Mémoires extraits des recueils de l’Académie de Turin/Sur la méthode des variations

Joseph-Louis Lagrange

Sur la méthode des variations

Mémoires extraits des recueils de l’Académie de Turin, Gauthier-Villars, 1868, Œuvres de Lagrange. Tome II (p. 37-63).

SUR LA
MÉTHODE DES VARIATIONS

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(Miscellanea Taurinensia, t. IV, 1766-1769.)

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I.

J’ai donné, dans le second volume des Miscellanea Taurinensia^[1] une nouvelle méthode pour la solution des Problèmes où il s’agit de trouver les courbes qui jouissent de quelque propriété du maximum ou du minimum. Cette méthode, qu’on peut très-bien appeler, d’après M. Euler, méthode des variations, avait déjà été communiquée dès 1755 à ce grand Géomètre, qui l’avait jugée digne de son attention et de son suffrage, comme il paraît par les différentes lettres qu’il m’a écrites sur ce sujet, et que je conserve encore. Dans une de ces lettres, datée du 2 octobre 1759, il s’exprime en ces termes :

« Analitica tua solutio Problematis isoperimetrici continet, ut video, quidquid in hac materia desiderari potest, et ego maxime gaudeo, hoc argumentum, quod fere solus, post primos conatus, tractaveram, a te potissimum ad summum perfectionis fastigium esse erectum. Rei dignitas me excitavit, ut tuis luminibus adjutus ipse solutionem analiticam conscripserim, quam autem celare statui, donec ipse tuas meditationes publici juris feceris, ne ullam partem gloriæ tibi debitæ præripiam. » En effet, M. Euler a donné depuis, dans le tome X des Nouveaux Commentaires de Pétersbourg, imprimé en 1766, deux Mémoires assez étendus sur cette matière, dans lesquels, après m’avoir fait honneur de la méthode dont il s’agit, il en explique les principes et les usages avec beaucoup de détail et de précision^[2]. Après des témoignages aussi formels de la part d’un Géomètre tel que M. Euler, j’ai dû être surpris du peu de justice que m’ont rendue d’autres Géomètres, qui se sont depuis peu occupés du même sujet, M. Fontaine vient de donner, dans le volume de l’Académie des Sciences de Paris pour l’année 1767, un Mémoire intitulé : Addition à la méthode pour la solution des Problèmes de maximis et minimis. L’Auteur débute par avancer sans aucun fondement que « je me suis égaré dans la route nouvelle que j’ai prise, pour n’en avoir pas connu la vraie théorie. » Ensuite, pour suppléer au défaut prétendu de ma méthode, il en donne deux autres qu’il regarde comme nouvelles et fort supérieures à toutes les méthodes connues pour le meme objet. Je ne crois pouvoir rien faire de mieux pour ma justification que d’inviter les connaisseurs à lire l’Ouvrage même de M. Fontaine et à le comparer avec le mien et avec celui de M. Euler. On verra, si je ne me trompe, que, des deux méthodes de M. Fontaine, l’une n’est autre chose que celle que M. Euler avait donnée dans son excellent Ouvrage intitulé Methodus inveniendi lineas curvas, etc., et qu’il a ensuite abandonnée pour adopter la mienne, et que l’autre est la même, quant au fond, que ma méthode, dont elle diffère seulement par la manière vague et imparfaite dont elle est présentée.

Les autres Géomètres dont j’aurais aussi en quelque façon su jet de me plaindre, quoique par une raison bien différente de la précédente, sont les Pères minimes Le Seur et Jacquier, qui viennent de publier à Parme un très-bon Traité de Calcul intégral.

Ces savants, ayant eu pour objet de rassembler les principales méthodes relatives au Calcul intégral, n’ont pas oublié la nouvelle méthode des variations, à laquelle ils ont même destiné un Chapitre entier du second volume de leur Ouvrage. Il aurait été naturel et même équitable qu’ils eussent fait quelque mention de mon Mémoire de 1762, surtout après en avoir transcrit, comme ils ont fait, plusieurs pages entières^[3] cependant je serais bien éloigné de leur reprocher cette omission, s’ils s’étaient contentés d’exposer la méthode dont il s’agit, sans citer personne, comme ils en ont usé dans d’autres endroits du même volume^[4] ; mais comme, par la citation des Mémoires de M. Euler dont nous avons parlé plus haut, ils paraissent vouloir lui attribuer cette méthode, je crois pouvoir faire remarquer que j’en suis le premier auteur, et que je n’en partage la possession avec personne.

Je dois encore observer que MM. Le Seur et Jacquier ne s’expriment pas exactement quand ils disent (page 531 du tome II) que M. Euler a démontré que dans les trajectoires décrites par un nombre de corps quelconque, l’intégrale de la vitesse multipliée par l’élément de la courbe est toujours un maximum ou un minimum. M. Euler n’a donné sur ce sujet que ce que l’on trouve dans un Appendice ajouté à son excellent Traité sur les isopérimètres, où il fait voir que la trajectoire qu’un corps doit décrire par des forces centrales quelconques est la même que la courbe qu’on trouverait en supposant que l’intégrale de la vitesse multipliée par l’élément de la courbe fût un maximum ou un minimum.

L’application de ce beau théorème à un système quelconque de corps, et surtout la manière de s’en servir pour résoudre avec la plus grande simplicité et généralité tous les problèmes de Dynamique, m’est entièrement due, et ce qui doit le prouver invinciblement, c’est que cette théorie dépend des mêmes principes que celle des variations ; et que l’une et l’autre ont paru dans le même volume des Miscellanea Taurinensia pour les années 1760 et 1761. Je pourrais ajouter que j’avais aussi communiqué cette découverte à M. Euler dès 1756, et comme ce grand Géomètre a bien voulu l’honorer alors de son approbation, je ne doute pas qu’il ne fût très-porté, si l’occasion s’en présentait, à me rendre sur ce sujet la même justice qu’il a bien voulu me rendre à l’égard de la méthode de maximis et minimis.

II.

Quoique la méthode donnée dans le tome II des Miscellanea Taurinensia suffise pour trouver la variation de toute fonction composée d’un nombre quelconque de variables, et contenant autant de signes d’intégration qu’on voudra, voici comment elle peut encore être généralisée et simplifiée à quelques égards.

Soit $\varphi$ la fonction dont on propose de trouver la variation $\delta \varphi ,$ et supposons que cette fonction $\varphi$ soit donnée par une équation différentielle d’un degré quelconque entre $\varphi$ et $x,y,z,\ldots ,$ et les différentielles de ces variables. Dénotons cette équation par $\Phi =0,$ et différentiant par $\delta ,$ on aura $\delta \Phi =0\,;$ or, comme $\Phi$ est une fonction donnée de $\varphi ,x,y,z,\ldots ,$$d\varphi ,dx,dy,dz,\ldots ,$ on différentiera cette fonction en regardant chacune des quantités $\varphi ,x,y,\ldots ,d\varphi ,dx,dy,\ldots ,$ comme une variable particulière, et marquant les différences par $\delta ,$ on aura

${\begin{aligned}\delta \Phi &=p\delta \varphi +p'\delta d\varphi +p''\delta d^{2}\varphi +p'''\delta d^{3}\varphi +\ldots \\&+q\delta x\ +q'\delta dx\,+q''\delta d^{2}x\,+q'''\delta d^{3}x+\ldots \\&+r\delta y\,\ +r'\delta dy\,+r''\delta d^{2}y\ +r'''\delta d^{3}y\,+\ldots \\&+s\delta z\,\ +s'\delta dz\,+s''\delta d^{2}z\ +s'''\delta d^{3}z\ +\ldots \\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots =0,\end{aligned}}$

où $p.p',p'',\ldots ,q.q'.q'',\ldots$ seront des fonctions données de $\varphi ,x,y,\ldots ,$$d\varphi ,dx,dy,\ldots .$

Maintenant il est assez facile de voir que $\delta d\varphi$ sera la même chose que $d\delta \varphi ,$ $\delta d^{2}\varphi$ la même chose que $d^{2}\delta \varphi ,$ et ainsi des autres expressions semblables ; d’où il s’ensuit que l’équation précédente pourra toujours se mettre sous cette forme :

(A)

$\left\{{\begin{aligned}&p\delta \varphi +p'd\delta \varphi +p''d^{2}\delta \varphi +p'''d^{3}\delta \varphi +\ldots \\+&q\delta x\,+q'd\delta x\,+q''d^{2}\delta x+q'''d^{3}\delta x\ +\ldots \\+&r\delta y\ +r'd\delta y\ +r''d^{2}\delta y\,+r'''d^{3}\delta y\ +\ldots \\+&s\delta z\ +s'd\delta z\ +s''d^{2}\delta z\ +s'''d^{3}\delta z\ +\ldots \\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots =0,\end{aligned}}\right.$

et toute la difficulté sera maintenant réduite à tirer la valeur de $\delta \varphi$ de cette même équation.

Pour y parvenir d’une manière générale, je la multiplie par une indéterminée $\xi ,$ et je prends ensuite l’intégrale de chaque terme, ce qui me donne

${\begin{aligned}&\int p\xi \delta \varphi +\int p'\xi d\delta \varphi +\int p''\xi d^{2}\delta \varphi +\int p'''\xi d^{3}\delta \varphi +\ldots \\+&\int q\xi \delta x\,+\int q'\xi d\delta x\,+\int q''\xi d^{2}\delta x+\int q'''\xi d^{3}\delta x\ +\ldots \\+&\int r\xi \delta y\ +\int r'\xi d\delta y\ +\int r''\xi d^{2}\delta y\,+\int r'''\xi d^{3}\delta y\ +\ldots \\+&\int s\xi \delta z\ +\int s'\xi d\delta z\ +\int s''\xi d^{2}\delta z\ +\int s'''\xi d^{3}\delta z\ +\ldots \\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots =\mathrm {const} .\end{aligned}}$

Or, en intégrant par parties, on aura

${\begin{aligned}\int p'\ \xi d\,\delta \ \varphi =&p'\xi \delta \varphi -\int d(p'\xi )\delta \varphi ,\\\int p''\xi d^{2}\delta \varphi =&p''\xi d\delta \varphi -d(p''\xi )\delta \varphi +\int d^{2}(p''\xi )\delta \varphi ,\end{aligned}}$

et ainsi du reste ; donc, faisant ces substitutions dans l’équation précédente, et supposant, pour abréger,

${\begin{aligned}\mathrm {P} \ \ \ &=p\,\ \ \xi -d(p'\xi )\ +d^{2}(p''\xi )-d^{3}(p'''\xi )+\ldots ,\\\mathrm {P} '\ \ &=p'\,\ \xi -d(p''\xi )\,+d^{2}(p''\xi )-\ldots ,\\\mathrm {P} ''\ &=p''\ \xi -d(p'''\xi )-\ldots ,\\\mathrm {P} '''&=p'''\xi -\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \,;\\\mathrm {Q} \ \ \ &=q\,\ \ \xi -d(q'\xi )\ +d^{2}(q''\xi )-d^{3}(q'''\xi )+\ldots ,\\\mathrm {Q} '\ \ &=q'\,\ \xi -d(q''\xi )\,+d^{2}(q''\xi )-\ldots ,\\\mathrm {Q} ''\ &=q''\ \xi -d(q'''\xi )-\ldots ,\\\mathrm {Q} '''&=q'''\xi -\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \,;\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\mathrm {R} \ \ \ &=r\,\ \ \xi -d(r'\xi )\ +d^{2}(r''\xi )-d^{3}(r'''\xi )+\ldots ,\\\mathrm {R} '\ \ &=r'\,\ \xi -d(r''\xi )\,+d^{2}(r''\xi )-\ldots ,\\\mathrm {R} ''\ &=r''\ \xi -d(r'''\xi )-\ldots ,\\\mathrm {R} '''&=r'''\xi -\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \,;\\\mathrm {S} \ \ \ &=s\,\ \ \xi -d(s'\xi )\ +d^{2}(s''\xi )-d^{3}(s'''\xi )+\ldots ,\\\mathrm {S} '\ \ &=s'\,\ \xi -d(s''\xi )\,+d^{2}(s''\xi )-\ldots ,\\\mathrm {S} ''\ &=s''\ \xi -d(s'''\xi )-\ldots ,\\\mathrm {S} '''&=s'''\xi -\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \,;\\\end{aligned}}$

on aura

(B)

$\left\{{\begin{aligned}\int &\mathrm {\left(P\delta \varphi +Q\delta x+R\delta y+S\delta z+\ldots \right)} \\&+\mathrm {P} '\delta \varphi +\mathrm {P} ''d\delta \varphi +\mathrm {P} '''d^{2}\delta \varphi +\ldots \\&+\mathrm {Q} '\delta \varphi +\mathrm {Q} ''d\delta \varphi +\mathrm {Q} '''d^{2}\delta \varphi +\ldots \\&+\mathrm {R} '\delta \varphi \,+\mathrm {R} ''d\delta \varphi +\mathrm {R} '''d^{2}\delta \varphi +\ldots \\&+\mathrm {S} '\delta \varphi \,\ +\mathrm {S} ''d\delta \varphi \,+\mathrm {S} '''d^{2}\delta \varphi +\ldots \\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots =\mathrm {const} .\end{aligned}}\right.$

Supposons encore, pour abréger davantage,

$\Psi =\mathrm {P} \delta \varphi +\mathrm {Q} \delta x+\mathrm {R} \delta y+\mathrm {S} \delta z+\ldots$

et

${\begin{aligned}\Pi &=\mathrm {P} '\delta \varphi +\mathrm {P} ''d\delta \varphi +\mathrm {P} '''d^{2}\delta \varphi +\ldots \\&+\mathrm {Q} '\delta \varphi +\mathrm {Q} ''d\delta \varphi +\mathrm {Q} '''d^{2}\delta \varphi +\ldots \\&+\mathrm {R} '\delta \varphi \,+\mathrm {R} ''d\delta \varphi +\mathrm {R} '''d^{2}\delta \varphi +\ldots \\&+\mathrm {S} '\delta \varphi \,\ +\mathrm {S} ''d\delta \varphi \,+\mathrm {S} '''d^{2}\delta \varphi +\ldots \\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots =\mathrm {const} .\end{aligned}}$

en sorte que l’équation précédente devienne

$\Pi +\int \Psi =const.\,;$

et il est clair que cette constante ne sera autre chose que la valeur de $\Pi$ lorsque l’intégrale $\int \Psi$ est nulle ; or, si l’on donne à cette intégrale une certaine étendue déterminée, il est visible que la quantité $\Pi$ recevra aussi une valeur déterminée ; ainsi, nommant $\Gamma$ la valeur de $\Pi$ qui répond

au commencement de l’intégrale $\int \Psi ,$ et $\Delta$ la valeur de $\Pi$ qui répond à la fin de la même intégrale, on aura l’équation

$\Delta =\Gamma -\int \Psi .$

Maintenant, comme la quantité $\xi$ est encore à volonté, je la suppose telle que l’on ait $\mathrm {P} =0$ dans toute l’étendue de l’intégrale $\int \Psi \,;$ ce qui donne l’équation différentielle

$p\xi -d(p'\xi )+d^{2}(p''\xi )-d^{3}(p'''\xi )+\ldots =0.$

Or, la valeur de $\xi$ renfermera autantde constantes arbitraires qu’il y a de termes dans cette équation moins un ; et par conséquent autant qu’il y a, dans l’expression de $\Pi ,$ de termes qui contiennent $\delta \varphi$ et ses différences. Donc le nombre des constantes arbitraires de $\xi$ sera plus grand d’une unité que celui des quantités $\mathrm {P'',P'''} ,\ldots \,;$ donc on pourra toujours prendre ces constantes telles que l’on ait, dans la quantité $\Delta ,\ \mathrm {P} ''=0,\ \mathrm {P} '''=0,\ldots ,$ en sorte que les différences de $\delta \varphi$ disparaissent entièrement.

Donc, en général, si pour plus de simplicité on enferme entre des crochets carrés les quantités qui se rapportent au commencement de l’intégrale $\int \Psi ,$ et entre des crochets ronds celles qui se rapportent à la fin de cette même intégrale, on aura

(C)

$\left\{{\begin{aligned}(\mathrm {P} '\delta \varphi )=&\left[\mathrm {P} '\delta \varphi +\mathrm {P} ''d\delta \varphi +\mathrm {P} '''d^{2}\delta \varphi +\ldots \right.\\&+\mathrm {Q} '\delta x+\mathrm {Q} ''d\delta x+\mathrm {Q} '''d^{2}\delta x+\ldots \\&+\mathrm {R} '\delta y\,+\mathrm {R} ''d\delta y+\mathrm {R} '''d^{2}\delta y+\ldots \\&+\mathrm {S} '\delta z\,\ +\mathrm {S} ''d\delta z\,+\mathrm {S} '''d^{2}\delta z+\ldots \\&+\left.\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \right]\\-&\left(\mathrm {Q} '\delta x+\mathrm {Q} ''d\delta x+\mathrm {Q} '''d^{2}\delta x+\ldots \right.\\&+\mathrm {R} '\delta y\,+\mathrm {R} ''d\delta y+\mathrm {R} '''d^{2}\delta y+\ldots \\&+\mathrm {S} '\delta z\,\ +\mathrm {S} ''d\delta z\,+\mathrm {S} '''d^{2}\delta z+\ldots \\&+\left.\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \right)\\-&\int (\mathrm {Q} \delta x+\mathrm {R} \delta y+\mathrm {S} \delta z+\ldots ),\end{aligned}}\right.$

et il faudra que la variable $\xi$ soit déterminée en sorte que l’on ait

\mathrm P=0, ou bien

$p\xi -d(p'\xi )+d^{2}(p''\xi )-d^{3}(p'''\xi )-\ldots =0,$

et que de plus

$(\mathrm {P} '')=0,\qquad (\mathrm {P} ''')=0,\ldots .$

III.

Voyons maintenant l’usage qu’on doit faire de ces formules dans les questions de maximis et minimis, et supposons qu’il s’agisse de trouver la relation qui doit être entre les variables $x,y,z,\ldots ,$ pour que la fonction $\varphi$ devienne la plus grande ou la plus petite. Nous observerons d’abord que comme cette fonction est supposée donnée par une équation différentielle $\Phi =0,$ elle renfermera nécessairement un certain nombre de constantes arbitraires, lequel sera égal à l’exposant de la plus haute différentielle de $\varphi$ dans l’équation $\Phi =0.$ De plus il faudra, par la nature du problème, que la fonction $\varphi$ renferme des expressions intégrales indéfinies, et les circonstances de la question détermineront l’endroit où ces intégrales devront être supposées commencer. Supposons que ce soit lorsque $x=a,\ y=b,\ z=c,\ldots ,$ il est clair que les valeurs correspondantes de $\varphi$ et de ses différentielles seront des fonctions données de $a,b,c,\ldots ,$$da,db,dc,\ldots ,$ et des constantes arbitraires qui entrent dans l’expression de $\varphi \,;$ de sorte que si le nombre de ces constantes est $\mu ,$ c’est-à-dire, si la plus haute différentielle de $y$ dans la valeur de $\Phi$ est $d^{\mu }\varphi ,$ alors les valeurs des quantités $\varphi ,d\varphi ,d^{2}\varphi ,\ldots ,$ jusqu’à $d^{\mu -1}\varphi ,$ lorsque $x=a,$$y=b,\ z=c,\ldots ,$ seront arbitraires, et pourront être supposées données.

Cela posé, supposons que la valeur de $\varphi$ qui doit être la plus grande ou la plus petite soit celle qui répond à l’endroit où $x=l,\ y=m,\ z=n,\ldots ,$ il faudra donc que la variation de cette valeur de $\varphi$ soit nulle, en sorte qu’en la désignant par la caractéristique $\delta$ on ait dans le même endroit $\delta \varphi =0.$ Ainsi il n’y aura qu’à supposer dans la formule (C) que l’intégrale $\int (\mathrm {Q} \delta x+\mathrm {R} \delta y+\ldots )$ soit prise de manière qu’elle commence lorsque $x=a,y=b,z=c,\ldots ,$ et qu’elle finisse lorsque $x=l,y=m,z=n,\ldots ,$ de sorte que les quantités qui dans cette formule se trouvent enfermées entre des crochets carrés soient rapportées à l’endroit où $x=a,y=b,z=c,\ldots ,$ et que celles qui sont enfermées entre des crochète ronds soient rapportées à l’endroit où $x=l,y=m,z=n,\ldots ,$ et comme la question demande que dans ce second endroit la variation $\delta \varphi$ soit nulle, on fera le terme $(\mathrm {P} '\delta \varphi )=0,$ ce qui donnera l’équation cherchée pour le maximum ou minimum. Or cette équation étant composée de deux parties, dont l’une contient tous les termes qui sont sous le signe intégral, et dont l’autre n’est composée que de ceux qui sont hors du signe, il faudra faire deux équations séparées de ces deux parties, ce qui donnera

(D)

$0=\int (\mathrm {Q} \delta x+\mathrm {R} \delta y+\mathrm {S} \delta z+\ldots ),$

(E)

$\left\{{\begin{aligned}0=&\left[\mathrm {P} '\delta \varphi +\mathrm {P} ''d\delta \varphi +\mathrm {P} '''d^{2}\delta \varphi +\ldots \right.\\&+\mathrm {Q} '\delta x+\mathrm {Q} ''d\delta x+\mathrm {Q} '''d^{2}\delta x+\ldots \\&+\mathrm {R} '\delta y\,+\mathrm {R} ''d\delta y+\mathrm {R} '''d^{2}\delta y+\ldots \\&+\mathrm {S} '\delta z\,\ +\mathrm {S} ''d\delta z\,+\mathrm {S} '''d^{2}\delta z+\ldots \\&+\left.\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \right]\\-&\left(\mathrm {Q} '\delta x+\mathrm {Q} ''d\delta x+\mathrm {Q} '''d^{2}\delta x+\ldots \right.\\&+\mathrm {R} '\delta y\,+\mathrm {R} ''d\delta y+\mathrm {R} '''d^{2}\delta y+\ldots \\&+\mathrm {S} '\delta z\,\ +\mathrm {S} ''d\delta z\,+\mathrm {S} '''d^{2}\delta z+\ldots \\&+\left.\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \right)\\\end{aligned}}\right.$

L’équation (D) donnera en général, pour toutes les valeurs de $x,y,z,\ldots ,$ depuis $x=a,y=b,z=c,\ldots ,$ jusqu’à $x=l,y=m,z=n,\ldots ,$ celle-ci ;

(F)

$\mathrm {Q} \delta x+\mathrm {R} \delta y+\mathrm {S} \delta z+\ldots =0.$

Or, cette équation doit avoir lieu quelles que soient les différences marquées par $\delta \,;$ donc : 1^o si, par la nature du problème, il n’y a aucune relation donnée entre les variables $x,y,z,\ldots ,$ les différentielles $\delta x,\delta y,\delta z,\ldots ,$ seront indépendantes l’une de l’autre, et il faudra faire les équations particulières $\mathrm {Q} =0,$$\mathrm {R=0,S} =0,\ldots .$ Mais si, par exemple, les

variables $x,y,z,\ldots ,$ devaient être telles que l’on eût toujours

$\mathrm {X} dx+\mathrm {Y} dy+\mathrm {Z} dz+\ldots =0,$

alors, en changeant $d$ en $\delta ,$ on aurait aussi

$\mathrm {X} \delta x+\mathrm {Y} \delta y+\mathrm {Z} \delta z+\ldots =0,$

d’où

$\delta x=-\mathrm {\frac {\mathrm {Y} }{\mathrm {X} }} \delta y-\mathrm {\frac {\mathrm {Z} }{\mathrm {X} }} \delta z-\ldots .$

ce qui, étant substitué dans l’équation (F), donnerait celle-ci

$(\mathrm {RX-QY} )\delta y+(\mathrm {SX-QZ} )\delta \mathrm {Z} +\ldots =0,$

de sorte qu’il faudrait faire ensuite les équations particulières

$\mathrm {RX-QY} =0,\qquad \mathrm {SX-QZ} =0,\ldots .$

En général, il faudra réduire les différentielles $\delta x,\delta y,\delta z,\ldots ,$ au plus petit nombre possible, et égaler ensuite à zéro le coefficient de chacune de celles qui restent, et ces équations jointes aux équations données, s’il y en $a,$ par la nature du problème, serviront à trouver la relation nécessaire entre les variables $x,y,z,\ldots ,$ pour que la fonction $\varphi$ devienne la plus grande ou la plus petite.

Or, il est facile de voir que cette relation sera toujours donnée par une ou plusieurs équations différentielles, de sorte que l’intégration y introduira nécessairement des constantes arbitraires ; ainsi il restera encore à trouver la relation nécessaire entre ces constantes pour que la fonction $\varphi$ devienne un maximum ou un minimum. C’est à quoi on parviendra à l’aide de l’équation (E) ; en effet, comme cette équation se rapporte à des valeurs déterminées de $x,y,z,\ldots ,$ il est clair qu’on y pourra satisfaire par le moyen des constantes dont nous parlons. Pour cela, on observera que les différentielles $d\delta \varphi ,d^{2}\delta \varphi ,$$\ldots ,d\delta x,d^{2}\delta x,\ldots ,$ sont les mêmes que celles-ci : $\delta d\varphi ,\delta d^{2}\varphi ,\ldots ,$$\delta dx,\delta d^{2}x,\ldots ,$ comme nous l’avons vu plus haut ; de sorte que si l’on désigne par $f$ la valeur de $\varphi$ qui répond à l’endroit où $x=a,y=b,\ldots ,$ et que l’on désigne de même par $\mathrm {F',F'',F'''} ,\ldots ,$ $\mathrm {A',A'',A'''} ,\ldots ,$ $\mathrm {B',B'',B'''} ,\ldots ,$ $\mathrm {C',C'',C'''} ,\ldots ,$ les valeurs de $\mathrm {P',P'',P'''} ,\ldots ,$ $\mathrm {Q',Q'',Q'''} ,\ldots ,$ $\mathrm {R',R'',R'''} ,\ldots ,$ $\mathrm {S',S'',S'''} ,$$\ldots ,$ au même endroit, et par $\mathrm {L',L'',L'''} ,\ldots ,$ $\mathrm {M',M'',M'''} ,\ldots ,$ $\mathrm {N',N'',N'''} ,$$\ldots ,$ les valeurs de $\mathrm {Q',Q'',Q'''} ,\ldots ,$ $\mathrm {R',R'',R'''} ,\ldots ,$ $\mathrm {S',S'',S'''} ,\ldots ,$ dans l’endroit où $x=l,y=m,z=n,\ldots ,$ on aura cette équation déterminée :

(G)

$\left\{{\begin{aligned}&\mathrm {F} '\delta f+\mathrm {F} ''\delta df\,+\mathrm {F} '''\delta d^{2}f+\ldots \\+&\mathrm {A} '\delta a+\mathrm {A} ''\delta da+\mathrm {A} '''\delta d^{2}a+\ldots \\+&\mathrm {B} '\delta b\,+\mathrm {B} ''\delta db\,+\mathrm {B} '''\delta d^{2}b+\ldots \\+&\mathrm {C} '\delta c\,+\mathrm {C} ''\delta dc\,+\mathrm {C} '''\delta d^{2}c+\ldots \\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\-&\mathrm {L} '\delta l\,\ \ \ -\mathrm {L} ''\delta dl\ \ \ -\mathrm {L} '''\delta d^{2}l-\ldots \\-&\mathrm {M} '\delta m-\mathrm {M} ''\delta dm-\mathrm {M} '''\delta d^{2}m-\ldots \\-&\mathrm {N} '\delta n\ \ -\mathrm {N} ''\delta dn\ \ -\mathrm {N} '''\delta d^{2}n-\ldots \\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots =0.\end{aligned}}\right.$

Pour faire usage de cette équation, on verra d’abord s’il y a par la nature du problème des relations données entre les quantités $f,a,b,c,\ldots ,$ $l,m,n,\ldots ,$ et leurs différentielles, et substituant là valeur d’une ou de plusieurs des différences de ces quantités affectées du signe $\delta ,$ tirée des relations données on égalera à zéro le coefficient de chacune de celles qui restent, et l’on aura autant de conditions qu’il faudra pour la solution complète du problème.

IV.

Nous avons vu plus haut que les valeurs de $\varphi ,d\varphi ,\ldots ,$ lorsque $x=a,y=b,\ldots ,$ c’est-à-dire les valeurs de doivent être supposées données ; or, si on les regarde comme données d’une manière indépendante des quantités $a,b,c,\ldots ,$ alors il est clair qu’on aura $\delta f=0,\delta df=0,\ldots \,;$ mais on peut supposer que ces quantités doivent être des fonctions données de $a,b,c,\ldots ,$ et de leurs différentielles ; en ce cas, on aura

$\delta f=\pi \delta a+\rho \delta b+\sigma \delta c+\ldots ,\qquad \delta df=\pi '\delta a+\rho '\delta b+\ldots ,$

et il faudra substituer ces valeurs dans l’équation (G).

De plus, il peut arriver que la fonction $\varphi ,$ qui doit être la plus grande ou la plus petite, renferme les quantités $a,b,c,\ldots ,l,m,n,\ldots ,$ avec leurs différentielles ; alors ces quantités entrant dans l’expression de $\Phi ,$ leurs variations donneront dans la valeur de $\delta \Phi$ les termes

${\begin{alignedat}{4}&\alpha \delta a&+&\alpha '\delta da&+&\alpha ''\delta d^{2}a&+&\ldots \\+&\beta \delta b&+&\beta '\delta db&+&\beta ''\delta d^{2}b&+&\ldots \\+&\gamma \delta c&+&\gamma '\delta dc&+&\gamma ''\delta d^{2}c&+&\ldots \\\end{alignedat}}$

$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$

${\begin{alignedat}{4}+&\lambda \delta l&+&\lambda '\delta dl&+&\lambda ''\delta d^{2}l&+&\ldots \\+&\mu \delta m&+&\mu '\delta dm&+&\mu ''\delta d^{2}m&+&\ldots \\+&\nu \delta n&+&\nu '\delta dn&+&\nu ''\delta d^{2}n&+&\ldots \\\end{alignedat}}$

$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,$

de sorte qu’il faudra ajouter ces termes au premier membre de l’équation (A). De là il est facile de voir qu’il faudra ajouter au premier membre de l’équation (B) les termes

${\begin{alignedat}{4}&\delta a\int \alpha \xi &+&\delta da\int \alpha '\xi &+&\delta d^{2}a\int \alpha ''\xi &+&\ldots \\+&\delta b\int \beta \xi &+&\delta db\int \beta '\xi &+&\delta d^{2}b\int \beta ''\xi &+&\ldots \\+&\delta c\int \gamma \xi &+&\delta dc\int \gamma '\xi &+&\delta d^{2}c\int \gamma ''\xi &+&\ldots \\\end{alignedat}}$

$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$

${\begin{alignedat}{3}+&\delta l\int \lambda \xi &+&\delta dl\int \lambda '\xi &+&\delta d^{2}l\int \lambda ''\xi &+&\ldots \\+&\delta m\int \mu \xi &+&\delta dm\int \mu '\xi &+&\delta d^{2}m\int \mu ''\xi &+&\ldots \\+&\delta n\int \nu \xi &+&\delta dn\int \nu '\xi &+&\delta d^{2}n\int \nu ''\xi &+&\ldots \\\end{alignedat}}$

$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,$

Par conséquent, il faudra ajouter tous ces termes à l’équation déterminée (E) ou (G) avec des signes contraires, en ayant soin de prendre toutes les intégrales $\int \alpha \xi ,\int \alpha '\xi ,\ldots ,$ de telle manière qu’elles soient nulles, lorsque $x=a,y=b,\ldots ,$ et qu’elles soient complètes lorsque $x=l,y=m,\ldots .$ Ainsi l’équation (G) deviendra dans ce cas

(H)

$\left\{{\begin{aligned}0&=\mathrm {F} '\delta f+\mathrm {F} ''\delta df+\mathrm {F} '''\delta d^{2}f+\ldots \\&+\left(\mathrm {A} '-\int \alpha \xi \right)\delta a+\left(\mathrm {A} ''-\int \alpha '\xi \right)\delta da+\left(\mathrm {A} '''-\int \alpha ''\xi \right)\delta d^{2}a+\ldots \\&+\left(\mathrm {B} '-\int \beta \xi \right)\delta b\ +\left(\mathrm {B} ''-\int \beta '\xi \right)\delta db\ +\left(\mathrm {B} '''-\int \beta ''\xi \right)\delta d^{2}b+\ldots \\&+\left(\mathrm {C} '-\int \gamma \xi \right)\delta c\ \,+\left(\mathrm {C} ''-\int \gamma '\xi \right)\delta dc\ +\left(\mathrm {C} '''-\int \gamma ''\xi \right)\delta d^{2}c+\ldots \\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+\left(\mathrm {L} '-\int \lambda \xi \right)\delta l\ \ \ +\left(\mathrm {L} ''-\int \lambda '\xi \right)\delta dl\,\ \ \ +\left(\mathrm {L} '''-\int \lambda ''\xi \right)\delta d^{2}l+\ldots \\&+\left(\mathrm {M} '-\int \mu \xi \right)\delta m+\left(\mathrm {M} ''-\int \mu '\xi \right)\delta dm+\left(\mathrm {M} '''-\int \mu ''\xi \right)\delta d^{2}m+\ldots \\&+\left(\mathrm {N} '-\int \nu \xi \right)\delta n\ \ +\left(\mathrm {N} ''-\int \nu '\xi \right)\delta dn\ \ +\left(\mathrm {N} '''-\int \nu ''\xi \right)\delta d^{2}n+\ldots \\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\end{aligned}}\right.$

V.

Comme les équations différentielles ne renferment pas proprement les différentielles elles-mêmes, mais seulement leurs rapports, il est clair que la fonction $\Phi$ qui forme le premier membre de l’équation proposée $\Phi =0$ pourra être regardée comme une fonction de $\varphi ,x,y,z,\ldots$ de ${\frac {d\varphi }{dx}},{\frac {dy}{dx}},$${\frac {dz}{dx}},\ldots ,$${\frac {d{\cfrac {d\varphi }{dx}}}{dx}},{\frac {d{\cfrac {dy}{dx}}}{dx}},{\frac {d{\cfrac {dz}{dx}}}{dx}},\ldots .$ Supposons pour plus de généralité qu’on ait $\Phi =\Sigma dx^{m}$ $\Sigma$ étant une fonction de ${\frac {d\varphi }{dx}},{\frac {dy}{dx}},{\frac {dz}{dx}},\ldots ,$${\frac {d{\cfrac {d\varphi }{dx}}}{dx}},{\frac {d{\cfrac {dy}{dx}}}{dx}},$${\frac {d{\cfrac {dz}{dx}}}{dx}},\ldots .$ et différentiant par $\delta ,$ on aura

$\delta \Phi =m\Sigma dx^{m-1}s\delta dx+dx^{m}\delta \Sigma \,:$

mais l’équation $\Phi =0$ donne $\Sigma =0\,;$ donc

$\delta \Phi =dx^{m}\delta \Sigma .$

Or, soit

${\begin{aligned}\delta \Sigma &=\pi \delta \varphi +\pi '\delta {\frac {d\varphi }{dx}}+\pi ''\delta {\frac {d{\cfrac {d\varphi }{dx}}}{dx}}+\ldots \\&+\rho \delta y\ \ +\rho '\delta {\frac {dy}{dx}}\,+\rho ''\delta {\frac {d{\cfrac {dy}{dx}}}{dx}}+\ldots \\&+\sigma \delta z\ \ +\sigma '\delta {\frac {dz}{dx}}\,+\sigma ''\delta {\frac {d{\cfrac {dz}{dx}}}{dx}}+\ldots \\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+\tau \delta x.\end{aligned}}$

Donc, multipliant par $\xi dx^{m},$ et intégrant par parties en sorte qu’il ne reste sous le signe intégral que les différentielles $\delta x,\delta \varphi ,\delta y,\delta z,\ldots ,$ on aura une expression qui sera identique à l’expression $\Pi +\int \Psi$ de l’Article II ; en sorte que les quantités hors du signe seront identiques à la quantité $\Pi ,$ et les quantités sous le signe identiques à la quantité $\Psi .$ Considérons seulement les quantités qui seront hors du signe, et je dis que, si dans ces quantités on change $\delta$ en $d,$ elles deviendront nulles d’elles-mêmes. En effet :

1^o Le terme $\pi \delta \varphi ,$ n’étant susceptible d’aucune intégration par parties, restera tout entier sous le signe.

2^o Le terme $\pi '\delta {\frac {d\varphi }{dx}}$ deviendra d’abord

$\pi '\left({\frac {\delta d\varphi }{dx}}-{\frac {d\varphi \delta dx}{dx^{2}}}\right),$

de sorte qu’en multipliant par $\xi dx^{m},$ et changeant $\delta d\varphi ,\delta dx$ en $d\delta \varphi ,d\delta x,$ on aura l’intégrale

$\int \xi \pi 'dx^{m}\left({\frac {d\delta \varphi }{dx}}-{\frac {d\varphi d\delta x}{dx^{2}}}\right)\,;$

d’où, en intégrant par parties, on aura les termes hors du signe

$\xi \pi 'dx^{m}\left({\frac {\delta \varphi }{dx}}-{\frac {d\varphi \delta x}{dx^{2}}}\right)\,;$

changeons maintenant $\delta$ en $d,$ et ces termes deviendront

$\xi \pi 'dx^{m}\left({\frac {d\varphi }{dx}}-{\frac {d\varphi }{dx}}\right)=0.$

3^o Le terme $\pi ''\delta {\frac {d{\cfrac {d\varphi }{dx}}}{dx}}$ donnera, en faisant pour plus de simplicité ${\frac {d\varphi }{dx}}=\varphi ',$

$\pi ''\left({\frac {\delta d\varphi '}{dx}}-{\frac {d\varphi '\delta dx}{dx^{2}}}\right),$

d’où l’on tirera d’abord, comme ci-devant, les termes hors du signe

$\xi \pi ''dx^{m}\left({\frac {\delta \varphi '}{dx}}-{\frac {d\varphi '\delta x}{dx^{2}}}\right),$

lesquels, en changeant $\delta$ en $d,$ deviennent

$\xi \pi ''dx^{m}\left({\frac {d\varphi '}{dx}}-{\frac {d\varphi '}{dx}}\right),$

et ainsi de suite.

On fera le même raisonnement sur les autres termes de la valeur de $\delta \Sigma ,$ et l’on en conclura que si l’on change la caractéristique $\delta$ caractéristique ordinaire $d,$ dans l’expression de $\Pi ,$ on aura toujours $\Pi =0.$ Or, on a en général (Art. II)

$\Pi +\int \Psi =\mathrm {const} .\,;$

donc, lorsque $\Pi =0,$ on aura

$\int \Psi =\mathrm {const} .,$

et de là $\Psi =0\,;$ mais

$\Psi =\mathrm {P} \delta \varphi +\mathrm {Q} \delta x+\mathrm {R} \delta y+\mathrm {S} \delta z+\ldots \,;$

donc, changeant $\delta$ en $d,$ on aura toujours

$\mathrm {P} d\varphi +\mathrm {Q} dx+\mathrm {R} dy+\mathrm {S} dz+\ldots =0,$

équation identique d’elle-même. De là il est facile de conclure que les équations du maximum ou du minimum résultantes de l’équation géné-

rale (F) de l’Article III pourront toujours se réduire à une de moins ; parce que si toutes ces équations, hors une, sont supposées avoir lieu, celle-ci s’ensuivra toujours nécessairement ; en effet, comme les équations dont il s’agit doivent être indépendantes des différences marquées par $\delta ,$ il est clair qu’elles devront également avoir lieu en supposant que ces différences deviennent les mêmes que celles marquées par $d\,;$ mais dans ce cas l’équation (F), qui renferme toutes les équations particulières pour le maximum ou pour le minimum, devient identique, comme nous venons de le démontrer ; donc, etc.

J’avais déjà prouvé cette proposition en peu de mots, dans l’Article VIII de mon Mémoire imprimé dans le tome II des Miscellanea Taurinensia^[5] ; mais la démonstration que je viens d’en donner a l’avantage d’être beaucoup plus simple et plus générale. Au reste, on voit par cette démonstration que le théorème cesserait d’être vrai si la fonction $\Phi$ n’était pas réductible à la forme $\Sigma dx^{m},$ $\Sigma$ étant une fonction quelconque de $\varphi ,x,y,z,\ldots ,$${\frac {d\varphi }{dx}},{\frac {dy}{dx}},{\frac {dz}{dx}},\ldots ,$${\frac {d{\cfrac {d\varphi }{dx}}}{dx}},{\frac {d{\cfrac {dy}{dx}}}{dx}},\ldots \,;$ il est vrai que cela doit toujours être par la nature même des équations différentielles ; mais s’il s’agissait des différences finies, en sorte que les différentielles $d\varphi ,dx,dy,\ldots ,$ qui entrent dans l’équation donnée $\Phi =0,$ dussent être des différences finies de $\varphi ,x,y,\ldots ,$ alors la condition dont nous parlons ne serait plus nécessaire et pourrait très-bien ne pas avoir lieu dans la fonction $\Phi .$ On peut voir, dans le second Appendice du Mémoire cité, un exemple du calcul qu’on peut faire dans le cas des différences finies ; nous n’en dirons rien ici pour ne pas trop nous écarter de notre objet, mais peut-être pourrons-nous y revenir une autre fois.

VI.

Supposons que l’on ait

$\varphi =\int \mathrm {Z} ,$

Z étant une fonction de $x,y,z,\ldots$ et de leurs différentielles ; on aura donc, en différentiant ${\biggl (}{\biggr .}$ pour faire disparaître le signe $\left.\int \right)$ l’équation

$\mathrm {Z} -d\varphi =0,$

laquelle, étant comparée à l’équation $\Phi =0,$ donnera

$\Phi =\mathrm {Z} -d\varphi ,$

et de là

$\delta \Phi =\delta \mathrm {Z} -\delta d\varphi .$

Soit

${\begin{alignedat}{3}\delta \mathrm {Z} &=q\delta x&+&q'\delta dx&+&q''\delta d^{2}x&+&\ldots \\&+r\delta y&+&r'\delta dy&+&r''\delta d^{2}y&+&\ldots \\&+s\delta z&+&s'\delta dz&+&s''\delta d^{2}z&+&\ldots \\\end{alignedat}}$

$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$

et l’on aura pour $\delta \Phi$ la même expression que dans l’Artiele II, en faisant

$p=0,\quad p'=-1,\quad p''=0,\quad p'''=0,\ldots .$

Donc, on aura d’abord

$\mathrm {P} =-d\xi ,\quad \mathrm {P} '=\xi ,\quad \mathrm {P} ''=0,\quad \mathrm {P} '''=0,\ldots \,;$

donc, puisqu’il faut que la variable $\xi$ soit déterminée par l’équation $\mathrm {P} =0,$ on aura

$d\xi =0,$

et de là

$\xi =\mathrm {const} .,$

constante qu’on pourra prendre égale à l’unité pour plus de simplicité ; à l’égard des équations $\mathrm {(P'')=0,(P''')} =0,\ldots ,$ il est clair qu’elles auront lieu d’elles-mêmes ; à cause de $\mathrm {P} ''=0,\ldots .$ On mettra donc partout $1$ à la place de $\xi ,$ et l’on aura pour le maximum ou le minimum de la fonction $\varphi \,:$ 1^o l’équation variable (F) ; 2^o l’équation constante (G) (Art. III). Il faut remarquer, à l’égard de cette dernière équation, que, comme on a $\mathrm {P} '=\xi =1,\mathrm {P} ''=0,\ldots ,$ on aura $\mathrm {F'=1,F'=0,F''} =0,\ldots \,;$ de plus, comme la valeur de $\varphi$ est nulle lorsque l’intégrale $\int \mathrm {Z}$ commence, on aura $f=0,$ et par conséquent $\delta f=0,$ de sorte qu’il faudra effacer entièrement dans l’équation (G) tous les termes affectés de $\delta f,\delta df,\ldots .$

Si l’on compare cette solution avec celle que nous avons donnée dans l’Article I du Mémoire cité, on verra qu’elles s’accordent parfaitement entre elles ; l’équation variable (F) répond à l’équation que nous avons désignée dans cet endroit-là par (B), et l’équation constante que nous nommons ici (G) répond à l’équation (C) du même endroit en faisant attention à la remarque que nous y avons faite touchant la manière de compléter cette même équation (C), et de laquelle nous avons conclu que l’expression complète de cette équation était

$\mathrm {M'-{\grave {\,}}M} =0,$

où $\mathrm {M} '$ représente les termes que nous avons désignés dans l’équation (G) par $\mathrm {L} '\delta l+\mathrm {L} ''\delta dl+\ldots ,$ et $\mathrm {{\grave {\,}}M}$ les termes désignés par $\mathrm {A} '\delta a+\mathrm {A} ''\delta da+\ldots ,$

VII.

Soit ensuite

$\varphi =\int \mathrm {Z} ,$

$\mathrm {Z}$ étant une fonction de $x,y,z,\ldots$ et de leurs différentielles, et en même temps de la quantité

$(\varphi )=\int (\mathrm {Z} ),$

$\mathrm {(} Z)$ étant de même une fonction de $x,y,z,\ldots$ et de leurs différentielles. On aura donc, en différentiant,

$\mathrm {Z} -d\varphi =0,$

et différentiant ensuite par $\delta ,$

$\delta \mathrm {Z} -\delta d\varphi =0\,;$

or, soit

${\begin{alignedat}{4}\delta \mathrm {Z} &=q\delta x&+&q'\delta dx&+&q''\delta d^{2}x&+&\ldots \\&+r\delta y&+&r'\delta dy&+&r''\delta d^{2}y&+&\ldots \\&+s\delta z&+&s'\delta dz&+&s''\delta d^{2}z&+&\ldots \\\end{alignedat}}$

${\begin{aligned}&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+\pi \delta (\varphi ),\end{aligned}}$

et désignons, pour abréger, cette valeur de $\delta \mathrm {Z}$ par

$\delta \mathrm {V} +\pi \delta (\varphi ),$

en sorte que $\delta \mathrm {V}$ exprime tous les termes affectés de $\delta x,\delta dx,\ldots ,\delta y,\delta dy,\ldots ,$ on aura donc

$\delta \mathrm {V} +\pi \delta (\varphi )-\delta d\varphi =0\,;$

or, comme $(\varphi )=\int (\mathrm {Z} ),$ on aura, en différentiant, $d(\varphi )=(\mathrm {Z} ),$ et différentiant ensuite par $\delta ,$

$\delta d(\varphi )=d\delta (\varphi )=\delta (\mathrm {Z} )\,;$

on substituera donc cette valeur dans l’équation précédente, et pour cela on la différentiera après l’avoir divisée par $\pi ,$ ce qui donnera

$d\delta (\varphi )+d{\frac {\delta \mathrm {V} }{\pi }}-d{\frac {\delta d\varphi }{\pi }}=0\,;$

de sorte qu’on aura

(I)

$\delta (Z)+d{\frac {\delta \mathrm {V} }{\pi }}-d{\frac {\delta d\varphi }{\pi }}=0,$

où $\delta (Z)$ sera de cette forme :

${\begin{alignedat}{4}\delta \mathrm {Z} &=(q)\delta x&+&(q')\delta dx&+&(q'')\delta d^{2}x&+&\ldots \\&+(r)\delta y&+&(r')\delta dy&+&(r'')\delta d^{2}y&+&\ldots \\&+(s)\delta z&+&(s')\delta dz&+&(s'')\delta d^{2}z&+&\ldots \\\end{alignedat}}$

$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$

On traitera maintenant l’équation (I) comme nous avons traité l’équation $\delta \Phi =0$ de l’Article II ; pour cela, on la multipliera par $\xi ,$ et ensuite on l’intégrera par parties, ce qui donnera d’abord

$\xi {\frac {\delta \mathrm {V} }{\pi }}-\xi {\frac {\delta d\varphi }{\pi }}+\int \left[\xi \delta (\mathrm {Z} )-{\frac {d\xi }{\pi }}\delta \mathrm {V} +{\frac {d\xi }{\pi }}\delta d\varphi \right]=\mathrm {const} .\,;$

or, si l’on substitue pour $\delta \mathrm {V}$ et $\delta (\mathrm {Z} )$ leurs valeurs, la quantité sous le signe sera susceptible des mêmes réductions que nous avons faites dans l’Article cité, et le calcul s’achèvera de la même manière. Nous nous contenterons de remarquer ici que l’on trouvera dans le cas présent

$\mathrm {P} =-d{\frac {d\xi }{\pi }},\quad \mathrm {P} '={\frac {d\xi }{\pi }},\quad \mathrm {P} ''=-{\frac {\xi }{\pi }},\quad \mathrm {P} ''=0,\ldots ,$

de sorte que pour la détermination de la variable $\xi$ on aura l’équation

$d{\frac {d\xi }{\pi }}=0,$

laquelle donne

${\frac {d\xi }{\pi }}=g,\quad {\text{et}}\quad \xi =h+g\int \pi ,$

$h$ et $g$ étant deux constantes arbitraires.

Or, il faut que $(\mathrm {P} '')=0,$ c’est-à-dire que la valeur de $\mathrm {P} '',$ qui répond au point où $x=l,y=m,\ldots ,$ soit nulle (Art. II) ; donc, puisque $\mathrm {P} ''={\frac {\xi }{\pi }},$ il faudra que la valeur de $\xi$ soit nulle dans ce cas ; soit donc $\Pi$ la valeur de $\int \pi$ qui répond au même endroit, et l’on aura

$h+g\Pi =0,$

d’où

$h=-g\Pi \,;$

donc

$\xi =g\left(\int \pi -\Pi \right),$

ou bien, en faisant pour plus de simplicité $g=-1,$

$\xi =\Pi -\int \pi \,;$

et de là

$\mathrm {P} '=-1,\qquad \mathrm {P} ''=-{\frac {\Pi -\int \pi }{\pi }}\,;$

ayant ainsi trouvé la valeur de $\xi$ il n’y aura qu’à la substituer, et l’on trouvera pour le maximum ou le minimum des formules analogues à celles de l’Article IX du Mémoire de 1762 déjà cité. On observera seulement que l’on aura ici, comme dans le cas du Problème précédent, $f=0,$ et par conséquent $\delta f=0\,;$ ensuite on aura

$\delta df=\delta d\varphi =\delta \mathrm {Z} ,$

en rapportant la valeur de $\delta \mathrm {Z}$ au point où $x=a,y=b,z=c,\ldots \,;$ mais

dans ce point on a aussi

$(\varphi )=\int (\mathrm {Z} )=0,$

donc

$\delta (\varphi )=0\,;$

de sorte que la valeur de $\delta df$ sera égale à ce que devient la quantité

${\begin{alignedat}{4}&q\delta x&+&q'\delta dx&+&q''\delta d^{2}x&+&\ldots \\+&r\delta y&+&r'\delta dy&+&r''\delta d^{2}y&+&\ldots \\+&s\delta z&+&s'\delta dz&+&s''\delta d^{2}z&+&\ldots \\\end{alignedat}}$

$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$

lorsque $x=a,y=b,z=c,\ldots .$

Quant aux valeurs de $\delta d^{2}f,\delta d^{3}f,\ldots ,$ il ne sera pas nécessaire de les chercher, parce qu’elles n’entreront point dans l’équation déterminée (G).

On voit par ces deux exemples comment il faudra s’y prendre dans des cas plus compliqués, ainsi nous n’en dirons pas davantage ici. Nous nous contenterons seulement d’observer en général que la variable indéterminée $\xi$ pourra toujours se déterminer par l’intégration de l’équation $\mathrm {P} =0,$ lorsque la fonction $\varphi$ sera donnée par une expression formée comme on voudra des variables $x,y,z,\ldots ,$ et de leurs différentielles, et qui renferme de plus autant de signes d’intégration qu’on voudra ; mais lorsque la fonction $\varphi$ ne sera donnée que par une équation différentielle d’un degré quelconque, alors l’indéterminée $\xi$ dépendra d’une équation différentielle du même degré, laquelle pourra n’être pas intégrable ; mais cela n’apportera aucun obstacle à la solution du Problème ; car dès qu’on aura trouvé les équations du maximum ou du minimum il n’y aura qu’à éliminer la quantité $\xi$ par le moyen de l’équation différentielle $\mathrm {P} =0\,;$ mais il faudra ensuite avoir égard, dans l’introduction des constantes arbitraires, aux conditions $\mathrm {(P'')=0,(P''')} =0,\ldots ,$

VIII.

Les principaux avantages de ma méthode des variations pour la solution des problèmes de maximis et minimis consistent :

1^o Dans la simplicité et la généralité du calcul, comme on peut s’en convaincre aisément en comparant cette méthode avec celle que M. Euler a donnée dans son excellent ouvrage intitulé : Methodus inveniendi lineas curvas, etc., et même avec celle que M. Fontaine vient de donner dans son Mémoire intitulé : Addition à la méthode, etc., déjà cité plus haut.

2^o En ce que ma méthode fournit des équations déterminées qui servent à résoudre les Problèmes d’une manière plus générale et plus complète qu’on ne l’avait fait avant moi. Quoique ces équations soient une suite nécessaire et naturelle de mon analyse des variations, et que leur usage ne soit qu’une application très-simple des principes de la méthode générale de maximis et minimis, cependant un illustre Géomètre de l’Académie des Sciences de Paris vient de donner, dans le volume déjà cité pour l’année 1767 un savant Mémoire, dans lequel il paraît révoquer en doute l’exactitude de ces mêmes équations déterminées ; et surtout l’application que j’en ai faite dans la solution du Problème de la plus vite descente donnée dans mon Mémoire déjà cité du second volume de la Société royale. Pour éclaircir les difficultés de ce savant Mathématicien, et faire mieux sentir en même temps l’usage de nos formules, nous allons résoudre ici le même Problème d’une manière encore plus générale, en y ajoutant de nouvelles considérations, qui ne laisseront, si je ne me trompe, plus rien à désirer sur ce sujet.

Problème. — Étant données d’espèce et de position deux courbes quelconques placées dans un même plan, on demande de trouver une troisième courbe, sur laquelle un corps pesant puisse descendre de l’une à l’autre des deux courbes données, dans le plus petit temps possible.

Prenons une droite horizontale qui soit l’axe des abscisses des deux courbes données et de la courbe cherchée, et une droite verticale qui soit l’axe commun des ordonnées des mêmes courbes ; soient $a,b$ l’abscisse et l’ordonnée de la première courbe donnée, c’est-à-dire de celle d’où le corps doit partir, et $l,m$ l’abscisse et l’ordonnée de l’autre courbe, à laquelle le corps doit arriver ; enfin soient $x,y$ l’abscisse et l’ordonnée de la courbe cherchée, sur laquelle le corps doit se mouvoir ; nommant $u$ la vitesse du corps, et prenant l’unité pour la force accélératrice de la gravité, on aura, comme on sait,

$udu=dy,\quad {\text{et de là}}\quad u={\sqrt {2(y-k)}},$

$k$ étant une constante arbitraire. Pour la déterminer, supposons que dans l’endroit où le corps commence à se mouvoir on ait $y=b$ ($b$ étant une des ordonnées de la première courbe donnée), et que la vitesse initiale du corps soit celle qu’il aurait acquise en tombant librement de la hauteur $h\,;$ il faudra donc qu’en faisant $y=b$ on ait $u={\sqrt {2h}},$ ce qui donnera

$2h=2(b-k)\quad {\text{et de là}}\quad k=b-h.$

Cela posé, on sait que le temps est exprimé en général par $\int {\frac {ds}{u}},$ $s$ étant l’arc de la courbe ; de sorte qu’en comparant cette formule à celle de l’Article VI, on aura

$\varphi =\int {\frac {ds}{u}}\quad {\text{et}}\quad \mathrm {Z} ={\frac {ds}{u}},$

et de là, à cause de $ds={\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}},$ et $u={\sqrt {2(y-k)}},$

$\delta \mathrm {Z} =-{\frac {ds\delta y}{u^{3}}}+{\frac {dx\delta dx}{uds}}+{\frac {dy\delta dy}{uds}}\,;$

donc

${\begin{alignedat}{3}q=&0,&q'=&{\frac {dx}{uds}},&q''=&0,\ldots ,\\r=&-{\frac {ds}{u^{3}}},\qquad &r'=&{\frac {dy}{uds}},\qquad &r''=&0,\ldots \,;\end{alignedat}}$

de là, à cause de $\xi =1,$ on aura (Art. II)

${\begin{alignedat}{3}\mathrm {Q} =&-d{\frac {dx}{uds}},&\mathrm {Q} '=&{\frac {dx}{uds}},&\mathrm {Q} ''=&0,\ldots ,\\\mathrm {R} =&-{\frac {ds}{u^{3}}}-d{\frac {dy}{uds}},\qquad &\mathrm {R} '=&{\frac {dy}{uds}},\qquad &\mathrm {R} ''=&0,\ldots \,;\end{alignedat}}$

ce qui donnera :

1^o L’équation variable

$\mathrm {Q} \delta x+\mathrm {R} \delta y=0,$

et par conséquent

$\mathrm {Q} =0\quad {\text{et}}\quad \mathrm {R} =0\,;$

l’une ou l’autre de ces deux équations servira à déterminer la courbe de la plus vite descente, et il serait inutile de les employer toutes deux à la fois, parce que l’une suit nécessairement de l’autre à cause qu’en changeant $\delta$ en $d$ on a l’équation identique $\mathrm {Q} dx+\mathrm {R} dy=0$ (Art. V). Prenanl donc l’équation $\mathrm {Q} =0$ qui est la plus simple, on aura

$-d{\frac {dx}{uds}}=0\,;$

d’où l’on tire, en intégrant,

${\frac {dx}{ds}}=fu=f{\sqrt {2(y-k)}},$

et de là

$dx={\frac {fdy{\sqrt {2(y-k)}}}{\sqrt {1-2f^{2}(y-k)^{2}}}},$

pour l’équation de la courbe brachistochrone, où $f$ est une constante arbitraire.

2^o On aura l’équation constante

$\mathrm {A} '\delta a+\mathrm {B} '\delta b-\mathrm {L} '\delta l-\mathrm {M} '\delta m=0,$

où $\mathrm {A',B'}$ sont les valeurs de $\mathrm {Q',R'} ,$ c’est-à-dire de ${\frac {dx}{uds}},{\frac {dy}{uds}}$ dans le premier point de la courbe, dans lequel $x=a,y=b,$ et $\mathrm {L',M'} ,$ sont les valeurs des mêmes quantités pour le dernier point de la courbe, dans lequel $x=l,y=m.$

Mais pour donner à cette équation constante toute l’étendue dont la question peut être susceptible, il faudra avoir égard à la Remarque que nous avons faite dans l’Article IV et faire varier aussi la constante $k$ qui entre dans la valeur de $u\,;$ or, comme (Art. VI)

$\Phi =\mathrm {Z} -d\varphi ={\frac {ds}{\sqrt {2(y-k)}}}-d\varphi ,$

il faudra ajouter à la valeur de $\delta \Phi$ le terme

${\frac {ds\delta k}{2{\sqrt {2}}(y-k)^{\frac {3}{2}}}}={\frac {ds}{u^{3}}}\delta k\,;$

donc, à cause de $\xi =1,$ on aura la quantité $-\delta k\int {\frac {ds}{u^{3}}}$ à ajouter au premier membre de l’équation précédente, laquelle deviendra par conséquent

$\mathrm {A} '\delta a+\mathrm {B} '\delta b-\mathrm {L} '\delta l-\mathrm {M} '\delta m-\delta k\int {\frac {ds}{u^{3}}}=0,$

l’intégrale $\int {\frac {ds}{u^{3}}}$ étant supposée prise de manière qu’elle commence au premier point de la courbe, et qu’elle finisse au dernier point. Or, je remarque d’abord qu’ayant déjà trouvé ${\frac {dx}{uds}}=f,$ on aura $\mathrm {Q} '=f,$ et par conséquent

$\mathrm {A'=L'} =f\,;$

j’observe ensuite qu’en prenant l’équation $\mathrm {R} =0,$ on a

$-{\frac {ds}{u^{3}}}-d{\frac {dy}{uds}}=0,$

d’où l’on tire, en intégrant,

$\int {\frac {ds}{u^{3}}}+{\frac {dy}{uds}}=\mathrm {const} .\quad {\text{ou bien}}\quad \int {\frac {ds}{u^{3}}}+\mathrm {R} '=\mathrm {const} .\,;$

or, en faisant commencer l’intégrale $\int {\frac {ds}{u^{3}}}$ au premier point de la courbe, on aura dans ce point $\int {\frac {ds}{u^{3}}}=0,$ et $\mathrm {R'=B'} \,;$ et comme au dernier point de la courbe on a $\mathrm {R'=M'} ,$ il est clair que la valeur complète de $\int {\frac {ds}{u^{3}}}$ sera égale à $\mathrm {B'-M'} .$ De plus, comme $k=b-h,$ si l’on suppose en général que $h$ soit une fonction quelconque donnée de $a$ et $b$ telle, que l’on ait $dh=\mathrm {G} da+\mathrm {H} db,$ on aura

$\delta k=\delta b-\delta h=\delta b-\mathrm {G} \delta a-\mathrm {H} \delta b,$

de sorte que par toutes ces substitutions l’équation précédente deviendra

$\left[f-\mathrm {(M'-B')G} \right]\delta a+\mathrm {\left[M'-(M'-B')H\right]} \delta b-f\delta l-\mathrm {M} '\delta m=0,$

laquelle (à cause que la première courbe dont les ordonnées sont $a$ et $b$ est supposée indépendante de la dernière dont les ordonnées sont $l$ et $m$) peut d’abord se partager entre ces deux-ci :

$\left[f-\mathrm {(M'-B')G} \right]\delta a+\mathrm {\left[M'-(M'-B')H\right]} \delta b=0,\qquad f\delta l+\mathrm {M} '\delta m=0.$

Maintenant, comme les coordonnées $a$ et $b$ appartiennent à une courbe donnée, on aura, par la nature de ces courbes,

$\delta a=\varepsilon db\quad {\text{et}}\quad dl=\eta dm,$

et changeant la caractéristique $d$ en $\delta ,$ on aura aussi

$\delta a=\varepsilon \delta b\quad {\text{et}}\quad \delta l=\eta \delta m\,;$

donc, substituant ces valeurs dans les équations précédentes, on aura

$\left[f-\mathrm {(M'-B')G} \right]\varepsilon +\mathrm {M'-(M'-B')H} =0,\qquad f\eta +\mathrm {M} '=0\,;$

ou bien, en remettant pour $\varepsilon$ et $\eta$ leurs valeurs ${\frac {da}{db}},{\frac {dl}{dm}},$ on aura

$\left[f-\mathrm {(M'-B')G} \right]da+\mathrm {\left[M'-(M'-B')H\right]} db=0,\qquad fdl+\mathrm {M} 'dm=0.$

Maintenant, si l’on suppose que la hauteur $h$ qui répond à la vitesse initiale soit égale à $b,$ en sorte que le corps commence à se mouvoir sur la brachistochrone avec la même vitesse qu’il aurait acquise en descendant depuis l’axe des abscisses, on aura $\mathrm {G} =0$ et $\mathrm {H} =1,$ et les deux équations précédentes deviendront

$fda=\mathrm {B} 'db=0,\qquad fdl+\mathrm {M} 'dm=0\,;$

mais $f={\frac {dx}{uds}},\mathrm {B} '={\frac {dy}{uds}}$ au premier point de la courbe, et $\mathrm {M} '={\frac {dy}{uds}}$ au dernier point de la courbe ; donc on aura pour le premier point de la courbe

$dxda+dydb=0,\quad {\text{ou bien}}\quad {\frac {dx}{dy}}=-{\frac {db}{da}},$

et pour le dernier point de la courbe

$dxdl+dydm=0\quad {\text{ou bien}}\quad {\frac {dx}{dy}}=-{\frac {dl}{dm}},$

ce qui fait voir que la courbe de la plus vite descente doit couper à angles droits les deux courbes données, et cela s’accorde avec ce que nous avons trouvé dans l’Article IV du Mémoire déjà cité du second volume.

Mais si l’on veut que la vitesse initiale soit nulle, alors on aura $h=0,$ et par conséquent $\mathrm {G} =0,$ et $\mathrm {H} =0$ ce qui donnera les deux équations

$fda+\mathrm {M} 'db=0,\qquad fdl+\mathrm {M} 'dm=0.$

La seconde de ces équations étant la même que dans le cas précédent, il en résulte que la brachistochrone doit aussi couper la seconde courbe à angles droits ; mais quant à la première courbe, l’équation

$fda+\mathrm {M} 'db=0$

donnera

${\frac {da}{db}}=-{\frac {\mathrm {M} '}{f}}={\frac {dl}{dm}},$

de sorte qu’on aura

${\frac {da}{db}}={\frac {dl}{dm}},$

ce qui fait voir que la tangente menée à la première courbe par le point où commence la brachistochrone doit être parallèle à la tangente menée à la seconde courbe par le point où la brachistochrone se termine ; et c’est ce qui s’accorde parfaitement avec le résultat de la solution donnée par M. le chevalier de Borda dans son Mémoire imprimé dans le volume de l’Académie des Sciences de Paris pour l’année 1767.

1. Œuvres de Lagrange, t. I, p. 335.
2. Voyez les pages 12 et 97 du tome cité.
3. Voyez les pages 521 et suiv. du volume cité, et les pages 174 et suiv. du tome II des Miscellanea Taurinensia (Œuvres de Lagrange, t. I, p. 336 et suiv.).
4. Voyez les pages 448 et suiv. de ce volume, et les pages 179 et suiv. du tome III des Miscellanea Taurinensia (Œuvres de Lagrange, t. I, p. 471 et suiv.).
5. Œuvres de Lagrange, t. I, p. 345.