Mémoires extraits des recueils de l’Académie des sciences de Paris et de l’Institut de France/Recherches sur les inégalités des satellites de Jupiter causées par leur attraction mutuelle

Joseph-Louis Lagrange

Recherches sur les inégalités des satellites de Jupiter causées par leur attraction mutuelle

Mémoires extraits des recueils de l’Académie des sciences de Paris et de l’Institut de France, Gauthier-Villars, 1868, Œuvres de Lagrange. Tome VI (p. 67-225).

RECHERCHES
SUR LES
INÉGALITÉS DES SATELLITES DE JUPITER
CAUSÉES PAR LEUR ATTRACTION MUTUELLE.

Multùm adhuc restat operis.

Sen., Epist. 64.

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(Prix de l’Académie Royale des Sciences de Paris, tome IX, 1766.)

CHAPITRE PREMIER.

FORMULES GÉNÉRALES POUR LE MOUVEMENT DES SATELLITES DE JUPITER.

I.

Soient nommés :

$r\quad$ le rayon vecteur de l’orbite d’un satellite quelconque projetée sur le plan de l’orbite de Jupiter ;

$p\quad$ la tangente de la latitude du satellite par rapport à ce même plan ;

$\mathrm {F} \quad$ la force que Jupiter exerce sur le satellite à la distance 1.
On aura la distance du satellite au plan de l’orbite de Jupiter égale à $rp.$ Donc la distance du satellite au centre de Jupiter sera $r{\sqrt {1+p^{2}.}}$
Par conséquent la force par laquelle le satellite est poussé vers Jupiter sera ${\frac {\mathrm {F} }{r^{2}\left(1+p^{2}\right)}}.$

Cette force peut être regardée comme composée de deux autres : l’une parallèle au rayon vecteur et égale à ${\frac {\mathrm {F} }{r^{2}\left(1+p^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\,;$ l’autre perpendiculaire au plan de l’orbite de Jupiter et égale à ${\frac {\mathrm {F} p}{r^{2}\left(1+p^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}.$

Or on peut, en général, réduire les forces perturbatrices du satellite à trois forces uniques, dont :

La première, que j’appelle $\mathrm {R} ,$ soit parallèle au rayon $r\,;$

La seconde, que j’appelle $\mathrm {Q} ,$ soit perpendiculaire au rayon vecteur, et parallèle au plan de l’orbite de Jupiter ;

La troisième, que j’appelle $\mathrm {P} ,$ soit perpendiculaire à ce même plan.

Donc le satellite sera sollicité, dans les directions dont nous parlons, par les forces

${\frac {\mathrm {F} }{r^{2}\left(1+p^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}+\mathrm {R} ,\quad \mathrm {Q} ,\quad {\frac {\mathrm {F} p}{r^{2}\left(1+p^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}+\mathrm {P} \,;$

dont les deux premières déterminent le mouvement que le satellite doit avoir dans le plan de l’orbite de Jupiter, ou pour mieux dire, parallèlement à ce plan.

II.

Cela posé, soient

$t\quad$ le temps écoulé depuis le commencement du mouvement ;

$\varphi \quad$l’angle décrit par le rayon $r$ durant ce temps ; l’élément du temps $dt$ constant, c’est-à-dire, $d\,dt=0.$

On aura pour la vitssse circulatoire du satellite, parallèlement au plan de l’orbite de Jupiter, ${\frac {rd\varphi }{dt}},$ d’où résulte la force centrifuge ${\frac {r^{2}d\varphi ^{2}}{rdt^{2}}}={\frac {rd\varphi ^{2}}{dt^{2}}},$ laquelle étant retranchée de la force ${\frac {\mathrm {F} }{r^{2}\left(1+p^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}+\mathrm {R} ,$ on aura la véritable force qui tend à diminuer le rayon $r$.

Donc, par le principe des forces accélératrices, on aura

(A)

$-{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}={\frac {\mathrm {F} }{r^{2}\left(1+p^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}+\mathrm {R} -{\frac {rd\varphi ^{2}}{dt^{2}}}.$

Maintenant on sait que, si la force perpendiculaire $\mathrm {Q}$ était nulle, le rayon $r$ décrirait des aires proportionnelles aux temps, de sorte que l’on aurait, à cause de $dt$ constant,

$d({\frac {r^{2}d\varphi }{2}})=0\,;$

mais la force $\mathrm {Q}$ fait parcourir perpendiculairement à $r$ l’espace $\mathrm {Q} dt^{2}$ pendant le temps $dt\,;$ donc le secteur ${\frac {r^{2}d\varphi }{2}}$ croîtra pendant ce temps de la quantité ${\frac {\mathrm {Q} rdt^{2}}{2}}\,;$ par conséquent on aura l’équation

$d(r^{2}d\varphi )=\mathrm {Q} rdt^{2},$

dont l’intégrale, en ajoutant $cdt,$ est

$r^{2}d\varphi =cdt+dt\int \mathrm {Q} rdt\,;$

d’où l’on tire

(B)

${\frac {d\varphi }{dt}}={\frac {c+\int \mathrm {Q} rdt}{r^{2}}}.$

Enfin on aura, en vertu de la force perpendiculaire au plan de l’orbite de Jupiter,

$-{\frac {d^{2}(pr)}{dt^{2}}}={\frac {\mathrm {F} p}{r^{2}\left(1+p^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}+\mathrm {P} ,$

ou bien

${\frac {d^{2}p}{dt^{2}}}+{\frac {2dpdr}{rdt^{2}}}+{\frac {pd^{2}r}{rdt^{2}}}+{\frac {\mathrm {F} p}{r^{3}\left(1+p^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}+{\frac {\mathrm {P} }{r}}=0,$

d’où, en mettant pour ${\frac {d^{2}r}{rdt^{2}}}$ sa valeur

${\frac {d\varphi ^{2}}{dt^{2}}}-{\frac {\mathrm {F} }{r^{3}\left(1+p^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}-{\frac {\mathrm {R} }{r}}$

tirée de l’équation (A), et effaçant ce qui se détruit, on aura l’équation suivante

(C)

${\frac {d^{2}p}{dt^{2}}}+p{\frac {d\varphi ^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {2dpdr}{rdt^{2}}}+{\frac {\mathrm {P-R} p}{r}}=0.$

III.

Les équations (A), (B), (C) donneront $r,\varphi$ et $p$ en $t,$ ce qui suffira pour laire connaître le lieu du satellite à chaque instant. Que si l’on voulait connaître la figure même de l’orbite qu’il décrit, il faudrait éliminer des équations (A), (C) l’élément $dt.$ Or de l’équation (B) on tire, après quelques réductions fort simples,

$dt={\frac {r^{2}d\varphi }{\sqrt {c^{2}+2\int \mathrm {Q} r^{3}d\varphi }}}\,;$

donc, si l’on substitue cette valeur dans (A), (C), et qu’on fasse pour plus de simplicité ${\frac {1}{r}}=u,$ on aura, en prenant $d\varphi$ constant,

${\begin{array}{ll}(a)\qquad \qquad \qquad &{\cfrac {d^{2}u}{d\varphi ^{2}}}+u-{\cfrac {\mathrm {F} \left(1+p^{2}\right)^{\frac {3}{2}}+\mathrm {R} r^{2}+\mathrm {Q} {\cfrac {rdr}{d\varphi }}}{c^{2}+2\int \mathrm {Q} r^{3}d\varphi }}=0,\\\\(c)&{\cfrac {d^{2}p}{d\varphi ^{2}}}+p+{\cfrac {r^{3}\left(\mathrm {P} -p\mathrm {R} +\mathrm {Q} {\cfrac {dp}{d\varphi }}\right)}{c^{2}+2\int \mathrm {\mathrm {Q} } r^{3}d\varphi }}=0.\end{array}}$

Supposons pour un moment que les forces perturbatrices $\mathrm {P,Q,R}$ soient nulles ; on aura par l’équation $(c)$

${\frac {d^{2}p}{d\varphi ^{2}}}+p=0,$

dont l’intégrale est, comme on sait,

$p=\mathrm {G} \sin \varphi +\mathrm {H} \cos \varphi ,$

ou bien

$p=\lambda \sin(\varphi -\varepsilon ),$

$\lambda$ et $\varepsilon$ étant deux constantes arbitraires. Cette dernière expression de $p$ fait voir que l’orbite est toute dans un plan fixe, dont la position dépend des quantités $\lambda ,\varepsilon ,$ qui expriment, la première, la tangente de l’inclinaison, et la seconde, la longitude du nœud. Retenons maintenant cette même expression de $p,$ et supposons, à cause des forces perturbatrices $\lambda ,$ et $\varepsilon$ variables ; on aura

$dp=d\lambda \sin(\varphi -\varepsilon )+\lambda \cos(\varphi -\varepsilon )(d\varphi -d\varepsilon ).$

Or, afin que le corps puisse être regardé comme se mouvant réellement dans le plan déterminé par $\lambda$ et $\varepsilon ,$ il faut que la valeur de $dp$ soit la même que si ces quantités demeuraient constantes, c’est-à-dire, que

$dp=\lambda \cos(\varphi -\varepsilon )d\varphi \,;$

donc

$d\lambda \sin(\varphi -\varepsilon )=\lambda \cos(\varphi -\varepsilon )d\varepsilon \,;$

par conséquent, à cause de $d\varphi$ constant,

${\frac {d^{2}p}{d\varphi ^{2}}}=-\lambda \sin(\varphi -\varepsilon )+{\frac {\lambda d\varepsilon }{\sin(\varphi -\varepsilon )d\varphi }},$

et

${\frac {d^{2}p}{d\varphi ^{2}}}+p={\frac {\lambda d\varepsilon }{\sin(\varphi -\varepsilon )d\varphi }},$

On réduira ainsi l’équation $(c)$ ci-dessus à deux équations du premier degré, qui donneront $\lambda$ et $\varepsilon$ en $\varphi \,;$ d’où l’on connaîtra la variation de l’inclinaison de l’orbite et le mouvement de la ligne des nœuds. C’est ainsi que la plupart des Géomètres en ont usé jusqu’ici dans la recherche des orbites des Planètes ; mais il nous paraît plus court de chercher directement la latitude $p$ par une seule équation, d’autant plus que les quantités $\lambda$ et $\varepsilon$ s’en déduiront plus aisément ; car, puisque

$p=\lambda \sin(\varphi -\varepsilon ),\quad {\frac {dp}{d\varphi }}=\lambda \cos(\varphi -\varepsilon ),$

on aura

$\lambda ={\sqrt {p^{2}+{\frac {dp^{2}}{d\varphi ^{2}}}}},\quad \operatorname {tang} (\varphi -\varepsilon )={\frac {pd\varphi }{dp}}.$

On pourrait faire une pareille transformation sur l’équation $(a)\,;$ ce qui réduirait l’orbite à une ellipse dont l’excentricité et la position de la ligne des apsides seraient variables, ainsi que M. Newton l’a pratiqué par rapport à la Lune. En effet, si l’on suppose d’abord

$\mathrm {Q} =0,\quad \mathrm {R} =0,\quad p=0,$

l’équation $(a)$ devient

${\frac {d^{2}u}{d\varphi ^{2}}}+u-{\frac {\mathrm {F} }{c^{2}}}=0,$

dont l’intégrale, étant mise sous cette forme

$u-{\frac {\mathrm {F} }{c^{2}}}=\rho \cos(\varphi -\alpha ),$

donne une ellipse dans laquelle ${\frac {c^{2}}{\mathrm {F} }}$ est le demi-paramètre, ${\frac {\rho c^{2}}{\mathrm {F} }}$ l’excentricité, et $\alpha$ la longitude de l’apside inférieure. Qu’on regarde maintenant $\rho$ et $\alpha$ comme variables, et qu’on suppose, par une raison analogue à celle que nous avons expliquée ci-dessus,

$du=-\rho \sin(\varphi -\alpha )d\varphi ,$

on trouvera

$d\rho \cos(\varphi -\alpha )+\rho \sin(\varphi -\alpha )d\alpha =0,$

${\frac {d^{2}u}{d\varphi ^{2}}}+u-{\frac {\mathrm {F} }{c^{2}}}={\frac {\rho d\alpha }{\cos(\varphi -\alpha )d\varphi }}.$

Ainsi l’équation $(a)$ se réduira à deux équations du premier degré, d’où l’on tirera aisément $\rho$ et $\alpha .$

IV.

Les observations nous apprennent que les inégalités des mouvements des satellites de Jupiter sont très-petites, aussi bien que les inclinaisons de leurs orbites, par rapport à l’orbite de cette Planète ; d’où il suit que, si l’on nomme $a$ la valeur moyenne de $r,$ $\mu$ la valeur moyenne de ${\frac {d\varphi }{dt}},$ c’est-à-dire la vitesse angulaire moyenne, et qu’on dénote par $n$ un coefficient très-petit, et par $x,y,z$ des quantités variables, on aura les expressions suivantes

$r=a(1+nx),\quad \varphi =\mu t+ny,\quad p=nz,$

où l’on remarquera que les valeurs de $x$ et de ${\frac {dy}{dt}}$ ne doivent contenir aucun terme constant ; autrement $a$ et $\mu$ ne seraient plus les valeurs moyennes de $r$ et de ${\frac {d\varphi }{dt}},$ ce qui est contre l’hypothèse.

V.

Substituons maintenant ces expressions de $r,\varphi ,p$ dans les équations de l’Article II et négligeons les termes qui se trouveraient multipliés par des puissances de $n$ plus hautes que $n^{2},$ parce qu’une plus grande exactitude serait superflue dans le sujet que nous traitons ; nous changerons d’abord l’équation (A) en celle-ci

${\begin{aligned}-na{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=&{\frac {\mathrm {F} }{a^{2}}}\left(1-2nx+3nx^{2}\right)\left(1-{\frac {3}{2}}n^{2}z^{2}\right)+\mathrm {R} \\&-a(1+nx)\left(\mu ^{2}+2n\mu {\frac {dy}{dt}}+n^{2}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}\right),\end{aligned}}$

ou bien

${\begin{aligned}na{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+{\frac {\mathrm {F} }{a^{2}}}-a\mu ^{2}-n\left({\frac {2\mathrm {F} }{a^{2}}}+a\mu ^{2}\right)x+n^{2}{\frac {\mathrm {F} }{a^{2}}}\left(3x^{2}-{\frac {3}{2}}z^{2}\right)-2na\mu {\frac {dy}{dt}}&\\-2n^{2}a\mu x{\frac {dy}{dt}}-n^{2}a{\frac {dy^{2}}{dt^{2}}}+\mathrm {R} &=0.\end{aligned}}$

Si $n$ était $=0,$ on aurait

${\frac {\mathrm {F} }{a^{2}}}-a\mu ^{2}+\mathrm {R} =0\,;$

donc, $n$ étant très-petite, la quantité

${\frac {\mathrm {F} }{a^{2}}}-a\mu ^{2}+\mathrm {R}$

devra l’être aussi ; de sorte qu’on pourra supposer

${\frac {\mathrm {F} }{a^{2}}}-a\mu ^{2}+\mathrm {R} =n{\frac {\mathrm {F} }{a^{2}}}\mathrm {X} .$

Cette substitution faite, on divisera toute l’équation par $na,$ et l’on aura, en mettant pour plus de simplicité $f$ au lieu de ${\frac {\mathrm {F} }{a^{3}}},$

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}-(2f+\mu ^{2})x-2\mu {\frac {dy}{dt}}+f\mathrm {X} +nf\left(3x^{2}-{\frac {3}{2}}z^{2}\right)-2n\mu x{\frac {dy}{dt}}-n{\frac {dy^{2}}{dt^{2}}}=0.$

VI.

L’équation (B) deviendra, par les mêmes substitutions,

$\mu +n{\frac {dy}{dt}}=\left[{\frac {c}{a^{2}}}+{\frac {\int \mathrm {Q} (1+nx)dt}{a}}\right]\left(1-2nx+3n^{2}x^{2}\right).$

Si $n$ était $=0,$ on aurait

$\int \mathrm {Q} dt=a\mu -{\frac {c}{a}}\,;$

supposons donc

$\int \mathrm {Q} (1+nx)dt=a\mu -{\frac {c}{a}}+n{\frac {\mathrm {F} }{a^{2}}}\mathrm {Y} \,;$

on aura, après les réductions,

${\frac {dy}{dt}}=-2\mu x+f\mathrm {Y} +3n\mu x^{2}-2nfx\mathrm {Y} .$

VII.

Enfin l’équation (C) se changera en celle-ci

$n{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+nz\left(\mu ^{2}+2n\mu {\frac {dy}{dt}}\right)+2n^{2}{\frac {dzdx}{dt^{2}}}+{\frac {\mathrm {P} -n\mathrm {R} z}{a(1+nx)}}=0\,;$

et l’on prouvera ici, comme on a fait ci-dessus, qu’il faut que la quantité $\mathrm {P}$ soit très-petite de l’ordre $n\,;$ c’est pourquoi nous supposerons

${\frac {\mathrm {P} -n\mathrm {R} z}{1+nx}}=n{\frac {\mathrm {F} }{a^{2}}}\mathrm {Z} ,$

d’où nous aurons l’équation

${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+\mu ^{2}z+f\mathrm {Z} +2n\mu z{\frac {dy}{dt}}+2n{\frac {dzdx}{dt^{2}}}=0.$

VIII.

Voilà les formules par lesquelles on pourra déterminer les inégalités des satellites de Jupiter, dès qu’on aura trouvé les valeurs des quantités $\mathrm {X,Y,Z}$ qui résultent de leur action mutuelle.

Pour rendre ces formules encore plus commodes pour le calcul, nous substituerons dans celles des Articles V et VII la valeur de ${\frac {dy}{dt}}$ tirée de l’Article VI.

De cette manière, on aura, en négligeant toujours les termes affectés de $n^{3},n^{4},\ldots ,$

(D)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}&+\left(3\mu ^{2}-2f\right)x+f\mathrm {X} -2\mu f\mathrm {Y} \\&-n\left(6\mu ^{2}-3f\right)x^{2}-{\frac {3}{2}}nfz^{2}+6n\mu fx\mathrm {Y} -nf^{2}\mathrm {Y} ^{2}\end{aligned}}\right\}=0,$

(E)

${\frac {dy}{dt}}+2\mu x-f\mathrm {Y} -3n\mu x^{2}+2nfx\mathrm {Y} =0,$

(F)

${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+\mu ^{2}z+f\mathrm {Z} -4n\mu ^{2}zx+{\frac {dzdx}{dt^{2}}}+2n\mu fz\mathrm {Y} =0.$

Nous avons dit que les valeurs de $x$ et ${\frac {dy}{dt}}$ ne doivent renfermer aucun terme constant ; on remplira ces deux conditions par le moyen des constantes $f$ et $c.$

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CHAPITRE II.

DÉTERMINATION DES FORCES PERTURBATRICES DES SATELLITES DE JUPITER.

IX.

Soient

$\mathbb {Z} \!^{\upsilon }\quad$la masse de Jupiter,

${\mathfrak {S}}_{1}\quad$la masse du premier satellite,

${\mathfrak {S}}_{2}\quad$la masse du second satellite,

${\mathfrak {S}}_{3}\quad$la masse du troisième satellite,

${\mathfrak {S}}_{4}\quad$la masse du quatrième satellite.

Supposons de plus que toutes les quantités que nous avons nommées $r,p,\varphi ,\mathrm {F,R,Q,P} ,\ldots ,$ dans le Chapitre précédent, soient désignées ici, relativement au premier satellite, par

$r_{1},p_{1},\varphi _{1},\mathrm {F_{1},R_{1},Q_{1},P_{1}} ,\ldots \,;$

relativement au second satellite, par

$r_{2},p_{2},\varphi _{2},\mathrm {F_{2},R_{2},Q_{2},P_{2}} ,\ldots \,;$

relativement au troisième, par

$r_{3},p_{3},\varphi _{3},\mathrm {F_{3},R_{3},Q_{3},P_{3}} ,\ldots \,;$

et relativement au quatrième, par

$r_{4},p_{4},\varphi _{4},\mathrm {F_{4},R_{4},Q_{4},P_{4}} ,\ldots \,;$

En général, nous conserverons toujours dans la suite les noms donnés dans les Articles précédents, avec cette seule différence que nous marquerons les lettres d’un trait pour le premier satellite, de deux traits pour le second satellite, etc.^[1].

Enfin nous dénoterons, pour plus de simplicité, la distance entre deux satellites quelconques, c’est-à-dire, la ligne droite qui joint leurs centres, par $\Delta (r,r)\,;$ $r,r$ étant les rayons vecteurs des deux satellites ; ainsi la distance entre le premier et le second satellite sera désignée par $\Delta (r_{1},r_{2}),$ la distance entre le premier et le troisième par $\Delta (r_{1},r_{3}),$ et ainsi des autres.

X.

Cela posé, il est visible

1^o Que le satellite ${\mathfrak {S}}_{1}$ est attiré vers Jupiter avec une force

${\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{r_{1}^{2}\left(1+p_{1}^{2}\right)}},$

et qu’en même temps Jupiter est attiré lui-même vers le satellite avec une force

${\frac {{\mathfrak {S}}_{1}}{r_{1}^{2}\left(1+p_{1}^{2}\right)}}\,;$

d’où il suit que la force totale qui tend à rapprocher le satellite de Jupiter est

${\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }+{\mathfrak {S}}_{1}}{r_{1}^{2}\left(1+p_{1}^{2}\right)}}.$

Cette expression doit être comparée avec l’expression de la force centrale ${\frac {\mathrm {F} }{r^{2}\left(1+p^{2}\right)}}$ (Article I), c’est-à-dire, en la rapportant au premier satellite, avec ${\frac {\mathrm {F} _{1}}{r_{1}^{2}\left(1+p_{1}^{2}\right)}},$ ce qui donne d’abord

$\mathrm {F} _{1}=\mathbb {Z} \!^{\upsilon }+{\mathfrak {S}}_{1}.$

2^o Que le satellite ${\mathfrak {S}}_{1}$ est attiré vers le satellite ${\mathfrak {S}}_{2}$ avec une force

${\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{\Delta (r_{1},r_{2})^{2}}},$

laquelle peut se décomposer en deux autres l’une dans la direction du rayon mené du satellite ${\mathfrak {S}}_{1}$ à Jupiter, qui sera

${\frac {{\mathfrak {S}}_{2}r_{1}{\sqrt {1+p_{1}^{2}}}}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}\,;$

l’autre parallèle au rayon mené du satellite ${\mathfrak {S}}_{2}$ à Jupiter, et qui sera

${\frac {{\mathfrak {S}}_{2}r_{2}{\sqrt {1+p_{2}^{2}}}}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}.$

De plus le même satellite ${\mathfrak {S}}_{1}$ doit être regardé comme attiré par une force égale, et en sens contraire, à celle avec laquelle Jupiter est attiré par le satellite ${\mathfrak {S}}_{2},$ c’est-à-dire par une force

${\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{r_{2}^{2}\left(1+p_{2}^{2}\right)}},$

et dirigée parallèlement au rayon mené de ce dernier satellite à Jupiter.

Donc l’action du satellite ${\mathfrak {S}}_{2}$ produit dans le satellite ${\mathfrak {S}}_{1}$ deux forces l’une

${\frac {{\mathfrak {S}}_{2}r_{1}{\sqrt {1+p_{1}^{2}}}}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}$

dirigée vers Jupiter, l’autre

${\mathfrak {S}}_{2}\left[{\frac {1}{r_{2}^{2}\left(1+p_{2}^{2}\right)}}-{\frac {r_{2}{\sqrt {1+p_{1}^{2}}}}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}\right]$

dans une direction parallèle à celle qui va du satellite ${\mathfrak {S}}_{2}$ à Jupiter.

3^o Or la force

${\frac {{\mathfrak {S}}_{2}r_{1}{\sqrt {1+p_{1}^{2}}}}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}$

se décompose en deux autres l’une perpendiculaire au plan de l’orbite de Jupiter

${\frac {{\mathfrak {S}}_{2}r_{1}p_{1}}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}},$

l’autre parallèle au même plan dans la direction du rayon $r_{1},$ qui sera

${\frac {{\mathfrak {S}}_{2}r_{1}}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}$

Pareillement la force

${\mathfrak {S}}_{2}\left[{\frac {1}{r_{2}^{2}\left(1+p_{2}^{2}\right)}}-{\frac {r_{2}{\sqrt {1+p_{2}^{2}}}}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}\right]$

se change en deux autres forces : l’une perpendiculaire au plan de l’orbite de Jupiter

${\mathfrak {S}}_{2}\left[{\frac {p_{2}}{r_{2}^{2}\left(1+p_{2}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}-{\frac {r_{2}p_{2}}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}\right],$

et l’autre parallèle à ce plan, dans la direction du rayon $r_{2},$

${\mathfrak {S}}_{2}\left[{\frac {1}{r_{2}^{2}\left(1+p_{2}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}-{\frac {r_{2}}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}\right].$

Enfin cette dernière force se décompose encore en deux autres : l’une dans la direction du rayon $r_{1},$ avec le rayon $r_{2}$ fait l’angle $\varphi _{2}-\varphi _{1}\,;$ l’autre

perpendiculaire à cette direction la première sera exprimée par

${\mathfrak {S}}_{2}\left[{\frac {1}{r_{2}^{2}\left(1+p_{2}^{2}\right)}}-{\frac {r_{2}}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}\right]\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1}),$

la seconde par

${\mathfrak {S}}_{2}\left[{\frac {1}{r_{2}^{2}\left(1+p_{2}^{2}\right)}}-{\frac {r_{2}}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}\right]\sin(\varphi _{2}-\varphi _{1}),$

et tendra à diminuer l’angle $\varphi _{1},$ au lieu que nous avons supposé (Article II) que la force perpendiculaire $\mathrm {Q}$ tendait à augmenter l’angle $\varphi \,;$ c’est pourquoi il faudra la prendre négativement.

4^o Comparant donc toutes ces forces avec les forces $\mathrm {R,Q,P}$ (Article I), ou bien $\mathrm {R_{1},Q_{1},P_{1}}$ (Article IX), on aura en conséquence de l’action du satellite ${\mathfrak {S}}_{2}$ les expressions suivantes

${\begin{aligned}\mathrm {R} _{1}=&{\mathfrak {S}}_{2}\left[{\frac {r_{1}-r_{2}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}+{\frac {\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})}{r_{2}^{2}\left(1+p_{2}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right],\\\mathrm {Q} _{1}=&{\mathfrak {S}}_{2}\left[{\frac {r_{2}\sin(\varphi _{2}-\varphi _{1})}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}-{\frac {\sin(\varphi _{2}-\varphi _{1})}{r_{2}^{2}\left(1+p_{2}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right],\\\mathrm {P} _{1}=&{\mathfrak {S}}_{2}\left[{\frac {r_{1}p_{1}-r_{2}p_{2}}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}+{\frac {p_{2}}{r_{2}^{2}\left(1+p_{2}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right].\end{aligned}}$

On trouvera de la même manière les expressions des forces $\mathrm {R_{1},Q_{1},P_{1}} ,$ en tant qu’elles résultent de l’action des satellites ${\mathfrak {S}}_{3}$ et ${\mathfrak {S}}_{4}\,;$ et il est clair que l’on aura les mêmes formules que ci-dessus, en marquant seulement de trois traits ou de quatre traits les lettres qui sont marquées de deux traits^[2].

XI.

Si l’on veut avoir égard aussi à l’action du Soleil sur le satellite ${\mathfrak {S}}_{1},$ on nommera :

$\circledast \quad$la masse du Soleil,

$\delta _{1}\quad$la distance du satellite ${\mathfrak {S}}_{1}$ au Soleil,

$\rho _{1}\quad$le rayon vecteur de l’orbite du Soleil autour de Jupiter,

$\psi \quad$la longitude du Soleil vu du centre de $\mathbb {Z} \!^{\upsilon }$ :

et il n’y aura qu’à mettre, dans les expressions de $\mathrm {R_{1},Q_{1},P_{1}}$ de l’Article X, $\circledast$ au lieu de ${\mathfrak {S}}_{2},$ $\delta _{1}$ au lieu de $\Delta (r_{1},r_{2}),$ $\rho _{1}$ au lieu de $r_{2},$ $\psi$ au lieu de $\varphi _{2},$ et supposer $p_{2}=0.$ De cette manière on aura, en vertu de l’action du Soleil,

${\begin{aligned}\mathrm {R} _{1}=&\circledast \left[{\frac {r_{1}-\rho _{1}\cos(\psi -\varphi _{1})}{\delta _{1}^{3}}}+{\frac {\cos(\psi -\varphi _{1})}{\rho _{1}^{2}}}\right],\\\mathrm {Q} _{1}=&\circledast \left[{\frac {\rho _{1}\sin(\psi -\varphi _{1})}{\delta _{1}^{3}}}-{\frac {\sin(\psi -\varphi _{1})}{\rho _{1}^{2}}}\right],\\\mathrm {P} _{1}=&\circledast {\frac {r_{1}p_{1}}{\delta _{1}^{3}}}.\end{aligned}}$

XII.

Donc, en joignant ensemble les forces qui proviennent de l’action des trois satellites ${\mathfrak {S}}_{2},{\mathfrak {S}}_{3},{\mathfrak {S}}_{4},$ et du Soleil sur le satellite ${\mathfrak {S}}_{1}$ on aura les valeurs complètes de $\mathrm {R_{1},Q_{1},P_{1}} ,$ exprimées de la manière suivante

${\begin{aligned}\mathrm {R} _{1}&={\mathfrak {S}}_{2}\left[{\frac {r_{1}-r_{2}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}+{\frac {\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})}{r_{2}^{2}\left(1+p_{2}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\\&+{\mathfrak {S}}_{3}\left[{\frac {r_{1}-r_{3}\cos(\varphi _{3}-\varphi _{1})}{\Delta (r_{1},r_{3})^{3}}}+{\frac {\cos(\varphi _{3}-\varphi _{1})}{r_{3}^{2}\left(1+p_{3}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\\&+{\mathfrak {S}}_{4}\left[{\frac {r_{1}-r_{4}\cos(\varphi _{4}-\varphi _{1})}{\Delta (r_{1},r_{4})^{3}}}+{\frac {\cos(\varphi _{4}-\varphi _{1})}{r_{4}^{2}\left(1+p_{4}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\\&+\circledast \ \ \left[{\frac {r_{1}-\rho _{1}\cos(\psi \ -\varphi _{1})}{\delta _{1}^{3}}}+{\frac {\cos(\ \psi \ -\varphi _{1})}{\rho _{1}^{2}}}\right],\\\\\mathrm {Q} _{1}&={\mathfrak {S}}_{2}\left[{\frac {r_{2}\sin(\varphi _{2}-\varphi _{1})}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}-{\frac {\sin(\varphi _{2}-\varphi _{1})}{r_{2}^{2}\left(1+p_{2}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\\&+{\mathfrak {S}}_{3}\left[{\frac {r_{3}\sin(\varphi _{3}-\varphi _{1})}{\Delta (r_{1},r_{3})^{3}}}-{\frac {\sin(\varphi _{3}-\varphi _{1})}{r_{3}^{2}\left(1+p_{3}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\\&+{\mathfrak {S}}_{4}\left[{\frac {r_{4}\sin(\varphi _{4}-\varphi _{1})}{\Delta (r_{1},r_{4})^{3}}}-{\frac {\sin(\varphi _{4}-\varphi _{1})}{r_{4}^{2}\left(1+p_{4}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\\&+\circledast \ \ \left[{\frac {r_{4}\sin(\psi \ -\varphi _{1})}{\delta _{1}^{3}}}-{\frac {\sin(\ \psi \ -\varphi _{1})}{\rho _{1}^{2}}}\right],\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\mathrm {P} _{1}&={\mathfrak {S}}_{2}\left[{\frac {r_{1}p_{1}-r_{2}p_{2}}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}+{\frac {p_{2}}{r_{2}^{2}\left(1+p_{2}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\\&+{\mathfrak {S}}_{3}\left[{\frac {r_{1}p_{1}-r_{3}p_{3}}{\Delta (r_{1},r_{3})^{3}}}-{\frac {p_{3}}{r_{3}^{2}\left(1+p_{3}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\\&+{\mathfrak {S}}_{4}\left[{\frac {r_{1}p_{1}-r_{4}p_{4}}{\Delta (r_{1},r_{4})^{3}}}-{\frac {p_{4}}{r_{4}^{2}\left(1+p_{4}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\\&+\circledast {\frac {r_{1}p_{1}}{\delta _{1}^{3}}}.\end{aligned}}$

XIII.

Telles sont les expressions des forces perturbatrices du satellite ${\mathfrak {S}}_{1}\,;$ d’où il est facile de déduire celles des trois autres satellites ${\mathfrak {S}}_{2},{\mathfrak {S}}_{3},{\mathfrak {S}}_{4}.$ En effet, un peu de réflexion suffit pour faire voir que les quantités $\mathrm {R_{1},Q_{1},P_{1}} ,$ deviendront $\mathrm {R_{2},Q_{2},P_{2}} ,$ en marquant seulement de deux traits les lettres qui sont marquées d’un trait, et réciproquement^[3] ; ainsi l’on aura pour les forces perturbatrices du second satellite les expressions suivantes

${\begin{aligned}\mathrm {R} _{2}&={\mathfrak {S}}_{1}\left[{\frac {r_{2}-r_{1}\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})}{\Delta (r_{2},r_{1})^{3}}}+{\frac {\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})}{r_{1}^{2}\left(1+p_{1}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\\&+{\mathfrak {S}}_{3}\left[{\frac {r_{2}-r_{3}\cos(\varphi _{3}-\varphi _{2})}{\Delta (r_{2},r_{3})^{3}}}+{\frac {\cos(\varphi _{3}-\varphi _{2})}{r_{3}^{2}\left(1+p_{3}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\\&+{\mathfrak {S}}_{4}\left[{\frac {r_{2}-r_{4}\cos(\varphi _{4}-\varphi _{2})}{\Delta (r_{2},r_{4})^{3}}}+{\frac {\cos(\varphi _{4}-\varphi _{2})}{r_{4}^{2}\left(1+p_{4}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\\&+\circledast \ \ \left[{\frac {r_{2}-\rho _{1}\cos(\psi \ -\varphi _{2})}{\delta _{2}^{3}}}+{\frac {\cos(\ \psi \ -\varphi _{2})}{\rho _{1}^{2}}}\right],\\\\\mathrm {Q} _{2}&={\mathfrak {S}}_{1}\left[{\frac {r_{1}\sin(\varphi _{1}-\varphi _{2})}{\Delta (r_{2},r_{1})^{3}}}-{\frac {\sin(\varphi _{1}-\varphi _{2})}{r_{1}^{2}\left(1+p_{1}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\\&+{\mathfrak {S}}_{3}\left[{\frac {r_{3}\sin(\varphi _{3}-\varphi _{2})}{\Delta (r_{2},r_{3})^{3}}}-{\frac {\sin(\varphi _{3}-\varphi _{2})}{r_{3}^{2}\left(1+p_{3}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\\&+{\mathfrak {S}}_{4}\left[{\frac {r_{4}\sin(\varphi _{4}-\varphi _{2})}{\Delta (r_{2},r_{4})^{3}}}-{\frac {\sin(\varphi _{4}-\varphi _{2})}{r_{4}^{2}\left(1+p_{4}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\\&+\circledast \ \ \left[{\frac {r_{4}\sin(\psi \ -\varphi _{2})}{\delta _{2}^{3}}}-{\frac {\sin(\ \psi \ -\varphi _{2})}{\rho _{1}^{2}}}\right],\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\mathrm {P} _{2}&={\mathfrak {S}}_{1}\left[{\frac {r_{2}p_{2}-r_{1}p_{1}}{\Delta (r_{2},r_{1})^{3}}}+{\frac {p_{1}}{r_{1}^{2}\left(1+p_{1}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\\&+{\mathfrak {S}}_{3}\left[{\frac {r_{2}p_{2}-r_{3}p_{3}}{\Delta (r_{2},r_{3})^{3}}}-{\frac {p_{3}}{r_{3}^{2}\left(1+p_{3}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\\&+{\mathfrak {S}}_{4}\left[{\frac {r_{2}p_{2}-r_{4}p_{4}}{\Delta (r_{2},r_{4})^{3}}}-{\frac {p_{4}}{r_{4}^{2}\left(1+p_{4}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\\&+\circledast {\frac {r_{2}p_{2}}{\delta _{2}^{3}}}.\end{aligned}}$

On aura pareillement les expressions de $\mathrm {R_{3},Q_{3},P_{3}} ,$ et de $\mathrm {R_{4},Q_{4},P_{4}} ,$ en marquant successivement de trois et de quatre traits les lettres qui ne sont marquées que d’un seul trait dans les expressions de $\mathrm {R_{1},Q_{1},P_{1}} ,$ et réciproquement^[4].

XIV.

Il reste à chercher les valeurs des quantités $\Delta (r_{1},r_{2}),\Delta (r_{1},r_{3}),\ldots ,$ qui expriment les distances entre le premier satellite et le second, entre le premier et le troisième, etc. (Article IX). Or il est facile de trouver qu’on aura

${\begin{aligned}\Delta (r_{1},r_{2})^{2}=&(r_{2}p_{2}-r_{1}p_{1})^{2}+\left[r_{1}\sin(\varphi _{2}-\varphi _{1})\right]^{2}+\left[r_{2}-r_{1}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})\right]^{2}\\=&r_{1}^{2}\left(1+p_{1}^{2}\right)-2r_{1}r_{2}\left[\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+p_{1}p_{2}\right]+r_{2}^{2}\left(1+p_{2}^{2}\right)\,;\end{aligned}}$

donc, tirant la racine carrée,

$\Delta (r_{1},r_{2})={\sqrt {r_{1}^{2}\left(1+p_{1}^{2}\right)-2r_{1}r_{2}\left[\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+p_{1}p_{2}\right]+r_{2}^{2}\left(1+p_{2}^{2}\right)}}.$

On trouvera pareillement

$\Delta (r_{1},r_{3})={\sqrt {r_{1}^{2}\left(1+p_{1}^{2}\right)-2r_{1}r_{3}\left[\cos(\varphi _{3}-\varphi _{1})+p_{1}p_{3}\right]+r_{3}^{2}\left(1+p_{3}^{2}\right)}},$

et ainsi des autres. On voit par là que

$\Delta (r_{2},r_{1})=\Delta (r_{1},r_{2}),$

car l’expression de cette dernière quantité demeure la même, en changeant $r_{1},p_{1},\varphi _{1}$ en $r_{2},p_{2},\varphi _{2}$ et réciproquement ; ce qui est d’ailleurs évident.

XV.

Pour avoir maintenant la valeur de $\delta _{1},$ il n’y aura qu’à changer, dans celle de $\Delta (r_{1},r_{2}),$ $r_{2}$ en $\rho _{1},$ $\varphi _{2}$ en $\psi ,$ et effacer la quantité $p_{2}$ (Article XI) ; on aura donc ainsi

$\delta _{1}={\sqrt {r_{1}^{2}\left(1+p_{1}^{2}\right)-2r_{1}\rho _{1}\cos(\psi -\varphi _{1})+\rho _{1}^{2}}}\,;$

on trouvera pareillement

$\delta _{2}={\sqrt {r_{2}^{2}\left(1+p_{2}^{2}\right)-2r_{2}\rho _{1}\cos(\psi -\varphi _{2})+\rho _{1}^{2}}}\,;$

et ainsi des autres.

XVI.

Nous avons supposé (Article X) que l’attraction de Jupiter sur les satellites était exactement en raison inverse du carré des distances ; c’est ce qui n’est rigoureusement vrai qu’en regardant Jupiter comme un globe de densité uniforme.

Or on sait par les observations et par la Théorie que cette Planète est considérablement aplatie ; de plus il peut se faire qu’elle ne soit pas partout de la même densité deux circonstances qui peuvent aussi influer sur le mouvement des satellites, et auxquelles il est bon par conséquent d’avoir égard ici. Pour cela nous supposerons 1^o que la figure de Jupiter soit celle d’un sphéroïde elliptiqùe peu différent d’une sphère ; 2^o que ce sphéroïde soit formé d’une infinité de couches toutes sphéroïdiques, et de densités différentes ; 3^o que l’équateur de Jupiter soit dans le plan de l’orbite de cette Planète.

Cette dernière supposition n’est pas tout à fait exacte ; car on sait que l’équateur de Jupiter est incliné d’environ $3$ degrés sur le plan de son orbite ; mais l’erreur qui en résulte est si petite qu’il serait superflu d’en tenir compte.

Cela posé soient $\mathrm {A}$ le demi-axe d’une couche quelconque, $\mathrm {E}$ son ellipticité et $\mathrm {D}$ sa densité ; on trouvera par les Théorèmes de la figure de la Terre de M. Clairaut (§§ XXVI et XLVI, seconde Partie) que l’attraction de Jupiter sur un satellitequelconque produit deux forces l’une, dirigée au centre de Jupiter, égale à

${\frac {2\varpi }{r^{2}\left(1+p^{2}\right)}}\left[\int \mathrm {DA^{2}} d\mathrm {A} +{\frac {2}{3}}\int \mathrm {D} d\mathrm {\left(A^{3}E\right)} \right]+{\frac {2\varpi \left(1-2p^{2}\right)}{5r^{4}\left(1+p^{2}\right)^{3}}}\int \mathrm {D} d\mathrm {\left(A^{3}E\right)} \,;$

l’autre ; perpendiculaire à cette direction dans le plan d’un méridien, égale à

${\frac {4\varpi }{5r^{4}\left(1+p^{2}\right)^{3}}}\int \mathrm {D} d\mathrm {\left(A^{5}E\right)}$

($\varpi$ dénote ici la périphérie d’un cercle dont le rayon est égal à $1$). La partie

${\frac {2\varpi p}{r^{2}\left(1+p^{2}\right)}}\left[\int \mathrm {DA^{2}} d\mathrm {A} +{\frac {2}{3}}\int \mathrm {D} d\mathrm {\left(A^{3}E\right)} \right]$

de la première de ces deux forces, étant réciproquement proportionnelle au carré de la distance, doit être comparée avec la force ${\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{r^{2}\left(1+p^{2}\right)}}$ (Article X) ; d’où l’on aura

$\mathbb {Z} \!^{\upsilon }=2\varpi \left[\int \mathrm {DA^{2}} d\mathrm {A} +{\frac {2}{3}}\int \mathrm {D} d\mathrm {\left(A^{3}E\right)} \right].$

L’autre partie de la même force

${\frac {2\varpi \left(1-2p^{2}\right)}{5r^{4}\left(1+p^{2}\right)^{3}}}\int \mathrm {D} d\mathrm {\left(A^{5}E\right)} ,$

aussi bien que la force perpendiculaire

${\frac {4\varpi p}{5r^{4}\left(1+p^{2}\right)^{3}}}\int \mathrm {D} d\mathrm {\left(A^{5}E\right)} ,$

devront être regardées comme des forces perturbatrices, et par conséquent décomposées suivant les directions de $\mathrm {R,Q,P} \,;$ cette décomposi-

tion étant faite, on aura les deux forces suivantes

${\frac {2\varpi }{5r^{4}}}{\frac {1-4p^{2}}{\left(1+p^{2}\right)^{\frac {7}{2}}}}\int \mathrm {D} d\mathrm {\left(A^{5}E\right)}$

dans la direction de la force $\mathrm {R} ,$ et

${\frac {2\varpi }{5r^{4}}}{\frac {3p-2p^{3}}{\left(1+p^{2}\right)^{\frac {7}{2}}}}\int \mathrm {D} d\mathrm {\left(A^{5}E\right)}$

dans la direction de la force $\mathrm {P} \,;$ donc, si l’on suppose

$\nu ={\frac {\int \mathrm {D} d\mathrm {\left(A^{5}E\right)} }{\mathrm {A} ^{2}\left[\int \mathrm {DA^{2}} d\mathrm {A} +{\cfrac {2}{3}}\int \mathrm {D} d\mathrm {\left(A^{3}E\right)} \right]}},$

les forces perturbatrices $\mathrm {R}$ et $\mathrm {P} ,$ qui résultent de l’aplatissement de Jupiter et de l’hétérogénéité de ses couches, seront, en général,

$\mathrm {R} ={\frac {\nu \mathrm {A} ^{2}\mathbb {Z} \!^{\upsilon }\left(1-4p^{2}\right)}{5r^{4}\left(1+p^{2}\right)^{\frac {7}{2}}}},\quad \mathrm {P} ={\frac {\nu \mathrm {A} ^{2}\mathbb {Z} \!^{\upsilon }\left(3p-2p^{3}\right)}{5r^{4}\left(1+p^{2}\right)^{\frac {7}{2}}}},$

d’où l’on tire : par rapport au premier satellite,

$\mathrm {R} _{1}={\frac {\nu \mathrm {A} ^{2}\mathbb {Z} \!^{\upsilon }\left(1-4p_{1}^{2}\right)}{5r_{1}^{4}\left(1+p_{1}^{2}\right)^{\frac {7}{2}}}},\quad \mathrm {P} _{1}={\frac {\nu \mathrm {A} ^{2}\mathbb {Z} \!^{\upsilon }\left(3p_{1}-2p_{1}^{3}\right)}{5r_{1}^{4}\left(1+p_{1}^{2}\right)^{\frac {7}{2}}}},$

par rapport au second satellite,

$\mathrm {R} _{2}={\frac {\nu \mathrm {A} ^{2}\mathbb {Z} \!^{\upsilon }\left(1-4p_{2}^{2}\right)}{5r_{2}^{4}\left(1+p_{2}^{2}\right)^{\frac {7}{2}}}},\quad \mathrm {P} _{2}={\frac {\nu \mathrm {A} ^{2}\mathbb {Z} \!^{\upsilon }\left(3p_{2}-2p_{2}^{3}\right)}{5r_{2}^{4}\left(1+p_{2}^{2}\right)^{\frac {7}{2}}}}\,;$

et ainsi des autres.

Il n’y aura donc qu’à ajouter ces valeurs à celles des Articles XII et XIII. Au reste, comme l’aplatissement de Jupiter n’est que d’environ ${\frac {1}{14}}$ suivant les dernières observations, la quantité $\mathrm {E}$ sera fort petite, aussi bien que la quantité $\nu \,;$ de plus le rapport de $\mathrm {A} ^{2}$ à $r^{2}$ sera toujours exprimé par une fraction fort petite ; de sorte que les forces perturbatrices dont nous venons de parler seront nécessairement très-petites.

Si l’on suppose $\mathrm {D}$ constante, on aura

$\nu =\mathrm {\frac {3E}{1+2E}} .$

En général, quelle que soit $\mathrm {D} ,$ on aura, par les conditions de l’équilibre,

$\int \mathrm {D} d\mathrm {\left(A^{5}E\right)} =5\mathrm {A^{2}\left(E-{\frac {1}{2}}{\text{ϐ}}\right)\int DA^{2}} d\mathrm {A}$

(ϐ étant le rapport de la force centrifuge à la pesanteur, sous l’équateur) ; donc

$\nu =5\mathrm {E} -{\frac {5}{2}}$ϐ

à très-peu près.

XVII.

Il faut maintenant développer les expressions des forces perturbatrices $\mathrm {P,Q,R} ,$ en employant les suppositions de l’article V. Pour cela nous remarquerons d’abord que nous pouvons négliger dans ce calcul tous les termes de l’ordre $n^{2},$ parce que les quantités $\mathrm {P,Q,R}$ sont déjà elles-mêmes de l’ordre $n,$ comme nous le verrons plus bas. Donc, mettant premièrement dans la valeur de $\Delta (r_{1},r_{2})$ [Article XIV], au lieu de $r_{1},$ $a_{1}(1+nx_{1}),$ au lieu de $p_{1},$ $nz_{1}\,;$ et de même, au lieu de $r_{2},$ $a_{2}(1+nx_{2}),$ et au lieu de $p_{2},$ $nz_{2},$ suivant ce que nous avons dit à l’Article IX on aura

${\begin{aligned}&\Delta (r_{1},r_{2})\\&={\sqrt {a_{1}^{2}(1+2nx_{1})-2a_{1}a_{2}(1+nx_{1}+nx_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+a_{2}^{2}(1+2nx_{2})}}\\&={\sqrt {\left({\begin{aligned}a_{1}^{2}-2a_{1}a_{2}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+a_{2}^{2}+2n\left(a_{1}^{2}x_{1}+a_{2}^{2}x_{2}\right)&\\-2na_{1}a_{2}(x_{1}+x_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})&\end{aligned}}\right)}},\end{aligned}}$

d’où l’on tire, par les séries,

${\begin{aligned}{\frac {1}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}=&\left[a_{1}^{2}-2a_{1}a_{2}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+a_{2}^{2}\right]^{-{\frac {3}{2}}}\\&-3n\left[a_{1}^{2}x_{1}+a_{2}^{2}x_{2}-a_{1}a_{2}(x_{1}+x_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})\right]\\&\qquad \qquad \times \left[a_{1}^{2}-2a_{1}a_{2}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+a_{2}^{2}\right]^{-{\frac {5}{2}}}+\ldots .\end{aligned}}$

On trouvera de même

${\begin{aligned}{\frac {1}{\Delta (r_{1},r_{3})^{3}}}=&\left[a_{1}^{2}-2a_{1}a_{3}\cos(\varphi _{3}-\varphi _{1})+a_{3}^{2}\right]^{-{\frac {3}{2}}}\\&-3n\left[a_{1}^{2}x_{1}+a_{3}^{2}x_{3}-a_{1}a_{3}(x_{1}+x_{3})\cos(\varphi _{3}-\varphi _{1})\right]\\&\qquad \qquad \times \left[a_{1}^{2}-2a_{1}a_{3}\cos(\varphi _{3}-\varphi _{1})+a_{3}^{2}\right]^{-{\frac {5}{2}}}+\ldots .\end{aligned}}$

Et pareillement

${\begin{aligned}{\frac {1}{\Delta (r_{1},r_{4})^{3}}}=&\left[a_{1}^{2}-2a_{1}a_{4}\cos(\varphi _{4}-\varphi _{1})+a_{4}^{2}\right]^{-{\frac {3}{2}}}\\&-3n\left[a_{1}^{2}x_{1}+a_{4}^{2}x_{4}-a_{1}a_{4}(x_{1}+x_{4})\cos(\varphi _{4}-\varphi _{1})\right]\\&\qquad \qquad \times \left[a_{1}^{2}-2a_{1}a_{4}\cos(\varphi _{4}-\varphi _{1})+a_{4}^{2}\right]^{-{\frac {5}{2}}}+\ldots \,;\end{aligned}}$

et ainsi des autres.

XVIII.

Mais il se présente ici une difficulté, par rapport aux quantités

$\left[a_{1}^{2}-2a_{1}a_{2}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+a_{2}^{2}\right]^{-{\frac {3}{2}}},\quad \left[a_{1}^{2}-2a_{1}a_{2}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+a_{2}^{2}\right]^{-{\frac {5}{2}}},\ldots ,$

c’est de pouvoir les réduire à une forme rationnelle, condition absolument nécessaire pour l’intégration des équations des satellites.

Pour résoudre cette difliculté, on écrira d’abord les radicaux proposés ainsi

$a_{2}^{-3}\left[1-{\frac {2a_{1}}{a_{2}}}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+{\frac {a_{1}^{2}}{a_{2}^{2}}}\right]^{-{\frac {3}{2}}},$

$a_{2}^{-5}\left[1-{\frac {2a_{1}}{a_{2}}}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+{\frac {a_{1}^{2}}{a_{2}^{2}}}\right]^{-{\frac {5}{2}}},\ldots ,$

et la question se réduira à changer en une fonction rationnelle une quantité de cette forme

$\left(1-2q\cos \theta +q^{2}\right)^{-\lambda },$

dans laquelle $q$ est un nombre moindre que l’unité.

Pour y parvenir, je remarque que la quantité $1-2q\cos \theta +q^{2}$ est égale au produit de ces deux quantités

$1-q\left(\cos \theta +\sin \theta {\sqrt {-1}}\right)\quad {\text{et}}\quad 1-q\left(\cos \theta -\sin \theta {\sqrt {-1}}\right)\,;$

je les élève donc l’une et l’autre à la puissance $-\lambda ,$ en écrivant au lieu du carré de $\cos \theta \pm \sin \theta {\sqrt {-1}},$ $\cos 2\theta \pm \sin 2\theta {\sqrt {-1}},$ et ainsi de suite ;

j’ai

${\begin{aligned}&\left[1-q\left(\cos \theta \pm \sin \theta {\sqrt {-1}}\right)\right]^{-\lambda }=\\&\qquad \qquad \qquad \qquad 1+\lambda q\left(\cos \theta \pm \sin \theta {\sqrt {-1}}\right)\\&\qquad \qquad \qquad \qquad +{\frac {\lambda (\lambda +1)}{2}}q^{2}\left(\cos 2\theta \pm \sin 2\theta {\sqrt {-1}}\right)\\&\qquad \qquad \qquad \qquad +{\frac {\lambda (\lambda +1)(\lambda +2)}{2.3}}q^{3}\left(\cos 3\theta \pm \sin 3\theta {\sqrt {-1}}\right)+\ldots .\end{aligned}}$

Soit, pour abréger,

${\begin{aligned}1+&\lambda q\cos \theta +{\frac {\lambda (\lambda +1)}{2}}q^{2}\cos 2\theta +{\frac {\lambda (\lambda +1)(\lambda +2)}{2.3}}q^{3}\cos 3\theta +\ldots =\mathrm {M} ,\\&\lambda q\sin \,\theta +{\frac {\lambda (\lambda +1)}{2}}q^{2}\sin \,2\theta +{\frac {\lambda (\lambda +1)(\lambda +2)}{2.3}}q^{3}\sin \,3\theta +\ldots =\mathrm {N} \,;\end{aligned}}$

on aura

${\begin{aligned}&\left[1-q\left(\cos \theta +\sin \theta {\sqrt {-1}}\right)\right]^{-\lambda }=\mathrm {M+N} {\sqrt {-1}},\\&\left[1-q\left(\cos \theta -\sin \theta {\sqrt {-1}}\right)\right]^{-\lambda }=\mathrm {M-N} {\sqrt {-1}}\,;\end{aligned}}$

donc

$\left(1-2q\cos \theta +q^{2}\right)^{-\lambda }=\mathrm {\left(\mathrm {M+N} {\sqrt {-1}}\right)\left(\mathrm {M-N} {\sqrt {-1}}\right)=M^{2}+N^{2}} .$

Or, si l’on fait les carrés des deux séries $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N} ,$ qu’on ajoute ensemble les termes qui ont le même coefficient, et qu’on remarque que

$\cos m\theta \times \cos n\theta +\sin m\theta \times \sin \theta =\cos(m-n)\theta ,$

$m$ et $n$ étant des nombres quelconques, on trouvera

$\left(1-2q\cos \theta +q^{2}\right)^{-\lambda }=\mathrm {A+B\cos \theta +C\cos 2\theta +D} \cos 3\theta +\ldots .$

Et les coefficients $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ seront exprimés de la manière suivante

${\begin{aligned}\mathrm {A} =&1+\lambda ^{2}q^{2}+{\frac {\lambda ^{2}(\lambda +1)^{2}}{2^{2}}}q^{4}+{\frac {\lambda ^{2}(\lambda +1)^{2}(\lambda +2)^{2}}{2^{2}.3^{2}}}q^{6}+\ldots ,\\\mathrm {B} =&2\lambda q+2\lambda {\frac {\lambda (\lambda +1)}{2}}q^{3}+2{\frac {\lambda (\lambda +1)}{2}}{\frac {\lambda (\lambda +1)(\lambda +2)}{2.3}}q^{5}+\ldots ,\\&+2{\frac {\lambda (\lambda +1)(\lambda +2)}{2.3}}{\frac {\lambda (\lambda +1)(\lambda +2)(\lambda +3)}{2.3.4}}q^{7}+\ldots ,\\\mathrm {C} =&2{\frac {\lambda (\lambda +1)}{2}}q^{2}+2\lambda {\frac {\lambda (\lambda +1)(\lambda +2)}{2.3}}q^{4}+\ldots \,;\end{aligned}}$

et ainsi de suite.

Au reste il ne sera nécessaire que de connaître les deux premiers coefficients $\mathrm {A,B} ,$ pour avoir tous les autres $\mathrm {C,D} ,\ldots \,;$ car on trouvera par les formules de l’Article XXVI de la Pièce sur le mouvement de Saturne [Prix 1748]^[5]

${\begin{aligned}\mathrm {C} =&{\frac {\left(1+q^{2}\right)\mathrm {B} -2\lambda q\mathrm {A} }{(2-\lambda )q}},\\\mathrm {D} =&{\frac {2\left(1+q^{2}\right)\mathrm {C} -(1+\lambda )q\mathrm {B} }{(3-\lambda )q}},\\\mathrm {E} =&{\frac {3\left(1+q^{2}\right)\mathrm {D} -(2+\lambda )q\mathrm {C} }{(4-\lambda )q}}\,;\end{aligned}}$

et ainsi de suite.

XIX.

Tout consiste donc à déterminer les valeurs de $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} .$ Or, dans la Théorie des satellites de Jupiter, la plus grande valeur de $q$ est d’environ ${\frac {2}{3}},$ comme on le verra plus bas ; donc $q^{2}$ sera toujours moindre que ${\frac {1}{2}}\,;$ donc, si l’on fait $\lambda ={\frac {3}{2}},$ les suites $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ seront assez convergentes pour qu’on puisse se contenter d’un petit nombre de termes. Ces suites seront représentées, en général, par celles-ci

${\begin{aligned}\mathrm {A} =&1+{\frac {9}{4}}q^{2}+{\frac {9}{4}}.{\frac {25}{16}}q^{4}+{\frac {9}{4}}.{\frac {25}{16}}.{\frac {49}{36}}q^{6}+\ldots ,\\{\frac {\mathrm {B} }{2}}=&{\frac {3}{2}}q+{\frac {9}{4}}.{\frac {5}{4}}q^{3}+{\frac {9}{4}}.{\frac {25}{16}}.{\frac {7}{6}}q^{5}+\ldots ,\end{aligned}}$

dont les coefficients numériques sont très-aisés à calculer.

Voici les logarithmes de ces coefficients pour les différentes puissances de $q$ qui entrent dans les deux séries dont il s’agit ; les logarithmes qui répondent aux puissances paires de $q$ sont ceux des coefficients des termes de la série $\mathrm {A} ,$ et les logarithmes qui répondent aux puissances impaires de $q$ sont ceux des coefficients des termes de la série ${\frac {\mathrm {B} }{2}}.$

${\begin{array}{|c|c||c|c||c|c|}\hline \quad q\quad &\ \ 0{,}176091\ \ &\quad q^{16}\quad &\ \ 1{,}047096\ \ &\quad q^{31}\quad &\ \ 1{,}315612\ \ \\\hline q^{2}&0{,}352182&q^{17}&1{,}070577&q^{32}&1{,}328976\\\hline q^{3}&0{,}449092&q^{18}&1{,}094058&q^{33}&1{,}341565\\\hline q^{4}&0{,}546002&q^{19}&1{,}115247&q^{34}&1{,}354154\\\hline q^{5}&0{,}612949&q^{20}&1{,}136436&q^{35}&1{,}366053\\\hline q^{6}&0{,}679896&q^{21}&1{,}155741&q^{36}&1{,}377952\\\hline q^{7}&0{,}731049&q^{22}&1{,}175046&q^{37}&1{,}389233\\\hline q^{8}&0{,}782202&q^{23}&1{,}192775&q^{38}&1{,}400514\\\hline q^{9}&0{,}823595&q^{24}&1{,}210504&q^{39}&1{,}411238\\\hline q^{10}&0{,}864988&q^{25}&1{,}226895&q^{40}&1{,}421962\\\hline q^{11}&0{,}899750&q^{26}&1{,}243286&q^{41}&1{,}432181\\\hline q^{12}&0{,}934512&q^{27}&1{,}258526&q^{42}&1{,}442400\\\hline q^{13}&0{,}964475&q^{28}&1{,}273766&q^{43}&1{,}452160\\\hline q^{14}&0{,}994438&q^{29}&1{,}288007&q^{44}&1{,}461920\\\hline q^{15}&1{,}020767&q^{30}&1{,}302248&\ldots &\ldots \\\hline \end{array}}$

Il ne s’agira donc plus que d’ajouter à chacun de ces logarithmes celui de la puissance correspondante de $q,$ et de chercher ensuite le nombre qui répond à chaque somme ; on aura ainsi les valeurs d’autant de termes des deux séries $\mathrm {A}$ et ${\frac {\mathrm {B} }{2}}$ qu’on voudra ; d’où l’on pourra tirer pour $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ des valeurs aussi approchées qu’on le croira nécessaire. Pour juger de la quantité de l’approximation, on remarquera que les différences des logarithmes de la Table précédente forment une progression décroissante ; d’où il suit que, si après avoir pris la somme d’un nombre quelconque de termes de la série $\mathrm {A}$ ou ${\frac {\mathrm {B} }{2}}$ on regarde le reste de la série comme une propression géométrique, l’erreur sera toujours moindre que la somme de cette progression. Au reste, dans le cas même où $q$ sera la plus grande (ce cas est celui où $q={\frac {a_{2}}{a_{3}}}={\frac {900}{1438}},$ comme on le verra dans la suites), il suffira de prendre les dix premiers termes des séries $\mathrm {A}$ et ${\frac {\mathrm {B} }{2}}$ pour avoir les valeurs de ces coefficients en millièmes, c’est-à-dire aux dix-millièmes près, et en prenant encore trois ou quatre termes, on poussera l’exactitude jusqu’aux dix-millièmes et au delà.

XX.

Ayant ainsi les valeurs des coefficients $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ de la suite qui représente

$\left(1-2q\cos \theta +q^{2}\right)^{-{\frac {3}{2}}},$

on trouvera aisément ceux de la suite qui exprime

$\left(1-2q\cos \theta +q^{2}\right)^{-{\frac {5}{2}}}\,;$

car, dénotant ces derniers par $\mathrm {(A),(B),(C)} ,\ldots ,$ il faudra que la série

$\mathrm {(A)+(B)\cos \theta +(C)} \cos 2\theta +\ldots ,$

étant multipliée par

$1-2q\cos \theta +q^{2},$

devienne égale à la série

$\mathrm {A+B\cos \theta +C} \cos 2\theta +\ldots .$

La multiplication faite, on trouvera, en comparant les deux premiers termes,

${\begin{aligned}\mathrm {A} =&\left(1+q^{2}\right)(\mathrm {A} )-q(\mathrm {B} ),\\\mathrm {B} =&\left(1+q^{2}\right)(\mathrm {B} )-2q(\mathrm {A} )-q(\mathrm {C} ).\end{aligned}}$

Or $(\mathrm {C} )$ est donné en $(\mathrm {A} )$ et $(\mathrm {B} )$ de la même manière que $\mathrm {C}$ est donné en $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ il suffira pour cela de mettre dans l’expression de $\mathrm {C} ,$ Article XVIII, $(\mathrm {A} )$ au lieu de $\mathrm {A} ,$ $(\mathrm {B} )$ au lieu de $\mathrm {B} ,$ $(\mathrm {C} )$ au lieu de $\mathrm {C} ,$ et $\lambda +1$ au lieu de $\lambda \,;$ ce qui donnera

$(\mathrm {C} )={\frac {\left(1+q^{2}\right)(\mathrm {B} )-2(\lambda +1)q(\mathrm {A} )}{(1-\lambda )q}}\,;$

donc, si l’on substitue cette valeur de $\mathrm {(} C),$ on aura deux équations en $\mathrm {A} ,$ $\mathrm {B,(A),(B)} ,$ d’où l’on tirera

${\begin{aligned}(\mathrm {A} )=&{\frac {\left(1+q^{2}\right)(\mathrm {A} )+{\frac {\lambda -1}{\lambda }}q(\mathrm {B} )}{\left(1-q^{2}\right)^{2}}},\\(\mathrm {B} )=&{\frac {{\frac {\lambda -1}{\lambda }}\left(1+q^{2}\right)(\mathrm {B} )+4q(\mathrm {A} )}{\left(1-q^{2}\right)^{2}}}.\end{aligned}}$

Connaissant $(\mathrm {A} )$ et $(\mathrm {B} ),$ on connaîtra tous les suivants (Article XVIII).

XXI.

De ce qu’on vient de démontrer, il suit qu’on peut supposer

${\begin{aligned}&\left[a_{1}^{2}-2a_{1}a_{2}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+a_{2}^{2}\right]^{-{\frac {3}{2}}}\\&\quad =\Gamma (a_{1},a_{2})+\Gamma _{1}(a_{1},a_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})\\&\qquad +\Gamma _{2}(a_{1},a_{2})\cos 2(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\Gamma _{3}(a_{1},a_{2})\cos 3(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots ,\\\\&\left[a_{1}^{2}-2a_{1}a_{2}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+a_{2}^{2}\right]^{-{\frac {5}{2}}}\\&\quad =\Lambda (a_{1},a_{2})+\Lambda _{1}(a_{1},a_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})\\&\qquad +\Lambda _{2}(a_{1},a_{2})\cos 2(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\Lambda _{3}(a_{1},a_{2})\cos 3(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots .\end{aligned}}$

J’entends par

$\Gamma (a_{1},a_{2}),\ \Gamma _{1}(a_{1},a_{2}),\ \Gamma _{2}(a_{1},a_{2}),\ldots \,;\quad \Lambda (a_{1},a_{2}),\ \Lambda _{1}(a_{1},a_{2}),\ \Lambda _{2}(a_{1},a_{2}),\ldots \,;$

des fonctions données de $a_{1},a_{2},$ dont on trouvera la valeur par les méthodes des Articles précédents.

Donc, si l’on fait ces substitutions dans la quantité ${\frac {1}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}$ (Article XVII), et que l’on développe les produits des sinus et des cosinus, on trouvera

${\begin{aligned}&{\frac {1}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}\\&=\Gamma (a_{1},a_{2})+\Gamma _{1}(a_{1},a_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\Gamma _{2}(a_{1},a_{2})\cos 2(\varphi _{2}-\varphi _{1})\\&\quad +\Gamma _{3}(a_{1},a_{2})\cos 3(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots \\&\quad -3nx_{1}[a_{1}^{2}\Lambda (a_{1},a_{2})-a_{1}a_{2}{\frac {\Lambda _{1}(a_{1},a_{2})}{2}}]\\&\quad -3nx_{1}[a_{1}^{2}\Lambda _{1}(a_{1},a_{2})-a_{1}a_{2}{\frac {2\Lambda (a_{1},a_{2})+\Lambda _{2}(a_{1},a_{2})}{2}}]\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})\\&\quad -3nx_{1}[a_{1}^{2}\Lambda _{2}(a_{1},a_{2})-a_{1}a_{2}{\frac {2\Lambda _{1}(a_{1},a_{2})+\Lambda _{3}(a_{1},a_{2})}{2}}]\cos 2(\varphi _{2}-\varphi _{1})\\&\quad -\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&\quad -3nx_{2}[a_{2}^{2}\Lambda (a_{1},a_{2})-a_{1}a_{2}{\frac {\Lambda _{1}(a_{1},a_{2})}{2}}]\\&\quad -3nx_{2}[a_{2}^{2}\Lambda _{1}(a_{1},a_{2})-a_{1}a_{2}{\frac {2\Lambda (a_{1},a_{2})+\Lambda _{2}(a_{1},a_{2})}{2}}]\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})\\&\quad -3nx_{2}[a_{2}^{2}\Lambda _{2}(a_{1},a_{2})-a_{1}a_{2}{\frac {2\Lambda _{1}(a_{1},a_{2})+\Lambda _{3}(a_{1},a_{2})}{2}}]\cos 2(\varphi _{2}-\varphi _{1})\\&\quad -\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

XXII.

Soit fait, pour plus de simplicité,

${\begin{aligned}&\Pi \ (a_{1},a_{2})={\frac {a_{1}a_{2}\Lambda _{1}(a_{1},a_{2})-2a_{1}^{2}\Lambda (a_{1},a_{2})}{2}},\\&\Pi _{1}(a_{1},a_{2})={\frac {a_{1}a_{2}\Lambda _{2}(a_{1},a_{2})-2a_{1}^{2}\Lambda _{1}(a_{1},a_{2})+2a_{1}a_{2}\Lambda (a_{1},a_{2})}{2}},\\&\Pi _{2}(a_{1},a_{2})={\frac {a_{1}a_{2}\Lambda _{3}(a_{1},a_{2})-2a_{1}^{2}\Lambda _{2}(a_{1},a_{2})+a_{1}a_{2}\Lambda _{1}(a_{1},a_{2})}{2}},\\&\Pi _{3}(a_{1},a_{2})={\frac {a_{1}a_{2}\Lambda _{4}(a_{1},a_{2})-2a_{1}^{2}\Lambda _{3}(a_{1},a_{2})+a_{1}a_{2}\Lambda _{2}(a_{1},a_{2})}{2}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Soit aussi