Mémoires extraits des recueils de l’Académie des sciences de Paris et de l’Institut de France/Lettre de Lagrange à Laplace, relative à la Théorie des inégalités séculaires des planètes

Joseph-Louis Lagrange

Lettre de Lagrange à Laplace, relative à la Théorie des inégalités séculaires des planètes

Mémoires extraits des recueils de l’Académie des sciences de Paris et de l’Institut de France, Gauthier-Villars, 1868, Œuvres de Lagrange. Tome VI (p. 631-632).

LETTRE DE LAGRANGE À LAPLACE,
RELATIVE À LA
THÉORIE DES INÉGALITÉS SÉCULAIRES DES PLANÈTES^[1].

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(Mémoires de l’Académie Royale des Sciences de Paris, année 1772.)

Je prends la solution du Problème des trois Corps de M. Clairaut (Théorie de la Lune, p. 6), et j’observe que, puisque

${\frac {f^{2}}{\mathrm {M} r}}=1-\sin u\left(g-\int {\text{☊}}du\cos u\right)-\cos u\left(c+\int {\text{☊}}du\sin u\right),$

si l’on fait

$g-\int {\text{☊}}du\cos u=e\sin \mathrm {I} ,\quad c+\int {\text{☊}}du\sin u=e\cos \mathrm {I} ,$

on a

${\frac {f^{2}}{\mathrm {\mathrm {M} } r}}=1-e\cos(u-\mathrm {I} )\,;$

en sorte que $e$ sera l’excentricité et $\mathrm {I}$ le lieu de l’aphélie, et il est remarquable que les quantités $e$ et $\mathrm {I}$ peuvent être regardées comme con-

stantes, pendant que les quantités $r$ et $u$ varient de $dr$ et $du\,;$ car, comme

${\frac {f^{2}}{\mathrm {M} r}}=1-e\sin \mathrm {I} \sin u-e\cos \mathrm {I} \cos u,$

il suffit de démontrer que la différentielle de cette équation est nulle, en ne faisant varier que les deux quantités $e\sin \mathrm {I} ,e\cos \mathrm {I} \,;$ c’est-à-dire, que

$\sin .d(e\sin \mathrm {I} )+\cos .d(e\cos \mathrm {I} )=0\,;$

mais

$d(e\sin \mathrm {I} )=-{\text{☊}}du\cos u,\quad {\text{et}}\quad d(e\cos \mathrm {I} )={\text{☊}}du\sin u,$

donc, etc. Je fais donc

$x=e\sin \mathrm {I} ,\quad y=e\cos \mathrm {I} \,;$

j’ai

${\frac {f^{2}}{\mathrm {M} r}}=1-x\sin u-y\cos u,$

et ensuite j’ai, en différentiant, les équations

$dx=-{\text{☊}}\cos udu,\quad dy={\text{☊}}\sin udu\,;$

si l’on substitue, dans ces équations et dans les autres semblables, les valeurs de $r$ et de $u$ en $x,y$ et $t,$ et que l’on ne conserve que les termes où $x,y,$ $x',y',\ldots$ seront linéaires et multipliés par des coefficients constants, on aura les équations cherchées ; il faut seulement avoir soin de ne pas rejeter, dans la quantité ${\text{☊}},$ les termes de la forme

$\int x\sin udu,\quad \int x\cos udu,\quad \int y\sin udu,\quad \int y\cos udu,$

et les autres semblables ; car ces termes, étant transformés en $x\cos u+\int dx\cos u,\ldots ,$ produiront, dans les équations différentielles, des termes de la forme demandée ; à l’égard des quantités $\int dx\cos u,\ldots ,$ on pourra les négliger entièrement, parce que $dx$ est déjà très-petit de l’ordre des masses des planètes perturbatrices.

1. Laplace, en reproduisant cette Lettre, à la suite de ses Recherches sur les inégalités séculaires, insérées dans le volume de 1772, la fait précéder des lignes suivantes :

   « Ayant envoyé à M. de Lagrange mes Recherches sur les inégalités séculaires des planètes, lorsqu’elles furent imprimées, ce grand Géomètre me communiqua, dans une Lettre datée du 10 avril 1775, qu’il me fit l’honneur de m’écrire à ce sujet, une méthode très-élégante et que les Géomètres verront avec plaisir, pour trouver directement les équations différentielles de l’excentricité et de l’aphélie ; la voici telle qu’il me l’a envoyée. »