Mémoires extraits des recueils de l’Académie des sciences de Paris et de l’Institut de France/Recherches sur les inégalités des satellites de Jupiter causées par leur attraction mutuelle

Joseph-Louis Lagrange

Recherches sur les inégalités des satellites de Jupiter causées par leur attraction mutuelle

Mémoires extraits des recueils de l’Académie des sciences de Paris et de l’Institut de France, Gauthier-Villars, 1868, Œuvres de Lagrange. Tome VI (p. 67-225).

RECHERCHES
SUR LES
INÉGALITÉS DES SATELLITES DE JUPITER
CAUSÉES PAR LEUR ATTRACTION MUTUELLE.

Multùm adhuc restat operis.

Sen., Epist. 64.

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(Prix de l’Académie Royale des Sciences de Paris, tome IX, 1766.)

CHAPITRE PREMIER.

FORMULES GÉNÉRALES POUR LE MOUVEMENT DES SATELLITES DE JUPITER.

I.

Soient nommés :

$r\quad$ le rayon vecteur de l’orbite d’un satellite quelconque projetée sur le plan de l’orbite de Jupiter ;

$p\quad$ la tangente de la latitude du satellite par rapport à ce même plan ;

$\mathrm {F} \quad$ la force que Jupiter exerce sur le satellite à la distance 1.
On aura la distance du satellite au plan de l’orbite de Jupiter égale à $rp.$ Donc la distance du satellite au centre de Jupiter sera $r{\sqrt {1+p^{2}.}}$
Par conséquent la force par laquelle le satellite est poussé vers Jupiter sera ${\frac {\mathrm {F} }{r^{2}\left(1+p^{2}\right)}}.$

Cette force peut être regardée comme composée de deux autres : l’une parallèle au rayon vecteur et égale à ${\frac {\mathrm {F} }{r^{2}\left(1+p^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\,;$ l’autre perpendiculaire au plan de l’orbite de Jupiter et égale à ${\frac {\mathrm {F} p}{r^{2}\left(1+p^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}.$

Or on peut, en général, réduire les forces perturbatrices du satellite à trois forces uniques, dont :

La première, que j’appelle $\mathrm {R} ,$ soit parallèle au rayon $r\,;$

La seconde, que j’appelle $\mathrm {Q} ,$ soit perpendiculaire au rayon vecteur, et parallèle au plan de l’orbite de Jupiter ;

La troisième, que j’appelle $\mathrm {P} ,$ soit perpendiculaire à ce même plan.

Donc le satellite sera sollicité, dans les directions dont nous parlons, par les forces

${\frac {\mathrm {F} }{r^{2}\left(1+p^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}+\mathrm {R} ,\quad \mathrm {Q} ,\quad {\frac {\mathrm {F} p}{r^{2}\left(1+p^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}+\mathrm {P} \,;$

dont les deux premières déterminent le mouvement que le satellite doit avoir dans le plan de l’orbite de Jupiter, ou pour mieux dire, parallèlement à ce plan.

II.

Cela posé, soient

$t\quad$ le temps écoulé depuis le commencement du mouvement ;

$\varphi \quad$l’angle décrit par le rayon $r$ durant ce temps ; l’élément du temps $dt$ constant, c’est-à-dire, $d\,dt=0.$

On aura pour la vitssse circulatoire du satellite, parallèlement au plan de l’orbite de Jupiter, ${\frac {rd\varphi }{dt}},$ d’où résulte la force centrifuge ${\frac {r^{2}d\varphi ^{2}}{rdt^{2}}}={\frac {rd\varphi ^{2}}{dt^{2}}},$ laquelle étant retranchée de la force ${\frac {\mathrm {F} }{r^{2}\left(1+p^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}+\mathrm {R} ,$ on aura la véritable force qui tend à diminuer le rayon $r$.

Donc, par le principe des forces accélératrices, on aura

(A)

$-{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}={\frac {\mathrm {F} }{r^{2}\left(1+p^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}+\mathrm {R} -{\frac {rd\varphi ^{2}}{dt^{2}}}.$

Maintenant on sait que, si la force perpendiculaire $\mathrm {Q}$ était nulle, le rayon $r$ décrirait des aires proportionnelles aux temps, de sorte que l’on aurait, à cause de $dt$ constant,

$d({\frac {r^{2}d\varphi }{2}})=0\,;$

mais la force $\mathrm {Q}$ fait parcourir perpendiculairement à $r$ l’espace $\mathrm {Q} dt^{2}$ pendant le temps $dt\,;$ donc le secteur ${\frac {r^{2}d\varphi }{2}}$ croîtra pendant ce temps de la quantité ${\frac {\mathrm {Q} rdt^{2}}{2}}\,;$ par conséquent on aura l’équation

$d(r^{2}d\varphi )=\mathrm {Q} rdt^{2},$

dont l’intégrale, en ajoutant $cdt,$ est

$r^{2}d\varphi =cdt+dt\int \mathrm {Q} rdt\,;$

d’où l’on tire

(B)

${\frac {d\varphi }{dt}}={\frac {c+\int \mathrm {Q} rdt}{r^{2}}}.$

Enfin on aura, en vertu de la force perpendiculaire au plan de l’orbite de Jupiter,

$-{\frac {d^{2}(pr)}{dt^{2}}}={\frac {\mathrm {F} p}{r^{2}\left(1+p^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}+\mathrm {P} ,$

ou bien

${\frac {d^{2}p}{dt^{2}}}+{\frac {2dpdr}{rdt^{2}}}+{\frac {pd^{2}r}{rdt^{2}}}+{\frac {\mathrm {F} p}{r^{3}\left(1+p^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}+{\frac {\mathrm {P} }{r}}=0,$

d’où, en mettant pour ${\frac {d^{2}r}{rdt^{2}}}$ sa valeur

${\frac {d\varphi ^{2}}{dt^{2}}}-{\frac {\mathrm {F} }{r^{3}\left(1+p^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}-{\frac {\mathrm {R} }{r}}$

tirée de l’équation (A), et effaçant ce qui se détruit, on aura l’équation suivante

(C)

${\frac {d^{2}p}{dt^{2}}}+p{\frac {d\varphi ^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {2dpdr}{rdt^{2}}}+{\frac {\mathrm {P-R} p}{r}}=0.$

III.

Les équations (A), (B), (C) donneront $r,\varphi$ et $p$ en $t,$ ce qui suffira pour laire connaître le lieu du satellite à chaque instant. Que si l’on voulait connaître la figure même de l’orbite qu’il décrit, il faudrait éliminer des équations (A), (C) l’élément $dt.$ Or de l’équation (B) on tire, après quelques réductions fort simples,

$dt={\frac {r^{2}d\varphi }{\sqrt {c^{2}+2\int \mathrm {Q} r^{3}d\varphi }}}\,;$

donc, si l’on substitue cette valeur dans (A), (C), et qu’on fasse pour plus de simplicité ${\frac {1}{r}}=u,$ on aura, en prenant $d\varphi$ constant,

${\begin{array}{ll}(a)\qquad \qquad \qquad &{\cfrac {d^{2}u}{d\varphi ^{2}}}+u-{\cfrac {\mathrm {F} \left(1+p^{2}\right)^{\frac {3}{2}}+\mathrm {R} r^{2}+\mathrm {Q} {\cfrac {rdr}{d\varphi }}}{c^{2}+2\int \mathrm {Q} r^{3}d\varphi }}=0,\\\\(c)&{\cfrac {d^{2}p}{d\varphi ^{2}}}+p+{\cfrac {r^{3}\left(\mathrm {P} -p\mathrm {R} +\mathrm {Q} {\cfrac {dp}{d\varphi }}\right)}{c^{2}+2\int \mathrm {\mathrm {Q} } r^{3}d\varphi }}=0.\end{array}}$

Supposons pour un moment que les forces perturbatrices $\mathrm {P,Q,R}$ soient nulles ; on aura par l’équation $(c)$

${\frac {d^{2}p}{d\varphi ^{2}}}+p=0,$

dont l’intégrale est, comme on sait,

$p=\mathrm {G} \sin \varphi +\mathrm {H} \cos \varphi ,$

ou bien

$p=\lambda \sin(\varphi -\varepsilon ),$

$\lambda$ et $\varepsilon$ étant deux constantes arbitraires. Cette dernière expression de $p$ fait voir que l’orbite est toute dans un plan fixe, dont la position dépend des quantités $\lambda ,\varepsilon ,$ qui expriment, la première, la tangente de l’inclinaison, et la seconde, la longitude du nœud. Retenons maintenant cette même expression de $p,$ et supposons, à cause des forces perturbatrices $\lambda ,$ et $\varepsilon$ variables ; on aura

$dp=d\lambda \sin(\varphi -\varepsilon )+\lambda \cos(\varphi -\varepsilon )(d\varphi -d\varepsilon ).$

Or, afin que le corps puisse être regardé comme se mouvant réellement dans le plan déterminé par $\lambda$ et $\varepsilon ,$ il faut que la valeur de $dp$ soit la même que si ces quantités demeuraient constantes, c’est-à-dire, que

$dp=\lambda \cos(\varphi -\varepsilon )d\varphi \,;$

donc

$d\lambda \sin(\varphi -\varepsilon )=\lambda \cos(\varphi -\varepsilon )d\varepsilon \,;$

par conséquent, à cause de $d\varphi$ constant,

${\frac {d^{2}p}{d\varphi ^{2}}}=-\lambda \sin(\varphi -\varepsilon )+{\frac {\lambda d\varepsilon }{\sin(\varphi -\varepsilon )d\varphi }},$

et

${\frac {d^{2}p}{d\varphi ^{2}}}+p={\frac {\lambda d\varepsilon }{\sin(\varphi -\varepsilon )d\varphi }},$

On réduira ainsi l’équation $(c)$ ci-dessus à deux équations du premier degré, qui donneront $\lambda$ et $\varepsilon$ en $\varphi \,;$ d’où l’on connaîtra la variation de l’inclinaison de l’orbite et le mouvement de la ligne des nœuds. C’est ainsi que la plupart des Géomètres en ont usé jusqu’ici dans la recherche des orbites des Planètes ; mais il nous paraît plus court de chercher directement la latitude $p$ par une seule équation, d’autant plus que les quantités $\lambda$ et $\varepsilon$ s’en déduiront plus aisément ; car, puisque

$p=\lambda \sin(\varphi -\varepsilon ),\quad {\frac {dp}{d\varphi }}=\lambda \cos(\varphi -\varepsilon ),$

on aura

$\lambda ={\sqrt {p^{2}+{\frac {dp^{2}}{d\varphi ^{2}}}}},\quad \operatorname {tang} (\varphi -\varepsilon )={\frac {pd\varphi }{dp}}.$

On pourrait faire une pareille transformation sur l’équation $(a)\,;$ ce qui réduirait l’orbite à une ellipse dont l’excentricité et la position de la ligne des apsides seraient variables, ainsi que M. Newton l’a pratiqué par rapport à la Lune. En effet, si l’on suppose d’abord

$\mathrm {Q} =0,\quad \mathrm {R} =0,\quad p=0,$

l’équation $(a)$ devient

${\frac {d^{2}u}{d\varphi ^{2}}}+u-{\frac {\mathrm {F} }{c^{2}}}=0,$

dont l’intégrale, étant mise sous cette forme

$u-{\frac {\mathrm {F} }{c^{2}}}=\rho \cos(\varphi -\alpha ),$

donne une ellipse dans laquelle ${\frac {c^{2}}{\mathrm {F} }}$ est le demi-paramètre, ${\frac {\rho c^{2}}{\mathrm {F} }}$ l’excentricité, et $\alpha$ la longitude de l’apside inférieure. Qu’on regarde maintenant $\rho$ et $\alpha$ comme variables, et qu’on suppose, par une raison analogue à celle que nous avons expliquée ci-dessus,

$du=-\rho \sin(\varphi -\alpha )d\varphi ,$

on trouvera

$d\rho \cos(\varphi -\alpha )+\rho \sin(\varphi -\alpha )d\alpha =0,$

${\frac {d^{2}u}{d\varphi ^{2}}}+u-{\frac {\mathrm {F} }{c^{2}}}={\frac {\rho d\alpha }{\cos(\varphi -\alpha )d\varphi }}.$

Ainsi l’équation $(a)$ se réduira à deux équations du premier degré, d’où l’on tirera aisément $\rho$ et $\alpha .$

IV.

Les observations nous apprennent que les inégalités des mouvements des satellites de Jupiter sont très-petites, aussi bien que les inclinaisons de leurs orbites, par rapport à l’orbite de cette Planète ; d’où il suit que, si l’on nomme $a$ la valeur moyenne de $r,$ $\mu$ la valeur moyenne de ${\frac {d\varphi }{dt}},$ c’est-à-dire la vitesse angulaire moyenne, et qu’on dénote par $n$ un coefficient très-petit, et par $x,y,z$ des quantités variables, on aura les expressions suivantes

$r=a(1+nx),\quad \varphi =\mu t+ny,\quad p=nz,$

où l’on remarquera que les valeurs de $x$ et de ${\frac {dy}{dt}}$ ne doivent contenir aucun terme constant ; autrement $a$ et $\mu$ ne seraient plus les valeurs moyennes de $r$ et de ${\frac {d\varphi }{dt}},$ ce qui est contre l’hypothèse.

V.

Substituons maintenant ces expressions de $r,\varphi ,p$ dans les équations de l’Article II et négligeons les termes qui se trouveraient multipliés par des puissances de $n$ plus hautes que $n^{2},$ parce qu’une plus grande exactitude serait superflue dans le sujet que nous traitons ; nous changerons d’abord l’équation (A) en celle-ci

${\begin{aligned}-na{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=&{\frac {\mathrm {F} }{a^{2}}}\left(1-2nx+3nx^{2}\right)\left(1-{\frac {3}{2}}n^{2}z^{2}\right)+\mathrm {R} \\&-a(1+nx)\left(\mu ^{2}+2n\mu {\frac {dy}{dt}}+n^{2}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}\right),\end{aligned}}$

ou bien

${\begin{aligned}na{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+{\frac {\mathrm {F} }{a^{2}}}-a\mu ^{2}-n\left({\frac {2\mathrm {F} }{a^{2}}}+a\mu ^{2}\right)x+n^{2}{\frac {\mathrm {F} }{a^{2}}}\left(3x^{2}-{\frac {3}{2}}z^{2}\right)-2na\mu {\frac {dy}{dt}}&\\-2n^{2}a\mu x{\frac {dy}{dt}}-n^{2}a{\frac {dy^{2}}{dt^{2}}}+\mathrm {R} &=0.\end{aligned}}$

Si $n$ était $=0,$ on aurait

${\frac {\mathrm {F} }{a^{2}}}-a\mu ^{2}+\mathrm {R} =0\,;$

donc, $n$ étant très-petite, la quantité

${\frac {\mathrm {F} }{a^{2}}}-a\mu ^{2}+\mathrm {R}$

devra l’être aussi ; de sorte qu’on pourra supposer

${\frac {\mathrm {F} }{a^{2}}}-a\mu ^{2}+\mathrm {R} =n{\frac {\mathrm {F} }{a^{2}}}\mathrm {X} .$

Cette substitution faite, on divisera toute l’équation par $na,$ et l’on aura, en mettant pour plus de simplicité $f$ au lieu de ${\frac {\mathrm {F} }{a^{3}}},$

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}-(2f+\mu ^{2})x-2\mu {\frac {dy}{dt}}+f\mathrm {X} +nf\left(3x^{2}-{\frac {3}{2}}z^{2}\right)-2n\mu x{\frac {dy}{dt}}-n{\frac {dy^{2}}{dt^{2}}}=0.$

VI.

L’équation (B) deviendra, par les mêmes substitutions,

$\mu +n{\frac {dy}{dt}}=\left[{\frac {c}{a^{2}}}+{\frac {\int \mathrm {Q} (1+nx)dt}{a}}\right]\left(1-2nx+3n^{2}x^{2}\right).$

Si $n$ était $=0,$ on aurait

$\int \mathrm {Q} dt=a\mu -{\frac {c}{a}}\,;$

supposons donc

$\int \mathrm {Q} (1+nx)dt=a\mu -{\frac {c}{a}}+n{\frac {\mathrm {F} }{a^{2}}}\mathrm {Y} \,;$

on aura, après les réductions,

${\frac {dy}{dt}}=-2\mu x+f\mathrm {Y} +3n\mu x^{2}-2nfx\mathrm {Y} .$

VII.

Enfin l’équation (C) se changera en celle-ci

$n{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+nz\left(\mu ^{2}+2n\mu {\frac {dy}{dt}}\right)+2n^{2}{\frac {dzdx}{dt^{2}}}+{\frac {\mathrm {P} -n\mathrm {R} z}{a(1+nx)}}=0\,;$

et l’on prouvera ici, comme on a fait ci-dessus, qu’il faut que la quantité $\mathrm {P}$ soit très-petite de l’ordre $n\,;$ c’est pourquoi nous supposerons

${\frac {\mathrm {P} -n\mathrm {R} z}{1+nx}}=n{\frac {\mathrm {F} }{a^{2}}}\mathrm {Z} ,$

d’où nous aurons l’équation

${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+\mu ^{2}z+f\mathrm {Z} +2n\mu z{\frac {dy}{dt}}+2n{\frac {dzdx}{dt^{2}}}=0.$

VIII.

Voilà les formules par lesquelles on pourra déterminer les inégalités des satellites de Jupiter, dès qu’on aura trouvé les valeurs des quantités $\mathrm {X,Y,Z}$ qui résultent de leur action mutuelle.

Pour rendre ces formules encore plus commodes pour le calcul, nous substituerons dans celles des Articles V et VII la valeur de ${\frac {dy}{dt}}$ tirée de l’Article VI.

De cette manière, on aura, en négligeant toujours les termes affectés de $n^{3},n^{4},\ldots ,$

(D)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}&+\left(3\mu ^{2}-2f\right)x+f\mathrm {X} -2\mu f\mathrm {Y} \\&-n\left(6\mu ^{2}-3f\right)x^{2}-{\frac {3}{2}}nfz^{2}+6n\mu fx\mathrm {Y} -nf^{2}\mathrm {Y} ^{2}\end{aligned}}\right\}=0,$

(E)

${\frac {dy}{dt}}+2\mu x-f\mathrm {Y} -3n\mu x^{2}+2nfx\mathrm {Y} =0,$

(F)

${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+\mu ^{2}z+f\mathrm {Z} -4n\mu ^{2}zx+{\frac {dzdx}{dt^{2}}}+2n\mu fz\mathrm {Y} =0.$

Nous avons dit que les valeurs de $x$ et ${\frac {dy}{dt}}$ ne doivent renfermer aucun terme constant ; on remplira ces deux conditions par le moyen des constantes $f$ et $c.$

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CHAPITRE II.

DÉTERMINATION DES FORCES PERTURBATRICES DES SATELLITES DE JUPITER.

IX.

Soient

$\mathbb {Z} \!^{\upsilon }\quad$la masse de Jupiter,

${\mathfrak {S}}_{1}\quad$la masse du premier satellite,

${\mathfrak {S}}_{2}\quad$la masse du second satellite,

${\mathfrak {S}}_{3}\quad$la masse du troisième satellite,

${\mathfrak {S}}_{4}\quad$la masse du quatrième satellite.

Supposons de plus que toutes les quantités que nous avons nommées $r,p,\varphi ,\mathrm {F,R,Q,P} ,\ldots ,$ dans le Chapitre précédent, soient désignées ici, relativement au premier satellite, par

$r_{1},p_{1},\varphi _{1},\mathrm {F_{1},R_{1},Q_{1},P_{1}} ,\ldots \,;$

relativement au second satellite, par

$r_{2},p_{2},\varphi _{2},\mathrm {F_{2},R_{2},Q_{2},P_{2}} ,\ldots \,;$

relativement au troisième, par

$r_{3},p_{3},\varphi _{3},\mathrm {F_{3},R_{3},Q_{3},P_{3}} ,\ldots \,;$

et relativement au quatrième, par

$r_{4},p_{4},\varphi _{4},\mathrm {F_{4},R_{4},Q_{4},P_{4}} ,\ldots \,;$

En général, nous conserverons toujours dans la suite les noms donnés dans les Articles précédents, avec cette seule différence que nous marquerons les lettres d’un trait pour le premier satellite, de deux traits pour le second satellite, etc.^[1].

Enfin nous dénoterons, pour plus de simplicité, la distance entre deux satellites quelconques, c’est-à-dire, la ligne droite qui joint leurs centres, par $\Delta (r,r)\,;$ $r,r$ étant les rayons vecteurs des deux satellites ; ainsi la distance entre le premier et le second satellite sera désignée par $\Delta (r_{1},r_{2}),$ la distance entre le premier et le troisième par $\Delta (r_{1},r_{3}),$ et ainsi des autres.

X.

Cela posé, il est visible

1^o Que le satellite ${\mathfrak {S}}_{1}$ est attiré vers Jupiter avec une force

${\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{r_{1}^{2}\left(1+p_{1}^{2}\right)}},$

et qu’en même temps Jupiter est attiré lui-même vers le satellite avec une force

${\frac {{\mathfrak {S}}_{1}}{r_{1}^{2}\left(1+p_{1}^{2}\right)}}\,;$

d’où il suit que la force totale qui tend à rapprocher le satellite de Jupiter est

${\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }+{\mathfrak {S}}_{1}}{r_{1}^{2}\left(1+p_{1}^{2}\right)}}.$

Cette expression doit être comparée avec l’expression de la force centrale ${\frac {\mathrm {F} }{r^{2}\left(1+p^{2}\right)}}$ (Article I), c’est-à-dire, en la rapportant au premier satellite, avec ${\frac {\mathrm {F} _{1}}{r_{1}^{2}\left(1+p_{1}^{2}\right)}},$ ce qui donne d’abord

$\mathrm {F} _{1}=\mathbb {Z} \!^{\upsilon }+{\mathfrak {S}}_{1}.$

2^o Que le satellite ${\mathfrak {S}}_{1}$ est attiré vers le satellite ${\mathfrak {S}}_{2}$ avec une force

${\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{\Delta (r_{1},r_{2})^{2}}},$

laquelle peut se décomposer en deux autres l’une dans la direction du rayon mené du satellite ${\mathfrak {S}}_{1}$ à Jupiter, qui sera

${\frac {{\mathfrak {S}}_{2}r_{1}{\sqrt {1+p_{1}^{2}}}}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}\,;$

l’autre parallèle au rayon mené du satellite ${\mathfrak {S}}_{2}$ à Jupiter, et qui sera

${\frac {{\mathfrak {S}}_{2}r_{2}{\sqrt {1+p_{2}^{2}}}}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}.$

De plus le même satellite ${\mathfrak {S}}_{1}$ doit être regardé comme attiré par une force égale, et en sens contraire, à celle avec laquelle Jupiter est attiré par le satellite ${\mathfrak {S}}_{2},$ c’est-à-dire par une force

${\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{r_{2}^{2}\left(1+p_{2}^{2}\right)}},$

et dirigée parallèlement au rayon mené de ce dernier satellite à Jupiter.

Donc l’action du satellite ${\mathfrak {S}}_{2}$ produit dans le satellite ${\mathfrak {S}}_{1}$ deux forces l’une

${\frac {{\mathfrak {S}}_{2}r_{1}{\sqrt {1+p_{1}^{2}}}}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}$

dirigée vers Jupiter, l’autre

${\mathfrak {S}}_{2}\left[{\frac {1}{r_{2}^{2}\left(1+p_{2}^{2}\right)}}-{\frac {r_{2}{\sqrt {1+p_{1}^{2}}}}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}\right]$

dans une direction parallèle à celle qui va du satellite ${\mathfrak {S}}_{2}$ à Jupiter.

3^o Or la force

${\frac {{\mathfrak {S}}_{2}r_{1}{\sqrt {1+p_{1}^{2}}}}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}$

se décompose en deux autres l’une perpendiculaire au plan de l’orbite de Jupiter

${\frac {{\mathfrak {S}}_{2}r_{1}p_{1}}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}},$

l’autre parallèle au même plan dans la direction du rayon $r_{1},$ qui sera

${\frac {{\mathfrak {S}}_{2}r_{1}}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}$

Pareillement la force

${\mathfrak {S}}_{2}\left[{\frac {1}{r_{2}^{2}\left(1+p_{2}^{2}\right)}}-{\frac {r_{2}{\sqrt {1+p_{2}^{2}}}}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}\right]$

se change en deux autres forces : l’une perpendiculaire au plan de l’orbite de Jupiter

${\mathfrak {S}}_{2}\left[{\frac {p_{2}}{r_{2}^{2}\left(1+p_{2}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}-{\frac {r_{2}p_{2}}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}\right],$

et l’autre parallèle à ce plan, dans la direction du rayon $r_{2},$

${\mathfrak {S}}_{2}\left[{\frac {1}{r_{2}^{2}\left(1+p_{2}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}-{\frac {r_{2}}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}\right].$

Enfin cette dernière force se décompose encore en deux autres : l’une dans la direction du rayon $r_{1},$ avec le rayon $r_{2}$ fait l’angle $\varphi _{2}-\varphi _{1}\,;$ l’autre

perpendiculaire à cette direction la première sera exprimée par

${\mathfrak {S}}_{2}\left[{\frac {1}{r_{2}^{2}\left(1+p_{2}^{2}\right)}}-{\frac {r_{2}}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}\right]\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1}),$

la seconde par

${\mathfrak {S}}_{2}\left[{\frac {1}{r_{2}^{2}\left(1+p_{2}^{2}\right)}}-{\frac {r_{2}}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}\right]\sin(\varphi _{2}-\varphi _{1}),$

et tendra à diminuer l’angle $\varphi _{1},$ au lieu que nous avons supposé (Article II) que la force perpendiculaire $\mathrm {Q}$ tendait à augmenter l’angle $\varphi \,;$ c’est pourquoi il faudra la prendre négativement.

4^o Comparant donc toutes ces forces avec les forces $\mathrm {R,Q,P}$ (Article I), ou bien $\mathrm {R_{1},Q_{1},P_{1}}$ (Article IX), on aura en conséquence de l’action du satellite ${\mathfrak {S}}_{2}$ les expressions suivantes

${\begin{aligned}\mathrm {R} _{1}=&{\mathfrak {S}}_{2}\left[{\frac {r_{1}-r_{2}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}+{\frac {\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})}{r_{2}^{2}\left(1+p_{2}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right],\\\mathrm {Q} _{1}=&{\mathfrak {S}}_{2}\left[{\frac {r_{2}\sin(\varphi _{2}-\varphi _{1})}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}-{\frac {\sin(\varphi _{2}-\varphi _{1})}{r_{2}^{2}\left(1+p_{2}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right],\\\mathrm {P} _{1}=&{\mathfrak {S}}_{2}\left[{\frac {r_{1}p_{1}-r_{2}p_{2}}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}+{\frac {p_{2}}{r_{2}^{2}\left(1+p_{2}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right].\end{aligned}}$

On trouvera de la même manière les expressions des forces $\mathrm {R_{1},Q_{1},P_{1}} ,$ en tant qu’elles résultent de l’action des satellites ${\mathfrak {S}}_{3}$ et ${\mathfrak {S}}_{4}\,;$ et il est clair que l’on aura les mêmes formules que ci-dessus, en marquant seulement de trois traits ou de quatre traits les lettres qui sont marquées de deux traits^[2].

XI.

Si l’on veut avoir égard aussi à l’action du Soleil sur le satellite ${\mathfrak {S}}_{1},$ on nommera :

$\circledast \quad$la masse du Soleil,

$\delta _{1}\quad$la distance du satellite ${\mathfrak {S}}_{1}$ au Soleil,

$\rho _{1}\quad$le rayon vecteur de l’orbite du Soleil autour de Jupiter,

$\psi \quad$la longitude du Soleil vu du centre de $\mathbb {Z} \!^{\upsilon }$ :

et il n’y aura qu’à mettre, dans les expressions de $\mathrm {R_{1},Q_{1},P_{1}}$ de l’Article X, $\circledast$ au lieu de ${\mathfrak {S}}_{2},$ $\delta _{1}$ au lieu de $\Delta (r_{1},r_{2}),$ $\rho _{1}$ au lieu de $r_{2},$ $\psi$ au lieu de $\varphi _{2},$ et supposer $p_{2}=0.$ De cette manière on aura, en vertu de l’action du Soleil,

${\begin{aligned}\mathrm {R} _{1}=&\circledast \left[{\frac {r_{1}-\rho _{1}\cos(\psi -\varphi _{1})}{\delta _{1}^{3}}}+{\frac {\cos(\psi -\varphi _{1})}{\rho _{1}^{2}}}\right],\\\mathrm {Q} _{1}=&\circledast \left[{\frac {\rho _{1}\sin(\psi -\varphi _{1})}{\delta _{1}^{3}}}-{\frac {\sin(\psi -\varphi _{1})}{\rho _{1}^{2}}}\right],\\\mathrm {P} _{1}=&\circledast {\frac {r_{1}p_{1}}{\delta _{1}^{3}}}.\end{aligned}}$

XII.

Donc, en joignant ensemble les forces qui proviennent de l’action des trois satellites ${\mathfrak {S}}_{2},{\mathfrak {S}}_{3},{\mathfrak {S}}_{4},$ et du Soleil sur le satellite ${\mathfrak {S}}_{1}$ on aura les valeurs complètes de $\mathrm {R_{1},Q_{1},P_{1}} ,$ exprimées de la manière suivante

${\begin{aligned}\mathrm {R} _{1}&={\mathfrak {S}}_{2}\left[{\frac {r_{1}-r_{2}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}+{\frac {\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})}{r_{2}^{2}\left(1+p_{2}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\\&+{\mathfrak {S}}_{3}\left[{\frac {r_{1}-r_{3}\cos(\varphi _{3}-\varphi _{1})}{\Delta (r_{1},r_{3})^{3}}}+{\frac {\cos(\varphi _{3}-\varphi _{1})}{r_{3}^{2}\left(1+p_{3}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\\&+{\mathfrak {S}}_{4}\left[{\frac {r_{1}-r_{4}\cos(\varphi _{4}-\varphi _{1})}{\Delta (r_{1},r_{4})^{3}}}+{\frac {\cos(\varphi _{4}-\varphi _{1})}{r_{4}^{2}\left(1+p_{4}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\\&+\circledast \ \ \left[{\frac {r_{1}-\rho _{1}\cos(\psi \ -\varphi _{1})}{\delta _{1}^{3}}}+{\frac {\cos(\ \psi \ -\varphi _{1})}{\rho _{1}^{2}}}\right],\\\\\mathrm {Q} _{1}&={\mathfrak {S}}_{2}\left[{\frac {r_{2}\sin(\varphi _{2}-\varphi _{1})}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}-{\frac {\sin(\varphi _{2}-\varphi _{1})}{r_{2}^{2}\left(1+p_{2}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\\&+{\mathfrak {S}}_{3}\left[{\frac {r_{3}\sin(\varphi _{3}-\varphi _{1})}{\Delta (r_{1},r_{3})^{3}}}-{\frac {\sin(\varphi _{3}-\varphi _{1})}{r_{3}^{2}\left(1+p_{3}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\\&+{\mathfrak {S}}_{4}\left[{\frac {r_{4}\sin(\varphi _{4}-\varphi _{1})}{\Delta (r_{1},r_{4})^{3}}}-{\frac {\sin(\varphi _{4}-\varphi _{1})}{r_{4}^{2}\left(1+p_{4}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\\&+\circledast \ \ \left[{\frac {r_{4}\sin(\psi \ -\varphi _{1})}{\delta _{1}^{3}}}-{\frac {\sin(\ \psi \ -\varphi _{1})}{\rho _{1}^{2}}}\right],\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\mathrm {P} _{1}&={\mathfrak {S}}_{2}\left[{\frac {r_{1}p_{1}-r_{2}p_{2}}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}+{\frac {p_{2}}{r_{2}^{2}\left(1+p_{2}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\\&+{\mathfrak {S}}_{3}\left[{\frac {r_{1}p_{1}-r_{3}p_{3}}{\Delta (r_{1},r_{3})^{3}}}-{\frac {p_{3}}{r_{3}^{2}\left(1+p_{3}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\\&+{\mathfrak {S}}_{4}\left[{\frac {r_{1}p_{1}-r_{4}p_{4}}{\Delta (r_{1},r_{4})^{3}}}-{\frac {p_{4}}{r_{4}^{2}\left(1+p_{4}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\\&+\circledast {\frac {r_{1}p_{1}}{\delta _{1}^{3}}}.\end{aligned}}$

XIII.

Telles sont les expressions des forces perturbatrices du satellite ${\mathfrak {S}}_{1}\,;$ d’où il est facile de déduire celles des trois autres satellites ${\mathfrak {S}}_{2},{\mathfrak {S}}_{3},{\mathfrak {S}}_{4}.$ En effet, un peu de réflexion suffit pour faire voir que les quantités $\mathrm {R_{1},Q_{1},P_{1}} ,$ deviendront $\mathrm {R_{2},Q_{2},P_{2}} ,$ en marquant seulement de deux traits les lettres qui sont marquées d’un trait, et réciproquement^[3] ; ainsi l’on aura pour les forces perturbatrices du second satellite les expressions suivantes

${\begin{aligned}\mathrm {R} _{2}&={\mathfrak {S}}_{1}\left[{\frac {r_{2}-r_{1}\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})}{\Delta (r_{2},r_{1})^{3}}}+{\frac {\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})}{r_{1}^{2}\left(1+p_{1}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\\&+{\mathfrak {S}}_{3}\left[{\frac {r_{2}-r_{3}\cos(\varphi _{3}-\varphi _{2})}{\Delta (r_{2},r_{3})^{3}}}+{\frac {\cos(\varphi _{3}-\varphi _{2})}{r_{3}^{2}\left(1+p_{3}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\\&+{\mathfrak {S}}_{4}\left[{\frac {r_{2}-r_{4}\cos(\varphi _{4}-\varphi _{2})}{\Delta (r_{2},r_{4})^{3}}}+{\frac {\cos(\varphi _{4}-\varphi _{2})}{r_{4}^{2}\left(1+p_{4}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\\&+\circledast \ \ \left[{\frac {r_{2}-\rho _{1}\cos(\psi \ -\varphi _{2})}{\delta _{2}^{3}}}+{\frac {\cos(\ \psi \ -\varphi _{2})}{\rho _{1}^{2}}}\right],\\\\\mathrm {Q} _{2}&={\mathfrak {S}}_{1}\left[{\frac {r_{1}\sin(\varphi _{1}-\varphi _{2})}{\Delta (r_{2},r_{1})^{3}}}-{\frac {\sin(\varphi _{1}-\varphi _{2})}{r_{1}^{2}\left(1+p_{1}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\\&+{\mathfrak {S}}_{3}\left[{\frac {r_{3}\sin(\varphi _{3}-\varphi _{2})}{\Delta (r_{2},r_{3})^{3}}}-{\frac {\sin(\varphi _{3}-\varphi _{2})}{r_{3}^{2}\left(1+p_{3}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\\&+{\mathfrak {S}}_{4}\left[{\frac {r_{4}\sin(\varphi _{4}-\varphi _{2})}{\Delta (r_{2},r_{4})^{3}}}-{\frac {\sin(\varphi _{4}-\varphi _{2})}{r_{4}^{2}\left(1+p_{4}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\\&+\circledast \ \ \left[{\frac {r_{4}\sin(\psi \ -\varphi _{2})}{\delta _{2}^{3}}}-{\frac {\sin(\ \psi \ -\varphi _{2})}{\rho _{1}^{2}}}\right],\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\mathrm {P} _{2}&={\mathfrak {S}}_{1}\left[{\frac {r_{2}p_{2}-r_{1}p_{1}}{\Delta (r_{2},r_{1})^{3}}}+{\frac {p_{1}}{r_{1}^{2}\left(1+p_{1}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\\&+{\mathfrak {S}}_{3}\left[{\frac {r_{2}p_{2}-r_{3}p_{3}}{\Delta (r_{2},r_{3})^{3}}}-{\frac {p_{3}}{r_{3}^{2}\left(1+p_{3}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\\&+{\mathfrak {S}}_{4}\left[{\frac {r_{2}p_{2}-r_{4}p_{4}}{\Delta (r_{2},r_{4})^{3}}}-{\frac {p_{4}}{r_{4}^{2}\left(1+p_{4}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\\&+\circledast {\frac {r_{2}p_{2}}{\delta _{2}^{3}}}.\end{aligned}}$

On aura pareillement les expressions de $\mathrm {R_{3},Q_{3},P_{3}} ,$ et de $\mathrm {R_{4},Q_{4},P_{4}} ,$ en marquant successivement de trois et de quatre traits les lettres qui ne sont marquées que d’un seul trait dans les expressions de $\mathrm {R_{1},Q_{1},P_{1}} ,$ et réciproquement^[4].

XIV.

Il reste à chercher les valeurs des quantités $\Delta (r_{1},r_{2}),\Delta (r_{1},r_{3}),\ldots ,$ qui expriment les distances entre le premier satellite et le second, entre le premier et le troisième, etc. (Article IX). Or il est facile de trouver qu’on aura

${\begin{aligned}\Delta (r_{1},r_{2})^{2}=&(r_{2}p_{2}-r_{1}p_{1})^{2}+\left[r_{1}\sin(\varphi _{2}-\varphi _{1})\right]^{2}+\left[r_{2}-r_{1}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})\right]^{2}\\=&r_{1}^{2}\left(1+p_{1}^{2}\right)-2r_{1}r_{2}\left[\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+p_{1}p_{2}\right]+r_{2}^{2}\left(1+p_{2}^{2}\right)\,;\end{aligned}}$

donc, tirant la racine carrée,

$\Delta (r_{1},r_{2})={\sqrt {r_{1}^{2}\left(1+p_{1}^{2}\right)-2r_{1}r_{2}\left[\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+p_{1}p_{2}\right]+r_{2}^{2}\left(1+p_{2}^{2}\right)}}.$

On trouvera pareillement

$\Delta (r_{1},r_{3})={\sqrt {r_{1}^{2}\left(1+p_{1}^{2}\right)-2r_{1}r_{3}\left[\cos(\varphi _{3}-\varphi _{1})+p_{1}p_{3}\right]+r_{3}^{2}\left(1+p_{3}^{2}\right)}},$

et ainsi des autres. On voit par là que

$\Delta (r_{2},r_{1})=\Delta (r_{1},r_{2}),$

car l’expression de cette dernière quantité demeure la même, en changeant $r_{1},p_{1},\varphi _{1}$ en $r_{2},p_{2},\varphi _{2}$ et réciproquement ; ce qui est d’ailleurs évident.

XV.

Pour avoir maintenant la valeur de $\delta _{1},$ il n’y aura qu’à changer, dans celle de $\Delta (r_{1},r_{2}),$ $r_{2}$ en $\rho _{1},$ $\varphi _{2}$ en $\psi ,$ et effacer la quantité $p_{2}$ (Article XI) ; on aura donc ainsi

$\delta _{1}={\sqrt {r_{1}^{2}\left(1+p_{1}^{2}\right)-2r_{1}\rho _{1}\cos(\psi -\varphi _{1})+\rho _{1}^{2}}}\,;$

on trouvera pareillement

$\delta _{2}={\sqrt {r_{2}^{2}\left(1+p_{2}^{2}\right)-2r_{2}\rho _{1}\cos(\psi -\varphi _{2})+\rho _{1}^{2}}}\,;$

et ainsi des autres.

XVI.

Nous avons supposé (Article X) que l’attraction de Jupiter sur les satellites était exactement en raison inverse du carré des distances ; c’est ce qui n’est rigoureusement vrai qu’en regardant Jupiter comme un globe de densité uniforme.

Or on sait par les observations et par la Théorie que cette Planète est considérablement aplatie ; de plus il peut se faire qu’elle ne soit pas partout de la même densité deux circonstances qui peuvent aussi influer sur le mouvement des satellites, et auxquelles il est bon par conséquent d’avoir égard ici. Pour cela nous supposerons 1^o que la figure de Jupiter soit celle d’un sphéroïde elliptiqùe peu différent d’une sphère ; 2^o que ce sphéroïde soit formé d’une infinité de couches toutes sphéroïdiques, et de densités différentes ; 3^o que l’équateur de Jupiter soit dans le plan de l’orbite de cette Planète.

Cette dernière supposition n’est pas tout à fait exacte ; car on sait que l’équateur de Jupiter est incliné d’environ $3$ degrés sur le plan de son orbite ; mais l’erreur qui en résulte est si petite qu’il serait superflu d’en tenir compte.

Cela posé soient $\mathrm {A}$ le demi-axe d’une couche quelconque, $\mathrm {E}$ son ellipticité et $\mathrm {D}$ sa densité ; on trouvera par les Théorèmes de la figure de la Terre de M. Clairaut (§§ XXVI et XLVI, seconde Partie) que l’attraction de Jupiter sur un satellitequelconque produit deux forces l’une, dirigée au centre de Jupiter, égale à

${\frac {2\varpi }{r^{2}\left(1+p^{2}\right)}}\left[\int \mathrm {DA^{2}} d\mathrm {A} +{\frac {2}{3}}\int \mathrm {D} d\mathrm {\left(A^{3}E\right)} \right]+{\frac {2\varpi \left(1-2p^{2}\right)}{5r^{4}\left(1+p^{2}\right)^{3}}}\int \mathrm {D} d\mathrm {\left(A^{3}E\right)} \,;$

l’autre ; perpendiculaire à cette direction dans le plan d’un méridien, égale à

${\frac {4\varpi }{5r^{4}\left(1+p^{2}\right)^{3}}}\int \mathrm {D} d\mathrm {\left(A^{5}E\right)}$

($\varpi$ dénote ici la périphérie d’un cercle dont le rayon est égal à $1$). La partie

${\frac {2\varpi p}{r^{2}\left(1+p^{2}\right)}}\left[\int \mathrm {DA^{2}} d\mathrm {A} +{\frac {2}{3}}\int \mathrm {D} d\mathrm {\left(A^{3}E\right)} \right]$

de la première de ces deux forces, étant réciproquement proportionnelle au carré de la distance, doit être comparée avec la force ${\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{r^{2}\left(1+p^{2}\right)}}$ (Article X) ; d’où l’on aura

$\mathbb {Z} \!^{\upsilon }=2\varpi \left[\int \mathrm {DA^{2}} d\mathrm {A} +{\frac {2}{3}}\int \mathrm {D} d\mathrm {\left(A^{3}E\right)} \right].$

L’autre partie de la même force

${\frac {2\varpi \left(1-2p^{2}\right)}{5r^{4}\left(1+p^{2}\right)^{3}}}\int \mathrm {D} d\mathrm {\left(A^{5}E\right)} ,$

aussi bien que la force perpendiculaire

${\frac {4\varpi p}{5r^{4}\left(1+p^{2}\right)^{3}}}\int \mathrm {D} d\mathrm {\left(A^{5}E\right)} ,$

devront être regardées comme des forces perturbatrices, et par conséquent décomposées suivant les directions de $\mathrm {R,Q,P} \,;$ cette décomposi-

tion étant faite, on aura les deux forces suivantes

${\frac {2\varpi }{5r^{4}}}{\frac {1-4p^{2}}{\left(1+p^{2}\right)^{\frac {7}{2}}}}\int \mathrm {D} d\mathrm {\left(A^{5}E\right)}$

dans la direction de la force $\mathrm {R} ,$ et

${\frac {2\varpi }{5r^{4}}}{\frac {3p-2p^{3}}{\left(1+p^{2}\right)^{\frac {7}{2}}}}\int \mathrm {D} d\mathrm {\left(A^{5}E\right)}$

dans la direction de la force $\mathrm {P} \,;$ donc, si l’on suppose

$\nu ={\frac {\int \mathrm {D} d\mathrm {\left(A^{5}E\right)} }{\mathrm {A} ^{2}\left[\int \mathrm {DA^{2}} d\mathrm {A} +{\cfrac {2}{3}}\int \mathrm {D} d\mathrm {\left(A^{3}E\right)} \right]}},$

les forces perturbatrices $\mathrm {R}$ et $\mathrm {P} ,$ qui résultent de l’aplatissement de Jupiter et de l’hétérogénéité de ses couches, seront, en général,

$\mathrm {R} ={\frac {\nu \mathrm {A} ^{2}\mathbb {Z} \!^{\upsilon }\left(1-4p^{2}\right)}{5r^{4}\left(1+p^{2}\right)^{\frac {7}{2}}}},\quad \mathrm {P} ={\frac {\nu \mathrm {A} ^{2}\mathbb {Z} \!^{\upsilon }\left(3p-2p^{3}\right)}{5r^{4}\left(1+p^{2}\right)^{\frac {7}{2}}}},$

d’où l’on tire : par rapport au premier satellite,

$\mathrm {R} _{1}={\frac {\nu \mathrm {A} ^{2}\mathbb {Z} \!^{\upsilon }\left(1-4p_{1}^{2}\right)}{5r_{1}^{4}\left(1+p_{1}^{2}\right)^{\frac {7}{2}}}},\quad \mathrm {P} _{1}={\frac {\nu \mathrm {A} ^{2}\mathbb {Z} \!^{\upsilon }\left(3p_{1}-2p_{1}^{3}\right)}{5r_{1}^{4}\left(1+p_{1}^{2}\right)^{\frac {7}{2}}}},$

par rapport au second satellite,

$\mathrm {R} _{2}={\frac {\nu \mathrm {A} ^{2}\mathbb {Z} \!^{\upsilon }\left(1-4p_{2}^{2}\right)}{5r_{2}^{4}\left(1+p_{2}^{2}\right)^{\frac {7}{2}}}},\quad \mathrm {P} _{2}={\frac {\nu \mathrm {A} ^{2}\mathbb {Z} \!^{\upsilon }\left(3p_{2}-2p_{2}^{3}\right)}{5r_{2}^{4}\left(1+p_{2}^{2}\right)^{\frac {7}{2}}}}\,;$

et ainsi des autres.

Il n’y aura donc qu’à ajouter ces valeurs à celles des Articles XII et XIII. Au reste, comme l’aplatissement de Jupiter n’est que d’environ ${\frac {1}{14}}$ suivant les dernières observations, la quantité $\mathrm {E}$ sera fort petite, aussi bien que la quantité $\nu \,;$ de plus le rapport de $\mathrm {A} ^{2}$ à $r^{2}$ sera toujours exprimé par une fraction fort petite ; de sorte que les forces perturbatrices dont nous venons de parler seront nécessairement très-petites.

Si l’on suppose $\mathrm {D}$ constante, on aura

$\nu =\mathrm {\frac {3E}{1+2E}} .$

En général, quelle que soit $\mathrm {D} ,$ on aura, par les conditions de l’équilibre,

$\int \mathrm {D} d\mathrm {\left(A^{5}E\right)} =5\mathrm {A^{2}\left(E-{\frac {1}{2}}{\text{ϐ}}\right)\int DA^{2}} d\mathrm {A}$

(ϐ étant le rapport de la force centrifuge à la pesanteur, sous l’équateur) ; donc

$\nu =5\mathrm {E} -{\frac {5}{2}}$ϐ

à très-peu près.

XVII.

Il faut maintenant développer les expressions des forces perturbatrices $\mathrm {P,Q,R} ,$ en employant les suppositions de l’article V. Pour cela nous remarquerons d’abord que nous pouvons négliger dans ce calcul tous les termes de l’ordre $n^{2},$ parce que les quantités $\mathrm {P,Q,R}$ sont déjà elles-mêmes de l’ordre $n,$ comme nous le verrons plus bas. Donc, mettant premièrement dans la valeur de $\Delta (r_{1},r_{2})$ [Article XIV], au lieu de $r_{1},$ $a_{1}(1+nx_{1}),$ au lieu de $p_{1},$ $nz_{1}\,;$ et de même, au lieu de $r_{2},$ $a_{2}(1+nx_{2}),$ et au lieu de $p_{2},$ $nz_{2},$ suivant ce que nous avons dit à l’Article IX on aura

${\begin{aligned}&\Delta (r_{1},r_{2})\\&={\sqrt {a_{1}^{2}(1+2nx_{1})-2a_{1}a_{2}(1+nx_{1}+nx_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+a_{2}^{2}(1+2nx_{2})}}\\&={\sqrt {\left({\begin{aligned}a_{1}^{2}-2a_{1}a_{2}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+a_{2}^{2}+2n\left(a_{1}^{2}x_{1}+a_{2}^{2}x_{2}\right)&\\-2na_{1}a_{2}(x_{1}+x_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})&\end{aligned}}\right)}},\end{aligned}}$

d’où l’on tire, par les séries,

${\begin{aligned}{\frac {1}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}=&\left[a_{1}^{2}-2a_{1}a_{2}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+a_{2}^{2}\right]^{-{\frac {3}{2}}}\\&-3n\left[a_{1}^{2}x_{1}+a_{2}^{2}x_{2}-a_{1}a_{2}(x_{1}+x_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})\right]\\&\qquad \qquad \times \left[a_{1}^{2}-2a_{1}a_{2}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+a_{2}^{2}\right]^{-{\frac {5}{2}}}+\ldots .\end{aligned}}$

On trouvera de même

${\begin{aligned}{\frac {1}{\Delta (r_{1},r_{3})^{3}}}=&\left[a_{1}^{2}-2a_{1}a_{3}\cos(\varphi _{3}-\varphi _{1})+a_{3}^{2}\right]^{-{\frac {3}{2}}}\\&-3n\left[a_{1}^{2}x_{1}+a_{3}^{2}x_{3}-a_{1}a_{3}(x_{1}+x_{3})\cos(\varphi _{3}-\varphi _{1})\right]\\&\qquad \qquad \times \left[a_{1}^{2}-2a_{1}a_{3}\cos(\varphi _{3}-\varphi _{1})+a_{3}^{2}\right]^{-{\frac {5}{2}}}+\ldots .\end{aligned}}$

Et pareillement

${\begin{aligned}{\frac {1}{\Delta (r_{1},r_{4})^{3}}}=&\left[a_{1}^{2}-2a_{1}a_{4}\cos(\varphi _{4}-\varphi _{1})+a_{4}^{2}\right]^{-{\frac {3}{2}}}\\&-3n\left[a_{1}^{2}x_{1}+a_{4}^{2}x_{4}-a_{1}a_{4}(x_{1}+x_{4})\cos(\varphi _{4}-\varphi _{1})\right]\\&\qquad \qquad \times \left[a_{1}^{2}-2a_{1}a_{4}\cos(\varphi _{4}-\varphi _{1})+a_{4}^{2}\right]^{-{\frac {5}{2}}}+\ldots \,;\end{aligned}}$

et ainsi des autres.

XVIII.

Mais il se présente ici une difficulté, par rapport aux quantités

$\left[a_{1}^{2}-2a_{1}a_{2}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+a_{2}^{2}\right]^{-{\frac {3}{2}}},\quad \left[a_{1}^{2}-2a_{1}a_{2}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+a_{2}^{2}\right]^{-{\frac {5}{2}}},\ldots ,$

c’est de pouvoir les réduire à une forme rationnelle, condition absolument nécessaire pour l’intégration des équations des satellites.

Pour résoudre cette difliculté, on écrira d’abord les radicaux proposés ainsi

$a_{2}^{-3}\left[1-{\frac {2a_{1}}{a_{2}}}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+{\frac {a_{1}^{2}}{a_{2}^{2}}}\right]^{-{\frac {3}{2}}},$

$a_{2}^{-5}\left[1-{\frac {2a_{1}}{a_{2}}}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+{\frac {a_{1}^{2}}{a_{2}^{2}}}\right]^{-{\frac {5}{2}}},\ldots ,$

et la question se réduira à changer en une fonction rationnelle une quantité de cette forme

$\left(1-2q\cos \theta +q^{2}\right)^{-\lambda },$

dans laquelle $q$ est un nombre moindre que l’unité.

Pour y parvenir, je remarque que la quantité $1-2q\cos \theta +q^{2}$ est égale au produit de ces deux quantités

$1-q\left(\cos \theta +\sin \theta {\sqrt {-1}}\right)\quad {\text{et}}\quad 1-q\left(\cos \theta -\sin \theta {\sqrt {-1}}\right)\,;$

je les élève donc l’une et l’autre à la puissance $-\lambda ,$ en écrivant au lieu du carré de $\cos \theta \pm \sin \theta {\sqrt {-1}},$ $\cos 2\theta \pm \sin 2\theta {\sqrt {-1}},$ et ainsi de suite ;

j’ai

${\begin{aligned}&\left[1-q\left(\cos \theta \pm \sin \theta {\sqrt {-1}}\right)\right]^{-\lambda }=\\&\qquad \qquad \qquad \qquad 1+\lambda q\left(\cos \theta \pm \sin \theta {\sqrt {-1}}\right)\\&\qquad \qquad \qquad \qquad +{\frac {\lambda (\lambda +1)}{2}}q^{2}\left(\cos 2\theta \pm \sin 2\theta {\sqrt {-1}}\right)\\&\qquad \qquad \qquad \qquad +{\frac {\lambda (\lambda +1)(\lambda +2)}{2.3}}q^{3}\left(\cos 3\theta \pm \sin 3\theta {\sqrt {-1}}\right)+\ldots .\end{aligned}}$

Soit, pour abréger,

${\begin{aligned}1+&\lambda q\cos \theta +{\frac {\lambda (\lambda +1)}{2}}q^{2}\cos 2\theta +{\frac {\lambda (\lambda +1)(\lambda +2)}{2.3}}q^{3}\cos 3\theta +\ldots =\mathrm {M} ,\\&\lambda q\sin \,\theta +{\frac {\lambda (\lambda +1)}{2}}q^{2}\sin \,2\theta +{\frac {\lambda (\lambda +1)(\lambda +2)}{2.3}}q^{3}\sin \,3\theta +\ldots =\mathrm {N} \,;\end{aligned}}$

on aura

${\begin{aligned}&\left[1-q\left(\cos \theta +\sin \theta {\sqrt {-1}}\right)\right]^{-\lambda }=\mathrm {M+N} {\sqrt {-1}},\\&\left[1-q\left(\cos \theta -\sin \theta {\sqrt {-1}}\right)\right]^{-\lambda }=\mathrm {M-N} {\sqrt {-1}}\,;\end{aligned}}$

donc

$\left(1-2q\cos \theta +q^{2}\right)^{-\lambda }=\mathrm {\left(\mathrm {M+N} {\sqrt {-1}}\right)\left(\mathrm {M-N} {\sqrt {-1}}\right)=M^{2}+N^{2}} .$

Or, si l’on fait les carrés des deux séries $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N} ,$ qu’on ajoute ensemble les termes qui ont le même coefficient, et qu’on remarque que

$\cos m\theta \times \cos n\theta +\sin m\theta \times \sin \theta =\cos(m-n)\theta ,$

$m$ et $n$ étant des nombres quelconques, on trouvera

$\left(1-2q\cos \theta +q^{2}\right)^{-\lambda }=\mathrm {A+B\cos \theta +C\cos 2\theta +D} \cos 3\theta +\ldots .$

Et les coefficients $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ seront exprimés de la manière suivante

${\begin{aligned}\mathrm {A} =&1+\lambda ^{2}q^{2}+{\frac {\lambda ^{2}(\lambda +1)^{2}}{2^{2}}}q^{4}+{\frac {\lambda ^{2}(\lambda +1)^{2}(\lambda +2)^{2}}{2^{2}.3^{2}}}q^{6}+\ldots ,\\\mathrm {B} =&2\lambda q+2\lambda {\frac {\lambda (\lambda +1)}{2}}q^{3}+2{\frac {\lambda (\lambda +1)}{2}}{\frac {\lambda (\lambda +1)(\lambda +2)}{2.3}}q^{5}+\ldots ,\\&+2{\frac {\lambda (\lambda +1)(\lambda +2)}{2.3}}{\frac {\lambda (\lambda +1)(\lambda +2)(\lambda +3)}{2.3.4}}q^{7}+\ldots ,\\\mathrm {C} =&2{\frac {\lambda (\lambda +1)}{2}}q^{2}+2\lambda {\frac {\lambda (\lambda +1)(\lambda +2)}{2.3}}q^{4}+\ldots \,;\end{aligned}}$

et ainsi de suite.

Au reste il ne sera nécessaire que de connaître les deux premiers coefficients $\mathrm {A,B} ,$ pour avoir tous les autres $\mathrm {C,D} ,\ldots \,;$ car on trouvera par les formules de l’Article XXVI de la Pièce sur le mouvement de Saturne [Prix 1748]^[5]

${\begin{aligned}\mathrm {C} =&{\frac {\left(1+q^{2}\right)\mathrm {B} -2\lambda q\mathrm {A} }{(2-\lambda )q}},\\\mathrm {D} =&{\frac {2\left(1+q^{2}\right)\mathrm {C} -(1+\lambda )q\mathrm {B} }{(3-\lambda )q}},\\\mathrm {E} =&{\frac {3\left(1+q^{2}\right)\mathrm {D} -(2+\lambda )q\mathrm {C} }{(4-\lambda )q}}\,;\end{aligned}}$

et ainsi de suite.

XIX.

Tout consiste donc à déterminer les valeurs de $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} .$ Or, dans la Théorie des satellites de Jupiter, la plus grande valeur de $q$ est d’environ ${\frac {2}{3}},$ comme on le verra plus bas ; donc $q^{2}$ sera toujours moindre que ${\frac {1}{2}}\,;$ donc, si l’on fait $\lambda ={\frac {3}{2}},$ les suites $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ seront assez convergentes pour qu’on puisse se contenter d’un petit nombre de termes. Ces suites seront représentées, en général, par celles-ci

${\begin{aligned}\mathrm {A} =&1+{\frac {9}{4}}q^{2}+{\frac {9}{4}}.{\frac {25}{16}}q^{4}+{\frac {9}{4}}.{\frac {25}{16}}.{\frac {49}{36}}q^{6}+\ldots ,\\{\frac {\mathrm {B} }{2}}=&{\frac {3}{2}}q+{\frac {9}{4}}.{\frac {5}{4}}q^{3}+{\frac {9}{4}}.{\frac {25}{16}}.{\frac {7}{6}}q^{5}+\ldots ,\end{aligned}}$

dont les coefficients numériques sont très-aisés à calculer.

Voici les logarithmes de ces coefficients pour les différentes puissances de $q$ qui entrent dans les deux séries dont il s’agit ; les logarithmes qui répondent aux puissances paires de $q$ sont ceux des coefficients des termes de la série $\mathrm {A} ,$ et les logarithmes qui répondent aux puissances impaires de $q$ sont ceux des coefficients des termes de la série ${\frac {\mathrm {B} }{2}}.$

${\begin{array}{|c|c||c|c||c|c|}\hline \quad q\quad &\ \ 0{,}176091\ \ &\quad q^{16}\quad &\ \ 1{,}047096\ \ &\quad q^{31}\quad &\ \ 1{,}315612\ \ \\\hline q^{2}&0{,}352182&q^{17}&1{,}070577&q^{32}&1{,}328976\\\hline q^{3}&0{,}449092&q^{18}&1{,}094058&q^{33}&1{,}341565\\\hline q^{4}&0{,}546002&q^{19}&1{,}115247&q^{34}&1{,}354154\\\hline q^{5}&0{,}612949&q^{20}&1{,}136436&q^{35}&1{,}366053\\\hline q^{6}&0{,}679896&q^{21}&1{,}155741&q^{36}&1{,}377952\\\hline q^{7}&0{,}731049&q^{22}&1{,}175046&q^{37}&1{,}389233\\\hline q^{8}&0{,}782202&q^{23}&1{,}192775&q^{38}&1{,}400514\\\hline q^{9}&0{,}823595&q^{24}&1{,}210504&q^{39}&1{,}411238\\\hline q^{10}&0{,}864988&q^{25}&1{,}226895&q^{40}&1{,}421962\\\hline q^{11}&0{,}899750&q^{26}&1{,}243286&q^{41}&1{,}432181\\\hline q^{12}&0{,}934512&q^{27}&1{,}258526&q^{42}&1{,}442400\\\hline q^{13}&0{,}964475&q^{28}&1{,}273766&q^{43}&1{,}452160\\\hline q^{14}&0{,}994438&q^{29}&1{,}288007&q^{44}&1{,}461920\\\hline q^{15}&1{,}020767&q^{30}&1{,}302248&\ldots &\ldots \\\hline \end{array}}$

Il ne s’agira donc plus que d’ajouter à chacun de ces logarithmes celui de la puissance correspondante de $q,$ et de chercher ensuite le nombre qui répond à chaque somme ; on aura ainsi les valeurs d’autant de termes des deux séries $\mathrm {A}$ et ${\frac {\mathrm {B} }{2}}$ qu’on voudra ; d’où l’on pourra tirer pour $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ des valeurs aussi approchées qu’on le croira nécessaire. Pour juger de la quantité de l’approximation, on remarquera que les différences des logarithmes de la Table précédente forment une progression décroissante ; d’où il suit que, si après avoir pris la somme d’un nombre quelconque de termes de la série $\mathrm {A}$ ou ${\frac {\mathrm {B} }{2}}$ on regarde le reste de la série comme une propression géométrique, l’erreur sera toujours moindre que la somme de cette progression. Au reste, dans le cas même où $q$ sera la plus grande (ce cas est celui où $q={\frac {a_{2}}{a_{3}}}={\frac {900}{1438}},$ comme on le verra dans la suites), il suffira de prendre les dix premiers termes des séries $\mathrm {A}$ et ${\frac {\mathrm {B} }{2}}$ pour avoir les valeurs de ces coefficients en millièmes, c’est-à-dire aux dix-millièmes près, et en prenant encore trois ou quatre termes, on poussera l’exactitude jusqu’aux dix-millièmes et au delà.

XX.

Ayant ainsi les valeurs des coefficients $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ de la suite qui représente

$\left(1-2q\cos \theta +q^{2}\right)^{-{\frac {3}{2}}},$

on trouvera aisément ceux de la suite qui exprime

$\left(1-2q\cos \theta +q^{2}\right)^{-{\frac {5}{2}}}\,;$

car, dénotant ces derniers par $\mathrm {(A),(B),(C)} ,\ldots ,$ il faudra que la série

$\mathrm {(A)+(B)\cos \theta +(C)} \cos 2\theta +\ldots ,$

étant multipliée par

$1-2q\cos \theta +q^{2},$

devienne égale à la série

$\mathrm {A+B\cos \theta +C} \cos 2\theta +\ldots .$

La multiplication faite, on trouvera, en comparant les deux premiers termes,

${\begin{aligned}\mathrm {A} =&\left(1+q^{2}\right)(\mathrm {A} )-q(\mathrm {B} ),\\\mathrm {B} =&\left(1+q^{2}\right)(\mathrm {B} )-2q(\mathrm {A} )-q(\mathrm {C} ).\end{aligned}}$

Or $(\mathrm {C} )$ est donné en $(\mathrm {A} )$ et $(\mathrm {B} )$ de la même manière que $\mathrm {C}$ est donné en $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ il suffira pour cela de mettre dans l’expression de $\mathrm {C} ,$ Article XVIII, $(\mathrm {A} )$ au lieu de $\mathrm {A} ,$ $(\mathrm {B} )$ au lieu de $\mathrm {B} ,$ $(\mathrm {C} )$ au lieu de $\mathrm {C} ,$ et $\lambda +1$ au lieu de $\lambda \,;$ ce qui donnera

$(\mathrm {C} )={\frac {\left(1+q^{2}\right)(\mathrm {B} )-2(\lambda +1)q(\mathrm {A} )}{(1-\lambda )q}}\,;$

donc, si l’on substitue cette valeur de $\mathrm {(} C),$ on aura deux équations en $\mathrm {A} ,$ $\mathrm {B,(A),(B)} ,$ d’où l’on tirera

${\begin{aligned}(\mathrm {A} )=&{\frac {\left(1+q^{2}\right)(\mathrm {A} )+{\frac {\lambda -1}{\lambda }}q(\mathrm {B} )}{\left(1-q^{2}\right)^{2}}},\\(\mathrm {B} )=&{\frac {{\frac {\lambda -1}{\lambda }}\left(1+q^{2}\right)(\mathrm {B} )+4q(\mathrm {A} )}{\left(1-q^{2}\right)^{2}}}.\end{aligned}}$

Connaissant $(\mathrm {A} )$ et $(\mathrm {B} ),$ on connaîtra tous les suivants (Article XVIII).

XXI.

De ce qu’on vient de démontrer, il suit qu’on peut supposer

${\begin{aligned}&\left[a_{1}^{2}-2a_{1}a_{2}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+a_{2}^{2}\right]^{-{\frac {3}{2}}}\\&\quad =\Gamma (a_{1},a_{2})+\Gamma _{1}(a_{1},a_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})\\&\qquad +\Gamma _{2}(a_{1},a_{2})\cos 2(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\Gamma _{3}(a_{1},a_{2})\cos 3(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots ,\\\\&\left[a_{1}^{2}-2a_{1}a_{2}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+a_{2}^{2}\right]^{-{\frac {5}{2}}}\\&\quad =\Lambda (a_{1},a_{2})+\Lambda _{1}(a_{1},a_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})\\&\qquad +\Lambda _{2}(a_{1},a_{2})\cos 2(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\Lambda _{3}(a_{1},a_{2})\cos 3(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots .\end{aligned}}$

J’entends par

$\Gamma (a_{1},a_{2}),\ \Gamma _{1}(a_{1},a_{2}),\ \Gamma _{2}(a_{1},a_{2}),\ldots \,;\quad \Lambda (a_{1},a_{2}),\ \Lambda _{1}(a_{1},a_{2}),\ \Lambda _{2}(a_{1},a_{2}),\ldots \,;$

des fonctions données de $a_{1},a_{2},$ dont on trouvera la valeur par les méthodes des Articles précédents.

Donc, si l’on fait ces substitutions dans la quantité ${\frac {1}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}$ (Article XVII), et que l’on développe les produits des sinus et des cosinus, on trouvera

${\begin{aligned}&{\frac {1}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}\\&=\Gamma (a_{1},a_{2})+\Gamma _{1}(a_{1},a_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\Gamma _{2}(a_{1},a_{2})\cos 2(\varphi _{2}-\varphi _{1})\\&\quad +\Gamma _{3}(a_{1},a_{2})\cos 3(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots \\&\quad -3nx_{1}[a_{1}^{2}\Lambda (a_{1},a_{2})-a_{1}a_{2}{\frac {\Lambda _{1}(a_{1},a_{2})}{2}}]\\&\quad -3nx_{1}[a_{1}^{2}\Lambda _{1}(a_{1},a_{2})-a_{1}a_{2}{\frac {2\Lambda (a_{1},a_{2})+\Lambda _{2}(a_{1},a_{2})}{2}}]\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})\\&\quad -3nx_{1}[a_{1}^{2}\Lambda _{2}(a_{1},a_{2})-a_{1}a_{2}{\frac {2\Lambda _{1}(a_{1},a_{2})+\Lambda _{3}(a_{1},a_{2})}{2}}]\cos 2(\varphi _{2}-\varphi _{1})\\&\quad -\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&\quad -3nx_{2}[a_{2}^{2}\Lambda (a_{1},a_{2})-a_{1}a_{2}{\frac {\Lambda _{1}(a_{1},a_{2})}{2}}]\\&\quad -3nx_{2}[a_{2}^{2}\Lambda _{1}(a_{1},a_{2})-a_{1}a_{2}{\frac {2\Lambda (a_{1},a_{2})+\Lambda _{2}(a_{1},a_{2})}{2}}]\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})\\&\quad -3nx_{2}[a_{2}^{2}\Lambda _{2}(a_{1},a_{2})-a_{1}a_{2}{\frac {2\Lambda _{1}(a_{1},a_{2})+\Lambda _{3}(a_{1},a_{2})}{2}}]\cos 2(\varphi _{2}-\varphi _{1})\\&\quad -\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

XXII.

Soit fait, pour plus de simplicité,

${\begin{aligned}&\Pi \ (a_{1},a_{2})={\frac {a_{1}a_{2}\Lambda _{1}(a_{1},a_{2})-2a_{1}^{2}\Lambda (a_{1},a_{2})}{2}},\\&\Pi _{1}(a_{1},a_{2})={\frac {a_{1}a_{2}\Lambda _{2}(a_{1},a_{2})-2a_{1}^{2}\Lambda _{1}(a_{1},a_{2})+2a_{1}a_{2}\Lambda (a_{1},a_{2})}{2}},\\&\Pi _{2}(a_{1},a_{2})={\frac {a_{1}a_{2}\Lambda _{3}(a_{1},a_{2})-2a_{1}^{2}\Lambda _{2}(a_{1},a_{2})+a_{1}a_{2}\Lambda _{1}(a_{1},a_{2})}{2}},\\&\Pi _{3}(a_{1},a_{2})={\frac {a_{1}a_{2}\Lambda _{4}(a_{1},a_{2})-2a_{1}^{2}\Lambda _{3}(a_{1},a_{2})+a_{1}a_{2}\Lambda _{2}(a_{1},a_{2})}{2}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Soit aussi

${\begin{aligned}&\Psi \ (a_{1},a_{2})={\frac {a_{1}a_{2}\Lambda _{1}(a_{1},a_{2})-2a_{1}^{2}\Lambda (a_{1},a_{2})}{2}},\\&\Psi _{1}(a_{1},a_{2})={\frac {a_{1}a_{2}\Lambda _{2}(a_{1},a_{2})-2a_{1}^{2}\Lambda _{1}(a_{1},a_{2})+2a_{1}a_{2}\Lambda (a_{1},a_{2})}{2}},\\&\Psi _{2}(a_{1},a_{2})={\frac {a_{1}a_{2}\Lambda _{3}(a_{1},a_{2})-2a_{1}^{2}\Lambda _{2}(a_{1},a_{2})+a_{1}a_{2}\Lambda _{1}(a_{1},a_{2})}{2}},\\&\Psi _{3}(a_{1},a_{2})={\frac {a_{1}a_{2}\Lambda _{4}(a_{1},a_{2})-2a_{1}^{2}\Lambda _{3}(a_{1},a_{2})+a_{1}a_{2}\Lambda _{2}(a_{1},a_{2})}{2}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

On aura la quantité ${\frac {1}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}},$ exprimée de la manière suivante

${\begin{aligned}&{\frac {1}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}\\&=\Gamma (a_{1},a_{2})+\Gamma _{1}(a_{1},a_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\Gamma _{2}(a_{1},a_{2})\cos 2(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots \\&\quad +3nx_{1}\left[\Pi (a_{1},a_{2})+\Pi _{1}(a_{1},a_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\Pi _{2}(a_{1},a_{2})\cos 2(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&\quad +3nx_{2}\left[\Psi (a_{1},a_{2})+\Psi _{1}(a_{1},a_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\Psi _{2}(a_{1},a_{2})\cos 2(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots \right].\end{aligned}}$

On trouvera de même, en changeant simplement $r_{2}$ en $r_{3},$ $a_{2}$ en $a_{3},$ $\varphi _{2}$ en $\varphi _{3}$ et $x_{2}$ en $x_{3},$

${\begin{aligned}&{\frac {1}{\Delta (r_{1},r_{3})^{3}}}\\&=\Gamma (a_{1},a_{3})+\Gamma _{1}(a_{1},a_{3})\cos(\varphi _{3}-\varphi _{1})+\Gamma _{2}(a_{1},a_{3})\cos 2(\varphi _{3}-\varphi _{1})+\ldots \\&\quad +3nx_{1}\left[\Pi (a_{1},a_{3})+\Pi _{1}(a_{1},a_{3})\cos(\varphi _{3}-\varphi _{1})+\Pi _{2}(a_{1},a_{3})\cos 2(\varphi _{3}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&\quad +3nx_{3}\left[\Psi (a_{1},a_{3})+\Psi _{1}(a_{1},a_{3})\cos(\varphi _{3}-\varphi _{1})+\Psi _{2}(a_{1},a_{3})\cos 2(\varphi _{3}-\varphi _{1})+\ldots \right].\end{aligned}}$

et pareillement

${\begin{aligned}&{\frac {1}{\Delta (r_{1},r_{4})^{3}}}\\&=\Gamma (a_{1},a_{4})+\Gamma _{1}(a_{1},a_{4})\cos(\varphi _{4}-\varphi _{1})+\Gamma _{2}(a_{1},a_{4})\cos 2(\varphi _{4}-\varphi _{1})+\ldots \\&\quad +3nx_{1}\left[\Pi (a_{1},a_{4})+\Pi _{1}(a_{1},a_{4})\cos(\varphi _{4}-\varphi _{1})+\Pi _{2}(a_{1},a_{4})\cos 2(\varphi _{4}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&\quad +3nx_{4}\left[\Psi (a_{1},a_{4})+\Psi _{1}(a_{1},a_{4})\cos(\varphi _{4}-\varphi _{1})+\Psi _{2}(a_{1},a_{4})\cos 2(\varphi _{4}-\varphi _{1})+\ldots \right].\end{aligned}}$

XXIII.

Cela posé, on aura

${\begin{aligned}&{\frac {r_{1}}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}\\&=a_{1}\left[\Gamma (a_{1},a_{2})+\Gamma _{1}(a_{1},a_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\Gamma _{2}(a_{1},a_{2})\cos 2(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&\quad +nx_{1}a_{1}\left[3\Pi (a_{1},a_{2})+\Gamma (a_{1},a_{2})+\left[3\Pi _{1}(a_{1},a_{2})+\Gamma _{1}(a_{1},a_{2})\right]\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.+\left[3\Pi _{2}(a_{1},a_{2})+\Gamma _{2}(a_{1},a_{2})\right]\cos 2(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&\quad +3nx_{2}a_{1}\left[\Psi (a_{1},a_{2})+\Psi _{1}(a_{1},a_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\Psi _{2}(a_{1},a_{2})\cos 2(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots \right].\end{aligned}}$

On trouvera de la même manière

${\begin{aligned}&{\frac {r_{2}}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}\\&=a_{2}\left[\Gamma (a_{1},a_{2})+\Gamma _{1}(a_{1},a_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\Gamma _{2}(a_{1},a_{2})\cos 2(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&\quad +3nx_{1}a_{2}\left[\Pi (a_{1},a_{2})+\Pi _{1}(a_{1},a_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\Pi _{2}(a_{1},a_{2})\cos 2(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&\quad +nx_{2}a_{2}\left[3\Psi (a_{1},a_{2})+\Gamma (a_{1},a_{2})+\left[3\Psi _{1}(a_{1},a_{2})+\Gamma _{1}(a_{1},a_{2})\right]\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.+\left[3\Psi _{2}(a_{1},a_{2})+\Gamma _{2}(a_{1},a_{2})\right]\cos 2(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots \right].\end{aligned}}$

On aura ensuite

${\frac {1}{r_{2}^{2}\left(1+p_{2}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}={\frac {1}{a_{2}^{2}}}(1-2nx_{2}+\ldots ).$

Donc

$-{\frac {r_{2}}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}+{\frac {1}{r_{2}^{2}\left(1+p_{2}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}$

${\begin{aligned}&={\frac {1}{a_{2}^{2}}}-a_{2}\Gamma (a_{1},a_{2})-a_{2}\Gamma _{1}(a_{1},a_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})-a_{2}\Gamma _{2}(a_{1},a_{2})\cos 2(\varphi _{2}-\varphi _{1})-\ldots \\&\quad -3nx_{1}a_{2}\left[\Pi (a_{1},a_{2})+\Pi _{1}(a_{1},a_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\Pi _{2}(a_{1},a_{2})\cos 2(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&\quad -nx_{2}\left[{\frac {2}{a_{2}^{2}}}+3a_{2}\Psi (a_{1},a_{2})+a_{2}\Gamma (a_{1},a_{2})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad +\left[3a_{2}\Psi _{1}(a_{1},a_{2})+a_{2}\Gamma _{1}(a_{1},a_{2})\right]\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})\\&\qquad \qquad \qquad \qquad +{\biggl .}\left[3a_{2}\Psi _{2}(a_{1},a_{2})+a_{2}\Gamma _{2}(a_{1},a_{2})\right]\cos 2(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots {\biggr ]}.\end{aligned}}$

Cette quantité étant multipliée par $\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2}),$ on aura

$-{\frac {r_{2}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}+{\frac {\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})}{r_{2}^{2}\left(1+p_{2}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}$

${\begin{aligned}&=-{\frac {a_{2}\Gamma _{1}(a_{1},a_{2})}{2}}-\left[{\frac {a_{2}\Gamma _{2}(a_{1},a_{2})+2a_{2}\Gamma (a_{1},a_{2})}{2}}-{\frac {1}{a_{2}^{2}}}\right]\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})\\&\quad -{\frac {a_{2}\Gamma _{3}(a_{1},a_{2})+a_{2}\Gamma _{1}(a_{1},a_{2})}{2}}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})-\ldots \\&\quad -nx_{1}\left[3a_{2}{\frac {\Pi _{1}(a_{1},a_{2})}{2}}+3a_{2}{\frac {\Pi _{2}(a_{1},a_{2})+2\Pi (a_{1},a_{2})}{2}}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad +\left.3a_{2}{\frac {\Pi _{3}(a_{1},a_{2})+\Pi _{1}(a_{1},a_{2})}{2}}\cos 2(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&\quad -nx_{2}\left[{\frac {3a_{2}\Psi _{1}(a_{1},a_{2})+a_{2}\Gamma _{1}(a_{1},a_{2})}{2}}\right.\\&\qquad \qquad \quad +\left(3a_{2}{\frac {\Psi _{2}(a_{1},a_{2})+2\Psi (a_{1},a_{2})}{2}}+a_{2}{\frac {\Gamma _{2}(a_{1},a_{2})+2\Gamma (a_{1},a_{2})}{2}}+{\frac {2}{a_{2}^{2}}}\right)\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \times \cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})\\\\&\qquad \qquad \quad +\left(3a_{2}{\frac {\Psi _{3}(a_{1},a_{2})+\Psi _{1}(a_{1},a_{2})}{2}}+a_{2}{\frac {\Gamma _{3}(a_{1},a_{2})+\Gamma _{1}(a_{1},a_{2})}{2}}\right)\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\biggl .}\times \cos 2(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots {\biggr ]}.\end{aligned}}$

Enfin, multipliant la même quantité pa $-\sin(\varphi _{2}-\varphi _{1}),$ on aura

${\frac {r_{2}\sin(\varphi _{2}-\varphi _{1})}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}-{\frac {\sin(\varphi _{2}-\varphi _{1})}{r_{2}^{2}\left(1+p_{2}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}$

${\begin{aligned}&=-\left[a_{2}{\frac {\Gamma _{2}(a_{1},a_{2})-2\Gamma (a_{1},a_{2})}{2}}+{\frac {1}{a_{2}^{2}}}\right]\sin(\varphi _{2}-\varphi _{1})\\&\quad -a_{2}{\frac {\Gamma _{3}(a_{1},a_{2})-\Gamma _{1}(a_{1},a_{2})}{2}}\sin 2(\varphi _{2}-\varphi _{1})-\ldots \\&\quad -nx_{1}\left[3a_{2}{\frac {\Pi _{2}(a_{1},a_{2})-2\Pi (a_{1},a_{2})}{2}}\sin(\varphi _{2}-\varphi _{1})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad +\left.3a_{2}{\frac {\Pi _{3}(a_{1},a_{2})-\Pi _{1}(a_{1},a_{2})}{2}}\sin 2(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots \right]\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&\quad -nx_{2}\left[\left(3a_{2}{\frac {\Psi _{2}(a_{1},a_{2})-2\Psi (a_{1},a_{2})}{2}}+a_{2}{\frac {\Gamma _{2}(a_{1},a_{2})-2\Gamma (a_{1},a_{2})}{2}}-{\frac {2}{a_{2}^{2}}}\right)\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \times \sin(\varphi _{2}-\varphi _{1})\\\\&\qquad \qquad \quad +\left(3a_{2}{\frac {\Psi _{3}(a_{2},a_{1})-\Psi _{1}(a_{1},a_{2})}{2}}+a_{2}{\frac {\Gamma _{3}(a_{2},a_{1})-\Gamma _{1}(a_{1},a_{2})}{2}}\right)\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\Biggl .}\times \sin(\varphi _{2}-\varphi _{1}){\Biggr ]}.\end{aligned}}$

XXIV.

Soit maintenant

${\begin{aligned}{\breve {\Gamma }}\ \,(a_{1},a_{2})=&{\frac {a_{1}^{2}a_{2}\Gamma _{1}(a_{1},a_{2})-2a_{1}^{3}\Gamma (a_{1},a_{2})}{2}},\\{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})=&{\frac {a_{1}^{2}a_{2}\Gamma _{2}(a_{1},a_{2})-2a_{1}^{3}\Gamma _{1}(a_{1},a_{2})+2a_{1}^{2}a_{2}\Gamma (a_{1},a_{2})}{2}}-{\frac {a_{1}^{2}}{a_{2}^{2}}},\\{\breve {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})=&{\frac {a_{1}^{2}a_{2}\Gamma _{3}(a_{1},a_{2})-2a_{1}^{3}\Gamma _{2}(a_{1},a_{2})+a_{1}^{2}a_{2}\Gamma _{1}(a_{1},a_{2})}{2}},\\{\breve {\Gamma }}_{3}(a_{1},a_{2})=&{\frac {a_{1}^{3}a_{2}\Gamma _{4}(a_{1},a_{2})-2a_{1}^{3}\Gamma _{3}(a_{1},a_{2})+a_{1}^{2}a_{2}\Gamma _{2}(a_{1},a_{2})}{2}},\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\\{\breve {\Pi }}\ \,(a_{1},a_{2})=&3{\frac {a_{1}^{2}a_{2}\Pi _{1}(a_{1},a_{2})-2a_{1}^{3}\Pi (a_{1},a_{2})}{2}}-a_{1}^{3}\Gamma (a_{1},a_{2}),\\{\breve {\Pi }}_{1}(a_{1},a_{2})=&3{\frac {a_{1}^{2}a_{2}\Pi _{2}(a_{1},a_{2})-2a_{1}^{3}\Pi _{1}(a_{1},a_{2})+2a_{1}^{2}a_{2}\Pi (a_{1},a_{2})}{2}}\\&-a_{1}^{3}\Gamma _{1}(a_{1},a_{2}),\\\\{\breve {\Pi }}_{2}(a_{1},a_{2})=&3{\frac {a_{1}^{2}a_{2}\Pi _{3}(a_{1},a_{2})-2a_{1}^{3}\Pi _{2}(a_{1},a_{2})+a_{1}^{2}a_{2}\Pi _{1}(a_{1},a_{2})}{2}}\\&-a_{1}^{3}\Gamma _{2}(a_{1},a_{2}),\\\\{\breve {\Pi }}_{3}(a_{1},a_{2})=&3{\frac {a_{1}^{2}a_{2}\Pi _{4}(a_{1},a_{2})-2a_{1}^{3}\Pi _{3}(a_{1},a_{2})+a_{1}^{2}a_{2}\Pi _{2}(a_{1},a_{2})}{2}}\\&-a_{1}^{3}\Gamma _{3}(a_{1},a_{2}),\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\breve {\Psi }}\ \,(a_{1},a_{2})=&3{\frac {a_{1}^{2}a_{2}\Psi _{1}(a_{1},a_{2})-2a_{1}^{3}\Psi (a_{1},a_{2})}{2}}+{\frac {a_{1}^{2}a_{2}\Gamma _{1}(a_{1},a_{2})}{2}},\\{\breve {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})=&3{\frac {a_{1}^{2}a_{2}\Psi _{2}(a_{1},a_{2})-2a_{1}^{3}\Psi _{1}(a_{1},a_{2})+2a_{1}^{2}a_{2}\Psi (a_{1},a_{2})}{2}}\\&+{\frac {a_{1}^{2}a_{2}\Gamma _{2}(a_{1},a_{2})+2a_{1}^{2}a_{2}\Gamma (a_{1},a_{2})}{2}}+{\frac {2a_{1}^{2}}{a_{2}^{2}}},\\{\breve {\Psi }}_{2}(a_{1},a_{2})=&3{\frac {a_{1}^{2}a_{2}\Psi _{3}(a_{1},a_{2})-2a_{1}^{3}\Psi _{2}(a_{1},a_{2})+a_{1}^{2}a_{2}\Psi _{1}(a_{1},a_{2})}{2}}\\&+{\frac {a_{1}^{3}a_{2}\Gamma _{3}(a_{1},a_{2})+a_{1}^{2}a_{2}\Gamma _{1}(a_{1},a_{2})}{2}},\\{\breve {\Psi }}_{3}(a_{1},a_{2})=&3{\frac {a_{1}^{2}a_{2}\Psi _{4}(a_{1},a_{2})-2a_{1}^{3}\Psi _{3}(a_{1},a_{2})+a_{1}^{2}a_{2}\Psi _{2}(a_{1},a_{2})}{2}}\\&+{\frac {a_{1}^{2}a_{2}\Gamma _{4}(a_{1},a_{2})+a_{1}^{2}a_{2}\Gamma _{2}(a_{1},a_{2})}{2}},\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

On aura

${\begin{aligned}&{\mathfrak {S}}_{2}\left[{\frac {r_{1}-r_{2}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}+{\frac {\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})}{r_{2}^{2}\left(1+p_{2}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]=\\&-{\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{a_{1}^{2}}}\left[{\breve {\Gamma }}(a_{1},a_{2})+{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+{\breve {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})\ldots \right]\\&-n{\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{a_{1}^{2}}}x_{1}\left[{\breve {\Pi }}(a_{1},a_{2})+{\breve {\Pi }}_{1}(a_{1},a_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+{\breve {\Pi }}_{2}(a_{1},a_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})\ldots \right]\\&-n{\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{a_{1}^{2}}}x_{2}\left[{\breve {\Psi }}(a_{1},a_{2})+{\breve {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+{\breve {\Psi }}_{2}(a_{1},a_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})\ldots \right].\end{aligned}}$

C’est la partie de la force $\mathrm {R} ,$ qui résulte de l’action du satellite ${\mathfrak {S}}_{2}$ (Article X).

XXV.

Soit de plus

${\begin{aligned}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})=&{\frac {a_{1}^{2}a_{2}\Gamma _{2}(a_{1},a_{2})-2a_{1}^{2}a_{2}\Gamma (a_{1},a_{2})}{2}}+{\frac {a_{1}^{2}}{a_{2}^{2}}},\\{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})=&{\frac {a_{1}^{2}a_{2}\Gamma _{3}(a_{1},a_{2})+a_{1}^{2}a_{2}\Gamma _{1}(a_{1},a_{2})}{2}},\\{\widehat {\Gamma }}_{3}(a_{1},a_{2})=&{\frac {a_{1}^{2}a_{2}\Gamma _{4}(a_{1},a_{2})-a_{1}^{2}a_{2}\Gamma _{2}(a_{1},a_{2})}{2}},\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\\{\widehat {\Pi }}_{1}(a_{1},a_{2})=&3{\frac {a_{1}^{2}a_{2}\Pi _{2}(a_{1},a_{2})-2a_{1}^{2}a_{2}\Pi (a_{1},a_{2})}{2}},\\{\widehat {\Pi }}_{2}(a_{1},a_{2})=&3{\frac {a_{1}^{2}a_{2}\Pi _{3}(a_{1},a_{2})+a_{1}^{2}a_{2}\Pi _{1}(a_{1},a_{2})}{2}}\\{\widehat {\Pi }}_{3}(a_{1},a_{2})=&3{\frac {a_{1}^{2}a_{2}\Pi _{4}(a_{1},a_{2})+a_{1}^{2}a_{2}\Pi _{2}(a_{1},a_{2})}{2}}\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\\{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})=&3{\frac {a_{1}^{2}a_{2}\Psi _{2}(a_{1},a_{2})-2a_{1}^{2}a_{2}\Psi (a_{1},a_{2})}{2}}+{\widehat {\Gamma }}(a_{1},a_{2})-3{\frac {2a_{1}^{2}}{a_{2}^{2}}},\\{\widehat {\Psi }}_{2}(a_{1},a_{2})=&3{\frac {a_{1}^{2}a_{2}\Psi _{3}(a_{1},a_{2})-a_{1}^{2}a_{2}\Psi _{1}(a_{1},a_{2})}{2}}+{\widehat {\Gamma }}(a_{1},a_{2}),\\{\widehat {\Psi }}_{3}(a_{1},a_{2})=&3{\frac {a_{1}^{2}a_{2}\Psi _{4}(a_{1},a_{2})-a_{1}^{2}a_{2}\Psi _{2}(a_{1},a_{2})}{2}}+{\widehat {\Gamma }}_{3}(a_{1},a_{2}),\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

On aura

${\begin{aligned}&{\mathfrak {S}}_{2}\left[{\frac {r_{2}\sin(\varphi _{2}-\varphi _{1})}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}-{\frac {\sin(\varphi _{2}-\varphi _{1})}{r_{2}^{2}\left(1+p_{2}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]=\\&-{\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{a_{1}^{2}}}\left[{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})\sin(\varphi _{2}-\varphi _{1})+{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})\sin(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&-n{\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{a_{1}^{2}}}x_{1}\left[{\widehat {\Pi }}_{1}(a_{1},a_{2})\sin(\varphi _{2}-\varphi _{1})+{\widehat {\Pi }}_{2}(a_{1},a_{2})\sin(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&-n{\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{a_{1}^{2}}}x_{2}\left[{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})\sin(\varphi _{2}-\varphi _{1})+{\widehat {\Psi }}_{2}(a_{1},a_{2})\sin(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots \right].\end{aligned}}$

C’est la valeur de la force $\mathrm {Q} _{1}$ en tant qu’elle vient de l’action du satellite ${\mathfrak {S}}_{2}.$

XXVI.

Enfin on trouvera

${\begin{aligned}{\mathfrak {S}}_{2}&\left[{\frac {r_{1}p_{1}-r_{2}p_{2}}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}+{\frac {p_{2}}{r_{2}^{2}\left(1+p_{2}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\\=&n{\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{a_{1}^{2}}}z_{1}\left[a_{1}^{3}\Gamma (a_{1},a_{2})+a_{1}^{3}\Gamma _{1}(a_{1},a_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})\right.\\&\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left.+a_{1}^{3}\Gamma _{2}(a_{1},a_{2})\cos 2(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&-n{\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{a_{1}^{2}}}z_{2}\left[a_{1}^{2}a_{2}\Gamma (a_{1},a_{2})-{\frac {a_{1}^{2}}{a_{2}^{2}}}+a_{1}^{2}a_{2}\Gamma _{1}(a_{1},a_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\biggl .}+a_{1}^{2}a_{2}\Gamma _{2}(a_{1},a_{2})\cos 2(\varphi _{2}-\varphi _{1}){\biggr ]}.\end{aligned}}$

C’est la partie de force $\mathrm {P} _{1},$ qui vient de l’action du même satellite ${\mathfrak {S}}_{2}.$

On changera maintenant dans les expressions précédentes les quantités ${\mathfrak {S}}_{2},a_{2},\varphi _{2},z_{2}$ en ${\mathfrak {S}}_{3},a_{3},\varphi _{3},z_{3},$ et en ${\mathfrak {S}}_{4},a_{4},\varphi _{4},z_{4}$ successivement, et l’on aura les valeurs de $\mathrm {R_{1},Q_{1},P_{1}} ,$ dues à l’action des satellites ${\mathfrak {S_{3},S_{4}}}.$

Il ne restera donc plus qu’à chercher les valeurs de ces mêmes forces, en tant qu’elles viennent de l’action du Soleil.

Pour cela nous remarquerons d’abord que le rayon $\rho _{1}$ de l’orbite de Jupiter est considérablement plus grand que le rayon $r$ de l’orbite d’un satellite quelconque ; d’où il suit que la valeur de $\delta ,$ qui est exprimée généralement (Article XV) par

${\sqrt {\rho _{1}^{2}-2\rho _{1}r\cos(\psi -\varphi )+r^{2}\left(1+p^{2}\right)}}$

se réduira en une suite très-convergente, dont il suffira de prendre les premiers termes ; on aura donc

${\frac {1}{\delta ^{3}}}={\frac {1}{\rho _{1}^{3}}}+{\frac {3r\cos(\psi -\varphi )}{\delta _{1}^{4}}}+\ldots \,;$

donc

${\begin{aligned}-{\frac {\rho _{1}\cos(\psi -\varphi )}{\delta ^{3}}}+{\frac {\cos(\psi -\varphi )}{\rho _{1}^{2}}}=&-{\frac {3r}{2\rho _{1}^{3}}}\left[1+\cos 2(\psi -\varphi )\right],\\{\frac {\rho _{1}\sin(\psi -\varphi )}{\delta ^{3}}}-{\frac {\sin(\psi -\varphi )}{\rho _{1}^{2}}}=&{\frac {3r}{2\rho _{1}^{3}}}\sin 2(\psi -\varphi ),\end{aligned}}$

et

${\frac {r}{\delta ^{3}}}={\frac {r}{\rho _{1}^{3}}}.$

XXVII.

Soient à présent $\alpha$ la valeur moyenne de $\rho ,$ et $m$ la valeur moyenne de ${\frac {d\psi }{dt}},$ c’est-à-dire la vitesse angulaire moyenne de Jupiter autour du Soleil.

On supposera, à l’imitation de ce que nous avons fait (Article IV),

$\rho _{1}=\alpha (1+n\xi ),\quad \psi =mt+n\mathrm {J} .$

Dans ces formules, $n\xi$ représente l’équation de la distance de Jupiter au Soleil, et $n\mathrm {J}$ l’équation du centre de Jupiter ; lesquelles sont connues par la théorie de cette Planète. En effet, en n’ayant égard qu’aux équations elliptiques, et supposant que $ne$ soit l’excentricité et $\mathrm {U}$ l’anomalie moyenne, on a à très-peu près

$\xi =e\cos \mathrm {U} ,\quad \mathrm {J} =-2e\sin \mathrm {U} .$

On aura donc

${\frac {r}{\rho _{1}^{3}}}={\frac {a}{\alpha ^{3}}}(1+nx)(1-3n\xi )={\frac {a}{\alpha ^{3}}}(1+nx-3n\xi )\,;$

donc enfin

${\begin{aligned}\circledast &\left[r-{\frac {\rho _{1}\cos(\psi -\varphi _{1})}{\delta _{1}^{3}}}+{\frac {\cos(\psi -\varphi _{1})}{\rho _{1}^{2}}}\right]\\&=-{\frac {a_{1}\circledast }{2\alpha ^{3}}}\left[1+3\cos 2(\psi -\varphi _{1})\right]-n{\frac {a_{1}\circledast }{2\alpha ^{3}}}(x_{1}-3\xi )\left[1+3\cos 2(\psi -\varphi _{1})\right],\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\circledast &\left[{\frac {\rho _{1}\sin(\psi -\varphi _{1})}{\delta _{1}^{3}}}+{\frac {\sin(\psi -\varphi _{1})}{\rho _{1}^{2}}}\right]\\&={\frac {3a_{1}\circledast }{2\alpha ^{3}}}\sin 2(\psi -\varphi _{1})+n{\frac {3a_{1}\circledast }{2\alpha ^{3}}}(x_{1}-3\xi )\sin 2(\psi -\varphi _{1}),\\\circledast &{\frac {r_{1}p_{1}}{\delta _{1}^{3}}}=n{\frac {a_{1}\circledast }{\alpha _{1}^{3}}}z_{1}.\end{aligned}}$

Ce sont les valeurs des forces $\mathrm {R_{1},Q_{1},P_{1}} ,$ qui viennent de l’action du Soleil (Article XI).

XXVIII.

En joignant ensemble toutes ces différentes valeurs, on aura les valeurs complètes des forces $\mathrm {R_{1},Q_{1},P_{1}}$ exprimées de la manière suivante

${\begin{aligned}\mathrm {R} _{1}=&-{\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}\left[{\breve {\Gamma }}(a_{1},a_{2})+{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&-{\frac {{\mathfrak {S}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}\left[{\breve {\Gamma }}(a_{1},a_{3})+{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})\cos(\varphi _{3}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&-{\frac {{\mathfrak {S}}_{4}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}\left[{\breve {\Gamma }}(a_{1},a_{4})+{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})\cos(\varphi _{4}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&-{\frac {a_{1}^{3}}{\alpha ^{3}}}{\frac {\circledast }{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}\left[{\frac {1}{2}}+{\frac {3}{2}}\cos 2(\psi -\varphi _{1})+\ldots \right]\\&-n{\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}x_{1}\left[{\breve {\Pi }}(a_{1},a_{2})+{\breve {\Pi }}_{1}(a_{1},a_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&-n{\frac {{\mathfrak {S}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}x_{1}\left[{\breve {\Pi }}(a_{1},a_{3})+{\breve {\Pi }}_{1}(a_{1},a_{3})\cos(\varphi _{3}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&-n{\frac {{\mathfrak {S}}_{4}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}x_{1}\left[{\breve {\Pi }}(a_{1},a_{4})+{\breve {\Pi }}_{1}(a_{1},a_{4})\cos(\varphi _{4}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&-n{\frac {a_{1}^{3}}{\alpha ^{3}}}{\frac {\circledast }{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}x_{1}\left[{\frac {1}{2}}+{\frac {3}{2}}\cos 2(\psi -\varphi _{1})+\ldots \right]\\&-n{\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}x_{2}\left[{\breve {\Psi }}(a_{1},a_{2})+{\breve {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&-n{\frac {{\mathfrak {S}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}x_{3}\left[{\breve {\Psi }}(a_{1},a_{3})+{\breve {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{3})\cos(\varphi _{3}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&-n{\frac {{\mathfrak {S}}_{4}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}\left[{\widehat {\Psi }}(a_{1},a_{4})+{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{4})\cos(\varphi _{4}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&-n{\frac {a_{1}^{3}}{\alpha ^{3}}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{\circledast }}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}\xi \left[{\frac {3}{2}}+{\frac {9}{2}}\cos 2(\psi -\varphi _{1})+\ldots \right],\\\mathrm {Q} _{1}=&-{\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}\left[{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})\sin(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&-{\frac {{\mathfrak {S}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}\left[{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})\sin(\varphi _{3}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&-{\frac {{\mathfrak {S}}_{4}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}\left[{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})\sin(\varphi _{4}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&-{\frac {a_{1}^{3}}{\alpha ^{3}}}{\frac {\circledast }{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{\alpha _{1}^{2}}}\times {\frac {3}{2}}\sin 2(\psi -\varphi _{1})\\\\&-n{\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}x_{1}\left[{\widehat {\Pi }}_{1}(a_{1},a_{2})\sin(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&-n{\frac {{\mathfrak {S}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}x_{1}\left[{\widehat {\Pi }}_{1}(a_{1},a_{3})\sin(\varphi _{3}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&-n{\frac {{\mathfrak {S}}_{4}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}x_{1}\left[{\widehat {\Pi }}_{1}(a_{1},a_{4})\sin(\varphi _{4}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&-n{\frac {a_{1}^{3}}{\alpha ^{3}}}{\frac {\circledast }{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}x_{1}\times {\frac {3}{2}}\sin 2(\psi -\varphi _{1})+\ldots \\&-n{\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}x_{2}\left[{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})\sin(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&-n{\frac {{\mathfrak {S}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}x_{3}\left[{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{3})\sin(\varphi _{3}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&-n{\frac {{\mathfrak {S}}_{4}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}x_{4}\left[{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{4})\sin(\varphi _{4}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&-n{\frac {a_{1}^{3}}{\alpha ^{3}}}{\frac {\circledast }{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}\xi \times {\frac {9}{2}}\sin 2(\psi -\varphi _{1}),\\\\\mathrm {P} _{1}=&n{\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}z_{1}\left[a_{1}^{3}\Gamma (a_{1},a_{2})+a_{1}^{3}\Gamma _{1}(a_{1},a_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&+n{\frac {{\mathfrak {S}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}z_{1}\left[a_{1}^{3}\Gamma (a_{1},a_{2})+a_{1}^{3}\Gamma _{1}(a_{1},a_{3})\cos(\varphi _{3}-\varphi _{1})+\ldots \right]\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&+n{\frac {{\mathfrak {S}}_{4}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}z_{1}\left[a_{1}^{3}\Gamma (a_{1},a_{4})+a_{1}^{3}\Gamma _{1}(a_{1},a_{4})\cos(\varphi _{4}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&+n{\frac {a_{1}^{3}}{\alpha ^{3}}}{\frac {\circledast }{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}z_{1}\\&-n{\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}z_{2}\left[a_{1}^{2}a_{2}\Gamma (a_{1},a_{2})-{\frac {a_{1}^{2}}{a_{2}^{2}}}+a_{1}^{2}a_{2}\Gamma _{1}(a_{1},a_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&-n{\frac {{\mathfrak {S}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}z_{3}\left[a_{1}^{2}a_{3}\Gamma (a_{1},a_{3})-{\frac {a_{1}^{2}}{a_{3}^{2}}}+a_{1}^{2}a_{3}\Gamma _{1}(a_{1},a_{3})\cos(\varphi _{3}-\varphi _{1})+\ldots \right]\\&-n{\frac {{\mathfrak {S}}_{4}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}z_{4}\left[a_{1}^{2}a_{4}\Gamma (a_{1},a_{4})-{\frac {a_{1}^{2}}{a_{4}^{2}}}+a_{1}^{2}a_{4}\Gamma _{1}(a_{1},a_{4})\cos(\varphi _{4}-\varphi _{1})+\ldots \right]\end{aligned}}$

Il ne reste plus qu’à substituer pour $\varphi _{1},\varphi _{2},\varphi _{3},\varphi _{4}$ et $\psi$ leurs valeurs $\mu _{1}t+ny_{1},\mu _{2}t+ny_{2},\mu _{3}t+ny_{3},\mu _{4}t+ny_{4}$ et $mt+n\mathrm {J} \,;$ ce qui est très-facile, car il n’y aura qu’à changera, $\varphi _{1},\varphi _{2},\varphi _{3},\varphi _{4},\psi$ en $\mu _{1}t,\mu _{2}t,$ $\mu _{3}t,\mu _{4}t,mt,$ et ajouter ensuite aux expressions de $\mathrm {R} ,$ et $\mathrm {Q} ,$ les quantités suivantes

${\begin{aligned}&n{\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}(y_{2}-y_{1})\left[{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})\sin(\mu _{2}-\mu _{1})t+2{\breve {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})+\ldots \right]\\+&n{\frac {{\mathfrak {S}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}(y_{3}-y_{1})\left[{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})\sin(\mu _{3}-\mu _{1})t+2{\breve {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{3})+\ldots \right]\\+&n{\frac {{\mathfrak {S}}_{4}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}(y_{4}-y_{1})\left[{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})\sin(\mu _{4}-\mu _{1})t+2{\breve {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{4})+\ldots \right]\\+&n{\frac {a_{1}^{3}}{\alpha ^{3}}}{\frac {\circledast }{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}(\mathrm {J} -y_{1})\times 3\sin 2(m-\mu _{1})t,\end{aligned}}$

et

${\begin{aligned}-&n{\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}(y_{2}-y_{1})\left[{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t+2{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})+\ldots \right]\\-&n{\frac {{\mathfrak {S}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}(y_{3}-y_{1})\left[{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t+2{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{3})+\ldots \right]\\-&n{\frac {{\mathfrak {S}}_{4}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}(y_{4}-y_{1})\left[{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t+2{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{4})+\ldots \right]\\+&n{\frac {a_{1}^{3}}{\alpha ^{3}}}{\frac {\circledast }{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}(\mathrm {J} -y_{1})\times 3\cos 2(m-\mu _{1})t.\end{aligned}}$

Pour trouver les valeurs de $\mathrm {R_{2},Q_{2},P_{2}} ,$ il ne faudra qu’ajouter un trait aux lettres qui n’en ont qu’un, et en ôter un à celles qui en ont deux ; et ainsi des autres quantités $\mathrm {R_{3},Q_{3},P_{3},R_{4},Q_{4},P_{4}}$ [Article XIII]^[6].

À l’égard des forces perturbatrices qui viennent de la non-sphéricité de Jupiter, on trouvera, en négligeant dans les formules de l’Article XVI ce qu’on y doit négliger, qu’il faut ajouter aux valeurs de $\mathrm {R} _{1}$ et $\mathrm {P} _{1}$ les quantités suivantes

${\frac {\nu \mathrm {A} ^{2}}{5a_{1}^{2}}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}(1-4nx_{1})\quad {\text{et}}\quad n{\frac {3\nu \mathrm {A} ^{2}}{5a_{1}^{2}}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{2}}}z_{1},$

et de même aux valeurs de $\mathrm {R_{2},P_{2}}$ les quantités

${\frac {\nu \mathrm {A} ^{2}}{5a_{2}^{2}}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{2}^{2}}}(1-4nx_{2})\quad {\text{et}}\quad n{\frac {3\nu \mathrm {A} ^{2}}{5a_{2}^{2}}}{\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{2}^{2}}}z_{2},$

et ainsi de suite.

---

CHAPITRE III.

CALCUL DES PERTURBATIONS DES SATELLITES DE JUPITER.

XXIX.

Nous nous contenterons ici de chercher les formules qui déterminent le mouvement du premier satellite, parce que les autres s’en déduiront aisément par les remarques des Articles IX et XIII.

Pour appliquer au mouvement du premier satellite les équations générales de l’Article VIII il est visible qu’il ne faut que marquer les lettres d’un trait^[6], et substituer ensuite pour $\mathrm {X_{1},Y_{1},Z_{1}}$ leurs valeurs tirées de celles de $\mathrm {R_{1},Q_{1},P_{1}}$ (Article précédent). Mais, avant que de faire cette substitution, nous remarquerons que les équations (Articles V et VI)

$\mathrm {R} +{\frac {\mathrm {F} }{a^{2}}}-a\mu ^{2}=n{\frac {\mathrm {F} }{a^{2}}}\mathrm {X} ,\quad \int \mathrm {Q} (1+nx)dt=a\mu -{\frac {c}{a}}+n{\frac {\mathrm {F} }{a^{2}}}\mathrm {Y}$

ne peuvent subsister dans l’hypothèse de $n$ très-petit, à moins que les quantités constantes ${\frac {\mathrm {F} }{a^{2}}}-a\mu ^{2},\ a\mu -{\frac {a}{e}},$ et les quantités variables $\mathrm {R}$ et $\mathrm {Q}$ ne soient chacune très-petites de l’ordre $n$.

Or, en examinant les valeurs de $\mathrm {R}$ et $\mathrm {Q}$ (Article précédent), il est facile de voir qu’elles ne sauraient être supposées très-petites qu’en regardant comme telles les quantités constantes ${\frac {\mathfrak {S}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}},{\frac {a^{3}\circledast }{\alpha ^{3}\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}$ et $\nu {\frac {\mathrm {A} ^{2}}{a^{2}}}.$

Soit donc, en général,

${\frac {\mathfrak {S}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}=n\chi ,\quad {\frac {a^{3}\circledast }{\alpha ^{3}\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}=n\mathrm {K} ,\quad \nu {\frac {\mathrm {A} ^{2}}{a^{2}}}=n\varkappa .$

Soit, de plus,

$1-{\frac {\mu ^{2}}{f}}=ng,\quad -{\frac {\mu -{\cfrac {c}{a^{2}}}}{f}}=n\mathrm {H} .$

Nous aurons, à cause de $f={\frac {\mathrm {F} }{a^{3}}}$ (Article V),

$\mathrm {X} =g+{\frac {a^{2}}{\mathrm {F} }}{\frac {\mathrm {R} }{n}},\quad \mathrm {Y} =\mathrm {H} +{\frac {a^{2}}{\mathrm {F} }}{\frac {\int \mathrm {Q} (1+nx)dt}{n}},$

c’est-à-dire, à cause de $\mathrm {F} =\mathbb {Z} \!^{\upsilon }+{\mathfrak {S}}$ (Article X),

$\mathrm {X} =g+{\frac {a^{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathrm {R} }{n(1+n\chi )}},\quad \mathrm {Y} =\mathrm {H} +{\frac {a^{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\int \mathrm {Q} (1+nx)dt}{n(1+n\chi )}}.$

À l’égard de la quantité $\mathrm {Z} ,$ elle sera déterminée par l’équation (Article VII)

${\frac {\mathrm {P} -n\mathrm {R} z}{1+nx}}=n{\frac {\mathrm {F} }{a^{2}}}\mathrm {Z} ,$

laquelle se réduit à

$\mathrm {Z} ={\frac {a^{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}{\frac {\mathrm {P} -n\mathrm {R} z}{n(1+n\chi )(1+nx)}},$

où l’on remarquera que $\mathrm {P}$ est déjà toute multipliée par $n$ (Article XXVIII).

XXX.

Appliquons maintenant ces formules au premier satellite. Nous aurons d’abord en substituant la valeur de $\mathrm {R} _{1}$ (Article XXIX)

${\begin{aligned}&\mathrm {X} _{1}=g_{1}\\&-{\frac {\chi _{2}}{1+n\chi _{1}}}\left[{\breve {\Gamma }}(a_{1},a_{2})+{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t+{\breve {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})\cos 2(\mu _{2}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&-{\frac {\chi _{3}}{1+n\chi _{1}}}\left[{\breve {\Gamma }}(a_{1},a_{3})+{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t+{\breve {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{3})\cos 2(\mu _{3}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&-{\frac {\chi _{4}}{1+n\chi _{1}}}\left[{\breve {\Gamma }}(a_{1},a_{4})+{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t+{\breve {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{4})\cos 2(\mu _{4}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&-{\frac {\mathrm {K} _{1}}{1+n\chi _{1}}}\left[{\frac {1}{2}}+{\frac {3}{2}}\cos 2(m-\mu _{1})t\right]\\&-{\frac {n\chi _{2}}{1+n\chi _{1}}}x_{1}\left[{\breve {\Pi }}(a_{1},a_{2})+{\breve {\Pi }}_{1}(a_{1},a_{2})\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t+{\breve {\Pi }}_{2}(a_{1},a_{2})\cos 2(\mu _{2}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&-{\frac {n\chi _{3}}{1+n\chi _{1}}}x_{1}\left[{\breve {\Pi }}(a_{1},a_{3})+{\breve {\Pi }}_{1}(a_{1},a_{3})\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t+{\breve {\Pi }}_{2}(a_{1},a_{3})\cos 2(\mu _{3}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&-{\frac {n\chi _{4}}{1+n\chi _{1}}}x_{1}\left[{\breve {\Pi }}(a_{1},a_{4})+{\breve {\Pi }}_{1}(a_{1},a_{4})\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t+{\breve {\Pi }}_{2}(a_{1},a_{4})\cos 2(\mu _{4}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&-{\frac {n\mathrm {K} _{1}}{1+n\chi _{1}}}x_{1}\left[{\frac {1}{2}}+{\frac {3}{2}}\cos 2(m-\mu _{1})\right]\\&-{\frac {n\chi _{2}}{1+n\chi _{1}}}x_{2}\left[{\breve {\Psi }}(a_{1},a_{2})+{\breve {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t+{\breve {\Psi }}_{2}(a_{1},a_{2})\cos 2(\mu _{2}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&-{\frac {n\chi _{3}}{1+n\chi _{1}}}x_{3}\left[{\breve {\Psi }}(a_{1},a_{3})+{\breve {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{3})(\cos \mu _{3}-\mu _{1})t+{\breve {\Psi }}_{2}(a_{1},a_{3})\cos 2(\mu _{3}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&-{\frac {n\chi _{4}}{1+n\chi _{1}}}x_{4}\left[{\breve {\Psi }}(a_{1},a_{4})+{\breve {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{4})\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t+{\breve {\Psi }}_{2}(a_{1},a_{4})\cos 2(\mu _{4}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&+{\frac {n\mathrm {K} _{1}}{1+n\chi _{1}}}\xi \left[{\frac {1}{2}}+{\frac {3}{2}}\cos 2(m-\mu _{1})t\right]\\&+{\frac {n\chi _{2}}{1+n\chi _{1}}}(y_{2}-y_{1})\left[{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})\sin(\mu _{2}-\mu _{1})t+2{\breve {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})\sin 2(\mu _{2}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&+{\frac {n\chi _{3}}{1+n\chi _{1}}}(y_{3}-y_{1})\left[{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})\sin(\mu _{3}-\mu _{1})t+2{\breve {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{3})\sin 2(\mu _{3}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&+{\frac {n\chi _{4}}{1+n\chi _{1}}}(y_{4}-y_{1})\left[{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})\sin(\mu _{4}-\mu _{1})t+2{\breve {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{4})\sin 2(\mu _{4}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&+{\frac {n\mathrm {K} _{1}}{1+n\chi _{1}}}(\mathrm {J} -y)3\sin 2(m-\mu _{1})t\\&+{\frac {\varkappa _{1}}{1+n\chi _{1}}}\left({\frac {1}{5}}-{\frac {4}{5}}nx_{1}\right).\end{aligned}}$

XXXI.

Multipliant la valeur de $\mathrm {Q} _{1}$ par $1+nx_{1},$ et faisant, pour abréger,

${\begin{aligned}{\overset {\backsim }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{2})=&{\widehat {\Pi }}_{1}(a_{1},a_{2})+{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2}),\\{\overset {\backsim }{\Pi }}_{2}(a_{1},a_{2})=&{\widehat {\Pi }}_{2}(a_{1},a_{2})+{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2}),\\{\overset {\backsim }{\Pi }}_{3}(a_{1},a_{2})=&{\widehat {\Pi }}_{3}(a_{1},a_{2})+{\widehat {\Gamma }}_{3}(a_{1},a_{2}),\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

on aura, après l’intégration et la substitution,

${\begin{aligned}&\mathrm {Y} _{1}=\mathrm {H} _{1}\\&+{\frac {\chi _{2}}{1+n\chi _{1}}}\left[{\frac {{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})}{\mu _{2}-\mu _{1}}}\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t+{\frac {{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})}{2(\mu _{2}-\mu _{1})}}\cos 2(\mu _{2}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&+{\frac {\chi _{3}}{1+n\chi _{1}}}\left[{\frac {{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})}{\mu _{3}-\mu _{1}}}\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t+{\frac {{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{3})}{2(\mu _{3}-\mu _{1})}}\cos 2(\mu _{3}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&+{\frac {\chi _{4}}{1+n\chi _{1}}}\left[{\frac {{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})}{\mu _{4}-\mu _{1}}}\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t+{\frac {{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{4})}{2(\mu _{4}-\mu _{1})}}\cos 2(\mu _{4}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&-{\frac {\mathrm {K} _{1}}{1+n\chi _{1}}}{\frac {3}{4(m-\mu _{1})}}\cos 2(m-\mu _{1})t\\&-{\frac {n\chi _{2}}{1+n\chi _{1}}}\int x_{1}\left[{\overset {\backsim }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{2})\sin(\mu _{2}-\mu _{1})t+{\overset {\backsim }{\Pi }}_{2}(a_{1},a_{2})\sin 2(\mu _{2}-\mu _{1})t+\ldots \right]dt\\&-{\frac {n\chi _{3}}{1+n\chi _{1}}}\int x_{1}\left[{\overset {\backsim }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{3})\sin(\mu _{3}-\mu _{1})t+{\overset {\backsim }{\Pi }}_{2}(a_{1},a_{3})\sin 2(\mu _{3}-\mu _{1})t+\ldots \right]dt\\&-{\frac {n\chi _{4}}{1+n\chi _{1}}}\int x_{1}\left[{\overset {\backsim }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{4})\sin(\mu _{4}-\mu _{1})t+{\overset {\backsim }{\Pi }}_{2}(a_{1},a_{4})\sin 2(\mu _{4}-\mu _{1})t+\ldots \right]dt\\&+{\frac {n\mathrm {K} _{1}}{1+n\chi _{1}}}\int x_{1}\times 3\sin 2(m-\mu _{1})tdt\\&-{\frac {n\chi _{2}}{1+n\chi _{1}}}\int x_{2}\left[{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})\sin(\mu _{2}-\mu _{1})t+{\widehat {\Psi }}_{2}(a_{1},a_{2})\sin 2(\mu _{2}-\mu _{1})t+\ldots \right]dt\\&-{\frac {n\chi _{3}}{1+n\chi _{1}}}\int x_{3}\left[{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{3})\sin(\mu _{3}-\mu _{1})t+{\widehat {\Psi }}_{2}(a_{1},a_{3})\sin 2(\mu _{3}-\mu _{1})t+\ldots \right]dt\\&-{\frac {n\chi _{4}}{1+n\chi _{1}}}\int x_{4}\left[{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{4})\sin(\mu _{4}-\mu _{1})t+{\widehat {\Psi }}_{2}(a_{1},a_{4})\sin 2(\mu _{4}-\mu _{1})t+\ldots \right]dt\\&-{\frac {n\mathrm {K} _{1}}{1+n\chi _{1}}}\int \xi \times {\frac {9}{2}}\sin 2(m-\mu _{1})tdt\\&-{\frac {n\chi _{2}}{1+n\chi _{1}}}\int (y_{2}-y_{1})\left[{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t+2{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})\cos 2(\mu _{2}-\mu _{1})t+\ldots \right]dt\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&-{\frac {n\chi _{3}}{1+n\chi _{1}}}\int (y_{3}-y_{1})\left[{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t+2{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{3})\cos 2(\mu _{3}-\mu _{1})t+\ldots \right]dt\\&-{\frac {n\chi _{4}}{1+n\chi _{1}}}\int (y_{4}-y_{1})\left[{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t+2{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{4})\cos 2(\mu _{4}-\mu _{1})t+\ldots \right]dt\\&+{\frac {n\mathrm {K} _{1}}{1+n\chi _{1}}}\int (\mathrm {J} -y_{1})\times 3\cos 2(m-\mu _{1})tdt.\end{aligned}}$

XXXII.

Enfin, si l’on fait

${\begin{aligned}{\overset {\backsim }{\Pi }}\,\ (a_{1},a_{2})=&a_{1}^{3}\Gamma \,\ (a_{1},a_{2})+{\breve {\Gamma }}\ \,(a_{1},a_{2}),\\{\overset {\backsim }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{2})=&a_{1}^{3}\Gamma _{1}(a_{1},a_{2})+{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2}),\\{\overset {\backsim }{\Pi }}_{2}(a_{1},a_{2})=&a_{1}^{3}\Gamma _{2}(a_{1},a_{2})+{\breve {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2}),\\{\overset {\circ }{\Gamma }}\,\ (a_{1},a_{2})=&a_{1}^{2}a_{2}\Gamma \,\ (a_{1},a_{2})-{\frac {a_{1}^{2}}{a_{2}^{2}}},\\{\overset {\circ }{\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})=&a_{1}^{2}a_{2}\Gamma _{1}(a_{1},a_{2}),\\{\overset {\circ }{\Gamma }}_{3}(a_{1},a_{2})=&a_{1}^{2}a_{2}\Gamma _{2}(a_{1},a_{2}),\end{aligned}}$

et ainsi de suite, on trouvera

${\begin{aligned}&\mathrm {Z} _{1}=\\&\quad {\frac {n\chi _{2}}{1+n\chi _{1}}}z_{1}\left[{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{1},a_{2})+{\overset {\backsim }{\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t+{\overset {\backsim }{\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})\cos 2(\mu _{2}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&+{\frac {n\chi _{3}}{1+n\chi _{1}}}z_{1}\left[{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{1},a_{3})+{\overset {\backsim }{\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t+{\overset {\backsim }{\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{3})\cos 2(\mu _{3}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&+{\frac {n\chi _{4}}{1+n\chi _{1}}}z_{1}\left[{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{1},a_{4})+{\overset {\backsim }{\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t+{\overset {\backsim }{\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{4})\cos 2(\mu _{4}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&+{\frac {n\mathrm {K} _{1}}{1+n\chi _{1}}}{\frac {2}{5}}z_{1}\\&-{\frac {n\chi _{2}}{1+n\chi _{1}}}z_{2}\left[{\overset {\circ }{\Gamma }}(a_{1},a_{2})+{\overset {\circ }{\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t+{\overset {\circ }{\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})\cos 2(\mu _{2}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&-{\frac {n\chi _{3}}{1+n\chi _{1}}}z_{3}\left[{\overset {\circ }{\Gamma }}(a_{1},a_{3})+{\overset {\circ }{\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t+{\overset {\circ }{\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{3})\cos 2(\mu _{3}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&-{\frac {n\chi _{4}}{1+n\chi _{1}}}z_{4}\left[{\overset {\circ }{\Gamma }}(a_{1},a_{4})+{\overset {\circ }{\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t+{\overset {\circ }{\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{4})\cos 2(\mu _{4}-\mu _{1})t+\ldots \right].\end{aligned}}$

XXXIII.

Et le mouvement du satellite ${\mathfrak {S}}_{1}$ sera déterminé par les équations suivantes (Article VIII)

1^o$\quad {\frac {d^{2}x_{1}}{dt^{2}}}+\left(3\mu _{1}^{2}-2f_{1}\right)x_{1}+f_{1}\mathrm {X} _{1}-2\mu _{1}f_{1}\mathrm {Y} _{1}-n\left(6\mu _{1}^{2}-3f_{1}\right)x_{1}^{2}$

$-{\frac {3}{2}}nf_{1}z_{1}^{2}+6n\mu _{1}f_{1}^{2}\mathrm {Y} _{1}^{2}=0,$

2^o$\quad {\frac {d^{2}y_{1}}{dt^{2}}}+2\mu _{1}x_{1}-f_{1}\mathrm {Y} _{1}-3n\mu _{1}x_{1}^{2}+2nf_{1}x_{1}\mathrm {Y} _{1}=0,$

3^o$\quad {\frac {d^{2}z_{1}}{dt^{2}}}+\mu _{1}^{2}z_{1}+f_{1}\mathrm {Z} _{1}-4n\mu _{1}^{2}z_{1}x_{1}+{\frac {dz_{1}dx_{1}}{dt^{2}}}+2n\mu _{1}f_{1}z_{1}\mathrm {Y} _{1}=0.$

On se souviendra que les quantités $x_{1}$ et ${\frac {dy_{1}}{dt}}$ ne doivent renfermer aucun terme constant, suivant la remarque de l’Article IV.

XXXIV.

Il ne s’agit donc plus que d’intégrer les équations que nous venons de donner ; pour cela, on commencera par rejeter tous les termes affectés de $n,$ et l’on cherchera par l’intégration les valeurs de $x_{1},y_{1},z_{1}\,;$ on substituera ensuite ces valeurs dans les termes qu’on avait négligés, et l’on en tirera de nouvelles valeurs de $x_{1},y_{1},z_{1}$ plus approchées que les premières. On opérerait ainsi de suite, si nous avions eu égard aux termes affectés de $n^{2},n^{3},\ldots .$ Par ce moyen, l’intégration de la première et de la troisième équation de l’Article précédent se réduira à celle d’une équation de cette forme

${\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}+\mathrm {M} ^{2}u+\mathrm {T} =0,$

$\mathrm {T}$ étant une fonction composée de sinus et de cosinus d’angles multiples de $t\,;$ or l’intégrale de cette équation est, comme l’on sait,

$u=\mathrm {G} \sin \mathrm {M} t+\mathrm {H} \cos \mathrm {M} t+{\frac {\cos \mathrm {M} t\int \mathrm {T} \sin \mathrm {M} tdt-\sin \mathrm {M} t\int \mathrm {T} \cos \mathrm {M} tdt}{\mathrm {M} }}\,;$

de sorte qu’en supposant

$\mathrm {T} =\mathrm {A} +\mathrm {B} \cos pt+b\sin pt+\mathrm {C} \cos qt+c\sin qt+\ldots ,$

on aura

${\begin{aligned}u=-\mathrm {\frac {A}{M^{2}}} &+\left(\mathrm {H} +\mathrm {\frac {A}{M^{2}}} \ -{\frac {\mathrm {B} }{p^{2}-\mathrm {M} ^{2}}}\ -\ {\frac {\mathrm {C} }{q^{2}-\mathrm {M} ^{2}}}\ -\ldots \right)\cos \mathrm {M} t\\&+\left(\mathrm {G} -{\frac {pb}{\mathrm {M} \left(p^{2}-\mathrm {M} ^{2}\right)}}-{\frac {qc}{\mathrm {M} \left(q^{2}-\mathrm {M} ^{2}\right)}}-\ldots \right)\sin \mathrm {M} t\\&+{\frac {\mathrm {B} }{p^{2}-\mathrm {M} ^{2}}}\cos pt+{\frac {b}{p^{2}-\mathrm {M} ^{2}}}\sin pt\\&+{\frac {\mathrm {C} }{q^{2}-\mathrm {M} ^{2}}}\cos qt\,+{\frac {c}{q^{2}-\mathrm {M} ^{2}}}\sin qt+\ldots \,;\end{aligned}}$

$\mathrm {H}$ et $\mathrm {G}$ sont les valeurs de $u$ et de ${\frac {du}{\mathrm {M} dt}}$ lorsque $t=0.$

On voit de là que, pour avoir la valeur de $u,$ il n’y a qu’à diviser chacun des sinus et des cosinus qui entrent dans $\mathrm {T}$ par $p^{2}-\mathrm {M} ^{2},$ $p$ étant le coefficient de $t,$ et y ajouter encore deux autres termes, qui renferment $\sin \mathrm {M} t$ et $\cos \mathrm {M} t$ avec des coefficients arbitraires.

Il ne peut y avoir de difficulté que dans le cas où $p$ serait égal à $\mathrm {M} \,;$ car alors le diviseur $p^{2}-\mathrm {M} ^{2}$ sera nul, et les termes

$-{\frac {\mathrm {B} }{p^{2}-\mathrm {M} ^{2}}}\cos \mathrm {M} t+{\frac {\mathrm {B} }{p^{2}-\mathrm {M} ^{2}}}\cos pt,$

aussi bien que les termes

$-{\frac {pb}{\mathrm {M} \left(p^{2}-\mathrm {M} ^{2}\right)}}\sin \mathrm {M} t+{\frac {b}{p^{2}-\mathrm {M} ^{2}}}\sin pt$

deviendraient $-\infty ,+\infty \,:$ ce qui ne fait rien connaitre.

Pour résoudre cette difficulté, on supposera que $p$ ne soit pas tout à fait égale à $\mathrm {M} ,$ mais qu’elle en diffère d’une quantité infiniment petite ; et l’on trouvera que les deux premiers termes se réduisent à

$-{\frac {\mathrm {B} t}{2p}}\sin \mathrm {M} t,$

et les deux autres à

${\frac {bt}{2p}}\cos \mathrm {M} t\,;$

d’où l’on voit que la valeur de $u$ contiendra des termes multipliés par l’angle $t.$

Au reste, si dans la quantité $\mathrm {T}$ il se trouve des termes de cette forme $\cos pt$ ou $\sin pt,$ $p$ étant égal à $\mathrm {M} +nb,$ il est visible que ces termes augmenteront beaucoup par l’intégration, puisqu’ils se trouveront divisés par la quantité très-petite $p^{2}-\mathrm {M} ^{2}=nb(2\mathrm {M} +nb).$

Donc, si ces sortes de termes ont des coefficients finis dans l’équation différentielle, ils deviendront comme infinis dans l’intégrale ; et, s’ils n’ont que des coefficients très-petits de l’ordre $n$ dans la différentielle, ils deviendront finis dans l’intégrale, et appartiendront à la première valeur de $u$.

§ I. — Premières formules du mouvement des satellites
de Jupiter autour de cette Planète.

XXXV.

Si l’on substitue dans les trois équations de l’Article XXXIII les valeurs $\mathrm {X_{1},Y_{1}}$ et $\mathrm {Z} _{1}$ qu’on rejette d’abord tous les termes affectés de $n,$ et que l’on fasse, pour abréger,

$\mathrm {L} _{1}=g_{1}-2\mu _{1}\mathrm {H} _{1}-\chi _{2}{\breve {\Gamma }}(a_{1},a_{2})-\chi _{3}{\breve {\Gamma }}(a_{1},a_{3})-\chi _{4}{\breve {\Gamma }}(a_{1},a_{4})-{\frac {1}{2}}\mathrm {K} _{1}+{\frac {1}{5}}\varkappa _{1},$

$\mathrm {M} _{1}^{2}=3\mu _{1}^{2}-2f_{1},\quad \mathrm {N} _{1}^{2}=\mu ^{2},$

on trouvera les trois équations suivantes

$\left.{\begin{aligned}1^{\circ }&\ \ {\frac {d^{2}x_{1}}{dt^{2}}}+\mathrm {M} _{1}^{2}x_{1}+f_{1}\mathrm {L} _{1}\\&-\chi _{2}f_{1}\left[{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})+{\frac {2\mu _{1}}{\mu _{2}-\mu _{1}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})\right]\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t\\&-\chi _{2}f_{1}\left[{\breve {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})+{\frac {2\mu _{1}}{2(\mu _{2}-\mu _{1})}}{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})\right]\cos 2(\mu _{2}-\mu _{1})t+\ldots \\&-\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&-\chi _{3}f_{1}\left[{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})+{\frac {2\mu _{1}}{\mu _{3}-\mu _{1}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})\right]\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t\\&-\chi _{3}f_{1}\left[{\breve {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{3})+{\frac {2\mu _{1}}{2(\mu _{3}-\mu _{1})}}{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{3})\right]\cos 2(\mu _{3}-\mu _{1})t+\ldots \\&-\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&-\chi _{4}f_{1}\left[{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})+{\frac {2\mu _{1}}{\mu _{4}-\mu _{1}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})\right]\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t\\&-\chi _{4}f_{1}\left[{\breve {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{4})+{\frac {2\mu _{1}}{2(\mu _{4}-\mu _{1})}}{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{4})\right]\cos 2(\mu _{4}-\mu _{1})t+\ldots \\&-\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\end{aligned}}\right\}=0\,;$

$\left.{\begin{aligned}2^{\circ }&\ \ {\frac {d^{2}y_{1}}{dt^{2}}}+2\mu _{1}x_{1}-f_{1}h_{1}\\&-\chi _{2}f_{1}\left[{\frac {{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})}{\mu _{2}-\mu _{1}}}\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t+{\frac {{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})}{2(\mu _{2}-\mu _{1})}}\cos 2(\mu _{2}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&-\chi _{3}f_{1}\left[{\frac {{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})}{\mu _{3}-\mu _{1}}}\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t+{\frac {{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{3})}{2(\mu _{3}-\mu _{1})}}\cos 2(\mu _{3}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&-\chi _{4}f_{1}\left[{\frac {{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})}{\mu _{4}-\mu _{1}}}\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t+{\frac {{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{4})}{2(\mu _{4}-\mu _{1})}}\cos 2(\mu _{4}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&+\mathrm {K} _{1}{\frac {3f_{1}}{4(m-\mu _{1})}}\cos 2(m-\mu _{1})t\\\end{aligned}}\right\}=0\,;$

$3^{\circ }\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad z_{1}{\frac {d^{2}t}{dt^{2}}}\mathrm {N} _{1}z_{1}=0.$

XXXVI.

La première équation étant intégrée par la méthode de l’Article XXXIV, on trouvera que la valeur de $x_{1}$ renferme premièrement le terme constant $-{\frac {f_{1}\mathrm {L} _{1}}{\mathrm {M} _{1}^{2}}},$ lequel devant être nul (Article XXXIII), on aura l’équation $\mathrm {L} _{1}=0.$

Ensuite la valeur de $x_{1}$ renfermera deux termes, tels que $\sin \mathrm {M} t$ et $\cos \mathrm {M} _{1}t,$ avec des coefficients arbitraires, lesquels pourront se réduire à un seul terme représenté par $\varepsilon \cos(M_{1}t+\omega _{1})\,;$ $\varepsilon _{1},\omega _{1},$ étant pareillement des constantes arbitraires.

De cette manière, si l’on fait

${\begin{aligned}&\Xi _{1}(a_{1},a_{2})=\left[{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})+{\frac {2\mu _{1}}{\mu _{2}-\mu _{1}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})\right]{\frac {f_{1}}{(\mu _{2}-\mu _{1})^{2}-\mathrm {M} _{1}^{2}}},\\&\Xi _{2}(a_{1},a_{2})=\left[{\breve {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})+{\frac {2\mu _{1}}{2(\mu _{2}-\mu _{1})}}{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})\right]{\frac {f_{1}}{4(\mu _{2}-\mu _{1})^{2}-\mathrm {M} _{1}^{2}}},\\&\Xi _{3}(a_{1},a_{2})=\left[{\breve {\Gamma }}_{3}(a_{1},a_{2})+{\frac {2\mu _{1}}{3(\mu _{2}-\mu _{1})}}{\widehat {\Gamma }}_{3}(a_{1},a_{2})\right]{\frac {f_{1}}{9(\mu _{2}-\mu _{1})^{2}-\mathrm {M} _{1}^{2}}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et de même

${\begin{aligned}&\Xi _{1}(a_{1},a_{3})=\left[{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})+{\frac {2\mu _{1}}{\mu _{3}-\mu _{1}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})\right]{\frac {f_{1}}{(\mu _{3}-\mu _{1})^{2}-\mathrm {M} _{1}^{2}}},\\&\Xi _{2}(a_{1},a_{3})=\left[{\breve {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{3})+{\frac {2\mu _{1}}{2(\mu _{3}-\mu _{1})}}{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{3})\right]{\frac {f_{1}}{4(\mu _{3}-\mu _{1})^{2}-\mathrm {M} _{1}^{2}}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et ainsi des autres, et qu’on suppose de plus

$\beta _{1}={\frac {3}{2}}\left(1-{\frac {\mu _{1}}{m-\mu _{1}}}\right){\frac {f_{1}}{4(m-\mu _{1})^{2}-\mathrm {M} _{1}^{2}}},$

on aura

${\begin{aligned}x_{1}=&\varepsilon _{1}\cos(M_{1}t+\omega _{1})\\&-\chi _{2}\left[\Xi _{1}(a_{1},a_{2})\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t+\Xi _{2}(a_{1},a_{2})\cos 2(\mu _{2}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&-\chi _{3}\left[\Xi _{1}(a_{1},a_{3})\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t+\Xi _{2}(a_{1},a_{3})\cos 2(\mu _{3}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&-\chi _{4}\left[\Xi _{1}(a_{1},a_{4})\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t+\Xi _{2}(a_{1},a_{4})\cos 2(\mu _{4}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&-\mathrm {K} _{1}\beta _{1}\cos 2(m-\mu _{1})t.\end{aligned}}$

XXXVII.

Ayant trouvé la valeur $x_{1},$ on aura l’expression du rayon vecteur $r_{1}$ de l’orbite du premier satellite rapportée au plan de l’orbite de Jupiter, par la formule $r_{1}=a_{1}(1+nx_{1})$ [Article IV].

Or, en examinant cette expression de $r_{1},$ on reconnaîtra aisément que le terme $na_{1}\varepsilon _{1}\cos(\mathrm {M} _{1}t+\omega _{1})$ représente l’équation elliptique qui vient de l’excentricité de l’orbite, de sorte que $n\varepsilon _{1}$ exprimera la valeur de l’excentricité, et $\mathrm {M} _{1}t+\omega _{1}$ sera l’anomalie moyenne ; d’où l’on voit que le mouvement de cette anomalie sera au mouvement moyen du satellite comme $\mathrm {M} _{1}$ à $\mu _{1}\,;$ par conséquent le mouvement moyen de la ligne des apsides sera au mouvement moyen du satellite comme $\mu _{1}-\mathrm {M} _{1}$ à $\mu _{1}.$ Nous verrons plus bas (Article XLV), qu’en négligeant les quantités de l’ordre $n,$ on a $\mathrm {M} _{1}=\mu _{1},$ de sorte que la ligne des apsides sera fixe, au moins par cette première approximation.

À l’égard de $\omega _{1},$ on le déterminera par le moyen d’une époque quelconque donnée de l’anomalie moyenne ; ainsi les quantités $\varepsilon _{1}$ et $\omega _{1}$ dépendent entièrement des observations.

Les autres termes de la valeur de $r_{1}$ expriment les inégalités qui viennent de l’action des trois satellites ${\mathfrak {S}}_{2},{\mathfrak {S}}_{3},{\mathfrak {S}}_{4}$ et du Soleil sur le satellite ${\mathfrak {S}}_{1}.$

XXXVIII.

On substituera maintenant la valeur de $x_{1}$ dans la seconde équation de l’Article XXXV, et l’on tirera par l’intégration la valeur de $y_{1},$ mais on aura attention de faire évanouir auparavant (Article XXXIII) le terme constant $f_{1}\mathrm {H} _{1}\,;$ ce qui donnera $\mathrm {H} _{1}=0.$

Soit, pour abréger,

${\begin{aligned}&\Phi _{1}(a_{1},a_{2})={\frac {2\mu _{1}}{\mu _{2}-\mu _{1}}}\Xi _{1}(a_{1},a_{2})+{\frac {f_{1}}{(\mu _{2}-\mu _{1})^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2}),\\&\Phi _{2}(a_{1},a_{2})={\frac {2\mu _{1}}{2(\mu _{2}-\mu _{1})}}\Xi _{2}(a_{1},a_{2})+{\frac {f_{1}}{4(\mu _{2}-\mu _{1})^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2}),\\&\Phi _{3}(a_{1},a_{2})={\frac {2\mu _{1}}{3(\mu _{2}-\mu _{1})}}\Xi _{3}(a_{1},a_{2})+{\frac {f_{1}}{9(\mu _{2}-\mu _{1})^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{3}(a_{1},a_{2}),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et pareillement

${\begin{aligned}&\Phi _{1}(a_{1},a_{3})={\frac {2\mu _{1}}{\mu _{3}-\mu _{1}}}\Xi _{1}(a_{1},a_{3})+{\frac {f_{1}}{(\mu _{3}-\mu _{1})^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3}),\\&\Phi _{2}(a_{1},a_{3})={\frac {2\mu _{1}}{2(\mu _{3}-\mu _{1})}}\Xi _{2}(a_{1},a_{3})+{\frac {f_{1}}{4(\mu _{3}-\mu _{1})^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{3}),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et ainsi de suite.

Soit de plus

$\gamma _{1}={\frac {\mu _{1}}{m-\mu _{1}}}\beta _{1}-{\frac {3f_{1}}{8(m-\mu _{1})^{2}}}\,;$

on trouvera

${\begin{aligned}y_{1}=&-{\frac {2\mu _{1}\varepsilon _{1}}{\mathrm {M} _{1}}}\sin(\mathrm {M} _{1}t+\omega _{1})\\&+\chi _{2}\left[\Phi _{1}(a_{1},a_{2})\sin(\mu _{2}-\mu _{1})t+\Phi _{2}(a_{1},a_{2})\sin 2(\mu _{2}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&+\chi _{3}\left[\Phi _{1}(a_{1},a_{3})\sin(\mu _{3}-\mu _{1})t+\Phi _{2}(a_{1},a_{3})\sin 2(\mu _{3}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&+\chi _{4}\left[\Phi _{1}(a_{1},a_{4})\sin(\mu _{4}-\mu _{1})t+\Phi _{2}(a_{1},a_{4})\sin 2(\mu _{4}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&+\mathrm {K} _{1}\gamma _{1}\sin 2(m-\mu _{1})t.\end{aligned}}$

XXXIX.

Puisque $\varphi _{1}=\mu _{1}t+ny_{1}$ (Article IV), on aura, en connaissant $\gamma _{1},$ l’expression du mouvement vrai du premier satellite par son mouvement moyen.

Le terme $-{\frac {2n\mu _{1}\varepsilon _{1}}{\mathrm {M} _{1}}}\sin(\mathrm {M} _{1}t+\omega _{1})$ représentera l’équation du centre qui vient de la figure elliptique de l’orbite, et les termes suivants exprimeront les inégalités causées par l’action des trois autres satellites et du Soleil.

XL.

Enfin l’équation

${\frac {d^{2}z_{1}}{dt^{2}}}+\mathrm {N} _{1}^{2}z_{1}=0$

donnera

$z_{1}=\lambda _{1}\sin(\mathrm {N} _{1}t+\eta _{1}),$

$\lambda _{1}$ et $\eta _{1}$ étant des quantités arbitraires ; car il est visible que cette expression $\mathrm {G} \sin \mathrm {N} _{1}t+\mathrm {H} \cos \mathrm {N} _{1}t,$ laquelle représente généralement la valeur de $z_{1}$ (Article XXXIV), peut se réduire à celle-ci : $\lambda _{1}\sin(\mathrm {N} _{1}t+\eta _{1}).$

XLI.

On aura donc, à cause de $p_{1}=nz_{1}$ (Article IV),

$p_{1}=n\lambda _{1}\sin(\mathrm {N} _{1}t+\eta _{1})$

$=$tangente de la latitude du satellite par rapport au plan de l’orbite de Jupiter ;

d’où l’on voit que l’orbite réelle du satellite sera toute dans un plan passant par le centre de Jupiter, et dont on connaîtra la position en remarquant : 1^o que $n\lambda _{1},$ étant la plus grande valeur de $p_{1},$ exprimera la tangente de l’inclinaison ; 2^o que $\mathrm {N} _{1}t+\eta _{1},$ sera la distance du satellite au nœud ascendant, comptée sur l’orbite de Jupiter, laquelle étant retranchée de la longitude moyenne $\mu _{1}t,$ on aura $(\mu _{1}-\mathrm {N} _{1})t-\eta _{1}$ pour la longitude moyenne du nœud.

Au reste, puisque l’on a ici $\mathrm {N} _{1}=\mu _{1}$ (Article XXXV), le mouvement du nœud sera nul, et sa longitude moyenne sera $-\eta _{1},$ ou plutôt $360^{\circ }-\eta _{1},$ quantité qui dépend des observations ; mais il faut se souvenir que ce résultat n’est exact qu’aux quantités de l’ordre $n$ près.

XLII.

On trouvera de même, pour le second satellites, les formules suivantes

${\begin{aligned}x_{2}=&\varepsilon _{2}\cos(M_{2}t+\omega _{2})\\&-\chi _{1}\left[\Xi _{1}(a_{2},a_{1})\cos(\mu _{1}-\mu _{2})t+\Xi _{2}(a_{2},a_{1})\cos 2(\mu _{1}-\mu _{2})t+\ldots \right]\\&-\chi _{3}\left[\Xi _{1}(a_{2},a_{3})\cos(\mu _{3}-\mu _{2})t+\Xi _{2}(a_{2},a_{3})\cos 2(\mu _{3}-\mu _{2})t+\ldots \right]\\&-\chi _{4}\left[\Xi _{1}(a_{2},a_{4})\cos(\mu _{4}-\mu _{2})t+\Xi _{2}(a_{2},a_{4})\cos 2(\mu _{4}-\mu _{2})t+\ldots \right]\\&-\mathrm {K} _{2}\beta _{2}\cos 2(m-\mu _{2})t\,;\\\\y_{2}=&-{\frac {2\mu _{2}\varepsilon _{2}}{\mathrm {M} _{2}}}\sin(\mathrm {M} _{2}t+\omega _{2})\\&+\chi _{1}\left[\Phi _{1}(a_{2},a_{1})\sin(\mu _{1}-\mu _{2})t+\Phi _{2}(a_{2},a_{1})\sin 2(\mu _{1}-\mu _{2})t+\ldots \right]\\&+\chi _{3}\left[\Phi _{1}(a_{2},a_{3})\sin(\mu _{3}-\mu _{2})t+\Phi _{2}(a_{2},a_{3})\sin 2(\mu _{3}-\mu _{2})t+\ldots \right]\\&+\chi _{4}\left[\Phi _{1}(a_{2},a_{4})\sin(\mu _{4}-\mu _{2})t+\Phi _{2}(a_{2},a_{4})\sin 2(\mu _{4}-\mu _{2})t+\ldots \right]\\&+\mathrm {K} _{2}\gamma _{2}\sin 2(m-\mu _{2})t\,;\\\\z_{2}=&\lambda _{2}\sin(\mu _{2}t+\eta _{2}).\end{aligned}}$

Et l’on aura ensuite

$r_{2}=a_{2}(1+nx_{2}),\quad \varphi _{2}=\mu _{2}t+ny_{2},\quad p_{2}=nz_{2}.$

Quant aux quantités marquées par $\Xi$ et $\Phi ,$ on aura

${\begin{aligned}&\Xi _{1}(a_{2},a_{1})=\left[{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{2},a_{1})+{\frac {2\mu _{2}}{\mu _{1}-\mu _{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{2},a_{1})\right]{\frac {f_{2}}{(\mu _{1}-\mu _{2})^{2}-\mathrm {M} _{2}^{2}}},\\&\Xi _{2}(a_{2},a_{1})=\left[{\breve {\Gamma }}_{2}(a_{2},a_{1})+{\frac {2\mu _{2}}{2(\mu _{1}-\mu _{2})}}{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{2},a_{1})\right]{\frac {f_{2}}{4(\mu _{1}-\mu _{2})^{2}-\mathrm {M} _{2}^{2}}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\\&\Phi _{1}(a_{2},a_{1})={\frac {2\mu _{2}}{\mu _{1}-\mu _{2}}}\Xi _{1}(a_{2},a_{1})+{\frac {f_{2}}{(\mu _{1}-\mu _{2})^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{2},a_{1}),\\&\Phi _{2}(a_{2},a_{1})={\frac {2\mu _{2}}{2(\mu _{1}-\mu _{2})}}\Xi _{2}(a_{2},a_{1})+{\frac {f_{2}}{4(\mu _{1}-\mu _{2})^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{2},a_{1}),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Outre cela, on aura

${\begin{aligned}\mathrm {L} _{2}\,\ =&g_{2}-2\mu _{2}\mathrm {H} _{2}-\chi _{1}{\breve {\Gamma }}(a_{2},a_{1})-\chi _{3}{\breve {\Gamma }}(a_{2},a_{3})-\chi _{4}{\breve {\Gamma }}(a_{2},a_{4})-{\frac {1}{2}}\mathrm {K} _{2}+{\frac {1}{5}}\varkappa _{2},\\\mathrm {M} _{2}^{2}=&3\mu _{2}^{2}-2f_{2},\\\beta _{2}\ \,=&{\frac {3}{2}}\left(1-{\frac {\mu _{2}}{m-\mu _{2}}}\right){\frac {f_{2}}{4(m-\mu _{2})^{2}-\mathrm {M} _{2}^{2}}},\\\gamma _{2}\ \,=&{\frac {\mu _{2}}{m-\mu _{2}}}\beta _{2}-{\frac {3f_{2}}{8(m-\mu _{2})^{2}}}.\end{aligned}}$

Enfin on trouvera les deux conditions $\mathrm {L} _{2}=0$ et $\mathrm {H} _{2}=0,$ qui servirout à déterminer les deux constantes $f_{2}$ et $t_{2}$ (Article XIX).

On aura des formules analogues pour le troisième et le quatrième satellite, que nous nous dispenserons de rappeler ici, parce qu’elles se déduisent à l’œil de celles que nous venons de donner.

§ II. — Valeurs numériques des coefficients des formules précédentes.

XLIII.

Soit, en général, suivant l’Article XVIII,

$\left(1-2q\cos \theta +q^{2}\right)^{-{\frac {3}{2}}}=\mathrm {A+B\cos \theta +C\cos 2\theta +D\cos 3\theta +\ldots } ,$

$q$ étant une fraction moindre que l’unité ; on aura, en faisant $q={\frac {a_{1}}{a_{2}}}$ et $\theta =\varphi _{2}-\varphi _{1},$

$\left[a_{1}^{2}-2a_{1}a_{2}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+a_{2}^{2}\right]^{-{\frac {3}{2}}}=$

$a_{2}^{3}\left[\mathrm {A+B\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+C\cos 2(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots } \right]\,;$

donc (Article XXI)

$\Gamma (a_{1},a_{2})={\frac {\mathrm {A} }{a_{2}^{3}}},\quad \Gamma _{1}(a_{1},a_{2})={\frac {\mathrm {B} }{a_{2}^{3}}},\quad \Gamma _{2}(a_{1},a_{2})={\frac {\mathrm {C} }{a_{2}^{3}}},\ldots .$

On trouvera de même, en faisant successivement

$q={\frac {a_{1}}{a_{3}}},\quad q={\frac {a_{1}}{a_{4}}},\quad q={\frac {a_{2}}{a_{3}}},\quad q={\frac {a_{2}}{a_{4}}},\quad q={\frac {a_{3}}{a_{4}}},$

on trouvera, dis-je,

${\begin{alignedat}{2}\Gamma (a_{1},a_{3})=&{\frac {\mathrm {A} }{a_{3}^{3}}},\quad &\Gamma _{1}(a_{1},a_{3})=&{\frac {\mathrm {B} }{a_{3}^{3}}},\ldots ,\\\Gamma (a_{1},a_{4})=&{\frac {\mathrm {A} }{a_{4}^{3}}},&\Gamma _{1}(a_{1},a_{4})=&{\frac {\mathrm {B} }{a_{4}^{3}}},\ldots ,\\\Gamma (a_{2},a_{3})=&{\frac {\mathrm {A} }{a_{3}^{3}}},&\Gamma _{1}(a_{2},a_{3})=&{\frac {\mathrm {B} }{a_{3}^{3}}},\ldots \,;\end{alignedat}}$

et ainsi de suite.

À l’égard des quantités $\Gamma (a_{2},a_{1}),\Gamma (a_{3},a_{1}),\ldots ,$ il est évident qu’elles doivent être égales à leurs réciproques $\Gamma (a_{1},a_{2}),\Gamma (a_{1},a_{3}),\ldots ,$ car les fonctions

$a_{1}^{2}-2a_{1}a_{2}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+a_{2}^{2},\quad a_{1}^{2}-2a_{1}a_{3}\cos(\varphi _{3}-\varphi _{1})+a_{3}^{2},\ldots$

demeurent les mêmes, en changeant $a_{1}$ en $a_{2}$ et $a_{2}$ en $a_{1},$ ou bien $a_{1}$ en $a_{3}$ et $a_{3}$ en $a_{1},\ldots .$

XLIV.

De là on trouvera (Article XXIV), $q$ étant égal à ${\frac {a_{1}}{a_{2}}},$

${\begin{aligned}&{\breve {\Gamma }}\ (a_{1},a_{2})={\frac {q^{2}\mathrm {B} -2q^{3}\mathrm {A} }{2}},\\&{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})={\frac {q^{2}\mathrm {C} -2q^{3}\mathrm {B} +2q^{2}\mathrm {A} }{2}}-q^{2},\\&{\breve {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})={\frac {q^{2}\mathrm {D} -2q^{3}\mathrm {C} +q^{2}\mathrm {B} }{2}},\\&{\breve {\Gamma }}_{3}(a_{1},a_{2})={\frac {q^{2}\mathrm {E} -2q^{3}\mathrm {D} +q^{2}\mathrm {C} }{2}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Et, par l’Article XXV on aura

${\begin{aligned}&{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})={\frac {q^{2}\mathrm {C} -2q^{2}\mathrm {A} }{2}}+q^{2},\\&{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})={\frac {q^{2}\mathrm {D} -q^{2}\mathrm {B} }{2}},\\&{\widehat {\Gamma }}_{3}(a_{1},a_{2})={\frac {q^{2}\mathrm {E} -q^{2}\mathrm {C} }{2}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

et ces mêmes formules serviront aussi pour les quantités

${\breve {\Gamma }}(a_{1},a_{3}),\ \ {\breve {\Gamma }}(a_{1},a_{4}),\ \ {\breve {\Gamma }}(a_{2},a_{3}),\ldots ,\ \ {\widehat {\Gamma }}(a_{1},a_{3}),\ \ {\widehat {\Gamma }}(a_{1},a_{4}),\ \ {\widehat {\Gamma }}(a_{2},a_{3}),\ldots ,$

en faisant successivement

$q={\frac {a_{1}}{a_{3}}},\quad q={\frac {a_{1}}{a_{4}}},\quad q={\frac {a_{2}}{a_{3}}},\ldots .$

Mais, pour les quantités réciproques ${\breve {\Gamma }}(a_{2},a_{1}),{\widehat {\Gamma }}(a_{2},a_{1}),\ldots ,$ on aura les formules suivantes

${\begin{aligned}&{\breve {\Gamma }}\ (a_{2},a_{1})={\frac {q\mathrm {B} -2\mathrm {A} }{2}},\\&{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{2},a_{1})={\frac {q\mathrm {C} -2\mathrm {B} +2q\mathrm {A} }{2}}-{\frac {1}{q^{2}}},\\&{\breve {\Gamma }}_{2}(a_{2},a_{1})={\frac {q\mathrm {D} -2\mathrm {C} +q\mathrm {B} }{2}},\\&{\breve {\Gamma }}_{3}(a_{2},a_{1})={\frac {q\mathrm {E} -2\mathrm {D} +q\mathrm {C} }{2}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\\&{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{2},a_{1})={\frac {q\mathrm {C} -2q\mathrm {A} }{2}}+{\frac {1}{q^{2}}},\\&{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{2},a_{1})={\frac {q\mathrm {D} -q\mathrm {B} }{2}},\\&{\widehat {\Gamma }}_{3}(a_{2},a_{1})={\frac {q\mathrm {E} -q\mathrm {C} }{2}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

lesquelles auront lieu pareillement pour les quantités ${\breve {\Gamma }}(a_{3},a_{1}),$ ${\widehat {\Gamma }}(a_{3},a_{1}),\ldots$ en faisant comme ci-devant $q={\frac {a_{1}}{a_{3}}},\ldots .$

XLV.

On formera ensuite les quantités marquées par $\Xi$ et par $\Phi$ (Articles XXXIV et XXXVIII), ce qui n’aura aucune difficulté. On remarquera seulement que, à cause de $1-{\frac {\mu ^{2}}{f}}=ng$ (Article XXIX), on aura, en négligeant la quantité $ng$ qui est de l’ordre $n,$

$f=\mu ^{2},\quad$et de là$\quad f_{1}=\mu _{1}^{2},\quad f_{2}=\mu _{2}^{2},\quad f_{3}=\mu _{3}^{2},\quad f_{4}=\mu _{4}^{2}$

par conséquent (Article XXXV)

$\mathrm {M} _{1}=\mu _{1},\quad$et pareillement$\quad \mathrm {M} _{2}=\mu _{2},\quad \mathrm {M} _{3}=\mu _{3},\quad \mathrm {M} _{4}=\mu _{4}.$

Donc, supposant $s={\frac {\mu _{2}}{\mu _{1}}},$ on aura

${\begin{aligned}&\Xi _{1}(a_{1},a_{2})=\left[{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})+{\frac {2}{s-1}}{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})\right]{\frac {1}{(s-1)^{2}-1}},\\&\Xi _{2}(a_{1},a_{2})=\left[{\breve {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})+{\frac {2}{2(s-1)}}{\breve {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})\right]{\frac {1}{4(s-1)^{2}-1}},\\&\Xi _{3}(a_{1},a_{2})=\left[{\breve {\Gamma }}_{3}(a_{1},a_{2})+{\frac {2}{3(s-1)}}{\breve {\Gamma }}_{3}(a_{1},a_{2})\right]{\frac {1}{9(s-1)^{2}-1}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\\&\Phi _{1}(a_{1},a_{2})={\frac {2}{s-1}}\Xi _{1}(a_{1},a_{2})+{\frac {1}{(s-1)^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2}),\\&\Phi _{2}(a_{1},a_{2})={\frac {2}{2(s-1)}}\Xi _{2}(a_{1},a_{2})+{\frac {1}{4(s-1)^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2}),\\&\Phi _{3}(a_{1},a_{2})={\frac {2}{3(s-1)}}\Xi _{3}(a_{1},a_{2})+{\frac {1}{9(s-1)^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{3}(a_{1},a_{2}),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

De méme, en faisant $s={\frac {\mu _{3}}{\mu _{1}}},$ on aura

${\begin{aligned}&\Xi _{1}(a_{1},a_{3})=\left[{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})+{\frac {2}{s-1}}{\widehat {\Gamma }}(a_{1},a_{3})\right]{\frac {1}{(s-1)^{2}-1}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\\&\Phi _{1}(a_{1},a_{3})={\frac {2}{s-1}}\Xi _{1}(a_{1},a_{3})+{\frac {1}{(s-1)^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3}),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

Pareillement on trouvera, $s$ étant égal à ${\frac {\mu _{1}}{\mu _{2}}},$

${\begin{aligned}&\Xi _{1}(a_{2},a_{1})=\left[{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{2},a_{1})+{\frac {2}{s-1}}{\widehat {\Gamma }}(a_{2},a_{1})\right]{\frac {1}{(s-1)^{2}-1}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\\&\Phi _{1}(a_{2},a_{1})={\frac {2}{s-1}}\Xi _{1}(a_{2},a_{1})+{\frac {1}{(s-1)^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{2},a_{1}),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

et ainsi des autres.

XLVI.

Cela posé, on remarquera :

1^o Que les quantités $\mu _{1},\mu _{2},\mu _{3},\mu _{4}$ expriment les vitesses angulaires moyennes des satellites ${\mathfrak {S}}_{1},{\mathfrak {S}}_{2},{\mathfrak {S}}_{3},{\mathfrak {S}}_{4}$ autour de Jupiter (Articles IV et IX) ; d’où il suit que ces quantités sont réciproquement proportionnelles aux temps périodiques des mêmes satellites.

Or on a, par les observations, en négligeant les secondes,

Révolutions périodiques.

${\begin{array}{cccc}{\mathfrak {S}}_{1}&{\mathfrak {S}}_{2}&{\mathfrak {S}}_{3}&{\mathfrak {S}}_{4}\\1^{\text{j}}18^{\text{h}}27^{\text{m}},&3^{\text{j}}13^{\text{h}}13^{\text{m}},&7^{\text{j}}3^{\text{h}}42^{\text{m}},&16^{\text{j}}16^{\text{h}}31^{\text{m}}.\end{array}}$

Donc, réduisant ces quantités en minutes, on aura

$\mu _{1}={\frac {1}{2547}},\quad \mu _{2}={\frac {1}{5113}},\quad \mu _{3}={\frac {1}{10302}},\quad \mu _{4}={\frac {1}{24032}}.$

2^o Que l’on a généralement (Article XLV)

$f=\mu ^{2},$

c’est-à-dire, à cause de $f={\frac {\mathrm {F} }{a^{3}}}$ (Article V) et de $\mathrm {F} =\mathbb {Z} \!^{\upsilon }+{\mathfrak {S}}$ (Article X) $=\mathbb {Z} \!^{\upsilon }(1+n\chi )=\mathbb {Z} \!^{\upsilon },$

${\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a^{3}}}=\mu ^{2}\,;$

et par conséquent

$\mu _{1}^{2}={\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{1}^{3}}},\quad \mu _{2}^{2}={\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{2}^{3}}},\quad \mu _{3}^{2}={\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{3}^{3}}},\quad \mu _{4}^{2}={\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{a_{4}^{3}}}\,;$

d’où l’on voit que les quantités $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}$ sont entre elles comme les quantités ${\frac {1}{\mu _{1}^{\frac {2}{3}}}},{\frac {1}{\mu _{2}^{\frac {2}{3}}}},{\frac {1}{\mu _{3}^{\frac {2}{3}}}},{\frac {1}{\mu _{4}^{\frac {2}{3}}}}\,;$ ainsi l’on trouvera les valeurs de ces quantités, ou plutôt de leurs rapports, qui sont les seules dont nous ayons besoin ici.

Au reste, comine ces valeurs ne sont exactes qu’aux quantités de l’ordre $n$ près, nous emploierons, pour les distances moyennes des satellites, les déterminations que M. Cassini a tirées des observations, lesquelles ne s’écartent d’ailleurs que très-peu de la loi de Kepler ; on aura donc, en prenant le demi-diamètre de Jupiter pour l’unité,

$a_{1}=5{,}67\,;\quad a_{2}=9{,}00\,;\quad a_{3}=14{,}38\,;\quad a_{4}=25{,}30.$

XLVII.

Par le moyen de ces valeurs numériques et des formules des Articles XVIII et XIX, j’ai trouvé les déterminations suivantes

${\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline &q={\cfrac {a_{1}}{a_{2}}}&q={\cfrac {a_{1}}{a_{3}}}&q={\cfrac {a_{1}}{a_{4}}}&q={\cfrac {a_{2}}{a_{3}}}&q={\cfrac {a_{2}}{a_{4}}}&q={\cfrac {a_{3}}{a_{4}}}\\\hline \mathrm {A} &3{,}029&1{,}456&1{,}122&2{,}973&1{,}342&2{,}362\\\hline \mathrm {B} &4{,}947&1{,}624&0{,}740&4{,}811&1{,}376&3{,}563\\\hline \mathrm {C} &3{,}760&0{,}780&0{,}204&3{,}542&0{,}660&2{,}410\\\hline \mathrm {D} &2{,}869&0{,}341&0{,}041&2{,}475&0{,}493&1{,}539\\\hline \mathrm {E} &2{,}368&0{,}107&0{,}009&1{,}640&0{,}197&0{,}924\\\hline \mathrm {F} &2{,}311&0{,}046&0{,}002&1{,}308&0{,}077&0{,}478\\\hline \ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\\hline \end{array}}$

Et de là (Article XLIV)

${\begin{array}{|c|r|r|r|r|r|r|}\hline \\&(a_{1},a_{2})&(a_{1},a_{3})&(a_{1},a_{4})&(a_{2},a_{3})&(a_{2},a_{4})&(a_{3},a_{4})\\\\\hline {\breve {\Gamma }}\ &0{,}224&0{,}037&0{,}007&0{,}213&0{,}027&0{,}142\\\hline {\breve {\Gamma }}_{1}&0{,}313&0{,}032&0{,}003&0{,}286&0{,}021&0{,}175\\\hline {\breve {\Gamma }}_{2}&0{,}611&0{,}104&0{,}017&0{,}559&0{,}088&0{,}382\\\hline {\breve {\Gamma }}_{3}&0{,}499&0{,}048&0{,}005&0{,}415&0{,}032&0{,}255\\\hline {\breve {\Gamma }}_{4}&0{,}436&0{,}022&0{,}001&0{,}334&0{,}027&0{,}156\\\hline \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots \\\hline {\widehat {\Gamma }}_{1}&-0{,}059&-0{,}010&-0{,}001&-0{,}078&-0{,}000&-0{,}050\\\hline {\widehat {\Gamma }}_{2}&-0{,}412&-0{,}099&-0{,}017&-0{,}457&-0{,}056&-0{,}327\\\hline {\widehat {\Gamma }}_{3}&-0{,}276&-0{,}052&-0{,}005&-0{,}365&-0{,}029&-0{,}240\\\hline {\widehat {\Gamma }}_{4}&-0{,}111&-0{,}024&-0{,}001&-0{,}234&-0{,}026&-0{,}172\\\hline \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots \\\hline \end{array}}$

${\begin{array}{|c|r|r|r|r|r|r|}\hline \\&(a_{2},a_{1})&(a_{3},a_{1})&(a_{4},a_{1})&(a_{3},a_{2})&(a_{4},a_{2})&(a_{4},a_{3})\\\\\hline {\breve {\Gamma }}\ &-1{,}471&-1{,}136&-1{,}039&-1{,}467&-1{,}097&-1{,}349\\\hline {\breve {\Gamma }}_{1}&-4{,}373&-7{,}328&-20{,}375&-4{,}395&-8{,}684&-4{,}631\\\hline {\breve {\Gamma }}_{2}&-1{,}298&-0{,}393&-0{,}116&-1{,}262&-0{,}328&-0{,}960\\\hline {\breve {\Gamma }}_{3}&-0{,}938&-0{,}166&-0{,}017&-0{,}853&-0{,}341&-0{,}592\\\hline {\breve {\Gamma }}_{4}&-0{,}736&-0{,}031&-0{,}004&-0{,}465&-0{,}096&-0{,}351\\\hline \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots \\\hline {\widehat {\Gamma }}_{1}&0{,}796&6{,}012&19{,}681&1{,}802&7{,}542&2{,}438\\\hline {\widehat {\Gamma }}_{2}&-0{,}654&-0{,}253&-0{,}053&-0{,}731&-0{,}157&-0{,}575\\\hline {\widehat {\Gamma }}_{3}&-0{,}438&-0{,}133&-0{,}022&-0{,}595&-0{,}082&-0{,}422\\\hline {\widehat {\Gamma }}_{4}&-0{,}175&-0{,}058&-0{,}004&-0{,}365&-0{,}074&-0{,}301\\\hline \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots \\\hline \end{array}}$

D’où enfin (Article XLV)

${\begin{array}{|c|r|r|r|r|r|r|}\hline \\&(a_{1},a_{2})&(a_{1},a_{3})&(a_{1},a_{4})&(a_{2},a_{1})&(a_{2},a_{3})&(a_{2},a_{4})\\\\\hline \Xi _{1}&-0{,}739&-0{,}133&-0{,}025&-57{,}643&-0{,}815&-0{,}058\\\hline \Xi _{2}&179{,}000&0{,}187&0{,}016&-0{,}637&91{,}562&0{,}539\\\hline \Xi _{3}&0{,}682&6{,}023&0{,}001&-0{,}152&0{,}698&0{,}012\\\hline \Xi _{4}&0{,}180&0{,}004&0{,}000&-0{,}054&0{,}184&0{,}004\\\hline \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots \\\hline \Phi _{1}&2{,}705&0{,}337&0{,}054&-112{,}714&2{,}928&0{,}0147\\\hline \Phi _{2}&-356{,}982&-0{,}292&-0{,}023&-0{,}793&-182{,}169&-0{,}908\\\hline \Phi _{3}&-1{,}025&-0{,}029&-0{,}001&-0{,}148&-1{,}081&-0{,}015\\\hline \Phi _{4}&-0{,}205&-0{,}005&-0{,}000&-0{,}003&-0{,}240&-0{,}005\\\hline \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots \\\hline \end{array}}$

${\begin{array}{|c|r|r|r|r|r|r|}\hline \\&(a_{3},a_{1})&(a_{3},a_{2})&(a_{3},a_{4})&(a_{4},a_{1})&(a_{4},a_{2})&(a_{4},a_{3})\\\\\hline \Xi _{1}&\ \ -0{,}409&-31{,}500&-0{,}518&\quad -0{,}224&\ -0{,}363&-1{,}243\\\hline \Xi _{2}&-0{,}013&-0{,}635&2{,}338&-0{,}000&-0{,}007&-0{,}064\\\hline \Xi _{3}&-0{,}002&-0{,}150&0{,}275&-0{,}000&-0{,}003&-0{,}053\\\hline \Xi _{4}&-0{,}000&-0{,}041&-0{,}066&-0{,}000&-0{,}000&-0{,}017\\\hline \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots \\\hline \Phi _{1}&0{,}380&-60{,}322&1{,}659&0{,}224&0{,}354&-0{,}492\\\hline \Phi _{2}&-0{,}011&-0{,}803&-4{,}338&0{,}000&-0{,}004&-0{,}129\\\hline \Phi _{3}&-0{,}002&-0{,}163&-0{,}400&0{,}000&-0{,}001&-0{,}052\\\hline \Phi _{4}&0{,}000&-0{,}041&-0{,}089&0{,}000&-0{,}000&-0{,}017\\\hline \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots \\\hline \end{array}}$

En consultant cette dernière Table, on voit qu’il y a des quantités dont les valeurs numériques sont fort grandes ; telles sont les quantités

$\Xi _{2}(a_{1},a_{2}),\Xi _{1}(a_{2},a_{1}),\Xi _{2}(a_{2},a_{3}),\Xi _{1}(a_{3},a_{2}),$

et leurs correspondantes

$\Phi _{2}(a_{1},a_{2}),\Phi _{1}(a_{2},a_{1}),\Phi _{2}(a_{2},a_{3}),\Phi _{1}(a_{3},a_{2}),$

La raison pour laquelle ces quantités ont des valeurs si considérables, c’est que le diviseur $4(s-1)^{2}-1$ se trouve fort petit dans le cas où $s={\frac {\mu _{2}}{\mu _{1}}}$ et $s={\frac {\mu _{3}}{\mu _{2}}}\,;$ et que pareillement le diviseur $(s-r)^{2}-1$ est fort petit lorsque $s={\frac {\mu _{1}}{\mu _{2}}}$ et $s={\frac {\mu _{2}}{\mu _{3}}},$ comme il est facile de s’en assurer, au moyen des valeurs de $\mu _{1},\mu _{2},\mu _{3}$ données ci-dessus.

Cette remarque est d’autant plus essentielle qu’elle sert à expliquer pourquoi les équations empiriques des satellites de Jupiter sont en effet les seules qui puissent être bien sensibles (voir plus bas Articles LVIII et suivants).

XLVIII.

Il ne reste plus maintenant qu’à chercher les valeurs des quantités et (Articles XXXVI et XXXVIII).

Pour cela, on remarquera que la quantité $m,$ qui représente la vitesse angulaire moyenne du Soleil autour de Jupiter (Article XXVII), est extrêmement petite par rapport aux quantités $\mu ,$ vitesses moyennes des satellites ; d’où il suit qu’elle pourra être négligée vis-à-vis de ces dernières quantités ; or on a généralement (Articles cités)

$\beta ={\frac {3}{2}}\left(1-{\frac {\mu }{m-\mu }}\right){\frac {f}{4(m-\mu )^{2}-\mathrm {M} ^{2}}},\quad \gamma ={\frac {\mu }{m-\mu }}\beta -{\frac {3f}{8(m-\mu )^{2}}},$

c’est-à-dire, à cause de $f=\mu ^{2}$ et $\mathrm {M} =\mu$ (Article XLV),

$\beta ={\frac {3}{2}}\left(1-{\frac {\mu }{m-\mu }}\right){\frac {\mu ^{2}}{4(m-\mu )^{2}-\mu ^{2}}},\quad \gamma ={\frac {\mu }{m-\mu }}\beta -{\frac {3\mu ^{2}}{8(m-\mu )^{2}}}\,;$

donc, en négligeant la quantité $m,$ on aura

$\beta =1,\quad \gamma =-1-{\frac {3}{8}}=-{\frac {11}{8}}.$

À l’égard des quantités $g$ et $c$ qui doivent être déterminées par les équations $\mathrm {L} =0$ et $\mathrm {H} =0$ (Articles XXIX, XXXV et suivants), il est inutile d’en chercher la valeur, puisqu’elles ne se trouvent point dans l’expression des coefficients de nos formules.

§ III. — Formules des rayons vecteurs et des longitudes vraies des satellites de Jupiter par rapport au plan de l’orbite de cette Planète.

XLIX.

Dans les formules suivantes, j’ai remis, au lieu de $n\chi _{1},n\chi _{2},n\chi _{3},n\chi _{4},$ les quantités ${\frac {{\mathfrak {S}}_{1}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}},{\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}},{\frac {{\mathfrak {S}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}},{\frac {{\mathfrak {S}}_{4}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}$ (Article XXIX) ; et j’ai substitué pour $n\mathrm {K} _{1},n\mathrm {K} _{2},n\mathrm {K} _{3},n\mathrm {K} _{4}$ leurs valeurs en nombres ; car, puisque $n\mathrm {K} ={\frac {a^{3}\circledast }{\alpha ^{3}\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}$ (Article cité) et que ${\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{\alpha ^{3}}}=\mu ^{2}\,;$ (Article XLVI), et par conséquent aussi ${\frac {\circledast }{\alpha ^{3}}}=m^{2},$ on aura $n\mathrm {K} ={\frac {m^{2}}{\mu ^{2}}}\,;$ donc

$n\mathrm {K} _{1}={\frac {m^{2}}{\mu _{1}^{2}}},\quad n\mathrm {K} _{2}={\frac {m^{2}}{\mu _{2}^{2}}},\ldots .$

Or, $m$ étant la vitesse moyenne angulaire du Soleil autour de Jupiter et $\mu$ les vitesses moyennes angulaires des satellites, on aura

${\frac {m}{\mu _{1}}}={\frac {1^{\text{j}}18^{\text{h}}27^{\text{m}}}{4332^{\text{j}}12^{\text{h}}20^{\text{m}}}},\quad {\frac {m}{\mu _{2}}}={\frac {3^{\text{j}}13^{\text{h}}13^{\text{m}}}{4332^{\text{j}}15^{\text{h}}20^{\text{m}}}},\quad {\frac {m}{\mu _{3}}}={\frac {7^{\text{j}}12^{\text{h}}13^{\text{m}}}{4332^{\text{j}}12^{\text{h}}20^{\text{m}}}}$

${\frac {m}{\mu _{4}}}={\frac {16^{\text{j}}16^{\text{h}}32^{\text{m}}}{4332^{\text{j}}12^{\text{h}}20^{\text{m}}}}\,;$

d’où l’on tire à très-peu près

$n\mathrm {K} _{1}={\frac {m^{2}}{\mu _{1}^{2}}}=0{,}0000002,\quad n\mathrm {K} _{2}=0{,}0000007,\quad n\mathrm {K} _{3}=0{,}0000027,$

$n\mathrm {K} _{4}=0{,}0000148.$

Outre cela, au lieu de $\mu _{1}t,\mu _{2}t,\mu _{3}t,\mu _{4}t$ et $mt,$ qui représentent les valeurs moyennes des angles $\varphi _{1},\varphi _{2},\varphi _{3},\varphi _{4}$ et $\psi ,$ c’est-à-dire des longitudes moyennes des quatre satellites et du Soleil vus de Jupiter, et rapportés au plan de son orbite, j’ai mis les lettres $u_{1},u_{2},u_{3},u_{4}$ et $v.$

De même, au lieu de $\mathrm {M} _{1}t+\omega _{1},\mathrm {M} _{2}t+\omega _{2},\mathrm {M} _{3}t+\omega _{3},\mathrm {M} _{4}t+\omega _{4},$ anomalies moyennes des satellites, j’ai substitué, pour plus de simplicité, $\mathrm {V_{1},V_{2},V_{3},V_{4}} .$

Enfin j’ai exprimé les rayons vecteurs en demi-diamètres de Jupiter, et les longitudes en minutes. De cette manière j’ai trouvé

L.

Rayon vecteur du premier satellite.

${\begin{aligned}r_{1}=&5{,}67(1+n\varepsilon _{1}\cos \mathrm {V} _{1})\\&+{\frac {{\text{☾}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[4{,}19\cos(u_{2}-u_{1})-1014{,}93\cos 2(u_{2}-u_{1})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \left.-3{,}87\cos 3(u_{2}-u_{1})-1{,}02\cos 4(u_{2}-u_{1})\ldots \right]\\&+{\frac {{\text{☾}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[0{,}75\cos(u_{3}-u_{1})-1{,}06\cos 2(u_{3}-u_{1})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \left.-0{,}13\cos 3(u_{3}-u_{1})-0{,}02\cos 4(u_{3}-u_{1})\ldots \right]\\&+{\frac {{\text{☾}}_{4}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[0{,}14\cos(u_{4}-u_{1})-0{,}09\cos 2(u_{4}-u_{1})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \left.-0{,}00\cos 3(u_{4}-u_{1})-0{,}00\cos 4(u_{4}-u_{1})\ldots \right]\\&-0{,}00000092\cos 2(v-u_{1}).\end{aligned}}$

Rayon vecteur du deuxième satellite.

${\begin{aligned}r_{2}=&9{,}00(1+n\varepsilon _{2}\cos \mathrm {V} _{2})\\&+{\frac {{\text{☾}}_{1}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[518{,}78\cos(u_{1}-u_{2})+5{,}73\cos 2(u_{1}-u_{2})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \left.+1{,}36\cos 3(u_{1}-u_{2})+0{,}49\cos 4(u_{1}-u_{2})\ldots \right]\\&+{\frac {{\text{☾}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[7{,}16\cos(u_{3}-u_{2})-824{,}07\cos 2(u_{3}-u_{2})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \left.-6{,}29\cos 3(u_{3}-u_{2})-1{,}66\cos 4(u_{3}-u_{2})\ldots \right]\\&+{\frac {{\text{☾}}_{4}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[0{,}52\cos(u_{4}-u_{1})-4{,}85\cos 2(u_{4}-u_{1})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \left.-0{,}11\cos 3(u_{4}-u_{1})-0{,}04\cos 4(u_{4}-u_{1})\ldots \right]\\&-0{,}0000060\cos 2(v-u_{2}).\end{aligned}}$

Rayon vecteur du troisième satellite.

${\begin{aligned}r_{3}=&14{,}38(1+n\varepsilon _{3}\cos \mathrm {V} _{3})\\&+{\frac {{\text{☾}}_{1}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[5{,}88\cos(u_{1}-u_{3})+0{,}19\cos 2(u_{1}-u_{3})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \left.+0{,}03\cos 3(u_{1}-u_{3})+0{,}00\cos 4(u_{2}-u_{1})\ldots \right]\\&+{\frac {{\text{☾}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[452{,}98\cos(u_{2}-u_{3})+9{,}13\cos 2(u_{2}-u_{3})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \left.+2{,}16\cos 3(u_{2}-u_{3})+0{,}59\cos 4(u_{2}-u_{3})\ldots \right]\\&+{\frac {{\text{☾}}_{4}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[7{,}46\cos(u_{4}-u_{3})-33{,}62\cos 2(u_{4}-u_{3})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \left.-3{,}95\cos 3(u_{4}-u_{3})+0{,}95\cos 4(u_{4}-u_{3})\ldots \right]\\&-0{,}0000392\cos 2(v-u_{3}).\end{aligned}}$

Rayon vecteur du quatrième satellite.

${\begin{aligned}r_{4}=&25{,}30(1+n\varepsilon _{4}\cos \mathrm {V} _{4})\\&+{\frac {{\text{☾}}_{1}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[5{,}66\cos(u_{1}-u_{4})+0{,}01\cos 2(u_{1}-u_{4})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \left.+0{,}00\cos 3(u_{1}-u_{4})+0{,}00\cos 4(u_{1}-u_{4})\ldots \right]\\&+{\frac {{\text{☾}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[8{,}18\cos(u_{2}-u_{4})+0{,}17\cos 2(u_{2}-u_{4})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \left.+0{,}07\cos 3(u_{2}-u_{4})+0{,}00\cos 4(u_{3}-u_{2})\ldots \right]\\&+{\frac {{\text{☾}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[31{,}55\cos(u_{3}-u_{4})+1{,}62\cos 2(u_{3}-u_{4})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \left.+1{,}35\cos 3(u_{3}-u_{4})+0{,}43\cos 4(u_{3}-u_{4})\ldots \right]\\&-0{,}0003754\cos 2(v-u_{4}).\end{aligned}}$

LI.

Longitude vraie du premier satellite.

${\begin{aligned}\varphi _{1}=&u_{1}-\left(114^{\circ }35'\right)n\varepsilon _{1}\sin \mathrm {V} _{1})\\&+{\frac {{\text{☾}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[9500'\sin(u_{2}-u_{1})-1227214'\sin 2(u_{2}-u_{1})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \left.-3526'\sin 3(u_{2}-u_{1})-705'\sin 4(u_{2}-u_{1})\ldots \right]\\&+{\frac {{\text{☾}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[1158'\sin(u_{3}-u_{1})-1007'\sin 2(u_{3}-u_{1})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \left.-101'\sin 3(u_{3}-u_{1})-18'\sin 4(u_{3}-u_{1})\ldots \right]\\&+{\frac {{\text{☾}}_{4}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[188'\sin(u_{4}-u_{1})-81'\sin 2(u_{4}-u_{1})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \left.-3'\sin 3(u_{4}-u_{1})-0'\sin 4(u_{4}-u_{1})\ldots \right]\\&-0{,}047\sin 2(v-u_{1}).\end{aligned}}$

Longitude vraie du deuxième satellite.

${\begin{aligned}\varphi _{2}=&u_{2}-\left(114^{\circ }35'\right)n\varepsilon _{2}\sin \mathrm {V} _{2})\\&+{\frac {{\text{☾}}_{1}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[-387482'\sin(u_{1}-u_{2})-2727'\sin 2(u_{1}-u_{2})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \left.-509'\sin 3(u_{1}-u_{2})-12'\sin 4(u_{1}-u_{2})\ldots \right]\\&+{\frac {{\text{☾}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[10067'\sin(u_{3}-u_{2})-626246'\sin 2(u_{3}-u_{2})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \left.-3717'\sin 3(u_{3}-u_{2})-825'\sin 4(u_{3}-u_{2})\ldots \right]\\&+{\frac {{\text{☾}}_{4}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[506'\sin(u_{4}-u_{2})-3123'\sin 2(u_{4}-u_{2})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \left.-52'\sin 3(u_{4}-u_{2})-17'\sin 4(u_{4}-u_{2})\ldots \right]\\&-0{,}190\sin 2(v-u_{2}).\end{aligned}}$

Longitude vraie du troisième satellite.

${\begin{aligned}\varphi _{3}=&u_{3}-\left(114^{\circ }35'\right)n\varepsilon _{3}\sin \mathrm {V} _{3})\\&+{\frac {{\text{☾}}_{1}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[1306'\sin(u_{1}-u_{3})-38'\sin 2(u_{1}-u_{3})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \left.-8'\sin 3(u_{1}-u_{3})-1'\sin 4(u_{1}-u_{3})\ldots \right]\\&+{\frac {{\text{☾}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[-207375'\sin(u_{2}-u_{3})-2760'\sin 2(u_{2}-u_{3})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \left.-559'\sin 3(u_{2}-u_{3})-142'\sin 4(u_{2}-u_{3})\ldots \right]\\&+{\frac {{\text{☾}}_{4}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[5703'\sin(u_{4}-u_{3})-14911'\sin 2(u_{4}-u_{3})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \left.-1376'\sin 3(u_{4}-u_{3})-306'\sin 4(u_{4}-u_{3})\ldots \right]\\&-0{,}977\sin 2(v-u_{3}).\end{aligned}}$

Longitude vraie du quatrième satellite.

${\begin{aligned}\varphi _{4}=&u_{4}-\left(114^{\circ }35'\right)n\varepsilon _{4}\sin \mathrm {V} _{4})\\&+{\frac {{\text{☾}}_{1}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[768'\sin(u_{1}-u_{4})-0'\sin 2(u_{1}-u_{4})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \left.-0'\sin 3(u_{1}-u_{4})-0'\sin 4(u_{1}-u_{4})\ldots \right]\\&+{\frac {{\text{☾}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[1219'\sin(u_{2}-u_{4})-15'\sin 2(u_{2}-u_{4})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \left.-3'\sin 3(u_{2}-u_{4})-0'\sin 4(u_{2}-u_{4})\ldots \right]\\&+{\frac {{\text{☾}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[-1691'\sin(u_{3}-u_{4})-444'\sin 2(u_{3}-u_{4})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \left.-180'\sin 3(u_{3}-u_{4})-59'\sin 4(u_{3}-u_{4})\ldots \right]\\&-4{,}208\sin 2(v-u_{4}).\end{aligned}}$

§ IV. — Où l’on donne les inégalités des satellites qui dépendent de leurs configurations, et, qui ont lieu au temps des éclipses.

LII.

Il est visible que les éclipses des satellites, c’est-à-dire leurs conjonctions avec Jupiter, arrivent lorsque leurs longitudes $\varphi$ diffèrent de $180$ degrés de la longitude $\psi$ du Soleil vu de Jupiter ; de sorte qu’on aura généralement l’équation

$\varphi -\psi =180^{\circ },$

ou bien, en mettant pour $\varphi$ et $\psi$ leurs valeurs $u+ny$ et $v+n\mathrm {J} ,$

$u-v=180^{\circ }+n\mathrm {J} -ny,$

où $n\mathrm {J}$ exprime l’équation de Jupiter, $ny$ l’équation, ou plutôt la somme des équations du satellite, et $u-v$ la distance, ou bien l’élongation moyenne du satellite ; donc, pour avoir la conjonction vraie, il n’y aura qu’à ajouter au temps de la conjonction moyenne la quantité $n\mathrm {J} -ny$ convertie en temps, à raison du mouvement moyen du satellite au Soleil, conversion qu’on fera aisément en multipliant la quantité proposée par $0{,}1179$ pour le premier satellite, par $0{,}2369$ pour le deuxième, par $0{,}4771$ pour le troisième et par $1{,}1169$ pour le quatrième ; et changeant ensuite les degrés en heures, les minutes de degré en minutes de temps, etc. ces nombres se trouvent, en divisant les durées des révolutions synodiques des satellites, lesquelles sont de

$1^{\text{j}}18^{\text{h}}28^{\text{m}}36^{\text{s}},\quad 3^{\text{j}}13^{\text{h}}17^{\text{m}}54^{\text{s}},\quad 7^{\text{j}}3^{\text{h}}59^{\text{m}}36^{\text{s}},\quad 16^{\text{j}}18^{\text{h}}5^{\text{m}}7^{\text{s}},$

par $360$ degrés, après avoit réduit le tout en secondes.

LIII.

Nous allons donc donner ici les équations des conjonctions des satellites ; mais nous ferons abstraction de celles qui viennent, de l’excentricité de Jupiter, et des excentricités particulières des satellites, parce que les unes sont assez connues des Astronomes, et que les autres ne sont pas assez exactes pour qu’on puisse s’y fier.

LIV.

Équation du premier satellite.

${\begin{aligned}&+{\frac {{\text{☾}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[-1097^{\text{m}}\sin(u_{2}-u_{1})+144800^{\text{m}}\sin 2(u_{2}-u_{1})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.+416^{\text{m}}\sin 3(u_{2}-u_{1})+83^{\text{m}}\sin 4(u_{2}-u_{1})\ldots \right]\\&+{\frac {{\text{☾}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[-137^{\text{m}}\sin(u_{3}-u_{1})+119^{\text{m}}\sin 2(u_{3}-u_{1})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.+12^{\text{m}}\sin 3(u_{3}-u_{1})-1^{\text{m}}\sin 4(u_{3}-u_{1})\ldots \right]\\&+{\frac {{\text{☾}}_{4}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[-22^{\text{m}}\sin(u_{4}-u_{1})+9^{\text{m}}\sin 2(u_{4}-u_{1})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.+0^{\text{m}}\sin 3(u_{4}-u_{1})+0^{\text{m}}\sin 4(u_{4}-u_{1})\ldots \right]\\\end{aligned}}$

LV.

Équation du deuxième satellite.

${\begin{aligned}&+{\frac {{\text{☾}}_{1}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[91810^{\text{m}}\sin(u_{1}-u_{2})+646^{\text{m}}\sin 2(u_{1}-u_{2})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.+121^{\text{m}}\sin 3(u_{1}-u_{2})+3^{\text{m}}\sin 4(u_{1}-u_{2})\ldots \right]\\&+{\frac {{\text{☾}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[-2385^{\text{m}}\sin(u_{3}-u_{2})+148383^{\text{m}}\sin 2(u_{3}-u_{2})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.+881^{\text{m}}\sin 3(u_{3}-u_{2})+195^{\text{m}}\sin 4(u_{3}-u_{2})\ldots \right]\\&+{\frac {{\text{☾}}_{4}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[-119^{\text{m}}\sin(u_{4}-u_{2})+740^{\text{m}}\sin 2(u_{4}-u_{2})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.+12^{\text{m}}\sin 3(u_{4}-u_{2})+4^{\text{m}}\sin 4(u_{4}-u_{2})\ldots \right]\\\end{aligned}}$

LV.

Équation du troisième satellite.

${\begin{aligned}&+{\frac {{\text{☾}}_{1}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[-624^{\text{m}}\sin(u_{1}-u_{3})+18^{\text{m}}\sin 2(u_{1}-u_{3})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.+4^{\text{m}}\sin 3(u_{1}-u_{3})+0^{\text{m}}\sin 4(u_{1}-u_{3})\ldots \right]\\&+{\frac {{\text{☾}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[99075^{\text{m}}\sin(u_{2}-u_{3})+1319s^{\text{m}}\sin 2(u_{2}-u_{3})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.+267^{\text{m}}\sin 3(u_{2}-u_{3})+68^{\text{m}}\sin 4(u_{2}-u_{3})\ldots \right]\\&+{\frac {{\text{☾}}_{4}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[-2725^{\text{m}}\sin(u_{4}-u_{3})+7124^{\text{m}}\sin 2(u_{4}-u_{3})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.+627^{\text{m}}\sin 3(u_{4}-u_{3})+146^{\text{m}}\sin 4(u_{4}-u_{3})\ldots \right]\\\end{aligned}}$

LV.

Équation du quatrième satellite.

${\begin{aligned}&+{\frac {{\text{☾}}_{1}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[-858^{\text{m}}\sin(u_{1}-u_{4})+0^{\text{m}}\sin 2(u_{1}-u_{4})\ldots \right]\\&+{\frac {{\text{☾}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[-1362^{\text{m}}\sin(u_{2}-u_{4})+18^{\text{m}}\sin 2(u_{2}-u_{4})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.+4^{\text{m}}\sin 3(u_{2}-u_{4})-0^{\text{m}}\sin 4(u_{2}-u_{4})\ldots \right]\\&+{\frac {{\text{☾}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[1888^{\text{m}}\sin(u_{3}-u_{4})+496^{\text{m}}\sin 2(u_{3}-u_{4})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.+201^{\text{m}}\sin 3(u_{3}-u_{4})+66^{\text{m}}\sin 4(u_{3}-u_{4})\ldots \right]\\\end{aligned}}$

J’ai négligé dans ces formules les termes dus à l’action du Soleil, et qui sont de la forme de $\sin 2(v-u),$ parce que ces termes deviennent nuls au temps des conjonctions où l’on a $u-v=180^{\circ }.$

§ V. — Comparaison des formules précédentes avec les observations, et conséquences qui en résultent par rapport aux masses des satellites.

LVIII.

Nous nous contenterons ici de comparer nos formoles avec les Tables de M. Wargentin, qui sont, comme l’on sait, le résultat d’un grand nombres d’observations ; mais, avant d’entreprendre ce parallèle, il est bon d’avertir que les Tables de ce grand Astronome sont dressées de manièce qu’il n’y a aucune équation soustractive, quoique les équations qu’il a employées soient de nature à être tantôt additives et tantôt soustractives ; cela vient de ce que l’Auteur a retranché, par avance des époques, chacune des plus grandes équations soustractives ; de sorte que les équations des Tables se trouvent nulles dans le cas où elles auraient été les plus grandes à soustraire, et que leur plus grande valeur est double de ce qu’elle aurait dû être.

LIX.

En examinant les différents termes de la formule de l’Article LIV on voit qu’il y en a un dont le coefficient numérique est très-grand, et vis-à-vis duquel tous les autres termes ne sont presque d’aucune considération c’est le terme

${\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}144\,800^{\text{m}}\sin 2(u_{2}-u_{1}),$

d’où résulte une équation qui a pour argument $2(u_{2}-u_{1}),$ savoir le double de la distance moyenne du second satellite au premier, au temps des conjonctions de celui-ci, et dont la plus grande valeur est de ${\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}144\,800^{\text{m}}$, ${\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}$ exprimant le rapport de la masse du second satellite à celle de Jupiter.

Pour mieux connaître la nature de cette inégalité qui doit avoir lieu dans les conjonctions du premier satellite, il faut cherchec sa période, laquelle dépend du rapport des révolutions synodiques des deux premiers satellites. Or, suivant M. Wargentin, on a pour la durée de la révolution synodique du premier

$1^{\text{j}}18^{\text{h}}28^{\text{m}}35^{\text{s}}56^{\text{t}}58^{\text{q}},$

et pour celle du second

$3^{\text{j}}13^{\text{h}}17^{\text{m}}53^{\text{s}}45^{\text{t}}7^{\text{q}}\,;$

d’où l’on trouve, en additionnant successivement ces nombres, que $247$ révolutions du premier font

$437^{\text{j}}3^{\text{h}}43^{\text{m}}59^{\text{s}}31^{\text{t}},$

et que $123$ révolutions du second font

$437^{\text{j}}3^{\text{h}}41^{\text{m}}11^{\text{s}}29^{\text{t}}\,;$

ainsi, pendant que le premier fait une révolution par rapport au Soleil, le second ne fait que ${\frac {123}{247}}$ d’une pareille révolution ; d’où il suit que la distance $u_{2}-u_{1}$ u, du second satellite au premier augmente, dans l’intervalle d’une conjonction à l’autre, de $\left({\frac {123}{247}}-1\right)360^{\circ }\,;$ pour avoir une exactitude plus grande, on additionnera de nouveau les périodes du premier et du second satellite que nous venons de trouver, jusqu’à ce qu’ils fassent des sommes à peu près égales, et l’on trouvera que $449538$ révolutions du premier font

$795619^{\text{j}}13^{\text{h}}28^{\text{m}}8^{\text{s}}26^{\text{t}},$

et que $223860$ révolutions du second font

$795619^{\text{j}}13^{\text{h}}32^{\text{m}}19^{\text{s}}40^{\text{t}}\,;$

c’est pourquoi on aura, au lieu de la fraction ${\frac {123}{247}}$ celle-ci beaucoup plus exacte ${\frac {223860}{449538}}.$

Soit maintenant $\theta$ la distance du second satellite au premier au temps d’une conjonction de celui-ci, cette distance deviendra, après n révolutions^[7],

$\theta +n\left({\frac {223860}{449538}}-1\right)360^{\circ }=u_{2}-u_{1}\,;$

donc on aura

$2(u_{2}-u_{1})=2\theta +n\left({\frac {447720}{449538}}-2\right)360^{\circ }=2\theta -n\left({\frac {1818}{449538}}+1\right)360^{\circ },$

et

$\sin 2(u_{2}-u_{1})=\sin \left(2\theta -n{\frac {1818}{449538}}360^{\circ }\right)\,;$

donc, pour que cette quantité redevienne $\sin 2\theta ,$ il faut que

${\frac {1818n}{449538}}=1,\quad {\text{ce qui donne}}\quad n={\frac {449538}{1818}}=247{,}270\,;$

c’est le nombre des révolutions du premier satellite qui exprime la période de l’équation $\sin 2(u_{2}-u_{1}).$

Or $247$ révolutions font à très-peu près

$437^{\text{j}}3^{\text{h}}44^{\text{m}}0^{\text{s}},$

et ${\frac {27}{100}}$ de révolution font $11^{\text{h}}28^{\text{m}}7^{\text{s}}\,;$ donc la période cherchée sera de

$437^{\text{j}}15^{\text{h}}12^{\text{m}}7^{\text{s}}.$

LX.

Voyons à présent quelle doit être la marche de cette équation ; pour cela, nous supposerons $\theta =0,$ c’est-à-dire que les deux satellites se trouvent à la fois en conjonction, et nous aurons, après un nombre quelconque $n$ de révolutions du premier satellite,

$\sin 2(u_{2}-u_{1})=-\sin \left(n{\frac {1818}{449538}}360^{\circ }\right),$

ou bien en faisant, pour abréger, $p={\frac {449538}{1818}}$ égal au nombre des révolutions qui forment la période de l’équation

$\sin 2(u_{2}-u_{1})=-\sin {\frac {n}{p}}360^{\circ }.$

De là on voit que l’équation $\sin 2(u_{2}-u_{1})$ sera nulle au commencement de la période, qu’ensuite elle deviendra soustractive, et qu’elle sera la plus grande à soustraire lorsque $n={\frac {p}{4}},$ c’est-à-dire, au quart de la période ; après quoi elle redeviendra nulle à la moitié de la période, ensuite se changera en additive croissante jusqu’aux trois quarts de la période, où elle sera la plus grande, et enfin décroîtra pendant le dernier quart, pour se retrouver nulle au commencement de la période suivante.

LXI.

Je dis maintenant que l’équation que nous venons d’examiner est la même que celle qui se trouve dans les Tables du premier satellite, désignée par la lettre $\mathrm {C} ,$ et qui est la seule que les observations aient fait connaître jusqu’ici. En effet : 1^o la période de cette équation est, selon M. Wargentin, de $437^{\text{j}}19^{\text{h}}41^{\text{m}}$ environ, ce qui s’accorde admirablement bien avec ce que nous avons trouvé dans l’Article LIX ; car la différence de $4^{\text{h}}28^{\text{m}},$ qui s’y trouve, n’est d’aucune considération par rapport à un intervalle de $437$ jours ; 2^o si l’on examine l’équation $\mathrm {C} ,$ on verra qu’en ôtant toujours $3^{\text{m}}30^{\text{s}}$ (moitié de la plus grande valeur de cette équation, selon la remarque de l’Article LVIII), et établissant le commencement de la période (qui est divisée en $1000$ parties) au nombre $750,$ on verra, dis-je, que la marche de cette équation est la même que celle de l’équation $\sin 2(u_{2}-u_{1})$ de l’Article précédent. De plus on trouvera, par les Tables du premier et du second satellite, que, dans les conjonctions du premier satellite qui répondent exactement au nombre $750,$ l’élongation du second satellite est nulle. Donc, etc.

LXII.

De là il suit que les nombres $\mathrm {C}$ des Tables du premier satellite ne sont autre chose que les distances, c’est-à-dire, les élongations du second satellite au premier, au temps des conjonctions de celui-ci, le cercle étant supposé divisé en $1000$ parties, de sorte que le nombre $750$ réponde aux conjonctions des deux satellites et $250$ à leurs oppositions. Cette remarque fournit un moyen de rectifier les époques de ces nombres, si elles en avaient besoin, et de les prolonger autant qu’on voudra, sans craindre de s’égarer.

LXIII.

La plus grande valeur de l’équation $\mathrm {C}$ du premier satellite est de $7^{\text{m}},$ dont il ne faut prendre que la moitié (Article LVIII) ; donc, comparant cette valeur avec le coefficient de l’équation $\sin 2(u_{2}-u_{1}),$ lequel est ${\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}144800^{\text{m}},$ on aura

${\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}144800^{\text{m}}={\frac {7}{2}},$

d’où l’on tire

${\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}={\frac {7}{289600}}=0{,}00002417={\frac {1}{40000}}$ à peu près ;

c’est le rapport de la masse, du second satellite à celle de Jupiter. Si l’on prend la masse de la Terre pour l’unité, on a

$\mathbb {Z} \!^{\upsilon }=363{,}9,$

ce qui donne

${\mathfrak {S}}_{2}=0{,}00879={\frac {11}{1250}}$ à peu près.

Supposons que la densité de ce satellite soit la même que celle de Jupiter, ou au moins qu’elle n’en diffère que très-peu, ce qui est trèsnaturel, on trouvera, en prenant le demi-diamètre de Jupiter pour l’unité, que celui du satellite est $0{,}0289,$ c’est-à-dire, environ ${\frac {1}{34}},$ ce qui donnerait pour le temps que le satellite doit employer à entrer dans l’ombre de Jupiter $5^{\text{m}}14^{\text{s}},$ ce qui est à peu près le milieu entre les résultats des observations de M. Maraldi et de M. Whiston (Mémoires d’e l’Académie, 1734).

LXIV.

Il serait tout à fait inutile d’examiner les autres termes de la formule de l’Article LIV ; car il est clair qu’il n’en pourrait résulter que des équations extrêmement petites, et par conséquent insensibles, à moins qu’on ne voulût supposer les masses du troisième et du quatrième satellite énormément grandes par rapport à celle du second, ce qui ne paraît guère naturel ; d’ailleurs l’équation que nous avons examinée est la seule qu’on ait jusqu’ici déduite des observations.

LXV.

Passons donc à la formule de l’Article LV, qui renferme les équations des conjonctions du second satellite. Parmi tous les termes dont cette formule est composée, j’en distingue d’abord deux qui sont beaucoup plus considérables que les autres par les coefficients numériques dont ils sont affectés, savoir

${\frac {{\mathfrak {S}}_{1}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}91810^{\text{m}}\sin(u_{1}-u_{2})+{\frac {{\mathfrak {S}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}148383^{\text{m}}\sin 2(u_{3}-u_{2})\,;$

dont l’un vient de l’action du premier satellite, et l’autre de l’action du troisième. Ces deux termes produisent, comme l’on voit, deux équations dont les arguments sont $u_{1}-u_{2},$ distance moyenne du premier satellite au second, et $2(u_{3}-u_{2}),$ double de la distance moyenne du troisième satellite au second au temps des conjonctions de celui-ci.

Je remarque maintenant que la durée de la révolution synodique du troisième satellite est de

$7^{\text{j}}3^{\text{h}}59^{\text{m}}35^{\text{s}}55^{\text{t}}23^{\text{q}},$

selon M. Wargentin ; ce qui donne, pour $61$ révolutions,

$437^{\text{j}}3^{\text{h}}35^{\text{m}}31^{\text{s}}18^{\text{t}},$

et, pour

111021 révolutions,

$795619^{\text{j}}13^{\text{h}}29^{\text{m}}1^{\text{s}}55^{\text{t}}\,;$

or nous avons déjà trouvé que $449538$ révolutions du premier sont

$795619^{\text{j}}13^{\text{h}}28^{\text{m}}8^{\text{s}}26^{\text{t}},$

et que $223860$ révolutions du second sont (Article LIX)

$795619^{\text{j}}13^{\text{h}}32^{\text{m}}19^{\text{s}}40^{\text{t}}\,;$

donc les mouvements des trois premiers satellites au Soleil sont entre eux comme les nombres $449538,223860,111021,$ et les différences entre les mouvements des deux premiers et les mouvements du second et du troisième sont au mouvement du second comme les nombres $225678,112839$ au nombre $223860\,;$ donc, pendant que le second achève une révolution au Soleil, les angles $u_{1}-u_{2}$ et $u_{3}-u_{2}$ croissent de ${\frac {225678}{223860}}360^{\circ }$ et $-{\frac {112839}{223860}}360^{\circ }\,;$ donc l’angle $2(u_{3}-u_{2})$ diminue à chaque révolution du second de la même quantité dont l’angle $u_{1}-u_{2}$ augmente, savoir de ${\frac {225678}{223860}}360^{\circ }\,;$ donc la quantité

$u_{1}-u_{2}+2(u_{3}-u_{2})$

est toujours la même dans les conjonctions du second satellite.

Examinons donc une conjonction quelconque de ce satellite, et voyons quelles sont les élongations du premier et du troisième, c’est-à-dire, les valeurs de $u_{1}-u_{2}$ et de $u_{3}-u_{2}\,;$ je prends pour exemple la première conjonction de l’année 1760, laquelle est marquée dans les Tables à $2^{\text{j}}13^{\text{h}}42^{\text{m}}50^{\text{s}},$ à quoi ajoutant la moitié des plus grandes équations, savoir, $1^{\text{j}}35^{\text{h}}6^{\text{m}}$ (Article LVIII), on a

$2^{\text{j}}15^{\text{h}}17^{\text{m}}56^{\text{s}}$

pour le temps moyen de la conjonction moyenne du second satellite ; je trouve de la même manière que les premières conjonctions moyennes

du premier et du troisième satellite ont dû arriver à

$1^{\text{j}}10^{\text{h}}48^{\text{m}}48^{\text{s}}\quad \mathrm {et\ {\grave {a}}} \quad 3^{\text{j}}5^{\text{h}}54^{\text{m}}56^{\text{s}}$

de temps moyen ; d’où je conclus qu’au temps de la conjonction du second satellite, le premier était plus avancé de $1^{\text{j}}4^{\text{h}}29^{\text{m}};$ ce qui fait $241^{\circ }24',$ et que le troisième était en arrière de $14^{\text{j}}37^{\text{m}},$ ce qui vaut $30^{\circ }27'\,;$ donc

$u_{1}-u_{2}=241^{\circ }24'\quad {\text{et}}\quad u_{3}-u_{2}=-30^{\circ }27'\,;$

par conséquent

$u_{1}-u_{2}+2(u_{3}-u_{2})=180^{\circ }30'=180^{\circ }$ à très-peu près.

On aura donc, en général,

$2(u_{3}-u_{2})=180^{\circ }-(u_{1}-u_{2})\quad {\text{et}}\quad \sin 2(u_{3}-u_{2})=\sin(u_{1}-u_{2})\,;$

ainsi les deux termes

${\frac {{\mathfrak {S}}_{1}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}91810^{\text{m}}\sin(u_{1}-u_{2})+{\frac {{\mathfrak {S}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}148383^{\text{m}}\sin 2(u_{3}-u_{2})$

peuvent se réduire à un terme unique, tel que

$\left({\frac {{\mathfrak {S}}_{1}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}91810^{\text{m}}+{\frac {{\mathfrak {S}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}148383^{\text{m}}\right)\sin(u_{1}-u_{2}),$

lequel ne donne qu’une équation dépendante de l’élongation du premier satellite au second.

LXVI.

Soit, dans une conjonction du second satellite, $u_{1}-u_{2}=\theta ,$ on aura, par ce que nous avons démontré dans l’Article précédent, après $n$ révolutions de ce même satellite,

$u_{1}-u_{2}=\theta +n{\frac {225678}{223860}}360^{\circ },$

et par conséquent

$\sin(u_{1}-u_{2})=\sin \left(\theta +n{\frac {225678}{223860}}360^{\circ }\right)=\sin \left(\theta +n{\frac {1818}{223860}}360^{\circ }\right)\,;$

d’où l’on voit que cette quantité ne peut redevenir $\sin \theta ,$ à moins que l’on n’ait $n{\frac {1818}{223860}}=1,$ ce qui donne

$n={\frac {223860}{1818}}=123{,}135\,;$

c’est le nombre des révolutions du second satellite qui forment la période de l’équation $\sin(u_{1}-u_{2}),$ et l’on trouvera que cette période est la même que celle de l’équation du premier satellite, savoir (Article LIX)

$437^{\text{j}}15^{\text{h}}12^{\text{m}}7^{\text{s}}.$

Mettons $p$ au lieu du nombre ${\frac {223860}{1818}},$ nous aurons

$\sin(u_{1}-u_{2})=\sin \left(\theta +{\frac {n}{p}}360^{\circ }\right)\,;$

donc, supposant au commencement de la période $\theta =0,$ c’est-à-dire, les deux premiers satellites en conjonction à la fois, et faisant successivement $n=0,$ $n={\frac {p}{4}},$ $n={\frac {p}{2}},\ n={\frac {3p}{4}},$ et $n=p,$ on trouvera que l’équation dont il s’agit est nulle au commencement de la période, qu’ensuite elle augmente jusqu’au quart de la période, où elle est la plus grande ; que de là elle diminue et redevient nulle à la moitié de la période, après quoi elle se change en négative, etc.

LXVII.

Si l’on compare maintenant la marche de cette équation avec celle de l’équation $\mathrm {C}$ des Tables du second satellite, on verra qu’elles s’accordent parfaitement, pourvu que l’on ait attention d’ôter constamment de cette dernière équation $16^{\text{m}}30^{\text{s}}$ moitié de sa plus grande valeur, et qu’on fixe le commencement de la période au nombre $250.$ Ainsi les nombres $\mathrm {C}$ des Tables du second satellite indiquent les élongations du premier au temps des conjonctions du second, de sorte que le nombre $250$ répond aux conjonctions des deux satellites, et le nombre $750$ à leurs oppositions. (Voyez là-dessus la dissertation de M. Wargentin qui est à la tête des observations du second satellite, dans les Mémoires de la Société d’Upsal pour l’année 1743.)

LXVIII.

Il ne reste donc plus qu’à égaler le coefficient de l’équation $\sin(u_{1}-u_{2})$ à la plus grande valeur de l’équation $\mathrm {C}$ des Tables, ce qui donne

${\frac {{\mathfrak {S}}_{1}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}=91810+{\frac {{\mathfrak {S}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}148383={\frac {33}{2}}\,;$

de sorte qu’en supposant ${\mathfrak {S}}_{3}=m{\mathfrak {S}}_{1},$ on aura

${\frac {{\mathfrak {S}}_{1}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}={\frac {23}{183620+296766m}}\quad {\text{et}}\quad {\frac {{\mathfrak {S}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}={\frac {33m}{183620+296766m}}.$

Soit par exemple $m=1,$ c’esl-à-dire, les masses du premier et du troisième satellite égales entre elles, on aura

${\frac {{\mathfrak {S}}_{1}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}={\frac {{\mathfrak {S}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}={\frac {33}{480386}}=0{,}00006869={\frac {1}{14500}}$ environ ;

d’où, en supposant les densités des satellites égales à celles de Jupiter, on tire leurs demi-diamètres $=0{,}0409=$ environ ${\frac {1}{25}}$ de celui de Jupiter ; ce qui donne pour le temps que le premier devrait employer à entrer dans l’ombre $5^{\text{m}}51^{\text{s}},$ et pour le temps que devrait employer le troisième $9^{\text{m}}21^{\text{s}}.$

Au reste, quel que soit le nombre $m,$ comme il ne saurait être ni infini ni nul, il est clair que les quantités ${\frac {{\mathfrak {S}}_{1}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}},{\frac {{\mathfrak {S}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}$ sont toujours nécessairement moindres que la fraction ${\frac {33}{296766}}=0{,}000111,$ c’est-à-dire, en prenant la masse de la Terre pour l’unité,

${\mathfrak {S}}_{1}$ et ${\mathfrak {S}}_{3}<0{,}0404\ldots ,\quad {\text{environ}}\quad {\frac {1}{25}}.$

LXIX.

À l’égard des autres termes de la formule de l’Article LV il est facile de voir qu’ils ne donnent que des équations extrêmement petites, et qui peuvent par conséquent être négligées ; en effet, le terme qui a le plus grand coefficient numérique, après ceux que nous venons d’examiner, est

${\frac {{\mathfrak {S}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}\left[-2385^{\text{m}}\sin(u_{3}-u_{2})\right]\,;$

or nous avons trouvé que ${\frac {{\mathfrak {S}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}<0{,}000111\ldots \,;$ donc la plus grande équation sera $<16^{\text{s}}.$

LXX

L’équation

$u_{1}-u_{2}+2(u_{3}-u_{2})=180^{\circ }30',$

trouvée dans l’Article LXV et d’où nous avons tiré

$\sin 2(u_{3}-u_{2})=\sin(u_{1}-u_{2})$ à très-peu près,

est une suite du rapport que nous avons établi entre les révolutions synodiques des trois premiers satellites ; ce rapport n’est pas exact à la rigueur, mais il ne s’écarte de la vérité que d’une quantité infiniment petite, de sorte qu’au bout de $1000$ ans l’erreur qui en pourra résulter sera encore presque insensible.

En effet, on trouve qu’il faudrait environ $1317900$ ans pour que l’équation dont nous parlons devînt

$u_{1}-u_{2}+2(u_{3}-u_{2})=360^{\circ },$

pourvu que les moyens mouvements des satellites fussent assez exacts pour pouvoir être employés dans une si longue suite de siècles. (Voyez l’Ouvrage de M. Wargentin cité ci-dessus.)

LXXI.

La formule de l’Article LVI, qui renferme les équations du troisième satellite, ne nous présente qu’un terme qui puisse être de quelque considération c’est le terme

${\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}99075^{\text{m}}\sin(u_{2}-u_{3}),$

dont l’argument est l’élongation du second satellite au troisième au temps des conjonctions de celui-ci.

Avant d’entrer dans le détail de l’inégalité qui en résulte, voyons si elle est assez considérable pour qu’on doive en tenir compte. Pour cela on substituera, au lieu de ${\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}},$ sa valeur trouvée ci-dessus (Article LXIII), savoir ${\frac {7}{289600}},$ et l’on trouvera

${\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}99075^{\text{m}}=2^{\text{m}}24^{\text{s}},$

de sorte que l’inégalité dont il s’agit montera à $4^{\text{m}}48^{\text{s}},$ à cause que l’équation $\sin(u_{2}-u_{3})$ est tantôt additive, tantôt soustractive.

Maintenant on sait que les mouvements moyens du second et du troisième satellite sont entre eux comme les nombres $233860$ et $111021$ (Article LXV), d’où il suit que, pendant que le troisième achève une révolution au Soleil, la distance $u_{2}-u_{3}$ augmente de ${\frac {112839}{111021}}360^{\circ }\,;$ de sorte que, si l’on appelle $\theta$ l’élongation du second satellite au troisième au temps d’une conjonction quelconque de ce dernier, on aura, après $n$ révolutions,

$u_{2}-u_{3}=\theta +n{\frac {112839}{111021}}360^{\circ },$

et de là

$\sin(u_{2}-u_{3})=\sin \left(\theta +n{\frac {112839}{111021}}360^{\circ }\right)=\sin \left(\theta +n{\frac {1818}{111021}}360^{\circ }\right)\,;$

d’où l’on voit : 1^o que la période de cette équation sera de ${\frac {111021}{1818}}$ révolutions du troisième satellite, ce qui revient au même que celles du premier et du second satellite (Articles LIX et LXVI) ; 2^o que si l’on prend pour le commencement de la période une conjonction du troisième sa-

tellite dans laquelle $\theta =0,$ c’est-à-dire, que le second satellite soit aussi en conjonction, on trouvera que la marche de l’équation dont il s’agit sera entièrement analogue à celle de l’équation du second satellite (Article LXVI).

LXXII.

L’équation que nous venons d’examiner ne se trouve point dans les Tables du troisième satellite ; M. Wargentin s’est contenté de l’indiquer dans la Préface de ses Tables (Mémoires de la Société d’Upsal, pour l’année 1741), où il dit Multæ etiam observationes satis manifeste indicant tertium æquatione alia indigere cujus fere eadem est quantitas et natura cum æquatione nova primi ; sed quoniam observationes non paucas habeam que eam vel minorem, vel nullam arguant, hujus æquationis in Tabulis nullam habere rationem satius judicavi ; et ailleurs (dans la Dissertation qui est à la tête des observations du second satellite) : In motibus tertii satellitis deprehenditur inæqualitas quædam quæ indicat eum esse retardatum in conjunctionibus, sed acceleratum in oppositionibus secundi ; et plus bas : Est etiam hæc inæqualitas tertii similis inaequalitati supra descriptæ secundi ; ce qui s’accorde parfaitement avec ce que nous avons trouvé dans l’Article précédent. Il est vrai que cette équation a paru à M. Wargentin de la même quantité que celle du premier satellite, au lieu qu’elle n’en est qu’environ les deux tiers, suivant notre Théorie ; mais ce savant Astronome avoue lui-même qu’il ne regarde pas son résultat comme fort exact, l’ayant trouvé quelquefois moindre, et même nul, et que c’est pour cette raison qu’il a cru devoir s’abstenir d’en faire usage dans ses Tables.

LXXIII.

Avant de quitter la formule de l’Article LVI, nous dirons deux mots des termes qui dépendent de $u_{4}-u_{3},$ élongation du quatrième satellite au troisième, et dont le plus considérable est celui-ci

${\frac {{\mathfrak {S}}_{4}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}7124^{\text{m}}\sin 2(u_{4}-u_{3}).$

Supposons d’abord que l’équation qui en provient soit, lorsqu’elle est la plus grande, de $m$ minutes ; on aura

${\frac {{\mathfrak {S}}_{4}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}7124=m\,;$

donc

${\frac {{\mathfrak {S}}_{4}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}={\frac {m}{7124}}=0{,}000140m\,;$

d’où l’on voit que, pour que $m$ soit au moins =1, il faut que la masse du quatrième satellite surpasse de beaucoup celles des trois premiers.

Si l’on veut que la densité de ce satellite soit la même que celle de Jupiter, on trouvera son diamètre $=0{,}0519{\sqrt[{3}]{m}}$ de celui de Jupiter ; et par conséquent le temps qu’il doit employer à entrer dans l’ombre $=(15^{\text{m}}46^{\text{s}}){\sqrt[{3}]{m}}\,;$ ce qui, en faisant $m=1,$ est assez conforme au résultat des observations de M. Maraldi.

Cette équation, au reste, supposé qu’elle montât à quelques minutes, ce qui ne serait nullement impossible, mériterait d’autant plus l’attention des Astronomes qu’elle varie beaucoup d’une conjonction à l’autre ; en effet, les révolutions synodiques du troisième et du quatrième satellite étant de $619176^{\text{s}}$ et $1447507^{\text{s}},$ on trouve que l’angle $u_{4}-u_{3},$ doit augmenter pendant une révolution du troisième de $\left({\frac {619176}{1447507}}-1\right)360^{\circ },$ c’est-à-dire, diminuer de ${\frac {828331}{1447507}}360^{\circ }\,;$ donc, nommant $\theta$ l’angle $u_{4}-u_{3}$ dans le temps d’une conjonction quelconque de ce satellite, on aura, après $n$ révolutions,

$u_{4}-u_{3}=\theta -n{\frac {828331}{1447507}}360^{\circ }\quad {\text{et}}\quad 2(u_{4}-u_{3})=2\theta -n{\frac {1656662}{1447507}}360^{\circ },$

d’où

$\sin 2(u_{4}-u_{3})=\sin \left(2\theta -n{\frac {209155}{1447507}}360^{\circ }\right)\,;$

par conséquent la période de cette équation ne sera que de ${\frac {1447507}{209155}}$ révolutions, c’est-à-dire, de $6{,}920$ révolutions, ce qui fait $49^{\text{j}}14^{\text{h}}12^{\text{m}}$ à peu

près. Ne serait-ce point là la source de ces inégalités qu’on observe dans les conjonctions du troisième satellite, et qui font des sauts considérables d’une conjonction à l’autre ? C’est une vue que nous proposons aux Astronomes qui s’occupent de la Théorie des satellites.

LXXIV.

Il ne resterait plus qu’à examiner les équations des conjonctions du quatrième satellite, contenues dans la formule de l’Article LVIII ; mais ayant déjà trouvé (Articles LXIII et LXVIII)

${\mathfrak {S}}_{2}=000002417\mathbb {Z} \!^{\upsilon },\quad {\mathfrak {S}}_{1}$ et ${\mathfrak {S}}_{3}<0000111\mathbb {Z} \!^{\upsilon },$

on verra aisément que les coefficients de-ces équations ne s’étendent point au delà d’un petit nombre de secondes ; ce qui est trop peu de chose pour qu’on doive en tenir compte dans le mouvement de ce satellite, surtout vu l’imperfection qui règne encore dans les Tables de Jupiter.

---

CHAPITRE IV.

SUITE DU CALCUL DES PERTURBATIONS DES SATELLITES DE JUPITER.

LXXV.

Ayant trouvé les premières valeurs de $x,y,z$ (Articles XXXVI et suivants), on reprendra les équations de l’Article XXXII ; et après y avoir mis au lieu de $\mathrm {X,Y,Z}$ leurs expressions (Articles XXX et suivants), sans négliger les termes de l’ordre $n,$ on substituera dans tous les termes de cet ordre les valeurs trouvées de $x,y,z,$ et l’on aura de nouvelles équations en $x,y,z$ plus exactes que celles de l’Article XXXV, et qui s’intégreront encore par la même méthode.

LXXVI.

Soit pour le premier satellite (ces formules s’appliquent également aux trois autres, suivant les remarques des Articles IX et XIII)

${\begin{aligned}\mathrm {L} _{1}\ =&g_{1}-2\mu _{1}\mathrm {H} _{1}-{\frac {\chi _{2}}{1+n\chi _{1}}}{\breve {\Gamma }}(a_{1},a_{2})-{\frac {\chi _{3}}{1+n\chi _{1}}}{\breve {\Gamma }}(a_{1},a_{3})-{\frac {\chi _{4}}{1+n\chi _{1}}}{\breve {\Gamma }}(a_{1},a_{4})\\&-{\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {K} _{1}}{1+n\chi _{1}}}+{\frac {1}{5}}{\frac {\varkappa _{1}}{1+n\chi _{1}}},\\\mathrm {M} _{1}^{2}=&3\mu _{1}^{2}-2f_{1}-nf_{1}\left[\chi _{2}{\breve {\Pi }}(a_{1},a_{2})+\chi _{3}{\breve {\Pi }}(a_{1},a_{3})+\chi _{4}{\breve {\Pi }}(a_{1},a_{4})+{\frac {1}{2}}\mathrm {K} _{1}+{\frac {1}{5}}\varkappa _{1}\right],\\\mathrm {N} _{1}^{2}\,=&\mu _{1}^{2}\\+&nf_{1}\left[\chi _{2}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{1},a_{2})+\chi _{3}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{1},a_{3})+\chi _{4}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{1},a_{4})+{\frac {3}{2}}\mathrm {K} _{1}+{\frac {2}{5}}\varkappa _{1}\right]+2n\mu _{1}f_{1}\mathrm {H} _{1}.\end{aligned}}$

Supposons de plus (Articles XXXVI et XXXVIII)

${\begin{aligned}\theta _{1}=&-{\frac {\chi _{2}}{1+n\chi _{1}}}\left[\Xi _{1}(a_{1},a_{2})\cos(u_{2}-u_{1})t+\Xi _{2}(a_{1},a_{2})\cos 2(u_{2}-u_{1})t+\ldots \right]\\&-{\frac {\chi _{3}}{1+n\chi _{1}}}\left[\Xi _{1}(a_{1},a_{3})\cos(u_{3}-u_{1})t+\Xi _{2}(a_{1},a_{3})\cos 2(u_{3}-u_{1})t+\ldots \right]\\&-{\frac {\chi _{4}}{1+n\chi _{1}}}\left[\Xi _{1}(a_{1},a_{4})\cos(u_{4}-u_{1})t+\Xi _{2}(a_{1},a_{4})\cos 2(u_{4}-u_{1})t+\ldots \right]\\&-{\frac {\mathrm {K} _{1}}{1+n\chi _{1}}}\gamma _{1}\sin 2(m-\mu _{1})t,\\\\\vartheta _{1}=&{\frac {\chi _{2}}{1+n\chi _{1}}}\left[\Phi _{1}(a_{1},a_{2})\sin(u_{2}-u_{1})t+\Phi _{2}(a_{1},a_{2})\sin 2(u_{2}-u_{1})t+\ldots \right]\\+&{\frac {\chi _{3}}{1+n\chi _{1}}}\left[\Phi _{1}(a_{1},a_{3})\sin(u_{3}-u_{1})t+\Phi _{2}(a_{1},a_{3})\sin 2(u_{3}-u_{1})t+\ldots \right]\\+&{\frac {\chi _{4}}{1+n\chi _{1}}}\left[\Phi _{1}(a_{1},a_{4})\sin(u_{4}-u_{1})t+\Phi _{2}(a_{1},a_{4})\sin 2(u_{4}-u_{1})t+\ldots \right]\\+&{\frac {\mathrm {K} _{1}}{1+n\chi _{1}}}\gamma _{1}\sin 2(m-\mu _{1})t,\end{aligned}}$

et faisons $x_{1}=\theta _{1}+x_{1},\ y_{1}=\vartheta _{1}+y_{1}$ (nous verrons bientôt la raison de ces substitutions). Les équations de l’Article XXXIII se changeront en

celles-ci, dans lesquelles nous avons négligé les termes affectés de $n^{2},$

${\begin{aligned}(\mathrm {G} )&\ \ {\frac {d^{2}x_{1}}{dt^{2}}}+\mathrm {M} _{1}^{2}x_{1}+f_{1}\mathrm {L} _{1}-n\left(6\mu _{1}^{2}-3f_{1}\right)x_{1}^{2}-{\frac {1}{2}}nf_{1}z_{1}^{2}-nf_{1}^{2}\mathrm {Y} _{1}^{2}\\&-n\chi _{2}f_{1}x_{1}\left[{\breve {\Pi }}_{1}(a_{1},a_{2})+{\frac {2\mu _{1}}{\mu _{2}-\mu _{1}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})\right]\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t\\&-n\chi _{2}f_{1}x_{1}\left[{\breve {\Pi }}_{2}(a_{1},a_{2})+{\frac {2\mu _{1}}{2(\mu _{2}-\mu _{1})}}{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})\right]\cos 2(\mu _{2}-\mu _{1})t\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&-n\chi _{3}f_{1}x_{1}\left[{\breve {\Pi }}_{1}(a_{1},a_{3})+{\frac {2\mu _{1}}{\mu _{3}-\mu _{1}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})\right]\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t\\&-n\chi _{3}f_{1}x_{1}\left[{\breve {\Pi }}_{2}(a_{1},a_{3})+{\frac {2\mu _{1}}{2(\mu _{3}-\mu _{1})}}{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{3})\right]\cos 2(\mu _{3}-\mu _{1})t\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&-n\chi _{4}f_{1}x_{1}\left[{\breve {\Pi }}_{1}(a_{1},a_{4})+{\frac {2\mu _{1}}{\mu _{4}-\mu _{1}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})\right]\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t\\&-n\chi _{4}f_{1}x_{1}\left[{\breve {\Pi }}_{2}(a_{1},a_{4})+{\frac {2\mu _{1}}{2(\mu _{4}-\mu _{1})}}{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{4})\right]\cos 2(\mu _{4}-\mu _{1})t\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\\&-n\mathrm {K} _{1}f_{1}x_{1}\left[{\frac {3}{2}}-{\frac {3\mu _{1}}{2(m-\mu _{1})}}\cos 2(m-\mu _{1})t\right]\\&-n\chi _{2}f_{1}x_{2}\\&\quad \times \left[{\breve {\Psi }}(a_{1},a_{2})+{\breve {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t+{\breve {\Psi }}_{2}(a_{1},a_{2})\cos 2(\mu _{2}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&-n\chi _{3}f_{1}x_{3}\\&\quad \times \left[{\breve {\Psi }}(a_{1},a_{3})+{\breve {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{3})\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t+{\breve {\Psi }}_{2}(a_{1},a_{3})\cos 2(\mu _{3}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&-n\chi _{4}f_{1}x_{4}\\&\quad \times \left[{\breve {\Psi }}(a_{1},a_{4})+{\breve {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{4})\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t+{\breve {\Psi }}_{2}(a_{1},a_{4})\cos 2(\mu _{4}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&+n\mathrm {K} _{1}f_{1}\xi \left[{\frac {3}{2}}+{\frac {9}{2}}\cos 2(m-\mu _{1})t\right]\\&+n\chi _{2}f_{1}(y_{2}-y_{1})\\&\quad \times \left[{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})\sin(\mu _{2}-\mu _{1})t+2{\breve {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})\sin 2(\mu _{2}-\mu _{1})t-\ldots \right]\\&+n\chi _{3}f_{1}(y_{3}-y_{1})\\&\quad \times \left[{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})\sin(\mu _{3}-\mu _{1})t+2{\breve {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{3})\sin 2(\mu _{3}-\mu _{1})t-\ldots \right]\\&+n\chi _{4}f_{1}(y_{4}-y_{1})\\&\quad \times \left[{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})\sin(\mu _{4}-\mu _{1})t+2{\breve {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{4})\sin 2(\mu _{4}-\mu _{1})t-\ldots \right]\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&+n\mathrm {K} _{1}f_{1}(\mathrm {J} -y_{1})\times 3\sin 2(m-\mu _{1})t\\&+2n\chi _{2}f_{1}\mu _{1}\\&\quad \times \int x_{1}\left[{\overset {\backsim }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{2})\sin(\mu _{2}-\mu _{1})t+{\overset {\backsim }{\Pi }}_{2}(a_{1},a_{2})\sin 2(\mu _{2}-\mu _{1})t+\ldots \right]dt\\&+2n\chi _{3}f_{1}\mu _{1}\\&\quad \times \int x_{1}\left[{\overset {\backsim }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{3})\sin(\mu _{3}-\mu _{1})t+{\overset {\backsim }{\Pi }}_{2}(a_{1},a_{3})\sin 2(\mu _{3}-\mu _{1})t+\ldots \right]dt\\&+2n\chi _{4}f_{1}\mu _{1}\\&\quad \times \int x_{1}\left[{\overset {\backsim }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{4})\sin(\mu _{4}-\mu _{1})t+{\overset {\backsim }{\Pi }}_{2}(a_{1},a_{4})\sin 2(\mu _{4}-\mu _{1})t+\ldots \right]dt\\\\&+2n\mathrm {K} _{1}f_{1}\mu _{1}\int x_{1}\times 3\sin 2(m-\mu _{1})tdt\\&+2n\chi _{2}f_{1}\mu _{1}\\&\quad \times \int x_{2}\left[{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})\sin(\mu _{2}-\mu _{1})t+{\widehat {\Psi }}_{2}(a_{1},a_{2})\sin 2(\mu _{2}-\mu _{1})t+\ldots \right]dt\\&+2n\chi _{3}f_{1}\mu _{1}\\&\quad \times \int x_{3}\left[{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{3})\sin(\mu _{3}-\mu _{1})t+{\widehat {\Psi }}_{2}(a_{1},a_{3})\sin 2(\mu _{3}-\mu _{1})t+\ldots \right]dt\\&+2n\chi _{4}f_{1}\mu _{1}\\&\quad \times \int x_{4}\left[{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{4})\sin(\mu _{4}-\mu _{1})t+{\widehat {\Psi }}_{2}(a_{1},a_{4})\sin 2(\mu _{4}-\mu _{1})t+\ldots \right]dt\\\\&+2n\mathrm {K} _{1}f_{1}\mu _{1}\int \xi \times {\frac {9}{2}}\sin 2(m-\mu _{1})tdt\\+&2n\chi _{2}f_{1}\mu _{1}\\&\ \ \times \int (y_{2}-y_{1})\left[{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t+2{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})\cos 2(\mu _{2}-\mu _{1})t+\ldots \right]dt\\+&2n\chi _{3}f_{1}\mu _{1}\\&\ \ \times \int (y_{3}-y_{1})\left[{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t+2{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{3})\cos 2(\mu _{3}-\mu _{1})t+\ldots \right]dt\\+&2n\chi _{4}f_{1}\mu _{1}\\&\ \ \times \int (y_{4}-y_{1})\left[{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t+2{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{4})\cos 2(\mu _{4}-\mu _{1})t+\ldots \right]dt\\\\&-2n\mathrm {K} _{1}f_{1}x_{1}\int (\mathrm {J} -y_{1})\times 3\cos 2(m-\mu _{1})tdt\\(\mathrm {H} )&\ \ {\frac {dy_{1}}{dt}}+2\mu _{1}x_{1}-f_{1}\mathrm {H} _{1}-3n\mu x_{1}^{2}\\&+2n\chi _{2}f_{1}x_{1}\left[{\frac {{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})}{\mu _{2}-\mu _{1}}}\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t+{\frac {{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})}{2(\mu _{2}-\mu _{1})}}\cos 2(\mu _{2}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&+2n\chi _{3}f_{1}x_{1}\left[{\frac {{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})}{\mu _{3}-\mu _{1}}}\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t+{\frac {{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{3})}{2(\mu _{3}-\mu _{1})}}\cos 2(\mu _{3}-\mu _{1})t+\ldots \right]\\&+2n\chi _{4}f_{1}x_{1}\left[{\frac {{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})}{\mu _{4}-\mu _{1}}}\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t+{\frac {{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{4})}{2(\mu _{4}-\mu _{1})}}\cos 2(\mu _{4}-\mu _{1})t+\ldots \right]\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&-2n\mathrm {K} _{1}f_{1}x_{1}\times {\frac {3}{4(m-\mu _{1})}}\cos 2(m-\mu _{1})t\\&+n\chi _{2}f_{1}\\&\quad \times \int x_{1}\left[{\overset {\backsim }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{2})\sin(\mu _{2}-\mu _{1})t+{\overset {\backsim }{\Pi }}_{2}(a_{1},a_{2})\sin 2(\mu _{2}-\mu _{1})t+\ldots \right]dt\\&+n\chi _{3}f_{1}\\&\quad \times \int x_{1}\left[{\overset {\backsim }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{3})\sin(\mu _{3}-\mu _{1})t+{\overset {\backsim }{\Pi }}_{2}(a_{1},a_{3})\sin 2(\mu _{3}-\mu _{1})t+\ldots \right]dt\\&+n\chi _{4}f_{1}\\&\quad \times \int x_{1}\left[{\overset {\backsim }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{4})\sin(\mu _{4}-\mu _{1})t+{\overset {\backsim }{\Pi }}_{2}(a_{1},a_{4})\sin 2(\mu _{4}-\mu _{1})t+\ldots \right]dt\\\\&+n\mathrm {K} _{1}f_{1}\int x_{1}\times 3\sin 2(m-\mu _{1})tdt\\&+n\chi _{2}f_{1}\\&\quad \times \int x_{2}\left[{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})\sin(\mu _{2}-\mu _{1})t+{\widehat {\Psi }}_{2}(a_{1},a_{2})\sin 2(\mu _{2}-\mu _{1})t+\ldots \right]dt\\&+n\chi _{3}f_{1}\\&\quad \times \int x_{3}\left[{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{3})\sin(\mu _{3}-\mu _{1})t+{\widehat {\Psi }}_{2}(a_{1},a_{3})\sin 2(\mu _{3}-\mu _{1})t+\ldots \right]dt\\&+n\chi _{4}f_{1}\\&\quad \times \int x_{4}\left[{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{4})\sin(\mu _{4}-\mu _{1})t+{\widehat {\Psi }}_{2}(a_{1},a_{4})\sin 2(\mu _{4}-\mu _{1})t+\ldots \right]dt\\\\&+n\mathrm {K} _{1}f_{1}\int \xi \times {\frac {9}{2}}\sin 2(m-\mu _{1})tdt\\+&n\chi _{2}f_{1}\\&\ \ \times \int (y_{2}-y_{1})\left[{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t+2{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})\cos 2(\mu _{2}-\mu _{1})t+\ldots \right]dt\\+&n\chi _{3}f_{1}\\&\ \ \times \int (y_{3}-y_{1})\left[{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t+2{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{3})\cos 2(\mu _{3}-\mu _{1})t+\ldots \right]dt\\+&n\chi _{4}f_{1}\\&\ \ \times \int (y_{4}-y_{1})\left[{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t+2{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{4})\cos 2(\mu _{4}-\mu _{1})t+\ldots \right]dt\\\\&-n\mathrm {K} _{1}f_{1}\int (\mathrm {J} -y_{1})\times 3\cos 2(m-\mu _{1})tdt=0,\\\\(\mathrm {K} )&\ \ {\frac {d^{2}z_{1}}{dt^{2}}}+\mathrm {N} _{1}^{2}-4n\mu _{1}^{2}z_{1}x_{1}+2n{\frac {dx_{1}dz_{1}}{dt^{2}}}\\&+n\chi _{2}f_{1}z_{1}\left[{\overset {\backsim }{\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})+{\frac {2\mu _{1}}{\mu _{2}-\mu _{1}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})\right]\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t\\&+n\chi _{2}f_{1}z_{1}\left[{\overset {\backsim }{\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})+{\frac {2\mu _{1}}{2(\mu _{2}-\mu _{1})}}{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})\right]\cos 2(\mu _{2}-\mu _{1})t\ldots \\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

${\begin{aligned}&+n\chi _{3}f_{1}z_{1}\left[{\overset {\backsim }{\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})+{\frac {2\mu _{1}}{\mu _{3}-\mu _{1}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})\right]\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t\\&+n\chi _{3}f_{1}z_{1}\left[{\overset {\backsim }{\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{3})+{\frac {2\mu _{1}}{2(\mu _{3}-\mu _{1})}}{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{3})\right]\cos 2(\mu _{3}-\mu _{1})t\ldots \\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+n\chi _{4}f_{1}z_{1}\left[{\overset {\backsim }{\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})+{\frac {2\mu _{1}}{\mu _{4}-\mu _{1}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})\right]\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t\\&+n\chi _{4}f_{1}z_{1}\left[{\overset {\backsim }{\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{4})+{\frac {2\mu _{1}}{2(\mu _{4}-\mu _{1})}}{\widehat {\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{4})\right]\cos 2(\mu _{4}-\mu _{1})t\ldots \\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+n\mathrm {K} _{1}f_{1}z_{1}\left[{\frac {3}{2}}-{\frac {3\mu _{1}}{2(m-\mu _{1})}}\right]\cos 2(m-\mu _{1})t\\-&n\chi _{2}f_{1}z_{2}\\&\ \ \times \left[{\overset {\circ }{\Gamma }}(a_{1},a_{2})+{\overset {\circ }{\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t+{\overset {\circ }{\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{2})\cos 2(\mu _{2}-\mu _{1})t\ldots \right]\\-&n\chi _{3}f_{1}z_{3}\\&\ \ \times \left[{\overset {\circ }{\Gamma }}(a_{1},a_{3})+{\overset {\circ }{\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t+{\overset {\circ }{\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{3})\cos 2(\mu _{3}-\mu _{1})t\ldots \right]\\-&n\chi _{4}f_{1}z_{4}\\&\ \ \times \left[{\overset {\circ }{\Gamma }}(a_{1},a_{4})+{\overset {\circ }{\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t+{\overset {\circ }{\Gamma }}_{2}(a_{1},a_{4})\cos 2(\mu _{4}-\mu _{1})t\ldots \right]=0.\end{aligned}}$

LXXVII.

Si l’on rejette dans les équations $(\mathrm {G} )$ et $(\mathrm {H} )$ tous les termes affectés de $n,$ comme aussi tous les termes constants qui doivent être nuls par les conditions de l’Article XXXII on a

${\frac {d^{2}x_{1}}{dt^{2}}}+\mathrm {M} _{1}^{2}x_{1}=0,\quad {\frac {dy_{1}}{dt}}+2\mu _{1}x_{1}=0.$

D’où l’on tire

$x_{1}=\varepsilon _{1}\cos(\mathrm {M} _{1}t+\omega _{1}),\quad y_{1}=-{\frac {2\mu _{1}}{\mathrm {M} _{1}}}\varepsilon _{1}\sin(\mathrm {M} _{1}t+\omega _{1}),$

ce qui donne pour $x_{1}$ et $y_{1}$ les mêmes valeurs que nous avons déjà trouvées (Article LXXV).

La quantité $-{\frac {2\mu _{1}}{\mathrm {M} _{1}}}\varepsilon _{1}\sin(\mathrm {M} _{1}t+\omega _{1})$ n’est que le premier terme de l’équation du centre calculée dans une ellipse mobile (Article XXXVIII) ; si l’on voulait avoir le terme suivant, c’est-à-dire celui qui contient le carré de l’excentricité, il n’y aurait qu’à mettre au lieu de $x_{1}$ dans les termes $-n(6\mu _{1}-3f_{1})x_{1}^{2}$ et $-3n\mu _{1}x_{1}^{2}$ des équations $\mathrm {(G),(H)} ,$ la valeur de $x_{1}$ qu’on vient de trouver.

On aurait donc, en négligeant toujours les termes constants,

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}x_{1}}{dt^{2}}}&+\mathrm {M} _{1}x_{1}-n\left(6\mu _{1}^{2}-3f_{1}\right){\frac {\varepsilon _{1}^{2}}{2}}\cos 2(\mathrm {M} _{1}t+\omega _{1})=0,\\{\frac {dy_{1}}{dt}}&+2\mu _{1}x_{1}-3n\mu _{1}{\frac {\varepsilon _{1}^{2}}{2}}\cos 2(\mathrm {M} _{1}t+\omega _{1})=0.\end{aligned}}$

La première de ces équations donne (Article XXXIV)

$x_{1}=\varepsilon _{1}\cos(\mathrm {M} _{1}t+\omega _{1})-n\left(6\mu _{1}^{2}-3f_{1}\right){\frac {\varepsilon _{1}^{2}}{2}}{\frac {\cos 2(\mathrm {M} _{1}t+\omega _{1})}{3\mathrm {M} _{1}^{2}}},$

c’est-à-dire, en mettant au lieu de $f_{1}$ et de $\mathrm {M} _{1}^{2}$ leurs valeurs approchées $\mu _{1}^{2}$ (Article XLV),

$x_{1}=\varepsilon _{1}\cos(\mathrm {M} _{1}t+\omega _{1})-n{\frac {\varepsilon _{1}^{2}}{2}}\cos 2(\mathrm {M} _{1}t+\omega _{1}).$

Donc, substituant cette valeur de $x_{1}$ dans la seconde, et l’intégrant ensuite, on aura

$y_{1}=-{\frac {2\mu _{1}}{\mathrm {M} _{1}}}\varepsilon _{1}\sin(\mathrm {M} _{1}t+\omega _{1})+n{\frac {5\mu _{1}}{4\mathrm {M} _{1}}}\varepsilon _{1}^{2}\sin 2(\mathrm {M} _{1}t+\omega _{1}).$

Ce qui s’accorde avec ce que l’on sait d’ailleurs ; mais nous verrons plus bas qu’il y a dans l’équation $(\mathrm {G} )$ d’autres termes qui influent considérablement sur l’équation du centre, et qui empêchent qu’on ne puisse regarder l’expression précédente comme assez exacte, même dans le cas où l’on néglige les quantités de l’ordre $n$.

Il en faut dire autant de l’expression de la latitude que nous avons déjà trouvée (Article XL) ; mais avant que d’entrer dans cette discussion, il est bon de voir ce que donnent les nouvelles valeurs de $\mathrm {M}$ et de $\mathrm {N}$ (Article précédent) pour le mouvement des apsides et des nœuds.

§ I. — Premières valeurs du mouvement des apsides et des nœuds des satellites.

LXXVIII.

Nous avons trouvé (Article LXXVI)

$\mathrm {M} _{1}^{2}=3\mu _{1}^{2}-2f_{1}$

$-nf_{1}\left[\chi _{2}{\breve {\Pi }}(a_{1},a_{2})+\chi _{3}{\breve {\Pi }}(a_{1},a_{3})+\chi _{4}{\breve {\Pi }}(a_{1},a_{4})+{\frac {1}{2}}\mathrm {K} _{1}+{\frac {1}{5}}\varkappa _{1}\right]\,;$

or, on a généralement (Article XXIX)

$1-{\frac {\mu ^{2}}{f}}=ng,$

d’où

$f={\frac {\mu ^{2}}{1-ng}}=\mu ^{2}(1+ng),$

et par conséquent

$f_{1}=\mu _{1}^{2}(1+ng_{1}),$

donc, négligeant les termes affectés de $n,$ on aura

$\mathrm {M} _{1}^{2}=\mu _{1}^{2}\left[1-ng_{1}-n\chi _{2}{\breve {\Pi }}(a_{1},a_{2})-n\chi _{3}{\breve {\Pi }}(a_{1},a_{3})-n\chi _{4}{\breve {\Pi }}(a_{1},a_{4})-{\frac {1}{2}}\mathrm {K} _{1}-{\frac {4}{5}}\varkappa _{1}\right].$

Maintenant on a par l’équation $\mathrm {L} _{1}=g_{1}-\ldots$ de l’Article LXXVI

$g_{1}=\mathrm {L} _{1}+2\mu _{1}\mathrm {H} _{1}$

$+{\frac {1}{1+n\chi _{1}}}\left[\chi _{2}{\breve {\Gamma }}(a_{1},a_{2})+\chi _{3}{\breve {\Gamma }}(a_{1},a_{3})+\chi _{4}{\breve {\Gamma }}(a_{1},a_{4})+{\frac {1}{2}}\mathrm {K} _{1}-{\frac {1}{5}}\varkappa _{1}\right]\,;$

donc

${\begin{aligned}\mathrm {M} _{1}^{2}=\mu _{1}^{2}&{\biggl [}1-n\chi _{2}\left[{\breve {\Pi }}(a_{1},a_{2})+2{\breve {\Gamma }}(a_{1},a_{2})\right]{\biggr .}\\&-n\chi _{3}\left[{\breve {\Pi }}(a_{1},a_{3})+2{\breve {\Gamma }}(a_{1},a_{3})\right]-n\chi _{4}\left[{\breve {\Pi }}(a_{1},a_{4})+2{\breve {\Gamma }}(a_{1},a_{4})\right]\\&{\biggl .}-{\frac {3}{2}}n\mathrm {K} _{1}-{\frac {2}{5}}n\varkappa _{1}-2n\mathrm {L} _{1}-4\mu _{1}\mathrm {H} _{1}{\biggr ]},\end{aligned}}$

les quantités $\mathrm {L_{1},H_{1}} ,$ devant être déterminées par la condition que les équations $\mathrm {(G),(H)}$ ne renferment aucun terme constant.

Pour remplir ces deux conditions, on supposera que $(x_{1}^{2})$ soit la quantité constante qui entre dans la valeur de $x_{1}^{2}\,;$ car la valeur de $x_{1}$ étant composée de sinus et de cosinus, il est évident que le carré $x_{1}^{2}$ contiendra nécessairement des termes constants, quoique $x_{1}$ n’en contienne point ; de même, soient $(z_{1}^{2}),(\mathrm {Y} _{1}^{2})\,;$ les quantités constantes qui entreront dans les valeurs de $z_{1}^{2},\mathrm {Y} _{1}^{2}\,;$ on aura donc

$f_{1}\mathrm {L} -n\left(6\mu _{1}^{2}-3f_{1}\right)(x_{1}^{2})-{\frac {3}{2}}nf_{1}\left(z_{1}^{2}\right)-nf_{1}^{2}\left(\mathrm {Y} _{1}^{2}\right)=0,$

$-f_{1}\mathrm {H} _{1}-3n\mu _{1}\left(x_{1}^{2}\right)=0\,;$

d’où l’on tirera $\mathrm {L} _{1}$ et $\mathrm {H} _{1},$ qui seront de l’ordre de $n\,;$ c’est pourquoi on peut négliger dans la valeur de $\mathrm {M} _{1}^{2}$ les quantités $2n\mathrm {L} _{1}$ et $4n\mu _{1}\mathrm {H} _{1},$ qui seraient de l’ordre $n^{2}.$

LXXIX.

Donc, si l’on fait, pour abréger,

${\begin{aligned}{\text{ϐ}}_{1}&=\chi _{2}\left[{\breve {\Pi }}(a_{1},a_{2})+2{\breve {\Gamma }}(a_{1},a_{2})\right]+\chi _{3}\left[{\breve {\Pi }}(a_{1},a_{3})+2{\breve {\Gamma }}(a_{1},a_{3})\right]\\&+\chi _{4}\left[{\breve {\Pi }}(a_{1},a_{4})+2{\breve {\Gamma }}(a_{1},a_{4})\right]+{\frac {3}{2}}\mathrm {K} _{1}+{\frac {2}{5}}\varkappa _{1},\end{aligned}}$

et de même (Article IX)

${\begin{aligned}{\text{ϐ}}_{2}&=\chi _{1}\left[{\breve {\Pi }}(a_{2},a_{1})+2{\breve {\Gamma }}(a_{2},a_{1})\right]+\chi _{3}\left[{\breve {\Pi }}(a_{2},a_{3})+2{\breve {\Gamma }}(a_{2},a_{3})\right]\\&+\chi _{4}\left[{\breve {\Pi }}(a_{2},a_{4})+2{\breve {\Gamma }}(a_{2},a_{4})\right]+{\frac {3}{2}}\mathrm {K} _{2}+{\frac {2}{5}}\varkappa _{2},\\\\{\text{ϐ}}_{3}&=\chi _{1}\left[{\breve {\Pi }}(a_{3},a_{1})+2{\breve {\Gamma }}(a_{3},a_{1})\right]+\chi _{2}\left[{\breve {\Pi }}(a_{3},a_{2})+2{\breve {\Gamma }}(a_{3},a_{2})\right]\\&+\chi _{4}\left[{\breve {\Pi }}(a_{3},a_{4})+2{\breve {\Gamma }}(a_{3},a_{4})\right]+{\frac {3}{2}}\mathrm {K} _{3}+{\frac {2}{5}}\varkappa _{3},\\\\{\text{ϐ}}_{4}&=\chi _{1}\left[{\breve {\Pi }}(a_{4},a_{1})+2{\breve {\Gamma }}(a_{4},a_{1})\right]+\chi _{2}\left[{\breve {\Pi }}(a_{4},a_{2})+2{\breve {\Gamma }}(a_{4},a_{2})\right]\\&+\chi _{3}\left[{\breve {\Pi }}(a_{4},a_{3})+2{\breve {\Gamma }}(a_{4},a_{3})\right]+{\frac {3}{2}}\mathrm {K} _{4}+{\frac {2}{5}}\varkappa _{4},\end{aligned}}$

on aura

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {M} _{1}^{2}=&\mu _{1}^{2}(1-n{\text{ϐ}}_{1}),\qquad \mathrm {M} _{1}=&\mu _{1}\left(1-{\frac {1}{2}}n{\text{ϐ}}_{1}\right),\\\mathrm {M} _{2}^{2}=&\mu _{2}^{2}(1-n{\text{ϐ}}_{2}),\qquad \mathrm {M} _{2}=&\mu _{2}\left(1-{\frac {1}{2}}n{\text{ϐ}}_{2}\right)\,;\end{alignedat}}$

et ainsi des autres.

Or le mouvement de la ligne des apsides étant au mouvement moyen comme $\mu -\mathrm {M}$ à $\mu$ (Article XXXVII), cette ligne avancera pendant une révolution de ${\frac {n{\text{ϐ}}}{2}}360^{\circ },$ d’où l’on connaîtra le mouvement des apsides de tous les satellites.

LXXX.

Pour évaluer en nombres les quantités ${\text{ϐ}},$ il faut commencer par chercher les valeurs des quantités ${\breve {\Pi }}(a_{1},a_{2}),\ldots ,$ lesquelles dépendent des quantités $\Lambda (a_{1},a_{2}),\ldots ,$ c’est-à-dire des coefficients de la série qui représente la quantité radicale $\left(1-2q\theta +q^{2}\right)^{-{\frac {5}{2}}}$ (Articles XX et suivants).

Soit donc, comme dans cet Article,

$\left(1-2q\theta +q^{2}\right)^{-{\frac {5}{2}}}=(\mathrm {A} )+(\mathrm {B} )\cos \theta +(\mathrm {C} )\cos 2\theta +\ldots ,$

on aura, en faisant $q={\frac {a_{1}}{a_{2}}}$ et $\theta =\varphi _{2}-\varphi _{1},$

$\left[a_{1}^{2}-2a_{1}a_{2}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+a_{2}^{2}\right]^{-{\frac {5}{2}}}=$

$a_{2}^{-5}\left[(\mathrm {A} )+(\mathrm {B} )\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+(\mathrm {C} )\cos 2(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\ldots \right]\,;$

donc(Article XXI)

$\Lambda (a_{1},a_{2})=a_{2}^{-5}(\mathrm {A} ),\quad \Lambda _{1}(a_{1},a_{2})=a_{2}^{-5}(\mathrm {B} ),\ldots ,$

De même, en faisant $q={\frac {a_{1}}{a_{3}}},\ {\frac {a_{2}}{a_{3}}},\ldots ,$ on aura

$\Lambda (a_{1},a_{3})=a_{3}^{-5}(\mathrm {A} ),\quad \Lambda _{1}(a_{1},a_{3})=a_{3}^{-5}(\mathrm {B} ),\ldots ,$

et ainsi de suite ; où l’on remarquera que les quantités réciproques $\Lambda (a_{2},a_{1}),$ $\Lambda (a_{3},a_{1})\ldots$ sont les mêmes que les quantités $\Lambda (a_{1},a_{2}),$ $\Lambda (a_{1},a_{3}),\ldots$ (Article XLIII).

Cela posé, on trouvera (Article XXII), $q$ étant égal à ${\frac {a_{1}}{a_{2}}},$

${\begin{aligned}&\Pi \ \,(a_{1},a_{2})={\frac {q(\mathrm {B} )-2q^{2}(\mathrm {A} )}{2a_{2}^{3}}},\\&\Pi _{1}(a_{1},a_{2})={\frac {q(\mathrm {C} )-2q^{2}(\mathrm {B} )+2q(\mathrm {A} )}{2a_{2}^{3}}},\\&\Pi _{2}(a_{1},a_{2})={\frac {q(\mathrm {D} )-2q^{2}(\mathrm {C} )+q(\mathrm {B} )}{2a_{2}^{3}}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

et de là, en faisant, pour abréger,

${\begin{aligned}&\mathrm {P} \ \,={\frac {q(\mathrm {B} )-q^{2}(\mathrm {A} )}{2}},\\&\mathrm {P} _{1}={\frac {q(\mathrm {C} )-2q^{2}(\mathrm {B} )+2q(\mathrm {A} )}{2}},\\&\mathrm {P} _{2}={\frac {q(\mathrm {D} )-q^{2}(\mathrm {C} )+q(\mathrm {B} )}{2}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

on aura par l’Article XXIV

${\begin{aligned}&{\breve {\Pi }}\ \,(a_{1},a_{2})=3{\frac {q^{2}\mathrm {P} _{1}-2q^{3}\mathrm {P} }{2}}-q^{3}\mathrm {A} ,\\&{\breve {\Pi }}_{1}(a_{1},a_{2})=3{\frac {q^{2}\mathrm {P} _{2}-2q^{3}\mathrm {P} _{1}+2q^{2}\mathrm {P} }{2}}-q^{3}\mathrm {B} ,\\&{\breve {\Pi }}_{2}(a_{1},a_{2})=3{\frac {q^{2}\mathrm {P} _{3}-2q^{3}\mathrm {P} _{2}+q^{2}\mathrm {P} _{1}}{2}}-q^{3}\mathrm {C} ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

On trouvera des expressions semblables pour les fonctions ${\breve {\Pi }}$ de $(a_{1},a_{3}),$$(a_{2},a_{3}),\ldots ,$ en faisant $q={\frac {a_{1}}{a_{3}}},\ ={\frac {a_{2}}{a_{3}}},\ldots .$ De la même manière on trouvera que l’on a, $q$ étant encore égal à ${\frac {a_{1}}{a_{2}}},$

${\begin{aligned}&\Pi \ \,(a_{2},a_{1})={\frac {q(\mathrm {B} )-2(\mathrm {A} )}{2a_{2}^{3}}},\\&\Pi _{1}(a_{2},a_{1})={\frac {q(\mathrm {C} )-2(\mathrm {B} )+2q(\mathrm {A} )}{2a_{2}^{3}}},\\&\Pi _{2}(a_{2},a_{1})={\frac {q(\mathrm {D} )-2(\mathrm {C} )+q(\mathrm {B} )}{2a_{2}^{3}}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

d’où, en faisant

${\begin{aligned}&\mathrm {Q} \ \,={\frac {q(\mathrm {B} )-2(\mathrm {A} )}{2}},\\&\mathrm {Q} _{1}={\frac {q(\mathrm {C} )-2(\mathrm {B} )+2(\mathrm {A} )}{2}},\\&\mathrm {Q} _{2}={\frac {q(\mathrm {D} )-2(\mathrm {C} )+q(\mathrm {B} )}{2}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

on tire

${\begin{aligned}&{\breve {\Pi }}\ \,(a_{2},a_{1})=3{\frac {q\mathrm {Q} _{1}-2\mathrm {Q} }{2}}-\mathrm {A} ,\\&{\breve {\Pi }}_{1}(a_{2},a_{1})=3{\frac {q\mathrm {Q} _{2}-2\mathrm {Q} _{1}+2q\mathrm {Q} }{2}}-\mathrm {B} ,\\&{\breve {\Pi }}_{2}(a_{2},a_{1})=3{\frac {q\mathrm {Q} _{3}-2\mathrm {Q} _{2}+q\mathrm {Q} _{1}}{2}}-\mathrm {C} ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

expressions qui serviront aussi pour les quantités ${\breve {\Pi }}(a_{3},a_{1}),{\breve {\Pi }}(a_{3},a_{2}),\ldots ,$ en faisant successivement $q={\frac {a_{1}}{a_{3}}},\ q={\frac {a_{2}}{a_{3}}},\ldots .$

LXXXI.

Ayant donc fait le calcul de ces différentes quantités, j’ai trouvé les valeurs suivantes :

${\begin{array}{|c|r|r|r|r|r|r|}\hline &q={\cfrac {a_{1}}{a_{2}}}&q={\cfrac {a_{1}}{a_{3}}}&q={\cfrac {a_{1}}{a_{4}}}&q={\cfrac {a_{2}}{a_{3}}}&q={\cfrac {a_{2}}{a_{4}}}&q={\cfrac {a_{3}}{a_{4}}}\\\hline (\mathrm {A} )&14{,}494&2{,}654&1{,}366&13{,}856&2{,}198&8{,}288\\\hline (\mathrm {B} )&27{,}331&4{,}095&1{,}399&26{,}083&3{,}179&15{,}144\\\hline (\mathrm {C} )&23{,}754&2{,}544&0{,}550&22{,}646&1{,}850&12{,}400\\\hline (\mathrm {D} )&19{,}323&1{,}157&0{,}515&17{,}547&1{,}185&9{,}402\\\hline \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots \\\hline \mathrm {P} \,\ &2{,}856&0{,}395&0{,}099&2{,}734&0{,}287&1{,}627\\\hline \mathrm {P} _{1}&5{,}767&0{,}912&0{,}298&5{,}539&0{,}709&3{,}342\\\hline \mathrm {P} _{2}&5{,}268&0{,}639&0{,}186&4{,}783&0{,}541&2{,}972\\\hline \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots \\\hline \mathrm {Q} \ \,&-5{,}887&-1{,}847&-1{,}199&-5{,}692&-1{,}633&-3{,}985\\\hline \mathrm {Q} _{1}&-10{,}717&-2{,}547&-1{,}031&-10{,}335&-2{,}068&-6{,}909\\\hline \mathrm {Q} _{2}&-9{,}059&-1{,}510&-0{,}336&-8{,}993&-1{,}075&-5{,}423\\\hline \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots \\\hline \end{array}}$

${\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline &(a_{1},a_{2})&(a_{1},a_{3})&(a_{1},a_{4})&(a_{2},a_{3})&(a_{2},a_{4})&(a_{3},a_{4})\\\hline \ {\breve {\Pi }}\ &0{,}534&0{,}050&0{,}008&0{,}514&0{,}036&0{,}389\\\hline \end{array}}$

${\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline &(a_{2},a_{1})&(a_{3},a_{1})&(a_{4},a_{1})&(a_{3},a_{2})&(a_{4},a_{2})&(a_{4},a_{3})\\\hline \ {\breve {\Pi }}\ &4{,}504&2{,}579&2{,}128&4{,}401&2{,}454&3{,}837\\\hline \end{array}}$

LXXXII.

À l’égard des valeurs de ${\breve {\Gamma }}(a_{1},a_{2}),\ldots ,$ nous les avons données ci-dessus (Article XLVII) àussi bien que celles de $n\mathrm {K} _{1},n\mathrm {K} _{2},\ldots$ (Article XLIX) ; et pour ce qui est des quantités $n\varkappa =\nu {\frac {\mathrm {A} ^{2}}{a^{2}}}$ (Article XXIX) on aura, en faisant $\mathrm {A} ,$ demi-diamètre de Jupiter, égal à $1,$ et mettant pour $a_{1},a_{2},\ldots$ leurs valeurs (Article XLVI), on aura, dis-je,

$n\varkappa _{1}=0{,}03110\nu ,\ \ n\varkappa _{2}=0{,}01234\nu ,\ \ n\varkappa _{3}=0{,}00484\nu ,\ \ n\varkappa _{4}=0{,}00156\nu ,$

la quantité $\nu$ dépendant de la figure et de la constitution intérieure de Jupiter, comme on l’a vu (Article XVI).

LXXXIII.

Toutes ces substitutions faites, on aura, après avoir remis au lieu de $n\chi _{1},n\chi _{2},\ldots ,$ les quantités ${\frac {{\mathfrak {S}}_{1}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}},{\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}},\ldots ,$

${\begin{aligned}n{\text{ϐ}}_{1}=&0{,}982{\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}+0{,}124{\frac {{\mathfrak {S}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}+0{,}022{\frac {{\mathfrak {S}}_{4}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}+0{,}012440\nu +0{,}0000003,\\n{\text{ϐ}}_{2}=&1{,}562{\frac {{\mathfrak {S}}_{1}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}+0{,}940{\frac {{\mathfrak {S}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}+0{,}090{\frac {{\mathfrak {S}}_{4}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}+0{,}004936\nu +0{,}0000010,\\n{\text{ϐ}}_{3}=&0{,}307{\frac {{\mathfrak {S}}_{1}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}+1{,}467{\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}+0{,}673{\frac {{\mathfrak {S}}_{4}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}+0{,}001936\nu +0{,}0000040,\\n{\text{ϐ}}_{4}=&0{,}050{\frac {{\mathfrak {S}}_{1}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}+0{,}260{\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}+1{,}139{\frac {{\mathfrak {S}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}+0{,}000624\nu +0{,}0000222.\end{aligned}}$

LXXXIV.

Passons maintenant aux formules qui donnent le mouvement des nœuds, et nous trouvons d’abord pour le premier satellite (Article LXXV)

$\mathrm {N} _{1}^{2}=\mu _{1}^{2}+nf_{1}\left[\chi _{2}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{1},a_{2})+\chi _{3}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{1},a_{3})+\chi _{4}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{1},a_{4})+{\frac {3}{2}}\mathrm {K} _{1}+{\frac {3}{5}}\varkappa _{1}\right]$

$+2n\mu _{1}f_{1}\mathrm {H} _{1}\,;$

c’est-à-dire, en mettant $\mu _{1}^{2}$ au lieu de $f_{1},$ et négligeant le terme $2n\mu _{1}f_{1}\mathrm {H} _{1}$

qui est du second ordre, à cause que $\mathrm {H} ,$ est déjà de l’ordre de $n$ (Article LXXVIII),

$\mathrm {N} _{1}^{2}=\mu _{1}^{2}\left[1+n\chi _{2}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{1},a_{2})+n\chi _{3}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{1},a_{3})+n\chi _{4}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{1},a_{4})+{\frac {3}{2}}n\mathrm {K} _{1}+{\frac {2}{5}}n\varkappa _{1}\right]\,;$

donc si l’on fait, pour abréger,

$\varpi _{1}=\chi _{2}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{1},a_{2})+\chi _{3}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{1},a_{3})+\chi _{4}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{1},a_{4})+{\frac {3}{2}}\mathrm {K} _{1}+{\frac {3}{5}}\varkappa _{1},$

de même

${\begin{aligned}\varpi _{2}=&\chi _{1}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{2},a_{1})+\chi _{3}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{2},a_{3})+\chi _{4}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{2},a_{4})+{\frac {3}{2}}\mathrm {K} _{2}+{\frac {3}{5}}\varkappa _{2},\\\varpi _{3}=&\chi _{1}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{3},a_{1})+\chi _{2}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{3},a_{2})+\chi _{4}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{3},a_{4})+{\frac {3}{2}}\mathrm {K} _{3}+{\frac {3}{5}}\varkappa _{3},\\\varpi _{4}=&\chi _{1}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{4},a_{1})+\chi _{2}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{4},a_{2})+\chi _{3}{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{4},a_{3})+{\frac {3}{2}}\mathrm {K} _{4}+{\frac {3}{5}}\varkappa _{4}.\end{aligned}}$

On aura pour tous les quatre satellites

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {N} _{1}^{2}=&\mu _{1}^{2}(1+n\pi _{1}),\qquad &\mathrm {N} _{1}=&\mu _{1}\left(1+{\frac {1}{2}}n\pi _{1}\right),\\\mathrm {N} _{2}^{2}=&\mu _{2}^{2}(1+n\pi _{2}),&\mathrm {N} _{2}=&\mu _{2}\left(1+{\frac {1}{2}}n\pi _{2}\right),\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots .\end{alignedat}}$

Pour tirer de là le mouvement des nœuds, on remarquera que $(\mu -\mathrm {N} )t-\eta$ exprime, en général, la longitude moyenne du nœud ascendant (Article XLI) ; d’où il suit que le mouvement de la ligne des nœuds sera au mouvement moyen comme $\mu -\mathrm {N}$ à $\mu ,$ c’est-à-dire, comme $-{\frac {n\pi }{2}}$ à $1\,;$ par conséquent les nœuds reculeront à chaque révolution de ${\frac {1}{2}}n\pi \times 360^{\circ }.$

LXXXV.

Or, on trouvé par l’Article XXXII en faisant successivement $q={\frac {a_{1}}{a_{2}}},$$q={\frac {a_{1}}{a_{3}}},\ldots ,$

${\begin{aligned}&{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{1},a_{2})=q^{3}\mathrm {A} +{\breve {\Gamma }}(a_{1},a_{2}),\\&{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{1},a_{3})=q^{3}\mathrm {A} +{\breve {\Gamma }}(a_{1},a_{3}),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

ensuite,

${\begin{aligned}&{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{2},a_{1})=\mathrm {A} +{\breve {\Gamma }}(a_{2},a_{1}),\\&{\overset {\backsim }{\Gamma }}(a_{3},a_{1})=\mathrm {A} +{\breve {\Gamma }}(a_{3},a_{1}),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

ce qui donne (Article XLVII)

${\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline &(a_{1},a_{2})&(a_{1},a_{3})&(a_{1},a_{4})&(a_{2},a_{3})&(a_{2},a_{4})&(a_{3},a_{4})\\\hline \ {\breve {\Gamma }}\ &0{,}981&0{,}126&0{,}018&0{,}942&0{,}087&0{,}576\\\hline \end{array}}$

${\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline &(a_{2},a_{1})&(a_{3},a_{1})&(a_{4},a_{1})&(a_{3},a_{2})&(a_{4},a_{2})&(a_{4},a_{3})\\\hline \ {\breve {\Gamma }}\ &1{,}558&0{,}320&0{,}083&1{,}506&0{,}245&1{,}013\\\hline \end{array}}$

LXXXVI.

Donc, faisant ces substitutions, et remettant ${\frac {{\mathfrak {S}}_{1}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}},{\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}},\ldots ,$ au lieu de $n\chi _{1},n\chi _{2},\ldots ,$ on aura

${\begin{aligned}n\varpi _{1}=&0{,}981{\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}+0{,}126{\frac {{\mathfrak {S}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}+0{,}018{\frac {{\mathfrak {S}}_{4}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}+0{,}018660\nu +0{,}0000003,\\n\varpi _{2}=&1{,}558{\frac {{\mathfrak {S}}_{1}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}+0{,}942{\frac {{\mathfrak {S}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}+0{,}087{\frac {{\mathfrak {S}}_{4}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}+0{,}007404\nu +0{,}0000010,\\n\varpi _{3}=&0{,}320{\frac {{\mathfrak {S}}_{1}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}+1{,}506{\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}+0{,}576{\frac {{\mathfrak {S}}_{4}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}+0{,}002904\nu +0{,}0000040,\\n\varpi _{4}=&0{,}083{\frac {{\mathfrak {S}}_{1}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}+0{,}245{\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}+1{,}013{\frac {{\mathfrak {S}}_{3}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}+0{,}000936\nu +0{,}0000222.\end{aligned}}$

§ II. — Où l’on montre la nécessité d’avoir égard, dans les calculs de l’équation du centre et de la latitude, à quelques termes de l’ordre $n$ des équations
$(\mathrm {H} )$ et $(\mathrm {K} ).$

LXXXVII.

Nous avons trouvé (Article LXXVII)

$x_{1}=\varepsilon _{1}\cos(\mathrm {M} _{1}t+\omega _{1}),\quad y_{1}=-{\frac {2\mu _{1}}{\mathrm {M} _{1}}}\varepsilon _{1}\sin(\mathrm {M} _{1}t+\omega _{1})\,;$

on trouvera de même

$x_{2}=\varepsilon _{2}\cos(\mathrm {M} _{2}t+\omega _{2}),\quad y_{2}=-{\frac {2\mu _{2}}{\mathrm {M} _{2}}}\varepsilon _{2}\sin(\mathrm {M} _{2}t+\omega _{2})\,;$

et ainsi des autres. Cela posé, si l’on reprend l’équation $(\mathrm {G} )$ de l’Article LXXVI, et qu’on substitue dans le terme

$n\chi _{2}f_{1}x_{2}{\breve {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t,$

au lieu de $x_{2}$ sa valeur $x_{2}+\theta _{2},$ on verra que la quantité $x_{2}\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t$ renfermera un terme de cette forme

$\cos \left[(\mathrm {M} _{2}-\mu _{2}+\mu _{1})t+\omega _{2}\right]=\cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n{\text{ϐ}}_{2}}{2}}\mu _{2}\right)t+\omega _{2}\right]\,;$^[8] ;

lequel étant intégré deviendra

${\frac {\cos \left[\left(\mu _{1}-{\cfrac {n{\text{ϐ}}_{2}}{2}}\mu _{2}\right)t+\omega _{2}\right]}{\left(\mu _{1}-{\cfrac {n{\text{ϐ}}_{2}}{2}}\mu _{2}\right)^{2}-\left(\mu _{1}-{\cfrac {n{\text{ϐ}}_{1}}{2}}\mu _{1}\right)^{2}}}\,;$

ainsi le terme

$n\chi _{2}f_{1}{\breve {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})x_{2}\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t$

de l’équation différentielle donnera dans la valeur de $x_{1}$ le terme suivant

${\frac {\varepsilon _{2}}{2}}{\frac {n\chi _{2}f_{1}{\breve {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})\cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n{\text{ϐ}}_{2}}{2}}\mu _{2}\right)t+\omega _{2}\right]}{\left(\mu _{1}-{\cfrac {n{\text{ϐ}}_{2}}{2}}\mu _{2}\right)^{2}-\left(\mu _{1}-{\cfrac {n{\text{ϐ}}_{1}}{2}}\mu _{1}\right)^{2}}}=$

${\frac {\varepsilon }{2}}{\frac {\chi _{2}f_{1}{\breve {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})}{\mu _{1}({\text{ϐ}}_{1}\mu _{1}-{\text{ϐ}}_{2}\mu _{2})}}\cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n{\text{ϐ}}_{2}}{2}}\mu _{2}\right)t+\omega _{2}\right],$

lequel appartient, comme on voit, à la première valeur de $x_{1}.$ Pareillement le terme

$n\chi _{3}f_{1}x_{3}{\breve {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{3})\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t$

donnera dans la valeur de $x,$ le terme

${\frac {\varepsilon _{3}}{2}}{\frac {\chi _{3}f_{1}{\breve {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{3})}{\mu _{1}({\text{ϐ}}_{1}\mu _{1}-{\text{ϐ}}_{3}\mu _{3})}}\cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n{\text{ϐ}}_{3}}{2}}\mu _{3}\right)t+\omega _{3}\right]\,;$

et il en sera de même de quelques autres termes de l’équation $(\mathrm {G} )$ dont nous parlerons plus bas.

On trouvera de la même manière dans la valeur de $x_{2}$ les termes

${\begin{aligned}{\frac {\varepsilon _{1}}{2}}{\frac {\chi _{1}f_{2}{\breve {\Psi }}_{1}(a_{2},a_{1})}{\mu _{2}({\text{ϐ}}_{2}\mu _{2}-{\text{ϐ}}_{1}\mu _{1})}}\cos \left[\left(\mu _{2}-{\frac {n{\text{ϐ}}_{1}}{2}}\mu _{1}\right)t+\omega _{1}\right],\\{\frac {\varepsilon _{3}}{2}}{\frac {\chi _{3}f_{2}{\breve {\Psi }}_{1}(a_{2},a_{3})}{\mu _{2}({\text{ϐ}}_{2}\mu _{2}-{\text{ϐ}}_{3}\mu _{3})}}\cos \left[\left(\mu _{2}-{\frac {n{\text{ϐ}}_{3}}{2}}\mu _{3}\right)t+\omega _{3}\right],\end{aligned}}$

lesquels étant de nouveau substitués dans le terme

$n\chi _{2}f_{1}{\breve {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})x_{2}\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t$

de l’équation $(\mathrm {G} ),$ en donneront deux autres de cette forme

${\begin{aligned}&{\frac {1}{2}}n\chi _{2}f_{1}{\breve {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2}){\frac {\varepsilon _{1}}{2}}{\frac {\chi _{1}f_{2}{\breve {\Psi }}_{1}(a_{2},a_{1})}{\mu _{2}({\text{ϐ}}_{2}\mu _{2}-{\text{ϐ}}_{1}\mu _{1})}}\cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n{\text{ϐ}}_{1}}{2}}\mu _{1}\right)t+\omega _{1}\right],\\&{\frac {1}{2}}n\chi _{2}f_{1}{\breve {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2}){\frac {\varepsilon _{3}}{2}}{\frac {\chi _{3}f_{2}{\breve {\Psi }}_{1}(a_{2},a_{3})}{\mu _{2}({\text{ϐ}}_{2}\mu _{2}-{\text{ϐ}}_{3}\mu _{3})}}\cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n{\text{ϐ}}_{3}}{2}}\mu _{3}\right)t+\omega _{3}\right]\,;\end{aligned}}$

le premier de ces deux termes produira ${\Biggl [}{\Biggr .}$ à cause des ${\Biggl .}\mu \left(1-{\frac {n{\text{ϐ}}}{2}}\right)=\mathrm {M} {\Biggr ]}$ dans la valeur de $x_{1}$ un terme qui sera multiplié par l’angle $t$ (Article XXXIV) ; ce qui donnera des arcs de cercle dans le rayon vecteur de l’orbite ; le second y produira le terme

${\frac {1}{2}}{\frac {\chi _{2}f_{1}{\breve {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})}{\mu _{2}({\text{ϐ}}_{3}\mu _{3}-{\text{ϐ}}_{1}\mu _{1})}}{\frac {\varepsilon _{3}}{2}}{\frac {\chi _{3}f_{2}{\breve {\Psi }}_{1}(a_{2},a_{3})}{\mu _{2}({\text{ϐ}}_{2}\mu _{2}-{\text{ϐ}}_{3}\mu _{3})}}\cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n{\text{ϐ}}_{3}}{2}}\mu _{3}\right)t+\omega _{3}\right],$

qui est de la même forme que celui que nous avons déjà trouvé.

Ces termes en reproduiront d’autres dans la valeur de $x_{2},$ de la même forme que ceux que nous venons d’examiner, d’où il renaîtra encore dans la valeur de $x$ d’autres termes de même espèce que les précédents, et ainsi de suite à l’infini.

LXXXVIII.

De là je tire ces deux conséquences fort importantes : 1^o que les termes dont il s’agit, quoique de l’ordre $n$ dans l’équation différentielle, appartiennent cependant à la première approximation et ne doivent point être négligés dans les premières valeurs de $x,y\,;$ 2^o que la méthode ordinaire d’approximation, suivant laquelle on emploie à chaque nouvelle correction les valeurs trouvées dans la correction précédente, est absolument insuffisante pour calculer ces sortes de termes.

On appliquera le même raisonnement à l’équation $(\mathrm {K} )$ et l’on en tirera des conclusions analogues par rapport à la valeur de $z$.

LXXXIX.

Il est donc nécessaire d’avoir une méthode particulière pour intégrer les équations $\mathrm {(G),(K)} \,;$ on verra dans le paragraphe suivant comment je m’y suis pris pour arriver à ce but ; mais il faut commencer ici par voir quels sont les termes de ces équations, auxquels on doit avoir égard.

Pour peu qu’on examine l’équation ($\mathrm {G}$), on reconnaîtra aisément que les termes dont il s’agit viennent uniquement des termes qui renferment

${\begin{array}{rrr}x_{2}\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t,&x_{3}\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t,&x_{4}\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t,\\y_{2}\sin(\mu _{2}-\mu _{1})t,&y_{3}\sin(\mu _{3}-\mu _{1})t,&y_{4}\sin(\mu _{4}-\mu _{1})t,\end{array}}$

${\begin{array}{rrr}\int x_{2}\sin(\mu _{2}-\mu _{1})tdt,&\int x_{3}\sin(\mu _{3}-\mu _{1})tdt,&\int x_{4}\sin(\mu _{4}-\mu _{1})tdt,\\\int y_{2}\cos(\mu _{2}-\mu _{1})tdt,&\int y_{3}\cos(\mu _{3}-\mu _{1})tdt,&\int y_{4}\cos(\mu _{4}-\mu _{1})tdt,\end{array}}$

en tant qu’on y substitue $\mathrm {x_{2},x_{3},x_{4}\,;\ y_{2},y_{3},y_{4}} ,$ à la place de $x_{2},x_{3},x_{4}\,;$ $y_{2},y_{3},y_{4},$ de sorte qu’on pourra réduire cette équation à celle-ci

${\begin{aligned}(\mathrm {L} )\qquad {\frac {d^{2}x_{1}}{dt^{2}}}&+M_{1}^{2}\mathrm {x} _{1}\\&-nf_{1}\chi _{2}{\breve {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})\mathrm {x} _{2}\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t\\&-nf_{1}\chi _{3}{\breve {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{3})\mathrm {x} _{3}\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t\\&-nf_{1}\chi _{4}{\breve {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{4})\mathrm {x} _{4}\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t\\&+nf_{1}\chi _{2}{\breve {\Gamma }}_{1}\,(a_{1},a_{2})\mathrm {y} _{2}\sin(\mu _{2}-\mu _{1})t\\&+nf_{1}\chi _{3}{\breve {\Gamma }}_{1}\,(a_{1},a_{3})\mathrm {y} _{3}\sin(\mu _{3}-\mu _{1})t\\&+nf_{1}\chi _{4}{\breve {\Gamma }}_{1}\,(a_{1},a_{4})\mathrm {y} _{4}\sin(\mu _{4}-\mu _{1})t\\&+2nf_{1}\mu _{1}\chi _{2}{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})\int \mathrm {x} _{2}\sin(\mu _{2}-\mu _{1})tdt\\&+2nf_{1}\mu _{1}\chi _{3}{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{3})\int \mathrm {x} _{3}\sin(\mu _{3}-\mu _{1})tdt\\&+2nf_{1}\mu _{1}\chi _{4}{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{4})\int \mathrm {x} _{4}\sin(\mu _{4}-\mu _{1})tdt\\&+2nf_{1}\mu _{1}\chi _{2}{\widehat {\Gamma }}_{1}\,(a_{1},a_{2})\int \mathrm {y} _{2}\cos(\mu _{2}-\mu _{1})tdt\\&+2nf_{1}\mu _{1}\chi _{3}{\widehat {\Gamma }}_{1}\,(a_{1},a_{3})\int \mathrm {y} _{3}\cos(\mu _{3}-\mu _{1})tdt\\&+2nf_{1}\mu _{1}\chi _{4}{\widehat {\Gamma }}_{1}\,(a_{1},a_{4})\int \mathrm {y} _{4}\cos(\mu _{4}-\mu _{1})tdt=0.\end{aligned}}$

À l’égard de l’équation ($\mathrm {K}$), on trouvera qu’elle se réduit de même à celle-ci

${\begin{aligned}(\mathrm {N} )\qquad {\frac {d^{2}z_{1}}{dt^{2}}}&+\mathrm {N} _{1}^{2}z_{1}\\&-nf_{1}\chi _{2}{\overset {\circ }{\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})z_{2}\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t\\&-nf_{1}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})z_{3}\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t\\&-nf_{1}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})z_{4}\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t=0.\end{aligned}}$

XC.

Comme notre dessein n’est pas d’avoir égard dans les valeurs de $x,y$ et $z$ aux termes de l’ordre $n,$ mais seulement à ceux qui ont des coefficients finis, nous pourrons négliger dans les équations $(\mathrm {L} )$ et $(\mathrm {N} )$ tous les termes qui se trouveront affectés de $n^{2},$ parce que ces termes seront encore de l’ordre $n$ après l’intégration.

Or les équations $(\mathrm {G} )$ et $(\mathrm {H} )$ donnent, en rejetant les termes affectés de $n,$

${\frac {d^{2}\mathrm {x} _{1}}{dt^{2}}}+\mathrm {M} _{1}^{2}\mathrm {x} _{1}=0,\quad {\frac {d\mathrm {y} _{1}}{dt}}+2\mu _{1}\mathrm {x} _{1}=0\,;$

d’où l’on tire.

${\frac {d\mathrm {y} _{1}}{dt}}-{\frac {2\mu _{1}}{\mathrm {M} _{1}^{2}}}{\frac {d^{2}\mathrm {x} _{1}}{dt^{2}}}=0,$

et, intégrant,

$\mathrm {y} _{1}-{\frac {2\mu _{1}}{\mathrm {M} _{1}^{2}}}{\frac {d\mathrm {x} _{1}}{dt}}=0\,;$

il ne faut point ici de constante, ce qui est évident par la nature de nos formules ; on trouvera de même

$\mathrm {y} _{2}-{\frac {2\mu _{2}}{\mathrm {M} _{2}^{2}}}{\frac {d\mathrm {x} _{2}}{dt}}=0,\quad \mathrm {y} _{3}-{\frac {2\mu _{3}}{\mathrm {M} _{3}^{2}}}{\frac {d\mathrm {x} _{3}}{dt}}=0,\quad \mathrm {y} _{4}-{\frac {2\mu _{4}}{\mathrm {M} _{4}^{2}}}{\frac {d\mathrm {x} _{4}}{dt}}=0\,;$

donc, substituant ces valeurs de $\mathrm {y_{2},y_{3},y_{4}}$ dans l’équation $(\mathrm {L} )$ de l’Article précédent, on changera les termes

${\begin{aligned}&nf_{1}\chi _{2}{\breve {\Gamma }}_{1}\,(a_{1},a_{2})\mathrm {y} _{2}\sin(\mu _{2}-\mu _{1})t\\+&nf_{1}\chi _{3}{\breve {\Gamma }}_{1}\,(a_{1},a_{3})\mathrm {y} _{3}\sin(\mu _{3}-\mu _{1})t\\+&nf_{1}\chi _{4}{\breve {\Gamma }}_{1}\,(a_{1},a_{4})\mathrm {y} _{4}\sin(\mu _{4}-\mu _{1})t\end{aligned}}$

en ceux-ci

${\begin{aligned}&2nf_{1}\chi _{2}{\frac {\mu _{2}}{\mathrm {M} _{2}^{2}}}{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2}){\frac {d\mathrm {x} _{2}}{dt}}\sin(\mu _{2}-\mu _{1})t\\+&2nf_{1}\chi _{3}{\frac {\mu _{3}}{\mathrm {M} _{3}^{2}}}{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3}){\frac {d\mathrm {x} _{3}}{dt}}\sin(\mu _{3}-\mu _{1})t\\+&2nf_{1}\chi _{4}{\frac {\mu _{4}}{\mathrm {M} _{4}^{2}}}{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4}){\frac {d\mathrm {x} _{4}}{dt}}\sin(\mu _{4}-\mu _{1})t,\end{aligned}}$

et les termes

${\begin{aligned}&2nf_{1}\mu _{1}\chi _{2}{\widehat {\Gamma }}_{1}\,(a_{1},a_{2})\int \mathrm {y} _{2}\cos(\mu _{2}-\mu _{1})tdt\\+&2nf_{1}\mu _{1}\chi _{3}{\widehat {\Gamma }}_{1}\,(a_{1},a_{3})\int \mathrm {y} _{3}\cos(\mu _{3}-\mu _{1})tdt\\+&2nf_{1}\mu _{1}\chi _{4}{\widehat {\Gamma }}_{1}\,(a_{1},a_{4})\int \mathrm {y} _{4}\cos(\mu _{4}-\mu _{1})tdt\end{aligned}}$

en ceux-ci

${\begin{aligned}&4nf_{1}\mu _{1}\chi _{2}{\frac {\mu _{2}}{\mathrm {M} _{2}^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})\int {\frac {d\mathrm {x} _{2}}{dt}}\cos(\mu _{2}-\mu _{1})tdt\\+&4nf_{1}\mu _{1}\chi _{3}{\frac {\mu _{3}}{\mathrm {M} _{3}^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})\int {\frac {d\mathrm {x} _{3}}{dt}}\cos(\mu _{3}-\mu _{1})tdt\\+&4nf_{1}\mu _{1}\chi _{4}{\frac {\mu _{4}}{\mathrm {M} _{4}^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})\int {\frac {d\mathrm {x} _{4}}{dt}}\cos(\mu _{4}-\mu _{1})tdt,\end{aligned}}$

que l’on peut encore changer en ceux-ci

${\begin{aligned}&4nf_{1}\mu _{1}\chi _{2}{\frac {\mu _{2}}{\mathrm {M} _{2}^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})\mathrm {x} _{2}\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t\\+&4nf_{1}\mu _{1}\chi _{3}{\frac {\mu _{3}}{\mathrm {M} _{3}^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})\mathrm {x} _{3}\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t\\+&4nf_{1}\mu _{1}\chi _{4}{\frac {\mu _{4}}{\mathrm {M} _{4}^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})\mathrm {x} _{4}\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t\\&4nf_{1}\mu _{1}\chi _{2}{\frac {\mu _{2}(\mu _{2}-\mu _{1})}{\mathrm {M} _{2}^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})\int \mathrm {x} _{2}\sin(\mu _{2}-\mu _{1})tdt\\+&4nf_{1}\mu _{1}\chi _{3}{\frac {\mu _{3}(\mu _{3}-\mu _{1})}{\mathrm {M} _{3}^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})\int \mathrm {x} _{3}\sin(\mu _{3}-\mu _{1})tdt\\+&4nf_{1}\mu _{1}\chi _{4}{\frac {\mu _{4}(\mu _{4}-\mu _{1})}{\mathrm {M} _{4}^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})\int \mathrm {x} _{4}\sin(\mu _{4}-\mu _{1})tdt.\end{aligned}}$

Par ce moyen, l’équation $(\mathrm {L} )$ ne contiendra plus que des termes de la forme de

$\mathrm {x} _{2}\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t,\quad {\frac {d\mathrm {x} _{2}}{dt}}\sin(\mu _{2}-\mu _{1})t,\quad \int \mathrm {x} _{2}\sin(\mu _{2}-\mu _{1})tdt.$

Je reprends maintenant l’équation

${\frac {d^{2}\mathrm {x} _{1}}{dt^{2}}}+\mathrm {M} _{1}^{2}\mathrm {x} _{1}=0,$

laquelle, étant rapportée au second satellite, devient

${\frac {d^{2}\mathrm {x} _{2}}{dt^{2}}}+\mathrm {M} _{2}^{2}\mathrm {x} _{2}=0\,;$

je multiplie cette dernière par $\sin(\mu _{2}-\mu _{1})tdt\,;$ je l’intègre, j’ai

$\int {\frac {d^{2}\mathrm {x} _{2}}{dt^{2}}}\sin(\mu _{2}-\mu _{1})tdt+\mathrm {M} _{2}^{2}\int \mathrm {x} _{2}\sin(\mu _{2}-\mu _{1})tdt=0\,;$

je change l’expression

$\int {\frac {d^{2}\mathrm {x} _{2}}{dt^{2}}}\sin(\mu _{2}-\mu _{1})tdt$

en son équivalente

${\frac {d\mathrm {x} _{2}}{dt}}\sin(\mu _{2}-\mu _{1})t-(\mu _{2}-\mu _{1})\mathrm {x} _{2}\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t$

$-(\mu _{2}-\mu _{1})^{2}\int \mathrm {x} _{2}\sin(\mu _{2}-\mu _{1})tdt,\ \ \qquad$

et il me vient l’équation

${\frac {d\mathrm {x} _{2}}{dt}}\sin(\mu _{2}-\mu _{1})t-(\mu _{2}-\mu _{1})\mathrm {x} _{2}\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t$

$+\left[\mathrm {M} _{2}^{2}-(\mu _{2}-\mu _{1})^{2}\right]\int \mathrm {x} _{2}\sin(\mu _{2}-\mu _{1})tdt=0\,;$

d’où je tire

$\int \mathrm {x} _{2}\sin(\mu _{2}-\mu _{1})tdt={\frac {(\mu _{2}-\mu _{1})\mathrm {x} _{2}\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t-{\cfrac {d\mathrm {x} _{2}}{dt}}\sin(\mu _{2}-\mu _{1})t}{\mathrm {M} _{2}^{2}-(\mu _{2}-\mu _{1})^{2}}}.$

Je trouve, de la même manière,

${\begin{aligned}\int \mathrm {x} _{3}\sin(\mu _{3}-\mu _{1})tdt={\frac {(\mu _{3}-\mu _{1})\mathrm {x} _{3}\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t-{\cfrac {d\mathrm {x} _{3}}{dt}}\sin(\mu _{3}-\mu _{1})t}{\mathrm {M} _{3}^{2}-(\mu _{3}-\mu _{1})^{2}}}.\\\int \mathrm {x} _{4}\sin(\mu _{4}-\mu _{1})tdt={\frac {(\mu _{4}-\mu _{1})\mathrm {x} _{4}\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t-{\cfrac {d\mathrm {x} _{4}}{dt}}\sin(\mu _{4}-\mu _{1})t}{\mathrm {M} _{4}^{2}-(\mu _{4}-\mu _{1})^{2}}}.\end{aligned}}$

On fera toutes ces substitutions dans l’équation $(\mathrm {L} ),$ moyennant quoi elle n’aura plus que des termes de la forme de

$\mathrm {x} _{2}\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t\quad {\text{et}}\quad {\frac {d\mathrm {x} _{2}}{dt}}\sin(\mu _{2}-\mu _{1})t.$

XCI.

Donc si l’on fait, pour abréger,

${\begin{aligned}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}=&{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})-4{\frac {\mu _{1}\mu _{2}}{\mathrm {M} _{2}^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})\\&\quad -\left[2{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})+4{\frac {\mu _{2}(\mu _{2}-\mu _{1})}{\mathrm {M} _{2}^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})\right]{\frac {\mu _{1}(\mu _{2}-\mu _{1})}{\mathrm {M} _{2}^{2}-(\mu _{2}-\mu _{1})^{2}}},\\{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}=&{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{3})-4{\frac {\mu _{1}\mu _{3}}{\mathrm {M} _{3}^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})\\&\quad -\left[2{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{3})+4{\frac {\mu _{3}(\mu _{3}-\mu _{1})}{\mathrm {M} _{3}^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})\right]{\frac {\mu _{1}(\mu _{3}-\mu _{1})}{\mathrm {M} _{3}^{2}-(\mu _{3}-\mu _{1})^{2}}},\\{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}=&{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{4})-4{\frac {\mu _{1}\mu _{4}}{\mathrm {M} _{4}^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})\\&\quad -\left[2{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{4})+4{\frac {\mu _{4}(\mu _{4}-\mu _{1})}{\mathrm {M} _{4}^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})\right]{\frac {\mu _{1}(\mu _{4}-\mu _{1})}{\mathrm {M} _{4}^{2}-(\mu _{4}-\mu _{1})^{2}}},\\\end{aligned}}$

et de plus

${\begin{aligned}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}=&{\frac {-2\mu _{2}}{\mathrm {M} _{2}^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})\\&\quad +\left[2{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})+4{\frac {\mu _{2}(\mu _{2}-\mu _{1})}{\mathrm {M} _{2}^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})\right]{\frac {\mu _{1}}{\mathrm {M} _{2}^{2}-(\mu _{2}-\mu _{1})^{2}}},\\{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}=&{\frac {-2\mu _{3}}{\mathrm {M} _{3}^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})\\&\quad +\left[2{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{3})+4{\frac {\mu _{3}(\mu _{3}-\mu _{1})}{\mathrm {M} _{3}^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})\right]{\frac {\mu _{1}}{\mathrm {M} _{3}^{2}-(\mu _{3}-\mu _{1})^{2}}},\\{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}=&{\frac {-2\mu _{4}}{\mathrm {M} _{4}^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})\\&\quad +\left[2{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{4})+4{\frac {\mu _{4}(\mu _{4}-\mu _{1})}{\mathrm {M} _{4}^{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})\right]{\frac {\mu _{1}}{\mathrm {M} _{4}^{2}-(\mu _{4}-\mu _{1})^{2}}},\\\end{aligned}}$

on aura, pour le premier satellite, l’équation

${\begin{aligned}(&\mathrm {M} _{1})\ {\frac {d^{2}\mathrm {x} _{1}}{dt^{2}}}+\mathrm {M} _{1}^{2}\mathrm {x} _{1}\\&-nf_{1}\chi _{2}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})\mathrm {x} _{2}\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t-nf_{1}\chi _{2}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{2}){\frac {d\mathrm {x} _{2}}{dt}}\sin(\mu _{2}-\mu _{1})t\\&-nf_{1}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{1},a_{3})\mathrm {x} _{3}\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t-nf_{1}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{3}){\frac {d\mathrm {x} _{3}}{dt}}\sin(\mu _{3}-\mu _{1})t\\&-nf_{1}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{1},a_{4})\mathrm {x} _{4}\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t-nf_{1}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{4}){\frac {d\mathrm {x} _{4}}{dt}}\sin(\mu _{4}-\mu _{1})t=0\,;\end{aligned}}$

et de même pour les trois autres satellites

${\begin{aligned}(&\mathrm {M} _{2})\ {\frac {d^{2}\mathrm {x} _{2}}{dt^{2}}}+\mathrm {M} _{2}^{2}\mathrm {x} _{2}\\&-nf_{2}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{1})\mathrm {x} _{1}\cos(\mu _{1}-\mu _{2})t-nf_{2}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{1}){\frac {d\mathrm {x} _{1}}{dt}}\sin(\mu _{1}-\mu _{2})t\\&-nf_{2}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{3})\mathrm {x} _{3}\cos(\mu _{3}-\mu _{2})t-nf_{2}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{3}){\frac {d\mathrm {x} _{3}}{dt}}\sin(\mu _{3}-\mu _{2})t\\&-nf_{2}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{4})\mathrm {x} _{4}\cos(\mu _{4}-\mu _{2})t-nf_{2}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{4}){\frac {d\mathrm {x} _{4}}{dt}}\sin(\mu _{4}-\mu _{2})t=0,\end{aligned}}$

${\begin{aligned}(&\mathrm {M} _{3})\ {\frac {d^{2}\mathrm {x} _{3}}{dt^{2}}}+\mathrm {M} _{3}^{2}\mathrm {x} _{3}\\&-nf_{3}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{1},a_{3})\mathrm {x} _{1}\cos(\mu _{1}-\mu _{3})t-nf_{3}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{1}){\frac {d\mathrm {x} _{1}}{dt}}\sin(\mu _{1}-\mu _{3})t\\&-nf_{3}\chi _{2}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{3})\mathrm {x} _{2}\cos(\mu _{2}-\mu _{3})t-nf_{3}\chi _{2}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{2}){\frac {d\mathrm {x} _{2}}{dt}}\sin(\mu _{2}-\mu _{3})t\\&-nf_{3}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{4},a_{3})\mathrm {x} _{4}\cos(\mu _{4}-\mu _{3})t-nf_{3}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{4}){\frac {d\mathrm {x} _{4}}{dt}}\sin(\mu _{4}-\mu _{3})t=0,\\\\(&\mathrm {M} _{4})\ {\frac {d^{2}\mathrm {x} _{4}}{dt^{2}}}+\mathrm {M} _{4}^{2}\mathrm {x} _{4}\\&-nf_{4}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{4},a_{1})\mathrm {x} _{1}\cos(\mu _{1}-\mu _{4})t-nf_{4}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{1}){\frac {d\mathrm {x} _{1}}{dt}}\sin(\mu _{1}-\mu _{4})t\\&-nf_{4}\chi _{2}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{4},a_{2})\mathrm {x} _{2}\cos(\mu _{2}-\mu _{4})t-nf_{4}\chi _{2}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{2}){\frac {d\mathrm {x} _{2}}{dt}}\sin(\mu _{2}-\mu _{4})t\\&-nf_{4}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{4},a_{3})\mathrm {x} _{3}\cos(\mu _{3}-\mu _{4})t-nf_{4}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{3}){\frac {d\mathrm {x} _{3}}{dt}}\sin(\mu _{3}-\mu _{4})t=0.\end{aligned}}$

Pareillement on aura, par rapport aux variables $z,$ ces quatre équations (Article LXXXIX)

${\begin{aligned}(\mathrm {N} _{1})\qquad \qquad {\frac {d^{2}z_{1}}{dt^{2}}}&+\mathrm {N} _{1}^{2}z_{1}\\&-nf_{1}\chi _{2}{\overset {\circ }{\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})z_{2}\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t\\&-nf_{1}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})z_{3}\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t\\&-nf_{1}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{4})z_{4}\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t=0,\\\\(\mathrm {N} _{2})\qquad \qquad {\frac {d^{2}z_{2}}{dt^{2}}}&+\mathrm {N} _{2}^{2}z_{2}\\&-nf_{2}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Gamma }}_{1}(a_{2},a_{1})z_{1}\cos(\mu _{1}-\mu _{2})t\\&-nf_{2}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Gamma }}_{1}(a_{2},a_{3})z_{3}\cos(\mu _{3}-\mu _{2})t\\&-nf_{2}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Gamma }}_{1}(a_{2},a_{4})z_{4}\cos(\mu _{4}-\mu _{2})t=0,\end{aligned}}$

${\begin{aligned}(\mathrm {N} _{3})\qquad \qquad {\frac {d^{2}z_{2}}{dt^{2}}}&+\mathrm {N} _{2}^{2}z_{2}\\&-nf_{3}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Gamma }}_{1}(a_{3},a_{1})z_{1}\cos(\mu _{1}-\mu _{3})t\\&-nf_{3}\chi _{2}{\overset {\circ }{\Gamma }}_{1}(a_{3},a_{2})z_{2}\cos(\mu _{2}-\mu _{3})t\\&-nf_{3}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Gamma }}_{1}(a_{3},a_{4})z_{4}\cos(\mu _{4}-\mu _{3})t=0,\\\\(\mathrm {N} _{4})\qquad \qquad {\frac {d^{2}z_{4}}{dt^{2}}}&+\mathrm {N} _{4}^{2}z_{4}\\&-nf_{4}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Gamma }}_{1}(a_{4},a_{1})z_{1}\cos(\mu _{1}-\mu _{4})t\\&-nf_{4}\chi _{2}{\overset {\circ }{\Gamma }}_{1}(a_{4},a_{2})z_{2}\cos(\mu _{2}-\mu _{4})t\\&-nf_{4}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Gamma }}_{1}(a_{4},a_{3})z_{3}\cos(\mu _{3}-\mu _{4})t=0.\end{aligned}}$

§ III. — Où l’on donne une nouvelle méthode pour intégrer les équations précédentes.

XCII.

Je fais

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {x} _{2}\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t=&\mathrm {P} ,\qquad &\mathrm {x} _{2}\sin(\mu _{2}-\mu _{1})t=&p,\\\mathrm {x} _{3}\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t=&\mathrm {Q} ,&\mathrm {x} _{3}\sin(\mu _{3}-\mu _{1})t=&q,\\\mathrm {x} _{4}\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t=&\mathrm {R} ,&\mathrm {x} _{4}\sin(\mu _{4}-\mu _{1})t=&r,\end{alignedat}}$

d’où je tire

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {x} _{2}}{dt}}\sin(\mu _{2}-\mu _{1})t=&{\frac {dp}{dt}}-(\mu _{2}-\mu _{1})\mathrm {P} ,\\{\frac {d\mathrm {x} _{3}}{dt}}\sin(\mu _{3}-\mu _{1})t=&{\frac {dq}{dt}}-(\mu _{3}-\mu _{1})\mathrm {Q} ,\\{\frac {d\mathrm {x} _{4}}{dt}}\sin(\mu _{4}-\mu _{1})t=&{\frac {dr}{dt}}-(\mu _{4}-\mu _{1})\mathrm {R} .\end{aligned}}$

Je substitue ces valeurs dans l’équation $(M_{1}),$ ce qui la change en celle-ci

${\begin{aligned}&{\frac {d^{2}\mathrm {x} _{1}}{dt^{2}}}+\mathrm {M} _{1}^{2}\mathrm {x} _{1}\\&-nf_{1}\chi _{2}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})-(\mu _{2}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{2})\right]\mathrm {P} -nf_{1}\chi _{2}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{2}){\frac {dp}{dt}}\\&-nf_{1}\chi _{3}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{1},a_{3})-(\mu _{3}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{3})\right]\mathrm {Q} -nf_{1}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{3}){\frac {dq}{dt}}\\&-nf_{1}\chi _{4}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{1},a_{4})-(\mu _{4}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{4})\right]\mathrm {R} -nf_{1}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{4}){\frac {dr}{dt}}=0.\end{aligned}}$

C’est l’équation qu’il s’agit maintenant d’intégrer, en regardant les quantités $\mathrm {P,Q,R} ,p,q,r,$ chacune comme une variable particulière. Pour y parvenir, voici comment je m’y prends.

XCIII.

Je reprends les formules

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {x} _{2}}{dt}}\sin(\mu _{2}-\mu _{1})t=&{\frac {dp}{dt}}-(\mu _{2}-\mu _{1})\mathrm {P} ,\\{\frac {d\mathrm {x} _{3}}{dt}}\sin(\mu _{3}-\mu _{1})t=&{\frac {dq}{dt}}-(\mu _{3}-\mu _{1})\mathrm {Q} ,\\{\frac {d\mathrm {x} _{4}}{dt}}\sin(\mu _{4}-\mu _{1})t=&{\frac {dr}{dt}}-(\mu _{4}-\mu _{1})\mathrm {R} .\end{aligned}}$

et je trouve de même

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {x} _{2}}{dt}}\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t=&{\frac {d\mathrm {P} }{dt}}+(\mu _{2}-\mu _{1})p,\\{\frac {d\mathrm {x} _{3}}{dt}}\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t=&{\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}+(\mu _{3}-\mu _{1})q,\\{\frac {d\mathrm {x} _{4}}{dt}}\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t=&{\frac {d\mathrm {R} }{dt}}+(\mu _{4}-\mu _{1})r.\end{aligned}}$

De là je tire, par la différentiation, les formules suivantes

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\mathrm {x} _{2}}{dt^{2}}}\sin(\mu _{2}-\mu _{1})t=&{\frac {d^{2}p}{dt^{2}}}-2(\mu _{2}-\mu _{1}){\frac {d\mathrm {P} }{dt}}-(\mu _{2}-\mu _{1})^{2}p,\\{\frac {d^{2}\mathrm {x} _{2}}{dt^{2}}}\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t=&{\frac {d^{2}\mathrm {P} }{dt^{2}}}+2(\mu _{2}-\mu _{1}){\frac {dp}{dt}}-(\mu _{2}-\mu _{1})^{2}\mathrm {P} ,\\{\frac {d^{2}\mathrm {x} _{3}}{dt^{2}}}\sin(\mu _{3}-\mu _{1})t=&{\frac {d^{2}q}{dt^{2}}}-2(\mu _{3}-\mu _{1}){\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}-(\mu _{3}-\mu _{1})^{2}q,\\{\frac {d^{2}\mathrm {x} _{3}}{dt^{2}}}\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t=&{\frac {d^{2}\mathrm {Q} }{dt^{2}}}+2(\mu _{3}-\mu _{1}){\frac {dq}{dt}}-(\mu _{3}-\mu _{1})^{2}\mathrm {Q} ,\\{\frac {d^{2}\mathrm {x} _{4}}{dt^{2}}}\sin(\mu _{4}-\mu _{1})t=&{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-2(\mu _{4}-\mu _{1}){\frac {d\mathrm {R} }{dt}}-(\mu _{4}-\mu _{1})^{2}r,\\{\frac {d^{2}\mathrm {x} _{4}}{dt^{2}}}\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t=&{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dt^{2}}}+2(\mu _{4}-\mu _{1}){\frac {dr}{dt}}-(\mu _{4}-\mu _{1})^{2}\mathrm {R} .\end{aligned}}$

Cela posé, je multiplie d’abord l’équation $(\mathrm {M} _{2})$ par $\sin(\mu _{2}-\mu _{1})t,$ j’ai

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\mathrm {x} _{2}}{dt^{2}}}&\sin(\mu _{2}-\mu _{1})t+\mathrm {M} _{2}^{2}\mathrm {x} _{2}\sin(\mu _{2}-\mu _{1})t\\&-{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{1})\mathrm {x} _{1}\sin 2(\mu _{2}-\mu _{1})t\\&-{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{1}){\frac {d\mathrm {x} _{1}}{dt}}\left[-1+\cos 2(\mu _{2}-\mu _{1})t\right]\\&-{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{3})\mathrm {x} _{3}\left[\sin(\mu _{3}-\mu _{1})t-\sin(\mu _{3}-2\mu _{2}+\mu _{1})t\right]\\&-{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{3}){\frac {d\mathrm {x} _{3}}{dt}}\left[-\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t+\cos(\mu _{3}-2\mu _{2}+\mu _{1})t\right]\\&-{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{4})\mathrm {x} _{4}\left[\sin(\mu _{4}-\mu _{1})t-\sin(\mu _{4}-2\mu _{2}+\mu _{1})t\right]\\&-{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{4}){\frac {d\mathrm {x} _{4}}{dt}}\left[-\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t+\cos(\mu _{4}-2\mu _{2}+\mu _{1})t\right]=0.\end{aligned}}$

Je ne conserve dans cette équation que les termes analogues à ceux de l’équation $(\mathrm {M} _{1}),$ c’est-à-dire, les termes qui, en faisant pour $x_{1},x_{2},\ldots$ les substitutions de l’Article LXXXVII, en donneraient d’autres où le coefficient de $t$ serait presque égal à $\mu _{1},$ et qui sont les seuls auxquels nous devions avoir égard dans l’intégration de l’équation de l’Article XCII.

J’aurai donc simplement

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\mathrm {x} _{2}}{dt^{2}}}&\sin(\mu _{2}-\mu _{1})t+\mathrm {M} _{2}^{2}\mathrm {x} _{2}\sin(\mu _{2}-\mu _{1})t+{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{1}){\frac {d\mathrm {x} _{1}}{dt}}\\-&{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{3})\mathrm {x} _{3}\sin(\mu _{3}-\mu _{1})t+{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{3}){\frac {d\mathrm {x} _{3}}{dt}}\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t\\-&{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{4})\mathrm {x} _{4}\sin(\mu _{4}-\mu _{1})t+{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{4}){\frac {d\mathrm {x} _{4}}{dt}}\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t=0.\end{aligned}}$

Je substitue au lieu de

${\frac {d^{2}\mathrm {x} _{2}}{dt^{2}}}\sin(\mu _{2}-\mu _{1})t,\quad \mathrm {x} _{2}\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t,\ldots$

leurs valeurs en $\mathrm {P} ,p,\ldots \,;$ j’ai

(1^o)

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}p}{dt^{2}}}&-2(\mu _{2}-\mu _{1}){\frac {d\mathrm {P} }{dt}}\left[\mathrm {M} _{2}^{2}-(\mu _{2}-\mu _{1})^{2}\right]p+{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{1}){\frac {d\mathrm {x} _{1}}{dt}}\\&-{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{3}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{3})-(\mu _{3}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{3})\right]q+{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{3}){\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}\\&-{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{4}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{4})-(\mu _{4}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{4})\right]r+{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{4}){\frac {d\mathrm {R} }{dt}}=0.\end{aligned}}$

Je multiplie en second lieu la même équation $(\mathrm {M} _{2})$ par $\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t\,;$ j’ai

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\mathrm {x} _{2}}{dt^{2}}}&\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t+\mathrm {M} _{2}^{2}\mathrm {x} _{2}\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t\\&-{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{1})\mathrm {x} _{1}\left[1+\cos 2(\mu _{2}-\mu _{1})t\right]\\&+{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{1}){\frac {d\mathrm {x} _{1}}{dt}}\sin 2(\mu _{2}-\mu _{1})t\\&-{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{3})\ \mathrm {x} _{3}\ \left[\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t+\cos(\mu _{3}-2\mu _{2}+\mu _{1})t\right]\\&-{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{3}){\frac {d\mathrm {x} _{3}}{dt}}\left[\sin(\mu _{3}-\mu _{1})t+\sin(\mu _{3}-2\mu _{2}+\mu _{1})t\right]\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&-{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{4})\ \mathrm {x} _{4}\ \left[\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t+\cos(\mu _{4}-2\mu _{2}+\mu _{1})t\right]\\&-{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{4}){\frac {d\mathrm {x} _{4}}{dt}}\left[\sin(\mu _{4}-\mu _{1})t+\sin(\mu _{4}-2\mu _{2}+\mu _{1})t\right]=0,\end{aligned}}$

équation que je réduis, par la raison que j’ai dite tantôt, à celle-ci

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\mathrm {x} _{2}}{dt^{2}}}&\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t+\mathrm {M} _{2}^{2}\mathrm {x} _{2}\cos(\mu _{2}-\mu _{1})t-{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{1})\mathrm {x} _{1}\\-&{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{3})\mathrm {x} _{3}\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t-{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{3}){\frac {d\mathrm {x} _{3}}{dt}}\sin(\mu _{3}-\mu _{1})t\\-&{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{4})\mathrm {x} _{4}\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t-{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{4}){\frac {d\mathrm {x} _{4}}{dt}}\sin(\mu _{4}-\mu _{1})t=0,\end{aligned}}$

laquelle me donne, après les substitutions,

(2^o).

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\mathrm {P} }{dt^{2}}}&+2(\mu _{2}-\mu _{1}){\frac {dp}{dt}}+\left[\mathrm {M} _{2}^{2}-(\mu _{2}-\mu _{1})^{2}\right]\mathrm {P} -{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{1})\mathrm {x} _{1}\\&-{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{3}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{3})-(\mu _{3}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{3})\right]\mathrm {Q} -{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{3}){\frac {dq}{dt}}\\&-{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{4}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{4})-(\mu _{4}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{4})\right]\mathrm {R} -{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{4}){\frac {dr}{dt}}=0..\end{aligned}}$

En troisième lieu, je multiplie l’équation $(\mathrm {M} _{3})$ par $\sin(\mu _{3}-\mu _{1})t\,;$ j’aurai, après les réductions et les substitutions,

(3^o).

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}q}{dt^{2}}}&-2(\mu _{3}-\mu _{1}){\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}+\left[\mathrm {M} _{3}^{2}-(\mu _{3}-\mu _{1})^{2}\right]q+{\frac {n}{2}}f_{3}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{3},a_{1}){\frac {d\mathrm {x} _{1}}{dt}}\\&-{\frac {n}{2}}f_{3}\chi _{2}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{3},a_{2})-(\mu _{2}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{2})\right]p+{\frac {n}{2}}f_{3}\chi _{2}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{2}){\frac {d\mathrm {P} }{dt}}\\&-{\frac {n}{2}}f_{3}\chi _{4}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{3},a_{4})-(\mu _{4}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{4})\right]r+{\frac {n}{2}}f_{3}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{4}){\frac {d\mathrm {R} }{dt}}=0..\end{aligned}}$

En quatrième lieu, je multiplie la même équation par $\cos(\mu _{3}-\mu _{1})t,$ et je trouve

(4^o)

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\mathrm {Q} }{dt^{2}}}&+2(\mu _{3}-\mu _{1}){\frac {dq}{dt}}+\left[\mathrm {M} _{3}^{2}-(\mu _{3}-\mu _{1})^{2}\right]\mathrm {Q} -{\frac {n}{2}}f_{3}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{3},a_{1})\mathrm {x} _{1}\\&-{\frac {n}{2}}f_{3}\chi _{2}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{3},a_{2})-(\mu _{2}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{2})\right]\mathrm {P} -{\frac {n}{2}}f_{3}\chi _{2}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{2}){\frac {dp}{dt}}\\&-{\frac {n}{2}}f_{3}\chi _{4}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{3},a_{4})-(\mu _{4}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{4})\right]\mathrm {R} -{\frac {n}{2}}f_{3}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{4}){\frac {dr}{dt}}=0.\end{aligned}}$

En cinquième lieu, je multiplie l’équation $(\mathrm {M} _{4})$ par $\sin(\mu _{4}-\mu _{1})t\,;$ j’ai

(5^o)

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}&-2(\mu _{4}-\mu _{1}){\frac {d\mathrm {R} }{dt}}+\left[\mathrm {M} _{4}^{2}-(\mu _{4}-\mu _{1})^{2}\right]r+{\frac {n}{2}}f_{4}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{4},a_{1}){\frac {d\mathrm {x} _{1}}{dt}}\\&-{\frac {n}{2}}f_{4}\chi _{2}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{4},a_{2})-(\mu _{2}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{2})\right]p+{\frac {n}{2}}f_{4}\chi _{2}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{2}){\frac {d\mathrm {P} }{dt}}\\&-{\frac {n}{2}}f_{4}\chi _{3}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{4},a_{3})-(\mu _{3}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{3})\right]q+{\frac {n}{2}}f_{4}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{3}){\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}=0.\end{aligned}}$

En sixième et dernier lieu, je multiplie la même équation par $\cos(\mu _{4}-\mu _{1})t,$ et je trouve

(6^o)

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dt^{2}}}&+2(\mu _{4}-\mu _{1}){\frac {dr}{dt}}+\left[\mathrm {M} _{4}^{2}+(\mu _{4}-\mu _{1})^{2}\right]\mathrm {R} -{\frac {n}{2}}f_{4}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{4},a_{1})\mathrm {x} _{1}\\&-{\frac {n}{2}}f_{4}\chi _{2}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{4},a_{2})-(\mu _{2}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{2})\right]\mathrm {P} -{\frac {n}{2}}f_{4}\chi _{2}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{2}){\frac {dp}{dt}}\\&-{\frac {n}{2}}f_{4}\chi _{3}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{4},a_{3})-(\mu _{3}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{3})\right]\mathrm {Q} -{\frac {n}{2}}f_{4}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{3}){\frac {dq}{dt}}=0.\end{aligned}}$

Voilà, comme on voit, six équations différentielles de la même nature que l’équation de l’Article XCII, et qui, étant combinées avec cette dernière équation, suffiront pour déterminer les sept variables $\mathrm {x} _{1},\mathrm {P} ,p,\mathrm {Q} ,q,\mathrm {R} ,r.$

XCIV.

Pour cet effet, je multiplie l’équation de l’Article XCII par $e^{\mathrm {V} _{1}t},$ l’équation (1^o) de l’Article précédent par $\alpha _{1}e^{\mathrm {V} _{1}t}dt,$ l’équation (2^o) par $\mathrm {A} _{1}e^{\mathrm {V} _{1}t}dt,$ l’équation (3^o) par $\beta _{1}e^{\mathrm {V} _{1}t}dt,$ l’équation (4^o) par $\mathrm {B} _{1}e^{\mathrm {V} _{1}t}dt,$ l’équation (5^o) par $\gamma _{1}e^{\mathrm {V} _{1}t}dt,$ l’équation (6^o) par $\mathrm {C} _{1}e^{\mathrm {V} _{1}t}dt,$ ($\alpha _{1},\beta _{1},\gamma _{1},$ $\mathrm {A_{1},B_{1},C_{1}}$ et $\mathrm {V} _{1}$ sont des constantes indéterminées), et après en avoir fait une somme, j’en prends l’intégrale ; j’ai

${\begin{aligned}\int &\left({\frac {d^{2}\mathrm {x} _{1}}{dt^{2}}}+\alpha _{1}{\frac {d^{2}p}{dt^{2}}}+\mathrm {A} _{1}{\frac {d^{2}\mathrm {P} }{dt^{2}}}+\beta _{1}{\frac {d^{2}q}{dt^{2}}}+\mathrm {B} _{1}{\frac {d^{2}\mathrm {Q} }{dt^{2}}}+\gamma _{1}{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dt^{2}}}+\mathrm {C} _{1}{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}\right)e^{\mathrm {V} _{1}t}dt\\+\int &{\Biggl [}{\frac {n}{2}}\left(\alpha _{1}f_{2}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{1})+\beta _{1}f_{3}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{1})+\gamma _{1}f_{4}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{1})\right){\frac {d\mathrm {x} _{1}}{dt}}{\Biggr .}\\&\quad +\left(-nf_{1}\chi _{2}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{2})+2\mathrm {A} _{1}(\mu _{2}-\mu _{1})-{\frac {n}{2}}\mathrm {B} _{1}f_{3}\chi _{2}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{2})\right.\\&\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left.-{\frac {n}{2}}\mathrm {C} _{1}f_{4}\chi _{2}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{2})\right){\frac {dp}{dt}}\\&\quad +\left(-2\alpha _{1}(\mu _{2}-\mu _{1})+{\frac {n}{2}}\beta _{1}f_{3}\chi _{2}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{2})+{\frac {n}{2}}\gamma _{1}f_{4}\chi _{2}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{2})\right){\frac {d\mathrm {P} }{dt}}\\&\quad +\left(-nf_{1}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{3})-{\frac {n}{2}}\mathrm {A} _{1}f_{2}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{3})+2\mathrm {B} _{1}(\mu _{3}-\mu _{1})\right.\\&\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left.-{\frac {n}{2}}\mathrm {C} _{1}f_{4}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{3})\right){\frac {dq}{dt}}\\&\quad +\left({\frac {n}{2}}\alpha _{1}f_{2}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{3})-2\beta _{1}(\mu _{3}-\mu _{1})+{\frac {n}{2}}\gamma _{1}f_{4}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{3})\right){\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}\\&\quad +\left(-nf_{1}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{4})-{\frac {n}{2}}\mathrm {A} _{1}f_{2}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{4})-{\frac {n}{2}}\mathrm {B} _{1}f_{3}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{4})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\biggl .}+2\mathrm {C} _{1}(\mu _{4}-\mu _{1}){\biggr )}{\frac {dr}{dt}}\\&\qquad {\Biggl .}+\left({\frac {n}{2}}\alpha _{1}f_{2}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{4})+{\frac {n}{2}}\beta _{1}f_{3}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{4})+2\gamma _{1}(\mu _{4}-\mu _{1})\right){\frac {d\mathrm {R} }{dt}}{\Biggr ]}e^{\mathrm {V} _{1}t}dt\\+\int &{\Biggl [}\left(\mathrm {M} _{1}^{2}-{\frac {n}{2}}\mathrm {A} _{1}f_{2}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{1})-{\frac {n}{2}}\mathrm {B} _{1}f_{3}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{3},a_{1})\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left.-{\frac {n}{2}}\mathrm {C} _{1}f_{4}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{4},a_{1})\right)\mathrm {x} _{1}{\Biggr .}\\&\quad +{\Biggl (}\alpha _{1}\left[\mathrm {M} _{2}^{2}-(\mu _{2}-\mu _{1})^{2}\right]-{\frac {n}{2}}\beta _{1}f_{3}\chi _{2}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{3},a_{2})-(\mu _{2}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{2})\right]{\Biggr .}\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\Biggl .}-{\frac {n}{2}}\gamma _{1}f_{4}\chi _{2}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{4},a_{2})-(\mu _{2}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{2})\right]{\Biggr )}p\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&\quad +{\Biggl (}-nf_{1}\chi _{2}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})-(\mu _{2}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{2})\right]{\Biggr .}\\&\ \qquad +\mathrm {A} _{1}\left[\mathrm {M} _{2}^{2}-(\mu _{2}-\mu _{1})^{2}\right]-{\frac {n}{2}}\mathrm {B} _{1}f_{3}\chi _{2}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{3},a_{2})-(\mu _{2}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{2})\right]\\&\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\Biggl .}-{\frac {n}{2}}\mathrm {C} _{1}f_{4}\chi _{2}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{4},a_{2})-(\mu _{2}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{2})\right]{\Biggr )}\mathrm {P} \\&\quad +{\Biggl (}-{\frac {n}{2}}\alpha _{1}f_{2}\chi _{3}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{3})-(\mu _{3}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{3})\right]+\beta _{1}\left[\mathrm {M} _{3}^{2}-(\mu _{3}-\mu _{1})^{2}\right]{\Biggr .}\\&\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\Biggl .}-{\frac {n}{2}}\gamma _{1}f_{4}\chi _{3}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{4},a_{3})-(\mu _{4}-\mu _{2}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{3})\right]{\Biggr )}q\\&\quad +{\Biggl (}-nf_{1}\chi _{3}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{1},a_{3})-(\mu _{3}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{3})\right]{\Biggr .}\\&\ \qquad -{\frac {n}{2}}\mathrm {A} _{1}f_{2}\chi _{3}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{3})-(\mu _{3}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{3})\right]+\mathrm {B} _{1}\left[\mathrm {M} _{3}^{2}-(\mu _{3}-\mu _{1})^{2}\right]\\&\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\Biggl .}-{\frac {n}{2}}\mathrm {C} _{1}f_{4}\chi _{3}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{4},a_{3})-(\mu _{3}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{3})\right]{\Biggr )}\mathrm {Q} \\&\quad +{\Biggl (}-{\frac {n}{2}}\alpha _{1}f_{2}\chi _{4}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{4})-(\mu _{4}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{4})\right]{\Biggr .}\\&\ \qquad {\Biggr .}-{\frac {n}{2}}\beta _{1}f_{3}\chi _{4}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{3},a_{4})-(\mu _{4}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{4})\right]+\gamma _{1}\left[\mathrm {M} _{4}^{2}-(\mu _{4}-\mu _{1})^{2}\right]{\Biggr )}r\\\\&\quad +{\biggl (}-nf_{1}\chi _{4}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{1},a_{4})-(\mu _{4}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{4})\right]{\biggr .}\\&\ \qquad -{\frac {n}{2}}\mathrm {A} _{1}f_{2}\chi _{4}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{4})-(\mu _{4}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{4})\right]\\&\ \qquad {\Biggl .}{\biggl .}-{\frac {n}{2}}\mathrm {B} _{1}f_{3}\chi _{4}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{3},a_{4})-(\mu _{4}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{4})\right]+\mathrm {C} _{1}\left[\mathrm {M} _{4}^{2}-(\mu _{4}-\mu _{1})^{2}\right]{\biggr )}\mathrm {R} {\Biggr ]}\\&\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \times e^{{\text{V}}_{1}t}dt=\mathrm {const} .\end{aligned}}$

XCV.

Cela fait, je transforme les expressions intégrales

$\int {\frac {d^{2}\mathrm {x} }{dt^{2}}}e^{{\text{V}}_{1}t}dt,\quad \int {\frac {d^{2}p}{dt^{2}}}e^{{\text{V}}_{1}t}dt,\ldots$

en leurs équivalentes

$\left({\frac {d\mathrm {x} _{1}}{dt}}-\mathrm {V_{1}x_{1}} \right)e^{{\text{V}}_{1}t}+\mathrm {V} _{1}^{2}\int \mathrm {x} _{1}\varepsilon ^{{\text{V}}_{1}t}dt,\quad \left({\frac {dp}{dt}}-\mathrm {V} _{1}p\right)e^{{\text{V}}_{1}t}+\mathrm {V} _{1}^{2}\int pe^{{\text{V}}_{1}t}dt,\ldots .$

De même je change les expressions

$\int {\frac {d\mathrm {x} _{1}}{dt}}e^{{\text{V}}_{1}t}dt,\quad \int {\frac {dp}{dt}}e^{{\text{V}}_{1}t}dt,\ldots ,$

en celles-ci

$\mathrm {x} _{1}e^{{\text{V}}_{1}t}-\mathrm {V} _{1}\int \mathrm {x} _{1}e^{{\text{V}}_{1}t}dt,\quad pe^{{\text{V}}_{1}t}-\mathrm {V} _{1}\int pe^{{\text{V}}_{1}t}dt,\ldots .$

Par ce moyen, l’équation se trouve composée de deux parties, l’une finie et l’autre indéfinie, laquelle renferme les quantités intégrales

$\int \mathrm {x} _{1}e^{{\text{V}}_{1}t}dt,\ \ \int pe^{{\text{V}}_{1}t}dt,\ \ \int \mathrm {P} e^{{\text{V}}_{1}t}dt,\ \ \int qe^{{\text{V}}_{1}t}dt,\ \ \int \mathrm {Q} e^{{\text{V}}_{1}t}dt,$

$\int re^{{\text{V}}_{1}t}dt,\ \ \int \mathrm {R} e^{{\text{V}}_{1}t}dt.$

Je fais les coefficients de ces quantités chacun égal à zéro, ce qui me donne sept équations entre les sept inconnues $\alpha _{1},\beta _{1},\gamma _{1},\mathrm {A_{1},B_{1},C_{1}}$ et $\mathrm {V} _{1},$ savoir

(1^o)

${\begin{aligned}\mathrm {V} _{1}^{2}&-{\frac {n}{2}}\left[\alpha _{1}f_{2}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{1})+\beta _{1}f_{3}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{1})+\gamma _{1}f_{4}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{1})\right]\mathrm {V} _{1}\\&\quad +\mathrm {M} _{1}^{2}-{\frac {n}{2}}\mathrm {A} _{1}f_{2}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{1})-{\frac {n}{2}}\mathrm {B} _{1}f_{3}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{3},a_{1})\\&\ \ \quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -{\frac {n}{2}}\mathrm {C} _{1}f_{4}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{4},a_{1})=0.\end{aligned}}$

(2^o)

${\begin{aligned}\alpha _{1}\mathrm {V} _{1}^{2}&+\left[nf_{1}\chi _{2}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{2})-2\mathrm {A} _{1}(\mu _{2}-\mu _{1})+{\frac {n}{2}}\mathrm {B} _{1}f_{3}\chi _{2}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{2})\right.\\&\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left.+{\frac {n}{2}}\mathrm {C} _{1}f_{4}\chi _{2}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{2})\right]\mathrm {V} _{1}\\&+\alpha _{1}\left[\mathrm {M} _{2}^{2}-(\mu _{2}-\mu _{1})^{2}\right]-{\frac {n}{2}}\beta _{1}f_{3}\chi _{2}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{3},a_{2})-(\mu _{2}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{2})\right]\\&\ \ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -{\frac {n}{2}}\gamma _{1}f_{4}\chi _{2}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{4},a_{2})-(\mu _{2}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{2})\right]=0.\end{aligned}}$

(3^o)

${\begin{aligned}\mathrm {A} _{1}\mathrm {V} _{1}^{2}&-\left[2\alpha _{1}(\mu _{2}-\mu _{1})+{\frac {n}{2}}\beta _{1}f_{3}\chi _{2}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{2})+{\frac {n}{2}}\gamma _{1}f_{4}\chi _{2}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{2})\right]\mathrm {V} _{1}\\&\quad -nf_{1}\chi _{2}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})-(\mu _{2}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{2})\right]+\mathrm {A} _{1}\left[\mathrm {M} _{2}^{2}-(\mu _{2}-\mu _{1})^{2}\right]\\&\quad -{\frac {n}{2}}\beta _{1}f_{3}\chi _{2}\left[{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{2})-(\mu _{2}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{2})\right]\\&\qquad \qquad \qquad \qquad -{\frac {n}{2}}\mathrm {C} _{1}f_{4}\chi _{2}\left[{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{2})-(\mu _{2}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{2})\right]=0.\end{aligned}}$

(4^o)

${\begin{aligned}\beta _{1}\mathrm {V} _{1}^{2}&+\left[nf_{1}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{3})+{\frac {n}{2}}\mathrm {A} _{1}f_{2}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{3})-2\mathrm {B} _{1}(\mu _{3}-\mu _{1})\right.\\&\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left.+{\frac {n}{2}}\mathrm {C} _{1}f_{4}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{3})\right]\mathrm {V} _{1}\\&-{\frac {n}{2}}\alpha _{1}f_{2}\chi _{3}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{3})-(\mu _{3}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{3})\right]+\beta _{1}\left[\mathrm {M} _{3}^{2}-(\mu _{3}-\mu _{1})^{2}\right]\\&\ \ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -{\frac {n}{2}}\gamma _{1}f_{4}\chi _{3}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{4},a_{3})-(\mu _{3}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{3})\right]=0.\end{aligned}}$

(5^o)

${\begin{aligned}\mathrm {B} _{1}\mathrm {V} _{1}^{2}&-\left[{\frac {n}{2}}\alpha _{1}f_{2}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{3})-2\beta _{1}(\mu _{3}-\mu _{1})+{\frac {n}{2}}\gamma _{1}f_{4}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{3})\right]\mathrm {V} _{1}\\&-nf_{1}\chi _{3}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{1},a_{3})-(\mu _{3}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{3})\right]\\&-{\frac {n}{2}}\mathrm {A} _{1}f_{2}\chi _{3}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{3})-(\mu _{3}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{3})\right]+\mathrm {B} _{1}\left[\mathrm {M} _{3}^{2}-(\mu _{3}-\mu _{1})^{2}\right]\\&\ \ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -{\frac {n}{2}}\mathrm {C} _{1}f_{4}\chi _{3}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{4},a_{3})-(\mu _{3}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{3})\right]=0.\end{aligned}}$

(6^o)

${\begin{aligned}\gamma _{1}\mathrm {V} _{1}^{2}&+\left[nf_{1}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{4})+{\frac {n}{2}}\mathrm {A} _{1}f_{2}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{4})+{\frac {n}{2}}\mathrm {B} _{1}f_{3}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{4})\right.\\&\ \ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\biggl .}-2\mathrm {C} _{1}(\mu _{4}-\mu _{1}){\biggr ]}\mathrm {V} _{1}\\&-{\frac {n}{2}}\alpha _{1}f_{2}\chi _{4}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{4})-(\mu _{4}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{4})\right]\\&-{\frac {n}{2}}\beta _{1}f_{3}\chi _{4}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{3},a_{4})-(\mu _{4}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{4})\right]+\gamma _{1}\left[\mathrm {M} _{4}^{2}-(\mu _{4}-\mu _{1})^{2}\right]=0.\end{aligned}}$

(7^o)

${\begin{aligned}\mathrm {C} _{1}\mathrm {V} _{1}^{2}&-\left[{\frac {n}{2}}\alpha _{1}f_{2}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{4})+{\frac {n}{2}}\beta _{1}f_{3}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{4})-2\gamma _{1}(\mu _{4}-\mu _{1})\right]\mathrm {V} _{1}\\&-{\frac {n}{2}}f_{1}\chi _{4}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{1},a_{4})-(\mu _{4}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{4})\right]\\&-{\frac {n}{2}}\mathrm {A} _{1}f_{2}\chi _{4}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{4})-(\mu _{4}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{4})\right]\\&-{\frac {n}{2}}\mathrm {B} _{1}f_{3}\chi _{4}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{3},a_{4})-(\mu _{4}-\mu _{1}){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{4})\right]\\&\ \ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +\mathrm {C} _{1}\left[\mathrm {M} _{4}^{2}-(\mu _{4}-\mu _{1})^{2}\right]=0.\end{aligned}}$

Ensuite j’ai l’équation intégrale

${\begin{aligned}(\mathrm {P} )&{\Biggl [}{\frac {d\mathrm {x} _{1}}{dt}}+\alpha _{1}{\frac {dp}{dt}}+\mathrm {A} _{1}{\frac {d\mathrm {P} }{dt}}+\beta _{1}{\frac {dq}{dt}}+\mathrm {B} _{1}{\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}+\gamma _{1}{\frac {dr}{dt}}+\mathrm {C} _{1}{\frac {d\mathrm {R} }{dt}}{\Biggr .}\\+&\left(-\mathrm {V} _{1}+{\frac {n}{2}}\alpha _{1}f_{2}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{1})+{\frac {n}{2}}\beta _{1}f_{3}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{1})+{\frac {n}{2}}\gamma _{1}f_{4}\chi _{1}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{1})\right)\mathrm {x} _{1}\\+&\left(-\alpha _{1}\mathrm {V} _{1}-nf_{1}\chi _{2}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{2})+2\mathrm {A} _{1}(\mu _{2}-\mu _{1})-{\frac {n}{2}}\mathrm {B} _{1}f_{3}\chi _{2}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{2})\right.\\&\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left.-{\frac {n}{2}}\mathrm {C} _{1}f_{4}\chi _{2}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{2})\right)p\\+&\left(-\mathrm {A_{1}V_{1}} -2\alpha _{1}(\mu _{2}-\mu _{1})+{\frac {n}{2}}\beta _{1}f_{3}\chi _{2}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{2})+{\frac {n}{2}}\gamma _{1}f_{4}\chi _{2}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{2})\right)\mathrm {P} \\+&\left(-\beta _{1}\mathrm {V} _{1}-nf_{1}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{3})-{\frac {n}{2}}\mathrm {A} _{1}f_{2}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{3})+2\mathrm {B} _{1}(\mu _{3}-\mu _{1})\right.\\&\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left.-{\frac {n}{2}}\mathrm {C} _{1}f_{4}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{3})\right)q\\+&\left(-\mathrm {B_{1}V_{1}} +{\frac {n}{2}}\alpha _{1}f_{2}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{3})-2\beta _{1}(\mu _{3}-\mu _{1})+{\frac {n}{2}}\gamma _{1}f_{4}\chi _{3}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{3})\right)\mathrm {Q} \\+&\left(-\gamma _{1}\mathrm {V} _{1}-nf_{1}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{4})-{\frac {n}{2}}\mathrm {A} _{1}f_{2}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{4})-{\frac {n}{2}}\mathrm {B} _{1}f_{3}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{4})\right.\\&\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\biggl .}+2\mathrm {C} _{1}(\mu _{4}-\mu _{1}){\biggr )}r\\+&{\Biggl .}\left(-\mathrm {C_{1}V_{1}} +{\frac {n}{2}}\alpha _{1}f_{2}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{4})+{\frac {n}{2}}\beta _{1}f_{3}\chi _{4}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{4})+2\gamma _{1}(\mu _{4}-\mu _{1})\right)\mathrm {R} {\Biggr ]}\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \times e^{\mathrm {V} _{1}t}=\mathrm {const} .\end{aligned}}$

XCVI. Qu’on multiplie l’équation (2^o) par $\pm {\sqrt {-1}},$ et qu’on y ajoute l’équation (3^o), on aura

${\begin{aligned}(\mathrm {Q} )\ &\left[\mathrm {M} _{2}^{2}-\left(\mu _{2}-\mu _{1}\pm \mathrm {V} _{1}{\sqrt {-1}}\right)^{2}\right]\left(\mathrm {A} _{1}\pm \alpha _{1}{\sqrt {-1}}\right)\\&-nf_{1}\chi _{2}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})-\left(\mu _{2}-\mu _{1}\pm \mathrm {V} _{1}{\sqrt {-1}}\right){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{2})\right]\\&-{\frac {n}{2}}f_{3}\chi _{2}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{3},a_{2})-\left(\mu _{2}-\mu _{1}\pm \mathrm {V} _{1}{\sqrt {-1}}\right){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{2})\right]\left(\mathrm {B} _{1}\pm \beta _{1}{\sqrt {-1}}\right)\\&-{\frac {n}{2}}f_{4}\chi _{2}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{4},a_{2})-\left(\mu _{2}-\mu _{1}\pm \mathrm {V} _{1}{\sqrt {-1}}\right){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{2})\right]\left(\mathrm {C} _{1}\pm \gamma _{1}{\sqrt {-1}}\right)=0.\end{aligned}}$

De même, en multipliant l’équation (4^o) par $\pm {\sqrt {-1}},$ et y ajoutant l’équation (5^o), on aura

${\begin{aligned}(\mathrm {R} )\ &\left[\mathrm {M} _{3}^{2}-\left(\mu _{3}-\mu _{1}\pm \mathrm {V} _{1}{\sqrt {-1}}\right)^{2}\right]\left(\mathrm {B} _{1}\pm \beta _{1}{\sqrt {-1}}\right)\\&-nf_{1}\chi _{3}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{1},a_{3})-\left(\mu _{3}-\mu _{1}\pm \mathrm {V} _{1}{\sqrt {-1}}\right){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{3})\right]\\&-{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{3}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{3})-\left(\mu _{3}-\mu _{1}\pm \mathrm {V} _{1}{\sqrt {-1}}\right){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{3})\right]\left(\mathrm {A} _{1}\pm \alpha _{1}{\sqrt {-1}}\right)\\&-{\frac {n}{2}}f_{4}\chi _{3}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{4},a_{3})-\left(\mu _{3}-\mu _{1}\pm \mathrm {V} _{1}{\sqrt {-1}}\right){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{3})\right]\left(\mathrm {C} _{1}\pm \gamma _{1}{\sqrt {-1}}\right)=0.\end{aligned}}$

Enfin, multipliant l’équation (6^o) par $\pm {\sqrt {-1}},$ et y ajoutant l’équation (7^o), on aura

${\begin{aligned}(\mathrm {S} )\ &\left[\mathrm {M} _{4}^{2}-\left(\mu _{4}-\mu _{1}\pm \mathrm {V} _{1}{\sqrt {-1}}\right)^{2}\right]\left(\mathrm {C} _{1}\pm \gamma _{1}{\sqrt {-1}}\right)\\&-nf_{1}\chi _{4}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{1},a_{4})-\left(\mu _{4}-\mu _{1}\pm \mathrm {V} _{1}{\sqrt {-1}}\right){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{4})\right]\\&-{\frac {n}{2}}f_{2}\chi _{4}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{4})-\left(\mu _{4}-\mu _{1}\pm \mathrm {V} _{1}{\sqrt {-1}}\right){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{4})\right]\left(\mathrm {A} _{1}\pm \alpha _{1}{\sqrt {-1}}\right)\\&-{\frac {n}{2}}f_{3}\chi _{4}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{3},a_{4})-\left(\mu _{4}-\mu _{1}\pm \mathrm {V} _{1}{\sqrt {-1}}\right){\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{4})\right]\left(\mathrm {B} _{1}\pm \beta _{1}{\sqrt {-1}}\right)=0.\end{aligned}}$

Chacune de ces trois équations en vaut deux, comme on voit, à cause de l’ambiguïté du signe de ${\sqrt {-1}}.$

Maintenant, il est visible par l’équation (1^o) que, si $n$ était $=0,$ on aurait

$\mathrm {V_{1}^{2}+M_{1}^{2}} =0,$

c’est-à-dire, à cause de $\mathrm {M} _{1}^{2}=\mu _{1}^{2}(1-n{\text{ϐ}})$ (Article LXXIX

$\mathrm {V} _{1}^{2}+\mu _{1}^{2}=0\quad {\text{et}}\quad \mathrm {V} _{1}^{2}=-\mu _{1}^{2}.$

Supposons donc, en général,

$\mathrm {V} _{1}^{2}=-\mu _{1}^{2}(1-nv_{1}),$

et l’équation dont nous parlons se changera en celle-ci

${\begin{aligned}(\mathrm {T} )\quad \mu _{1}^{2}(v_{1}-{\text{ϐ}}_{1})&-{\frac {1}{2}}f_{2}\chi _{1}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{1})\mathrm {A} _{1}+{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{1})\alpha _{1}\mathrm {V} _{1}\right]\\&-{\frac {1}{2}}f_{3}\chi _{1}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{3},a_{1})\mathrm {B} _{1}+{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{1})\beta _{1}\mathrm {V} _{1}\right]\\&-{\frac {1}{2}}f_{4}\chi _{1}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{4},a_{1})\mathrm {C} _{1}+{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{1})\gamma _{1}\mathrm {V} _{1}\right]=0.\end{aligned}}$

XCVII.

L’équation

$\mathrm {V} _{1}^{2}=-\mu _{1}^{2}(1-nv_{1})$

donne

$\mathrm {V} _{1}=\mu _{1}\left(1-{\frac {n}{2}}v_{1}\right){\sqrt {-1}}\,;\quad {\text{donc}}\quad \mathrm {V} _{1}{\sqrt {-1}}=-\mu _{1}\left(1-{\frac {1}{2}}nv_{1}\right)\,;$

donc, substituant cette valeur dans l’équation $(\mathrm {Q} ),$ aussi bien que celle de $\mathrm {M} _{2}^{2},$ qui est $\mu _{2}^{2}(1-n{\text{ϐ}}_{2})$ (Article XXIX), on aura

${\begin{aligned}&\left[\mu _{2}^{2}(1-n{\text{ϐ}}_{2})-\left[\mu _{2}-\mu _{1}\mp \mu _{1}\left(1-{\frac {1}{2}}nv_{1}\right)\right]^{2}\right]\left(\mathrm {A} _{1}\pm \alpha _{1}{\sqrt {-1}}\right)\\&\ \ -\ \ \ nf_{1}\chi _{2}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})-\left[\mu _{2}-\mu _{1}\mp \mu _{1}\left(1-{\frac {1}{2}}nv_{1}\right)\right]{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{2})\right]\\&\ \ -{\frac {1}{2}}nf_{3}\chi _{2}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{3},a_{2})-\left[\mu _{2}-\mu _{1}\mp \mu _{1}\left(1-{\frac {1}{2}}nv_{1}\right)\right]{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{2})\right]\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \times \left(\mathrm {B} _{1}\pm \beta _{1}{\sqrt {-1}}\right)\\&\ \ -{\frac {1}{2}}nf_{4}\chi _{2}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{4},a_{2})-\left[\mu _{2}-\mu _{1}\mp \mu _{1}\left(1-{\frac {1}{2}}nv_{1}\right)\right]{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{2})\right]\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \times \left(\mathrm {C} _{1}\pm \gamma _{1}{\sqrt {-1}}\right)=0.\end{aligned}}$

Donc :

1^o Si l’on prend le signe supérieur, et qu’on néglige les termes affectés de $n,$ on aura

$\left[\mu _{2}^{2}-(\mu _{2}-2\mu _{1})^{2}\right]\left(\mathrm {A} _{1}+\alpha _{1}{\sqrt {-1}}\right)=0\,;$

ce qui donne

$\mathrm {A} _{1}+\alpha _{1}{\sqrt {-1}}=0\quad {\text{et}}\quad \alpha _{1}{\sqrt {-1}}=-\mathrm {A} _{1}.$

2^o Si l’on prend le signe inférieur, et qu’après avoir ôté ce qui se détruit on divise toute l’équation par $n,$ on aura, en négligeant toujours les termes affectés de $n,$

${\begin{aligned}(\mathrm {V} )\quad \mu _{2}^{2}\left({\frac {\mu _{1}}{\mu _{2}}}v_{1}-{\text{ϐ}}_{2}\right)&\left(\mathrm {A} _{1}-\alpha _{1}{\sqrt {-1}}\right)-f_{1}\chi _{2}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})-\mu _{2}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{2})\right]\\-&{\frac {1}{2}}f_{3}\chi _{2}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{3},a_{2})-\mu _{2}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{2})\right]\left(\mathrm {B} _{1}-\beta _{1}{\sqrt {-1}}\right)\\-&{\frac {1}{2}}f_{4}\chi _{2}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{4},a_{2})-\mu _{2}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{2})\right]\left(\mathrm {C} _{1}-\gamma _{1}{\sqrt {-1}}\right)=0.\end{aligned}}$

On tirera de même de l’équation $(\mathrm {R} )$

$\beta _{1}{\sqrt {-1}}=-\mathrm {B} _{1}$

et

${\begin{aligned}(\mathrm {U} )\quad \mu _{3}^{2}\left({\frac {\mu _{1}}{\mu _{3}}}v_{1}-{\text{ϐ}}_{3}\right)&\left(\mathrm {B} _{1}-\beta _{1}{\sqrt {-1}}\right)-f_{1}\chi _{3}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{1},a_{3})-\mu _{3}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{3})\right]\\-&{\frac {1}{2}}f_{2}\chi _{3}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{3})-\mu _{3}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{3})\right]\left(\mathrm {A} _{1}-\beta _{1}{\sqrt {-1}}\right)\\-&{\frac {1}{2}}f_{4}\chi _{3}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{4},a_{3})-\mu _{3}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{4},a_{3})\right]\left(\mathrm {C} _{1}-\gamma _{1}{\sqrt {-1}}\right)=0\,;\end{aligned}}$

et de l’équation $(\mathrm {S} )$

$\gamma _{1}{\sqrt {-1}}=-\mathrm {C} _{1}$

et

${\begin{aligned}(\mathrm {W} )\quad \mu _{4}^{2}\left({\frac {\mu _{1}}{\mu _{4}}}v_{1}-{\text{ϐ}}_{4}\right)&\left(\mathrm {C} _{1}-\gamma _{1}{\sqrt {-1}}\right)-f_{1}\chi _{4}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{1},a_{4})-\mu _{4}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{4})\right]\\-&{\frac {1}{2}}f_{2}\chi _{4}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{4})-\mu _{4}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{4})\right]\left(\mathrm {A} _{1}-\beta _{1}{\sqrt {-1}}\right)\\-&{\frac {1}{2}}f_{3}\chi _{4}\left[{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{3},a_{4})-\mu _{4}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{3},a_{4})\right]\left(\mathrm {B} _{1}-\beta _{1}{\sqrt {-1}}\right)=0.\end{aligned}}$

XCVIII.

Soit fait, pour plus de simplicité,

${\begin{aligned}(1,2)=&{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})-\mu _{2}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{2}),\\(1,3)=&{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{1},a_{4})-\mu _{4}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{1},a_{4}),\\(2,1)=&{\overset {\circ }{\Psi }}_{1}(a_{2},a_{1})-\mu _{1}{\overset {\circ }{\Pi }}_{1}(a_{2},a_{1})\,;\end{aligned}}$

et ainsi des autres.

Soit de plus $\rho =\mu _{1}v_{1}.$

On aura, en faisant ces substitutions dans les équations $\mathrm {(V),(U),(W)} ,$ et, mettant à la place de $\alpha _{1}{\sqrt {-1}},\beta _{1}{\sqrt {-1}},\gamma _{1}{\sqrt {-1}}$ leurs valeurs $-\mathrm {A_{1},-B_{1}} ,$ $-\mathrm {C_{1}} ,$ les équations suivantes

(X)$\left\{{\begin{aligned}2\mu _{2}^{2}\left({\frac {\rho }{\mu _{2}}}-{\text{ϐ}}_{2}\right)\mathrm {A} _{1}-f_{1}\chi _{2}(1,2)-f_{3}\chi _{2}(3,2)\mathrm {B} _{1}-f_{4}\chi _{2}(4,2)\mathrm {C} _{1}=0,\\2\mu _{3}^{2}\left({\frac {\rho }{\mu _{3}}}-{\text{ϐ}}_{3}\right)\mathrm {B} _{1}-f_{1}\chi _{3}(1,3)-f_{2}\chi _{3}(2,3)\mathrm {A} _{1}-f_{4}\chi _{3}(4,3)\mathrm {C} _{1}=0,\\2\mu _{4}^{2}\left({\frac {\rho }{\mu _{4}}}-{\text{ϐ}}_{4}\right)\mathrm {C} _{1}-f_{1}\chi _{4}(1,4)-f_{2}\chi _{4}(2,4)\mathrm {A} _{1}-f_{3}\chi _{4}(3,4)\mathrm {B} _{1}=0,\end{aligned}}\right.$

d’où l’on tirera facilement les valeurs de $\mathrm {A_{1},B_{1},C_{1}} .$

Or, en négligeant les termes affectés de $n,$ on a $\mathrm {V} _{1}=\mu _{1}{\sqrt {-1}}$ (Article précédent) ; donc, puisque $\alpha _{1}=-{\frac {\mathrm {A} _{1}}{\sqrt {-1}}},$ on aura $\alpha _{1}\mathrm {V} _{1}=-\mu _{1}\mathrm {A} _{1}\,;$ et de même $\beta _{1}\mathrm {V} _{1}=-\mu _{1}\mathrm {B} _{1},\ \gamma _{1}\mathrm {V} _{1}=-\mu _{1}\mathrm {C} _{1}.$ Donc l’équation $(\mathrm {T} )$ de l’Article XCVI deviendra, après toutes les substitutions,

(Y)

$2\mu _{1}^{2}\left({\frac {\rho }{\mu _{1}}}-{\text{ϐ}}_{1}\right)-f_{2}\chi _{1}(2,1)\mathrm {A} _{1}-f_{3}\chi _{1}(3,1)\mathrm {B} _{1}-f_{4}\chi _{1}(4,1)\mathrm {C} _{1}=0\,;$

c’est l’équation qui donnera la valeur de $\rho .$

XCIX.

Soit, pour abréger,

$\mathrm {K} _{1}=2{\frac {{\cfrac {\rho }{\mu _{1}}}-{\text{ϐ}}_{1}}{\chi _{1}}},\quad \mathrm {K} _{2}=2{\frac {{\cfrac {\rho }{\mu _{2}}}-{\text{ϐ}}_{2}}{\chi _{2}}}$^[9],

et ainsi des autres ; les équations $(\mathrm {X} )$ donneront, après avoir mis au lieu de $f_{1},f_{2},\ldots$ leurs valeurs approchées $\mu _{1}^{2},\mu _{2}^{2},\ldots$ (Article XLV),

${\begin{aligned}\mathrm {A} _{1}=&\left[(1,2)\mathrm {K_{3}K_{4}} -(1,2)(3,4)(4,3)+(1,3)(3,2)\mathrm {K} _{4}\right.\\&\quad +\left.(1,3)(3,4)(4,2)+(1,4)(3,2)(4,3)+(1,4)(4,2)\mathrm {K} _{3}\right]{\frac {\mu _{1}^{2}}{\mu _{2}^{2}}},\\\mathrm {B} _{1}=&\left[(1,3)\mathrm {K_{2}K_{4}} +(1,4)(4,3)\mathrm {K} _{2}+(1,2)(2,3)\mathrm {K} _{4}\right.\\&\quad +\left.(1,4)(2,3)(4,2)+(1,2)(2,4)(4,3)-(1,3)(2,4)(4,2)\right]{\frac {\mu _{1}^{2}}{\mu _{3}^{2}}},\\\mathrm {C} _{1}=&\left[(1,4)\mathrm {K_{2}K_{3}} +(1,3)(3,4)\mathrm {K} _{2}-(1,4)(2,3)(3,2)\right.\\&\quad +\left.(1,2)(2,3)(3,4)+(1,3)(2,4)(3,2)+(1,2)(2,4)\mathrm {K} _{3}\right]{\frac {\mu _{1}^{2}}{\mu _{4}^{2}}}.\end{aligned}}$

Chacune de ces quantités étant divisée par

${\begin{aligned}\mathrm {K_{2}K_{3}K_{4}} &-(3,4)(4,3)\mathrm {K} _{2}-(2,3)(3,2)\mathrm {K} _{4}\\&-(2,3)(3,4)(4,2)-(2,4)(3,2)(4,3)-(2,4)(4,2)\mathrm {K} _{3}.\end{aligned}}$

Ces valeurs étant ensuite substituées dans l’équation $(\mathrm {Y} ),$ on aura, après les réductions,

${\begin{aligned}(\mathrm {Z} )\ \ \mathrm {K_{1}K_{2}K_{3}K_{4}} &-(3,4)(4,3)\mathrm {K_{1}K_{2}} -(2,4)(4,2)\mathrm {K_{1}K_{3}} -(2,3)(3,2)\mathrm {K_{1}K_{4}} \\&-(4,1)(1,4)\mathrm {K_{2}K_{3}} -(3,1)(1,3)\mathrm {K_{2}K_{4}} -(2,1)(1,2)\mathrm {K_{3}K_{4}} \\&-\left[(2,3)(3,4)(4,2)+(2,4)(3,2)(4,3)\right]\mathrm {K} _{1}\\&-\left[(3,1)(1,4)(4,3)+(4,1)(1,3)(3,4)\right]\mathrm {K} _{2}\\&-\left[(2,1)(1,4)(4,2)+(4,1)(1,2)(2,4)\right]\mathrm {K} _{3}\\&-\left[(2,1)(1,3)(3,2)+(3,1)(1,2)(2,3)\right]\mathrm {K} _{4}\\&+(2,1)(1,2)(3,4)(4,3)-(2,1)(1,3)(3,4)(4,2)\\&-(2,1)(1,4)(3,2)(4,3)-(3,1)(1,4)(2,3)(4,2)\\&-(3,1)(1,2)(2,4)(4,3)+(3,1)(1,3)(2,4)(4,2)\\&+(4,1)(1,4)(2,3)(3,2)-(4,1)(1,2)(2,3)(3,4)\\\end{aligned}}$

$-(4,1)(1,3)(2,4)(3,2)=0,$

équation qui, en remettant au lieu de $\mathrm {K_{1},K_{2}} ,\ldots$ leurs valeurs, et ordonnant les termes par rapport à $\rho ,$ montera au quatrième degré, et donnera par conséquent quatre valeurs de $\rho ,$ que nous dénoterons par $\rho ',\rho '',\rho ''',\rho ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}.$

C.

Les calculs que nous venons de flaire dans ce paragraphe n’appartiennent proprement qu’au premier satellite ; mais il est aisé de les appliquer à chacun des trois autres, suivant les remarques faites ailleurs. En effet, pour les appliquer, par exemple, au second satellite, il n’y aura qu’à marquer de deux traits toutes les lettres qui ne sont marquées que d’un seul, et réciproquement ôter un trait à celles qui en ont deux, et ainsi de suite^[10] ; ainsi, dans l’équation $(\mathrm {Z} ),$ il ne faudra qu’échanger entre elles les lettres $\mathrm {K_{1},K_{2}} ,$ et les nombres $1,2.$ Or on verra aisément que cette permutation ne produira aucun changement dans l’équation ; d’où il s’ensuit que les valeurs de $\rho$ seront les mêmes pour le second satellite que pour le premier. On en dira autant par rapport au troisième et au quatrième, de sorte que l’équation $(\mathrm {Z} )$ servira pour tous les quatre satellites, et c’est ce qui fait que cette équation monte au quatrième degré.

CI.

Reprenons maintenant l’équation $(\mathrm {P} )$ de l’Article XCV, et substituons-y, au lieu de $\alpha _{1},\beta _{1},\gamma _{1},$ leurs valeurs $\mathrm {A} _{1}{\sqrt {-1}},\ \mathrm {B} _{1}{\sqrt {-1}},\ \mathrm {C} _{1}{\sqrt {-1}}$ (Article XCVII), et au lieu de $\mathrm {V} _{1}$ sa valeur $\mu _{1}(1-{\frac {1}{2}}nv_{1}){\sqrt {-1}}$ (Article XCVII), c’est-à-dire, $\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho \right){\sqrt {-1}},$ à cause de $\mu _{1}v_{1}=\rho$ (Article XCVIII), on aura, en négligeant partout les termes affectés de $n,$ excepté dans $e^{\mathrm {V} _{1}t},$

${\Biggl [}{\frac {d\mathrm {x} _{1}}{dt}}+\mathrm {A} _{1}\left({\frac {d\mathrm {P} }{dt}}+{\frac {dp}{dt}}{\sqrt {-1}}\right)+\mathrm {B} _{1}\left({\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}+{\frac {dq}{dt}}{\sqrt {-1}}\right){\Biggr .}$

$+\mathrm {C} _{1}\left({\frac {d\mathrm {R} }{dt}}+{\frac {dr}{dt}}{\sqrt {-1}}\right)-\mu _{1}\mathrm {x} _{1}{\sqrt {-1}}$

$+\mathrm {A} _{1}(2\mu _{2}-\mu _{1})\left(p-\mathrm {P} {\sqrt {-1}}\right)+\mathrm {B} _{1}(2\mu _{3}-\mu _{1})\left(q-\mathrm {Q} {\sqrt {-1}}\right)$

${\Biggl .}+\mathrm {C} _{1}(2\mu _{4}-\mu _{1})\left(r-\mathrm {R} {\sqrt {-1}}\right){\Biggr ]}e^{(\mu _{1}-{\frac {1}{2}}n\rho )t{\sqrt {-1}}}=\mathrm {const} .,$

c’est-à-dire en mettant au lieu de $e^{\left(\mu _{1}-{\frac {1}{2}}n\rho \right)t{\sqrt {-1}}}$ sa valeur $\cos \left(\mu _{1}-{\frac {1}{2}}n\rho \right)t+\sin(\mu _{1}-{\frac {1}{2}}n\rho )t\times {\sqrt {-1}},$

${\begin{aligned}\left[{\frac {d\mathrm {x} _{1}}{dt}}+\mathrm {A} _{1}\left({\frac {d\mathrm {P} }{dt}}+(2\mu _{2}-\mu _{1})p\right)+\mathrm {B} _{1}\left({\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}+(2\mu _{3}-\mu _{1})q\right)\right.&\\\left.+\mathrm {C} _{1}\left({\frac {d\mathrm {R} }{dt}}+(2\mu _{4}-\mu _{1})r\right)\right]\cos \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho \right)t&\\+\left[\mu _{1}\mathrm {x} _{1}-\mathrm {A} _{1}\left({\frac {dp}{dt}}+(2\mu _{2}-\mu _{1})\mathrm {P} \right)-\mathrm {B} _{1}\left({\frac {dq}{dt}}-(2\mu _{3}-\mu _{1})\mathrm {Q} \right)\right.&\\\left.-\mathrm {C} _{1}\left({\frac {dr}{dt}}-(2\mu _{4}-\mu _{1})\mathrm {R} \right)\right]\sin \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho \right)t&\\+\left[{\frac {d\mathrm {x} _{1}}{dt}}+\mathrm {A} _{1}\left({\frac {d\mathrm {P} }{dt}}+(2\mu _{2}-\mu _{1})p\right)+\mathrm {B} _{1}\left({\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}+(2\mu _{3}-\mu _{1})q\right)\right.&\\\left.+\mathrm {C} _{1}\left({\frac {d\mathrm {R} }{dt}}+(2\mu _{4}-\mu _{1})r\right)\right]\sin \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho \right)t&\times {\sqrt {-1}}\\-\left[\mu _{1}\mathrm {x} _{1}-\mathrm {A} _{1}\left({\frac {dp}{dt}}-(2\mu _{2}-\mu _{1})\mathrm {P} \right)-\mathrm {B} _{1}\left({\frac {dq}{dt}}-(2\mu _{3}-\mu _{1})\mathrm {Q} \right)\right.&\\\left.-\mathrm {C} _{1}\left({\frac {dr}{dt}}-(2\mu _{4}-\mu _{1})\mathrm {R} \right)\right]\cos \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho \right)t&\times {\sqrt {-1}}=\mathrm {const} .,\end{aligned}}$

équation qui, à cause du radical ${\sqrt {-1}},$ lequel peut avoir indifféremment les signes $+$ ou $-$ se décompose en ces deux-ci

${\begin{aligned}(\alpha )\quad \left[{\frac {d\mathrm {x} _{1}}{dt}}+\mathrm {A} _{1}\left({\frac {d\mathrm {P} }{dt}}+(2\mu _{2}-\mu _{1})p\right)+\mathrm {B} _{1}\left({\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}+(2\mu _{3}-\mu _{1})q\right)\right.&\\\left.+\mathrm {C} _{1}\left({\frac {d\mathrm {R} }{dt}}+(2\mu _{4}-\mu _{1})r\right)\right]\cos \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho \right)t&\\+\left[\mu _{1}\mathrm {x} _{1}-\mathrm {A} _{1}\left({\frac {dp}{dt}}+(2\mu _{2}-\mu _{1})\mathrm {P} \right)-\mathrm {B} _{1}\left({\frac {dq}{dt}}-(2\mu _{3}-\mu _{1})\mathrm {Q} \right)\right.&\\\left.-\mathrm {C} _{1}\left({\frac {dr}{dt}}-(2\mu _{4}-\mu _{1})\mathrm {R} \right)\right]\sin \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho \right)t&=\mathrm {D} _{1},\end{aligned}}$

et

${\begin{aligned}(\beta )\quad \left[{\frac {d\mathrm {x} _{1}}{dt}}+\mathrm {A} _{1}\left({\frac {d\mathrm {P} }{dt}}+(2\mu _{2}-\mu _{1})p\right)+\mathrm {B} _{1}\left({\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}+(2\mu _{3}-\mu _{1})q\right)\right.&\\\left.+\mathrm {C} _{1}\left({\frac {d\mathrm {R} }{dt}}+(2\mu _{4}-\mu _{1})r\right)\right]\sin \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho \right)t&\\-\left[\mu _{1}\mathrm {x} _{1}-\mathrm {A} _{1}\left({\frac {dp}{dt}}-(2\mu _{2}-\mu _{1})\mathrm {P} \right)-\mathrm {B} _{1}\left({\frac {dq}{dt}}-(2\mu _{3}-\mu _{1})\mathrm {Q} \right)\right.&\\\left.-\mathrm {C} _{1}\left({\frac {dr}{dt}}-(2\mu _{4}-\mu _{1})\mathrm {R} \right)\right]\cos \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho \right)t&=\mathrm {E} _{1},\end{aligned}}$

$\mathrm {D} _{1}$ et $\mathrm {E} _{1}$ étant deux constantes arbitraires que nous déterminerons dans un moment.

On aura donc par là

${\begin{aligned}(\gamma )\quad \mu _{1}\mathrm {x} _{1}&-\mathrm {A} _{1}\left({\frac {dp}{dt}}-(2\mu _{2}-\mu _{1})\mathrm {P} \right)-\mathrm {B} _{1}\left({\frac {dq}{dt}}-(2\mu _{3}-\mu _{1})\mathrm {Q} \right)\\&-\mathrm {C} _{1}\left({\frac {dr}{dt}}-(2\mu _{4}-\mu _{1})\mathrm {R} \right)\\&=\mathrm {D} _{1}\sin \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho \right)t-\mathrm {E} _{1}\cos \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho \right)t,\end{aligned}}$

équation qui suffira pour trouver la valeur de $x_{1},$ comme on le verra ci-après.

CII.

Soit, lorsque $t=0,$

$\mathrm {x} _{1}=\mathrm {X} _{1},\quad \mathrm {x} _{2}=\mathrm {X} _{2},\quad \mathrm {x} _{3}=\mathrm {X} _{3},\quad \mathrm {x} _{4}=\mathrm {X} _{4},$

${\frac {d\mathrm {x} _{1}}{dt}}=\mathrm {Y} _{1},\quad {\frac {d\mathrm {x} _{2}}{dt}}=\mathrm {Y} _{2},\quad {\frac {d\mathrm {x} _{3}}{dt}}=\mathrm {Y} _{3},\quad {\frac {d\mathrm {x} _{4}}{dt}}=\mathrm {Y} _{4}.$

On aura (Article XCII)

$\mathrm {P=X_{2},\quad Q=X_{3},\quad R=X_{4}} ,\quad p=0,\quad q=0,\quad r=0\,;$

ensuite

${\frac {d\mathrm {P} }{dt}}=\mathrm {Y} _{2},\quad {\frac {d\mathrm {Q} }{dt}}=\mathrm {Y} _{3},\quad {\frac {d\mathrm {R} }{dt}}=\mathrm {Y} _{4},$

${\frac {dp}{dt}}=(\mu _{2}-\mu _{1})\mathrm {X} _{2},\quad {\frac {dq}{dt}}=(\mu _{3}-\mu _{1})\mathrm {X} _{3},\quad {\frac {dr}{dt}}=(\mu _{4}-\mu _{1})\mathrm {X} _{4}.$

Donc, substituant ces valeurs dans les équations $(\alpha )$ et $(\beta ),$ et faisant $t=0,$ on aura

${\begin{aligned}&\mathrm {D_{1}=Y_{1}+A_{1}Y_{2}+B_{1}Y_{3}+C_{1}Y_{4}} ,\\&\mathrm {E_{1}\ =-\left(\mu _{1}X_{1}+A_{1}\mu _{2}X_{2}+B_{1}\mu _{3}X_{3}+C_{1}\mu _{4}X_{4}\right)} .\\\end{aligned}}$

CIII.

Soit maintenant, pour abréger,

${\frac {dp}{dt}}-(2\mu _{2}-\mu _{1})\mathrm {P=(P)} ,\quad {\frac {dq}{dt}}-(2\mu _{3}-\mu _{1})\mathrm {Q=(Q)} ,$

${\frac {dr}{dt}}-(2\mu _{4}-\mu _{1})\mathrm {R=(R)} \,;$

l’équation $(\gamma )$ deviendra

$\mu _{1}\mathrm {x} _{1}-\mathrm {A_{1}(P)-B_{1}(Q)-C_{1}(R)} =\mathrm {D} _{1}\sin \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho \right)t-\mathrm {E} _{1}\cos \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho \right)t.$

Substituons successivement, dans cette équation, au lieu de $p,$ ses quatre valeurs $\rho ',\rho '',\rho ''',\rho ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}$ (Article XCIX), on aura

${\begin{aligned}\mu _{1}\mathrm {x} _{1}-\mathrm {A'_{1}\ (P)-B'_{1}\ (Q)-C'_{1}\ (R)} =&\mathrm {D} '_{1}\ \sin \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho '\,\right)t-\mathrm {E} '_{1}\ \,\cos \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho '\ \right)t,\\\mu _{1}\mathrm {x} _{1}-\mathrm {A''_{1}\,(P)-B''_{1}\,(Q)-C''_{1}\ (R)} =&\mathrm {D} ''_{1}\ \sin \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho ''\right)t-\mathrm {E} ''_{1}\ \cos \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho ''\ \right)t,\\\mu _{1}\mathrm {x} _{1}-\mathrm {A'''_{1}(P)-B'''_{1}(Q)-C'''_{1}(R)} =&\mathrm {D} '''_{1}\sin \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho '''\right)t-\mathrm {E} '''_{1}\cos \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho '''\right)t,\\\mu _{1}\mathrm {x} _{1}-\mathrm {A_{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}(P)-B_{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}(Q)-C_{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}(R)} =&\mathrm {D} _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\sin \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)t-\mathrm {E} _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\cos \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)t,\end{aligned}}$

$\mathrm {A'_{1},B'_{1},C'_{1},D'_{1},E'_{1}\,;A'_{2},B'_{2},C'_{2},D'_{2},E'_{2}} ,\ldots$ étant ce que deviennent les quantités $\mathrm {A_{1},B_{1},C_{1},D_{1},E_{1}}$ lorsque $\rho$ devient $\rho ',\rho '',\ldots .$

Donc, éliminant de ces quatre équations les trois inconnues $\mathrm {(P),(Q)} ,$$\mathrm {(R)} ,$ on aura la valeur de $\mathrm {x} _{1}$.

CIV.

Pour cet effet, je multiplie la seconde équation par $\alpha _{1},$ la troisième par $\beta _{1},$ la quatrième par $\gamma _{1},$ ($\alpha _{1},\beta _{1},\gamma _{1}$ étant de nouvelles indéterminées) ; après quoi je les ajoute toutes quatre ensemble, et je fais évanouir séparément chacun des coefficients de $\mathrm {(P),(Q),(R)} \,;$ j’ai

$(\delta )\qquad \qquad \qquad \left\{{\begin{aligned}\mathrm {A'_{1}+\alpha _{1}A''_{1}+\beta _{1}A'''_{1}+\gamma _{1}A_{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}} =&0,\\\mathrm {B'_{1}+\,\alpha _{1}B''_{1}+\beta _{1}B'''_{1}+\gamma _{1}B_{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}} =&0,\\\mathrm {C'_{1}+\alpha _{1}C''_{1}+\beta _{1}C'''_{1}+\gamma _{1}C_{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}} =&0,\end{aligned}}\right.$

et

${\begin{aligned}&\mathrm {x} _{1}=\\&\quad {\frac {\mathrm {D} '_{1}}{\mu _{1}(1+\alpha _{1}+\beta _{1}+\gamma _{1})}}\sin \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho '\ \,\right)-{\frac {\mathrm {E} '_{1}}{\mu _{1}(1+\alpha _{1}+\beta _{1}+\gamma _{1})}}\cos \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho '\ \,\right)t\\&+{\frac {\alpha _{1}\mathrm {D} ''_{1}}{\mu _{1}(1+\alpha _{1}+\beta _{1}+\gamma _{1})}}\sin \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho ''\,\right)-{\frac {\alpha _{1}\mathrm {E} ''_{1}}{\mu _{1}(1+\alpha _{1}+\beta _{1}+\gamma _{1})}}\cos \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho ''\ \right)t\\&+{\frac {\beta _{1}\mathrm {D} '''_{1}}{\mu _{1}(1+\alpha _{1}+\beta _{1}+\gamma _{1})}}\sin \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho '''\right)-{\frac {\beta _{1}\mathrm {E} '''_{1}}{\mu _{1}(1+\alpha _{1}+\beta _{1}+\gamma _{1})}}\cos \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho '''\right)t\\&+{\frac {\gamma _{1}\mathrm {D} _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}{\mu _{1}(1+\alpha _{1}+\beta _{1}+\gamma _{1})}}\sin \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)-{\frac {\gamma _{1}\mathrm {E} _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}{\mu _{1}(1+\alpha _{1}+\beta _{1}+\gamma _{1})}}\cos \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)t.\end{aligned}}$

CV.

On peut simplifier cette expression de $\mathrm {x} _{1}$ en supposant, en général,

$\mathrm {D} _{1}=-\delta _{1}\sin \omega _{1},\quad \mathrm {E} _{1}=-\delta _{1}\cos \omega _{1}\,;$

ce qui donne

$\delta _{1}=\mathrm {\sqrt {D_{1}^{2}+E_{1}^{2}}} ,\quad \operatorname {tang} \omega _{1}=\mathrm {\frac {D_{1}}{E_{1}}} ,$

savoir

$\delta =\mathrm {\sqrt {(Y_{1}+A_{1}Y_{2}+B_{1}Y_{3}+C_{1}Y_{4})^{2}+(\mu _{1}X_{1}+A_{1}\mu _{2}X_{2}+B_{1}\mu _{3}X_{3}+C_{1}\mu _{4}X_{4})^{2}}} ,$

$\operatorname {tang} \omega =-\mathrm {\frac {Y_{1}+A_{1}Y_{2}+B_{1}Y_{3}+C_{1}Y_{4}}{\mu _{1}X_{1}+A_{1}\mu _{2}X_{2}+B_{1}\mu _{3}X_{3}+C_{1}\mu _{4}X_{4}}} .$

Par ce moyen, on aura

$\mathrm {D} _{1}\sin \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho \right)t-\mathrm {E} _{1}\cos \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho \right)t=\delta _{1}\cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho \right)t+\omega _{1}\right],$

et de là

${\begin{aligned}\mathrm {D} '_{1}\ \sin \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho '\right)t-\mathrm {E} '_{1}\ \cos \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho '\right)t=&\delta '_{1}\,\cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho '\right)t+\omega '_{1}\,\right],\\\mathrm {D} ''_{1}\sin \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho ''\right)t-\mathrm {E} ''_{1}\cos \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho ''\right)t=&\delta ''_{1}\cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho ''\right)t+\omega ''_{1}\right]\,;\end{aligned}}$

et ainsi de suite.

Donc, si l’on fait, pour plus de simplicité,

${\begin{alignedat}{2}\varepsilon '_{1}=&{\frac {\delta '_{1}}{\mu _{1}(1+\alpha _{1}+\beta _{1}+\gamma _{1})}},\qquad &\varepsilon ''_{1}=&{\frac {\alpha _{1}\delta ''_{1}}{\mu _{1}(1+\alpha _{1}+\beta _{1}+\gamma _{1})}},\\\varepsilon '''_{1}=&{\frac {\beta _{1}\delta '''_{1}}{\mu _{1}(1+\alpha _{1}+\beta _{1}+\gamma _{1})}},&\varepsilon _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&{\frac {\gamma _{1}\delta _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}{\mu _{1}(1+\alpha _{1}+\beta _{1}+\gamma _{1})}},\end{alignedat}}$

on aura

${\begin{aligned}\mathrm {x} _{1}&=\varepsilon '_{1}\cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho '\ \ \right)t+\omega '_{1}\ \right]+\varepsilon ''_{1}\ \cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho ''\ \right)t+\omega ''_{1}\right]\\&+\varepsilon '''_{1}\cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho '''\right)t+\omega '''_{1}\right]+\varepsilon _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)t+\omega _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right].\end{aligned}}$

CVI.

Scolie. — À l’égard des valeurs de $\alpha _{1},\beta _{1},\gamma _{1},$ on les trouvera aisément par résolution des équations mais on pourrait encore se servir d’une autre méthode assez simple, que j’exposerai ici en peu de mots.

Qu’on multiplie la seconde de ces équations par $b$ et la troisième par $c$ ($b$ et $c$ étant deux indéterminées), et qu’on les ajoute toutes ensemble, on aura

${\begin{aligned}\mathrm {A} '_{1}+b\mathrm {B} '_{1}+c\mathrm {C} '_{1}+(\mathrm {A} ''_{1}+b\mathrm {B} ''_{1}+c\mathrm {C} ''_{1})\alpha _{1}&+(\mathrm {A} '''_{1}+b\mathrm {B} '''_{1}+c\mathrm {C} '''_{1})\beta _{1}\\&+\left(\mathrm {A} _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+b\mathrm {B} _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+c\mathrm {C} _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)\gamma _{1}=0.\end{aligned}}$

Or, pour avoir la valeur de $\alpha _{1}$, on fera

$\mathrm {A} '''_{1}+b\mathrm {B} '''_{1}+c\mathrm {C} '''_{1}=0,\quad \mathrm {A} _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+b\mathrm {B} _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+c\mathrm {C} _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=0,$

et l’on aura

$\alpha _{1}=-{\frac {\mathrm {A} '_{1}+b\mathrm {B} '_{1}+c\mathrm {C} '_{1}}{\mathrm {A} ''_{1}+b\mathrm {B} ''_{1}+c\mathrm {C} ''_{1}}}$.

Les quantités $b$ et $c$ doivent donc être telles, que l’on ait

$\mathrm {A} _{1}+b\mathrm {B} _{1}+c\mathrm {C} _{1}=0$,

en mettant successivement, au lieu de $\rho ,\rho '''$ et $\rho ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}$.

Or l’équation

$\mathrm {A} _{1}+b\mathrm {B} _{1}+c\mathrm {C} _{1}=0,$

si l’on y substitue les valeurs de $\mathrm {A_{1},B_{1},C_{1}}$ (Article XCIX) et qu’on l’ordonne par rapport à $\rho ,$ sera de cette forme

$\rho ^{2}-\mathrm {M\rho +N} =0,$

dont les racines devront être $\rho '''$ et $\rho ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\,;$ c’est pourquoi on aura $\mathrm {M} =\rho '''+\rho ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}$ et $\mathrm {N} =\rho '''\rho ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},$ d’où l’on tirera $b$ et $c\,;$ on trouvera de la même manière les valeurs de $\beta _{1}$ et de $\gamma _{1}.$

CVII.

Ayant trouvé la valeur de $x_{1},$ on trouvera celle de $y_{1}$ par l’équation $(H)$ de l’Article LXXVI.

On aura donc, en négligeant les termes affectés de $n$^[11],

${\begin{aligned}\mathrm {y} _{1}=&-2\varepsilon '_{1}\sin \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho '\ \ \right)t+\omega '_{1}\ \right]-2\varepsilon ''_{1}\ \cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho ''\ \right)t+\omega ''_{1}\right]\\&-2\varepsilon '''_{1}\sin \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho '''\right)t+\omega '''_{1}\right]-2\varepsilon _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\sin \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)t+\omega _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right].\end{aligned}}$

CVIII.

On aura des expressions semblables pour les valeurs de $\mathrm {x_{2},y_{2}} ,\ldots$ (voyez la remarque de l’Article C).

CIX.

Pour peu qu’on examine ces valeurs de $\mathrm {x}$ et de $\mathrm {y} ,$ on verra aisément qu’elles renferment, pour ainsi dire, quatre équations du centre prises dans des ellipses mobiles, dont les excentricités seraient $n\varepsilon ',n\varepsilon '',n\varepsilon ''',$ $n\varepsilon ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},$ et les anomalies moyennes

$\left(\mu -{\frac {n}{2}}\rho '\right)t+\omega ',\ \ \left(\mu -{\frac {n}{2}}\rho ''\right)t+\omega '',\ \ \left(\mu -{\frac {n}{2}}\rho '''\right)t+\omega ''',\ \ \left(\mu -{\frac {n}{2}}\rho ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)t+\omega ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\,;$

d’où l’on voit que les mouvements de ces anomalies seront au mouvement moyen du satellite comme $1-{\frac {n}{2}}{\frac {\rho '}{\mu }},\ 1-{\frac {n}{2}}{\frac {\rho ''}{\mu }},\ 1-{\frac {n}{2}}{\frac {\rho '''}{\mu }}$ et $1-{\frac {n}{2}}{\frac {\rho ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}{\mu }}$ à $1\,;$ par conséquent les apsides avanceront de

${\frac {n}{2}}{\frac {\rho '}{\mu }}.360^{\circ },\quad {\frac {n}{2}}{\frac {\rho ''}{\mu }}.360^{\circ },\quad {\frac {n}{2}}{\frac {\rho '''}{\mu }}.360^{\circ },\quad {\frac {n}{2}}{\frac {\rho ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}{\mu }}.360^{\circ }$

à chaque révolution du satellite.

On pourrait, par la méthode de l’Article III, réduire ces quatre équations à une seule, dans laquelle l’excentricité serait variable et le mouvement des apsides non uniforme ; mais je crois qu’il est plus commode de les laisser sous leur forme naturelle.

CX.

On suivra une méthode analogue pour trouver la valeur de $z_{1},$ au moyen des équations $\mathrm {(N_{1}),(N_{2})} ,\ldots$ de l’Article XCI. Mais, sans entrer dans de nouveaux calculs à cet égard, il suffire de remarquer que les équations dont nous parlons peuvent se déduire des équations $\mathrm {(M_{1})} ,$$\mathrm {(M_{2})} ,\ldots$ en changeant $\mathrm {x}$ en $z$, $\mathrm {M}$ en $\mathrm {N} ,$ $\Psi$ en $\Gamma ,$ et supposant nulles toutes les quantités marquées par la lettre ${\overset {\circ }{\Pi }}\,;$ d’où il s’ensuit :

1^o Que si l’on fait (Article XCVIII)

$(1,2)={\overset {\circ }{\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2}),\quad (1,3)={\overset {\circ }{\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3}),\quad (2,1)={\overset {\circ }{\Gamma }}_{1}(a_{2},a_{1}),\ldots \,;$

ensuite

$\mathrm {K} _{1}=-2{\frac {{\cfrac {\sigma }{\mu _{1}}}-\pi _{1}}{\chi _{1}}},\quad \mathrm {K} _{2}=-2{\frac {{\cfrac {\sigma }{\mu _{2}}}-\pi _{2}}{\chi _{2}}},\ldots ,$

on aura pour $\mathrm {A_{1},B_{1},C_{1}}$ les mêmes expressions que dans l’Article XCIX, et la valeur de $\sigma$ devra se déterminer au moyen de l’équation $(\mathrm {Z} ).$

2^o Que si l’on suppose, lorsque $t=0,$

$z_{1}=\mathrm {Z} _{1},\quad z_{2}=\mathrm {Z} _{2},\quad z_{3}=\mathrm {Z} _{3},\quad z_{4}=\mathrm {Z} _{4},$

${\frac {dz_{1}}{dt}}=\mathrm {V} _{1},\quad {\frac {dz_{2}}{dt}}=\mathrm {V} _{2},\quad {\frac {dz_{3}}{dt}}=\mathrm {V} _{3},\quad {\frac {dz_{4}}{dt}}=\mathrm {V} _{4}.$

et qu’on fasse

$\chi _{1}=\mathrm {\sqrt {(V_{1}+A_{1}V_{2}+B_{1}V_{3}+C_{1}V_{4})^{2}+(\mu _{1}Z_{1}+A_{1}\mu _{2}Z_{2}+B_{1}\mu _{3}Z_{3}+C_{1}\mu _{4}Z_{4})^{2}}} ,$

$\cot \eta _{1}=\mathrm {\frac {V_{1}+A_{1}V_{2}+B_{1}V_{3}+C_{1}V_{4}}{\mu _{1}Z_{1}+A_{1}\mu _{2}Z_{2}+B_{1}\mu _{3}Z_{3}+C_{1}\mu _{4}Z_{4}}} ,$

ensuite

${\begin{alignedat}{2}\lambda '_{1}\ =&{\frac {\chi '_{1}}{\mu _{1}(1+\alpha _{1}+\beta _{1}+\gamma _{1})}},\qquad &\lambda ''_{1}\,=&{\frac {\alpha _{1}\chi ''_{1}}{\mu _{1}(1+\alpha _{1}+\beta _{1}+\gamma _{1})}},\\\lambda '''_{1}=&{\frac {\beta _{1}\chi '''_{1}}{\mu _{1}(1+\alpha _{1}+\beta _{1}+\gamma _{1})}},&\lambda _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&{\frac {\gamma _{1}\chi _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}{\mu _{1}(1+\alpha _{1}+\beta _{1}+\gamma _{1})}},\end{alignedat}}$

les quantités $\alpha _{1},\beta _{1},\gamma _{1}$ étant déterminées par les équations $(\delta )$ de l’Article CIV, on aura

${\begin{aligned}z_{1}&=\lambda _{1}'\sin \left[\left(\mu _{1}+{\frac {n}{2}}\sigma '\ \,\right)t+\eta '_{1}\ \right]+\lambda ''_{1}\,\sin \left[\left(\mu _{1}+{\frac {n}{2}}\sigma ''\,\right)t+\eta ''_{1}\,\right]\\&+\lambda _{1}'''\sin \left[\left(\mu _{1}+{\frac {n}{2}}\sigma '''\right)t+\eta '''_{1}\right]+\lambda _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\sin \left[\left(\mu _{1}+{\frac {n}{2}}\sigma ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)t+\eta _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right],\end{aligned}}$

et ainsi des autres quantités $z_{2},z_{3},z_{4},\ldots .$

CXI.

Cette expression de $z_{1}$ est composée, comme l’on voit, de quatre termes, chacun analogue à l’expression de $z_{1},$ trouvée dans l’Article XL, laquelle donne un plan mobile dont l’inclinaison est constante ; donc, pour trouver la position de l’orbite d’un satellite quelconque, il n’y aura qu’à imaginer quatre plans passant par le centre de Jupiter, dont le premier se meuve sur celui de l’orbite de cette Planète, en gardant toujours avec lui la même inclinaison ; le second se meuve de la même manière sur le premier le troisième sur le second, et enfin le quatrième, qui sera celui de l’orbite du satellite, se meuve pareillement sur le troisième. Ainsi les quantités $n\lambda ',n\lambda '',n\lambda ''',n\lambda ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}$ seront les tangentes des inclinaisons du premier plan sur celui de Jupiter, du second sur le premier, du troisième sur le second et du quatrième sur le troisième, et les angles

$\left(\mu +{\frac {n}{2}}\sigma '\right)t+\eta ',\ \ \left(\mu +{\frac {n}{2}}\sigma ''\right)t+\eta '',\ \ \left(\mu +{\frac {n}{2}}\sigma '''\right)t+\eta ''',\ \ \left(\mu +{\frac {n}{2}}\sigma ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)t+\eta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\,;$

seront les distances du satellite aux nœuds du premier plan avec celui de $\mathbb {Z} \!^{\upsilon },$ du second avec le premier, du troisième avec le second et du quatrième avec le troisième ; d’où l’on voit que les nœuds de ces quatre plans rétrograderont pendant une révolution du satellite de

${\frac {n}{2}}{\frac {\sigma '}{\mu }}.360^{\circ },\quad {\frac {n}{2}}{\frac {\sigma ''}{\mu }}.360^{\circ },\quad {\frac {n}{2}}{\frac {\sigma '''}{\mu }}.360^{\circ },\quad {\frac {n}{2}}{\frac {\sigma ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}{\mu }}.360^{\circ }.$

Si l’on voulait connaître directement la position du plan de l’orbite du satellite par rapport à celui de l’orbite de Jupiter, on y parviendrait par la méthode de l’Article III ; car, nommant $n\tau$ la tangente de l’inclinaison et $\psi$ la distance du satellite au nœud ascendant, on aurait

$n\tau ={\sqrt {n^{2}z^{2}+{\frac {n^{2}dz^{2}}{d\varphi ^{2}}}}},\quad \operatorname {tang} \psi ={\frac {nzd\varphi }{ndz}},$

savoir, à cause de $\varphi =\mu t+ny,$

$\tau ={\sqrt {z^{2}+{\frac {dz^{2}}{\mu ^{2}dt^{2}}}}},\quad \operatorname {tang} \psi ={\frac {\mu zdt}{dz}},$

d’où l’on tire, par les logarithmes,

$\psi ={\frac {1}{2{\sqrt {-1}}}}\left[\log \left({\frac {dz}{\mu dt}}+z{\sqrt {-1}}\right)-\log \left({\frac {dz}{\mu dt}}-z{\sqrt {-1}}\right)\right],$

expression dans laquelle les imaginaires se détruiront mutuellement.

mais qu’il sera difficile, peut-être impossible, de réduire à une forme finie. Ainsi je crois qu’il vaudra mieux s’en tenir à la formule de l’Article CIX.

CXII.

Telles sont les premières valeurs des variables $x,y,z$ dans lesquelles on a négligé les quantités de l’ordre de $n.$ Si l’on veut y avoir égard, il n’y a qu’à substituer ces mêmes valeurs dans les équations de l’Article LXXVI, et les intégrer ensuite par la méthode ordinaire (Article XXXIV).

Nous n’entrerons point dans ce détail, qui n’a d’autre difficulté que la longueur du calcul, et qui d’ailleurs ne paraît guère nécessaire dans la Théorie des satellites.

Il y a cependant encore quelques termes des équations $(\mathrm {G} )$ et $(\mathrm {K} )$ de l’Article LXXVI auxquels il ne serait peut-être pas inutile d’avoir égard ; ce sont ceux qui viennent de l’action du Soleil, et qui renferment les quantités $\mathrm {x_{1},y_{1},z_{1}} ,$ multipliées par $\cos 2(m-\mu _{1})t,$ ou par $\sin 2(m-\mu _{1})t\,;$ car, en substituant au lieu de ces quantités leurs valeurs trouvées ci-dessus, on aura, à cause de $m$ très-petit (Article XLVIII), des termes qui augmenteront beaucoup par l’intégration, et qui appartiendront aussi en quelque manière à la première approximation ; je dis en quelque maniére, parce que ces termes, quoique fort augmentés par l’intégration, se trouveront encore assez petits par rapport à ceux que nous avons trouvés jusqu’ici.

En effet les termes dont il s’agit étant tous multipliés par $n\mathrm {K} ={\frac {m^{2}}{\mu ^{2}}}$ (Article XLIX), et devant être divisés par des quantités de l’ordre de $m$ et de $n,$ seront encore après l’intégration de l’ordre de $m$ et par conséquent très-petits. C’est là la raison pour laquelle nous n’avons point eu d’égard à ces sortes de termes dans les calculs précédents ; d’autant plus que notre objet principal est de déterminer les inégalités des satellites causées par leur action mutuelle, conformément au Programme de l’Académie. Je pourrai peut-être dans une autre occasion reprendre plus au long ces recherches.

CXIII.

Remarque I. — Nous avons vu que les quantités $\rho$ et $\sigma$ dépendent de deux équations du quatrième degré (Articles XCIX et CX). Or il peut arriver deux cas qu’il est bon d’examiner. Le premier est celui où ces équations auraient des racines égales ; le second, celui où elles auraient des racines-imaginaires.

Voyons donc ce qu’il faudra faire dans ces deux cas

1^o Supposons que deux quelconques des valeurs de $\rho$ soient égales entre elles, par exemple $\rho ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=\rho '''.$ On fera $\rho ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=\rho '''+i,$ $i$ étant une quantité évanouissante, et l’on aura (Article XCIX)

$\mathrm {A_{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=A'''_{1}F} i,\quad \mathrm {B_{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=B'''_{1}G} i,\quad \mathrm {C_{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=C'''_{1}H} i,$

$\mathrm {F,G,H}$ étant les coefficients de $d\rho '''$ dans les différentielles de $\mathrm {A'''_{1},B'''_{1},C'''_{1}} .$

Donc les équations $(\delta )$ de l’Article CIV deviendront, en faisant $\beta _{1}+\gamma _{1}=b$ et $\gamma _{1}i=c,$

${\begin{aligned}\mathrm {A} '_{1}+a\mathrm {A} ''_{1}+b\mathrm {A} '''_{1}+c\mathrm {F} =&0,\\\mathrm {B} '_{1}+a\mathrm {B} ''_{1}+b\mathrm {B} '''_{1}+c\mathrm {G} =&0,\\\mathrm {C} '_{1}+a\mathrm {C} ''_{1}+b\mathrm {C} '''_{1}+c\mathrm {H} =&0,\end{aligned}}$

d’où l’on tirera $\alpha _{1},b$ et $c.$

On aura de même (Article CIV)

$\delta _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=\delta '''_{1}+\Delta i\quad {\text{et}}\quad \omega _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=\omega '''_{1}+\Omega i,$

$\Delta$ et $\Omega$ étant pareillement les coefficients de $d\rho _{3}$ dans la différentiation de $\delta '''_{1}$ et $\omega '''_{1}.$

Donc

${\begin{aligned}\cos &\left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)t+\omega _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right]\\&=\cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho '''\right)t+\omega '''_{1}\right]+i\left({\frac {n}{2}}t-\Omega \right)\sin \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho '''\right)t+\omega '''_{1}\right].\end{aligned}}$

Donc les termes

$\varepsilon '''_{1}\cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho '''\right)t+\omega '''_{1}\right]+\varepsilon _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)t+\omega _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right]$

de la valeur de $\mathrm {x} _{1}$ (Article CIV) se changeront en

$\left(\varepsilon '''_{1}+\varepsilon _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)\cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho '''\right)t+\omega '''_{1}\right]$

$+\varepsilon _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}i\left({\frac {n}{2}}t-\Omega \right)\sin \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho '''\right)t+\omega '''_{1}\right].$

Or

${\begin{aligned}\varepsilon '''_{1}+\varepsilon _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&{\frac {(\beta _{1}+\gamma _{1})\delta '''_{1}+\Delta \gamma _{1}i}{\mu _{1}(1+\alpha _{1}+\beta _{1}+\gamma _{1})}}={\frac {b\delta '''_{1}+c\Delta }{\mu _{1}(1+\alpha _{1}+b)}},\\\varepsilon _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}i=&{\frac {\delta _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\gamma _{1}i}{\mu _{1}(1+\alpha _{1}+\beta _{1}+\gamma _{1})}}={\frac {c\delta '''_{1}}{\mu _{1}(1+\alpha _{1}+b)}}.\end{aligned}}$

Donc la valeur de $x_{1}$ deviendra

${\begin{aligned}\mathrm {x} _{1}=&\varepsilon '_{1}\cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho '\right)t+\omega '_{1}\right]+\varepsilon ''_{1}\cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho ''\right)t+\omega ''_{1}\right]\\&+{\frac {b\delta '''_{1}+c\Delta }{\mu _{1}(1+\alpha _{1}+b)}}\cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho '''\right)t+\omega '''_{1}\right]\\&+{\frac {c\delta '''_{1}}{\mu _{1}(1+\alpha _{1}+b)}}\left({\frac {n}{2}}t-\Omega \right)\sin \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho '''\right)t+\omega '''_{1}\right].\end{aligned}}$

Par conséquent celle de $\mathrm {y} _{1}$ sera (Article CVII), en négligeant les termes de l’ordre de $n,$

${\begin{aligned}\mathrm {y} _{1}=&-2\varepsilon '_{1}\sin \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho '\right)t+\omega '_{1}\right]-2\varepsilon ''_{1}\sin \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho ''\right)t+\omega ''_{1}\right]\\&-2{\frac {b\delta '''_{1}+c\Delta }{\mu _{1}(1+\alpha _{1}+b)}}\sin \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho '''\right)t+\omega '''_{1}\right]\\&-2{\frac {c\delta '''_{1}}{\mu _{1}(1+\alpha _{1}+b)}}\left({\frac {n}{2}}t-\Omega \right)\cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho '''\right)t+\omega '''_{1}\right].\end{aligned}}$

De là on voit que les valeurs de $\mathrm {x} _{1}$ et de $\mathrm {y} _{1}$ contiendront dans ce cas un terme multiplié par l’angle $t,$ lequel donnera par conséquent une équation dont la valeur ira toujours en augmentant.

On résoudra de la même manière le cas de trois racines égales, et l’on trouvera pour lors dans les valeurs de $\mathrm {x} _{1}$ et de $\mathrm {y} _{1}$ des termes qui contiendront l’angle $t$ avec son carré $t^{2}\,;$ et ainsi de suite, s’il y avait quatre racines égales.

2^o Soient maintenant $\rho '''$ et $\rho ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}$ imaginaires ; on les mettra d’abord (ce qui est toujours possible comme on sait) sous cette forme

$\rho '''=p+q{\sqrt {-1}},\quad \rho ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=p-q{\sqrt {-1}},$

$p$ et $q$ étant des quantités réelles ; moyennant quoi les quantités $\mathrm {A'''_{1},B'''_{1}} ,$ $\mathrm {C'''_{1},A_{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},B_{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},C_{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}$ se rarnèneront à la forme suivante

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {A} '''_{1}=&\mathrm {P+Q} {\sqrt {-1}},\qquad &\mathrm {A} _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&\mathrm {P-Q} {\sqrt {-1}},\\\mathrm {B} '''_{1}=&\mathrm {R+S} {\sqrt {-1}},\qquad &\mathrm {B} _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&\mathrm {R-S} {\sqrt {-1}},\\\mathrm {C} '''_{1}=&\mathrm {T+V} {\sqrt {-1}},\qquad &\mathrm {C} _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&\mathrm {T-V} {\sqrt {-1}}.\end{alignedat}}$

Faisant, ces substitutions dans les équations $(\delta )$ et supposant $\beta _{1}+\gamma _{1}=2b,$ $\beta _{1}=2c{\sqrt {-1}},$ les imaginaires disparaîtront, de sorte qu’on aura pour $\alpha _{1},b,c$ des valeurs réelles ; donc les quantités $\beta _{1},\gamma _{1}$ seront encore de cette forme

$\beta _{1}=b+c{\sqrt {-1}},\quad \gamma _{1}=b-c{\sqrt {-1}}.$

De plus, on verra par l’Article CII que les quantités $\mathrm {D'''_{1},E'''_{1},D_{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},E_{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}} \,;$ seront aussi de la forme

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {D} '''_{1}=&\mathrm {F+G} {\sqrt {-1}},\qquad &\mathrm {D} _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&\mathrm {F-G} {\sqrt {-1}},\\\mathrm {E} '''_{1}=&f+g{\sqrt {-1}},\qquad &\mathrm {E} _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&f-g{\sqrt {-1}}.\end{alignedat}}$

Donc on aura aussi

${\begin{alignedat}{2}{\frac {\beta _{1}\mathrm {D} '''_{1}}{\mu _{1}(1+\alpha _{1}+\beta _{1}+\gamma _{1})}}=&\mathrm {H+L} {\sqrt {-1}},\quad &{\frac {\gamma _{1}\mathrm {D} _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}{\mu _{1}(1+\alpha _{1}+\beta _{1}+\gamma _{1})}}=&\mathrm {H-L} {\sqrt {-1}},\\{\frac {\beta _{1}\mathrm {E} '''_{1}}{\mu _{1}(1+\alpha _{1}+\beta _{1}+\gamma _{1})}}=&h+l{\sqrt {-1}},&{\frac {\gamma _{1}\mathrm {E} _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}{\mu _{1}(1+\alpha _{1}+\beta _{1}+\gamma _{1})}}=&h-l{\sqrt {-1}}.\end{alignedat}}$

Or

${\begin{aligned}\sin &\left[\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\left(p\pm q{\sqrt {-1}}\right)\right]t\\&=\sin \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}p\right)t\times \cos {\frac {n}{2}}qt{\sqrt {-1}}\mp \cos \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}p\right)t\times \sin {\frac {n}{2}}qt{\sqrt {-1}},\end{aligned}}$

et de même

${\begin{aligned}\cos &\left[\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\left(p\pm q{\sqrt {-1}}\right)\right]t\\&=\cos \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}p\right)t\times \cos {\frac {n}{2}}qt{\sqrt {-1}}\pm \sin \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}p\right)t\times \sin {\frac {n}{2}}qt{\sqrt {-1}}.\end{aligned}}$

Donc les termes

${\begin{alignedat}{2}{\frac {\beta _{1}\mathrm {D} '''_{1}}{\mu _{1}(1+\alpha _{1}+\beta _{1}+\gamma _{1})}}\sin \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho '''\right)t&-{\frac {\beta _{1}\mathrm {E} '''_{1}}{\mu _{1}(1+\alpha _{1}+\beta _{1}+\gamma _{1})}}\cos \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho '''\right)t\\{\frac {\gamma _{1}\mathrm {D} _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}{\mu _{1}(1+\alpha _{1}+\beta _{1}+\gamma _{1})}}\sin \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)t&-{\frac {\gamma _{1}\mathrm {E} _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}{\mu _{1}(1+\alpha _{1}+\beta _{1}+\gamma _{1})}}\cos \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)t\end{alignedat}}$

de la valeur de $\mathrm {x} _{1}$ (Article CIV) se changeront en

${\begin{aligned}2&\left[\mathrm {H} \sin \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}p\right)t-h\cos \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}p\right)t\right]\cos {\frac {n}{2}}qt{\sqrt {-1}}\\-2&\left[\mathrm {L} \cos \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}p\right)t+l\sin \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}p\right)t\right]\sin {\frac {n}{2}}qt{\sqrt {-1}}\times {\sqrt {-1}},\end{aligned}}$

c’est-à-dire, en mettant au lieu de $\cos {\frac {n}{2}}qt{\sqrt {-1}}$ et $\sin {\frac {n}{2}}qt{\sqrt {-1}}$ leurs valeurs exponentielles ${\frac {e^{-{\frac {n}{2}}qt}+e^{{\frac {n}{2}}qt}}{2}},\ {\frac {e^{-{\frac {n}{2}}qt}-e^{{\frac {n}{2}}qt}}{2}},$

${\begin{aligned}e^{-{\frac {n}{2}}qt}&\left[(\mathrm {H} -l)\sin \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}p\right)t+(\mathrm {L} +h))\cos \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}p\right)t\right]\\+e^{-qt}&\left[(\mathrm {H} +l)\sin \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}p\right)t-(\mathrm {L} -h))\cos \left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}p\right)t\right],\end{aligned}}$

expressions qui peuvent encore se changer en celles-ci

${\overset {\smile }{\varepsilon }}e^{{\frac {n}{2}}qt}\cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}p\right)t+{\overset {\smile }{\omega }}\right]+{\overset {\frown }{\varepsilon }}e^{-{\frac {n}{2}}qt}\cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}p\right)t+{\overset {\frown }{\omega }}\right],$

en faisant

$\mathrm {H} -l=-{\overset {\smile }{\varepsilon }}\sin {\overset {\smile }{\omega }},\quad \mathrm {L} +h={\overset {\smile }{\varepsilon }}\cos {\overset {\smile }{\omega }},$

$\mathrm {H} +l=-{\overset {\frown }{\varepsilon }}\sin {\overset {\frown }{\omega }},\quad h-\mathrm {L} ={\overset {\frown }{\varepsilon }}\cos {\overset {\frown }{\omega }}.$

On mettra donc ces termes au lieu des termes

$\varepsilon '''_{1}\cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho '''\right)t+\omega '''_{1}\right]+\varepsilon _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)t+\omega _{1}^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right]$

de la valeur de $x_{1}$ de l’Article CIV, et l’on aura

${\begin{aligned}\mathrm {x} _{1}=&\varepsilon '_{1}\cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho '\right)t+\omega '_{1}\right]+\varepsilon ''_{1}\cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho ''\right)t+\omega ''_{1}\right]\\\\&+{\overset {\smile }{\varepsilon }}e^{{\frac {n}{2}}qt}\cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}p\right)t+{\overset {\smile }{\omega }}\right]+{\overset {\frown }{\varepsilon }}e^{-{\frac {n}{2}}qt}\cos \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}p\right)t+{\overset {\frown }{\omega }}\right],\end{aligned}}$

d’où l’on tire (Article XC)

${\begin{aligned}\mathrm {y} _{1}=&-2\varepsilon '_{1}\sin \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho '\right)t+\omega '_{1}\right]-2\varepsilon ''_{1}\sin \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}\rho ''\right)t+\omega ''_{1}\right]\\\\&-2{\overset {\smile }{\varepsilon }}e^{{\frac {n}{2}}qt}\sin \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}p\right)t+{\overset {\smile }{\omega }}\right]-2{\overset {\frown }{\varepsilon }}e^{-{\frac {n}{2}}qt}\sin \left[\left(\mu _{1}-{\frac {n}{2}}p\right)t+{\overset {\frown }{\omega }}\right].\end{aligned}}$

Ainsi, dans ce cas, les valeurs de $\mathrm {x}$ et de $\mathrm {y}$ contiendront deux termes, l’un multiplié par $e^{{\frac {n}{2}}qt},$ et l’autre par $e^{-{\frac {n}{2}}qt},$ lesquels donneront dans le mouvement des satellites deux équations, dont l’une ira toujours en augmentant et l’autre ira en diminuant.

Si les valeurs de $\rho$ étaient toutes quatre imaginaires, on ferait sur les deux premiers termes de l’expression de $\mathrm {x}$ (Article CIII) les mêmes raisonnements et les mêmes réductions que nous venons de faire sur les deux autres.

On en dira autant des valeurs de $z,$ lesquelles sont entièrement analogues à celles de $\mathrm {x}$ (Article CIX) ; de sorte que, si l’équation en avait des racines égales ou imaginaires, les latitudes des satellites se trouveraient sujettes à des variations qui augmenteraient de plus en plus.

CXIV.

Remarque II. — À l’égard des quantités $\varepsilon _{1}',\varepsilon _{1}'',\ldots ,\ \omega _{1}',\omega _{1}'',\ldots ,$ $\varepsilon _{2}',\varepsilon _{2}'',\ldots ,$ il faudra les déterminer par le moyen des observations ; mais il y a là-dessus une remarque importante à faire c’est que, comme il n’y a proprement que les huit quantités $\mathrm {X_{1},Y_{1},X_{2},Y_{2},X_{3},Y_{3}} ,$ $\mathrm {X_{4},Y_{4}} ,$ qui soient absolument arbitraires (Article CII), et que les quantités dont nous parlons sont au nombre de $32,$ on aura $24$ conditions à vérifier.

Il en est de même des quantités $\lambda _{1}',\lambda _{1}'',\ldots ,\ \eta _{1}',\eta _{1}'',\ldots ,\ \lambda _{2}',\lambda _{2}'',\ldots ,$ $\eta _{2}',\eta _{2}'',\ldots$ (Article CX).

CXV.

Scolie. — Nous avons déjà donné les valeurs de ${\text{ϐ}}_{1},{\text{ϐ}}_{2},{\text{ϐ}}_{3},{\text{ϐ}}_{4}$ (Article LXXXII) aussi bien que celles de $\varpi _{1},\varpi _{2},\varpi _{3},\varpi _{4}$ (Article LXXXVI).

Ainsi, pour avoir les valeurs de $\rho$ et de $\sigma ,$ il ne s’agira plus que de trouver les valeurs numériques des coefficients de l’équation $(\mathrm {Z} )$ (Article XCIX) dans les deux cas (Articles XCVIII, CIX).

Premier Cas.

Suivant les formules de l’Article XCVIII, on a

$(1,2)={\overset {\circ }{\Psi }}(a_{1},a_{2})-\mu _{2}{\overset {\circ }{\Pi }}(a_{1},a_{2})\,;$

donc, faisant les substitutions de l’Article XCI, et mettant partout $\mu _{2}$ au lieu de $\mathrm {M} _{2},$ on aura

${\begin{aligned}(1,2)=&{\breve {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})+2{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})-4{\frac {\mu _{1}}{\mu _{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})\\&-\left(2{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})+4{\frac {\mu _{2}-\mu _{1}}{\mu _{2}}}{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})\right){\frac {\mu _{1}(2\mu _{2}-\mu _{1})}{\mu _{2}^{2}-(\mu _{2}-\mu _{1})^{2}}},\end{aligned}}$

ce qui se réduit à

$(1,2)={\breve {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})+2{\breve {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})-2{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})-4{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2}).$

On trouvera de même

${\begin{aligned}(1,3)=&{\breve {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{3})+2{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3})-2{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{3})-4{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3}),\\(2,1)=&{\breve {\Psi }}_{1}(a_{2},a_{1})+2{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{2},a_{1})-2{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{2},a_{1})-4{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{2},a_{1})\,;\end{aligned}}$

et ainsi des autres.

Or nous avons déjà donné les valeurs des quantités ${\breve {\Gamma }}_{1}$ et ${\widehat {\Gamma }}_{1}$ (Article XLVII) ; il ne reste plus qu’à chercher celles de ${\breve {\Psi }}_{1}$ et de ${\widehat {\Psi }}_{1}.$

Pour cela, il faut auparavant chercher les valeurs des quantités $\Psi ,\Psi _{1}$ et $\Psi _{2}.$ Or, en faisant $q={\frac {a_{1}}{a_{2}}},$ on trouve (Article XXII), à cause de $\Lambda (a_{1},a_{2})=a_{2}^{-5}(\mathrm {A} ),$ $\Lambda _{1}(a_{1},a_{2})=a_{2}^{-5}(\mathrm {B} ),\ldots$ (Article LXXX),

${\begin{aligned}\Psi \ (a_{1},a_{2})=&{\frac {q(\mathrm {B} )-2(\mathrm {A} )}{2a_{2}^{3}}},\\\Psi _{1}(a_{1},a_{2})=&{\frac {q(\mathrm {C} )-2(\mathrm {B} )+2q(\mathrm {A} )}{2a_{2}^{3}}},\\\Psi _{2}(a_{1},a_{2})=&{\frac {q(\mathrm {D} )-2(\mathrm {C} )+q(\mathrm {B} )}{2a_{2}^{3}}},\end{aligned}}$

et de même, à cause de $\Lambda (a_{2},a_{1})=\Lambda (a_{1},a_{2}),\ldots ,$ (Article LXXX),

${\begin{aligned}\Psi \ (a_{2},a_{1})=&{\frac {q(\mathrm {B} )-2q^{2}(\mathrm {A} )}{2a_{2}^{3}}},\\\Psi _{1}(a_{2},a_{1})=&{\frac {q(\mathrm {C} )-2q^{2}(\mathrm {B} )+2q(\mathrm {A} )}{2a_{2}^{3}}},\\\Psi _{2}(a_{2},a_{1})=&{\frac {q(\mathrm {D} )-2q^{2}(\mathrm {C} )+q(\mathrm {B} )}{2a_{2}^{3}}},\end{aligned}}$

Donc (Article LXXX)

${\begin{alignedat}{2}\Psi (a_{1},a_{2})=\Pi (a_{2},a_{1}),\qquad &\Psi _{1}(a_{1},a_{2})=\Pi _{1}(a_{2},a_{1}),\ldots ,\\\Psi (a_{2},a_{1})=\Pi (a_{1},a_{2}),\qquad &\Psi _{1}(a_{2},a_{1})=\Pi _{1}(a_{1},a_{2}),\ldots ,\end{alignedat}}$

c’est-à-dire, que les quantités $\Psi$ sont les réciproques des quantités $\Pi .$

On aura donc (Article XXIV)

${\breve {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})=3{\frac {q^{2}\mathrm {Q} _{2}-2q^{3}\mathrm {Q} _{1}+2q^{2}\mathrm {Q} }{2}}+{\frac {q^{2}\mathrm {C} +2q^{2}\mathrm {A} }{2}}+2q^{2},$

expression qui servira aussi pour les quantités analogues ${\breve {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{3}),$ ${\breve {\Psi }}_{1}(a_{2},a_{3}),\ldots ,$ en faisant successivement

$q={\frac {a_{1}}{a_{3}}},\quad q={\frac {a_{2}}{a_{3}}},\ldots .$

Ensuite on aura, pour les quantités réciproques,

${\breve {\Psi }}_{1}(a_{2},a_{1})=3{\frac {q\mathrm {P} _{2}-2\mathrm {P} _{1}+2q\mathrm {P} }{2}}+{\frac {q\mathrm {C} +2q\mathrm {A} }{2}}+{\frac {2}{q^{2}}}\,;$

et ainsi des autres.

Pareillement on trouvera (Article XXV)

${\begin{aligned}{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{1},a_{2})=&3{\frac {q^{2}\mathrm {Q} _{2}-2q^{2}\mathrm {Q} }{2}}+{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2})-3q^{2},\\{\widehat {\Psi }}_{1}(a_{2},a_{1})=&3{\frac {q\mathrm {Q} _{2}-2q\mathrm {Q} }{2}}+{\widehat {\Gamma }}_{1}(a_{2},a_{1})-{\frac {3}{q^{2}}}\,;\end{aligned}}$

et ainsi des autres.

De là on tire, en employant les valeurs de la Table de l’Article LXXXI

${\begin{array}{|c|r|r|r|r|r|r|}\hline &(a_{1},a_{2})&(a_{1},a_{3})&(a_{1},a_{4})&(a_{2},a_{3})&(a_{2},a_{4})&(a_{3},a_{4})\\\hline \ {\breve {\Psi }}_{1}&-1{,}708&-0{,}181&-0{,}008&-1{,}733&-0{,}132&-0{,}887\\\hline \ {\widehat {\Psi }}_{1}&0{,}366&0{,}068&0{,}003&0{,}153&0{,}036&0{,}214\\\hline &(a_{2},a_{1})&(a_{3},a_{1})&(a_{4},a_{1})&(a_{3},a_{2})&(a_{4},a_{2})&(a_{4},a_{3})\\\hline \ {\breve {\Psi }}_{1}&1{,}203&11{,}699&29{,}330&1{,}580&14{,}871&3{,}489\\\hline \ {\widehat {\Psi }}_{1}&-6{,}181&-13{,}371&-40{,}052&-6{,}500&-16{,}188&-7{,}089\\\hline \end{array}}$

ensuite

${\begin{array}{|r|r|r|r|r|r|}\hline (1,2)&(1,3)&(1,4)&(2,3)&(2,4)&(3,4)\\\hline -1{,}578&-0{,}213&-0{,}004&-1{,}155&-0{,}162&-0{,}765\\\hline (2,1)&(3,1)&(4,1)&(3,2)&(4,2)&(4,3)\\\hline -2{,}365&-0{,}363&-10{,}040&-1{,}414&-0{,}289&-1{,}331\\\hline \end{array}}$

Donc l’équation (Z) de l’Article XCIX deviendra

${\begin{aligned}(\varepsilon )\quad &\mathrm {K_{1}K_{2}K_{3}K_{4}-2{,}532K_{1}K_{2}-0{,}468K_{1}K_{3}-1{,}633K_{1}K_{4}} \\&\quad -\mathrm {0{,}040K_{2}K_{3}-0{,}077K_{2}K_{4}-3{,}732K_{3}K_{4}} \\&\quad +\mathrm {1{,}013K_{1}+1{,}641K_{2}+2{,}593K_{3}+1{,}373K_{4}-5{,}599} =0,\end{aligned}}$

où il n’y aura plus qu’à substituer au lieu de $\mathrm {K_{1},K_{2},K_{3},K_{4}}$ leurs valeurs

$2{\frac {{\cfrac {\rho }{\mu _{1}}}-{\text{ϐ}}_{1}}{\chi _{1}}},\quad 2{\frac {{\cfrac {\rho }{\mu _{2}}}-{\text{ϐ}}_{2}}{\chi _{2}}},\quad 2{\frac {{\cfrac {\rho }{\mu _{3}}}-{\text{ϐ}}_{3}}{\chi _{3}}},\quad 2{\frac {{\cfrac {\rho }{\mu _{4}}}-{\text{ϐ}}_{4}}{\chi _{4}}}.$

Second Cas.

On aura ici (Article CX)

$(1,2)={\overset {\circ }{\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{2}),\quad (1,3)={\overset {\circ }{\Gamma }}_{1}(a_{1},a_{3}),\ldots ,\quad (2,1)={\overset {\circ }{\Gamma }}_{1}(a_{2},a_{1}),\ldots .$

Donc, faisant successivement $q={\frac {a_{1}}{a_{2}}},\ q={\frac {a_{1}}{a_{3}}},\ldots ,$ on aura (Articles XXXII et XLIII)

$(1,2)=q^{2}\mathrm {B} ,\quad (1,3)=q^{2}\mathrm {B} ,\ldots \,;$

ensuite

$(2,1)=q\mathrm {B} ,\quad (3,1)=q\mathrm {B} ,\ldots .$

Donc, en employant les valeurs de $\mathrm {B}$ données dans l’Article XLVII, on trouvera

${\begin{array}{|r|r|r|r|r|r|}\hline (1,2)&(1,3)&(1,4)&(2,3)&(2,4)&(3,4)\\\hline -1{,}963&-0{,}252&-0{,}037&-1{,}884&-0{,}174&-1{,}151\\\hline (2,1)&(3,1)&(4,1)&(3,2)&(4,2)&(4,3)\\\hline -3{,}116&-0{,}640&-0{,}166&-3{,}011&-0{,}489&-2{,}025\\\hline \end{array}}$

et, l’équation $(\mathrm {Z} )$ se changera en celle-ci

${\begin{aligned}(\zeta )\quad &\mathrm {K_{1}K_{2}K_{3}K_{4}-2{,}331K_{1}K_{2}-0{,}085K_{1}K_{3}-5{,}675K_{1}K_{4}} \\&\quad -\mathrm {0{,}006K_{2}K_{3}-0{,}161K_{2}K_{4}-6{,}120K_{3}K_{4}} \\&\quad +\mathrm {2{,}124K_{1}+0{,}096K_{2}+0{,}114K_{3}+4{,}738K_{4}+11{,}972} =0,\end{aligned}}$

dans laquelle

$\mathrm {K} _{1}=2{\frac {{\cfrac {\sigma }{\mu _{1}}}-\pi _{1}}{\chi _{1}}},\ \ \mathrm {K} _{2}=2{\frac {{\cfrac {\sigma }{\mu _{2}}}-\pi _{2}}{\chi _{2}}},\ \ \mathrm {K} _{3}=2{\frac {{\cfrac {\sigma }{\mu _{3}}}-\pi _{3}}{\chi _{3}}},\ \ \mathrm {K} _{4}=2{\frac {{\cfrac {\sigma }{\mu _{4}}}-\pi _{4}}{\chi _{4}}}.$

Il resterait maintenant à tirer de ces équations les valeurs de $\rho$ et $\sigma ,$ d’où dépendent les principales inégalités de l’équation du centre et de la latitude des satellites de Jupiter ; mais comme nous touchons au terme fixé par l’Académie pour l’admission des Pièces, nous nous contenterons ici d’avoir donné la méthode et les principes nécessaires pour déterminer ces sortes d’inégalités, et nous remettrons ce travail à un autre temps, où nous nous proposons de suivre et de discuter avec attention ces points importants de la Théorie des satellites.

§ IV. — Sur les inégalités des satellites de Jupiter qui dépendent
de la période de 12 ans.

CXVI.

Les Tables du premier et du second satellite ne renferment que les équations qui dépendent de l’anomalie de Jupiter avec celles qui dépendent de la période de $437$ jours dont nous avons parlé au long dans le § V du Chapitre précédent ; cependant, il est facile de se convaincre, et M. Wargentin l’avoue lui-même dans les dissertations qu’il a mises à la tête des observations de ces deux satellites (Mémoires de la Société d’Upsal, années 1742 et 1743), que les équations attribuées à l’inégalité du mouvement de Jupiter ne s’accordent pas entièrement avec l’équation du centre de cette Planète ; d’où il s’ensuit qu’il doit y avoir dans le mouvement de ces deux satellites des inégalités particulières qui, ayant des périodes à très-peu près égales à la révolution de Jupiter, se trouvent pour ainsi dire fondues dans la grande inégalité qui vient de l’excentricité de cette Planète ; c’est ce que la Théorie confirme d’ailleurs, car on a vu que les équations du centre des satellites (Article CVII) doivent renfermer quatre termes tels que

$2n\varepsilon \sin \left[\left(\mu -{\frac {n}{2}}\rho \right)t+\omega \right]\,;$

or, dans le temps des éclipses, on a $u-v=180^{\circ }$ à très-peu près (Article LII) ; donc $u=\mu t=180^{\circ }+v,$ donc

${\begin{aligned}\sin \left[\left(\mu -{\frac {n}{2}}\rho \right)t+\omega \right]=&\sin \left[\left(1-{\frac {n\rho }{2\mu }}\right)(180^{\circ }+v)+\omega \right]\\=&-\sin \left[\left(1-{\frac {n\rho }{2\mu }}\right)v+\omega -{\frac {n\rho }{2\mu }}180^{\circ }\right]\,;\end{aligned}}$

d’où l’on voit que les équations provenant de ces termes auront des périodes égales à la révolution de Jupiter, plus à ${\frac {n\rho }{2\mu }}$ de cette révolution.

Au reste on ne doit pas se flatter de pouvoir jamais déterminer ces sortes d’inégalités par la simple Théorie ; car les valeurs de $\rho$ (Article CXV) dépendent des quantités $\chi ,$ c’est-à-dire des masses des satellites, dont la plupart sont encore inconnues. Ainsi, ce n’est que par des observations multipliées et réitérées qu’on peut espérer de perfectionner à cet égard la Théorie des deux premiers satellites.

CXVII.

On a aperçu de pareilles inégalités dans le mouvement du troisième et du quatrième satellite ; ce sont celles qui, dans les Tables de M. Wargentin, répondent aux arguments $\mathrm {E}$ et $\mathrm {G} .$

En consultant ces Tables (voyez les Tables des satellites imprimées parmi celles des Planètes de M. Halley), on trouve 1^o que le nombre $\mathrm {E}$ achève huit périodes exactes dans l’intervalle de cent années juliennes, d’où il s’ensuit que chaque période est de douze ans et demi ; 2^o que dans le même espace de temps le nombre $\mathrm {G}$ achève $8{\tfrac {244}{1000}}$ périodes, ce qui donne $12^{\text{ans}},130$ pour la durée de chaque période ; mais ce dernier élément a été réformé dans les nouvelles Tables du quatrième satellite imprimées à la fin de la Connaissance des Mouvements célestes pour l’année prochaine suivant ces Tables, le nombre $\mathrm {C} ,$ qui fait ici le même effet que le nombre $\mathrm {G}$ dans les premières, achève $8{\tfrac {264}{1000}}$ périodes en cent années juliennes ; d’où l’on tire pour la durée de chaque période $12^{\text{ans}},115$ environ.

Or, si l’on imagine que chacune de ces deux équations soit représentée par un seul terme tel que

$\sin \left[\left(1-{\frac {n\rho }{2\mu }}v+\omega -{\frac {n\rho }{2\mu }}\right)180^{\circ }\right],$

(c’est le cas où l’orbite serait une ellipse mobile), on trouvera aisément que la quantité ${\frac {n\rho }{2\mu }}$ sera, pour le troisième satellite, $={\frac {377}{4332}}=0{,}0870,$ et, pour le quatrième, $={\frac {103}{4332}}=0{,}0237.$ On pourrait trouver de même

les valeurs des quantités $\omega$ qui dépendent des époques des arguments $\mathrm {E}$ et $\mathrm {C} ,$ aussi bien que les coefficients

n\varepsilon qui expriment les plus grandes équations ; mais, pour que toutes ces déterminations fussent exactes, il faudrait que les autres termes qui doivent entrer dans les équations du centre fussent nuls à la fois, ce qui paraît assez difficile ; d’ailleurs les incertitudes et les variétés qu’on trouve lorsqu’on compare les observations de ces deux satellites, et qu’on veut fixer les quantités et les périodes des équations dont nous parlons, donnent tout lieu de croire que ces équations sont plutôt des résultats de différentes équations particulières qui, ayant à peu près les mêmes périodes, se confondent ensemble, comme nous l’avons déjà observé par rapport aux deux premiers satellites.

CXVIII.

Je finirai ces remarques par donner un léger essai de calcul sur les valeurs des quantités $\rho ,$ et, pour plus de simplicité, je supposerai que les masses du premier et du quatrième satellite soient considérablement plus petites que celles du second et du troisième ; hypothèse qui n’a d’ailleurs rien de choquant.

Donc, puisque $\chi _{1}$ et $\chi _{4}$ sont des quantités fort petites, $\mathrm {K} _{1}$ et $\mathrm {K} _{4}$ seront fort grandes, par conséquent l’équation $(\varepsilon )$ de l’Article CXV se réduira à très-peu près à celle-ci

$\mathrm {K_{1}K_{2}K_{3}K_{4}-1{,}633K_{4}} =0,$

d’où l’on tire

$\mathrm {K} _{1}=0,\quad {\text{ou bien}}\quad \mathrm {K} _{4}=0,\quad {\text{ou bien}}\quad \mathrm {K_{2}K_{3}} -1{,}633=0.$

On aura de plus par les formules de l’Article LXXXVI en mettant $n\chi _{1},n\chi _{2},\ldots$ au lieu de ${\frac {{\mathfrak {S}}_{1}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}},{\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}},\ldots ,$ et ne conservant que les termes qui renferment $\chi _{2}$ et $\chi _{3},$ on aura, dis-je,

${\text{ϐ}}_{1}=0{,}982\chi _{2}+0{,}124\chi _{3},\quad {\text{ϐ}}_{2}=60{,}40\chi _{3},\quad {\text{ϐ}}_{3}=1{,}467\chi _{2},$

${\text{ϐ}}_{4}=0{,}260\chi _{2}+1{,}139\chi _{3}.$

Donc, puisque

$\mathrm {K} _{1}=2{\frac {{\cfrac {\rho }{\mu _{1}}}-{\text{ϐ}}_{1}}{\chi _{1}}},\quad \mathrm {K} _{2}=2{\frac {{\cfrac {\rho }{\mu _{2}}}-{\text{ϐ}}_{2}}{\chi _{2}}},\ldots ,$

on a, pour les quatre valeurs de $\rho ,$ les équations suivantes

${\begin{aligned}&{\cfrac {\rho }{\mu _{1}}}-0{,}982\chi _{2}-0{,}124\chi _{3}=0,\\&{\cfrac {\rho }{\mu _{4}}}-0{,}260\chi _{2}-1{,}139\chi _{3}=0,\\&{\frac {{\cfrac {\rho }{\mu _{2}}}-0{,}940\chi _{2}}{\chi _{2}}}\times {\frac {{\cfrac {\rho }{\mu _{3}}}-1{,}467\chi _{3}}{\chi _{3}}}-0{,}408=0,\end{aligned}}$

d’où l’on tire à peu près

$\rho =0{,}731\mu _{3}\chi _{3}+0{,}470\chi _{3}\pm {\sqrt {\left(0,731\mu _{3}\chi _{2}+0{,}470\mu _{3}\chi _{3}\right)^{2}+0{,}408\mu _{2}\mu _{3}\chi _{2}\chi _{3}}}.$

Ainsi l’on aura les quatre valeurs de $\rho ,$ qui donneront pour chaque satellite quatre équations, dont les périodes seront de $1+{\frac {n\rho }{2\mu }}$ révolutions de Jupiter.

§ V. — Des durées des éclipses des satellites de Jupiter,.

CXIX.

La durée d’une éclipse dépend de quatre éléments de la largeur de l’ombre de Jupiter, de la vitesse du satellite, de sa latitude, et de l’inclinaison de sa route, laquelle peut être prise pour rectiligne pendant tout le temps de l’éclipse.

Soit donc $\alpha$ l’angle que le demi-diamètre de la section de l’ombre soustend au centre de Jupiter ; cet angle est donné par les observations pour chacun des quatre satellites.

Supposons de plus que $\varphi$ dénote la longitude du satellite, et $p$ la tangente de sa latitude, au moment de la conjonction

Enfin soit $\varphi -\psi$ la longitude du satellite au moment de son entrée dans l’ombre ; de sorte que $\psi$ exprime l’angle qu’il parcourt sur le plan de Jupiter depuis l’immersion jusqu’à la conjonction.

On aura, pour la valeur de $p$ qui y répond, $p-{\frac {dp}{d\varphi }}\psi$ à peu près.

Cela posé, supposons, pour plus d’exactitude, que la section de l’ombre soit une ellipse semblable à celle des méridiens de Jupiter ; il est visible qu’on aura

Demi-grand axe de l’ellipse $\,\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ \quad \nu \alpha ,$

Demi-petit axe ($\mathrm {E}$ étant l’ellipticité comme dans l’Article XVI).$\,\quad \nu \alpha (1-\mathrm {E} )$

Abscisse prise depuis le centre $\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \quad \nu \psi ,$

Appliquée correspondante $\ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \quad \nu \left(p-{\frac {dp}{d\varphi }}\psi \right).$

Donc, par la nature de l’ellipse,

$\alpha ^{2}-\psi ^{2}:\left(p-{\frac {dp}{d\varphi }}\psi \right)^{2}=1:(1-\mathrm {E} )^{2},$

équation d’où l’on tirera $\psi .$

On aura donc

$\alpha ^{2}(1-\mathrm {E} )^{2}-\psi ^{2}(1-\mathrm {E} )^{2}=p^{2}-2{\frac {pdp}{d\varphi }}\psi +{\frac {dp^{2}}{d\varphi ^{2}}}\psi ^{2}\,;$

d’où l’on tire, après les réductions,

$\psi ={\frac {{\cfrac {pdp}{d\varphi }}\pm (1-\mathrm {E} ){\sqrt {\alpha ^{2}\left[(1-\mathrm {E} )^{2}+{\cfrac {dp^{2}}{d\varphi ^{2}}}\right]-p^{2}}}}{(1-\mathrm {E} )^{2}+{\cfrac {dp^{2}}{d\varphi ^{2}}}}}.$

Le signe $+$ donne la valeur $\psi$ pour l’immersion, comme nous l’avons supposé, et le signe $-$ donne au contraire la valeur de $\psi$our l’émersion.

CXX.

Substituons maintenant $\mu t+ny$ au lieu de $\varphi ,$ $nz$ au lieu de $p,$ et de même $n\delta$ au lieu de $\alpha$ (car il est évident que la quantité $\alpha$ doit être du même ordre que la quantités $p$) ; on aura, en ne négligeant que les termes affectés de $n^{3},$

$\psi =\pm {\frac {n}{1-\mathrm {E} }}{\sqrt {\delta ^{2}(1-\mathrm {E} )^{2}-z^{2}}}+{\frac {n^{2}}{(1-\mathrm {E} )^{2}}}{\frac {zdz}{\mu dt}}.$

CXXI.

Pour convertir cette expression en temps, on la divisera par la vitesse angulaire qui est ${\frac {d\varphi }{dt}}=\mu +n{\frac {dy}{dt}}\,;$ ce qui donnera, en négligeant toujours les $n^{3},$

$\pm {\frac {n}{\mu (1-\mathrm {E} )}}{\sqrt {\delta ^{2}(1-\mathrm {E} )^{2}-z^{2}}}+{\frac {n^{2}}{\mu (1-\mathrm {E} )^{2}}}\left[{\frac {zdz}{\mu dt}}\mp (1-\mathrm {E} ){\frac {dy}{\mu dt}}{\sqrt {\delta ^{2}(1-\mathrm {E} )^{2}-z^{2}}}\right].$

Donc l’intervalle entre l’immersion et la conjonction sera

${\frac {n}{\mu (1-\mathrm {E} )}}{\sqrt {\delta ^{2}(1-\mathrm {E} )^{2}-z^{2}}}+{\frac {n^{2}}{\mu (1-\mathrm {E} )^{2}}}\left[{\frac {zdz}{\mu dt}}-(1-\mathrm {E} ){\frac {dy}{\mu dt}}{\sqrt {\delta ^{2}(1-\mathrm {E} )^{2}-z^{2}}}\right],$

et l’intervalle entre la conjonction et l’émersion sera

${\frac {n}{\mu (1-\mathrm {E} )}}{\sqrt {\delta ^{2}(1-\mathrm {E} )^{2}-z^{2}}}-{\frac {n^{2}}{\mu (1-\mathrm {E} )^{2}}}\left[{\frac {zdz}{\mu dt}}+(1-\mathrm {E} ){\frac {dy}{\mu dt}}{\sqrt {\delta ^{2}(1-\mathrm {E} )^{2}-z^{2}}}\right].$

Par conséquent la demi-durée sera

${\frac {n}{\mu (1-\mathrm {E} )}}{\sqrt {\delta ^{2}(1-\mathrm {E} )^{2}-z^{2}}}-{\frac {n^{2}}{\mu (1-\mathrm {E} )}}{\frac {dy}{\mu dt}}{\sqrt {\delta ^{2}(1-\mathrm {E} )^{2}-z^{2}}}.$

CXXII.

Il paraît que les Astronomes ont toujours supposé jusqu’à présent que les durées des éclipses des satellites étaient les mêmes avant et après la conjonction ; ce qui n’est pas vrai à la rigueur, la différence étant de

${\frac {n^{2}}{\mu (1-\mathrm {E} )^{2}}}{\frac {zdz}{\mu dt}},\quad {\text{c’est-à-dire de}}\quad {\frac {pdp}{\mu ^{2}(1-\mathrm {E} )^{2}dt}}\,;$

d’où l’on voit que ces durées ne peuvent être égales que dans deux cas

1^o lorsque $p=0,$ c’est-à-dire lorsque la latitude du satellite est nulle, et que par conséquent l’éclipse est centrale ; 2^o lorsque $dp=0,$ savoir lorsque la latitude est la plus grande, ou bien que le satellite est dans les limites.

CXXIII.

Supposons maintenant qu’on ait observé la demi-durée d’une éclipse de satellite, laquelle soit de $\Delta$ secondes ; on aura, en remettant pour $n\delta$ et $nz,\alpha$ et $p$,

$\Delta ={\frac {1-n{\cfrac {dy}{\mu dt}}}{\mu (1-\mathrm {E} )}}{\sqrt {\alpha ^{2}(1-\mathrm {E} )^{2}-p^{2}}},$

où il faudra prendre, pour $\mu ,$ $360$ degrés divisés par le temps périodique réduit en secondes ; ou bien on convertira immédiatement la durée $\Delta$ en degrés, et l’on aura simplement

$\Delta ={\frac {1-n{\cfrac {dy}{\mu dt}}}{1-\mathrm {E} }}{\sqrt {\alpha ^{2}(1-\mathrm {E} )^{2}-p^{2}}},$

d’où l’on tire

$p=(1-\mathrm {E} ){\sqrt {\alpha ^{2}-\Delta ^{2}\left(1+2n{\frac {dy}{\mu dt}}\right)}}\,;$

c’est la tangente de la latitude du satellite au moment de la conjonction.

CXXIV.

Ayant ainsi la latitude, et connaissant d’ailleurs le lieu du nœud par les observations des plus grandes durées, on trouvera aisément l’inclinaison de l’orbite ; il n’y aura pour cela qu’à diviser la tangente de la latitude trouvée par le sinus de l’élongation de Jupiter, vu du Soleil, au nœud du satellite ; le quotient sera la tangente de l’inclinaison de l’orbite.

C’est ainsi que tous les Astronomes en ont usé jusqu’ici pour déterminer la position des plans des orbites des satellites.

Mais, si l’on pouvait connaître avec assez de précision par la Théorie le moment de la conjonction, on pourrait trouver immédiatement l’inclinaison de la route du satellite dans l’ombre par les observations des immersions et des émersions ; car nous avons vu que la différence entre les durées avant et après la conjonction doit être

${\frac {pdp}{\mu ^{2}(1-\mathrm {E} )^{2}dt}}\,;$

donc, divisant cette différence par ${\frac {p}{\mu (1-\mathrm {E} )^{2}}},$ on aura

${\frac {dp}{\mu dt}}={\frac {dp}{d\varphi }}$ tangente de l’inclinaison de la route du satellite.

Mais, outre que cette méthode exigerait dans les Tables des satellites un degré de précision dont elles sont encore bien éloignées, elle serait encore le plus souvent impraticable, à cause qu’on ne peut pas toujours observer à la fois les immersions et les émersions.

Je finirai ces recherches par dire un mot des variations qu’on a aperçues jusqu’ici dans les positions des orbites des satellites.

§ VI. Des inclinaisons et des nœuds des satellites..

CXXV.

Le premier satellite est le seul dont l’orbite paraisse à peu près fixe ; son inclinaison est, selon les Tables, de $3^{\circ }18',$ et le lieu du nœud, à $10^{\text{s}},$ $14^{\circ }30'\,;$ du moins les demi-durées observées cadrent assez bien avec ces éléments.

Le nœud du second paraît aussi fixe, mais son inclinaison est sujette à un changement considérable, dont la période est de $31$ ans ; la plus grande inclinaison est de $3^{\circ }47'27'',$ et la plus petite de $2^{\circ }29'2'',$ de sorte que la variation est de $1^{\circ }18'25'',$ ou bien de $39'12'',$ tantôt en plus, tantôt en moins, ce qui fait environ ${\frac {1}{5}}$ de l’inclinaison moyenne.

CXXVI.

Un changement si considérable ne saurait s’expliquer que par les formules de l’Article CIX. En effet, supposons que la valeur de $z''$ ne renferme que deux termes, ou au moins que les deux autres soient assez petits pour pouvoir être négligés, de sorte qu’on ait simplement

$z_{2}=\lambda '_{2}\sin \left[\left(\mu _{2}+{\frac {n}{2}}\sigma '\right)t+\eta '_{2}\right]+\lambda ''_{2}\sin \left[\left(\mu _{2}+{\frac {n}{2}}\sigma ''\right)t+\eta ''_{2}\right].$

On aura, en nommant $n\tau _{2}$ la tangente de l’inclinaison de l’orbite et $\psi _{2}$ la distance du satellite au nœud ascendant (Article CXI),

$\tau _{2}={\sqrt {z_{2}^{2}+{\frac {dz_{2}^{2}}{\mu _{2}^{2}dt^{2}}}}},$

$\operatorname {tang} \psi _{2}={\frac {z_{2}\mu _{2}dt}{dz_{2}}},$

savoir, en négligeant les termes de l’ordre de $n,$

${\begin{aligned}\tau _{2}=&{\sqrt {\lambda _{2}^{'2}+\lambda _{2}^{''2}+2\lambda '_{2}\lambda ''_{2}\cos \left[{\frac {n}{2}}(\sigma '-\sigma '')t+\eta '_{2}-\eta ''_{2}\right]}},\\\operatorname {tang} \psi _{2}=&{\frac {\lambda '_{2}\sin \left[\left(\mu _{2}+{\cfrac {n}{2}}\sigma '\right)t+\eta '_{2}\right]+\lambda ''_{2}\sin \left[\left(\mu _{2}+{\cfrac {n}{2}}\sigma ''\right)t+\eta ''_{2}\right]}{\lambda '_{2}\cos \left[\left(\mu _{2}+{\cfrac {n}{2}}\sigma '\right)t+\eta '_{2}\right]+\lambda ''_{2}\cos \left[\left(\mu _{2}+{\cfrac {n}{2}}\sigma ''\right)t+\eta ''_{2}\right]}}.\end{aligned}}$

Donc la plus grande valeur de $\tau _{2}$ sera $=\lambda '_{2}+\lambda ''_{2},$ et la plus petite $=\lambda '_{2}-\lambda ''_{2}\,;$ donc

$n(\lambda '_{2}+\lambda ''_{2})=\operatorname {tang} 3^{\circ }47'27''\quad {\text{et}}\quad n(\lambda '_{2}-\lambda ''_{2})=\operatorname {tang} 2^{\circ }29'2''\,;$

par conséquent

${\frac {\lambda '_{2}+\lambda ''_{2}}{\lambda '_{2}-\lambda ''_{2}}}={\frac {\operatorname {tang} 3^{\circ }47'27''}{\operatorname {tang} 2^{\circ }29'2''}}=1{,}527\,;$

d’où lon tire

${\frac {\lambda ''_{2}}{\lambda '_{2}}}={\frac {0{,}527}{2{,}527}}=0{,}208=$ environ ${\frac {1}{5}}.$

Maintenant il est clair que la valeur de $\tau _{2}$ redeviendra la même lorsque l’angle ${\frac {n}{2}}(\sigma '-\sigma '')t$ se trouvera augmenté ou diminué de $360$ degrés pris une ou plusieurs fois ; donc, puisque la longitude moyenne du second satellite est exprimée par $\mu _{2}t,$ la période de la variation de $\tau _{2}$ sera de

$\pm {\frac {1}{{\cfrac {n}{2\mu _{2}}}(\sigma '-\sigma '')}}$

révolutions de ce même satellite. Or cette période est, selon les observations, de $31$ ans, ce qui répond à peu près à $3189$ révolutions du second satellite ; donc il faudra que

$\pm {\frac {n}{2\mu _{2}}}(\sigma '-\sigma '')={\frac {1}{3189}}=0{,}0003136.$

CXXVII.

Ayant trouvé $\lambda ''_{2}={\frac {1}{5}}\lambda '_{2},$ on pourra simplitier les expressions de $\tau _{2}$ et de $\operatorname {tang} \psi _{2},$ et l’on aura à très-peu près

${\begin{aligned}\tau _{2}=&\lambda '_{2}\left[1+{\frac {1}{5}}\cos \left({\frac {n}{2}}(\sigma '-\sigma '')t+\eta '_{2}-\eta ''_{2}\right)\right]\\\operatorname {tang} \psi _{2}=&\operatorname {tang} \left[\left(\mu _{2}+{\frac {n}{2}}\sigma '\right)t+\eta '_{2}\right]+{\frac {1}{3}}{\frac {\sin \left[\left(\mu _{2}+{\cfrac {n}{2}}\sigma ''\right)t+\eta ''_{2}\right]}{\cos \left[\left(\mu _{2}+{\cfrac {n}{2}}\sigma '\right)t+\eta '_{2}\right]}}\\&-{\frac {1}{3}}{\frac {\cos \left[\left(\mu _{2}+{\cfrac {n}{2}}\sigma ''\right)t+\eta ''_{2}\right]\sin \left[\left(\mu _{2}+{\cfrac {n}{2}}\sigma '\right)t+\eta '_{2}\right]}{\cos ^{2}\left[\left(\mu _{2}+{\cfrac {n}{2}}\sigma '\right)t+\eta '_{2}\right]^{2}}}.\end{aligned}}$

Soit fait

$\psi _{2}=\left(\mu _{2}+{\frac {n}{2}}\sigma '\right)t+\eta '_{2}+q,$

$q$ étant une quantité fort petite, on aura

$\operatorname {tang} \psi =\operatorname {tang} \left[\left(\mu _{2}+{\frac {n}{2}}\sigma '\right)t+\eta '_{2}\right]+{\frac {q}{\cos ^{2}\left[\left(\mu _{2}+{\cfrac {n}{2}}\sigma '\right)t+\eta '_{2}\right]}}$

à peu près ; donc

${\begin{aligned}q=&{\frac {1}{5}}\sin \left[\left(\mu _{2}+{\frac {n}{2}}\sigma ''\right)t+\eta ''_{2}\right]\cos \left[\left(\mu _{2}+{\frac {n}{2}}\sigma '\right)t+\eta '_{2}\right]\\&-{\frac {1}{5}}\cos \left[\left(\mu _{2}+{\frac {n}{2}}\sigma ''\right)t+\eta ''_{2}\right]\sin \left[\left(\mu _{2}+{\frac {n}{2}}\sigma '\right)t+\eta '_{2}\right]\\=&-{\frac {1}{5}}\sin \left[{\frac {n}{2}}(\sigma '-\sigma '')t+\eta '_{2}-\eta ''_{2}\right]\,;\end{aligned}}$

donc

$\psi _{2}=\left(\mu _{2}+{\frac {n}{2}}\sigma '\right)t+\eta '_{2}-{\frac {1}{5}}\sin \left[{\frac {n}{2}}(\sigma '-\sigma '')t+\eta '_{2}-\eta ''_{2}\right].$

D’où l’on voit 1^o que le mouvement du nœud sera de ${\frac {n\sigma '}{2\mu ^{2}}}$ par révolution ; 2^o que ce mouvement sera sujet à une équation analogue à celle de l’inclinaison, laquelle montera à ${\frac {57^{\circ }17'}{5}}=11^{\circ }27'.$

Ces derniers résultats ne s’accordent pas à la vérité avec les observations des demi-durées, par lesquelles il paraît que les nœuds sont à très-peu près fixes ; mais j’observe 1^o que la quantité $\sigma '$ peut être nulle, auquel cas le nœud n’aura plus qu’un mouvement d’oscillation ; 2^o qu’il est impossible que l’attraction produise un changement dans l’inclinaison sans produire en même temps un changement analogue dans le lieu du nœud (voyez plus bas, Article CXXX).

CXXVIII.

Voyons maintenant comment on pourrait satisfaire à ces deux conditions, savoir

$\pm {\frac {n}{2\mu _{2}}}(\sigma '-\sigma '')=0{,}0003136\quad {\text{et}}\quad \sigma '=0.$

Pour cela, nous conserverons ici les hypothèses de l’Article CXVIII, moyennant quoi l’équation $(\zeta )$ de l’Article CXV se réduira à celle-ci

$\mathrm {K_{1}K_{2}K_{3}K_{4}-5{,}675K_{1}K_{4}} =0,$

laquelle donne

$\mathrm {K} _{1}=0,\quad {\text{ou bien}}\quad \mathrm {K} _{4}=0,\quad {\text{ou bien}}\quad \mathrm {K_{3}K_{4}} -5{,}675=0\,;$

cette dernière équation se réduit à celle-ci

$\left({\frac {\sigma }{\mu _{2}}}-\varpi _{2}\right)\left({\frac {\sigma }{\mu _{3}}}-\varpi _{3}\right)-{\frac {5{,}675}{4}}\chi _{2}\chi _{3}=0,$

ou bien

$\sigma ^{2}-(\mu _{2}\varpi _{2}+\mu _{3}\varpi _{3})\sigma +\mu _{2}\mu _{3}\varpi _{2}\varpi _{3}-1{,}419\mu _{2}\mu _{3}\chi _{2}\chi _{3}=0.$

Or, suivant les mêmes hypothèses, on a (Article LXXXVI)

$\varpi _{2}=0{,}942\chi _{3}\quad {\text{et}}\quad \varpi _{3}=1{,}506\chi _{2}$ à peu près ;

donc

$\varpi _{2}\varpi _{3}=0{,}942\times 1{,}506\chi _{2}\chi _{3}=1,419\chi _{2}\chi _{3}\,;$

donc, faisant pour plus de simplicité $\chi _{3}=m\chi _{2},$ et mettant $0{,}496\mu _{2}$ au lieu de $\mu _{3},$ on aura l’équation

$\sigma ^{2}-(0{,}942m+0{,}747)\mu _{2}\chi _{2}\sigma =0\,;$

d’où l’on tire

$\sigma =0\quad {\text{et}}\quad \sigma =(0{,}942m+0{,}747)\mu _{2}\chi _{2}.$

Donc on satisfera à nos conditions en prenant pour $\sigma '$ la première de ces deux racines et pour $\sigma ''$ la seconde, et supposant

${\frac {n}{2}}(0{,}942m+0{,}747)\chi _{2}=0{,}000316,$

ce qui donne, à cause de $n\chi _{2}={\frac {\mathfrak {S}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}=0{,}00002417$ (Article LXIII),

$m=27$ à très-peu près.

Il est vrai que cette détermination ne s’accorde point avec ce que nous avons trouvé dans l’Article LXVIII ; mais cela n’est point surprenant vu le grand nombre des quantités que nous avons négligées dans ce calcul aussi ne l’ai-je donné ici que comme un essai, me réservant de le reprendre dans quelque autre occasion.

CXXIX.

La position de l’orbite du troisième satellite est aussi sujette à des variations fort remarquables ; son inclinaison paraît avoir été la plus petite en 1697, où elle n’était que d’environ $3$ degrés, et depuis lors elle a toujours été en augmentant, de sorte qu’en 1763 on l’a trouvée de $3^{\circ }27',$ ce qui fait $27'$ en 66 ans, et par conséquent environ $26''$ par an.

Quoiqu’on ne connaisse pas encore le terme de cette augmentation, il y a cependant tout lieu de croire qu’elle est périodique comme celle du second satellite ; car, suivant la comparaison que M. Maraldi a faite d’un très-grand nombre d’observations des demi-durées depuis 1671 jusqu’en 1763, l’inclinaison se trouve à très-peu près la même à intervalles égaux avant et après 1697.

À l’égard du nœud, les Tables de M. Wargentin le supposent fixe, à $10^{\text{s}},$ $16^{\circ }3',$ mais M. Maraldi trouve qu’il doit avoir un mouvement direct d’environ $3$ minutes par an ; selon ce savant Astronome, il était, à $10^{\text{s}},$ $1^{\circ }52'$ en 1697, et, à $10^{\text{s}},$ $17^{\circ }9'$ en 1763.

Ces variations peuvent s’expliquer de la même manière que celle du second satellite, pourvu qu’on suppose que la période de l’inclinaison soit beaucoup plus longue ; faisons-la de $r$ révolutions du troisième satellite il faudra que l’on ait

$\pm {\frac {n}{2\mu _{3}}}(\sigma '-\sigma '')={\frac {1}{r}}\,;$

prenons pour $\sigma '$ la même racine que ci-dessus, et pour $\sigma ''$ une des deux autres racines, par exemple celle qui résulte de l’équation (Article LXXXVI)

$\mathrm {K} _{1}=0,\quad {\text{savoir}}\quad \sigma ''=\mu _{1}\varpi _{1}=\mu _{1}(0{,}981\chi _{2}+0{,}126\chi _{3})\,;$

mettons, au lieu de $\mu _{1},$ $4{,}044\mu _{2}\,;$ au lieu de $\chi _{3},$ $m\chi _{2},$ et au lieu de $n\chi _{2}={\frac {{\mathfrak {S}}_{2}}{\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}}$ sa valeur $0{,}00002417,$ on aura

${\frac {n\sigma ''}{2\mu _{3}}}=0,00004796+0,00000615m={\frac {1}{r}}\,;$

si $m=10,$ on aurait environ $r=10000,$ ce qui donnerait à peu près 195 ans pour la durée de la période.

Maintenant, si l’on dénote par $\tau _{3}$ la tangente de l’inclinaison et par $\psi _{3}$ la distance au nœud, et qu’on suppose $\lambda ''_{3}=\nu \lambda '_{3},$ $\nu$ étant une fraction assez petite, on aura comme dans l’Article CXXVI

${\begin{aligned}\tau _{3}=&\lambda '_{3}\left[1+\nu \cos \left({\frac {n}{2}}(\sigma '-\sigma '')t+\eta '_{3}-\eta ''_{3}\right)\right],\\\psi _{3}=&\left(\mu _{3}+{\frac {n}{2}}\sigma '\right)t+\eta '_{3}-\nu \sin \left[{\frac {n}{2}}(\sigma '-\sigma '')t+\eta '_{3}-\eta ''_{3}\right],\end{aligned}}$

ou bien (à cause de $\sigma '=0$ et de $\mu _{3}t=$ à la longitude moyenne du satellite que nous dénoterons par $u_{3}$)

$\tau _{3}=\lambda '_{3}\left[1+\nu \cos \left({\frac {n\sigma ''}{2\mu _{3}}}u_{3}-\eta '_{3}+\eta ''_{3}\right)\right],$

$u_{3}-\psi _{3}=-\eta '_{3}-\nu \sin \left({\frac {n\sigma ''}{2\mu _{3}}}u_{3}-\eta '_{3}+\eta ''_{3}\right),$

où $u_{3}-\psi _{3}$ est la longitude du nœud.

Supposons, ce qui est permis, que la longitude moyenne $u_{3}$ soit comptée depuis le point où se trouvait le satellite au moment de la plus petite inclinaison de son orbite, on aura

$\cos(-\eta '_{3}+\eta ''_{3})=-1,\quad {\text{dpnc}}\quad -\eta '_{3}+\eta ''_{3}=180^{\circ }\,;$

par conséquent les formules précédentes deviendront

$\tau _{3}=\lambda '_{3}\left(1-\nu \cos {\frac {n\sigma ''}{2\mu _{3}}}u_{3}\right),\quad u_{3}-\psi _{3}=-\eta '_{3}+\nu \sin {\frac {n\sigma ''}{2\mu _{3}}}u_{3}.$

Donc la vitesse du nœud sera à la vitesse moyenne du satellite comme $\nu {\frac {n\sigma ''}{2\mu _{3}}}\cos {\frac {n\sigma ''}{2\mu _{3}}}u_{3}$ à $1\,;$ d’où l’on voit que le mouvement du nœud sera direct tant que $\cos {\frac {n\sigma ''}{2\mu _{3}}}u_{3}$ sera positif, c’est-à-dire, tant que l’inclinaison sera au-dessous de la moyenne.

Au reste, si je donne ici ces formules, ce n’est pas que je les regarde comme fort exactes et conformes au mouvement du troisième satellite ; mon objet est simplement de donner une idée de la manière dont on pourrait rendre raison de l’augmentation d’inclinaison et du mouvement direct des nœuds de ce satellite, phénomènes qui paraissent assez difficiles à expliquer.

CXXX.

Le quatrième satellite est aussi dans le même cas que le troisième à l’égard du mouvement des nœuds. M. Maraldi l’a trouvé d’environ $5'33''$ par $a^{n}$ suivant l’ordre des signes ; mais M. Wargentin ne le fait que d’environ $4'24''$ dans ses nouvelles Tables.

Quant à l’inclinaison, ils la supposent constante et de $2^{\circ }36'\,;$ mais il y a tout lieu de croire que cette détermination n’est pas tout à fait exacte ; car il paraît difficile que les nœuds aient un mouvement direct, tandis que l’inclinaison demeure la même. D’ailleurs, M. Wargentin remarque que les nœuds ont dû être stationnaires vers la fin du siècle dernier, ce qui prouve, ce me semble, qu’ils étaient auparavant rétrogrades, et que leur mouvement n’est qu’une espèce d’oscillation, comme nous l’avons déjà supposé, à l’égard du troisième satellite ; or je dis qu’un tel mouvement ne saurait avoir lieu dans le nœud, sans qu’il ait, dans l’inclinaison, une variation analogue ; c’est de quoi il est facile de se convaincre en jetant les yeux sur la formule de l’Article III

$d\lambda \sin(\varphi -\varepsilon )=\lambda \cos(\varphi -\varepsilon )d\varepsilon ,$

laquelle exprime la relation qu’il doit y avoir en général entre le mouvement du nœud et la variation de l’inclinaison.

Je fais cette remarque, moins pour faire naître des doutes sur les résultats de ces deux savants Astronomes, que pour les engager à se rendre de plus eh plus attentifs à la détermination d’éléments si délicats et si difficiles.

Au reste, quand on sera bien assuré de l’exactitude de ces éléments, on pourra alors se servir de nos formules pour donner à la Théorie du quatrième satellite de nouveaux degrés de perfection.

1. Il nous a paru indispensable, au point de vue de l’exécution typographique, de remplacer les traits par des indices en chiffres arabes.$\qquad \qquad$(Note de l’Éditeur.)
2. Voir la Note de la page 76.
3. Voir la Note de la page 76.
4. Voir la Note de la page 76.
5. La pièce dont il est ici question est le Mémoire d’Euler inséré dans le tome VII des Prix de l’Académic Royale des Sciences.$\qquad \qquad \qquad \qquad$(Note de l’Éditeur.)
6. Voir la Note de la page 76.
7. La lettre $n$ a été affectée plus haut à un autre usage, le double emploi que nous croyons devoir signaler n’a ici aucun inconvénient.$\qquad \qquad \quad$(Note de l’Éditeur.)
8. Les formules qui suivent sont, dans le texte primitif, entachées d’erreurs provenant de ce que l’Auteur a employé, par inadvertance, la formule $\mathrm {M} =\mu -{\frac {n{\text{ϐ}}}{2}},$ au lieu de $\mathrm {M} =\mu \left(1-{\frac {n{\text{ϐ}}}{2}}\right)$ (Article LXXIX) ; nous avons cru devoir faire subir aux formules la rectification nécessaire.
   (Note de l’Éditeur.)
9. Lagrange emploie, dans ce paragraphe et dans les suivants, diverses lettres telles que $\mathrm {K} ,\chi ,\ldots$ qui ont été précédemment affectées à un autre usage, mais il n’y a pas évidemment de confusion à redouter. $\qquad \qquad \qquad \qquad$ (Note de l’Éditeur)
10. Voir la Note de la page 76.
11. Lagrange rejette en outre les termes constants qui doivent disparaître par les conditions de l’Article XXXII.$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$(Note de l’Éditeur.)