname {d} z\left\{\left[{\frac {\operatorname {d} (\mathrm {\mathrm {U} } dt)}{\operatorname {d} y}}+\mathrm {D} \left(d{\frac {dy}{dt}}+\varpi dt\right)\right]\delta y\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.+\left[{\frac {\operatorname {d} (\mathrm {\mathrm {U} } dt)}{\operatorname {d} z}}+\mathrm {D} \left(d{\frac {dz}{dt}}+\Psi dt\right)\right]\delta z\right\}=0\,;\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/206f50c6ecb1fba21d8391f91799363108e7e933)
d’où l’on tire pour le mouvement de chaque particule du fluide en général
![{\displaystyle (e)\qquad \qquad \qquad \left\{{\begin{aligned}{\frac {\operatorname {d} (\mathrm {U} dt)}{\operatorname {d} y}}+\mathrm {D} \left(d{\frac {dy}{dt}}+\varpi dt\right)=&0,\\{\frac {\operatorname {d} (\mathrm {U} dt)}{\operatorname {d} z}}+\mathrm {D} \left(d{\frac {dz}{dt}}+\Pi dt\right)=&0.\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a2a6db6b24fa9cca3b30aa6fe03e5ed53031518)
Ensuite, pour satisfaire au reste de l’équation, on fera
![{\displaystyle (f)\qquad \mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} y\operatorname {d} z\mathrm {T} dt\delta {\grave {\,}}\!x+\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} x\operatorname {d} z\mathrm {T} dt\delta {\grave {\,}}\!y+\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} x\operatorname {d} y\mathrm {T} dt\delta {\grave {\,}}\!z=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9dcf75827811e597007e1317516b2395f26097d3)
XLI.
Corollaire I. — La valeur de
est
![{\displaystyle \mathrm {T} dt-\mathrm {S} \operatorname {d} x\mathrm {D} \left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea2c87380a203d7e1e5ef7ace0fc20a5126dd9c1)
l’intégrale étant prise en variant seulement
on substituera donc cette valeur dans les équations
mais, pour pouvoir faire disparaître le signe
on prendra les différentielles de ces deux équations en supposant
seul variable, ce qui donnera, en mettant pour
sa valeur
deux équations
![{\displaystyle (g)\qquad \qquad \left\{{\begin{aligned}{\frac {\operatorname {d} \left[\mathrm {D} \left(d{\cfrac {dx}{dt}}+\Pi dt\right)\right]}{\operatorname {d} y}}=&{\frac {\operatorname {d} \left[\mathrm {D} \left(d{\cfrac {dx}{dt}}+\varpi dt\right)\right]}{\operatorname {d} x}},\\{\frac {\operatorname {d} \left[\mathrm {D} \left(d{\cfrac {dx}{dt}}+\Pi dt\right)\right]}{\operatorname {d} z}}=&{\frac {\operatorname {d} \left[\mathrm {D} \left(d{\cfrac {dz}{dt}}+\Psi dt\right)\right]}{\operatorname {d} x}},\\\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0375eb9394bad1807efe915e232e484ce3867a3f)
qui jointes à l’équation
trouvée ci-dessus feront connaître les valeurs de
pour un temps quelconque.
XLII.
Corollaire II. — Telles sont les équations par lesquelles on peut déterminer en général le mouvement d’un fluide non élastique sollicité par des forces quelconques
qui agissent suivant des directions quelconques, ou bien par des forces
dirigées suivant les lignes
comme il est aisé de le voir en examinant les valeurs de ces quantités
(Article I).
Pour mieux connaître les équations dont il s’agit, exprimons par
les vitesses de chaque particule du fluide parallèlement aux coordonnées
c’est-à-dire les valeurs de
on aura, en divisant par
![{\displaystyle (h)\qquad \qquad \left\{{\begin{aligned}\operatorname {d} {\frac {\left(\mathrm {D} {\cfrac {d\alpha }{dt}}\right)}{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Pi )}{\operatorname {d} y}}=&\operatorname {d} {\frac {\left(\mathrm {D} {\cfrac {d\beta }{dt}}\right)}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \varpi )}{\operatorname {d} x}},\\\operatorname {d} {\frac {\left(\mathrm {D} {\cfrac {d\alpha }{dt}}\right)}{\operatorname {d} z}}+{\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Pi )}{\operatorname {d} z}}=&\operatorname {d} {\frac {\left(\mathrm {D} {\cfrac {d\gamma }{dt}}\right)}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Psi )}{\operatorname {d} x}},\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f689f904197637fa6d063c358709b59d05126ada)
![{\displaystyle (i)\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\frac {\operatorname {d} \alpha }{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} \beta }{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} \gamma }{\operatorname {d} z}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fca03d7046a02f297f9a00f3fa787adce5f37def)
On voit par ces équations que les quantités
sont nécessairement des fonctions des variables
qui déterminent la position des particules à chaque instant, et du temps écoulé depuis le commencement du mouvement ; or, dans l’instant
il est clair que les variables
deviennent ![{\displaystyle x+\alpha dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c47dc829affc3c331fa45f94450d9e4861bac22)
donc les variations des quantités
dans cet instant ne seront pas seulement
mais
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\alpha }{dt}}dt+{\frac {d\alpha }{dx}}\alpha dt+&{\frac {d\alpha }{dy}}\beta dt+{\frac {d\alpha }{dz}}\gamma dt,\\{\frac {d\beta }{dt}}dt+{\frac {d\beta }{dx}}\alpha dt+&{\frac {d\beta }{dy}}\beta dt+{\frac {d\beta }{dz}}\gamma dt,\\{\frac {d\gamma }{dt}}dt+{\frac {d\gamma }{dx}}\alpha dt+&{\frac {d\gamma }{dy}}\beta dt+{\frac {d\gamma }{dz}}\gamma dt,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fae5208e3456c8923c2893ab1c4f88563ce81b27)
et telles seront les valeurs de
donc, si on substitue ces valeurs dans les équations
et qu’on suppose pour plus de simplicité les forces
nulles ou telles que
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Pi )}{\operatorname {d} y}}={\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \varpi )}{\operatorname {d} x}},\qquad {\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Pi )}{\operatorname {d} z}}={\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Psi )}{\operatorname {d} x}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5857c658cd1e4294cc613daf16d0110bb0a189d9)
et de plus la densité
![{\displaystyle \mathrm {D} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c894024162d89aa8502758b2151cb579806ea9a)
constante, on aura, en divisant par
![{\displaystyle \mathrm {D} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c894024162d89aa8502758b2151cb579806ea9a)
et marquant toutes les différences par
![{\displaystyle d,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b42a115d30706dde56ddece71bb4248da2115d6)
ce qui est absolument indifférent ici,
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\alpha }{dtdy}}+\alpha {\frac {d^{2}\alpha }{dxdy}}+\beta {\frac {d^{2}\alpha }{dy^{2}}}+\gamma {\frac {d^{2}\alpha }{dydz}}+{\frac {d\alpha }{dx}}{\frac {d\alpha }{dy}}+{\frac {d\alpha }{dy}}{\frac {d\beta }{dy}}+{\frac {d\alpha }{dz}}{\frac {d\gamma }{dy}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afb8b37f4d769d885f36b518614ba71850100700)
![{\displaystyle ={\frac {d^{2}\beta }{dtdx}}+\alpha {\frac {d^{2}\beta }{dx^{2}}}+\beta {\frac {d^{2}\beta }{dxdy}}+\gamma {\frac {d^{2}\beta }{dxdz}}+{\frac {d\beta }{dx}}{\frac {d\alpha }{dx}}+{\frac {d\beta }{dy}}{\frac {d\beta }{dx}}+{\frac {d\beta }{dz}}{\frac {d\gamma }{dx}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a93f34ae40d5ddef5b17d5572dfea553ad58f74)
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\alpha }{dtdz}}+\alpha {\frac {d^{2}\alpha }{dxdz}}+\beta {\frac {d^{2}\alpha }{dydz}}+\gamma {\frac {d^{2}\alpha }{dz^{2}}}+{\frac {d\alpha }{dx}}{\frac {d\alpha }{dz}}+{\frac {d\alpha }{dy}}{\frac {d\beta }{dz}}+{\frac {d\alpha }{dz}}{\frac {d\gamma }{dz}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d01ce954aa8b1b3c8166e6794e9d2db544cdeafb)
![{\displaystyle ={\frac {d^{2}\gamma }{dtdx}}+\alpha {\frac {d^{2}\gamma }{dx^{2}}}+\beta {\frac {d^{2}\gamma }{dxdy}}+\gamma {\frac {d^{2}\gamma }{dxdz}}+{\frac {d\gamma }{dx}}{\frac {d\alpha }{dx}}+{\frac {d\gamma }{dy}}{\frac {d\beta }{dx}}+{\frac {d\gamma }{dz}}{\frac {d\gamma }{dx}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6672515bd37931d48ab861242ac509d2ffe18c7d)
Ces équations peuvent s’abréger en supposant
![{\displaystyle {\frac {d\alpha }{dy}}-{\frac {d\beta }{dx}}=\mu ,\qquad {\frac {d\alpha }{dz}}-{\frac {d\gamma }{dx}}=\nu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe2880b14acba3ac730751b95c3d6b4c191cf415)
ce qui les réduira à
![{\displaystyle (h)\left\{{\begin{aligned}{\frac {d\mu }{dt}}+\alpha {\frac {d\mu }{dx}}+\beta {\frac {d\mu }{dy}}+\gamma {\frac {d\mu }{dz}}+\mu \left({\frac {d\alpha }{dx}}+{\frac {d\beta }{dy}}\right)+{\frac {d\alpha }{dz}}{\frac {d\gamma }{dy}}-{\frac {d\beta }{dz}}{\frac {d\gamma }{dx}}=&0.\\{\frac {d\nu }{dt}}+\alpha {\frac {d\nu }{dx}}+\beta {\frac {d\nu }{dy}}+\gamma {\frac {d\nu }{dz}}+\nu \left({\frac {d\alpha }{dx}}+{\frac {d\beta }{dy}}\right)+{\frac {d\alpha }{dy}}{\frac {d\beta }{dz}}-{\frac {d\gamma }{dy}}{\frac {d\beta }{dx}}=&0.\\\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c690741330e532657c8765ac66bff0fb5131d89)
On peut satisfaire à ces deux équations, en faisant
![{\displaystyle \mu ={\frac {d\alpha }{dy}}-{\frac {d\beta }{dx}}=0,\qquad \nu ={\frac {d\alpha }{dz}}-{\frac {d\gamma }{dx}}=0,\qquad {\frac {d\beta }{dz}}-{\frac {d\gamma }{dy}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/047acf6ba7590aa4fc0799d99ffa66ee3bcac3a5)
comme il est facile de s’en assurer ; or la troisième de ces conditions est évidemment une suite nécessaire des deux premières ; donc on n’aura réellement que deux conditions à remplir, lesquelles pourront s’exprimer plus simplement en disant que
doit être une différentielle complète ; et ces conditions jointes avec celle que donne l’équation
savoir, en changeant
en ![{\displaystyle d,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b42a115d30706dde56ddece71bb4248da2115d6)
![{\displaystyle {\frac {d\alpha }{dx}}+{\frac {d^{2}\beta }{dy^{2}}}+{\frac {d\gamma }{dz}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9667c1ef40ad2a59e564f586bbecb41686eaebcd)
serviront à déterminer les mouvements du fluide dans plusieurs cas particuliers.
Ces cas se réduisent à ceux où l’on suppose que les particules du fluide décrivent des courbes invariables, ce qui arrive quand les rapports des vitesses
sont indépendants du temps
c’est-à-dire quand les quantités
sont simplement des fonctions de
multipliées par une même fonction de
Car, soit mis dans les équations générales
à la place de
(
étant une fonction quelconque de
et
étant maintenant regardées comme des fonctions indéterminées de
sans
), on trouvera, après avoir divisé par
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mu }{\theta ^{2}}}{\frac {d\theta }{dt}}+\alpha {\frac {d\mu }{dx}}+\beta {\frac {d\mu }{dy}}+\gamma {\frac {d\mu }{dz}}+\mu \left({\frac {d\alpha }{dx}}+{\frac {d\beta }{dy}}\right)+{\frac {d\alpha }{dz}}{\frac {d\gamma }{dy}}-{\frac {d\beta }{dz}}{\frac {d\gamma }{dx}}=&0,\\{\frac {\nu }{\theta ^{2}}}{\frac {d\theta }{dt}}+\alpha {\frac {d\nu }{dx}}+\beta {\frac {d\nu }{dy}}+\gamma {\frac {d\nu }{dz}}+\nu \left({\frac {d\alpha }{dx}}+{\frac {d\beta }{dy}}\right)+{\frac {d\alpha }{dy}}{\frac {d\beta }{dz}}-{\frac {d\gamma }{dy}}{\frac {d\beta }{dx}}=&0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2d9254f93b082bb1e6a06c07733f9bd53de1bb4)
Or, comme les termes
sont les seuls qui renferment
il faut nécessairement qu’ils soient égaux à zéro séparément de tous les autres, pour que les équations soient possibles ; on aura donc
ce qui satisfait encore au reste de l’une et de l’autre équation, comme on l’a vu plus haut.
Il y a pourtant un cas où les équations précédentes peuvent être vérifiées sans supposer
et
c’est celui où l’on aura
![{\displaystyle {\frac {1}{\theta ^{2}A}}{\frac {d\theta }{dt}}=\mathrm {const} .,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3633677e99741769ee728872c1a6326ee0221cc3)
c’est-à-dire où
![{\displaystyle {\frac {1}{\theta }}=a-bt\quad {\text{et}}\quad \theta ={\frac {1}{a-bt}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cfc422ee9edd1752c52b6818beddc8cebe79845)
et
étant deux constantes quelconques ; car alors les termes ![{\displaystyle {\frac {\mu }{\theta ^{2}}}{\frac {d\theta }{dt}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2cd894df2ac5a761e29dd02f026ffb607946051)
se trouveront entièrement indépendants du temps
ainsi que tous les autres.
Au reste, en combinant les équations
avec l’équation
. on peut séparer les indéterminées
et l’on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}\alpha }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\alpha }{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}\alpha }{dz^{2}}}=0,\\{\frac {d^{2}\beta }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\beta }{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}\beta }{dz^{2}}}=0,\\{\frac {d^{2}\gamma }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\gamma }{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}\gamma }{dz^{2}}}=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f80386a75ceb8520b89bac72cfeb41cd158e5b1c)
XLIII.
Remarque. — Quand on aura trouvé, par le moyen des équations de l’Article précédent, les valeurs générales de
il faudra de plus déterminer ces valeurs, en sorte que les particules contigués aux parois du vase dans lequel le fluide se meut puissent couler le long de ces parois ; soient
leurs coordonnées, et
![{\displaystyle dz'=pdx'+qdy'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0871dfa4917afb8d05295b93a2db40b0987a3dd)
l’équation qui représente la figure du vase donné, en mettant, au lieu de
leurs valeurs
dénotant les valeurs de
lorsque
deviennent
on aura l’équation
![{\displaystyle \gamma '=p\alpha '+q\beta ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c882a57caba5c9a74d2e0ba45b89057e8c9a4b2)
qui devra être vraie indépendamment de ![{\displaystyle t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07)
Dans le cas où le temps
n’entre point dans le rapport des vitesses
il est clair qu’il n’entrera pas non plus dans l’équation
![{\displaystyle \gamma '=p\alpha '+q\beta '\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a5cd5d7b7c11e1d36aaa96ead0a6c9a71ec283f)
mais alors les valeurs de
étant beaucoup moins générales, il pourra arriver que cette équation ne se vérifie qu’en supposant que les quantités
aient certaines conditions, c’est-à-dire que le vase ait une certaine figure ; c’est ce que M. d’Alembert a déjà remarqué dans un excellent Mémoire sur les lois du mouvement des fluides, imprimé dans le premier volume de ses Opuscules mathématiques. Mais ce savant Géo-
mètre prétend de plus que, lorsque le vase aura une autre figure quelconque, le mouvement du fluide ne pourra plus être soumis au calcul : c’est de quoi je ne saurais tomber d’accord avec lui ; car il me semble que tout ce qu’il faudrait conclure alors, c’est que la supposition particulière de
![{\displaystyle \mu =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3753282c0ad2ea1e7d63f39425efd13c37da3169)
et
![{\displaystyle \nu =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7229c47b5bc20ef0a1371a4f3c09459ccb6909ff)
cesserait d’être exacte, et que par conséquent les valeurs de
![{\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/301cc1b37ba8f0fb0c9bedee5efa5e0b5bc9e791)
dépendraient de la résolution générale des équations
Il est vrai que M. d’Alembert prétend que les équations
sont les seules vraiment exactes pour déterminer les lois du mouvement des fluides ; il se fonde sur ce que le rapport des vitesses
doit être indépendant du temps
dans les particules qui coulent le long des parois du vase ; d’où il infère qu’il doit l’être aussi en général dans toutes les particules du fluide ; mais cette conséquence, si j’ose le dire, ne me paraît point assez juste. En effet, on peut très-bien imaginer, ce me semble, des fonctions de
telles, que la variable
ne disparaisse de l’expression de leur rapport que lorsque
deviennent
et sont liées par l’équation
![{\displaystyle dz'=pdx'+qdy'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cd30fd0cc12c12aeb7f5003d531538e8e817ed5)
En général, il me paraît certain qu’en résolvant les équations
par des méthodes analogues à celles que j’ai expliquées dans les Recherches sur le Son, imprimées ci-devant, on aura une solution applicable à tous les cas possibles, et par laquelle on pourra déterminer le mouvement des fluides qui se meuvent dans des vases de figure quelconque, et qui ont reçu au commencement des impulsions quelconques.
Il ne pourra y avoir de difficulté que dans les seuls cas où le fluide se divisera en se mouvant et cessera de former une masse continue ; mais alors, ayant trouvé par le calcul, ce qui est toujours possible, les endroits où le fluide doit se diviser en plusieurs portions, on considérera ensuite chaque portion à part, et on en déterminera le mouvement en la regardant comme une masse isolée.
Nous avons observé dans l’Article précédent qu’il y a un cas où les équations
ne sont pas indispensables dans l’hypothèse que les rapports des vitesses
\alpha,\beta,\gamma
soient indépendants du temps
M. d’Alembert a fait aussi cette remarque dans l’Article X de son Mémoire cité ci-dessus ; mais il trouve, par ses formules, que le cas dont il s’agit est celui où
![{\displaystyle \theta =ac',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97fcfa56e968e90450a653e282ef68877b89772b)
au lieu que, suivant les nôtres, ce cas est celui où
![{\displaystyle \theta ={\frac {1}{a-bt}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bb42ebfc0a89ba95365127baebc82878af2aa46)
Or cette différence vient d’une légère méprise qui s’est glissée dans les calculs de M. d’Alembert, mais qui n’influe d’ailleurs en rien sur le reste de ses ingénieuses recherches.
Pour faire sentir la vérité de ce que nous avançons ici, examinons les équations que M. d’Alembert donne dans l’Article I du Mémoire cité pour les fluides pesants qui se meuvent dans un plan. Ces équations sont :
1
o![{\displaystyle \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\frac {dp}{dz}}=-{\frac {dq}{dx}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ab000d4bad0f916c469137eeedcb7cc9e7e5bfd)
2
o![{\displaystyle \qquad \qquad {\frac {d(g-\mathrm {B} \theta p-\mathrm {A} \theta q-q\mathrm {T} )}{dz}}={\frac {d(-\theta q\mathrm {A} -\theta p\mathrm {B} '-p\mathrm {T} )}{dx}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/839ce92481a542f49fbc432d654c2e54515d699c)
est la gravité,
est une fonction quelconque de
comme ci-dessus ;
expriment les vitesses que nous avons nommées
et
et les quantités
sont telles, que
![{\displaystyle d(\theta q)=q\mathrm {T} dt+\theta \mathrm {A} dx+\theta \mathrm {B} dz,\qquad d(\theta p)=p\mathrm {T} dt+\theta \mathrm {A} 'dx+\theta \mathrm {B} 'dz.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76fe044253230109c3b63e442a9d8e91a3341a30)
La première de ces équations résulte de l’incompressibilité des particules du fluide, et revient par conséquent au même que l’équation
ci-dessus en y faisant
À l’égard de la seconde, l’Auteur la tire de cette considération, que les forces verticales et horizontales, perdues à chaque instant par les particules du fluide, doivent se faire équilibre ; ces forces sont, selon lui,
![{\displaystyle g-\mathrm {B} \theta p-\mathrm {A} \theta q-q\mathrm {T} ,\qquad -\theta q\mathrm {A} '-\theta p\mathrm {B} '-p\mathrm {T} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62f977d061f1926d7fcf538ed9a3043eaf89f9a5)
ce qui donne, par les lois générales de l’équilibre des fluides, l’équation dont nous parlons. Or je dis que, suivant les hypothèses de
M. d’Alembert, il faut écrire
![{\displaystyle \theta ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3e93e641e00bacf435dd68b8b0f0232b14a74b3)
au lieu de
![{\displaystyle \theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e5ab2664b422d53eb0c7df3b87e1360d75ad9af)
dans les expressions des forces en question. Car il est facile de voir que ces forces sont en général
![{\displaystyle g-{\frac {d\alpha }{dt}},\qquad -{\frac {d\gamma }{dt}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e71307393b0baf1a7ed3a37b39db28a1c93f31f)
savoir :
![{\displaystyle g-{\frac {d(\theta q)}{dt}},\qquad {\frac {d(\theta p}{dt}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/845718918d89081177d1843f92da8de92f9c29df)
c’est-à-dire
![{\displaystyle g-q\mathrm {T} -{\frac {\theta \mathrm {A} dx}{dt}}-{\frac {\theta \mathrm {B} dx}{dt}},\qquad -p\mathrm {T} -{\frac {\theta \mathrm {A} 'dx}{dt}}-{\frac {\theta \mathrm {B} 'dz}{dt}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24f1c339213d14e63ddc3564a6fae98cd646341b)
mais
![{\displaystyle dx=\alpha dt=\theta qdt,\qquad dz=\gamma dt=\theta pdt\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/544e9308ab80b738142c44b56ffee135e8681a90)
donc ces quantités deviendront
![{\displaystyle g-q\mathrm {T} -\theta ^{2}\mathrm {A} q-\theta ^{2}\mathrm {B} p,\qquad -p\mathrm {T} -\theta ^{2}\mathrm {A} 'q-\theta ^{2}\mathrm {B} 'p.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1a29b1c88efacdbe24abcff8689a8cca2fb95b7)
Ainsi l’on aura à la rigueur l’équation
![{\displaystyle {\frac {d\left(g-\mathrm {B} \theta ^{2}p-\mathrm {A} \theta ^{2}q-q\mathrm {T} \right)}{dz}}={\frac {d\left(-\theta ^{2}q\mathrm {A} '-\theta ^{2}p\mathrm {B} '-p\mathrm {T} \right)}{dx}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35d6deb45b708de5aa9740276845c97321db8da4)
de laquelle le temps
ne disparaît que quand
est proportionnel à
c’est-à-dire
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {T} dt}{\theta ^{2}}}={\frac {d\theta }{\theta ^{2}}}=\mathrm {const} .\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f0b20f3763737fac2c18816c606c26123af8c54)
d’où l’on tire, comme ci-dessus,
![{\displaystyle \theta ={\frac {1}{a-bt}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/291bb8078f2b77de8992402e8756174b9c523717)
au lieu que, selon l’équation de M. d’Alembert, cela doit arriver lorsque
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {T} }{\theta }}=\mathrm {const} .,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2374150ea2b13215288c4004db45af74bb52ee63)
ce qui donne, en intégrant,
![{\displaystyle \theta =ac',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97fcfa56e968e90450a653e282ef68877b89772b)
comme cet Auteur l’a trouvé.
XLIV.
Corollaire III. — Si, au lieu de considérer les vitesses
on veut considérer les variables
elles-mêmes, on remarquera que ces variables ne peuvent être que des fonctions du temps
et des valeurs qu’elles avaient au commencement du mouvement quand
valeurs qui doivent être entièrement arbitraires, pour que la solution du problème ait toute la généralité possible.
Dénotons ces valeurs par
c’est-à-dire supposons que les variables
qui représentent la position de chaque particule du fluide, après un temps quelconque
soient au commencement du mouvement
les différences de
s’exprimeront en général de la manière suivante :
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {diff{\acute {e}}r} .x=&\mathrm {L} d\mathrm {X+M} d\mathrm {Y+N} d\mathrm {Z} +\alpha dt,\\\mathrm {diff{\acute {e}}r} .y=&\mathrm {P} d\mathrm {X+Q} d\mathrm {Y+R} d\mathrm {Z} +\beta dt,\\\mathrm {diff{\acute {e}}r} .z=&\mathrm {S} d\mathrm {X\,+T} d\mathrm {Y+U} d\mathrm {Z} +\gamma dt,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17ae09a9bf2c6917624e16406f481308450254dc)
de sorte que
![{\displaystyle dx=\alpha dt,\qquad dy=\beta dt,\qquad dz=\gamma dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdd3c986080ad3c6865523c56fad2e015e401b22)
et
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {d} x=&\mathrm {L} d\mathrm {X+M} d\mathrm {Y+N} d\mathrm {Z} ,\\\operatorname {d} y=&\mathrm {P} d\mathrm {X+Q} d\mathrm {Y+R} d\mathrm {Z} ,\\\operatorname {d} z=&\mathrm {S} d\mathrm {X\,+T} d\mathrm {Y+U} d\mathrm {Z} .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d2aa387e1b4867a3c3f1591c5cdd8f6f134a9bd)
Substituant dans les équations
au lieu de
et supposant d’ailleurs, pour simplifier le calcul,
constant, et
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Pi )}{\operatorname {d} y}}={\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \varpi )}{\operatorname {d} x}},\qquad {\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Pi )}{\operatorname {d} z}}={\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Psi )}{\operatorname {d} x}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5857c658cd1e4294cc613daf16d0110bb0a189d9)
on trouvera, après avoir divisé les deux premières par
et la troisième par ![{\displaystyle dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/993271528b71660c0c4282c0d0b0f4cbf88e5e74)
![{\displaystyle (l)\qquad \qquad \qquad {\frac {\operatorname {d} {\cfrac {d\alpha }{dt}}}{\operatorname {d} y}}={\frac {\operatorname {d} {\cfrac {d\beta }{dt}}}{\operatorname {d} x}},\qquad {\frac {\operatorname {d} {\cfrac {d\alpha }{dt}}}{\operatorname {d} z}}={\frac {\operatorname {d} {\cfrac {d\gamma }{dt}}}{\operatorname {d} x}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce68ec7ba0bd1503023d87adeb7d40e4bbea0b02)
![{\displaystyle (m)\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\frac {\operatorname {d} \alpha }{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} \beta }{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} \gamma }{\operatorname {d} z}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03ffc9750e26b233a0164721d4f3f279a7488ca1)
Or
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} {\cfrac {d\alpha }{dt}}}{\operatorname {d} y}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0aef2e14101d06cd73029d312c174f87725e2d7)
exprime, comme on sait, le coefficient qu’aurait
![{\displaystyle y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d)
dans la différentiation de
![{\displaystyle {\frac {d\alpha }{dt}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e207cb3fd9c92ae8fa90d1a50f530c2e149230d)
supposé que
![{\displaystyle \alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3)
fût exprimée par une fonction de
![{\displaystyle x,y,z,t\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bca6cbddc5c97cf538a77bf0878b00f05443e99b)
et ainsi des autres expressions semblables. Donc, puisque les quantités
![{\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/301cc1b37ba8f0fb0c9bedee5efa5e0b5bc9e791)
sont, par hypothèse, des fonctions de
![{\displaystyle \mathrm {X,Y,Z} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d21c6080ad2422879dfccd69a9710fd08630ffb)
il faudra substituer dans
![{\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fb0a6728625f4452d40f4dd63031fab54b23fa5)
à la place des variables
![{\displaystyle \mathrm {X,Y,Z} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d21c6080ad2422879dfccd69a9710fd08630ffb)
leurs valeurs en
![{\displaystyle x,y,z,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d08d690d7e19ea7aee8574fc6abd6a15d97fa026)
et différentier ensuite en prenant
![{\displaystyle x,y,z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbeca34b28f569a407ef74a955d041df9f360268)
pour variables, ou bien, ce qui revient au même, différentier d’abord les quantités
![{\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fb0a6728625f4452d40f4dd63031fab54b23fa5)
en faisant varier
![{\displaystyle \mathrm {X,Y,Z} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d21c6080ad2422879dfccd69a9710fd08630ffb)
et substituer ensuite au lieu de
![{\displaystyle d\mathrm {X} ,d\mathrm {Y} ,d\mathrm {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dddfa45d46756fec65625a66f9ece41a3c356832)
leurs valeurs en
Des expressions de
données ci-dessus, on tire par les règles communes de l’Algèbre
![{\displaystyle {\begin{aligned}d\mathrm {X} =&{\frac {(\mathrm {QU-RT} )\operatorname {d} x+(\mathrm {NT-MU} )\operatorname {d} y+(\mathrm {MR-NQ} )\operatorname {d} z}{\mathrm {K} }},\\d\mathrm {Y} =&{\frac {(\mathrm {RS-PU} )\operatorname {d} x+(\mathrm {LU-NS} )\operatorname {d} y+(\mathrm {NP-LR} )\operatorname {d} z}{\mathrm {K} }},\\d\mathrm {Z} =&{\frac {(\mathrm {PT-QS} )\operatorname {d} x+(\mathrm {MS-LT} )\operatorname {d} y+(\mathrm {LQ-MP} )\operatorname {d} z}{\mathrm {K} }},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/618a00afba63e4a55376b30f24cb3d7244e34ca0)
étant mis, pour abréger, au lieu de
![{\displaystyle \mathrm {LQU-MPU+MRS-NQS+NPT-LRT} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5f9081db33df4ae296693b710f0437916deb841)
Or
est la différence de
qui nait des différences
ou bien des différences
donc on aura en général
![{\displaystyle \operatorname {d} \alpha ={\frac {d\alpha }{d\mathrm {X} }}d\mathrm {X} +{\frac {d\alpha }{d\mathrm {Y} }}d\mathrm {Y} +{\frac {d\alpha }{d\mathrm {Z} }}d\mathrm {Z} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/075160f33038ce6ff44c730b691284fa77e575ff)
on aura de plus, à cause que la différence de
est une différentielle complète,
![{\displaystyle {\frac {d\alpha }{d\mathrm {X} }}={\frac {d\mathrm {L} }{dt}},\qquad {\frac {d\alpha }{d\mathrm {Y} }}={\frac {d\mathrm {M} }{dt}},\qquad {\frac {d\alpha }{d\mathrm {Z} }}={\frac {d\mathrm {N} }{dt}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8cb03cce48b2684fcb705db5afc29873dcacb75)
donc
![{\displaystyle \operatorname {d} \alpha ={\frac {d\mathrm {L} }{dt}}d\mathrm {X} +{\frac {d\mathrm {M} }{dt}}d\mathrm {Y} +{\frac {d\mathrm {N} }{dt}}d\mathrm {Z} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcc34059c3d0ee1c2db20793a0edce4ed6d70785)
on trouvera de même
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {d} \beta =&{\frac {d\mathrm {P} }{dt}}d\mathrm {X} +{\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}d\mathrm {Y} +{\frac {d\mathrm {R} }{dt}}d\mathrm {Z} ,\\\operatorname {d} \gamma =&{\frac {d\mathrm {S} }{dt}}d\mathrm {X} +{\frac {d\mathrm {T} }{dt}}d\mathrm {Y} +{\frac {d\mathrm {U} }{dt}}d\mathrm {Z} \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6727da05491fc47b4d3a3665b7f95e0766f9837)
substituant, au lieu de
les valeurs trouvées ci-devant, il viendra
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {d} \alpha =&{\frac {(\mathrm {QU-RT} ){\cfrac {d\mathrm {L} }{dt}}+(\mathrm {RS-PU} ){\cfrac {d\mathrm {M} }{dt}}+(\mathrm {PT-QS} ){\cfrac {d\mathrm {N} }{dt}}}{\mathrm {K} }}\operatorname {d} x\\+&{\frac {(\mathrm {NT-MU} ){\cfrac {d\mathrm {L} }{dt}}+(\mathrm {LU-NS} ){\cfrac {d\mathrm {M} }{dt}}+(\mathrm {MS-LT} ){\cfrac {d\mathrm {N} }{dt}}}{\mathrm {K} }}\operatorname {d} y\\+&{\frac {(\mathrm {MR-NQ} ){\cfrac {d\mathrm {L} }{dt}}+(\mathrm {NP-LR} ){\cfrac {d\mathrm {M} }{dt}}+(\mathrm {LQ-MP} ){\cfrac {d\mathrm {N} }{dt}}}{\mathrm {K} }}\operatorname {d} z,\\\operatorname {d} \beta =&{\frac {(\mathrm {QU-RT} ){\cfrac {d\mathrm {P} }{dt}}+(\mathrm {RS-PU} ){\cfrac {d\mathrm {Q} }{dt}}+(\mathrm {PT-QS} ){\cfrac {d\mathrm {R} }{dt}}}{\mathrm {K} }}\operatorname {d} x\\+&{\frac {(\mathrm {NT-MU} ){\cfrac {d\mathrm {P} }{dt}}+(\mathrm {LU-NS} ){\cfrac {d\mathrm {Q} }{dt}}+(\mathrm {MS-LT} ){\cfrac {d\mathrm {R} }{dt}}}{\mathrm {K} }}\operatorname {d} y\\+&{\frac {(\mathrm {MR-NQ} ){\cfrac {d\mathrm {P} }{dt}}+(\mathrm {NP-LR} ){\cfrac {d\mathrm {Q} }{dt}}+(\mathrm {LQ-MP} ){\cfrac {d\mathrm {R} }{dt}}}{\mathrm {K} }}\operatorname {d} z,\\\operatorname {d} \gamma =&{\frac {(\mathrm {QU-RT} ){\cfrac {d\mathrm {S} }{dt}}+(\mathrm {RS-PU} ){\cfrac {d\mathrm {T} }{dt}}+(\mathrm {PT-QS} ){\cfrac {d\mathrm {U} }{dt}}}{\mathrm {K} }}\operatorname {d} x\\+&{\frac {(\mathrm {NT-MU} ){\cfrac {d\mathrm {S} }{dt}}+(\mathrm {LU-NS} ){\cfrac {d\mathrm {T} }{dt}}+(\mathrm {MS-LT} ){\cfrac {d\mathrm {U} }{dt}}}{\mathrm {K} }}\operatorname {d} y\\+&{\frac {(\mathrm {MR-NQ} ){\cfrac {d\mathrm {S} }{dt}}+(\mathrm {NP-LR} ){\cfrac {d\mathrm {T} }{dt}}+(\mathrm {LQ-MP} ){\cfrac {d\mathrm {U} }{dt}}}{\mathrm {K} }}\operatorname {d} z.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e02d79f5417a3c3cbcab19cd01e69af45709efb5)
Donc prenant, dans l’expression de
le coefficient de
dans celle de
le coefficient de
et dans celle de
le coefficient de
on aura les valeurs de
et l’équation
deviendra
![{\displaystyle {\begin{aligned}&(\mathrm {QU-RT} ){\frac {d\mathrm {L} }{dt}}+(\mathrm {RS-PU} ){\frac {d\mathrm {M} }{dt}}+(\mathrm {PT-QS} ){\frac {d\mathrm {N} }{dt}}\\+&(\mathrm {NT-MU} ){\frac {d\mathrm {P} }{dt}}+(\mathrm {LU-NS} ){\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}+(\mathrm {MS-LT} ){\frac {d\mathrm {R} }{dt}}\\+&(\mathrm {MR-NQ} ){\frac {d\mathrm {S} }{dt}}+(\mathrm {NP-LR} ){\frac {d\mathrm {T} }{dt}}+(\mathrm {LQ-NP} ){\frac {d\mathrm {U} }{dt}}=0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42b6e240f843d048711edbc1fd48daa7eb5ed554)
ou, ce qui est la même chose,
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {K} }{dt}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a814ea984eeae7341660a1ef6909dd4ddc351fb)
d’où l’on tirera
savoir :
![{\displaystyle \mathrm {LQU-MPU+MRS-NQS+NPT-LRT=H} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d95cb0a338947fd88320ca39e08241816abddcf)
étant une fonction de
sans
savoir la valeur de
lorsque ![{\displaystyle t=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9248d91021260015d75d2b7540612616bbb36b88)
À l’égard des deux équations
on remarquera que
est la même chose que
c’est pourquoi il n’y aura qu’à différentier la valeur de
trouvée ci-dessus, en ne faisant varier que
et l’on aura
![{\displaystyle \operatorname {d} {\frac {d\alpha }{dt}}={\frac {d^{2}\mathrm {L} }{dt^{2}}}d\mathrm {X} +{\frac {d^{2}\mathrm {M} }{dt^{2}}}d\mathrm {Y} +{\frac {d^{2}\mathrm {N} }{dt^{2}}}d\mathrm {Z} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ceeb71395fbd3ab293b802a575ff00c9f04bf60e)
de la même manière on trouvera
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {d} {\frac {d\beta }{dt}}=&{\frac {d^{2}\mathrm {P} }{dt^{2}}}d\mathrm {X} +{\frac {d^{2}\mathrm {Q} }{dt^{2}}}d\mathrm {Y} +{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dt^{2}}}d\mathrm {Z} ,\\\operatorname {d} {\frac {d\gamma }{dt}}=&{\frac {d^{2}\mathrm {S} }{dt^{2}}}d\mathrm {X} +{\frac {d^{2}\mathrm {T} }{dt^{2}}}d\mathrm {Y} +{\frac {d^{2}\mathrm {U} }{dt^{2}}}d\mathrm {Z} .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e569f81a018b5ebc202809ffd2610ea04c296108)
On substituera donc dans ces expressions, comme on a fait ci-dessus dans celles de
les valeurs de
en
et prenant les coefficients de
et de
dans la différentielle
et ceux de
dans les deux différentielles
on aura les valeurs de
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} {\cfrac {d\alpha }{dt}}}{\operatorname {d} y}},\quad {\frac {\operatorname {d} {\cfrac {d\alpha }{dt}}}{\operatorname {d} z}},\quad {\frac {\operatorname {d} {\cfrac {d\beta }{dt}}}{\operatorname {d} x}},\quad {\frac {\operatorname {d} {\cfrac {d\gamma }{dt}}}{\operatorname {d} x}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc60b123fbc98db028ca131d21d96bf52e699fda)
lesquelles étant mises à la place de ces quantités dans les équations
il nous viendra, en ôtant le dénominateur commun
les deux équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}(\mathrm {NT-MU} ){\frac {d^{2}\mathrm {L} }{dt^{2}}}+&(\mathrm {LU-NS} ){\frac {d^{2}\mathrm {M} }{dt^{2}}}+(\mathrm {MS-LT} ){\frac {d^{2}\mathrm {N} }{dt^{2}}}\\=(\mathrm {QU-RT} ){\frac {d^{2}\mathrm {P} }{dr^{2}}}+&(\mathrm {RS-PU} ){\frac {d^{2}\mathrm {Q} }{dt^{2}}}\,+(\mathrm {PT-QS} ){\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dt^{2}}},\\(\mathrm {MR-NQ} ){\frac {d^{2}\mathrm {L} }{dt^{2}}}+&(\mathrm {NP-LR} ){\frac {d^{2}\mathrm {M} }{dt^{2}}}+(\mathrm {LQ-MP} ){\frac {d^{2}\mathrm {N} }{dt^{2}}}\\=(\mathrm {QU-RT} ){\frac {d^{2}\mathrm {S} }{dt^{2}}}+&(\mathrm {RS-PU} ){\frac {d^{2}\mathrm {T} }{dt^{2}}}\ +(\mathrm {PT-QS} ){\frac {d^{2}\mathrm {U} }{dt^{2}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f3b036b3f92daf381e0e8fdeb8d55943b0be0e6)
Si l’on met dans ces deux équations, aussi bien que dans celle qui a été trouvée précédemment pour
leurs valeurs ![{\displaystyle {\frac {dx}{d\mathrm {X} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a469c0026716e9c4e8ffd626f756610f2cf296f2)
on aura trois équations générales qui ne renfermeront que les changeantes
avec leurs différences relatives à
et par lesquelles on pourra déterminer la position de chaque particule du fluide à chaque instant de son mouvement.
XLV.
Scolie. — Les équations
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Pi )}{\operatorname {d} y}}={\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \varpi )}{\operatorname {d} x}},\qquad {\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Pi )}{\operatorname {d} z}}={\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Psi )}{\operatorname {d} x}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5857c658cd1e4294cc613daf16d0110bb0a189d9)
que nous avons supposées dans l’Article XLII pour simplifier les formules
ont lieu quand toutes les forces
sont telles que leurs actions sur les particules du fluide se détruisent mutuellement, c’est-à-dire que les particules du fluide animées par ces forces se font équilibre.
En effet, si le fluide est en repos, les vitesses
![{\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/301cc1b37ba8f0fb0c9bedee5efa5e0b5bc9e791)
sont nulles, et les équations
![{\displaystyle (h)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/825fcd875712571f7d5a84b774cb1741e6cf2a2d)
se réduisent à celles que nous venons de rapporter.
Au reste, pour pouvoir faire usage des équations dont il s’agit, il n’est pas nécessaire que les quantités
soient uniquement des fonctions de
comme il semble qu’on pourrait le conclure de la forme même de ces équations.
Supposons, par exemple, que les quantités
renferment outre les variables
encore une quatrième variable
représentée par une ligne quelconque, il est clair que, quelles que soient la nature et la position de cette ligne, on pourra toujours exprimer sa différentielle
de cette manière :
par conséquent, la valeur complète de l’expression
qui n’est autre chose que le coefficient de
dans la différentiation de
sera
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Pi )}{\operatorname {d} y}}+\mathrm {B} {\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Pi )}{\operatorname {d} s}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3c90253d8a24857f672ecb8f4c6c2d433dc2c01)
on trouvera de même
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Pi )}{\operatorname {d} z}}+\mathrm {C} {\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Pi )}{\operatorname {d} s}},\quad {\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \varpi )}{\operatorname {d} x}}+\mathrm {A} {\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \varpi )}{\operatorname {d} s}},\quad {\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Psi )}{\operatorname {d} x}}+\mathrm {A} {\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Psi )}{\operatorname {d} s}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e8b8d9bc8fc136af65ea8ba04e75e32b50093a3)
pour les valeurs complètes des expressions
substituant ces valeurs dans les équations ci-dessus, elles deviendront
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Pi )}{\operatorname {d} y}}+\mathrm {B} {\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Pi )}{\operatorname {d} s}}=&{\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \varpi )}{\operatorname {d} x}}+\mathrm {A} {\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \varpi )}{\operatorname {d} s}},\\{\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Pi )}{\operatorname {d} z}}+\mathrm {C} {\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Pi )}{\operatorname {d} s}}=&{\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Psi )}{\operatorname {d} x}}+\mathrm {A} {\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Psi )}{\operatorname {d} s}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/943f458eee92e2f2143c1c687b97e74e8dd11711)
équations dans lesquelles les différentielles qui dépendent de chacune des variables
se trouvent séparées.
Je fais cette remarque relativement à un endroit de l’excellent Traité de la résistance des Fluides (Article 164).
Si la densité
est constante, les équations
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Pi )}{\operatorname {d} y}}={\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \varpi )}{\operatorname {d} x}},\qquad {\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Pi )}{\operatorname {d} z}}={\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Psi )}{\operatorname {d} x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1adec42ad009bcd0b994dfa2a74e0c43c8522dd5)
deviennent, en divisant par
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} \Pi }{\operatorname {d} y}}={\frac {\operatorname {d} \varpi }{\operatorname {d} x}},\qquad {\frac {\operatorname {d} \Pi }{\operatorname {d} z}}={\frac {\operatorname {d} \Psi }{\operatorname {d} x}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c11dcfa71271200c5482eb4b8c7b64e7a14139b)
lesquelles renferment les conditions de l’équilibre des fluides homogènes.
Supposons que le fluide soit composé de différentes couches, dont, chacune soit d’une densité uniforme, et qu’on en cherche l’équation ; soient
les coordonnées de chacune de ces couches, on aura par hypothèse
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} \mathrm {D} }{\operatorname {d} x}}\operatorname {d} x+{\frac {\operatorname {d} \mathrm {D} }{\operatorname {d} y}}\operatorname {d} y+{\frac {\operatorname {d} \mathrm {D} }{\operatorname {d} z}}\operatorname {d} z=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5093f911a5b1f0ebd3646bc3f98b186674ca057)
Or les équations
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Pi )}{\operatorname {d} y}}={\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \varpi )}{\operatorname {d} x}},\qquad {\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Pi )}{\operatorname {d} z}}={\frac {\operatorname {d} (\mathrm {D} \Psi )}{\operatorname {d} x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1adec42ad009bcd0b994dfa2a74e0c43c8522dd5)
donnent
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Pi {\frac {\operatorname {d} \mathrm {D} }{\operatorname {d} y}}+\mathrm {D} {\frac {\operatorname {d} \Pi }{\operatorname {d} y}}=&\varpi {\frac {\operatorname {d} \mathrm {D} }{\operatorname {d} x}}+\mathrm {D} {\frac {\operatorname {d} \varpi }{\operatorname {d} x}}\\\Pi {\frac {\operatorname {d} \mathrm {D} }{\operatorname {d} z}}+\mathrm {D} {\frac {\operatorname {d} \Pi }{\operatorname {d} z}}=&\Psi {\frac {\operatorname {d} \mathrm {D} }{\operatorname {d} x}}+\mathrm {D} {\frac {\operatorname {d} \Psi }{\operatorname {d} x}}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cafd95c4b17cac2464bdca24b8b92399f6e5973a)
substituant dans l’équation ci-dessus les valeurs de
tirées de celles-ci, et ordonnant les termes, il viendra
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} \mathrm {D} }{\operatorname {d} x}}\left(\operatorname {d} x+{\frac {\varpi }{\Pi }}\operatorname {d} y+{\frac {\Psi }{\Pi }}\operatorname {d} z\right)+{\frac {\mathrm {D} }{\Pi }}\left[\left({\frac {\operatorname {d} \varpi }{\operatorname {d} x}}-{\frac {\operatorname {d} \Pi }{\operatorname {d} y}}\right)\operatorname {d} y+\left({\frac {\operatorname {d} \Psi }{\operatorname {d} x}}-{\frac {\operatorname {d} \Pi }{\operatorname {d} z}}\right)\operatorname {d} z\right]=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bede4841a6a72bdc241ed4c382f4ce62012c268)
savoir, en multipliant par ![{\displaystyle {\frac {\Pi }{\mathrm {D} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/869ae209a0628db163fbce0fefeaea30ee7a969e)
![{\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {D} }}{\frac {\operatorname {d} \mathrm {D} }{\operatorname {d} x}}\left(\Pi \operatorname {d} x+\varpi \operatorname {d} y+\Psi \operatorname {d} z\right)+\left({\frac {\operatorname {d} \varpi }{\operatorname {d} x}}-{\frac {\operatorname {d} \Pi }{\operatorname {d} y}}\right)\operatorname {d} y+\left({\frac {\operatorname {d} \Psi }{\operatorname {d} x}}-{\frac {\operatorname {d} \Pi }{\operatorname {d} z}}\right)\operatorname {d} z=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1187f938e0eae0d19d324fccbba07b72b2e4119f)
équation qui exprimera la figure de chaque couche où la densité est uniforme.
Si l’on a
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} \Pi }{\operatorname {d} y}}={\frac {\operatorname {d} \varpi }{\operatorname {d} x}},\qquad {\frac {\operatorname {d} \Pi }{\operatorname {d} z}}={\frac {\operatorname {d} \Psi }{\operatorname {d} x}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c11dcfa71271200c5482eb4b8c7b64e7a14139b)
c’est-à-dire si les forces
![{\displaystyle \Pi ,\varpi ,\Psi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7f4ae59d785bc55d88cfad31ffbc04d051ee559)
sont par leur nature telles, qu’elles puissent tenir en équilibre une masse fluide homogène, alors l’équation précédente se réduit à
![{\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {D} }}{\frac {\operatorname {d} \mathrm {D} }{\operatorname {d} x}}\left(\Pi \operatorname {d} x+\varpi \operatorname {d} y+\Psi \operatorname {d} z\right)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c610368ae0a32f92cd351be59f3597b071fd511)
ce qui donne
![{\displaystyle \Pi \operatorname {d} x+\varpi \operatorname {d} y+\Psi \operatorname {d} z=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/468f6d3a654db2da9d2151fdd51f3fa4d10668b0)
équation générale des couches de niveau, comme il est aisé de le voir, d’où il s’ensuit que, dans ce cas, chaque couche de niveau sera nécessairement d’une densité uniforme dans toute son étendue.
Tel devrait donc être l’arrangement de différentes parties de la terre si elle avait été primitivement fluide ; car il est aisé de prouver par le calcul, et M. Clairaut l’a démontré à l’Article LIV de sa Théorie de la figure de la Terre, que les forces
résultantes de toutes les attractions que les particules exercent les unes sur les autres, ont d’elles-mêmes les conditions
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} \Pi }{\operatorname {d} y}}={\frac {\operatorname {d} \varpi }{\operatorname {d} x}},\qquad {\frac {\operatorname {d} \Pi }{\operatorname {d} z}}={\frac {\operatorname {d} \Psi }{\operatorname {d} x}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f465fae2c338af1d15fd9fd5b7926b531ed098ce)
Cependant un grand Géomètre a cru qu’il n’était pas toujours nécessaire que les surfaces des différentes couches fussent de niveau, et il a donné un autre principe pour connaître la figure de ces surfaces[3]. Mais les équations que son principe fournit ne sont elles-mêmes dans le fond que celles des couches de niveau. Pour le démontrer d’une manière générale, soit un sphéroïde composé de couches de différentes densités, et dont le rayon soit exprimé généralement par
étant une quantité constante dans la même couche,
étant une fonction quelconque de
et d’un angle
variable pour tous les points de chaque couche, et a marquant une petite quantité constante. Qu’on réduise l’attraction totale que ce sphéroïde exerce sur chaque particule d’une couche quelconque, à deux forces, l’une verticale, c’est-à-dire perpendiculaire à la couche, et qui pourra sans erreur sensible être supposée égale à la pesanteur qui tend au centre du sphéroïde ; l’autre horizontale, savoir dans la direction même de la couche, laquelle est à peu près perpendiculaire au rayon ; et soit nommée la première
et la seconde
Par le principe de l’illustre Auteur dont nous venons de parler, il faudra multiplier la force horizontale
par
marquant la densité du fluide qu’on suppose être une fonction de
seulement, ensuite la différentier en ne faisant varier que
de même il faudra multiplier la force verticale
par
et différentier ensuite en ne faisant varier que
après quoi on égalera les deux différentielles, ce qui donnera l’équation
![{\displaystyle {\frac {d\Delta r\varpi }{dr}}drdz={\frac {d\left(\Delta \Pi +\Delta \alpha \Pi {\cfrac {d\mathrm {Z} }{dr}}\right)}{dz}}dzdr,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f663682a2452d18dcf2c788a9bc85f5f626ffcf1)
savoir
![{\displaystyle {\frac {d\Delta }{dr}}r\varpi +{\frac {dr\varpi }{dr}}\Delta ={\frac {d\left(\Pi +\alpha \Pi {\cfrac {d\mathrm {Z} }{dr}}\right)}{dz}}\Delta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d850c87235de35aa70a44e5535ffae6def841360)
Or, en faisant le calcul, on trouvera toujours que les quantités
seront telles que
![{\displaystyle {\frac {d\left(\Pi +\alpha \Pi {\cfrac {d\mathrm {Z} }{dr}}\right)}{dz}}={\frac {r\varpi }{r}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65a174468d7dc62fc2ac6f5d4a87d9ef7f1fb41d)
donc il ne restera que l’équation
![{\displaystyle {\frac {d\Delta }{dr}}r\varpi =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b1941657674ba7e1ce8fb4ea05797422d8df26f)
qui donne
savoir la force horizontale nulle, et par conséquent chaque couche de niveau.
XLVI.
Corollaire IV. — Je viens maintenant à l’équation
Par la nature des expressions dont cette équation est composée, il est manifeste qu’elle appartient uniquement à la surface postérieure du fluide. Or, si l’on suppose qu’il n’y ait point de parois qui soutiennent le fluide, les valeurs de
demeureront absolument arbitraires, et l’équation
ne pourra se vérifier qu’en faisant généralement
savoir la valeur totale de l’intégrale
nulle.
Soient rapportées les équations
à la surface postérieure du fluide, en y mettant
au lieu de
et supposant l’intégrale
nulle, ce qui rend
on aura
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} (\mathrm {T} dt)}{\operatorname {d} {\grave {\,}}\!y}}={\grave {\,}}\!\mathrm {D} \left(d{\frac {d{\grave {\,}}\!y}{dt}}+{\grave {\,}}\!\Pi dt\right),\qquad {\frac {\operatorname {d} (\mathrm {T} dt)}{\operatorname {d} {\grave {\,}}\!z}}={\grave {\,}}\!\mathrm {D} \left(d{\frac {d{\grave {\,}}\!z}{dt}}+{\grave {\,}}\!\Psi dt\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3233a14845e45b59d781af407c8c7512114c724)
donc
![{\displaystyle \operatorname {d} \mathrm {T} ={\frac {\operatorname {d} \mathrm {T} }{\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x}}\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x+{\frac {\operatorname {d} \mathrm {T} }{\operatorname {d} {\grave {\,}}\!y}}\operatorname {d} {\grave {\,}}\!y+{\frac {\operatorname {d} \mathrm {T} }{\operatorname {d} {\grave {\,}}\!z}}\operatorname {d} {\grave {\,}}\!z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/702e6f003f67f8f2e51f87045b4f13081e630d85)
![{\displaystyle ={\grave {\,}}\!\mathrm {D} \left[\left(d{\frac {d{\grave {\,}}\!x}{dt}}+{\grave {\,}}\!\Pi dt\right)\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x+\left(d{\frac {d{\grave {\,}}\!y}{dt}}+{\grave {\,}}\!\varpi dt\right)\operatorname {d} {\grave {\,}}\!y+\left(d{\frac {d{\grave {\,}}\!z}{dt}}+{\grave {\,}}\!\Psi dt\right)\operatorname {d} {\grave {\,}}\!z\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/449c778a142fc5c1db52a434503241d6f620d3dd)
C’est la valeur de la différentielle de
prise dans la surface dont nous parlons ; donc, puisque la quantité
y doit être généralement égale à zéro, sa différentielle le sera aussi, et l’on aura par conséquent l’équation
![{\displaystyle \left(d{\frac {d{\grave {\,}}\!x}{dt}}+{\grave {\,}}\!\Pi dt\right)\operatorname {d} {\grave {\,}}\!x+\left(d{\frac {d{\grave {\,}}\!y}{dt}}+{\grave {\,}}\!\varpi dt\right)\operatorname {d} {\grave {\,}}\!y+\left(d{\frac {d{\grave {\,}}\!z}{dt}}+{\grave {\,}}\!\Psi dt\right)\operatorname {d} {\grave {\,}}\!z=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f580491e31e9296241522fd4ace37c1cf0b5a9a4)
qui sera celle que la surface postérieure du fluide doit avoir.
On trouvera une équation semblable pour la surface antérieure du fluide ; car nommant
les coordonnées pour cette surface, et
ce que devient
quand
deviennent
on aura en général, comme on l’a déjà remarqué, Article XL,
donc aussi
![{\displaystyle \operatorname {d} \mathrm {U} '={\frac {\operatorname {d} \mathrm {U} '}{\operatorname {d} x'}}\operatorname {d} x'+{\frac {\operatorname {d} \mathrm {U} '}{\operatorname {d} y'}}\operatorname {d} y'+{\frac {\operatorname {d} \mathrm {U} '}{\operatorname {d} z'}}\operatorname {d} z'=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1016c71a5d5dc8e7c45366ed2b15f1b6206e1b6)
Or
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} (\mathrm {U} dt)}{\operatorname {d} x}}\operatorname {d} x=-\mathrm {D} \operatorname {d} x\left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d769ddefe6cffe559b9758437d41c92250bfcb0)
et
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} (\mathrm {U} dt)}{\operatorname {d} y}}=-\mathrm {D} \left(d{\frac {dy}{dt}}+\pi dt\right),\qquad {\frac {\operatorname {d} (\mathrm {U} dt)}{\operatorname {d} z}}=-\mathrm {D} \left(d{\frac {dz}{dt}}+\Psi dt\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9201abfe2e7db46f090af4f2d3eba1e743dcddf2)
donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {d} \mathrm {U} '=-{\frac {\mathrm {D} '}{dt}}\left[\left(d{\frac {dx'}{dt}}+\Pi 'dt\right)\operatorname {d} x'+\left(d{\frac {dy'}{dt}}+\varpi 'dt\right)\operatorname {d} y'\right.\quad &\\\left.+\left(d{\frac {dz'}{dt}}+\Psi 'dt\right)\operatorname {d} z'\right]&=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75c663de78fe5b16e2f5365a42bd70bd4ce9e3b9)
Donc, en général, quand le fluide est libre de tous côtés, sa surface extérieure doit être déterminée par l’équation
![{\displaystyle \left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right)\operatorname {d} x+\left(d{\frac {dy}{dt}}+\varpi dt\right)\operatorname {d} y+\left(d{\frac {dz}{dt}}+\Psi dt\right)\operatorname {d} z=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/791aa95ea7af0228204ed61dbf4e56da63013539)
Supposons maintenant que le fluide soit soutenu par des parois fixes de figure quelconque, et dont l’équation soit
![{\displaystyle \operatorname {d} z=m\operatorname {d} x+n\operatorname {d} y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7abe76d143f4836f3fd63e7993cf287003109638)
Si l’on considère les trois expressions intégrales de l’équation
on voit qu’elles renferment chacune deux intégrations qui se rapportent à
et
dans la première, à
et
dans la seconde, à
et
dans la troisième. Or, puisque la relation des trois variables
est donnée par l’équation
ces différentes intégrales pourront être ramenées toutes à la même forme, c’est-à-dire être rapportées à deux seules changeantes
et
il n’y aura pour cela qu’à mettre dans la première, au lieu de
sa valeur en
et dans la seconde sa valeur en
par là l’équation
deviendra celle-ci
![{\displaystyle \mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} x\operatorname {d} y(m\delta x+n\delta y+\delta z)\mathrm {T} dt=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/121dbf0177911d0cc5b52b6a2cad90a6cc444c61)
Mais puisque
![{\displaystyle dz=m\operatorname {d} x+n\operatorname {d} y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/293ec37ddd750767e7490a7b8c5fd607bce3777f)
on doit avoir aussi
![{\displaystyle \delta z=m\delta x+n\delta y\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b6dca542a8d8e34dfe2296947806842fb73db51)
donc l’équation sera identique et ne fournira aucune condition ; ainsi
tout se réduira à faire en sorte que les équations générales
![{\displaystyle (e)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8010cd1e2c0af164348ad76515933a002105cbc8)
satisfassent, après leur intégration, à l’équation donnée
![{\displaystyle \operatorname {d} z=m\operatorname {d} x+n\operatorname {d} y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7abe76d143f4836f3fd63e7993cf287003109638)
XLVII.
Remarque. — Je ne m’étends pas davantage sur cette matière, pour ne point passer les bornes que je me suis prescrites dans le présent Mémoire. Au reste, par les formules et les méthodes données dans ce Problème et dans les précédents, on pourrait encore trouver la solution de plusieurs questions qui concernent les fluides : comme le mouvement d’un fluide enfermé dans un vase mobile, les oscillations d’un corps qui flotte sur un fluide, la résistance qu’un fluide fait à un corps qui s’y meut, et d’autres Problèmes de cette espèce.
XLVIII.
Problème X — Trouver les lois du mouvement des fluides élastiques.
Solution. — Par notre principe général, il faut que la quantité
soit un maximum ou un minimum ; donc, en faisant les mêmes raisonnements que dans le Problème VI, on trouvera l’équation
![{\displaystyle \int \mathrm {S} ^{3}dm\left(u\delta udt-d{\frac {dx}{dt}}\delta x-d{\frac {dy}{dt}}\delta y-d{\frac {dz}{dt}}\delta z\right)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8687adb964a28cbf1f6842571a0f3478f15934c)
Or, si aucune force n’agissait entre les corpuscules
on aurait, conformément à la formule (X) du même Problème,
![{\displaystyle \mathrm {S} ^{3}dm\,u\delta u\,dt=\mathrm {S} ^{3}dm\left(\Pi dt\delta x+\varpi dt\delta y+\Psi dt\delta z\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c1ee65afc2231d72a4173b68990080c8aa1a596)
mais le fluide étant supposé élastique, on doit regarder chaque particule comme un ressort qui agit de tous côtés sur les particules contiguës. Nommant
la force du ressort, et
l’espace par lequel il tend à se
dilater, on trouvera, en appliquant ici la formule (U) de l’Article VIII,
![{\displaystyle \mathrm {S} ^{3}dmu\delta u=-\mathrm {S} ^{3}dm(\mathrm {P} \delta p+\mathrm {Q} \delta q+\mathrm {R} \delta r+\ldots )-\mathrm {S^{3}F} \delta f,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0e7209bfe986fc7f3c822eab76bc4a89140a4d3)
ou, en mettant
au lieu de
et prenant
négativement à cause que cette force tend ici à éloigner les particules,
![{\displaystyle \mathrm {S} ^{3}dm\,u\delta u=-\mathrm {S} ^{3}dm(\Pi \delta x+\varpi \delta y+\Psi \delta z)+\mathrm {S^{3}F} \delta f.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/035c25faae5750414527324fddf03ae5c884c26f)
Substituant cette valeur dans l’équation ci-dessus, et mettant au lieu de
sa valeur
on aura donc
![{\displaystyle (n)\left\{{\begin{aligned}-\int \mathrm {S} ^{3}\operatorname {d} x\operatorname {d} y\operatorname {d} z\mathrm {D} \left[\left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right)\delta x+\left(d{\frac {dy}{dt}}+\varpi dt\right)\delta y\right.&\\\left.+\left(d{\frac {dz}{dt}}+\Psi dt\right)\delta z\right]+\int \mathrm {S^{3}F} \delta fdt&=0.\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b47a5bd868b4d2c6379964fcc70b9b44c5be738)
Or, comme l’action du ressort
consiste à augmenter le volume de chaque particule
il est clair qu’il faudra prendre ce volume même pour la valeur de l’espace
donc
par conséquent,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\delta f=&\operatorname {d} y\operatorname {d} z\delta \operatorname {d} x+\operatorname {d} x\operatorname {d} z\delta \operatorname {d} y+\operatorname {d} x\operatorname {d} y\delta \operatorname {d} z,\\=&\operatorname {d} y\operatorname {d} z\operatorname {d} \delta x+\operatorname {d} x\operatorname {d} z\operatorname {d} \delta y+\operatorname {d} x\operatorname {d} y\operatorname {d} \delta z,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a847e7291c73f4f4c454d3384c18a746204bb5d5)
en transposant les signes
donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {S} ^{3}\mathrm {F} \delta f=&\mathrm {S} ^{3}(\mathrm {F} \operatorname {d} y\operatorname {d} z\operatorname {d} \delta x+\mathrm {F} \operatorname {d} x\operatorname {d} z\operatorname {d} \delta y+\mathrm {F} \operatorname {d} x\operatorname {d} y\operatorname {d} \delta z)\\=&\mathrm {S} ^{3}\operatorname {d} x\operatorname {d} y\operatorname {d} z\left({\frac {\mathrm {F} }{\operatorname {d} x}}\operatorname {d} \delta x+{\frac {\mathrm {F} }{\operatorname {d} y}}\operatorname {d} \delta y+{\frac {\mathrm {F} }{\operatorname {d} z}}\operatorname {d} \delta z\right),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9d663f6d7503fab4b5c8d123a1a7661ab495310)
formule qu’on peut mettre sous cette forme :
![{\displaystyle \mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} y\operatorname {d} z\mathrm {S} \operatorname {d} x{\frac {\mathrm {F} }{\operatorname {d} x}}\operatorname {d} \delta x+\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} x\operatorname {d} z\mathrm {S} \operatorname {d} y{\frac {\mathrm {F} }{\operatorname {d} y}}\operatorname {d} \delta y+\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} x\operatorname {d} y\mathrm {S} \operatorname {d} z{\frac {\mathrm {F} }{\operatorname {d} z}}\operatorname {d} \delta z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b0ab830609bf106a4d628cfd5b5dcbf68ce5ce0)
Or
se réduit, en intégrant par parties, à
![{\displaystyle \mathrm {F} \delta x-\mathrm {S} \operatorname {d} x{\frac {\operatorname {d} \mathrm {F} }{\operatorname {d} x}}\delta x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f508a17fada413757bbeea5be32192bef2af11ec)
(j’écris
![{\displaystyle \operatorname {d} x{\frac {\operatorname {d} \mathrm {F} }{\operatorname {d} x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6a59292e7fb4edafe381ca3ee044ae64a9aa1a3)
au lieu de
![{\displaystyle \operatorname {d} \mathrm {F} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6afd4941b225de02411617ec5d379619ef7842dd)
pour dénoter que cette différentielle doit être prise en ne variant que
![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
), et à
![{\displaystyle \mathrm {F} '\delta x'-{\grave {\,}}\!\mathrm {F} \delta {\grave {\,}}\!x-\mathrm {S} \operatorname {d} x{\frac {\operatorname {d} \mathrm {F} }{\operatorname {d} x}}\delta x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1be5c962dae19662cede798dfee10e5a05f6c637)
en complétant l’intégrale, suivant la remarque que nous avons faite à la fin de l’Article I du Mémoire précédent ; on changera de même
![{\displaystyle \mathrm {S} \operatorname {d} y{\frac {\operatorname {d} \mathrm {F} }{\operatorname {d} y}}\delta y\quad {\text{en}}\quad \mathrm {F} '\delta y'-{\grave {\,}}\!\mathrm {F} \delta {\grave {\,}}\!y-\mathrm {S} \operatorname {d} y{\frac {\operatorname {d} \mathrm {F} }{\operatorname {d} y}}\delta y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d0bed2468ed9ca57df98d801c4f6d0f2ec31710)
et
![{\displaystyle \mathrm {S} \operatorname {d} z{\frac {\operatorname {d} \mathrm {F} }{\operatorname {d} z}}\delta z\quad {\text{en}}\quad \mathrm {F} '\delta z'-{\grave {\,}}\!\mathrm {F} \delta {\grave {\,}}\!z-\mathrm {S} \operatorname {d} z{\frac {\operatorname {d} \mathrm {F} }{\operatorname {d} z}}\delta z\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b759b8d7976c79c729a865a3b721285bf259bc35)
donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {S^{2}F} \delta f=&\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} y\operatorname {d} z\left(\mathrm {F} '\delta x'-{\grave {\,}}\!\mathrm {F} \delta {\grave {\,}}\!x\right)+\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} x\operatorname {d} z\left(\mathrm {F} '\delta y'-{\grave {\,}}\!\mathrm {F} \delta {\grave {\,}}\!y\right)\\&+\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} x\operatorname {d} y(\mathrm {F} '\delta z'-{\grave {\,}}\!\mathrm {F} \delta {\grave {\,}}\!z-\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} y\operatorname {d} z\mathrm {S} \operatorname {d} x{\frac {\operatorname {d} \mathrm {F} }{\operatorname {d} x}}\delta x\\&-\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} x\operatorname {d} z\mathrm {S} \operatorname {d} y{\frac {\operatorname {d} \mathrm {F} }{\operatorname {d} y}}\delta y-\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} x\operatorname {d} y\mathrm {S} \operatorname {d} z{\frac {\operatorname {d} \mathrm {F} }{\operatorname {d} z}}\delta z\\=&\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} y\operatorname {d} z\mathrm {F} '\delta x'+\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} x\operatorname {d} z\mathrm {F} '\delta y'+\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} x\operatorname {d} y\mathrm {F} '\delta z'\\&-\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} y\operatorname {d} z{\grave {\,}}\!\mathrm {F} \delta {\grave {\,}}\!x-\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} x\operatorname {d} z{\grave {\,}}\!\mathrm {F} \delta {\grave {\,}}\!y-\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} x\operatorname {d} y{\grave {\,}}\!\mathrm {F} \delta {\grave {\,}}\!z\\&-\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} x\operatorname {d} y\operatorname {d} z\left({\frac {\operatorname {d} \mathrm {F} }{\operatorname {d} x}}\delta x+{\frac {\operatorname {d} \mathrm {F} }{\operatorname {d} y}}\delta y+{\frac {\operatorname {d} \mathrm {F} }{\operatorname {d} z}}\delta z\right)\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7e1dd8651a7849e7a0be36468643b284c1f3a8d)
donc, substituant dans l’équation
au lieu de
l’expression qu’on vient de trouver, on aura enfin
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int &\left[\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} y\operatorname {d} z\mathrm {F} '\delta x'+\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} x\operatorname {d} z\mathrm {F} '\delta y'+\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} x\operatorname {d} y\mathrm {F} '\delta z'\right.\\&\left.-\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} y\operatorname {d} z{\grave {\,}}\!\mathrm {F} \delta {\grave {\,}}\!x-\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} x\operatorname {d} z{\grave {\,}}\!\mathrm {F} \delta {\grave {\,}}\!y-\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} x\operatorname {d} y{\grave {\,}}\!\mathrm {F} \delta {\grave {\,}}\!z\right]dt\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/847876c7f647f44439b4b430b83f51ef276f7950)
![{\displaystyle -\int \mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} x\operatorname {d} y\operatorname {d} z\left[\left(\mathrm {D} d{\frac {dx}{dt}}+\mathrm {D} \Pi dt+{\frac {\operatorname {d} \mathrm {F} }{\operatorname {d} x}}dt\right)\delta x\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a845c7b4cc1e5225b82f242dc0f26dc617770a59)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&+\left(\mathrm {D} d{\frac {dy}{dt}}+\mathrm {D} \varpi dt+{\frac {\operatorname {d} \mathrm {F} }{\operatorname {d} y}}dt\right)\delta y\\&+\left.\left(\mathrm {D} d{\frac {dz}{dt}}+\mathrm {D} \Psi dt+{\frac {\operatorname {d} \mathrm {F} }{\operatorname {d} z}}dt\right)\delta z\right]=0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c20afd0da68758a5890f7e405be50d2a9217afe0)
équation réduite à l’état qu’exige notre méthode. Supposant donc les coefficients des différences
![{\displaystyle \delta x,\delta y,\delta z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80d5966608b86a21947dea34d67b071efaac74ac)
chacun égal à zéro, on aura
![{\displaystyle (p)\qquad \qquad \qquad \qquad \left\{{\begin{aligned}\mathrm {D} (d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt)+{\frac {\operatorname {d} \mathrm {F} }{\operatorname {d} x}}dt=&0,\\\mathrm {D} (d{\frac {dy}{dt}}+\varpi dt)+{\frac {\operatorname {d} \mathrm {F} }{\operatorname {d} y}}dt=&0,\\\mathrm {D} (d{\frac {dz}{dt}}+\Psi dt)+{\frac {\operatorname {d} \mathrm {F} }{\operatorname {d} z}}dt=&0,\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/348b6656208a6ea51490a5a3aabcdf09bf65d707)
et le reste de l’équation donnera
![{\displaystyle (q)\qquad \left\{{\begin{aligned}\mathrm {S} ^{2}&\operatorname {d} y\operatorname {d} z\mathrm {F} '\delta x'+\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} x\operatorname {d} z\mathrm {F} '\delta y'+\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} x\operatorname {d} y\mathrm {F} '\delta z'\\&-\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} y\operatorname {d} z{\grave {\,}}\!\mathrm {F} \delta {\grave {\,}}\!x-\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} x\operatorname {d} z{\grave {\,}}\!\mathrm {F} \delta {\grave {\,}}\!y-\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} x\operatorname {d} y{\grave {\,}}\!\mathrm {F} \delta {\grave {\,}}\!z=0.\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efdbe1eae4dd5db5aae113cbabb5072d18260e71)
XLIX.
Corollaire I. — Les trois équations
renferment les lois générales du mouvement des fluides élastiques. Pour faire usage de ces équations on supposera, comme dans l’Article XLII,
![{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=\alpha ,\qquad {\frac {dy}{dt}}=\beta ,\qquad {\frac {dz}{dt}}=\gamma \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/238b8edf569e23771ce5307452567208bbb71f38)
on mettra au lieu de
leurs valeurs trouvées dans le même Article, et marquant, pour plus de simplicité, toutes les différences par
on trouvera, après avoir divisé par
les trois équations
![{\displaystyle (r)\qquad \qquad \left\{{\begin{aligned}{\frac {d\alpha }{dt}}+\alpha {\frac {d\alpha }{dx}}+\beta {\frac {d\alpha }{dy}}+\gamma {\frac {d\alpha }{dz}}+\Pi =&-{\frac {1}{\mathrm {D} }}{\frac {d\mathrm {F} }{dx}},\\{\frac {d\beta }{dt}}+\alpha {\frac {d\beta }{dx}}+\beta {\frac {d\beta }{dy}}+\gamma {\frac {d\beta }{dz}}+\varpi =&-{\frac {1}{\mathrm {D} }}{\frac {d\mathrm {F} }{dy}},\\{\frac {d\gamma }{dt}}+\alpha {\frac {d\gamma }{dx}}+\beta {\frac {d\gamma }{dy}}+\gamma {\frac {d\gamma }{dz}}+\Psi =&-{\frac {1}{\mathrm {D} }}{\frac {d\mathrm {F} }{dz}},\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/474afd90c2db7a26d47339a2b91f89628d2629d9)
dans lesquelles il ne faudra plus que substituer, au lieu de
et de
leurs valeurs en ![{\displaystyle x,y,z,t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f900c45a4288c1f7896cb3c26372c48d7f34233)
Voici comment on trouvera ces valeurs :
exprime la force du ressort de chaque particule du fluide, laquelle est ordinairement proportionnelle à la densité ; supposons donc, pour plus de généralité, que cette force soit comme une fonction quelconque donnée de la densité, en sorte que
on aura
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {F} }{dx}}=\mathrm {E} {\frac {d\mathrm {D} }{dx}},\qquad {\frac {d\mathrm {F} }{dy}}=\mathrm {E} {\frac {d\mathrm {D} }{dy}},\qquad {\frac {d\mathrm {F} }{dz}}=\mathrm {E} {\frac {d\mathrm {D} }{dz}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09e68a4f5ad65207e2316dfc8d6f69f0d7c3526c)
Ensuite, pour trouver
on observera que la masse
de chaque particule du fluide est
et que cette masse reste toujours la même quelque mouvement que le fluide reçoive ; donc sa différentielle, en faisant varier
doit être nulle, ce qui donne
![{\displaystyle {\frac {d(\mathrm {D} \operatorname {d} x\operatorname {d} y\operatorname {d} z)}{dt}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef46a17fafbf561e8f913794d0deba99a1cc81a2)
savoir :
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {D} }{dt}}\operatorname {d} x\operatorname {d} y\operatorname {d} z+{\frac {d\operatorname {d} x}{dt}}\mathrm {D} \operatorname {d} y\operatorname {d} z+{\frac {d\operatorname {d} y}{dt}}\mathrm {D} \operatorname {d} x\operatorname {d} z+{\frac {d\operatorname {d} z}{dt}}\mathrm {D} \operatorname {d} x\operatorname {d} y=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91054cb85fef3e4b1864c4ea1fc1668b53ba97fb)
ou
![{\displaystyle (s)\qquad \qquad \qquad {\frac {\cfrac {d\mathrm {D} }{dt}}{\mathrm {D} }}+{\frac {\cfrac {d\operatorname {d} x}{dt}}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\cfrac {d\operatorname {d} y}{dt}}{\operatorname {d} y}}+{\frac {\cfrac {d\operatorname {d} z}{dt}}{\operatorname {d} z}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c6332c59b4376d6d871791eab256000444b80e2)
Or
![{\displaystyle {\frac {d\operatorname {d} x}{dt}}=\operatorname {d} {\frac {dx}{dt}}=\operatorname {d} \alpha \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a5a7641a91e80ff4269c7e890d4a796ba8509bd)
donc
![{\displaystyle {\frac {\cfrac {d\operatorname {d} x}{dt}}{\operatorname {d} x}}={\frac {\operatorname {d} \alpha }{\operatorname {d} x}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc076ecd8d08cbc2970c8130edb99a8f73e57f57)
on trouve de même
![{\displaystyle {\frac {\cfrac {d\operatorname {d} y}{dt}}{\operatorname {d} y}}={\frac {\operatorname {d} \beta }{\operatorname {d} y}}\quad {\text{et}}\quad {\frac {\cfrac {d\operatorname {d} z}{dt}}{\operatorname {d} z}}={\frac {\operatorname {d} \gamma }{\operatorname {d} z}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71aa9e1dfff5ca5d68ab1c56c740b844bf653d4e)
de plus,
exprime la variation de
dans l’instant
donc, si l’on suppose que
soit représenté par une fonction quelconque de
on trouvera que la valeur complète de
sera
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {D} }{dt}}dt+{\frac {d\mathrm {D} }{dx}}\alpha dt+{\frac {d\mathrm {D} }{dy}}\beta dt+{\frac {d\mathrm {D} }{dz}}\gamma dt\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2290bbc03bcdda932e38ab739c6e78938f5ee1a)
on mettra ces valeurs dans l’équation ci-dessus, et changeant les lettres
![{\displaystyle \operatorname {d} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e1d5ee1d8ebd36dc6c040835c50f112c7da3e75)
en
![{\displaystyle d}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e85ff03cbe0c7341af6b982e47e9f90d235c66ab)
et multipliant le tout par
![{\displaystyle \mathrm {D} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/feafe7641dc638e0bae0768ec2b7c2bba3807ee8)
on aura
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {D} }{dt}}+\alpha {\frac {d\mathrm {D} }{dx}}+\beta {\frac {d\mathrm {D} }{dy}}+\gamma {\frac {d\mathrm {D} }{dz}}+\mathrm {D} \left({\frac {d\alpha }{dx}}+{\frac {d\beta }{dy}}+{\frac {d\gamma }{dz}}\right)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3b5fad206cae84476f31a3aacb632a3be3a6b48)
ou
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {D} }{dt}}+{\frac {d(\mathrm {D} \alpha )}{dx}}+{\frac {d(\mathrm {D} \beta )}{dy}}+{\frac {d(\mathrm {D} \gamma )}{dz}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dac2106e054acfb7307273fdd66d2ad890edee76)
équation par laquelle on connaîtra
et par conséquent ![{\displaystyle \mathrm {F} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e6c03b4a781ab55ac256b06b680ed6075fd7251)
L.
Corollaire II. — Soit, suivant l’hypothèse ordinaire,
par conséquent
et qu’on mette les équations
sous cette forme :
![{\displaystyle \mathrm {L} =-{\frac {1}{\mathrm {D} }}{\frac {d\mathrm {F} }{dx}},\qquad \mathrm {M} =-{\frac {1}{\mathrm {D} }}{\frac {d\mathrm {F} }{dy}},\qquad \mathrm {N} =-{\frac {1}{\mathrm {D} }}{\frac {d\mathrm {F} }{dz}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf0bb0c360ad863df0fca069d9f9bbec5aa053c0)
on aura
![{\displaystyle \mathrm {L} =-{\frac {1}{\mathrm {D} }}{\frac {d\mathrm {D} }{dx}},\qquad \mathrm {M} =-{\frac {1}{\mathrm {D} }}{\frac {d\mathrm {D} }{dy}},\qquad \mathrm {N} =-{\frac {1}{\mathrm {D} }}{\frac {d\mathrm {D} }{dz}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d796eec69c1400538a79db1c07f8e7aaaebbf822)
Supposons encore
![{\displaystyle {\frac {d\alpha }{dx}}+{\frac {d\beta }{dy}}+{\frac {d\gamma }{dz}}=\mathrm {U} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38a58b1580a3ec06a509196d17aa4d20d70bd4e2)
on aura (Article précédent) l’équation
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {D} }{dt}}+\alpha {\frac {d\mathrm {D} }{dx}}+\beta {\frac {d\mathrm {D} }{dy}}+\gamma {\frac {d\mathrm {D} }{dz}}+\mathrm {DU} =0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc32c357e91c823bd25d30a42e5ffb31d7c6fd98)
donc, chassant les quantités
par le moyen des équations précédentes, divisant par
et transposant, on aura
![{\displaystyle {\frac {\cfrac {d\mathrm {D} }{dt}}{\mathrm {D} }}={\frac {d\log \mathrm {D} }{dt}}=\alpha \mathrm {L} +b\mathrm {M} +\gamma \mathrm {N} -\mathrm {U} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b823537d39fda20b25bdb44d1002c68c0a3755ed)
ou, pour abréger,
![{\displaystyle {\frac {d\log \mathrm {D} }{dt}}=\mathrm {T} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c315365371e004e75b8d41e3de892fb9cd9eb25e)
Or les équations ci-dessus se réduisent à
![{\displaystyle \mathrm {L} =-{\frac {d\log \mathrm {D} }{dx}},\qquad \mathrm {M} =-{\frac {d\log \mathrm {D} }{dy}},\qquad \mathrm {N} =-{\frac {d\log \mathrm {D} }{dz}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c957ce3cd11df308298389332f3537304966685e)
donc, comparant ces équations avec celle qu’on vient de trouver, on aura
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {L} }{dt}}=-{\frac {d\mathrm {T} }{dx}},\qquad {\frac {d\mathrm {M} }{dt}}=-{\frac {d\mathrm {T} }{dy}},\qquad {\frac {d\mathrm {N} }{dt}}=-{\frac {d\mathrm {T} }{dz}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/976896bbf0f6adb248bb178808aee290811ae324)
équations où la lettre
ne se trouve plus. On trouvera encore, en combinant ensemble les équations ci-devant,
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {L} }{dy}}={\frac {d\mathrm {M} }{dx}},\qquad {\frac {d\mathrm {L} }{dz}}={\frac {d\mathrm {N} }{dx}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa653afcdec851b7d8fa9b466701047983ee313c)
deux équations qui reviennent au même que les équations
de l’Article XLII. On aura donc cinq équations toutes délivrées de la lettre
dont trois prises à volonté suffiront pour résoudre le Problème.
Si l’on suppose que le mouvement du fluide soit parvenu à un état permanent, alors on aura
et par conséquent
LI.
Corollaire III — On peut encore représenter le mouvement du fluide par les variables
comme dans l’Article XLIV. Pour cela on cherchera d’abord la valeur de
au moyen de l’équation
laquelle, en introduisant les lettres
devient celle-ci :
![{\displaystyle {\frac {\cfrac {d\mathrm {D} }{dt}}{\mathrm {D} }}+{\frac {\operatorname {d} \alpha }{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} \beta }{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} \gamma }{\operatorname {d} z}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fc59748e0137cb17c69ca2a06039f9563968ba0)
Or, par les formules de l’Article cité, on trouve
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} \alpha }{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} \beta }{\operatorname {d} y}}+{\frac {\operatorname {d} \gamma }{\operatorname {d} z}}={\frac {\cfrac {d\mathrm {K} }{dt}}{\mathrm {K} }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a99929f706e52cc8a6b6776144d17815901329c)
par conséquent,
![{\displaystyle {\frac {\cfrac {d\mathrm {D} }{dt}}{\mathrm {D} }}+{\frac {\cfrac {d\mathrm {K} }{dt}}{\mathrm {K} }}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3435279f9e892345419233ce32f9ad5338d3bff4)
d’où l’on tire
![{\displaystyle \log \mathrm {D} +\log \mathrm {K} =\mathrm {const} .,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79c6689ec21618dd859d1608f8a127dbf698045b)
savoir :
![{\displaystyle \mathrm {DK} =h\quad {\text{et}}\quad \mathrm {D} ={\frac {h}{\mathrm {K} }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eea14b75e0f998a68d934138c0f94d3e8a333e39)
Pour déterminer la constante
on remarquera qu’au commencement du mouvement
![{\displaystyle dx=d\mathrm {X} ,\qquad dy=d\mathrm {Y} ,\qquad dz=d\mathrm {Z} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc8805c2c158e3a81b1d344b7a7d25971f213a5c)
donc
![{\displaystyle \mathrm {L=1,\ M=0,\ N=0,\ P=0,\ Q=1,\ R=0,\ S=0,\ T=0,\ U=1} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a47f7b5d3412ac4444f91a010c278fda3fde0c6)
ce qui donne
; d’où il s’ensuit que
doit être égale à la densité
que le fluide a au premier instant de son mouvement.
Ayant trouvé l’expression de
il n’y aura plus qu’à la substituer dans les équations
or,
étant une fonction de
sa différentielle, en prenant
constant, sera représentée par
![{\displaystyle \mathrm {E} d\mathrm {X+Y} d\mathrm {Y+G} d\mathrm {Z} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/059371478f95dbf0cd267d16554aef43c872a104)
ainsi, pour avoir les valeurs de
il faudra encore substituer au lieu de
leurs expressions en
trouvées dans l’Article XLIV ce qui, en supposant
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {E(QU-RT)\,+F(RS-PU)+G(PT-QS)\ =A} ,\\&\mathrm {E(NT-MU)+F(LU-NS)+G(MS-LT)\ =B} ,\\&\mathrm {E(MR-NQ)+F(NP-LR)+G(LQ-MP)=C} ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea23b3c2f9708547f47a62b06625e863bb48c679)
donnera
![{\displaystyle d\mathrm {D} ={\frac {\mathrm {A} \operatorname {d} x+\mathrm {B} \operatorname {d} y+\mathrm {C} \operatorname {d} z}{\mathrm {K} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59c35cd18db9442495e58d1ad4e4f931e11604ba)
d’où l’on tire
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} \mathrm {D} }{\operatorname {d} x}}=\mathrm {\frac {A}{K}} ,\qquad {\frac {\operatorname {d} \mathrm {D} }{\operatorname {d} y}}=\mathrm {\frac {B}{K}} ,\qquad {\frac {\operatorname {d} \mathrm {D} }{\operatorname {d} z}}=\mathrm {\frac {C}{K}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1592cfc9bc3689a3768ba76331dcdf46654a6b8)
et par conséquent, suivant l’hypothèse de l’Article
XLIX,
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} \mathrm {F} }{\operatorname {d} x}}=\mathrm {\frac {EA}{K}} ,\qquad {\frac {\operatorname {d} \mathrm {F} }{\operatorname {d} y}}=\mathrm {\frac {EB}{K}} ,\qquad {\frac {\operatorname {d} \mathrm {F} }{\operatorname {d} z}}=\mathrm {\frac {EC}{K}} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0103b8249c9e8af37ce8c62da0c227ffc62997bc)
On substituera donc ces-valeurs dans les équations
et l’on aura, en divisant par
qui est égal à
![{\displaystyle {\begin{aligned}d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt+{\frac {\mathrm {EA} }{b}}dt=&0,\\d{\frac {dy}{dt}}+\varpi dt+{\frac {\mathrm {EB} }{b}}dt=&0,\\d{\frac {dz}{dt}}+\Psi dt+{\frac {\mathrm {EC} }{b}}dt=&0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43e04518b29dfe9c09020b6263c0180473afafb0)
Si l’on suppose dans ces équations
![{\displaystyle \Pi =0,\qquad \varpi =0,\qquad \Psi =0,{\frac {\mathrm {E} }{b}}=2g,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce6ed036eb96804388910f1f56afb9ee2c724888)
elles reviennent au même que celles que M. Euler a trouvées par une voie différente (Recherches sur la propagation des ébranlements dans un milieu élastique, Miscellanea Taurinensia, t. II, p. 6).
LII.
Scolie. — À l’égard de l’équation
qui reste encore à examiner, on prouvera, par un raisonnement semblable à celui de l’Article XLVI que si le fluide appuie contre des parois fixes, les trois termes
![{\displaystyle \mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} y\operatorname {d} z{\grave {\,}}\!\mathrm {F} \delta {\grave {\,}}\!x+\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} x\operatorname {d} z{\grave {\,}}\!\mathrm {F} \delta {\grave {\,}}\!y+\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} x\operatorname {d} y{\grave {\,}}\!\mathrm {F} \delta {\grave {\,}}\!z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c463037cf20f82473374beb6e339230ea7415f9)
sont toujours égaux à zéro aussi bien que les trois autres
![{\displaystyle \mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} y\operatorname {d} z\mathrm {F} '\delta x'+\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} x\operatorname {d} z\mathrm {F} '\delta y'+\mathrm {S} ^{2}\operatorname {d} x\operatorname {d} y\mathrm {F} '\delta z'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c60aedbb03b5a2e7b62126e5ad9083574a99ea0)
Mais si l’on suppose le fluide libre de toutes parts, ou seulement de quelque côté, alors la quantité
devra être nulle à la surface extérieure du
fluide dans les endroits où il est libre ; on aura donc, pour cette surface, l’équation
![{\displaystyle \operatorname {d} \mathrm {F} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/815883f46c35c4ebd5e9e67ffae7a613b19f336f)
savoir :
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} \mathrm {F} }{\operatorname {d} x}}\operatorname {d} x+{\frac {\operatorname {d} \mathrm {F} }{\operatorname {d} y}}\operatorname {d} y+{\frac {\operatorname {d} \mathrm {F} }{\operatorname {d} z}}\operatorname {d} z=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04fe93fb9c2906ba7088d80ca28490b037dcc932)
ou, en mettant au lieu de
leurs valeurs tirées des équations ![{\displaystyle (p),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09af31d352ba2d5c72d14f9e59d6d14cbdc4de76)
![{\displaystyle \left(d{\frac {dx}{dt}}+\Pi dt\right)\operatorname {d} x+\left(d{\frac {dy}{dt}}+\varpi dt\right)\operatorname {d} y+\left(d{\frac {dz}{dt}}+\Psi dt\right)\operatorname {d} z=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/791aa95ea7af0228204ed61dbf4e56da63013539)
précisément comme on a trouvé dans l’Article cité, pour les fluides non élastiques.