Mémoires extraits des recueils de l’Académie des sciences de Paris et de l’Institut de France/Sur l’équation séculaire de la Lune

Joseph-Louis Lagrange

Sur l’équation séculaire de la Lune

Mémoires extraits des recueils de l’Académie des sciences de Paris et de l’Institut de France, Gauthier-Villars, 1868, Œuvres de Lagrange. Tome VI (p. 335-399).

SUR
L’ÉQUATION SÉCULAIRE DE LA LUNE^[1].

Nec cum fiducià inveniendi, nec sine spe.

Senec., Nat., quæst. vii, 29.

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[Mémoires de l’Académie royale des Sciences de Paris, Savants étrangers,
t. VII ; 1773. (Prix pour l’année 1774.)]

La question proposée par l’Académie Royale, des Sciences pour le sujet du Prix de l’année 1774 est double et renferme, à proprement parler, deux questions différentes.

Dans la première, on demande par quel moyen on peut s’assurer qu’il ne résultera aucune erreur sensible des quantités qu’on aura négligées dans le calcul des mouvements de la Lune.

Et, dans la seconde, on demande si, en ayant égard non-seulement à l’action du Soleil et de la Terre sur la Lune, mais encore, s’il est nécessaire, à l’action des autres planètes sur ce satellite, et même à la figure non sphérique de la Lune et de la Terre, on peut expliquer, par la seule Théorie de la gravitation, pourquoi la Lune paraît avoir une équation séculaire, sans que la Terre en ait une sensible.

Le Mémoire suivant est destiné uniquement à répondre à la seconde de ces deux questions. On y verra : 1^o que l’équation séculaire de la Lune ne saurait être expliquée par la seule Théorie de la gravitation, du moins en prenant cette équation telle que les astronomes l’ont adoptée d’après feu M. Mayer ; 2^o que les preuves que l’on a de l’existence de cette même équation ne sont pas, à beaucoup près, aussi solides et aussi convaincantes qu’on pourrait le désirer. Je serai suffisamment récompensé de mon travail si l’illustre Compagnie, à qui j’ai l’honneur de le présenter, daigne l’honorer de quelque attention, et surtout s’il peut exciter d’autres plus habiles que moi à le pousser plus loin, et à décider irrévocablement l’importante question de l’équation séculaire de la Lune.

Quant à la première question, j’avoue que, après y avoir médité longtemps et avec toute l’attention dont je suis capable, je n’ai rien trouvé qui pût me satisfaire, ou qu’on pût du moins ajouter à ce que M. d’Alembert a déjà dit sur ce sujet dans les derniers volumes de ses Opuscules. J’ai donc cru pouvoir me dispenser de traiter cette question, et je me flatte que l’Académie voudra bien ne pas m’en savoir mauvais gré ; en récompense, j’ai tâché de m’étendre d’autant plus sur l’autre question, et d’entrer dans des détails astronomiques que cette illustre Compagnie n’a pas demandés, mais que j’ai crus indispensables dans la matière dont il s’agit.

1. Quoique la Théorie de la gravitation universelle ait jusqu’ici parfaitement rendu raison des inégalités périodiques qu’on observe dans les mouvements des Corps célestes et surtout de la Lune, elle n’a cependant pas encore fourni d’explication de l’équation séculaire de cette planète. M. Halley est le premier qui ait soupçonné une accélération dans le moyen mouvement de la Lune, comme on le voit par ce passage de la seconde édition des Principes mathématique Et collatis quidem obser- vationibus eclipsium babylonicis cum iis Albategnii et cum hodiernis, Halleyus noster motum medium Lunæ cum motu diurno Terræ collatum paulatim accelerari, primus omnium, quod sciam, deprehendit, page 481. Mais, soit que ce grand Astronome n’ait pas cru pouvoir entièrement compter sur l’exactitude des observations qui lui avaient donné l’accélération de la Lune, soit qu’il ait regardé cette accélération comme trop peu sensible pour qu’on dût en tenir compte dans le calcul du lieu de cette planète, il est certain qu’il n’y a eu aucun égard dans les Tables qu’il en a publiées depuis. Cependant la remarque de M. Halley n’est pas demeurée infructueuse deux savants Astronomes, MM. Dunthorne et Mayer, ayant entrepris d’examiner de nouveau ce point important de la Théorie de la Lune, ont non-seulement reconnu l’existence de l’équation séculaire de cette planète, ils en ont de plus déterminé la quantité le premier l’a fixée à $10$ secondes pour le premier siècle, et le second à $7$ secondes dans ses premières Tables, et ensuite à $9$ secondes dans les dernières ; et comme les Tables de la Lune de M. Mayer ont été généralement adoptées par les Astronomes, l’accélération du mouvement de la Lune est maintenant regardée comme un fait dont il semble qu’il ne soit presque pas permis de douter.

M. de la Lande a néanmoins remarqué, dans son Astronomie, qu’il restait encore quelque incertitude sur les observations qui ont servi à déterminer ce nouvel élément de la Théorie de la Lune, et qui se réduisent à deux éclipses de Soleil observées en $977$ et $978$ près du Caire, par Ibn Jonis, Astronome du calife d’Égypte Aziz ; comme ces observations sont les seules que nous ayons pour servir de terme de comparaison entre les anciennes observations des Babyloniens et celles de ces derniers temps, il faut avouer que, si l’on était obligé de les rejeter, on perdrait les principales et même les uniques preuves décisives que l’on ait de l’accélération du moyen mouvement de la Lune ; car je ne puis croire, avec M. Mayer, que cette question puisse se décider par la simple comparaison des observations du siècle passé avec celles de ce siècle, les variations qui peuvent se trouver dans le mouvement moyen de la Lune, dans le court espace d’un siècle, étant nécessairement trop petites pour pouvoir être attribuées à d’autres causes qu’aux erreurs des observations et à l’incertitude qui a encore lieu dans quelques-unes des équations de la Lune.

Quoi qu’il en soit, en attendant que le temps et les reclierches des astronomes nous apportent de nouvelles lumières, la Théorie est, ce me semble, le seul moyen que nous ayons pour décider un point d’Astronomie si important. Il s’agit donc d’examiner, le plus soigneusement qu’il est possible, si la gravitation universelle peut produire, dans le mouvement moyen de la Lune, une altération sensible et conforme aux observations ; c’est la question que je me propose de traiter dans ces Recherche.

2. Pour que le moyen mouvement de la Lune soit assujetti à une altération croissante comme le carré du temps, ainsi qu’on le suppose dans les Tables, il faut que la formule générale du lieu vrai de cette planète renferme, outre le terme $\mathrm {Z}$ qui représente le mouvement moyen, encore un terme de la forme $i\mathrm {Z} ^{2},$ $i$ étant un coefficient positif et très-petit ; ce dernier terme représentera donc l’équation séculaire, qui sera toujours additive au mouvement moyen avant et après l’époque qu’on aura fixée pour le commencement de cette équation, et qui, dans les Tables de Mayer, tombe au commencement de ce siècle. Donc, nommant $\varpi$ le rapport de la circonférence au rayon, on aura $i\varpi \times 360^{\circ }$ pour la valeur de l’équation dont il s’agit au bout d’une révolution de la Lune ; et, nommant ensuite $\nu$ le rapport du mouvement moyen de la Lune à celui du Soleil, on aura $i\varpi \nu ^{2}\times 360^{\circ }$ pour la quantité de la même équation au bout de la première année après l’époque ; enfin, multipliant cette quantité par $l0000,$ on aura la quantité de l’équation pour le premier siècle, laquelle étant, suivant M. Mayer, de $9$ secondes, on aura cette équation

$10000i\varpi \nu ^{2}\times 360^{\circ }=9'',$

c’est-à-dire, en réduisant aussi les degrés en secondes,

$10000.360.3600i\varpi \nu ^{2}=9\,;$

d’où l’on tire

$i={\frac {9}{10000.360.3600\varpi \nu ^{2}}}\,;$

or on a à très-peu près $\varpi =6$ et $\nu ^{2}=178\,;$ donc on aura environ

$i={\frac {1}{1\,537\,920\,000\,000}}.$

3. Telle doit donc être la valeur du coefficient $i$ de l’équation séculaire, dans l’hypothèse que cette équation soit réelle et croisse constamment comme le carré du temps ; mais, comme il peut se faire aussi qu’elle ne soit qu’apparente, et que ce ne soit dans le fond qu’une équation périodique, mais dont la période soit très-longue, il est bon de voir en particulier quelle devrait être sa valeur dans ce cas ; car, quoique l’effet de l’équation séculaire puisse être sensiblement le même dans l’un et dans l’autre cas, pendant un intervalle de temps peu considérable, il deviendra cependant fort différent au bout d’un grand espace de temps ; de sorte que, si cette équation, au lieu d’être réelle, n’est qu’apparente, elle devra nécessairement avoir une tout autre valeur que celle que nous venons de trouver, pour pouvoir répondre à la fois aux observations babyloniennes et arabes qui ont servi de données dans la détermination de cet élément. Mais pour cela il est nécessaire de commencer par examiner, en peu de mots, comment on peut accorder ces observations par l’introduction d’une équation séculaire réelle ; ensuite nous verrons ce qui doit en résulter dans l’hypothèse que l’équation séculaire ne soit qu’apparente.

4. Comme les observations les plus distantes entre elles sont celles qui peuvent fournir les déterminations les plus exactes des mouvements moyens des planètes, on a employé dans la détermination de celui de la Lune la plus ancienne éclipse dont la mémoire nous ait été conservée, et qui est celle que Ptolémée rapporte avoir été observée à Babylone le 19 mars 720 avant J.-C. (Almageste, Livre IV, Chapitre VI). M. Cassini ayant comparé cette observation avec celle d’une éclipse de l’année 1717, où la Lune s’est trouvée à peu près dans les mêmes circonstances, a trouvé le mouvement séculaire de la Lune de $10^{\text{S}}7^{\circ }49'52''\,;$ or, si le mouvement moyen de la Lune était tout à fait uniforme, il est clair qu’on devrait toujours trouver le même résultat en comparant ensemble d’autres observations ; mais on a reconnu dans ces derniers temps que les observations arabes, dont on a parlé ci-dessus, comparées avec les observations de ce siècle, donnent environ $2'36''{\tfrac {1}{2}}$ de plus pour le mouvement séculaire de la Lune. M. de la Lande, dans les Mémoires de l’Académie, année 1757, trouve qu’en employant le mouvement moyen qui résulte des observations arabes, la longitude de la Lune dans l’éclipse de 720 avant J.-C. est moindre de $1^{\circ }27'$ que l’observation ne l’a donnée ; or, comme M. de la Lande suppose le milieu de cette éclipse $47$ minutes plus tôt que M. Cassini, il s’ensuit qu’il faut ôter de $1^{\circ }27'$ le mouvement relatif de la Lune au Soleil pendant $47$ minutes, lequel est de $23'52''\,;$ ainsi l’on aura $1^{\circ }3'8'',$ qui, étant partagés en $24{\tfrac {1}{5}},$ nombre des siècles écoulés entre l’observation dont il s’agit et 1700, donne $2'36''{\tfrac {1}{2}},$ dont le mouvement moyen séculaire est plus grand, parce que, comme en remontant on avance contre l’ordre des signes, une longitude moindre indique un plus grand espace parcouru. C’est ce qui a engagé les Astronomes à appliquer au mouvement moyen une équation séculaire propre à sauver cette différence.

5. En effet, soit $x$ le mouvement séculaire moyen dont la marche est uniforme, et $y$ l’équation séculaire, que nous supposerons d’abord proportionnelle au carré du temps ; et, prenant le commencement de ce siècle pour époque, on aura, après $m$ siècles, le mouvement moyen $=mx+m^{2}y\,;$ par conséquent, en faisant $m$ négatif, on aura, pour $m$ siècles comptés en arrière, le mouvement moyen $=-mx+m^{2}y.$ Soit maintenant $\alpha$ le mouvement séculaire moyen trouvé par M. Cassini d’après l’éclipse de 720 avant J.-C. et $\alpha +\beta$ le mouvement séculaire moyen trouvé d’après les observations arabes de 977 et 978 ; et comme, entre les années 720 avant J.-C. et 1700, il s’est écoulé $24{\tfrac {1}{5}}$ siècles, et que, entre les années 978 et 1700, il s’est écoulé environ $7{\tfrac {1}{5}}$ siècles, on aura $-\left(24{\tfrac {1}{5}}\right)\alpha$ et $-\left(7{\tfrac {1}{5}}\right)(\alpha +\beta )$ pour les mouvements moyens qui se rapportent aux années 720 avant J.-C. et 978 donc, si l’on veut que la formule $-mx+m^{2}y$ satisfasse à la fois aux observations de ces années, il n’y aura qu’à supposer successivement $m=24{\tfrac {1}{5}},\ =7{\tfrac {1}{5}},$ et former ensuite les équations

${\begin{aligned}-\left(24{\tfrac {1}{5}}\right)x+\left(24{\tfrac {1}{5}}\right)^{2}y=&-\left(24{\tfrac {1}{5}}\right)\alpha ,\\-\left(\ \ 7{\tfrac {1}{5}}\right)x+\left(\ \ 7{\tfrac {1}{5}}\right)^{2}y=&-\left(\ \ 7{\tfrac {1}{5}}\right)(\alpha +\beta ),\end{aligned}}$

c’est-à-dire,

$x-\left(24{\tfrac {1}{5}}\right)y=\alpha ,\quad x-\left(7{\tfrac {1}{5}}\right)y=\alpha +\beta \,;$

d’où l’on tire

$y={\frac {\beta }{17}},\quad x=\alpha +\left(24{\tfrac {1}{5}}\right)y=\alpha +\left(24{\tfrac {1}{5}}\right){\frac {\beta }{17}}.$

Or on a trouvé $\alpha =10^{\text{S}}7^{\circ }49'52''$ et $\beta =2'36''{\tfrac {1}{2}}\,;$ donc on aura

$y=9''{,}2,\quad {\text{et de là}}\quad x=10^{\text{S}}7^{\circ }53'34''{,}64\,;$

ce qui s’accorde à très-peu près avec les éléments que M. Mayer a employés dans ses dernières Tables, où il fait le mouvement séculaire moyen de $10^{\text{S}}7^{\circ }53'35'',$ et l’équation séculaire de $9$ secondes pour le premier siècle, à compter depuis 1700.

6. Supposons maintenant que l’équation séculaire ne soit pas constamment proportionnelle au carré du temps, mais qu’elle dépende du sinus d’un angle qui varie peu, en sorte qu’elle ne suive la loi du carré que pendant un certain espace de temps ; soit $\mathrm {A+\mu Z}$ cet angle, $\mathrm {Z}$ étant, comme ci-dessus, le mouvement moyen de la Lune, et $\mu$ étant un coefficient très-petit, de manière que l’angle $\mu \mathrm {Z}$ demeure encore très-petit vis-à-vis de l’angle fini ; et comptant $\mathrm {A}$ au bout d’un grand nombre de révolutions de la Lune, on aura pendant cet intervalle de temps

$\mathrm {\sin(A+\mu Z)=\sin A+\mu Z\cos A-{\frac {\mu ^{2}Z^{2}}{2}}\sin A}$

à très-peu près ; d’où l’on tire

$\mathrm {Z^{2}={\frac {2Z\cos A}{\mu \sin A}}+{\frac {2\left[\sin A-\sin(A+\mu Z)\right]}{\mu ^{2}\sin A}}} \,;$

de sorte que l’équation séculaire apparente $i\mathrm {Z} ^{2}$ sera véritablement représentée par la formule

${\frac {2i}{\mu \sin \mathrm {A} }}\mathrm {\left[Z\cos A+{\frac {\sin A-\sin(A+\mu Z)}{\mu }}\right]} ,$

et par conséquent s’éloignera à la longue de la loi du carré du temps.

7. Voyons donc quelle doit être, dans cette hypothèse, la valeur du coefficient $i,$ pour satisfaire aux mêmes données du n^o 4. Soit $\theta$ la quantité de l’angle $\mu \mathrm {Z}$ au bout d’un siècle, on aura au bout de $m$ siècles $\mu =m\theta \,;$ donc

$\mathrm {Z} ={\frac {m\theta }{\mu }}\,;$

ainsi l’équation séculaire sera, pour $m$ siècles,

${\frac {2i}{\mu ^{2}\sin \mathrm {A} }}\mathrm {\left[m\theta \cos A+\sin A-\sin(A+m\theta )\right]} \,;$

lorsque $m=1,$ cette quantité devient (à cause de $\theta$ très-petit) ${\frac {i\theta ^{2}}{\mu ^{2}}},$ qui sera donc la quantité de l’équation séculaire pour le premier siècle. Nommons donc, comme ci-dessus, $y$ cette valeur de l’équation séculaire et $x$ le mouvement séculaire moyen ; on aura, après $m$ siècles, le mouvement moyen égal à

$mx+{\frac {2y}{\theta ^{2}\sin \mathrm {A} }}\mathrm {\left[m\theta \cos A+\sin A-\sin(A+m\theta )\right]} .$

Faisant donc successivement $m=-24{\tfrac {1}{5}}$ et $=-7{\tfrac {1}{5}},$ pour avoir les mouvements moyens qui répondent aux années 720 avant J.-C. et 978, on formera ces deux équations

${\begin{aligned}&-\left(24{\tfrac {1}{5}}\right)x+{\frac {2y}{\theta ^{2}\sin \mathrm {A} }}\mathrm {\left[-\left(24{\tfrac {1}{5}}\right)\theta \cos A+\sin A-\sin \left[A-\left(24{\tfrac {1}{5}}\right)\theta \right]\right]} \\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad =-\left(24{\tfrac {1}{5}}\right)\alpha ,\\&-\left(\ \ 7{\tfrac {1}{5}}\right)x+{\frac {2y}{\theta ^{2}\sin \mathrm {A} }}\mathrm {\left[-\left(\ \ 7{\tfrac {1}{5}}\right)\theta \cos A+\sin A-\sin \left[A-\left(\ \ 7{\tfrac {1}{5}}\right)\theta \right]\right]} \\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad =-\left(\ \ 7{\tfrac {1}{5}}\right)(\alpha +\beta )\,;\end{aligned}}$

c’est-à-dire, en changeant les signes,

${\begin{aligned}&x-{\frac {2y}{\theta }}\mathrm {\left[-\cot A+{\frac {1}{\left(24{\frac {1}{5}}\right)\theta }}\left(1-{\frac {\sin \left[A-\left(24{\frac {1}{5}}\right)\theta \right]}{\sin A}}\right)\right]} =\alpha ,\\&x-{\frac {2y}{\theta }}\mathrm {\left[-\cot A+{\frac {1}{\left(\ \ 7{\frac {1}{5}}\right)\theta }}\left(1-{\frac {\sin \left[A-\left(\ \ 7{\frac {1}{5}}\right)\theta \right]}{\sin A}}\right)\right]} =\alpha +\beta \,;\end{aligned}}$

d’où l’on tirera aisément $x$ et $y$ quand on connaîtra $\mathrm {A}$ et $\theta \,;$ ensuite on aura, comme dans le n^o  2,

$10000i\varpi \nu ^{2}\times 360^{\circ }=y,$

d’où l’on tirera

$i={\frac {y}{10000\varpi \nu ^{2}\times 360^{\circ }}}.$

8. Supposons, par exemple, que l’angle $\mathrm {A+\mu Z}$ soit égal au double de la longitude de l’apogée du Soleil (on verra plus bas, aux n^os 30 et suivants, pourquoi nous choisissons cette hypothèse) ; on aura donc, en prenant toujours le commencement de ce siècle pour époque, $\mathrm {A}$ égal au double de la longitude de l’apogée du Soleil en 1700, et $\theta$ au double du mouvement séculaire de cet apogée ; ainsi l’on aura, par les nouvelles Tables de Mayer,

$\mathrm {A} =6^{\text{S}}15^{\circ }25'12'',\quad {\text{et}}\quad \theta =3^{\circ }40'=$ (en parties du rayon) $0{,}063994.$

Substituant ces valeurs dans les équations précédentes, on aura

${\begin{aligned}&x-{\frac {2y}{3^{\circ }40'}}\left[-\cot 15^{\circ }25'+{\frac {1}{88^{\circ }44'}}\left(1+{\frac {\sin 73^{\circ }19'}{\sin 15^{\circ }25'}}\right)\right]=\alpha ,\\&x-{\frac {2y}{3^{\circ }40'}}\left[-\cot 15^{\circ }25'+{\frac {1}{26^{\circ }24'}}\left(1+{\frac {\sin 10^{\circ }59'}{\sin 15^{\circ }25'}}\right)\right]=\alpha +\beta ,\end{aligned}}$

c’est-à-dire,

${\begin{aligned}&x-{\frac {2y}{0{,}06399}}\left(-3{,}62636+{\frac {4{,}60336}{1{,}54869}}\right)=\alpha ,\\&x-{\frac {2y}{0{,}06399}}\left(-3{,}62636+{\frac {1{,}71669}{0{,}46077}}\right)=\alpha +\beta \,;\end{aligned}}$

ou bien, en réduisant,

$x+{\frac {1{,}30788}{0{,}06399}}y=\alpha ,\quad x-{\frac {0{,}19868}{0{,}06399}}y=\alpha +\beta \,;$

d’où

$y=-{\frac {0{,}06399}{1{,}50656}}\beta ,\quad x=\alpha +{\frac {1{,}30788}{1{,}50656}}\beta ,$

et, à cause de $\alpha =10^{\text{S}}7^{\circ }49'52''$ et $\beta =2'32''$ (n^o 5),

$x=10^{\text{S}}7^{\circ }52'4'',\quad y=-6''{,}456\,;$

d’où l’on voit que la valeur de $y$ doit être négative et égale à environ deux tiers de la valeur qu’elle doit avoir dans le cas de l’équation constamment proportionnelle au carré du temps ; quant au mouvement séculaire moyen, il ne diffère que de $1'24''$ de celui qu’on a trouvé dans le cas dont nous venons de parler.

Dans l’hypothèse présente, on aurait donc pour l’équation séculaire, qui devra être ajoutée au mouvement moyen au bout de $m$ siècles comptés depuis 1700,

$-3'21'',775\left[m\cot 15^{\circ }25'+15,627\left(1-{\frac {\sin \left(15^{\circ }25'+m\times 3^{\circ }40'\right)}{\sin 15^{\circ }25'}}\right)\right]\,;$

et, pour les siècles qui précèdent 1700, il n’y aura qu’à prendre $m$ négatif.

Et la valeur du coefficient $i$ sera

$-{\frac {6}{10000.360.3600\varpi \nu ^{2}}}=-{\frac {1}{2\,306\,880\,000\,000}}$ environ.

9. On trouverait des résultats différents si l’on adoptait d’autres hypothèses à l’égard de l’angle $\mathrm {A+\mu Z} ,$ et il est clair que, tant qu’il ne s’agira que de satisfaire aux données du n^o 4, on sera le maître de donner telles valeurs qu’on voudra à $\mathrm {A}$ et à $\mu \,;$ de sorte que le Problème de l’équation séculaire de la Lune, envisagé sous ce point de vue, est entièrement indéterminé et ne peut être résolu par le secours des observations seules. Il est vrai que les Astronomes supposent communément que les équations séculaires des planètes ne peuvent être que proportionnelles aux carrés des temps ;. mais il paraît que la simplicité et la facilité de cette hypothèse sont les seuls motifs qu’ils aient de l’embrasser.

Ce n’est donc que par la Théorie qu’on peut se flatter de déterminer la forme de l’équation séculaire des planètes et de la Lune en particulier ; et la question est de savoir si, parmi les inégalités qui résultent de l’attraction mutuelle des Corps célestes, il doit yen avoir de l’espèce de celles que nous avons supposées ci-dessus dans le mouvement de la Lune, et dont l’effet ne doit être sensible qu’au bout de plusieurs siècles ; or, pour ce qui regarde la Lune, quoiqu’il soit démontré que ses inégalités périodiques sont entièrement et uniquement dues à l’action du Soleil combinée avec celle de la Terre, cependant il paraît très-diflicile et presque impossible de déduire de la même cause l’inégalité séculaire de cette planète ; du moins aucun de ceux qui ont travaillé jusqu’à présent à la solution du Problème des trois Corps n’a pu trouver dans la formule du lieu de la Lune des termes propres à produire une altération vraie ou même seulement apparente dans son mouvement moyen sur quoi on peut voir surtout les judicieuses et fines remarques de M. d’Alembert dans les volumes V et VI de ses Opuscules.

Mais il y a une circonstance à laquelle on n’a point encore fait attention jusqu’ici dans les calculs des mouvements de la Lune c’est la nonsphéricité de la Terre, laquelle produit une petite altération dans la force qui pousse la Lune vers la Terre, en sorte qu’il en résulte une nouvelle force perturbatrice de l’orbite de la Lune, laquelle, étant combinée avec celle qui vient de l’action du Soleil, pourrait peut-être produire des termes qui donneraient l’équation séculaire de la Lune. Ce point mérite donc d’être discuté soigneusement ; c’est ce que nous allons faire avec tout le détail que la difficulté et l’importance de la matière exigent.

10. Soit $x$ le rayon vecteur de l’orbite qu’un Corps décrit dans un plan fixe en vertu de deux forces, l’une dirigée vers le centre des rayons vecteurs, et l’autre $\Pi$ toujours perpendiculaire à ces rayons ; nommant $\varphi$ l’angle parcouru pendant le temps $t,$ on aura, comme l’on sait, les deux équations

(I.)$\quad \qquad \qquad \qquad \qquad {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}-{\frac {xd\varphi ^{2}}{dt^{2}}}+\Psi =0,$

(II.)$\quad \qquad \qquad \qquad \qquad {\frac {d\left(x^{2}d\varphi \right)}{dt^{2}}}-x\Pi =0.$

La seconde, étant multipliée par $2x^{2}d\varphi$ et ensuite intégrée, donne

$\left({\frac {x^{2}d\varphi }{dt}}\right)^{2}-2\int x^{3}\Pi d\varphi =k^{2},$

$k$ étant la valeur de ${\frac {x^{2}d\varphi }{dt}},$ lorsque $\int x^{3}\Pi d\varphi$ est nul ; et de là on tire d’abord

(III.)$\qquad \qquad \qquad \qquad dt={\frac {x^{2}d\varphi }{\sqrt {k^{2}+2\int x^{3}\Pi d\varphi }}}.$

Ensuite, substituant cette valeur dans la première équation et prenant $d\varphi$ constant, on aura

(IV.)$\quad \qquad \qquad \qquad {\frac {d^{2}{\cfrac {1}{x}}}{d\varphi ^{2}}}+{\frac {1}{x}}-{\frac {\Psi x^{2}+{\cfrac {\Pi xdx}{d\varphi }}}{k^{2}+2\int \Pi x^{3}d\varphi }}=0.$

Donc, si la force $\Psi$ est composée d’une force ${\frac {\mathrm {M} }{x^{2}}}$ et d’une force perturbatrice $\Phi ,$ on aura, en faisant ${\frac {1}{x}}=u,$

(V.)$\quad \qquad \qquad \qquad \qquad {\frac {d^{2}u}{d\varphi ^{2}}}+u-{\frac {\mathrm {M} }{k^{2}}}-\Omega =0,$

où

$\Omega ={\frac {\Phi x^{2}+{\cfrac {\Pi xdx}{d\varphi }}-{\cfrac {2\mathrm {M} }{k^{2}}}\int \Pi x^{3}d\varphi }{k^{2}+2\int \Pi x^{3}d\varphi }}.$

Et, si les forces perturbatrices $\Pi$ et $\Phi$ sont très-petites par rapport à la force principale ${\frac {\mathrm {M} }{x^{2}}},$ on aura à très-peu près

VI.$\qquad {\frac {d^{2}u}{d\varphi ^{2}}}+u-{\frac {1}{k^{2}}}\left(\mathrm {M} +{\frac {\Phi }{u^{2}}}-{\frac {2\mathrm {M} }{k^{2}}}\int {\frac {\Pi d\varphi }{u^{3}}}-{\frac {\Pi du}{u^{3}d\varphi }}\right)=0,$

VII.$\quad \qquad \qquad \qquad dt={\frac {d\varphi }{ku^{2}}}\left(1-\int {\frac {\Pi d\varphi }{k^{2}u^{3}}}\right).$

Ces formules sont assez connues, mais nous avons cru devoir les rappeler ici pour épargner à nos lecteurs la peine de les aller chercher ailleurs.

11. Pour appliquer maintenant ces formules au mouvement de la Lune, nous supposerons d’abord que cette planète se meuve dans l’écliptique, c’est-à-dire, que nous ferons abstraction de l’inclinaison de son orbite, qu’on sait toujours être fort petite ; il sera ensuite aisé d’y avoir égard si on le juge à propos. Dans cette supposition donc, si l’on nomme $\sigma$ le rayon vecteur de l’orbite du Soleil, $\mathrm {S}$ sa masse et $\eta$ la distance ou l’élongation de la Lune au Soleil, on trouve que l’action du Soleil sur la Lune produit deux forces perturbatrices, l’une dans la direction du rayon vecteur $x$ de l’orbite de la Lune autour de la Terre, laquelle est

$\mathrm {S} \left[{\frac {x}{\delta ^{3}}}+\sigma \left({\frac {1}{\sigma ^{3}}}-{\frac {1}{\delta ^{3}}}\right)\cos \eta \right],$

l’autre perpendiculaire au même rayon vecteur, et qui est

$\mathrm {S} \sigma \left({\frac {1}{\sigma ^{3}}}-{\frac {1}{\delta ^{3}}}\right)\sin \eta ,$

$\delta$ étant la distance rectiligne entre la Lune et le Soleil, en sorte que

$\delta ={\sqrt {\sigma ^{2}-2\sigma x\cos \eta +x^{2}}}.$

Or, comme $\sigma$ est environ quatre cents fois plus grand que $x,$ on aura, avec une approximation suffisante,

${\frac {1}{\delta ^{3}}}={\frac {1}{\sigma ^{3}}}+{\frac {3x\cos \eta }{\sigma ^{4}}}+{\frac {\left(3-15\cos ^{2}\eta \right)x^{2}}{2\sigma ^{5}}}\,;$

donc, substituant cette valeur, et faisant attention que

$\cos ^{2}\eta ={\frac {1+\cos 2\eta }{2}},\quad \cos ^{2}\eta ={\frac {3\cos \eta +\cos 3\eta }{4}},$

$\cos \eta \sin \eta ={\frac {\sin 2\eta }{2}},\quad \cos ^{2}\eta \sin \eta ={\frac {\sin \eta +\sin 3\eta }{4}},$

on aura, par l’action du Soleil sur la Lune :

Force perturbatrice dans la direction du rayon,

$-{\frac {\mathrm {S} }{2\sigma ^{3}}}(1+3\cos 2\eta )x-{\frac {\mathrm {S} }{4\sigma ^{4}}}\left({\frac {9\cos \eta }{2}}+15\cos 3\eta \right)x^{2}\,;$

Force perturbatrice perpendiculaire au rayon,

$-{\frac {3\mathrm {S} }{2\sigma ^{3}}}\sin 2\eta \times x-{\frac {\mathrm {S} }{8\sigma ^{4}}}\left(3\sin \eta +15\sin 3\eta \right)x^{2}.$

12. À ces forces provenant de l’attraction du Soleil, il faut maintenant ajouter celles qui viennent de l’attraction de la Terre ; et comme on veut avoir égard à la non-sphéricité de sa figure, il est nécessaire de considérer en particulier l’attraction de chaque particule de la Terre sur la Lune et d’en chercher les forces résultantes.

Pour faciliter cette recherche, nous commencerons par établir cette proposition préliminaire, qui est assez facile à démontrer et qui peut être aussi utile dans d’autres occasions :

Si un point $\mathrm {A}$ attire un autre point $\mathrm {B}$ avec une force quelconque $\mathrm {F} ,$ et qu’on propose de décomposer cette force suivant trois directions données perpendiculaires entre elles ; soit $\Delta$ la distance entre les deux Corps, et soit $d\Delta$ l’accroissement de cette distance en supposant que le Corps attiré $\mathrm {B}$ parcoure, suivant l’une des directions dont il s’agit, l’espace infiniment petit $d\alpha ,$ on aura $-\mathrm {F} {\frac {d\Delta }{d\alpha }}$ pour la partie de la force $\mathrm {F}$ qui agit suivant cette même direction.

De là il s’ensuit que, si l’on détermine la position du point $\mathrm {B} ,$ par rapport au point $\mathrm {A} ,$ par trois variables $\alpha ,\beta ,\gamma ,$ dont les différentiellcs $d\alpha ,$ $d\beta ,d\gamma$ soient dans les directions suivant lesquelles il s’agit de décomposer la force $\mathrm {F} ,$ en sorte que la distance $\Delta$ soit une fonction de $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots ,$ et qu’on dénote, comme à l’ordinaire, par ${\frac {d\Delta }{d\alpha }},{\frac {d\Delta }{d\beta }},{\frac {d\Delta }{d\gamma }}$ les coefficients de $d\alpha ,d\beta ,d\gamma$ dans la différentielle de $\Delta ,$ on aura

$-\mathrm {F} {\frac {d\Delta }{d\alpha }},\quad -\mathrm {F} {\frac {d\Delta }{d\beta }},\quad -\mathrm {F} {\frac {d\Delta }{d\gamma }}$

pour les trois forces résultantes de la force $\mathrm {F} .$

Si $\mathrm {F}$ est proportionnelle à ${\frac {1}{\Delta ^{2}}},$ ce qui est le cas de l’attraction céleste, on aura

$\mathrm {F} d\Delta ={\frac {d\Delta }{\Delta ^{2}}}=-d{\frac {1}{\Delta }}\,;$

par conséquent, les trois forces dont il s’agit pourront se représenter par les coefficients de $d\alpha ,d\beta ,d\gamma$ dans la différentielle de ${\frac {1}{\Delta }}\,;$ en sorte qu’il suffira de trouver la valeur de ${\frac {1}{\Delta }}$ et de la différentier par les méthodes ordinaires.

Si le point $\mathrm {B}$ est attiré en même temps vers différents points $\mathrm {A,A'} ,$ $\mathrm {A} '',\ldots ,$ dont les distances à $\mathrm {B}$ soient $\Delta ,\Delta ',\Delta '',\ldots ,$ et dont les attractions soient

${\frac {\mathrm {M} }{\Delta ^{2}}},\quad {\frac {\mathrm {M} '}{\Delta '^{2}}},\quad {\frac {\mathrm {M} ''}{\Delta ''^{2}}},\ldots ,$

il est visible qu’il n’y aura qu’à chercher la valeur de la quantité

${\frac {\mathrm {M} }{\Delta }}+\quad {\frac {\mathrm {M} '}{\Delta '}}+\quad {\frac {\mathrm {M} ''}{\Delta ''}}+\ldots$

et la différentier suivant $\alpha ,\beta ,\gamma \,;$ les coefficients de $d\alpha ,d\beta ,d\gamma$ dans cette différentielle donneront immédiatement les forces cherchées. Donc, en général, si le point $\mathrm {B}$ est attiré par un Corps de figure quelconque et dont la masse soit $\mathrm {M} ,$ en considérant chaque élément $d\mathrm {M}$ de ce Corps comme un point attirant, il faudra prendre d’abord la somme de tous les ${\frac {d\mathrm {M} }{\Delta }},$ en faisant varier uniquement les quantités qui se rapportent aux

éléments $d\mathrm {M} ,$ et regardant les $\alpha ,\beta ,\gamma$ comme constantes ; dénotant cette somme par $\Sigma ,$ on y fera varier ensuite les quantités $\alpha ,\beta ,\gamma$ relatives à la position du point $\mathrm {B} ,$ et l’on aura

${\frac {d\Sigma }{d\alpha }},\quad {\frac {d\Sigma }{d\beta }},\quad {\frac {d\Sigma }{d\gamma }}$

pour les trois forces suivant $d\alpha ,d\beta ,d\gamma$ auxquelles se réduira l’effet de l’attraction totale du Corps $\mathrm {M}$ sur le point $\mathrm {B} .$

13. Cela posé, pour pouvoir appliquer avec facilité cette méthode à la recherche des forces qui résultent de l’attraction de toutes les parties de la Terre sur la Lune, nous considérerons le centre de la Terre, ainsi que le plan de son équateur, comme fixes ; et nous y rapporterons, tant la position de chaque particule $d\mathrm {M}$ de la Terre que celle du centre de la Lune, on ayant attention d’employer, pour déterminer la position de ce centre des lignes variables, dont les différentielles aient les mêmes directions qu’on veut donner aux forces résultantes de l’attraction totale de la Terre sur la Lune.

Nous supposerons de plus que l’axe de la Terre soit un de ses trois axes naturels de rotation, et que, par conséquent, les deux autres se trouvent dans le plan de l’équateur ; car, quelle que soit la figure de la Terre et la disposition intérieure de ses parties, la rotation constante et uniforme qu’elle a autour de son axe suffit pour nous convaincre que cet axe est nécessairement un de ses axes naturels de rotation ; de sorte que, comme les deux autres doivent être perpendiculaires à celui-là, ils ne peuvent être placés que dans le plan de l’équateur.

Donc, si l’on nomme $l$ la distance d’une particule quelconque $d\mathrm {M}$ de la Terre au plan de l’équateur, et $m,n$ les distances de cette même particule aux plans des méridiens qui passent par le deuxième et par le troisième axe naturel de rotation de la Terre, on aura d’abord, par les propriétés du centre de gravité,

$\int ld\mathrm {M} =0,\quad \int md\mathrm {M} =0,\quad \int nd\mathrm {M} =0,$

et, par les propriétés des axes naturels de rotation, on aura en mêmes temps

$\int lmd\mathrm {M} =0,\quad \int lnd\mathrm {M} =0,\quad \int mnd\mathrm {M} =0.$

14. Dans le cas où les deux hémisphères de la Terre sont supposés semblables et de densité uniforme, il est facile de voir qu’on aura de plus, en général,

$\int l^{\rho }\mathrm {P} d\mathrm {M} =0,$

$\rho$ étant un nombre impair quelconque, et $\mathrm {P}$ une fonction quelconque de $m$ et de $n\,;$ et, si la Terre est un sphéroïde de révolution, on aura

$\int n^{\rho }\mathrm {Q} d\mathrm {M} =0,\quad \int m^{\rho }\mathrm {R} d\mathrm {M} =0,$

$\mathrm {Q}$ étant une fonction quelconque de $l$ et $n,$ et $\mathrm {R}$ une fonction quelconque de $l$ et $m\,;$ mais ces quantités ne seront plus nulles dès qu’on voudra abandonner ces hypothèses et regarder la Terre comme ayant une figure quelconque.

15. Soient maintenant $\omega$ l’obliquité de l’écliptique, $z$ la longitude de la Lune comptée depuis l’équinoxe du printemps, et $y$ sa latitude ; nommant $q$ son ascension droite et $p$ sa déclinaison, on aura par la Trigonométrie ces deux équations

$\cos p\cos q=\cos y\cos z,$

$\sin p=\cos \omega \sin y+\sin \omega \cos y\sin z,$

d’où il est facile de tirer

$\cos p\sin q=-\sin \omega \sin y+\cos \omega \cos y\sin z.$

De plus, il est aisé de voir que, si l’on nomme $\rho$ le rayon de l’orbite lunaire, et que $\lambda$ soit la distance de la Lune au plan de l’équateur, $\mu$ sa distance au plan passant par le colure des équinoxes, et $\nu$ celle au plan

qui passe par le colure des solstices, il est aisé de voir, dis-je, que l’on aura

$\lambda =\rho \sin p,\quad \mu =\rho \cos p\sin q,\quad \nu =\rho \cos p\cos q,$

et par conséquent

${\begin{aligned}\lambda =&\rho (\cos \omega \sin y+\sin \omega \cos y\sin z),\\\mu =&-\rho (\sin \omega \sin y-\cos \omega \cos y\sin z),\\\nu =&\rho \cos y\cos z.\end{aligned}}$

Ainsi l’on connaîtra les coordonnées rectangles $\lambda ,\mu ,\nu$ de la Lune, rapportées au plan de l’équateur.

16. Or il est clair que l’ordonnée $\lambda$ est toujours parallèle à l’ordonnée $l,$ mais les autres ordonnées $\mu$ et $\nu$ ne peuvent être parallèles aux ordonnées $m$ et $n,$ que dans le cas où le deuxième axe de rotation de la Terre passerait par les équinoxes ; ainsi il faudra encore changer les coordonnées $\mu$ et $\nu$ en deux autres qui soient toujours parallèles aux coordonnées $m$ et $n,$ ou bien on changera ces dernières en deux autres parallèles à celles-là ; ce qui est d’ailleurs plus convenable, à cause que la ligne des équinoxes est à peu près fixe, au lieu que le deuxième et le troisième axe naturel de rotation de la Terre changent continuellement de position, à cause de sa révolution diurne autour du premier axe.

Soit donc $\psi$ l’angle que le deuxième axe de rotation de la Terre fait avec la ligne des équinoxes, c’est-à-dire, la distance du premier méridien à l’équinoxe, en nommant, ce qui est permis, premier méridien celui qui passe par ce même axe ; et qui est, par conséquent, fixe sur la surface de la Terre ; on verra aisément que, si l’on désigne par $m'$ et $n'$ les nouvelles coordonnées dont l’une serait perpendiculaire et l’autre parallèle à la ligne des équinoxes dans le plan de l’équateur, on aura

$m'=m\cos \psi +n\sin \psi ,\quad n'=n\cos \psi -m\sin \psi .$

Et, comme les coordonnées $l,m',n'$ qui répondent à la particule $d\mathrm {M}$ de la Terre sont respectivement parallèles aux coordonnées, $\lambda ,\mu ,\nu$ qui ré-

pondent au centre de la Lune, il est clair que la distance $\Delta$ de cette particule à la Lune sera exprimée par la formule

${\sqrt {(\lambda -l)^{2}+(\mu -m')^{2}+(\nu -n')^{2}}}.$

17. Soit, pour abréger, $l^{2}+m^{2}+n^{2}=r^{2}$ ($r$ étant la distance de la particule $d\mathrm {M}$ au centre de la Terre) ; on aura aussi $l^{2}+m'^{2}+n'^{2}=r^{2}\,;$ et, comme on a déjà $\lambda ^{2}+\mu ^{2}+\nu ^{2}=\rho ^{2},$ on aura, en substituant les valeurs de $\lambda ,\mu ,\nu$ et développant les termes,

${\begin{aligned}\Delta ^{2}=\rho ^{2}&-2\rho l(\cos \omega \sin y+\sin \omega \cos y\sin z)\\&+2\rho m'(\sin \omega \sin y-\cos \omega \cos y\sin z)\\&-2\rho n'\cos y\cos z+r^{2},\end{aligned}}$

où l’on remarquera que le rayon $\rho$ de l’orbite de la Lune est infiniment plus grand que les quantités $l,m,n,r\,;$ en sorte qu’on pourra exprimer commodément la valeur de ${\frac {1}{\Delta }}$ par une série fort convergente.

Pour cela je suppose

$p=l(\cos \omega \sin y+\sin \omega \cos y\sin z)-m'(\sin \omega \sin y-\cos \omega \cos y\sin z)$

$+n'\cos y\cos z\,;$

ou bien, en substituant les valeurs de $m'$ et $n',$

${\begin{aligned}p=&l(\cos \omega \sin y+\sin \omega \cos y\sin z)\\&-m\left[(\sin \omega \sin y-\cos \omega \cos y\sin z)\cos \psi +\cos y\cos z\sin \psi \right]\\&-n\ \left[(\sin \omega \sin y-\cos \omega \cos y\sin z)\sin \psi -\cos y\cos z\cos \psi \right],\end{aligned}}$

en sorte que l’on ait

$\Delta ={\sqrt {\rho ^{2}-2\rho p+r^{2}}}\,;$

et, regardant les quantités $p$ et $r$ comme très-petites du même ordre vis-à-vis de $\rho ,$ on aura

${\frac {1}{\Delta }}={\frac {1}{\rho }}-{\frac {1}{2\rho ^{3}}}\left(-2\rho p+r^{2}\right)-{\frac {1.3}{2.4\rho ^{5}}}\left(-2\rho p+r^{2}\right)^{2}$

$-{\frac {1.3.5}{2.4.6\rho ^{7}}}\left(-2\rho p+r^{2}\right)^{3}+\ldots ,$

c’est-à-dire, en ordonnant les termes par rapport aux puissances de $\rho ,$ et

ne poussant la précision que jusqu’aux infiniment petits du troisième ordre,

${\frac {1}{\Delta }}={\frac {1}{\rho }}+{\frac {p}{\rho ^{2}}}+{\frac {3p^{2}-r^{2}}{2\rho ^{3}}}+{\frac {5p^{3}-3pr^{2}}{2\rho ^{4}}}+\ldots .$

18. Faisons encore, pour abréger,

${\begin{aligned}\mathrm {P} =&\cos \omega \sin y+\sin \omega \cos y\sin z,\\\mathrm {Q} =&-(\sin \omega \sin y-\cos \omega \cos y\sin z)\cos \psi -\cos y\cos z\sin \psi ,\\\mathrm {R} =&-(\sin \omega \sin y-\cos \omega \cos y\sin z)\sin \psi +\cos y\cos z\cos \psi ,\end{aligned}}$

de manière que la valeur de $p$ soit représentée par $l\mathrm {P} +m\mathrm {Q} +n\mathrm {R} ,$ et, substituant cette quantité à la place de $p$ dans l’expression précédente de ${\frac {1}{\Delta }},$ on aura, à cause de $r^{2}=l^{2}+m^{2}+n^{2},$

${\begin{aligned}{\frac {1}{\Delta }}=&{\frac {1}{\rho }}+{\frac {l\mathrm {P} +m\mathrm {Q} +n\mathrm {R} }{\rho ^{2}}}\\&+{\frac {\left({\begin{aligned}&l^{2}\left(3\mathrm {P} ^{2}-1\right)+m^{2}\left(3\mathrm {Q} ^{2}-1\right)+n^{2}\left(3\mathrm {R} ^{2}-1\right)\\&+6(lm\mathrm {PQ} +ln\mathrm {PR} +mn\mathrm {QR} )\end{aligned}}\right)}{2\rho ^{3}}}\\&+{\frac {l^{3}\mathrm {\left(5P^{3}-3P\right)} +m^{3}\mathrm {\left(5Q^{3}-3Q\right)} +n^{3}\mathrm {\left(5R^{3}-3R\right)} }{2\rho ^{4}}}\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&+{\frac {\left({\begin{aligned}&3\left(l^{2}m\mathrm {Q} +l^{2}n\mathrm {R} \right)\left(5\mathrm {P} ^{2}-1\right)+3\left(m^{2}l\mathrm {P} +m^{2}n\mathrm {R} \right)\left(5\mathrm {Q} ^{2}-1\right)\\&+3\left(n^{2}l\mathrm {P} +n^{2}m\mathrm {Q} \right)\left(5\mathrm {R} ^{2}-1\right)\end{aligned}}\right)}{2\rho ^{4}}}\end{aligned}}$^[2].

Donc, multipliant cette quantité par $d\mathrm {M} ,$ et intégrant en ne faisant varier que les quantités $l,m,n,$ on aura la valeur de $\int {\frac {d\mathrm {M} }{\Delta }}$ ou de $\Sigma$ (n^o 12) ; ainsi, en faisant attention que (n^o 13)

${\begin{array}{lll}\int ld\mathrm {M} =0,&\int md\mathrm {M} =0,&\int nd\mathrm {M} =0,\\\int lmd\mathrm {M} =0,&\int lnd\mathrm {M} =0,&\int mnd\mathrm {M} =0,\end{array}}$

et supposant, pour plus de simplicité,

${\begin{alignedat}{3}\int l^{2}\ d\mathrm {M} =&a^{2}\mathrm {M} ,&\qquad \int m^{2}\,d\mathrm {M} =&b^{2}\mathrm {M} ,&\qquad \int n^{2}\ \,d\mathrm {M} =&c^{2}\mathrm {M} ,\\\int l^{3}\ d\mathrm {M} =&f^{3}\mathrm {M} ,&\qquad \int lm^{2}d\mathrm {M} =&f'^{3}\mathrm {M} ,&\qquad \int ln^{2}\ d\mathrm {M} =&f''^{3}\mathrm {M} ,\\\int m^{3}d\mathrm {M} =&g^{3}\mathrm {M} ,&\qquad \int ml^{2}d\mathrm {M} =&g'^{3}\mathrm {M} ,&\qquad \int mn^{2}d\mathrm {M} =&g''^{3}\mathrm {M} ,\\\int n^{3}\ d\mathrm {M} =&h^{3}\mathrm {M} ,&\qquad \int nl^{2}\ d\mathrm {M} =&h'^{3}\mathrm {M} ,&\qquad \int nm^{2}d\mathrm {M} =&h''^{3}\mathrm {M} ,\end{alignedat}}$

on aura

${\begin{aligned}\Sigma =&{\frac {\mathrm {M} }{\rho }}+{\frac {a^{2}\left(3\mathrm {P} ^{2}-1\right)+b^{2}\left(3\mathrm {Q} ^{2}-1\right)+c^{2}\left(3\mathrm {R} ^{2}-1\right)}{2\rho ^{3}}}\mathrm {M} \\&+{\frac {f^{3}\mathrm {\left(5P^{3}-3P\right)} +3f'^{3}\mathrm {P\left(5Q^{2}-1\right)} +3f''^{3}\mathrm {P\left(5R^{2}-1\right)} }{2\rho ^{4}}}\mathrm {M} \\&+{\frac {g^{3}\mathrm {\left(5Q^{3}-3Q\right)} +3g'^{3}\mathrm {Q\left(5P^{2}-1\right)} +3g''^{3}\mathrm {Q\left(5R^{2}-1\right)} }{2\rho ^{4}}}\mathrm {M} \\&+{\frac {h^{3}\mathrm {\left(5R^{3}-3R\right)} +3h'^{3}\mathrm {R\left(5P^{2}-1\right)} +3h''^{3}\mathrm {R\left(5Q^{2}-1\right)} }{2\rho ^{4}}}\mathrm {M} .\end{aligned}}$

19. Or, comme $\rho$ est la distance du centre de la Lune au centre de la Terre, et que $z,y$ sont deux angles dont l’un représente la longitude de la Lune sur l’écliptique et l’autre sa latitude, il est clair qu’en faisant varier ces trois quantités à la fois on aura $-d\rho ,\ \rho \cos ydz$ et $\rho dy$ pour les trois petits espaces que le centre de la Lune parcourra suivant la direction du rayon $\rho$ et suivant deux autres directions perpendiculaires à celle-ci, dont l’une parallèle au plan de l’écliptique et l’autre dans un plan perpendiculaire à l’écliptique. Ainsi, prenant ces trois quantités pour les différences $d\alpha ,d\beta ,d\gamma$ (n^o 12), on aura

$-{\frac {d\Sigma }{d\rho }},\quad {\frac {1}{\rho \cos y}}{\frac {d\Sigma }{dz}},\quad {\frac {1}{\rho }}{\frac {d\Sigma }{dy}},$

pour les expressions des forces résultantes de l’attraction de toutes les

parties de la Terre sur la Lune, et dont les directions seront les mêmes que celles des petits espaces $-d\rho ,\ \rho \cos ydz,\ \rho dy.$

Si, au lieu du rayon $\rho$ de l’orbite réelle de la Lune, on introduisait le rayon $x$ de son orbite projetée sur l’écliptique, et qu’au lieu de la latitude $y$ on introduisît la distance perpendiculaire de la Lune au plan de l’écliptique $q,$ ce qui ne demande que de mettre partout, dans l’expression de $\Sigma$,

${\sqrt {x^{2}+q^{2}}}$

à la place de $\rho$, et ${\frac {q}{\sqrt {x^{2}+q^{2}}}},{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+q^{2}}}}$ à la place de $\sin y$ et $\cos y,$ alors, en faisant varier les trois quantités $x,z,q,$ et prenant $-dx,xdz$ et $dq$ pour $d\alpha ,d\beta ,d\gamma ,$ on aurait les trois forces

$-{\frac {d\Sigma }{dx}},\quad {\frac {1}{x}}{\frac {d\Sigma }{dz}},\quad {\frac {d\Sigma }{dq}},$

qui seraient équivalentes aux précédentes, mais dont la première agirait suivant la direction du rayon $x,$ la seconde perpendiculairement à ce rayon et parallèlement à l’écliptique, la troisième perpendiculairement à ces deux-là.

Comme cette dernière manière d’envisager les forces qui proviennent de l’action de la Terre sur la Lune est beaucoup plus convenable, lorsqu’on ne veut pas considérer l’orbite réelle de la Lune, mais son orbite projetée sur l’écliptique, ainsi que nous l’avons fait plus haut, nous nous y tiendrons dans la recherche présente, et nous remarquerons d’abord qu’on peut faire abstraction de la latitude de la Lune $y,$ qui étant toujours assez petite, et étant d’ailleurs tantôt positive, tantôt négative, ne saurait influer que très-peu sur son mouvement moyen ; c’est pourquoi on pourra simplifier nos formules en y supposant d’avance $y=0$ et $\rho =x,$ ce qui donnera

${\begin{aligned}\mathrm {P} =&\sin \omega \sin z,\\\mathrm {Q} =&\cos \omega \sin z\cos \psi -\cos z\sin \psi ,\\\mathrm {R} =&\cos \omega \sin z\sin \,\psi +\cos z\cos \psi \,;\end{aligned}}$

et l’on n’aura plus qu’à considérer les deux forces

$-{\frac {d\Sigma }{dx}},\quad {\frac {1}{x}}{\frac {d\Sigma }{dz}},$

parallèles à l’écliptique et dirigées, la première suivant le rayon $x,$ et la seconde perpendiculairement à ce rayon ; de sorte que si l’on fait, pour abréger,

${\begin{aligned}\mathrm {P} '=&\sin \omega \cos z={\frac {d\mathrm {P} }{dz}},\\\mathrm {Q} '=&\cos \omega \cos z\cos \psi +\sin z\sin \psi ={\frac {d\mathrm {Q} }{dz}},\\\mathrm {R} '=&\cos \omega \cos z\sin \,\psi -\sin z\cos \psi ={\frac {d\mathrm {R} }{dz}},\end{aligned}}$

on aura, pour la force qui agit suivant la direction du rayon $x,$ cette expression

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {M} }{x^{2}}}&+3{\frac {a^{2}\left(3\mathrm {P} ^{2}-1\right)+b^{2}\left(3\mathrm {Q} ^{2}-1\right)+c^{2}\left(3\mathrm {R} ^{2}-1\right)}{2x^{4}}}\mathrm {M} \\&+2{\frac {f^{3}\mathrm {\left(5P^{3}-3P\right)} +3f'^{3}\mathrm {P\left(5Q^{2}-1\right)} +3f''^{3}\mathrm {P\left(5R^{2}-1\right)} }{x^{5}}}\mathrm {M} \\&+2{\frac {g^{3}\mathrm {\left(5Q^{3}-3Q\right)} +3g'^{3}\mathrm {Q\left(5P^{2}-1\right)} +3g''^{3}\mathrm {Q\left(5R^{2}-1\right)} }{x^{5}}}\mathrm {M} \\&+2{\frac {h^{3}\mathrm {\left(5R^{3}-3R\right)} +3h'^{3}\mathrm {R\left(5P^{2}-1\right)} +3h''^{3}\mathrm {R\left(5Q^{2}-1\right)} }{x^{5}}}\mathrm {M} ,\end{aligned}}$

et, pour celle qui agit perpendiculairement au rayon, celle-ci

${\begin{aligned}3&{\frac {a^{2}\mathrm {PP'} +b^{2}\mathrm {QQ'} +c^{2}\mathrm {RR'} }{x^{4}}}\mathrm {M} \\&+3{\frac {\left({\begin{aligned}&f^{3}\mathrm {\left(5P^{2}-1\right)P'} +f'^{3}\mathrm {\left[\left(5Q^{2}-1\right)P'+10PQQ'\right]} \\&\,\ \qquad \qquad \qquad +f''^{3}\mathrm {\left[\left(5R^{2}-1\right)P'+10PRR'\right]} \end{aligned}}\right)}{2x^{5}}}\mathrm {M} \\&+3{\frac {\left({\begin{aligned}&g^{3}\mathrm {\left(5Q^{2}-1\right)Q'} +g'^{3}\mathrm {\left[\left(5P^{2}-1\right)Q'+10QPP'\right]} \\&\,\ \qquad \qquad \qquad +g''^{3}\mathrm {\left[\left(5R^{2}-1\right)Q'+10QRR'\right]} \end{aligned}}\right)}{2x^{5}}}\mathrm {M} \\&+3{\frac {\left({\begin{aligned}&h^{3}\mathrm {\left(5R^{2}-1\right)R'} +h'^{3}\mathrm {\left[\left(5P^{2}-1\right)R'+10RPP'\right]} \\&\,\ \qquad \qquad \qquad +h''^{3}\mathrm {\left[\left(5Q^{2}-1\right)R'+10RQQ'\right]} \end{aligned}}\right)}{2x^{5}}}\mathrm {M} .\end{aligned}}$

La première de ces deux forces sera donc celle qui pousse la Lune vers le centre de la Terre, en vertu de l’attraction de toutes les parties de la Terre ; et il est visible que le premier terme ${\frac {\mathrm {M} }{x^{2}}}$ de l’expression de cette force représentera l’attraction de la Terre sur la Lune, lorsqu’on n’a point d’égard à sa figure et qu’on la suppose toute concentrée dans un point ; de sorte que les autres termes de la même formule exprimeront la force perturbatrice de la Lune, dans la direction du rayon vecteur, provenant de la non-sphéricité de la Terre ; ainsi, joignant cette force à celle qu’on a trouvée plus haut (n^o 11) suivant la même direction, on aura la valeur de la force totale perturbatrice $\Phi$ (n^o 10).

La seconde des forces trouvées ci-dessus, agissant perpendiculairement au rayon vecteur de l’orhite de la Lune, devra être pareillement ajoutée à celle qu’on a trouvée suivant la même directions, en vertu de l’action du Soleil, et l’on aura la valeur de l’autre force perturbatrice $\Pi$ (numéros cités).

20. Si la Terre était sphérique et composée de couches concentriques de densité uniforme, il est facile de voir qu’on aurait nécessairement (n^o 18)

$a^{2}=b^{2}=c^{2},\quad {\text{et}}\quad f^{3}=0,\quad f'^{3}=0,\quad f''^{3}=0,\quad g^{3}=0,\ldots \,;$

par conséquent les deux forces ci-dessus se réduiraient à

${\frac {\mathrm {M} }{x}}+{\frac {3a^{2}\mathrm {\left(P^{2}+Q^{2}+R^{2}-1\right)} }{2x^{4}}}\mathrm {M} ,\quad {\frac {3a^{2}\mathrm {\left(PP'+QQ'+RR'\right)} }{x^{4}}}\mathrm {M} \,;$

mais on a

$\mathrm {P^{2}+Q^{2}+R^{2}=1,\quad PP'+QQ'+RR'=0} ,$

comme on peut s’en convaincre par les valeurs de $\mathrm {P,Q,R,P'} ,\ldots \,;$ donc la première des deux forces précédentes, celle qui agit dans la direction du rayon vecteur, se réduira à ${\frac {\mathrm {M} }{x^{2}}},$ c’est-à-dire, à ce qu’elle serait si la Terre était concentrée dans un point ; et la seconde deviendra entièrement nulle, ce qui s’accorde avec ce que l’on sait d’ailleurs.

Au reste les conditions de

$a^{2}=b^{2}=c^{2},\quad {\text{et de}}\quad f^{3}=0,\quad f'^{3}=0,\ldots$

peuvent avoir lieu d’une infinité de manières différentes, et sans que le Corps soit sphérique et de densité uniforme dans chaque couche ; mais, quoique ces conditions suffisent pour rendre nulles les forces perturbatrices que nous venons de trouver, cependant, comme les expressions précédentes ne sont qu’approchées, il est clair que les forces perturbatrices ne seront réellement nulles que lorsque tous les autres termes qu’on a négligés s’évanouiront aussi en même temps. Il n’y a peut-être que le seul cas où le Corps est sphérique, et de densité uniforme dans chaque couche, dans lequel les forces perturbatrices soient exactement et rigoureusement nulles ; mais c’est ce qui paraît assez difficile à démontrer.

Si l’on suppose que la Terre soit un solide quelconque de révolution, en sorte que tous ses méridiens aient la même figure, et que de plus toutes les parties de même densité y soient distribuées de manière qu’elles forment des couches semblables, supposition qui paraît la plus naturelle et la plus générale qu’on puisse faire, du moins, en tant qu’on regarde la Terre comme ayant été originairement fluide, on aura, dans cette hypothèse,

$b^{2}=c^{2},\quad f'^{3}=f''^{3},\quad {\text{et}}\quad g^{3}=0,\quad g'^{3}=0,\quad g''^{3}=0,$

$h^{3}=0,\quad h'^{3}=0,\quad h''^{3}=0,$

comme il est facile de s’en convaincre avec un peu de réflexion ; ainsi, à cause de

$\mathrm {P^{2}+Q^{2}+R^{2}=1,\quad {\text{et}}\quad PP'+QQ'+RR'=0} ,$

les deux forces perturbatrices provenant de la non-sphéricité de la Terre deviendront

${\begin{aligned}{\frac {3\left(a^{2}-b^{2}\right)\left(3\mathrm {P} ^{2}-1\right)}{2x^{4}}}\mathrm {M} &+{\frac {2\left(f^{3}-3f'^{3}\right)\mathrm {\left(5P^{3}-\ 3P\,\right)} }{x^{5}}}\mathrm {M} ,\\{\frac {3\left(a^{2}-b^{2}\right)\mathrm {PP} '}{x^{4}}}\mathrm {M} &+{\frac {3\left(f^{3}-3f'^{3}\right)\left(5\mathrm {P} ^{2}-1\right)\mathrm {P} '}{2x^{5}}}\mathrm {M} ,\end{aligned}}$

dont la première agira suivant le rayon vecteur $x,$ et l’autre perpendiculairement à ce rayon.

En supposant que la Terre soit un sphéroïde elliptique et homogène, on aura, en nommant $\alpha$ le demi-axe et $\beta$ le demi-diamètre de l’équateur,

$a^{2}={\frac {\alpha ^{2}}{5}},\quad b^{2}={\frac {\beta ^{2}}{5}}\,;$

et le rapport de $\beta$ à $\alpha$ est, par la Théorie de la figure de la Terre, égal à $1+{\frac {1}{230}},$ et par les observations égal à $1+{\frac {1}{178}}.$

En général, quels que soient la figure de la Terre et l’arrangement intérieur de ses parties, pourvu que $b^{2}=c^{2},$ on trouve, par la Théorie de la précession des équinoxes, que la précession moyenne annuelle des équinoxes, en vertu de l’action combinée du Soleil et de la Lune, est exprimée par

${\frac {3\left(b^{2}-a^{2}\right)}{46^{2}}}\left(1+\sigma \nu ^{2}\right)\cos \omega \times {\text{mouv. diurne }}\circledast ,$

$\sigma$ étant le rapport de la masse de la Lune à celle de la Terre, $\nu$ le rapport du mouvement de la Lune à celui du Soleil, et $\omega$ l’obliquité de l’écliptique. Or, par les observations, on sait que la précession moyenne, est de $50''\,;$ donc, exprimant aussi en secondes le mouvement diurne du Soleil, qui est de $59'8''=3548'',$ on aura, à cause de $\cos \omega =\cos 23^{\circ }29'={\frac {917}{1000}}$ et $\nu ^{2}=178,$

${\frac {b^{2}-a^{2}}{b^{2}}}={\frac {200000}{9760548(1+178\sigma )}}={\frac {1}{48{,}80274(1+178\sigma )}}\,;$

donc, si $\sigma$ est ${\frac {1}{70}}$ suivant M. Daniel Bernoulli, on aura

${\frac {b^{2}-a^{2}}{b^{2}}}={\frac {7}{4{,}880274.248}}={\frac {1}{173}}$ à peu près.

21. Ayant donc trouvé les valeurs des forces perturbatrices $\Phi$ et $\Pi ,$ tant en vertu de l’action du Soleil que de celle de la Terre regardée comme non sphérique, il ne faudra plus que les substituer dans les équations VI et VII du n^o 10, pour pouvoir déterminer les inégalités de la Lune, qui résultent de ces deux causes ; mais, comme les effets de la première ont déjà été suffisamment examinés par les géomètres qui ont travaillé sur la Théorie de la Lune, et que notre objet n’est que de rechercher si la non-sphéricité de la Terre peut servir à expliquer l’équation séculaire de la Lune, il suffira d’avoir égard, dans les équations dont nous venons de parler, aux termes provenant de l’action de la Terre, soit seule, soit combinée avec celle du Soleil, et même, parmi ces termes, à ceux-là seuls qui paraîtront pouvoir produire une altération dans le mouvement moyen. Nous ferons, pour cet effet, les remarques suivantes.

22. Nous avons déjà vu que, pour que la Lune ait une équation séculaire réelle, il faut que l’angle du mouvement vrai $\varphi$ renferme, outre l’angle du mouvement moyen $\mathrm {Z} ,$ qui est proportionnel au temps $t,$ encore le terme $i\mathrm {Z} ^{2}$ (n^o 2) ; et si l’équation séculaire n’est qu’apparente, alors, au lieu du terme $i\mathrm {Z} ^{2},$ il faudra qu’il y en ait un de cette forme

${\frac {2i}{\mu \sin \mathrm {A} }}\mathrm {\left(Z\cos A+{\frac {\sin A-\sin(A+\mu Z)}{\mu }}\right)} ,$

$\mu$ étant un coefficient très-petit (n^o 6) ; donc on aura dans le premier cas, abstraction faite des autres inégalités,

$\varphi =\mathrm {Z} +i\mathrm {Z} ^{2},$

d’où l’on tire à très-peu près

$\mathrm {Z} =\varphi -i\varphi ^{2},$

et, supposant $dt=nd\mathrm {Z} ,$

${\frac {dt}{d\varphi }}=n(1-2i\varphi ).$

Dans le second cas, on aura

$\varphi =\mathrm {Z} +{\frac {2i}{\mu \sin \mathrm {A} }}\mathrm {\left[Z\cos A+{\frac {\sin A-\sin(A+\mu Z)}{\mu }}\right]} ,$

d’où l’on tire de même

$\mathrm {Z} =\varphi -{\frac {2i}{\mu \sin \mathrm {A} }}\mathrm {\left[\varphi \cos A+{\frac {\sin A-\sin(A+\mu \varphi )}{\mu }}\right]} ,$

et de là

${\frac {dt}{d\varphi }}=n\left[1-{\frac {2i}{\sin \mathrm {A} }}\mathrm {\frac {\cos A-\cos(A+\mu \varphi )}{\mu }} \right].$

Or l’équation VII donne

${\frac {dt}{d\varphi }}={\frac {1}{ku^{2}}}\left(1-\int {\frac {\Pi d\varphi }{k^{2}u^{3}}}\right)\,;$

donc on aura dans le premier cas

$nu^{2}(1-2i\varphi )={\frac {1}{k}}-\int {\frac {\Pi d\varphi }{k^{3}u^{3}}},$

et, différentiant, on trouvera

${\frac {\Pi }{k^{3}u^{3}}}=-{\frac {2nudu}{d\varphi }}(1-2i\varphi )+2inu^{2}\,;$

or, comme ${\frac {1}{u}},$ rayon vecteur de l’orbite de la Lune, est une quantité à très-peu près constante, il s’ensuit que la valeur de ${\frac {\Pi }{u^{3}}}$ contiendra nécessairement un terme tout constant, qui sera exprimé par $2ink^{3}\gamma ^{2},$ $\gamma ^{2}$ étant le terme tout constant de la valeur de $u^{2}.$

Dans l’autre cas, on aura l’équation

$nu^{2}\left[1-{\frac {2i}{\sin \mathrm {A} }}\mathrm {\frac {\cos A-\cos(A+\mu \varphi )}{\mu }} \right]={\frac {1}{k}}-\int {\frac {\Pi d\varphi }{k^{3}u^{3}}},$

d’où l’on tire

${\frac {\Pi }{k^{3}u^{3}}}=-{\frac {2nudu}{d\varphi }}\left[1-{\frac {2i}{\sin \mathrm {A} }}\mathrm {\frac {\cos A-\cos(A+\mu \varphi )}{\mu }} \right]+2inu^{2}\mathrm {\frac {\sin(A+\mu \varphi )}{\sin A}} \,;$

de sorte que dans ce cas il faudra que la valeur de ${\frac {\Pi }{u^{3}}}$ contienne un terme de la forme

$2ink^{3}\gamma ^{2}\mathrm {\frac {\sin(A+\mu \varphi )}{\sin A}} ,$

$\mu$ étant un coefficient extrêmement petit.

On peut conclure de là, en général, que l’équation séculaire de la Lune ne peut avoir lieu à moins que la quantité ${\frac {\Pi }{u^{3}}}$ ne contienne ou un terme tout constant, ou un terme qui renferme le sinus d’un angle qui varie infiniment peu, et qui soit par conséquent à très-peu près constant, au moins pendant un grand nombre de révolutions ; dans le premier cas, l’équation séculaire de la Lune sera réelle et ira en augmentant comme les carrés des temps ; dans le second, elle ne sera qu’apparente et ne différera des autres équations du mouvement de la Lune que par la longueur de sa période.

23. Tout se réduit donc à examiner si la quantité ${\frac {\Pi }{u^{3}}}$ peut contenir des termes de l’espèce de ceux dont nous venons de parler, et pour cela il n’y aura qu’à considérer les différents angles dont les sinus ou cosinus entreront dans la valeur de ${\frac {\Pi }{u^{3}}},$ et à voir s’il y a quelque combinaison de ces angles qui puisse donner un angle constant ou à peu près constant ; alors on n’aura égard qu’aux termes qui pourront donner de telles combinaisons dans les équations VI et VII, et il sera facile d’en déduire l’équation séculaire cherchée.

Je remarque donc d’abord que les forces perturbatrices de la Lune, qui dépendent de l’action du Soleil, ne renferment que les sinus ou cosinus de l’angle $\eta$ et de ses multiples, avec les deux variables $x$ ou ${\frac {1}{u}}$ et $\sigma ,$ et que celles qui viennent de la non-sphéricité de la Terre ne contiennent que les sinus ou cosinus des angles $z$ et $\psi$ avec la variable $x\,;$ car, pour ce qui regarde l’angle $\omega ,$ qui exprime l’obliquité de l’écliptique, on doit le considérer comme une quantité constante.

Je remarque en second lieu que, $\sigma$ étant le rayon vecteur de l’orbite du Soleil, on aura, comme l’on sait,

${\frac {1}{\sigma }}={\frac {1+\varepsilon \cos \xi }{\lambda }},$

$\lambda$ étant la distance moyenne, $\varepsilon$ l’excentricité et $\xi$ l’anomalie vraie ; de même, $x$ étant le rayon vecteur de l’orbite de la Lune, on aurait, sans les forces perturbatrices,

${\frac {1}{x}}=u={\frac {1+e\cos s}{l}},$

$l$ étant la distance moyenne de la Lune, $e$ l’excentricité de son orbite, et $s$ l’anomalie vraie ; mais, à cause des forces perturbatrices, on aura

${\frac {1}{x}}=u={\frac {1+e\cos s+v}{l}},$

$v$ étant une variable très-petite et dépendant uniquement de ces forces. De là il est facile de conclure que les inégalités du mouvement de la Lune, abstraction faite de l’inclinaison de l’orbite, mais en ayant égard à la non-sphéricité de la Terre, ne pourront dépendre que de ces cinq angles $\xi ,s,\eta ,z$ et $\psi \,;$ et il est facile de se convaincre_1, en particulier, que la valeur de ${\frac {\Pi }{u^{3}}}$ se réduira à une suite de termes de la forme

$\Lambda \sin(m\xi +ns+p\eta +qz+r\psi ),$

$m,n,p,q,r$ étant des coefficients indéterminés exprimés par des nombres entiers positifs ou négatifs, en y comprenant zéro et l’unité ; or, si l’on se rappelle que l’on a

$\xi =$ anomalie du Soleil,

$s=$ anomalie de la Lune,

$\eta =$ distance de la Lune au Soleil,

$z=$ longitude de la Lune comptée depuis l’équinoxe,

$\psi =$ distance du premier méridien de la Terre au colure des équinoxes,

et qu’on examine les rapports de ces angles entre eux, lesquels sont à

très-peu près connus par les observations, on verra aisément qu’il n’y a que cette combinaison $z-\xi -\eta$ et ses multiples qui puissent former des angles presque constants ; en effet, il est clair que $z-\xi$ sera égal à la longitude de la Lune moins celle du Soleil, plus la longitude de l’apogée du Soleil, c’est-à-dire, égal à la distance de la Lune au Soleil plus la longitude de l’apogée du Soleil ; par conséquent, nommant $\alpha$ la longitude de l’apogée du Soleil, on aura

$z-\xi =\eta +\alpha \,;$

donc

$z-\xi -\eta =\alpha .$

Or on sait que $\alpha$ est une quantité presque constante, qui ne varie que de $1^{\circ }50'$ par siècle, suivant les Tables de Mayer, de sorte que l’angle $z-\xi -\eta$ et ses multiples seront dans le cas dont il s’agit ; ainsi, dans la recherche de l’équation séculaire de la Lune, il suffira de tenir compte des termes qui renfermeront les trois angles $z,\xi ,\eta \,;$ d’où je conclus d’abord que, dans les expressions des forces perturbatrices provenant de la non-sphéricité de la Terre, on pourra rejeter les termes qui contiendront les sinus ou cosinus de l’angle $\psi \,;$ ce qui servira beaucoup à simplifier ces expressions.

24. De cette manière on aura donc, d’après les formules du n^o 19,

${\begin{aligned}\mathrm {P} ^{2}=&{\frac {\sin ^{2}\omega (1-\cos 2z)}{2}},\\\mathrm {Q} ^{2}=&\mathrm {R} ^{2}={\frac {2-\sin ^{2}\omega (1-\cos 2z)}{4}},\\\mathrm {P} ^{3}=&{\frac {\sin ^{3}\omega (3\sin z-\sin 3z)}{4}},\\\mathrm {PQ} ^{2}=&\mathrm {PR} ^{2}={\frac {\left(4-3\sin ^{2}\omega \right)\sin \omega \sin z+\sin ^{3}\omega \sin 3z}{8}},\end{aligned}}$

et toutes les autres quantités $\mathrm {Q^{3},QP^{2}} ,\ldots$ seront nulles.

Et comme

$\mathrm {P} '={\frac {d\mathrm {P} }{dz}},\quad \mathrm {Q} '={\frac {d\mathrm {Q} }{dz}},\quad \mathrm {R} '={\frac {d\mathrm {R} }{dz}},$

on aura, par la différentiation,

${\begin{aligned}\mathrm {PP'} =&{\frac {\sin ^{2}\omega \sin 2z}{2}},\\\mathrm {QQ'} =&\mathrm {RR'} =-{\frac {\sin ^{2}\omega \sin 2z}{4}},\\\mathrm {P^{2}P'} =&{\frac {\sin ^{3}\omega (\cos z-\cos 3z)}{4}},\\\mathrm {Q^{2}P'} +&\mathrm {2PQQ'} =\mathrm {R^{2}P'+2PRR'} \\&\qquad \qquad \qquad ={\frac {\left(4-3\sin ^{2}\omega \right)\sin \omega \cos z+3\sin ^{3}\omega \cos 3z}{8}}.\end{aligned}}$

toutes les autres quantités $\mathrm {Q^{2}Q',R^{2}R'} ,\ldots$ étant nulles.

Faisant donc ces substitutions dans les formules du n^o 19, et supposant, pour abréger,

${\begin{aligned}\mathrm {B} =&\mathrm {M} \left(a^{2}-{\frac {b^{2}+c^{2}}{2}}\right)\left(1-{\frac {3\sin ^{2}\omega }{2}}\right),\\\mathrm {C} =&{\frac {3\mathrm {M} }{2}}\left(a^{2}-{\frac {b^{2}+c^{2}}{2}}\right)\sin ^{2}\omega ,\\\mathrm {D} =&{\frac {3\mathrm {M} }{2}}\left(2f^{3}-3f'^{3}-3f''^{3}\right)\left(\sin \omega -{\frac {5}{4}}\sin ^{3}\omega \right),\\\mathrm {E} =&{\frac {5\mathrm {M} }{8}}\left(2f^{3}-3f'^{3}-3f''^{3}\right)\sin ^{3}\omega ,\end{aligned}}$

on aura, à cause de la non-sphéricité de la Terre

Force perturbatrice dans la direction du rayon,

$-{\frac {3}{2}}{\frac {\mathrm {B+C} \cos 2z}{x^{4}}}-2{\frac {\mathrm {D} \sin z+\mathrm {E} \sin 3z}{x^{5}}}\,;$

Force perturbatrice perpendiculaire au rayon,

${\frac {\mathrm {C} \sin 2z}{x^{4}}}-{\frac {\mathrm {D} \cos z+3\mathrm {E} \cos 3z}{2x^{5}}}.$

25. Il faut maintenant reprendre les expressions des forces perturbatrices résultant de l’action du Soleil (n^o 11) et y substituer à la place de $\sigma$ sa valeur ${\frac {\lambda }{1+\varepsilon \cos \xi }}\,;$ mais il ne sera pas nécessaire de faire cette substitution en entier ; car, par ce que nous venons de remarquer dans le numéro précédent, il est visible qu’il suffira d’avoir égard aux termes qui contiendront des sinus ou des cosinus de l’angle $\xi +\eta$ ou de ses multiples. Or la valeur précédente de $\sigma$ donne celles-ci

${\begin{aligned}{\frac {1}{\sigma ^{3}}}=&{\frac {1+{\cfrac {3\varepsilon ^{2}}{2}}}{\lambda ^{3}}}+{\frac {3\varepsilon +{\cfrac {3\varepsilon ^{3}}{4}}}{\lambda ^{3}}}\cos \xi +{\frac {3\varepsilon ^{2}}{2\lambda ^{3}}}\cos 2\xi +{\frac {\varepsilon ^{3}}{4\lambda ^{3}}}\cos 3\xi ,\\{\frac {1}{\sigma ^{4}}}=&{\frac {1+3\varepsilon ^{2}+{\cfrac {3\varepsilon ^{4}}{8}}}{\lambda ^{4}}}+{\frac {4\varepsilon +3\varepsilon ^{3}}{\lambda ^{4}}}\cos \xi +{\frac {3\varepsilon ^{2}+{\cfrac {\varepsilon ^{4}}{2}}}{\lambda ^{4}}}\cos 2\xi +{\frac {\varepsilon ^{3}}{\lambda ^{4}}}\cos 3\xi +{\frac {\varepsilon ^{4}}{8\lambda ^{4}}}\cos 4\xi \,;\end{aligned}}$

donc, substituant ces valeurs et rejetant tous les termes qui contiendraient d’autres angles que $\xi +\eta ,$ on aura, par l’action du Soleil

Force perturbatrice dans la direction du rayon,

${\begin{aligned}-{\frac {\mathrm {S} }{2\lambda ^{3}}}&\left(1+{\frac {3\varepsilon ^{2}}{2}}+{\frac {9\varepsilon ^{2}}{4}}\cos 2(\xi +\eta )\right)x,\\-{\frac {\mathrm {S} }{4\lambda ^{4}}}&\left({\frac {9}{4}}\left(4\varepsilon +3\varepsilon ^{3}\right)\cos(\xi +\eta )+{\frac {15\varepsilon ^{3}}{2}}\cos 3(\xi +\eta )\right)x^{2}\,;\end{aligned}}$

Force perturbatrice perpendiculaire au rayon,

${\begin{aligned}-{\frac {3\mathrm {S} }{2\lambda ^{3}}}&\left({\frac {3\varepsilon ^{2}}{4}}\sin 2(\xi +\eta )\right)x,\\-{\frac {\mathrm {S} }{8\lambda ^{4}}}&\left({\frac {3}{2}}\left(4\varepsilon +3\varepsilon ^{3}\right)\sin(\xi +\eta )+{\frac {15\varepsilon ^{3}}{2}}\sin 3(\xi +\eta )\right)x^{2}.\end{aligned}}$

Joignant donc ces forces à celles du numéro précédent, on aura les valeurs des quantités $\Phi$ et $\Pi ,$ lesquelles, en mettant pour plus de simplicité ${\frac {1}{\nu ^{2}}}$ à la place de ${\frac {\mathrm {S} }{\lambda ^{3}}},$ se trouveront exprimées de la manière suivante

${\begin{aligned}\Phi =&-{\frac {1}{2\nu ^{2}}}\left(1+{\frac {3\varepsilon ^{2}}{2}}+{\frac {9\varepsilon ^{2}}{4}}\cos 2(\xi +\eta )\right)\\&-{\frac {3\varepsilon }{4\nu ^{2}\lambda }}\left[\left(3+{\frac {9\varepsilon ^{2}}{4}}\right)\cos(\xi +\eta )+{\frac {5\varepsilon ^{2}}{2}}\cos 3(\xi +\eta )\right]x^{2}\\&-{\frac {3}{2}}{\frac {\mathrm {B} +\mathrm {C} \cos 2z}{x^{4}}}-2{\frac {\mathrm {D} \sin z+\mathrm {E} \sin 3z}{x^{5}}},\\\\\Pi =&-{\frac {9\varepsilon ^{2}}{8\nu ^{2}}}\sin 2(\xi +\eta )x\\&-{\frac {3\varepsilon }{4\nu ^{2}\lambda }}\left[\left(1+{\frac {3\varepsilon ^{2}}{4}}\right)\sin(\xi +\eta )+{\frac {5\varepsilon ^{2}}{4}}\sin 3(\xi +\eta )\right]x^{2}\\&-{\frac {\mathrm {C} \sin 2z}{x^{4}}}-{\frac {\mathrm {D} \cos z+3\mathrm {E} \cos 3z}{2x^{5}}}.\end{aligned}}$

26. On substituera maintenant ces valeurs de $\Phi$ et de $\Pi$ dans l’équation VI de l’orbite de la Lune, laquelle deviendra par là, à cause de $x={\frac {1}{u}},$

${\begin{aligned}\mathrm {VIII} .\quad 2{\frac {d^{2}u}{d\varphi ^{2}}}&+u-{\frac {1}{k^{2}}}+{\frac {1}{2\nu ^{2}k^{2}u^{3}}}\left[1+{\frac {3\varepsilon ^{2}}{2}}+{\frac {9\varepsilon ^{2}}{4}}\cos 2(\xi +\eta )\right]\\&+{\frac {3\varepsilon }{4\nu ^{2}k^{2}\lambda u^{4}}}\left[\left(3+{\frac {9\varepsilon ^{2}}{4}}\right)\cos(\xi +\eta )+{\frac {5\varepsilon ^{2}}{2}}\cos 3(\xi +\eta )\right]\\&+{\frac {3u^{2}}{2k^{2}}}(\mathrm {B+C} \cos 2z)+{\frac {2u^{3}}{k^{2}}}(\mathrm {D} \sin z+\mathrm {E} \sin 3z)\\&-{\frac {9\varepsilon ^{2}}{4k^{4}\nu ^{2}}}\int {\frac {\sin 2(\xi +\eta )}{u^{4}}}d\varphi -{\frac {9\varepsilon ^{2}}{8\nu ^{2}}}{\frac {\sin 2(\xi +\eta )d\omega }{u^{4}d\varphi }}\\&-{\frac {3\varepsilon }{2k^{4}\nu ^{2}\lambda }}\left[\left(1+{\frac {3\varepsilon ^{2}}{4}}\right)\int {\frac {\sin(\xi +\eta )}{u^{5}}}d\varphi -{\frac {5\varepsilon ^{2}}{4}}{\frac {\sin 3(\xi +\eta )}{u^{5}}}d\varphi \right]\\&-{\frac {3\varepsilon }{2k^{4}\nu ^{2}\lambda }}\left[\left(1+{\frac {3\varepsilon ^{2}}{4}}\right){\frac {\sin(\xi +\eta )du}{u^{5}d\varphi }}-{\frac {5\varepsilon ^{2}}{4}}{\frac {\sin 3(\xi +\eta )}{u^{5}d\varphi }}\right]\\&+{\frac {2}{k^{4}}}\left(\mathrm {C} \int u\sin 2zd\varphi -{\frac {\mathrm {D} }{2}}\int u^{2}\cos zd\varphi -{\frac {3\mathrm {E} }{2}}\int u^{2}\cos 3zd\varphi \right)\\&+{\frac {1}{k^{2}}}\left(\mathrm {C} {\frac {\sin 2z.udu}{d\varphi }}-{\frac {\mathrm {D} }{2}}{\frac {\cos z.u^{2}du}{d\varphi }}-{\frac {3\mathrm {E} }{2}}{\frac {\cos 3z.u^{2}du}{d\varphi }}\right)=0.\end{aligned}}$

J’ai supposé, dans cette équation, la masse $\mathrm {M}$ de la Terre égale à l’unité ; de sorte que, si l’on suppose aussi (ce qui est également permis) que la distance moyenne $l$ de la Lune à la Terre soit $=1,$ on aura ${\frac {\mathrm {M} }{l^{3}}}=1\,;$ par conséquent, comme on a, par les Théorèmes de Huyghens, ${\sqrt {\frac {\mathrm {S} }{\lambda ^{3}}}}:{\sqrt {\frac {\mathrm {M} }{l^{3}}}}$ égal au rapport du temps périodique de la Lune au temps périodique de la Terre, ou (ce qui est la même chose) au rapport du mouvement moyen de la Terre à celui de la Lune, la quantité ${\frac {1}{\sqrt {\cfrac {\mathrm {S} }{\lambda ^{3}}}}},$ ou bien $\nu ,$ exprimera le rapport du mouvement moyen de la Lune à celui du Soleil, lequel est environ de $13:1,$ ou plus exactement ${\sqrt {178{\frac {29}{40}}}}:1.$

27. De plus on aura, à cause de $l=1$ (n^o 23),

$u=1+e\cos s+v,$

et il faudra que la quantité $v$ ne contienne ni aucun terme tout constant, ni aucun terme affecté de $\cos s\,;$ ainsi, après avoir substitué cette valeur dans l’équation précédente, on y fera disparaître tous les termes qui renfermeront $\cos s,$ ainsi que ceux qui ne contiendront aucun sinus ou cosinus ; ce qui donnera deux équations dont l’une servira à déterminer le rapport ${\frac {ds}{d\varphi }}$ qui est supposé constant, et l’autre servira à déterminer la constante $k\,;$ mais, comme l’équation VII n’est pas exacte, à cause des différents termes qu’on y a négligés comme inutiles dans la recherche de l’équation séculaire, on ne pourra déterminer de cette manière les deux quantités dont il s’agit ; ainsi l’on se contentera de rejeter les termes en question sans faire attention aux conditions nécessaires pour la destruction rigoureuse de ces termes, et l’on pourra prendre, sans erreur sensible, pour $k$ sa valeur approchée $1,$ et pour ${\frac {ds}{d\varphi }}$ sa valeur donnée par les observations.

Supposons donc ${\frac {ds}{d\varphi }}=p,$ et soient de plus ${\frac {d\xi +d\eta }{d\varphi }}=\varpi ,\ {\frac {dz}{d\varphi }}=q,$ en sorte que $p-1$ désigne le rapport du mouvement de l’apogée de la Lune à son mouvement moyen en longitude, $\varpi -1$ le rapport du mouvement de l’apogée du Soleil au mouvement moyen de la Lune, et $q-1$ le rapport du mouvement des points équinoxiaux à ce même mouvement moyen (n^o 23) ; il est facile de voir que l’équation VII deviendra de cette forme

${\frac {d^{2}v}{d\varphi ^{2}}}+n^{2}v+\Omega =0,$

où

$n^{2}=1-3{\frac {1+{\cfrac {3\varepsilon ^{2}}{2}}}{2\nu ^{2}k^{2}}}+{\frac {6\mathrm {B} }{k^{2}}},$

et $\Omega$ sera composée de différents termes de la forme $\mathrm {A} \cos(a+\alpha \varphi )\,;$ et l’on sait que chacun de ces termes donnera dans la valeur de $v$ le terme correspondant ${\frac {\mathrm {A} }{\alpha ^{2}-n^{2}}}\cos(a+\alpha \varphi )\,;$ de sorte qu’on aura facilement par ce moyen la valeur complète de $v$.

28. Pour avoir les termes qui doivent composer la valeur de $\Omega$, il n’y aura qu’à substituer dans les termes de l’équation VII, qui sont affectées de quelques sinus ou cosinus, $1+e\cos s$ à la place de $u,$ parce qu’on peut négliger dans la première approximation la quantité très-petite $v\,;$ on pourrait même négliger aussi le terme $e\cos s,$ qui est fort petit vis-à-vis de $1,$ la valeur de $e$ étant environ ${\frac {1}{20}}\,;$ mais comme on sait que, dans la Théorie de la Lune, il se rencontre des termes qui augmentent beaucoup par l’intégration, il faut voir si de pareils termes ne peuvent pas venir du terme $e\cos s\,;$ or, comme les coefficients $p,\varpi ,q$ et $n$ diffèrent peu de l’unité, il est d’abord clair que les deux termes qui contiennent $\sin(\xi +\eta )$ et $\sin z$ sous le signe $\int ,$ étant multipliés par $\cos s,$ en donneront deux autres qui contiendront $\sin(\xi +\eta -s)$ et $\sin(z-s),$ et qui, étant multipliés par $d\varphi$ et intégrés ensuite, se trouveront augmentés dans les raisons de $1$ à ${\frac {1}{\varpi -n}}$ et de $1$ à ${\frac {1}{q-n}}\,;$ ainsi il sera bon de conserver ces termes.

De plus, les termes qui contiennent des sinus ou cosinus de $2(\xi +\eta )$ et de $2z,$ étant multipliés par $\cos s,$ en donneront d’autres qui contiendront des sinus ou cosinus de $2(\xi +\eta )-s$ et de $2z-s\,;$ et ces sortes de termes augmenteront beaucoup dans la valeur de $v,$ puisqu’ils devront être divisés par les quantités très-petites $(2\varpi -p)^{2}-n^{2}$ et $(2q-p)^{2}-n^{2}\,;$ il faudra donc aussi avoir recours aux termes de cette espèce.

À l’exception des termes dont nous venons de parler, on pourra mettre partout ailleurs $1$ à la place de $u,$ et l’on trouvera, toutes réductions faites,

${\begin{aligned}\Omega =&\mathrm {L} \cos 2(\xi +\eta )+\mathrm {M} \cos(\xi +\eta )+\mathrm {N} \cos 3(\xi +\eta )+\mathrm {P} \cos 2z+\mathrm {Q} \sin z+\mathrm {R} \sin 3z\\&+\mathrm {S} \cos \left[2(\xi +\eta )-s\right]+\mathrm {T} \cos(\xi +\eta -s)+\mathrm {V} \cos(2z-s)+\mathrm {X} \sin(z-s),\end{aligned}}$

où les coefficients $\mathrm {L,M} ,\ldots$ auront les valeurs suivantes

${\begin{aligned}\mathrm {L} \,=&{\frac {9\varepsilon ^{2}}{8\nu ^{2}k^{2}}}+{\frac {9\varepsilon ^{2}}{8\nu ^{2}k^{4}\varpi }},\\\\\mathrm {M} =&{\frac {9\varepsilon \left(1+{\cfrac {3\varepsilon ^{2}}{4}}\right)}{4\nu ^{2}k^{2}\lambda }}+{\frac {3\varepsilon \left(1+{\cfrac {3\varepsilon ^{2}}{4}}\right)}{2\nu ^{2}k^{3}\lambda \varpi }},\\\\\mathrm {N} =&{\frac {15\varepsilon ^{3}}{8\nu ^{2}k^{2}\lambda }}+{\frac {5\varepsilon ^{3}}{8\nu ^{2}k^{4}\lambda \varpi }},\\\\\mathrm {P} =&{\frac {3\mathrm {C} }{2k^{2}}}-{\frac {\mathrm {C} }{k^{4}q}},\\\\\mathrm {Q} =&{\frac {2\mathrm {D} }{k^{2}}}-{\frac {\mathrm {D} }{k^{4}q}},\\\\\mathrm {R} =&{\frac {2\mathrm {E} }{k^{2}}}-{\frac {\mathrm {E} }{k^{4}q}},\\\\\mathrm {S} =&-{\frac {27\varepsilon ^{2}e}{16\nu ^{2}k^{2}}}-{\frac {9\varepsilon ^{2}e}{2\nu ^{2}k^{4}(2\varpi -p)}}+{\frac {9\varepsilon ^{2}ep}{16\nu ^{2}}},\\\\\mathrm {T} =&-{\frac {15\varepsilon \left(1+{\cfrac {3\varepsilon ^{2}}{4}}\right)e}{4\nu ^{2}k^{4}\lambda (\varpi -p)}},\\\\\mathrm {V} =&{\frac {3\mathrm {C} e}{2k^{2}}}-{\frac {\mathrm {C} e}{k^{4}(2q-p)}}-{\frac {\mathrm {C} pe}{2k^{2}}},\\\\\mathrm {X} =&-{\frac {2\mathrm {D} e}{k^{4}(q-p)}}.\end{aligned}}$

Et de là on trouvera