Mémoires extraits des recueils de l’Académie de Turin/Sur l’intégration de quelques équations différentielles dont les indéterminées sont séparées, mais dont chaque membre en particulier n’est point intégrable

Joseph-Louis Lagrange

Sur l’intégration de quelques équations différentielles dont les indéterminées sont séparées, mais dont chaque membre en particulier n’est point intégrable

Mémoires extraits des recueils de l’Académie de Turin, Gauthier-Villars, 1868, Œuvres de Lagrange. Tome II (p. 5-33).

SUR L’INTÉGRATION
DE
QUELQUES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
DONT LES INDÉTERMINÉES SONT SÉPARÉES,
MAIS DONT CHAQUE MEMBRE EN PARTICULIER N’EST POINT INTÉGRABLE.

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(Miscellanea Taurinensia, t. IV, 1766-1769.)

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1. La séparation des indéterminées est regardée avec raison comme un des meilleurs moyens que les Géomètres aient imaginés pour intégrer les équations différentielles du premier ordre. En effet, il est clair que quand on a séparé les indéterminées dans une équation, on peut alors regarder chacun de ses membres comme une différentielle particulière qui ne contient qu’une variable ; de sorte qu’il n’y a plus qu’à prendre séparément l’intégrale de l’un et de l’autre membre, en y ajoutant une constante arbitraire. De là il semble qu’on pourrait conclure que lorsque les deux membres de l’équation ainsi séparée ne sont point intégrables, l’équation elle-même ne doit pas l’être non plus ; c’est ce qui est vrai en effet dans la plupart des équations différentielles ; mais il se trouve néanmoins des cas où cette conclusion serait fausse, et qui vont faire la matière de ce Mémoire.

2. Pour commencer par les cas les plus simples nous prendrons l’équation

(A)

${\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}={\frac {dy}{\sqrt {1-y^{2}}}},$

dans laquelle tout est séparé, comme l’on voit. Il est d’abord évident que les deux membres de cette équation ne sont point intégrables, au moins algébriquement ; cependant on sait que l’équation en elle-même admet une intégrale algébrique. En effet, comme ${\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}$ est la différentielle de l’arc dont le sinus est $x,$ de même que ${\frac {dy}{\sqrt {1-y^{2}}}}$ est la différentielle de l’arc dont le sinus est $y,$ on aura, en prenant les arcs au lieu de leurs différentielles, et ajoutant une constante quelconque $\mathrm {C} ,$

$\operatorname {arc} \sin x=\operatorname {arc} \sin y+\mathrm {C} \,;$

donc, si l’on suppose que $\mathrm {C}$ soit aussi exprimé par un arc dont le sinus soit $a,$ on aura

$\operatorname {arc} \sin x=\operatorname {arc} \sin y+\operatorname {arc} \sin a,$

c’est-à-dire que l’arc qui répond au sinus $x$ doit être égal à la somme des arcs qui répondent aux sinus $y$ et $a\,;$ de sorte qu’on aura, par les théorèmes connus,

(B)

$x=y{\sqrt {1-a^{2}}}+a{\sqrt {1-y^{2}}}\,;$

c’est l’intégrale de l’équation proposée, dans laquelle $a$ est la constante arbitraire.

3. J’avoue qu’on peut trouver cette intégrale sans le secours des théorèmes sur les sinus, en intégrant chaque membre de l’équation (A) par les logarithmes imaginaires, et passant ensuite des logarithmes aux nombres. De cette manière on aura

$\log \left(x{\sqrt {-1}}+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)=\log \left(y{\sqrt {-1}}+{\sqrt {1-y^{2}}}\right)+\log \left(a{\sqrt {-1}}+{\sqrt {1-a^{2}}}\right),$

d’où l’on tire

${\begin{aligned}x{\sqrt {-1}}+{\sqrt {1-x^{2}}}&=\left(y{\sqrt {-1}}+{\sqrt {1-y^{2}}}\right)\left(a{\sqrt {-1}}+{\sqrt {1-a^{2}}}\right)\\&=\left(y{\sqrt {1-a^{2}}}+a{\sqrt {1-y^{2}}}\right){\sqrt {-1}}+{\sqrt {1-y^{2}}}{\sqrt {1-a^{2}}}-ay\,;\end{aligned}}$

et comparant la partie imaginaire du premier membre à la partie imagi-

naire du second, et la partie réelle avec la réelle, on aura comme ci-dessus

$x=y{\sqrt {1-a^{2}}}+a{\sqrt {1-y^{2}}},$

ou bien encore, ce qui revient au même dans le fond,

${\sqrt {1-x^{2}}}={\sqrt {1-a^{2}}}{\sqrt {1-y^{2}}}-ay.$

4. Mais si, d’un côté, cette méthode est un peu plus directe que la précédente, de l’autre elle a aussi l’inconvénient de dépendre des quantités transcendantes ; en effet, puisque l’intégrale de l’équation proposée est absolument algébrique, n’est-il pas naturel de penser qu’il y ait aussi une voie purement algébrique pour y parvenir ?

Qu’on multiplie les deux membres de l’équation (A) en croix, on aura

$dx{\sqrt {1-y^{2}}}=dy{\sqrt {1-x^{2}}},$

et intégrant par parties

$x{\sqrt {1-y^{2}}}+\int {\frac {xydy}{\sqrt {1-y^{2}}}}=y{\sqrt {1-x^{2}}}+\int {\frac {yxdx}{\sqrt {1-x^{2}}}}+\mathrm {C} .$

Or l’équation (A) étant multipliée par $xy,$ et ensuite intégrée, donne

$\int {\frac {xydx}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\int {\frac {xydy}{\sqrt {1-y^{2}}}}\,;$

donc l’équation précédente deviendra

$x{\sqrt {1-y^{2}}}=y{\sqrt {1-x^{2}}}+\mathrm {C} ,$

équation algébrique qui, en faisant $\mathrm {C} =a,$ revient au même que l’équation (B) du n^o 2.

5. On pourrait aussi appliquer la même méthode à l’intégration de l’équation générale

(C)

${\frac {dx}{\sqrt {\alpha +\beta x+\gamma x^{2}}}}={\frac {dy}{\sqrt {\alpha +\beta y+\gamma y^{2}}}},$

car multipliant d’abord en croix, et prenant ensuite l’intégrale de chaque

membre par parties, on a

(D)

$\left\{{\begin{aligned}&x{\sqrt {\alpha +\beta y+\gamma y^{2}}}-\int {\frac {(\beta +2\gamma y)xdy}{2{\sqrt {\alpha +\beta y+\gamma y^{2}}}}}\\=&y{\sqrt {\alpha +\beta x+\gamma x^{2}}}-\int {\frac {(\beta +2\gamma x)ydx}{2{\sqrt {\alpha +\beta x+\gamma x^{2}}}}}+\mathrm {C} .\end{aligned}}\right.$

Or l’équation (C) étant multipliée par $xy,$ et ensuite intégrée, donne

$\int {\frac {xydx}{\sqrt {\alpha +\beta x+\gamma x^{2}}}}=\int {\frac {xydy}{\sqrt {\alpha +\beta y+\gamma y^{2}}}}.$

De plus on a par la même équation

${\begin{aligned}\int {\frac {ydx}{\sqrt {\alpha +\beta x+\gamma x^{2}}}}=&\int {\frac {ydy}{\sqrt {\alpha +\beta y+\gamma y^{2}}}}\\=&{\frac {1}{\gamma }}{\sqrt {\alpha +\beta y+\gamma y^{2}}}-{\frac {\beta }{2\gamma }}\int {\frac {dy}{\sqrt {\alpha +\beta y+\gamma y^{2}}}},\end{aligned}}$

et de même

${\begin{aligned}\int {\frac {xdy}{\sqrt {\alpha +\beta y+\gamma y^{2}}}}=&\int {\frac {xdx}{\sqrt {\alpha +\beta x+\gamma x^{2}}}}\\=&{\frac {1}{\gamma }}{\sqrt {\alpha +\beta x+\gamma x^{2}}}-{\frac {\beta }{2\gamma }}\int {\frac {dx}{\sqrt {\alpha +\beta x+\gamma x^{2}}}},\\=&{\frac {1}{\gamma }}{\sqrt {\alpha +\beta x+\gamma x^{2}}}-{\frac {\beta }{2\gamma }}\int {\frac {dy}{\sqrt {\alpha +\beta y+\gamma y^{2}}}}.\end{aligned}}$

Donc, faisant ces substitutions dans l’équation (D), et effaçant ce qui se détruit, on aura cette équation algébrique

${\begin{aligned}&x{\sqrt {\alpha +\beta y+\gamma y^{2}}}-{\frac {\beta }{2\gamma }}{\sqrt {\alpha +\beta x+\gamma x^{2}}}\\=&y{\sqrt {\alpha +\beta x+\gamma x^{2}}}-{\frac {\beta }{2\gamma }}{\sqrt {\alpha +\beta y+\gamma y^{2}}}+\mathrm {C} ,\end{aligned}}$

ou bien

$\left(x+{\frac {\beta }{2\gamma }}\right){\sqrt {\alpha +\beta y+\gamma y^{2}}}=\left(y+{\frac {\beta }{2\gamma }}\right){\sqrt {\alpha +\beta x+\gamma x^{2}}}+\mathrm {C} ,$

qui est l’intégrale de l’équation proposée.

6. Voilà donc, comme l’on voit, une méthode bien simple pour intégrer ces sortes d’équations, dont chaque membre en particulier dépend de la quadrature du cercle ou de l’hyperbole ; mais il y a encore d’autres équations plus générales que les précédentes qui admettent aussi des intégrales algébriques, quoique chacun de leurs membres ne soit en aucune façon intégrable.

Ces équations sont comprises dans la formule suivante :

${\frac {dx}{\sqrt {\alpha +\beta x+\gamma x^{2}+\delta x^{3}+\varepsilon x^{4}}}}={\frac {dy}{\sqrt {\alpha +\beta y+\gamma y^{2}+\delta y^{3}+\varepsilon y^{4}}}},$

dont l’intégrale est exprimée en général par l’équation

$\mathrm {A+B} (x+y)+\mathrm {C} \left(x^{2}+y^{2}\right)+\mathrm {D} xy+\mathrm {E} \left(x^{2}y+y^{2}x\right)+\mathrm {F} x^{2}y^{2}=0.$

En effet, si l’on différence cette équation, on a

${\begin{aligned}&\left[\mathrm {B} +2\mathrm {C} x+\mathrm {D} y+\mathrm {E} \left(2xy+y^{2}\right)+2\mathrm {F} xy^{2}\right]dx\\+&\left[\mathrm {B} +2\mathrm {C} y+\mathrm {D} x+\mathrm {E} \left(2yx+x^{2}\right)+2\mathrm {F} yx^{2}\right]dy\\\end{aligned}}$

Mais, en tirant de la même équation la valeur de $x$ en $y,$ et ensuite celle de $y$ en $x$ on trouvera

${\begin{aligned}2x&\left(\mathrm {C} +\mathrm {E} y+\mathrm {F} y^{2}\right)+\mathrm {B} +\mathrm {D} y+\mathrm {E} y^{2}\\&={\sqrt {\left(\mathrm {B} +\mathrm {D} y+\mathrm {E} y^{2}\right)^{2}-4\left(\mathrm {A} +\mathrm {B} y+\mathrm {C} y^{2}\right)\left(\mathrm {C} +\mathrm {E} y+\mathrm {F} y^{2}\right)}},\end{aligned}}$

et de même

${\begin{aligned}2y&\left(\mathrm {C} +\mathrm {E} x+\mathrm {F} x^{2}\right)+\mathrm {B} +\mathrm {D} x+\mathrm {E} x^{2}\\&={\sqrt {\left(\mathrm {B} +\mathrm {D} x+\mathrm {E} x^{2}\right)^{2}-4\left(\mathrm {A} +\mathrm {B} x+\mathrm {C} x^{2}\right)\left(\mathrm {C} +\mathrm {E} x+\mathrm {F} x^{2}\right)}},\end{aligned}}$

de sorte qu’en faisant

${\begin{aligned}\alpha &=\mathrm {B^{2}-4AC} ,\\\beta &=\mathrm {2BD-4(AE+BC)} ,\\\gamma &=\mathrm {2BE+D^{2}-4\left(AF+C^{2}+BE\right)} ,\\\delta &=\mathrm {2DE-4(BF+CE)} ,\\\varepsilon &=\mathrm {E^{2}-4CF} ,\end{aligned}}$

on aura

$dx{\sqrt {\alpha +\beta y+\gamma y^{2}+\delta y^{3}+\varepsilon y^{4}}}=dy{\sqrt {\alpha +\beta x+\gamma x^{2}+\delta x^{3}+\varepsilon x^{4}}},$

et par conséquent

${\frac {dx}{\sqrt {\alpha +\beta x+\gamma x^{2}+\delta x^{3}+\varepsilon x^{4}}}}={\frac {dy}{\sqrt {\alpha +\beta y+\gamma y^{2}+\delta y^{3}+\varepsilon y^{4}}}},$

qui est l’équation différentielle proposée. Or, comme les coefficients donnés $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\varepsilon$ ne sont qu’au nombre de cinq, et que les coefficients indéterminés $\mathrm {A,B,C,D,E,F}$ sont au nombre de six, il est clair qu’il en restera toujours un d’indéterminé qui tiendra lieu de la constante arbitraire qui doit se trouver dans l’intégrale.

Cette intégration est d’autant plus remarquable qu’elle n’est due qu’à une espèce de hasard heureux, et qu’il ne serait pas même possible d’y arriver par les méthodes connues des Géomètres jusqu’à présent (voyez dans les tomes VI et VII des Nouveaux Commentaires de Pétersbourg plusieurs excellents Mémoires de M. Euler sur ce sujet). J’ai donc cru que re serait un travail avantageux aux progrès de l’Analyse que de chercher une méthode directe pour intégrer les équations de cette espèce, et voici celle que j’ai trouvée. Elle est fondée sur le principe suivant.

7. Quand on a une équation différentielle du premier degré dont on ne peut trouver l’intégrale, il faut la différentier et examiner si, en combinant cette nouvelle équation avec la proposée, on pourrait trouver une équation intégrale du premier degré autre que l’équation proposée ; car alors, en chassant par le moyen de ces deux équations les premières différences, on aura une équation algébrique qui sera l’intégrale cherchée.

Si l’intégration ne réussit pas de cette manière, il faut passer à la différentielle du troisième degré, et chercher si l’on pourrait ainsi parvenir à une nouvelle équation du second degré ; en ce cas il n’y aurait plus qu’à éliminer les différences secondes et troisièmes par le moyen de l’équation proposée et de sa différentielle. Et ainsi de suite.

8. Cela posé, je vais commencer par chercher l’intégrale de l’équation (C) du n^o 5 ; pour cela je fais

$dt={\frac {dx}{\sqrt {\alpha +\beta x+\gamma x^{2}}}},$

en sorte que l’on ait les deux équations suivantes :

${\begin{aligned}dt&={\frac {dx}{\sqrt {\alpha +\beta x+\gamma x^{2}}}},\\dt&={\frac {dy}{\sqrt {\alpha +\beta y+\gamma y^{2}}}}.\end{aligned}}$

Je multiplie ces deux équations en croix, et je les quarre pour les délivrer du signe radical, ce qui me donne ces deux-ci :

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=&\alpha +\beta x+\gamma x^{2},\\{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=&\alpha +\beta y+\gamma y^{2}.\end{aligned}}$

Je différentie maintenant ces équations en prenant $dt$ pour constante, et divisant la première par $dx,$ et la seconde par $dy$ j’aurai

${\begin{aligned}2{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=&\beta +2\gamma x,\\2{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=&\beta +2\gamma y.\end{aligned}}$

Or, en ajoutant ces deux équations ensemble, et faisant $x+y=p,$ on aura l’équation

$2{\frac {d^{2}p}{dt^{2}}}=2\beta +2\gamma p,$

laquelle étant multipliée par $dp,$ et ensuite intégrée, donne

${\frac {d^{2}p}{dt^{2}}}=k+2\beta p+\gamma p^{2},$

$k$ étant la constante arbitraire ; d’où l’on tire

${\frac {dp}{dt}}={\sqrt {k+2\beta p+\gamma p^{2}}}.$

Mais

${\frac {dp}{dt}}={\frac {dx+dy}{dt}}={\sqrt {\alpha +\beta x+\gamma x^{2}}}+{\sqrt {\alpha +\beta y+\gamma y^{2}}},$

donc on aura enfin

${\sqrt {\alpha +\beta x+\gamma x^{2}}}+{\sqrt {\alpha +\beta y+\gamma y^{2}}}={\sqrt {k+2\beta (x+y)+\gamma (x+y)^{2}}}.$

9. Si, au lieu d’ajouter les deux équations différentio-différentielles, on avait retranché l’une de l’autre, on aurait eu, en faisant $x-y=q,$ celle-ci :

$2{\frac {d^{2}q}{dt^{2}}}=2\gamma q,$

qui, étant multipliée par $dq$ et intégrée ensuite, donne

${\frac {d^{2}q}{dt^{2}}}=\mathrm {H} +\gamma q^{2},$

et par conséquent

${\frac {dq}{dt}}={\sqrt {\mathrm {H} +\gamma q^{2}}}.$

Donc, puisque $q=x-y,$ on aura

${\frac {dq}{dt}}={\sqrt {\alpha +\beta x+\gamma x^{2}}}-{\sqrt {\alpha +\beta y+\gamma y^{2}}}\,;$

de sorte que l’équation intégrale sera

${\sqrt {\alpha +\beta x+\gamma x^{2}}}-{\sqrt {\alpha +\beta y+\gamma y^{2}}}={\sqrt {\mathrm {H} +\beta (x-y)^{2}}},$

$\mathrm {H}$ étant la constante arbitraire.

10. Les intégrales que nous venons de trouver ne différent point, quant au fond, de celle du n^o 5, comme il est facile de s’en assurer par le calcul ; mais on peut en trouver encore d’autres plus simples, en donnant seulement un peu plus de généralité à notre méthode.

En effet, si, au lieu de supposer $dt={\frac {dx}{\sqrt {\alpha +\beta x+\gamma x^{2}}}}$ on suppose

${\frac {dt}{\mathrm {T} }}={\frac {dx}{\sqrt {\alpha +\beta x+\gamma x^{2}}}},$

$\mathrm {T}$ étant une fonction quelconque de $x$ et $y,$ on aura ces deux équations-ci :

${\begin{aligned}{\frac {dt}{\mathrm {T} }}&={\frac {dx}{\sqrt {\alpha +\beta x+\gamma x^{2}}}},\\{\frac {dt}{\mathrm {T} }}&={\frac {dy}{\sqrt {\alpha +\beta y+\gamma y^{2}}}}\,;\end{aligned}}$

d’où l’on tire, en multipliant en croix et quarrant,

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {T} ^{2}dx^{2}}{dt^{2}}}=&\alpha +\beta x+\gamma x^{2},\\{\frac {\mathrm {T} ^{2}dy^{2}}{dt^{2}}}=&\alpha +\beta y+\gamma y^{2},\end{aligned}}$

de sorte qu’en différentiant, et regardant $dt$ comme constante, on aura

${\begin{aligned}{\frac {2\mathrm {T} d\mathrm {T} dx+2\mathrm {T} ^{2}d^{2}x}{dt^{2}}}=&\beta +2\gamma x,\\{\frac {2\mathrm {T} d\mathrm {T} dy+2\mathrm {T} ^{2}d^{2}y}{dt^{2}}}=&\beta +2\gamma y,\end{aligned}}$

équations qui, étant ajoutées ensemble, en supposant

$x+y=p,$

donnent celle-ci :

${\frac {\mathrm {T} d\mathrm {T} dp+\mathrm {T} ^{2}d^{2}p}{dt^{2}}}=\beta +\gamma p.$

Or, soit

$x-y=q,$

et supposons $\mathrm {T}$ une fonction de $p$ et $q,$ en sorte que l’on ait

$d\mathrm {T} =\mathrm {M} dp+\mathrm {N} dq,$

on aura

${\frac {d\mathrm {T} dp}{dt^{2}}}={\frac {\mathrm {M} dp^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {\mathrm {N} dpdq}{dt^{2}}}\,;$

mais

${\frac {dpdq}{dt^{2}}}={\frac {dx^{2}-dy^{2}}{dt^{2}}}={\frac {\alpha +\beta x+\gamma x^{2}}{\mathrm {T} ^{2}}}-{\frac {\alpha +\beta y+\gamma y^{2}}{\mathrm {T} ^{2}}}={\frac {\beta q+\gamma pq}{\mathrm {T} ^{2}}}\,;$

donc, substituant ces valeurs dans l’équation ci-dessus, elle deviendra, après l’avoir multipliée par $\mathrm {T} ,$

${\frac {\mathrm {T} ^{2}\left(\mathrm {M} dp^{2}+\mathrm {T} d^{2}p\right)}{dt^{2}}}=(\beta +\gamma p)(\mathrm {T-N} q).$

Or, puisque la valeur de $\mathrm {T}$ est indéterminée, on peut la supposer telle que

$\mathrm {T-N} q=0\,;$

c’est-à-dire, à cause que $\mathrm {N} ={\frac {d\mathrm {T} }{dq}},$

${\frac {1}{\mathrm {T} }}{\frac {d\mathrm {T} }{dq}}={\frac {1}{q}},$

ce qui donne, en multipliant par $dq$ et intégrant,

$\mathrm {T=P} q,$

$\mathrm {P}$ étant une fonction quelconque de $p$ sans $q.$ Ainsi on aura, en supposant $d\mathrm {P} =\mathrm {P} 'dp,$

$\mathrm {M=P'} q,\qquad \mathrm {N=P} ,$

et l’équation différentielle deviendra

${\frac {\mathrm {T} ^{2}\left(\mathrm {P} 'qdp^{2}+\mathrm {T} d^{2}p\right)}{dt^{2}}}=0,$

c’est-à-dire, en mettant $\mathrm {P} q$ au lieu de $\mathrm {T} ,$ $d\mathrm {P}$ au lieu de $\mathrm {P} 'dp,$ et divisant ensuite par $q\mathrm {T} ^{2},$

${\frac {d\mathrm {P} dp+\mathrm {P} d^{2}p}{dt^{2}}}=0,\quad {\text{ou bien}}\quad {\frac {d(\mathrm {P} dp)}{dt^{2}}}=0\,;$

de sorte qu’on aura, en prenant une constante arbitraire quelconque $\mathrm {G} ,$

${\frac {\mathrm {P} dp}{dt}}=\mathrm {G} \,;$

d’où, en mettant au lieu de

${\frac {dp}{dt}}={\frac {dx+dy}{dt}}$

sa valeur

${\frac {\sqrt {\alpha +\beta x+\gamma x^{2}}}{\mathrm {T} }}+{\frac {\sqrt {\alpha +\beta y+\gamma y^{2}}}{\mathrm {T} }},$

et faisant attention que $\mathrm {T} =\mathrm {P} q=\mathrm {P} (x-y),$ on aura l’équation finale

${\frac {{\sqrt {\alpha +\beta x+\gamma x^{2}}}+{\sqrt {\alpha +\beta y+\gamma y^{2}}}}{x-y}}=\mathrm {G} .$

C’est là, ce me semble, la forme la plus simple à laquelle on puisse réduire l’intégrale de l’équation proposée (C).

11. Puisque la différence des deux quantités qui sont sous le signe est $\beta (x-y)+\gamma \left(x^{2}-y^{2}\right),$ il est clair qu’on aura

${\sqrt {\alpha +\beta x+\gamma x^{2}}}-{\sqrt {\alpha +\beta y+\gamma y^{2}}}={\frac {\beta (x-y)+\gamma \left(x^{2}-y^{2}\right)}{{\sqrt {\alpha +\beta x+\gamma x^{2}}}+{\sqrt {\alpha +\beta y+\gamma y^{2}}}}}.$

Donc, mettant au lieu du dénominateur du second membre sa valeur $\mathrm {G} (x-y),$ et divisant ensuite le haut et le bas de la fraction par $x-y,$ on aura

${\sqrt {\alpha +\beta x+\gamma x^{2}}}-{\sqrt {\alpha +\beta y+\gamma y^{2}}}={\frac {\beta +\gamma (x+y)}{\mathrm {G} }},$

équation qui, étant combinée avec la précédente, donnera celle-ci :

${\sqrt {\alpha +\beta x+\gamma x^{2}}}={\frac {\beta +\left(\gamma +\mathrm {G} ^{2}\right)x+\left(\gamma -\mathrm {G} ^{2}\right)y}{2\mathrm {G} }},$

laquelle étant multipliée par $2\mathrm {G} ,$ et ensuite quarrée, deviendra

$\beta ^{2}-4\alpha \mathrm {G} ^{2}+(\gamma -\mathrm {G} ^{2})(x+y)+2(\gamma ^{2}-\mathrm {G} ^{4})xy+(\gamma -\mathrm {G} ^{2})^{2}(x^{2}+y^{2})=0.$

12. La méthode que nous venons d’employer dans le n^o 10 peut s’appliquer avec le même succès à intégrer l’équation dont nous avons parlé plus haut (n^o 6).

Soit donc

${\frac {dt}{\mathrm {T} }}={\frac {dx}{\sqrt {\alpha +\beta x+\gamma x^{2}+\delta x^{3}+\varepsilon x^{4}}}},$

en sorte que l’on ait aussi

${\frac {dt}{\mathrm {T} }}={\frac {dy}{\sqrt {\alpha +\beta y+\gamma y^{2}+\delta y^{3}+\varepsilon y^{4}}}},$

et ces deux équations, étant traitées comme celles du n^o 10, deviendront d’abord

${\begin{aligned}{\frac {2\mathrm {T} d\mathrm {T} dx+2\mathrm {T} ^{2}d^{2}x}{dt^{2}}}=&\beta +2\gamma x+3\delta x^{2}+4\varepsilon x^{3},\\{\frac {2\mathrm {T} d\mathrm {T} dy+2\mathrm {T} ^{2}d^{2}y}{dt^{2}}}=&\beta +2\gamma y+3\delta y^{2}+4\varepsilon y^{3}.\end{aligned}}$

J’ajoute ensemble ces deux dernières équations, et je fais comme ci-dessus

$x+y=p,\quad x-y=q,\quad d\mathrm {T} =\mathrm {M} dp+\mathrm {N} dq,$

j’aurai, en divisant par $2,$

${\frac {\mathrm {TM} dp^{2}+\mathrm {TN} dpdq+\mathrm {T} ^{2}d^{2}p}{dt^{2}}}=\beta +\gamma p+{\frac {3\delta }{4}}\left(p^{2}+q^{2}\right)+{\frac {\varepsilon }{2}}\left(p^{3}+3pq^{2}\right),$

et mettant au lieu de ${\frac {dpdq}{dt^{2}}}$ sa valeur

${\begin{aligned}{\frac {dx^{2}-dy^{2}}{dt^{2}}}=&{\frac {\alpha +\beta x+\gamma x^{2}+\delta x^{3}+\varepsilon x^{4}}{\mathrm {T} ^{2}}}-{\frac {\alpha +\beta y+\gamma y^{2}+\delta y^{3}+\varepsilon y^{4}}{\mathrm {T} ^{2}}}\\=&{\frac {\beta q+\gamma pq+{\cfrac {\delta }{4}}\left(3p^{2}q+q^{3}\right)+{\cfrac {\varepsilon }{2}}\left(p^{3}q+pq^{3}\right)}{\mathrm {T} ^{2}}},\end{aligned}}$

on aura, après avoir multiplié par $\mathrm {T}$ et ordonné les termes

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {T} ^{2}\left(\mathrm {M} dp^{2}+\mathrm {T} d^{2}p\right)}{dt^{2}}}=&(\beta +\gamma p)(\mathrm {T-N} q)+{\frac {\delta }{4}}\left[3\mathrm {T} \left(p^{2}+q^{2}\right)-\mathrm {N} \left(3p^{2}q+q^{2}\right)\right]\\&+{\frac {\varepsilon }{4}}\left[\mathrm {T} \left(p^{3}+3pq^{2}\right)-\mathrm {N} \left(p^{3}q+pq^{3}\right)\right].\end{aligned}}$

Soit fait, comme dans le n^o 10,

$\mathrm {T-N} q=0,$

et par conséquent

$\mathrm {T=P} q,\quad \mathrm {N=P} ,\quad \mathrm {M} ={\frac {qd\mathrm {P} }{dp}},$

on aura

${\frac {\mathrm {P} ^{2}q^{3}\left(d\mathrm {P} dp+\mathrm {P} d^{2}p\right)}{dt^{2}}}=\mathrm {P} q^{3}\left({\frac {\delta }{2}}+\varepsilon p\right),$

ou bien, en divisant par $\mathrm {P} q^{3},$

${\frac {\mathrm {P} d\mathrm {P} dp+\mathrm {P} ^{2}d^{2}p}{dt^{2}}}={\frac {\delta }{2}}+\varepsilon p.$

Cette équation étant multipliée par $2dp$ devient intégrable, et l’intégrale sera

${\frac {\mathrm {P} ^{2}dp^{2}}{dt^{2}}}=\mathrm {G} ^{2}+\delta p+\varepsilon p^{2},$

$\mathrm {G}$ étant la constante arbitraire ; de sorte qu’on aura, en tirant la racine quarrée,

${\frac {\mathrm {P} dp}{dt}}={\sqrt {\mathrm {G} ^{2}+\delta p+\varepsilon p^{2}}}\,;$

mais

${\frac {dp}{dt}}={\frac {dx+dy}{dt}}$

$={\frac {\sqrt {\alpha +\beta x+\gamma x^{2}+\delta x^{3}+\varepsilon x^{4}}}{\mathrm {T} }}+{\frac {\sqrt {\alpha +\beta y+\gamma y^{2}+\delta y^{3}+\varepsilon y^{4}}}{\mathrm {T} }}\,;$

donc, substituant cette valeur et mettant à la place de $p,$ $x+y,$ et à la place de $\mathrm {T} ,$ $\mathrm {P} q,$ ou bien $\mathrm {P} (x-y),$ on aura, après avoir multiplié par $x-y,$

(D)

$\left\{{\begin{aligned}&{\sqrt {\alpha +\beta x+\gamma x^{2}+\delta x^{3}+\varepsilon x^{4}}}+{\sqrt {\alpha +\beta y+\gamma y^{2}+\delta y^{3}+\varepsilon y^{4}}}\\&\qquad =(x-y){\sqrt {\mathrm {G} ^{2}+\delta (x+y)+\varepsilon (x+y)^{2}}}\end{aligned}}\right.$

pour l’intégrale cherchée de l’équation

(E)

${\frac {dx}{\sqrt {\alpha +\beta x+\gamma x^{2}+\delta x^{3}+\varepsilon x^{4}}}}={\frac {dy}{\sqrt {\alpha +\beta y+\gamma y^{2}+\delta y^{3}+\varepsilon y^{4}}}},$

13. Si l’équation à intégrer était

(F)

${\frac {dx}{\sqrt {\alpha +\beta x+\gamma x^{2}+\delta x^{3}+\varepsilon x^{4}}}}+{\frac {dy}{\sqrt {\alpha +\beta y+\gamma y^{2}+\delta y^{3}+\varepsilon y^{4}}}}=0,$

il n’y aurait qu’à changer le signe du second radical de l’équation (D),

et l’on aurait

${\begin{aligned}&{\sqrt {\alpha +\beta x+\gamma x^{2}+\delta x^{3}+\varepsilon x^{4}}}-{\sqrt {\alpha +\beta y+\gamma y^{2}+\delta y^{3}+\varepsilon y^{4}}}\\&\qquad =(x-y){\sqrt {\mathrm {G} ^{2}+\delta (x+y)+\varepsilon (x+y)^{2}}}.\end{aligned}}$

14. La différence des deux quantités qui sont sous le signe étant

$\beta (x-y)+\gamma \left(x^{2}-y^{2}\right)+\delta \left(x^{3}-y^{3}\right)+\varepsilon \left(x^{4}-y^{4}\right),$

on aura par l’équation (D)

${\sqrt {\alpha +\beta x+\gamma x^{2}+\delta x^{3}+\varepsilon x^{4}}}-{\sqrt {\alpha +\beta y+\gamma y^{2}+\delta y^{3}+\varepsilon y^{4}}}$

${\begin{aligned}&={\frac {\beta (x-y)+\gamma \left(x^{2}-y^{2}\right)+\delta \left(x^{3}-y^{3}\right)+\varepsilon \left(x^{4}-y^{4}\right)}{(x-y){\sqrt {\mathrm {G} ^{2}+\delta (x+y)+\varepsilon (x+y)^{2}}}}}\\&={\frac {\beta +\gamma (x+y)+\delta \left(x^{2}+xy+y^{2}\right)+\varepsilon \left(x^{3}+x^{2}y+xy^{2}+y^{3}\right)}{\sqrt {\mathrm {G} ^{2}+\delta (x+y)+\varepsilon (x+y)^{2}}}}\end{aligned}}$

donc, combinant cette équation avec celle que nous venons de citer, on aura

${\sqrt {\alpha +\beta x+\gamma x^{2}+\delta x^{3}+\varepsilon x^{4}}}={\frac {(x-y){\sqrt {\mathrm {G} ^{2}+\delta (x+y)+\varepsilon (x+y)^{2}}}}{2}}$

$+{\frac {\beta +\gamma (x+y)+\delta \left(x^{2}+xy+y^{2}\right)+\varepsilon \left(x^{3}+x^{2}y+xy^{2}+y^{3}\right)}{2{\sqrt {\mathrm {G} ^{2}+\delta (x+y)+\varepsilon (x+y)^{2}}}}}$

$={\frac {\beta +\gamma (x+y)+\mathrm {G} (x-y)+\delta \left(2x^{2}+xy\right)+2\varepsilon \left(x^{3}+x^{2}y\right)}{2{\sqrt {\mathrm {G} ^{2}+\delta (x+y)+\varepsilon (x+y)^{2}}}}},$

d’où, en multipliant en croix et quarrant les deux membres de cette équation, il viendra

${\begin{aligned}\beta ^{2}&-4\alpha \mathrm {G} +\left(2\beta \gamma +4\alpha \delta -2\beta \mathrm {G} \right)(x+y)+\left(\gamma ^{2}-4\alpha \varepsilon \right)(x+y)^{2}\\&+\mathrm {G} ^{2}(x-y)^{2}-2\beta \delta xy-2\gamma \mathrm {G} \left(x^{2}+y^{2}\right)\end{aligned}}$

$+\left(2\gamma \delta -4\beta \varepsilon -2\delta \mathrm {G} \right)(x+y)xy+\left(\delta ^{2}-4\varepsilon \mathrm {G} \right)x^{2}y^{2}=0,$

ou bien

${\begin{aligned}\beta ^{2}&-4\alpha \mathrm {G} +\left(2\beta \gamma +4\alpha \delta -2\beta \mathrm {G} \right)(x+y)\\&+\left(\gamma ^{2}-4\alpha \varepsilon \mathrm {G+G^{2}} \right)\left(x^{2}+y^{2}\right)+2\left(\gamma ^{2}-4\alpha \varepsilon -\beta \delta -\mathrm {G} ^{2}\right)xy\end{aligned}}$

$+2\left(\gamma \delta -2\beta \varepsilon -\delta \mathrm {G} \right)(x+y)xy+\left(\delta ^{2}-4\varepsilon \mathrm {G} \right)x^{2}y^{2}=0\,;$

et cette équation sera également l’intégrale de l’équation (E) et de l’équation (F) (n^os 12 et 13) ; ce qui s’accorde avec ce qu’on a démontré dans le n^o 6.

15. Considérons maintenant en général l’équation

${\frac {dx}{\sqrt {X}}}={\frac {dy}{\sqrt {Y}}},$

$\mathrm {X}$ étant une fonction quelconque de $x,$ et $\mathrm {Y}$ une fonction quelconque de $y.$ On aura d’abord les deux équations

${\frac {dt}{\mathrm {T} }}={\frac {dx}{\sqrt {X}}},\qquad {\frac {dt}{\mathrm {T} }}={\frac {dy}{\sqrt {Y}}},$

d’où l’on tire

${\frac {\mathrm {T} ^{2}dx^{2}}{dt^{2}}}=\mathrm {X} ,\qquad {\frac {\mathrm {T} ^{2}dy^{2}}{dt^{2}}}=\mathrm {Y} ,$

et différentiant, en faisant $dX=X'dx,\ dY=Y'dy,$

${\begin{aligned}{\frac {2\mathrm {T} d\mathrm {T} dx+2\mathrm {T} ^{2}d^{2}x}{dt^{2}}}=&\mathrm {X} ',\\{\frac {2\mathrm {T} d\mathrm {T} dy+2\mathrm {T} ^{2}d^{2}y}{dt^{2}}}=&\mathrm {Y} '.\end{aligned}}$

Soit

$x+y=p,\quad x-y=q,\quad d\mathrm {T} =\mathrm {M} dp+\mathrm {N} dq,$

on aura, en ajoutant les deux équations précédentes ensemble,

${\frac {2\mathrm {T} \left(\mathrm {M} dp^{2}+\mathrm {N} dpdq\right)+2\mathrm {T} ^{2}d^{2}p}{dt^{2}}}=\mathrm {X'+Y'} .$

Or

$dpdq=dx^{2}-dy^{2}={\frac {(\mathrm {X-Y} )dt^{2}}{\mathrm {T} ^{2}}}\,;$

donc, substituant cette valeur, on aura

${\frac {2\mathrm {T} \left(\mathrm {M} dp^{2}+\mathrm {T} d^{2}p\right)}{dt^{2}}}=\mathrm {X'+Y'} -\mathrm {\frac {2N(X-Y)}{T}} .$

Maintenant, puisque $x+y=p,s\ x-y=q,$ on aura

$x={\frac {p+q}{2}},\qquad y={\frac {p-q}{2}},$

de sorte qu’en ne considérant que la variabilité de $q$ on aura

${\begin{aligned}\mathrm {X} '&={\frac {d\mathrm {X} }{dx}}=2{\frac {d\mathrm {X} }{dq}},\\\mathrm {Y} '&={\frac {d\mathrm {Y} }{dy}}=-2{\frac {d\mathrm {Y} }{dq}}\,;\end{aligned}}$

de plus on a

$\mathrm {M} ={\frac {d\mathrm {T} }{dp}},\qquad \mathrm {N} ={\frac {d\mathrm {T} }{dq}}\,;$

donc, faisant ces substitutions dans l’équation précédente, elle se réduira à cette forme

${\frac {d\left({\cfrac {\mathrm {T} dp}{dt}}\right)^{2}}{dp}}=2\mathrm {T} {\frac {d\left(\mathrm {\cfrac {X-Y}{T}} \right)}{dq}}.$^[1]

Or, pour qu’on puisse tirer de cette équation la valeur de ${\frac {dp}{dt}},$ de il faut faire en sorte qu’elle ne contienne que les seules variables $p$ et $q\,;$ c’est ce qu’on ne saurait obtenir, ce me semble, qu’en faisant :

1^o $\mathrm {T=PQ} ,$ $\mathrm {P}$ étant une fonction quelconque de $p$ et $\mathrm {Q}$ une fonction quelconque de $q,$ pour avoir, en divisant par $\mathrm {Q} ^{2},$

${\frac {d\left({\cfrac {\mathrm {P} dp}{dt}}\right)^{2}}{dp}}={\frac {2}{\mathrm {Q} }}{\frac {d\left(\mathrm {\cfrac {X-Y}{Q}} \right)}{dq}}\,;$

2^o Il faudra que l’on ait

${\frac {1}{\mathrm {Q} }}{\frac {d\left(\mathrm {\cfrac {X-Y}{Q}} \right)}{dq}}=\operatorname {fonct} .p.$

Supposons donc que $\varphi (p)$ représente une fonction quelconque de $p,$ on aura

${\frac {1}{\mathrm {Q} }}{\frac {d\left(\mathrm {\cfrac {X-Y}{Q}} \right)}{dq}}=\varphi (p)\,;$

donc, multipliant par $\mathrm {Q} dq,$ et intégrant, en regardant $p$ comme constant, on aura

$\mathrm {\frac {X-Y}{Q}} =\varphi (p)\int \mathrm {Q} dq+\psi (p),$

$\psi (p)$ dénotant une autre fonction quelconque de $p\,;$ donc on aura

$\mathrm {X-Y=Q} \left[\varphi (p)\int \mathrm {Q} dq+\psi (p)\right].$

Si cette condition a lieu, alors on aura

${\frac {d\left({\cfrac {\mathrm {P} dp}{dt}}\right)^{2}}{dp}}=2\varphi (p)\,;$

donc, en multipliant par $dp$ et intégrant,

$\left({\frac {\mathrm {P} dp}{dt}}\right)^{2}=\mathrm {G} ^{2}+2\int \varphi (p)dp,$

$\mathrm {G}$ étant une constante quelconque ; d’où l’on tire

${\frac {\mathrm {P} dp}{dt}}={\sqrt {\mathrm {G} ^{2}+2\int \varphi (p)dp}}\,;$

mais

${\frac {dp}{dt}}={\frac {dx+dy}{dt}}=\mathrm {\frac {{\sqrt {X}}+{\sqrt {Y}}}{T}} =\mathrm {\frac {{\sqrt {X}}+{\sqrt {Y}}}{PQ}} \,;$

donc, substituant cette valeur, on aura

$\mathrm {{\sqrt {X}}+{\sqrt {Y}}=Q} {\sqrt {\mathrm {G} ^{2}+2\int \varphi (p)dp}}\,:$

c’est l’intégrale de l’équation proposée ${\frac {dx}{\sqrt {\mathrm {X} }}}={\frac {dy}{\sqrt {\mathrm {Y} }}}.$

16. Voyons à présent quelle doit être la nature des quantités $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ pour que l’équation de condition

$\mathrm {X-Y=Q} \left[\varphi (p)\int \mathrm {Q} dq+\psi (p)\right]$

ait lieu, et supposons d’abord que ces quantités soient de la forme suivante :

${\begin{aligned}\mathrm {X} =&\alpha +\beta x+\gamma x^{2}+\delta x^{3}+\varepsilon x^{4}+\zeta x^{5}+\eta x^{6}+\ldots ,\\\mathrm {Y} =&\alpha +\beta y+\gamma y^{2}\,+\delta y^{3}+\varepsilon y^{4}\,+\zeta y^{5}+\eta y^{6}+\ldots ,\end{aligned}}$

en sorte que l’on ait

${\begin{aligned}\mathrm {X-Y} =&\beta (x-y)+\gamma \left(x^{2}-y^{2}\right)+\delta \left(x^{3}-y^{3}\right)+\varepsilon \left(x^{4}-y^{4}\right)\\&+\zeta \left(x^{5}-y^{5}\right)+\eta \left(x^{6}-y^{6}\right)+\ldots \,;\end{aligned}}$

en faisant $x+y=p,\ x-y=q,$ c’est-à-dire

$x={\frac {p+q}{2}},\qquad y={\frac {p-q}{2}},$

on aura

${\begin{aligned}\mathrm {X-Y} =&\beta q+\gamma pq+{\frac {\delta }{4}}\left(3p^{2}+q^{2}\right)q+{\frac {\varepsilon }{8}}\left(4p^{3}+4pq^{2}\right)q\\&+{\frac {\zeta }{16}}\left(5p^{4}+10p^{2}q^{2}+q^{4}\right)q+{\frac {\eta }{32}}\left(6p^{5}+20p^{3}q^{2}+6pq^{4}\right)q+\ldots ,\end{aligned}}$

et comme cette quantité doit être égale, ou plutôt identique avec la quantité $\mathrm {Q} \left[\varphi (p)\int \mathrm {Q} dq+\psi (p)\right],$ dans laquelle $\mathrm {Q}$ est une fonction de $q$ seulement, il est visible qu’il faut :

1^o Que l’on ait $\mathrm {Q} =q,$ ce qui donne

$\int \mathrm {Q} dq={\frac {1}{2}}q^{2}\,;$

2^o Que l’on ait

$\beta +\gamma p+{\frac {3\delta p^{2}}{4}}+{\frac {4\varepsilon p^{3}}{8}}+{\frac {5\zeta p^{4}}{16}}+{\frac {6\eta p^{5}}{32}}+\ldots =\psi (p),$

$\left({\frac {\delta }{4}}+{\frac {4\varepsilon p}{8}}+{\frac {10\zeta p^{2}}{16}}+{\frac {20\eta p^{3}}{32}}+\ldots \right)q^{2}={\frac {q^{2}\varphi (p)}{2}},$

$\left({\frac {\zeta }{16}}+{\frac {6\eta p}{32}}+\ldots \right)q^{4}=0,$

c’est-à-dire

$\zeta =0,\qquad \eta =0,\ldots ,$

et par conséquent

$\psi (p)=\beta +\gamma p+{\frac {3\delta p^{2}}{4}}+{\frac {4\varepsilon p^{3}}{8}},\qquad \varphi (p)={\frac {\delta }{2}}+\varepsilon p.$

Donc

$2\int \varphi (p)dp=\delta p+\varepsilon p^{2}\,;$

de sorte que l’intégrale de l’équation sera dans ce cas

$\mathrm {{\sqrt {X}}+{\sqrt {Y}}} =q{\sqrt {\mathrm {G} ^{2}+\delta p+\varepsilon p^{2}}}.$

C’est le cas que nous avons déjà examiné (n^o 12).

Au reste on voit par là que les quantités $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ ne sauraient contenir d’autres puissances de $x$ et de $y$ que celles qui ne passent point le quatrième degré.

17. Supposons maintenant en général

$\mathrm {X} =\Phi (2x),\qquad \mathrm {Y} =\Psi (2y),$

en sorte que l’on ait

$\mathrm {X} =\Phi (p+q),\qquad \mathrm {Y} =\Psi (p-q),$

et l’équation de condition sera

$\Phi (p+q)-\Psi (p-q)=\mathrm {Q} \left[\varphi (p)\int \mathrm {Q} dq+\Psi (p)\right]\,;$

soient différentiés les deux membres de cette équation deux fois de suite en faisant varier $p$ seulement, on aura

$\Phi ''(p+q)-\Psi ''(p-q)=\mathrm {Q} \left[\varphi ''(p)\int \mathrm {Q} dq+\Psi ''(p)\right]\,;$

soient ensuite différentiés les deux membres deux fois, en faisant varier $q$ seulement, nous aurons

$\Phi ''(p+q)-\Psi ''(p-q)=\varphi (p){\frac {d^{2}\left(\mathrm {Q} \int \mathrm {Q} dq\right)}{dq^{2}}}+\psi (p){\frac {d^{2}\mathrm {Q} }{dq^{2}}}\,;$

donc

$\mathrm {Q} \psi ''p+\mathrm {Q} \int \mathrm {Q} dq\times \varphi ''(p)={\frac {d\mathrm {Q} ^{2}}{dq^{2}}}\psi (p)+{\frac {d^{2}\left(\mathrm {Q} \int \mathrm {Q} dq\right)}{dq^{2}}}\varphi (p).$

Cette équation devant être identique, je supposerai d’abord

${\frac {d^{2}\mathrm {Q} }{dq^{2}}}=-m^{2}\mathrm {Q} ,$

$m$

étant un coefficient constant quelconque, d’où l’on a, en intégrant,

$\mathrm {Q=A} \sin(mq+\alpha ),$

$\mathrm {A}$ et $\alpha$ étant aussi des constantes quelconques, et par conséquent, en intégrant de nouveau,

$\int \mathrm {Q} dq=-{\frac {\mathrm {A} }{m}}\cos(mq+\alpha )$

et

$\mathrm {Q} \int \mathrm {Q} dq=-{\frac {\mathrm {A} ^{2}}{2m}}\sin 2(mq+\alpha )\,;$

de sorte que l’équation précédente deviendra

$\mathrm {A} \sin(mq+\alpha )\left[\psi ''(p)+m^{2}\psi (p)\right]-{\frac {\mathrm {A} ^{2}}{2m}}\sin 2(mq+\alpha )\left[\varphi ''(p)+4m^{2}\varphi (p)\right]=0,$

laquelle devant être vraie, indépendamment d’aucune équation entre $q$ et $p,$ il faudra que l’on ait

$\psi ''(p)+m^{2}\psi (p)=0,\qquad \varphi ''(p)+4m^{2}\varphi (p)=0\,;$

ce qui donne, en prenant des constantes quelconques $\mathrm {B} ,\beta$ et $\mathrm {C} ,\gamma ,$

${\begin{aligned}\psi (p)=&\mathrm {B} \sin(mp+\beta ),\\\varphi (p)=&\mathrm {C} \sin(mp+\gamma ).\end{aligned}}$

Substituant donc toutes ces valeurs dans l’équation de condition trouvée ci-dessus, on aura

${\begin{aligned}\Phi &(p+q)-\Psi (p-q)\\&=\mathrm {AB} \sin(mp+\beta )\sin(mq+\alpha )-{\frac {\mathrm {A^{2}C} }{2m}}\sin 2(mp+\gamma )\sin 2(mq+\alpha )\\&\qquad -\mathrm {\frac {AB}{2}} \left\{\cos \left[m(p+q)+\beta +\alpha \right]-\cos \left[m(p-q)+\beta -\alpha \right]\right\}\\&\qquad +{\frac {\mathrm {A^{2}C} }{2m}}\left\{\cos 2\left[m(p+q)+\gamma +\alpha \right]-\cos 2\left[m(p-q)+\gamma -\alpha \right]\right\}.\end{aligned}}$

Donc, faisant pour plus de simplicité $-\mathrm {\frac {AB}{2}} =b,\ {\frac {\mathrm {A^{2}C} }{2m}}=c,$ et prenant une constante quelconque $a,$ on aura

${\begin{aligned}\Phi (p+q)=&a+b\cos \left[m(p+q)+\beta +\alpha \right]+c\cos 2\left[m(p+q)+\gamma +\alpha \right],\\\Psi (p-q)=&a+b\cos \left[m(p-q)+\beta -\alpha \right]+c\cos 2\left[m(p-q)+\gamma -\alpha \right]\,;\end{aligned}}$

donc, en mettant $2x$ à la place de $p+q,$ $2y$ à la place de $p-q,$ et $n$ à la place de $2m,$ on aura

${\begin{aligned}\mathrm {X} =&a+b\cos(nx+\beta +\alpha )+c\cos 2(nx+\gamma +\alpha ),\\\mathrm {Y} =&a+b\cos(ny+\beta -\alpha )+c\cos 2(ny+\gamma -\alpha ).\end{aligned}}$

Ce sont, ce me semble, les valeurs les plus générales que l’on puisse donner aux quantités $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ pour que l’équation ${\frac {dx}{\sqrt {\mathrm {X} }}}={\frac {dy}{\sqrt {\mathrm {Y} }}}$ soit intégrable par notre méthode ; et l’intégrale sera

$\mathrm {{\sqrt {X}}+{\sqrt {Y}}=A} \sin(mq+\alpha ){\sqrt {\mathrm {G} ^{2}-{\frac {\mathrm {C} }{m}}\cos 2(mp+\gamma )}},$

ou bien, en mettant ${\frac {2c}{\mathrm {A} ^{2}}}$ au lieu de ${\frac {\mathrm {C} }{m}},$ et faisant $\mathrm {G^{2}={\frac {H^{2}}{A^{2}}}} ,$

$\mathrm {{\sqrt {X}}+{\sqrt {Y}}} =\sin \left[{\frac {n(x-y)}{2}}+\alpha \right]{\sqrt {H^{2}-2c\cos \left[n(x+y)+2\gamma \right]}}.$

18. Soit fait

${\begin{aligned}\cos nx+\sin nx{\sqrt {-1}}=&u,\\\cos ny+\sin ny{\sqrt {-1}}=&v,\end{aligned}}$

on aura

${\begin{alignedat}{2}\cos nx\ \ =&{\frac {1+u^{2}}{2u}},&\sin nx\ \ =&{\frac {1-u^{2}}{2u}}{\sqrt {-1}},\\\cos 2nx=&{\frac {1+u^{4}}{2u^{2}}},\qquad &\sin 2nx=&{\frac {1-u^{4}}{2u^{2}}}{\sqrt {-1}},\end{alignedat}}$

et de même

${\begin{alignedat}{2}\cos ny\ \ =&{\frac {1+v^{2}}{2v}},&\sin ny\ \ =&{\frac {1-v^{2}}{2v}}{\sqrt {-1}},\\\cos 2ny=&{\frac {1+v^{4}}{2v^{2}}},\qquad &\sin 2ny=&{\frac {1-v^{4}}{2v^{2}}}{\sqrt {-1}},\end{alignedat}}$

on aura de plus

${\begin{aligned}\cos n(x+y)\,\ =&{\frac {1+u^{2}v^{2}}{2uv}},\\\sin n(x+y)\,\ =&{\frac {1-u^{2}v^{2}}{2uv}}{\sqrt {-1}},\\\cos {\frac {n(x-y)}{2}}=&{\frac {v+u}{2{\sqrt {vu}}}},\\\sin {\frac {n(x-y)}{2}}=&{\frac {v-u}{2{\sqrt {vu}}}}{\sqrt {-1}}.\end{aligned}}$

Enfin on aura

$dx={\frac {du}{nu{\sqrt {-1}}}},\qquad dy={\frac {dv}{nv{\sqrt {-1}}}}.$

Supposons outre cela

${\begin{alignedat}{2}\cos(\beta +\alpha )=&\mathrm {A} ,&\cos 2(\gamma +\alpha )=&\mathrm {B} ,\\\cos(\beta -\alpha )=&\mathrm {E} ,\qquad &\cos 2(\gamma -\alpha )=&\mathrm {F} ,\end{alignedat}}$

on aura

${\begin{aligned}\cos 2\alpha =&\mathrm {AE+{\sqrt {1-A^{2}}}{\sqrt {1-E^{2}}}} ,\\\cos 4\alpha =&\mathrm {BF+{\sqrt {1-B^{2}}}{\sqrt {1-F^{2}}}} \,;\end{aligned}}$

donc

(G)

$1+\mathrm {BF+{\sqrt {1-B^{2}}}{\sqrt {1-F^{2}}}=2(AE+{\sqrt {1-A^{2}}}{\sqrt {1-E^{2}}}} .$

Ensuite, en faisant, pour abréger,

${\begin{aligned}&\mathrm {AE+{\sqrt {1-A^{2}}}{\sqrt {1-E^{2}}}=M} ,\\&\mathrm {BF+{\sqrt {1-B^{2}}}{\sqrt {1-F^{2}}}=N} ,\end{aligned}}$

on aura

${\begin{alignedat}{2}\cos \alpha \,\ =&{\sqrt {\frac {1+M}{2}}},&\sin \alpha \,\ =&{\sqrt {\frac {1-M}{2}}},\\\cos 2\gamma =&{\sqrt {\frac {1+N}{2}}},\qquad &\sin 2\gamma =&{\sqrt {\frac {1-N}{2}}},\end{alignedat}}$

donc, en faisant toutes ces substitutions dans les formules du numéro précédent, on aura d’abord

${\begin{aligned}\mathrm {X} =&a+b{\frac {\mathrm {A} \left(1+u^{2}\right)-{\sqrt {\mathrm {A} ^{2}-1}}\left(1-u^{2}\right)}{2u}}+c{\frac {\mathrm {B} \left(1+u^{4}\right)-{\sqrt {\mathrm {B} ^{2}-1}}\left(1-u^{4}\right)}{2u^{2}}},\\\mathrm {Y} =&a+b{\frac {\mathrm {E} \left(1+v^{2}\right)-{\sqrt {\mathrm {E} ^{2}-1}}\left(1-v^{2}\right)}{2v}}+c{\frac {\mathrm {F} \left(1+v^{4}\right)-{\sqrt {\mathrm {F} ^{2}-1}}\left(1-v^{4}\right)}{2v^{2}}},\end{aligned}}$

ou bien,

$\mathrm {X} ={\frac {\mathrm {U} }{2u^{2}}}\quad {\text{et}}\quad \mathrm {Y} ={\frac {\mathrm {V} }{2v^{2}}},$

en supposant pour plus de simplicité

${\begin{aligned}\mathrm {U} =&c\mathrm {\left(B-{\sqrt {B^{2}-1}}\right)} +b\mathrm {\left(A-{\sqrt {A^{2}-1}}\right)} u\\&+2au^{2}+b\mathrm {\left(A+{\sqrt {A^{2}-1}}\right)} u^{3}+c\mathrm {\left(B+{\sqrt {B^{2}-1}}\right)} u^{4},\\V=&c\mathrm {\left(F-{\sqrt {F^{2}-1}}\right)} +b\mathrm {\left(E-{\sqrt {E^{2}-1}}\right)} v\\&+2av^{2}+b\mathrm {\left(E+{\sqrt {E^{2}-1}}\right)} v^{3}+c\mathrm {\left(F+{\sqrt {F^{2}-1}}\right)} v^{4}\,;\end{aligned}}$

de sorte que l’équation

${\frac {dx}{\sqrt {\mathrm {X} }}}={\frac {dy}{\sqrt {\mathrm {Y} }}}$

deviendra

${\frac {du}{\sqrt {\mathrm {U} }}}={\frac {dv}{\sqrt {\mathrm {V} }}},$

dont l’intégrale sera

${\begin{aligned}{\frac {\sqrt {\mathrm {U} }}{u}}+{\frac {\sqrt {\mathrm {V} }}{v}}=&{\frac {(v+u){\sqrt {1-\mathrm {M} }}+(v-u){\sqrt {-1-\mathrm {M} }}}{2{\sqrt {vu}}}}\\&\times {\sqrt {\mathrm {H} ^{2}-c{\frac {\left(1+u^{2}v^{2}\right){\sqrt {1+\mathrm {N} }}-\left(1-u^{2}v^{2}\right){\sqrt {\mathrm {N} -1}}}{uv{\sqrt {2}}}}}}.\end{aligned}}$

Il est clair que l’équation ${\frac {du}{\sqrt {\mathrm {U} }}}={\frac {dv}{\sqrt {\mathrm {V} }}},$ est un peu plus générale que l’équation (E) que nous avons appris à intégrer dans le n^o 12 ; car dans cette dernière équation il n’y a que cinq coefficients indéterminés, au lieu que dans celle dont il s’agit il y en a six ; je dis six, quoique les quantités $a,b,c,\mathrm {A,B,E,F}$ soient au nombre de sept ; car nous avons vu ci-dessus qu’il doit y avoir entre les quatre dernières de ces quantités un rapport exprimé par l’équation (G).

19. Pour généraliser, s’il est possible, la méthode que je viens d’expliquer, je reprends les équations

${\frac {dt}{\mathrm {T} }}={\frac {dx}{\sqrt {\mathrm {X} }}},\qquad {\frac {dt}{\mathrm {T} }}={\frac {dy}{\sqrt {\mathrm {Y} }}},$

et j’en prends les différentielles logarithmiques, en regardant toujours $dt$ comme constante ; j’ai

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}x}{dx}}=&\mathrm {\frac {X'}{2X}} dx-{\frac {1}{\mathrm {T} }}{\frac {d\mathrm {T} }{dx}}dx-{\frac {1}{\mathrm {T} }}{\frac {d\mathrm {T} }{dy}}dy,\\{\frac {d^{2}y}{dy}}=&\mathrm {\frac {Y'}{2Y}} dy-{\frac {1}{\mathrm {T} }}{\frac {d\mathrm {T} }{dx}}dx-{\frac {1}{\mathrm {T} }}{\frac {d\mathrm {T} }{dy}}dy,\end{aligned}}$

donc

${\begin{aligned}d^{2}x=&\left(\mathrm {\frac {X'}{2X}} -{\frac {1}{\mathrm {T} }}{\frac {d\mathrm {T} }{dx}}\right)dx^{2}-{\frac {1}{\mathrm {T} }}{\frac {d\mathrm {T} }{dy}}dxdy,\\d^{2}y=&\left(\mathrm {\frac {Y'}{2Y}} -{\frac {1}{\mathrm {T} }}{\frac {d\mathrm {T} }{dy}}\right)dy^{2}-{\frac {1}{\mathrm {T} }}{\frac {d\mathrm {T} }{dx}}dxdy,\end{aligned}}$

ou bien, en mettant $\mathrm {\frac {X}{T^{2}}} dt^{2}$ au lieu de $dx^{2},$ et $\mathrm {\frac {Y}{T^{2}}} dt^{2}$ au lieu de $dy^{2},$

${\begin{aligned}d^{2}x=&{\frac {1}{2}}{\frac {d\left(\mathrm {\cfrac {X}{T^{2}}} \right)}{dx}}dt^{2}-{\frac {d\log \mathrm {T} }{dy}}dxdy,\\d^{2}y=&{\frac {1}{2}}{\frac {d\left(\mathrm {\cfrac {Y}{T^{2}}} \right)}{dy}}dt^{2}-{\frac {d\log \mathrm {T} }{dx}}dxdy.\end{aligned}}$

Soit maintenant $\mathrm {Z}$ une fonction quelconque de $x$ et de $y,$ et supposons

$d\mathrm {Z} =\mathrm {P} dx+\mathrm {Q} dy,$

on aura, en différentiant de nouveau,

$d^{2}\mathrm {Z} =\mathrm {P} d^{2}x+\mathrm {Q} d^{2}y+{\frac {d\mathrm {P} }{dx}}dx^{2}+2{\frac {d\mathrm {P} }{dy}}dxdy+{\frac {d\mathrm {Q} }{dy}}dy^{2}\,;$

donc, substituant au lieu de $d^{2}x,d^{2}y,dx^{2}$ et $dy^{2}$ leurs valeurs, on aura

${\begin{aligned}d^{2}Z=&\left[{\frac {1}{2}}\mathrm {P} {\frac {d\left(\mathrm {\cfrac {X}{T^{2}}} \right)}{dx}}+\mathrm {\frac {X}{T^{2}}} {\frac {d\mathrm {P} }{dx}}\right]dt^{2}+\left[{\frac {1}{2}}\mathrm {Q} {\frac {d\left(\mathrm {\cfrac {Y}{T^{2}}} \right)}{dy}}+\mathrm {\frac {Y}{T^{2}}} {\frac {d\mathrm {Q} }{dy}}\right]dt^{2}\\&+\left[2{\frac {d\mathrm {P} }{dy}}-\mathrm {P} {\frac {d\log \mathrm {T} }{dy}}-\mathrm {Q} {\frac {d\log \mathrm {T} }{dx}}\right]dxdy.\end{aligned}}$

Donc, si l’on suppose

(H)

$2{\frac {d\mathrm {P} }{dy}}-\mathrm {P} {\frac {d\log \mathrm {T} }{dy}}-\mathrm {Q} {\frac {d\log \mathrm {T} }{dx}}=0$

et

(I)

${\frac {1}{2}}\mathrm {P} {\frac {d\left(\mathrm {\cfrac {X}{T^{2}}} \right)}{dx}}+\mathrm {\frac {X}{T^{2}}} {\frac {d\mathrm {P} }{dx}}dt^{2}+{\frac {1}{2}}\mathrm {Q} {\frac {d\left(\mathrm {\cfrac {Y}{T^{2}}} \right)}{dy}}+\mathrm {\frac {Y}{T^{2}}} {\frac {d\mathrm {Q} }{dy}}=\varphi (\mathrm {Z} ),$

on aura l’équation

${\frac {d^{2}\mathrm {Z} }{dt^{2}}}=\varphi (\mathrm {Z} ),$

laquelle, étant multipliée par $2d\mathrm {Z}$ et ensuite intégrée, donnera

$\left({\frac {d\mathrm {Z} }{dt}}\right)^{2}=\mathrm {G} ^{2}+2\int \varphi (\mathrm {Z} )d\mathrm {Z} ,$

et par conséquent

${\frac {d\mathrm {Z} }{dt}}={\sqrt {\mathrm {G} ^{2}+2\int \varphi (\mathrm {Z} )d\mathrm {Z} }}\,;$

mais

${\frac {d\mathrm {\mathrm {Z} } }{dt}}={\frac {\mathrm {P} dx+\mathrm {Q} dy}{dt}}=\mathrm {\frac {P{\sqrt {X}}+Q{\sqrt {Y}}}{T}} \,;$

donc en faisant

$\int \varphi (\mathrm {Z} )d\mathrm {Z} =\Phi (\mathrm {Z} ),$

l’intégrale de l’équation ${\frac {dx}{\sqrt {X}}}={\frac {dy}{\sqrt {Y}}}$ sera

$\mathrm {P{\sqrt {X}}+Q{\sqrt {Y}}=T{\sqrt {G^{2}+2\int \Phi (Z)}}} ,$

$\mathrm {G} ^{2}$ étant la constante arbitraire.

20. Toute la difficulté se réduit donc à déterminer les quantités $\mathrm {T}$ et $\mathrm {Z} ,$ en sorte que les équations (H) et (I) aient lieu.

Si l’on fait $\log \mathrm {T} =u,$ l’équation (H) deviendra

$\mathrm {P} {\frac {du}{dy}}+\mathrm {Q} {\frac {du}{dx}}=2{\frac {d\mathrm {P} }{dy}},$

d’où l’on tire

${\frac {du}{dy}}={\frac {2}{\mathrm {P} }}{\frac {d\mathrm {P} }{dy}}-\mathrm {\frac {Q}{P}} {\frac {du}{dx}},$

de sorte qu’on aura

$du={\frac {du}{dx}}dx+{\frac {du}{dy}}dy={\frac {2}{\mathrm {P} }}{\frac {d\mathrm {P} }{dy}}dy+\left(dx-{\frac {\mathrm {Q} dy}{\mathrm {P} }}\right){\frac {du}{dx}}.$

Soit $\mathrm {R}$ le facteur par lequel il faudrait multiplier la différentielle $\mathrm {P} dx-\mathrm {Q} dy$ pour la rendre intégrable, en sorte que l’on ait

$\mathrm {R} (\mathrm {P} dx-\mathrm {Q} dy)=dz,$

et l’on aura

$du={\frac {2}{\mathrm {P} }}{\frac {d\mathrm {P} }{dy}}dy+\mathrm {\frac {1}{RP}} {\frac {du}{dx}}dz\,;$

donc, regardant $u$ comme une fonction de $y$ et $z,$ et supposant $z$ constant, on aura

$du={\frac {2}{\mathrm {P} }}{\frac {d\mathrm {P} }{dy}}dy,$

et par conséquent

$u=2\int {\frac {1}{\mathrm {P} }}{\frac {d\mathrm {P} }{dy}}dy+\psi (z),$

en prenant l’intégrale $\int {\frac {1}{\mathrm {P} }}{\frac {d\mathrm {P} }{dy}}dy$ dans la supposition de $z$ constante : donc, puisque $u=\log \mathrm {T} ,$ si l’on fait aussi

$\psi (z)=\log \Psi (z),$

on aura

$\mathrm {T} =\Psi (z)e^{2\int {\frac {1}{\mathrm {P} }}{\frac {d\mathrm {P} }{dy}}dy},$

$\Psi (z)$ dénotant une fonction quelconque de $z.$

Ayant ainsi déterminé la quantité $\mathrm {T} ,$ il ne restera plus qu’a satisfaire à l’équation (I) qui peut se réduire à cette forme plus simple :

(K)

$\mathrm {\frac {1}{P}} {\frac {d\left(\mathrm {\cfrac {P^{2}X}{T^{2}}} \right)}{dx}}+\mathrm {\frac {1}{Q}} {\frac {d\left(\mathrm {\cfrac {Q^{2}Y}{T^{2}}} \right)}{dy}}=2\varphi (\mathrm {Z} ).$

21. Supposons que $\mathrm {P}$ soit une fonction de $x$ seul, et $\mathrm {Q}$ une fonction de $y$ seul, en sorte que l’on ait

$\mathrm {Z} =\int \mathrm {P} dx+\int \mathrm {Q} dy\quad {\text{et}}\quad z=\int \mathrm {P} dx-\int \mathrm {Q} dy,$

et l’on aura d’abord, à cause de ${\frac {d\mathrm {P} }{dy}}=0,$

$\mathrm {T} =\Psi \left(\int \mathrm {P} dx-\int \mathrm {Q} dy\right)\,;$

ensuite l’équation (K) étant multipliée par $\mathrm {P} dx,$ et ensuite intégrée en regardant $y$ comme constante, donnera, à cause de $\mathrm {P} dx=d\mathrm {Z} ,$

$\mathrm {\frac {P^{2}X}{T^{2}}} +\int {\frac {d\left(\mathrm {\cfrac {Q^{2}Y}{T^{2}}} \right)}{dy}}\mathrm {\frac {P}{Q}} dx=2\Phi (\mathrm {Z} )+\Pi (y)\,;$

mais

${\frac {d\left(\mathrm {\cfrac {Q^{2}Y}{T^{2}}} \right)}{dy}}={\frac {1}{\mathrm {T} ^{2}}}{\frac {d\mathrm {Q^{2}Y} }{dy}}-2\mathrm {\frac {Q^{2}Y}{T^{3}}} {\frac {d\mathrm {T} }{dy}}\,;$

donc on aura

${\begin{aligned}\int {\frac {d\left(\mathrm {\cfrac {Q^{2}Y}{T^{2}}} \right)}{dy}}\mathrm {\frac {P}{Q}} dx=&{\frac {1}{\mathrm {Q} }}{\frac {d\mathrm {Q^{2}Y} }{dy}}\int {\frac {\mathrm {P} dx}{\mathrm {T} ^{2}}}-2\mathrm {QY} \int \mathrm {\frac {P}{T^{2}}} {\frac {d\mathrm {T} }{dy}}dx\\=&{\frac {1}{\mathrm {Q} }}{\frac {d\mathrm {\left(Q^{2}Y\int {\cfrac {\mathrm {P} dx}{\mathrm {T} ^{2}}}\right)} }{dy}}\,;\end{aligned}}$

de sorte que l’équation précédente deviendra

$\mathrm {\frac {P^{2}X}{T^{2}}} +{\frac {1}{\mathrm {Q} }}{\frac {d\mathrm {\left(Q^{2}Y\int {\cfrac {\mathrm {P} dx}{\mathrm {T} ^{2}}}\right)} }{dy}}=2\Phi (\mathrm {Z} )+\Pi (y),$

laquelle étant multipliée par $\mathrm {Q} dy,$ et intégrée derechef en regardant $x$ comme constante, donnera, à cause de $d\mathrm {Z} =\mathrm {Q} dy,$

$\mathrm {P^{2}X} \int {\frac {\mathrm {Q} dy}{\mathrm {T} ^{2}}}+\mathrm {Q^{2}Y} \int {\frac {\mathrm {P} dx}{\mathrm {T} ^{2}}}=2\int \Phi (\mathrm {Z} )d\mathrm {Z} +\Gamma (x)+\Delta (y),$

$\Gamma (x)$ et $\Delta (y)$ étant des fonctions quelconques de $x$ et de $y.$

Or, puisque $\mathrm {T} =\Psi \left(\int \mathrm {P} dx-\int \mathrm {Q} dy\right),$ si l’on suppose en général

$\Sigma (p)=-\int {\frac {dp}{\left[\Psi (p)\right]^{2}}},$

on aura

$\int {\frac {\mathrm {P} dx}{\mathrm {T} ^{2}}}=-\Sigma \left(\int \mathrm {P} dx-\int \mathrm {Q} dy\right)$

et

$\int {\frac {\mathrm {Q} dy}{\mathrm {T} ^{2}}}=\Sigma \left(\int \mathrm {P} dx-\int \mathrm {Q} dy\right)\,;$

donc on aura enfin pour l’équation de condition

(L)

$\mathrm {\left(P^{2}X-Q^{2}Y\right)} \Sigma \left(\int \mathrm {P} dx-\int \mathrm {Q} dy\right)=2\int \Phi (\mathrm {Z} )d\mathrm {Z} +\Gamma (x)+\Delta (y).$

Quoique cette équation ne soit qu’un cas particulier de l’équation (K), elle est cependant en quelque sorte plus générale que celle que nous avons trouvée par la méthode du n^o 15.

22. Si l’on fait, comme dans le n^o 16,

${\begin{aligned}\mathrm {X} =&\alpha +\beta x+\gamma x^{2}+\delta x^{3}+\varepsilon x^{4}+\zeta x^{5}+\eta x^{6}+\theta x^{7}+\lambda x^{8}+\ldots ,\\\mathrm {Y} =&\alpha +\beta y+\gamma y^{2}+\delta y^{3}+\varepsilon y^{4}+\zeta y^{5}+\eta y^{6}+\theta y^{7}+\lambda y^{8}+\ldots .\end{aligned}}$

on trouvera que l’on peut satisfaire à l’équation (L) dans les cas suivants :

1^o En faisant

$\mathrm {P} =1,\qquad \mathrm {Q} =1,\qquad \Sigma (x-y)={\frac {1}{x-y}},$

$2\int \Phi (\mathrm {Z} )d\mathrm {Z} =\beta +\gamma \mathrm {Z+{\frac {\delta Z^{2}}{2}}+{\frac {\varepsilon Z^{3}}{3}}} ,\quad {\text{à cause de}}\quad \mathrm {Z} =x+y,$

$\Gamma (x)={\frac {\delta x^{2}}{2}}+{\frac {2\varepsilon x^{3}}{3}},\qquad \Delta (y)={\frac {\delta y^{2}}{2}}+{\frac {2\varepsilon y^{3}}{3}},$

et

$\zeta =0,\qquad \eta =0,\ldots \,;$

c’est le cas que nous avons résolu dans le même numéro.

2^o En faisant

$\mathrm {P} =x,\qquad \mathrm {Q} =y,\qquad \Sigma \left({\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {y^{2}}{2}}\right)={\frac {1}{x^{2}-y^{2}}},$

$2\int \Phi (\mathrm {Z} )d\mathrm {Z} =\alpha +2\gamma \mathrm {Z+2\varepsilon Z^{2}+{\frac {8\eta Z^{3}}{3}}} ,\ {\text{à cause de}}\ \mathrm {Z} ={\frac {x^{2}+y^{2}}{2}},$

$\Gamma (x)=-{\frac {\varepsilon x^{4}}{2}}+{\frac {2\eta x^{6}}{3}},\qquad \Delta (y)={\frac {\varepsilon y}{2}}+{\frac {2\eta y^{6}}{3}},$

et

$\beta =0,\quad \delta =0,\quad \zeta =0,\quad ,\theta =0,\quad \lambda =0,\ldots$

3^o En faisant

$\mathrm {P} =x^{2},\qquad \mathrm {Q} =y^{2},\qquad \Sigma \left({\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {y^{3}}{3}}\right)={\frac {1}{x^{3}-y^{3}}},$

$2\int \Phi (\mathrm {Z} )d\mathrm {Z} =3\gamma \mathrm {Z+{\frac {9\zeta Z^{2}}{2}}+9\lambda Z^{3}} \ {\text{à cause de}}\ \mathrm {Z} ={\frac {x^{3}+y^{3}}{3}},$

$\Gamma (x)={\frac {\zeta x^{6}}{2}}+{\frac {2\lambda x^{9}}{3}},\qquad \Delta (y)={\frac {\zeta y^{6}}{2}}+{\frac {2\lambda y^{9}}{3}}$

et

$\alpha =0,\qquad \beta =0,\quad \delta =0,\quad \varepsilon =0,\quad ,\eta =0,\quad \theta =0,\ldots$

et ainsi des autres.

Au reste, tous ces différents cas peuvent se déduire du premier par des substitutions convenables ; c’est de quoi l’on se convaincra aisément en mettant, dans l’équation ${\frac {x}{\sqrt {\mathrm {X} }}}={\frac {dy}{\sqrt {\mathrm {Y} }}},x^{2},x^{3},\ldots ,$ à la place de $x,$ et $y^{2},y3,\ldots ,$ à la place de $y\,;$ de sorte que, à proprement parler, les suppositions de $\mathrm {P} =x^{m}$ et $\mathrm {Q} =y^{m}$ ne donnent point d’autres cas que ceux de $\mathrm {P} =1$ et $\mathrm {Q} =1.$ Mais comme ces suppositions sont très-particulières, et que l’équation (L) n’est elle-même qu’un cas très-particulier de l’équation (K) du n^o 20, il n’est pas impossible qu’on ne puisse découvrir encore par le moyen de cette équation d’autres cas d’intégrabilité de l’équation ${\frac {x}{\sqrt {\mathrm {X} }}}={\frac {dy}{\sqrt {\mathrm {Y} }}}\,;$ ce qui ouvre, comme on voit, un vaste champ aux recherches des analystes.

1. Ce sont les dérivées partielles des fonctions $\left(\mathrm {T} {\frac {dp}{dt}}\right)^{2}$ et $\mathrm {\frac {X-Y}{T}}$ par rapport à $p$ et $q$ respectivement, qui figurent dans cette équation ; il faut supposer que ${\frac {dp}{dt}}$ soit exprimée en fonction de la seule variable $p.\qquad \qquad \qquad$ (Note de l’ÉdIteur.}