Mémoires extraits des recueils de l’Académie des sciences de Paris et de l’Institut de France/Essai sur le Problème des trois Corps

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ESSAI
SUR
LE PROBLÈME DES TROIS CORPS.


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Lucr.
(Prix de l’Académie Royale des Sciences de Paris, tome IX, 1772.)


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AVERTISSEMENT.

Ces Recherches renferment une Méthode pour résoudre le Problème des trois Corps, différente de toutes celles qui ont été données jusqu’à présent. Elle consiste à n’employer dans la détermination de l’orbite de chaque Corps d’autres éléments que les distances entre les trois Corps, c’est-à-dire, le triangle formé par ces Corps à chaque instant. Pour cela, il faut d’abord trouver les équations qui déterminent ces mêmes distances par le temps ; ensuite, en supposant les distances connues, il faut en déduire le mouvement relatif des Corps par rapport à un plan fixe quelconque. On verra, dans le premier Chapitre, comment je m’y suis pris pour remplir ces deux objets, dont le second surtout demande une analyse délicate et assez compliquée. À la fin de ce Chapitre, je rassemble les principales formules que j’ai trouvées, et qui renferment la solution du Problème des trois Corps pris dans toute sa généralité.

Le deuxième Chapitre a pour objet d’examiner comment et dans quels cas les trois Corps pourraient se mouvoir en sorte que leurs distances fussent toujours constantes, ou gardassent au moins entre elles des rapports constants. Je trouve que ces conditions ne peuvent avoir lieu que dans deux cas l’un, lorsque les trois Corps sont rangés dans une même ligne droite, et l’autre, lorsqu’ils forment un triangle équilatéral ; alors chacun des trois Corps décrit autour des deux autres des cercles ou des sections coniques, comme s’il n’y avait que deux Corps. Cette recherche n’est à la vérité que de pure curiosité ; mais j’ai cru qu’elle ne serait pas déplacée dans un Ouvrage qui roule principalement sur le Problème des trois Corps, envisagé dans toute son étendue.

Dans le troisième Chapitre, je suppose que la distance de l’un des trois Corps aux deux autres soit fort grande, et j’applique la solution générale du Chapitre premier à cette hypothèse, qui est, comme l’on sait, celle de la Terre, de la Lune et du Soleil.

Enfin, dans le quatrième Chapitre, je traite en particulier de la Théorie de la Lune ; j’y donne les formules qui renferment cette Théorie, et je fais voir, par un léger essai de calcul, comment on doit se servir de ces formules pour en déduire les inégalités du mouvement de la Lune autour de la Terre.

Le défaut de temps et d’autres occupations indispensables ne m’ont pas permis d’entrer là-dessus dans tout le détail nécessaire pour répondre d’une manière convenable aux principaux points de la question proposée par l’Académie aussi ai-je d’abord hésité si je lui présenterais ces Recherches pour le Concours, et je ne m’y suis déterminé que par l’espérance que cette illustre Compagnie trouvera peut-être ma Méthode pour résoudre le Problème des trois Corps digne de quelque attention, tant par sa nouveauté et sa singularité que par les difficultés considérables de calcul qu’elle renferme.

Si l’Académie daigne honorer mon travail de son suffrage, ce sera un puissant motif pour m’engager à le perfectionner, et je ne désespère pas de pouvoir tirer de ma Méthode une Théorie de la Lune aussi complète qu’on puisse le demander dans l’état d’imperfection où est encore l’Analyse.

CHAPITRE PREMIER.

FORMULES GÉNÉRALES POUR LA SOLUTION DU PROBLÈME DES TROIS CORPS.

I.

Soient les masses des trois Corps qui s’attirent mutuellement en raison directe des masses et en raison inverse du carré des distances ; soient nommées de plus les coordonnées rectangles de l’orbite du Corps autour du Corps les coordonnées rectangles de l’orbite du Corps autour du même Corps coordonnées qu’on suppose toujours parallèles à trois lignes fixes et perpendiculaires entre elles ; enfin soient les distances entre les Corps et et et en sorte que l’on ait

On aura, comme on sait, en prenant l’élément du temps constant, les six équations suivantes

(A)
(B)
à l’aide desquelles on pourra déterminer les orbites relatives des Corps et autour du Corps

Si l’on fait encore

en sorte que soient les coordonnées rectangles de l’orbite du Corps autour de on aura

et, retranchant respectivement les trois premières équations des trois dernières, on aura ces trois-ci

(C)

qui exprimeront le mouvement relatif du Corps autour du Corps

Il est bon de remarquer l’analogie qu’il y a entre ces neuf équations c’est que les équations se changent en les équations en y changeant seulement en en en en en , et réciproquement ; et que de même ces équations se changent en les équations en y changeant en en en en en et vice versâ ; et la même analogie aura lieu dans toutes les formules que nous trouverons par la suite.

II.

Qu’on multiplie la première des équations par et la seconde par et qu’ensuite on les retranche l’une de l’autre, on aura

Combinant de même les deux premières des équations et les deux premières des équations on aura ces deux-ci

Mais

donc

donc, en ajoutant ensemble les trois équations précédentes, après avoir divisé la première par la seconde par et la troisième par on aura celle-ci

On trouvera de la même manière ces deux autres équations

De sorte qu’on aura, en intégrant,

(D)

étant des constantes arbitraires.

De plus, si l’on multiplie la première des équations par la première des équations par et la première des équations par et qu’ensuite on les ajoute ensemble, on aura, à cause de

On trouvera de même

Donc, ajoutant ensemble ces trois équations et mettant

on aura une équation intégrable dont l’intégrale sera

(E)

étant une constante arbitraire.

Ce sont là les seules intégrales exactes qu’on ait pu trouver jusqu’à présent ; or, comme il y a en tout six variables, il est clair que, si l’on pouvait trouver encore deux autres intégrales, le problème serait réduit aux premières différences ; mais on ne saurait guère se flatter d’y parvenir dans l’état d’imperfection où est encore l’Analyse.

III.

Supposons, pour abréger,

en sorte que expriment les vitesses relatives des Corps autour de et de autour de il est clair qu’on aura

Donc, mettant dans ces équations au lieu de

leurs valeurs tirées des équations et faisant attention que

et

on aura, après avoir fait passer tous les termes du même côté,

(F)

Donc, si l’on peut avoir les valeurs de exprimées en seulement, on aura trois équations entre ces trois dernières variables et le temps à l’aide desquelles on pourra à chaque instant déterminer la position relative des Corps.

IV.

Or on a, en différentiant les valeurs de

donc, si l’on fait ici les mêmes substitutions que ci-dessus, et qu’on suppose pour un moment

à cause de

on aura

Soit, pour abréger,

et l’on aura

de sorte que les équations deviendront

(G)

et il ne restera plus qu’à trouver les valeurs de

Pour cela, je fais

et comme l’on a

on aura, en différentiant,

donc

et ensuite

savoir

Tout se réduit donc maintenant à avoir la valeur de pour y parvenir, je différentie, et j’ai

je substitue à la place de les valeurs tirées des équations et et faisant les autres substitutions convenables, je trouve

ou bien

V.

Supposons, pour mettre nos formules sous une forme plus simple,

et l’on aura d’abord, pour la détermination de cette équation

(H)

On aura ensuite

d’où

Mais

donc

on trouvera de même

de sorte qu’en substituant ces valeurs, et faisant pour plus de simplicité

(I)

on aura

et de là

(J)

Maintenant on aura

donc, ajoutant ces deux équations, et mettant à la place de on aura

on trouvera de même

donc, faisant toutes ces substitutions dans les équations ou des Articles précédents, elles deviendront celles-ci

(K)

Ainsi l’on pourra, à l’aide de ces trois équations, déterminer les trois rayons et en ce qui donnera pour chaque instant la position relative des Corps entre eux.

Il est bon de remarquer que, si l’on divise la première de ces équations par la seconde par et la troisième par et qu’ensuite on les ajoute ensemble, on aura (à cause de et par conséquent ) celle-ci

(L)

laquelle pourra tenir lieu d’une quelconque des trois équations

VI.

On peut encore mettre les mêmes équations sous une autre forme que voici.

Je multiplie la première de ces équations par et je l’intègre ensuite pour avoir

étant une constante arbitraire.

Or

mais

de plus, à cause de

de sorte que si l’on fait, pour abréger,

on aura on aura, en négligeant la constante qui peut être censée contenue dans et divisant toute l’équation par

Faisant de même

on trouvera par des opérations semblables aux précédentes

Et, si l’on retranche ces équations respectivement des équations trouvées ci-dessus, qu’ensuite on divise les équations restantes par on aura ces trois-ci

(M)
VII.

Nous avons donc réduit les six équations primitives qui renferment la solution du Problème des trois Corps pris dans toute sa généralité à trois autres équations entre les trois distances et le temps Il est vrai que ces réduites renferment chacune deux signes d’intégration (ce qui est évident en substituant les valeurs de ou de et de ), et qu’à cet égard elles sont moins simples que les équations primitives ; mais, d’un autre côté, elles ont l’avantage de ne renfermer aucun radical, ce qui me paraît d’une grande importance dans ces sortes de Problèmes.

Supposons donc qu’on ait déterminé par les équations ou les trois variables en on ne connaîtra encore par là que la position relative des Corps, c’est-à-dire, le triangle que les trois Corps forment à chaque instant ; ainsi il reste à voir comment on pourra déterminer ensuite l’orbite même de chaque Corps, c’est-à-dire, les six variables

VIII.

Pour cet effet, nous remarquerons d’abord qu’en connaissant on connaîtra aussi et par les formules de l’Article V. De sorte qu’on aura en mettant à la place de et à la place de les dix équations suivantes

Or, en regardant les quantités comme autant d’inconnues, il est clair que les équations précédentes ne suffisent pas pour les déterminer, puisqu’on aurait douze inconnues, et seulement dix équations ; mais, si l’on joint à ces équations les trois équations (D) de l’Article II on aura alors une équation de plus qu’il n’y a d’inconnues, et la difficulté ne consistera qu’à résoudre ces équations.

IX.

J’observe, à l’égard des équations de l’Article précédent, qu’elles ne peuvent tenir lieu que de neuf équations, parce que, en éliminant quelques-unes des inconnues, il arrive que les autres s’en vont d’elles-mêmes, de sorte qu’on tombe par ce moyen dans une équation où il n’entre plus que les quantités Pour le prouver de la manière la plus simple qu’il est possible, je prends d’abord les trois équations

et j’en tire par les règles ordinaires de l’élimination les valeurs de j’aurai, en faisant, pour abréger,

j’aurai, dis-je,

Or je remarque que l’on a

de sorte que, si l’on carre les trois équations précédentes, et qu’on les ajoute ensuite ensemble, on aura, après avoir multiplié par et fait les substitutions convenables,

De même, si l’on prend les trois équations

et qu’on en tire les valeurs de et il est facile de voir qu’on aura pour les mêmes expressions que l’on a trouvées plus haut pour en y changeant seulement en en et en donc, faisant les mêmes opérations et les mêmes substitutions que ci-dessus, on aura cette autre équation

Or on a

donc on aura les deux équations suivantes

D’où, chassant on aura une équation entre les seules quantités connues

X.

Si l’on tire de la dernière équation la valeur de on aura, en réduisant et effaçant ce qui se détruit,

et, cette valeur de étant substituée dans l’autre équation, on aura

ou bien, en ordonnant les termes,

Or (Article V)

de plus on a, par les formules du même Article,

et de même

donc, si l’on fait ces substitutions, et qu’on suppose pour plus de simplicité

l’équation suivante deviendra, après avoir été multipliée par

(N)

Il faut donc que cette équation ait lieu en même temps que les trois équations de l’Article V ; de sorte que, comme elle ne contient d’ailleurs que les mêmes variables que les équations et qu’elle est d’un ordre moins élevé d’une unité que celle-ci, on pourra la regarder comme une intégrale de ces mêmes équations mais intégrale particulière à cause qu’elle ne renferme aucune nouvelle constante ; ainsi, si l’on intègre les équations en y ajoutant les constantes nécessaires, ces constantes devront être telles qu’elles satisfassent à l’équation De sorte que, si l’on ne veut pas se servir de cette dernière équation à la place de l’une des équations il faudra néanmoins y avoir égard dans la détermination des constantes ; mais pour cela il suffira d’y supposer partout

Au reste nous ferons toujours usage de cette équation pour déterminer la constante qui doit entrer dans la valeur de résultante de l’intégration de l’équation de l’Article V.

XI.

Reprenons maintenant les équations (D) de l’Article II et faisant, pour abréger,

on aura, après avoir multiplié par

(O)

Or je trouve, comme plus haut,

et par analogie

je trouve de même

et par analogie

Donc, si l’oia fait, pour plus de simplicité,

et

en sorte que l’on ait

on aura, en carrant les trois équations (0) et les ajoutant ensemble,

(P)

équation qui est aussi, comme l’on voit, d’un ordre moins élevé d’une unité que les équations  ; et comme elle renferme la constante arbitraire qui ne se trouve point dans les équations on peut la regarder comme une intégrale complète de ces mêmes équations.

XII.

On pourrait croire que l’équation (\mathrm E) que nous avons trouvée dans l’Article II pourrait ainsi, en y substituant les valeurs de et donner une nouvelle intégrale, mais il est facile de voir qu’il n’en résulterait qu’une équation identique, car l’équation dont il s’agit se réduit d’abord à

et, mettant pour et leurs valeurs tirées des formules on aura, en rejetant ce qui se détruit,

ce qui ne renferme aucune nouvelle condition, car les quantités sont déjà d’elles-mêmes telles que (Article V).

Au reste, si l’on combine l’équation

avec les équations et après y avoir substitué les valeurs de et on pourra, par le moyen de ces trois équations, déterminer les trois quantités et lesquelles ne renfermeront par conséquent que les variables finies et leurs différentielles premières avec la quantité ainsi, substituant ces valeurs dans les équations on aura trois équations du second ordre entre les variables et dans lesquelles il n’y aura plus qu’à substituer la valeur de Donc, si à l’aide d’une de ces équations on élimine la quantité des deux autres, on aura d’abord deux équations purement du second ordre entre les variables et ensuite, si l’on différentie la valeur de et qu’on mette la valeur de dans l’équation on aura une troisième équation entre les mêmes variables, qui ne sera que du troisième ordre. De sorte que l’on aura, par ce moyen, pour la détermination des variables et deux équations différentielles du second ordre et une du troisième ; et ces équations suffiront, comme on le verra dans un momént, pour la solution complète du Problème des trois Corps.

Nous croyons cependant qu’il est encore plus simple et plus commode pour le calcul de substituer dans les équations les valeurs de et tirées des équations car, quoique les équations résultantes puissent monter à des ordres plus élevés que le second, elles auront toujours ce grand avantage que les variables s’y trouveront peu mêlées entre elles, et que l’analogie qui y règne facilitera beaucoup leur résolution.

XIII.

Des dix équations de l’Article VIII il n’en reste donc plus que neuf, et des trois équations de l’Article II ou de l’Article XI il n’en reste plus que deux ; de sorte qu’on n’aura en tout que onze équations pour la détermination des six variables et de leurs différentielles d’où l’on voit qu’il est impossible de déterminer ces variables directement et par les seules opérations de l’Algèbre ; mais on pourra en venir à bout au moyen d’une intégration, comme on va le voir.

Je suppose que l’on veuille connaître les valeurs de on aura d’abord l’équation

(Q)

Ensuite, multipliant les trois équations de l’Article XI respectivement par et les ajoutant ensemble, on aura

ou bien, en faisant les substitutions du même Article,

(R)

Enfin, multipliant les mêmes équations respectivement par et les ajoutant ensemble, on aura

Or il est aisé de voir que l’on a et que est la même quantité que nous avons désignée plus haut par (Article IX) ; donc, puisqu’on a déjà trouvé (Article X)

on aura, en faisant les substitutions du même Article X,

et par analogie

De sorte que l’équation ci-dessus deviendra

(S)

Ainsi on aura trois équations et à l’aide desquelles on pourra déterminer facilement les valeurs de dès qu’on connaîtra celles de et

On peut trouver de semblables formules pour la détermination de et même, sans faire un nouveau calcul, il suffira de changer dans les précédentes en et en d’accentuer les lettres qui n’ont point d’accent et d’effacer l’accent de celles qui en ont un, sans toucher à celles qui ont deux accents. Il faut seulement observer que la quantité ne change point de valeur, mais seulement de signe, lorsqu’on change entre elles les masses et les lettres accentuées, ce qui se voit clairement par l’équation de l’Article V.

XIV.

Supposons, pour abréger,

et l’on aura ces trois équations

Comme les constantes sont arbitraires (Article II) et ne dépendent que de la position du plan de projection des orbites des Corps et autour du Corps il est facile de voir qu’on peut prendre ce plan de manière que l’on ait et car pour cela il suffira qu’on ait et au commencement du mouvement, c’est-à-dire, lorsque

Supposantdonc et on aura

donc

et, à cause de on aura

donc

de sorte qu’en faisant

on aura

et de là

XV.

Mais si l’on ne veut pas s’astreindre à la supposition de et ce qui oblige de prendre le plan de projection d’une manière déterminée, voici comment on pourra déterminer les quantités avec toute la généralité possible.

Soient

étant des coefficients indéterminés, et deux nouvelles variables ; on aura

donc, faisant

on aura l’équation (Article XIV)

Supposons maintenant que l’on ait

substituant les valeurs de et en et et comparant ensuite les termes qui contiennent les mêmes puissances de et on aura ces six équations

lesquelles, étant combinées avec les trois précédentes, serviront à déterminer les neuf inconnues

XVI.

Cela fait, on aura donc, à cause de l’équation

d’où

donc

Donc, si l’on fait

on aura

Ainsi l’on connaîtra les trois quantités à l’aide desquelles on pourra déterminer

Pour cela, on prendra les trois équations

et on les ajoutera ensemble après les avoir multipliées respectivement : 1o par 2o par 3o par on aura sur-lechamp, en vertu des équations de l’Article précédent,

XVII.

Maintenant, comme on a supposé

on aura, en substituant les valeurs de qu’on vient de trouver, et

comparant les termes homogènes,

et ces équations devront être identiques avec les six qu’on a trouvées ci-dessus (Article XV), et pourront par conséquent être employées à la place de celles-là pour la détermination des inconnues

Or, comme il faut satisfaire en même temps à ces trois autres équations (Article XV)

je remarque que, si l’on ajoute ensemble ces dernières équations après les avoir multipliées respectivement : 1o par 2o par on aura ces deux-ci

lesquelles s’accordent avec la cinquième et la sixième des précédentes ; ainsi l’on peut déjà réduire à une seule les trois équations dont il s’agit, et l’on y satisfera par la détermination de l’inconnue Or, si l’on ajoute ensemble les carrés de ces équations, on aura

en vertu des six équations ci-dessus ; de sorte qu’on aura

Donc il n’y aura plus qu’à satisfaire aux six équations trouvées plus haut c’est ce qu’on pourra exécuter de plusieurs manières à cause qu’il y a plus d’indéterminées que d’équations.

On aura d’abord

ensuite, si l’on chasse des deux équations

on aura

et, chassant on aura de même

d’où je conclus qu’on aura

étant une inconnue qu’on déterminera par l’équation

laquelle donnera

mais on a

à cause de

par les équations ci-dessus ; donc on aura

et il ne restera qu’à satisfaire à ces deux équations

Supposons, pour plus de simplicité,

On aura

de sorte que

et la seconde des deux équations précédentes deviendra

soit donc

et l’on aura, en faisant pour plus de simplicité

Donc

donc

et, tirant la racine carrée,

de sorte qu’on aura

et de là on trouvera les valeurs de par les formules précédentes.

On aura de cette manière

Si l’on substitue ces valeurs dans les expressions de et de l’Article XVI, il est facile de voir que les quantités et ne sont autre chose que les coordonnées rectangles de la même courbe, qui est représentée par les coordonnées mais rapportée à un autre plan de projection, dont la position dépend des angles et En effet, si l’on considère les deux plans des coordonnées et des coordonnées l’angle sera celui de l’inclinaison de ces deux plans, l’angle sera celui que la ligne d’interjection de ces plans fait avec l’axe des abscisses et l’angle sera celui que l’axe des abscisses comprend avec la même ligne d’intersection. Or, comme l’expression des coordonnées et est plus simple que celle des coordonnées il est clair que le plan de projection auquel appartiennent les coordonnées et est plus propre que tout autre plan pour y rapporter les mouvements des trois Corps, ou plutôt le mouvement relatif de deux de ces Corps autour, du troisième.

On voit donc que la position du plan de projection n’est point du tout indifférente, et que, parmi tous les plans possibles qu’on peut faire passer par le Corps il y en a un qui doit être choisi de préférence, parce que les mouvements des Corps et autour de sont par rapport à ce plan les plus simples qu’il est possible.

Cette remarque, qui me paraît de quelque importance dans le Problème des trois Corps, n’avait pas encore été faite, parce que personne, que je sache, n’avait jusqu’à présent envisagé ce Problème d’une manière aussi générale que nous venons de le faire.

XVIII.

Nous prendrons donc, à la place des coordonnées celles-ci pour représenter le mouvement du Corps autour de et comme l’on a, à cause de (Article XV),

il est clair que sera l’angle décrit par le Corps autour de dans le plan de projection, c’est-à-dire, la longitude du Corps dans ce même plan ; et que sera le sinus de la latitude. Ainsi on aura (Article XVI), à cause de

Pour le Corps

Pour le Corps

Les valeurs de et de sont données par les formules de l’Article XIV, et pour avoir celles de et il n’y aura qu’à changer dans celles-là l’accent zéro en et en zéro, et ensuite en et en

Quant à la quantité c’est une constante arbitraire qui dépend du mouvement initial des Corps ; mais il faudra la prendre telle, qu’elle s’accorde avec l’équation de l’Article XI dans laquelle le second membre est

de sorte qu’il n’y aura qu’à prendre pour la racine carrée de la valeur du premier membre de cette équation lorsqu’on y fait

XIX.

Les formules que nous venons de trouver servent à déterminer les orbites des Corps et autour du Corps par rapport à un plan fixe passant par ce même Corps ; mais il faut voir encore comment on peut déterminer, par leur moyen, la position mutuelle de ces orbites. Pour cela, nous commencerons par remarquer que si l’on considère le triangle formé à chaque instant par les trois Corps et dont les trois côtés sont et et qu’on nomme les trois angles opposés à ces côtés, on aura, comme on le sait, par la Géométrie élémentaire,

Or on a (Article VIII)

donc

étant l’angle formé au centre du Corps par les rayons recteurs et des deux autres corps et

Qu’on imagine maintenant deux plans passant, l’un par le Corps et par les deux points infiniment proches dans lesquels s’est trouvé le Corps au commencement et à la fin du temps infiniment petit et l’autre par le même Corps et par les deux points infiniment proches où le Corps était au commencement et à la fin du même temps ces deux plans seront ceux des orbites des Corps et autour de et ils se couperont nécessairement dans une ligne droite passant par le Corps laquelle sera donc la ligne des nœuds des deux orbites.

Soit l’inclinaison de ces deux plans l’un à l’autre, la distance du Corps à l’intersection des deux plans ou à la ligne des nœuds, c’est-à dire, l’angle compris entre le rayon et la ligne des nœuds, et la distance du Corps à la même ligne des nœuds, c’est-à-dire, l’angle formé par le rayon et la ligne des nœuds ; si l’on imagine une sphère décrite autour de comme centre, et que par les points où les deux rayons et la ligne des nœuds traversent la surface de cette sphère, dont nous supposerons le rayon égal à on mène des arcs de grands cercles, on aura un triangle sphérique dont les trois côtés seront et et dont l’angle opposé au côté sera de sorte qu’on aura, par les formules connues,

donc

Supposons maintenant que pendant le temps le Corps décrive autour de l’angle infiniment petit et que le Corps décrive l’angle il est clair que, tandis que les lignes croissent de leurs différentielles l’angle croîtra de et l’angle demeurera le même, parce qu’on suppose que la position des plans des orbites des Corps et est la même au commencement et à la fin de l’instant de même, en faisant croître les lignes de leurs différentielles il n’y aura que l’angle qui variera en croissant de Or, comme l’équation précédente doit être identique et indépendante de la loi des mouvements des Corps et il est clair qu’on pourra y faire varier les quantités et qui appartiennent au Corps indépendamment des quantités et qui appartiennent au Corps et vice versâ celles-ci indépendamment de celles-là ; d’où il suit qu’en faisant varier d’abord et ensuite et enfin les unes et les autres en même temps, on tirera de l’équation dont il s’agit les trois suivantes

Donc, si l’on fait dans toutes ces équations les substitutions de l’Article VIII, on aura ces quatre-ci

Or il est facile de concevoir que le carré du petit espace que parcourt le Corps dans le temps est exprimé également par et par de sorte qu’on aura

et par conséquent (Articles VIII et XI)

et de même

Ainsi les seconds membres des quatre équations précédentes seront tous donnés, dès qu’on connaîtra et en (Article cité) ; de sorte qu’on aura quatre équations entre les trois inconnues, et par lesquelles on pourra non-seulement déterminer ces trois inconnues, mais encore avoir une équation entre les quantités et cette équation sera la même que celle qu’on a déjà trouvée plus haut (Article X) par une voie bien différente.

XX.

Supposons, pour abréger, que les équations précédentes soient représentées ainsi

en faisant

il est facile de réduire ces quatre équations à ces deux-ci

lesquelles, à cause de l’ambiguïté des signes, équivalent réellement à quatre équations. Élevant ces deux équations au carré, et ensuite les ajoutant ensemble, on a

d’où, à cause de l’ambiguïté des signes, on tire

de sorte qu’éliminant on aura

Si l’on substitue dans cette équation les valeurs de comme aussi celles de et de on aura une équation qui sera la même que l’équation de l’Article X ; ce qui peut servir à confirmer la bonté de nos calculs.

L’équation

donnera

ce qui fera connaître l’inclinaison des deux orbites.

Connaissant on connaîtra aisément et car, en multipliant les deux équations

l’une par l’autre, on aura celle-ci

et de même les deux autres équations

étant multipliées ensemble, donneront

d’où l’on tire

ou bien, en mettant, à la place de sa valeur

tirée de l’équation trouvée ci-dessus, on aura, à cause de

d’où l’on tire

c’est-à-dire, en substituant les valeurs de et faisant attention que

ou bien (Article XII)

XXI.

Si l’on veut que les trois Corps se meuvent dans un même plan, on aura alors et par conséquents et donc

et par analogie

De sorte que les quantités et (Article XIV) seront nulles, et par conséquent les mouvements des trois Corps s’exécuteront dans le même plan que nous avons pris pour le plan de projection (Article XVIII). Or, si l’on substitue les valeurs de tirées des équations précédentes dans l’équation de l’Article XI on aura une équation en et par laquelle on pourra déterminer cette dernière quantité substituant ensuite la valeur de dans celles de on aura les valeurs de exprimées en et seulement ; ainsi, mettant ces valeurs de dans les équations de l’Article III on aura enfin trois équations en et lesquelles seront simplement différentielles du second ordre, au lieu que les équations générales de l’Article V montent au quatrième ordre, lorsqu’on les délivre des signes d’intégration.

Au reste je crois que, dans le cas même dont il s’agit, ces dernières équations seront toujours préférables, parce qu’elles ont l’avantage singulier de ne renfermer aucun radical, ce qui n’aurait point lieu dans les équations où l’on emploierait les valeurs de déterminées par les équations ci-dessus, valeurs qui renfermeraient nécessairement des radicaux carrés.

récapitulation.
XXII.

Pour résumer ce qui vient d’être démontré dans ce Chapitre, soient nommées : les masses des trois Corps ; les distances entre les Corps et et et et supposant, pour abréger,

on aura, en prenant l’élément du temps pour constant,
(H)
(I)
(K)

Ces équations serviront à déterminer les valeurs des distances en après quoi on pourra trouver directement et sans aucune intégiration les valeurs de tous les autres éléments, d’où dépend la détermination des orbites des Corps et autour du Corps

En effet, si l’on nomme

la vitesse du Corps autour de

on aura d’abord

(J)


Si l’on nomme ensuite

l’angle parcouru par le Corps autour de dans un plan supposé fixe et passant par c’est-à-dire, la longitude de
l’angle de la latitude de par rapport à ce même plan,
la longitude de
sa latitude,

et qu’on fasse, pour abréger,

en supposant

on aura sur-le-champ

et

Il faut remarquer que ces formules renferment deux constantes qui ne sont pas arbitraires, mais qui doivent être déterminées par des équations particulières ; ce sont l’une la constante et l’autre la constante qui peut être ajoutée à la valeur de déduite de l’équation par la voie de l’intégration.

Voici donc les équations qui serviront à déterminer ces constantes

(N)

en supposant

et

(P)

On pourrait, si l’on voulait, employer ces équations à la place de deux quelconques des équations  ; mais, comme elles sont assez compliquées, il vaudra mieux ne s’en servir que dans la détermination des constantes dont il s’agit ; et pour cela il est clair qu’on y pourra supposer partout .

Or si, pour plus de simplicité, on suppose que, lorsque on ait et que de plus les rayons coïncident, en sorte que l’angle compris entre ces rayons (Article XIX) soit nul, ce qui est toujours permis lorsque cet angle est variable, on aura, à cause de (Article cité),

donc

de sorte que l’équation deviendra

mais à cause de on aura donc aussi Ainsi il faudra prendre la valeur de en sorte qu’elle devienne nulle lorsque [1].

L’équation se simplifiera aussi beaucoup par les mêmes suppositions, et elle deviendra

(P')

où il faudra prendre pour les valeurs qui répondent à

Quant aux constantes qui pourront entrer dans les valeurs de et elles seront entièrement arbitraires et ne dépendront que des valeurs initiales de qui sont à volonté.

Enfin, si l’on nomme encore

l’angle élémentaire décrit par le Corps autour du Corps dans
l’instant
l’angle correspondant décrit par le corps autour de
l’inclinaison mutuelle des orbites des Corps et autour de
la distance du Corps au nœud de ces deux orbites,
la distance du Corps au même nœud,

on aura


CHAPITRE II.

SOLUTION DU PROBLÈME DES TROIS CORPS DANS DIFFÉRENTS CAS.

XXIII.

Nous allons examiner dans ce Chapitre quelques cas particuliers, où le Problème des trois Corps se simplifie beaucoup et admet une solution exacte ou presque exacte ; quoique ces cas n’aient pas lieu dans le Système du monde, nous croyons cependant qu’ils méritent l’attention des Géomètres, parce qu’il en peut résulter des lumières pour la solution générale du Problème des trois Corps.

XXIV.

Le premier cas qui se présente est celui où les trois distances seraient constantes, en sorte que le triangle formé par ces Corps demeurât toujours le même et ne fît que changer de position.

On aura dans ce cas

et par conséquent aussi

donc les trois équations deviendront

d’où l’on voit que les quantités seront pareillement con-

stantes, en sorte qu’on aura

moyennant quoi les équations se réduiront à celles-ci

lesquelles donneront ou ou . Examinons séparément ces deux cas.

XXV.

Soit d’abord

donc

de sorte que le triangle formé par les trois Corps sera équilatère ; les équations donneront donc

et, ces valeurs étant substituées dans les formules on aura

Maintenant on aura

donc

de plus l’équation donnera par conséquent

étant une constante arbitraire qui doit satisfaire à l’équation

Or on trouve

de sorte que l’équation dont nous parlons deviendra

c’est-à-dire,

d’où

Ainsi l’on aura satisfait à toutes les équations du Problème ; de sorte que la valeur de demeurera indéterminée ; d’où il s’ensuit que le système des trois Corps peut se mouvoir de manière que les trois Corps forment toujours un triangle quelconque équilatéral.

Ayant trouvé

on aura

donc

d’où l’on voit que les trois Corps seront toujours nécessairement dans un même plan.

On trouve ensuite

donc, à cause de et on aura

mais l’équation donnera

ou bien

par conséquent

donc


Ainsi les Corps et ne feront que tourner autour du Corps avec une vitesse angulaire constante et égale à

XXVI.

Examinons maintenant l’autre cas, où sans que soient nuls, et substituons d’abord dans les équations les valeurs de et tirées des équations ci-dessus ; on aura

d’où l’on voit que les vitesses relatives des Corps seront aussi constantes, mais non pas égales entre elles comme dans le cas précédent.

Or, puisqu’il faut que on aura donc aussi et l’équation deviendra

Ensuite l’équation deviendra (à cause de et )

savoir

ainsi, en combinant l’une ou l’autre de ces équations avec l’équation précédente on pourra, par leur moyen, déterminer deux quelconques des trois indéterminées et le Problème sera résolu.

Supposons d’abord on aura

donc, puisque sont supposées positives, on aura ces équations

d’où l’on tire

c’est-à-dire, que l’une des trois distances doit être égale à la somme des deux autres, ce qui montre que les trois Corps doivent être toujours rangés dans une même ligne droite.

Imaginons que les trois Corps soient rangés de suite dans la même direction, en sorte que l’on ait

et, faisant pour plus de simplicité il n’y aura qu’à substituer dans l’équation à la place de et à la place de l’inconnue s’en ira, et l’on aura une équation qui servira à déterminer On trouvera donc

et, ces substitutions étant faites dans l’équation , elle deviendra, après avoir été multipliée par

laquelle étant ordonnée par rapport à montera au cinquième degré, et aura par conséquent toujours une racine réelle.

Il est bon de remarquer ici que, quoique nous ayons supposé ayons la solution n’en renfermera pas moins tous les cas possibles, à cause que les distances étant prises sur une même ligne droite, peuvent être positives ou négatives, suivant la différente position des Corps.

Maintenant, à cause de

on aura

de sorte que, comme on a déjà on aura

ce qui montre que les trois Corps doivent se mouvoir dans un plan fixe.

XXVII.

Supposons maintenant l’autre facteur égal à zéro, on aura

Or les équations donnent

d’où, en multipliant par et mettant à la place de et leurs valeurs et on aura, à cause de

mais

par l’équation donc on aura simplement

et l’on trouvera de même par analogie

d’où il est facile de tirer

et par conséquent

donc

et de là, à cause de

Mais les mêmes équations donnent

donc, en substituant ces valeurs aussi bien que celles de et on aura

ou bien

D’où l’on voit que l’équation ne peut donner que celle-ci l’autre facteur de ne pouvant jamais devenir nul, à cause que les rayons et les masses sont des quantités positives.

XXVIII.

L’équation étant donc la seule qui puisse satisfaire au cas que nous examinons, ce cas n’aura lieu, comme nous l’avons vu plus haut, que lorsque les trois Corps seront rangés dans une même ligne droite, et que leurs distances seront dans le rapport exprimé par l’équation .

Or nous avons déjà trouvé que les trois Corps doivent se mouvoir dans un plan fixe ; de sorte que, connaissant la vitesse du Corps autour de il n’y aura qu’à la diviser par pour avoir la vitesse angulaire des Corps et mais, si l’on veut faire usage des formules générales de l’Article XXII on remarquera qu’à cause de on a (Article XXVII)

mais les équations donnent

donc, substituant les valeurs précédentes de et et faisant, pour abréger,

on aura

donc aussi

Ainsi on aura (Article XXII)

mais, à cause de on a

donc

donc l’équation deviendra

d’où

ensuite, à cause de et

XXIX.

Nous avons supposé ci-dessus que les rayons étaient constants, et nous avons vu que cela ne peut avoir lieu que dans deux cas, savoir lorsque ces trois rayons sont égaux entre eux, et lorsque l’un d’eux est égal à la somme des deux autres. Supposons maintenant que ces trois rayons soient seulement dans un rapport constant entre eux, et voyons dans quel cas cette condition pourra avoir lieu. Soit donc

et étant des quantités constantes, et l’on aura d’abord (Article XXII)

en faisant, pour abréger,

Donc l’équation deviendra

ou bien, en faisant

pour abréger,

et intégrant

étant une constante arbitraire égale à la valeur de lorsque

Ensuite on aura

donc, en intégrant,

et étant des constantes arbitraires.

Faisant toutes ces substitutions dans les équations et divisant ensuite la seconde par et la troisième par elles deviendront celles-ci

lesquelles devront être identiques ; de sorte qu’on aura ces conditions à remplir

1o
2o
3o

Ces deux dernières conditions peuvent toujours se remplir par le moyen des constantes indéterminées et  ; ainsi la difficulté ne consiste qu’à satisfaire à celles des groupes 1o et 2o.

Or, si l’on fait, pour abréger,

on pourra réduire les deux équations du groupe 1o à celles-ci, par des transformations analogues à celles de l’Article XXVII

Ainsi il n’y aura qu’à combiner ces deux équations avec celles du groupe 2o, savoir

ce qui fait deux cas que nous allons examiner séparément.

XXX.

Soit d’abord

donc

mais on a (Article XXIX)

donc

savoir

Or il est visible que la quantité ne saurait jamais devenir nulle, à cause que les masses sont des quantités positives ; ainsi il faudra que l’on ait et par conséquent aussi or, dans ce cas, on aura et les deux équations ci-dessus auront lieu d’elles-mêmes ; de sorte que toutes les conditions se trouveront remplies, et le Problème des trois Corps sera résoluble exactement dans l’hypothèse de

ce qui donnera

et par conséquent

c’est-à-dire, les distances entre les Corps égales entre elles, comme dans le cas de l’Article XIV ; mais avec cette différence, que dans le cas présent elles peuvent être variables.

Pour connaître le mouvement des Corps dans ce cas, on reprendra les équations différentielles de l’Article XXIX lesquelles, en faisant

se réduisent à cette équation unique

Multipliant par et intégrant ensuite, on aura

étant une constante arbitraire ; et de là

moyennant quoi on connaîtra en et vice versâ, en

Maintenant, puisque on aura

donc (Article XXII)

De plus, ayant on aura

et cette constante devra être déterminée en sorte qu’elle satisfasse à l’équation on peut donner pour cela à telle valeur qu’on voudra ; mais, en ne faisant aucune supposition particulière, l’équation devra être identique avec celle que nous avons trouvée ci-dessus pour la détermination de et leur comparaison donnera la valeur de

En effet, à cause de on aura

donc

et de même, à cause de on aura

donc

ensuite

et l’équation deviendra

ou bien

d’où l’on tire

Or on a déjà trouvé

donc, substituant cette valeur et résolvant l’équation, il viendra

Comparant donc cette équation avec la précédente, on aura

et par conséquent

d’où l’on voit que doit être nécessairement une quantité négative.

On aura ensuite

et

donc l’équation deviendra

d’où l’on tire

Or, puisqu’on a déjà trouvé

et que

on aura

d’ailleurs on a

donc on aura

et par conséquent

c’est-à-dire,

ce qui montre que les Corps et doivent se mouvoir dans un même plan fixe passant par le Corps

Maintenant, si l’on substitue dans les expressions de et les valeurs de et de trouvées ci-dessus, on aura

et par conséquent, en substituant la valeur ci-dessus de

qui est l’équation polaire d’une section conique rapportée au foyer, et dans laquelle est le grand axe et le paramètre.

Ainsi les Corps et décriront dans ce cas autour du Corps deux sections coniques semblables et égales, dont l’espèce et la forme dépendront des quantités arbitraires et lesquelles pourront se déterminer par les équations

en donnant à et les valeurs qui conviennent au premier instant.

XXXI.

Reste à examiner le cas où et or la supposition de réduit d’abord les équations à celles-ci

lesquelles donnent ou

ou bien

c’est-à-dire,

Or j’observe d’abord que ces deux dernières équations sont inutiles ; car on aurait d’abord ensuite, à cause de on aurait de sorte que l’équation deviendrait ce qui donnera on aurait donc ce qui rentre dans le cas que nous avons examiné ci-dessus.

Il faut donc faire de sorte que la solution du Problème sera renfermée dans ces trois équations

La première donnera (Article XXIX)

donc

et par conséquent

c’est-à-dire, que l’une des trois distances doit être égale à la somme des deux autres, et conséquemment que les trois Corps doivent être toujours rangés dans une même ligne droite.

Ce cas est donc analogue à celui de l’Article XXVI mais il est plus général, en ce que les distances entre les Corps peuvent être variables, pourvu que leurs rapports soient constants.

On déterminera ces rapports par l’équation et pour cela on pourra supposer, comme dans l’Article cité, que les trois Corps soient disposés de suite dans une même ligne droite, en sorte que ce qui donnera on substituera donc cette valeur de dans l’expression de de l’Article XXIX et l’on aura une équation en qui sera la même que l’équation de l’Article XXVI. Mais il faut voir encore si la condition de peut avoir lieu ; et comme la constante doit être déterminée par l’équation , tout se réduit à savoir si cette équation peut subsister en y faisant c’est-à-dire, à cause de (Article XXIX) et de

Or, en supposant et substituant pour et leurs valeurs (Article cité), on aura

mais, par la nature des quantités on a

de plus, on a, en vertu de l’équation

donc on aura aussi

de sorte que toutes les quantités précédentes seront nulles, et conséquemment l’équation se trouvera vérifiée d’elle-même.
XXXII.

Maintenant il est clair qu’à cause de et les trois équations différentielles de l’Article XXIX se réduiront à celle-ci

en faisant, pour abréger,

Cette équation étant donc multipliée par et ensuite intégrée, donnera

étant une constante arbitraire ; d’où l’on tire

moyennant quoi on déterminera en et par conséquent en

De plus, si dans les équations de l’Article XXII on substitue les valeurs de de l’Article XXIX on aura, en vertu des équations du groupe 1o du même Article,

donc

De là on trouvera

à cause de

et par conséquent

Donc, si l’on substitue ces valeurs dans l’équation , elle deviendra

d’où

d’où l’on voit que doit être une quantité négative.

Or, à cause de et de on aura

ce qui montre que les deux Corps et doivent se mouvoir dans un même plan fixe passant par le Corps et l’on trouvera ensuite pour les angles de rotation

Et, si l’on substitue la valeur de trouvée ci-dessus, on aura

équation polaire d’une section conique, rapportée au foyer, dans laquelle sera le grand axe et le paramètre.

XXXIII.

Nous venons donc de voir que le Problème des trois Corps est résoluble exactement, soit que les distances entre les trois Corps soient constantes, ou qu’elles gardent seulement entre elles des rapports constants, et cela dans deux cas, savoir lorsque les trois distances sont égales entre elles, en sorte que les trois Corps forment toujours un triangle équilatère, et lorsque l’une des distances est égale à la somme ou à la différence des deux autres, en sorte que les trois Corps se trouvent toujours rangés en ligne droite.

Or, si l’on suppose que les distances soient variables, mais de manière que leurs valeurs ne s’écartent que très-peu de celles qu’elles devraient avoir pour que l’un des cas précédents eût lieu, il est clair que le Problème sera résoluble à très-peu près, et par les méthodes connues d’approximation ; mais nous n’entrerons pas ici dans ce détail, qui nous écarterait trop de notre objet principal.

J’avoue, au reste, qu’on pourrait résoudre les Problèmes précédents d’une manière plus simple par les formules ordinaires du Problème des trois Corps entre les rayons vecteurs et les angles décrits par ces rayons, si l’on voulait se borner d’abord à l’hypothèse que les Corps se meuvent dans un même plan fixe ; mais il ne serait pas aisé, ce me semble, d’en venir à bout par les mêmes formules, si l’on supposait, comme nous l’avons fait, que les Corps pussent se mouvoir dans des plans différents.

CHAPITRE III.

MODIFICATION DES FORMULES DU CHAPITRE PREMIER, POUR LE CAS OÙ L’ON SUPPOSE QUE L’UN DES TROIS CORPS SOIT ÉLOIGNÉ DES DEUX AUTRES.

XXXIV.

Le cas que nous allons examiner a lieu dans le Système du monde, par rapport à ces trois Planètes, le Soleil, la Terre et la Lune, dont les deux dernières sont beaucoup plus éloignées de la première qu’elles ne le sont l’une de l’autre ; mais nous ne considérons ici le cas dont il s’agit que d’une manière générale, et seulement pour voir quelles modifications cette supposition doit apporter aux formules générales de l’Article XXII.

Supposons donc que le Corps soit beaucoup plus éloigné des Corps et que ceux-ci ne le sont entre eux, en sorte que les quantités et soient fort grandes par rapport à la quantité pour cela nous prendrons une quantité que nous supposerons constante et très-petite, et nous ferons

en sorte que et soient des quantités finies et comparables à Or, si l’on nomme, comme dans l’Article XIX, l’angle formé au centre du Corps par les rayons vecteurs et des Corps et on aura

d’où

ou bien

Donc, si l’on fait

on aura

donc

De là on aura

Donc (Article XXII)

et de là

Or, comme est une quantité très-petite de l’ordre de et que sont des quantités fort grandes de l’ordre de il est clair qu’en substituant les valeurs de ces quantités dans l’équation les termes ne pourront être homogènes, à moins que la masse ne soit infiniment grande de l’ordre vis-à-vis des deux autres.

Supposons donc et l’équation de l’Article XXII deviendra, après les substitutions,

d’où l’on voit que la quantité est de l’ordre de de sorte que la quantité sera aussi du même ordre.

Donc, si l’on fait, pour abréger,

on aura

et il faudra prendre la valeur de telle, qu’elle soit nulle lorsque .

XXXV.
De sorte que les valeurs de et deviendront

Donc, faisant toutes ces substitutions dans les équations elles deviendront

dont les deux dernières se réduisent à celles-ci

Ainsi l’on aura, à la place des équations de l’Article XXII les trois équations et dans lesquelles on n’a négligé que les quantités très-petites de l’ordre de et des ordres suivants, et ces équations serviront à trouver les valeurs de et en moyennant quoi le Problème sera résolu dans toute sa généralité, puisqu’il ne s’agira plus ensuite que de substituer ces valeurs dans les formules qui donnent les latitudes et les longitudes des Corps et (Article XXII). Or, comme la supposition de très-petit simplifie aussi beaucoup les substitutions dont il s’agit, nous allons donner encore les valeurs de et de exprimées en et mais nous ne pousserons pas la précision au delà des quantités de l’ordre de .

XXXVI.

Pour cela nous commencerions par chercher les valeurs des vitesses or, si dans les équations on substitue, à la place des quantités leurs valeurs tirées des équations on a, en général,

Donc, faisant ici les mêmes substitutions que ci-dessus, et supposant, pour abréger,

on aura

Or on a

donc

De plus, en faisant, pour abréger,

on aura

donc, substituant ces valeurs dans les expressions de et (Article XXII), et faisant encore

on aura, aux quantités de l’ordre près,

ou bien

la quantité étant une constante qu’on déterminera par l’équation comme on le verra ci-dessous.

Ainsi l’on connaîtra par ces formules les latitudes et des Corps et par rapport à un plan fixe passant par

On voit par là qu’on aura à très-peu près

ce qui donne un rapport bien simple et très-remarquable entre les latitudes des Corps et

XXXVII.

On trouvera ensuite

et, à cause de

on aura de même (Article XXII)

Donc, si l’on substitue ces valeurs dans les expressions de et et que l’on fasse, pour abréger,

on aura

XXXVIII.

Voyons maintenant comment on doit déterminer la constante et les autres constantes du Problème. Pour cela, on supposera, comme dans l’Article XXII que, lorsque on ait

par conséquent

à cause de et l’équation de l’Article cité donnera


d’où l’on tirera aisément la valeur de en ayant soin de rapporter les valeurs de et de au point où

De plus on se souviendra que la valeur de doit être prise en sorte qu’elle soit nulle lorsque .

XXXIX.

Au reste il est bon de remarquer que, dès que l’on aura trouvé les latitudes et on pourra avoir aisément les valeurs des vitesses en longitude et par le moyen des vitesses réelles et

En effet, nommant l’angle décrit par le rayon dans le temps on aura, comme nous l’avons vu dans l’Article XIX

or il est facile de voir que

donc

donc

donc, en substituant les valeurs de et on aura

Ces formules peuvent quelquefois être plus commodes que les précédentes, surtout lorsque les quantités varient très-peu, et que les latitudes sont fort petites.

CHAPITRE IV.

DE LA THÉORIE DE LA LUNE.

§ I. — Application des formules des Chapitre précèdent
à cette Théorie.
XL.

Pour faire cette application, il n’y a qu’à imaginer que le Corps que nous avons regardé comme immobile et auquel nous avons rapporté les mouvements des deux autres, soit la Terre, que le Corps soit la Lune, et que le Corps que nous avons supposé beaucoup plus éloigné du Corps que ne l’est le Corps soit le Soleil, dont la distance à la Terre est en effet très-grande par rapport à la distance entre la Terre et la Lune. Ainsi sera le rayon vecteur de l’orbite de la Lune autour de la Terre, le rayon vecteur de l’orbite apparente du Soleil, et sera la distance rectiligne entre le Soleil et la Lune.

De plus représentera la latitude de la Lune par rapport à un plan fixe que nous prendrons pour l’écliptique, et représentera la latitude du Soleil ; sera la longitude de la Lune et celle du Soleil, comptées à l’ordinaire dans l’écliptique.

Pour savoir quel est ce plan que nous prenons ici pour l’écliptique, et que nous avons vu dans le Chapitre I être celui par rapport auquel les mouvements des Corps et sont les plus simples qu’il est possible, nous remarquerons que, d’après les suppositions de l’Article XXXVIII, on trouve, lorsque

de sorte qu’on aura aussi [Article XXXVI formule ]

donc, puisqu’on a en même temps (Article XXXVIII)

il s’ensuit que le plan dont il s’agit est celui dans lequel le Soleil et la Lune se trouvent en même temps, lorsqu’ils sont à la fois en conjonction et dans leurs apsides.

Maintenant, puisque nous avons fait (Article XXXIV)

on aura

de sorte que, si l’on suppose (ce qui est permis) que les valeurs moyennes de et de soient égales à l’unité, on aura égal à la valeur moyenne de c’est-à-dire,


or, en prenant pour la parallaxe horizontale moyenne de la Lune et pour celle du Soleil, on aurait à très-peu près ; d’où l’on voit que la quantité sera en effet très-petite.

Or, comme les observations nous apprennent que les orbites de la Lune et du Soleil sont presque circulaires, il est clair que les variations-des quantités et devront être fort petites ; de sorte que, si l’on fait

et devront être des quantités assez petites par rapport à l’unité ; et de plus elles ne devront contenir aucun terme constant ; autrement les valeurs moyennes de et ne seraient plus égales à contre l’hypothèse.

Donc le carré de la vitesse angulaire de la Lune sera à peu près égal à ou égal à

et le carré de la vitesse angulaire du Soleil autour de la Terre sera à peu près égal à ou égal à (Article XXXVI).

Mais on sait que la vitesse angulaire de la Lune est à celle du Soleil environ comme à de sorte que leurs carrés sont à peu près entre eux comme à d’où l’on voit que la quantité doit être beaucoup plus petite que la quantité et cela dans une raison peu différente de à Donc, si l’on suppose, ce qui est permis,

et que l’on fasse

on aura environ, et sera presque égal à en sorte que l’on pourra regarder les quantités et comme du même ordre.

De plus on a, comme on sait,

le nombre étant, par la Théorie de la précession des équinoxes de M. d’Alembert, égal à environ et par celle des marées de M. Daniel Bernoulli égal à donc, puisque (Article XXXIV)

on aura

ainsi les quantités et seront à peu près du même ordre .

Au reste, pour ce qui regarde la vraie valeur de il faudra la déterminer par le rapport connu entre le mouvement moyen du Soleil et celui de la Lune, rapport qui est, suivant les nouvelles Tables de M. Mayer, de

à

Quant au coefficient qui est encore assez incertain, comme il se trouve partout multiplié par les coefficients très-petits et il suffira de le connaître à peu près, puisque l’erreur qui en pourrait résulter ne serait que de l’ordre de

XLI.

On fera donc toutes ces substitutions dans les formules du Chapitre précédent, et, mettant pour plus de simplicité il la place de on aura

Or, comme les quantités et sont assez petites, on aura assez exactement

De sorte qu’en substituant ces valeurs dans les équations précédentes, et mettant de plus dans les trois dernières la valeur de irée de la première par l’intégration, on aura trois équations en et qui seront intégrables, du moins par approximation, par les méthodes connues, puisque les variables seront toutes sous une forme rationnelle et entière.

XLII.

Ensuite on aura (Article XXXVI)

et de là

moyennant quoi on aura

enfin les formules de l’Article XXXIX donneront

et quant à la constante on la déterminera par l’équation

en y faisant

On se souviendra au reste que les valeurs de et doivent être prises en sorte que soient nulles lorsque et que devienne alors

de plus il faudra aussi que la valeur de irée par l’intégration de l’équation soit telle, qu’elle s’évanouisse lorsque

§ II. — De l’intégration des équations qui donnent les mouvements
de la Lune et du Soleil.
XLIII.

Le Problème des mouvements de la Lune et du Soleil se réduit à la recherche des quantités et lesquelles dépendent de l’intégration des équations de l’Article XLI, à quoi il faut joindre l’équation comme subsidiaire. Si les variables ne se trouvaient dans les équations que sous la forme linéaire, l’intégration serait facile par les méthodes connues ; or il est aisé de voir que les termes où ces variables se trouvent multipliées entre elles sont tous fort petits, à cause que les coefficients et sont très-petits et que les variables et sont aussi supposées fort petites ; ainsi l’on pourra d’abord négliger les termes dont nous venons de parler, pour pouvoir trouver les premières valeurs approchées des variables, et ces valeurs serviront ensuite a en trouver d’autres plus exactes, et ainsi de suite.

Pour donner un essai du calcul qu’il faudra faire pour cet objet, nous rejetterons d’abord dans-les équations du paragraphe précédent tous les termes multipliés par et qui dépendent de la parallaxe du Soleil ; l’erreur sera d’autant plus petite que ces termes sont en même temps multipliés par la quantité très-petite

De cette manière, les équations deviendront

où il n’y aura plus qu’à réduire en série les puissances de et

XLIV.

Négligeons encore les produits de deux ou de plusieurs dimensions de et on aura, à la place des équations précédentes, celles-ci

lesquelles, en substituant la valeur de se réduisent à ces trois-ci

XLV.

Comme les variables et sont supposées fort petites vis-à-vis de la variable \scriptstyle\mathrm Y\displaystyle qui est finie, on peut d’abord négliger dans l’équation les termes qui renferment et on aura ainsi cette première équation approchée


laquelle étant différentiée deux fois devient

qui est intégrable par les méthodes connues.

Pour en trouver l’intégrale, il n’y a qu’à supposer ou bien, puisqu’on veut que lorsque on fera simplement

et l’on aura, après les substitutions, cette équation en

d’où l’on tire

ou bien, en négligeant les puissances de plus hautes que la seconde,

et

Donc, dénotant par l’une de ces valeurs et par l’autre, on aura

et étant des constantes indéterminées qui doivent être telles, que lorsque on ait ce qui donne

Cherchons maintenant, d’après cette première valeur approchée de celle de par les formules de l’Article XLII ; on aura en négligeant les quantités et donc aussi et [équation ] : donc,

et

Or

donc

en négligeant les puissances supérieures de donc

mais

donc

donc

donc enfin

Or, comme on doit avoir on peut supposer

et l’on aura

l’angle étant arbitraire et dépendant de l’inclinaison primitive de l’orbite de la Lune en effet, il est clair que la plus grande valeur de sera de sorte que exprimera la plus grande latitude, c’est-à-dire, l’inclinaison de l’orbite ; donc, puisqu’on sait par les observations que l’inclinaison de l’orbite lunaire est assez petite, et d’environ la constante sera toujours très-petite et la constante presque égale à l’unité ; car on aura à peu près

environ

de sorte que la quantité est encore plus petite que la quantité qui exprime le rapport des parallaxes de la Lune et du Soleil ; d’où il s’ensuit que l’on pourra négliger sans scrupule les termes qui se trouveront multipliés par le carré et les puissances plus hautes de .

XLVI.

Il est facile de voir, par l’expression de qu’on vient de trouver, que l’angle n’est autre chose que la distance de la Lune au nœud, c’est-à-dire, l’argument de latitude ; d’où il s’ensuit que, si l’on retranche cet angle de la longitude de la Lune dans son orbite, on aura la longitude du nœud. Donc, si dénote la longitude moyenne de la Lune, on aura pour la longitude moyenne du nœud ; or, les longitudes moyennes étant à peu près les mêmes dans les orbites des planètes et dans l’écliptique, sera la valeur moyenne de et sera par conséquent égale à ce qu’il doit y avoir de constant dans la valeur de Or les formules de l’Article XLII donnent, en rejetant et

et, à cause de on aura

à peu près.

Mais on a aussi

d’où l’on voit que la position du nœud est fixe, du moins par cette première approximation ; ce qui ne doit pas paraître surprenant, vu que les valeurs de et ne peuvent tout au plus être censées exactes qu’aux quantités de l’ordre de près.

Pour savoir maintenant laquelle des deux valeurs

doit être prise pour on remarquera qu’en supposant l’inclinaison de l’orbite nulle on a

mais on a (Articles XXXIV et XLI)

donc

puisque n’est autre chose que l’angle compris entre les deux rayons et donc

en nommant et les valeurs moyennes de et de or on a déjà trouvé et, pour avoir on prendra la partie constante de

qui est de sorte que et par conséquent

donc

Ainsi il faudra toujours avoir soin dans la suite de prendre pour une valeur telle, que ses deux premiers termes soient et pour une valeur dont les deux premiers termes soient cette remarque est d’autant plus importante que les quantités et seront données dorénavant par des équations particulières dont chacune montera cependant au quatrième degré, comme on le verra ci-après.

XLVII.

Ayant trouvé la première valeur approchée de on la substituera dans l’équation qui donne la valeur de en y négligeant d’abord les termes où et sont mêlés ; ce qui la réduit à celle-ci

or, puisque

on aura, en négligeant les

et

donc, substituant ces valeurs, et rejetant tous les termes constants, à cause qu’il ne doit y en avoir aucun dans la valeur de par l’hypothèse, on aura

Ainsi la valeur de sera de cette forme

et, la substitution faite, on aura

Donc, égalant à zéro les coefficients de chaque cosinus, on aura les équations suivantes

d’où l’on tire

La constante qui est demeurée indéterminée, dépend de l’excentricité de l’orbite lunaire, et doit par conséquent être fixée par les observations.

Ainsi l’angle représentera l’anomalie moyenne de la Lune, c’est-à-dire, sa distance à l’apogée ; de sorte que sera la longitude moyenne de l’apogée, étant, comme plus haut, celle du lieu de la Lune mais, comme nous avons négligé dans l’équation des termes où se trouve multiplié par on doit s’attendre à ce que la valeur de ne sera exacte qu’aux quantités de l’ordre de près ; c’est pourquoi on aura dans cette première approximation et en rejetant les ce qui donnerait les apsides fixes.

Venons maintenant à l’équation qui donne la valeur de et comme cette quantité ne doit contenir aucun terme tout constant, il est clair qu’on aura simplement

et que la valeur de sera de cette forme

d’où l’on trouvera, par la substitution,

Le coefficient indéterminé dépend de l’excentricité de l’orbite du Soleil, et est par conséquent l’angle de l’anomalie moyenne : de sorte que sera la longitude de l’apogée du Soleil, qui est ici nulle à cause que

XLVIII.

Puisque l’on connaît déjà la forme des premiers termes des valeurs et on pourra aisément trouver les suivants et rectifier en même temps les coefficients de ceux qu’on a déjà trouvés ; pour cela, il n’y aura qu’à substituer dans les termes négligés des équations proposées les valeurs qu’on vient de trouver, et l’on aura la forme des termes qu’il faudra introduire dans les nouvelles valeurs de et on donnera à tous les termes des coefficients indéterminés, et, la substitution faite, on fera égaux à zéro les termes analogues, c’est-à-dire, ceux qui renferment les mêmes cosinus ; on aura par là autant d’équations qu’il en faudra pour la détermination de tous les coefficients.

Ainsi, reprenant l’équation et substituant dans les termes qui renferment et les valeurs de et trouvées ci-dessus, il viendra des termes de la forme

on supposera donc

et, prenant pour et les expressions de l’Article XLVII on aura l’équation suivante, dans laquelle j’ai négligé les quantités affectées de de et de à cause que l’on a négligé dans l’équation les termes

où se trouvait à la seconde dimension,

On égalera donc à zéro les coefficients de ces différents cosinus, et l’on aura :

1o

équation d’où l’on tirera la même valeur de que ci-dessus (Article XLV), de sorte qu’on aura

et l’on sera maintenant assuré que cette valeur est exacte jusqu’aux quantités de l’ordre de inclusivement ;

2o

or, comme nous négligeons les quantités de l’ordre de on aura (en mettant pour et leurs valeurs approchées)

de sorte que, à cause de et (Article XLVII), l’équation précédente se réduira à

ou bien

d’où l’on tire d’abord, aux quantités de l’ordre près, en ayant égard à la remarque de l’Article XLVI,

et de là

on aura donc ici

par conséquent le mouvement moyen du nœud qui est représenté par (Article XLVI) sera ce qui s’accorde avec les observations ;

3o

4o

5o

d’où l’on tire à peu près

XLIX.

On repassera présentement à l’équation pour trouver une valeur de plus exacte que celle de l’Article XLVII.

Pour cet effet, on commencera par substituer dans les termes de cette dernière équation qui suivent les deux premiers, à la place de et leurs valeurs trouvées dans les Articles précédents, et négligeant les quantités de l’ordre de aussi bien que celles qui seraient affectées de multipliée par et à cause que nous avons rejeté dans la même équation les termes de l’ordre dans lesquels et pouvaient former ensemble des produits de deux dimensions, on aura par ces substitutions des termes de la forme

c’est pourquoi on supposera

et substituant cette valeur de aussi bien que celles de et des Articles précédents, on aura, en négligeant ce qu’on doit négliger,

Ainsi il n’y aura plus qu’à égaler à zéro les coefficients de ces différents cosinus, pour déterminer les inconnues

Le coefficient de donnera la valeur de exacte jusqu’aux quantités de l’ordre de inclusivement, et l’on aura, à cause de et (Article précédent), l’équation

ou bien

d’où, en mettant pour et leurs valeurs approchées on tire

de sorte que le mouvement de l’apogée deviendra à cause de

Comme notre dessein n’est point de donner ici une Théorie complète de la Lune, nous nous contenterons de ce léger essai, qui peut suffire pour donner une idée de la méthode qu’il faudra suivre dans l’intégration des équations différentielles de l’Article XLI auxquelles nous avons réduit le Problème des mouvements de la Lune et du Soleil autour de la Terre.

Quand on aura trouvé les valeurs de et en c’est-à-dire, de et on aura d’abord les latitudes et par les formules de l’Article XLII, et ensuite on aura les longitudes et par les formules du même Article ; ou bien, comme en connaissant et on connaîtra

or est l’angle qui exprime la distance de la Lune au Soleil, de sorte que, comme la latitude du Soleil est très-petite et peut par conséquent être négligée, on aura, par la propriété connue des triangles sphériques rectangles, et par conséquent

Ainsi l’on aura par ce moyen la distance de la Lune au Soleil comptée sur l’écliptique ; mais la longitude du Soleil est assez connue par la loi de Kepler, que cet astre suit assez exactement, puisque les dérangements que la Lune pourrait y produire ne seraient que de l’ordre de ou de comme on le voit par l’équation de l’Article XLI ; donc, en ajoutant cette longitude à la distance des deux astres, on aura la longitude de la Lune comptée à l’ordinaire dans l’écliptique.

Le Chapitre premier du Mémoire qu’on vient de lire mérite d’être compté parmi les travaux les plus importants de l’illustre Auteur. Les équations différentielles du Problème des trois Corps, lorsqu’on ne considère, ce qui est permis, que des mouvements relatifs, constituent un système du douzième ordre, et la solution complète exige, on conséquence, douze intégrations les seules intégrales connues étaient celle des forces vives et les trois que fournit le principe des aires : il en restait donc huit à découvrir. En réduisant à sept le nombre des intégrations nécessaires pour l’achèvement de la solution, Lagrange a fait faire à la question un pas considérable, et les géomètres qui se sont occupés après lui du Problème des trois Corps ne sont pas allés au delà. Leurs efforts, cependant, n’ont pas été inutiles des méthodes nouvelles et ingénieuses ont été proposées, comme, par exemple, celle que Jacobi a développée dans son célèbre Mémoire sur l’élimination des nœuds dans le Problème des trois Corps ; mais ces méthodes, comme celle de Lagrange, font dépendre la solution du Problème de sept intégrations.

La méthode de Lagrange est des plus remarquables ; elle montre que la solution complète du Problème exige seulement que l’on connaisse à chaque instant les côtés du triangle formé par les trois Corps ; les coordonnées de chaque Corps se déterminent effectivement ensuite sans aucune difficulté. Quant à la recherche du triangle des trois Corps, elle dépend de trois équations différentielles, parmi lesquelles deux sont du deuxième ordre et la troisième du troisième ordre ; ces équations renferment deux constantes arbitraires introduites, l’une par le principe des forces vives, l’autre par celui des aires, en sorte que les distances des Corps sont des fonctions du temps et de neuf constantes arbitraires seulement. Parmi les douze arbitraires que l’intégration complète doit introduire, il y en a donc trois qui ne figurent pas dans les expressions des distances, circonstance que l’examen des conditions du Problème permet d’ailleurs de mettre en évidence à priori.

Préoccupé assurément de l’application qu’il voulait faire de sa nouvelle méthode à la Théorie de la Lune, application qui fait l’objet du Chapitre IV de son mémoire, Lagrange a négligé d’introduire dans ses formules la symétrie que comportait son analyse, symétrie qu’un trèsléger changement dans les notations permet de rétablir. Les masses des trois Corps étant représentées par Lagrange étudie les mouvements relatifs de et autour de et il est bientôt amené à introduire en outre, dans ses formules, les quantités qui se rapportent au mouvement relatif du Corps autour de Une telle direction des calculs est incontestablement défectueuse, au point de vue de l’élégance mathématique, en ce sens que les coordonnées des trois orbites relatives considérées ne figurent pas symétriquement dans les formules ; mais, pour éviter cet inconvénient, il suffit, comme nous venons de le dire, d’une simple modification dans les notations de l’illustre Auteur, et cette modification revient à introduire, au lieu des mouvements considérés 1o le mouvement relatif du Corps autour de 2o celui de autour de 3o celui de autour de

Un habile géomètre allemand, M. Otto Hesse, a repris récemment l’analyse de Lagrange en se plaçant au point de vue que nous venons d’indiquer, et il a publié son travail dans le tome LXXIV du Journal de Crelle (imprimé à Berlin en 1872). M. Hesse ne considère que ce qu’il nomme le Problème restreint, c’est-à-dire, celui qui a pour objet de déterminer il chaque instant le triangle des trois Corps ; c’est à ce Problème restreint que Lagrange a ramené d’ailleurs, comme nous l’avons dit plus haut, le Problème général. M. Hesse, malgré son incontestable talent, n’a pas réussi à perfectionner l’analyse rigoureuse que nous devons à Lagrange, car une inadvertance l’a fait tomber dans une erreur grave, que nous indiquerons plus loin, et qui infirme absolument sa conclusion. Ajoutons que la notation particulière dont le géomètre allemand fait usage, pour abréger l’écriture des formules, ne paraît pas préférable à celle de son illustre devancier.

Pour justifier les remarques qui précèdent, il est nécessaire d’entrer dans quelques détails ; nous le ferons d’une manière succincte, en introduisant dans l’analyse de Lagrange les modifications nécessaires pour rétablir la symétrie des formules, et en dégageant la solution de tout ce qui n’est qu’accessoire.

1. Soient les coordonnées rectangles du Corps par rapport à celles du Corps par rapport à celles de par rapport à on aura

(1)

Soient aussi

(2)

Les équations différentielles du mouvement forment trois groupes dont l’un est

(3)

et dont les deux autres se déduisent du précédent en changeant en et en À cause des formules (1), les équations de chaque groupe peuvent être réduites à deux distinctes ; ces équations coïncideraient avec les équations de Lagrange, si l’on y faisait le simple changement de en

Du groupe (3) et des deux groupes analogues on déduit

équation qui subsiste quand on exécute la substitution circulaire et qu’on répète cette substitution. On conclut de là les trois intégrales des aires, savoir

(4)

étant trois constantes arbitraires.

Ensuite, si l’on fait

(5)

et que l’on ajoute ensemble les équations du groupe (3) et des deux analogues, après avoir multiplié ces équations respectivement par

on aura

(6)
ce qui donne, par l’intégration, l’équation des forces vives, savoir
(7)

étant une constante arbitraire.

2. Posons

(8)

ou, ce qui revient au même,

(9)

on aura

(10)

faisons en outre

(11)

ce qui donnera

(12)

Si l’on différentie deux fois la promière équation (2), après l’avoir élevée au carré, on aura

et cette formule subsiste quand on y remplace par ou par Si donc on multiplie les équations (3) par respectivement, et qu’on ajoute ensuite chacune des équations résultantes avec celles qu’on en déduit par le changement de en et en on aura, en vertu de la formule précédente,

(13)

Ces formules (13) répondent aux formules (F) de Lagrange, ou, ce qui revient au même, aux, formules (K), en tenant compte des formules, (J) de l’Auteur.

Ajoutons les quatre équations (13) et (7), après avoir divisé les trois premières par respectivement ; on aura

(14)

Cette équation coïncide avec l’équation (L) de Lagrange, quand on y permute les lettres et c’est une transformée de l’intégrale des forces vives ; elle ne renferme que les seules distances

3. D’après les formules (1), les trois quantités

sont égales entre elles. Si l’on désigne par leur valeur, on aura, par le moyen des formules (8)

(15)

La quantité auxiliaire que nous introduisons n’est autre chose que celle qui est désignée par dans le Mémoire de Lagrange ; il est évident que cette quantité peut être exprimée en fonction des vitesses des distances et de leurs différentielles En effet, considérons quatre directions respectivement parallèles à celles des rayons et des vitesses soient les cosinus des angles formés par la direction de avec les directions de les cosinus des angles formés par les directions de et de et de et On aura entre ces six cosinus la relation connue

(16)

On a d’ailleurs, par les formules précédentes,

(17)

Faisons, pour abréger, avec Lagrange,

(18)

d’où

(19)

et

(20)

l’équation (16) deviendra, après la substitution des valeurs (17),

(21)

c’est précisément l’équation (N) de Lagrange. Si l’on suppose que y soient remplacées par leurs valeurs tirées des équations (12), la quantité auxiliaire ne dépendra que des distances et de leurs différentielles du premier et du deuxième ordre.

4. Puisque l’on a

il s’ensuit, par la différentiation.

et, si l’on élimine les différentielles secondes des coordonnées au moyen des équations (3) et de celles qui s’en déduisent par le changement de en et en on aura

(22)

cette équation n’est autre que l’équation (H) de Lagrange, en tenant compte du changement de notation.

5. Revenons maintenant aux équations (4) on a identiquement

et, cette formules subsiste quand on écrit ou au lieu de ou bien ou au lieu de D’après cela, si l’on fait

et que l’on ajoute les équations (4), après les avoir élevées au carré, on aura, en faisant usage de la précédente formule, ainsi que des formules (2), (5), (15) et (18),
(23)

ce qui est l’équation (P) de Lagrange.

Si maintenant on suppose que soient remplacés partout par les valeurs tirées des formules (13), et que, par le moyen de l’équation (21), soit éliminé des équations (22) et (23), celles-ci ne contiendront plus que les distances la première sera du troisième ordre et l’autre du deuxième ; en les joignant à l’équation (14), on obtiendra le système différentiel indiqué par Lagrange. Ce qui précède résume la partie essentielle du Mémoire de l’Auteur.

6. Différentions les équations (5) et remplaçons ensuite les différentielles secondes par les valeurs tirées des équations (3) et des analogues on aura, en faisant usage des formules précédentes,

(24)

Ces formules coïncident avec les équations (I) de Lagrange, quand on tient compte des équations (J) de l’Auteur. M. Hesse leur substitue les trois combinaisons obtenues quand on les ajoute entre elles, après les avoir multipliées respectivement par puis par puis enfin par La première combinaison n’est autre chose que l’équation (6) ; la deuxième combinaison donne, en se servant des formules (12),

(25)
enfin la dernière combinaison, qui seule contient est, en faisant usage de l’équation (22),
(26)

Supposons que l’on différentie l’équation (23), ce qui fera disparaître l’arbitraire et que de l’équation résultante on tire la valeur de pour la substituer dans l’équation (26). Alors, comme représentent les valeurs fournies par les équations (13), les équations (6), (25) et (26), qui sont toutes du troisième ordre et ne renferment aucune arbitraire, constitueront, d’après M. Hesse, le système différentiel duquel dépendent les distances quand on ne fait pas intervenir les principes des forces vives et des aires. Enfin, si des mêmes équations (6), (25) et (26) on tire les valeurs de pour les porter dans l’une des équations (24), celle-ci donnera, d’après le même géomètre, une valeur de qui sera seulement du deuxième ordre en portant cette valeur dans l’équation (23) et enjoignant ensuite cette équation aux équations (14) et (26), on obtiendra un système composé de deux équations du deuxième ordre et d’une du troisième ordre, dans lequel figureront les deux constantes arbitraires et

Telle est la solution que M. Hesse propose dans son Mémoire. Cette solution paraît, à première vue, beaucoup plus simple que celle de Lagrange, mais il n’est pas difficile de reconnaître l’inexactitude de la conclusion de M. Hesse. Effectivement l’équation (26), après qu’on en a éliminé par l’équation (23) différentiée, n’est pas autre chose que l’équation (6) multipliée par le facteur les trois équations du troisième ordre qui composent le premier système de M. Hesse ne sont donc pas distinctes. Le deuxième système du même géomètre ne saurait, en conséquence, avoir d’existence réelle, puisque les équations du premier système sont impropres à fournir les valeurs des différentielles du troisième ordre, ou, ce qui revient au même, les valeurs des différentielles On ne saurait se dispenser, dans la recherche dont nous nous occupons, de tenir compte de l’équation (21), comme Lagrange a eu soin de le faire.

(Note de l’Éditeur.)

Séparateur

  1. ↑ Il faut remarquer que, dans le cas dont il s’agit ici, l’équation est encore satisfaite si l’on prend
    (Note de l’Éditeur.)
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