Mémoires extraits des recueils de l’Académie de Turin/Sur la figure des colonnes

Joseph-Louis Lagrange

Sur la figure des colonnes

Mémoires extraits des recueils de l’Académie de Turin, Gauthier-Villars, 1868, Œuvres de Lagrange. Tome II (p. 125-170).

SUR LA
FIGURE DES COLONNES

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(Miscellanea Taurinensia, t. V, 1770-1773.)

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1. On a coutume de donner aux colonnes la figure d’un conoïde qui ait sa plus grande largeur vers le tiers de sa hauteur, et qui aille de là en diminuant vers les deux extrémités ; d’où résulte ce qu’on appelle vulgairement le renflement et la diminution des colonnes ; mais personne « que je sache n’a encore donné une raison satisfaisante de cette pratique ; car je ne crois pas qu’on puisse regarder comme telle celle que la plupart des Auteurs qui ont écrit sur cette matière apportent, et qui consiste dans la ressemblance qu’ils prétendent qu’une colonne doit avoir avec le corps humain. Il me paraît au contraire qu’il serait bien plus naturel de faire les colonnes plus minces en haut qu’en bas, et cela à l’imitation des troncs d’arbres qu’on a dû nécessairement employer dans les premiers bâtiments ; c’est ainsi que les anciens architectes en ont usé, comme on le voit par les ouvrages antiques qui sont restés à Rome, dans lesquels la plus grande partie des colonnes commencent à avoir leur diminution dès le bas ; mais comme Vitruve, qui est devenu le législateur des architectes modernes, prescrit formellement le renflement des colonnes, en disant qu’il faut ajouter quelque chose à leur milieu (Liv. III, Chap. II), quoique par la perte qu’on a faite des figures qui étaient jointes à son ouvrage on ignore la méthode dont il s’y prenait pour tracer la ligne du contour des colonnes, l’usage de renfler les colonnes au milieu et de les diminuer aux deux extrémités est devenu général, et l’on ne varie plus que sur la courbe qui doit former le renflement et la diminution.

Palladio propose pour cela un moyen mécanique qui consiste à plier tant soit peu une règle de bois ; Vignole donne deux espèces de constructions géométriques par lesquelles on peut décrire le profil d’une colonne par plusieurs points ; enfin M. Blondel a imaginé de faire servir à ce dessein l’instrument de Nicomède, en sorte que le profil de la colonne ait la figure d’une conchoïde. Il serait très-aisé d’inventer plusieurs autres moyens pour remplir le même objet, car tant qu’il n’y a d’autres données que l’épaisseur de la colonne aux deux extrémités et au point du plus grand renflement, il est clair que le Problème est très-indéterminé, puisqu’il ne s’agit que de faire passer une ligne courbe et concave vers l’axe par trois points donnés. Mais n’y aurait-il pas dans la nature même de la chose quelque principe qui pût servir à déterminer la question ? Parmi ceux qui servent de fondement à l’architecture, il n’y en a qu’un seul qui ait des règles fixes et invariables, et par conséquent susceptibles de calcul : c’est la solidité ; il faut donc examiner si l’on peut déduire de cette considération les conditions nécessaires pour la détermination et la solution du Problème dont il s’agit ; c’est l’objet du Mémoire qu’on va lire.

2. Comme les colonnes sont toujours destinées à supporter des charges plus ou moins considérables, suivant les circonstances où on les emploie, il est évident que si une colonne est trop chargée, elle commencera à se courber un peu du côté où la matière fera moins de résistance, après quoi elle se cassera faute d’élasticité, surtout si c’est une colonne de pierre ou de briques ; or il n’est pas difficile de comprendre que la courbure suivant laquelle, la colonne se pliera sera différente suivant la figure même de la colonne ; de sorte qu’à hauteurs et à masses égales, la force d’une colonne pourra être plus ou moins grande suivant la nature de la courbe qui en formera le profil. Ainsi c’est un Problème de maximis et minimis de déterminer la courbe, qui par sa rotation autour de son axe formera une colonne capable de supporter la plus grande charge possible, la hauteur et la masse de la colonne étant données ; c’est là, ce me semble, le véritable point de vue sous lequel on doit envisager la question du renflement et de la diminution des colonnes.

3. Quoique la théorie de la force des colonnes en tant qu’elle dépend de leur figure ait déjà fait le sujet d’un très-beau Mémoire que M. Euler a donné dans le volume des Mémoires de l’Académie de Berlin pour l’année 1757, cependant, comme le point, de vue sous lequel cet illustre Auteur a discuté cette matière est différent de celui dans lequel nous nous proposons de la traiter, nous croyons faire quelque plaisir aux Géomètres en leur communiquant les recherches que nous avons faites sur un sujet qui intéresse également la Mécanique et l’Analyse.

4. Soit $\mathrm {AMB}$ (fig. 1) une colonne dressée verticalement en $\mathrm {A} ,$ et char-

Fig. 1.

gée à l’autre extrémité $\mathrm {B}$ par un poids qui l’oblige à se courber infiniment peu, en sorte qu’elle prenne la figure $\mathrm {ANB} .$ Supposons d’abord que cette colonne soit d’une figure cylindrique, et que $\mathrm {F}$ soit la force absolue qu’elle a dans chaque point pour résister à être pliée, et qui sera par conséquent la même partout, suivant la loi générale des corps élastiques, cette force croîtra en raison de l’angle de courbure ; de sorte que dans

l’état $\mathrm {ANB}$ la force de la colonne à un point quelconque $\mathrm {N}$ sera proportionnelle à ${\frac {\mathrm {K} }{\rho }},$ en désignant par $\rho$ le rayon osculateur de la courbe $\mathrm {ANB} .$ D’un autre côté, si l’on nomme $\mathrm {P}$ le poids comprimant à l’extrémité $\mathrm {B} ,$ il est facile de voir que le moment de ce poids par rapport au point $\mathrm {N}$ sera exprimé par $\mathrm {P\times MN} \,;$ de sorte que la condition de l’équilibre donnera d’abord cette équation, $\mathrm {P\times MN={\frac {K}{\rho }}} ,$ d’où l’on pourra connaître tant la nature de la courbe $\mathrm {ANB}$ que la valeur de $\mathrm {P}$.

5. Nommons pour cela les abscisses $\mathrm {AM} =x$ et les ordonnées $\mathrm {MN} =y\,;$ et comme on suppose que la courbure de la colonne soit partout infiniment petite, on aura $y$ infiniment petit par rapport à \alpha $x,$ et $dy$ infiniment petit par rapport à $dx\,;$ de sorte que l’élément de la courbe

$ds={\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}$

sera à très-peu près et sans erreur sensible égal à $dx.$ Or on sait qu’en prenant $dx$ constant, on a $\rho ={\frac {ds^{2}}{-dxd^{2}y}}\,;$ donc on aura dans notre cas $\rho ={\frac {dx^{2}}{-d^{2}y}}\,;$ par conséquent l’équation à la courbe $\mathrm {ANB}$ sera

$\mathrm {P} y=-\mathrm {K} {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},$

c’est-à-dire

$\mathrm {P} y+\mathrm {K} {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=0.$

Il faudra donc intégrer d’abord cette équation, ensuite faire en sorte que l’expression de $y$ soit nulle aux deux points $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} ,$ c’est-à-dire lorsque $x=0$ et lorsque $x=\mathrm {AB} ,$ hauteur de la colonne. Or l’intégration est facile, à cause que $\mathrm {P}$ et $\mathrm {K}$ sont des quantités constantes, et l’on aura en général

$y=f\sin \left(x\mathrm {\frac {P}{K}} +g\right),$

$f$ et $g$ étant des constantes arbitraires ; donc, si l’on nomme $a$ la hauteur

donnée de la colonne, il faudra que l’on ait

$f\sin g=0,\qquad f\sin \left(a{\sqrt {\mathrm {\frac {P}{K}} }}+g\right)=0\,;$

donc, puisqu’on ne peut pas faire $f=0,$ ce qui donnerait $y=0,$ il faudra faire d’abord $g=0,$ et ensuite il faudra encore que l’on ait

$\sin \left(a{\sqrt {\mathrm {\frac {P}{K}} }}\right)=0,$

et par conséquent que

$a{\sqrt {\mathrm {\frac {P}{K}} }}=m\pi ,$

$\pi$ étant l’angle de $180$ degrés, et $m$ un nombre quelconque entier ; d’où l’on tire

$\mathrm {P} ={\frac {m^{2}\pi ^{2}\mathrm {K} }{a^{2}}}.$

L’équation à la courbe $\mathrm {ANB}$ deviendra par là

$y=f\sin \left({\cfrac {m\pi x}{a}}\right),$

où la constante $f$ demeure arbitraire, et exprime la plus grande valeur $y.$

6. Si l’on fait $m=1,$ on aura

$y=f\sin \left({\cfrac {\pi x}{a}}\right),$

d’où l’on voit que la courbe $\mathrm {ANB}$ ne coupe l’axe qu’aux deux extrémités $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} \,;$ et le poids requis pour donner à la colonne cette courbure sera ${\frac {\pi ^{2}\mathrm {K} }{a^{2}}}.$ Si $m=2,$ on aura

$y=f\sin \left({\cfrac {2\pi x}{a}}\right),$

et la courbe coupera l’axe au point où $x={\frac {a}{2}},$ c’est-à-dire, au point du

milieu $\mathrm {C} ,$ en sorte que la colonne prendra la fig. 2 ; mais il faudra pour cela que le poids $\mathrm {P}$ soit ${\frac {4\pi ^{2}K}{a^{2}}},$ c’est-à-dire, quadruple du précédent. Si l’on faisait $m=3,$ on aurait

$y=f\sin {\frac {3\pi x}{a}},$

de sorte que la courbure couperait l’axe aux points où $x={\frac {a}{3}}$ et $x={\frac {2a}{3}},$ et serait semblable à la fig. 3 ; or, pour que la colonne soit pliée de cette

Fig. 2.$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$ Fig. 3.

manière, il faudra que le poids $\mathrm {P}$ soit ${\frac {9\pi ^{2}\mathrm {K} }{a^{2}}},$ c’est-à-dire, neuf fois plus grand que le premier ; et ainsi de suite.

7. Maintenant, puisque le plus petit poids qui soit en état de faire plier la colonne est ${\frac {\pi ^{2}\mathrm {K} }{a^{2}}},$ il semble qu’on en peut conclure que tout poids qui sera moindre que celui-ci ne fera absolument aucun effet, et qu’ainsi τ2 K on doit regarder la quantité ${\frac {\pi ^{2}\mathrm {K} }{a^{2}}}$ comme la vraie mesure de la force de la colonne cylindrique $\mathrm {AB} .$ C’est par ce principe que M. Euler a déterminé dans le Mémoire cité la force de plusieurs sortes de colonnes tant cylindriques que paraboloïdiques, et ce sera aussi sur le même principe que nous fonderons nos recherches sur la figure qu’on doit donner aux colonnes pour qu’elles aient la plus grande force possible ; mais avant d’en faire usage il est bon d’examiner ce qui doit arriver lorsque le poids sera un peu différent de ${\frac {\pi ^{2}\mathrm {K} }{a^{2}}}\,;$ pour cela, il faut déterminer rigoureusement la nature de la courbe $\mathrm {ANB}$ sans négliger la petite différence qu’il y a entre l’élément de l’arc $ds$ et celui de l’abscisse $dx.$

Qu’on substitue donc dans l’équation $\mathrm {P} y={\frac {\mathrm {K} }{\rho }}$ du n^o 4 à la place de $\rho$ sa valeur rigoureuse ${\frac {ds^{2}}{-dxd^{2}y}},$ et l’on aura celle-ci

$\mathrm {P} y+{\frac {\mathrm {K} dxd^{2}y}{ds^{2}}}=0,$

laquelle étant multipliée par $dy$ et ensuite intégrée donne

${\frac {1}{2}}\mathrm {P} y^{2}-{\frac {\mathrm {K} dx}{ds}}=\mathrm {const} .$

Pour déterminer cette constante, soit $f$ la plus grande valeur de $y,$ et comme on doit avoir au point du maximum $dy=0,$ et par conséquent $ds=dx,$ on aura pour la valeur de la quantité ${\frac {\mathrm {P} y^{2}}{2}}-{\frac {\mathrm {K} dx}{ds}}=\mathrm {const} .$ dans ce point, ${\frac {\mathrm {P} f^{2}}{2}}-\mathrm {K} ,$ qui sera donc la constante cherchée. Ainsi l’équation deviendra

${\frac {\mathrm {P} }{2}}\left(f^{2}-y^{2}\right)=\mathrm {K} \left(1-{\frac {dx}{ds}}\right)\,;$

mais $dx={\sqrt {ds^{2}-dy^{2}}}\,;$ donc

${\frac {\mathrm {P} }{2}}\left(f^{2}-y^{2}\right)=\mathrm {K} \left(1-{\frac {\sqrt {ds^{2}-dy^{2}}}{ds}}\right),$

ou bien, en faisant ${\frac {dy}{ds}}=p,$

${\frac {\mathrm {P} }{2}}\left(f^{2}-y^{2}\right)=\mathrm {K} \left(1-{\sqrt {1-p^{2}}}\right),$

d’où l’on tire

$p={\sqrt {\mathrm {\frac {P}{K}} \left(f^{2}-y^{2}\right)-\mathrm {\frac {P^{2}}{4K^{2}}} \left(f^{2}-y^{2}\right)^{2}}}\,;$

donc, à cause de $ds={\frac {dy}{p}},$

$ds={\frac {dy}{\sqrt {\mathrm {\cfrac {P}{K}} \left(f^{2}-y^{2}\right)-\mathrm {\cfrac {P^{2}}{4K^{2}}} \left(f^{2}-y^{2}\right)^{2}}}}.$

On intégrera donc cette équation en sorte que $y=0$ lorsque $s=0\,;$ ensuite on supposera aussi $y=0$ lorsque $s=a,$ et cette dernière condition servira à déterminer la valeur de $\mathrm {P}$.

8. Puisque la plus grande valeur de $y$ est $f,$ on peut supposer $y=f\sin \varphi ,$ et substituant cette valeur dans l’équation précédente, elle deviendra

$ds={\frac {d\varphi }{\sqrt {\mathrm {\cfrac {P}{K}} -{\cfrac {\mathrm {P} ^{2}f^{2}}{4\mathrm {K} ^{2}}}\cos ^{2}\varphi }}},$

par laquelle on déterminera la valeur de $\varphi$ en $s\,;$ et comme on veut que $y$ soit nul lorsque $s=0$ et lorsque $s=a,$ il faudra que $\varphi =0$ lorsque $s=0,$ et que $\varphi =m\pi$ lorsque $s=a.$ Lorsque $m=1,$ la courbe n’aura qu’un seul ventre comme dans la fig. 1 (p. 127) ; en faisant $m=2,$ elle aura deux ventres comme dans la fig. 2 (p. 130) ; et ainsi de suite.

9. Si $f$ est une quantité infiniment petite, on a à très-peu près $ds={\frac {d\varphi }{\sqrt {\mathrm {\cfrac {P}{K}} }}},$ et intégrant, $s={\frac {\varphi }{\sqrt {\mathrm {\cfrac {P}{K}} }}}\,;$ d’où, faisant $s=a$ et $\varphi =m\pi ,$ on a le même résultat que ci-dessus (5). Mais si $f$ n’est pas une quantité infiniment petite, alors l’équation du numéro précédent n’est point susceptible d’une intégrale exacte, car la différentielle ${\frac {d\varphi }{\sqrt {\mathrm {\cfrac {P}{K}} -{\cfrac {\mathrm {P} ^{2}f^{2}\cos ^{2}\varphi }{4\mathrm {K} ^{2}}}}}}$ dépend en général de la rectification des sections coniques. Mais, en employant les séries, on aura

$ds={\frac {d\varphi }{\sqrt {\mathrm {\cfrac {\mathrm {P} }{\mathrm {K} }} }}}\left[1+{\frac {\mathrm {P} f^{2}\cos ^{2}\varphi }{2(4\mathrm {K} )}}+{\frac {3\mathrm {P} ^{2}f^{4}\cos ^{4}\varphi }{2.4(16\mathrm {K} ^{2})}}+{\frac {3.5\mathrm {P} ^{3}f^{6}\cos ^{6}\varphi }{2.4.6(64\mathrm {K} ^{3})}}+\ldots \right].$

Or, les différentielles $\cos ^{2}\varphi d\varphi ,\cos ^{4}\varphi d\varphi ,\ldots$ sont toutes intégrables, comme on sait, et pour les intégrer il n’y a qu’à changer les puissances $\cos \varphi$ en des cosinus d’angles multiples de $\varphi$ par les formules connues

${\begin{aligned}\cos ^{2}\varphi &={\frac {\cos 2\varphi +1}{2}},\\\cos ^{4}\varphi &={\frac {\cos 4\varphi +4\cos 2\varphi +{\cfrac {4.3}{2.3}}}{8}},\\\cos ^{6}\varphi &={\frac {\cos 6\varphi +6\cos 4\varphi +{\cfrac {6.5}{2}}\cos 2\varphi +{\cfrac {6.5.4}{2.2.3}}}{32}},\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Mais comme par l’intégration tous les cosinus deviennent des sinus, il est clair qu’en faisant $\varphi =m\pi$ tous ces termes s’évanouiront d’eux-mêmes ; c’est pourquoi il suffira pour notre objet de considérer les termes tous constants des valeurs de $\cos ^{2}\varphi ,\cos ^{4}\varphi ,\ldots ,$ et de les substituer à la place de ces mêmes valeurs dans l’équation ci-dessus, ce qui la réduira à celle-ci

$ds={\frac {d\varphi }{\sqrt {\mathrm {\cfrac {\mathrm {P} }{\mathrm {K} }} }}}\left[1+{\frac {\mathrm {P} f^{2}}{4(4\mathrm {K} )}}+{\frac {9\mathrm {P} ^{2}f^{4}}{4.16(16\mathrm {K} ^{2})}}+{\frac {9.25\mathrm {P} ^{3}f^{6}}{4.16.36(64\mathrm {K} ^{3})}}+\ldots \right],$

qui, étant intégrée, donnera, après y avoir fait $s=a$ et $\varphi =m\pi ,$

$a={\frac {m\pi }{\sqrt {\mathrm {\cfrac {\mathrm {P} }{\mathrm {K} }} }}}\left[1+{\frac {\mathrm {P} f^{2}}{4(4\mathrm {K} )}}+{\frac {9\mathrm {P} ^{2}f^{4}}{4.16(16\mathrm {K} ^{2})}}+{\frac {9.25\mathrm {P} ^{3}f^{6}}{4.16.36(64\mathrm {K} ^{3})}}+\ldots \right],$

par où l’on pourra déterminer la valeur de $f$ pour chaque valeur donnée de $\mathrm {P}$ et de $a.$

10. On voit d’abord par l’équation précédente que, tant que $f$ n’est pas nul, $a$ est nécessairement $>{\frac {m\pi }{\sqrt {\mathrm {\cfrac {\mathrm {P} }{\mathrm {K} }} }}},$ et par conséquent $\mathrm {P} >{\frac {m^{2}\pi ^{2}\mathrm {K} }{a^{2}}}\,;$ d’où il s’ensuit que la colonne ne peut être courbée que par une charge plus grande que ${\frac {m^{2}\pi ^{2}\mathrm {K} }{a^{2}}}.$ En effet, si l’on met l’équation ci-dessus sous cette forme

$1-{\frac {a}{m\pi }}{\sqrt {\mathrm {\frac {\mathrm {P} }{\mathrm {K} }} }}+{\frac {\mathrm {P} f^{2}}{4(4\mathrm {K} )}}+{\frac {9\mathrm {P} ^{2}f^{4}}{4.16(16\mathrm {K} ^{2})}}+{\frac {9.25\mathrm {P} ^{3}f^{6}}{4.16.36(64\mathrm {K} ^{3})}}+\ldots =0,$

et qu’on regarde la valeur de $f^{2}$ comme l’inconnue qu’il s’agit de déterminer, il est clair que puisque les quantités $\mathrm {P}$ et $\mathrm {K}$ sont positives de leur propre nature, la quantité $f^{2}$ n’aura que des valeurs négatives ou imaginaires tant que $1-{\frac {a}{m\pi }}{\sqrt {\mathrm {\frac {\mathrm {P} }{\mathrm {K} }} }}>0,$ que cette quantité aura une valeur nulle lorsque $1-{\frac {a}{m\pi }}{\sqrt {\mathrm {\frac {\mathrm {P} }{\mathrm {K} }} }}=0,$ toutes les autres étant négatives ou imaginaires ; qu’enfin la quantité $f^{2}$ aura toujours une seule valeur positive lorsque $1-{\frac {a}{m\pi }}{\sqrt {\mathrm {\frac {\mathrm {P} }{\mathrm {K} }} }}<0.$ Donc : 1^o la quantité $f$ sera toujours imaginaire lorsque $1-{\frac {a}{m\pi }}{\sqrt {\mathrm {\frac {\mathrm {P} }{\mathrm {K} }} }}>0,$ c’est-à-dire $\mathrm {P} <{\frac {m^{2}\pi ^{2}\mathrm {K} }{a^{2}}}\,;$ 2^o la quantité $f$ aura toujours deux valeurs réelles et égales, mais l’une positive et l’autre négative, lorsuqe $1-{\frac {a}{m\pi }}{\sqrt {\mathrm {\frac {\mathrm {P} }{\mathrm {K} }} }}<0,$ savoir $\mathrm {P} >{\frac {m^{2}\pi ^{2}\mathrm {K} }{a^{2}}},$ et n’aura point d’autres valeurs réelles. D’où il s’ensuit que tant que $\mathrm {P}$ sera $<{\frac {\pi ^{2}\mathrm {K} }{a^{2}}},$ la colonne ne pourra être courbée ; que tant que $\mathrm {P}$ sera renfermée entre les limites ${\frac {\pi ^{2}\mathrm {K} }{a^{2}}}$ et ${\frac {4\pi ^{2}\mathrm {K} }{a^{2}}},$ la colonne sera courbée, mais en ne formant qu’un seul ventre ; que tant que $\mathrm {P}$ sera entre les limites ${\frac {4\pi ^{2}\mathrm {K} }{a^{2}}}$ et ${\frac {9\pi ^{2}\mathrm {K} }{a^{2}}},$ la colonne sera nécessairement courbée et pourra former ou un seul ventre ou deux ; et ainsi de suite.

11. Nous avons donc démontré rigoureusement que la quantité ${\frac {\pi ^{2}\mathrm {K} }{a^{2}}}$ est la limite des poids que la colonne peut supporter sans se plier ; et comme cette quantité est égale à la valeur que doit avoir la force $\mathrm {P}$ lorsque $f$ est nulle, ou, ce qui revient au même, infiniment petite, il s’ensuit qu’on peut la trouver directement en supposant d’abord $y$ infiniment petite dans l’équation de la courbe, comme on l’a fait dans le n^o 5, et faisant en sorte que l’intégrale de cette équation satisfasse aux deux conditions de $y=0$ lorsque $s=0$ et $s=a,$ ou bien lorsque $x=0$ et $x=a,$ parce que, dans le cas de $y$ infiniment petit, l’arc $s$ se confond sensiblement avec l’abscisse $x.$ C’est de cette manière qu’on pourra déterminer la limite dont il s’agit pour les colonnes qui ne seront pas d’une épaisseur uniforme, et dont l’équation serait absolument intraitable par les méthodes connues sans la supposition de $y$ infiniment petit.

12. En effet, si l’on suppose que la colonne ne soit pas cylindrique, mais qu’elle ait la forme d’un conoide formé par la rotation d’une courbe quelconque autour de son axe, lequel sera par conséquent aussi l’axe de la colonne, et qu’on nomme $z$ l’ordonnée de cette courbe qui répond à une abscisse quelconque $x.$ en sorte qu’on ait une équation entre $z$ et $x$ qui serve à déterminera $z$ en $x,$ il est clair que $2z$ sera le diamètre de la grosseur de la colonne à la hauteur $x$ depuis la base, et il n’est pas moins évident que la force absolue avec laquelle la colonne résistera dans cet endroit à être courbée sera d’autant plus grande que la quantité $2z$ sera plus grande ; de manière que cette force pourra être regardée comme une fonction de $z,$ et par conséquent aussi comme une fonction de $x,$ que nous désignerons en général dans la suite par $\mathrm {X} .$ Ainsi il n’y aura qu’à mettre simplement $\mathrm {X}$ à la place de $\mathrm {K}$ dans l’équation du n^o 5, et l’on aura

$\mathrm {P} y+\mathrm {X} {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=0$

pour l’équation de la courbe suivant laquelle la colonne sera pliée par le poids $\mathrm {P}$ dont on la suppose chargée, en supposant que cette courbe soit infiniment peu différente de la ligne droite.

13. Or, puisque, dans le cas où $\mathrm {X}$ était une quantité constante $\mathrm {K} ,$ on a trouvé en général pour la valeur de $y$ cette expression

$y=f\sin \left(x{\sqrt {\mathrm {\frac {P}{K}} }}+g\right),$

supposons maintenant $y=\xi \sin \varphi ,$ $\xi$ et $\varphi$ étant des fonctions inconnues de $x,$ et l’on aura, en différentiant,

$dy=\sin \varphi d\xi +\xi \cos \varphi d\xi ,$

$d^{2}y=\sin \varphi d^{2}\xi +2\cos \varphi d\varphi d\xi -\xi \sin \varphi d\varphi ^{2}+\xi \cos \varphi d^{2}\varphi \,;$

donc, substituant ces valeurs dans l’équation du numéro précédent, on aura

$\left[\mathrm {P} \xi +\mathrm {X} \left({\frac {d^{2}\xi }{dx^{2}}}-\xi {\frac {d\varphi ^{2}}{dx^{2}}}\right)\right]\sin \varphi +\mathrm {X} \left(2{\frac {d\varphi d\xi }{dx^{2}}}+\xi {\frac {d^{2}\varphi }{dx^{2}}}\right)\cos \varphi =0.$

Comme nous avons introduit deux variables indéterminées $\xi$ et $\varphi ,$ nous pouvons faire disparaître dans cette équation les sinus et cosinus de $\varphi ,$ en la partageant en ces deux-ci

$\mathrm {P} \xi +\mathrm {X} \left({\frac {d^{2}\xi }{dx^{2}}}-\xi {\frac {d\varphi ^{2}}{dx^{2}}}\right)=0,$

$2{\frac {d\varphi d\xi }{dx^{2}}}+\xi {\frac {d^{2}\varphi }{dx^{2}}}=0\,;$

la seconde étant multipliée par $\xi dx,$ et ensuite intégrée, donne

$\xi ^{2}{\frac {d\varphi }{dx}}=h,$

d’où l’on tire

${\frac {d\varphi }{dx}}={\frac {h}{\xi ^{2}}}\quad {\text{et}}\quad \varphi =h\int {\frac {dx}{\xi ^{2}}},$

$h$ étant une constante arbitraire. Substituant cette valeur dans la première équation, elle deviendra

$\mathrm {P} \xi +\mathrm {X} \left({\frac {d^{2}\xi }{dx^{2}}}-{\frac {h^{2}}{\xi ^{3}}}\right)=0,$

par laquelle il faudra déterminer la variable $\xi \,;$ ensuite de quoi on aura

$y=\xi \sin \left(h\int {\frac {dx}{\xi ^{2}}}\right).$

Soit pour plus de simplicité $\xi ^{2}=hu,$ on aura, en substituant cette valeur dans l’équation en $\xi ,$ celle-ci

$4\mathrm {P} u^{2}+\mathrm {X} \left({\frac {2ud^{2}u-du^{2}}{dx^{2}}}-4\right)=0,$

et la valeur de $y$ sera

$y={\sqrt {hu}}\sin \int {\frac {dx}{u}}.$

14. On remarquera d’abord, à l’égard de cette expression de $y,$ qu’elle contient deux constantes arbitraires : l’une, c’est la constante $h$ qui ne se trouve point dans l’équation en $u\,;$ l’autre, c’est celle qui est virtuellement renfermée dans l’intégrale $\int {\frac {dx}{u}}\,;$ c’est pourquoi il suffira d’y substituer une valeur quelconque de $u$ qui satisfasse à l’équation en $u,$ sans s’embarrasser si elle est une intégrale complète de cette équation ou non.

Un autre avantage de la même expression de $y,$ c’est qu’elle est très-commode pour la détermination du poids $\mathrm {P} \,;$ car, suivant les conditions du Problème, il faut : 1^o que $y=0$ lorsque $x=0,$ condition qu’on remplira en prenant l’intégrale de $\int {\frac {dx}{u}}$ en sorte qu’elle s’évanouisse lorsque $x=0\,;$ 2^o il faut aussi que $y=0$ lorsque $x=a\,;$ et, pour remplir cette condition, il faudra que la valeur de l’intégrale $\int {\frac {dx}{u}}$ qui répond à $x=a$ soit $m\pi \,;$ car alors $\sin \int {\frac {dx}{u}}$ sera nul. Or, comme la quantité $u$ ne doit point contenir de constantes arbitraires, il est visible que cette dernière condition donnera une équation entre les quantités $\mathrm {P}$ et $a,$ par laquelle on pourra déterminer $\mathrm {P} .$

Quant au nombre entier $m,$ qui demeure indéterminé, il est clair, par ce que l’on a vu plus haut, qu’il sera toujours égal au nombre des ventres que la colonne formera en se courbant par la pression du poids $\mathrm {P} \,;$ donc, pour avoir la limite des fardeaux que la colonne pourra supporter sans se courber d’une manière quelconque, il faudra toujours prendre pour $m$ le nombre entier qui rendra la valeur de $\mathrm {P}$ la plus petite, et cette valeur sera la limite cherchée.

15. L’hypothèse la plus simple que l’on puisse faire sur la figure des colonnes, lorsqu’elles ne doivent pas être cylindriques, est de les supposer formées par la rotation d’une section conique autour de son axe ; or, l’équation générale d’une section conique où les abscisses sont prises dans l’axe est, comme on sait,

$z^{2}=\alpha +\beta x+\gamma x^{2},$

$x$ étant les abscisses et $z$ les ordonnées, et $\alpha ,\beta ,\gamma$ étant des constantes arbitraires ; ainsi, nous adopterons d’abord cette équation entre les variables $z$ et $x,$ et nous chercherons quelle est la valeur de $\mathrm {P}$ qui en résultera ; mais, pour cela, il faut encore établir la loi qui doit avoir lieu entre les rayons $z$ et la force $\mathrm {X}$ avec laquelle la colonne résiste à se courber (12).

16. Il paraît que la théorie et l’expérience s’accordent assez à faire $\mathrm {X}$ proportionnelle à $z^{4},$ comme on peut le voir par les ouvrages où cette matière est traitée ; ainsi nous supposerons en général $\mathrm {X=K} z^{4},$ ce qui donnera, dans le cas du numéro précédent,

$\mathrm {X=K} \left(\alpha +\beta x+\gamma x^{2}\right)^{2}\,;$

ce qui étant substitué dans l’équation en $u$ du n^o 13, on aura

$4\mathrm {P} u^{2}+\mathrm {K} \left(\alpha +\beta x+\gamma x^{2}\right)^{2}\left({\frac {2ud^{2}u-du^{2}}{dx^{2}}}-4\right)=0,$

équation à laquelle on peut satisfaire en faisant

$u=g\left(\alpha +\beta x+\gamma x^{2}\right)=gz^{2}\,;$

car on aura

${\frac {2ud^{2}u-du^{2}}{dx^{2}}}=4g^{2}\gamma \left(\alpha +\beta x+\gamma x^{2}\right)-g^{2}(\beta +2\gamma x)^{2}=g^{2}\left(4\alpha \gamma -\beta ^{2}\right)\,;$

de sorte qu’après les substitutions, on aura

$4\mathrm {P} g^{2}+\mathrm {K} \left[g^{2}\left(4\alpha \gamma -\beta ^{2}\right)-4\right]=0,$

d’où l’on tire

$g={\frac {1}{\sqrt {\mathrm {\cfrac {P}{K}} +\alpha \gamma -{\cfrac {\beta ^{2}}{4}}}}}.$

Cette valeur de $u$ n’est, comme on voit, qu’une intégrale particulière ; mais elle suffit pour notre objet, comme on l’a fait voir plus haut (14).

17. Maintenant on aura

$\int {\frac {dx}{u}}=\int {\frac {dx}{g\left(\alpha +\beta x+\gamma x^{2}\right)}}\,;$

donc, si l’on nomme $\mathrm {A}$ l’intégrale de ${\frac {dx}{\alpha +\beta x+\gamma x^{2}}},$ c’est-à-dire de ${\frac {dx}{z^{2}}},$ prise en sorte qu’elle soit nulle lorsque $x=0$ et complète lorsque $x=a,$ on aura ${\frac {\mathrm {A} }{g}}$ pour la valeur de $\int {\frac {dx}{u}}$ répondant $x=a\,;$ on fera donc (14) ${\frac {\mathrm {A} }{g}}=m\pi ,$ et l’on tirera de là

$\mathrm {P} =\left({\frac {\beta ^{2}}{4}}-\alpha \gamma +{\frac {m^{2}\pi ^{2}}{\mathrm {A} ^{2}}}\right)\mathrm {K} .$

Telle est donc la valeur du poids $\mathrm {P}$ qui pourra faire plier la colonne infiniment peu, et comme cette valeur augmente à mesure que le nombre $m$ est plus grand, on fera $m=1$ pour avoir la limite des poids qui pourront être supportés par la colonne, sans qu’elle soit sujette à se courber en aucune manière ; ainsi la force de la colonne sera d’autant plus grande que la valeur de $\mathrm {P}$ sera plus grande ; d’où l’on voit que la force augmentera à mesure que la quantité ${\frac {\beta ^{2}}{4}}-\alpha \gamma$ croîtra et que la quantité $\mathrm {A}$ décroîtra ; ainsi ce sera une question de maximis et minimis de déterminer les valeurs des constantes $\alpha ,\beta ,\gamma$ pour que la force $\mathrm {P}$ soit la plus grande ; mais comme cette force doit nécessairement augmentera mesure que les dimensions de la colonne augmentent, on ne peut chercher qu’un maximum relatif à la masse de la colonne, en supposant sa hauteur donnée ; c’est sous ce point de vue que nous allons envisager la question.

18. Pour commencer par les cas les plus simples, nous supposerons d’abord que l’on ait ${\frac {\beta ^{2}}{4}}-\alpha \gamma =0,$ auquel cas l’équation du profil de la colonne deviendra

$z^{2}=\left({\sqrt {\alpha }}+x{\sqrt {\gamma }}\right)^{2},$

et tirant la racine carrée

$z={\sqrt {\alpha }}+x{\sqrt {\gamma }},$

qui est à une ligne droite ; en sorte que dans ce cas la figure de la colonne sera celle d’un cône tronqué. Faisons, pour plus de commodité, ${\sqrt {\alpha }}=b,{\sqrt {\gamma }}=c,$ et par conséquent $\beta =2bc\,;$ on aura donc

$z=b+cx,$

et l’intégrale de ${\frac {dx}{z^{2}}},$ prise de manière qu’elle soit nulle lorsque $x=0,$ sera $-{\frac {1}{c}}\left({\frac {1}{z}}-{\frac {1}{b}}\right)\,;$ donc, faisant $x=a$ et $b'=b+ca,$ on aura

$\mathrm {A} =-{\frac {1}{c}}\left({\frac {1}{b+ca}}-{\frac {1}{b}}\right)={\frac {a}{b(b+ca)}}={\frac {a}{bb'}},$

où l’on remarquera que $b$ est le rayon de la base inférieure de la colonne, et $b'$ celui de la base supérieure ; ainsi l’on aura dans ce cas

$\mathrm {P} ={\frac {\pi ^{2}Kb^{2}b'^{2}}{a^{2}}}.$

Maintenant, pour avoir la solidité de la colonne, on remarquera que l’aire du cercle dont le rayon est $z$ étant exprimée par $\pi z^{2},$ il n’y aura qu’à prendre l’intégrale de $\pi z^{2}dx,$ depuis $x=0$ jusqu’à $x=a,$ laquelle sera

${\frac {\pi }{3c}}\left[(b+ca)^{3}-b^{3}\right],$

c’est-à-dire, à cause de $b+ca=b'$ et $c={\frac {b'-b}{a}},$

${\frac {\pi a}{3}}\left(b^{2}+bb'+b'^{2}\right).$

Ainsi le rapport du poids que la colonne est en état de supporter au

carré du poids même de la colonne sera exprimé par

${\frac {9\mathrm {K} b^{2}b'^{2}}{a^{4}\left(b^{2}+bb'+b'^{2}\right)^{2}}},$

quantité qui ne dépend que du rapport des rayons $b$ et $b'$ des deux bases ; en effet, faisant ${\frac {b'}{b}}=r,$ la quantité précédente deviendra

${\frac {9\mathrm {K} r^{2}}{a^{4}\left(1+r+r^{2}\right)^{2}}}={\frac {9\mathrm {K} }{a^{4}\left(1+r+{\cfrac {1}{r}}\right)^{2}}}.$

Cette quantité sera donc la plus grande lorsque la valeur de $1+r+{\frac {1}{r}}$ sera la plus petite, ce qui aura lieu en faisant $dr-{\frac {dr}{r^{2}}}=0,$ ou bien $1-{\frac {1}{r^{2}}}=0,$ savoir $r=1$ et par conséquent $b=b'.$ D’où l’on doit conclure que la force d’une colonne de figure conique, relativement à sa solidité, sera toujours la plus grande lorsque les deux bases seront égales, c’est-à-dire lorsque la colonne sera cylindrique. Ainsi, pour cette considération, les colonnes cylindriques doivent être préférables aux coniques.

19. Nommons en général $\mathrm {S}$ la solidité de la colonne, qui est égale à l’intégrale de $\pi z^{2}dx$ prise de manière qu’elle soit nulle lorsque $x=0$ et complète lorsque $x=a\,;$ le rapport de $\mathrm {P}$ à $\mathrm {S} ^{2},$ c’est-à-dire la valeur de $\mathrm {\frac {P}{S^{2}}} ,$ pourra être regardé comme exprimant la force relative d’une colonne ; cette force sera donc ${\frac {9\mathrm {K} }{a^{4}\left(1+r+{\cfrac {1}{r}}\right)^{2}}}$ pour les colonnes coniques, où les diamètres des bases sont entre elles comme $r$ est à $1,$ et ${\frac {\mathrm {K} }{a^{4}}}$ pour les colonnes cylindriques, ce qui sert à déterminer la valeur de la constante $\mathrm {K} \,;$ c’est pourquoi, si l’on fait $\mathrm {K} =a^{4}\mathrm {F} ,$ la constante $\mathrm {F}$ exprimera la force relative d’une colonne cylindrique de même hauteur.

20. Supposons maintenant $\gamma =0,$ ce qui donnera $z^{2}=\alpha +\beta x,$ qui est l’équation d’une parabole, l’intégrale de ${\frac {dx}{z^{2}}}={\frac {dx}{\alpha +\beta x}}$ sera en général ${\frac {1}{\beta }}\log(\alpha +\beta x),$ d’où, en complétant et faisant $x=a,$ on aura

$\mathrm {A} ={\frac {1}{\beta }}\log \left(1+{\frac {\beta a}{\alpha }}\right)\,;$

donc

$\mathrm {P} =\left\{{\frac {1}{4}}+{\frac {\pi ^{2}}{\left[\log \left(1+{\cfrac {\beta a}{\alpha }}\right)\right]^{2}}}\right\}\beta ^{2}\mathrm {K} .$

Maintenant, pour avoir $\mathrm {S} ,$ on intégrera la formule

$\pi z^{2}dx=\pi (\alpha +\beta x)dx,$

et complétant l’intégrale, comme on l’a enseigné plus haut, on aura

$\mathrm {S} =\pi \left(\alpha +{\frac {\beta a}{2}}\right)a\,;$

donc

$\mathrm {\frac {P}{S^{2}}} ={\frac {\mathrm {K} }{a^{2}\left({\cfrac {\alpha }{\beta }}+{\cfrac {a}{2}}\right)^{2}}}\left\{{\frac {1}{4\pi ^{2}}}+{\frac {1}{\left[\log \left(1+{\cfrac {\beta a}{\alpha }}\right)\right]^{2}}}\right\}.$

Faisons ${\frac {\beta a}{\alpha }}=r$ et mettons $\mathrm {F} a^{4}$ à la place de $\mathrm {K} ,$ on aura pour la force relative de la colonne parabolique l’expression

$\mathrm {\frac {P}{S^{2}}} ={\frac {\mathrm {F} }{\left({\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {1}{r}}\right)^{2}}}\left\{{\frac {1}{4\pi ^{2}}}+{\frac {1}{\left[\log(1+r)\right]^{2}}}\right\},$

$\mathrm {F}$ étant celle de la colonne cylindrique de même hauteur.

21. Cherchons le maximum de cette expression, et la différentiation donnera cette équation transcendante en $r$

${\frac {\left[\log(1+r)\right]^{2}}{4\pi ^{2}}}+\log(1+r)={\frac {r(2+r)}{2(1+r)}},$

d’où il faudra tirer $r.$ Pour y parvenir, je fais $\log(1+r)=t,$ et par

conséquent $r=e^{t}-1\,;$ j’aurai, en substituant

${\frac {t^{3}}{4\pi ^{2}}}+t={\frac {e^{t}-e^{-t}}{2}}.$

Je réduis en séries les quantités exponentielles, ce qui me donne

${\frac {e^{t}-e^{-t}}{2}}=t+{\frac {t^{3}}{2.3}}+{\frac {t^{5}}{2.3.4.5}}+\ldots ,$

de sorte que l’équation deviendra

$\left({\frac {1}{2.3}}-{\frac {1}{4\pi ^{2}}}\right)t^{3}+{\frac {t^{5}}{2.3.4.5}}+{\frac {t^{7}}{2.3.4.5.7}}+\ldots =0.$

Cette équation donne d’abord $t=0\,;$ ensuite, étant divisée par $t^{3},$ elle devient

${\frac {1}{2.3}}-{\frac {1}{4\pi ^{2}}}+{\frac {t^{2}}{2.3.4.5}}+{\frac {t^{4}}{2.3.4.5.7}}+\ldots =0,$

laquelle, à cause de $\pi >3,$ aura tous ses termes positifs, en sorte que comme elle ne contient que des puissances paires de $t,$ elle ne pourra avoir aucune racine réelle, puisque $t^{2}$ ne saurait avoir aucune valeur réelle positive. Ainsi $t=0$ sera la seule racine réelle de l’équation dont il s’agit ; par conséquent la valeur cherchée de $r$ sera aussi égale à zéro, ce qui donnera ${\frac {\beta a}{\alpha }}=0,$ et par conséquent $\beta =0,$ c’est-à-dire la colonne cylindrique. Faisons donc $r=0$ dans l’expression de $\mathrm {\frac {P}{S}} ,$ ou plutôt $r$ infiniment petit, et elle se réduira à $\mathrm {F} \,;$ or, si l’on donnait à $r$ une tout autre valeur, comme si l’on faisait $r=\infty ,$ on trouverait $\mathrm {\frac {P}{S}} ,={\frac {\mathrm {F} }{\pi ^{2}}},$ valeur moindre que la précédente ; ce qui prouve que le cas de $r=0$ est celui du maximum ; d’où il faut conclure que la force est toujours plus grande dans les colonnes cylindriques que dans les paraboliques.

22. Considérons présentement l’équation générale

$z^{2}=\alpha +\beta x+\gamma x^{2},$

laquelle représente une section conique quelconque rapportée à l’un des axes, et faisant $\beta =2b\gamma ,\ \alpha =c\gamma ,$ on pourra la mettre sous cette forme

$z^{2}=\gamma \left[(x+b)^{2}+c-b^{2}\right],$

laquelle, si $c-b^{2}$ est une quantité négative, représentera une hyperbole rapportée à son grand axe lorsque $y$ est positive, et une ellipse lorsque $y$ est négative ; mais si $c-b^{2}$ est une quantité positive, $\gamma$ devra être positive et l’équation sera à une hyperbole rapportée à son axe conjugué, en sorte que la colonne, au lieu d’être renflée, se trouvera diminuée au milieu. C’est pourquoi il suffira d’examiner le premier cas où

$c-b^{2}=-r^{2},$

en sorte que l’on ait

$z^{2}=\gamma \left[(x+b)^{2}-r^{2}\right]\,;$

et nous remarquerons d’abord ici que, puisque la hauteur de la colonne est $a,$ il faut, pour que la courbe qui répond à la portion d’axe a soit toute réelle, que l’on ait : 1^o si $\gamma >0,\ b=r$ ou $>r$ ($r$ étant supposée une quantité positive) ; 2^o si $\gamma <0,\ \pm b<r$ et $a+b<r$ ($\pm b$ dénotant la valeur de $b$ prise positivement).

Cela posé, on aura

${\frac {dx}{z^{2}}}={\frac {dx}{2\gamma r(x+b-r)}}-{\frac {dx}{2\gamma r(x+b+r)}},$

dont l’intégrale, prise en sorte qu’elle s’évanouisse lorsque $x=0,$ sera

${\frac {1}{2\gamma r}}\log \left({\frac {x+b-r}{x+b+r}}\times {\frac {b+r}{b-r}}\right)\,;$

donc, faisant $x=a,$ on aura

$\mathrm {A} ={\frac {1}{2\gamma r}}\log \left({\frac {a+b-r}{a+b+r}}\times {\frac {b+r}{b-r}}\right)\,;$

de là, à cause de ${\frac {\beta ^{2}}{4}}-\alpha \gamma =\gamma ^{2}\left(b^{2}-c\right)=\gamma ^{2}r^{2},$ l’rexpression $\mathrm {P}$ deviendra (17)

$\mathrm {P} =\gamma ^{2}r^{2}\left\{1+{\frac {4\pi ^{2}}{\left[\log \left({\cfrac {a+b-r}{a+b+r}}\times {\cfrac {b+r}{b-r}}\right)\right]^{2}}}\right\}\mathrm {K} .$

23. Il ne reste plus qu’a trouver la valeur de $\mathrm {S}$ par l’intégration de la formule

$\pi z^{2}dx=\pi \gamma \left[(x+b)^{2}-r^{2}\right]dx,$

laquelle donne l’intégrale

$\pi \gamma \left[{\frac {x+b)^{3}-b^{3}}{3}}-r^{2}x\right]=\pi \gamma x\left({\frac {x^{2}}{3}}+xb+b^{2}-r^{2}\right)\,;$

de sorte qu’en faisant $x=a$ on aura

$\mathrm {S} =\pi \gamma a\left({\frac {a^{2}}{3}}+ab+b^{2}-r^{2}\right)\,;$

donc enfin

$\mathrm {\frac {P}{S^{2}}} ={\frac {{\cfrac {1}{\pi ^{2}}}+{\cfrac {4}{\left[\log \left({\cfrac {a+b-r}{a+b+r}}\ {\cfrac {b+r}{b-r}}\right)\right]^{2}}}}{\left({\cfrac {a^{2}}{3}}+ab+b^{2}-r^{2}\right)^{2}}}{\cfrac {\mathrm {K} r^{2}}{a^{2}}}.$

Faisons encore $b=pa,\ r=qa$ et mettons $\mathrm {F}$ à la place de ${\frac {\mathrm {K} }{a^{2}}},$ on aura

$\mathrm {\frac {P}{S^{2}}} ={\frac {{\cfrac {1}{\pi ^{2}}}+{\cfrac {4}{\left[\log \left({\cfrac {1+p-q}{1+p+q}}\ {\cfrac {p+q}{p-q}}\right)\right]^{2}}}}{\left({\cfrac {1}{3}}+p+p^{2}-q^{2}\right)^{2}}}\mathrm {F} q^{2},$

expression qui peut se simplifier encore en supposant $p+p^{2}-q^{2}=t,$ ce qui la réduira à celle-ci

$\mathrm {F} q^{2}{\frac {{\cfrac {1}{\pi ^{2}}}+{\cfrac {4}{\left(\log {\cfrac {t+q}{t-q}}\right)^{2}}}}{\left({\cfrac {1}{3}}+t\right)^{2}}},$

qui ne contient que deux indéterminées $t$ et $q.$

24. Puisque $q={\frac {r}{a}},$ il est clair que la quantité $q$ devra toujours être positive ; voyons donc d’abord quelle sera la valeur de $q$ qui rendra l’expression précédente un maximum. Pour cela, il suffit de rendre un maximum la quantité

$q^{2}\left[{\frac {1}{\pi ^{2}}}+{\frac {4}{\left(\log {\cfrac {t+q}{t-q}}\right)^{2}}}\right],$

dont la différentielle logarithmique étant égale à zéro donnera l’équation

${\frac {1}{q}}-{\frac {8t}{(t-q)^{2}}}{\frac {1}{{\cfrac {1}{\pi ^{2}}}\log \left({\cfrac {t+q}{t-q}}\right)^{3}+4\log \left({\cfrac {t+q}{t-q}}\right)}}=0,$

d’où il faudra tirer la valeur de $q.$

Faisons pour cela $\log \left({\frac {t+q}{t-q}}\right)=z,$ donc ${\frac {t+q}{t-q}}=e^{z},$ et $q={\frac {e^{z}-1}{e^{z}+1}}t,$ l’équation précédente deviendra

${\frac {z^{3}}{\pi ^{2}}}+4z={\frac {8qt}{(t-q)^{2}}}=2\left(e^{2z}-1\right)\,;$

donc, réduisant l’exponentielle $e^{2z}$ en série, on aura l’équation

$2z^{2}+\left({\frac {4}{3}}-{\frac {1}{2a\pi ^{2}}}\right)+{\frac {16}{2.3.4}}z^{4}+\ldots =0,$

laquelle donne d’abord $z=0,$ et, à cause que tous ses termes sont positifs, ne saurait avoir aucune racine réelle plus grande que zéro. Mais nous allons prouver que cette équation ne peut avoir non plus de racine réelle négative. Pour cela je reprends la forme

${\frac {z^{3}}{2\pi ^{2}}}+2z=e^{2z}-1,$

et je fais $z=-{\frac {u}{2}},$ j’aurai celle-ci

${\frac {u^{3}}{16\pi ^{2}}}=1-u-{\frac {1}{e^{u}}}.$

Il est visible qu’en faisant $u=0$ les deux membres de cette équation deviennent nuls à la fois, et par conséquent égaux entre eux ; mais à me-

sure que $u$ augmente, le premier membre augmente aussi et le second diminue ; donc il sera impossible que l’équation puisse jamais avoir lieu tant que $u>0\,;$ pour prouver que le second membre diminue à mesure que $u$ augmente, il n’y a qu’à prendre sa différentielle, laquelle est $-\left(1-{\frac {1}{e^{u}}}\right)du\,;$ or, comme $e>1,$ il est visible que $e^{u}$ sera toujours aussi $>1,$ tant que $u>0\,;$ donc $1-{\frac {1}{e^{u}}}$ sera toujours un nombre positif, par conséquent la différentielle dont il s’agit sera toujours négative ; donc, etc.

25. Nous venons donc de démontrer qu’il n’y a qu’une seule valeur réelle de $z$ ou de $\log {\frac {t+q}{t-q}}$ qui puisse rendre la formule proposée un maximum ou un minimum ; cette valeur est $\log {\frac {t+q}{t-q}}=0,$ d’où l’on tire ${\frac {t+q}{t-q}}=1,$ et de là $q=0.$ Qu’on fasse donc, dans l’expression de $\mathrm {\frac {P}{S^{2}}} ,$ $q=0,$ ou seulement infiniment petit, elle deviendra, à cause de

$\log {\frac {t+q}{t-q}}=\log {\frac {1+{\cfrac {q}{t}}}{1-{\cfrac {q}{t}}}}={\frac {2q}{t}},$

à très-peu près,

$\mathrm {\frac {P}{S^{2}}} ={\frac {\mathrm {F} t^{2}}{\left({\cfrac {1}{3}}+t\right)^{2}}}\,;$

pour voir maintenant si cette valeur est un maximum ou un minimum, qu’on fasse par exemple $q=t,$ on aura $\log {\frac {t+q}{t-q}}=\log \infty =\infty \,;$ de sorte que l’expression de $\mathrm {\frac {P}{S^{2}}}$ se réduira à celle-ci

${\frac {\mathrm {F} t^{2}}{\pi ^{2}\left({\cfrac {1}{3}}+t\right)^{2}}},$

qui est évidemment plus petite que la précédente, à cause de $\pi >1.$

Quant aux valeurs imaginaires de $z,$ c’est-à-dire de $\log {\frac {t+q}{t-q}},$ il est clair qu’elles doivent être rejetées, parce qu’elles rendraient toute la valeur de $\mathrm {\frac {P}{S^{2}}} \,;$ imaginaire ; il n’y a que le seul cas où $z$ serait de la forme $\mu {\sqrt {-1}},$ dans lequel $\mathrm {\frac {P}{S^{2}}}$ aurait néanmoins une valeur réelle ; or, ce cas aura lieu quand ${\frac {t+q}{t-q}}=-1,$ c’est-à-dire lorsque $q=\infty \,:$ car alors on aura $\log {\frac {t+q}{t-q}}$$=\log -1=\pi {\sqrt {-1}},$ et l’expression de $\mathrm {\frac {P}{S^{2}}}$ deviendra

${\frac {\mathrm {F} q^{2}\left({\cfrac {1}{\pi ^{2}}}-{\cfrac {4}{\pi ^{2}}}\right)}{\left({\cfrac {1}{3}}+t\right)^{2}}},$

laquelle est, à la vérité, toute réelle ; mais comme elle est en même temps négative, ce qui est absurde, on voit que le cas dont il s’agit doit titre également rejeté.

26. Le maximum de la quantité $\mathrm {\frac {P}{S^{2}}}$ aura donc lieu uniquement lorsque $q=0,$ ce qui donne $r=0,$ et par conséquent

$z^{2}=\gamma (x+b)^{2}$

pour l’équation de la courbe, ce qui rentre dans le cas du n^o 18, où la colonne était supposée conique ; d’où il s’ensuit que la figure conique dans les colonnes est préférable à la figure renflée qui proviendrait de la révolution d’une section conique autour de son axe. Mais si l’on veut que la colonne ait la plus grande force possible, il faudra lui donner la figure cylindrique, comme nous l’avons démontré plus haut (numéro cité).

27. Je n’examinerai pas ici quelle est la force des colonnes qui sont formées par d’autres courbes que des sections coniques, parce que d’un côté l’équation en $u$ du n^o 13 est rarement intégrable, et que de l’autre la considération de plusieurs cas particuliers ne pourrait jamais conduire à une conclusion vraiment générale. Je vais tâcher plutôt de résoudre la question proposée d’une manière directe et générale, en cherchant immédiatement la courbe qui, par sa rotation autour de son axe, produira une colonne qui ait la plus grande force possible ; Problème d’un genre assez neuf, et dont la solution demande des artifices particuliers qui pourront m’être utiles dans d’autres occasions.

28. Voici en quoi consiste ce Problème exprimé analytiquement :

Il s’agit de trouver une équation entre les ordonnées $z$ et les abscisses $x,$ telle que la quantité $\mathrm {\frac {P}{S^{2}}}$ soit la plus grande qu’il est possible, $\mathrm {S}$ étant égale a l’intégrale $\pi \int z^{2}dx$ prise depuis $x=0$ jusqu’à $x=a,$ et $\mathrm {P}$ étant une constante qui doit être déterminée par cette condition que l’intégrale $\int {\frac {dx}{u}},$ prise en sorte qu’elle soit nulle lorsque $x=0$, devienne égale à $\pi$ lorsque $x=a,$ en supposant $u$ donnée par l’équation différentielle

$4\mathrm {P} u^{2}+\mathrm {X} \left({\frac {2ud^{2}u-du^{2}}{dx^{2}}}-4\right)=0,$

où $\mathrm {X}$ est une fonction donnée de $z$ que nous avons supposée plus haut égale à $\mathrm {K} z^{4}.$

On voit que ce qui rend surtout le Problème dillicile, c’est que la quantité $u$ n’est pas donnée en $\mathrm {P}$ et en $z$ en termes finis ; mais supposons pour un moment que ce soit une fonction connue de $z$ et de $\mathrm {P} ,$ en sorte que

$du=\mathrm {M} dz+\mathrm {N} d\mathrm {P} ,$

en faisant aussi $\mathrm {P}$ variable ; dans ce cas, voici comment on pourra s’y prendre.

Puisque $\mathrm {\frac {P}{S^{2}}}$ doit être un maximum, on aura d’abord, en différentiant et employant la caractéristique $\delta ,$

$\mathrm {{\frac {\delta P}{P}}-{\frac {2\delta S}{S}}} =0\,;$

or, puisque $\int {\frac {dx}{u}}$ est égal à une quantité donnée $\pi ,$ laquelle est indé-

pendante de $\mathrm {P} ,$ on aura aussi, en différentiant,

$-\int {\frac {dx\delta u}{u^{2}}}=0,$

et mettant pour $\delta u$ sa valeur $\mathrm {M} s\delta z+\mathrm {N\delta P} ,$

$\int {\frac {\mathrm {M} \delta zdx}{u^{2}}}+\int {\frac {\mathrm {N} \delta \mathrm {P} dx}{u^{2}}}=0\,;$

mais $\mathrm {P}$ étant une constante par rapport à $x$ on pourra mettre sa différentielle $\delta \mathrm {P}$ hors du signe d’intégration, ce qui donnera l’équation

$\int {\frac {\mathrm {M} \delta zdx}{u^{2}}}+\delta \mathrm {P} \int {\frac {\mathrm {N} dx}{u^{2}}}=0,$

d’où l’on tire

$\delta \mathrm {P} =-{\frac {\int {\cfrac {\mathrm {M} \delta zdx}{u^{2}}}}{\int {\cfrac {\mathrm {N} dx}{u^{2}}}}},$

ces intégrales étant prises depuis $x=0$ jusqu’à $x=a.$

Quant à la valeur de $\delta \mathrm {S} ,$ puisque $\mathrm {S} =\pi \int z^{2}dx,$ on aura

$\delta \mathrm {S} =2\pi \int z\delta zdx\,;$

donc, substituant ces valeurs de $\delta \mathrm {P}$ et de $\delta \mathrm {S}$ dans l’équation ci-dessus, on aura celle-ci

$4\pi \int {\frac {z\delta zdx}{\mathrm {S} }}+{\frac {\int {\cfrac {\mathrm {M} \delta zdx}{u^{2}}}}{\mathrm {P} \int {\cfrac {\mathrm {N} dx}{u^{2}}}}}=0.$

Dénotons par $\mathrm {R}$ la quantité $\int {\frac {\mathrm {N} dx}{u^{2}}},$ qui peut être regardée comme une constante, et nous aurons l’équation

$\int \left({\frac {4\pi z}{\mathrm {S} }}+{\frac {\mathrm {M} }{\mathrm {PR} u^{2}}}\right)\delta zdx=0,$

laquelle donne

${\frac {4\pi z}{\mathrm {S} }}+{\frac {\mathrm {M} }{\mathrm {PR} u^{2}}}=0.$

Or, comme $u$ est supposée une fonction de $z$ et de constantes, que $\mathrm {M}$ est par conséquent aussi une fonction de $z$ et de constantes, et que $\mathrm {S}$ et $\mathrm {R}$ sont aussi des constantes, il s’ensuit que cette équation donnera $z=\mathrm {const} .\,;$ mais il faut que cette valeur de $z$ satisfasse aussi à l’équation en $u\,;$ or, comme $u$ est par hypothèse une fonction de $z$ et de $\mathrm {P} ,$ on aura aussi $u=\mathrm {const} .\,;$ donc l’équation dont nous parlons deviendra

$4\mathrm {P} u^{2}-4\mathrm {X} =0,\quad {\text{ou}}\quad \mathrm {P} u^{2}-\mathrm {X} =0,$

laquelle pourra toujours se vérifier lorsque $\mathrm {X}$ sera une fonction de $z,$ comme nous l’avons supposé.

Au reste, comme cette solution est fondée sur l’hypothèse particulière de $u$ égal à une fonction de $z,$ il s’en faut beaucoup qu’on puisse la regarder comme exacte et complète ; aussi n’est-elle ici que comme une introduction à la solution générale que nous allons donner dans les numéros suivants.

29. Nous aurons d’abord comme ci-dessus les deux équations

$\mathrm {{\frac {\delta P}{P}}-{\frac {2\delta S}{S}}} =0,\qquad \int {\frac {dx\delta u}{u^{2}}}=0,$

et de plus nous aurons aussi l’équation

$\delta \mathrm {S} =2\pi \int z\delta zdx,$

et il ne restera plus qu’a trouver une équation entre $\delta \mathrm {P} ,\delta us$ et $\delta z.$ Pour cela je reprends l’équation en $u,$ et pour la rendre plus traitable, je la ramène à sa première forme en faisant $u=t^{2},$ ce qui la réduit à celle-ci

$\mathrm {P} t+\mathrm {X} \left({\frac {d^{2}t}{dx^{2}}}-{\frac {1}{t^{3}}}\right)=0,$

laquelle est moins chargée de différentielles que celle en $u$ maintenant je la différentie, en affectant les différentielles de la caractéristique $\delta$ et faisant varier à la fois $t,\mathrm {P}$ et $z\,;$ j’aurai

$\mathrm {P} \delta t+t\delta \mathrm {P} +\left({\frac {d^{2}t}{dx^{2}}}-{\frac {1}{t^{3}}}\right)\delta \mathrm {X} +\mathrm {X} \left({\frac {\delta d^{2}t}{dx^{2}}}+{\frac {3\delta t}{t^{4}}}\right)=0\,;$

mais puisque $\mathrm {X}$ est supposée une fonction de $z,$ on aura $d\mathrm {X} =\mathrm {X} 'dz,$ et par conséquent aussi $\delta \mathrm {X} =\mathrm {X} '\delta z\,;$ de plus, on a par la méthode des variations, exposée dans les tomes II et IV des Miscellanea Taurinensia^[1], $\delta d^{2}t=d^{2}\delta t\,;$ donc, substituant ces valeurs et mettant de plus $-{\frac {\mathrm {P} t}{\mathrm {X} }}$ à la place de ${\frac {d^{2}t}{dx^{2}}}-{\frac {1}{t^{3}}},$ on aura cette équation

$\mathrm {P} \delta t+t\delta \mathrm {P} -{\frac {\mathrm {P} t\mathrm {X} '\delta z}{\mathrm {X} }}+\mathrm {X} \left({\frac {d^{2}\delta t}{dx^{2}}}-{\frac {3\delta t}{t^{4}}}\right)=0$^[2].

c’est-à-dire

$\left(\mathrm {P} -{\frac {3\mathrm {X} }{t^{4}}}\right)\delta t+\mathrm {X} {\frac {d^{2}\delta t}{dx^{2}}}+t\delta \mathrm {P} -{\frac {\mathrm {P} \mathrm {X} 't\delta z}{\mathrm {X} }}=0.$,

Je multiplie maintenant, cette équation par $\alpha dx,$ $\alpha$ étant une nouvelle indéterminée, et je l’intègre en faisant disparaître, par des intégrations partielles, les différences de $\delta t\,;$ j’aurai

$\int \left[\left(\mathrm {P} -{\frac {3\mathrm {X} }{t^{4}}}\right)\alpha +{\frac {d^{2}(\mathrm {X} \alpha )}{dx^{2}}}\right]\delta tdx+{\frac {d\mathrm {X} \alpha d\delta t}{dx}}-{\frac {d(\mathrm {X} \alpha )\delta t}{dx}}$

$+\delta \mathrm {P} \int t\alpha dx-\mathrm {P} \int {\frac {t\alpha \mathrm {X} '\delta z}{\mathrm {X} }}dx=\mathrm {const} .$

Je suppose, ce qui est permis, que la quantité $\alpha$ soit telle que l’on ait

$\left(\mathrm {P} -{\frac {3\mathrm {X} }{t^{4}}}\right)\alpha +{\frac {d^{2}(\mathrm {X} \alpha )}{dx^{2}}}={\frac {\mathrm {H} }{t^{3}}},$

$\mathrm {H}$ étant une constante quelconque ; l’équation précédente deviendra

$\mathrm {H} \int {\frac {\delta tdx}{t^{3}}}+{\frac {\mathrm {X} \alpha d\delta t}{dx}}-{\frac {d(\mathrm {X} \alpha )\delta t}{dx}}+\delta \mathrm {P} \int t\alpha dx-\mathrm {P} \int {\frac {t\alpha \mathrm {X} '\delta z}{\mathrm {X} }}dx=\mathrm {const} .,$

où je remarque qu’à cause de $t^{2}=u$ on aura

$\int {\frac {\delta tdx}{t^{3}}}={\frac {1}{2}}\int {\frac {\delta udx}{u^{2}}}.$

Donc, si l’on étend l’intégration de l’équation précédente depuis $x=0$ jusqu’à $x=a,$ on aura la valeur de l’intégrale laquelle devra être nulle par les conditions du Problème.

Pour cela, je nomme $\mathrm {B}$ la valeur totale de l’intégrale $\int t\alpha dx,$ prise depuis $x=0$ jusqu’à $x=a,$ ensuite je nomme $\Pi$ et $\Psi$ les valeurs des termes ${\frac {\mathrm {X} \alpha d\delta t}{dx}}-{\frac {d(\mathrm {X} \alpha )}{dx}}\delta t$ pour le point où $x=0$ et pour celui où $x=a\,;$ j’aurai donc, à cause de $\int {\frac {\delta tdx}{t^{3}}}={\frac {1}{2}}\int {\frac {\delta udx}{u^{2}}}=0,$ l’équations

$\Pi -\Psi +\mathrm {B} \delta \mathrm {P} -\mathrm {P} \int {\frac {t\alpha \mathrm {X} '\delta z}{\mathrm {X} }}dx=0,$

d’où l’on tire d’abord

$\mathrm {\frac {\delta P}{P}} ={\frac {\Psi -\Pi }{\mathrm {BP} }}+{\frac {1}{\mathrm {B} }}\int {\frac {t\alpha \mathrm {X} '\delta z}{\mathrm {X} }}dx,$

l’intégrale $\int {\frac {t\alpha \mathrm {X} '\delta zdx}{\mathrm {X} }}$ étant aussi supposée prise depuis $x=0$ jusqu’à $x=a.$

Donc, si l’on substitue cette valeur de \delta\mathrm P, ainsi que celle de \delta\mathrm S, dans l’équation

$\mathrm {{\frac {\delta P}{P}}-{\frac {2\delta S}{S}}} =0,$

on aura celle-ci

${\frac {\Psi -\Pi }{\mathrm {BP} }}+{\frac {1}{\mathrm {B} }}\int {\frac {t\alpha \mathrm {X} '\delta z}{\mathrm {X} }}dx-{\frac {4\pi }{\mathrm {S} }}\int z\delta zdx=0,$

ou bien, à cause que les quantités $\mathrm {B}$ et $\mathrm {S}$ sont constantes par rapport à $x,$ puisqu’elles expriment des intégrales déterminées où $x$ est supposé égal à $a,$

${\frac {\Psi -\Pi }{\mathrm {BP} }}+\int \left({\frac {t\alpha \mathrm {X} '}{\mathrm {BX} }}-{\frac {4\pi z}{\mathrm {S} }}\right)\delta zdx=0.$

On aura donc d’abord, pour tous les points de la courbe, l’équation indéfinie

${\frac {t\alpha \mathrm {X} '}{\mathrm {BX} }}-{\frac {4\pi z}{\mathrm {S} }}=0,$

c’est-à-dire,

${\frac {t\alpha \mathrm {X} '}{z\mathrm {X} }}={\frac {4\pi \mathrm {B} }{\mathrm {S} }}\,;$

ensuite on aura l’équation déterminée $\Psi =\Pi ,$ laquelle ne se rapporte qu’aux points extrêmes de la courbe où $x=0$ et $x=a.$

30. Ainsi, pour avoir l’équation de la courbe cherchée, il n’y aura qu’a éliminer les deux indéterminées $t$ et $\alpha ,$ à l’aide de ces trois équations

${\frac {t\alpha \mathrm {X} '}{z\mathrm {X} }}={\frac {4\pi \mathrm {B} }{\mathrm {S} }},$

$\left(\mathrm {P} -{\frac {3\mathrm {X} }{t^{4}}}\right)\alpha +{\frac {d^{2}(\mathrm {X} \alpha )}{dx^{2}}}={\frac {\mathrm {H} }{t^{3}}},$

$\mathrm {P} t+\mathrm {X} \left({\frac {d^{2}t}{dx^{2}}}-{\frac {1}{t^{3}}}\right)=0\,;$

et comme $\mathrm {X}$ est supposée une fonction connue de $z,$ on aura une équation finale entre les ordonnées $z$ et les abscisses $x.$

Il est bon de remarquer que si l’on fait $\alpha =\mathrm {H} r,$ la constante $\mathrm {H}$ disparaîtra de la seconde équation, et que la première, étant divisée par $\mathrm {H} ,$ deviendra

${\frac {rt\mathrm {X} '}{z\mathrm {X} }}={\frac {4\pi \mathrm {B} }{\mathrm {HS} }},$

de sorte que, comme $\mathrm {H}$ est une constante arbitraire, la quantité ${\frac {4\pi \mathrm {B} }{\mathrm {HS} }}$ aura une valeur constante quelconque indépendante de $\mathrm {B}$ et de $\mathrm {S} .$

De cette manière on aura donc, en prenant une constante arbitraire $\mathrm {C} ,$ les trois équations suivantes

${\frac {rt\mathrm {X} '}{z\mathrm {X} }}=\mathrm {C} ,$

$\left(\mathrm {P} -{\frac {3\mathrm {X} }{t^{4}}}\right)r+{\frac {d^{2}(\mathrm {X} r)}{dx^{2}}}-{\frac {1}{t^{3}}}=0,$

$\mathrm {P} t+\mathrm {X} \left({\frac {d^{2}t}{dx^{2}}}-{\frac {1}{t^{3}}}\right)=0,$

qui renferment la solution du Problème proposé, pris dans toute sa généralité.

31. Si l’on chasse $r$ et $t,$ il viendra une équation en $z$ et $x$ du quatrième ordre, qui sera peut-être bien difficile à intégrer ; mais je remarque que $z=\mathrm {const} .$ sera sûrement une intégrale particulière de cette équation ; car supposant $z$ constante, $\mathrm {X}$ et $\mathrm {X} ',$ qui sont des fonctions de $z,$ seront aussi constantes, de sorte que si l’on suppose aussi $r$ et $t$ constantes en même temps, les équations ci-dessus deviendront

${\frac {rt\mathrm {X} '}{z\mathrm {X} }}=\mathrm {C} ,$

$\left(\mathrm {P} -{\frac {3\mathrm {X} }{t^{4}}}\right)r-{\frac {1}{t^{3}}}=0,$

$\mathrm {P} t-{\frac {\mathrm {X} }{t^{3}}}=0,$

dont les deux dernières donneront d’abord

$t={\sqrt[{4}]{\mathrm {\frac {X}{P}} }},$

$r={\frac {t}{\mathrm {P} t^{4}-3\mathrm {X} }}=-{\frac {1}{2{\sqrt[{4}]{\mathrm {PX} ^{3}}}}}\,;$

ensuite la première donnera

$-{\frac {\mathrm {X} '}{2z\mathrm {X{\sqrt {PX}}} }}=\mathrm {C} ,$

d’où l’on tirera la valeur de $z,$ laquelle, à cause de la constante arbitraire $\mathrm {C} ,$ pourra être une constante quelconque.

32. Cette valeur de $z$ donne évidemment un cylindre pour la figure de la colonne ; mais comme ce n’est qu’une valeur particulière, elle ne peut être censée résoudre le Problème que dans certaines circonstances. En effet, comme l’équation en $z$ doit être du quatrième ordre, ainsi que nous l’avons remarqué ci-dessus, elle renfermera nécessairement, étant intégrée, quatre constantes arbitraires, en sorte que l’on pourra faire passer la courbe par quatre points quelconques donnés, ou par deux points et par deux tangentes, ou, etc. Si l’on veut que la courbe de la colonne qui doit avoir la plus grande force possible passe par quatre points également éloignés de l’axe, dans ce cas on sera assuré qu’il n’y aura qu’une ligne droite qui résolve le Problème, en sorte que la colonne devra être nécessairement cylindrique. La même chose aura lieu, par exemple, si les deux bases de la colonne doivent être égales entre elles, et que de plus les tangentes de la courbe aux deux extrémités doivent être parallèles à l’axe, et ainsi du reste.

En général, toutes les fois que les quatre conditions données seront telles, qu’elles pourront cadrer avec une ligne droite parallèle à l’axe, cette ligne sera sûrement celle du maximum ; mais dans tous les autres cas le Problème ne pourra se résoudre que par l’intégration complète de l’équation différentielle en $z$ et $x.$

33. Si l’on veut que la colonne soit à peu près cylindrique, ce qui est le cas le plus ordinaire, on pourra résoudre le Problème d’une manière approchée que voici.

Puisque, lorsque $z$ est constante, on a aussi $r$ et $t$ constantes, il est visible que si $z$ varie peu, $r$ et $t$ varieront peu aussi.

Supposons donc

$z=\mathrm {Z} (1+\zeta ),\quad r=\mathrm {R} (1+\rho ),\quad t=\mathrm {T} (1+\theta ),$

$\mathrm {Z,R,T}$ étant des constantes finies, et $\zeta ,\rho ,\theta$ des variables très-petites ; et substituant ces valeurs, on pourra négliger les produits de deux ou de plusieurs dimensions de $\zeta ,\rho ,\theta ,$ en sorte que l’on aura des équations où les variables ne se trouveront que sous une forme linéaire, et qui seront par conséquent intégrables par les méthodes connues.

Mais avant de faire ces substitutions on remarquera que, comme $\mathrm {X}$ est supposée une fonction donnée de $z,$ si l’on fait ${\frac {d\mathrm {X} }{dz}}=\mathrm {X} '$ et ${\frac {d\mathrm {X} '}{dz}}=\mathrm {X} '',$ les quantités $\mathrm {X}$ et $\mathrm {X} '$ deviendront à très-peu près $\mathrm {X+X'Z\zeta ,X'+X''Z\zeta } ,$ c’est-à-dire, $\mathrm {X\left(1+{\frac {X'Z\zeta }{X}}\right),X'\left(1+{\frac {X''Z\zeta }{X'}}\right)} ,$ en supposant que l’on ait mis $\mathrm {Z}$ à la place de $z$ dans $\mathrm {X,X',X''} ,$ en sorte que ces quantités seront maintenant constantes.

De cette manière, les équations du n^o 30 deviendront

$\mathrm {\frac {RTX'}{ZX}} \left[1+\rho +\theta +\zeta \mathrm {\left({\frac {X''Z}{X'}}-{\frac {X'Z}{X}}-1\right)} \right]=\mathrm {C} ,$

$\mathrm {R\left[P-{\frac {3X}{T^{4}}}\left(1+{\frac {X'Z}{X}}\zeta -4\theta \right)+P\rho \right]}$

$\mathrm {+XR\left({\frac {X'Z}{X}}{\frac {d^{2}\zeta }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\rho }{dx^{2}}}\right)-{\frac {1}{T^{3}}}} (1-3\theta )=0,$

$\mathrm {PT} (1+\theta )+\mathrm {XT} {\frac {d^{2}\theta }{dx^{2}}}-\mathrm {{\frac {X}{T^{3}}}\left(1+{\frac {X'Z}{X}}\zeta -3\theta \right)} =0.$

Or, si les quantités $\rho ,\theta$ et $\zeta$ étaient nulles, on aurait

$\mathrm {{\frac {RTX'}{ZX}}=C} ,\quad \mathrm {R\left(P-{\frac {3X}{T^{4}}}\right)-{\frac {1}{T^{3}}}} =0,\quad \mathrm {PT-{\frac {X}{T^{3}}}} =0\,;$

d’où l’on tire

$\mathrm {X=PT^{4},\qquad R=-{\frac {1}{2PT^{3}}}} \,;$

donc, supposant, ce qui est permis, que ces équations aient lieu, les équations précédentes deviendront

$\rho +\theta +\mathrm {\left({\frac {ZX''}{X'}}-{\frac {ZX'}{X}}-1\right)} \zeta =0,$

$-3\left(\mathrm {\frac {ZX'}{X}} \zeta -4\theta \right)+\rho +\mathrm {T} ^{4}\left(\mathrm {\frac {ZX'}{X}} {\frac {d^{2}\zeta }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\rho }{dx^{2}}}\right)-6\theta =0,$

$\theta +\mathrm {T} ^{4}{\frac {d^{2}\theta }{dx^{2}}}-\mathrm {\frac {ZX'}{X}} \zeta +3\theta =0,$

ou bien, en faisant pour plus de simplicité $\mathrm {{\frac {ZX'}{X}}=M} ,$$1+\mathrm {{\frac {ZX'}{X}}-{\frac {ZX''}{X'}}=N} ,$ on aura ces trois équations-ci

$\rho +\theta -\mathrm {N} \zeta =0,$

$\mathrm {M} \left(\mathrm {T} ^{4}{\frac {d^{2}\zeta }{dx^{2}}}-3\zeta \right)+\mathrm {T} ^{4}{\frac {d^{2}\rho }{dx^{2}}}+\rho +6\theta =0,$

$\mathrm {T} ^{4}{\frac {d^{2}\theta }{dx^{2}}}+4\theta -\mathrm {M} \zeta =0,$

de l’intégration desquelles dépend maintenant la solution du Problème.

34. Pour intégrer ces équations je suppose

${\begin{aligned}\zeta =&\alpha \sin \left(\varepsilon +x{\frac {\sqrt {\omega }}{\mathrm {T} ^{2}}}\right),\\\theta =&\beta \sin \left(\varepsilon +x{\frac {\sqrt {\omega }}{\mathrm {T} ^{2}}}\right),\\\rho =&\gamma \sin \left(\varepsilon +x{\frac {\sqrt {\omega }}{\mathrm {T} ^{2}}}\right),\end{aligned}}$

$\alpha ,\beta ,\gamma ,$ et $\omega$ étant des constantes indéterminées ; je substitue ces valeurs et je divise ensuite tous les termes par $\sin \left(\varepsilon +x{\frac {\sqrt {\omega }}{\mathrm {T} ^{2}}}\right)\,;$ j’ai les trois équations suivantes

$\gamma +\beta -\mathrm {N} \alpha =0,$

$-\mathrm {M} \alpha (\omega +3)-\gamma (\omega -1)+6\beta =0,$

$-\beta (\omega -4)-\mathrm {M} \alpha =0\,;$

la dernière donne

$\alpha =-{\frac {\beta (\omega -4)}{\mathrm {M} }},$

ce qui étant substitué dans les deux premières, on aura

$\gamma +\beta \left[1+\mathrm {\frac {N(\omega -4)}{M}} \right]=0,$

$\beta \left[6+(\omega +3)(\omega -4)\right]-\gamma (\omega -1)=0\,;$

la première donnera sur-le-champ

$\gamma =-\beta \left[1+\mathrm {\frac {N(\omega -4)}{M}} \right],$

et substituant ensuite cette valeur dans l’autre équation, on aura, après avoir divisé tous les termes par $\beta ,$

$6+(\omega +3)(\omega -4)+(\omega -1)\left[1+\mathrm {\frac {N(\omega -4)}{M}} \right]=0,$

c’est-à-dire, emréduisant,

$\mathrm {(M+N)\omega ^{2}-5N\omega +(4N-7M)} =0,$

équation d’où l’on tirera deux valeurs de $\omega ,$ lesquelles seront toujours nécessairement réelles, à cause que

$\mathrm {(5N)^{2}-4(M+N)(4N-7M)=9N^{2}+12MN+28M^{2}=(3N+2M)^{2}+24M^{2}} ,$

et ces valeurs seront

$\omega =\mathrm {\frac {5N+{\sqrt {(3N+2M)^{2}+24M^{2}}}}{2(M+N)}} .$

Comme la quantité $\beta$ a disparu de l’équation en $\omega ,$ il s’ensuit qu’elle reste indéterminée, de sorte qu’on pourra la prendre à volonté ; mais on peut, si l’on veut, prendre $\alpha$ à volonté au lieu de $\beta ,$ ce qui sera plus commode, parce que c’est proprement la quantité \zeta que l’on cherche ; alors les quantités $\beta$ et $\gamma$ devront être déterminées ainsi

$\beta =-{\frac {\mathrm {M} \alpha }{\omega -4}},\qquad \gamma =\left(\mathrm {N} +{\frac {\mathrm {M} }{\omega -4}}\right)\alpha .$

Quant à la constante $\varepsilon ,$ comme elle a aussi disparu des équations, elle sera pareillement arbitraire.

Or, puisque la quantité $\omega$ a deux valeurs, si l’on désigne ces valeurs par $\omega$ et $\omega ',$ et que l’on prenne deux autres constantes arbitraires $\alpha '$ et $\varepsilon ',$ on aura, pour la valeur complète de $\zeta ,$ l’expression

$\zeta =\alpha \sin \left(\varepsilon +x{\frac {\sqrt {\omega }}{\mathrm {T} ^{2}}}\right)+\alpha '\sin \left(\varepsilon '+x{\frac {\sqrt {\omega }}{\mathrm {T} ^{2}}}\right),$

et les valeurs correspondantes de $\theta$ et $\rho$ seront

${\begin{aligned}\theta =&\beta \sin \left(\varepsilon +x{\frac {\sqrt {\omega }}{\mathrm {T} ^{2}}}\right)+\beta '\sin \left(\varepsilon '+x{\frac {\sqrt {\omega }}{\mathrm {T} ^{2}}}\right),\\\rho =&\gamma \sin \left(\varepsilon +x{\frac {\sqrt {\omega }}{\mathrm {T} ^{2}}}\right)+\gamma '\sin \left(\varepsilon '+x{\frac {\sqrt {\omega }}{\mathrm {T} ^{2}}}\right),\end{aligned}}$

$\beta '$ et $\gamma '$ étant les valeurs de $\beta$ et $\gamma$ qui résultent en mettant $\alpha '$ et $\omega '$ à la place de $\alpha$ et $\omega .$

35. Je remarque maintenant que lorsque $s$ est égal à une constante, ce qui est le cas des colonnes cylindriques, on a (11) $\mathrm {P} ={\frac {\pi ^{2}\mathrm {K} }{a^{2}}},$ $a$ étant la hauteur de la colonne, $\pi$ étant l’angle de $180$ degrés ; ainsi, dans notre cas, où $z=\mathrm {Z+Z} \zeta ,$ on aura, aux quantités très-petites près, $\mathrm {P} ={\frac {\pi ^{2}\mathrm {X} }{a^{2}}},$ puisque $\mathrm {X} ,$ étant constante, est la même quantité qu’on avait désignée par $\mathrm {K}$ (12) ; or on a (33) $\mathrm {X=PT} ^{4}\,;$ donc $\mathrm {X} ={\frac {\pi ^{2}\mathrm {XT} ^{4}}{a^{2}}},$ d’où $\mathrm {T} ^{4}={\frac {a^{2}}{\pi ^{2}}},$ et par conséquent $\mathrm {T} ^{2}={\frac {a}{\pi }}\,;$ donc, si l’on substitue cette valeur, on aura

$\zeta =\alpha \sin \left(\varepsilon +{\frac {x\pi {\sqrt {\omega }}}{a}}\right)+\alpha '\sin \left(\varepsilon '+{\frac {x\pi {\sqrt {\omega '}}}{a}}\right),$

$\alpha ,\alpha ',\varepsilon ,\varepsilon '$ étant quatre constantes arbitraires qu’on pourra déterminer, en sorte que la courbe cherchée, dont les abscisses sont $x$ et les ordonnées sont $z=\mathrm {Z} (1+\zeta ),$ passe par quatre points donnés, ou par deux points et deux tangentes, ou, etc., comme on l’a dit plus haut (32).

À l’égard des valeurs de $\omega$ et $\omega ',$ elles ne dépendront que de la nature de la fonction $\mathrm {X}$ de $\mathrm {Z} \,;$ car en faisant

${\frac {\mathrm {Z} d\mathrm {X} }{\mathrm {X} d\mathrm {Z} }}=\mathrm {M} ,\quad {\frac {\mathrm {Z} d^{2}\mathrm {X} }{d\mathrm {X} d\mathrm {Z} }}=\mathrm {M} ',$

on aura

${\begin{aligned}\omega \ =&\mathrm {\frac {5(1+M-M')+{\sqrt {(3+5M-3M')^{2}+24M^{2}}}}{2(1+2M-M')}} ,\\\omega '=&\mathrm {\frac {5(1+M-M')-{\sqrt {(3+5M-3M')^{2}+24M^{2}}}}{2(1+2M-M')}} .\end{aligned}}$

S’il arrive que $\omega$ soit négatif, alors le radical ${\sqrt {\omega }}$ deviendra imaginaire, et le terme $\alpha \sin \left(\varepsilon +{\frac {x\pi {\sqrt {\omega }}}{a}}\right)$ deviendra (en y mettant $\varepsilon {\sqrt {-1}}$ à la place de $\varepsilon$ et $2\alpha {\sqrt {-1}}$ à celle de $\alpha$) de cette forme

$\alpha \left(e^{\varepsilon +{\frac {x\pi {\sqrt {-\omega }}}{a}}}-e^{-\varepsilon -{\frac {x\pi {\sqrt {-\omega }}}{a}}}\right)\,;$

il en sera de même du terme $\alpha '\sin \left(\varepsilon '+{\frac {x\pi {\sqrt {\omega '}}}{a}}\right),$ si $\omega '$ devient négatif.

Si $\mathrm {X}$ est supposé proportionnel à une puissance quelconque de $z$ ou $\mathrm {Z} ,$ en sorte que $\mathrm {X=KZ} ^{n},$ on aura $\mathrm {M} =n,\mathrm {M} '=n-1\,;$ donc

${\begin{aligned}\omega \ =&{\frac {5+{\sqrt {9+6n+7n^{2}}}}{2+n}},\\\omega '=&{\frac {5-{\sqrt {9+6n+7n^{2}}}}{2+n}},\end{aligned}}$

et supposant $n=4,$ comme on l’a fait plus haut, on aura $\omega =2,$ $\omega '=-{\frac {1}{3}}\,;$ par conséquent l’équation de la courbe contiendra dans ce cas des sinus et des exponentielles.

36. Pour ce qui regarde les constantes $\alpha ,\alpha ',\varepsilon ,\varepsilon ',$ le moyen le plus simple pour les déterminer est de supposer que les valeurs de $\zeta$ et ${\frac {d\zeta }{dx}}$ soient données aux deux extrémités de la colonne où $x=0$ et où $x=a.$ Pour cela, supposons donc que lorsque $x=0$ on ait $\xi =p,$ ${\frac {d\zeta }{dx}}=q,$ et que lorsque $x=a$ on ait $\zeta =p',\ {\frac {d\zeta }{dx}}=q',$ en sorte que $\mathrm {Z} (1+p),$ $\mathrm {Z} (1+p')$ soient les rayons des deux bases de la colonne, l’inférieure et la supérieure, et que $\mathrm {Z} q,\mathrm {Z} q'$ soient les tangentes de l’inclinaison du profil de la colonne avec l’axe, à l’extrémité inférieure et à l’extrémité supérieure ; on aura (35)

${\begin{aligned}p\ =&\alpha \sin \varepsilon +\alpha '\sin \varepsilon ',\\q\ =&{\frac {\pi {\sqrt {\omega }}}{a}}(\alpha \cos \varepsilon +\alpha '\cos \varepsilon '),\\p'=&\alpha \sin \left(\varepsilon +\pi {\sqrt {\omega }}\right)+\alpha '\sin \left(\varepsilon '+\pi {\sqrt {\omega '}}\right),\\q'=&{\frac {\pi {\sqrt {\omega }}}{a}}(\alpha \cos \left(\varepsilon +\pi {\sqrt {\omega }}\right)+\alpha '\cos \left(\varepsilon '+\pi {\sqrt {\omega '}}\right)\,;\end{aligned}}$

d’où l’on pourra tirer les valeurs de $\alpha ,\alpha ',\varepsilon ,\varepsilon '\,;$ en effet, les deux pre-

mières donneront celles-ci

${\begin{aligned}&p\cos \left(\pi {\sqrt {\omega '}}\right)+{\frac {aq}{\pi {\sqrt {\omega '}}}}\sin \left(\pi {\sqrt {\omega '}}\right)\\&\quad \qquad \qquad \qquad \qquad =\alpha \sin \left(\varepsilon +\pi {\sqrt {\omega '}}\right)+\alpha '\sin \left(\varepsilon '+\pi {\sqrt {\omega '}}\right),\\-&p\sin \left(\pi {\sqrt {\omega '}}\right)+{\frac {aq}{\pi {\sqrt {\omega '}}}}\cos \left(\pi {\sqrt {\omega '}}\right)\\&\quad \qquad \qquad \qquad \qquad =\alpha \cos \left(\varepsilon +\pi {\sqrt {\omega '}}\right)+\alpha '\cos \left(\varepsilon '+\pi {\sqrt {\omega '}}\right),\end{aligned}}$

lesquelles étant combinées avec les deux dernières donneront

${\begin{aligned}&2\alpha \cos \left(\varepsilon +\pi {\frac {{\sqrt {\omega }}+{\sqrt {\omega '}}}{2}}\right)\sin \left(\pi {\frac {{\sqrt {\omega }}-{\sqrt {\omega '}}}{2}}\right)\\&\quad \qquad \qquad \qquad \qquad =p'-p\cos \left(\pi {\sqrt {\omega '}}\right)-{\frac {aq}{\pi {\sqrt {\omega '}}}}\sin \left(\pi {\sqrt {\omega '}}\right),\\-&2\alpha \sin \left(\varepsilon +\pi {\frac {{\sqrt {\omega }}+{\sqrt {\omega '}}}{2}}\right)\sin \left(\pi {\frac {{\sqrt {\omega }}-{\sqrt {\omega '}}}{2}}\right)\\&\quad \qquad \qquad \qquad \qquad ={\frac {aq'}{\pi {\sqrt {\omega '}}}}+p\sin \left(\pi {\sqrt {\omega '}}\right)-{\frac {aq}{\pi {\sqrt {\omega '}}}}\cos \left(\pi {\sqrt {\omega '}}\right),\end{aligned}}$

d’où en faisant, pour abréger,

${\begin{aligned}\mathrm {P} =&p\sin \left(\pi {\sqrt {\omega '}}\right)+{\frac {aq}{\pi {\sqrt {\omega '}}}}\cos \left(\pi {\sqrt {\omega '}}\right)+{\frac {aq'}{\pi {\sqrt {\omega '}}}},\\\mathrm {Q} =&p\cos \left(\pi {\sqrt {\omega '}}\right)+{\frac {aq}{\pi {\sqrt {\omega '}}}}\sin \left(\pi {\sqrt {\omega '}}\right)-p',\end{aligned}}$

on tire

$\operatorname {tang} \left(\varepsilon +\pi {\frac {{\sqrt {\omega }}+{\sqrt {\omega '}}}{2}}\right)=\mathrm {\frac {P}{Q}} ,$

$\alpha ={\frac {\mathrm {\sqrt {P^{2}+Q^{2}}} }{2\sin \left(\pi {\cfrac {{\sqrt {\omega }}-{\sqrt {\omega '}}}{2}}\right)}},$

et de même, en faisant

${\begin{aligned}\mathrm {P} '=&p'\sin \left(\pi {\sqrt {\omega }}\right)+{\frac {aq'}{\pi {\sqrt {\omega }}}}\cos \left(\pi {\sqrt {\omega }}\right)+{\frac {aq}{\pi {\sqrt {\omega }}}},\\\mathrm {Q} '=&p'\cos \left(\pi {\sqrt {\omega }}\right)+{\frac {aq'}{\pi {\sqrt {\omega }}}}\sin \left(\pi {\sqrt {\omega }}\right)-p,\end{aligned}}$

on aura

$\operatorname {tang} \left(\varepsilon '+\pi {\frac {{\sqrt {\omega }}+{\sqrt {\omega '}}}{2}}\right)=\mathrm {\frac {P'}{Q'}} ,$

$\alpha '={\frac {\mathrm {\sqrt {P'^{2}+Q'^{2}}} }{2\sin \left(\pi {\cfrac {{\sqrt {\omega }}-{\sqrt {\omega '}}}{2}}\right)}}.$

37. Ainsi les constantes $\alpha ,\varepsilon ,\alpha ',\varepsilon '$ auront des valeurs déterminées, si les quantités $p,q,p',q'$ sont toutes données, de sorte qu’il ne restera plus rien d’indéterminé dans l’équation de la courbe cherchée ; mais si quelques-unes de ces dernières quantités ne sont pas données, alors quelques-unes des constantes $\alpha ,\varepsilon ,\alpha ',\varepsilon '$ resteront indéterminées, et ce sera une nouvelle question de maximis et minimis de déterminer ces constantes, en sorte que la force de la colonne soit la plus grande qu’il est possible. Or l’équation de la courbe étant donnée, il est clair qu’il n’y aura qu’à chercher l’expression de la force, et la rendre ensuite un maximum, en supposant que les constantes indéterminées soient variables, ainsi que nous l’avons fait plus haut lorsque nous avons pris une section conique pour la courbe de la colonne ; mais la méthode que nous avons employée pour résoudre le Problème en général offre un moyen plus simple de parvenir au même but.

38. Pour cela, il n’y a qu’a se rappeler que \Gammaequation qui renfermait les conditions du maximum contenait deux parties : l’une, affectée du signe $\int ,$ qui a servi à déterminer en général l’équation de la courbe ; l’autre, hors du signe $\int ,$ qui ne se rapportait qu’aux deux points extrêmes de la courbe et dont nous n’avons jusqu’à présent fait aucun usage.

Cette dernière partie de l’équation dont il s⅛it (29) est ${\frac {\Psi -\Pi }{\mathrm {BP} }},$ où $\Pi$ est la valeur de la quantité ${\frac {\mathrm {X} \alpha d\delta t}{dx}}-{\frac {d(\mathrm {X} \alpha )}{dx}}\delta t$ pour le premier point où $x=0,$ et $\Psi$ la valeur de la même quantité pour le dernier point où $x=a\,;$ ainsi, comme on a égalé séparément à zéro la première partie affectée du signe $\int ,$ il faut pareillement égaler à zéro la partie algébrique ${\frac {\Psi -\Pi }{\mathrm {BP} }},$ ce qui donnera l’équation déterminée

$\Psi -\Pi =0.$

Pour faire usage de cette équation, on remarquera que les variations $\delta t$ et ${\frac {d\delta t}{dx}}$ ou bien ${\frac {\delta dt}{dx}}$ qu’elle contient, ne regardent que les valeurs extrêmes de $t$ et ${\frac {dt}{dx}},$ lesquelles dépendent uniquement des quatre constantes arbitraires que l’expression générale de $t$ doit renfermer, et qui sont les mêmes qui entrent dans l’expression de $\zeta \,;$ où il s’ensuit que pour avoir les valeurs en question de $\delta t$ et de $\delta {\frac {dt}{dx}},$ il faudra faire varier ces mêmes constantes dans les expressions de $t$ et de ${\frac {dt}{dx}},$ ou seulement celles d’entre elles qui seront demeurées indéterminées ; on aura par ce moyen les conditions nécessaires pour la détermination de toutes les constantes indéterminées.

39. Pour appliquer ceci au cas du n^o 33, on substituera d’abord, dans l’expression

$\mathrm {X} \alpha \delta {\frac {dt}{dx}}-{\frac {d\mathrm {X} \alpha }{dx}}\delta t,$

$\mathrm {H} r=\mathrm {HR} (1+\rho )$ à la place de $\alpha ,$ $\mathrm {X(1+M\zeta )}$ à la place de $\mathrm {X} ,$ et $\mathrm {T} (1+\theta )$ à la place de $t,$ et négligeant les termes ou les quantités très-petites $\zeta ,\rho ,\theta$ lesquelles formeraient ensemble deux ou plusieurs dimensions, on aura celle-ci

$\mathrm {HXRT} \delta {\frac {d\theta }{dx}},$

où $\mathrm {HXRT}$ est une quantité constante.

Or, l’expression générale de $\theta$ est (34 et 35), en y substituant les valeurs de $\beta ,\beta '$ et $\mathrm {T} ^{2},$ celle-ci

$\theta =\mathrm {M} \left[{\frac {\alpha \sin \left(\varepsilon +{\cfrac {x\pi {\sqrt {\omega }}}{a}}\right)}{4-\omega }}+{\frac {\alpha '\sin \left(\varepsilon '+{\cfrac {x\pi {\sqrt {\omega '}}}{a}}\right)}{4-\omega '}}\right],$

d’où l’on tire

${\frac {d\theta }{dx}}={\frac {\mathrm {M} \pi }{a}}\left[{\frac {\alpha {\sqrt {\omega }}\cos \left(\varepsilon +{\cfrac {x\pi {\sqrt {\omega }}}{a}}\right)}{4-\omega }}+{\frac {\alpha '{\sqrt {\omega '}}\cos \left(\varepsilon '+{\cfrac {x\pi {\sqrt {\omega '}}}{a}}\right)}{4-\omega '}}\right].$

Donc :

1^o Faisant $x=0,$ on aura

${\frac {d\theta }{dx}}={\frac {\mathrm {M} \pi }{a}}\left({\frac {\alpha {\sqrt {\omega }}\cos \varepsilon }{4-\omega }}+{\frac {\alpha '{\sqrt {\omega '}}\cos \varepsilon '}{4-\omega '}}\right),$

et différentiant par $\delta ,$ en faisant varier à la fois $\alpha ,\varepsilon ,\alpha ',\varepsilon ',$ on aura pour le premier point de la courbe

$\delta {\frac {d\theta }{dx}}={\frac {\mathrm {M} \pi }{a}}{\frac {\sqrt {\omega }}{4-\omega }}(\cos \varepsilon \delta \alpha -\alpha \sin \varepsilon \delta \varepsilon )+{\frac {\mathrm {M} \pi }{a}}{\frac {\sqrt {\omega '}}{4-\omega '}}(\cos \varepsilon '\delta \alpha '-\alpha '\sin \varepsilon '\delta \varepsilon ')\,;$

cette quantité, multipliée par $\mathrm {HXRT} ,$ sera la valeur de $\Pi .$

2^o Faisant $x=a,$ on aura

${\frac {d\theta }{dx}}={\frac {\mathrm {M} \pi }{a}}\left[{\frac {\alpha {\sqrt {\omega }}\cos \left(\varepsilon +\pi {\sqrt {\omega }}\right)}{4-\omega }}+{\frac {\alpha '{\sqrt {\omega '}}\cos \left(\varepsilon '+\pi {\sqrt {\omega '}}\right)}{4-\omega '}}\right]\,;$

donc, différentiant par $\delta ,$ en faisant varier également $\alpha ,\varepsilon ,\alpha ',\varepsilon ',$ on aura pour le dernier point de la courbe

${\begin{aligned}\delta {\frac {d\theta }{dx}}=&{\frac {\mathrm {\mathrm {M} } \pi }{a}}{\frac {\sqrt {\omega }}{4-\omega }}\left[\cos \left(\varepsilon +\pi {\sqrt {\omega }}\right)\delta \alpha -\alpha \sin \left(\varepsilon +\pi {\sqrt {\omega }}\right)\delta \varepsilon \right]\\+&{\frac {\mathrm {M} \pi }{a}}{\frac {\sqrt {\omega '}}{4-\omega '}}\left[\cos \left(\varepsilon '+\pi {\sqrt {\omega '}}\right)\delta \alpha '-\alpha '\sin \left(\varepsilon '+\pi {\sqrt {\omega '}}\right)\delta \varepsilon '\right],\end{aligned}}$

et cette quantité multipliée de même par $\mathrm {HXRT}$ sera la valeur de $\Psi .$

40. Ainsi l’équation $\Psi +\Pi =0$ donnera, en ordonnant les termes,

${\begin{aligned}{\frac {\sqrt {\omega }}{4-\omega }}&\left[\cos \left(\varepsilon +\pi {\sqrt {\omega }}\right)-\cos \varepsilon \right]\delta \alpha \\-{\frac {\sqrt {\omega }}{4-\omega }}&\left[\sin \,\left(\varepsilon +\pi {\sqrt {\omega }}\right)-\sin \varepsilon \right]\alpha \delta \varepsilon \\+{\frac {\sqrt {\omega '}}{4-\omega '}}&\left[\cos \left(\varepsilon '+\pi {\sqrt {\omega '}}\right)-\cos \varepsilon '\right]\delta \alpha '\\-{\frac {\sqrt {\omega '}}{4-\omega '}}&\left[\sin \,\left(\varepsilon '+\pi {\sqrt {\omega '}}\right)-\sin \varepsilon '\right]\alpha '\delta \varepsilon '=0,\end{aligned}}$

d’où l’on déduira les conclusions suivantes :

1^o Si les valeurs des quatre constantes $\alpha ,\alpha ',\varepsilon ,\varepsilon '$ sont données comme dans le cas du n^o 36, ou, en général, lorsque la courbe doit satisfaire à quatre conditions données, les différences $\delta \alpha ,\delta \alpha ',\delta \varepsilon ,\delta \varepsilon '$ seront nulles d’elles-mêmes, et l’équation dont il s’agit se trouvera identique.

2^o S’il n’y avait que les quantités $\alpha$ et $\alpha '$ de données, alors $\delta \alpha$ et $\delta \alpha '$ seraient nulles, et il faudrait faire évanouir séparément les termes affectés des différences indéterminées $\delta \varepsilon ,\delta \varepsilon ',$ ce qui donnerait ces deux équations

${\begin{aligned}\sin \left(\ \varepsilon \ +\pi {\sqrt {\omega }}\ \,\right)\ -\sin \varepsilon \ &=0,\\\sin \left(\varepsilon '+\pi {\sqrt {\omega '}}\right)-\sin \varepsilon '&=0,\\\end{aligned}}$

lesquelles serviraient à déterminer les angles $\varepsilon$ et $\varepsilon '\,;$ on aurait donc, dans ce cas,

${\begin{aligned}\operatorname {tang} \varepsilon \ =&{\frac {\sin \pi {\sqrt {\omega \ }}}{1-\cos \pi {\sqrt {\omega \ }}}}=\cot {\frac {\pi {\sqrt {\omega \ }}}{2}},\\\operatorname {tang} \varepsilon '=&{\frac {\sin \pi {\sqrt {\omega '}}}{1-\cos \pi {\sqrt {\omega '}}}}=\cot {\frac {\pi {\sqrt {\omega '}}}{2}},\end{aligned}}$

d’où

${\begin{aligned}\varepsilon \ =&90^{\circ }-{\frac {\pi {\sqrt {\omega }}}{2}},\\\varepsilon '=&90^{\circ }-{\frac {\pi {\sqrt {\omega '}}}{2}}.\end{aligned}}$

Si c’étaient les quantités $\varepsilon$ et $\varepsilon '$ qui fussent données, alors les termes affectés de $\delta \varepsilon$ et $\delta \varepsilon '$ s’évanouiraient, et il faudrait ensuite faire disparaître ceux qui sont affectés de $\delta \alpha$ et $\delta \alpha '\,;$ mais, comme ces termes ne renferment point les quantités indéterminées $\alpha ,\alpha ',$ mais seulement les données $\varepsilon ,\varepsilon ',$ il s’ensuit qu’il est impossible de les faire évanouir en général, ce qui est une marque qu’il n’y a point de maximum par rapport aux constantes $\alpha ,\alpha '$ en particulier.

3^o S’il n’y avait de donné que les deux bases de la colonne, alors les valeurs de $p$ et $p'$ seraient données (36) ; on prendrait donc les deux équations de ce numéro

${\begin{aligned}p\ =&\alpha \sin \varepsilon +\alpha '\sin \varepsilon ',\\p'=&\alpha \sin \left(\varepsilon +\pi {\sqrt {\omega }}\right)+\alpha '\sin \left(\varepsilon '+\pi {\sqrt {\omega '}}\right),\end{aligned}}$

et, les différentiant par $\delta ,$ en faisant $p,p'$ constantes, et $\alpha ,\alpha ',\varepsilon ,\varepsilon '$ variables, on aurait ces deux-ci

${\begin{aligned}&\sin \varepsilon +\alpha \cos \varepsilon \delta \varepsilon +\sin \varepsilon '\delta \alpha '+\alpha '\cos \varepsilon '\delta \varepsilon '=0,\\&\sin \left(\varepsilon +\pi {\sqrt {\omega }}\right)+\alpha \cos \left(\varepsilon +\pi {\sqrt {\omega }}\right)\delta \varepsilon +\sin \left(\varepsilon '+\pi {\sqrt {\omega '}}\right)\delta \alpha '\end{aligned}}$

$+\alpha '\cos \left(\varepsilon '+\pi {\sqrt {\omega '}}\right)\delta \varepsilon '=0,$

à l’aide desquelles on pourra déterminer deux des quatre différentielles indéterminées $\delta \alpha ,\delta \alpha ',\delta \varepsilon ,\delta \varepsilon '$ par les deux autres. Cherchons $\delta \alpha$ et $\delta \varepsilon \,;$ pour cela, on retranchera les équations précédentes l’une de l’autre après avoir multiplié : 1^o la première par $\cos \left(\varepsilon '+\pi {\sqrt {\omega }}\right),$ et la seconde par $\cos \varepsilon \,;$ 2^o la première par $\sin \left(\varepsilon +\pi {\sqrt {\omega }}\right),$ et la seconde par $\sin \varepsilon \,;$ on aura

${\begin{aligned}d\alpha =&{\frac {\sin \varepsilon '\cos \left(\varepsilon +\pi {\sqrt {\omega }}\right)-\sin \left(\varepsilon '+\pi {\sqrt {\omega '}}\right)\cos \varepsilon }{\sin \left(\pi {\sqrt {\omega }}\right)}}\delta \alpha '\\&+{\frac {\cos \varepsilon '\cos \left(\varepsilon +\pi {\sqrt {\omega }}\right)-\sin \left(\varepsilon '+\pi {\sqrt {\omega '}}\right)\cos \varepsilon }{\sin \left(\pi {\sqrt {\omega }}\right)}}\alpha '\delta \varepsilon ',\\\alpha \delta \varepsilon =&-{\frac {\sin \varepsilon '\sin \left(\varepsilon +\pi {\sqrt {\omega }}\right)-\sin \left(\varepsilon '+\pi {\sqrt {\omega '}}\right)\sin \varepsilon }{\sin \left(\pi {\sqrt {\omega }}\right)}}\delta \alpha \\&-{\frac {\cos \varepsilon '\sin \left(\varepsilon +\pi {\sqrt {\omega }}\right)-\cos \left(\varepsilon '+\pi {\sqrt {\omega '}}\right)\sin \varepsilon }{\sin \left(\pi {\sqrt {\omega }}\right)}}\alpha '\delta \varepsilon '.\end{aligned}}$

On substituera donc ces valeurs dans l’équation générale, et on fera ensuite égaux à zéro, séparément, les deux membres affectés de $\delta \alpha$ et $\delta \varepsilon ',$ ce qui donnera ces deux équations

${\begin{aligned}&{\frac {\sqrt {\omega '}}{4-\omega '}}\left[\cos \left(\varepsilon '+\pi {\sqrt {\omega '}}\right)-\cos \varepsilon '\right]\\&\qquad \qquad \qquad +{\frac {\sqrt {\omega }}{4-\omega }}\operatorname {tang} {\frac {\pi {\sqrt {\omega }}}{2}}\left[\sin \left(\varepsilon '+\pi {\sqrt {\omega '}}\right)+\sin \varepsilon '\right]=0,\\&{\frac {\alpha '{\sqrt {\omega '}}}{4-\omega '}}\left[\sin \left(\varepsilon '+\pi {\sqrt {\omega '}}\right)-\sin \varepsilon '\right]\\&\qquad \qquad \qquad +{\frac {\alpha '{\sqrt {\omega }}}{4-\omega }}\operatorname {tang} {\frac {\pi {\sqrt {\omega }}}{2}}\left[\cos \left(\varepsilon '+\pi {\sqrt {\omega '}}\right)+\cos \varepsilon '\right]=0,\end{aligned}}$

qui serviront à déterminer les quantités $\alpha '$ et $\varepsilon '.$

En effet la première, ne contenant que la quantité $\varepsilon ',$ donnera la valeur de cette quantité ; ensuite il faudra déterminer par la seconde équation, laquelle donnera $\alpha '=0\,;$ ainsi la valeur de $\zeta$ se réduira à celle-ci

$\zeta =\alpha \sin \left(\varepsilon +{\frac {x\pi {\sqrt {\omega }}}{a}}\right),$

où les constantes $\alpha$ et $\varepsilon$ devront se déterminer par les deux conditions

$p=\alpha \sin \varepsilon ,\quad p'=\alpha '\sin \left(\varepsilon +\pi {\sqrt {\omega }}\right),$

d’où l’on tire

$\operatorname {tang} \varepsilon ={\frac {p\sin \left(\pi {\sqrt {\omega }}\right)}{p'-p\cos \left(\pi {\sqrt {\omega }}\right)}},$

$\alpha ={\frac {\sqrt {p'^{2}-2pp'\cos \left(\pi {\sqrt {\omega }}\right)+p^{2}}}{\sin \left(\pi {\sqrt {\omega }}\right)}},$

et l’on remarquera que l’on peut prendre indifféremment pour $\omega$ l’une quelconque des deux racines de l’équation en $\omega \,;$ de sorte que la solution sera double.

4^o Enfin, s’il n’y avait rien de donné et qu’on cherchât absolument, entre toutes les courbes possibles, celle qui formera une colonne de la plus grande force, relativement à sa hauteur et à sa masse, comme nous l’avons supposé dans nos calculs, il faudrait alors, dans l’équation ci-dessus, égaler séparément à zéro les membres affectés des différentielles indéterminées $\delta \alpha ,\delta \varepsilon ,\delta \alpha ',\delta \varepsilon ',$ ce qui donnerait ces quatre équations

${\begin{aligned}&\,\cos \left(\varepsilon \,\ +\pi {\sqrt {\omega }}\ \ \right)\,-\cos \varepsilon =0,\\&\left[\sin \left(\varepsilon \,\ +\pi {\sqrt {\omega }}\ \ \right)\,-\sin \varepsilon \right]\alpha =0,\\&\,\cos \left(\varepsilon '+\pi {\sqrt {\omega '}}\right)-\cos \varepsilon '=0,\\&\left[\sin \left(\varepsilon '+\pi {\sqrt {\omega '}}\right)-\sin \varepsilon '\right]\alpha '=0\,;\end{aligned}}$

comme la première ne contient que l’angle $\varepsilon ,$ elle ne pourra servir qu’à

déterminer cette quantité, ensuite de quoi on ne pourra vérifier la seconde qu’en faisant $\alpha =0\,;$ de même, la troisième donnera la valeur de $\varepsilon ',$ et la quatrième donnera nécessairement $\alpha '=0.$

On aura donc, dans ce cas,

$\alpha =0\quad {\text{et}}\quad \alpha '=0,$

et par conséquent

$\zeta =0\quad {\text{et}}\quad z=\mathrm {Z} (1+\zeta )=\mathrm {Z} ,$

c’est-à-dire

$z=\mathrm {const} .,$

ce qui donne un cylindre pour la figure de la colonne. D’où l’on doit conclure que la figure cylindrique est celle qui donne le maximum maximorum de la force.

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Voici les modifications qu’il y a lieu de faire subir aux formules contenues dans la dernière partie de ce Mémoire, et que nous avons annoncées dans la Note qui se rapporte au n^o 29.

Dans les formules du n^o 30, il faut remplacer $\mathrm {\left(P-{\frac {3X}{T^{4}}}\right)}$ par $\mathrm {\left(P+{\frac {3X}{T^{4}}}\right)} \,;$ le même changement doit être également fait au n^o 31 et les dernières formules de ce numéro sont alors

$t={\sqrt[{4}]{\mathrm {\frac {X}{P}} }},\quad r={\frac {1}{4{\sqrt[{4}]{\mathrm {PX} ^{3}}}}},\quad \mathrm {\frac {X'}{4ZX{\sqrt {PX}}}} =\mathrm {C} .$

La deuxième des équations du n^o 33 doit être rectifiée de la manière suivante

$\mathrm {R} \mathrm {\left[P+{\frac {3X}{T^{4}}}\left(1+{\frac {X'Z}{X}}\zeta -4\theta \right)+\left(P+{\frac {3X}{T^{4}}}\right)\rho \right]}$

$+\mathrm {XR} \left(\mathrm {\frac {X'Z}{X}} {\frac {d^{2}\zeta }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\rho }{dx^{2}}}\right)-{\frac {1}{\mathrm {T} ^{3}}}(1-3\theta )=0,$

et il faut prendre pour $\mathrm {R}$ la valeur ${\frac {1}{4\mathrm {PT} ^{3}}}$ au lieu de $-{\frac {1}{2\mathrm {PT} ^{3}}}.$ Après ces changements, les équations différentielles qui déterminent les quantités $\zeta ,\theta ,\rho$ sont

$\rho +\theta -\mathrm {N} \zeta =0,$

$\mathrm {M} \left(\mathrm {T} ^{4}{\frac {d^{2}\zeta }{dx^{2}}}+3\zeta \right)+\mathrm {T} ^{4}{\frac {d^{2}\rho }{dx^{2}}}+4\rho =0,$

$\mathrm {T} ^{4}{\frac {d^{2}\theta }{dx^{2}}}+4\theta -\mathrm {M} \zeta =0\,;$

la seconde équation est bien différente de celle du texte ; on voit qu’elle ne contient pas la variable $\theta .$

En ajoutant les deux dernières équations on obtient

$\mathrm {M} \left(\mathrm {T} ^{4}{\frac {d^{2}\zeta }{dx^{2}}}+2\zeta \right)+\mathrm {T} ^{4}\left({\frac {d^{2}\rho }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\theta }{dx^{2}}}\right)+4(\rho +\theta )=0,$

et en éliminant $\rho +\theta ,$ au moyen de la première équation, on a

$\mathrm {(M+N)T^{4}} {\frac {d^{2}\zeta }{dx^{2}}}+(\mathrm {2M+4N} )\zeta =0,$

ou

${\frac {d^{2}\zeta }{dx^{2}}}+{\frac {\omega }{\mathrm {T} ^{4}}}\zeta =0,$

en faisant

$\omega =\mathrm {\frac {2M+4N}{M+N}} .$

Ainsi l’inconnue principale $\zeta$ ne dépend que d’une équation différentielle du deuxième ordre, cette équation a pour intégrale générale

$\zeta =\alpha \sin \left(\varepsilon +{\frac {x{\sqrt {\omega }}}{\mathrm {T} ^{2}}}\right),$

$\alpha$ et $\varepsilon$ étant deux constantes arbitraires.

La variable $\theta$ est déterminée ensuite par l’équation

$\mathrm {T} ^{4}{\frac {d^{2}\theta }{dx^{2}}}+4\theta -\mathrm {M} \alpha \sin \left(\varepsilon +{\frac {x{\sqrt {\omega }}}{\mathrm {T} ^{2}}}\right)=0.$

dont l’intégrale générale est

$\theta ={\frac {\mathrm {M} }{4-\omega }}\alpha \sin \left(\varepsilon +{\frac {x{\sqrt {\omega }}}{\mathrm {T} ^{2}}}\right)+{\text{ϐ}}\sin \left(\eta +{\frac {2x}{\mathrm {T} ^{2}}}\right),$

${\text{ϐ}}$ et $\eta$ étant deux nouvelles arbitraires. Enfin, la quantité $\rho$ étant égale à $\mathrm {N} \zeta -\theta ,$ on a

$\rho =\mathrm {\left(N-{\frac {M}{4-\omega }}\right)} \alpha \sin \left(\varepsilon +{\frac {x{\sqrt {\omega }}}{\mathrm {T} ^{2}}}\right)-{\text{ϐ}}\sin \left(\eta +{\frac {2x}{\mathrm {T} ^{2}}}\right).$

Ces résultats sont très-différents de ceux qu’on lit au nυ 34, et les développements contenus dans les n^os 35 et suivants doivent être modifiés en raison des changements dont nous venons de montrer la nécessité. Il serait superflu, après cela, d’appeler l’attention du lecteur sur les nouvelles fautes de calcul que l’on rencontre aux nos 33 et 36. $\qquad \qquad$ (Note de l’Éditeur.)

1. Œuvres de Lagrange, t. I, p. 335 et t. II, p.37.
2. Le terme ${\frac {3\delta t}{t^{4}}}$ devrait avoir ici le signe $+$ comme dans la formule précédente. Le changement de ce signe a pour effet d’infirmer tous les résultats qui suivent ; ces résultats sont d’ailleurs affectés de plusieurs autres erreurs de calcul. Nous avons reproduit exactement le texte primitif en nous bornant à corriger, comme nous l’avons toujours fait, les fautes typographiques ; on trouvera, à la fin du Mémoire, l’indication des modifications qu’il y a lieu de faire subir aux principales formules.
   (Note de l’Éditeur.)