Mémoires extraits des recueils de l’Académie des sciences de Paris et de l’Institut de France/Recherches sur la Théorie des perturbations que les comètes peuvent éprouver par l’action des planètes

Joseph-Louis Lagrange

Recherches sur la Théorie des perturbations que les comètes peuvent éprouver par l’action des planètes

Mémoires extraits des recueils de l’Académie des sciences de Paris et de l’Institut de France, Gauthier-Villars, 1868, Œuvres de Lagrange. Tome VI (p. 403-503).

RECHERCHES
SUR LA
THÉORIE DES PERTURBATIONS
QUE LES COMÈTES PEUVENT ÉPROUVER PAR L’ACTION DES PLANÈTES.

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(Mémoires des Savants étrangers, t. X, 1785. Prix de l’Académie pour l’année 1778.)

Ces Recherches sont divisées en quatre Sections, que je vais parcourir sommairement.

Dans la première Section, je donne d’abord les équations générales du mouvement d’une comète autour du Soleil, en ayant égard aux perturbations qu’elle peut éprouver par l’action d’une ou de plusieurs planètes, et en rapportant les lieux tant de la comète que des planètes à des coordonnées rectangles. Je simplifie ensuite ces équations en partageant chacune d’elles en deux, dont l’une appartienne à l’orbite non altérée et dont l’autre renferme l’effet des perturbations, et je fais voir qu’en négligeant, à l’exemple des grands Géomètres qui ont déjà traité la Théorie des comètes, les carrés et les produits des forces perturbatrices, on peut considérer à part l’action de chaque planète, et prendre la somme des effets de leurs différentes actions pour l’effet total de leurs actions réunies. Enfin je montre comment on peut satisfaire aux équations différentielles des perturbations, dans le cas où la comète serait à une distance du Soleil infiniment grande par rapport à la distance de la planète au Soleil d’où résulte naturellement une transformation de ces mêmes équations, laquelle en facilite beaucoup l’intégration relativement à la partie supérieure de l’orbite de la comète. Cette transformation tient lieu des méthodes synthétiques proposées jusqu’ici pour simplifier le calcul des perturbations dans les régions supérieures de l’orbite, et elle a en même temps l’avantage de conserver l’uniformité dans la marche du calcul.

La deuxième Section est destinée uniquement à l’intégration des équations différentielles de l’orbite non altérée, et contient une solution complète du fameux Problème que Newton a résolu le premier, et une foule d’Auteurs après lui. Je me flatte que mon analyse pourra paraître encore digne de l’attention des Géomètres par sa simplicité et par sa généralité elle est d’ailleurs nécessaire pour les calculs de la Section suivante, et fournit différentes formules qui sont d’un grand usage dans tout le cours de cet Ouvrage.

Dans la troisième Section, je m’occupe de l’intégration des équations différentielles des perturbations. Je fais voir comment leurs intégrales se déduisent naturellement de celles des équations de l’orbite non altérée, en y faisant varier les constantes arbitraires qui représentent les éléments de l’orbite ce qui conduit directement à exprimer l’effet des perturbations par la variation des éléments de l’orbite considérée comme elliptique et ces variations se trouvent déterminées par des formules différentielles assez simples, dont chacune ne demande qu’une seule intégration. Je fais ensuite usage des transformations proposées dans la première Section pour les parties supérieures de l’orbite ; les formules différentielles dont il s’agit deviennent par là composées d’une partie absolument intégrable et d’une partie non intégrable, mais qui est toujours d’autant plus petite que la comète est plus éloignée du Soleil, en sorte qu’elle devient insensible lorsque la comète est à une très-grande distance du Soleil. Je termine cette Section par les formules générales qui expriment l’altération de la durée des révolutions anomalistiques et périodiques de la comète.

La quatrième Section contient l’application des méthodes et des formules données dans les Sections précédentes aux perturbations des comètes, et en particulier à celles de la comète de 1532 et de 1661. Toute la difficulté de cette application consiste dans l’intégration des formules différentielles qui déterminent les variations des éléments de l’orbite. Après avoir mis ces formules sous une forme plus simple et plus commode pour le calcul, je montre les obstacles qui s’opposent à leur intégration générale, et qui obligent d’avoir recours aux quadratures des courbes mécaniques. Comme la méthode de ces quadratures est assez connue par les Ouvrages de Cotes et de Stirling, je n’entre là-dessus dans aucun détail ; mais je remarque qu’il y a des cas où l’usage de cette méthode cesse d’être légitime c’est lorsque la distance entre la comète et la planète perturbatrice est fort petite et approche de son minimum. Je donne pour ces sortes de cas une méthode particulière, qui réduit l’intégration aux logarithmes ou aux arcs de cercles, et ne peut jamais être sujette à aucun inconvénient. Tout ce que nous venons de dire ne regarde que la partie inférieure de l’orbite de la comète ; car, pour la partie supérieure de cette orbite, dans laquelle la distance de la comète au Soleil sera beaucoup plus grande que la distance de la planète au Soleil, je fais voir que la partie des formules différentielles qu’il reste à enregistrer se partage de nouveau en deux parties l’une indépendante du lieu de la planète, et qui est absolument intégrable ; l’autre qui contient les sinus ou cosinus de l’angle du moyen mouvement de la planète, et qui n’est intégrable par aucune méthode connue, mais dont je démontre que l’intégrale est nécessairement beaucoup plus petite que celle de la première partie, en sorte qu’on peut la négliger entièrement ; et, au cas qu’on voulût pousser l’exactitude plus loin, je donne un moyen d’approcher de plus en plus de la vraie valeur de cette intégrale. D’où il s’ensuit que, dans les régions supérieures de l’orbite des comètes, on peut déterminer leurs perturbations par des formules analytiques, qui ne demandent que des substitutions numériques pour donner les résultats cherchés, comme dans le cas des planètes. Je considère enfin la comète des années 1532 et 1661, que les Astronomes attendent vers 1789 ou 1790, et je déduis des éléments de cette comète toutes les données nécessaires pour le calcul de ses perturbations. Comme, dans le Programme de 1778, on n’exige pas que les concurrents donnent les résultats numériques de ce calcul, je m’abstiens d’entrer dans aucun détail à cet égard ; mais je me flatte qu’il n’y aura point de calculateur tant soit peu intelligent qui ne soit en état d’appliquer à la comète dont il s’agit la Théorie exposée dans cet Ouvrage.

Tels sont les principaux objets du travail que je soumets au jugement de l’Académie ; j’en serai suffisamment récompensé si cette illustre Compagnie daigne l’honorer de quelque attention.

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section première.

équations différentielles du mouvement d’une comète autour du soleil, en ayant égard aux perturbations qu’elle peut éprouver par l’action des planètes.

1. Je prends la masse du Soleil pour l’unité, et je nomme $m$ la masse de la comète, $\mu ,\mu ',\ldots$ les masses des planètes perturbatrices. Il est clair que ces quantités $m,\mu ,\mu ',\ldots$ doivent être des fractions très-petites, puisqu’elles expriment les rapports des masses de la comète et des planètes à la masse du Soleil ; en effet on sait que Jupiter, la plus grosse de toutes les planètes, a environ mille fois moins de masse que le Soleil ; et quant aux masses des comètes, quoiqu’elles soient inconnues, on ne peut guère les supposer plus grandes que celle de Jupiter, autrement il pourrait résulter de leur attraction des dérangements sensibles dans les orbites des planètes ; ce que les observations n’ont pas encore fait connaître, et ce qu’on ne suppose pas d’ailleurs qui arrive dans le Problème des comètes, tel qu’on l’a envisagé jusqu’à présent.

Nous regarderons donc dans la suite et nous traiterons les quantités $m,\mu ,\mu ',\ldots$ comme des quantités très-petites, dont il sera permis de négliger les puissances et les produits de deux ou de plusieurs dimensions. Cette supposition est conforme à ce que les Géomètres ont pratiqué jusqu’ici dans la Théorie des planètes principales et dans celle des comètes, et une plus grande exactitude ne serait peut-être d’aucune utilité.

2. Je rapporte les orbites que la comète et les planètes décrivent autour du Soleil à des coordonnées rectangles, prises du centre de cet astre, et parallèles à trois droites fixes et perpendiculaires entre elles.

Et je nomme ces coordonnées $x,y,z$ pour l’orbite de la comète ; $\xi ,\eta ,\zeta$ pour l’orbite de la planète $\mu \,;$ $\xi ',\eta ',\zeta '$ pour l’orbite de la planète $\mu ',$ etc.

Je nomme de plus $r$ la distance de la comète au Soleil, ou le rayon vecteur de son orbite ; $\rho$ le rayon vecteur de l’orbite de la planète $\mu \,;$ $\rho '$ le rayon vecteur de l’orbite de la planète $\mu ',etc.$

Enfin je désigne par $\mathrm {R}$ la distance de la planète $\mu$ à la comète ; par $\mathrm {R} '$ la distance de la planète $\mu '$ à la comète, etc.

Il est clair qu’on aura

$r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\quad \rho ={\sqrt {\xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2}}},\quad \rho '={\sqrt {\xi '^{2}+\eta '^{2}+\zeta '^{2}}},\ldots ,$

$\mathrm {R} ={\sqrt {(x-\xi )^{2}+(y-\eta )^{2}+(z-\zeta )^{2}}},\quad \mathrm {R} '={\sqrt {(x-\xi ')^{2}+(y-\eta ')^{2}+(z-\zeta ')^{2}}},\ldots .$

3. Cela posé, si l’on décompose, suivant les directions des trois coordonnées rectangles $x,y,z,$ toutes les forces qui agissent sur la comète pour lui faire décrire son orbite autour du Soleil, savoir les attractions ${\frac {1}{r^{2}}},{\frac {\mu }{\mathrm {R} ^{2}}},{\frac {\mu '}{\mathrm {R} '^{2}}},\ldots$ exercées par le Soleil et par les planètes sur la comète, et les attractions ${\frac {m}{r^{2}}},{\frac {\mu }{\rho ^{2}}},{\frac {\mu '}{\rho '^{2}}},\ldots$ exercées par la comète et par les planètes sur le Soleil, et qui doivent être transportées à la comète en sens contraire et qu’on égale la somme de toutes les forces qui agissent suivant la ligne $x$ et qui tendent à diminuer cette ligne à $-{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},$ la somme de toutes les forces qui agissent suivant $y$ à $-{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}},$ et la somme de toutes les forces qui agissent suivant $z$ à $-{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}},$ $dt$ étant les éléments du temps supposés constants, on aura ces trois équations

${\begin{aligned}&{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+{\frac {(1+m)x}{r^{3}}}+\mu \left({\frac {x-\xi }{\mathrm {R} ^{3}}}+{\frac {\xi }{\rho ^{3}}}\right)+\mu '\left({\frac {x-\xi '}{\mathrm {R} '^{3}}}+{\frac {\xi '}{\rho '^{3}}}\right)+\ldots =0,\\&{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}\,+{\frac {(1+m)y}{r^{3}}}+\mu \left({\frac {y-\eta }{\mathrm {R} ^{3}}}+{\frac {\eta }{\rho ^{3}}}\right)+\mu '\left({\frac {y-\eta '}{\mathrm {R} '^{3}}}+{\frac {\eta '}{\rho '^{3}}}\right)+\ldots =0,\\&{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}\,+{\frac {(1+m)z}{r^{3}}}+\mu \left({\frac {z-\zeta }{\mathrm {R} ^{3}}}+{\frac {\zeta }{\rho ^{3}}}\right)\,+\mu '\left({\frac {z-\zeta '}{\mathrm {R} '^{3}}}\,+{\frac {\zeta '}{\rho '^{3}}}\right)+\ldots =0,\end{aligned}}$

lesquelles, d’après les principes connus de la Dynamique, serviront à déterminer le mouvement de la comète par rapport au Soleil regardé comme immobile.

4. On aura des équations semblables pour le mouvement de la planète $\mu$ autour du Soleil, en tant qu’elle est dérangée par l’action de la comète et des autres planètes ; pour cela, il n’y aura qu’à changer, dans les équations précédentes, les quantités $m,x,y,z,r,$ appartenant à l’orbite de la comète, dans les quantités analogues $\mu ,\xi ,\eta ,\zeta ,\rho ,$ appartenant à l’orbite de la planète, et vice versâ, celles-ci en celles-là.

Mais il faut considérer que pour notre objet il n’est pas nécessaire de tenir compte des termes affectés des quantités très-petites $m,\mu ,\mu ',\ldots$ dans les équations de la planète, parce que les quantités $\xi ,\eta ,\zeta$ dépendant de ces équations ne se trouvent dans les équations de la comète que dans des termes déjà affectés de la quantité très-petite $\mu .$

On peut donc réduire les équations de la planète $\mu$ aux deux premiers termes, savoir

${\begin{aligned}&{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}+{\frac {(1+\mu )\xi }{\rho ^{3}}}=0,\\&{\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}+{\frac {(1+\mu )\eta }{\rho ^{3}}}=0,\\&{\frac {d^{2}\zeta }{dt^{2}}}+{\frac {(1+\mu )\zeta }{\rho ^{3}}}=0\,;\end{aligned}}$

et l’on réduira, par des raisons semblables, les équations du mouvement

de la planète $\mu '$ à celles-ci

${\begin{aligned}&{\frac {d^{2}\xi '}{dt^{2}}}+{\frac {(1+\mu ')\xi '}{\rho '^{3}}}=0,\\&{\frac {d^{2}\eta '}{dt^{2}}}+{\frac {(1+\mu ')\eta '}{\rho '^{3}}}=0,\\&{\frac {d^{2}\zeta '}{dt^{2}}}+{\frac {(1+\mu ')\zeta '}{\rho '^{3}}}=0\,;\end{aligned}}$

et ainsi pour les autres planètes perturbatrices.

Ces réductions sont fondées, comme l’on voit, sur la supposition que, dans le calcul des perturbations des comètes, on néglige les perturbations des planètes perturbatrices. Si cette supposition n’est pas rigoureusement exacte, elle est du moins permise dans la première approximation, à laquelle nous nous contenterons ici de borner nos Recherches, à l’exemple des grands Géomètres qui ont traité avant nous le Problème des comètes.

5. En considérant les expressions des quantités $r,\rho ,\rho ',\ldots ,\mathrm {R,R'} ,\ldots ,$ il est aisé de voir qu’on peut mettre les équations précédentes sous une forme plus simple que voici :

Pour la comète,

${\begin{aligned}&{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=(1+m){\frac {d{\cfrac {1}{r}}}{dx}}+\mu {\frac {d\left({\cfrac {1}{\rho }}-{\cfrac {1}{\mathrm {R} }}\right)}{d\xi }}+\mu '{\frac {d\left({\cfrac {1}{\rho '}}-{\cfrac {1}{\mathrm {R} '}}\right)}{d\xi '}}+\ldots ,\\&{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=(1+m){\frac {d{\cfrac {1}{r}}}{dy}}+\mu {\frac {d\left({\cfrac {1}{\rho }}-{\cfrac {1}{\mathrm {R} }}\right)}{d\eta }}+\mu '{\frac {d\left({\cfrac {1}{\rho '}}-{\cfrac {1}{\mathrm {R} '}}\right)}{d\eta '}}+\ldots ,\\&{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=(1+m){\frac {d{\cfrac {1}{r}}}{dz}}+\mu {\frac {d\left({\cfrac {1}{\rho }}-{\cfrac {1}{\mathrm {R} }}\right)}{d\zeta }}+\mu '{\frac {d\left({\cfrac {1}{\rho '}}-{\cfrac {1}{\mathrm {R} '}}\right)}{d\zeta '}}+\ldots \,;\end{aligned}}$

Pour la planète $\mu ,$

${\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=(1+\mu ){\frac {d{\cfrac {1}{\rho }}}{d\xi }},\quad {\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}=(1+\mu ){\frac {d{\cfrac {1}{\rho }}}{d\eta }},\quad {\frac {d^{2}\zeta }{dt^{2}}}=(1+\mu ){\frac {d{\cfrac {1}{\rho }}}{d\zeta }}\,;$

Pour la planète $\mu ',$

${\frac {d^{2}\xi '}{dt^{2}}}=(1+\mu '){\frac {d{\cfrac {1}{\rho '}}}{d\xi '}},\quad {\frac {d^{2}\eta '}{dt^{2}}}=(1+\mu '){\frac {d{\cfrac {1}{\rho '}}}{d\eta '}},\quad {\frac {d^{2}\zeta '}{dt^{2}}}=(1+\mu '){\frac {d{\cfrac {1}{\rho '}}}{d\zeta '}}\,;$

et ainsi des autres.

Dans ces formules, les expressions ${\frac {d{\cfrac {1}{r}}}{dx}},{\frac {d{\cfrac {1}{r}}}{dy}},\ldots$ dénotent, suivant la notation reçue parmi les Géomètres, les coefficients de $dx,dy,\ldots$ dans la différentielle de ${\frac {1}{r}}\,;$ et ainsi des autres expressions semblables.

6. Si l’on suppose que dans le mouvement de la comète on fasse abstraction des forces perturbatrices, il faudra rejeter, dans les équations de la comète, les termes affectés de $\mu ,\mu ',\ldots \,;$ on aura ainsi

Pour l’orbite non altérée de la comète,

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=(1+m){\frac {d{\cfrac {1}{r}}}{dx}},\quad {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=(1+m){\frac {d{\cfrac {1}{r}}}{dy}},\quad {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=(1+m){\frac {d{\cfrac {1}{r}}}{dz}}.$

Nous pouvons supposer que les quantités $x,y,z$ se rapportent à l’orbite non altérée, et sont par conséquent déterminées par les équations précédentes ; dans cette supposition, il est clair que les vraies valeurs des quantités $x,y,z,$ dans l’orbite troublée, ne peuvent différer des précédentes que par des quantités très-petites de l’ordre de $\mu ,\mu ',\ldots ,$ qu’on peut désigner, pour plus de simplicité, par la caractéristique $\delta ,$ à la manière des différences ordinaires ; et la recherche des perturbations de la comète se réduira à déterminer les valeurs des différences $\delta x,\delta y,\delta z.$

7. Dorénavant donc les quantités $x,y,z,r$ appartiendront toujours à l’orbite non altérée de la comète, et devront par conséquent se déterminer par les équations du numéro précédent. Dans l’orbite troublée, ces quantités deviendront $x+\delta x,y+\delta y,z+\delta z,r+\delta r,$ et devront être déterminées par les équations du n^o 5, en mettant dans ces équations ces nouvelles quantités à la place des premières $x,y,z,r.$ Or, comme les différences $\delta x,\delta y,\delta z$ sont très-petites de l’ordre $\mu ,\mu ',\ldots ,$ il suffira de conserver, dans cette substitution, les premières dimensions de ces différences (par l’hypothèse du n^o 1), dans les termes non affectés de $\mu ,\mu ',\ldots \,;$ et, dans les termes affectés de ces quantités, on pourra négliger tout à fait les différences dont il s’agit.

Ainsi donc le terme ${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}$ de la première équation du n^o 5 deviendra

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+{\frac {d^{2}\delta x}{dt^{2}}},$

le terme $(1+m){\frac {d{\cfrac {1}{r}}}{dx}}$ de la même équation deviendra

$(1+m){\frac {d{\cfrac {1}{r}}}{dx}}+(1+m)\left({\frac {d^{2}{\cfrac {1}{r}}}{dx^{2}}}\delta x+{\frac {d^{2}{\cfrac {1}{r}}}{dxdy}}\delta y+{\frac {d^{2}{\cfrac {1}{r}}}{dxdz}}\delta z\right),$

et les autres termes demeureront les mêmes.

On transformera de même la deuxième et la troisième équation du mouvement de la comète, et, effaçant ensuite les termes qui se détruisent en vertu des équations du n^o 6, on aura ces trois-ci, qui serviront à déterminer les valeurs des quantités $\delta x,\delta y,\delta z$, dues aux perturbations de la comète :

Pour les perturbations de la comète,

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\delta x}{dt^{2}}}=&(1+m)\left({\frac {d^{2}{\cfrac {1}{r}}}{dx^{2}}}\delta x+{\frac {d^{2}{\cfrac {1}{r}}}{dxdy}}\delta y+{\frac {d^{2}{\cfrac {1}{r}}}{dxdz}}\delta z\right)\\&\qquad \qquad \qquad +\mu {\frac {d\left({\cfrac {1}{\rho }}-{\cfrac {1}{\mathrm {R} }}\right)}{d\xi }}+\mu '{\frac {d\left({\cfrac {1}{\rho '}}-{\cfrac {1}{\mathrm {R} '}}\right)}{d\xi '}}+\ldots ,\\{\frac {d^{2}\delta y}{dt^{2}}}=&(1+m)\left({\frac {d^{2}{\cfrac {1}{r}}}{dydx}}\delta x+{\frac {d^{2}{\cfrac {1}{r}}}{dy^{2}}}\delta y+{\frac {d^{2}{\cfrac {1}{r}}}{dydz}}\delta z\right)\\&\qquad \qquad \qquad +\mu {\frac {d\left({\cfrac {1}{\rho }}-{\cfrac {1}{\mathrm {R} }}\right)}{d\eta }}+\mu '{\frac {d\left({\cfrac {1}{\rho '}}-{\cfrac {1}{\mathrm {R} '}}\right)}{d\eta '}}+\ldots ,\\{\frac {d^{2}\delta z}{dt^{2}}}=&(1+m)\left({\frac {d^{2}{\cfrac {1}{r}}}{dzdx}}\delta x+{\frac {d^{2}{\cfrac {1}{r}}}{dzdy}}\delta y+{\frac {d^{2}{\cfrac {1}{r}}}{dz^{2}}}\delta z\right)\\&\qquad \qquad \qquad +\mu {\frac {d\left({\cfrac {1}{\rho }}-{\cfrac {1}{\mathrm {R} }}\right)}{d\zeta }}+\mu '{\frac {d\left({\cfrac {1}{\rho '}}-{\cfrac {1}{\mathrm {R} '}}\right)}{d\zeta '}}+\ldots .\end{aligned}}$

C’est donc de l’intégration de ces équations que dépend la solution du Problème des perturbations des comètes. Nous allons nous en occuper, après avoir fait quelques remarques générales sur la nature de ces équations.

8. J’observe d’abord que, comme ces équations ne renferment que les premières dimensions des variables $\delta x,\delta y,\delta z,$ on peut chercher à part les valeurs de ces variables pour les différents termes affectés des quantités $\mu ,\mu ',\ldots ,$ et qui viennent de l’action des différentes planètes dont ces quantités sont les masses ; car il est visible que, si l’on réunit ensuite ces différentes valeurs, on aura les valeurs complètes des variables $\delta x,\delta y,\delta z,$ qui satisfont aux équations proposées.

En général, il est facile de concevoir que, lorsqu’on néglige, ainsi que nous l’avons fait, les carrés et les produits des forces perturbatrices, l’effet total de ces forces doit être égal à la somme des effets que chacune en particulier produirait si elle était seule.

9. Je remarque ensuite que les termes multipliés par les masses $\mu ,\mu ',\ldots$ des planètes perturbatrices deviennent d’autant plus petits que les quantités $x,y,z$ sont plus petites, c’est-à-dire, que la comète est plus près du Soleil. En effet, en supposant $x,y,z$ des quantités très-petites vis-à-vis de $\xi ,\eta ,\zeta ,$ on a à très-peu près (n^o 2)

${\frac {1}{\mathrm {R} }}={\frac {1}{\rho }}-{\frac {d{\cfrac {1}{\rho }}}{d\xi }}x-{\frac {d{\cfrac {1}{\rho }}}{d\eta }}y-{\frac {d{\cfrac {1}{\rho }}}{d\zeta }}z\,;$

d’où l’on voit que la quantité ${\frac {1}{\rho }}-{\frac {1}{\mathrm {R} }}$ ainsi que ses différences divisées par $d\xi ,d\eta ,d\zeta ,$ seront du même ordre de petitesse que les quantités $x,y,z.$ Par conséquent, si l’on suppose que ces quantités soient devenues de l’ordre des quantités $\mu ,\mu ',\ldots ,$ il est clair que les termes dont il s’agit seront pour lors de l’ordre de $\mu ^{2},\mu \mu ',\ldots \,;$ de sorte qu’on pourra les négliger, d’autant plus que, dans ce cas, la quantité ${\frac {1}{r}}$ devient d’autant

plus grande. Ces termes disparaissant, il est visible qu’on pourra satisfaire aux équations proposées par la supposition de $\delta x=0,\ \delta y=0,$ $\delta z=0.$ Ainsi l’on peut regarder ces valeurs comme les limites des variables $\delta x,\delta y,\delta z,$ du côté du Soleil.

10. Voyons maintenant quelles sont les limites des mêmes variables du côté opposé.

Supposons donc les quantités $x,y,z$ infiniment grandes vis-à-vis de $\xi ,\eta ,\zeta \,;$ on aura ici (n^o 2)

${\frac {1}{\mathrm {R} }}={\frac {1}{r}}-{\frac {d{\frac {1}{r}}}{dx}}\xi -{\frac {d{\frac {1}{r}}}{dy}}\eta -{\frac {d{\frac {1}{r}}}{dz}}\zeta +{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dx^{2}}}\xi ^{2}+{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dy^{2}}}\eta ^{2}+{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dz^{2}}}\zeta ^{2}$

$+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dxdy}}\xi \eta +{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dxdz}}\xi \zeta +{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dydz}}\eta \zeta +\ldots .$

J’ai poussé ici l’approximation jusqu’à la seconde dimension des quantités $\xi ,\eta ,\zeta ,$ parce que la différentiation par $d\xi ,d\eta ,d\zeta ,$ fait disparaître une dimension de ces quantités.

On aura donc

${\begin{aligned}{\frac {d{\frac {1}{\mathrm {R} }}}{d\xi }}=-{\frac {d{\frac {1}{r}}}{dx}}+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dx^{2}}}\xi +{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dxdy}}\eta +{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dxdz}}\zeta ,\\{\frac {d{\frac {1}{\mathrm {R} }}}{d\eta }}=-{\frac {d{\frac {1}{r}}}{dy}}+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dxdy}}\xi +{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dy^{2}}}\eta +{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dydz}}\zeta ,\\{\frac {d{\frac {1}{\mathrm {R} }}}{d\zeta }}=-{\frac {d{\frac {1}{r}}}{dz}}+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dxdz}}\xi +{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dydz}}\eta +{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dz^{2}}}\zeta .\end{aligned}}$

Qu’on substitue ces valeurs dans les équations du n^o 7, en n’ayant égard qu’aux termes affectés de $\mu ,$ par la remarque ci-dessus (n^o 8), on aura les équations suivantes

${\frac {d^{2}\delta x}{dt^{2}}}=(1+m)\left[{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dx^{2}}}\left(\delta x-{\frac {\mu }{1+m}}\xi \right)+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dxdy}}\left(\delta y-{\frac {\mu }{1+m}}\eta \right)\right.$

$\left.+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dxdz}}\left(\delta z-{\frac {\mu }{1+m}}\zeta \right)\right]+\mu \left({\frac {d{\frac {1}{\rho }}}{d\xi }}+{\frac {d{\frac {1}{r}}}{dx}}\right),$

${\frac {d^{2}\delta y}{dt^{2}}}=(1+m)\left[{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dydx}}\left(\delta x-{\frac {\mu }{1+m}}\xi \right)+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dy^{2}}}\left(\delta y-{\frac {\mu }{1+m}}\eta \right)\right.$

$\left.+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dydz}}\left(\delta z-{\frac {\mu }{1+m}}\zeta \right)\right]+\mu \left({\frac {d{\frac {1}{\rho }}}{d\eta }}+{\frac {d{\frac {1}{r}}}{dy}}\right)$

${\frac {d^{2}\delta z}{dt^{2}}}=(1+m)\left[{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dzdx}}\left(\delta x-{\frac {\mu }{1+m}}\xi \right)+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dzdy}}\left(\delta y-{\frac {\mu }{1+m}}\eta \right)\right.$

$\left.+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dz^{2}}}\left(\delta z-{\frac {\mu }{1+m}}\zeta \right)\right]+\mu \left({\frac {d{\frac {1}{\rho }}}{d\zeta }}+{\frac {d{\frac {1}{r}}}{dz}}\right).$

Or on a, par les équations de la planète $\mu$ (n^o 5),

${\frac {d{\frac {1}{\rho }}}{d\xi }}={\frac {1}{1+\mu }}{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}},\quad {\frac {d{\frac {1}{\rho }}}{d\eta }}={\frac {1}{1+\mu }}{\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}},\quad {\frac {d{\frac {1}{\rho }}}{d\zeta }}={\frac {1}{1+\mu }}{\frac {d^{2}\zeta }{dt^{2}}}\,;$

faisant ces substitutions dans les pénultièmes termes des équations précédentes, on verra incontinent que, si les derniers termes

$\mu {\frac {d{\frac {1}{r}}}{dx}},\quad \mu {\frac {d{\frac {1}{r}}}{dy}},\quad \mu {\frac {d{\frac {1}{r}}}{dz}}$

n’existaient pas, et que l’on eût $\mu =m,$ on satisferait exactement à ces équations, en faisant

$\delta x={\frac {\mu }{1+\mu }}\xi ,\quad \delta y={\frac {\mu }{1+\mu }}\eta ,\quad \delta z={\frac {\mu }{1+\mu }}\zeta .$

Supposons donc

${\begin{aligned}\delta x=&{\frac {\mu }{1+\mu }}\xi +\alpha ,\\\delta y=&{\frac {\mu }{1+\mu }}\eta +\beta ,\\\delta z=&{\frac {\mu }{1+\mu }}\zeta +\gamma \,;\end{aligned}}$

si l’on substitue ces valeurs, et qu’on rejette les termes qui auraient pour coefficient ${\frac {\mu }{1+\mu }}-{\frac {\mu }{1+m}}={\frac {\mu (m-\mu )}{(1+\mu )(1+m)}},$ d’après l’hypothèse éta-

blie dans le n^o 1, on aura ces nouvelles équations

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\alpha }{dt^{2}}}=&(1+m)\left({\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dx^{2}}}\alpha +{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dxdy}}\beta +{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dxdz}}\gamma \right)+\mu {\frac {d{\frac {1}{r}}}{dx}},\\{\frac {d^{2}\beta }{dt^{2}}}=&(1+m)\left({\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dydx}}\alpha +{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dy^{2}}}\beta +{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dydz}}\gamma \right)+\mu {\frac {d{\frac {1}{r}}}{dy}},\\{\frac {d^{2}\gamma }{dt^{2}}}=&(1+m)\left({\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dzdx}}\alpha +{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dzdy}}\beta +{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dz^{2}}}\gamma \right)+\mu {\frac {d{\frac {1}{r}}}{dz}}.\end{aligned}}$

J’observe qu’on peut satisfaire à ces équations en faisant $\alpha =\mathrm {K} x,$ $\beta =\mathrm {K} y,$ $\gamma =\mathrm {K} z,$ $\mathrm {K}$ étant un coefficient constant ; car elles deviennent par là

${\begin{aligned}\mathrm {K} {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=&(1+m)\left({\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dx^{2}}}x+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dxdy}}y+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dxdz}}z\right)\mathrm {K} +\mu {\frac {d{\frac {1}{r}}}{dx}},\\\mathrm {K} {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=&(1+m)\left({\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dydx}}x+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dy^{2}}}y+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dydz}}z\right)\mathrm {K} +\mu {\frac {d{\frac {1}{r}}}{dy}},\\\mathrm {K} {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=&(1+m)\left({\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dzdx}}x+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dzdy}}y+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dz^{2}}}z\right)\mathrm {K} +\mu {\frac {d{\frac {1}{r}}}{dz}}.\end{aligned}}$

Mais les équations de l’orbite non altérée (n^o 6) donnent

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=(1+m){\frac {d{\frac {1}{r}}}{dx}},\quad {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=(1+m){\frac {d{\frac {1}{r}}}{dy}},\quad {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=(1+m){\frac {d{\frac {1}{r}}}{dz}}.$

Ensuite je remarque que la quantité ${\frac {1}{r}}$ est une fonction homogène de $x,y,z$ de la dimension $-1,$ qu’ainsi les quantités ${\frac {d{\frac {1}{r}}}{dx}},{\frac {d{\frac {1}{r}}}{dy}},{\frac {d{\frac {1}{r}}}{dz}}$ sont aussi

des fonctions homogènes de $x,y,z,$ mais de la dimension $-2.$ Donc, par le Théorème connu concernant ces sortes de fonctions, on aura

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dx^{2}}}x+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dxdy}}y+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dxdz}}z=-2{\frac {d{\frac {1}{r}}}{dx}},\\{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dydx}}x+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dy^{2}}}y+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dydz}}z=-2{\frac {d{\frac {1}{r}}}{dy}},\\{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dzdx}}x+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dzdy}}y+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dz^{2}}}z=-2{\frac {d{\frac {1}{r}}}{dz}}.\end{aligned}}$

C’est de quoi on peut d’ailleurs s’assurer par la différentiation actuelle. Ces substitutions faites, on verra d’abord que, pour satisfaire aux trois équations dont il s’agit, il suffit de satisfaire à celle-ci

$\mathrm {K} (1+m)=-2(1+m)\mathrm {K} +\mu ,$

laquelle donne

$\mathrm {K} ={\frac {\mu }{3(1+m)}}.$

Donc enfin on aura

${\begin{aligned}\delta x=&{\frac {\mu }{1+\mu }}\xi +{\frac {\mu }{3(1+m)}}x,\\\delta y=&{\frac {\mu }{1+\mu }}\eta +{\frac {\mu }{3(1+m)}}y,\\\delta z=&{\frac {\mu }{1+\mu }}\zeta +{\frac {\mu }{3(1+m)}}z.\end{aligned}}$

Ce sont les limites cherchées, dont les quantités $\delta x,\delta y,\delta z$ s’approchent d’autant plus que la comète s’éloigne davantage du Soleil.

11. De là il s’ensuit que si l’on suppose, en général,

${\begin{aligned}\delta x=&\mu \left({\frac {x}{3(1+m)}}+{\frac {\xi }{1+\mu }}\right)+\delta x',\\\delta y=&\mu \left({\frac {y}{3(1+m)}}+{\frac {\eta }{1+\mu }}\right)+\delta y',\\\delta z=&\mu \left({\frac {z}{3(1+m)}}+{\frac {\zeta }{1+\mu }}\right)+\delta z',\end{aligned}}$

qu’on substitue ces valeurs dans les équations du n^o 7 et qu’on y fasse les réductions enseignées ci-dessus, on aura, en n’ayant égard qu’aux termes affectés de $\mu ,$ et faisant, pour abréger,

${\frac {1}{\mathrm {S} }}={\frac {1}{r}}-{\frac {1+m}{1+\mu }}\left({\frac {d{\cfrac {1}{r}}}{dx}}\xi +{\frac {d{\cfrac {1}{r}}}{dy}}\eta +{\frac {d{\cfrac {1}{r}}}{dz}}\zeta \right),$

on aura, dis-je, ces transformées

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\delta x'}{dt^{2}}}=&(1+m)\left({\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dx^{2}}}\delta x'+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dxdy}}\delta y'+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dxdz}}\delta z'\right)-\mu {\frac {d\mathrm {\left({\frac {1}{S}}-{\frac {1}{R}}\right)} }{dx}},\\{\frac {d^{2}\delta y'}{dt^{2}}}=&(1+m)\left({\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dydx}}\delta x'+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dy^{2}}}\delta y'+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dydz}}\delta z'\right)-\mu {\frac {d\mathrm {\left({\frac {1}{S}}-{\frac {1}{R}}\right)} }{dy}},\\{\frac {d^{2}\delta z'}{dt^{2}}}=&(1+m)\left({\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dzdx}}\delta x'+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dzdy}}\delta y'+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dz^{2}}}\delta z'\right)-\mu {\frac {d\mathrm {\left({\frac {1}{S}}-{\frac {1}{R}}\right)} }{dz}}.\end{aligned}}$

Dans ces équations, j’ai mis à la place des quantités ${\frac {d{\cfrac {1}{\mathrm {R} }}}{d\xi }},{\frac {d{\cfrac {1}{\mathrm {R} }}}{d\eta }},{\frac {d{\cfrac {1}{\mathrm {R} }}}{d\zeta }}$ leurs équivalentes $-{\frac {d{\cfrac {1}{\mathrm {R} }}}{dx}},-{\frac {d{\cfrac {1}{\mathrm {R} }}}{dy}},-{\frac {d{\cfrac {1}{\mathrm {R} }}}{dz}},$ pour mettre plus d’uniformité dans les formules.

12. On peut aussi donner une forme semblable aux équations primitives du n^o 7. En effet, si l’on fait

${\frac {1}{\sigma }}={\frac {1}{\rho }}-\left({\frac {d{\cfrac {1}{\rho }}}{d\xi }}x+{\frac {d{\cfrac {1}{\rho }}}{d\eta }}y+{\frac {d{\cfrac {1}{\rho }}}{d\zeta }}z\right),$

et que l’on fasse abstraction des termes affectés de $\mu ',$ on aura

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\delta x}{dt^{2}}}=&(1+m)\left({\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dx^{2}}}\delta x+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dxdy}}\delta y+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dxdz}}\delta z\right)-\mu {\frac {d\left({\frac {1}{\sigma }}-{\frac {1}{\mathrm {R} }}\right)}{dx}},\\{\frac {d^{2}\delta y}{dt^{2}}}=&(1+m)\left({\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dydx}}\delta x+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dy^{2}}}\delta y+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dydz}}\delta z\right)-\mu {\frac {d\left({\frac {1}{\sigma }}-{\frac {1}{\mathrm {R} }}\right)}{dy}},\\{\frac {d^{2}\delta z}{dt^{2}}}=&(1+m)\left({\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dzdx}}\delta x+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dzdy}}\delta y+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dz^{2}}}\delta z\right)-\mu {\frac {d\left({\frac {1}{\sigma }}-{\frac {1}{\mathrm {R} }}\right)}{dz}}.\end{aligned}}$

13. On voit que la quantité ${\frac {1}{\sigma }}$ contient les deux premiers termes de la quantité ${\frac {1}{\mathrm {R} }}$ développée en suite ascendante par rapport aux puissances de $x,y,z\,;$ comme la quantité ${\frac {1}{\mathrm {S} }}$ contient les deux premiers termes de la même quantité ${\frac {1}{\mathrm {R} }}$ développée en suite ascendante par rapport aux puissances de $\xi ,\eta ,\zeta ,$ en négligeant (ce qui est permis ici) la différence infiniment petite entre ${\frac {1+m}{1+\mu }}$ et l’unité : d’où résultent naturellement les conclusions que nous avons trouvées plus haut (n^os 10, 11).

Il s’ensuit aussi de là que, tant que $r<\rho ,$ il est plus simple de se servir des formules du n^o 12, et qu’au contraire, lorsque $r>\rho ,$ il est plus avantageux d’employer celles du n^o 11 ; d’autant plus que dans celles-ci les termes affectés de $\mu ,$ et qui sont l’effet des forces perturbatrices, deviennent presque nuls lorsque la comète est à une grande distance du Soleil.

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section deuxième.

intégration des équations différentielles de l’orbite non altérée.

14. Ayant décomposé les équations générales du mouvement de la comète en équations de l’orbite non troublée (n^o 6) et en équations des perturbations (n^o 7), nous allons nous occuper, dans cette Section, de l’intégration des premières. Nous pourrions, à la vérité, nous en dispenser, puisqu’on sait d’avance, par les Théorèmes de Newton, que, sans les forces perturbatrices, la comète doit décrire autour du Soleil une section conique dont cet astre occupe le foyer, et que le temps doit être proportionnel à l’aire parcourue, divisée par la racine carrée du paramètre. Mais, comme nous avons besoin de connaître les intégrales mêmes des équations dont il s’agit, il est beaucoup plus court et en même temps plus direct de chercher ces intégrales par l’intégration effective que de les déduire des propriétés des sections coniques.

Les équations qu’il s’agit d’intégrer sont celles-ci, en mettant pour ${\frac {d{\frac {1}{r}}}{dx}},{\frac {d{\frac {1}{r}}}{dy}},{\frac {d{\frac {1}{r}}}{dz}}$ leurs valeurs $-{\frac {x}{r^{3}}},-{\frac {y}{r^{3}}},-{\frac {z}{r^{3}}},$

${\begin{aligned}&{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+{\frac {(1+m)x}{r^{3}}}=0,\\&{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+{\frac {(1+m)y}{r^{3}}}=0,\\&{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+{\frac {(1+m)z}{r^{3}}}=0.\end{aligned}}$

On peut intégrer ces équations par différentes méthodes ; celle dont je vais faire usage m’a paru une des plus simples.

Je remarque d’abord que, en supposant les deux premières équations, on peut satisfaire à la troisième en faisant

(A)

$z=bx+cy,$

$b$ et $c$ étant deux constantes arbitraires ; et il est visible que cette valeur de $z$ est en même temps l’intégrale complète de la troisième équation, puisqu’elle renferme deux constantes arbitraires.

Je multiplie maintenant la première des trois équations différentielles proposées par $2dx,$ la seconde par $2dy,$ la troisième par $2dz\,;$ ensuite je les ajoute ensemble, et j’intègre j’ai

(B)

${\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{dt^{2}}}-2(1+m)\left({\frac {1}{r}}-{\frac {1}{a}}\right)=0,$

$a$ étant une constante arbitraire.

Je multiplie ensuite les mêmes équations par $x,y,z,$ et j’ajoute à leur somme l’équation précédente j’ai, à cause de $r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2},$

(C)

${\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\left(r^{2}\right)}{dt^{2}}}-(1+m)\left({\frac {1}{r}}-{\frac {2}{a}}\right)=0.$

Cette équation étant multipliée par $d(r^{2}),$ et ensuite intégrée, donne celle-ci

(D)

$\left[{\frac {1}{2}}{\frac {d\left(r^{2}\right)}{dt}}\right]^{2}-2(1+m)\left(r-{\frac {r^{2}}{a}}-h\right)=0,$

$h$ étant une nouvelle constante arbitraire. Or

${\frac {1}{2}}d^{2}\left(r^{2}\right)=rd^{2}r+dr^{2}\quad {\text{et}}\quad \left[{\frac {1}{2}}d\left(r^{2}\right)\right]^{2}=r^{2}dr^{2}\,;$

donc, si l’on divise l’équation (D) par $r^{2},$ et qu’on la retranche de l’équation (C), on aura, après avoir divisé par $r,$

${\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}+(1+m)\left({\frac {1}{r^{2}}}-{\frac {2h}{r^{3}}}\right)=0,$

équation qui, en faisant $2h-r=p,$ prend cette forme

${\frac {d^{2}p}{dt^{2}}}+(1+m){\frac {p}{r^{3}}}=0,$

qui est, comme l’on voit, semblable aux équations primitives.

C’est pourquoi on aura sur-le-champ cette intégrale $p=fx+gy,$ ou bien

(E)

$2h-r=fx+gy,$

$f$ et $g$ étant deux nouvelles constantes arbitraires, en sorte que l’intégrale est complète.

Les équations (A) et (E) offrent déjà, comme l’on voit, deux intégrales finies. On trouvera la troisième au moyen de l’équation (D), laquelle se réduit à

${\frac {rdr}{\sqrt {r-{\cfrac {r^{2}}{a}}-h}}}=dt{\sqrt {2(1+m)}},$

dont l’intégrale est

(F)

$\operatorname {arc} \,\sin {\frac {2{\sqrt {r-{\cfrac {r^{2}}{a}}-h}}}{\sqrt {a-4h}}}-{\frac {2{\sqrt {r-{\cfrac {r^{2}}{a}}-h}}}{\sqrt {a}}}=2t{\sqrt {\frac {2(1+m)}{a^{3}}}}+i,$

$i$ étant encore une constante arbitraire.

Cette équation détermine $r$ en $t,$ et les équations (A) et (E), combinées avec celle-ci $r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2},$ servent à déterminer $x,y,z$ en $r\,;$ ainsi l’on aura $x,y,z$ en $t.$ Mais ces valeurs, pour être complètes, doivent renfermer six constantes, parce que les équations différentielles proposées sont chacune du second ordre. Or l’équation (A) renferme deux constantes arbitraires $b$ et $c\,;$ l’équation (E) en renferme trois $f,g$ et $h,$ et l’équation (F) en renferme encore deux autres $a$ et $i.$ Il y en a donc en tout sept, et par conséquent une de plus qu’il ne faut.

En examinant la chose de plus près, il est aisé de s’apercevoir que cela vient de ce que la constante $a$ a été introduite par l’intégration qui a donné l’équation (B), équation dont nous n’avons point tenu compte dans la suite du calcul comme d’une équation intégrale. Il est donc nécessaire d’avoir égard à cette équation, et il en doit résulter une équation de condition entre les constantes ; en sorte qu’il n’en restera plus que six d’arbitraires, comme le Problème le demande

15. Commençons par déterminer $x,y,z$ en $r.$ Les équations (A) et (E) donnent, en retenant $p$ à la place de $2h-r,$

$x={\frac {gz-cp}{bg-cf}},\quad y={\frac {fz-bp}{cf-bg}}\,;$

substituant ces valeurs dans $x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2},$ et ordonnant par rapport à $z,$ on a

$\left[(cf-bg)^{2}+f^{2}+g^{2}\right]z^{2}-2(bf+cg)pz+\left(b^{2}+c^{2}\right)p^{2}-(cf-bg)^{2}r^{2}=0,$

d’où l’on tirera $z,$ et ensuite $x$ et $y.$

Si l’on fait, pour plus de simplicité, on trouvera

$q={\sqrt {\left[(cf-bg)^{2}+f^{2}+g^{2}\right]r^{2}-\left(1+b^{2}+c^{2}\right)p^{2}}},$

on trouvera

(G)

$\left\{{\begin{aligned}x=&{\frac {\left[f+c(cf-bg)\right]p-gq}{(cf-bg)^{2}+f^{2}+g^{2}}},\\y=&{\frac {\left[g-b(cf-bg)\right]p+fq}{(cf-bg)^{2}+f^{2}+g^{2}}},\\z=&{\frac {(bf+cg)p+(cf-bg)q}{(cf-bg)^{2}+f^{2}+g^{2}}}.\end{aligned}}\right.$

16. Maintenant l’équation (B) donne, en chassant $dt,$ par le moyen de l’équation (D),

$dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}={\frac {r-{\cfrac {r^{2}}{a}}}{r-{\cfrac {r^{2}}{a}}-h}}dr^{2}\,;$

mais les équations précédentes donnent

$dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}={\frac {\left(1+b^{2}+c^{2}\right)dp^{2}+dq^{2}}{(cf-bg)^{2}+f^{2}+g^{2}}}\,;$

il faut donc que ces deux expressions de $dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}$ deviennent identiques après qu’on aura substitué dans la dernière les valeurs de $p$ et $q$ en $r.$

Ces substitutions faites, on verra que l’identité aura lieu en effet, en faisant

(H)

${\frac {4h}{a}}=1-{\frac {(cf-bg)^{2}+f^{2}+g^{2}}{1+b^{2}+c^{2}}}.$

C’est l’équation de condition cherchée.

Si, dans l’expression de $q$ du numéro précédent, on substitue la valeur de $(cf-bg)^{2}+f^{2}+g^{2}$ donnée par l’équation (G), que nous venons de trouver, et qu’on y mette de plus pour $p$ sa valeur $2h-r,$ elle deviendra

$q=2{\sqrt {h\left(1+b^{2}+c^{2}\right)}}{\sqrt {r-{\frac {r^{2}}{a}}-h}}.$

17. Pour pouvoir appliquer les formules précédentes au mouvement des comètes, il faut connaître les valeurs des constantes que ces formules renferment.

Pour cet effet, je remarque d’abord que l’équation (A) est celle d’un plan dont la position, à l’égard du plan des coordonnées $x$ et $y,$ dépend des constantes $b$ et $c.$ Ce plan sera donc celui de l’orbite de la comète, et qui est déterminé par les observations.

Soient $\omega$ l’angle que l’intersection des deux plans, c’est-à-dire, la ligne des nœuds de l’orbite sur le plan des $x$ et $y,$ fait avec l’axe des $x,$ et $\psi$ l’inclinaison de l’orbite sur ce dernier plan ; il est facile de prouver qu’on aura

$c=\operatorname {tang} \psi \cos \omega ,\quad b=-\operatorname {tang} \psi \sin \omega .$

L’équation (E) servira ensuite à déterminer la figure de l’orbite ; et il est aisé de conclure de la forme même de cette équation que l’orbite ne peut être qu’une section conique, ayant le foyer dans l’origine des coordonnées, en sorte que $r$ sera le rayon vecteur de l’orbite.

Les deux apsides seront donc aux points où ${\frac {dr}{dt}}=0\,;$ or, dans ce cas, l’équation (D) donne

$r-{\frac {r^{2}}{a}}-h=0,$

équation dont les deux racines sont

${\frac {a\pm {\sqrt {a^{2}-4ah}}}{2}}.$

La somme de ces deux racines sera le grand axe, et leur différence, divisée par la somme, sera l’excentricité. Donc le grand axe de l’orbite sera $a,$ et l’excentricité sera ${\sqrt {1-{\frac {4h}{a}}}},$ que je désignerai dans la suite par $e$.

Puis donc que

$e={\sqrt {1-{\frac {4h}{a}}}},$

on aura

$a{\sqrt {1-e^{2}}}={\sqrt {4ha}}=$ au petit axe de l’orbite ;

par conséquent, $4h$ sera le paramètre du grand axe.

Or on sait que le rayon vecteur qui répond à $90$ degrés d’anomalie, c’est-à-dire, qui est perpendiculaire au grand axe, est égal au demi-paramètre. Donc on aura à $90$ degrés d’anomalie $r=2h,$ et l’équation (E) donnera $fx+gy=0\,;$ d’où l’on tire ${\frac {y}{x}}=-{\frac {f}{g}},$ égal par conséquent à la tangente de l’angle que fait avec l’axe des $x,$ dans le plan des $x$ et $y,$ la projection du rayon vecteur qui répond à $90$ degrés d’anomalie dans l’orbite.

Soit cet angle $=90^{\circ }+\varepsilon ,$ on aura donc ${\frac {g}{f}}=\operatorname {tang} \varepsilon \,;$ donc, faisant $l={\sqrt {f^{2}+g^{2}}},$ on aura $g=l\sin \varepsilon ,\ f=l\cos \varepsilon \,;$ ces valeurs étant substituées dans l’équation (H) du n^o 16, ainsi que celles de $b$ et $c$ trouvées ci-dessus, et mettant $e^{2}$ à la place de $1-{\frac {4h}{a}},$ elle deviendra

$e^{2}=l^{2}{\frac {1+\operatorname {tang} ^{2}\psi \cos ^{2}(\omega -\varepsilon )}{1+\operatorname {tang} ^{2}\psi }}=l^{2}\left[1-\sin ^{2}\psi \sin ^{2}(\omega -\varepsilon )\right]\,;$

d’où l’on tire

$l={\frac {e}{\sqrt {1-\sin ^{2}\psi \sin ^{2}(\omega -\varepsilon )}}}\,;$

de sorte qu’on aura

$f={\frac {e\cos \varepsilon }{\sqrt {1-\sin ^{2}\psi \sin ^{2}(\omega -\varepsilon )}}},\quad g={\frac {e\sin \varepsilon }{\sqrt {1-\sin ^{2}\psi \sin ^{2}(\omega -\varepsilon )}}}.$

18. Si l’on fait coïncider le plan de l’orbite avec celui de $x$ et $y,$ on aura $\psi =0,$ et l’angle $\varepsilon$ sera évidemment celui que le grand axe de l’orbite fait avec l’axe des $x.$ Donc, si l’on suppose de plus que ces deux axes coïncident, on aura aussi $\varepsilon =0\,;$ de sorte que, dans cette hypothèse, $b=0,$ $c=0,$ $f=e,$ $g=0,$ et les formules (G) du n^o 15 donneront

$x={\frac {p}{e}},\quad u={\frac {q}{e}},\quad z=0,$

savoir

$x={\frac {2h-r}{e}},\quad y={\frac {2{\sqrt {h}}}{e}}{\sqrt {r-{\frac {r^{2}}{a}}-h}}.$

Or il est visible que, dans ce cas, $x$ et $y$ deviennent les coordonnées de l’orbite dans le plan même de cette orbite ; et comme ces coordonnées doivent être indépendantes de la position du plan de l’orbite, il s’ensuit que les valeurs précédentes de $x$ et $y$ exprimeront toujours, l’une l’abscisse prise dans le grand axe depuis le foyer, et l’autre l’ordonnée rectangle dans le plan même de l’orbite, quelle que soit d’ailleurs la position de ce plan.

Donc, si l’on nomme $\varphi$ l’angle du rayon vecteur $r$ avec le grand axe, on aura, dans la supposition précédente,

$x=r\cos \varphi ,\quad y=r\sin \varphi \,;$

savoir

$r\cos \varphi ={\frac {2h-r}{e}},\quad r\sin \varphi ={\frac {2{\sqrt {h}}}{e}}{\sqrt {r-{\frac {r^{2}}{a}}-h}}\,;$

d’où l’on tire

$r={\frac {2h}{1+e\cos \varphi }},\quad {\sqrt {r-{\frac {r^{2}}{a}}-h}}={\frac {e{\sqrt {h}}\sin \varphi }{1+e\cos \varphi }}\,;$

cette expression de $r$ fait voir que $\varphi$ est l’anomalie vraie de l’orbite, comptée de son périhélie.

On aura donc, en général,

$p=er\cos \varphi ,\quad q={\frac {er\sin \varphi }{\cos \psi }},$

et l’on pourra, par ces substitutions, dans les formules (F) et (G), avoir les valeurs de $t,x,y,z$ exprimées par la seule anomalie $\varphi .$

19. Dans le nœud, on a $z=0\,;$ donc (équation G)

$(bf+cg)p+(cf-bg)q=0,$

savoir, en substituant les valeurs précédentes de $p$ et $q,$

$(bf+cg)\cos \varphi +(cf-bg){\frac {\sin \varphi }{\cos \psi }}=0,$

où $\varphi$ est l’anomalie qui répond au nœud.

Dénotons cette anomalie par $\alpha ,$ on aura donc

$(bf+cg)\cos \alpha \cos \psi +(cf-bg)\sin \alpha =0\,;$

d’où l’on tire

${\frac {g}{f}}={\frac {c\sin \alpha +b\cos \psi \cos \alpha }{b\sin \alpha -c\cos \psi \cos \alpha }},$

et, en mettant pour $b$ et $c$ leurs valeurs (n^o 17),

${\frac {g}{f}}={\frac {-\cos \omega \sin \alpha +\cos \psi \sin \omega \cos \alpha }{\sin \omega \sin \alpha +\cos \psi \cos \omega \cos \alpha }}\,;$

mais on a trouvé plus haut (n^o 17) ${\frac {g}{f}}=\operatorname {tang} \varepsilon \,;$ ainsi l’on aura l’équation

$\operatorname {tang} \varepsilon ={\frac {-\cos \omega \sin \alpha +\cos \psi \sin \omega \cos \alpha }{\sin \omega \sin \alpha +\cos \psi \cos \omega \cos \alpha }}\,;$

d’où il est aisé de tirer

$\sin \varepsilon ={\frac {-\cos \omega \sin \alpha +\cos \psi \sin \omega \cos \alpha }{\sqrt {1-\sin ^{2}\psi \cos ^{2}\alpha }}},\quad \cos \varepsilon ={\frac {\sin \omega \sin \alpha +\cos \psi \cos \omega \cos \alpha }{\sqrt {1-\sin ^{2}\psi \cos ^{2}\alpha }}}\,;$

et, en substituant ces valeurs dans les expressions de $f$ et $g$ du n^o 17, on trouvera

$f=e\left(\cos \omega \cos \alpha +{\frac {\sin \omega \sin \alpha }{\cos \psi }}\right),\quad g=e\left(\sin \omega \cos \alpha -{\frac {\cos \omega \sin \alpha }{\cos \psi }}\right)\,;$

par là, et par les valeurs de $b$ et $c,$ on aura

$cf-bg=e\operatorname {tang} \psi \cos \alpha ,\quad bf+cg=-{\frac {e\operatorname {tang} \psi \sin \alpha }{\cos \psi }},$

$f+c(cf-bg)={\frac {e(\cos \omega \cos \alpha +\sin \omega \sin \alpha \cos \psi )}{\cos ^{2}\psi }},$

$g-b(cf-bg)={\frac {e(\sin \omega \cos \alpha -\cos \omega \sin \alpha \cos \psi )}{\cos ^{2}\psi }},$

$(cf-bg)^{2}+f^{2}+g^{2}={\frac {e^{2}}{\cos ^{2}\psi }}\,;$

de sorte que, à cause de $p=er\cos \varphi ,\ q={\frac {er\sin \varphi }{\cos \psi }},$ les formules (G) du n^o 15 deviendront

${\begin{aligned}x=&r\left[\cos \omega \cos(\varphi -\alpha )-\sin \omega \sin(\varphi -\alpha )\cos \psi \right],\\y=&r\left[\sin \omega \cos(\varphi -\alpha )+\cos \omega \sin(\varphi -\alpha )\cos \psi \right],\\z=&r\,\ \sin \psi \sin(\varphi -\alpha ),\end{aligned}}$

dans lesquelles $\varphi -\alpha$ est ce qu’on nomme l’argument de latitude.

20. Si l’on fait

${\frac {2{\sqrt {r-{\cfrac {r^{2}}{a}}-h}}}{\sqrt {a-4h}}}=\sin u,\quad 2t{\sqrt {\frac {2(1+m)}{a^{3}}}}+i=\theta ,$

et qu’on se souvienne que ${\sqrt {1-{\frac {4h}{a}}}}=e$ (n^o 17), il est clair que l’équation (F) du n^o 15 prendra cette forme très-simple

$u-e\sin u=\theta ,$

dans laquelle $u$ sera évidemment ce que l’on nomme, d’après Kepler, l’anomalie excentrique, mais comptée du périhélie, et où $\theta$ sera, par conséquent, l’anomalie moyenne.

Donc, comme $\theta =i$ lorsque $t=0,$ on voit que la constante $i$ n’est autre chose que l’époque de l’anomalie moyenne.

En appliquant les formules au mouvement de la Terre autour du Soleil, et prenant la distance moyenne ${\frac {a}{2}}$ pour l’unité, on aura, en négligeant $m={\frac {1}{304355}}$ vis-à-vis de $1,$

$t+i=\theta =$ l’anomalie moyenne du Soleil ;

d’où il s’ensuit que $t,$ exprimé en angles, représentera proprement le mouvement moyen du Soleil pendant le temps écoulé depuis l’époque d’où l’on part ; et qu’ainsi, en divisant la valeur de $t$ par $360$ degrés, ou bien, si $t$ est exprimé en nombres (la distance moyenne du Soleil étant l’unité), en divisant la valeur de $t$ par le rapport de la circonférence au rayon, on aura le temps exprimé en années sidérales, puisque nous pouvons faire abstraction ici du mouvement de l’apogée du Soleil.

Or, puisque

$1-{\frac {4h}{a}}-4\left({\frac {r}{a}}-{\frac {r^{2}}{a^{2}}}-{\frac {h}{a}}\right)=\left(1-{\frac {2r}{a}}\right)^{2},$

il est clair qu’on aura

$1-{\frac {2r}{a}}=e\cos u\,;$

donc

$r={\frac {a}{2}}(1-e\cos u),$

et comme (n^os 15 et 16)

$p=2h-r,\quad q=2{\sqrt {h\left(1+b^{2}+c^{2}\right)}}{\sqrt {r-{\frac {r^{2}}{a}}-h}},$

on aura, à cause de $h={\frac {a\left(1-e^{2}\right)}{4}},$

${\begin{aligned}p=&{\frac {ae}{2}}(\cos u-e),\\q=&{\frac {ae}{2}}{\sqrt {\left(1-e^{2}\right)\left(1+b^{2}+c^{2}\right)}}\sin u.\end{aligned}}$

De sorte que, en substituant ces valeurs dans les formules (G), on aura aussi $x,y,z$ exprimées en $u.$

Dans la parabole, le grand axe $a$ devient infini, par conséquent l’angle $u$ est infiniment petit. Dans les ellipses très-allongées, telles que sont les orbites des comètes, la quantité $a$ est seulement très-grande ; donc l’angle $u$ sera très-petit, du moins tant que $r$ n’est pas fort grand.

Dans ce cas donc on aura

$u=\sin u+{\frac {1}{6}}\sin ^{3}u+{\frac {3}{40}}\sin ^{5}+{\frac {5}{112}}\sin ^{7}u+\ldots ,$

et l’équation entre $\theta$ et $u$ deviendra

$\theta =(1-e)\sin u+{\frac {1}{6}}\sin ^{3}u+{\frac {3}{40}}\sin ^{5}+{\frac {5}{112}}\sin ^{7}u+\ldots \,;$

mais

$1-e={\frac {1-e^{2}}{1+e}}={\frac {4h}{a(1+e)}}\,;$

donc, si l’on met pour $\theta$ sa valeur

$2t{\sqrt {\frac {2(1+m)}{a^{3}}}}+i,$

et qu’on fasse

$i{\sqrt {\frac {a^{3}}{8}}}=j,\quad \sin u={\frac {w}{\sqrt {\cfrac {a}{2}}}},$

on aura, après avoir tout multiplié par ${\sqrt {\frac {a^{3}}{8}}},$

$t{\sqrt {1+m}}+j={\frac {2h}{1+e}}w+{\frac {1}{6}}w^{3}+{\frac {3}{20a}}w^{5}+{\frac {5}{28a^{2}}}w^{7}+\ldots ,$

où $w$ sera une quantité finie, puisqu’on aura

$w={\frac {{\sqrt {2}}{\sqrt {r-{\cfrac {r^{2}}{a}}-h}}}{\sqrt {1-{\cfrac {4h}{a}}}}}={\frac {{\sqrt {2}}{\sqrt {r-{\cfrac {r^{2}}{a}}-h}}}{e}},$

et, substituant pour ${\sqrt {r-{\frac {r^{2}}{a}}-h}}$ sa valeur en $\varphi$ trouvée ci-dessus, il

viendra

$w={\frac {{\sqrt {2h}}\sin \varphi }{1+e\cos \varphi }}.$

Pour la parabole, on fera $a=\infty ,$ et l’on aura

$t{\sqrt {1+m}}+j=hw+{\frac {w^{3}}{6}},$

où (à cause de $e=1$)

$w={\sqrt {2(r-h)}}={\sqrt {2h}}\operatorname {tang} {\frac {\varphi }{2}}\,;$

et $h$ sera pour lors égal à la distance périhélie.

21. Nous remarquerons encore que, si, dans l’équation différentielle entre $dr$ et $dt$ du n^o 15, on substitue pour $dr$ et pour ${\sqrt {r-{\frac {r^{2}}{a}}-h}}$ leurs valeurs en $\varphi$ (n^o 18), on trouve

$dt={\sqrt {\frac {1}{2h(1+m)}}}r^{2}d\varphi \,;$

et, si l’on différentie l’équation qui donne la relation entre $t$ et $u$ (n^o 20), et qu’on y mette ${\frac {2r}{a}}$ pour $1-e\cos u,$ il vient

$dt={\sqrt {\frac {a}{2(1+m)}}}rdu\,;$

dans la première formule, $\varphi$ est l’anomalie vraie, et dans la seconde $u$ est l’anomalie excentrique.

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section troisième.

intégration des équations différentielles des perturbations.

22. Nous avons vu, dans la première Section, que $x,y,z$ étant les coordonnées de l’orbite non altérée, et $x+\delta x,\ y+\delta y,\ z+\delta z$ celles de l’orbite troublée par l’action d’une planète $\mu ,$ on a pour la détermination des quantités $\delta x,\delta y,\delta z$ les équations suivantes

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\delta x}{dt^{2}}}=&(1+m)\left({\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dx^{2}}}\delta x+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dxdy}}\delta y+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dxdz}}\delta z\right)-\mu \mathrm {X} ,\\{\frac {d^{2}\delta y}{dt^{2}}}=&(1+m)\left({\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dydx}}\delta x+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dy^{2}}}\delta y+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dydz}}\delta z\right)-\mu \mathrm {Y} ,\\{\frac {d^{2}\delta z}{dt^{2}}}=&(1+m)\left({\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dzdx}}\delta x+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dzdy}}\delta y+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dz^{2}}}\delta z\right)-\mu \mathrm {Z} ,\end{aligned}}$

en faisant, pour abréger (n^o 12),

$\mathrm {X} ={\frac {d\left({\cfrac {1}{\sigma }}-{\cfrac {1}{\mathrm {R} }}\right)}{dx}},\quad \mathrm {Y} ={\frac {d\left({\cfrac {1}{\sigma }}-{\cfrac {1}{\mathrm {R} }}\right)}{dy}},\quad \mathrm {Z} ={\frac {d\left({\cfrac {1}{\sigma }}-{\cfrac {1}{\mathrm {R} }}\right)}{dz}}.$

23. C’est donc de l’intégration de ces équations que dépend la recherche des perturbations causées par l’action d’une planète quelconque sur la comète. Or cette intégration dépend, comme l’on sait, de celle du cas où il n’y aurait aucun terme tout connu, à cause que les variables inconnues $\delta x,\delta y,\delta z$ ne paraissent que sous la forme linéaire. Ainsi toute la difficulté se réduit à intégrer des équations de la forme suivante

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\delta x}{dt^{2}}}=&(1+m)\left({\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dx^{2}}}\delta x+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dxdy}}\delta y+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dxdz}}\delta z\right),\\{\frac {d^{2}\delta y}{dt^{2}}}=&(1+m)\left({\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dydx}}\delta x+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dy^{2}}}\delta y+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dydz}}\delta z\right),\\{\frac {d^{2}\delta z}{dt^{2}}}=&(1+m)\left({\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dzdx}}\delta x+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dzdy}}\delta y+{\frac {d^{2}{\frac {1}{r}}}{dz^{2}}}\delta z\right).\end{aligned}}$

24. Si l’on se rappelle les calculs du n^o 7, on doit voir que les équations précédentes résultent des équations de l’orbite non altérée, en y faisant varier les quantités $x,y,z,$ des différences $\delta x,\delta y,\delta z,$ regardées comme infiniment petites. Donc les intégrales des équations dont il s’agit doivent résulter aussi des intégrales des mêmes équations de l’orbite non altérée, en y faisant varier non-seulement ces mêmes quantités, mais encore les constantes arbitraires introduites par les différentes intégrations, et qui, n’existant point dans les équations différentielles, peuvent, à leur égard, être aussi regardées comme variables.

Ainsi donc, pour avoir les intégrales des trois équations différentielles du numéro précédent, il n’y aura qu’à différentier à l’ordinaire les intégrales de l’orbite non altérée, trouvées dans la seconde Section, en y regardant les trois indéterminées $x,y,z$ et les six arbitraires $a,b,c,f,$ $g,i,$ comme variables à la fois, et marquant leurs différences par la caractéristique $\delta$ [à l’égard de $h,$ elle doit aussi être traitée comme variable, parce que c’est une fonction de $a,b,c,$ $f,g,$ donnée par l’équation (H) du n^o 16] ; les différences de ces arbitraires seront elles-mêmes les nouvelles constantes arbitraires que les intégrales cherchées doivent contenir pour être complètes.

25. Comme les formules (G) du n^o 15 donnent $x,y,z$ en $r,$ et que la formule (F) du n^o 14 donner en $t,$ on pourra tirer directement de la différentiation des premières les valeurs de $\delta x,\delta y,\delta z$ en $\delta r,$ ensuite on aura $\delta r$ par la différentiation de la dernière ; mais, à la place de $r,$ il sera plus simple d’introduire l’angle $u,$ au moyen des formules du n^o 20 ; et, pour donner à notre calcul toute la simplicité dont il est susceptible, nous remarquerons de plus que, la position du plan des $x$ et $y,$ auquel nous avons jusqu’ici rapporté l’orbite de la comète, étant arbitraire, on peut, sans nuire à la généralité du Problème, supposer que ce plan coïncide avec celui de l’orbite non altérée de la comète ; et l’on peut, par la même raison, supposer aussi que l’axe des $x$ coïncide avec le grand axe de la même orbite, en sorte que les abscisses $x$ soient prises depuis le foyer et soient positives en allant vers l’apside inférieure.

Ces deux suppositions donneront (n^os 17 et 19)

$\psi =0,\quad \alpha =\omega \,;\quad {\text{donc}}\quad b=0,\quad c=0,\quad f=e,\quad g=0,$

ce qui simplifiera beaucoup les expressions finies de $x,y,z\,;$ mais, comme les différences $\delta b,\delta c,\delta g$ ne sont pas nulles, il ne faudra pas faire disparaître entièrement les quantités $b,c,g\,;$ mais il en faudra conserver lespremières dimensions dans les expressions de $x,y,z,$ afin de pouvoir en tirer par la différentiation les valeurs complètes de $\delta x,\delta y,\delta z.$

26. De cette manière, on aura donc (n^o 15, formule G)

$x={\frac {fp-gq}{f^{2}}},\quad y={\frac {gp+fq}{f^{2}}},\quad z={\frac {bp+cq}{f}},$

et par les formules du n^o 20 on aura, à cause de $e=f,$

$p={\frac {af}{2}}(\cos u-f),\quad q={\frac {af}{2}}{\sqrt {1-f^{2}}}\sin u,$

de sorte qu’en substituant il viendra

${\begin{aligned}x=&{\frac {a}{2}}(\cos u-f)-{\frac {ag}{2f}}{\sqrt {1-f^{2}}}\sin u,\\y=&{\frac {a}{2}}{\sqrt {1-f^{2}}}\sin u+{\frac {ag}{2f}}(\cos u-f),\\z=&{\frac {ab}{2}}(\cos u-f)+{\frac {ac}{2}}{\sqrt {1-f^{2}}}\sin u.\end{aligned}}$

Différentiant donc suivant la caractéristique $\delta ,$ en faisant tout varier, et supposant ensuite les constantes $b,c,g$ nulles, on aura

${\begin{aligned}\delta x=&{\frac {\cos u-f}{2}}\delta a-{\frac {a}{2}}\delta f-{\frac {a{\sqrt {1-f^{2}}}}{2f}}\sin u\,\delta g-{\frac {a}{2}}\sin u\,\delta u,\\\delta y=&{\frac {\sqrt {1-f^{2}}}{2}}\sin u\,\delta a-{\frac {af}{2{\sqrt {1-f}}}}\sin u\,\delta f+{\frac {a(\cos u-f)}{2f}}\delta g\\&\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +{\frac {a{\sqrt {1-f^{2}}}}{2}}\cos u\,\delta u,\\\delta z=&{\frac {a(\cos u-f)}{2}}\delta b+{\frac {a{\sqrt {1-f^{2}}}}{2}}\sin u\,\delta c.\end{aligned}}$

Mais, par le n^o 20, on a, en mettant $f$ à la place de $e,$

$u-f\sin u=\theta =2t{\sqrt {\frac {2(1+m)}{a^{3}}}}+i\,;$

donc, faisant varier $f,a,i$ et $u,$ on en tirera la valeur de $\delta u,$ laquelle sera

$\delta u={\frac {-3t{\sqrt {\cfrac {2(1+m)}{a^{3}}}}{\cfrac {\delta a}{a}}+\sin u\,\delta f+\delta i}{1-f\cos u}}.$

Substituant donc cette valeur de $\delta u$ dans les expressions précédentes de $\delta x,\delta y,\delta z,$ on aura les valeurs cherchées, lesquelles seront évidemment de cette forme

${\begin{aligned}\delta x=&\mathrm {A} \delta a+\mathrm {B} \delta f+\mathrm {C} \delta g+\mathrm {D} \delta i,\\\delta y=&\mathrm {E} \delta a\,+\mathrm {F} \delta f+\mathrm {G} \delta g+\mathrm {H} \delta i,\\\delta z=&\mathrm {K} \delta b\,+\mathrm {L} \delta c,\end{aligned}}$

en supposant, pour abréger,

${\begin{aligned}\mathrm {A} =&{\frac {\cos u-f}{2}}+{\frac {3t}{2}}{\sqrt {\frac {2(1+m)}{a^{3}}}}{\frac {\sin u}{1-f\cos u}},\\\mathrm {B} =&-{\frac {a}{2}}\left(1+{\frac {\sin ^{2}u}{1-f\cos u}}\right),\\\mathrm {C} =&-{\frac {a{\sqrt {1-f^{2}}}}{2f}}\sin u,\\\mathrm {D} =&-{\frac {a}{2}}{\frac {\sin u}{1-f\cos u}},\\\mathrm {E} =&{\frac {\sqrt {1-f^{2}}}{2}}\sin u-{\frac {3t}{2}}{\sqrt {\frac {2(1+m)}{a^{3}}}}{\frac {{\sqrt {1-f^{2}}}\cos u}{1-f\cos u}},\\\mathrm {F} =&-{\frac {af}{2{\sqrt {1-f^{2}}}}}\sin u+{\frac {a{\sqrt {1-f^{2}}}}{2}}{\frac {\sin u\cos u}{1-f\cos u}},\\\mathrm {G} =&{\frac {a}{2f}}(\cos u-f),\\\mathrm {H} =&{\frac {a{\sqrt {1-f^{2}}}}{2}}{\frac {\cos u}{1-f\cos u}},\\\mathrm {K} =&{\frac {a}{2}}(\cos u-f),\\\mathrm {L} =&{\frac {a{\sqrt {1-f^{2}}}}{2}}\sin u.\end{aligned}}$

Telles sont les valeurs complètes des quantités $\delta x,\delta y,\delta z,$ en tant qu’elles résultent des trois équations différentielles du n^o 23 ; et les quantités $\delta a,\delta b,\delta c,\delta f,\delta g,\delta i$ sont les six constantes arbitraires que ces valeurs doivent contenir à raison des six intégrations qu’elles supposent.

27. Voyons maintenant comment on doit déterminer ces nouvelles arbitraires il est clair qu’elles dépendent des valeurs des quantités $\delta x,\delta y,\delta z,$ et de leurs différences premières ${\frac {d\delta x}{dt}},{\frac {d\delta y}{dt}},{\frac {d\delta z}{dt}},$ pour un instant quelconque donné. Il faudra donc différentier les expressions de $\delta x,\delta y,\delta z$ trouvées ci-dessus, en y regardant les arbitraires $\delta a,\delta b,\delta c,\delta f,\delta g,\delta i$ comme constantes, c’est-à-dire, en y faisant varier seulement les quantités qui sont des fonctions du temps $t,$ pour avoir les valeurs de ${\frac {d\delta x}{dt}},{\frac {d\delta y}{dt}},{\frac {d\delta z}{dt}},$ lesquelles seront représentées, en général, par les formules suivantes

${\begin{aligned}{\frac {d\delta x}{dt}}=&{\frac {d\mathrm {A} }{dt}}\delta a+{\frac {d\mathrm {B} }{dt}}\delta f+{\frac {d\mathrm {C} }{dt}}\delta g+{\frac {d\mathrm {D} }{dt}}\delta i,\\{\frac {d\delta y}{dt}}=&{\frac {d\mathrm {E} }{dt}}\delta a\,+{\frac {d\mathrm {F} }{dt}}\delta f+{\frac {d\mathrm {G} }{dt}}\delta g+{\frac {d\mathrm {H} }{dt}}\delta i,\\{\frac {d\delta z}{dt}}=&{\frac {d\mathrm {K} }{dt}}\delta b\,+{\frac {d\mathrm {L} }{dt}}\delta c,\end{aligned}}$

Ces trois équations étant combinées avec les trois du numéro précédent, on en tirera, par la méthode ordinaire d’élimination, les valeurs des six inconnues $\delta a,\delta b,\delta c,\delta f,\delta g,\delta i\,;$ et il est aisé de voir que ces valeurs seront de la forme suivante

${\begin{aligned}\delta a=&\mathrm {A} '\delta x+\mathrm {B} '\delta y\,+\mathrm {C} '{\frac {d\delta x}{dt}}\,+\mathrm {D} '{\frac {d\delta y}{dt}},\\\delta f=&\mathrm {E} '\delta x\,+\mathrm {F} '\delta y\,+\mathrm {G} '{\frac {d\delta x}{dt}}\,+\mathrm {H} '{\frac {d\delta y}{dt}},\\\delta g=&\mathrm {A} ''\delta x+\mathrm {B} ''\delta y+\mathrm {C} ''{\frac {d\delta x}{dt}}+\mathrm {D} ''{\frac {d\delta y}{dt}},\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\delta i=&\mathrm {E} ''\delta x+\mathrm {F} ''\delta y\,+\mathrm {G} ''{\frac {d\delta x}{dt}}\,+\mathrm {H} ''{\frac {d\delta y}{dt}},\\\delta b=&\mathrm {K} '\delta z\,+\mathrm {L} '{\frac {d\delta z}{dt}},\\\delta c=&\mathrm {K} ''\delta z+\mathrm {L} ''{\frac {d\delta z}{dt}}\,;\end{aligned}}$

les quantités ${\mathrm{A}}^{\prime },{\mathrm{B}}^{\prime },{\mathrm{C}}^{\prime },\dots <!--\; \dots \; -->$