Mémoires extraits des recueils de l’Académie royale de Berlin/Sur la solution des Problèmes indéterminés du second degré

Joseph-Louis Lagrange

Sur la solution des Problèmes indéterminés du second degré

Mémoires extraits des recueils de l’Académie royale de Berlin, Gauthier-Villars, 1868, Œuvres de Lagrange. Tome II (p. 377-535).

SUR LA SOLUTION
DES
PROBLÈMES INDÉTERMINÉS
DU SECOND DEGRÉ^[1].

---

(Mémoires de l’Académie royale des Sciences et Belles-Lettres
de Berlin, t. XXIII, 1769.)

Lorsque l’équation finale à laquelle conduit la solution d’une question renferme plus d’une inconnue, le Problème est indéterminé ; et envisagé généralement, il est susceptible d’une infinité de solutions. Mais si la nature de la question exige que les quantités cherchées soient rationnelles, ou même qu’elles soient exprimées par des nombres entiers, alors le nombre des solutions peut être très-limité ; et la difficulté se réduit à trouver, parmi toutes les solutions possibles, celles qui peuvent satisfaire à la condition prescrite. Quand l’équation finale n’est que du premier degré, toutes les solutions sont rationnelles par la nature même de cette équation ; et si l’on veut de plus que les inconnues soient des nombres entiers, on peut les déterminer facilement par la méthode des fractions continues (voyez plus bas le n^o 8). Il n’en est pas de même des équations qui passent le premier degré, et qui conduisent naturellement à des expressions irrationnelles. On n’a point de méthode directe et générale pour trouver les nombres commensurables qui peuvent satisfaire à ces équations lors même qu’elles ne sont qu’au second degré ; et il faut avouer que cette branche de l’Analyse, quoique peut-être une des plus importantes, est néanmoins une de celles que les Géomètres paraissent avoir le plus négligées, ou du moins dans lesquelles ils ont fait jusqu’à présent le moins de progrès.

Diophante et ses commentateurs ont à la vérité résolu un grand nombre de Problèmes indéterminés du second, du troisième et même du quatrième degré ; mais la plupart de leurs solutions n’étant que particulières, il n’est pas étonnant qu’il se trouve encore des cas d’ailleurs fort simples, et en même temps fort étendus, pour lesquels les méthodes de Diophante soient absolument insuffisantes.

S’il s’agissait, par exemple, de résoudre l’équation $\mathrm {A+B} t^{2}=u^{2},$ en supposant $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ des nombres entiers non carrés, c’est-à-dire de trouver une valeur rationnelle de $t$ telle que $\mathrm {A+B} t^{2}$ devînt un carré, on verrait aisément que tous les artifices connus de l’Analyse de Diophante seraient en défaut pour ce cas ; or, c’est précisément à ce cas que se réduit la solution générale des Problèmes indéterminés du second degré à deux inconnues, comme on le verra ci-après. Personne que je sache ne s’est occupé de ce Problème, si l’on en excepte M. Euler qui en a fait l’objet de deux excellents Mémoires qui se trouvent parmi ceux de l’Académie de Pétersbourg (t. VI des anciens Commentaires et t. IX des nouveaux) ; mais il s’en faut encore beaucoup que la matière soit épuisée. Car : 1^o M. Euler n’a considéré, dans l’équation $\mathrm {A+B} t^{2}=u^{2},$ que le cas où $\mathrm {B}$ est un nombre positif, et où $t$ et $u$ doivent être des nombres entiers ; 2^o dans ce cas même, M. Euler suppose qu’on connaisse déjà une solution de l’équation et il donne le moyen d’en déduire une infinité d’autres. Ce n’est pas que ce grand Géomètre n’ait tâché de donner aussi quelques règles pour connaître a priori si l’équation proposée est résoluble ou non ; mais, outre que ces règles ne sont fondées que sur des principes précaires et tirés seulement de l’induction, elles ne sont d’ailleurs d’aucune utilité pour la recherche de la première solution, qui doit être supposée connue (voyez le premier Mémoire du t. IX des nouveaux Commentaires de Pétersbourg, et surtout la conclusion de ce Mémoire, p. 38) ; 3^o les formules que M. Euler donne pour trouver une infinité de solutions, dès qu’on en connaît une seule, ne renferment pas toujours et ne sauraient renfermer toutes les solutions possibles, à moins que $\mathrm {A}$ ne soit un nombre premier (voyez plus bas le n^o 45).

Les recherches que j’ai faites depuis quelque temps sur cette matière m’ont conduit à des méthodes directes, générales et nouvelles, pour résoudre les équations de la forme $\mathrm {A+B} t^{2}=u^{2},$ et en général toutes les équations du second degré à deux inconnues, soit que les inconnues puissent être des nombres quelconques entiers ou fractionnaires, soit qu’elles doivent être des nombres entiers. Ce sont ces méthodes qui font l’objet de ce Mémoire ; je les crois d’autant plus dignes de l’attention des Mathématiciens qu’elles laissent encore un vaste champ à leurs recherches.

§ I. — De la manière de ramener toute équation du second degré à deux inconnues à cette forme $\mathrm {A} =u^{2}-\mathrm {B} t^{2},$ et des cas dans lesquels les équations de cette forme peuvent se résoudre par les méthodes connues.

1. Soit

$\alpha x^{2}+\beta xy+\gamma y^{2}+\delta x+\varepsilon y+\zeta =0$

l’équation générale proposée dans laquelle $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\varepsilon$ et $\zeta$ soient des nombres donnés entiers, positifs ou négatifs (il est évident que si les coefficients $\alpha ,\beta ,\ldots$ n’étaient pas des nombres entiers, on pourrait toujours les rendre tels en faisant évanouir tous les dénominateurs par la multiplication), et où $x$ et $y$ soient les deux inconnues qu’il s’agit de déterminer, en sorte qu’elles soient exprimées par des nombres rationnels. Qu’on tire de cette équation la valeur de l’une des deux inconnues, comme $x$ et l’on aura

$2\alpha x+\beta y+\delta ={\sqrt {(\beta y+\delta )^{2}-4\alpha \left(\gamma y^{2}+\varepsilon y+\zeta \right)}},$

d’où l’on voit que la question se réduit à déterminer $y$ en sorte que la

quantité $(\beta y+\delta )^{2}-4\alpha \left(\gamma y^{2}+\varepsilon y+\zeta \right)$ soit un carré. Soient, pour abréger,

${\begin{aligned}\beta ^{2}-4\alpha \gamma =&\mathrm {B} ,\\\beta \delta -2\alpha \varepsilon =&f,\\\delta ^{2}-4\alpha \zeta =&g,\end{aligned}}$

et il faudra que $\mathrm {B} y^{2}+2fy+g$ soit un carré ; soit donc

$\mathrm {B} y^{2}+2fy+g=t^{2},$

on aura par la résolution de cette équation

$\mathrm {B} y+f={\sqrt {\mathrm {B} t^{2}+f^{2}-\mathrm {B} g}},$

de sorte qu’il ne s’agira plus que de rendre $\mathrm {B} t^{2}+f^{2}-\mathrm {B} g$ carré. Soit encore

$f^{2}-\mathrm {B} g=\mathrm {A} ,$

et toute la difficulté se réduira à satisfaire à cette équation

$\mathrm {A+B} t^{2}=u^{2},$

$\mathrm {A,B}$ étant des nombres entiers donnés, et $t$ et $u$ devant être des nombres rationnels.

2. Puisque nous avons supposé

$(\beta y+\delta )^{2}-4\alpha \left(\gamma y^{2}+\varepsilon y+\zeta \right)=\mathrm {B} y^{2}+2fy+g=t^{2},$

$\mathrm {B} t^{2}+f^{2}-\mathrm {B} g=\mathrm {B} t^{2}+\mathrm {A} =u^{2},$

on aura

$2\alpha x+\beta y+\delta =\pm t.$

$\mathrm {B} y+f=\pm u,$

d’où

${\begin{aligned}y=&{\frac {\pm u-f}{\mathrm {B} }},\\x=&{\frac {\pm t-\delta }{2\alpha }}-{\frac {\beta (\pm u-f)}{2\alpha \mathrm {B} }}\end{aligned}}$

(les signes ambigus de $u$ et de $t$ pouvant être pris à volonté), par où l’on déterminera $x$ et $y$ dès que l’on connaîtra $t$ et $u.$

On voit aussi par là que, si $x$ et $y$ doivent être des nombres entiers, il faut que $t$ et $u$ soient entiers aussi ; mais il faudra de plus que $\pm u-f$ soit divisible par $\mathrm {B} ,$ et que $\pm t-\delta -{\frac {\beta (\pm u-f)}{\mathrm {B} }}$ soit divisible par $2\alpha .$ Si l’on voulait seulement que $x$ et $y$ fussent des nombres rationnels, il suffirait que $t$ et $u$ fussent aussi rationnels.

3. Si l’un des nombres $\mathrm {A}$ ou $\mathrm {B}$ était carré, l’équation $\mathrm {A+B} t^{2}=u^{2}$ serait susceptible des méthodes de Diophante.

Car : 1^o soit $\mathrm {B} =b^{2},$ on supposera $u=bt+z,$ et l’équation deviendra, en ôtant ce qui se détruit,

$\mathrm {A} =2btz+z^{2},$

d’où l’on tire

$t={\frac {\mathrm {A} -z^{2}}{2bz}}\,;$

de sorte qu’on pourra prendre pour $z$ un nombre quelconque. Cependant, si l’on voulait que $t$ et $u$ fussent des nombres entiers, il ne faudrait prendre pour $z$ que des nombres entiers tels, que $\mathrm {A} -z^{2}$ fût divisible par $2bz\,;$ mais, comme la recherche des nombres qui auraient cette propriété pourrait être longue et pénible, on considérera que l’équation $\mathrm {A} +b^{2}t^{2}=u^{2}$ donne

$\mathrm {A} =u^{2}-b^{2}t^{2}=(u+bt)(u-bt)\,;$

d’où l’on voit d’abord que $u+bt$ et $u-bt$ doivent être des facteurs du nombre donné $\mathrm {A} \,;$ de sorte qu’il n’y aura qu’à résoudre ce nombre en deux facteurs de toutes les manières possibles, et prendre ensuite l’un des facteurs pour $u+bt$ et l’autre pour $u-bt\,;$ on aura par ce moyen deux équations à l’aide desquelles on déterminera $t$ et $u,$ et l’on choisira entre toutes les valeurs de $t$ et $u,$ que chaque couple de facteurs aura fournies, celles qui seront des nombres entiers. De cette manière on sera assuré d’avoir toujours les solutions possibles en entiers de l’équation proposée.

2^o Supposons que l’on ait $\mathrm {A} =a^{2},$ on fera $u=a+tz,$ et l’on aura, en substituant et effaçant ce qui se détruit,

$\mathrm {B} t^{2}=2atz+t^{2}z^{2},$

ou bien, en divisant par $t$ et tirant ensuite la valeur de $t,$

$t={\frac {2az}{\mathrm {B} -z^{2}}},$

où l’on pourra prendre pour $z$ tout ce que l’on voudra. Si $t$ et $u$ devaient être entiers, il faudrait que $z$ fût entier et tel que $2az$ fût divisible par $\mathrm {A} -z^{2}\,;$ ainsi, on pourrait supposer d’abord $z=0,$ ce qui donnerait $t=0$ et $u=a\,;$ mais, pour avoir une solution générale, on considérera l’équation $a^{2}+\mathrm {B} t^{2}=u^{2},$ laquelle donne

$\mathrm {B} t^{2}=u^{2}-a^{2}=(u+a)(u-a),$

et nous apprend que $u+a$ et $u-a$ doivent être des facteurs de $\mathrm {B} t^{2}.$ Soit $\mathrm {B} =b\beta \,;$ $b$ et $\beta$ étant deux facteurs quelconques de $\mathrm {B} ,$ on pourra déterminer $t$ et $u$ en supposant

$u+a=bt\quad {\text{et}}\quad u-a=\beta t,$

d’où l’on tire

$2a=(b-\beta )t\quad {\text{et}}\quad t={\frac {2a}{b-\beta }}\,;$

ainsi, l’équation ne sera résoluble en nombres entiers, au moins par cette méthode, que lorsque $2a$ sera divisible par $b-\beta \,;$ je dis par cette méthode, car il est évident que la supposition de $u+a=bt$ et $u-a=\beta t$ n’est que particulière, et qu’on pourrait faire aussi, en supposant $t=pq$

$u+a=bp^{2},\quad u-a=\beta q^{2},$

ce qui donnerait

$2a=bp^{2}-\beta q^{2},$

équation qui rentre, comme on voit, dans le cas général du n^o 1.

Ce sont là les seules méthodes qu’on ait eues jusqu’à présent pour résoudre les équations de la forme de $\mathrm {A+B} t^{2}=u^{2},$ méthodes qui ne sont absolument applicables qu’aux cas où $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ sont des nombres carrés ; dans tous les autres cas, on en était réduit au simple tâtonnement, moyen non-seulement long et pénible, mais presque impraticable, à moins que les quantités cherchées ne soient renfermées dans de certaines limites ; or, c’est ce qui n’a lieu que dans le cas où, $\mathrm {A}$ étant positif, $\mathrm {B}$ est négatif ; car, puisque $u^{2}$ doit être entier et positif, il est clair que $\mathrm {B} t^{2}$ devra être moindre que $\mathrm {A} ,$ et que par conséquent $t$ devra nécessairement être moindre que ${\sqrt {\mathrm {\frac {A}{B}} }}\,;$ de sorte qu’il n’y aura dans ce cas qu’à substituer successivement, au lieu de $t,$ tous les nombres positifs moindres que ${\sqrt {\mathrm {\frac {A}{B}} }}$ (il serait inutile de substituer des nombres négatifs, le carré $t^{2}$ étant le même, soit que $t$ soit positif ou négatif), et choisir ceux qui rendront $\mathrm {A-B} t^{2}$ égal à un carré ; il n’en est pas de même lorsque $\mathrm {B}$ est positif, parce qu’alors $t$ peut augmenter à l’infini ; et en général, soit que $\mathrm {B}$ soit positif ou négatif, le nombre des substitutions à essayer sera toujours nécessairement indéfini, dès qu’on voudra admettre des nombres rompus ; ce qui prouve d’autant plus la nécessité d’avoir pour cet objet des méthodes directes et analytiques telles que celles que nous allons donner.

§ II. — Résolution de l’équation $\mathrm {A} =u^{2}-\mathrm {B} t^{2}$ lorsque $u$ et $t$ peuvent être des nombres quelconques entiers ou fractionnaires.

4. Supposons en général que $u$ et $t$ soient des fractions quelconques, lesquelles, étant réduites au même dénominateur et aux moindres termes possibles, soient représentées par ${\frac {p}{r}}$ et ${\frac {q}{r}},$ en sorte que l’on ait $u={\frac {p}{r}},$ $t={\frac {q}{r}}\,;$ et l’équation

$\mathrm {A+B} t^{2}=u^{2},\quad {\text{savoir}}\quad \mathrm {A} =u^{2}-\mathrm {B} t^{2},$

deviendra

$\mathrm {A} r^{2}=p^{2}-\mathrm {B} q^{2},$

de sorte que la question sera réduite à trouver des nombres entiers qui, étant substitués pour $p,q$ et $r,$ satisfassent à cette équation.

Nous pouvons supposer de plus que l’équation $\mathrm {A} r^{2}=p^{2}-\mathrm {B} q^{2}$ soit telle, que ni $\mathrm {A}$ ni $\mathrm {B}$ ne contiennent aucun facteur carré. Car, si l’on avait $\mathrm {A} =a\rho ^{2},\ \mathrm {B} =b\varpi ^{2},$ l’équation deviendrait

$a\rho ^{2}r^{2}=p^{2}-b\varpi ^{2}q^{2}\,;$

ou bien, en faisant $\rho r=m,\ \varpi q=n,$

$am^{2}=p^{2}-bn^{2},$

laquelle est de la même forme que la précédente.

En général, au lieu de faire simplement $u={\frac {p}{r}}$ et $t={\frac {q}{r}},$ on fera dans ce cas $u={\frac {\rho p}{r}}$ et $t={\frac {\rho q}{\varpi r}},$ et les facteurs carrés $\rho ^{2}$ et $\varpi ^{2}$ disparaîtront par la division. Ainsi, il suffira de résoudre l’équation

$\mathrm {A} r^{2}=p^{2}-\mathrm {B} q^{2}$

dans l’hypothèse que ni $\mathrm {A}$ ni $\mathrm {B}$ ne contiennent aucun facteur carré.

Nous supposerons encore que $\mathrm {B}$ ne soit pas égal à $1,$ ni que l’on ait à la fois $\mathrm {B} =-1$ et $\mathrm {A} =1\,;$ car, outre que ces cas n’ont point de difficulté, nous nous réservons d’en donner la solution plus bas (19).

Enfin, nous supposerons que $\mathrm {A}$ soit toujours plus grand que $\mathrm {B} .$ En effet, il est clair :

1^o Que, si $\mathrm {A}$ était moindre que $\mathrm {B} ,$ il n’y aurait qu’à transposer les termes $\mathrm {A} r^{2}$ et $\mathrm {B} q^{2},$ et échanger $\mathrm {A}$ en $\mathrm {B}$ et $q$ en $r\,;$

2^o Si $\mathrm {A}$ était égal à $\pm \mathrm {B} ,$ alors, comme $\mathrm {A}$ est supposé ne contenir aucun facteur carré, il faudrait nécessairement que $p$ fût divisible par $\mathrm {A} ,$ de sorte qu’en faisant $p=\mathrm {A} s$ on aurait, après avoir divisé par $\mathrm {A} ,$

$r^{2}=\mathrm {A} s^{2}\pm q^{2},\quad {\text{c’est-à-dire}}\quad \mathrm {A} s^{2}=p^{2}\pm q^{2},$

laquelle rentre dans l’équation générale $\mathrm {A} r^{2}=p^{2}-\mathrm {B} q^{2},$ en faisant $\mathrm {B} =\pm 1,\ r=s\,;$ or, si le signe inférieur a lieu, on aura déjà le cas du n^o 19 ; et si c’est le signe supérieur qui ait lieu, alors on aura aussi le cas du n^o 19 si $\mathrm {A} =1\,;$ de sorte que nous supposerons ici $\mathrm {A} >1,$ et par conséquent $\mathrm {A>B} .$

De cette manière, la résolution de l’équation proposée se réduira toujours à celle d’une équation de la forme

$\mathrm {A} r^{2}=p^{2}-\mathrm {B} q^{2},$

où $p,q,r$ devront être des nombres entiers, et où $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ seront des nombres entiers donnés non carrés, ni contenant des facteurs carrés, et dont l’un $\mathrm {A}$ sera plus grand que l’autre $\mathrm {B} .$

5. Je dis maintenant que les nombres $p$ et $q$ doivent être premiers entre eux : car, s’ils avaient un commun diviseur $\rho ,$ il faudrait que $\mathrm {A} r^{2}$ fût aussi divisible par $\rho ^{2}\,;$ mais, comme les fractions ${\frac {p}{r}}$ et ${\frac {q}{r}}$ sont supposées réduites à leurs moindres termes, il est clair que $p,q$ et $r$ n’auront aucun diviseur commun, et qu’ainsi $r$ ne sera point divisible par $\rho \,;$ d’ailleurs, il est clair que si $p,q$ et $r$ avaient un diviseur commun, on en pourrait toujours faire abstraction, parce que ce diviseur s’en irait de lui-même par la division ; donc, il faudra que $\mathrm {A}$ soit divisible par $\rho ^{2},$ ce qui ne se peut à cause que $\mathrm {A}$ est supposé ne contenir aucun facteur carré.

6. Cela posé, je remarque d’abord que, pour que l’équation

$\mathrm {A} r^{2}=p^{2}-\mathrm {B} q^{2}$

puisse subsister, il faut que $\mathrm {A}$ soit un diviseur d’un nombre de cette forme $\alpha ^{2}-\mathrm {B} ,$ $\alpha$ étant un nombre entier, c’est-à-dire que $\mathrm {B}$ soit le résidu de la division d’un carré quelconque par $\mathrm {A} .$ Car, si l’on multiplie l’équation dont il s’agit par

$p_{1}^{2}-\mathrm {B} q_{1}^{2},$

on aura

$\mathrm {A} r^{2}\left(p_{1}^{2}-\mathrm {B} q_{1}^{2}\right)=\left(p^{2}-\mathrm {B} q^{2}\right)\left(p_{1}^{2}-\mathrm {B} q_{1}^{2}\right)\,;$

or,

$\left(p^{2}-\mathrm {B} q^{2}\right)\left(p_{1}^{2}-\mathrm {B} q_{1}^{2}\right)$

se réduit à cette forme

$\left(pp_{1}\pm \mathrm {B} qq_{1}\right)^{2}-\mathrm {B} \left(pq_{1}\pm qp_{1}\right)^{2},$

comme il est facile de s’en assurer par le développement de ces deux expressions ; donc, si l’on prend pour $p_{1}$ et $q_{1}$ des nombres entiers tels, que $pq_{1}-qp_{1}$ soit $1$ ou $-1,$ ce qui est toujours possible à cause que $p$ et $q$ sont premiers entre eux (numéro précédent), et qu’on fasse

$pp_{1}-\mathrm {B} qq_{1}=a,$

on aura

$\mathrm {A} r^{2}\left(p_{1}^{2}-\mathrm {B} q_{1}^{2}\right)=\alpha ^{2}-\mathrm {B} \,;$

par conséquent, $\mathrm {A}$ sera un diviseur de $\alpha ^{2}-\mathrm {B} .$

7. Pour trouver les nombres $p_{1}$ et $q_{1},$ qui peuvent satisfaire à la condition $pq_{1}-qp_{1}=\pm 1,$ on réduira la fraction ${\frac {p}{q}}$ en une fraction continue, d’où l’on déduira, comme on sait, une suite de fractions convergentes vers ${\frac {p}{q}}$ et alternativement plus grandes ou plus petites que cette même fraction (voyez plus bas le n^o 29), et l’on prendra pour $p_{1}$ le numérateur de la fraction qui précédera immédiatement la fraction ${\frac {p}{q}}$ et pour $q_{1}$ le dénominateur de la même fraction ; si la fraction ${\frac {p_{1}}{q_{1}}}$ est plus petite que la fraction ${\frac {p}{q}},$ on aura

$pq_{1}-qp_{1}=1,$

et si ${\frac {p_{1}}{q_{1}}}>{\frac {p}{q}},$ on aura

$pq_{1}-qp_{1}=-1.$

8. Cette méthode est utile pour résoudre en général toutes les équations du premier degré à deux inconnues, lorsque ces inconnues doivent être des nombres entiers. Car, soit l’équation

$py-qx=r,$

dans laquelle $p$ et $q$ soient des nombres entiers premiers entre eux ; je dis premiers entre eux, car il est évident que si $p$ et $q$ avaient un diviseur commun $\rho ,$ il faudrait que $r$ fût aussi divisible par $\rho$ pour que les nombres $x$ et $y$ pussent être des nombres entiers ; donc, divisant toute l’équation par $\rho ,$ on aurait une nouvelle équation de la forme

$py-qx=r,$

dans laquelle $p$ et $q$ seraient nécessairement premiers entre eux.

Qu’on cherche, comme ci-dessus, la fraction ${\frac {p_{1}}{q_{1}}},$ telle que

$pq_{1}-qp_{1}=\pm 1,$

et l’on aura, en multipliant par $r,$

$pq_{1}r-qp_{1}r=\pm r\,;$

donc, retranchant cette équation de la proposée ou l’y ajoutant, on aura celle-ci

$p\left(y\mp rq_{1}\right)-q\left(x\mp rp_{1}\right)=0,$

d’où l’on tire

${\frac {x\mp rp_{1}}{y\mp rq_{1}}}={\frac {p}{q}}.$

Or, $p$ et $q$ étant premiers entre eux, la fraction sera déjà réduite à ses moindres termes, de sorte que comme $x$ et $y$ doivent être des nombres entiers, il faudra qu’on ait

$x\mp rp_{1}=mp,\quad y\mp rq_{1}=mq.$

$m$ étant un nombre quelconque entier ; d’où l’on tirera

$x=mp\pm rp_{1},\quad y=mq\pm rq_{1}.$

Ce sont les expressions générales de tous les nombres entiers $x$ et $y$ qui

peuvent satisfaire à l’équation

$py-qx=r.$

Ainsi, pour satisfaire en général à l’équation

$py-qx=\pm 1,$

qui est celle du numéro précédent, on prendra $r=\pm 1,$ et l’on aura

$x=mp\pm p_{1},\quad y=mq\pm q_{1},$

les signes ambigus étant à volonté aussi bien que le nombre $m.$

9. La réduction que nous avons faite (6) de la quantité

$\left(p^{2}-\mathrm {B} q^{2}\right)\left(p_{1}^{2}-\mathrm {B} q_{1}^{2}\right)$

à

$\left(pp_{1}+\mathrm {B} qq_{1}\right)^{2}-\mathrm {B} \left(pq_{1}\pm qp_{1}\right)^{2}$

doit être bien remarquée, parce que nous en ferons un fréquent usage dans la suite de ce Mémoire ; il résulte de là que le produit de deux nombres quelconques de la forme $p^{2}-\mathrm {B} q^{2}$ est encore de la même forme, et que par conséquent le produit d’autant de nombres qu’on voudra de la forme $p^{2}-\mathrm {B} q^{2}$ sera aussi de la même forme. En effet, on a

${\begin{aligned}&\left(p^{2}-\mathrm {B} q^{2}\right)\left(p_{1}^{2}-\mathrm {B} q_{1}^{2}\right)=\mathrm {P^{2}-BQ^{2}} ,\\&\left(p^{2}-\mathrm {B} q^{2}\right)\left(p_{1}^{2}-\mathrm {B} q_{1}^{2}\right)\left(p_{2}^{2}-\mathrm {B} q_{2}^{2}\right)=\mathrm {P_{1}^{2}-BQ_{1}^{2}} ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {P} \ \ &=pp_{1}\pm \mathrm {B} qq_{1},&\mathrm {Q} \ \ &=pq_{1}\pm qp_{1},\\\mathrm {P} _{1}&=\mathrm {P} p_{2}\pm \mathrm {BQ} q_{2},\qquad &\mathrm {Q} _{1}&=\mathrm {P} q_{2}\pm \mathrm {Q} p_{2},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}$

où l’on observera, à l’égard des signes ambigus, de les prendre les mêmes dans les deux quantités $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q} ,$ $\mathrm {P} _{1}$ et $\mathrm {Q} _{1},\ldots .$

On aura de même

${\begin{aligned}\left(p^{2}-\mathrm {B} q^{2}\right)^{2}&=\mathrm {P^{2}-BQ^{2}} ,\\\left(p^{2}-\mathrm {B} q^{2}\right)^{3}&=\mathrm {P_{1}^{2}-BQ_{1}^{2}} ,\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

en faisant

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {P} \ \ &=p^{2}+\mathrm {B} q^{2},&\mathrm {Q} \ \ &=2pq,\\\mathrm {P} _{1}&=p^{3}+3\mathrm {B} pq^{2},\qquad &\mathrm {Q} _{1}&=3pq^{2}+\mathrm {B} q^{3},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}$

et en général, si l’on fait

$\left(p^{2}-\mathrm {B} q^{2}\right)^{m}=\mathrm {P^{2}-BQ^{2}} ,$

on aura

${\begin{aligned}\mathrm {P} =&p^{m}+{\frac {m(m-1)}{2}}p^{m-2}q^{2}\mathrm {B} +{\frac {m(m-1)(m-2)(m-3)}{2.3.4}}p^{m-4}q^{4}\mathrm {B} ^{2}+\ldots ,\\\mathrm {Q} =&mp^{m-1}+{\frac {m(m-1)(m-2)}{2.3}}p^{m-3}q^{3}\mathrm {B} +{\frac {m(m-1)\ldots (m-4)}{2.3.4.5}}p^{m-5}q^{5}\mathrm {B} ^{2}+\ldots ,\\\end{aligned}}$

ou bien

${\begin{aligned}\mathrm {P} =&{\frac {\left(p+q{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)^{m}+\left(p-q{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)^{m}}{2}},\\\mathrm {Q} =&{\frac {\left(p+q{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)^{m}-\left(p-q{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)^{m}}{2{\sqrt {\mathrm {B} }}}}.\end{aligned}}$

10. Nous avons démontré plus haut (6) que l’équation

$\mathrm {A} r^{2}=p^{2}-\mathrm {B} q^{2}$

ne peut avoir lieu à moins que $\mathrm {A}$ ne soit un diviseur d’un nombre de cette forme $\alpha ^{2}-\mathrm {B} \,;$ or, je dis que l’on peut toujours supposer que le nombre $\alpha$ soit moindre que la moitié du nombre $\mathrm {A} .$ En effet, soit $a$ un nombre tel que $a^{2}-\mathrm {B}$ soit divisible par $\mathrm {A} ,$ il est clair qu’en faisant $\alpha =\mu \mathrm {A} \pm a,$ $\mu$ étant un nombre quelconque entier, $\alpha ^{2}-\mathrm {B}$ sera aussi divisible par $\mathrm {A} \,;$ d’autre part il est facile de voir qu’on peut toujours déterminer le nombre $\mu$ et le signe ambigu de $a$ en sorte que $\alpha$ soit $<{\frac {\mathrm {A} }{2}}\,;$ donc, s’il existe un nombre quelconque $a,$ tel que $\alpha ^{2}-\mathrm {B}$ soit divisible par $\mathrm {A} ,$ il doit exister aussi un nombre $\alpha <{\frac {\mathrm {A} }{2}},$ qui ait la même propriété.

On doit conclure de là que, pour que l’équation

$\mathrm {A} r^{2}=p^{2}-\mathrm {B} q^{2}$

soit résoluble, il faut nécessairement que $\mathrm {A}$ soit un diviseur d’un nombre tel que $\alpha ^{2}-\mathrm {B} ,$ $\alpha$ étant un nombre moindre que ${\frac {\mathrm {A} }{2}}.$

On essayera donc successivement pour $\alpha$ tous les nombres naturels depuis $1$ jusqu’à ${\frac {\mathrm {A} }{2}},$ et si l’on n’en trouve aucun qui satisfasse à la condition dont il s’agit, ce sera une marque sûre que l’équation proposée n’admet aucune solution rationnelle.

Nous donnerons plus bas (voyez le § IV) des moyens directs pour pouvoir reconnaître si un nombre donné peut être un diviseur d’un nombre de la forme $\alpha ^{2}-\mathrm {B} ,$ $\mathrm {B}$ étant aussi donné ; il nous suffit ici qu’on puisse toujours s’en assurer par un tâtonnement fort simple.

Au reste, il faut remarquer, pour éviter toute équivoque, que quand nous disons que $\alpha$ doit être $<{\frac {\mathrm {A} }{2}},$ nous entendons que $\alpha$ et $\mathrm {A}$ soient pris positivement, quoiqu’ils puissent être d’ailleurs positifs ou négatifs ; de sorte qu’on ne doit avoir égard, dans cette comparaison des nombres $\alpha$ et $\mathrm {A} ,$ qu’à leur valeur absolue.

11. Reprenons maintenant l’équation

(A)

$\mathrm {A} r^{2}=p^{2}-\mathrm {B} q^{2},$

et supposons qu’on ait trouvé un nombre entier $\alpha <{\frac {\mathrm {A} }{2}}$ (abstraction faite des signes de $\alpha$ et $\mathrm {A}$), tel que $\alpha ^{2}-\mathrm {B}$ soit divisible par $\mathrm {A} \,;$ dénotons par $\mathrm {A} _{1}$ le quotient de la division de $\alpha ^{2}-\mathrm {B}$ par $\mathrm {A} ,$ on aura l’équation

$\mathrm {AA_{1}=\alpha ^{2}-B} .$

Qu’on fasse $\alpha _{1}=\mu _{1}\mathrm {A} _{1}\pm \alpha ,$ $\mu _{1}$ étant un nombre quelconque entier, et qu’on prenne le nombre $\mu _{1}$ et le signe de $\alpha$ en sorte que l’on ait $\alpha _{1}<{\frac {\mathrm {A} _{1}}{2}}$ (abstraction faite des signes de $\alpha _{1}$ et $\mathrm {A} _{1}$), ce qui est évidemment toujours possible, comme nous l’avons déjà observé plus haut ; il est clair que, puisque $\alpha ^{2}-\mathrm {B}$ est déjà divisible par $\mathrm {A} _{1},$ $\alpha _{1}^{2}-\mathrm {B}$ le sera aussi, de sorte qu’en dénotant le quotient de cette division par $\mathrm {A} _{2},$ on aura cette équation analogue à la précédente

$\mathrm {A_{1}A_{2}} =\alpha _{1}^{2}-\mathrm {B} .$

Faisant de même $\alpha _{2}=\mu _{2}\mathrm {A} _{2}\pm \alpha _{1}$ et prenant $\mu _{2}$ et le signe de $\alpha _{l},$ en sorte que l’on ait $\alpha _{2}<{\frac {\mathrm {A} _{2}}{2}}$ (les nombres $\alpha _{2}$ et $\mathrm {A} _{2}$ étant considérés comme positifs), on aura $\alpha _{2}^{2}-\mathrm {B}$ divisible par $\mathrm {A} _{2}\,;$ de sorte qu’en dénotant le quotient de cette division par $\mathrm {A} _{3},$ on aura cette troisième équation

$\mathrm {A_{2}A_{3}} =\alpha _{2}^{2}-\mathrm {B} ,$

et ainsi de suite.

12. De cette manière on pourra trouver une suite d’équations telles que

$(a)\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left\{{\begin{aligned}\mathrm {A\ A_{1}} &=\alpha ^{2}-\mathrm {B} ,\\\mathrm {A_{1}A_{2}} &=\alpha _{1}^{2}-\mathrm {B} ,\\\mathrm {A_{2}A_{3}} &=\alpha _{2}^{2}-\mathrm {B} ,\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}\right.$

dans lesquelles on ait (en considérant les nombres $\alpha ,\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots \mathrm {A,A_{1}} ,$$\mathrm {A_{2}} ,\ldots$ comme positifs) $\alpha <{\frac {\mathrm {A} }{2}},\ \alpha _{1}<{\frac {\mathrm {A} _{1}}{2}},\ \alpha _{2}<{\frac {\mathrm {A} _{2}}{2}},\ldots .$

Or, je dis que les nombres $\mathrm {A,A_{1},A_{2},A_{3}} ,\ldots$ formeront nécessairement une suite décroissante, jusqu’à ce que l’on arrive à un terme comme $\mathrm {A} _{n},$ l’indice $n$ dénotant le quantième du terme $\mathrm {A} _{n},$ lequel soit $=\mathrm {B}$ ou $<\mathrm {B} ,$ abstraction faite des signes de $\mathrm {A} _{n}$ et de $\mathrm {B} .$ Pour prouver cette proposition, il est à propos de distinguer les deux cas de $\mathrm {B}$ positif et de $\mathrm {B}$ négatif.

13. Supposons d’abord que $\mathrm {B}$ soit un nombre positif ; dans ce cas il est clair que $\mathrm {A}$ pourra être positif ou négatif.

1^o Soit $\mathrm {A}$ positif et soit $\alpha ^{2}>\mathrm {B} ,$ il est clair que $\mathrm {A} _{1}$ sera aussi positif ; or, puisque $\alpha <{\frac {\mathrm {A} }{2}},$ on aura aussi $\alpha ^{2}<{\frac {\mathrm {A} ^{2}}{4}},$ et à plus forte raison

$\alpha ^{2}-\mathrm {B} <{\frac {\mathrm {A} ^{2}}{4}}\,;$

donc $\mathrm {AA_{1}} <{\frac {\mathrm {A} ^{2}}{4}},$ et par conséquent ( $\mathrm {A}$ et $\mathrm {A} _{1}$ étant positifs) $\mathrm {A_{1}<{\frac {A}{4}}} .$

De même, puisque $\mathrm {A} _{1}$ est positif, si $\alpha _{1}^{2}>\mathrm {B} ,$ on aura aussi $\mathrm {A} _{2}$ positif, et l’on prouvera pareillement que $\mathrm {A} _{2}<{\frac {\mathrm {A} _{1}}{4}},$ et ainsi de suite, jusqu’à ce que l’on arrive à une équation telle que

$\mathrm {A} _{n}\mathrm {A} _{n+1}=\alpha _{n}^{2}-\mathrm {B} ,$

dans laquelle $\alpha _{n}^{2}\,;$ ne soit pas $>\mathrm {B} \,;$ or, puisque $\alpha <\mathrm {{\frac {A}{2}},\ A_{1}<{\frac {A}{4}}} ,$$\mathrm {\alpha _{1}<{\frac {A_{1}}{2}}} ,\ \mathrm {A_{2}<{\frac {A_{1}}{4}}} ,\ldots ,$ il est clair que les nombres $\mathrm {A,A_{1},A_{2}} ,\ldots$ iront nécessairement en diminuant, ainsi que les nombres $\alpha ,\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots \,;$ de sorte qu’on parviendra nécessairement à l’équation

$\mathrm {A} _{n}\mathrm {A} _{n+1}=\alpha ^{2}-\mathrm {B} ,$

où $\alpha ^{2}=\mathrm {B}$ ou $<\mathrm {B} \,;$ mais, à cause que $\mathrm {B}$ est supposé non carré, et différent de l’unité (4), on ne saurait avoir $\alpha _{n}^{2}=\mathrm {B} \,;$ de sorte qu’il faudra que l’on ait $\alpha _{n}^{2}<\mathrm {B} .$ Ainsi $\mathrm {B} -\alpha _{n}^{2}$ sera nécessairement un nombre moindre que $\mathrm {B} ,$ ou tout au plus égal à $\mathrm {B}$ si $\alpha _{n}=0\,;$ donc, puisque $\mathrm {A} _{n}$ doit être un diviseur de $\mathrm {B} -\alpha _{n}^{2},$ il est clair que $\mathrm {A} _{n}$ sera aussi nécessairement moindre que $\mathrm {B}$ ou tout au plus égal à $\mathrm {B} .$

2^o Soit $\mathrm {A}$ négatif et égal à $-a,$ $a$ étant un nombre positif, et soit aussi $\alpha ^{2}>\mathrm {B} ,$ il est clair que $\mathrm {A} _{1}$ devra être négatif ; or, en prenant $\alpha$ positif, on aura $\alpha <{\frac {a}{2}}$ (par hypothèse), donc $\alpha ^{2}-\mathrm {B} <{\frac {a^{2}}{4}},$ et faisant $\mathrm {A} _{1}=-a_{1}$ ( $a_{1}$ étant positif), on aura aussi $aa_{1}<{\frac {a^{2}}{4}}$ et par conséquent $a_{1}<{\frac {a}{4}}.$

De même, en supposant $\alpha _{1}^{2}>\mathrm {B} ,$ on aura $\mathrm {A} _{2}$ négatif, et faisant $\mathrm {A} _{2}=-a_{2}$ ( $a_{2}$ étant positif), on aura $\alpha _{1}<{\frac {a_{1}}{2}}$ et $a_{2}<{\frac {a_{1}}{4}},$ et ainsi de suite. Ainsi l’on prouvera, comme ci-dessus, que les nombres $a,a_{1},a_{2},\ldots$ iront en diminuant ainsi que les nombres $\alpha ,\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots$ jusqu’à ce que l’on arrive à un nombre comme $a_{n},$ qui soit moindre que $\mathrm {B}$ ou tout au plus égal à $\mathrm {B} .$

14. Soit, en second lieu, $\mathrm {B}$ égal à un nombre négatif comme $-b,$ $b$ étant positif, il est clair d’abord que dans ce cas tous les nombres $\mathrm {A} ,$ $\mathrm {A_{1},A_{2}} ,\ldots$ seront positifs, parce que l’on aura par les équations (A) et (a)

$\mathrm {A} r^{2}=p^{2}+bq^{2},\quad \mathrm {AA_{1}} =\alpha ^{2}+b,\quad \mathrm {A_{1}A_{2}} =\alpha _{1}^{2}+b,\ldots \,;$

or, si $\mathrm {A} >b,$ l’équation $\mathrm {AA_{1}} =\alpha ^{2}+b$ donnera $\mathrm {AA_{1}<{\frac {A^{2}}{4}}+A} ,$ à cause de $b<\mathrm {A}$ et de $\alpha <{\frac {\mathrm {A} }{2}}\,;$ donc

$\mathrm {A_{1}<{\frac {A}{4}}} +1.$

De même, si $\mathrm {A} _{1}>b,$ l’équation $\mathrm {A_{1}A_{2}} =\alpha _{1}^{2}+b$ donnera, à cause de $\alpha _{1}<\mathrm {{\frac {A_{1}}{2}},\ A_{1}A_{2}<{\frac {A_{1}^{2}}{4}}+A_{1}} ,$ et par conséquent

$\mathrm {A_{2}<{\frac {A_{1}}{4}}} +1,$

et ainsi de suite ; d’où l’on voit que les nombres $\mathrm {A,A_{1},A_{2}} ,\ldots$ décroîtront continuellement jusqu’à ce que l’on arrive à un terme $\mathrm {A} _{n}$ égal à $b$ ou moindre que b.

Si $b=1,$ il est clair qu’on parviendra nécessairement à un terme $\mathrm {A} _{n}=1\,;$ car, puisque les nombres $\mathrm {A,A_{1},A_{2}} ,\ldots$ ne peuvent jamais devenir nuls, à cause des équations $\mathrm {AA_{1}} =\alpha ^{2}+b,\ \mathrm {A_{1}A_{2}} =\alpha _{1}^{2}+b,\ldots ,$ $\mathrm {A} _{n}$ ne pourra pas être $<1,$ par conséquent il sera nécessairement égal à $1.$

15. Au reste, quoiqu’on puisse toujours pousser la suite $\mathrm {A,A_{1},A_{2}} ,\ldots$ jusqu’à un terme égal ou moindre que $\mathrm {B} ,$ cependant, si l’on en trouve un qui, étant encore plus grand que $\mathrm {B} ,$ soit en même temps carré ou multiple d’un carré, mais tel, qu’étant divisé par le plus grand carré qui le mesure il laisse un quotient égal ou moindre que $\mathrm {B} ,$ alors on pourra s’arrêter à ce terme.

En général, nous supposerons que la suite $\mathrm {A,A_{1},A_{2}} ,\ldots$ soit poussée jusqu’à un terme $\mathrm {A} _{n}$ de cette forme $a^{2}\mathrm {C} ,$ $a$ étant un nombre quelconque, et $\mathrm {C}$ un nombre qui ne soit ni carré ni multiple d’un carré et qui soit en même temps égal ou moindre que $\mathrm {B} ,$ abstraction faite des signes de $\mathrm {B}$ et de $\mathrm {C} .$

Ainsi, si $\mathrm {B} =-1,$ il faudra nécessairement que l’on ait $\mathrm {C} =1.$

16. Cela posé, si l’on multiplie ensemble toutes les équations (a) du n^o 12, jusqu’à l’équation

$\mathrm {A} _{n-1}\mathrm {A} _{n}=\alpha _{n-1}^{2}-\mathrm {B} ,$

on aura (9) une équation dont le premier membre sera $\mathrm {AA_{1}^{2}A_{1}^{2}} ,\ldots \mathrm {A} _{n-1}^{2}\mathrm {A} _{n},$ et dont le second membre sera de cette forme $\mathrm {P^{2}-BQ} ^{2}\,;$ de sorte qu’à cause de $\mathrm {A} _{n}=a^{2}\mathrm {C} ,$ on aura l’équation

$\mathrm {CA} \left(\mathrm {A_{1}A_{2}} \ldots \mathrm {A} _{n-1}a\right)^{2}=\mathrm {P^{2}-BQ^{2}} ,$

laquelle étant encore multipliée par l’équation (A) deviendra de cette forme

$\mathrm {C} \left(\mathrm {AA_{1}A_{2}} \ldots \mathrm {A} _{n-1}ar\right)^{2}=p_{1}^{2}-\mathrm {B} r_{1}^{2},$

ou bien, en faisant $\mathrm {AA_{1}A_{2}} \ldots \mathrm {A} _{n-1}ar=q_{1},$ de la forme

$\mathrm {C} q_{1}^{2}=p_{1}^{2}-\mathrm {B} r_{1}^{2},$

c’est-à-dire

(B)

$\mathrm {B} r_{1}^{2}=p_{1}^{2}-\mathrm {C} q_{1}^{2}.$

D’où l’on voit que si l’équation (A) est résoluble, il faut aussi que celle-ci le soit.

Réciproquement, si l’équation (B) est résoluble, on pourra résoudre aussi l’équation (A). En effet, en mettant l’équation (B) sous cette forme

$\mathrm {C} q_{1}^{2}=p_{1}^{2}-\mathrm {B} r_{1}^{2},$

et la multipliant successivement par chacune des équations (a), à commencer par l’équation

$\mathrm {A} _{n-1}\mathrm {A} _{n}=\alpha _{n-1}^{2}-\mathrm {B} ,$

qui est la dernière, on aura, à cause de $\mathrm {A} _{n}=a^{2}\mathrm {C} ,$ une équation de cette forme

$\mathrm {A} \left(\mathrm {A_{1}A_{2}} \ldots \mathrm {A} _{n-1}\mathrm {C} a\right)^{2}q_{1}^{2}=p^{2}-\mathrm {B} q^{2},$

c’est-à-dire, en faisant $\mathrm {A_{1}A_{2}} \ldots \mathrm {A} _{n-1}\mathrm {C} aq_{1}=r,$ de la forme

$\mathrm {A} r^{2}=p^{2}-\mathrm {B} q^{2},$

qui est l’équation (A) même.

Donc la résolution de l’équation (A) se réduira à celle de l’équation (B), dans laquelle $\mathrm {B}$ est $<\mathrm {A} ,$ et $\mathrm {C} =$ ou $<\mathrm {B} ,$ de sorte que cette dernière est plus simple que la première.

Or, si $\mathrm {C} =1,$ l’équation (B) sera déjà dans le cas que nous résoudrons plus bas (19) ; ainsi nous supposerons que si $\mathrm {C}$ est positif, il soit encore plus grand que l’unité.

Nous appellerons dans la suite les équations (A), (B) et les autres équations analogues à celles-ci équations principales, et les équations (a), ainsi que les autres équations semblables qu’on pourra trouver, équations secondaires ; ainsi nous nommerons l’équation (A) la première des équations principales, l’équation (B) la deuxième des équations principales, et ainsi des autres ; nous nommerons de même les équations (a) la première suite d’équations secondaires, et ainsi du reste.

17. Or, l’équation

$\mathrm {B} r_{1}^{2}=p_{1}^{2}-\mathrm {C} q_{1}^{2}$

étant semblable à l’équation

$\mathrm {A} r^{2}=p^{2}-\mathrm {B} q^{2},$

on pourra la traiter de la même manière ; en effet, si $\mathrm {B=\pm C} ,$ il faudra que $p_{1}$ soit aussi divisible par $\mathrm {B} ,$ de sorte qu’en faisant $p_{1}=\mathrm {B} s_{1},$ on aura l’équation

$r_{1}^{2}=\mathrm {B} s_{1}^{2}\mp q_{1}^{2},$

c’est-à-dire

$\mathrm {B} s_{1}^{2}=r_{1}^{2}\pm q_{1}^{2}.$

Ainsi cette équation sera déjà dans le cas du n^o 19 si le signe inférieur a lieu ; et quand le signe supérieur aura lieu, alors, à cause de $\mathrm {B} >1$ par hypothèse, elle rentrera dans la forme générale

$\mathrm {B} r_{1}^{2}=p_{1}^{2}-\mathrm {C} q_{1}^{2},$

$\mathrm {B}$ étant $>\mathrm {C} .$ Donc, puisque $\mathrm {C}$ est ou égal à $\mathrm {B}$ ou moindre que $\mathrm {B} ,$ on aura toujours à résoudre une équation de cette forme

$\mathrm {B} r_{1}^{2}=p_{1}^{2}-\mathrm {C} q_{1}^{2},$

dans laquelle ni $\mathrm {B}$ ni $\mathrm {C}$ ne contiendront aucun facteur carré, et où $\mathrm {C}$ sera $<\mathrm {B} .$ On commencera donc par chercher de nouveau un nombre

$\beta <{\frac {\mathrm {B} }{2}}$ (en regardant $\beta$ et $\mathrm {B}$ comme positifs) et tel, que $\beta ^{2}-\mathrm {C}$ soit divisible par $\mathrm {B} \,;$ et si l’on n’en trouve aucun qui satisfasse à cette condition, ce sera une marque certaine que l’équation

$\mathrm {B} r_{1}^{2}=p_{1}^{2}-\mathrm {C} q_{1}^{2}$

ne sera point résoluble rationnellement, et par conséquent que la proposée ne le sera pas non plus ; je supposerai donc qu’on ait trouvé un tel nombre $\beta ,$ en sorte qu’en nommant $\mathrm {B} _{1}$ le quotient de la division de $\beta ^{2}-\mathrm {C}$ par $\mathrm {B}$ on ait $\beta ^{2}-\mathrm {C=BB_{1}} ,$ on pourra former cette seconde suite d’équations secondaires

$(b)\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left\{{\begin{aligned}\mathrm {B\ \ B_{1}} &=\beta ^{2}-\mathrm {C} ,\\\mathrm {B_{1}B_{2}} &=\beta _{1}^{2}-\mathrm {C} ,\\\mathrm {B_{2}B_{3}} &=\beta _{2}^{2}-\mathrm {C} ,\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}\right.$

dans lesquelles les nombres $\mathrm {B,B_{1},B_{2}} ,\ldots$ formeront une suite décroissante qu’on continuera jusqu’à ce que l’on parvienne à un terme de cette forme $b^{2}\mathrm {D} ,$ $\mathrm {D} ,$ étant égal à $\mathrm {C}$ ou moindre que $\mathrm {C}$ (abstraction faite des signes de $\mathrm {C}$ et $\mathrm {D}$), ce qui arrivera nécessairement, comme nous l’avons prouvé plus haut ; et par le moyen de ces équations on parviendra, en opérant comme dans le n^o 16, à une nouvelle équation de la forme

(C)

$\mathrm {C} r_{2}^{2}=p_{2}^{2}-\mathrm {D} q_{2}^{2},$

dont la résolution dépendra de celle de l’équation

$\mathrm {B} r_{1}^{2}=p_{1}^{2}-\mathrm {C} q_{1}^{2},$

et vice versâ ; de sorte que, cette équation étant résolue, on pourra, en remontant, résoudre la proposée.

18. En suivant toujours le même procédé, on trouvera cette suite d’équations principales

${\begin{aligned}\mathrm {A} r^{2}&=p^{2}-\mathrm {B} q^{2},\\\mathrm {B} r_{1}^{2}&=p_{1}^{2}-\mathrm {C} q_{1}^{2},\\\mathrm {C} r_{2}^{2}&=p_{2}^{2}-\mathrm {D} q_{2}^{2},\\\mathrm {D} r_{3}^{2}&=p_{3}^{2}-\mathrm {E} q_{3}^{2},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

dans lesquelles les nombres $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ formeront une série décroissante jusqu’à ce qu’on parvienne à un terme égal à l’unité prise positivement ou négativement ; car, comme ces nombres ne sont ni carrés ni multiples de carrés par l’hypothèse, il est impossible qu’on parvienne à un terme égal à zéro avant d’être parvenu à un terme égal à l’unité ; en effet, si $\mathrm {E} =0,$ on aura $\mathrm {D} r_{3}^{2}=p_{3}^{2}\,;$ donc $\mathrm {D} =1\,;$ donc, puisque les termes $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ deviennent toujours plus petits, il est évident qu’on arrivera nécessairement à un terme égal à $1$ ou à $-1.$

Soit, par exemple, $\mathrm {E} =1\,;$ alors la dernière équation sera

$\mathrm {D} r_{3}^{2}=p_{3}^{2}-q_{3}^{2},$

c’est-à-dire de la forme

$\mathrm {V} z^{2}=x^{2}-y^{2}.$

Mais, si $\mathrm {E} =-1,$ alors on pourra continuer encore les mêmes opérations, et l’on parviendra nécessairement à une nouvelle équation principale telle que

$\mathrm {E} r_{4}^{2}=p_{4}^{2}-\mathrm {F} q_{4}^{2},$

dans laquelle, à cause de $\mathrm {E} =-1,$ on aura nécessairement $\mathrm {F} =1$ (15) ; de sorte que la dernière des équations principales sera, dans ce cas, de la forme

$-z^{2}=x^{2}-y^{2},$

laquelle rentre dans la formule précédente en faisant $\mathrm {V} =-1.$

Or, nous avons démontré que si l’équation

$\mathrm {A} r^{2}=p^{2}-\mathrm {B} q^{2}$

est résoluble, les équations suivantes

$\mathrm {B} r_{1}^{2}=p_{1}^{2}-\mathrm {C} q_{1}^{2},\quad \mathrm {C} r_{2}^{2}=p_{2}^{2}-\mathrm {D} q_{2}^{2},\ldots ,$

doivent l’être aussi, et réciproquement que si l’une de celles-ci peut se résoudre, toutes les précédentes pourront se résoudre aussi (16) ; donc, la résolution de l’équation

$\mathrm {A} r^{2}=p^{2}-\mathrm {B} q^{2}$

se réduira toujours par ce moyen à celle d’une équation de la forme

$\mathrm {V} z^{2}=x^{2}-y^{2},$

$\mathrm {V}$ étant un nombre donné.

19. Or, l’équation

$\mathrm {V} z^{2}=x^{2}-y^{2},$

est facile à résoudre par la méthode même du n^o 3 ; mais, pour avoir pour $x,y$ et $z$ des expressions sans fractions, on fera $x+y=\xi ,\ x-y=\psi ,$ et l’on aura $\mathrm {V} z^{2}=\xi \psi ,$ donc $\psi ={\frac {\mathrm {V} z^{2}}{\xi }}\,;$ de sorte qu’il faudra que $\mathrm {V} z^{2}$ soit divisible par $\xi .$ Soit $\mathrm {M}$ la plus grande mesure commune de $\mathrm {V}$ et $\xi ,$ en sorte que $\mathrm {V=MN}$ et $\xi =\mathrm {M} \rho ,$ $\rho$ et $\mathrm {N}$ étant premiers entre eux, et l’on aura $\psi ={\frac {\mathrm {N} z^{2}}{\rho }}\,;$ donc $z^{2}=\rho \sigma ,$ et par conséquent $\xi =\mathrm {M} \rho ,\ \psi =\mathrm {N} \sigma ,$ $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ étant deux facteurs quelconques de $\mathrm {V} \,;$ or, soit $l$ la plus grande commune mesure de $\rho$ et $\sigma ,$ et comme $\rho \sigma$ doit être égal à un carré, il est clair que $\rho$ et $\sigma$ ne pourront être que de cette forme $\rho =lm^{2}$ et $\sigma =ln^{2},$ $l,m$ et $n$ étant des nombres quelconques entiers ; ainsi l’on aura

$z^{2}=l^{2}m^{2}n^{2},\quad \xi =x+y=\mathrm {M} lm^{2},\quad \psi =x-y=\mathrm {N} ln^{2},$

donc

$z=lmn,\quad x={\frac {l\left(\mathrm {M} m^{2}+\mathrm {N} n^{2}\right)}{2}},\quad y={\frac {l\left(\mathrm {M} m^{2}-\mathrm {N} n^{2}\right)}{2}}\,;$

mais, comme il est inutile d’avoir dans les expressions de $x,y$ et $z$ un multiplicateur commun, parce qu’il est visible que, dans l’équation

$\mathrm {V} z^{2}=x^{2}-y^{2},$

on peut toujours multiplier à volonté $x,y$ et $z$ par un nombre quelconque, on fera pour plus de simplicité $l=1$ ou bien $l=2$ pour faire disparaître le dénominateur $2$ de $x$ et de $y,$ et l’on aura en général

$x=\mathrm {M} m^{2}+\mathrm {N} n^{2},\quad y=\mathrm {M} m^{2}-\mathrm {N} n^{2},\quad z=2mn,$

$m$ et $n$ étant des nombres quelconques entiers, et $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ deux facteurs

quelconques de $\mathrm {V} ,$ en sorte que $\mathrm {V=MN} .$ Ainsi, si $\mathrm {V}$ a plusieurs facteurs parmi lesquels il faudra toujours compter l’unité, on aura autant de différentes expressions de $x,y$ et $z$ qu’il y aura de manières de partager le nombre $\mathrm {V}$ en deux facteurs.

exemples.

20. Appliquons maintenant notre méthode à quelques Exemples.

Exemple I. — Soit proposé de résoudre l’équation

$109=u^{2}-7t^{2}.$

En mettant ${\frac {p}{r}}$ au lieu de $u,$ et ${\frac {q}{r}}$ au lieu de $t,$ elle deviendra

(A)

$109r^{2}=p^{2}-7q^{2},$

de sorte qu’on aura $\mathrm {A} =109$ et $\mathrm {B} =7\,;$ car, comme ces deux nombres ne renferment aucun facteur carré, il n’y aura aucune réduction à y faire.

Il faudra donc chercher un nombre entier $\alpha$ moindre que ${\frac {109}{2}}$ et tel, que $\alpha ^{2}-7$ soit divisible par $109\,;$ mais pour cela, au lieu d’essayer successivement pour $\alpha$ tous les nombres naturels moindres que $54,$ il sera beaucoup plus commode de chercher un multiple de $109$ qui soit de la forme $\alpha ^{2}-7,$ c’est-à-dire qui, étant augmenté de $7,$ devienne un carré.

En général, on remarquera que dans l’équation

$\mathrm {AA_{1}=\alpha ^{2}-B} ,$

à laquelle il s’agit de satisfaire, $\mathrm {A} _{1}$ doit être $<{\frac {\mathrm {A} }{4}}$ lorsque $\mathrm {B}$ est positif, et $<{\frac {\mathrm {A} }{4}}+1$ lorsque $\mathrm {B}$ est négatif (13 et 14), de sorte qu’il n’y aura qu’à essayer successivement pour $\mathrm {A} _{1}$ tous les nombres naturels moindres que ${\frac {\mathrm {A} }{4}}+1,$ pris positivement ou négativement suivant que $\mathrm {A}$ sera positif ou négatif (numéros cités), et s’il ne s’en trouve aucun dont le produit par $\mathrm {A}$ étant augmenté de $\mathrm {B}$ devienne un carré, ce sera une marque certaine que le Problème n’admet point de solution rationnelle.

On en usera de même à l’égard des autres équations de condition

$\mathrm {BB_{1}} =\beta ^{2}-\mathrm {C} ,\quad \mathrm {CC_{1}} =\gamma ^{2}-\mathrm {D} ,\ldots ,$

dans lesquelles il faudra aussi que $\mathrm {B} _{1}<{\frac {\mathrm {C} }{4}}+1,\ \mathrm {C} _{1}<{\frac {\mathrm {D} }{4}}+1,\ldots .$

Dans l’exemple proposé on trouve d’abord $2.109+7=225\,;$ de sorte qu’on aura $\mathrm {A} _{1}=2,\ \alpha =15\,;$ et comme $\mathrm {A} _{1}$ est déjà $<\mathrm {B} ,$ la première suite d’équations secondaires se réduira à cette seule équation (12)

$(a)\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 109.2=15^{2}-7.$

Ainsi l’on fera.(15) $\mathrm {C} =2,$ de sorte que la seconde équation principale sera

(B)

$7r_{1}=p_{1}^{2}-2q_{1}^{2}.$

Il faudra donc satisfaire à l’équation

$\mathrm {BB_{1}=-\beta ^{2}-\mathrm {C} } ,\quad {\text{savoir}}\quad 7\mathrm {B} _{1}=\beta ^{2}-2,$

$\beta$ étant $<{\frac {7}{2}},$ et l’on trouvera $\beta =3,\ \mathrm {B} _{1}=1,$ de sorte que, comme $\beta _{1}$ est déjà $<\mathrm {C} ,$ la seconde suite d’équations secondaires, que nous avons désignée par (b) au n^o 17, se réduira à cette équation unique

$(b)\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 7.1=3^{2}-2.$

On fera donc $\mathrm {D} =1,$ et la troisième équation principale sera

(C)

$\mathrm {V} r_{2}^{2}=p_{2}^{2}-q_{2}^{2},$

laquelle est déjà, comme on voit, dans le cas du n^o 19.

Comparant donc cette dernière équation à l’équation

$\mathrm {V} z^{2}=x^{2}-y2,$

on aura $\mathrm {V} =2,\ x=p_{2},\ y=q_{2},\ z=r_{2}\,;$ donc $\mathrm {M=1,\ N=2} ,$ et par conséquent

$p_{2}=m^{2}+2n^{2},\quad q_{2}=m^{2}-2n^{2},\quad r_{2}=2mn\,;$

ainsi, il n’y aura plus qu’à remonter de l’équation (C) à l’équation (B), et de celle-ci à l’équation proposée (A) par la méthode du n^o 16.

Pour cela, on changera d’abord l’équation (C) en celle-ci

$q_{2}^{2}=p_{2}^{2}-2r_{2}^{2},$

et on la multipliera par l’équation (b) [s’il y avait plus d’une de ces équations secondaires (b), il faudrait multiplier l’équation dont il s’agit successivement par chacune de ces équations] ; on aura, par les formules du n^o 9, l’équation

$7q_{1}^{2}=\left(3p_{2}\pm 2r_{2}\right)^{2}-2\left(3r_{2}\pm p_{2}\right)^{2},$

laquelle, étant comparée à l’équation (B), donnera

$p_{1}=3p_{2}\pm 2r_{2},\quad q_{1}=3r_{2}\pm p_{2},\quad r_{1}=q_{2},$

les signes ambigus étant à volonté.

On changera de même l’équation (B) en

$2q_{1}^{2}=p_{1}^{2}-7r_{1}^{2},$

et on la multipliera ensuite par l’équation (a), ce qui donnera

$109.4q_{1}^{2}=\left(15p_{1}\pm 7r_{1}\right)^{2}-7(15r_{1}\pm p_{1})^{2}\,;$

et, comparant cette équation avec l’équation (A), on aura enfin

$p=15p_{1}\pm 7r_{1},\quad q=15r_{1}\pm p_{1},\quad r=2q_{1},$

de sorte qu’il n’y aura plus qu’a substituer successivement les valeurs de $p_{1},q_{1},r_{1},$ et ensuite celles de $p_{2},q_{2},r_{2}.$

Les valeurs de $p,q$ et $r$ étant ainsi trouvées, on aura $u={\frac {p}{r}}$ et $t={\frac {q}{r}},$ et l’équation proposée

$109=u^{2}-7t^{2}$

sera résolue.

Exemple II. — Qu’on propose maintenant l’équation suivante

$-207=u^{2}-13t^{2}.$

Puisque le nombre $207$ est divisible par le carré 9, je supposerai (4)

$u={\frac {3p}{r}}$ et $t={\frac {3q}{r}},$ ce qui donnera l’équation

(A)

$-23r^{2}=p^{2}-13q^{2}.$

Or, en suivant le même procédé que dans l’Exemple précédent, et marquant les équations analogues par les mêmes lettres, on trouvera les équations suivantes

${\begin{alignedat}{2}(a)&&-23(-1)=&6^{2}-13,\\(\mathrm {B} )&\qquad \qquad \qquad \qquad &13r_{1}^{2}=&p_{1}^{2}+q_{1}^{2},\\\end{alignedat}}$

$(b)\,\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \left\{{\begin{aligned}13.2=&5^{2}+1,\\2.1=&1+1,\end{aligned}}\right.$

$(\mathrm {C} )\,\ \ \quad \qquad \qquad \qquad \qquad -r_{2}^{2}=p_{2}^{2}-q_{2}^{2},$

dont la dernière est, comme on le voit, dans le cas du n^o 19. On aura donc $p_{2}=x,\ q_{2}=y,\ r_{2}=z$ et $\mathrm {V} =-1\,;$ donc $\mathrm {M} =1$ et $\mathrm {N} =-1\,;$ par conséquent,

$p_{2}=m^{2}-n^{2},\quad q_{2}=m^{2}+n^{2},\quad r_{2}=2mn.$

Ensuite on mettra la même équation (C) sous la forme des équations $(b),$ en transposant les termes $r_{2}^{2}$ et $q_{2}^{2},$ en sorte que l’on ait $q_{2}^{2}=p_{2}^{2}+r_{2}^{2},$ et l’on multipliera successivement cette équation par les deux équations $(b).$ Pour cela, on fera d’abord le produit de ces deux-ci, qui sera exprimé par $13.4=(5\pm 1)^{2}+(5\mp 1)^{2},$ ou bien simplement $13.4=6^{2}+4^{2},$ c’est-à-dire, en divisant par $4,$ $13=3^{2}+2^{2}\,;$ donc, multipliant l’équation précédente par celle-ci, et comparant le produit à l’équation (B), on aura

$p_{1}=3p_{2}\pm 2r_{2},\quad q_{1}=3r_{2}\mp 2p_{2},\quad r_{1}=q_{2}.$

On transposera de même le premier et le dernier terme de l’équation (B) pour la réduire à la forme de l’équation $(a),$ et on la multipliera ensuite par cette dernière équation, ce qui donnera une équation semblable à l’équation (A), de sorte qu’on aura enfin

$p=6p_{1}\pm 13r_{1},\quad q=6r_{1}\pm p_{1},\quad r=q_{1}.$

Ainsi l’équation proposée sera résolue.

Exemple III. — Si l’équation proposée était

$51=u^{2}-7t^{2},$

dans laquelle $51$ et $7$ ne renferment aucun facteur carré, on ferait $u={\frac {p}{r}},$ $t={\frac {q}{r}},$ pour avoir

$51r^{2}=p^{2}-7q^{2},$

et il faudrait d’abord satisfaire à l’équation

$51\mathrm {A} _{1}=\alpha ^{2}-7\,;$

mais, en essayant pour $\mathrm {A} _{1}$ tous les nombres naturels jusqu’à ${\frac {51}{4}}+1,$ c’est-à-dire jusqu’à $13,$ on n’en trouve aucun qui, étant multiplié par $51$ et augmenté de $7,$ devienne un carré ; d’où il s’ensuit que l’équation proposée n’admet aucune solution rationnelle.

Exemple IV. — Soit encore proposée l’équation

$1459=u^{2}-30t^{2}\,;$

comme $1459$ est un nombre premier, on fera d’abord $u={\frac {p}{r}},\ t={\frac {q}{r}}$ pour avoir l’équation

(A)

$1459r^{2}=p^{2}-30q^{2}.$

Ayant donc ici $1459=\mathrm {A} ,\ 30=\mathrm {B} ,$ il faudra d’abord trouver un nombre $\alpha <{\frac {1459}{2}}$ et tel que $\alpha ^{2}-30$ soit divisible par $1459,$ ou bien un nombre $\mathrm {A} _{1}<{\frac {1459}{4}}$ et tel que $1459\mathrm {A} _{1}+30$ soit égal à un carré, comme nous l’avons dit dans l’Exemple I.

Après quelques essais, je trouve $\mathrm {A} _{1}=241$ et $\alpha =593,$ et à l’aide de ces valeurs je forme cette première suite d’équations secondaires (12)

$(a)\qquad \qquad \qquad \qquad \left\{{\begin{aligned}1459.241=&593^{2}-30,\\241.\ \ 51=&111^{2}-30,\\51.\quad 1=&\quad 9^{2}-30.\end{aligned}}\right.$

Donc, puisque $1$ est $<30,$ on fera $\mathrm {C} =1$ (15), et j’aurai cette seconde

équation principale

(B)

$30r_{1}^{2}=p_{1}^{2}-q_{1}^{2},$

laquelle est déjà, comme on voit, dans le cas du n^o 19.

J’aurai donc $p_{1}=x,\ q_{1}=y,\ r_{1}=z$ et $30=\mathrm {V} \,;$ donc, puisque $30=2.3.5,$ on aura $\mathrm {M=1,\ N=30} ,$ ou $\mathrm {M=2,\ N=15} ,$ ou $\mathrm {M} =3,$$\mathrm {N} =10,$ ou enfin $\mathrm {M=5,\ N=6} \,;$ de sorte qu’on aura

${\begin{alignedat}{4}&&p_{1}=&m^{2}+30n^{2},\qquad &q_{1}=&m^{2}-30n^{2},\qquad &r_{1}=&2mn,\\\mathrm {ou} &\quad \qquad &\\&&p_{1}=&2m^{2}+15n^{2},\qquad &q_{1}=&2m^{2}-15n^{2},\qquad &r_{1}=&2mn,\\\mathrm {ou} &\quad \qquad &\\&&p_{1}=&3m^{2}+10n^{2},\qquad &q_{1}=&3m^{2}-10n^{2},\qquad &r_{1}=&2mn,\\\mathrm {ou} &\quad \qquad &\\&&p_{1}=&5m^{2}+6n^{2},\qquad &q_{1}=&5m^{2}-6n^{2},\qquad &r_{1}=&2mn.\end{alignedat}}$

Ayant ainsi $p_{1},q_{1}$ et $r_{1},$ on mettra l’équation (B) sous cette forme

$q_{1}^{2}=p_{1}^{2}-30r_{1}^{2},$

et on la multipliera successivement par chacune des équations $(a).$ Pour faire cette multiplication plus aisément, on multipliera d’abord la deuxième et la troisième de ces équations ensemble, et faisant, pour abréger, $\mu =9.111\pm 30,\ \nu =111\pm 9,$ on aura

$241.51^{2}=\mu ^{2}-3\nu ^{2}\,;$

ensuite on multipliera cette équation par la première des équations $(a),$ et faisant encore $\mu _{1}=593\mu \pm 30\nu ,\ \nu _{1}=593\nu \pm \mu ,$ on aura

$1459(241.51)^{2}=\mu _{1}^{2}-30\nu _{1}^{2},$

équation qui, étant multipliée maintenant par l’équation

$q_{1}^{2}=p_{1}^{2}-30r_{1}^{2},$

donnera celle-ci

$1459\left(241.51q_{1}\right)^{2}=\left(\mu _{1}p_{1}\pm 30\nu _{1}r_{1}\right)^{2}-\left(\mu _{1}r_{1}\pm \nu _{1}p_{1}\right)^{2}.$

laquelle, étant comparée à l’équation (A), donnera enfin

${\begin{aligned}p=&\mu _{1}p_{1}\pm ^{3}0\nu _{1}r_{1}\\q=&\mu _{1}r_{1}\pm \nu _{1}p_{1},\\r=&241.51q.\end{aligned}}$

Exemple V. — Si l’on avait l’équation

$23=u^{2}+5t^{2},$

on ferait toujours $u={\frac {p}{q}}$ et $t={\frac {p}{r}},$ ce qui donnerait celle-ci

(A)

$23r^{2}=p^{2}+5q^{2},$

et en opérant comme ci-dessus, on trouverait d’abord les équations

${\begin{alignedat}{2}(a)&&23.3=&8^{2}+5,\\(\mathrm {B} )&\qquad \qquad \qquad \qquad &-5r_{1}^{2}=&p_{1}^{2}-3q_{1}^{2}\,;\end{alignedat}}$

mais, comme il faudrait ensuite satisfaire à l’équation

$-5\mathrm {B} _{1}=\beta ^{2}-3,$

en prenant pour $-\mathrm {B} _{1}$ un nombre $<{\frac {4}{5}}+1,$ c’est-à-dire en faisant $\mathrm {B} _{1}=-1$ ou $-2,$ et que ni l’une ni l’autre de ces deux valeurs étant multipliée par $5$ et augmentée de $3$ ne donne un carré, on en conclura que l’équation proposée n’est susceptible d’aucune solution rationnelle ; ainsi, quoique le nombre $23$ puisse être un diviseur d’une infinité de nombres de la forme $p^{2}+5q^{2},$ cependant il est impossible que le quotient de cette division soit jamais un carré.

21. Ces Exemples peuvent suffire pour faire connaître l’esprit et l’usage de notre méthode. Nous allons voir maintenant comment il faudra s’y prendre lorsqu’il s’agira d’avoir des solutions en nombres entiers ; car quoique les solutions que fournit la méthode précédente soient générales et renferment par conséquent tous les nombres soit entiers, soit fractionnaires, qui peuvent satisfaire à l’équation $\mathrm {A} =u^{2}-\mathrm {B} t^{2},$ cependant, comme les valeurs générales de $u$ et de $t$ se présentent toujours sous une forme fractionnaire, il serait souvent difficile et presque impossible de les réduire à des nombres entiers. De sorte que, pour ne rien laisser à désirer sur cette matière, il est nécessaire de donner aussi une méthode particulière pour résoudre l’équation $\mathrm {A} =u^{2}-\mathrm {B} t^{2},$ lorsque $u$ et $t$ doivent être des nombres entiers.

§ III. — Résolution de l’équation $\mathrm {A} =u^{2}-\mathrm {B} t^{2}$ lorsque $u$ et $t$
doivent être des nombres entiers.

22. Je remarque d’abord que si le nombre $\mathrm {A}$ n’a aucun facteur carré, les nombres $u$ et $t$ doivent être nécessairement premiers entre eux ; car, si ces nombres avaient un commun diviseur $\rho ,$ il est clair que puisque $u^{2}$ et $t^{2}$ seraient divisibles par $\rho ^{2},$ il faudrait aussi que $\mathrm {A}$ le fût. On voit par là que les nombres $t$ et $u$ ne sauraient avoir d’autres diviseurs communs que ceux dont les carrés sont aussi des diviseurs de $\mathrm {A} .$

Ainsi, si $\mathrm {A}$ ne contient qu’un seul facteur carré, comme si $\mathrm {A} =al^{2},$ $l$ étant un nombre premier et $a$ un nombre qui ne contient aucun facteur carré, les nombres $u$ et $t$ pourront être premiers entre eux ou bien pourront avoir le nombre $l$ pour commun diviseur ; et dans ce dernier cas, faisant $u=lp,$ $t=lq,$ l’équation $\mathrm {A} =u^{2}-\mathrm {B} t^{2}$ deviendra

$a=p^{2}-\mathrm {B} q^{2},$

$p$ et $q$ étant premiers entre eux. Si $\mathrm {A} =al^{2}m^{2},$ $l$ et $m$ étant des nombres premiers, alors $u$ et $t$ pourront être premiers entre eux ou bien pourront être divisibles tous les deux par $l,$ ou par $m,$ ou par $lm,$ de sorte qu’en faisant successivement $u=lp,\ t=lq,\ u=mp,\ t=mq$ et $u=lmp,$ $t=lmq,$ on aura

$am^{2}=p^{2}-\mathrm {B} q^{2},\quad {\text{ou}}\quad al^{2}=p^{2}-\mathrm {B} q^{2},\quad {\text{ou}}\quad a=p^{2}-\mathrm {B} q^{2},$

$p$ et $q$ étant toujours premiers entre eux. En général, si le nombre donné $\mathrm {A}$

est divisible par un ou plusieurs nombres carrés, et qu’on désigne chacun de ces nombres par $\rho ^{2},$ on fera $u=\rho p,\ t=\rho q,\ {\frac {\mathrm {A} }{\rho ^{2}}}=a,$ et l’équation

$\mathrm {A} =u^{2}-\mathrm {B} t^{2}$

se réduira à des équations de la forme

$a=p^{2}-\mathrm {B} q^{2},$

où $p$ et $q$ seront nécessairement premiers entre eux ; ainsi, donnant successivement à $p$ toutes les valeurs possibles dont la première sera toujours l’unité, on aura toutes les transformées de l’équation proposée, et par ce moyen on n’aura plus à résoudre que des équations de la forme

$\mathrm {A} =p^{2}-\mathrm {B} q^{2},$

$p$ et $q$ étant premiers entre eux.

23. Soit donc proposée l’équation

$\mathrm {A} =p^{2}-\mathrm {B} q^{2},$

dans laquelle $p$ et $q$ doivent être des nombres entiers et premiers entre eux. Si $\mathrm {B}$ est un nombre positif, nous supposerons :

1^o Que $\mathrm {B}$ ne soit pas carré, le cas de $\mathrm {B} =b^{2}$ pouvant toujours se résoudre par la méthode du n^o 3 ;

2^o Nous supposerons d’abord que $\mathrm {A}$ pris positivement soit $>{\sqrt {\mathrm {B} }},$ et nous donnerons ensuite la méthode pour résoudre l’équation proposée lorsque $\mathrm {A<{\sqrt {B}}}$ (n^os 29 et suiv.).

Si $\mathrm {B}$ est un nombre négatif $-b,$ alors nous supposerons toujours que $\mathrm {A}$ soit $>b\,;$ autrement, l’équation

$\mathrm {A} =p^{2}+bq^{2}$

ne saurait subsister qu’en faisant $p=0$ ou $q=0\,;$ de sorte que ce cas n’aurait aucune difficulté (voyez plus bas le n^o 27).

Enfin, nous supposerons que $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ n’aient aucun diviseur commun carré ; car si $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ étaient divisibles à la fois par $\rho ^{2},$ il est clair que $p$ devrait être aussi divisible par $\rho ,$ de sorte que le facteur commun $\rho ^{2}$ s’évanouirait de lui-même par la division.

Cela posé, si l’on multiplie l’équation

$\mathrm {A} =p^{2}-\mathrm {B} q^{2}$

par $p_{1}^{2}-\mathrm {B} q_{1}^{2},$ et qu’on prenne pour $p_{1}$ et $q_{1}$ des nombres entiers tels, que l’on ait

$pq_{1}-qp_{1}=\pm 1,$

on aura, comme dans le n^o 6,

$\mathrm {A} \left(p_{1}^{2}-\mathrm {B} q_{1}^{2}\right)=\left(pp_{1}-\mathrm {B} qq_{1}\right)^{2}-\mathrm {B} ,$

ou bien, en faisant

$\mathrm {A} _{1}=p_{1}^{2}-\mathrm {B} q_{1}^{2},\quad \alpha =pp_{1}-\mathrm {B} qq_{1},$

on aura l’équation

$\mathrm {AA_{1}} =\alpha ^{2}-\mathrm {B} .$

Or, soit ${\frac {m}{n}}$ la fraction que nous avons désignée (7) par ${\frac {p_{1}}{q_{1}}},$ et l’on aura (8), dans l’équation

$pq_{1}-qp_{1}=\pm 1,$

pour les valeurs générales de $p_{1}$ et $q_{1},$

$p_{1}=\mu p\pm m,\quad q_{1}=\mu q\pm n,$

$\mu$ étant un nombre quelconque entier.

Donc, substituant ces valeurs dans l’expression de $\alpha ,$ on aura

$\alpha =\mu (p^{2}-\mathrm {B} q^{2})\pm (pm-\mathrm {B} qn),$

ou bien, en faisant $a=mp-\mathrm {B} nq,$

$\alpha =\mu \mathrm {A} \pm a.$

De sorte qu’on pourra toujours prendre $\alpha <{\frac {\mathrm {A} }{2}}$ (10), ce qui rendra $\mathrm {A_{1}<{\frac {A}{4}}}$

si $\mathrm {B}$ est positif, et $<{\frac {\mathrm {A} }{4}}+1$ si $\mathrm {B}$ est négatif (13 et 14), et par conséquent toujours $\mathrm {A_{1}<A} ,$ en regardant $\mathrm {A}$ et $\mathrm {A} _{1}$ comme positifs.

De là il s’ensuit que, pour que l’équation proposée puisse avoir lieu, c’est-à-dire que le nombre $\mathrm {A}$ soit de la forme $p^{2}-\mathrm {B} q^{2},$ il faut que ce nombre soit un diviseur d’un nombre tel que $\alpha ^{2}-\mathrm {B} ,$ $\alpha$ étant $<{\frac {\mathrm {A} }{2}}$ (abstraction faite des signes de $\alpha$ et de $\mathrm {A}$), et que, de plus, le quotient $\mathrm {A} _{1}$ de la division de $\alpha ^{2}-\mathrm {B}$ par $\mathrm {A}$ soit aussi de la forme $p_{1}^{2}-\mathrm {B} q_{1}^{2}.$

Donc si, parmi les nombres naturels moindres que ${\frac {\mathrm {A} }{2}},$ on n’en trouve aucun dont le carré diminué de $\mathrm {B}$ soit divisible par $\mathrm {A} ,$ on en conclura que l’équation est impossible.

Si l’on en trouve un, on prendra ce nombre pour $\alpha ,$ et l’on aura à résoudre une nouvelle équation de cette forme

$\mathrm {A} _{1}=p_{1}^{2}-\mathrm {B} q_{1}^{2},$

dans laquelle $\mathrm {A} _{1}$ sera $<\mathrm {A} .$

Si cette dernière équation est résoluble, alors, connaissant les valeurs de $p_{1}$ et $q_{1},$ on trouvera celles de $p$ et $q$ par les deux équations

$\alpha =pp_{1}-\mathrm {B} qq_{1}\quad {\text{et}}\quad pq_{1}-qp_{1}=\pm 1,$

lesquelles donnent, à cause de $p_{1}^{2}-\mathrm {B} q_{1}^{2}=\mathrm {A} _{1},$

$p={\frac {\alpha p_{1}\mp \mathrm {B} q_{1}}{\mathrm {A} _{1}}},\quad q={\frac {\alpha q_{1}\mp p_{1}}{\mathrm {A} _{1}}}.$

Et si ces expressions donnent des nombres entiers, on aura la résolution de l’équation proposée ; sinon elle ne sera pas résoluble.

Si l’on trouvait plusieurs nombres qu’on pût prendre pour $\alpha ,$ alors chacun d’eux donnerait une équation de la forme

$\mathrm {A} _{1}=p_{1}^{2}-\mathrm {B} q_{1}^{2},$

et chacune de ces équations pourrait donner ensuite une ou plusieurs solutions de la proposée ; d’où l’on voit que, pour avoir toutes les solu-

tions possibles, il est nécessaire de connaître tous les nombres $\alpha$ qui, étant $<{\frac {\mathrm {A} }{2}},$ sont tels que $\alpha ^{2}-\mathrm {B}$ soit divisible par $\mathrm {A} ,$ et d’examiner en particulier chacune des équations $\mathrm {A} _{1}=p_{1}^{2}-\mathrm {B} q_{1}^{2}$ qui en résulteront.

Au reste, lorsqu’on aura trouvé un seul nombre $a$ qui ait les conditions requises, on pourra par son moyen trouver tous les autres.

24. Supposons en effet qu’on ait trouvé un nombre $\alpha <{\frac {\mathrm {A} }{2}},$ et tel que $\alpha ^{2}-\mathrm {B}$ soit divisible par $\mathrm {A} ,$ et soit $\beta$ une autre valeur de $\alpha$ en sorte que l’on ait $\beta <{\frac {\mathrm {A} }{2}},$ et $\beta ^{2}-\mathrm {B}$ divisible par $\mathrm {A}$ ($\mathrm {A} ,\alpha$ et $\beta$ étant supposés positifs) ; il est clair que, puisque $\alpha ^{2}-\mathrm {B}$ et $\beta ^{2}-\mathrm {B}$ sont divisibles en même temps par $\mathrm {A} ,$ il faudra que $\beta ^{2}-\alpha ^{2}$ le soit aussi, c’est-à-dire que $(\beta +\alpha )(\beta -\alpha )$ soit divisible par $\mathrm {A} .$

Donc :

1^o Si $\mathrm {A}$ est un nombre premier, il faudra que l’un ou l’autre des facteurs $\beta +\alpha ,\ \beta -\alpha$ soit divisible par $\mathrm {A} ,$ ce qui ne se peut tant que $\alpha <{\frac {\mathrm {A} }{2}}$ et $\beta <{\frac {\mathrm {A} }{2}}\,;$ donc, dans ce cas, il ne pourra absolument y avoir qu’un seul nombre $\alpha$ qui ait les conditions requises ;

2^o Si $\mathrm {A}$ est composé, en sorte que l’on ait $\mathrm {A} =ab,$ $a$ et $b$ étant deux facteurs quelconques de $\mathrm {A} ,$ alors il suffit que l’un des facteurs $\beta +\alpha ,\ \beta -\alpha$ soit divisible par $a$ et l’autre par $b.$

Je remarque d’abord qu’on ne peut prendre pour $a$ et $b$ que des nombres premiers entre eux, ou au moins dont le plus grand commun diviseur soit $2.$

Car, si $a$ et $b$ avaient un commun diviseur $\rho$ autre que $2,$ il faudrait que $\alpha$ et $\beta$ fussent aussi divisibles par $\rho \,;$ donc, $\mathrm {A}$ étant divisible par $\rho ^{2}$ et $\alpha$ par $\rho ,$ il est clair que $\mathrm {B}$ devrait être aussi divisible par $\rho ^{2},$ de sorte que $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ seraient divisibles à la fois par $\rho ^{2},$ ce qui est contre l’hypothèse (23).

Supposons donc en premier lieu que $a$ et $b$ soient premiers entre eux, on fera $\beta +\alpha =\mu a,\ \beta -\alpha =\nu b,$ et l’on aura $2\alpha =\mu a-\nu b.$ Soit ${\frac {a_{1}}{b_{1}}}$ la fraction la plus proche de ${\frac {a}{b}}$ (8), et les nombres $\mu$ et $\nu$ seront exprimés en général de cette manière

$\mu =mb\pm 2\alpha b_{1},\quad \nu =ma\pm 2\alpha a_{1},$

$m$ étant un nombre quelconque entier, et le signe supérieur ou l’inférieur ayant lieu suivant que ${\frac {a_{1}}{b_{1}}}<$ ou $>{\frac {a}{b}}.$ Donc, puisque $\beta =\mu a-\alpha$ et $ab=\mathrm {A} ,$ on aura

$\beta =m\mathrm {A} \pm 2\alpha ab_{1}-\alpha .$

Ainsi, faisant pour plus de simplicité

$\omega =(1\mp 2ab_{1})\alpha ,$

le signe supérieur étant pour le cas où ${\frac {a_{1}}{b_{1}}}<{\frac {a}{b}}$ et l’inférieur pour celui où ${\frac {a_{1}}{b_{1}}}>{\frac {b}{a}},$ on aura

$\beta =m\mathrm {A} -\omega .$

Si, au lieu de supposer $\beta +\alpha =\mu a,\ \beta -\alpha =\nu b,$ on suppose $\beta +\alpha =\mu b,\ \beta -\alpha =\nu a,$ on trouvera de la même manière

$\beta =m\mathrm {A} +\omega .$

De sorte que la considération des deux facteurs premiers $a$ et $b$ donnera en général

$\beta =m\mathrm {A} \pm \omega ,$

et il n’y aura plus qu’à déterminer $m$ et le signe de $\omega ,$ en sorte que $\beta$ soit $<{\frac {\mathrm {A} }{2}},$ ce qui peut toujours se faire, mais d’une seule manière, comme nous l’avons déjà remarqué plus haut.

On voit par là que chaque couple de facteurs de $\mathrm {A}$ premiers entre eux donnera un nouveau nombre $\beta$ et n’en donnera absolument qu’un seul ; de sorte que si $\mathrm {A}$ est un nombre premier ou une puissance d’un nombre premier, il ne pourra y avoir qu’une seule valeur de $\alpha \,;$ si $\mathrm {A}$ a deux facteurs premiers ou qui soient des puissances quelconques de deux nombres premiers, il pourra y avoir seulement deux valeurs de $\alpha \,;$ si $\mathrm {A}$ contient trois facteurs premiers ou qui soient des puissances quelconques de trois nombres premiers, il ne pourra y avoir que quatre valeurs de $\alpha ,$ et ainsi de suite ; d’où il s’ensuit en général que, si le nombre des facteurs premiers de $\mathrm {A}$ est $n,$ soit que ces facteurs soient des nombres premiers ou des puissances quelconques de nombres premiers, le nombre des valeurs de $\alpha$ sera ou nul, ou égal à $2^{n-1}.$

Supposons en second lieu que $a$ et $b$ aient pour plus grand commun diviseur le nombre $2,$ et faisons $a=2f,\ b=2g,$ $f$ et $g$ étant premiers entre eux, en sorte que l’on ait $\mathrm {A} =4fg.$

Dans ce cas, on pourra faire $\beta +\alpha =2\mu f$ et $\beta -\alpha =2\nu g,$ sans que $\alpha$ et $\beta$ soient divisibles par $2,$ puisqu’il n’y a qu’à supposer $\alpha$ et $\beta$ impairs ; on aura donc $\alpha =\mu f-\nu g,$ d’où, en supposant que ${\frac {f_{1}}{g_{1}}}$ soit la fraction la plus proche de ${\frac {f}{g}},$ et faisant, pour abréger,

$\theta =\alpha \left(1\mp 2fg_{1}\right),$

le signe supérieur étant pour le cas où ${\frac {f_{1}}{g_{1}}}<{\frac {f}{g}},$ et le signe inférieur pour le cas où ${\frac {f_{1}}{g_{1}}}>{\frac {f}{g}},$ on trouvera

$\beta ={\frac {m\mathrm {A} }{2}}\pm \theta .$

Ici il est visible qu’on peut déterminer le nombre $m$ et le signe de $\theta$ de deux manières différentes, en sorte que l’on ait $\beta <{\frac {\mathrm {A} }{2}},$ ce qui donnera par conséquent deux valeurs de $\beta \,;$ mais il peut arriver que ces valeurs se trouvent déjà comprises dans celles qui résultent de la considération des facteurs premiers de $\mathrm {A} \,;$ on pourrait même déterminer en général le cas où les valeurs de $\beta$ résultantes de cette dernière formule seront toutes, ou en partie seulement, identiques avec celles qu’on pourra déduire de la formule précédente ; mais ce détail nous mènerait trop loin, et d’ailleurs il serait plus curieux qu’utile.

Nous nous contenterons de remarquer que, lorsque le nombre $\mathrm {A}$ est divisible par $4,$ alors, si $\beta$ est une des valeurs de $\alpha ,$ ${\frac {\mathrm {A} }{2}}-\beta$ en sera toujours une aussi ; car, soient $\mathrm {A=4E}$ et $\beta ^{2}-\mathrm {B}$ divisible par $4\mathrm {E} ,$ prenant au lieu de $\beta$ le nombre $2\mathrm {E} -\beta ,$ on aura

$\mathrm {(2E-\beta )^{2}-B=4E^{2}-4E\beta +\beta ^{2}-B} ,$

qui est évidemment divisible par $4\mathrm {E} .$

25. Considérons maintenant l’équation du n^o 23,

$\mathrm {A} _{1}=p_{1}^{2}-\mathrm {B} q_{1}^{2},$

et comme les nombres $p_{1}$ et $q_{1}$ de cette équation sont déterminés (23) par la condition que

$pq_{1}-qp_{1}=\pm 1,$

il est facile devoir que ces nombres seront nécessairement premiers entre eux ; de sorte que l’équation dont il s’agit sera parfaitement analogue à l’équation précédente

$\mathrm {A} =p^{2}-\mathrm {B} q^{2},$

et par conséquent sera susceptible d’opérations semblables. Donc :

1^o Si $\mathrm {B}$ est positif et que $\mathrm {A} _{1},$ considéré comme positif, soit $<{\sqrt {\mathrm {B} }},$ cette équation sera déjà dans le cas que nous traiterons plus bas (29) ;

2^o Si $\mathrm {B}$ est négatif et égal à $-b,$ et que $\mathrm {A} _{1}=b$ ou $<b,$ on aura le cas du n^o 27.

Ainsi, nous supposerons encore ici que $\mathrm {A} _{1}$ regardé comme positif, soit $>{\sqrt {\mathrm {B} }}$ dans le cas de $\mathrm {B}$ positif, et $>b$ dans le cas de $\mathrm {B} =-b,$ et l’on pourra traiter l’équation

$\mathrm {A} _{1}=p_{1}^{2}-\mathrm {B} q_{1}^{2}$

comme on a fait ci-dessus l’équation $\mathrm {A} =p^{2}-\mathrm {B} q^{2}.$

On multipliera donc cette équation par $p_{2}^{2}-\mathrm {B} q_{2}^{2},$ et l’on déterminera $p_{2}$ et $q_{2},$ en sorte que l’on ait

$p_{1}q_{2}-q_{1}p_{2}=\pm 1\,;$

ce qui, en faisant, pour abréger,

$\mathrm {A} _{2}=p_{2}^{2}-\mathrm {B} q_{2}^{2},\quad \alpha _{1}=p_{1}p_{2}-\mathrm {B} q_{1}q_{2},$

donnera l’équation

$\mathrm {A_{1}A_{2}} =\alpha _{1}^{2}-\mathrm {B} .$

Or, puisqu’on a déjà (23)

$pq_{1}-qp_{1}=\pm 1,$

on aura, en ajoutant cette équation à celle-ci

$p_{1}q_{2}-q_{1}p_{2}=\pm 1,$

ou, en l’en retranchant,

$(q_{2}\mp q)p_{1}-(p_{2}\mp p)q_{1}=0,$

d’où

${\frac {p_{2}\mp p}{q_{2}\mp q}}={\frac {p_{1}}{q_{1}}},$

et par conséquent

$p_{2}=\mu _{1}p_{1}\pm p,\quad q_{2}=\mu _{1}q_{1}\pm q,$

$\mu _{1}$ étant un nombre entier quelconque.

Si l’on substitue ces valeurs de $p_{2}$ et $q_{2}$ dans l’expression de $\alpha _{1},$ on aura

$\alpha _{1}=\mu _{1}\left(p_{1}^{2}-\mathrm {B} q_{1}^{2}\right)\pm (pp_{1}-\mathrm {B} qq_{1}),$

ou bien

$\alpha _{1}=\mu _{1}\mathrm {A} _{1}\pm \alpha .$

Ainsi l’on pourra déterminer $\alpha _{1}$ en sorte que $\alpha _{1}<{\frac {\mathrm {A} _{1}}{2}},$ ce qui rendra $\mathrm {A_{2}<A_{1}}$ (13 et 14), en regardant $\alpha _{1},\mathrm {A} _{1}$ et $\mathrm {A} _{2}$ comme positifs pour éviter toute équivoque ; et il est facile de voir qu’on ne saurait satisfaire à cette condition que d’une seule manière, de sorte que la valeur de $\mu _{1}$ et le signe de $\alpha$ se trouveront par là entièrement déterminés ; et comme les signes ambigus de $p$ et $q$ dans les expressions de $p_{2}$ et $q_{2}$ doivent être les mêmes que celui de $\alpha$ dans l’expression de $\alpha _{1},$ il ne restera plus rien d’arbitraire dans ces expressions.

Par ce moyen la résolution de l’équation

$\mathrm {A} =p_{1}^{2}-\mathrm {B} q_{1}^{2}$

sera réduite à celle de l’équation

$\mathrm {A} _{2}=p_{2}^{2}-\mathrm {B} q_{2}^{2},$

dans laquelle $\mathrm {A_{2}<A_{1}}$ (abstraction faite des signes de $\mathrm {A} _{1}$ et de $\mathrm {A} _{2}.$)

En effet, dès qu’on aura trouvé les valeurs de $p_{2}$ et de $q_{2},$ il n’y aura qu’à chercher celles de $p_{1}$ et $q_{1}$ à l’aide des équations

$\alpha _{1}=p_{1}p_{2}-\mathrm {B} q_{1}q_{2},\quad p_{1}q_{2}-q_{1}p_{2}=\pm 1,$

lesquelles donnent

$p_{1}={\frac {\alpha _{1}p_{2}\mp \mathrm {B} q_{2}}{\mathrm {A} _{2}}},\quad q_{1}={\frac {\alpha _{1}q_{2}\mp p_{2}}{\mathrm {A} _{2}}}\,;$

si ces expressions donnent (en prenant à volonté les signes supérieurs ou inférieurs) des nombres entiers, alors on aura par les expressions de $p_{2}$ et $q_{2}$ trouvées ci-dessus

$\pm p=p_{2}-\mu _{1}p_{1},\quad \pm q=q_{2}-\mu _{1}q_{1},$

et le Problème sera résolu.

Mais, si les expressions de $p_{1}$ et $q_{1}$ ne donnent que des nombres rompus, ce sera une marque que l’équation proposée n’est point résoluble en entiers.

Maintenant, puisque l’on a $p_{1}q_{2}-q_{1}p_{2}=\pm 1,$ il est visible que $p_{2}$ et $q_{2}$ seront premiers entre eux ; d’où il s’ensuit que l’équation

$\mathrm {A} _{2}=p_{2}^{2}-\mathrm {B} q_{2}^{2}$

sera parfaitement semblable à l’équation

$\mathrm {A} _{1}=p_{1}^{2}-\mathrm {B} q_{1}^{2},$

et que par conséquent on y pourra appliquer les mêmes raisonnements et les mêmes opérations que nous venons de faire sur celle-ci, et ainsi de suite.

26. Donc, si l’on fait comme dans le n^o 12

$(\alpha )\qquad \qquad \qquad \left\{{\begin{alignedat}{2}\mathrm {A\,\ A_{1}} &=\alpha ^{2}-\mathrm {B} ,&\alpha &<{\frac {\mathrm {A} }{2}},\\\mathrm {A_{1}A_{2}} &=\alpha _{1}^{2}-\mathrm {B} ,&\alpha _{1}&=\mu _{1}\mathrm {A} _{1}\pm \alpha {\frac {\mathrm {A} _{1}}{2}},\\\mathrm {A_{2}A_{3}} &=\alpha _{2}^{2}-\mathrm {B} ,&\alpha _{2}&=\mu _{2}\mathrm {A} _{2}\pm \alpha _{1}{\frac {\mathrm {A} _{2}}{2}},\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}\right.$

${\biggl (}{\biggl .}$c’est-à-dire $\mathrm {\alpha <{\frac {A}{2}},\ \alpha _{1}<{\frac {A_{1}}{2}},\ \alpha _{2}<{\frac {A_{2}}{2}}} ,\ldots ,$ en regardant $\alpha ,\alpha _{1},\alpha _{2},$$\ldots ,$ $\mathrm {A,A_{1},A_{2}} ,\ldots ,$ comme tous positifs${\biggl .}{\biggl )}$, on aura cette suite d’équations

$(\beta )\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left\{{\begin{aligned}\mathrm {A} \ \ &=p^{2}-\mathrm {B} q^{2},\\\mathrm {A} _{1}&=p_{1}^{2}-\mathrm {B} q_{1}^{2},\\\mathrm {A} _{2}&=p_{2}^{2}-\mathrm {B} q_{2}^{2},\\\mathrm {A} _{3}&=p_{3}^{2}-\mathrm {B} q_{3}^{2},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}\right.$

dans lesquelles

$(\gamma )\qquad \qquad \qquad \left\{{\begin{alignedat}{2}\pm p\ \ &=p_{2}-\mu _{1}p_{1},\qquad &\pm q\ \ &=q_{2}-\mu _{1}q_{1},\\\pm p_{1}&=p_{3}-\mu _{2}p_{2},\qquad &\pm q_{1}&=q_{3}-\mu _{2}q_{2},\\\pm p_{2}&=p_{4}-\mu _{3}p_{3},\qquad &\pm q_{2}&=q_{4}-\mu _{3}q_{3},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}\right.$

où il faudra toujours se souvenir que les signes ambigus de $p,q$ et $\alpha$ doivent être les mêmes, ainsi que ceux de $p_{1},q_{1},\alpha _{1},\ldots .$

De plus on aura aussi, en général, les équations

$(\delta )\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left\{{\begin{aligned}p_{n-1}=&{\frac {\alpha _{n-1}p_{n}\pm \mathrm {B} q_{n}}{\mathrm {A} _{n}}},\\q_{n-1}=&{\frac {\alpha _{n-1}q_{n}\pm p_{n}}{\mathrm {A} _{n}}},\end{aligned}}\right.$

les signes ambigus étant à volonté, pourvu qu’on les prenne de même dans les deux équations.

Donc, si l’on peut résoudre une quelconque des équations $(\beta ),$ comme

$\mathrm {A} _{n}=p_{n}^{2}-\mathrm {B} q_{n}^{2},$

c’est-à-dire trouver les valeurs de $p_{n}$ et $q_{n},$ on pourra trouver aussi par les équations $(\delta )$ les valeurs des quantités précédentes $p_{n-1}$ et $q_{n-1},$ et, ces quatre valeurs étant connues, on pourra par le moyen des formules $(\gamma )$ remonter aux valeurs de $p$ et $q$ qui résolvent l’équation

$\mathrm {A} =p^{2}-\mathrm {B} q^{2},$

et qui seront nécessairement des nombres entiers si $p_{n},q_{n},p_{n-1}$ et $q_{n-1}$ le sont.

Réciproquement, si l’équation

$\mathrm {A} _{n}=p_{n}^{2}-\mathrm {B} q_{n}^{2}$

n’admet point de solution en nombres entiers, ou que les expressions de $p_{n-1},q_{n-1}$ ne donnent point de nombres entiers, on en devra conclure que l’équation

$\mathrm {A} =p^{2}-\mathrm {B} q^{2}$

n’est point résoluble en nombres entiers.

Au reste, il faut remarquer que, comme on peut prendre également $\alpha$ positif ou négatif, chaque valeur de $\alpha$ donnera deux suites différentes de formules telles que $(\alpha )$ et $(\gamma ),$ qu’il faudra considérer chacune en particulier pour avoir toutes les solutions possibles de l’équation

$\mathrm {A} =p^{2}-\mathrm {B} q^{2}\,;$

mais, sans être obligé de foire un nouveau calcul, il suffira d’observer qu’en prenant $\alpha$ négatif, les formules $(\alpha )$ resteront les mêmes en changeant simplement les signes de $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots$ et de $\mu _{1},\mu _{2},\ldots ,$ d’où il s’ensuit qu’il n’y aura d’autre changement à faire aux formules $(\gamma )$ que de prendre $\mu _{1},\mu _{2},\mu _{3},\ldots$ avec des signes contraires.

Analyse du cas où $\mathrm {B}$ est négatif.

27. Considérons d’abord le cas de $\mathrm {B}$ négatif, parce qu’il est plus facile à résoudre que celui de $\mathrm {B}$ positif, et l’on prouvera, comme on a fait (14), que la série des quantités $\mathrm {A,A_{1},A_{2},A_{3}} ,\ldots$ pourra être continuée jusqu’à ce que l’on arrive à un terme comme $\mathrm {A} _{n},$ lequel soit égal ou moindre que $\mathrm {B}$ considéré comme positif, c’est-à-dire qu’en supposant $\mathrm {B} =-b$ on aura $\mathrm {A} _{n}=b$ ou $<b.$

1^o Soit $\mathrm {A} _{n}=b,$ et l’équation

$\mathrm {A} _{n}=p_{n}^{2}+bq_{n}^{2}$

ne pourra subsister, à moins que $p_{n}^{2}$ ne soit divisible par $b\,;$ donc, si $b=c^{2}d,$ on aura nécessairement $p_{n}=cdr,$ et l’équation

$b=p_{n}^{2}+bq_{n}^{2}$

deviendra, en divisant par $b,$

$1=dr^{2}+q_{n}^{2},$

laquelle donne ou $r=0,$ et par conséquent $p_{n}=0$ et $q_{n}=1,$ ou $q_{n}=0$ et $dr^{2}=1,$ c’est-à-dire $r=1$ et $d=1\,;$ donc $p_{n}=c\,;$ de sorte que ce second cas ne peut avoir lieu à moins que $b$ ne soit carré ; or, si l’on cherche dans ce même cas les valeurs de $p_{n-1}$ et $q_{n-1}$ par les formules du numéro précédent, on trouvera $q_{n-1}=\pm {\frac {c}{c^{2}}}=\pm {\frac {1}{c}}\,;$ d’où l’on voit que $q_{n-1}$ ne saurait être un nombre entier, à moins que $c$ ne soit égal à $1,$ et qu’ainsi le Problème ne peut être résolu dans le cas dont il s’agit que lorsque $c=1,$ ce qui donne $b=1$ et $p_{n}=1,$ $q_{n}=0.$ Or, lorsque $b=1,$ il est clair que dans l’équation

$\mathrm {A} _{n}=p_{n}^{2}+q_{n}^{2},$

les quantités $p_{n}$ et $q_{n}$ peuvent s’échanger entre elles, et que la même chose a lieu aussi à l’égard des autres équations analogues ; de sorte que la supposition de $p_{n}=1$ et $q_{n}=0$ rentre dans celle de $p_{n}=0$ et $q_{n}=1,$ que nous allons examiner.

On aura donc en général, lorsque $\mathrm {A} _{n}=b,$ $p_{n}=0$ et $q_{n}=1,$ d’où l’on trouvera (numéro précédent)

$p_{n-1}=\pm 1,\quad q_{n-1}={\frac {\alpha _{n-1}}{b}}\,;$

de sorte qu’il faudra dans ce cas, pour que le Problème soit résoluble,

que $\alpha _{n-1}$ soit divisible par $b\,;$ si cette condition a lieu, alors on aura

${\begin{alignedat}{2}p_{n}=&0,&q_{n}=&1,\\p_{n-1}=&1,\qquad &q_{n-1}=&{\frac {\alpha _{n-1}}{b}},\end{alignedat}}$

et l’on pourra en remontant trouver les valeurs de $p$ et $q\,;$ sur quoi il est bon de remarquer que, quoique l’on ait trouvé $p_{n-1}=\pm 1,$ il serait cependant inutile de faire $p_{n-1}=-1,$ parce qu’il est facile de voir qu’à cause de $p_{n}=0$ les valeurs de $p_{n-2},p_{n-3},\ldots p$ ne différeraient que par les signes de celles qu’on a en faisant $p_{n-1}=1.$

2^o Soit $\mathrm {A} _{n}<b\,;$ dans ce cas il est visible que l’équation

$\mathrm {A} _{n}=p_{n}^{2}+bq_{n}^{2}$

ne saurait avoir lieu, à moins que l’on n’ait $q_{n}=0$ et $\mathrm {A} _{n}=p_{n}^{2},$ ce qui donnera

$p_{n-1}={\frac {\alpha _{n-1}}{p_{n}}},\quad q_{n-1}=\pm {\frac {1}{p_{n}}}\,;$

d’où l’on voit qu’à moins que l’on n’aita $p_{n}=1,$ et par conséquent aussi $\mathrm {A} _{n}=1,$ les valeurs de $p_{n-1}$ et de $q_{n-1}$ ne pourront être des nombres entiers.

Donc, si l’on pousse la série des nombres $\mathrm {A,A_{1},A_{2}} ,\ldots$ jusqu’à ce que l’on parvienne à un terme $\mathrm {A} _{n}$ moindre que $b,$ et que ce terme soit différent de l’unité, on en devra conclure que l’équation proposée

$\mathrm {A} =p^{2}+bq^{2}$

n’est point résoluble en nombres entiers.

Si au contraire on a $\mathrm {A} _{n}=1,$ alors on aura, en ne donnant à $q_{n-1}$ que le signe $+,$ par une raison semblable à celle que nous avons dite ci-dessus à l’égard de $p_{n-1},$

${\begin{alignedat}{2}p_{n}=&1,&q_{n}=&0,\\p_{n-1}=&\alpha _{n-1},\qquad &q_{n-1}=&1,\end{alignedat}}$

et l’on pourra en remontant trouver les valeurs cherchées de $p$ et $q.$

De là on voit que chaque valeur de $\alpha$ (23) ne pourra donner qu’une seule solution de l’équation

$\mathrm {A} =p^{2}-\mathrm {B} q^{2},$

lorsque $\mathrm {B}$ est négatif, de sorte que, comme le nombre des valeurs que peut avoir la quantité $\alpha$ est nécessairement limité, celui des solutions de l’équation

$\mathrm {A} =p^{2}+bq^{2}$

le sera aussi.

Ainsi, si $\mathrm {A}$ est un nombre premier ou une puissance quelconque d’un nombre premier autre que $2,$ l’équation

$\mathrm {A} =p^{2}+bq^{2}$

ne pourra avoir qu’une seule solution en nombres entiers (voyez plus haut le n^o 24).

Quant aux valeurs négatives de $\alpha ,$ il est facile de voir, par les formules $(\gamma ),$ qu’en changeant les signes de $\mu _{1},\mu _{2},\mu _{3},\ldots$ et de $\alpha _{n-1}$ les valeurs de $p$ et $q$ demeureront les mêmes ou changeront simplement de signe, à cause que l’on a

$p_{n}=0,\quad p_{n-1}=1,\quad q_{n}=1,\quad q_{n-1}=-{\frac {\alpha _{n-1}}{b}},$

ou

$p_{n}=1,\quad p_{n-1}=-\alpha _{n-1},\quad q_{n}=0,\quad q_{n-1}=1.$

Ainsi la considération de $\alpha$ négatif sera tout à fait inutile lorsque $\mathrm {B}$ est un nombre négatif.

Analyse du cas où $\mathrm {B}$ est positif.

28. Supposons présentement que $\mathrm {B}$ soit un nombre positif ; on prouvera d’abord, par un raisonnement semblable à celui du n^o 13, que les nombres $\alpha ,\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots$ iront en diminuant jusqu’à ce que l’on arrive à un nombre comme $\alpha _{n}$ qui soit $={\sqrt {\mathrm {B} }}$ ou $<{\sqrt {\mathrm {B} }}\,;$ mais, comme $\mathrm {B}$ est supposé non carré (23), il est impossible que $\alpha _{n}={\sqrt {\mathrm {B} }},$ de sorte qu’on aura nécessairement $\alpha _{n}<{\sqrt {\mathrm {B} }}.$

On aura donc (26) une équation de cette forme

$\mathrm {A_{n}A_{n+1}=\alpha _{n}^{2}-B} ,\quad {\text{ou bien}}\quad \mathrm {-A_{n}A_{n+1}=B} -\alpha _{n}^{2},$

dans laquelle, à cause de $\alpha _{n}^{2}<\mathrm {B} ,$ il est clair que les nombres $\mathrm {A} _{n}$ et $\mathrm {A} _{n+1}$ devront être de signes différents, et que de plus l’un de ces nombres, abstraction faite de son signe, devra être $<{\sqrt {\mathrm {B} }}.$

Faisons pour plus de simplicité $\alpha _{n}=e,$ et nommons $\pm \mathrm {E}$ l’un des nombres $\mathrm {A} _{n},\mathrm {A} _{n+1}$ et $\mp \mathrm {D}$ l’autre, $\mathrm {D}$ et $\mathrm {E}$ étant des nombres positifs et $\mathrm {E}$ étant $<{\sqrt {\mathrm {B} }},$ en sorte que l’on ait l’équation

$\mathrm {DE=B} -e^{2},$

et comme on a, par les formules $(\beta ),$

$\mathrm {A} _{n}=p_{n}^{2}-\mathrm {B} q_{n}^{2}\quad {\text{et}}\quad \mathrm {A} _{n+1}=p_{n+1}^{2}-\mathrm {B} q_{n+1}^{2},$

il est clair que les nombres $\mathrm {D}$ et $\mathrm {E}$ seront de ces formes

$\mp \mathrm {D=\rho ^{2}-B} \sigma ^{2},\quad \pm \mathrm {E} =r^{2}-\mathrm {B} s^{2}.$

Ainsi la question se réduit à résoudre ces deux équations dans lesquelles $\mathrm {DE<B} \,;$ en effet, les valeurs de $\rho ,\sigma ,r$ et $s$ étant connues, on aura celles de $p_{n},q_{n},p_{n+1},q_{n+1},$ et l’on pourra à l’aide des formules $(\gamma )$ remonter aux valeurs de $p$ et $q.$

Il suffit même de résoudre l’une de ces deux équations ; car il est facile de voir par les n^os 23 et_25 que les quantités $\rho ,\sigma ,r$ et $s$ doivent être telles que l’on ait

$(\varepsilon )\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left\{{\begin{aligned}&r\sigma -s\rho =\pm 1,\\&r\rho -\mathrm {B} s\sigma =e,\end{aligned}}\right.$

par où l’on pourra déterminer $\rho$ et $\sigma$ dès qu’on aura $r$ et $s,$ ou vice versâ.

Il faut remarquer ici que l’ambiguïté des signes dans l’équation

$r\sigma -s\rho =\pm 1$

n’est point arbitraire, mais qu’elle doit répondre à celle de l’équation

$\pm \mathrm {E} =r^{2}-\mathrm {B} s^{2}\,;$

en effet cette équation, étant combinée avec l’équation

$\mp \mathrm {D=\rho ^{2}-B} \sigma ^{2},$

donne

$\pm \left(\mathrm {E} \sigma ^{2}+\mathrm {D} s^{2}\right)=r^{2}\sigma ^{2}-s^{2}\rho ^{2}=(r\sigma +s\rho )(r\sigma -s\rho ),$

d’où l’on voit que la quantité $r\sigma -s\rho$ doit être nécessairement positive ou négative suivant que l’on a le signe supérieur ou l’inférieur, dans l’équation dont il s’agit.

À l’égard de $e,$ c’est-à-dire de $\alpha _{n},$ elle peut être positive ou négative, et il faudra même la faire successivement positive et négative pour avoir toutes les solutions possibles de l’équation proposée (26), en ayant attention, comme nous l’avons fait observer dans ce numéro, de changer les signes de $\mu _{1},\mu _{2},\mu _{3},\ldots$ dans les formules $(\gamma )$ lorsqu’on prendra $e$ négative, tout le reste demeurant d’ailleurs le même.

29. Considérons donc l’équation

$\pm \mathrm {E} =r^{2}-\mathrm {B} s^{2},$

dans laquelle $\mathrm {E<{\sqrt {B}}} ,$ et supposons pour un moment que l’on connaisse déjà les nombres entiers $r$ et $s$ qui y satisfont ; il est d’abord clair que ces nombres seront premiers entre eux en vertu de la première des équations $(\varepsilon )$ du numéro précédent ; ensuite il est facile de prouver que l’on pourra toujours former deux suites décroissantes de nombres entiers comme $r,r_{1},r_{2},r_{3},\ldots$ et $s,s_{1},s_{2},s_{3},\ldots$ dont la première commence par $r$ et se termine par $1,$ et dont la seconde commence par $s$ et se termine par $0,$ et qui soient de plus telles que l’on ait

$rs_{1}-sr_{1}=\pm 1,\quad r_{1}s_{2}-s_{1}r_{2}=\mp 1,\quad r_{2}s_{3}-s_{2}r_{3}=\pm 1,\ldots \,;$

car, si l’on divise le nombre $r$ par le nombre $s$ ${\biggl (}{\biggr .}$il est clair que $r$ doit être $>s,$ à cause que l’équation $\pm \mathrm {E} =r^{2}-\mathrm {B} s^{2}$ donne ${\frac {r}{s}}={\sqrt {\mathrm {B} \pm {\frac {\mathrm {E} }{s^{2}}}}},$ et que ${\biggl .}\mathrm {E<{\sqrt {B}}} {\biggr )},$ qu’ensuite on divise $s$ par le reste de la première division,

et qu’on continue toujours de diviser le reste précédent par le dernier reste jusqu’à ce que l’on arrive à une division exacte, et qu’on nomme $\alpha ,\beta ,$$\gamma ,\delta ,\ldots ,\omega$ les quotients qui en résultent, on aura, comme on sait,

${\frac {r}{s}}=\alpha +{\frac {1}{\beta +{\cfrac {1}{\gamma +{\cfrac {1}{\delta +\ldots +{\cfrac {1}{\omega }}}}}}}},$

où l’on remarquera qu’à cause que les nombres $r$ et $s$ sont premiers entre eux le dernier reste sera nécessairement l’unité, et par conséquent le dernier quotient sera plus grand que l’unité, de sorte qu’on aura $\omega =2$ ou $>2.$

Cette fraction continue étant coupée successivement au premier, au second, au troisième, … de ses termes, donnera autant de fractions particulières, lesquelles, en y ajoutant au commencement la fraction ${\frac {1}{0}},$ formeront cette suite de fractions

${\frac {1}{0}},\ \ {\frac {a}{b}},\ \ {\frac {c}{d}},\ \ {\frac {e}{f}},\ldots ,\ \ {\frac {m}{n}},\ \ {\frac {p}{q}},\ \ {\frac {r}{s}},$

ou l’on aura

${\begin{alignedat}{2}a&=\alpha ,&b&=1,\\c&=\beta a+1,&d&=\beta b,\\e&=\gamma c+a,&f&=\gamma d+b,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots ,\\r&=\omega p+m,\qquad &s&=\omega q+n,\\\end{alignedat}}$

de sorte qu’on aura aussi

${\begin{aligned}1b\ \,-\ 0a&=1,\\ad\ -\ \,bc&=-1,\\cf\ -\ de&=1,\\\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots ,\\mq-np&=\pm 1,\\ps\ -qr\,&=\mp 1.\end{aligned}}$

De plus, ces fractions seront convergentes vers la fraction ${\frac {r}{s}},$ avec cette

différence que les fractions ${\frac {1}{0}},{\frac {c}{d}},\ldots ,$ qui occupent les pldcés impaires, seront toujours plus grandes que ${\frac {r}{s}},$ et qu’au contraire les fractions qui occupent les places paires, comme ${\frac {a}{b}},{\frac {e}{f}},\ldots ,$ seront toujours plus petites que ${\frac {r}{s}},$ comme il est facile de le démontrer par la nature même de ces fractions. Au reste, nous n’aurons pas besoin de trouver ces fractions ; il nous suffira de considérer qu’il est toujours possible de les trouver, quelle que soit la fraction donnée ${\frac {r}{s}}.$

M. Huyghens est, je crois, le premier qui ait imaginé de réduire une fraction quelconque en une fraction continue, et d’en déduire une suite de fractions particulières convergentes vers la fraction donnée son Traité De Automato planetario), D’autres Géomètres ont ensuite étendu et perfectionné cette théorie, surtout M. Euler, dans son Introductio in Analysin, et dans plusieurs excellents Mémoires imprimés parmi ceux de l’Académie de Pétersbourg. Cette matière se trouve aussi très-bien développée dans l’Algèbre de M. Saunderson, qui emploie une méthode indépendante des fractions continues.

Maintenant, si, dans l’équation

$\pm \mathrm {E} =r^{2}-\mathrm {B} s^{2},$

c’est le signe supérieur qui a lieu, en sorte que l’on doive avoir

$rs_{1}-sr_{1}=1,\quad r_{1}s_{2}-s_{1}r_{2}=-1,\quad r_{2}s_{3}-s_{2}r_{3}=1,\ldots ,$

et que le nombre des termes dans la série

${\frac {1}{0}},\ \ {\frac {a}{b}},\ \ {\frac {c}{d}},\ldots ,\ \ {\frac {p}{q}},\ \ {\frac {r}{s}}$

soit impair, il est clair qu’il n’y aura qu’à faire

$r_{1}=p,\quad r_{2}=m,\ldots ,\quad s_{1}=q,\quad s_{2}=n,\ldots \,;$

mais, si le nombre des termes est pair, alors on fera

$r_{1}=r-p,\ \ r_{2}=p,\ \ r_{3}=m,\ldots ,\ \ s_{1}=s-q,\ \ s_{2}=q,\ \ s_{3}=n,\ldots \,;$

en effet, on aura dans ce cas $mq-np=-1,\ ps-qr=1\,;$ donc

${\begin{aligned}&rs_{1}-sr_{1}=-rq+sp=1,\\&r_{1}s_{2}-s_{1}r_{2}=rq-sp=-1,\\&r_{2}s_{3}-s_{2}r_{3}=pn-qm=1,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

or, comme $r=\omega p+m$ et $s=\omega q+n,$ et comme $\omega =$ ou $>2,$ on aura, en faisant $\omega -1=\psi ,$

$r_{1}=\psi p+m,\quad s_{1}=\psi q+n,\quad {\text{et}}\quad r=r_{1}+r_{2},\quad s=s_{1}+s_{2},$

$\psi$ étant un nombre positif.

On résoudra de même le cas où ce serait le signe inférieur qui devrait avoir lieu, et l’on en conclura qu’il est toujours possible de trouver des nombres $r_{1},r_{2},r_{3},\ldots s_{1},s_{2},s_{3},\ldots$ qui aient les propriétés requises, et que ces nombres peuvent être supposés tels, que l’on ait

$(\zeta )\qquad \qquad \qquad \left\{{\begin{alignedat}{2}r\ \ &=\lambda _{1}r_{1}+r_{2},&s\ \ &=\lambda _{1}s_{1}+s_{2},\\r_{1}&=\lambda _{2}r_{2}+r_{3},&s_{1}&=\lambda _{2}s_{2}+s_{3},\\r_{2}&=\lambda _{3}r_{3}+r_{4},&s_{2}&=\lambda _{3}s_{3}+s_{4},\\r_{3}&=\lambda _{4}r_{4}+r_{5},\qquad &s_{3}&=\lambda _{4}s_{4}+s_{5},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}\right.$

$\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3},\ldots$ étant des nombres entiers et positifs.

On voit de plus que les deux derniers termes de la série $r,r_{1},r_{2},r_{3},\ldots$ seront $\alpha ,1$ ${\biggl (}\alpha {\biggr .}$ étant le nombre entier qui approchera le plus de la fraction ${\biggl .}{\frac {r}{s}}{\biggr )},$ et que les deux derniers termes de la série $s,s_{1},s_{2},s_{3},\ldots$ seront $1,0\,;$ de sorte que, si l’on connaissait les nombres $\lambda ,\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots$ avec le nombre $\alpha ,$ on pourrait, en remontant par les formules précédentes, trouver les nombres cherchés $r$ et $s.$

Les conditions par lesquelles on doit déterminer les nombres $\lambda ,\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots$ sont que ces nombres soient tous entiers positifs et tels, que l’on ait

$(\eta )\qquad \qquad \qquad \qquad \left\{{\begin{aligned}r\ \ s_{1}-s\ \ r_{1}=&\pm 1,\\r_{1}s_{2}-s_{1}r_{2}=&\mp 1,\\r_{2}s_{3}-s_{2}r_{3}=&\pm 1,\\r_{3}s_{4}-s_{3}r_{4}=&\pm 1,\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots ,\end{aligned}}\right.$

en prenant les signes supérieurs ou inférieurs, suivant que l’on aura le signe supérieur ou l’inférieur dans l’équation

$\pm \mathrm {E} =r^{2}-\mathrm {B} s^{2}.$

Or, il est facile de voir que si la première équation

$rs_{1}-sr_{1}=\pm 1$

a lieu, les suivantes auront lieu d’elles-mêmes, en vertu des formules $(\zeta )$ ; en effet, on aura par ces formules

$r_{2}=r-\lambda _{1}r_{1},\quad s_{2}=s-\lambda _{1}s_{1},$

donc

$r_{1}s_{2}-s_{1}r_{2}=r_{1}s-s_{1}r=\mp 1,$

et ainsi des autres.

30. Cela posé, reprenons l’équation

$\pm \mathrm {E} =r^{2}-\mathrm {B} s^{2},$

et soit d’abord le signe supérieur, en sorte que l’on ait

$\mathrm {E} =r^{2}-\mathrm {B} s^{2}\,;$

donc, divisant par $s^{2},$ on aura

${\frac {r^{2}}{s^{2}}}-\mathrm {B} ={\frac {\mathrm {E} }{s^{2}}},$

et divisant encore par ${\frac {r}{s}}+{\sqrt {\mathrm {B} }},$

${\frac {r}{s}}-{\sqrt {\mathrm {B} }}={\frac {\mathrm {E} }{s^{2}\left({\cfrac {r}{s}}+{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)}}\,;$

donc, puisque $\mathrm {E<{\sqrt {B}}}$ (par hypothèse), on aura à plus forte raison $\mathrm {E<{\sqrt {B}}} +{\frac {r}{s}}\,;$ donc ${\frac {r}{s}}-{\sqrt {B}}>0$ et $<{\frac {1}{s^{2}}}.$

Or, l’équation

$rs_{1}-sr_{1}=1$

donne

${\frac {r}{s}}-{\frac {r_{1}}{s_{1}}}={\frac {1}{ss_{1}}}\,;$

donc, ayant ${\frac {r}{s}}-{\sqrt {\mathrm {B} }}<{\frac {1}{s^{2}}},$ on aura aussi ${\frac {r_{1}}{s_{1}}}-{\sqrt {\mathrm {B} }}<{\frac {1}{s^{2}}}-{\frac {1}{ss_{1}}}\,;$ mais, à cause de $s_{1}<s,$ il est clair que ${\frac {1}{s^{2}}}-{\frac {1}{ss_{1}}}<0\,;$ donc aussi ${\frac {r_{1}}{s_{1}}}-{\sqrt {\mathrm {B} }}<0,$ et multipliant par ${\frac {r_{1}}{s_{1}}}+{\sqrt {\mathrm {B} }},$ ${\frac {r_{1}^{2}}{s_{1}^{2}}}-\mathrm {B} <0,$ et par conséquent $r_{1}^{2}-\mathrm {B} s_{1}^{2}<0\,;$ ainsi l’on aura

$r_{1}^{2}-\mathrm {B} s_{1}^{2}=-\mathrm {E} _{1},$

$\mathrm {E} _{1}$ étant un nombre positif.

De même, l’équation

$r_{1}s_{2}-s_{1}r_{2}=-1$

donnera celle-ci

${\frac {r_{1}}{s_{1}}}-{\frac {r_{2}}{s_{2}}}=-{\frac {1}{s_{1}s_{2}}},$

laquelle étant ajoutée à l’équation ci-dessus

${\frac {r}{s}}-{\frac {r_{1}}{s_{1}}}={\frac {1}{ss_{1}}},$

on aura

${\frac {r}{s}}-{\frac {r_{2}}{s_{2}}}={\frac {1}{ss_{1}}}-{\frac {1}{s_{1}s_{2}}}\,;$

mais, ayant $s_{1}<s$ et $s_{2}<s_{1},$ il est clair que ${\frac {1}{ss_{1}}}<{\frac {1}{s_{1}s_{2}}}\,;$ donc ${\frac {r}{s}}-{\frac {r_{2}}{s_{2}}}<0,$ c’est-à-dire ${\frac {r_{2}}{s_{2}}}-{\frac {r}{s}}>0.$ Or, on a aussi ${\frac {r}{s}}-{\sqrt {\mathrm {B} }}>0\,;$ donc on aura encore ${\frac {r_{2}}{s_{2}}}-{\sqrt {\mathrm {B} }}>0,$ et multipliant par ${\frac {r_{2}}{s_{2}}}+{\sqrt {\mathrm {B} }},$ ${\frac {r_{2}^{2}}{s_{2}^{2}}}-\mathrm {B} >0$ et $r_{2}^{2}-\mathrm {B} s_{2}^{2}>0\,;$ donc

$r_{2}^{2}-\mathrm {B} s_{2}^{2}=-\mathrm {E} _{2},$

$\mathrm {E} _{2}$ étant un nombre positif.

L’équation

$r_{2}s_{3}-s_{2}r_{3}=1$

donnera pareillement

${\frac {r_{2}}{s_{2}}}-{\frac {r_{3}}{s_{3}}}={\frac {1}{s_{2}s_{3}}},$

et ajoutant l’équation

${\frac {r}{s}}-{\frac {r_{2}}{s_{2}}}={\frac {1}{ss_{1}}}-{\frac {1}{s_{1}s_{2}}},$

on aura

${\frac {r}{s}}-{\frac {r_{3}}{s_{3}}}={\frac {1}{ss_{1}}}-{\frac {1}{s_{1}s_{2}}}+{\frac {1}{s_{2}s_{3}}}\,;$

donc puisque ${\frac {r}{s}}-{\sqrt {\mathrm {B} }}<{\frac {1}{s^{2}}},$ on aura

${\frac {r_{3}}{s_{3}}}-{\sqrt {\mathrm {B} }}<{\frac {1}{s^{2}}}-{\frac {1}{ss_{1}}}+{\frac {1}{s_{1}s_{2}}}-{\frac {1}{s_{2}s_{3}}}\,;$

or, à cause de $s_{1}<s,\ s_{2}<s_{1},\ s_{3}<s_{2},$ on aura

${\frac {1}{s^{2}}}-{\frac {1}{ss_{1}}}<0\quad {\text{et}}\quad {\frac {1}{s_{1}s_{2}}}-{\frac {1}{s_{2}s_{3}}}<0\,;$

donc aussi ${\frac {r_{3}}{s_{3}}}-{\sqrt {\mathrm {B} }}<0\,;$ donc $r_{3}^{2}-\mathrm {B} s_{3}^{2}<0,$ donc on aura

$r_{3}^{2}-\mathrm {B} s_{3}^{2}=-\mathrm {E} _{3},$

$\mathrm {E} _{3}$ étant un nombre positif, et ainsi de suite.

Supposons en second lieu que l’on ait

$-\mathrm {E} =r^{2}-\mathrm {B} s^{2},$

donc

${\frac {r^{2}}{s^{2}}}-\mathrm {B} =-{\frac {\mathrm {E} }{s^{2}}}\quad {\text{et}}\quad {\frac {r}{s}}-{\sqrt {\mathrm {B} }}=-{\frac {\mathrm {E} }{s^{2}\left({\cfrac {r}{s}}+{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)}}\,;$

donc, à cause de $\mathrm {E<{\sqrt {B}}} ,$ on aura ${\frac {r}{s}}-{\sqrt {\mathrm {B} }}<0$ et $>-{\frac {1}{s^{2}}}.$ Or on a dans ce cas

$rs_{1}-sr_{1}=-1\,;$

donc

${\frac {r}{s}}-{\frac {r_{1}}{s_{1}}}=-{\frac {1}{ss_{1}}}\,;$

donc, à cause de ${\frac {r}{s}}-{\sqrt {\mathrm {B} }}>-{\frac {1}{s^{2}}},$ on aura aussi ${\frac {r_{1}}{s_{1}}}-{\sqrt {\mathrm {B} }}>{\frac {1}{ss_{1}}}-{\frac {1}{s^{2}}}\,;$ mais, puisque $s_{1}<s,$ on a ${\frac {1}{ss_{1}}}-{\frac {1}{s^{2}}}>0,$ donc ${\frac {r_{1}}{s_{1}}}-{\sqrt {\mathrm {B} }}>0,$ donc aussi $r_{1}^{2}-\mathrm {B} s_{1}^{2}>0\,;$ donc on aura

$r_{1}^{2}-\mathrm {B} s_{1}^{2}=\mathrm {E} _{1},$

$\mathrm {E} _{1}$ étant un nombre positif.

On aura ensuite

$r_{1}s_{2}-s_{1}r_{2}=1,$

donc

${\frac {r_{1}}{s_{1}}}-{\frac {r_{2}}{s_{2}}}={\frac {1}{s_{1}s_{2}}}\,;$

donc, puisque

${\frac {r}{s}}-{\frac {r_{1}}{s_{1}}}=-{\frac {1}{ss_{1}}},$

on aura aussi

${\frac {r}{s}}-{\frac {r_{2}}{s_{2}}}=-{\frac {1}{ss_{1}}}+{\frac {1}{s_{1}s_{2}}}>0,$

à cause de $s_{1}<s$ et $s_{2}<s_{1}\,;$ donc ${\frac {r}{s}}-{\frac {r_{2}}{s_{2}}}>0,$ et par conséquent ${\frac {r_{2}}{s_{2}}}-{\frac {r}{s}}<0\,;$ mais ${\frac {r}{s}}-{\sqrt {\mathrm {B} }}<0\,;$ donc on aura aussi ${\frac {r_{2}}{s_{2}}}-{\sqrt {\mathrm {B} }}<0\,;$ donc $r_{2}^{2}-\mathrm {B} s_{2}^{2}<0\,;$ donc

$r_{2}^{2}-\mathrm {B} s_{2}^{2}=-\mathrm {E} _{2},$

$\mathrm {E} _{2}$ étant un nombre positif.

On prouvera de même que l’on aura

$r_{3}^{2}-\mathrm {B} s_{3}^{2}=-\mathrm {E} _{3},$

$\mathrm {E} _{3}$ étant positif, et ainsi de suite.

Donc, en combinant les deux cas, on aura en général les formules suivantes

$(\theta )\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \left\{{\begin{aligned}\pm \mathrm {E} \ \ &=r^{2}-\mathrm {B} s^{2},\\\mp \mathrm {E} _{1}&=r_{1}^{2}-\mathrm {B} s_{1}^{2},\\\pm \mathrm {E} _{2}&=r_{2}^{2}-\mathrm {B} s_{2}^{2},\\\mp \mathrm {E} _{3}&=r_{3}^{2}-\mathrm {B} s_{3}^{2},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}\right.$

dans lesquelles $\mathrm {E}$ est positif et moindre que ${\sqrt {\mathrm {B} }}$ par l’hypothèse, et $\mathrm {E_{1},E_{2},}$$\mathrm {E} _{3},\ldots$ sont aussi nécessairement positifs.

31. Qu’on multiplie présentement les équations $(\theta )$ deux à deux, on aura (9) :

1^o$\quad \qquad -\mathrm {EE_{1}} =(rr_{1}-\mathrm {B} ss_{1})^{2}-\mathrm {B} (rs_{1}-sr_{1})^{2}\,;$

mais on a par les formules $(\eta )$

$rs_{1}-sr_{1}=\pm 1\,;$

donc, si l’on fait

$rr_{1}-\mathrm {B} ss_{1}=\mp \varepsilon ,$

on aura l’équation

$\mathrm {-EE_{1}=\varepsilon ^{2}-B} ,\quad {\text{ou bien}}\quad \mathrm {EE_{1}=B-\varepsilon ^{2}} .$

2^o $\quad \qquad -\mathrm {E_{1}E_{2}} =(r_{1}r_{2}-\mathrm {B} s_{1}s_{2})^{2}-\mathrm {B} (r_{1}s_{2}-s_{1}r_{2})^{2}$

mais

$r_{1}s_{2}-s_{1}r_{2}=\mp 1\,;$

donc, faisant

$r_{1}r_{2}-\mathrm {B} s_{1}s_{2}=\pm \varepsilon _{1},$

on aura

$-\mathrm {E_{1}E_{2}=\varepsilon _{1}^{2}-B} ,\quad {\text{ou bien}}\quad \mathrm {E_{1}E_{2}=B} -\varepsilon _{1}^{2}.$

3^o Faisant de même

$r_{2}r_{3}-\mathrm {B} s_{2}s_{3}=\mp \varepsilon _{2},$

on trouvera

$-\mathrm {E_{2}E_{3}=\varepsilon _{2}^{2}-B} ,\quad {\text{ou bien}}\quad \mathrm {E_{2}E_{3}=B} -\varepsilon _{2}^{2},$

et ainsi de suite.

Maintenant on a, par les formules $(\zeta ),$

$r_{2}=r-\lambda _{1}r_{1},\quad s_{2}=s-\lambda _{1}s_{1},$

donc

$r_{1}r_{2}-\mathrm {B} s_{1}s_{2}=rr_{1}-\mathrm {B} ss_{1}-\lambda \left(r_{1}^{2}-\mathrm {B} s_{1}^{2}\right)\,;$

donc

$\pm \varepsilon _{1}=\mp \varepsilon \pm \lambda _{1}\mathrm {E} _{1},\quad {\text{savoir}}\quad \varepsilon _{1}=\lambda _{1}\mathrm {E} _{1}-\varepsilon .$

On a de même

$r_{3}=r_{1}-\lambda _{2}r_{2},\quad s_{3}=s_{1}-\lambda _{2}s_{2},$

donc

$r_{2}r_{3}-\mathrm {B} s_{2}s_{3}=r_{1}r_{2}-\mathrm {B} s_{1}s_{2}-\lambda _{2}\left(r_{2}^{2}-\mathrm {B} s_{2}^{2}\right),$

savoir

$\mp \varepsilon _{2}=\pm \varepsilon _{1}\mp \lambda _{2}\mathrm {E} _{2},\quad {\text{ou bien}}\quad \varepsilon _{2}=\lambda _{2}\mathrm {E} _{2}-\varepsilon _{1},$

et ainsi des autres.

De sorte qu’on aura les équations

$(\varkappa )\qquad \qquad \qquad \qquad \left\{{\begin{aligned}\mathrm {E\ \ E_{1}} &=\mathrm {B} -\varepsilon ^{2},\\\mathrm {E_{1}E_{2}} &=\mathrm {B} -\varepsilon _{1}^{2},\\\mathrm {E_{2}E_{3}} &=\mathrm {B} -\varepsilon _{2}^{2},\\\mathrm {E_{3}E_{4}} &=\mathrm {B} -\varepsilon _{3}^{2},\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}\right.$

dans lesquelles

$(\lambda )\qquad \qquad \qquad \qquad \left\{{\begin{aligned}\varepsilon _{1}&=\lambda _{1}\mathrm {E} _{1}-\varepsilon ,\\\varepsilon _{2}&=\lambda _{2}\mathrm {E} _{2}-\varepsilon _{1},\\\varepsilon _{3}&=\lambda _{3}\mathrm {E} _{3}-\varepsilon _{2},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}\right.$

32. Nous avons vu (30) que les nombres $\mathrm {E_{1},E_{2},E_{3}} ,\ldots$ sont nécessairement tous positifs ; donc, pour que les équations $(\varkappa )$ puissent subsister, il faudra que les carrés $\varepsilon ^{2},\varepsilon _{1}^{2},\varepsilon _{2}^{2},\ldots$ soient tous moindres que $\mathrm {B} .$

Or, je vais prouver d’abord que, pour que ces conditions puissent avoir lieu, il faut que les nombres $\varepsilon ,\varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\ldots$ dans les équations $(\lambda )$ soient tous positifs.

Car : 1^o supposons, s’il est possible, $\varepsilon =-\eta ,$ $\eta$ étant un nombre positif, on aura donc $\varepsilon _{1}=\lambda _{1}\mathrm {E} _{1}+\eta$ et par conséquent $\varepsilon _{1}$ positif à cause de $\lambda _{1}$ et $\mathrm {E} _{1}$ positif ; mais il faut que $\varepsilon _{1}^{2}<\mathrm {B} ,$ donc $\lambda _{1}\mathrm {E} _{1}+\eta <{\sqrt {\mathrm {B} }},$ et par conséquent $\lambda _{1}<\mathrm {\frac {{\sqrt {B}}-\eta }{E_{1}}} \,;$ mais $\lambda _{1}$ doit être entier positif, donc il faut que $\mathrm {E_{1}<{\sqrt {B}}} -\eta$ or, on a

$\mathrm {EE_{1}=B-\eta ^{2}=\left({\sqrt {B}}+\eta \right)\left({\sqrt {B}}-\eta \right)} ,$

donc $\mathrm {E} _{1}$ ne peut être $<{\sqrt {\mathrm {B} }}-\eta$ que $\mathrm {E}$ ne soit en même temps $>{\sqrt {B}}+\eta \,;$ mais $\mathrm {E<{\sqrt {B}}}$ (par hypothèse), donc il est impossible que $\varepsilon$ soit négatif.

2^o Supposons $\varepsilon _{1}=-\eta _{1},$ $\eta _{1}$ étant positif, on aura $\varepsilon _{2}=\lambda _{2}\mathrm {E} _{2}+\eta _{1},$ et par conséquent $\varepsilon _{2}$ positif ; mais on doit avoir $\varepsilon _{2}^{2}<\mathrm {B} ,$ donc il faudra que $\lambda _{2}\mathrm {E} _{2}+\eta _{1}<{\sqrt {\mathrm {B} }}$ et par conséquent $\lambda _{2}<{\frac {{\sqrt {\mathrm {B} }}-\eta _{1}}{\mathrm {E} _{2}}}\,;$ donc pour que $\lambda _{2}$ puisse être entier positif, comme il le doit, il faut que $\mathrm {E_{2}<{\sqrt {B}}} -\eta _{1}\,;$ or,

$\mathrm {E_{1}E_{2}=B-\eta _{1}^{2}=\left({\sqrt {B}}+\eta _{1}\right)\left({\sqrt {B}}-\eta _{1}\right)} ,$

donc $\mathrm {E} _{2}$ ne saurait être $<{\sqrt {\mathrm {B} }}-\eta _{1}$ que $\mathrm {E} _{1}$ ne soit $>{\sqrt {\mathrm {B} }}-\eta _{1},$ et à plus forte raison $\mathrm {E_{1}>{\sqrt {B}}} \,;$ mais l’équation $\varepsilon _{1}=\lambda _{1}\mathrm {E} _{1}-\varepsilon$ donne, à cause de $\varepsilon _{1}=-\eta _{1},$ $\lambda _{1}\mathrm {E} _{1}=\varepsilon -\eta _{1},$ et par conséquent, puisque $\varepsilon <{\sqrt {\mathrm {B} }}$ $\lambda _{1}\mathrm {E_{1}<{\sqrt {B}}} \,;$ ce qui répugne tant que $\lambda _{1}$ est entier positif.

Donc $\varepsilon _{1}$ sera nécessairement positif, et l’on démontrera de même que les nombres $\varepsilon _{2},\varepsilon _{3},\ldots ,$ dans les équations $(\lambda ),$ devront être aussi tous positifs.

33. Maintenant, puisqu’on doit avoir $\varepsilon ^{2},\varepsilon _{1}^{2},\varepsilon _{2}^{2},\ldots$ moindres que $\mathrm {B} ,$ il est clair qu’il faudra que $\varepsilon ,\varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\varepsilon _{3},\ldots$ soient tous $<{\sqrt {\mathrm {B} }}.$

Supposons donc que $\varepsilon$ soit en effet $<{\sqrt {\mathrm {B} }}$ et voyons comment on doit déterminer les nombres $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3},\ldots$ dans les équations $(\lambda )$ pour que les nombres $\varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\varepsilon _{3},\ldots$ soient tous moindres que ${\sqrt {\mathrm {B} }}.$

1^o Soit $\varepsilon _{1}<{\sqrt {\mathrm {B} }},$ donc $\lambda _{1}\mathrm {E_{1}-\varepsilon <{\sqrt {B}}} ,$ donc

$\lambda _{1}<\mathrm {\frac {{\sqrt {B}}+\varepsilon }{E_{1}}} .$

Mais, comme $\lambda _{1}$ doit être un nombre entier positif, il faudra que $\mathrm {E_{1}<{\sqrt {B}}} +\varepsilon ,$ et par conséquent, à cause de

$\mathrm {EE_{1}=B-\varepsilon ^{2}=\left({\sqrt {B}}+\varepsilon \right)\left({\sqrt {B}}-\varepsilon \right)} ,$

que $\mathrm {E}$ soit $>{\sqrt {\mathrm {B} }}-\varepsilon \,;$ ainsi, le nombre $\varepsilon$ devra être $<{\sqrt {\mathrm {B} }}$ et $>\mathrm {{\sqrt {B}}-E} .$

2^o Soit $\varepsilon _{2}<{\sqrt {\mathrm {B} }},$ donc $\lambda _{2}\mathrm {E_{2}-\varepsilon _{1}<{\sqrt {B}}} ,$ et de là

$\lambda _{2}<\mathrm {\frac {{\sqrt {B}}+\varepsilon _{1}}{E_{2}}} .$

Mais, pour que $\lambda _{2}$ puisse être entier positif, il faudra que $\mathrm {E_{2}<{\sqrt {B}}} +\varepsilon _{1},$ et par conséquent, à cause de

$\mathrm {E_{1}E_{2}=B-\varepsilon _{1}^{2}=\left({\sqrt {B}}+\varepsilon _{1}\right)\left({\sqrt {B}}-\varepsilon _{1}\right)} ,$

que $\mathrm {E} _{1}$ soit $>{\sqrt {\mathrm {B} }}-\varepsilon _{1},$ ou bien $\varepsilon _{1}>\mathrm {{\sqrt {B}}-E_{1}} \,;$ donc $\lambda _{1}\mathrm {E_{1}-\varepsilon >{\sqrt {B}}-E_{1}} ,$ et par conséquent

$\lambda _{1}+1>\mathrm {\frac {{\sqrt {B}}+\varepsilon }{E_{1}}} .$

3^o Soit $\varepsilon _{3}<{\sqrt {\mathrm {B} }},$ donc $\lambda _{3}\mathrm {E_{3}-\varepsilon _{2}<{\sqrt {B}}} ,$ et par conséquent

$\lambda _{3}<\mathrm {\frac {{\sqrt {B}}+\varepsilon _{2}}{E_{3}}} .$

Or, puisque $\lambda _{3}$ doit être entier et positif, il faudra que $\mathrm {E_{3}<{\sqrt {B}}} +\varepsilon _{2}\,;$ par conséquent, à cause de

$\mathrm {E_{2}E_{3}=B-\varepsilon _{2}^{2}=\left({\sqrt {B}}+\varepsilon _{2}\right)\left({\sqrt {B}}-\varepsilon _{2}\right)} ,$

il faudra que $\mathrm {E_{2}>{\sqrt {B}}} -\varepsilon _{2},$ c’est-à-dire $\varepsilon _{2}>\mathrm {{\sqrt {B}}-E_{2}} \,;$ donc

$\lambda _{2}\mathrm {E_{2}-\varepsilon _{1}>{\sqrt {B}}-E_{2}} ,$

et par conséquent

$\lambda _{2}+1>\mathrm {\frac {{\sqrt {B}}+\varepsilon _{1}}{E_{2}}} ,$

et ainsi de suite.

Si la quantité $\mathrm {E} _{1}$ était la dernière de la série $\mathrm {E,E_{1},E_{2}} ,\ldots ,$ en sorte que l’éqυation

$\mathrm {E_{3}E_{4}=B-\varepsilon _{4}^{2}}$

fût la dernière des équations $(\varkappa ),$ alors on aurait seulement, pour la détermination de $\lambda _{3},$ la condition $\lambda _{3}<\mathrm {\frac {{\sqrt {B}}+\varepsilon _{2}}{E_{3}}} \,;$ mais, si l’on veut de plus

que le dernier terme de la série $\mathrm {E,E_{1},E_{2}} ,\ldots$ soit $<{\sqrt {\mathrm {B} }},$ alors, en supposant que ce soit $\mathrm {E} _{4},$ on aura $\mathrm {E_{4}<{\sqrt {B}}} ,$ et à plus forte raison $\mathrm {E_{4}<{\sqrt {B}}} -\varepsilon _{3}\,;$ donc, à cause de

$\mathrm {E_{3}E_{4}=\left({\sqrt {B}}+\varepsilon _{3}\right)\left({\sqrt {B}}-\varepsilon _{3}\right)} ,$

$\mathrm {E} _{1}>{\sqrt {\mathrm {B} }}-\varepsilon _{3},$ c’est-à-dire $\varepsilon _{3}>\mathrm {{\sqrt {B}}-E_{3}} ,$ et par conséquent

$\lambda _{3}\mathrm {E_{3}-\varepsilon _{2}>{\sqrt {B}}-E_{3}} ,$

d’où

$\lambda _{3}+1>\mathrm {\frac {{\sqrt {B}}+\varepsilon _{2}}{E_{3}}} .$

C’est la même condition qu’on aurait par la considération de l’équation suivante

$\mathrm {E_{4}E_{5}=B} -\varepsilon _{4}^{2},$

si le terme $\mathrm {E} _{4}$ n’était pas le dernier.

Donc, en général, si la série des nombres $\mathrm {E,E_{1},E_{2}} ,\ldots$ est supposée continuée jusqu’à un terme $<{\sqrt {\mathrm {B} }},$ il faudra, pour que les équations $(\varkappa )$ et $(\lambda )$ puissent subsister en ne prenant pour $\mathrm {E,E_{1},E_{2}} ,\ldots$ et pour $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3},\ldots$ que des nombres entiers positifs, il faudra, dis-je, que l’on ait d’abord

$\varepsilon <{\sqrt {\mathrm {B} }}\quad {\text{et}}\quad \varepsilon >\mathrm {{\sqrt {B}}-E} ,$

et ensuite

$(\mu )\qquad \qquad \qquad \left\{{\begin{alignedat}{2}\lambda _{1}&<\mathrm {\frac {{\sqrt {B}}+\varepsilon }{E_{1}}} ,\qquad &\lambda _{1}&>\mathrm {\frac {{\sqrt {B}}-\varepsilon }{E_{1}}} -1,\\\lambda _{2}&<\mathrm {\frac {{\sqrt {B}}+\varepsilon _{1}}{E_{2}}} ,&\lambda _{2}&>\mathrm {\frac {{\sqrt {B}}+\varepsilon _{1}}{E_{2}}} -1,\\\lambda _{3}&<\mathrm {\frac {{\sqrt {B}}+\varepsilon _{2}}{E_{3}}} ,&\lambda _{3}&>\mathrm {\frac {{\sqrt {B}}+\varepsilon _{2}}{E_{3}}} -1,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{alignedat}}\right.$

On voit par là que les nombres $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3},\ldots$ seront absolument déterminés, de sorte que, les nombres $\mathrm {E}$ et $\varepsilon$ étant connus, tous les autres le seront aussi par le moyen des formules $(\varkappa ),(\lambda )$ et $(\mu ).$

En effet, connaissant $\mathrm {E}$ et $\varepsilon ,$ on aura $\mathrm {E} _{1}$ par l’équation

$\mathrm {EE_{1}=B} -\varepsilon ^{2}\,;$

ensuite, à cause de $\lambda _{1}<\mathrm {\frac {{\sqrt {B}}+\varepsilon }{E_{1}}}$ et $>\mathrm {\frac {{\sqrt {B}}+\varepsilon }{E_{1}}} -1,$ il est clair qu’on ne pourra prendre pour $\lambda _{1}$ que le nombre entier qui est immédiatement plus petit que $\mathrm {\frac {{\sqrt {B}}+\varepsilon }{E_{1}}} ,$ et il est facile de voir que ce nombre sera nécessairement positif ; car, à cause de $\mathrm {E>{\sqrt {B}}} -\varepsilon$ (par hypothèse), on aura $\mathrm {E_{1}<{\sqrt {B}}} +\varepsilon ,$ en vertu de l’équation

$\mathrm {EE_{1}=B-\varepsilon ^{2}=\left({\sqrt {B}}+\varepsilon \right)\left({\sqrt {B}}-\varepsilon \right)} \,;$

le nombre $\lambda _{1}$ étant ainsi connu, en aura $\varepsilon _{1}=\lambda _{1}\mathrm {E} _{1}-\varepsilon \,;$ après quoi l’on tirera $\mathrm {E} _{2}$ de l’équation

$\mathrm {E_{1}E_{2}=B} -\varepsilon _{1}^{2},$

et comme $\lambda _{2}<\mathrm {\frac {{\sqrt {B}}+\varepsilon _{1}}{E_{2}}}$ et $>\mathrm {\frac {{\sqrt {B}}+\varepsilon _{1}}{E_{2}}} -1,$ il faudra prendre nécessairement pour $\lambda _{2}$ le nombre entier qui sera immédiatement moindre que $\mathrm {\frac {{\sqrt {B}}+\varepsilon _{1}}{E_{2}}} ,$ et il est clair que ce nombre sera positif, à cause que, $\lambda _{1}$ étant $>\mathrm {\frac {{\sqrt {B}}+\varepsilon }{E_{1}}} ,$ on a

$\lambda _{1}\mathrm {E_{1}-\varepsilon =\varepsilon _{1}>{\sqrt {B}}-E_{1}} ,$

et par conséquent

$\mathrm {E_{1}>{\sqrt {B}}} -\varepsilon _{1}\quad {\text{et}}\quad \mathrm {E_{2}<{\sqrt {B}}+\varepsilon _{1}} ,$

en vertu de l’équation

$\mathrm {E_{1}E_{2}=B-\varepsilon _{1}^{2}=\left({\sqrt {B}}+\varepsilon _{1}\right)\left({\sqrt {B}}-\varepsilon _{1}\right)} ,$

et ainsi de suite.

34. Ainsi, pour résoudre l’équation

$\pm \mathrm {E=r^{2}-Bs^{2}} ,$

où $\mathrm {E<{\sqrt {B}}} ,$ on commencera par chercher un nombre entier $\varepsilon <{\sqrt {\mathrm {B} }}$ et $>\mathrm {{\sqrt {B}}-E} ,$ et tel que $\mathrm {B} -\varepsilon ^{2}$ soit divisible par $\mathrm {E} \,;$ si aucun des nombres qui tombent entre $\mathrm {{\sqrt {B}}-E}$ et $\mathrm {\sqrt {B}}$ ne satisfait à cette condition, ce sera une marque que l’équation proposée n’est point résoluble en entiers.

Ayant trouvé une ou plusieurs valeurs de $\varepsilon ,$ on formera d’après chacune de ces valeurs, et par le moyen des formules du numéro précédent, les séries $\mathrm {E,E_{1},E_{2},E_{3}} ,\ldots ,$ $\varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\varepsilon _{3},\ldots$ et $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3},\ldots ,$ et si l’équation proposée est résoluble en nombres entiers, on parviendra nécessairement à un terme de la série $\mathrm {E_{1},E_{2},E_{3}} ,\ldots ,$ qui sera égal à l’unité, et qui occupera une place paire ou impaire suivant que, dans l’équation

$\pm \mathrm {E} =r^{2}-\mathrm {B} s^{2},$

ce sera le signe supérieur ou l’inférieur qui aura lieu. En effet, nous avons vu (29) qu’en continuant les séries des nombres $r,r_{1},r_{2},\ldots$ et $s,s_{1},s_{2},\ldots ,$ on arrivera nécessairement à des termes comme $r_{m}$ et $s_{m},$ tels que $r_{m}=1$ et $s_{m}=0\,;$ or on a, par les formules $(\theta ),$

$r_{m}^{2}-\mathrm {B} s_{m}^{2}=\pm \mathrm {E} _{m}$

lorsque le quantième $m$ est pair, et

$r_{m}^{2}-\mathrm {B} s_{m}^{2}=\mp \mathrm {E} _{m}$

lorsque le quantième $m$ est impair ; donc on aura dans le premier cas $\pm \mathrm {E} _{m}=1,$ et dans le second $\mp \mathrm {E} _{m}=1\,;$ d’où l’on voit que le premier cas ne peut avoir lieu qu’en prenant le signe supérieur et faisant $\mathrm {E} _{m}=1,$ et le second ne peut avoir lieu qu’en prenant le signe inférieur et faisant de même $\mathrm {E} _{m}=1,$ à cause que $\mathrm {E} _{m}$ doit être positif (30).

Donc, lorsque l’équation

$\pm \mathrm {E} =r^{2}-\mathrm {B} s^{2}$

peut se résoudre en nombres entiers, il doit y avoir dans la série $\mathrm {E,E_{1},E_{2}} ,\ldots$ un terme comme $\mathrm {E} _{m}=1,$ le quantième $m$ étant pair ou impair suivant qu’on aura le signe supérieur ou l’inférieur dans l’équation dont il s’agit ; et comme $1$ est toujours $<{\sqrt {\mathrm {B} }},$ il est clair qu’on doit parvenir à ce terme $\mathrm {E_{m}}$ par la méthode du numéro précédent, et alors on fera $r_{m}=1$ et $s_{m}=0.$ De plus, il est clair par les formules $(\eta )$ que l’on doit avoir

$r_{m-1}s_{m}-s_{m-1}r_{m}=\mp 1$

si $m$ est pair, et

$r_{m-1}s_{m}-s_{m-1}r_{m}=\pm _{1}$

si $m$ est impair ; c’est-à-dire (à cause que le quantième $m$ doit être pair pour le signe supérieur et impair pour l’inférieur)

d’où, en faisant $r_{m}=1$ et $s_{m}=0,$ on aura $s_{m-1}=1\,;$ enfin, il est facile de voir par les formules du n^o 31 qu’on aura aussi

$r_{m-1}r_{m}-\mathrm {B} s_{m-1}s_{m}=\pm \varepsilon _{m-1}$

lorsque $m$ est pair, et

$r_{m-1}r_{m}-\mathrm {B} s_{m-1}s_{m}=\mp \varepsilon _{m-1}$

lorsque $m$ est impair, c’est-à-dire, par la remarque précédente,

$r_{m-1}r_{m}-\mathrm {B} s_{m-1}s_{m}=\varepsilon _{m-1},$

d’où, à cause de $r_{m}=1$ et $s_{m}=0,$ on aura $r_{m-1}=\varepsilon _{m-1}\,;$ de sorte qu’on aura ces quatre valeurs

${\begin{alignedat}{2}r_{m}=&1,&s_{m}=0,\\r_{m-1}=&\varepsilon _{m-1},\qquad &s_{m-1}=1,\end{alignedat}}$

à l’aide desquelles on pourra, en remontant par les formules $(\zeta )$ du n^o 29, trouver les valeurs cherchées de $r$ et $s.$

35. Comme tout se réduit à trouver un terme de la série $\mathrm {E,E_{1},E_{2}} ,\ldots$ ui soit égal à l’unité, considérons plus particulièrement la loi de cette série. Et d’abord il est clair, par ce qu’on a enseigné (33), que cette série peut être poussée aussi loin que l’on veut, parce que les opérations par lesquelles les nombres $\mathrm {E_{1},E_{2},E_{3}} ,\ldots ,$ $\varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\varepsilon _{3},\ldots$ et $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3},\ldots$ doivent être déterminés peuvent être continuées tant qu’on voudra.

D’autre part, il est évident par les formules $(\varkappa )$ que les nombres $\mathrm {E,E_{1}} ,$$\mathrm {E_{2},E_{3}} ,\ldots$ doivent être nécessairement moindres que $\mathrm {B} \,;$ de sorte que, comme ces nombres doivent être en même temps entiers, ils ne pourront avoir qu’un nombre limité de valeurs différentes, et qu’ainsi, en supposant la série poussée à l’infini, il faudra absolument que le même terme revienne une infinité de fois ; par conséquent, il faudra aussi que la même combinaison de deux termes consécutifs revienne une infinité de fois.

Supposons donc que dans la série

$\mathrm {E,\ E_{1},\ E_{2},\ E_{3},\ E_{4},\ E_{5},\ E_{7},\ E_{8},\ E_{9},\ E_{10}} ,\ldots ,$

les deux termes consécutifs $\mathrm {E_{7},E_{8}}$ soient les mêmes que les termes $\mathrm {E_{3},E_{4}} ,$ c’est-à-dire que l’on ait $\mathrm {E_{7}=E_{3}}$ et $\mathrm {E_{8}=E_{4}} ,$ il est facile de voir que l’on aura aussi nécessairement $\mathrm {E_{9}=E_{5},\ E_{10}=E_{6}} ,\ldots .$

En effet, puisque $\mathrm {E_{7}=E_{3}}$ et $\mathrm {E_{8}=E_{4}} ,$ on aura, par les formules $(\varkappa ),$ $\varepsilon _{7}=\varepsilon _{3}\,;$ donc, par les formules $(\mu ),$ $\lambda _{8}=\lambda _{4},$ et, par les formules $(\lambda ),$ $\varepsilon _{8}=\varepsilon _{4}\,;$ donc, par les formules $(\varkappa ),$ $\mathrm {E_{9}=E_{5}} ,$ et ainsi de suite. En général, il est évident que, deux termes consécutifs étant donnés, tous les suivants le seront aussi par les formules $(\varkappa ),$ $(\lambda )$ et $(\mu )\,;$ de sorte que, dès que la même combinaison de deux termes consécutifs reviendra après un certain nombre de termes, tous les termes suivants reviendront les mêmes aussi, et par conséquent la série ne sera plus qu’une suite de périodes identiques à la première.

Mais il y a plus : je vais démontrer qu’en supposant les termes consécutifs $\mathrm {E_{7},E_{8}}$ identiques avec les termes $\mathrm {E_{3},E_{4}} ,$ les termes précédents $\mathrm {E_{6},E_{5}} ,\ldots$ seront les mêmes aussi que les termes $\mathrm {E_{2},E_{1}} ,\ldots .$

Pour démontrer cette proposition, il est clair qu’il suffit de faire voir que, lorsque deux termes quelconques consécutifs comme $\mathrm {E_{3},E_{4}}$ sont donnés, tous les précédents le seront aussi. Or, il est visible par les formules $(\varkappa )$ que, $\mathrm {E} _{3}$ et $\mathrm {E} _{4}$ étant donnés, $\varepsilon _{3}$ le sera aussi ; mais on doit avoir $\varepsilon _{2}<{\sqrt {\mathrm {B} }},$ donc par les formules $(\lambda )$ il faudra que $\lambda _{3}\mathrm {E_{3}-\varepsilon _{3}<{\sqrt {B}}} ,$ et par conséquent

$\lambda _{3}<\mathrm {\frac {{\sqrt {B}}+\varepsilon _{3}}{E_{3}}} .$

De même, on doit avoir $\varepsilon _{1}<{\sqrt {\mathrm {B} }},$ donc $\lambda _{2}\mathrm {E} _{2}-\varepsilon _{2}<{\sqrt {\mathrm {B} }},$ et de là

$\lambda _{2}<\mathrm {\frac {{\sqrt {B}}+\varepsilon _{2}}{E_{2}}} \,;$

or, $\lambda _{2}$ devant être un nombre entier positif, il faudra que $\mathrm {E} _{2}$ soit

$<{\sqrt {\mathrm {B} }}+s_{2}\,;$ donc, à cause de

$\mathrm {E_{2}E_{3}=B-\varepsilon _{2}^{2}=\left({\sqrt {B}}+\varepsilon _{2}\right)\left({\sqrt {B}}-\varepsilon _{2}\right)} ,$

il faudra que $\mathrm {E_{3}>{\sqrt {B}}} -\varepsilon _{2},$ savoir $\varepsilon _{2}>\mathrm {{\sqrt {B}}-E_{3}} ,$ et comme $\varepsilon _{2}=\lambda _{3}\mathrm {E} _{3}-\varepsilon _{3},$ il faudra que $(\lambda _{3}+1)\mathrm {E_{3}>{\sqrt {B}}} +\varepsilon _{3},$ d’où

$\lambda _{3}>\mathrm {\frac {{\sqrt {B}}+\varepsilon _{3}}{E_{3}}} -1.$

On trouvera de même, par la considération de la condition $\varepsilon <{\sqrt {\mathrm {B} }},$ ces deux conditions

${\begin{aligned}\lambda _{1}&<\mathrm {\frac {{\sqrt {B}}+\varepsilon _{1}}{E_{1}}} ,\\\lambda _{2}&>\mathrm {\frac {{\sqrt {B}}+\varepsilon _{2}}{E_{2}}} -1.\end{aligned}}$

Ensuite, comme $\mathrm {E}$ est $<{\sqrt {\mathrm {B} }}$ (par hypothèse), on aura à plus forte raison $\mathrm {E<{\sqrt {B}}} +\varepsilon ,$ et par conséquent, en vertu de l’équation

$\mathrm {EE_{1}=B-\varepsilon ^{2}=\left({\sqrt {B}}+\varepsilon \right)\left({\sqrt {B}}-\varepsilon \right)} ,$

$\mathrm {E_{1}>{\sqrt {B}}} -\varepsilon ,$ savoir, à cause de $\varepsilon =\lambda _{1}\mathrm {E} _{1}-\varepsilon _{1},$ $(\lambda _{1}+1)\mathrm {E_{1}>{\sqrt {B}}} +\varepsilon ,$ d’où

$\lambda _{1}>\mathrm {\frac {{\sqrt {B}}+\varepsilon _{1}}{E_{1}}} -1.$

Ainsi l’on aura, en considérant les séries $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3},\ldots ,$ $\varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\varepsilon _{3},\ldots ,$ et $\mathrm {E,E_{1},E_{2},E_{3}} ,\ldots$ à rebours, les conditions suivantes

$(\nu )\qquad \qquad \qquad \left\{{\begin{alignedat}{2}\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\lambda _{3}&<\mathrm {\frac {{\sqrt {B}}+\varepsilon _{3}}{E_{3}}} ,\qquad &\lambda _{3}&>\mathrm {\frac {{\sqrt {B}}-\varepsilon _{3}}{E_{3}}} -1,\\\lambda _{2}&<\mathrm {\frac {{\sqrt {B}}+\varepsilon _{2}}{E_{2}}} ,&\lambda _{2}&>\mathrm {\frac {{\sqrt {B}}+\varepsilon _{2}}{E_{2}}} -1,\\\lambda _{1}&<\mathrm {\frac {{\sqrt {B}}+\varepsilon _{1}}{E_{1}}} ,&\lambda _{1}&>\mathrm {\frac {{\sqrt {B}}+\varepsilon _{1}}{E_{1}}} -1,\end{alignedat}}\right.$

lesquelles étant combinées avec les formules $(\varkappa )$ et $(\lambda )$ serviront à déter-

miner tous les termes de ces mêmes séries, en supposant deux termes consécutifs comme $\mathrm {E_{3},E_{4}}$ donnés. Car $\mathrm {E} _{4}$ et $\mathrm {E} _{3}$ étant donnés, $\varepsilon _{3}$ le sera aussi ; par conséquent $\lambda _{3}$ sera aussi donné, à cause que, $\lambda _{3}$ devant être entier, on ne pourra prendre pour $\lambda _{3}$ que le nombre entier qui sera immédiatement moindre que $\mathrm {\frac {{\sqrt {B}}+\varepsilon _{3}}{E_{3}}} \,;$ ayant ainsi $\lambda _{3},$ on aura $\varepsilon _{2}$ par la formule

$\varepsilon _{3}=\lambda _{3}\mathrm {E} _{3}-\varepsilon _{2},\quad {\text{savoir}}\quad \varepsilon _{2}=\lambda _{3}\mathrm {E} _{3}-\varepsilon _{3},$

et ensuite $\mathrm {E} _{2}$ par l’équation

$\mathrm {E_{2}E_{3}=B} -\varepsilon _{2}^{2}\,;$

or, $\mathrm {E} _{2}$ et $\varepsilon _{2}$ étant donnés, $\lambda _{2}$ le sera aussi, parce que l’on ne pourra prendre pour $\lambda _{2}$ que le nombre entier qui sera immédiatement moindre que $\mathrm {\frac {{\sqrt {B}}+\varepsilon _{2}}{E_{2}}} ,$ et ainsi de suite.

Il résulte de là que, dans la suite $\mathrm {E,E_{1},E_{2},E_{3},E_{4}} ,\ldots ,$ une combinaison quelconque de deux termes consécutifs comme $\mathrm {E_{3},E_{4}}$ ne peut revenir, que toutes les combinaisons précédentes $\mathrm {E_{2},E_{3},E_{1},E_{2}} ,\ldots$ ne soient déjà revenues, de sorte que la première combinaison $\mathrm {E,E_{1}}$ devra nécessairement être aussi la première à revenir. Donc, puisqu’il est absolument nécessaire qu’une combinaison quelconque revienne, à cause du nombre limité des valeurs que peuvent avoir les nombres $\mathrm {E,E_{1},E_{2}} ,\ldots ,$ comme nous l’avons observé dans le numéro précédent, il est évident que la première combinaison $\mathrm {E,E_{1}}$ devra revenir nécessairement, aussitôt que toutes les autres combinaisons possibles seront épuisées, et alors toute la série devra aussi revenir la même par le numéro précédent ; de sorte qu’après la première période, le reste de la série, quelque loin qu’elle soit poussée, ne sera plus composé que d’une suite de périodes identiques à la première.

Ainsi, par exemple, si l’on trouve $\mathrm {E_{5}=E}$ et $\mathrm {E_{6}=E_{1}} ,$ la série sera de cette forme

$\mathrm {E,E_{1},E_{2},E_{3},E_{4},\quad E,E_{1},E_{2},E_{3},E_{4},\quad E,E_{1},E_{2},E_{3},E_{4}} ,\ldots$

à l’infini ; de sorte que les tenues qui ne se trouveront point dans la première période $\mathrm {E,E_{1},E_{2},E_{3},E_{4}}$ ne se trouveront pas non plus dans tout le reste de la série continuée même à l’infini.

36. Donc, pour pouvoir résoudre l’équation

$\pm \mathrm {E} =r^{2}-\mathrm {B} s^{2},$

il ne s’agira que de continuer la série $\mathrm {E,E_{1},E_{2},E_{3}} ,\ldots$ jusqu’à ce que les deux premiers termes reparaissent dans le même ordre, ce qui arrivera nécessairement avant qu’aucune autre couple de deux termes consécutifs puisse reparaître ; et si dans cette première période de la série il ne se trouve aucun terme égal à l’unité, on en devra conclure que cette équation n’admet point de solution en nombres entiers.

Mais si l’on trouve dans la première période un terme comme $\mathrm {E} _{m}=1,$ alors ce terme donnera d’abord une solution de l’équation proposée (34), pourvu que le quantième $m$ soit pair ou impair suivant que dans cette équation on prendra le signe supérieur ou l’inférieur. Si l’exposant $m$ du rang n’est pas tel, alors on continuera la série, et comme le terme $1$ doit reparaître dans les périodes suivantes, on verra s’il se trouve avec un exposant qui ait les conditions requises ; et alors ce nouveau terme donnera de même une solution de l’équation dont il s’agit ; ensuite, en continuant toujours la série, on pourra retrouver ce même terme autant de fois qu’on voudra, et par conséquent en tirer encore d’autres solutions à l’infini.

D’où l’on voit que si l’équation

$\pm \mathrm {E} =r^{2}-\mathrm {B} s^{2}$

admet une solution quelconque en nombres entiers, il faut aussi qu’elle en admette une infinité d’autres.

37. On a vu (33) que les séries $\mathrm {E,E_{1},E_{2}} ,\ldots ,$ $\varepsilon ,\varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\ldots$ et $\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots$ sont entièrement déterminées par les deux termes $\mathrm {E}$ et $\mathrm {E} _{1},$ parce que, $\mathrm {E}$ et $\mathrm {E} _{1}$ étant donnés, $\varepsilon$ l’est aussi, et ainsi des autres ; d’où il s’ensuit que lorsque la série $\mathrm {E,E_{1},E_{2}} ,\ldots$ recommence, les deux autres doivent recommencer aussi.

Supposons donc que dans la série $\mathrm {E,E_{1},E_{2}} ,\ldots$ le terme $\mathrm {E} _{\mu }$ soit égal à $\mathrm {E}$ et le terme suivant $\mathrm {E} _{\mu +1}\,;$ égal à $\mathrm {E} _{1}\,;$ alors on aura en général (35) $\mathrm {E_{\mu +\nu }=E_{\nu }} ,$ et par conséquent $\mathrm {E_{2\mu }=E_{\mu }=E} ,$ $\mathrm {E_{2\mu +\nu }=E_{\nu }} ,\ldots \,;$ donc aussi

$\mathrm {E_{n\mu +\nu }=E_{\nu }} ,$

$n$ étant un nombre quelconque positif et entier.

De même on aura $\varepsilon _{\mu +\nu }=\varepsilon _{\nu },$ et en général

$\varepsilon _{n\mu +\nu }=\varepsilon _{\nu },$

et pareillement $\lambda _{\mu +\nu }=\lambda _{\nu },$ et en général

$\lambda _{n\mu +\nu }=\lambda _{\nu }\,;$

ainsi, connaissant les termes $\mathrm {E,E_{1},E_{2}} ,\ldots ,\mathrm {E} _{\mu -1},$ $\varepsilon ,\varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\ldots ,\varepsilon _{\mu -1}$ et $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\ldots ,\lambda _{\mu },$ on connaîtra tous les termes suivants à l’infini.

Soit maintenant $\mathrm {E} _{m}=1,$ $m$ étant $<\mu \,;$ on aura donc aussi $\mathrm {E} _{\mu +m}=1,$$\mathrm {E} _{2\mu +m}=1,\ldots ,$ et, en général

$\mathrm {E} _{n\mu +m}=1\,;$

donc, si le quantième $n\mu +m$ est pair ou impair suivant que dans l’équation

$\pm \mathrm {E} =r^{2}-\mathrm {B} s^{2}$

on aura le signe supérieur ou l’inférieur, on pourra faire, comme dans le n^o 34 (en mettant $n\mu +m$ à la place de $m$),

${\begin{alignedat}{2}r_{n\mu +m}=&1,&s_{n\mu +m}=&1,\\r_{n\mu +m-1}=&\varepsilon _{n\mu +m-1}1,\qquad &s_{n\mu +m-1}=&1,\end{alignedat}}$

d’où, en rétrogradant, on trouvera $r$ et $s$ par les formules $(\zeta ),$ et il est clair que ces valeurs seront toujours d’autant plus grandes que $n$ sera un plus grand nombre ; de sorte que pour avoir les plus petites valeurs possibles de $r$ et $s,$ il faudra prendre $n$ le plus petit possible ; ensuite, en

augmentant successivement $n,$ on aura par ordre toutes les autres valeurs de $r$ et $s$ qui peuvent satisfaire à l’équation dont il s’agit, à moins que dans la première période, $\mathrm {E,E_{1},E_{2},\ldots ,E_{\mu -1}} ,$ il ne se trouve plus d’un terme $\mathrm {E} _{m}$ égal à l’unité, auquel cas il faudra faire successivement $m$ égal à l’exposant du quantième de ces termes.

Donc, puisque $n\mu +m$ doit toujours être pair ou impair suivant que dans l’équation

$\pm \mathrm {E} =r^{2}-\mathrm {B} s^{2}$

on veut prendre le signe supérieur ou l’inférieur, il s’ensuit :

1^o Que, si l’équation est

$\mathrm {E} =r^{2}-\mathrm {B} s^{2},$

elle ne sera pas soluble en nombres entiers, à moins que l’on n’ait $m$ pair ou $m$ et $\mu$ impairs à la fois ; car il est évident que $n\mu +m$ ne peut être pair, que $n\mu$ et $m$ ne soient tous deux pairs ou impairs. Si $m$ est pair et que $\mu$ le soit aussi, alors $n$ pourra être un nombre quelconque entier positif ; mais si $m$ étant pair $\mu$ est impair, alors il faudra que $n$ soit pair, de sorte qu’on ne pourra prendre pour $n$ que des nombres positifs pairs. Mais si $m$ est impair, alors il faudra que $n\mu$ soit aussi impair, et par conséquent que $\mu$ et $n$ soient tous deux impairs ; ainsi $m$ et $\mu$ étant impairs en même temps, on ne pourra prendre pour $n$ que des nombres quelconques positifs impairs.

2^o Que, si l’équation est

$-\mathrm {E} =r^{2}-\mathrm {B} s^{2},$

alors elle ne sera pas résoluble, à moins que $m$ ne soit impair, ou que $m$ ne soit pair et $\mu$ impair. Car, puisque $n\mu +m$ doit être impair dans ce cas, il faudra nécessairement que $n\mu$ et $m$ soient l’un pair et l’autre impair. Donc, si $m$ est impair, il faudra que $n\mu$ soit pair ; par conséquent, si $\mu$ est pair, on pourra prendre pour $n$ des nombres quelconques entiers positifs ; et si $\mu$ est impair, il ne faudra prendre pour $n$ que des nombres positifs pairs. Mais si $m$ est pair, alors il faudra que $n\mu$ soit impair ; par

conséquent il faudra que $n$ et $\mu$ le soient aussi chacun en particulier ; de sorte que, $m$ étant pair et $\mu$ impair, le Problème sera résoluble, pourvu qu’on ne prenne pour $n$ que des nombres quelconques pairs positifs.

38. Nous avons vu (30 et 31 ) que $rr_{1}-\mathrm {B} ss_{1}=\mp \varepsilon$ et $rs_{1}-sr_{1}=\pm 1\,;$ donc on aura

$\mp \left(\varepsilon +{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)=\left(r+s{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)\left(r_{1}-s_{1}{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)\,;$

de même, à cause de $r_{1}r_{2}-\mathrm {B} s_{1}s_{2}=\pm \varepsilon _{1}$ et $r_{1}s_{2}-s_{1}r_{2}=\mp 1,$ on aura

$\pm \left(\varepsilon _{1}+{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)=\left(r_{1}+s_{1}{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)\left(r_{2}-s_{2}{\sqrt {\mathrm {B} }}\right),$

et pareillement

${\begin{aligned}\mp \left(\varepsilon _{2}+{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)=&\left(r_{2}+s_{2}{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)\left(r_{3}-s_{3}{\sqrt {\mathrm {B} }}\right),\\\pm \left(\varepsilon _{3}+{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)=&\left(r_{3}+s_{3}{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)\left(r_{4}-s_{4}{\sqrt {\mathrm {B} }}\right),\end{aligned}}$

et ainsi de suite.

Donc, multipliant ces équations successivement entre elles, et faisant attention que

${\begin{aligned}\left(r_{1}-s_{1}{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)\left(r_{1}+s_{1}{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)=&r_{1}^{2}-\mathrm {B} s_{1}^{2}=\mp \mathrm {E} _{1},\\\left(r_{2}-s_{2}{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)\left(r_{2}+s_{2}{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)=&r_{2}^{2}-\mathrm {B} s_{2}^{2}=\pm \mathrm {E} _{2},\end{aligned}}$

et ainsi des autres, on aura

$\mathrm {\left(\varepsilon +{\sqrt {B}}\right)\left(\varepsilon _{1}+{\sqrt {B}}\right)=\pm E_{1}} \left(r+s{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)\left(r_{2}-s_{2}{\sqrt {\mathrm {B} }}\right),$

$\mathrm {\left(\varepsilon +{\sqrt {B}}\right)\left(\varepsilon _{1}+{\sqrt {B}}\right)\left(\varepsilon _{2}+{\sqrt {B}}\right)=\mp E_{1}E_{2}} \left(r+s{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)\left(r_{3}-s_{3}{\sqrt {\mathrm {B} }}\right),$

$\mathrm {\left(\varepsilon +{\sqrt {B}}\right)\left(\varepsilon _{1}+{\sqrt {B}}\right)\left(\varepsilon _{2}+{\sqrt {B}}\right)\left(\varepsilon _{3}+{\sqrt {B}}\right)}$

$=\pm \mathrm {E_{1}E_{2}E_{3}} \left(r+s{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)\left(r_{4}-s_{4}{\sqrt {\mathrm {B} }}\right),$

et en général

$\mathrm {\left(\varepsilon +{\sqrt {B}}\right)\left(\varepsilon _{1}+{\sqrt {B}}\right)\left(\varepsilon _{2}+{\sqrt {B}}\right)\ldots \left(\varepsilon _{u-1}+{\sqrt {B}}\right)}$

$=\pm \mathrm {E_{1}E_{2}E_{3}\ldots E_{u-1}} \left(r+s{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)\left(r_{u}-s_{u}{\sqrt {\mathrm {B} }}\right),$

les signes ambigus devant être les mêmes que dans l’équation

$\pm \mathrm {E} =r^{2}-\mathrm {B} s^{2}$

lorsque $u$ est pair, et différents lorsque $u$ est impair.

Supposons maintenant $u=n\mu +m,$ et l’on aura (37) $r_{u}=1,\ s_{u}=0,$ pourvu que $n\mu +m$ soit pair ou impair, suivant que le signe supérieur ou l’inférieur aura lieu dans l’équation $\pm \mathrm {E} =r^{2}-\mathrm {B} s^{2}\,;$ donc la formule précédente deviendra, en conservant $u$ à la place de $n\mu +m$ pour plus de simplicité,

$\mathrm {\left(\varepsilon +{\sqrt {B}}\right)\left(\varepsilon _{1}+{\sqrt {B}}\right)\left(\varepsilon _{2}+{\sqrt {B}}\right)\ldots \left(\varepsilon _{u-1}+{\sqrt {B}}\right)}$

$=\mathrm {E_{1}E_{2}E_{3}\ldots E} _{u-1}\left(r+s{\sqrt {\mathrm {B} }}\right),$

équation d’où, à cause de l’ambiguïté naturelle du signe du radical ${\sqrt {\mathrm {B} }},$ on pourra tirer $r$ et $s.$

Maintenant, puisque $u=n\mu +m$ et que nous avons vu (37) que l’on a en général $\mathrm {E} _{n\mu +\nu }=\mathrm {E} _{\nu }$ et $\varepsilon _{n\mu +\nu }=\varepsilon _{\nu },$ il est facile de voir que l’équation précédente peut se ramener à celle-ci

${\begin{aligned}&\left[\left(\varepsilon +{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)\left(\varepsilon _{1}+{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)\left(\varepsilon _{2}+{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)\ldots \left(\varepsilon _{m-1}+{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)\right]\\\times &\mathrm {\left[\left(\varepsilon +{\sqrt {B}}\right)\left(\varepsilon _{1}+{\sqrt {B}}\right)\left(\varepsilon _{2}+{\sqrt {B}}\right)\ldots \left(\varepsilon _{\mu -1}+{\sqrt {B}}\right)\right]} ^{n}\\&\qquad =\mathrm {E_{1}E_{2}E_{3}\ldots E} _{m-1}\mathrm {\left(EE_{1}E_{2}\ldots E_{\mu -1}\right)} ^{n}\left(r+s{\sqrt {\mathrm {B} }}\right).\end{aligned}}$

De sorte que si l’on fait, pour abréger,

${\begin{aligned}{\frac {\left(\varepsilon +{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)\left(\varepsilon _{1}+{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)\left(\varepsilon _{2}+{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)\ldots \left(\varepsilon _{m-1}+{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)}{\mathrm {E_{1}E_{2}E_{3}\ldots E} _{m-1}}}=&\mathrm {R+S{\sqrt {B}}} ,\\\mathrm {\frac {\left(\varepsilon +{\sqrt {B}}\right)\left(\varepsilon _{1}+{\sqrt {B}}\right)\left(\varepsilon _{2}+{\sqrt {B}}\right)\ldots \left(\varepsilon _{\mu -1}+{\sqrt {B}}\right)}{EE_{1}E_{2}\ldots E_{\mu -1}}} =&\mathrm {X+Y{\sqrt {B}}} \end{aligned}}$

(car il est évident qu’en développant les produits continuels de $\varepsilon +{\sqrt {\mathrm {B} }},\ \varepsilon _{1}+{\sqrt {\mathrm {B} }},\ldots ,$ on doit avoir des quantités composées d’une partie toute rationnelle et d’une autre partie toute multipliée par ${\sqrt {\mathrm {B} }}$ ), on aura

$\mathrm {\left(R+S{\sqrt {B}}\right)\left(X+Y{\sqrt {B}}\right)} ^{n}=r+s{\sqrt {\mathrm {B} }}.$

Et si l’on fait de plus

$\mathrm {\left(X+Y{\sqrt {B}}\right)} ^{n}=\xi +\psi {\sqrt {\mathrm {B} }},$

ce qui donne, en général, à cause de l’ambiguïté de ${\sqrt {\mathrm {B} }},$

${\begin{aligned}\xi =&{\frac {\mathrm {\left(X+Y{\sqrt {B}}\right)} ^{n}+\mathrm {\left(X-Y{\sqrt {B}}\right)} ^{n}}{2}},\\\psi =&{\frac {\mathrm {\left(X+Y{\sqrt {B}}\right)} ^{n}-\mathrm {\left(X-Y{\sqrt {B}}\right)} ^{n}}{2{\sqrt {\mathrm {B} }}}},\end{aligned}}$

on aura

$\mathrm {\left(R+S{\sqrt {B}}\right)} \left(\xi +\psi {\sqrt {\mathrm {B} }}\right)=r+s{\sqrt {\mathrm {B} }},$

savoir

$\mathrm {R\xi +BS\psi +(R\psi +S\xi ){\sqrt {B}}} =r+s{\sqrt {\mathrm {B} }},$

d’où, en comparant la partie rationnelle avec la rationnelle et l’irrationnelle avec l’irrationnelle, on aura enfin

$r=\mathrm {R\xi +BS\psi } ,\quad s=\mathrm {R\psi +S\xi } .$

C’est l’expression générale des nombres $r$ et $s$ qui peuvent satisfaire à l’équation

$\pm \mathrm {E} =r^{2}-\mathrm {B} s^{2}.$

Si l’on voulait avoir aussi les expressions de $r_{1}$ et $s_{1}$ dans l’équation suivante

$\mp \mathrm {E} _{1}=r_{1}^{2}-\mathrm {B} s_{1}^{2},$

il n’y aurait qu’à remarquer que, puisqu’on a trouvé ci-dessus

$\mp \left(\varepsilon +{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)=\left(r+s{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)\left(r_{1}-s_{1}{\sqrt {\mathrm {B} }}\right),$

on aura

$\mp \left(\varepsilon +{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)\left(r_{1}+s_{1}{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)=\left(r+s{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)\left(r_{1}^{2}-\mathrm {B} s_{1}^{2}\right)=\mp \mathrm {E} _{1}\left(r+s{\sqrt {\mathrm {B} }}\right),$

d’où

$r_{1}+s_{1}{\sqrt {\mathrm {B} }}=\mathrm {\frac {E_{1}}{\varepsilon +{\sqrt {B}}}} \left(r+s{\sqrt {\mathrm {B} }}\right).$

Donc, si l’on fait

${\frac {\left(\varepsilon _{1}+{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)\left(\varepsilon _{2}+{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)\ldots \left(\varepsilon _{m-1}+{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)}{\mathrm {E_{2}E_{3}\ldots E} _{m-1}}}=\mathrm {R_{1}+S_{1}{\sqrt {B}}} ,$

on trouvera comme ci-dessus

$\mathrm {\left(R_{1}+S_{1}{\sqrt {B}}\right)} \left(\xi +\psi {\sqrt {\mathrm {B} }}\right)=r_{1}+s_{1}{\sqrt {\mathrm {B} }},$

d’où

$r_{1}=\mathrm {R_{1}\xi +BS_{1}} \psi ,\quad s_{1}=\mathrm {R_{1}\psi +S_{1}} \xi$

Ces valeurs serviront (29) à trouver celles de $\rho$ et $\sigma$ dans l’équation

$\mp \mathrm {D} =\rho ^{2}-\mathrm {B} \sigma ^{2},$

comme nous le ferons voir ci-après (43).

39. Quoiqu’il soit facile de trouver les valeurs de $\mathrm {R,S,X}$ et $\mathrm {Y}$ par le développement des produits de $\left(\varepsilon +{\sqrt {\mathrm {B} }}\right),\ \left(\varepsilon _{1}+{\sqrt {\mathrm {B} }}\right),\ldots ,$ voici une manière beaucoup plus simple et plus commode d’y parvenir.

On a, par les formules $(\lambda )$ du n^o 31,

$\varepsilon =\lambda _{1}\mathrm {E} _{1}-\varepsilon _{1},$

donc

$\varepsilon +\mathrm {{\sqrt {B}}=\lambda _{1}E_{1}+{\sqrt {B}}} -\varepsilon _{1}\,;$

donc

${\begin{aligned}\mathrm {\left(\varepsilon +{\sqrt {B}}\right)\left(\varepsilon _{1}+{\sqrt {B}}\right)} =&\mathrm {\lambda _{1}E_{1}\left(\varepsilon _{1}+{\sqrt {B}}\right)+B-\varepsilon _{1}^{2}} \\&\mathrm {=\lambda _{1}E_{1}\left(\varepsilon _{1}+{\sqrt {B}}\right)+E_{1}E_{2}} ,\end{aligned}}$

à cause de $\mathrm {B-\varepsilon _{1}^{2}=E_{1}E_{2}} \,;$ savoir, en divisant par $\mathrm {E} _{1},$

$\mathrm {{\frac {\left(\varepsilon +{\sqrt {B}}\right)\left(\varepsilon _{1}+{\sqrt {B}}\right)}{E_{1}}}=E_{2}+\lambda _{1}\left(\varepsilon _{1}+{\sqrt {B}}\right)} .$

De même, à cause de

$\varepsilon _{1}=\lambda _{2}\mathrm {E} _{2}-\varepsilon _{2},$

on aura

$\mathrm {E_{2}+\lambda _{1}\left(\varepsilon _{1}+{\sqrt {B}}\right)=\left(\lambda _{2}\lambda _{1}+1\right)E_{2}+\lambda _{1}\left({\sqrt {B}}-\varepsilon _{2}\right)} \,;$

donc, multipliant par $\varepsilon _{2}+{\sqrt {\mathrm {B} }},$ mettant $\mathrm {E_{2}E_{3}}$ à la place de $\mathrm {B} -\varepsilon _{2}^{2}$ et divisant ensuite par $\mathrm {E} _{2},$ on aura

$\mathrm {{\frac {\left(\varepsilon +{\sqrt {B}}\right)\left(\varepsilon _{1}+{\sqrt {B}}\right)\left(\varepsilon _{2}+{\sqrt {B}}\right)}{E_{1}E_{2}}}=\lambda _{1}E_{3}+\left(\lambda _{2}\lambda _{1}+1\right)\left(\varepsilon _{2}+{\sqrt {B}}\right)} .$

Substituant de nouveau $\lambda _{3}\mathrm {E} _{3}-\varepsilon _{3}$ à la place de $\varepsilon _{2},$ multipliant ensuite par $\varepsilon _{3}+{\sqrt {\mathrm {B} }}$ et divisant par $\mathrm {E} _{3},$ après avoir mis $\mathrm {E_{3}E_{4}}$ pour $\mathrm {B} -\varepsilon _{3}^{2},$ on aura

$\mathrm {\frac {\left(\varepsilon +{\sqrt {B}}\right)\left(\varepsilon _{1}+{\sqrt {B}}\right)\left(\varepsilon _{2}+{\sqrt {B}}\right)\left(\varepsilon _{3}+{\sqrt {B}}\right)}{E_{1}E_{2}E_{3}}}$

$=\left(\lambda _{2}\lambda _{1}+1\right)\mathrm {E} _{4}+\left[\lambda _{3}\left(\lambda _{2}\lambda _{1}+1\right)+\lambda _{1}\right]\left(\varepsilon _{3}+{\sqrt {\mathrm {B} }}\right),$

et ainsi de suite.

D’où il est facile de conclure que, si l’on forme la série suivante

$(\varpi )\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left\{{\begin{aligned}l\ \ &=1,\\l_{1}&=\lambda _{1}l,\\l_{2}&=\lambda _{2}l_{1}+l,\\l_{3}&=\lambda _{3}l_{2}+l_{1},\\l_{4}&=\lambda _{4}l_{3}+l_{2},\\l_{5}&=\lambda _{5}l_{4}+l_{3},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}\right.$

on aura en général

$\mathrm {\frac {\left(\varepsilon +{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)\left(\varepsilon _{1}+{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)\left(\varepsilon _{2}+{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)\ldots \left(\varepsilon _{\rho }+{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)}{\mathrm {E} _{1}\mathrm {E} _{2}\mathrm {E} _{3}\ldots \mathrm {E} _{\rho }}} =l_{\rho -1}\mathrm {E} _{\rho +1}+l_{\rho }\left(\varepsilon _{\rho }+{\sqrt {\mathrm {B} }}\right).$

40. Donc, puisqu’on a, par les formules du n^o 38,

$\mathrm {R+S{\sqrt {B}}} ={\frac {\left(\varepsilon +{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)\left(\varepsilon _{1}+{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)\ldots \left(\varepsilon _{m-1}+{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)}{\mathrm {E} _{1}\mathrm {E} _{2}\ldots \mathrm {E} _{m-1}}},$

si l’on fait dans la dernière formule du numéro précédent $\rho =m-1,$ on aura

$\mathrm {R+S{\sqrt {B}}} =l_{m-2}\mathrm {E} _{m}+l_{m-1}\left(\varepsilon _{m-1}+{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)\,;$

mais on a, par l’hypothèse (37), $\mathrm {E} _{m}=1\,;$ de plus, on a vu (35) que les quantités $\mathrm {E_{1},E_{2}} ,\ldots ,$ doivent être telles, que l’on ait $\mathrm {E} _{1}>{\sqrt {\mathrm {B} }}-\varepsilon ,$ $\mathrm {E} _{2}>{\sqrt {\mathrm {B} }}-\varepsilon _{1},\ldots ,$ de sorte qu’il faudra aussi qu’on ait

$\mathrm {E} _{m}=1>{\sqrt {\mathrm {B} }}-\varepsilon _{m-1},$

et par conséquent

$\varepsilon _{m-1}>{\sqrt {\mathrm {B} }}-1\,;$

donc, puisque $\varepsilon _{m-1}$ doit être en même temps un nombre entier positif $<{\sqrt {\mathrm {B} }}$ (32), il est clair qu’on ne peut prendre pour $\varepsilon _{m-1}$ que le nombre entier qui est immédiatement moindre que ${\sqrt {\mathrm {B} }}.$

Donc, si l’on dénote ce nombre par $\beta ,$ en sorte que $\beta$ soit la racine carrée approchée de $\mathrm {B} ,$ on aura $\varepsilon _{m-1}=\beta ,$ et par conséquent

$\mathrm {R+S{\sqrt {B}}} =l_{m-2}+l_{m-1}\left(\beta +{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)\,;$

donc

$\mathrm {R} =\beta l_{m-1}+l_{m-2},\quad \mathrm {S} =l_{m-1}.$

Ainsi l’on connaîtra aisément $\mathrm {R}$ et $\mathrm {S}$ par le moyen des formules $(\varpi ).$ Il y a cependant deux cas qui paraissent devoir souffrir quelque exception ; l’un est celui où $m=0$ et l’autre celui où $m=1\,;$ en effet, dans ces cas on aurait des exposants de $l$ négatifs, ce qui n’a point lieu dans les formules $(\varpi )$ du numéro précédent.

Or : 1^o si $m=0,$ ce qui arrive lorsque $\mathrm {E} =1,$ on aura, dans les formules du n^o 38, $u=n\mu ,$ et l’on trouvera simplement l’équation

$\mathrm {\left[\left(\varepsilon +{\sqrt {B}}\right)\left(\varepsilon _{1}+{\sqrt {B}}\right)\left(\varepsilon _{2}+{\sqrt {B}}\right)\ldots \left(\varepsilon _{\mu -1}+{\sqrt {B}}\right)\right]} ^{n}$

$=\mathrm {\left(EE_{1}E_{1}\ldots E_{\mu -1}\right)} ^{n}\left(r+s{\sqrt {\mathrm {B} }}\right),$

savoir

$\mathrm {\left(X+Y{\sqrt {B}}\right)} ^{n}=r+s{\sqrt {\mathrm {B} }},$

laquelle, étant comparée à l’équation générale

$\mathrm {\left(R+S{\sqrt {B}}\right)} \mathrm {\left(X+Y{\sqrt {B}}\right)} ^{n}=r+s{\sqrt {\mathrm {B} }},$

donne $\mathrm {R+S{\sqrt {B}}} =1,$ et par conséquent $\mathrm {R=1,\ S} =0.$ Ainsi l’on aura d’abord dans ce cas $r=\xi$ et $s=\psi$ (38).

2^o Si $m=1,$ ce qui arrivera lorsque $\mathrm {E} _{1}=1,$ il est clair que la formule générale

${\frac {\left(\varepsilon +{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)\left(\varepsilon _{1}+{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)\ldots \left(\varepsilon _{m-1}+{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)}{\mathrm {E_{1}E_{2}} \ldots \mathrm {E} _{m-1}}}=\mathrm {R+S{\sqrt {B}}}$

se réduira à celle-ci

$\varepsilon +{\sqrt {\mathrm {B} }}=\mathrm {R+S{\sqrt {B}}} ,$

d’où l’on aura $\mathrm {R} =\varepsilon$ et $\mathrm {S} =1\,;$ et comme $\varepsilon =\varepsilon _{m-1}=\beta ,$ on aura dans ce cas $\mathrm {R} =\beta$ et $\mathrm {S} =1.$

41. Faisons maintenant $\rho =\mu -1,$ et l’on aura par les formules des n^os 38 et 39

$\mathrm {X+Y{\sqrt {B}}} ={\frac {l_{\mu -2}\mathrm {E} _{\mu }+l_{\mu -1}\left(\varepsilon _{\mu -1}+{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)}{\mathrm {E} }}.$

Or on a, par les formules $(\lambda ),$

$\varepsilon _{\mu -1}=\lambda _{\mu }\mathrm {E} _{\mu }-\varepsilon _{\mu }\,;$

donc, à cause de $\mathrm {E_{\mu }=E} ,\ \varepsilon _{\mu }=\varepsilon$ (37) et $l_{\mu }=\lambda _{\mu }l_{\mu -1}+l_{\mu -2}$ par les formules $(\varpi ),$ on aura

$\mathrm {X+Y{\sqrt {B}}} =l_{\mu }+{\frac {l_{\mu -1}\left({\sqrt {\mathrm {B} }}-\varepsilon \right)}{\mathrm {E} }},$

d’où

$\mathrm {X} =l_{\mu }-{\frac {\varepsilon l_{\mu -1}}{\mathrm {E} }},\quad \mathrm {Y} ={\frac {l_{\mu -1}}{\mathrm {E} }}.$

Or, quoique ces expressions de $\mathrm {X}$ et de $\mathrm {Y}$ soient sous une forme fractionnaire, on peut néanmoins être assuré qu’elles donneront toujours des nombres entiers ; autrement, les nombres $p$ et $q$ ne seraient pas toujours entiers, ce qui est contre la nature de nos formules.

Mais, pour ne laisser aucun doute là-dessus, je vais donner d’autres expressions de $\mathrm {X}$ et de $\mathrm {Y} ,$ où il n’y aura point de fractions.

Pour cela, j’observe (37) qu’à cause de

$\mathrm {E_{\mu }=E,\quad E_{\mu +1}=E_{1}} ,\quad \ldots ,\quad \varepsilon _{\mu }=\varepsilon ,\quad \varepsilon _{\mu +1}=\varepsilon _{1},$

la quantité

$\mathrm {\frac {\left(\varepsilon +{\sqrt {B}}\right)\left(\varepsilon _{1}+{\sqrt {B}}\right)\left(\varepsilon _{2}+{\sqrt {B}}\right)\ldots \left(\varepsilon _{\mu -1}+{\sqrt {B}}\right)}{EE_{1}E_{2}\ldots E_{\mu -1}}}$

peut se mettre aussi sous cette forme

${\frac {\left(\varepsilon _{m}+{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)\left(\varepsilon _{m+1}+{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)\left(\varepsilon _{m+2}+{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)\ldots \left(\varepsilon _{m+\mu -1}+{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)}{\mathrm {E} _{m}\mathrm {E} _{m+1}\mathrm {E} _{m+2}\ldots \mathrm {E} _{m+\mu -1}}},$

et l’on prouvera d’une manière semblable à celle du n^o 39 que l’on aura

${\frac {\left(\varepsilon _{m}+{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)\left(\varepsilon _{m+1}+{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)}{\mathrm {E} _{m+1}}}=\mathrm {E} _{m+2}+\lambda _{m+1}\left(\varepsilon _{m+1}+{\sqrt {\mathrm {B} }}\right),$

${\frac {\left(\varepsilon _{m}+{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)\left(\varepsilon _{m+1}+{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)\left(\varepsilon _{m+2}+{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)}{\mathrm {E} _{m+1}\mathrm {E} _{m+2}}}$

$=\lambda _{m+1}\mathrm {E} _{m+3}+\left(\lambda _{m+2}\lambda _{m+1}+1\right)\left(\varepsilon _{m+2}+{\sqrt {\mathrm {B} }}\right),$

et ainsi de suite ; de sorte que si l’on considère la série

$\lambda _{m+1},\quad \lambda _{m+2},\quad \lambda _{m+3},\ldots ,\quad \lambda _{m+\mu },$

laquelle, à cause de $\lambda _{\mu +1}=\lambda _{1},\ \lambda _{\mu +2}=\lambda _{2},\ldots ,$ revient à celle-ci

$\lambda _{m+1},\quad \lambda _{m+2},\quad \lambda _{m+3},\ldots ,\quad \lambda _{\mu },\quad \lambda _{1},\quad \lambda _{2},\quad \lambda _{3},\ldots ,\quad \lambda _{m},$

et qu’on la représente, pour plus de simplicité, ainsi

$\Lambda _{1},\Lambda _{2},\Lambda _{3},\ldots ,\Lambda _{\mu },$

qu’ensuite on forme par son moyen la série suivante

$(\rho )\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \left\{{\begin{aligned}\mathrm {L} \ \ &=1,\\\mathrm {L} _{1}&=\Lambda _{1}\mathrm {L} ,\\\mathrm {L} _{2}&=\Lambda _{2}\mathrm {L_{1}+L} ,\\\mathrm {L} _{3}&=\Lambda _{3}\mathrm {L_{2}+L_{1}} ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}\right.$

on aura

$\mathrm {X+Y{\sqrt {B}}} ={\frac {\mathrm {L} _{\mu -2}\mathrm {E} _{m+\mu }+\mathrm {L} _{\mu -1}\left(\varepsilon _{m+\mu -1}+{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)}{\mathrm {E} _{m}}}.$

Mais

$\mathrm {E} _{m}=1,\quad \mathrm {E} _{m+\mu }=\mathrm {E} _{m}=1,\quad \varepsilon _{m+\mu -1}=\varepsilon _{\mu -1}=\beta ,$

donc

$\mathrm {X+Y{\sqrt {B}}} =\mathrm {L} _{\mu -2}+\mathrm {L} _{\mu -1}\left(\beta +{\sqrt {\mathrm {B} }}\right),$

d’où

$\mathrm {X=\beta L_{\mu -1}+L_{\mu -2},\quad Y=L_{\mu -1}} .$

Il est bon de remarquer que les quantités $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ ne dépendent que de la valeur de $\mathrm {B}$ et nullement de celle de $\mathrm {E} ,$ de sorte que, ces quantités étant une fois trouvées, elles serviront pour résoudre toutes les équations de la forme

$\pm \mathrm {E} =r^{2}-\mathrm {B} s^{2},$

où la valeur de $\mathrm {B}$ sera la même.

En effet, si l’on considère l’équation

$\pm \mathrm {E_{m-1}E_{m}=B} -\varepsilon _{m-1}^{2},$

qui est une des équations $(\varkappa )$ du n^o 31, on aura (à cause de $\mathrm {E} _{m}=1$ et $\varepsilon _{m-1}=\beta$)

$\pm \mathrm {E_{m-1}=B} -\beta ^{2},$

de sorte que $\mathrm {E} _{m}$ et $\mathrm {E} _{m-1}$ seront donnés indépendamment de la valeur de $\mathrm {E} \,;$ donc, si l’on forme par la méthode du n^o 33 les suites $\mathrm {E} _{m},\mathrm {E} _{m+1},\mathrm {E} _{m+2},\ldots$ et $\varepsilon _{m},\varepsilon _{m+1},\varepsilon _{m+2},\ldots ,$ ces suites seront aussi toutes données (35) ; donc la quantité

${\frac {\left(\varepsilon _{m}+{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)\left(\varepsilon _{m+1}+{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)\left(\varepsilon _{m+2}+{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)\ldots \left(\varepsilon _{m+\mu -1}+{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)}{\mathrm {E} _{m}\mathrm {E} _{m+1}\mathrm {E} _{m+2}\ldots \mathrm {E} _{m+\mu -1}}}$

sera aussi donnée ; donc $\mathrm {X+Y{\sqrt {B}}}$ sera donné, par conséquent $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ le seront aussi.

Maintenant, je dis que les quantités $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ sont telles que

$\mathrm {X^{2}-BY^{2}} =\pm 1.$

Car on a (38)

$\mathrm {X+Y{\sqrt {B}}} =\mathrm {\frac {\left(\varepsilon +{\sqrt {B}}\right)\left(\varepsilon _{1}+{\sqrt {B}}\right)\left(\varepsilon _{2}+{\sqrt {B}}\right)\ldots \left(\varepsilon _{\mu -1}+{\sqrt {B}}\right)}{EE_{1}E_{2}\ldots E_{\mu -1}}} \,;$

donc, prenant le radical ${\sqrt {\mathrm {B} }}$ en $-,$ on aura aussi

$\mathrm {X-Y{\sqrt {B}}} =\mathrm {\frac {\left(\varepsilon -{\sqrt {B}}\right)\left(\varepsilon _{1}-{\sqrt {B}}\right)\left(\varepsilon _{2}-{\sqrt {B}}\right)\ldots \left(\varepsilon _{\mu -1}-{\sqrt {B}}\right)}{EE_{1}E_{2}\ldots E_{\mu -1}}} \,;$

donc, multipliant ces deux équations ensemble, il viendra

$\mathrm {X^{2}-BY^{2}={\frac {\left(\varepsilon ^{2}-B\right)\left(\varepsilon _{1}^{2}-B\right)\left(\varepsilon _{2}^{2}-B\right)\ldots \left(\varepsilon _{\mu -1}^{2}-B\right)}{E^{2}E_{1}^{2}E_{1}^{2}\ldots E_{\mu -1}^{2}}}} .$

Mais on a, par les formules $(\varkappa ),$

$\mathrm {\varepsilon ^{2}-B=-EE_{1},\quad \varepsilon _{1}^{2}-B=-E_{1}E_{2}} ,\ldots \,;$

donc

$\mathrm {X^{2}-BY^{2}=\pm {\frac {EE_{1}E_{1}E_{2}E_{2}E_{3}\ldots E_{\mu -1}E_{\mu }}{E^{2}E_{1}^{2}E_{1}^{2}\ldots E_{\mu -1}^{2}}}} ,$

savoir

$\mathrm {X^{2}-BY^{2}=\pm {\frac {E_{\mu }}{E}}} =\pm _{1},$

le signe supérieur étant pour le cas où $\mu$ est pair, et l’inférieur pour celui où $\mu$ est impair.

42. À l’égard des valeurs de $\mathrm {R} _{1}$ et $\mathrm {S} _{1}$ qui entrent dans les expressions de $r_{1}$ et $s_{1},$ on peut les trouver de la même manière que celles de $\mathrm {R}$ et $\mathrm {S} ,$ par le développement de la quantité

${\frac {\left(\varepsilon _{1}+{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)\left(\varepsilon _{2}+{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)\ldots \left(\varepsilon _{m-1}+{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)}{\mathrm {E_{2}E_{3}} \ldots \mathrm {E} _{m-1}}},$

et il est facile de voir qu’on aura les mêmes expressions que pour $\mathrm {R}$ et $\mathrm {S} ,$ en augmentant seulement dans les formules $(\varpi )$ les exposants d’une unité, c’est-à-dire en y mettant $l_{1},l_{2},l_{3},\ldots$ à la place de $l,l_{1},l_{2},\ldots$ et $\lambda _{2},\lambda _{3},\ldots$ à la place de $\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots \,;$ ainsi l’on aura nécessairement pour $\mathrm {R} _{1}$ et $\mathrm {S} _{1}$ des nombres entiers, ainsi que pour $\mathrm {R}$ et $\mathrm {S} \,;$ mais, pour ne pas avoir de nouvelles formules à calculer, il suffira de prendre l’équation du n^o 38, savoir

$r_{1}+s_{1}{\sqrt {\mathrm {B} }}={\frac {\mathrm {E} _{1}\left(r+s{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)}{\varepsilon +{\sqrt {\mathrm {B} }}}},$

laquelle, à cause de $\mathrm {B} -\varepsilon ^{2}=\mathrm {EE_{1}} ,$ se change en celle-ci

$r_{1}+s_{1}{\sqrt {\mathrm {B} }}={\frac {\left({\sqrt {\mathrm {B} }}-\varepsilon \right)\left(r+s{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)}{\mathrm {E} }}={\frac {\mathrm {B} s-\varepsilon r+(r-\varepsilon s){\sqrt {\mathrm {B} }}}{\mathrm {E} }}\,;$

d’où

$r_{1}={\frac {\mathrm {B} s-\varepsilon r}{\mathrm {E} }},\quad s_{1}={\frac {r-\varepsilon s}{\mathrm {E} }}.$

Ainsi, connaissant les valeurs de $r$ et $s,$ on connaîtra sur-le-champ celles de $r_{1}$ et $s_{1},$ et quoique ces expressions soient sous une forme fractionnaire, on peut être assuré qu’elles donneront toujours des nombres entiers, parce que ces expressions doivent être équivalentes à celles du n^o 38, lesquelles donnent évidemment des nombres entiers, puisque $\mathrm {R_{1},S_{1},X}$ et $\mathrm {Y}$ sont toujours des nombres entiers, comme nous venons de le voir.

43. Nous avons donc donné une méthode directe et générale pour résoudre en nombres entiers (lorsque cela est possible) toute équation de la forme

$\pm \mathrm {E} =r^{2}-\mathrm {B} s^{2},$

$\mathrm {E}$ étant $<{\sqrt {\mathrm {B} }},$ et $r$ et $s$ premiers entre eux, de sorte qu’on est maintenant en état de résoudre aussi toute équation de la forme

$\mathrm {A} =p^{2}-\mathrm {B} q^{2},$

$\mathrm {A}$ étant un nombre quelconque entier positif ou négatif (28).

Pour cela on remarquera que l’on a, par les formules $(\varepsilon )$ et $(\eta ),$

$r\sigma -s\rho =\pm 1\quad {\text{et}}\quad rs_{1}-sr_{1}=\pm 1,$

d’où l’on tire

$r(\sigma -s_{1})-s(\rho -r_{1})=0$

et de là

${\frac {r}{s}}={\frac {\rho -r_{1}}{\sigma -s_{1}}},$

de sorte que, comme $r$ et $s$ sont premiers entre eux, on aura nécessairement

$\rho -r_{1}=\lambda r,\quad \sigma -s_{1}=\lambda s,$

et de là

$\rho =\lambda r+r_{1},\quad \sigma =\lambda s+s_{1},$

$\lambda$ étant un nombre quelconque entier.

De plus on a, par les mêmes formules $(\varepsilon )$

$r\rho -\mathrm {B} s\sigma =e\,;$

donc, mettant à la place de $\rho$ et $\sigma$ les valeurs précédentes, on aura

$e=\lambda \left(r^{2}-\mathrm {B} s^{2}\right)+rr_{1}-\mathrm {B} ss_{1}\,;$

or, $r^{2}-\mathrm {B} s^{2}=\pm \mathrm {E}$ et $rr_{1}-\mathrm {B} ss_{1}=\mp \varepsilon$ (31), donc on aura

$\pm e=\lambda \mathrm {E} -\varepsilon ,\quad {\text{d’où}}\quad \varepsilon =\lambda \mathrm {E} \mp e.$

Or il faut de plus (33) que l’on ait

$\varepsilon <{\sqrt {\mathrm {B} }}\quad {\text{et}}\quad >\mathrm {{\sqrt {B}}-E} \,;$

donc $\lambda \mathrm {E} \mp e<{\sqrt {\mathrm {B} }}$ et $\lambda \mathrm {E} \mp e>\mathrm {{\sqrt {B}}-E} ,$ ce qui donne ces deux conditions

$\lambda <{\frac {{\sqrt {\mathrm {B} }}\pm e}{\mathrm {E} }},\quad \lambda >{\frac {{\sqrt {\mathrm {B} }}\pm e}{\mathrm {E} }}-1,$

par lesquelles on pourra déterminer $\lambda ,$ parce que, $\lambda$ devant être un nombre entier, il est visible qu’il ne pourra être autre chose que le nombre entier qui sera immédiatement plus petit que ${\frac {{\sqrt {\mathrm {B} }}\pm e}{\mathrm {E} }}.$

Ainsi, puisque $\mathrm {E}$ et $e$ sont connus (28), on connaîtra $\lambda$ et $\varepsilon$ sans avoir besoin d’aucun tâtonnement.

Maintenant, puisqu’on a (42)

$r_{1}={\frac {\mathrm {B} s-\varepsilon r}{\mathrm {E} }},\quad s_{1}={\frac {r-\varepsilon s}{\mathrm {E} }},$

et que

$\rho =\lambda r+r_{1},\quad \sigma =\lambda s+s_{1},$

on aura

$\rho ={\frac {(\lambda \mathrm {E} -\varepsilon )r+\mathrm {B} s}{\mathrm {E} }},\quad \sigma ={\frac {(\lambda \mathrm {E} -\varepsilon )s+r}{\mathrm {E} }}\,:$

savoir, à cause de $\lambda \mathrm {E} -\varepsilon =\pm e,$

$\rho ={\frac {\mathrm {B} s\pm er}{\mathrm {E} }},\quad \sigma ={\frac {r\pm es}{\mathrm {E} }},$

expressions qui donneront toujours des nombres entiers, puisque, $r,s,r_{1}$ et $s_{1}$ étant entiers aussi bien que $\lambda ,$ il est nécessaire que $\rho$ et $\sigma$ le soient aussi. Or, connaissant $r,s,\rho$ et $\sigma ,$ on pourra, en rétrogradant, trouver $p$ et $q$ (28).

Il faut remarquer que le signe ambigu de $e$ dans les formules précédentes se rapporte à celui de $\mathrm {E}$ dans l’équation

$\pm \mathrm {E} =r^{2}-\mathrm {B} s^{2}\,;$

mais nous avons vu (28) que, pour avoir toutes les solutions possibles de l’équation

$\mathrm {A} =p^{2}-\mathrm {B} q^{2},$

il faut prendre successivement $e$ positif et négatif, en changeant dans ce dernier cas les signes de $\mu _{1},\mu _{2},\mu _{3},\ldots$ dans les formules $(\gamma ),$ de sorte que chaque valeur de $e$ donnera toujours deux valeurs de $\varepsilon$ (à moins qu’elles ne reviennent au même), et par conséquent deux valeurs de $\mathrm {R,S} ,$ de $r,s$ et de $\rho$ et $\sigma ,$ d’où l’on tirera deux expressions générales de $p$ et $q.$

44. Comme on a par le n^o 38

$r=\mathrm {R\xi +BS} \psi ,\quad s=\mathrm {R\psi +S} \xi ,$

et par le numéro précédent

$\rho ={\frac {\mathrm {B} s\pm er}{\mathrm {E} }},\quad \sigma ={\frac {r\pm es}{\mathrm {E} }},$

si l’on fait, pour abréger,

$\mathrm {T} ={\frac {\mathrm {BS} \pm e\mathrm {R} }{\mathrm {E} }},\quad \mathrm {V} ={\frac {\mathrm {R} \pm e\mathrm {S} }{\mathrm {E} }},$

on aura

$\mathrm {\rho =T\xi +BV\psi ,\quad \sigma =T\psi +V\xi } ,$

et il est facile de voir, par la nature des formules $(\gamma ),$ que ces valeurs de $r,s,\rho$ et $\sigma ,$ savoir de $p_{n},q_{n},p_{n+1},q_{n+1}$ (28), donneront pour $p$ et $q$ des

expressions de cette forme

${\begin{aligned}p=&(f\mathrm {R} +g\mathrm {T} )\xi +\mathrm {B} (f\mathrm {S} +g\mathrm {V} )\psi ,\\q=&(f\mathrm {R} +g\mathrm {T} )\psi +(f\mathrm {S} +g\mathrm {V} )\xi ,\end{aligned}}$

$f$ et $g$ étant des nombres entiers dépendant des nombres $\mu _{1},\mu _{2},\mu _{3},\ldots .$ Donc, puisqu’on a (28)

${\begin{aligned}\xi =&{\frac {\mathrm {\left(X+Y{\sqrt {B}}\right)} ^{n}+\mathrm {\left(X-Y{\sqrt {B}}\right)} ^{n}}{2}},\\\psi =&{\frac {\mathrm {\left(X+Y{\sqrt {B}}\right)} ^{n}-\mathrm {\left(X-Y{\sqrt {B}}\right)} ^{n}}{2{\sqrt {\mathrm {B} }}}},\end{aligned}}$

ou bien, en développant les puissances $n$^ième,

${\begin{aligned}\xi =&\mathrm {X} ^{n}+{\frac {n(n-1)}{2}}\mathrm {X} ^{n-2}\mathrm {Y} ^{2}\mathrm {B} +{\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{2.3.4}}\mathrm {X} ^{n-4}\mathrm {Y} ^{4}\mathrm {B} ^{2}+\ldots \\\psi =&n\mathrm {X} ^{n-1}\mathrm {Y} +{\frac {n(n-1)(n-2)}{2.3}}\mathrm {X} ^{n-3}\mathrm {Y} ^{3}\mathrm {B} +\ldots ,\end{aligned}}$

et que $n$ peut être un nombre quelconque entier positif tel, que $n\mu +m$ soit pair ou impair, suivant que le signe supérieur ou l’inférieur aura lieu (37) dans l’équation

$\pm \mathrm {E} =r^{2}-\mathrm {B} s^{2},$

il est clair que toute équation de la forme

$\mathrm {A} =p^{2}-\mathrm {B} q^{2},$

$\mathrm {B}$ étant positif, lorsqu’elle est résoluble en nombres entiers, admet nécessairement une infinité de solutions ; de sorte que le nombre des solutions de ces sortes d’équations sera toujours nul ou infini, au lieu que ce nombre est toujours nécessairement limité lorsque $\mathrm {B}$ est négatif (27).

45. M. Euler a donné, dans le tome IX des Nouveaux Commentaires de Pétersbourg, une très-belle méthode pour trouver une infinité de solutions en nombres entiers des équations de la forme

$\mathrm {A+C} q+\mathrm {B} q^{2}=p^{2}$

lorsqu’on en connaît une seule. Suivant cette méthode, si l’on fait pour plus de simplicité $\mathrm {C} =0,$ et qu’on nomme $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ les valeurs connues de $p$ et $q,$ en sorte que l’on ait $\mathrm {P^{2}-BQ^{2}=A} ,$ et que $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ soient des nombres entiers tels que $\mathrm {X^{2}-BY^{2}} =1,$ on aura en général, en conservant les expressions de $\xi$ et $\psi$ du numéro précédent,

$p=\pm \mathrm {P\xi +BQ} \psi ,\quad q=\pm \mathrm {P\psi +Q} \xi ,$

l’exposant $n$ des quantités $\psi$ et $\xi$ pouvant être un nombre quelconque, positif ou négatif.

Il ne serait pas difficile de faire voir à priori que toutes les solutions que peuvent fournir ces formules se trouveront nécessairement parmi celles que donnera notre méthode ; cela suit évidemment de ce que cette méthode doit donner, absolument toutes les solutions possibles. Mais on aurait tort de croire que les formules dont il s’agit puissent donner toujours toutes les solutions possibles lorsqu’on ne connaît qu’une seule valeur de $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q} .$

Pour le faire voir d’une manière générale, nous commencerons par remarquer qu’en faisant n négatif on n’a point de nouvelles valeurs de $\xi$ et de $\psi ,$ mais que la quantité $\xi$ demeure la même, et que celle de $\psi$ devient simplement négative. En effet, en mettant $-n$ au lieu de $n,$ on aura (44)

$\xi ={\frac {1}{2\mathrm {\left(X+Y{\sqrt {B}}\right)} ^{n}}}+{\frac {1}{2\mathrm {\left(X-Y{\sqrt {B}}\right)} ^{n}}}={\frac {\mathrm {\left(X-Y{\sqrt {B}}\right)} ^{n}+\mathrm {\left(X+Y{\sqrt {B}}\right)} ^{n}}{2\mathrm {\left(X^{2}-BY^{2}\right)} ^{n}}},$

et de même

$\psi ={\frac {\mathrm {\left(X-Y{\sqrt {B}}\right)} ^{n}-\mathrm {\left(X+Y{\sqrt {B}}\right)} ^{n}}{2\mathrm {\left(X^{2}-BY^{2}\right)} ^{n}{\sqrt {\mathrm {B} }}}}\,;$

mais on a par hypothèse $\mathrm {X^{2}-BY^{2}} =1\,;$ donc

${\begin{aligned}\xi =&{\frac {\mathrm {\left(X+Y{\sqrt {B}}\right)} ^{n}+\mathrm {\left(X-Y{\sqrt {B}}\right)} ^{n}}{2}},\\\psi =&-{\frac {\mathrm {\left(X+Y{\sqrt {B}}\right)} ^{n}-\mathrm {\left(X-Y{\sqrt {B}}\right)} ^{n}}{2{\sqrt {\mathrm {B} }}}}.\end{aligned}}$

De sorte qu’au lieu de supposer $n$ positif et négatif, il suffira de faire $n$ positif et de prendre $\psi$ en plus et en moins. Cela posé, supposons que $\mathrm {P} _{1}$ et $\mathrm {Q} _{1}$ soient de nouvelles valeurs de $p$ et $q$ dans l’équation

$p^{2}-\mathrm {B} q^{2}=\mathrm {A} ,$

en sorte que l’on ait aussi

$\mathrm {P_{1}^{2}-BQ_{1}^{2}=A} ,$

et voyons si ces valeurs seront nécessairement renfermées dans les expressions précédentes de $p$ et $q.$ Soit donc

$\mathrm {P_{1}=\pm P\xi +BQ\psi ,\quad Q_{1}=\pm P\psi +Q\xi } ,$

et tirant les valeurs de $\xi$ et $\psi ,$ on aura, à cause de $\mathrm {P^{2}-BQ^{2}=A} ,$

$\xi =\mathrm {\frac {\pm PP_{1}-BQQ_{1}}{A}} ,\quad \psi =\mathrm {\frac {\pm PQ_{1}-QP_{1}}{A}} .$

Donc, puisque les nombres $\xi$ et $\psi$ sont toujours entiers, à cause que $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ sont des nombres entiers par l’hypothèse, et que $n$ est aussi un nombre entier positif, il faudra que les deux quantités $\pm \mathrm {PP_{1}-BQQ_{1}}$ et $\pm \mathrm {PQ_{1}-QP_{1}}$ soient toujours divisibles par $\mathrm {A} ,$ en prenant l’un ou l’autre des signes ambigus. Or, j’observe d’abord que, si la seconde de ces quantités est divisible par $\mathrm {A} ,$ la première le sera aussi ; car, puisqu’on a

$\mathrm {A=P^{2}-BQ^{2}} \quad {\text{et}}\quad \mathrm {A=P_{1}^{2}-BQ_{1}^{2}} ,$

on aura aussi (9)

$\mathrm {A^{2}=\left(PP_{1}\pm BQQ_{1}\right)^{2}-B\left(PQ_{1}\pm QP_{1}\right)^{2}} \,;$

d’où l’on voit que, si $\mathrm {PQ_{1}\pm QP_{1}} ,$ est divisible par $\mathrm {A} ,$ $\mathrm {PP_{1}\pm BQQ_{1}}$ le sera aussi. Ainsi tout se réduit à savoir si la quantité $\mathrm {PQ_{1}\pm QP_{1}}$ sera toujours divisible par $\mathrm {A} ,$ supposé qu’on ait $\mathrm {P^{2}-BQ^{2}=A}$ et $\mathrm {P_{1}^{2}-BQ_{1}^{2}=A} \,;$ or, comme ces deux équations de condition renferment le nombre $\mathrm {B} ,$ qui ne se trouve point dans la quantité $\mathrm {PQ_{1}\pm QP_{1}} ,$ on aura, en chassant $\mathrm {B} ,$ cette condition unique

$\mathrm {A(Q_{1}^{2}-Q^{2})=P^{2}Q_{1}^{2}-Q^{2}P_{1}^{2}=(PQ_{1}+QP_{1})(PQ_{1}-QP_{1})} ,$

par laquelle on voit qu’il n’est pas absolument nécessaire que l’une ou l’autre des quantités $\mathrm {PQ_{1}+QP_{1},\ PQ_{1}-QP_{1}}$ soit divisible par $\mathrm {A} ,$ à moins que $\mathrm {A}$ ne soit un nombre premier, Ainsi, toutes les fois que $\mathrm {A}$ ne sera pas un nombre premier, l’équation

$\mathrm {A} =p^{2}-\mathrm {B} q^{2}$

pourra avoir des solutions qui ne sauraient être contenues dans les formules de M. Euler.

Pour s’en convaincre par un Exemple, soit $\mathrm {A} =ab,$ et supposons $a=f^{2}-\mathrm {B} g^{2},\ b=h^{2}-\mathrm {B} l^{2},$ on aura

$\mathrm {A} =(fh\pm \mathrm {B} lg)^{2}-(fl\pm hg)^{2}\,;$

de sorte qu’on pourra prendre

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {P} \ \ =&fh+\mathrm {B} lg,&\mathrm {Q} \ \ =&fl+hg,\\\mathrm {P} _{1}=&fh-\mathrm {B} lg,\qquad &\mathrm {Q} _{1}=&fl-hg,\end{alignedat}}$

et alors on aura

${\begin{alignedat}{3}&&\mathrm {PQ_{1}+QP_{1}} =&2lh\left(f^{2}-\mathrm {B} g^{2}\right),\quad &\mathrm {PQ_{1}-QP_{1}} =&-2fg\left(h^{2}-\mathrm {B} l^{2}\right),\\\mathrm {savoir} &&&\\&&\mathrm {PQ_{1}+QP_{1}} =&2lha,&\mathrm {PQ_{1}-QP_{1}} =&-2fgb\,;\end{alignedat}}$

donc, pour que l’une ou l’autre de ces deux quantités soit divisible par $\mathrm {A} =ab,$ il faudra, ou que $2lh$ soit divisible par $b,$ ou que $2fg$ le soit par $a\,;$ or c’est ce qui n’aura point lieu dans une infinité de cas, et surtout si $a$ et $b$ sont des nombres premiers différents de $2,$ parce qu’alors il sera impossible, à cause des équations $a=f^{2}-\mathrm {B} q^{2}$ et $b=h^{2}-\mathrm {B} l^{2},$ que $f$ ou $g$ soit divisible par $a,$ ou que $h$ ou $l$ le soit par $b.$

On voit par là que, pour que les formules de M. Euler pussent donner toutes les solutions possibles, il faudrait que les valeurs de $\xi$ et de $\psi$ pussent être rompues ; en effet, ce grand Géomètre remarque lui-même, au n^o 25 du premier Mémoire du tome cité, qu’en prenant, lorsque cela est possible, pour $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ des nombres rompus dont le dénominateur soit $2,$ on trouvera souvent beaucoup plus de solutions qu’en ne prenant pour $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ que des nombres entiers, et il paraît croire qu’on pourra avoir de cette manière toutes les solutions possibles de l’équation dont il s’agit. Supposons donc en général que $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ soient des fractions dont le dénominateur soit $2,$ ou bien mettons ${\frac {\mathrm {X} }{2}}$ et ${\frac {\mathrm {Y} }{2}}$ à la place de $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ dans les expressions de $\xi$ et $\psi ,$ et il est clair que ces quantités deviendront ${\frac {\xi }{2^{n}}}$ et ${\frac {\psi }{2^{n}}}\,;$ de sorte qu’on aura dans ce cas

${\frac {\xi }{2^{n}}}=\mathrm {\frac {\pm PP_{1}-BQQ_{1}}{A}} ,\quad {\frac {\psi }{2^{n}}}=\mathrm {\frac {\pm PQ_{1}-QP_{1}}{A}} ,$

ou bien

$\xi ={\frac {2^{n}\mathrm {\left(PP_{1}-BQQ_{1}\right)} }{\mathrm {A} }},\quad \psi ={\frac {2^{n}\mathrm {\left(PQ_{1}-QP_{1}\right)} }{\mathrm {A} }}\,;$

d’où, à moins que $\mathrm {A} .$ ne soit une puissance de $2,$ on pourra tirer les mêmes conclusions que ci-dessus. Ainsi cette généralisation ne suffit pas encore pour avoir toutes les solutions possibles dans tous les cas.

EXEMPLES.

46. Donnons à présent quelques Exemples pour montrer l’usage des méthodes précédentes. Nous considérerons d’abord le cas où $\mathrm {B}$ est un nombre négatif, ensuite celui où $\mathrm {B}$ est positif.

Exemple I. — Soit proposé de résoudre l’équation

$109=u^{2}+7t^{2},$

en supposant que $u$ et $t$ soient des nombres entiers.

Je remarque d’abord que, comme le nombre $109$ ne contient aucun facteur carré, les nombres $u$ et $t$ seront nécessairement premiers entre eux (22) ; ainsi l’on fera $u=p,\ t=q,\ \mathrm {A} =109$ et $\mathrm {B} =-7,$ pour avoir l’équation du n^o 23 ; de sorte qu’on n’aura à résoudre que cette seule équation

$109=p^{2}+7q^{2}.$

On commencera donc par chercher un nombre $\alpha <{\frac {109}{2}},$ et tel que $\alpha ^{2}+7$ soit divisible par $109,$ ou bien on cherchera un multiple de $109$ qui soit

de la forme $\alpha ^{2}+7$ (n^o 20, Exemple I), et l’on trouvera

$109.23=50^{2}+7\,;$

de sorte que $\alpha =50.$ La valeur de $\alpha$ étant connue, on formera une suite d’équations analogues à celles du n^o 26, jusqu’à ce que l’on parvienne à un terme $\mathrm {A} _{n}=$ ou $<7,$ et l’on aura

${\begin{alignedat}{3}109.23=&50^{2}+7,&\alpha \ \ =&50,&\mathrm {A} _{1}=&23,\\23.\ \ 1=&\ \ 4^{2}+7,\qquad &\alpha _{1}=&-2\mathrm {A} _{1}+\alpha =4,\qquad &\mathrm {A} _{2}=&1=\mathrm {A} _{n},\end{alignedat}}$

ensuite

$p=p_{2}+2p_{1},\quad \mathrm {Q} =q_{2}+2q_{1},$

et comme on a trouvé $\mathrm {A} _{n}=1=\mathrm {A} _{2},$ on aura (27)

${\begin{alignedat}{2}&&p_{2}=&1,&q_{2}=&0,\\&&p_{1}=&\alpha _{1}=4,\qquad &q_{1}=&1.\\\mathrm {Donc} &\qquad \qquad \qquad \qquad &&\\&&p\ \ =&9,&q\ \ =&2.\end{alignedat}}$

Or, $109$ étant un nombre premier, il n’existe point d’autre nombre $\alpha$ qui ait les conditions requises (24) ; donc l’équation proposée n’est susceptible que d’une seule solution en nombres entiers, laquelle est $u=9$ et $t=2.$

Exemple II. — Soit proposée l’équation

$909=u^{2}+17t^{2},$

$u$ et $t$ devant être des nombres entiers.

Comme le nombre $909$ n’est pas premier, on verra d’abord s’il renferme quelque facteur carré ; or, $909=101.9,$ $101$ étant premier ; ainsi, on pourra faire (22) deux suppositions, savoir $u=p,$ $t=q,$ $\mathrm {A} =909,$ ce qui donnera l’équation

(A)

$909=p^{2}+17q^{2},$

ensuite $\rho =3,$ et par conséquent $u=3p,$ $t=3q,$ $\mathrm {A} =101,$ ce qui donnera cette autre équation

(B)

$101=p^{2}+17q^{2}.$

Commençons par l’équation (A), et il fondra chercher un nombre $\alpha <{\frac {909}{2}}$ tel, que $\alpha ^{2}+17$ soit divisible par $909,$ ou, ce qui revient au même, un nombre $\mathrm {A} _{1}<{\frac {\mathrm {A} }{4}}+1<229$ qui, multipliant $909,$ donne un carré plus $17$ (20).

Après quelques essais, je trouve $\mathrm {A} _{1}=149$ et $\alpha =368,$ et à l’aide de ces valeurs je forme les équations suivantes, analogues à celles du n^o 26,

${\begin{alignedat}{3}909.149=&368^{2}+17,&\alpha \ \ =&368,&\mathrm {A} _{1}=&149,\\149.\ \ 33=&\ \ 70^{2}+17,&\alpha _{1}=&-2\mathrm {A} _{1}+\alpha \ \ =70,&\mathrm {A} _{2}=&33,\\33.\quad 1=&\quad 4^{2}+l7,\qquad &\alpha _{2}=&-2\mathrm {A} _{2}+\alpha _{1}=4,\qquad &\mathrm {A} _{3}=&1=\mathrm {A} _{n}\,;\end{alignedat}}$

et par conséquent

${\begin{alignedat}{2}p\ \ =&p_{2}+2p_{1},&q\ \ =&q_{2}+2q_{1},\\p_{1}=&p_{3}+2p_{2},\qquad &q_{1}=&q_{3}+2q_{2}\,;\end{alignedat}}$

et comme $\mathrm {A} _{3}=1,$ on aura (27)

${\begin{alignedat}{2}p_{3}=&1,&q_{3}=&0,\\p_{2}=&\alpha _{2}=4,\quad &q_{2}=&1.\end{alignedat}}$

Donc

${\begin{alignedat}{2}p_{1}=&9,&q_{1}=&2,\\p\,\ =&22,\qquad &q\,\ =&5,\end{alignedat}}$

ce qui donne cette première solution de l’équation proposée

$u=22,\qquad t=5.$

Maintenant, comme $909$ n’est pas premier, on pourra (24) trouver encore d’autres valeurs de $\alpha \,;$ or, résolvant $909$ en ses facteurs premiers, on aura $101.3.3,$ de sorte qu’on ne pourra faire que $a=101$ et $b=9,$ ce qui ne donnera qu’une seule valeur de $\alpha$ (numéro cité). On cherchera donc la dernière des fractions convergentes vers ${\frac {a}{b}}={\frac {101}{9}}$ (29), et l’on trouvera ${\frac {45}{4}},$ de sorte qu’on aura $a_{1}=45,\ b_{1}=4,$ et comme ${\frac {45}{4}}>{\frac {101}{9}},$ on aura

$\omega =(1+2.101.4)\alpha \,;$

c’est-à-dire, à cause de $\alpha =368,$

$\omega =297712.$

Ainsi l’on aura, à cause de $\mathrm {A} =909,$

$\beta =909m\pm 297712=440,$

en prenant le signe inférieur et faisant $m=328,$ afin que la valeur de $\beta$ devienne $<{\frac {\mathrm {A} }{2}}\,;$ c’est la nouvelle valeur de $\alpha ,$ et la seule qu’on puisse trouver de cette manière, de sorte qu’il serait inutile d’en chercher encore d’autres.

Mettant donc en œuvre cette valeur, on trouvera les équations

${\begin{alignedat}{3}909.213=&440^{2}+17,&\alpha \ \ =&440,&\mathrm {A} _{1}=&213,\\213.\quad 1=&\ \ 14^{2}+17,\qquad &\alpha _{1}=&-2\mathrm {A} _{1}+\alpha =14,\qquad &\mathrm {A} _{2}=&1,\end{alignedat}}$

et de là

$p=p_{2}+2p_{1},\quad q=q_{2}+2q_{1},$

et comme $\mathrm {A} _{2}=1,$ on aura (27)

${\begin{alignedat}{2}p_{2}=&1,&q_{2}=&0,\\p_{1}=&\alpha _{1}=14,\quad &q_{1}=&1.\end{alignedat}}$

Donc

$p=29,\quad q=2,$

Ainsi l’on aura celle seconde solution

$u=29,\quad t=2.$

Or, comme on ne saurait trouver d’autres valeurs de $\alpha ,$ l’équation (A) ne fournira pas non plus d’autres solutions ; c’est pourquoi nous passerons à l’équation (B).

Ayant ici $\mathrm {A} =101,$ on cherchera une valeur de $\alpha$ telle, que $\alpha ^{2}+17$ soit divisible par $101,$ et qui soit en même temps $<{\frac {\mathrm {A} }{2}}<51\,;$ or, ayant déjà trouvé ci-dessus que $368^{2}+17$ est divisible par $909$ et par conséquent aussi par $101,$ il n’y aura qu’à faire $\alpha =101m\pm 368,$ et déterminer ensuite $m$ et le signe ambigu en sorte que $\alpha <{\frac {101}{2}}\,;$ on fera donc $m=4,$ et l’on prendra le signe inférieur, ce qui donnera $\alpha =36.$

Au moyen de cette valeur, on formera les équations

$101.13=36^{2}+17,\quad \alpha =36,\quad \mathrm {A} _{1}=13<17,$

d’où l’on voit d’abord, à cause que $\mathrm {A} _{1}$ est moindre que $17$ et en même temps différent de l’unité, que l’équation (B) n’est point résoluble, au moins d’après la valeur de $\alpha$ que nous venons de trouver (27), et comme le nombre $101$ est premier, il s’ensuit que l’équation (B) n’admet absolument aucune solution en nombres entiers. De sorte que l’équation proposée

$909=u^{2}+17t^{2}$

n’est susceptible que des deux solutions que nous avons trouvées ci-dessus.

Supposons maintenant que $\mathrm {B}$ soit un nombre positif.

Exemple III. — Soit proposé de résoudre l’équation de l’Exemple I du n^o 20, savoir

$109=u^{2}-7t^{2},$

avec cette condition que $u$ et $t$ soient des nombres entiers.

Puisque $109$ est un nombre premier, on ne pourra faire que $u=p,\ t=q\,;$ donc $\mathrm {A} =109,\ \mathrm {B} =7,$ de sorte qu’on n’aura à résoudre que cette seule équation

$109=p^{2}-7q^{2}.$

Or, ayant déjà trouvé dans l’Exemple cité $\alpha =15,\ \mathrm {A} _{1}=2,$ on aura

${\begin{alignedat}{3}109.2=&15^{2}-7,\qquad &\alpha \ \ =&15,&\mathrm {A} _{1}=&2,\\2.(-3)=&1-7,&\alpha _{1}=&-7\mathrm {A} _{1}+\alpha =1,\qquad &\mathrm {A} _{2}=&3,\end{alignedat}}$

et de là

$p=p_{2}+7p_{1},\quad q=q_{2}+7q_{1}.$

Donc, puisque $\alpha _{1}<{\sqrt {\mathrm {B} }},$ et aussi $\mathrm {A_{1}<{\sqrt {B}}} ,$ on fera (28)

$\alpha _{1}=e=1,\quad \mathrm {A_{1}=\pm E} =2,\quad \mathrm {A_{2}=\mp D} =-3\,;$

donc $\mathrm {E=2,\ D} =-3,$ avec les signes supérieurs ; et par conséquent

$p_{1}=r,\quad q_{1}=s,\quad p_{2}=\rho ,\quad q_{2}=\sigma ,$

de sorte qu’on aura à résoudre l’équation

$2=r^{2}-7s^{2}.$

Or, ayant $\mathrm {E} =2,\ \mathrm {B} =7$ et $e=1,$ on aura (43) $\lambda <{\frac {{\sqrt {7}}+1}{2}}$ et $>{\frac {{\sqrt {7}}+1}{2}}-1\,;$ donc, à cause que la racine approchée de $7$ est $2,$

$\lambda =1\quad {\text{et de là}}\quad \varepsilon =\mathrm {E} -e=1.$

Ayant trouvé $\varepsilon$ on formera, à l’aide des formules $(\varkappa ),$ $(\lambda )$ et $(\mu )$ des n^os 31 et 32, les séries suivantes, où le signe $<$ indique qu’il faut prendre le nombre entier qui est immédiatement moindre,

${\begin{alignedat}{3}\mathrm {E} \ \,=&2,&&&\varepsilon \ \ =&1,\\\mathrm {E} _{1}=&{\frac {7-1}{2}}=3,&\lambda _{1}&<{\frac {{\sqrt {7}}+1}{3}}=1,&\varepsilon _{1}=&1.3-1=2,\\\mathrm {E} _{2}=&{\frac {7-4}{3}}=1,&\lambda _{2}&<{\frac {{\sqrt {7}}+2}{1}}=4,&\varepsilon _{2}=&4.1-2=2,\\\mathrm {E} _{3}=&{\frac {7-4}{1}}=3,&\lambda _{3}&<{\frac {{\sqrt {7}}+2}{3}}=1,&\varepsilon _{3}=&1.3-2=1,\\\mathrm {E} _{4}=&{\frac {7-1}{3}}=2,&\lambda _{4}&<{\frac {{\sqrt {7}}+1}{2}}=1,&\varepsilon _{4}=&1.2-1=1,\\\mathrm {E} _{5}=&{\frac {7-1}{2}}=3,\qquad &\lambda _{5}&<{\frac {{\sqrt {7}}+1}{3}}=1,\qquad &\varepsilon _{5}=&1.3-1=2.\end{alignedat}}$

Donc, puisque $\mathrm {E_{4}=E}$ et $\mathrm {E_{5}=E_{1}} ,$ on fera (37) $\mathrm {E_{4}=E_{\mu }} ,$ savoir $\mu =4,$ et comme $\mathrm {E} _{2}=1,$ on fera $\mathrm {E} _{2}=\mathrm {E} _{m},$ savoir $m=2\,;$ donc, à cause que l’on a pris les signes supérieurs et que $m$ est pair, on en conclura que l’équation est résoluble (37).

On cherchera donc les valeurs de $l,l_{1},l_{2},\ldots ,l_{\mu },$ comme dans les formules $(\varpi )$ du n^o  39, et l’on aura

${\begin{aligned}l\ \ =&1,\\l_{1}=&1l=1,\\l_{2}=&4l_{1}+l=5,\\l_{3}=&1l_{2}+l_{1}=6,\\l_{4}=&1l_{3}+l_{2}=11\,;\end{aligned}}$

d’où, par les formules des n^os 40 et 41, on trouvera d’abord, à cause de $\beta =2s$ qui est le nombre entier immédiatement moindre que ${\sqrt {7}},$

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {R} =&2l_{1}+l=3,\qquad &\mathrm {S} =&l_{1}=1,\\\mathrm {X} =&l_{1}+{\frac {l_{3}}{2}}=8,&\mathrm {Y} =&{\frac {l_{3}}{2}}=3\,;\end{alignedat}}$

donc (38)

${\begin{aligned}\xi =&{\frac {\left(8+3{\sqrt {7}}\right)^{n}+\left(8-3{\sqrt {7}}\right)^{n}}{2}},\\\psi =&{\frac {\left(8+3{\sqrt {7}}\right)^{n}-\left(8-3{\sqrt {7}}\right)^{n}}{2{\sqrt {7}}}},\end{aligned}}$

où $n$ pourra être un nombre quelconque positif entier tel que $n\psi +m$ soit pair, c’est-à-dire que $4n+2$ soit pair, d’où l’on voit que $n$ pourra être un nombre quelconque entier positif. Donc (38)

$r=3\xi +7\psi ,\quad s=3\psi +\xi \,;$

et ensuite, par le n^o  44, en prenant toujours les signes supérieurs,

$\mathrm {T} ={\frac {7+3}{2}}=5,\quad \mathrm {V} ={\frac {3+1}{2}}=2,$

de sorte qu’on aura

$\rho =5\xi +14\psi ,\quad \sigma =5\psi +2\xi .$

Donc, puisque $r=p_{1},\ s=q_{1},\ \rho =p_{2},\ \sigma =q_{2},$ on aura

${\begin{aligned}p=&\rho +7r=26\xi +63\psi ,\\q=&\sigma +7s=26\psi +9\xi .\end{aligned}}$

Nous avons pris $e=1,$ c’est-à-dire positif ; prenons maintenant $e=-1,$ et l’on aura dans ce cas (43)

$p=p_{2}-7p_{1},\quad q=q_{2}-7q_{1}.$

Or, faisant $e=-1$ on aura $\lambda <{\frac {{\sqrt {7}}-1}{2}}$ et $>{\frac {{\sqrt {7}}-1}{2}}-1\,;$ donc

$\lambda =0\quad {\text{et de là}}\quad \varepsilon =-e=1,$

comme plus haut ; ainsi on aura les mêmes valeurs de $\mathrm {R,S}$ et de $\mathrm {X,Y} ,$ et par conséquent de $\xi ,\psi$ et de $r,s.$

Maintenant on aura

$\mathrm {T} ={\frac {7-3}{2}}=2,\quad \mathrm {V} ={\frac {3-1}{2}}=1,$

donc

$\rho =2\xi +7\psi ,\quad \sigma =2\psi +\xi \,;$

d’où l’on trouvera encore

${\begin{aligned}p=&\rho -7r=-19\xi -42\psi ,\\q=&\sigma -7s=-19\psi -6\xi ,\end{aligned}}$

ou bien, en changeant les signes,

$p=19\xi +42,\psi \quad q=19\psi +6\xi .$

Or, comme $109$ est un nombre premier, on ne pourra trouver aucune autre valeur de $\alpha$ (24), de sorte que les expressions précédentes renfermeront nécessairement toutes les solutions possibles de l’équation proposée.

Exemple IV. — Soit proposée l’équation

$1459=u^{2}-30t^{2}.$

Comme $1459$ est un nombre premier, on ne pourra faire que

$p=u,\quad q=t,\quad \mathrm {A} =1459,\quad \mathrm {B} =30,$

de sorte qu’on n’aura que l’équation

$1459=p^{2}-30q^{2}.$

On cherchera donc un nombre $\alpha <{\frac {1459}{2}},$ et tel que $\alpha ^{2}-30$ soit divisible

par $1459\,;$ ou bien on cherchera, comme dans l’Exemple IV du n^o 20, un nombre $\mathrm {A} _{1}<{\frac {\mathrm {A} }{2}}<{\frac {1459}{2}}$ dont le produit par $1459$ étant augmenté de $30$ soit un carré, et l’on trouvera $\mathrm {A} _{1}=241$ et $\alpha =593,$ moyennant quoi on formera les équations

${\begin{alignedat}{3}1459.241=&593^{2}+17,&\alpha \ \ =&593,&\mathrm {A} _{1}=&241,\\241.\ \ 51=&111^{2}-30,&\alpha _{1}=&-2\mathrm {A} _{1}+\alpha \ \ =111,&\mathrm {A} _{2}=&51,\\51.\quad 1=&\quad 9^{2}-30,\qquad &\alpha _{2}=&-2\mathrm {A} _{2}+\alpha _{1}=9,\qquad &\mathrm {A} _{3}=&1,\\1.(-5)=&\quad 5^{2}-30,&\alpha _{3}=&-4\mathrm {A} _{3}+\alpha _{2}=5,&\mathrm {A} _{4}=&-5\,;\end{alignedat}}$

et de là

${\begin{alignedat}{2}p\ \ =&p_{2}+2p_{1},&q\ \ =&q_{2}+2q_{1},\\p_{1}=&p_{3}+2p_{2},&q_{1}=&q_{3}+2q_{2},\\p_{2}=&p_{4}+4p_{3},\qquad &q_{2}=&q_{4}+4q_{3}.\end{alignedat}}$

Or, puisque $\alpha _{3}<{\sqrt {\mathrm {B} }},$ et que $\mathrm {A} _{3}$ et $\mathrm {A} _{4}$ sont aussi chacun $<{\sqrt {\mathrm {B} }},$ on fera

$\alpha _{3}=5=e,\quad \mathrm {A_{3}=\pm E} =1,\quad \mathrm {A_{4}=\mp D} =-5\,;$

donc $\mathrm {E} =1$ et $\mathrm {D} =5$ avec les signes supérieurs. Ensuite on fera

$p_{3}=r,\quad q_{3}=s,\quad p_{4}=\rho ,\quad q_{4}=\sigma ,$

et l’on aura à résoudre l’équation

$1=r^{2}-30s^{2}.$

Maintenant, à cause de $\mathrm {E=1,\ B} =30$ et $e=5,$ on aura (43) $\lambda <{\frac {{\sqrt {30}}+5}{1}}$ et $>{\frac {{\sqrt {30}}+5}{1}}-1,$ donc

$\lambda =10\quad {\text{et}}\quad \varepsilon =\lambda \mathrm {E} -e=5.$

Ayant ainsi $\varepsilon ,$ on formera les séries suivantes (31 et 33)

${\begin{alignedat}{3}\mathrm {E} \ \,=&1,&&&\varepsilon \ \,=&\ \ 5,\\\mathrm {E} _{1}=&{\frac {30-25}{1}}=5,&\lambda _{1}&<{\frac {{\sqrt {30}}+5}{5}}=\ \,2,&\varepsilon _{1}=&\ \ 2.5-5=5,\\\mathrm {E} _{2}=&{\frac {30-25}{5}}=1,&\lambda _{2}&<{\frac {{\sqrt {30}}+5}{1}}=10,&\varepsilon _{2}=&10.1-5=5,\\\mathrm {E} _{3}=&{\frac {30-25}{1}}=5,\qquad &\lambda _{3}&<{\frac {{\sqrt {30}}+5}{10}}=\ \,1,\qquad &\varepsilon _{3}=&\ \ \,1.5-5=0.\end{alignedat}}$

Donc, comme $\mathrm {E_{2}=E}$ et $\mathrm {E_{3}=E_{1}} ,$ on fera (37) $\mathrm {E_{2}=E_{\mu }} ,$ c’est-à-dire $\mu =2,$ et comme on a en même temps $\mathrm {E} =1,$ on fera $\mathrm {E} _{m}=\mathrm {E} ,$ savoir $m=0,$ ce qui donnera sur-le-champ $\mathrm {R=1,\ S} =0,$ et par conséquent $r=\xi ,\ s=\psi$ (40).

On formera donc la série $l,l_{1},l_{2}$ (39)

${\begin{aligned}l\ \ =&1,\\l_{1}=&2l=2,\\l_{2}=&10l_{1}+l=21,\end{aligned}}$

et l’on aura (41), à cause de $\mu =2,$ les valeurs suivantes

$\mathrm {X} =l_{2}-5l_{1}=11,\quad \mathrm {Y} =l_{1}=2\,;$

donc (38)

${\begin{aligned}\xi =&{\frac {(11+2{\sqrt {30}})^{n}+(11-2{\sqrt {30}})^{n}}{2}},\\\psi =&{\frac {(11+2{\sqrt {30}})^{n}-(11-2{\sqrt {30}})^{n}}{2{\sqrt {30}}}},\end{aligned}}$

$n$ étant tel que $n\mu +m$ savoir $2n,$ soit pair, de sorte que $n$ pourra être un nombre entier positif quelconque (37). Maintenant, puisque $\mathrm {R=1,\ S=0} ,$$\mathrm {E} =1$ et $e=5,$ on aura (44)

$\mathrm {T} =5,\quad \mathrm {V} =1\,;$

d’où

$\rho =5\xi +30\psi ,\quad \sigma =5\psi +\xi .$

Donc, ayant

$p_{3}=r,\quad q_{3}=s,\quad p_{4}=\rho ,\quad q_{4}=\sigma ,$

on trouvera en remontant

${\begin{alignedat}{2}p_{2}=&\rho \,\ +4r\ \ =\ \ 9\xi +\ \ 30\psi ,&q_{2}=&\sigma \ +4s\ \ =\ \ 9\psi +\ \ \xi ,\\p_{1}=&r\ \ +2p_{2}=19\xi +\ \ 60\psi ,&q_{1}=&s\ \ +2q_{2}=19\psi +2\xi ,\\p\,\ =&p_{2}+2p_{1}=47\xi +150\psi ,\qquad &q\,\ =&q_{2}+2q_{1}=47\psi +5\xi .\end{alignedat}}$

Faisons maintenant $e$ négatif (43), c’est-à-dire $e=-5,$ et l’on aura

dans ce cas

${\begin{alignedat}{2}p\ \ =&p_{2}-2p_{1},&q\ \ =&q_{2}-2q_{1},\\p_{1}=&p_{3}-2p_{2},&q_{1}=&q_{3}-2q_{2},\\p_{2}=&p_{4}-4p_{3},\qquad &q_{2}=&q_{4}-4q_{3}.\end{alignedat}}$

Ensuite on aura $\lambda <{\frac {{\sqrt {30}}-5}{1}}>{\frac {{\sqrt {30}}-5}{1}}-1,$ donc

$\lambda =0,\quad {\text{et par conséquent}}\quad \varepsilon =\lambda \mathrm {E} -e=5,$

comme ci-dessus ; de sorte que les valeurs de $\xi$ et $\psi$ seront les mêmes que nous avons déjà trouvées. À l’égard de $\mathrm {T}$ et $\mathrm {V} ,$ on aura (à cause de $\mathrm {R=1,\ S} =0,\ e=-5,\ \mathrm {E} =1$)

$\mathrm {T} =-5,\quad \mathrm {V} =1\,;$

donc

$\rho =-5\xi +30\psi ,\quad \sigma =-5\psi +\xi \,;$

donc

${\begin{alignedat}{2}p_{2}=&\rho \,\ -4r\ \ =-\ \ 9\xi +\ \ 30\psi ,&q_{2}=&\sigma \ -4s\ \ =-\ \ 9\psi +\ \ \xi ,\\p_{1}=&r\ \ -2p_{2}=+19\xi -\ \ 60\psi ,&q_{1}=&s\ \ -2q_{2}=+19\psi -2\xi ,\\p\,\ =&p_{2}-2p_{1}=-47\xi +150\psi ,\qquad &q\,\ =&q_{2}-2q_{1}=-47\psi +5\xi .\end{alignedat}}$

Ainsi, en combinant les deux formules, on aura en général

$p=\pm 47\xi +150\psi ,\quad q=\pm 47\psi +5\xi .$

Et comme $1459$ est un nombre premier, il n’y aurait pas d’autres solutions que celles que nous venons de trouver.

Exemple V — Étant proposée l’équation

$210=u^{2}-46t^{2}$

dont on connaît déjà cette solution : $u=292$ et $t=43,$ on demande toutes les autres solutions possibles en nombres entiers.

Comme $210$ ne contient aucun facteur carré, $u$ et $t$ devront être toujours premiers entre eux (22) ; ainsi l’on fera

$u=p,\quad t=q,\quad \mathrm {A} =210,\quad \mathrm {B} =46,$

de sorte que l’équation à résoudre sera

$210=p^{2}-46q^{2}.$

Maintenant, puisqu’on connaît déjà une valeur de $p$ et $q,$ savoir $p=292$ et $q=43$, on pourra s’en servir pour trouver la valeur de $\alpha$ dans l’équation

$\mathrm {AA_{1}=\alpha ^{2}-B,\quad {\text{savoir}}\quad 210A_{1}=\alpha ^{2}-46} .$

Pour cela, il n’y aura qu’à chercher la fraction ${\frac {m}{n}},$ qui précédera immédiatement la fraction ${\frac {p}{q}}$ dans la suite des fractions convergentes vers ${\frac {p}{q}}$ (29), et faisant $a=mp-\mathrm {B} nq,$ on aura en général (23)

$\alpha =\mu \mathrm {A} \pm a.$

Divisant $292$ par $43,$ ensuite $43$ par le reste $34,$ et ainsi successivement, on aura les quotients

$6,\ 1,\ 3,\ 1,\ 3,\ 2,$

à l’aide desquels on formera les fractions

${\frac {1}{0}},\ \ {\frac {6}{1}},\ \ {\frac {7}{1}},\ \ {\frac {27}{4}},\ \ {\frac {34}{5}},\ \ {\frac {129}{19}},\ \ {\frac {292}{43}}\,;$

ainsi l’on aura $m=129,\ n=19,$ donc $a=86\,;$ de sorte que, comme $86$ est $<{\frac {\mathrm {A} }{2}},$ on fera $\mu =0$ et l’on aura $\alpha =a=86,$ et de là on trouvera $\mathrm {A} _{1}=35.$ On formera donc les équations suivantes

${\begin{alignedat}{3}210.35=&(86)^{2}-46,&\alpha \ \ =&86,&\mathrm {A} _{1}=&35,\\35.\ \ 6=&(16)^{2}-46,&\alpha _{1}=&-2\mathrm {A} _{1}+\alpha \ \ =16,\qquad &\mathrm {A} _{2}=&6,\\6.(-7)=&\ \ (2)^{2}-46,\qquad &\alpha _{2}=&3\mathrm {A} _{2}-\alpha _{1}=2,&\mathrm {A} _{3}=&-7,\end{alignedat}}$

et par conséquent

${\begin{alignedat}{2}p\ \ =&p_{2}+2p_{1},&q\ \ =&q_{2}+2q_{1},\\-p_{1}=&p_{3}+-3p_{2},\qquad &-q_{1}=&q_{3}-3q_{2}.\end{alignedat}}$

Donc, puisque $\alpha _{2}<{\sqrt {\mathrm {B} }}$ et que $\mathrm {A} _{2}$ est aussi $<{\sqrt {\mathrm {B} }},$ on fera

$\alpha _{2}=e=2,\quad \mathrm {A_{2}=\pm E} =6,\quad \mathrm {A_{3}=\mp D} =-7\,;$

donc $\mathrm {E=6,\ D=7} ,$ avec les signes supérieurs. Ensuite on fera

$p_{2}=r,\quad q_{2}=s,\quad p_{3}=\rho ,\quad q_{3}=\sigma ,$

et l’on aura à résoudre l’équation

$6=r^{2}+46s^{2}.$

Or, puisque $\mathrm {B} =46,\ \mathrm {E} =6,\ e=2,$ on aura (43) $\lambda <{\frac {{\sqrt {46}}+2}{6}}$ et $>{\frac {{\sqrt {46}}+2}{6}}-1\,;$ donc

$l=1\quad {\text{et}}\quad \varepsilon =\lambda \mathrm {E} -e=4.$

Ayant $\varepsilon ,$ on formera (31 et 33) les séries suivantes, où le signe $<$ indique qu’il faut prendre les nombres entiers qui sont immédiatement plus petits,

${\begin{alignedat}{3}\mathrm {E} \ \ \ &=6,&&&\varepsilon \quad &=\ \ 4,\\\mathrm {E} _{1}\ \,&={\frac {46-16}{6}}=\ \ 5,&\lambda _{1}\ \,&<{\frac {{\sqrt {46}}+4}{5}}=\ \,2,&\varepsilon _{1}\ \,&=\ \ 2.\ \ 5-4=6,\\\mathrm {E} _{2}\ \,&={\frac {46-36}{5}}=\ \ 2,&\lambda _{2}\ \,&<{\frac {{\sqrt {46}}+6}{2}}=\ \ 6,&\varepsilon _{2}\ \,&=\ \ 6.\ \ 2-6=6,\\\mathrm {E} _{3}\ \,&={\frac {46-36}{2}}=\ \ 5,&\lambda _{3}\ \,&<{\frac {{\sqrt {46}}+6}{5}}=\ \,2,&\varepsilon _{3}\ \,&=\ \ 2.\ \ 5-6=4r,\\\mathrm {E} _{4}\ \,&={\frac {46-16}{5}}=\ \ 6,&\lambda _{4}\ \,&<{\frac {{\sqrt {46}}+4}{5}}=\ \,1,&\varepsilon _{4}\ \,&=\ \ 1.\ \ 6-4=2,\\\mathrm {E} _{5}\ \,&={\frac {46-\ \ 4}{6}}=\ \ 7,&\lambda _{5}\ \,&<{\frac {{\sqrt {46}}+2}{5}}=\ \,1,&\varepsilon _{5}\ \,&=\ \ 1.\ \ 7-2=5,\\\mathrm {E} _{6}\ \,&={\frac {46-25}{7}}=\ \ 3,&\lambda _{6}\ \,&<{\frac {{\sqrt {46}}+5}{5}}=\ \,3,&\varepsilon _{6}\ \,&=\ \ 3.\ \ 3-5=4,\\\mathrm {E} _{7}\ \,&={\frac {46-16}{3}}=10,&\lambda _{7}\ \,&<{\frac {{\sqrt {46}}+4}{5}}=\ \,1,&\varepsilon _{7}\ \,&=\ \ 1.10-4=6,\\\mathrm {E} _{8}\ \,&={\frac {46-36}{10}}=\ \ 1,&\lambda _{8}\ \,&<{\frac {{\sqrt {46}}+6}{5}}=12,&\varepsilon _{8}\ \,&=12.\ \ 1-6=6,\\\mathrm {E} _{9}\ \,\ \,&={\frac {46-36}{1}}=10,&\lambda _{9}\ \,&<{\frac {{\sqrt {46}}+6}{5}}=\ \,1,&\varepsilon _{9}\ \,&=\ \ 1.10-6=4,\\\mathrm {E} _{10}&={\frac {46-16}{10}}=\ \ 3,&\lambda _{10}&<{\frac {{\sqrt {46}}+4}{5}}=\ \,3,&\varepsilon _{10}&=\ \ 3.\ \ 3-4=5,\\\mathrm {E} _{11}&={\frac {46-25}{3}}=\ \ 7,&\lambda _{11}&<{\frac {{\sqrt {46}}+5}{5}}=\ \,1,&\varepsilon _{11}&=\ \ 1.\ \ 7-5=2,\\\mathrm {E} _{12}&={\frac {46-\ \ 4}{7}}=\ \ 6,&\lambda _{12}&<{\frac {{\sqrt {46}}+2}{5}}=\ \,1,&\varepsilon _{12}&=\ \ 1.\ \ 6-2=4,\\\mathrm {E} _{13}&={\frac {46-16}{6}}=\ \ 5,\quad &\lambda _{13}&<{\frac {{\sqrt {46}}+4}{5}}=\ \,2,\quad &\varepsilon _{13}&=\ \ 2.\ \ 5-4=6,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{alignedat}}$

Donc, puisque $\mathrm {E_{12}=E}$ et $\mathrm {E_{13}=E_{1}} ,$ on fera $\mathrm {E_{12}=E_{\mu }} ,$ savoir $\mu =12,$ et comme $\mathrm {E} _{8}=1,$ on fera $\mathrm {E} _{8}=E_{m},$ savoir $m=8.$

On formera donc, par les formules $(\varpi )$ du n^o 39, la série $l,l_{1},l_{2},\ldots ,$ jusqu’à $l_{12},$ en cette sorte

${\begin{aligned}l\ \ \ \,=&1,\\l_{1}\ \,=&\ \ 2l\ \ \ \,=2,\\l_{2}\ \,=&\ \ 6l_{1}\ \,+l\ \ \ \,=13,\\l_{3}\ \,=&\ \ 2l_{2}\ \,+l_{1}\ \,=28,\\l_{4}\ \,=&\ \ 1l_{3}\ \,+l_{2}\ \,=41,\\l_{5}\ \,=&\ \ 1l_{4}\ \,+l_{3}\ \,=69,\\l_{6}\ \,=&\ \ 3l_{5}\ \,+l_{4}\ \,=248,\\l_{7}\ \,=&\ \ 1l_{6}\ \,+l_{5}\ \,=317,\\l_{8}\ \,=&12l_{7}\ \,+l_{6}\ \,=4052,\\l_{9}\ \,=&\ \ 1l_{8}\ \,+l_{7}\ \,=4369,\\l_{10}=&\ \ 3l_{9}\ \,+l_{8}\ \,=17\,159,\\l_{11}=&\ \ 1l_{10}+l_{9}\ \,=21\,528,\\l_{11}=&\ \ 1l_{11}+l_{10}=38\,687,\end{aligned}}$

et l’on aura (40, 41)

$\mathrm {R} =\beta l_{7}+l_{6},\quad \mathrm {S} =l_{7},\quad \mathrm {X} =l_{12}-{\frac {\varepsilon l_{11}}{\mathrm {E} }},\quad \mathrm {Y} ={\frac {l_{11}}{\mathrm {E} }},$

savoir, à cause de $\beta =6,$

$\mathrm {R} =2150,\quad \mathrm {S} =317,\quad \mathrm {X} =24335,\quad \mathrm {Y} =3588.$

Donc, supposant en général

$\xi ={\frac {\mathrm {\left(X+Y{\sqrt {B}}\right)} ^{n}+\mathrm {\left(X-Y{\sqrt {B}}\right)} ^{n}}{2}},\quad \psi ={\frac {\mathrm {\left(X+Y{\sqrt {B}}\right)} ^{n}-\mathrm {\left(X-Y{\sqrt {B}}\right)} ^{n}}{2{\sqrt {\mathrm {B} }}}},$

on aura (38)

$r=2150\xi +317\times 46\psi ,\quad s=2150\psi +317\xi ,$

et l’exposant $n$ pourra être quelconque, pourvu que $n\mu +m=16n+8$ soit positif et pair ; de sorte que $n$ pourra être un nombre quelconque entier positif (37).

Maintenant on aura (44), en prenant les signes supérieurs,

$\mathrm {T} ={\frac {\mathrm {BS} +e\mathrm {R} }{\mathrm {E} }}=3147,\quad \mathrm {V} ={\frac {\mathrm {R} +e\mathrm {S} }{\mathrm {E} }}=464,$

et par conséquent

$\rho =3147\xi +464\times 46\psi ,\quad \sigma =3147\psi +464\xi .$

Donc, puisque $p_{2}=r,\ q_{2}=s,\ p_{3}=\rho ,\ q_{3}=\sigma ,$ on aura

${\begin{alignedat}{2}p_{1}=&-\rho +3r=3303\xi +487\times 46\psi ,\quad &q_{1}=&-\sigma +3s=3303\psi +487\xi ,\\p\,\ =&r+2p_{1}=8756\xi +1291\times 46\psi ,&q\,\ =&s+2q_{1}=8756\psi +s1291\xi .\end{alignedat}}$

Faisons à présent $e$ négatif (43), et l’on aura dans ce cas $\lambda <{\frac {{\sqrt {46}}-2}{6}}$ et $>{\frac {{\sqrt {46}}-2}{6}}-1\,;$ donc

$\lambda =0\quad {\text{donc}}\quad \varepsilon =-e=2.$

Ainsi, en prenant $\mathrm {E} =6$ et $\varepsilon =2,$ on formera de nouvelles séries semblables aux précédentes.

Mais, sans se donner cette peine, il suffira de remarquer que les valeurs de $\mathrm {E}$ et de $\varepsilon$ répondent à celles de $\mathrm {E} _{4}$ et de $\varepsilon _{4}$ des séries précédentes ; d’où il s’ensuit que celles de $\mathrm {E,E_{1},E_{2}} ,\ldots ,$ $\varepsilon ,\varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\ldots$ et $\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots$ dont il s’agit ici, répondront à celles de $\mathrm {E_{4},E_{5},E_{6}} ,\ldots ,$ $\varepsilon _{4},\varepsilon _{5},\varepsilon _{6},\ldots$ et $\lambda _{5},\lambda _{6},\ldots$ des séries déjà trouvées, et qu’ainsi il n’y aura qu’à diminuer dans ces mêmes séries tous les exposants de $4$ pour les accommoder au cas présent ; et comme les termes qui ont $12$ et $13$ pour exposants sont les mêmes que ceux qui ont $0$ et $1,$ il est évident que pour continuer les séries il n’y aura qu’à les recommencer après les termes dont l’exposant sera $11$ (voyez l’Exemple suivant et la Remarque du n^o 47) ; de cette manière on trouvera dans le cas présent

$\mathrm {E=6,\quad E_{1}=7,\quad E_{2}=3,\ldots ,\quad E_{4}=1,\ldots ,\quad E_{12}=6,\quad E_{13}=7} ,$

et

$\lambda _{1}=1,\quad \lambda _{2}=3,\quad \lambda _{3}=1,\quad \lambda _{4}=12,\ldots \,;$

donc $m=4$ et $\mu =12$ comme plus haut. Or, puisque les quantités $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ sont toujours les mêmes pour la même valeur de $\mathrm {B}$ (41), il suffira de chercher $\mathrm {R}$ et $\mathrm {S}$ en faisant la série

${\begin{aligned}l\ \,=&1,\\l_{1}=&1l\ \,=1,\\l_{2}=&3l_{1}+l\ \,=4,\\l_{3}=&1l_{2}+l_{1}=5\,;\end{aligned}}$

d’où l’on aura

$\mathrm {R} =\beta l_{3}+l_{2}=34,\quad \mathrm {S} =l_{3}=5,$

et par conséquent

$r=34\xi +5\times 46\psi ,\quad s=34\psi +5\xi ,$

l’exposant $n$ pouvant être de même un nombre quelconque entier positif, à cause que $12n+4$ est toujours pair.

Or, à cause de $e=-2,$ on aura $\mathrm {T} =27$ et $\mathrm {S} =4\,;$ donc

$\rho =27\xi +4\times 46\psi ,\quad \sigma =27\psi +4\xi .$

Donc (28)

${\begin{alignedat}{2}p_{1}=&-\rho -3r=-129\xi -19\times 46\psi ,&q_{1}=&-\sigma -3s=-129\psi -19\xi ,\\p\ \,=&r-2p_{1}=292\xi +43\times 43\times 46\psi ,\quad &q\ \,=&s-2q_{1}=292\psi +43\xi .\end{alignedat}}$

Les expressions de $p$ et $q$ que nous venons de trouver résultent de la supposition de $\alpha =86\,;$ or, comme le nombre $\mathrm {A} =210$ n’est pas premier, il est clair qu’on pourra encore trouver d’autres valeurs de $\alpha$ (24). Pour cela, on décomposera le nombre $210$ en deux facteurs $a$ et $b$ premiers entre eux, et comme $210=2.3.5.7,$ on aura

${\begin{array}{rrrrrrr}a=15,&21,&30,&35,&42,&70,&105,\\b=14,&10,&7,&6,&5,&3,&2,\end{array}}$

de sorte qu’on pourra trouver encore sept autres valeurs de $\alpha .$

1^o Soit $a=15,\ b=14\,;$ on cherchera, suivant la méthode que nous avons déjà pratiquée ci-dessus, la fraction ${\frac {a_{1}}{b_{1}}},$ qui précédera immédiatement la fraction donnée ${\frac {a}{b}}\,;$ et l’on trouvera $a_{1}=1,\ b_{1}=1\,;$ et comme ${\frac {a_{1}}{b_{1}}}<{\frac {a}{b}},$ on aura

$\omega =(1-2ab_{1})\alpha =-29\times 86\,;$

donc

$\beta =mA\pm \omega =210\pm 2494\,;$

donc, faisant $m=12$ et prenant le signe $-,$ pour que la valeur de $\beta$ soit $<{\frac {210}{2}},$ on aura $\beta =26.$

2^o Soit $a=21,\ b=10,$ on trouvera $a_{1}=2,\ b_{1}=1,$ et comme ${\frac {a_{1}}{b_{1}}}<{\frac {a}{b}},$ on aura

$\omega =(1-2ab_{1})\alpha =-41\times 86=-3526\,;$

donc

$\beta =210m\pm 3526\,;$

et, faisant $m=17$ et prenant le signe inférieur, $\beta =44.$

3^o Soit $a=30,\ b=7,$ on trouvera $a_{1}=13,\ b_{1}=3\,;$ donc, comme ${\frac {13}{3}}>{\frac {30}{7}},$ on aura

$\omega =(1+2ab_{1})\alpha =181\times 86=15566\,;$

donc

$\beta =210m\pm 15566\,;$

donc, faisant $m=-74$ et prenant le signe $+,$ on aura $\beta =26,$ comme dans le premier cas.

4^o Soit $a=35,\ b=6,$ on trouvera $a_{1}=6,\ b_{1}=1\,;$ donc, puisque ${\frac {6}{1}}>{\frac {35}{6}},$ on aura

$\omega =(1+2ab_{1})\alpha =71\times 86=6106\,;$

donc

$\beta =210m\pm 6106\,;$

donc, prenant $m=-29$ avec le signe supérieur, on aura $\beta =16.$

5^o Soit $a=42,\ b=5,$ on trouvera $a_{1}=17,\ b_{1}=2\,;$ donc, comme ${\frac {17}{2}}>{\frac {42}{5}},$ on aura

$\omega =(1+2ab_{1})\alpha =169\times 86=14534\,;$

donc

$\beta =210m\pm 14534,$

et prenant $m=-69$ avec le signe supérieur, on aura $\beta =44,$ comme dans le deuxième cas.

6^o Soit $a=70,\ b=3,$ on trouvera $a_{1}=21,\ b=1\,;$ donc, à cause que ${\frac {21}{1}}<{\frac {70}{3}},$

$\omega =(1-2ab_{1})\alpha =-139\times 86=-11954,$

donc

$\beta =210m\pm 11954\,;$

donc, prenant $m=57$ avec le signe inférieur, on aura $\beta =16,$ comme dans le quatrième cas.

7^o Soit $a=105,\ b=2,$ on trouvera $a_{1}=52,\ b_{1}=1\,;$ et comme ${\frac {52}{1}}<{\frac {105}{2}},$ on aura

$\omega =(1-2ab_{1})\alpha =-209\times 86=-17974\,;$

donc

$\beta =210m\pm 17974\,;$

donc, faisant $m=86,$ et prenant le signe inférieur, on aura $\beta =86.$

Ainsi les valeurs de $\beta ,$ c’est-à-dire les nouvelles valeurs de $\alpha ,$ seront (en excluant $86,$ qui est la valeur de $\alpha$ dont nous avons déjà fait usage) $26,44$ et $16\,;$ et mettant ces valeurs dans l’équation

$\mathrm {AA_{1}} =\alpha ^{2}-\mathrm {B} \quad {\text{savoir}}\quad 210\mathrm {A} _{1}=\alpha ^{2}-46,$

on trouvera que les valeurs correspondantes de $\mathrm {A} _{1}$ seront $3,9$ et $1.$

Faisons en premier lieu $\alpha =26$ et $\mathrm {A} _{1}=3,$ on aura les équations

${\begin{alignedat}{3}210.3=&(26)^{2}-46,\quad &\alpha \ \ =&26,&\mathrm {A} _{1}=&3,\\3.(-14)=&(2)^{2}-46,&\alpha _{1}=&-8\mathrm {A} _{1}+\alpha =2,\quad &\mathrm {A} _{2}=&-14,\end{alignedat}}$

et

$p=p_{2}+8p_{1},\quad q=q_{2}+8q_{1}.$

Donc, comme $\alpha _{1}<{\sqrt {\mathrm {B} }}$ et $\mathrm {A} _{1}<{\sqrt {\mathrm {B} }},$ on fera

$\alpha _{1}=e=2,\quad \mathrm {A_{1}=\pm E} =3,\quad \mathrm {A_{2}=\mp D} =-14,$

et par conséquent, en prenant les signes supérieurs, $\mathrm {E=3,\ D} =14\,;$ ensuite on fera

$p_{1}=r,\quad q_{1}=s,\quad p_{2}=\rho ,\quad q_{2}=\sigma ,$

et l’on aura à résoudre l’équation

$3=r^{2}-46s^{2}.$

Or on a (43) $\lambda <{\frac {{\sqrt {\mathrm {B} }}+e}{\mathrm {E} }}$ et $>{\frac {{\sqrt {\mathrm {B} }}+e}{\mathrm {E} }}-1\,;$ donc

$\lambda =2,\quad {\text{donc}}\quad \varepsilon =\lambda \mathrm {E} -e=4.$

Ayant donc $\mathrm {E} =3$ et $\varepsilon =4,$ on verra si dans les séries précédentes il se trouve deux termes comme $\mathrm {E} _{\nu },\varepsilon _{\nu },$ tels que $\mathrm {E} _{\nu }=3,\ \varepsilon _{\nu }=4$ (voyez plus bas la Remarque du n^o 47) ; or, on trouve précisément $\mathrm {E} _{6}=3$ et $\varepsilon _{6}=4,$ de sorte que $\nu =6\,;$ ainsi il n’y aura qu’a diminuer dans ces séries tous les indices de $6$ à l’imitation de ce que nous avons déjà fait ci-dessus ; de cette manière on aura pour le cas présent

$\mathrm {E=3,\quad E_{1}=10,\quad E_{2}} =1,\ldots \,;$

donc $m=2,$ et ensuite

$\lambda _{1}=1,\quad \lambda _{2}=12,\ldots \,;$

donc

${\begin{aligned}l\ \,=&1,\\l_{1}=&1l=1\,;\end{aligned}}$

donc

$\mathrm {R} =\beta l_{1}+l=7,\quad \mathrm {S} =l_{1}=1,$

et par conséquent

$r=7\xi +46\psi ,\quad s=7\psi +\xi .$

Or

$\mathrm {T} ={\frac {\mathrm {BS} +e\mathrm {R} }{\mathrm {E} }}=20,\quad \mathrm {V} ={\frac {\mathrm {R} +e\mathrm {S} }{\mathrm {E} }}=3,$

donc

$\rho =20\xi +3\times 46\psi ,\quad \sigma =20\psi +3\xi .$

Donc, puisque $p_{1}=r,\ q_{1}=s,\ p_{2}=\rho ,\ q_{2}=\sigma ,$ on aura

$p=\rho +8r=76\xi +11\times 46\psi ,\quad q=\sigma +8s=76\psi +11\xi .$

À l’égard de l’exposant $n$ de $\xi$ et $\psi ,$ il pourra être un nombre quelconque entier positif, à cause que $m$ est égal à $2,$ et que $\mu$ est toujours égal à $16,$ comme nous le démontrerons en général (47) ; de sorte que $\mu n+m$ sera toujours pair.

Soit maintenant $e$ négatif et égal à $-2,$ on aura $\lambda =1$ et $\varepsilon =5\,;$ or on trouve dans les séries précédentes $\mathrm {E} _{10}=3,\ \varepsilon _{10}=5\,;$ donc, diminuant tous les indices de $10,$ et recommençant les séries après les termes $\mathrm {E} _{11},\varepsilon _{11},$ comme nous l’avons déjà dit plus haut, on aura dans le cas présent

$\mathrm {E=3,\quad E_{1}=7,\quad E_{2}=6,\ldots ,\quad E_{10}=1} ,$

par conséquent $m=10,$ et

${\begin{array}{lllll}\lambda _{1}=1,&\lambda _{2}=1,&\lambda _{3}=2,&\lambda _{4}=6,&\lambda _{5}=2,\\\lambda _{6}=1,&\lambda _{7}=1,&\lambda _{8}=3,&\lambda _{9}=1,&\lambda _{10}=12,\ldots \,;\end{array}}$

donc

${\begin{aligned}l\ \,=&1,\\l_{1}=&1l\ \,=1,\\l_{2}=&1l_{1}+l\ \,=2,\\l_{3}=&2l_{2}+l_{1}=5,\\l_{4}=&6l_{3}+l_{2}=32,\\l_{5}=&2l_{4}+l_{3}=69,\\l_{6}=&1l_{5}+l_{4}=101,\\l_{7}=&1l_{6}+l_{5}=170,\\l_{8}=&3l_{7}+l_{6}=611,\\l_{9}=&1l_{8}+l_{7}=781,\\\end{aligned}}$

donc

$\mathrm {R} =\beta l_{9}+l_{8}=5297,\quad \mathrm {S} =l_{9}=781,$

et de là

$r=5297\xi +781\times 46\psi ,\quad s=5297\psi +781\xi .$

Or, à cause de $e=-2,$ on aura

$\mathrm {T} ={\frac {\mathrm {BS} +e\mathrm {R} }{\mathrm {E} }}=8\,444,\quad \mathrm {V} ={\frac {\mathrm {R} +e\mathrm {S} }{\mathrm {E} }}=1\,245\,;$

donc

$\rho =8\,444\xi +1\,245\times 46\psi ,\quad \sigma =8\,444\psi +1\,245\xi ,$

donc

$p=\rho -8r=-33\,932\xi -5\,003\times 46\psi ,\quad q=\sigma -8s=-33\,932\psi -5\,003\xi .$

Quant à l’exposant $n,$ il pourra être de même un nombre quelconque entier positif, à cause que $m$ et $\mu$ sont pairs.

Faisons en second lieu $\alpha =44,\ \mathrm {A} _{1}=9,$ on trouvera les équations

${\begin{alignedat}{3}210.9=&(44)^{2}-46,\qquad &\alpha \ \,=&44,&\mathrm {A} _{1}=&9,\\9.(-5)=&1-46,&\alpha _{1}=&5\mathrm {A} _{1}-\alpha =1,\qquad &\mathrm {A} _{2}=&-5,\end{alignedat}}$

et par conséquent

$-p=p_{2}-5p_{1},\quad -q=q_{2}-5q_{1}.$

Donc, ayant $\alpha _{1}<{\sqrt {\mathrm {B} }}$ et $\mathrm {A} _{2}<{\sqrt {\mathrm {B} }},$ on fera

$\alpha _{1}=e=1,\quad \mathrm {A_{2}=\pm E} =-5,\quad \mathrm {A_{1}=\mp D} =9,$

et par conséquent $\mathrm {E} =5$ et $\mathrm {D} =9$ avec les signes inférieurs ; ensuite de quoi on fera

$p_{2}=r,\quad q_{2}=s,\quad p_{1}=\rho ,\quad q_{1}=\sigma ,$

et la nouvelle équation à résoudre sera

$-5=r^{2}-46s^{2}.$

Or, puisqu’on a ici les signes inférieurs, on aura $\lambda <{\frac {{\sqrt {\mathrm {B} }}-e}{\mathrm {E} }}$ et $>{\frac {{\sqrt {\mathrm {B} }}-e}{\mathrm {E} }}-1\,;$ donc

$\lambda =1,\quad {\text{donc}}\quad \varepsilon =\lambda \mathrm {E} +e=6.$

En examinant les séries précédentes, on trouvera justement $\mathrm {E} _{1}=5$ et $\varepsilon _{1}=6\,;$ ainsi il n’y aura qu’a diminuer tous les indices de $1,$ et l’on aura dans le cas présent

$\mathrm {E=5,\quad E_{1}=2,\quad E_{2}=5,\ldots ,\quad E_{7}} =1\,;$

donc $m=7\,;$ et ensuite

$\lambda _{1}=6,\quad \lambda _{2}=2,\quad \lambda _{3}=1,\quad \lambda _{4}=1,\quad \lambda _{5}=3,\quad \lambda _{6}=1,\ldots \,;$

donc

${\begin{aligned}l\ \,=&1,\\l_{1}=&6l\ \,=6,\\l_{2}=&2l_{1}+l\ \,=13,\\l_{3}=&1l_{2}+l_{1}=19,\\l_{4}=&1l_{3}+l_{2}=32,\\l_{5}=&3l_{4}+l_{3}=115,\\l_{6}=&1l_{5}+l_{4}=147\,;\end{aligned}}$

donc

$\mathrm {R} =\beta l_{6}+l_{5}=997,\quad \mathrm {S} =l_{6}=147,$

et de là

$r=997\xi +147\times 46\psi ,\quad s=997\psi +147\xi .$

Or, ayant pris les signes inférieurs, on aura

$\mathrm {T} ={\frac {\mathrm {BS} -e\mathrm {R} }{\mathrm {E} }}=1\,153,\quad \mathrm {V} ={\frac {\mathrm {R} -e\mathrm {S} }{\mathrm {E} }}=170\,;$

donc

$\rho =1\,153\xi +170\times 46\psi ,\quad \sigma =1\,153\psi +170\xi .$

Donc, comme $p_{2}=r,\ q_{2}=s,\ p_{1}=\rho ,\ q_{1}=\sigma ,$ on aura

$p=-r+5\rho =4\,768\xi +703\times 46\psi ,\quad q=-s+5\sigma =4\,768\psi +703\xi .$

Quant à l’exposant $n$ des quantités $\xi$ et $\psi ,$ il faudra que $\mu n+m$ soit impair, à cause qu’on a pris les signes inférieurs (37) ; or, $\mu$ est toujours égal à $16,$ comme on peut s’en assurer en continuant la série $\mathrm {E,E_{1}} ,\ldots ,$ jusqu’à ce que l’on retrouve les deux premiers termes (voyez aussi plus bas le n^o 47), et $m$ est égal à $7\,;$ d’où l’on voit que, quelque valeur entière qu’on donne à $n,$ $\mu n+m$ sera toujours impair ; ainsi $n$ pourra être un nombre quelconque entier positif.

Prenons à présent $e$ négatif, savoir $e=-1,$ on aura $\lambda =1$ et $\varepsilon =4.$ Or, dans les séries précédentes, on trouve $\mathrm {E} _{3}=5$ et $\varepsilon _{3}=4\,;$ donc, diminuant tous les indices de $3,$ on aura pour le cas présent

$\mathrm {E=5,\quad E_{1}=6,\quad E_{2}=7,\ldots ,\quad E_{5}=1} \,;$

donc $m=5,$ et ensuite

$\lambda _{1}=1,\quad \lambda _{2}=1,\quad \lambda _{3}=3,\quad \lambda _{4}=1,\quad \lambda _{5}=12,\ldots ,$

d’où

${\begin{aligned}l\ \,=&1,\\l_{1}=&1l\ \,=1,\\l_{2}=&1l_{1}+l\ \,=2,\\l_{3}=&3l_{2}+l_{1}=7,\\l_{4}=&1l_{3}+l_{2}=9\,;\end{aligned}}$

donc

$\mathrm {R} =\beta l_{4}+l_{3}=61,\quad \mathrm {S} =l_{4}=9,$

et de là

$r=61\xi +9\times 46\psi ,\quad s=61\psi +9\xi .$

Or

$\mathrm {T} ={\frac {\mathrm {BS} -e\mathrm {R} }{\mathrm {E} }}=95,\quad \mathrm {V} ={\frac {\mathrm {R} -e\mathrm {S} }{\mathrm {E} }}=14,$

donc

$\rho =95\xi +14\times 46\psi ,\quad \sigma =95\psi +14\xi ,$

donc

$p=-r-5\rho =-536\xi -79\times 46\psi ,\quad q=-s-5\sigma =-536\psi -79\xi .$

Ici l’exposant $n$ pourra être aussi un nombre quelconque entier positif, à cause que $m=5$ et que $\mu =16,$ ce qui rendra toujours $n\mu +m$ impair.

Soit enfin $\alpha =16$ et $\mathrm {A} _{1}=1,$ on aura

${\begin{alignedat}{3}210.1=&(16)^{2}-46,\qquad &\alpha \ \,=&16,&\mathrm {A} _{1}=&1,\\1.(-45)=&1-46,&\alpha _{1}=&-15\mathrm {A} _{1}+\alpha =1,\qquad &\mathrm {A} _{2}=&-45,\end{alignedat}}$

et

$p=p_{2}+15p_{1},\quad q=q_{2}+15q_{1}.$

Donc, comme $\alpha _{1}$ et $\mathrm {A} _{1}$ sont $<{\sqrt {\mathrm {B} }},$ on fera

$\alpha _{1}=e=1,\quad \mathrm {A_{1}=\pm E} =1,\quad \mathrm {A_{2}=\mp D} =-45\,;$

donc $\mathrm {E=1,\ D} =45,$ avec les signes supérieurs ; ensuite on fera

$p_{1}=r,\quad q_{1}=s,\quad p_{2}=\rho ,\quad q_{2}=\sigma ,$

et l’on aura à résoudre l’équation

$1=r^{2}-46s^{2}.$

Or, ayant $\mathrm {E} =1,$ on aura d’abord $m=0,$ donc (40) $\mathrm {R} =1,\ \mathrm {S} =0,$ et de là

$r=\xi ,\quad s=\psi .$

De plus on aura

$\mathrm {T} ={\frac {\mathrm {BS} +e\mathrm {R} }{\mathrm {E} }}=1,\quad \mathrm {V} ={\frac {\mathrm {R} +e\mathrm {S} }{\mathrm {E} }}=1\,;$

donc

$\rho =\xi +46\psi ,\quad \sigma =\psi +\xi .$

Donc

$p=\rho +15r=16\xi +46\psi ,\quad q=\sigma +15s=16\psi +\xi .$

Faisant ensuite $e$ négatif et égal à $-1,$ on aura toujours $m=0,$ et par conséquent

$\mathrm {R} =1,\quad \mathrm {S} =0,\quad {\text{et}}\quad r=\xi ,\quad s=\psi \,;$

mais on trouvera

$\rho =-\xi +46\psi ,\quad \sigma =-\psi +\xi .$

Quant à l’exposant $n,$ il pourra être de même un nombre quelconque entier positif, à cause de $m=0$ et de $\mu =16,$ ce qui rendra toujours $n\mu$ pair.

Rassemblant toutes les formules que nous venons de trouver, on aura, pour la solution de l’équation proposée

$210=p^{2}-46q^{2},$

les expressions suivantes

${\begin{alignedat}{2}p=&16\xi -46\psi ,&q=&16\psi -\xi ,\\p=&16\xi +46\psi ,&q=&16\psi +\xi ,\\p=&76\xi +11\times 46\psi ,&q=&76\psi +11\xi ,\\p=&292\xi +43\times 46\psi ,&q=&292\psi +43\xi ,\\p=&536\xi +79\times 46\psi ,&q=&536\psi +79\xi ,\\p=&4\,768\xi +703\times 46\psi ,&q=&4\,768\psi +703\xi ,\\p=&8\,756\xi +1\,291\times 46\psi ,&q=&8\,756\psi +1\,291\xi ,\\p=&33\,932\xi +5\,003\times 46\psi ,\qquad &q=&33\,932\psi +5\,003\xi ,\end{alignedat}}$

où

${\begin{aligned}\xi =&{\frac {\left(24\,335+3\,588{\sqrt {46}}\right)^{n}+\left(24\,335-3\,588{\sqrt {46}}\right)^{n}}{2}},\\\psi =&{\frac {\left(24\,335+3\,588{\sqrt {46}}\right)^{n}-\left(24\,335-3\,588{\sqrt {46}}\right)^{n}}{2{\sqrt {46}}}},\end{aligned}}$

$n$ étant un nombre quelconque entier positif.

Et ces formules renfermeront nécessairement toutes les solutions possibles de l’équation dont il s’agit.

Si l’on fait $n=0,$ on aura $\xi =1$ et $\psi =0,$ et les valeurs de $p$ et $q$ deviendront

${\begin{alignedat}{2}p=&16,&q=&1,\\p=&76,&q=&11,\\p=&292,&q=&43,\\p=&536,&q=&79,\\p=&4\,768,&q=&703,\\p=&8\,756,&q=&1\,291,\\p=&33\,932,\qquad &q=&5\,003,\end{alignedat}}$

qui sont les plus petites qui puissent avoir lieu ; ensuite, faisant successivement $n=1,2,3,\ldots ,$ on trouvera des valeurs de $p$ et $q$ toujours plus grandes.

Exemple VI. — Soit encore proposée l’équation

$10=u^{2}-431t^{2}.$

Puisque $10$ ne contient aucun facteur carré, et qu’il est en même temps $<{\sqrt {431}},$ on fera d’abord

$u=r,\quad t=s,\quad \mathrm {E} =10,\quad \mathrm {B} =31,$

et l’on aura une équation de l’espèce de celle du n^o 34.

Suivant la méthode de ce numéro, on cherchera premièrement un ou plusieurs nombres $\varepsilon <{\sqrt {\mathrm {B} }}$ et $>\mathrm {{\sqrt {B}}-E} ,$ tels que $\mathrm {B} -\varepsilon ^{2}$ soit divisible par $\mathrm {E} \,;$ donc, puisque ${\sqrt {431}}$ est à peu près égal à $20,$ il est clair, par les deux premières conditions, que $\varepsilon$ devra être $<21$ et $>10\,;$ ainsi, en essayant pour $\varepsilon$ tous les nombres naturels depuis $10$ jusqu’à $21$ inclusivement, on n’en trouvera que deux qui satisfassent à la troisième condition, lesquels sont $11$ et $19\,;$ de sorte qu’il faudra faire successivement $\varepsilon =11$ et $\varepsilon =19$.

1^o Soit \varepsilon=11, on formera les séries suivantes

${\begin{alignedat}{3}\mathrm {E} \ \,=&10,&&&\varepsilon \ \,=&11,\\\mathrm {E} _{1}=&{\frac {431-11^{2}}{10}}=31,&\lambda _{1}<&{\frac {{\sqrt {431}}+11}{31}}=\ \ 1,&\varepsilon _{1}=&\ \ 1.31-11=20,\\\mathrm {E} _{2}=&{\frac {431-20^{2}}{31}}=\ \ 1,&\lambda _{2}<&{\frac {{\sqrt {431}}+20}{31}}=40,&\varepsilon _{2}=&40.\ \ 1-20=20,\\\mathrm {E} _{3}=&{\frac {431-20^{2}}{1}}=31,&\lambda _{3}<&{\frac {{\sqrt {431}}+20}{40}}=\ \ 1,&\varepsilon _{3}=&\ \ 1.31-20=11,\\\mathrm {E} _{4}=&{\frac {431-11^{2}}{31}}=10,&\lambda _{4}<&{\frac {{\sqrt {431}}+11}{10}}=\ \ 3,&\varepsilon _{4}=&\ \ 3.10-11=19,\\\mathrm {E} _{5}=&{\frac {431-19^{2}}{10}}=\ \ 7,&\lambda _{5}<&{\frac {{\sqrt {431}}+19}{7}}=\ \ 5,&\varepsilon _{5}=&\ \ 5.\ \ 7-19=16,\\\mathrm {E} _{6}=&{\frac {431-16^{2}}{7}}=25,&\lambda _{6}<&{\frac {{\sqrt {431}}+16}{25}}=\ \ 1,&\varepsilon _{6}=&\ \ 1.25-16=\ \ 9,\\\mathrm {E} _{7}=&{\frac {431-\ \ 9^{2}}{25}}=14,&\lambda _{7}<&{\frac {{\sqrt {431}}+\ \ 9}{14}}=20,&\varepsilon _{7}=&\ \ 2.14-\ \ 9=19,\\\mathrm {E} _{8}=&{\frac {431-19^{2}}{14}}=\ \ 5,&\lambda _{8}<&{\frac {{\sqrt {431}}+19}{5}}=\ \ 7,&\varepsilon _{8}=&\ \ 7.\ \ 5-19=16,\\\mathrm {E} _{9}=&{\frac {431-16^{2}}{5}}=35,\qquad &\lambda _{9}<&{\frac {{\sqrt {431}}+16}{35}}=\ \ 1,\qquad &\varepsilon _{9}=&\ \ 1.35-16=19,\\\end{alignedat}}$

${\begin{alignedat}{3}\mathrm {E} _{10}&={\frac {431-19^{2}}{35}}=\ \ 2,\quad &\lambda _{10}&<{\frac {{\sqrt {431}}+19}{2}}=19,\quad &\varepsilon _{10}&=19.\ \ 2-19=19,\\\mathrm {E} _{11}&={\frac {431-19^{2}}{2}}=35,&\lambda _{11}&<{\frac {{\sqrt {431}}+19}{35}}=\ \ 1,&\varepsilon _{11}&=\ \ 1.35-19=16,\\\mathrm {E} _{12}&={\frac {431-16^{2}}{35}}=\ \ 5,&\lambda _{12}&<{\frac {{\sqrt {431}}+16}{5}}=\ \ 7,&\varepsilon _{12}&=\ \ 7.\ \ 5-16=19,\\\mathrm {E} _{13}&={\frac {431-19^{2}}{5}}=14,&\lambda _{13}&<{\frac {{\sqrt {431}}+19}{14}}=\ \ 1,&\varepsilon _{13}&=\ \ 2.14-19=\ \ 9,\\\mathrm {E} _{14}&={\frac {431-\ \ 9^{2}}{14}}=25,&\lambda _{14}&<{\frac {{\sqrt {431}}+\ \ 9}{25}}=\ \ 1,&\varepsilon _{14}&=\ \ 1.25-\ \ 9=16,\\\mathrm {E} _{15}&={\frac {431-16^{2}}{25}}=\ \ 7,&\lambda _{15}&<{\frac {{\sqrt {431}}+16}{7}}=\ \ 5,&\varepsilon _{15}&=\ \ 5.\ \ 7-16=19,\\\mathrm {E} _{16}&={\frac {431-19^{2}}{7}}=10,&\lambda _{16}&<{\frac {{\sqrt {431}}+19}{10}}=\ \ 3,&\varepsilon _{16}&=\ \ 3.10-19=11,\\\mathrm {E} _{17}&={\frac {431-11^{2}}{10}}=31,&\lambda _{17}&<{\frac {{\sqrt {431}}+11}{31}}=\ \ 1,&\varepsilon _{17}&=\ \ 1.31-11=20,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{alignedat}}$

Donc, puisque $\mathrm {E_{16}=E,\ E_{17}=E_{1}} ,$ on aura $\mathrm {E_{16}=E_{\mu }} ,$ c’est-à-dire $\mu =16\,:$ et comme $\mathrm {E} _{2}=1,$ on aura $\mathrm {E} _{2}=\mathrm {E} _{m},$ et par conséquent $m=2\,;$ de sorte que l’équation est résoluble (37).

Ainsi l’on formera, suivant les formules $(\varpi ),$ la série $l,l_{1},l_{2},l_{3},\ldots$ jusqu’au terme $l_{16},$ et l’on trouvera

${\begin{aligned}l\ \,=&\ \ 1,\\l_{1}=&\ \ 1l\ \,=1,\\l_{2}=&40l_{1}+l\ \,=41,\\l_{3}=&\ \ 1l_{2}+l_{1}=42,\\l_{4}=&\ \ 3l_{3}+l_{2}=167,\\l_{5}=&\ \ 5l_{4}+l_{3}=877,\\l_{6}=&\ \ 1l_{5}+l_{4}=1\,044,\\l_{7}=&\ \ 2l_{6}+l_{5}=2\,965,\\l_{8}=&\ \ 7l_{7}+l_{6}=21\,799,\\l_{9}=&\ \ 1l_{8}+l_{7}=24\,764,\end{aligned}}$

${\begin{aligned}l_{10}=&19l_{9}\ \,+l_{8}\ \,=492\,315,\\l_{11}=&\ \ 1l_{10}+l_{9}\ \,=517\,079,\\l_{12}=&\ \ 7l_{11}+l_{10}=4\,111\,868,\\l_{13}=&\ \ 2l_{12}+l_{11}=8\,740\,815,\\l_{14}=&\ \ 1l_{13}+l_{12}=12\,852\,683,\\l_{15}=&\ \ 5l_{14}+l_{13}=73\,004\,230,\\l_{16}=&\ \ 3l_{15}+l_{14}=231\,865\,373.\end{aligned}}$

Donc : 1^o on aura, par le n^o 40,

$\mathrm {R} =\beta l_{1}+l\quad {\text{et}}\quad \mathrm {S} =l_{1},$

c’est-à-dire, à cause de $\beta =20$ racine approchée de $431,$

$\mathrm {R} =21,\quad \mathrm {S} =1.$

2^o On aura, par le n^o 41,

$\mathrm {X} =l_{16}-{\frac {\varepsilon l_{15}}{\mathrm {E} }},\quad \mathrm {Y} ={\frac {l_{15}}{\mathrm {E} }},$

savoir, à cause de $\mathrm {E} =s10$ et $\varepsilon =11,$

$\mathrm {X} =151\,560\,720,\quad \mathrm {Y} =7\,300\,423.$

Donc, faisant

${\begin{aligned}\xi =&{\frac {\mathrm {\left(X+Y{\sqrt {431}}\right)} ^{n}+\mathrm {\left(X-Y{\sqrt {431}}\right)} ^{n}}{2}},\\\psi =&{\frac {\mathrm {\left(X+Y{\sqrt {431}}\right)} ^{n}-\mathrm {\left(X-Y{\sqrt {431}}\right)} ^{n}}{2{\sqrt {431}}}},\end{aligned}}$

on aura en général (38)

$r=21\xi +431\psi ,\quad s=21\psi +\xi ,$

$n$ étant un nombre quelconque positif entier, tel que $n\mu +m,$ savoir $16n+2,$ soit pair, de sorte que $n$ pourra être un nombre positif entier quelconque.

2^o Soit $\varepsilon =19,$ on formera de même les séries

${\begin{alignedat}{3}\mathrm {E} \ \,&=10,&&&\varepsilon \ \,&=19,\\\mathrm {E} _{1}&={\frac {431-19^{2}}{10}}=\ \ 7,&\lambda _{1}&<{\frac {{\sqrt {431}}+19}{7}}=\ \ 5,&\varepsilon _{1}&=\ \ 5.\ \ 7-19=16,\\\mathrm {E} _{2}&={\frac {431-16^{2}}{7}}=25,\quad &\lambda _{2}&<{\frac {{\sqrt {431}}+16}{25}}=\ \ 1,\quad &\varepsilon _{2}&=\ \ 1.25-16=19,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{alignedat}}$

Or, comme les termes $\mathrm {E}$ et $\mathrm {E} _{1}$ sont les mêmes que les termes $\mathrm {E} _{4}$ et $\mathrm {E} _{5}$ des séries précédentes, il est clair que tous les termes suivants seront les mêmes aussi (35), de sorte que, pour avoir les valeurs de $\mathrm {E,E_{1},E_{2}} ,\ldots ,$ $\varepsilon ,\varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\ldots ,$ $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3},\ldots ,$ dans le cas de $\varepsilon =19,$ il n’y aura qu’à prendre celles que nous avons trouvées ci-dessus en diminuant tous les indices de $4,$ afin que le terme $\mathrm {E} _{4}$ devienne $\mathrm {E} \,;$ mais, comme les deux premiers termes de $\mathrm {E}$ et $\mathrm {E} _{1}$ sont ici $10$ et $7,$ il faudra continuer les séries précédentes jusqu’à ce qu’on retrouve les mêmes termes. Or, pour cela il suffit de remarquer que, puisque les deux derniers termes $\mathrm {E} _{16}$ et $\mathrm {E} _{17}$ sont les mêmes que les deux premiers $\mathrm {E,E_{1}} ,$ le terme $\mathrm {E} _{18}$ sera le même que le terme $\mathrm {E} _{2},$ et ainsi des autres. De là il est aisé de voir qu’en prenant $\mathrm {E} _{4}$ pour $\mathrm {E} ,$ $\mathrm {E} _{5}$ pour $\mathrm {E} _{1},\ldots ,$ on aura $\mathrm {E} _{14}=1,$$\mathrm {E_{16}=10,\ E_{17}=7} ,$ par conséquent $m=14$ et $\mu =16,$ et que les valeurs de $\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots$ jusqu’à $\lambda _{13}$ seront

$\lambda _{1}=5,\quad \lambda _{2}=1,\quad \lambda _{3}=2,\quad \lambda _{4}=7,\quad \lambda _{5}=1,\quad \lambda _{6}=19,$

$\lambda _{7}=1,\quad \lambda _{8}=7,\quad \lambda _{9}=2,\quad \lambda _{10}=1,\quad \lambda _{11}=5,\quad \lambda _{12}=3,\quad \lambda _{13}=1,$

à l’aide desquelles, si l’on forme la nouvelle série $l,l_{1},l_{2},\ldots ,l_{13},$

${\begin{aligned}l\ \,=&\ \ 1,\\l_{1}=&\ \ 5l\ \,=5,\\l_{2}=&40l_{1}+l\ \,=6,\\l_{3}=&\ \ 2l_{2}+l_{1}=17,\\l_{4}=&\ \ 7l_{3}+l_{2}=125,\\l_{5}=&\ \ 1l_{4}+l_{3}=142,\\l_{6}=&19l_{5}+l_{4}=2\,823,\end{aligned}}$

${\begin{aligned}l_{7}\ \,=&1l_{6}\ \,+l_{5}\ \,=2\,965,\\l_{8}\ \,=&7l_{7}\ \,+l_{6}\ \,=23\,578,\\l_{9}\ \,=&2l_{8}\ \,+l_{7}\ \,=4\,50\,121,\\l_{10}=&1l_{9}\ \,+l_{8}\ \,=8\,73\,699,\\l_{11}=&5l_{10}+l_{9}\ \,=418\,616,\\l_{12}=&3l_{11}+l_{10}=1\,329\,547,\\l_{13}=&1l_{12}+l_{11}=1\,748\,163,\end{aligned}}$

on aura

$\mathrm {R} =\beta l_{13}+l_{12}\quad {\text{et}}\quad \mathrm {S} =l_{13},$

et par conséquent, $\beta$ étant égal à $20,$

$\mathrm {R} =32\,807,\quad \mathrm {S} =1\,748\,163,$

d’où

$r=36\,292\,807\xi +753\,458\,253\psi ,\quad s=36\,292\,807\psi +1\,748\,163\xi .$

À l’égard des valeurs de $\xi$ et $\psi ,$ elles seront les mêmes que ci-dessus, car $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ sont toujours les mêmes pour une même valeur de $\mathrm {B}$ (41), et, quant au nombre $n,$ il pourra être de même un nombre quelconque entier positif, parce que, à cause de $\mu =16$ et $m=14,$ $\mu n+m$ sera toujours pair comme il le faut (37).

On voit par là que les plus petits nombres qui résolvent l’équation proposée sont

$r=21,\quad s=1,$

qui résultent de la première formule en y faisant $n=0,$ ce qui donne $\xi =1$ et $\psi =0\,;$ ensuite, en faisant de même $n=0$ dans la seconde formule, on aura les nombres immédiatement plus grands qui peuvent résoudre la même équation, et qui sont

$r=36\,292\,807,\quad s=1\,748\,163,$

et l’on peut être assuré qu’entre ces nombres-ci et ceux-là il n’y en a pas d’autres qui puissent satisfaire à l’équation dont il s’agit.

Au reste, puisqu’on a trouvé $\mu$ et $m$ pairs à la fois, il s’ensuit que cette équation

$-10=r_{2}-431s^{2}$

n’est point résoluble en nombres entiers (37).

47. Remarque. — Quand on a une fois trouvé, pour une équation quelconque,

$\pm \mathrm {E} =r^{2}-\mathrm {B} s^{2},$

les valeurs de $\mathrm {E_{1},E_{2},E_{3}} ,\ldots$ jusqu’à $\mathrm {E} _{\mu }$ ( $\mathrm {E} _{\mu }$ étant égal à $\mathrm {E}$ et $\mathrm {E_{\mu +1}=E_{1}}$), ainsi que celles de $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3},\ldots ,\lambda _{\mu },$ et que dans la période $\mathrm {E,E_{1}} ,$$\mathrm {E_{2}} ,\ldots ,\mathrm {E} _{\mu -1}$ il se trouve un terme égal à l’unité, ce qui est nécessaire pour que l’équation $\pm \mathrm {E} =r^{2}-\mathrm {B} s^{2}$ soit résoluble, alors les mêmes valeurs peuvent servir pour résoudre aussi toute autre équation comme

$\pm \mathrm {F} =r^{2}-\mathrm {B} s^{2},$

$\mathrm {F}$ étant $<{\sqrt {\mathrm {B} }}.$ Car nous avons déjà démontré (41) que les valeurs de $\mathrm {X}$ et de $\mathrm {Y}$ sont toujours les mêmes pour une même valeur de $\mathrm {B} ,$ et nous y avons vu que la série $\mathrm {E} _{m},\mathrm {E} _{m+1},\mathrm {E} _{m+2},\ldots ,\mathrm {E} _{m+\mu -1}$ ($\mathrm {E} _{m}$ étant égal à $1$) est toujours aussi nécessairement la même, pour la même valeur de $\mathrm {B} \,;$ d’où il s’ensuit, à cause de $\mathrm {E_{\mu }=E} ,$ $\mathrm {E_{\mu +1}=E_{1}} ,\ldots ,$ que la série $\mathrm {E} _{m},\mathrm {E} _{m+1},\ldots ,\mathrm {E} _{\mu -1},$ $\mathrm {E,E_{1}} ,$$\ldots ,\mathrm {E} _{m-1}$ sera aussi toujours la même, et que par conséquent la série $\mathrm {E,E_{1},E_{2}} ,\ldots ,\mathrm {E} _{\mu -1}$ contiendra toujours nécessairement les mêmes termes, quel que soit le premier terme $\mathrm {E} ,$ pourvu qu’il s’y trouve un terme comme $\mathrm {E} _{m}$ égal à l’unité.

Ainsi, étant proposée l’équation

$\pm \mathrm {F} =r^{2}-\mathrm {B} s^{2}$

on verra si le nombre $\mathrm {F}$ se trouve parmi les valeurs de $\mathrm {E,E_{1},E_{2}} ,\ldots ,\mathrm {E} _{\mu -1}\,;$ si l’on trouve, par exemple, $\mathrm {F=E} _{\rho },$ alors il n’y aura qu’à prendre ce terme $\mathrm {E} _{\rho }$ le premier, et continuer la suite $\mathrm {E_{\rho },E_{\rho +1}} \ldots$ jusqu’à ce qu’on retrouve deux termes consécutifs identiques avec $\mathrm {E} _{\rho }$ et $\mathrm {E} _{\rho +1}$ en recommençant toujours la série $\mathrm {E,E_{1},E_{2}} ,\ldots$ quand on sera parvenu au dernier terme $\mathrm {E} _{\mu -1}$ ou bien, pour que le premier terme soit toujours désigné

par $\mathrm {E} ,$ il n’y aura qu’à diminuer, dans la série déjà trouvée $\mathrm {E,E_{1},E_{2}} ,\ldots ,$ $\mathrm {E} _{\mu -1},$ tous les indices du nombre $\rho ,$ en les augmentant de $\mu$ lorsqu’ils deviendront négatifs.

On en fera de même à l’égard de la série correspondante $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3},$$\ldots ,\lambda _{\mu },$ et l’on aura par ce moyen les nouvelles séries $\mathrm {E,E_{1},E_{2}} ,\ldots ,\mathrm {E} _{\mu -1},$ et $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3},\ldots ,\lambda _{\mu },$ relatives à l’équation

$\pm \mathrm {F} =r^{2}-\mathrm {B} s^{2},$

et à l’aide desquelles on cherchera seulement les nombres $\mathrm {R}$ et $\mathrm {S} ,$ puisqu’on connaît déjà les nombres $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y} .$ Il faudra cependant, pour que le Problème soit soluble, que les nouveaux indices $m$ et $\mu$ aient les conditions requises (37) ; c’est ce qu’il faudra d’abord examiner pour ne pas faire des calculs inutiles. Quant à $\mu$ il aura toujours la même valeur, parce que chaque période de la série contenant toujours nécessairement les mêmes termes, il faudra aussi que le nombre $\mu$ de ces termes soit toujours le même ; ainsi il ne s’agira que d’avoir $m.$ Or, si l’on appelle $m'$ l’exposant du terme qui était égal à l’unité dans la première série, il est clair qu’on aura $m=m'-\rho$ si $m'>\rho ,$ ou $m=\mu +m'-\rho$ si $m'<\rho \,;$ de cette manière on connaîtra sur-le-champ si la nouvelle équation est résoluble ou non.

Si au, contraire le nombre $\mathrm {F}$ ne se trouve point dans la série $\mathrm {E,E_{1},E_{2}} ,\ldots ,\mathrm {E} _{\mu -1},$ alors ce sera une marque sûre que l’équation

$\pm \mathrm {F} =r^{2}-\mathrm {B} s^{2}$

n’est point résoluble ; car si l’on formait d’après le nombre $\mathrm {F}$ la série $\mathrm {F,F_{1},F_{2}} ,\ldots ,$ analogue à la série $\mathrm {E,E_{1},E_{2}} ,\ldots ,$ on n’y trouverait point de terme égal à l’unité.

Il s’ensuit aussi de ce que nous venons de dire que, lorsqu’on a calculé la série $\mathrm {E,E_{1},E_{2}} ,\ldots ,\mathrm {E} _{\mu -1}$ d’après une valeur de $\varepsilon ,$ alors on peut se dispenser de chercher d’autres valeurs de $a$ (34), et il n’y aura qu’à voir si dans cette série il y a d’autres termes égaux à $\mathrm {E} ,$ et former ensuite de nouvelles séries dont ces termes soient les premiers, comme nous venons de l’expliquer ; par exemple, si $\mathrm {E_{\rho }=E} ,$ $\rho$ étant $<\mu -1,$ on diminuera tous les indices de $\rho ,$ en ajoutant $\mu$ lorsque les restes deviendront négatifs, et l’on aura les nouvelles séries $\mathrm {E_{1},E_{2},E_{3}} ,\ldots ,$ $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3},\ldots ,$ à l’aide desquelles on trouvera de nouvelles valeurs de $\mathrm {R}$ et $\mathrm {S} \,:$ c’est ainsi que nous en avons déjà usé dans l’Exemple V.

Ayant résolu plus haut l’équation

$10=r^{2}-431s^{2},$

supposons maintenant qu’il s’agisse de résoudre encore l’équation

$2=r^{2}-431s^{2}.$

Je trouve, en examinant les valeurs des termes $\mathrm {E,E_{1},E_{2},\ldots ,E_{16}} ,$ trouvées ci-dessus, que $\mathrm {E} _{10}=2\,;$ or, comme on avait $m=2$ et $\mu =16,$ la nouvelle valeur de $m$ sera (à cause de $\rho =2$ et $m'=2$) $16+2-10=8,$ d’où je conclus que l’équation dont il s’agit est résoluble (37).

Je diminuerai donc tous les indices de $10,$ en y ajoutant $16$ lorsqu’il viendra des restes négatifs, et j’aurai les valeurs suivantes de $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3},\ldots ,$ jusqu’à $\lambda _{7},$ c’est-à-dire $\lambda _{\mu -1},$ qui sont les seules dont nous ayons besoin pour trouver $\mathrm {R}$ et $\mathrm {S} ,$

${\begin{aligned}\lambda _{1}=&1,\\\lambda _{2}=&7,\\\lambda _{3}=&2,\\\lambda _{4}=&1,\\\lambda _{5}=&5,\\\lambda _{6}=&3,\\\lambda _{7}=&1,\end{aligned}}\qquad \mathrm {d'o{\grave {u}}} \qquad {\begin{aligned}l_{1}=&1,\\l_{2}=&8,\\l_{3}=&17,\\l_{4}=&25,\\l_{5}=&142,\\l_{6}=&451,\\l_{7}=&593,\end{aligned}}$

Ainsi, à cause de $\beta =20,$ on trouvera

$\mathrm {R} =\beta l_{7}+l_{6}=12\,311,\quad \mathrm {S} =l_{7}=593\,;$

de sorte qu’on aura ici

$r=12\,311\xi +255\,583\psi ,\quad s=12\,311\psi +593\xi ,$

les valeurs de $\xi$ et $\psi$ étant exprimées comme dans l’Exemple VI.

De même, si j’avais à résoudre l’équation

$2=r^{2}-30s^{2},$

je verrais si le nombre $2$ se trouve dans la série $\mathrm {E,E_{1}} ,\ldots$ de l’Exemple IV : et comme il ne s’y trouve point, j’en conclus sur-le-champ qu’une telle équation n’est point résoluble en nombres entiers.

En effet, si l’on fait $\mathrm {E} =2,$ et qu’on cherche les termes suivants $\mathrm {E_{1},E_{2}} ,\ldots$ par la méthode générale, il faudra d’abord trouver un nombre $\varepsilon <{\sqrt {30}}$ et $>{\sqrt {30}}-2,$ et qui soit tel que $30-\varepsilon _{2}$ soit divisible par $2\,;$ d’où l’on voit qu’on ne peut prendre que $\varepsilon =4.$ Soient donc

${\begin{alignedat}{3}\mathrm {E} \ \,=&2,&&&\varepsilon \ \,=&4,\\\mathrm {E} _{1}=&{\frac {30-16}{2}}=7,\quad &\lambda _{1}<&{\frac {{\sqrt {30}}+2}{7}}=1,\quad &\varepsilon _{1}=&7-4=3,\\\mathrm {E} _{2}=&{\frac {30-\ \ 9}{7}}=3,&\lambda _{2}<&{\frac {{\sqrt {30}}+3}{3}}=2,&\varepsilon _{2}=&6-3=3,\\\mathrm {E} _{3}=&{\frac {30-\ \ 9}{3}}=7,&\lambda _{3}<&{\frac {{\sqrt {30}}+3}{7}}=1,&\varepsilon _{3}=&7-3=4,\\\mathrm {E} _{4}=&{\frac {30-16}{7}}=2,&\lambda _{4}<&{\frac {{\sqrt {30}}+4}{2}}=4,&\varepsilon _{4}=&8-4=4,\\\mathrm {E} _{5}=&{\frac {30-16}{2}}=7,\end{alignedat}}$

où l’on voit que dans la série $\mathrm {E,E_{1}} ,\ldots$ il n’y a aucun terme égal à l’unité.

Application à l’équation $\pm 1=r^{2}-\mathrm {B} s^{2},$ $\mathrm {B}$ étant un nombre positif
non carré.

48. Comme $1$ est $<{\sqrt {\mathrm {B} }},$ cette équation sera toujours dans le cas de celle du n^o 34, en faisant $\mathrm {E} =1.$

On commencera donc par chercher un nombre entier positif $\varepsilon <{\sqrt {\mathrm {B} }}$ et $>{\sqrt {\mathrm {B} }}-1,$ tel que $\mathrm {B} -\varepsilon _{2}$ soit divisible par $1\,;$ d’où l’on voit que $\varepsilon$ ne pourra être que le nombre entier qui est immédiatement moindre, que ${\sqrt {\mathrm {B} }},$ et que nous avons déjà désigné en général par $\beta$ (40), de sorte qu’on aura nécessairement $\varepsilon =\beta .$

Connaissant ainsi $\varepsilon$ et $\mathrm {E} ,$ on formera les séries $\mathrm {E,E_{1},E_{2}} ,\ldots ,$ $\varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\ldots$ et $\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,$ à l’aide des formules $(\varkappa ),$ $(\lambda )$ et $(\mu ),$ et l’on poussera ces séries jusqu’à ce que l’on trouve deux termes consécutifs comme $\mathrm {E_{\mu },E} _{\mu +1}$ identiques avec les deux premiers $\mathrm {E,E_{1}} ,$ ce qui arrivera toujours nécessairement, comme nous l’avons démontré en général dans le n^o 35 ; alors il n’y aura plus qu’à chercher les valeurs de $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ par les formules du n^o 41, et comme on a $\mathrm {E} =1$ et par conséquent $\mathrm {E} _{m}=\mathrm {E}$ (37), savoir $m=0,$ on remarquera que la série $\Lambda _{1},\Lambda _{2},\Lambda _{3},\ldots$ sera la même que la série $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3},\ldots ,$ et que par conséquent la série $\mathrm {L,L_{1},L_{2}} ,\ldots$ sera aussi la même que la série $l,l_{1},l_{2},\ldots$ du n^o 39 ; de sorte qu’ayant formé cette dernière série par les formules $(\varpi ),$ on aura sur-le-champ

$\mathrm {Y} =\beta l_{\mu -1}+l_{\mu -2},\quad \mathrm {Y} =l_{\mu -1}.$

Or, puisque $m=0,$ on aura (40)

$\mathrm {R} =1,\quad \mathrm {S} =0,$

et de là

$r=\xi ,\quad s=\psi \,;$

donc on aura en général (38)

${\begin{aligned}r=&{\frac {\mathrm {\left(X+Y{\sqrt {B}}\right)} ^{n}+\mathrm {\left(X-Y{\sqrt {B}}\right)} ^{n}}{2}},\\s=&{\frac {\mathrm {\left(X+Y{\sqrt {B}}\right)} ^{n}-\mathrm {\left(X-Y{\sqrt {B}}\right)} ^{n}}{2{\sqrt {\mathrm {B} }}}},\end{aligned}}$

$n$ étant un nombre entier positif tel, que $n\mu$ soit pair ou impair, suivant que l’équation sera (37)

$1=r^{2}-\mathrm {B} s^{2}\quad {\text{ou}}\quad -1=r^{2}-\mathrm {B} s^{2}.$

Donc : 1^o si l’équation est

$1=r^{2}-\mathrm {B} s^{2},$

$n\mu$ devra être pair ; donc, si $\mu$ est pair, on pourra prendre pour $n$ un

nombre quelconque entier positif ; si

\mu est impair, il ne faudra prendre pour $n$ que des nombres pairs ; ainsi, toute équation de la forme

$1=r^{2}-\mathrm {B} s^{2}$

est toujours résoluble en nombres entiers.

2^o Si l’équation est

$-1=r^{2}-\mathrm {B} s^{2},$

il faudra que $n\mu$ soit impair, ce qui ne saurait être à moins que $\mu$ ne soit aussi impair, d’où il s’ensuit que si l’indice ou le quantième $\mu$ est un nombre pair, alors l’équation

$-1=p^{2}-\mathrm {B} q^{2}$

n’est jamais résoluble en nombres entiers ; au contraire, si l’indice $\mu$ est impair, alors l’équation peut se résoudre par les formules précédentes, en ne prenant pour $n$ que des nombres impairs.

49. J’avais déjà donné ailleurs (voyez le tome IV des Recueils de l’Académie de Turin)^[2] une démonstration de cette proposition, que toute équation de la forme

$1=p^{2}-\mathrm {B} q^{2},$

$\mathrm {B}$ étant positif non carré, est toujours résoluble en nombres entiers d’une infinité de manières ; et j’y avais aussi joint une méthode générale pour trouver en même temps toutes les solutions dont une telle équation peut être susceptible. Celle que je viens de donner est non-seulement plus directe et plus simple, mais elle a encore l’avantage de faire voir que l’équation dont il s’agit est toujours résoluble quel que soit $\mathrm {B} ,$ ce que je n’avais pu démontrer alors que par un assez long circuit.

Au reste, il est clair que les séries $\mathrm {E,E_{1},E_{2},\ldots ,E_{\mu -1}}$ et $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3},\ldots ,$ qui résultent de la supposition de $\mathrm {E} =1,$ serviront pour résoudre absolument toutes les équations de la forme

$\pm \mathrm {E} =r^{2}-\mathrm {B} s^{2},$

quelle que soit la valeur de $\mathrm {E} ,$ pourvu qu’elle soit $<{\sqrt {\mathrm {B} }},$ par la Remarque du n^o 47, parce que, dans ce cas, l’unité se trouve nécessairement parmi les termes de la période $\mathrm {E,E_{1},E_{2}} ,\ldots .$

§ IV. — Méthode générale pour reconnaître quand un nombre quelconque donné $\mathrm {A}$ peut être un diviseur d’un nombre de la forme $\alpha ^{2}-\mathrm {B} ,$ $\mathrm {B}$ étant aussi donné, et pour trouver la valeur de $\alpha$ dans un très-grand nombre de cas.

50. Les méthodes que nous venons de donner dans les §§ II et III demandent toujours qu’on trouve un nombre $\alpha$ moindre que ${\frac {\mathrm {A} }{2}},$ et tel que $\alpha ^{2}-\mathrm {B}$ soit divisible par $\mathrm {A} \,;$ pour y parvenir, nous avons proposé d’essayer successivement pour $\alpha$ tous les nombres naturels moindres que ${\frac {\mathrm {A} }{2}},$ ce qui est très-facile ; mais, comme cette opération serait souvent très-longue, surtout lorsqu’il n’existe point de pareil nombre $\alpha ,$ auquel cas il faudrait essayer successivement tous les nombres moindres que ${\frac {\mathrm {A} }{2}},$ pour pouvoir $s$ assurer qu’aucun d’eux ne puisse être pris pour $\alpha ,$ j’ai cru qu’il ne serait pas inutile de donner ici quelques règles générales pour reconnaître à priori si un nombre quelconque donné $\mathrm {A}$ peut être un diviseur de $\alpha ^{2}-\mathrm {B} \,:$ nous y joindrons d’ailleurs une méthode pour trouver la valeur de $\alpha$ dans un très-grand nombre de cas.

51. Il est d’abord évident que, si $\mathrm {A}$ n’est pas un nombre premier, il faut que $\alpha ^{2}-\mathrm {B}$ soit divisible par chacun des facteurs premiers de $\mathrm {A}$ en particulier. Voyons donc à quel caractère on peut connaître si un nombre premier donné $a$ peut être un diviseur d’un nombre de cette forme $\alpha ^{2}-\mathrm {B} ,$ $\mathrm {B}$ étant un nombre donné positif ou négatif.

Si $a$ est un diviseur de $\mathrm {B} ,$ il est visible qu’il peut l’être aussi de $\alpha ^{2}-\mathrm {B} ,$ puisqu’il ne s’agit que de prendre pour $a$ un multiple de $a$ De plus, si $a$ est égal à $2$ et que $\mathrm {B}$ soit impair, il est clair aussi que $\alpha ^{2}-\mathrm {B}$ peut toujours être divisible par $a,$ car il n’y aura qu’à prendre pour $\alpha$ un nombre quelconque impair.

Ainsi, la difficulté se réduit au cas où $a$ est un nombre premier qui ne soit pas un diviseur de $\mathrm {B}$ et qui soit en même temps différent de $2.$

Or je dis que, dans ce cas, $\alpha ^{2}-\mathrm {B}$ ne peut être divisible par $a$ à moins que $\mathrm {B} ^{\frac {a-1}{2}}-1$ ne le soit aussi.

Pour démontrer ce théorème, je fais ${\frac {a-1}{2}}=m,$ et je multiplie $\alpha ^{2}-\mathrm {B}$ par la quantité suivante.

$\alpha ^{2(m-1)}+\alpha ^{2(m-2)}\mathrm {B} +\alpha ^{2(m-3)}\mathrm {B} ^{2}+\ldots +\mathrm {B} ^{m-1},$

que je nommerai $\mathrm {P} \,;$ j’aurai

$\left(\alpha ^{2}-\mathrm {B} \right)\mathrm {P} =\alpha ^{2m}-\mathrm {B} ^{m}=\alpha ^{a-1}-\mathrm {B} ^{m}=\alpha ^{a-1}-1-\left(\mathrm {\mathrm {B} } ^{m}-1\right).$

Or, puisque $\mathrm {B}$ (par hypothèse) n’est pas divisible par $a,$ il est clair que, pour que $\alpha ^{2}-\mathrm {B}$ soit divisible par $a,$ $\alpha$ ne doit pas l’être : de plus, $a$ est un nombre premier (par hypothèse), donc, par le théorème connu de Fermat (voyez la page 163 de ses Œuvres mathématiques), que M. Euler a démontré dans les Commentaires de Pétersbourg, le nombre $\alpha ^{a-1}-1$ sera toujours divisible par $a\,;$ donc, si $\alpha ^{2}-\mathrm {B}$ est divisible par $a,$ il faudra nécessairement que $\mathrm {B} ^{m}-1$ ou bien $\mathrm {B} ^{\frac {a-1}{2}}-1$ le soit aussi.

Il en sera de même si $u^{2}-\mathrm {B} t^{2}$ doit être divisible par $a$, en supposant $u$ et $t$ premiers à $a\,;$ car mettant $\mathrm {B} t^{2}$ à la place de $\mathrm {B} ,$ on aura d’abord $\mathrm {B} ^{\frac {a-1}{2}}t^{a-1}-1$ divisible par $a,$ mais $t^{a-1}-1$ est toujours divisible par $a,$ donc il faudra que $\mathrm {B} ^{\frac {a-1}{2}}-1$ le soit aussi.

52. Je dis maintenanl que, si $a$ est tel que $\mathrm {B} ^{\frac {a-1}{2}}-1$ soit divisible par $a$, on pourra toujours trouver un nombre $\alpha$ tel que $\alpha ^{2}-\mathrm {B}$ soit aussi divisible par $a.$ En effet, l’équation

$\left(\alpha ^{2}-\mathrm {B} \right)\mathrm {P} =\alpha ^{a-1}-1-(\mathrm {B} ^{m}-1)$

du numéro précédent fait voir que, si $\mathrm {B} ^{m}-1$ est divisible par $a$, $\left(\alpha ^{2}-\mathrm {B} \right)\mathrm {P}$ le sera aussi, à cause que $\alpha ^{a-1}-1$ est toujours divisible par $a\,;$ donc, puisque $a$ est un nombre premier, il finit que l’un ou l’autre des deux facteurs $\alpha ^{2}-\mathrm {B}$ et $\mathrm {P}$ soit divisible par $a\,;$ par conséquent, si l’on peut trouver une valeur de $\alpha$ telle que $\mathrm {P}$ ne soit pas divisible par $a$, cette valeur rendra nécessairement $\alpha ^{2}-\mathrm {B}$ divisible par ce même nombre $a.$

Or, en mettant ${\frac {a-1}{2}}$ à la place de $m,$ on a

$\mathrm {P} =\alpha ^{a-3}+\mathrm {B} \alpha ^{a-5}+\mathrm {B} ^{2}\alpha ^{a-7}+\ldots +\mathrm {B} ^{\frac {a-3}{2}}\,;$

qu’on substitue successivement dans cette quantité les nombres $1,2,3,\ldots$ jusqu’à $a-2$ à la place de $\alpha ,$ et qu’on désigne les valeurs correspondantes de $\mathrm {P}$ par $\mathrm {P_{1},P_{2},P_{3}} ,\ldots ,$ il est facile de voir par la théorie des différences que l’on aura

$\mathrm {P} _{1}-(a-3)\mathrm {P} _{2}+{\frac {(a-3)(a-4)}{2}}\mathrm {P} _{3}+\ldots +\mathrm {P} _{a-2}=1.2.3.4\ldots (a-3).$

Donc, si tous les nombres $\mathrm {P_{1},P_{2},P_{3}} ,\ldots$ jusqu’à $\mathrm {P} _{a-2}$ inclusivement étaient divisibles par $a,$ il faudrait que le nombre $1.2.3\ldots (a-3)$ le fût aussi ; ce qui ne pouvant être, à cause que $a$ est un nombre premier, il s’ensuit qu’il y aura nécessairement quelqu’un des nombres $\mathrm {P_{1},P_{2},P_{3}} ,\ldots$ qui ne sera pas divisible par $a\,;$ par conséquent, il y aura toujours nécessairement au moins un nombre moindre que $a-1,$ lequel étant pris pour $\alpha$ rendra $\mathrm {P}$ non divisible par $a\,;$ donc ce nombre sera tel que $\alpha ^{2}-\mathrm {B}$ sera divisible par $a.$

Ces deux théorèmes sont dus à M. Euler (voyez les tomes I et VI des Nouveaux Commentaires de Pétersbourg), mais il ne paraît pas que ce grand Géomètre ait jamais pensé à l’usage dont ils peuvent être dans la résolution des équations de la forme $\mathrm {A} =u^{2}-\mathrm {B} t^{2}$ (voyez le tome IX des mêmes Commentaires).

53. Nommons $\xi$ cette valeur de $\alpha \,;$ il est clair que, si $\xi >{\frac {a}{2}},$ $a-\xi$ sera $<{\frac {a}{2}}$ à cause de $\xi <a\,;$ ainsi l’on trouvera toujours une autre valeur de $\alpha$ moindre que ${\frac {a}{2}}.$ En général, quel que soit $\xi ,$ il n’y aura qu’à prendre $\alpha =\mu a\pm \xi$ (10), et l’on pourra toujours déterminer le nombre indéterminé $\mu$ et le signe de $\xi ,$ en sorte que $\alpha$ soit moindre que ${\frac {a}{2}}.$

Ainsi, dès qu’on aura reconnu que $\mathrm {B} ^{\frac {a-1}{2}}$ est divisible par $a,$ on sera sûr qu’il existe toujours un nombre $\alpha <{\frac {a}{2}}$ tel que $\alpha ^{2}-\mathrm {B}$ soit divisible par $a\,;$ de sorte que, pour trouver ce nombre, il n’y aura qu’a essayer successivement tous les nombres naturels moindres que ${\frac {a}{2}}.$

54. Si $a$ est de la forme $4n+3,$ alors comme $\mathrm {B} ^{\frac {a-1}{2}}-1$ est divisible par $a,$ $\mathrm {B} ^{2n+1}$ le sera ; donc $\mathrm {B} ^{2(n+1)}-\mathrm {B}$ le sera aussi ; donc, si l’on fait

$\xi =\mathrm {B} ^{n+1}=\mathrm {B} ^{\frac {a+1}{4}},$

on trouvera par la formule $\alpha =\mu a\pm \xi$ une valeur de $\alpha <{\frac {a}{2}}$ telle que $\alpha ^{2}-\mathrm {B}$ soit divisible par $a\,;$ ainsi l’on peut toujours dans ce cas trouver la valeur de $\alpha \,;$ il n’en est pas de même lorsque $a$ est de la forme de $4n+1,$ à moins que l’on ne trouve par hasard une puissance impaire de $\mathrm {B}$ comme $\mathrm {B} ^{2r+1}$ telle que $\mathrm {B} ^{2r+1}-1$ soit divisible par $a,$ auquel cas on pourra faire $\xi =\mathrm {B} ^{r+1}$

55. Supposons maintenant que l’on ait trouvé un nombre $\xi$ tel que $\xi ^{2}-\mathrm {B}$ soit divisible par $a$ (nous supposons toujours que $a$ est différent de $2$ et qu’il n’est pas un diviseur de $\mathrm {B}$), je dis qu’on pourra toujours trouver un nombre $\xi _{1}$ tel que $\xi _{1}^{2}-\mathrm {B}$ soit divisible par $a^{2}.$

Car, soit

$\xi _{1}=\xi +\lambda a,$

on aura

$\xi _{1}^{2}-\mathrm {B} =\lambda ^{2}a^{2}+2\lambda a\xi +\xi ^{2}-\mathrm {B} \,;$

or, $\xi ^{2}-\mathrm {B}$ étant divisible par $a,$ on a $\xi ^{2}-\mathrm {B} =\varpi a\,;$ donc

$\xi _{1}^{2}-\mathrm {B} =\lambda ^{2}a^{2}+\left(2\lambda \xi +\varpi \right)a\,;$

d’où l’on voit que cette quantité sera divisible par $a^{2}$ si $2\lambda \xi +\varpi$ est un multiple de $a,$ c’est-à-dire si $2\lambda \xi +\varpi =\mu a\,;$ ainsi il ne s’agira que de déterminer $\lambda$ et $\mu ,$ en sorte qu’ils satisfassent à cette équation

$\mu a-2\lambda \xi =\varpi ,$

ce qui, à cause de $a$ et $2\xi$ premiers entre eux, est toujours possible par la méthode du n^o 8.

On pourra trouver de même, à l’aide du nombre $\xi _{1},$ un autre nombre $\xi _{2}$ tel que $\xi _{2}^{2}-\mathrm {B}$ soit divisible par $a^{3}\,;$ car, soit $\xi _{2}^{2}-\mathrm {B} =\varpi _{1}a^{2},$ et qu’on fasse

$\xi _{2}=\xi _{1}+\lambda _{1}a^{2},$

on aura

$\xi _{2}^{2}-\mathrm {B} =\alpha _{1}^{2}a^{4}+2\lambda _{1}\xi _{1}a^{2}+\xi _{1}^{2}-\mathrm {B} =\lambda _{1}^{2}a^{4}+\left(2\lambda _{1}\xi _{1}+\varpi _{1}\right)a^{2},$

de sorte qu’il n’y aura qu’à déterminer $\lambda _{1}$ en sorte que l’on ait

$2\lambda _{1}\xi _{1}+\varpi _{1}=\mu _{1}a\,;$

c’est-à-dire qu’on n’aura qu’à résoudre l’équation

$\mu _{1}a-2\lambda _{1}\xi _{1}=\varpi _{1},$

laquelle, à cause de $a$ et $2\xi _{1}$ premiers entre eux, est susceptible de la même méthode du n^o 8.

Donc, en général, on pourra toujours trouver un nombre $\xi$ tel que $\xi ^{2}-\mathrm {B}$ soit divisible par $a^{n}\,;$ et faisant ensuite

$x=\mu a^{n}\pm \xi ,$

on aura aussi $x^{2}-\mathrm {B}$ divisible par $a^{n}\,;$ de sorte qu’on pourra toujours prendre $x$ moindre que ${\frac {a^{n}}{2}}.$

56. Si $a$ n’est pas premier à $\mathrm {B} ,$ c’est-à-dire si $\mathrm {B}$ est divisible par $a$ ou en général par une puissance quelconque de $a,$ que je dénoterai par $a^{r},$ il est clair que, tant que $n$ ne sera pas plus grand que $r,$ $\xi ^{2}-\mathrm {B}$ sera divisible par $a^{n}$ en prenant $\xi$ tel que $\xi ^{2}$ soit divisible par $a^{n}.$

Mais, lorsque $r$ sera $<n,$ il faudra distinguer deux cas, l’un où $r$ est un nombre pair et l’autre où $r$ est impair.

1^o Soit $r=2s,$ et puisque $\mathrm {B}$ est divisible par $\alpha ^{2s},$ il faudra que $\xi ^{2}$ le soit aussi, et par conséquent que $\xi$ soit divisible par $a^{s}\,;$ faisant donc

$\xi =a^{s}\xi _{1}\quad {\text{et}}\quad \mathrm {B} =a^{2s}\mathrm {B} _{1},$

on aura

$\xi ^{2}-\mathrm {B} =a^{2s}\left(\xi _{1}^{2}-\mathrm {B} _{1}\right),$

expression qui devant être divisible par $a^{n},$ il faudra que $\xi _{1}^{2}-\mathrm {B} _{1}$ soit divisible par $a^{n-2s},$ de sorte que, comme $\mathrm {B} _{1}$ n’est pas divisible par $a,$ la question sera réduite au cas du numéro précédent.

2^o Soit $r=2s-1,$ et il faudra de même que $\xi ^{2}$ soit divisible par $a^{2s-1},$ ce qui ne peut être à moins que $\xi$ ne soit divisible par $a^{s}\,;$ donc, faisant

$\xi =a^{s}\xi _{1}\quad {\text{et}}\quad \mathrm {B} =a^{2s-1}\mathrm {B} _{1},$

on aura

$\xi ^{2}-\mathrm {B} =a^{2s-1}\left(a\xi _{1}^{2}-\mathrm {B} _{1}\right)\,;$

de sorte que, pour que cette quantité soit divisible par $a^{n},$ il faudra que $a\xi _{1}^{2}-\mathrm {B} _{1}$ le soit par $a^{n-r}\,;$ par conséquent $a\xi _{1}^{2}-\mathrm {B} _{1}$ devra être d’abord divisible par $a,$ ce qui est impossible à cause que le terme $a\xi _{1}^{2}$ est divisible par $a,$ et que l’autre terme $\mathrm {B} _{1}$ ne l’est pas. Donc il sera impossible dans ce cas de trouver un nombre $\xi$ tel que $\xi ^{2}-\mathrm {B}$ soit divisible par $a^{n}.$

57. Il reste encore à examiner le cas où $a$ serait égal à $2.$ Or, soit d’abord $\mathrm {B}$ impair, il est clair que $\xi$ devra être impair aussi ; ainsi l’on fera

$\xi =2z+1,$

ce qui donnera

$\xi ^{2}-\mathrm {B} =4z(z+1)+1-\mathrm {B} ,$

quantité qui doit être divisible par $2^{n}.$

Pour cela on remarquera que, comme $z(z+1)$ est toujours nécessairement un nombre pair, soit que $z$ soit pair ou impair, le terme $4z(z+1)$ sera toujours divisible par $8,$ c’est-à-dire par $2^{3}\,;$ d’où il s’ensuit que, tant que $n$ ne surpassera pas $3,$ il faudra que $1-\mathrm {B}$ soit aussi divisible par $a^{n},$ et que lorsque $n$ surpassera $3,$ il faudra que $1-\mathrm {B}$ soit d’abord divisible par $2^{3}\,;$ sans cela il sera impossible de trouver un nombre $\xi$ qui satisfasse à la question.

Soient maintenant $n>3$ et $1-\mathrm {B}$ divisible par $2^{r},$ $r$ étant aussi $>3\,;$ il est clair que, si $r$ n’est pas $<n,$ il suffira de prendre pour $z$ un nombre de cette forme $2^{n-2}\zeta ,$ $\zeta$ étant un nombre quelconque.

Si $r<n,$ il faudra d’abord que $4z(z+1)$ soit divisible par $2^{r},$ c’est-à-dire que $z(z+1)$ le soit par $2^{r-2}\,;$ donc

$z=2^{r-2}\zeta \quad {\text{ou}}\quad =2^{r-2}\zeta -1\,;$

donc, faisant $1-\mathrm {B} =2^{r}\beta ,$ il faudra que $2^{r}\left[\zeta \left(2^{r-2}\zeta \pm 1\right)+\beta \right]$ soit divisible par $2^{n},$ c’est-à-dire que $\zeta \left(2^{r-2}\zeta \pm 1\right)+\beta$ soit divisible par $2^{n-r}.$

Donc, si $n-r$ n’est pas $>r-2,$ c’est-à-dire si $n$ n’est pas $>2(r-1),r$ il suffira que $\zeta \pm \beta$ soit divisible par $2^{n-r}\,;$ par conséquent

$\zeta =2^{n-r}\rho \mp \beta ,$

$\rho$ étant un nombre entier quelconque.

Si $n-r>r-2,$ c’est-à-dire si $n>2(r-1),$ il faudra d’abord que $\zeta \pm \beta$ soit divisible par $2^{r-2},$ et par conséquent que

$\zeta =2^{r-2}\rho \mp \beta ,$

ce qui, étant substitué dans l’expression

$2r^{r-2}\zeta ^{2}\pm \zeta +\beta ,$

donnera

$2^{r-2}\left[\left(2^{r-2}\rho \mp \beta \right)^{2}\pm \rho \right],$

ce qui devant être divisible par $2^{n-r},$ il faudra que $\left(2^{r-2}\rho \mp \beta \right)^{2}\pm \rho ,$ c’est-à-dire $2^{2(r-2)}\rho ^{2}\mp 2^{r-1}\rho \beta +\beta ^{2}\pm \rho$ soit divisible par $2^{n-2(r-1)}.$

Donc, si $n-2(r-1)$ n’est pas $>r-1,$ c’est-à-dire si $n$ n’est pas $>3(r-1),$ il suffira que $\rho \pm \beta ^{2}$ soit divisible par $2^{n-2(r-1)},$ c’est-à-dire que l’on ait

$\rho =2^{n-2(r-1)}\varpi \pm \beta ^{2}.$

Si $n-2(r-1)>r-1,$ savoir si $n>3(r-1),$ alors il faudra d’abord que $\rho \pm \beta ^{2}$ soit divisible par $2^{r-1},$ ce qui donnera

$\rho =2r^{r-1}\varpi \mp \beta ^{2}\,;$

ensuite il faudra que $2^{r-3}\rho ^{2}\mp \beta \pm \varpi ,$ c’est-à-dire

$2^{3r-5}\varpi ^{2}\mp 2^{2r-3}\beta ^{2}\varpi \mp 2^{r-1}\beta \varpi +2^{r-3}\beta ^{4}+\beta ^{3}\pm \varpi ,$

soit divisible par $2^{n-3(r-1)}\,;$ donc,…

Enfin, si $\mathrm {B}$ était un nombre pair, comme $a=2,$ on aurait le cas du n^o 51 ; ainsi, faisant $\mathrm {B} =2^{r}\mathrm {B} _{1},$ si $r$ n’est pas $<n,$ il suffira de prendre $\xi$ tel que $\xi ^{2}$ soit divisible par $2^{n}\,;$ si $r<n$ et impair, il n’y aura aucun nombre qui puisse être pris pour $\xi \,;$ et si $r<n$ et pair, on fera $\xi =2^{\frac {r}{2}}\xi _{1},$ et la question se réduira à déterminer $\xi _{1}$ en sorte que $\xi _{1}^{2}-\mathrm {B} _{1}$ soit divisible par $2^{n-r},$ $\mathrm {B} _{1}$ étant maintenant un nombre impair ; de sorte que ce cas rentre dans celui que nous venons d’examiner plus haut.

58. Maintenant, soient $f$ et $g$ deux nombres quelconques premiers entre eux, et supposons que $\xi ^{2}-\mathrm {B}$ soit divisible par $f$ et que $\psi ^{2}-\mathrm {B}$ le soit par $g.$ Qu’on prenne

$x=\mu f\pm \xi =\nu g\pm \psi ,$

et il est clair que $x^{2}-\mathrm {B}$ sera divisible à la fois par $f$ et par $g,$ et par conséquent par $fg,$ à cause que $f$ et $g$ sont premiers entre eux. Ainsi il ne s’agira que de déterminer $\mu$ et $\nu ,$ en sorte que l’on ait

$\mu f\pm \xi =\nu g\pm \psi ,\quad {\text{c’est-à-dire}}\quad \mu f-\nu g=\pm \psi \pm \xi ,$

les signes de $\psi$ et de $\xi$ étant à volonté ; ce qui, à cause de $f$ et $g$ premiers entre eux, se fera aisément par la méthode du n^o 8.

Donc, lorsqu’on aura trouvé des nombres $\xi ,\xi _{1},\xi _{2},\ldots$ tels que $\xi ^{2}-\mathrm {B} ,$$\xi _{1}^{2}-\mathrm {B} ,\xi _{2}^{2}-\mathrm {B} ,\ldots$ soient divisibles respectivement par $a^{n},b^{p},c^{q},\ldots ,a,$ $b,c,\ldots$ étant premiers entre eux, on pourra trouver un nombre $x$ tel que $x^{2}-\mathrm {B}$ soit divisible par $a^{n}b^{p}c^{q}\ldots$ Ainsi, faisant

$\mathrm {A} =a^{n}b^{p}c^{q}\ldots \quad {\text{et}}\quad \alpha =\mu \mathrm {A} \pm x,$

on aura $\alpha ^{2}-\mathrm {B}$ divisible par $\mathrm {A} ,$ et l’on pourra déterminer $\alpha$ en sorte qu’il soit $<{\frac {\mathrm {A} }{2}}.$

59. De là, et de ce que nous avons démontré plus haut, je tire les conclusions suivantes.

Pour savoir s’il est possible de trouver un nombre $\alpha$ tel que $\alpha ^{2}-\mathrm {B}$ soit divisible par $\mathrm {A}$ ( $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ étant donnés), on résoudra le nombre $\mathrm {A}$ en ses facteurs premiers, et supposant que $a$ soit un quelconque de ces facteurs, lequel soit élevé à la puissance $n,$ on distinguera trois cas suivant que $a$ sera égal à $2$ ou différent de $2$ et premier à $\mathrm {B}$ ou non.

1^o Lorsque $a$ est différent de $2$ et premier à $\mathrm {B} ,$ il faudra que $\mathrm {B} ^{\frac {a-1}{2}}-1$ soit divisible par $a$, c’est-à-dire que le reste de la division de $\mathrm {B} ,$ élevé à la puissance ${\frac {a-1}{2}},$ soit l’unité. Si cette condition n’a point lieu par rapport à chacun des facteurs $a$ dont nous parlons, il sera impossible que $\alpha ^{2}-\mathrm {B}$ soit divisible par $\mathrm {A} ,$ quel que soit $\alpha \,;$ par conséquent, on sera d’abord assuré que l’équation

$\mathrm {A} =u^{2}-\mathrm {B} t^{2}$

n’admet absolument aucune solution rationnelle.

2^o Lorsque $a$ sera égal à $2,$ ou qu’il sera un diviseur de $\mathrm {B} ,$ on verra, par les règles données dans les n^os 56 et_57, si l’on peut trouver un nombre $\xi$ tel que $\xi ^{2}-\mathrm {B}$ soit divisible par $a^{n}\,;$ si cela ne se peut pas, on en conclura pareillement qu’il n’y aura aucun nombre $\alpha$ tel que $\alpha ^{2}-\mathrm {B}$ soit divisible par $\mathrm {A} ,$ et qu’ainsi l’équation

$\mathrm {A} =u^{2}-\mathrm {B} t^{2}$

ne sera susceptible d’aucune solution rationnelle.

Supposons maintenant que l’on ait reconnu que chacun des diviseurs premiers $a$ du nombre $\mathrm {A}$ a les conditions prescrites ; alors on sera assuré de pouvoir trouver un nombre $\alpha$ moindre que ${\frac {\mathrm {A} }{2}},$ et qui soit tel que $\alpha ^{2}-\mathrm {B}$ soit divisible par $\mathrm {A} .$

De plus, lorsque, parmi les facteurs premiers de $\mathrm {A}$ qui ne sont pas communs à $\mathrm {B} ,$ il ne s’en trouve aucun de la forme de $4m+1,$ on pourra toujours trouver le nombre $\alpha$ dont il s’agit, sans tâtonnement, par les méthodes que nous avons données plus haut (n^os 54 et suiv.). Et quand, parmi les facteurs dont nous parlons, il s’en trouvera un ou plusieurs de la forme de $4m+1,$ alors il suffira de chercher, en tâtonnant, par rapport à chacun d’eux, un nombre $\xi$ moindre que la moitié du facteur donné, et tel que $\xi ^{2}-\mathrm {B}$ soit divisible par ce même facteur. Après quoi on pourra trouver le nombre $\alpha$ par les méthodes données (n^os 55 et suiv.). On pourra même souvent s’exempter du tâtonnement, lorsqu’on aura trouvé une puissance impaire de $\mathrm {B} ,$ qui, étant divisée par le facteur dont il s’agit, donnera l’unité de reste (54).

60. Soient, par exemple, $\mathrm {A} =51$ et $\mathrm {B} =7,$ comme dans le n^o 20 ; puisque $51=3.17,$ il faudra voir si $7^{\frac {3-1}{2}}-1$ est divisible par $3,$ et si $7^{\frac {17-1}{2}}-1$ est divisible par $17,$ c’est-à-dire si $7-1$ est divisible par $3$ et $7^{8}-1$ par $17\,;$ or $7-1=6,$ et par conséquent divisible par $3,$ et $7^{8}-1=5\,764\,800,$ qui n’est pas divisible par $17,$ parce qu’il donne $15$ de reste ; donc il n’existe point de nombre $\alpha$ tel que $\alpha ^{2}-7$ soit divisible par $51.$

Si, $\mathrm {A}$ étant toujours égal à $51,$ $\mathrm {B}$ était égal à $-7,$ il faudrait voir si $(-7)^{\frac {3-1}{2}}-1$ est divisible par $3,$ et si $(-7)^{\frac {17-1}{2}}-1$ l’est par $17,$ c’est-à-dire si $-7-1$ est divisible par $3$ et si $7^{8}-1$ est divisible par $17\,;$ et comme ni l’une ni l’autre de ces divisions n’est possible, c’est une marque qu’il n’existe pas non plus de nombre $\alpha$ tel que $\alpha ^{2}+7$ soit divisible par $51.$

61. Il est bon de remarquer que, pour savoir si $7^{8}-1$ est divisible par $17,$ on aurait pu se dispenser de chercher la puissance huitièmede $7,$ d’en retrancher l’unité et de diviser le reste par $17,$ comme nous avons fait, ce qui exige des opérations assez longues et pénibles ; car, comme tout se réduit à voir si la puissance huitième de $7$ étant divisée par $17$ donne $1$ de reste, il n’y aura qu’à considérer d’abord le carré de $7$ qui est $49,$ et qui, étant divisé par $17,$ donne le reste $15$ ou bien $-2$ complément de $15$ à $17,$ pour avoir un reste plus petit ; donc le carré de $49,$ c’est-à-dire la quatrième puissance de $7,$ étant divisée par le même nombre $17,$ donnera pour reste le carré de $-2,$ c’est-à-dire $4\,;$ et enfin le carré de cette dernière puissance, c’est-à-dire la puissance huitième de $7,$ donnera pour reste le carré de $4$ c’est-à-dire $16\,;$ d’où l’on voit que $7^{8}-1$ n’est pas divisible par $17,$ le reste de cette division étant $15,$ comme on l’a trouvé plus haut.

Cette opération est fondée, comme on voit, sur ce principe que, si $a^{m}$ étant divisé par $b$ donne le reste $r,$ $a^{mn}$ étant divisé aussi par $b$ donnera le reste $r^{n}$ (j’entends par reste en général tout nombre qui, étant retranché du dividende, rend la division possible, d’où l’on voit que le reste peut être augmenté ou diminué à volonté d’un multiple quelconque du diviseur). En effet, puisque

$a^{m}=\mu b+r,$

$\mu$ étant le quotient de la division de $a^{m}$ par $b,$ on aura

$a^{mn}=(\mu b+r)^{n}=\nu b+r^{n},$

à cause que tous les termes de $(\mu b+r)^{n}$ sont divisibles par $b$ à l’exception du dernier $r^{n}.$

En général, soient $r$ le reste de la division de $f$ par $b,$ et $s$ le reste de la division de $g$ par $b,$ $rs$ sera celui de la division de $fg$ par $b\,;$ car

$f=\mu b+r,\quad g=\nu b+s\,;$

donc

$fg=\mu \nu b^{2}+\mu sb+\nu rb+rs=\lambda b+rs.$

62. Soient encore $\mathrm {A} =109$ et $\mathrm {B} =7\,;$ comme $109$ est un nombre premier, il faudra voir si $7^{54}$ étant divisé par $109$ donne le reste $1.$

Pour cela je décompose l’exposant $54$ en ses facteurs premiers qui sont $3,3,3,2,$ et je commence par prendre le cube de $7$ qui est $343$ et qui, étant divisé par $109,$ donne le reste $16\,;$ je prends ensuite le cube de ce reste qui est $4\,096,$ et qui donnera $63$ ou bien $-46$ de reste ; je prends derechef le cube de $-46$ qui est $-97\,336,$ et j’aurai pour reste $-108$ ou bien $1\,;$ enfin je prends le carré de ce dernier reste, et j’ai encore $1,$ qui sera par conséquent le reste de la division de $7^{54}$ par $109,$ de sorte que $7^{54}-1$ sera nécessairement divisible par $109.$

Au reste, quoique $109$ soit un nombre premier de la forme $4n+1,$ et que par conséquent on ne puisse pas faire usage directement de la méthode du n^o 51, pour trouver un nombre $\xi$ tel que $\xi ^{2}-17$ soit divisible par $109\,;$ cependant, comme on a trouvé que le reste de la division de $7^{27}$ par $109$ est $1,$ on pourra faire $\xi =7^{14},$ ou bien $\xi$ égal au reste de la division de $7^{14}$ par $109.$

Pour trouver ce reste, je me rappelle que $7^{3}$ donne $16$ de reste et que $7^{9}$ donne $-46$ de reste ; d’où il s’ensuit que $7^{12}$ donnera un reste égal à $-16\times 46=-736\,;$ or, le reste de la division de $-786$ par $109$ est $-82$ ou bien $27\,;$ de sorte que $27$ sera aussi le reste de la division de $7^{12}$ par $109\,;$ or, $7^{2}$ étant égal à $49,$ on multipliera encore $27$ par $49,$ et le produit $1\,323,$ ou plutôt le reste $15$ de la division de $1\,323$ par $109,$ sera aussi le reste de la division de $7^{14}$ par le même nombre $109\,;$ ainsi l’on aura $\xi =15,$ ce qui s’accorde avec ce que nous avons trouvé dans le n^o 20.

On voit par là que, lorsqu’il s’agira de chercher le reste de la division de $\mathrm {B} ^{\frac {a-1}{2}}$ par le nombre premier $a,$ il sera toujours plus utile de commencer par chercher les restes des puissances impaires de $\mathrm {B} ,$ dont les exposants sont des diviseurs de ${\frac {a-1}{2}},$ parce que, si l’on en trouve une qui donne $1$ de reste, on pourra ensuite par son moyen trouver le nombre $\xi .$

§ V. — Manière de trouver toutes les solutions possibles en nombres
entiers des équations du second degré à deux inconnues.

63. Nous avons donné dans le § III la méthode de trouver toutes les solutions possibles en nombres entiers, dont une équation quelconque de la forme

$\mathrm {A} =u^{2}-\mathrm {B} t^{2}$

peut être susceptible ; mais, lorsqu’il s’agit de résoudre en nombres entiers une équation quelconque du second degré à deux inconnues, telle que celle du n^o 1, il ne suffit pas que, dans la réduite $\mathrm {A} =u^{2}-\mathrm {B} t^{2},$ $u$ et $t$ soient des nombres entiers ; il faut de plus que ces deux nombres soient tels que $\pm u-f$ soit divisible par $\mathrm {B} ,$ et que $\pm t-\delta -{\frac {\beta (\pm u-f)}{\mathrm {B} }}$ le soit par $2\alpha ,$ les signes ambigus de $u$ et $t$ étant à volonté (2).

Or, lorsque $\mathrm {B}$ est un nombre négatif, nous avons vu (27) que le nombre des solutions de l’équation

$\mathrm {A} =u^{2}-\mathrm {B} t^{2},$

est toujours limité ; de sorte qu’il n’y aura qu’à essayer successivement toutes les valeurs de $u$ et de $t$ qu’on aura trouvées, et l’on verra s’il y en a quelques-unes qui satisfassent aux conditions dont il s’agit ; si aucune n’y satisfait, on en pourra conclure que l’équation proposée n’est point résoluble en nombres entiers.

Il n’en est pas de même lorsque $\mathrm {B}$ est un nombre positif : car dans ce cas nous avons vu (44) que le nombre des solutions possibles est toujours ou nul ou infini. Il est vrai que, quand l’équation

$u^{2}-\mathrm {B} t^{2}=\mathrm {A}$

est résoluble, on peut trouver par nos méthodes des formules générales qui renferment absolument toutes les solutions possibles ; ainsi la ques-

tion se réduit à trouver, parmi cette infinité de valeurs de $u$ et $t,$ toutes celles qui peuvent satisfaire aux conditions prescrites ; c’est l’objet des recherches suivantes.

64. Je remarque d’abord que l’on a en général

$u=\rho p,\quad t=\rho q,$

$\rho ^{2}$ étant un facteur quelconque de $\mathrm {A}$ (22), et les nombres $p$ et $q$ étant de ces formes (44)

$p=a\zeta +\mathrm {B} b\psi ,\quad q=a\psi +b\xi ,$

où $a$ et $b$ sont des nombres entiers donnés, et $\xi$ et $\psi$ sont exprimés par

${\begin{aligned}\xi =&{\frac {\mathrm {\left(X+Y{\sqrt {B}}\right)} ^{n}+\mathrm {\left(X-Y{\sqrt {B}}\right)} ^{n}}{2}},\\\psi =&{\frac {\mathrm {\left(X+Y{\sqrt {B}}\right)} ^{n}-\mathrm {\left(X-Y{\sqrt {B}}\right)} ^{n}}{2{\sqrt {\mathrm {B} }}}},\end{aligned}}$

$\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ étant aussi donnés, et $n$ pouvant être un nombre quelconque entier positif, pair ou impair, ou seulement pair, ou seulement impair ; de sorte que toute la difficulté consiste à trouver la valeur qu’il faut donner à l’exposant $n$ pour que les deux nombres

${\frac {f\pm \rho p}{\mathrm {B} }},\quad {\frac {\beta (f\pm \rho p)-\mathrm {B} (\delta \pm \rho q)}{2\alpha \mathrm {B} }}$

soient entiers.

Je remarque, en second lieu, que lorsque le quantième $\mu$ se trouve pair, l’exposant $n$ peut toujours être un nombre quelconque entier positif (37), et que dans ce cas on a (41)

$\mathrm {X^{2}-BY^{2}} =1.$

Mais, si le quantième $\mu$ est impair, alors l’exposant $n$ ne pourra être que pair ou impair, et l’on aura (numéros cités)

$\mathrm {X^{2}-BY^{2}} =-1.$

Supposons que l’exposant $n$ doive être toujours impair, on aura donc $n=2n'+1\,;$ donc, en supposant

${\begin{aligned}\xi _{1}=&{\frac {\mathrm {\left(X+Y{\sqrt {B}}\right)} ^{2n'}+\mathrm {\left(X-Y{\sqrt {B}}\right)} ^{2n'}}{2}},\\\psi _{1}=&{\frac {\mathrm {\left(X+Y{\sqrt {B}}\right)} ^{2n'}-\mathrm {\left(X-Y{\sqrt {B}}\right)} ^{2n'}}{2{\sqrt {\mathrm {B} }}}},\end{aligned}}$

on aura

$\mathrm {\xi =X\xi _{1}+BY\psi _{1},\quad \psi =X\psi _{1}+Y\xi _{1}} ,$

et, par conséquent,

${\begin{aligned}p=&(a\mathrm {X} +\mathrm {B} b\mathrm {Y} )\xi _{1}+\mathrm {B} (a\mathrm {Y} +b\mathrm {X} )\psi _{1},\\q=&(a\mathrm {X} +\mathrm {B} b\mathrm {Y} )\psi _{1}+(a\mathrm {Y} +b\mathrm {X} )\xi _{1},\end{aligned}}$

expressions qui sont de la même forme que les précédentes, mais dans lesquelles l’exposant de $\mathrm {X\pm Y{\sqrt {B}}}$ sera toujours pair.

Or, le cas où cet exposant est toujours un nombre pair se ramène aisément au cas où il peut être un nombre quelconque pair ou impair : en effet, puisqu’on a

$\mathrm {\left(X\pm Y{\sqrt {B}}\right)^{2}=X^{2}+BY^{2}\pm 2XY{\sqrt {B}}} ,$

il est clair que si l’on fait

$\mathrm {X_{1}=X^{2}+BY^{2},\quad Y_{1}=2XY} ,$

on aura en général

$\mathrm {\left(X\pm Y{\sqrt {B}}\right)} ^{2n'}=\mathrm {\left(X_{1}\pm Y_{1}{\sqrt {B}}\right)} ^{2n'},$

de sorte qu’il n’y aura dans ce cas qu’à mettre $\mathrm {X} _{1}$ et $\mathrm {Y} _{1}$ à la place de $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ et alors l’exposant pourra être un nombre quelconque pair ou impair.

De plus, on aura

$\mathrm {X_{1}^{2}-BY_{1}^{2}=\left(X^{2}+BY^{2}\right)^{2}-B(2XY)^{2}=\left(X^{2}-BY^{2}\right)^{2}=1} ,$

comme dans le cas où l’indice $\mu$ est pair.

De là il s’ensuit que, soit que $\mu$ soit pair ou impair, les quantités $p$ et $q$ peuvent toujours se réduire à la forme

$p=a\xi +\mathrm {B} b\psi ,\quad q=a\psi +b\xi ,$

les quantités $\xi$ et $\psi$ étant exprimées comme ci-dessus, l’exposant $n$ pouvant être un nombre quelconque entier positif, et les quantités $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ étant telles que $\mathrm {X^{2}-BY^{2}} =1.$

65. Cela posé, nous allons examiner en général quel doit être l’exposant $n$ pour qu’un nombre quelconque de la forme $\mathrm {F} +\mathrm {G} p+\mathrm {H} q$ soit divisible par un nombre quelconque entier $\mathrm {R}$ ( $\mathrm {F,G,H}$ étant des nombres quelconques entiers donnés, et non divisibles par $\mathrm {R}$).

Pour cela il faut démontrer le théorème suivant :

Soient $r$ un nombre premier quelconque, et $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ des nombres entiers tels que $\mathrm {X^{2}-BY^{2}} =1\,;$ je dis que : 1^o si $\mathrm {B}$ est divisible par $r,$ $\mathrm {\left(X\pm Y{\sqrt {B}}\right)} ^{2r}-1$ le sera aussi ; 2^o si $\mathrm {B}$ n’est pas divisible par $r$ (auquel cas $\mathrm {B} ^{r-1}-1$ le sera nécessairement par le théorème de Fermat), je distingue deux cas, l’un lorsque $\mathrm {B} ^{\frac {r-1}{2}}+1$ sera divisible par $r,$ et l’autre lorsque $\mathrm {B} ^{\frac {r-1}{2}}-1$ le sera (car, puisque $r$ est premier, il est clair que $\mathrm {B} ^{r-1}-1$ ne peut être divisible par $r,$ à moins que l’un ou l’autre de ses deux facteurs $\mathrm {B} ^{\frac {r-1}{2}}-1,\ \mathrm {B} ^{\frac {r-1}{2}}+1$ ne le soit). Dans le premier cas, je dis que $\mathrm {\left(X\pm Y{\sqrt {B}}\right)} ^{r+1}-1$ sera divisible par $r,$ et dans le second, je dis que $\mathrm {\left(X\pm Y{\sqrt {B}}\right)} ^{r-1}-1$ le sera.

Qu’on considère la quantité $\mathrm {\left(X\pm Y{\sqrt {B}}\right)} ^{r}$ et qu’on la développe en série suivant le théorème de Newton, on aura, à cause que $r$ est impair,

${\begin{aligned}\mathrm {X} ^{r}\pm &r\mathrm {X} ^{r-1}\mathrm {Y} {\sqrt {\mathrm {B} }}+{\frac {r(r-1)}{2}}\mathrm {X} ^{r-2}\mathrm {Y} ^{2}\mathrm {B} \\\pm &{\frac {r(r-1)(r-2)}{2.3}}\mathrm {X} ^{r-3}\mathrm {Y} ^{3}\mathrm {B} {\sqrt {\mathrm {B} }}+\ldots \pm \mathrm {Y} ^{r}\mathrm {B} ^{\frac {r-1}{2}}{\sqrt {\mathrm {B} }}.\end{aligned}}$

Or, $r$ étant un nombre premier, il est facile de prouver que les coefficients du binôme $r,\ {\frac {r(r-1)}{2}},\ {\frac {r(r-1)(r-2)}{2.3}},\ldots ,$ sont tous divisibles par $r$ (voyez le tome I des Nouveaux Commentaires de Pétersbourg, p. 22) ; donc

$\mathrm {\left(X\pm Y{\sqrt {B}}\right)} ^{r}-\mathrm {X} ^{r}\mp \mathrm {Y} ^{r}\mathrm {B} ^{\frac {r-1}{2}}{\sqrt {\mathrm {B} }}$

sera nécessairement divisible par $r,$ quels que soient les nombres $\mathrm {X} ,$ $\mathrm {Y}$ et $\mathrm {B} .$ Mais, par le théorème de Fermat déjà cité (51), $\mathrm {X} ^{r-1}-1$ est toujours divisible par $r$ lorsque $\mathrm {X}$ ne l’est pas, de sorte que $\mathrm {X} ^{r}-\mathrm {X}$ sera toujours divisible par $r,$ quel que soit $\mathrm {X} \,;$ de même $\mathrm {Y} ^{r}-\mathrm {Y}$ sera aussi toujours divisible par $r,$ et par conséquent

$\left(\mathrm {Y} ^{r}-\mathrm {Y} \right)\mathrm {B} ^{\frac {r-1}{2}}{\sqrt {\mathrm {B} }}$

le sera aussi ; donc, ajoutant ou ôtant ces quantités de la précédente, il s’ensuit que

$\mathrm {\left(X\pm Y{\sqrt {B}}\right)} ^{r}-\mathrm {X} ^{r}\mp \mathrm {YB} ^{\frac {r-1}{2}}{\sqrt {\mathrm {B} }}$

sera toujours divisible par $r.$

Donc : 1^o si $\mathrm {B}$ est divisible par $r,$ il faudra que $\mathrm {\left(X\pm Y{\sqrt {B}}\right)} ^{r}-\mathrm {X}$ le soit aussi ; donc, le produit de cette quantité par celle-ci $\mathrm {\left(X\pm Y{\sqrt {B}}\right)} ^{r}+\mathrm {X} ,$ savoir

$\mathrm {\left(X\pm Y{\sqrt {B}}\right)} ^{2r}-\mathrm {X} ^{2}$

le sera aussi ; mais on as $\mathrm {X^{2}-BY^{2}} =1$ (par hypothèse), donc $\mathrm {X} ^{2}-1$ sera aussi divisible par $r\,;$ donc, ajoutant

$\mathrm {X} ^{2}-1$

à la quantité précédente, on aura la quantité

$\mathrm {\left(X\pm Y{\sqrt {B}}\right)} ^{2r}-1,$

qui sera nécessairement divisible par $r.$

2^o Si $\mathrm {B}$ n’est pas divisible par $r,$ et que $\mathrm {B} ^{\frac {r-1}{2}}+1$ le soit,

$\mathrm {YB} ^{\frac {r-1}{2}}\mathrm {{\sqrt {B}}+Y{\sqrt {B}}}$

le sera aussi ; donc, ajoutant ou retranchant cette quanti té de

$\mathrm {\left(X\pm Y{\sqrt {B}}\right)} ^{r}-\mathrm {X} \mp \mathrm {YB} ^{\frac {r-1}{2}}{\sqrt {\mathrm {B} }},$

on aura la quantité

$\mathrm {\left(X\pm Y{\sqrt {B}}\right)} ^{r}-\mathrm {X\pm Y{\sqrt {B}}} ,$

qui sera aussi divisible par $r\,;$ donc, multipliant par $\mathrm {X\pm Y{\sqrt {B}}} ,$ on aura le produit

$\mathrm {\left(\mathrm {X\pm Y{\sqrt {B}}} \right)} ^{r+1}-\mathrm {\left(X^{2}-BY^{2}\right)} ,$

qui sera encore divisible par $r\,;$ mais $\mathrm {X^{2}-BY^{2}} =1\,;$ donc la quantité

$\mathrm {\left(X\pm Y{\sqrt {B}}\right)} ^{r+1}-1$

sera divisible par $r.$

3^o Si $\mathrm {B} ^{\frac {r-1}{2}}+1$ n’est pas divisible par $r,$ $\mathrm {B} ^{\frac {r-1}{2}}-1$ le sera ($\mathrm {B}$ ne l’étant pas) ; donc

$\mathrm {YB} ^{\frac {r-1}{2}}\mathrm {{\sqrt {B}}-Y{\sqrt {B}}}$

le sera aussi ; donc, ajoutant ou retranchant cette quantité de la quantité

$\mathrm {\left(X\pm Y{\sqrt {B}}\right)} ^{r}-\mathrm {X\mp YB} ^{\frac {r-1}{2}}{\sqrt {\mathrm {B} }},$

on aura celle-ci

$\mathrm {\left(X\pm Y{\sqrt {B}}\right)} ^{r}-\mathrm {X\mp Y{\sqrt {B}}} ,$

qui sera aussi divisible par $r\,;$ donc, multipliant par $\mathrm {X\mp Y{\sqrt {B}}} ,$ le produit le sera aussi ; mais ce produit est

$\mathrm {\left(X^{2}-BY^{2}\right)} \left[\mathrm {\left(X\pm Y{\sqrt {B}}\right)} ^{r-1}-1\right]\,;$

donc, à cause de $\mathrm {X^{2}-BY^{2}} =1,$ la quantité

$\mathrm {\left(X\pm Y{\sqrt {B}}\right)} ^{r-1}-1$

sera nécessairement divisible par $r.$

66. Si $r$ était égal à $2,$ alors $\mathrm {\left(X\pm Y{\sqrt {B}}\right)} ^{r}-1$ serait toujours divisible par $r\,;$ car

$\mathrm {\left(X\pm Y{\sqrt {B}}\right)^{2}-1=X^{2}+BY^{2}\pm 2XY{\sqrt {B}}-1=2BY^{2}\pm 2XY{\sqrt {B}}} ,$

à cause de $\mathrm {X^{2}-BY^{2}} =1.$

67. Nous désignerons dorénavant par $\rho$ l’exposant de $\mathrm {X\pm Y{\sqrt {B}}} ,$ tel que $\left(\mathrm {X\pm Y{\sqrt {B}}} \right)^{\rho }-1$ soit divisible par un nombre premier quelconque $r.$

Ainsi, si $\mathrm {B}$ est divisible par $r,$ $\rho$ sera égal à $2r\,;$ si $\mathrm {B}$ n’est pas divisible par $r,$ et que $\mathrm {B} ^{\frac {r-1}{2}}+1$ le soit, on aura $\rho =r+1\,;$ si $\mathrm {B} ^{\frac {r-1}{2}}-1$ est divisible par $r,$ on aura $\rho =r-1\,;$ enfin, si $r=2,$ on aura $\rho =r.$

68. Soit en général $a^{\rho }-1$ divisible par $r,$ je dis que $a^{r\rho }-1$ le sera par $r^{2},$

$a^{r^{2}\rho }-1$ le sera par $r^{3},\ldots .$

En effet, puisque $a^{\rho }-1$ est divisible par $r$ (par hypothèse), il est clair que $a^{m\rho }-1$ le sera aussi, $m$ étant un nombre quelconque entier positif ; donc les quantités suivantes seront toutes divisibles par $r,$

${\begin{aligned}&a^{\rho }-1,\\&a^{2\rho }+a^{\rho }-2,\\&a^{3\rho }+a^{2\rho }+a^{\rho }-3,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Donc

$a^{r\rho }+a^{(r-1)\rho }+a^{(r-2)\rho }+\ldots +a^{\rho }-r$

le sera aussi. Donc

$a^{\rho }\left[a^{(r-1)\rho }+a^{(r-2)\rho }+\ldots +1\right]$

le sera ; et, comme $a^{\rho }$ ne peut pas l’être, à cause que $a^{\rho }-1$ l’est, il s’ensuit que

$a^{(r-1)\rho }+a^{(r-2)\rho }+a^{(r-3)\rho }+\ldots +1$

le sera nécessairement ; donc, multipliant cette quantité par $a^{\rho }-1,$ qui est aussi divisible par $r,$ le produit $a{r^{\rho }}-1$ sera nécessairement divisible par $r^{2}.$

On prouvera de même que

$a^{(r-1)r\rho }+a^{(r-2)r\rho }+a^{(r-3)r\rho }+\ldots +1$

sera divisible par $r\,;$ de sorte qu’en multipliant cette quantité par $a^{r\rho }-1,$ on aura le produit $a^{r^{2}\rho }-1,$ qui sera divisible par $r^{3},$ et ainsi de suite.

69. Donc $\mathrm {\left(X\pm Y{\sqrt {B}}\right)} ^{\rho }-1$ étant divisible par $r,$ $\mathrm {\left(X\pm Y{\sqrt {B}}\right)} ^{r\rho }-1$ le sera par $r^{2},$ $\mathrm {\left(X\pm Y{\sqrt {B}}\right)} ^{r^{2}\rho }-1$ le sera par $r^{3},$ et en général

$\mathrm {\left(X\pm Y{\sqrt {B}}\right)} ^{r^{m-1}\rho }-1$

sera divisible par $r^{m}.$

70. Considérons maintenant la quantité

$\mathrm {F} +\mathrm {G} p+\mathrm {H} q,$

qui doit être divisible par $\mathrm {R}$ (65). Il est clair que, quel que soit le nombre $\mathrm {R} ,$ on peut toujours le mettre sous cette forme $r^{m}r_{1}^{m_{1}}r_{2}^{m_{2}}\ldots$ ($r,r_{1},r_{2},\ldots$ étant des nombres premiers) ; de plus, il est évident que, pour que la quantité dont il s’agit soit divisible par $\mathrm {R} ,$ il faut qu’elle le soit en particulier par chacun des facteurs $r^{m},\ r_{1}^{m_{1}},\ r_{2}^{m_{2}},\ldots ,$ et vice versâ. Il est facile de voir que, dès que la même quantité sera divisible par chacun de ces facteurs, elle le sera aussi nécessairement par leur produit $\mathrm {R} \,;$ d’où il s’ensuit que la question se réduit à rechercher les conditions nécessaires pour que la quantité

$\mathrm {F} +\mathrm {G} p+\mathrm {H} q$

soit divisible par autant de nombres qu’on voudra de la forme $r^{m},$ $r$ étant un nombre premier quelconque.

Or, si l’on substitue les valeurs de $p$ et $q,$ et ensuite celles de $\xi$ et $\psi$ (64), la quantité dont il s’agit deviendra de cette forme

$\mathrm {F+P\left(X+Y{\sqrt {B}}\right)} ^{n}+\mathrm {Q\left(X-Y{\sqrt {B}}\right)} ^{n},$

$n$ pouvant être un nombre quelconque entier positif.

Supposons qu’il y ait un nombre $n$ tel que cette quantité soit divisible par $r^{m},$ je dis que, si $n$ est plus grand que $r^{m-1}\rho ,$ $\rho$ ayant la valeur que nous lui avons assignée (67), et qu’on prenne le reste de la division de $n$ par $r^{m-1}\rho ,$ lequel soit dénoté par $\mathrm {N} ,$ la même quantité sera aussi nécessairement divisible par $r^{m},$ en prenant le nombre $\mathrm {N}$ à la place du nombre $n.$

Car, soit

$n=\mu r^{m-1}\rho +\mathrm {N} \,;$

$\mu$ étant le quotient de la division de $n$ par $r^{m-1}\rho ,$ puisque

$\mathrm {\left(X\pm Y{\sqrt {B}}\right)} ^{r^{m-1}\rho }-1$

est divisible par $r^{m}$ (69),

$\mathrm {\left(X\pm Y{\sqrt {B}}\right)} ^{\mu r^{m-1}\rho }-1$

le sera aussi ; donc, multipliant par $\mathrm {\left(X\pm Y{\sqrt {B}}\right)} ^{\mathrm {N} },$ le produit

$\mathrm {\left(X\pm Y{\sqrt {B}}\right)} ^{n}-\mathrm {\left(X\pm Y{\sqrt {B}}\right)} ^{\mathrm {N} }$

sera aussi divisible par $r^{m}\,;$ donc

$\mathrm {P\left(X+Y{\sqrt {B}}\right)} ^{n}-\mathrm {P\left(X+Y{\sqrt {B}}\right)} ^{\mathrm {N} }\quad {\text{et}}\quad \mathrm {Q\left(X-Y{\sqrt {B}}\right)} ^{n}-\mathrm {Q\left(X-Y{\sqrt {B}}\right)^{N}}$

seront tous les deux divisibles par $r^{m}\,;$ donc, retranchant ces quantités de la quantité

$\mathrm {F+P\left(X+Y{\sqrt {B}}\right)} ^{n}+\mathrm {Q\left(X-Y{\sqrt {B}}\right)} ^{n},$

on aura la quantité

$\mathrm {F+P\left(X+Y{\sqrt {B}}\right)^{N}+Q\left(X-Y{\sqrt {B}}\right)^{N}} ,$

qui sera pareillement divisible par $r^{m}.$

71. De là il s’ensuit que, si la quantité

$\mathrm {F} +\mathrm {G} p+\mathrm {H} q$

est divisible par $r^{m},$ en donnant à l’exposant $n$ de $\xi$ et $\psi$ une certaine valeur quelconque, il faudra aussi nécessairement que la même quantité soit divisible par $r^{m},$ en prenant $n$ moindre que $r^{m-1}\rho .$

Ainsi, pour reconnaître si la quantité dont il s’agit peut être divisible par $r^{m},$ il n’y aura qu’à faire successivement

$n=0,1,2,\ldots ,r^{m-1}\rho \,;$

et si aucune de ces suppositions ne rend la proposée divisible par $r^{m},$ ce sera une marque sûre qu’elle ne le deviendra jamais, quelque valeur qu’on puisse donner à $n\,;$ de sorte qu’on en pourra conclure que la quantité dont il s’agit ne peut jamais être divisible par $r^{m}.$

Mais, si l’on trouve une ou plusieurs valeurs de $n$ moindres que $r^{m-1}\rho ,$ qui rendent la quantité proposée divisible par $r^{m},$ alors, nommant $\mathrm {N}$ l’une quelconque de ces valeurs, toutes les autres valeurs possibles de $n$ qui auront la même propriété seront comprises dans cette formule

$n=\mu r^{m-1}\rho +\mathrm {N} ,$

$\mu$ étant un nombre quelconque entier positif.

72. Donc, pour que la quantité

$\mathrm {F} +\mathrm {G} p+\mathrm {H} q$

puisse être divisible par $\mathrm {R} ,$ il faudra (70 et 71) qu’elle le soit par $r^{m}$ en prenant $n<r^{m-1}\rho ,$ par $r_{1}^{m_{1}}$ en prenant $n<r_{1}^{m_{1}-1}\rho _{1},\ldots .$

Si une seule de ces conditions manquait, il en faudrait conclure qu’il serait impossible que la quantité dont il s’agit pût jamais être divisible par $\mathrm {R} ,$ quelque valeur qu’on donnât à $n.$

Supposons donc que toutes ces conditions se trouvent remplies, et soit $\mathrm {N}$ la valeur ou les valeurs (s’il y en a plus d’une) de $n$ moindres que $r^{m-1}\rho$ qui rendent la quantité $\mathrm {F} +\mathrm {G} p+\mathrm {H} q$ divisible par $r^{m},$ $\mathrm {N} _{1}$ celles qui rendent la même quantité divisible par $r_{1}^{m_{1}}$ ($\mathrm {N} _{1}$ étant $<r_{1}^{m_{1}-1}\rho _{1}$), et ainsi des autres, on aura en général, en prenant des nombres quelconques entiers $\mu ,\mu _{1},\mu _{2},\ldots ,$

${\begin{aligned}n\ \ &=\mu r^{m-1}\rho +\mathrm {N} ,\\n_{1}&=\mu _{1}r_{1}^{m_{1}-1}\rho _{1}+\mathrm {N} _{1},\\n_{2}&=\mu _{2}r_{2}^{m_{2}-1}\rho _{2}+\mathrm {N} _{2},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

De sorte que, pour trouver les valeurs de l’exposant $n$ qui rendront la quantité proposée divisible par $\mathrm {R} ,$ il ne s’agira que de déterminer les nombres $\mu ,\mu _{1},\mu _{2},\ldots ,$ en sorte que l’on ait

${\begin{aligned}\mu r^{m-1}\rho +\mathrm {N} &=\mu _{1}r_{1}^{m_{1}-1}\rho _{1}+\mathrm {N} _{1},\\\mu r^{m-1}\rho +\mathrm {N} &=\mu _{2}r_{2}^{m_{2}-1}\rho _{2}+\mathrm {N} _{2},\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

ce que l’on peut exécuter par la méthode du n^o 8.

En général, on voit que la question se réduit à trouver on nombre $n$ qui, étant divisé par $r^{m-1}\rho ,$ donne le reste $\mathrm {N} \,;$ étant divisé par $r_{1}^{m_{1}-1}\rho _{1},$ donne le reste $\mathrm {N} _{1}\,;$ étant divisé par $r_{2}^{m_{2}-1}\rho _{2},$ donne le reste $\mathrm {N} _{2},$ et ainsi de suite. Or, on a plusieurs méthodes abrégées pour résoudre ces sortes ch » Problèmes.

La plus simple est celle-ci : soient les diviseurs $\mathrm {M,M_{1},M_{2}} ,\ldots ,$ en sorte que l’on ait dans notre cas $\mathrm {M} =r^{m-1}\rho ,\ \mathrm {M} _{1}=r_{1}^{m_{1}-1}\rho _{1},\ldots ,$ et les restes $\mathrm {N,N_{1},N_{2}} ,\ldots .$ On cherchera d’abord le plus petit multiple commun de tous les diviseurs $\mathrm {M,M_{1},M_{2}} ,\ldots ,$ et on rappellera $\mathrm {P} .$ On cherchera ensuite le plus petit multiple commun de $\mathrm {M,M_{2},M_{3}} ,\ldots ,$ savoir de tous les diviseurs à l’exception de $\mathrm {M} _{1},$ et l’on appellera ce multiple $\mathrm {Q} \,;$ on cherchera de même le plus petit multiple commun de $\mathrm {M,M_{1},M_{3}} ,\ldots ,$ c’est-à-dire de tous les diviseurs moins $\mathrm {M} _{2},$ et on l’appellera $\mathrm {Q} _{1}$ et ainsi de suite. Enfin on cherchera par la méthode du n^o 8 des nombres entiers $\mu ,\nu ,\mu _{1},\nu _{1},$$\mu _{2},\nu _{2},\ldots ,$ tels que

${\begin{aligned}\mathrm {\mu \ \,Q\ \ -\nu \,\ M_{1}} &=\mathrm {N_{1}-N} ,\\\mathrm {\mu _{1}Q_{1}-\nu _{1}M_{2}} &=\mathrm {N_{2}-N} ,\\\mathrm {\mu _{2}Q_{2}-\nu _{2}M_{3}} &=\mathrm {N_{3}-N} ,\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

(le nombre de ces équations doit être égal à celui des diviseurs $\mathrm {M,M_{1}} ,\ldots$ moins un), et faisant, pour abréger,

$\mathrm {N+\mu Q+\mu _{1}Q_{1}+\mu _{2}Q_{2}+\ldots =L} ,$

on aura en général

$n=\lambda \mathrm {P+L} ,$

$\lambda$ étant un nombre entier quelconque.

La démonstration est facile à déduire du n^o 8 ; ainsi nous ne nous y arrêterons pas.

Si les nombres $\mathrm {Q}$ et $\mathrm {M} _{1}$ sont premiers entre eux, il est toujours possible de résoudre l’équation

$\mathrm {\mu Q-\nu M_{1}=N_{1}-N} ,$

et même d’une infinité de manières (8) ; mais il suffira pour notre objet d’avoir une seule valeur de $\mu ,$ pour la substituer dans la quantité $\mathrm {L} .$

Mais, si les nombres $\mathrm {Q}$ et $\mathrm {M} _{1}$ ne sont pas premiers entre eux, alors, pour que l’équation

$\mathrm {\mu Q-\nu M_{1}=N_{1}-N}$

soit résoluble en nombres entiers, il faudra que $\mathrm {N_{1}-N}$ soit divisible par la plus grande commune mesure de $\mathrm {Q}$ et $\mathrm {M} _{1}$ (numéro cité), de sorte que, si cette condition n’a point lieu, il en faudra conclure qu’il est impossible de trouver un nombre $n$ qui ait les propriétés requises, et que par conséquent la quantité

$\mathrm {F} +\mathrm {G} p+\mathrm {H} q$

ne pourra jamais être divisible par $\mathrm {R} .$ On dira la même chose par rapport aux autres équations

$\mathrm {\mu _{1}Q_{1}-\nu _{1}M_{2}=N_{2}-N} ,\ldots$

auxquelles il faut satisfaire.

Ainsi, pour pouvoir s’assurer si la quantité

$\mathrm {F} +\mathrm {G} p+\mathrm {H} q$

peut être divisible par $\mathrm {R} ,$ et pour trouver en même temps les valeurs de l’exposant $n$ qui peuvent la rendre telle, il suffira d’examiner successivement toutes les valeurs de cette quantité qui répondent à

$n=0,1,2,\ldots$

jusqu’au plus grand des nombres

$r^{m-1}\rho ,\ \ r_{1}^{m_{1}-1}\rho _{1},\ \ r_{2}^{m_{2}-1}\rho _{2},\ldots \,;$

d’où l’on voit que ce tâtonnement sera toujours limité.

73. Supposons maintenant qu’on ait une autre quantité telle que

$\mathrm {F} _{1}+\mathrm {G} _{1}p+\mathrm {H} _{1}q,$

qui doive être divisible par $\mathrm {R} _{1}\,;$ on trouvera de la même manière que ci-dessus que l’exposant $n,$ qui peut la rendre telle (s’il y en a un), sera

exprimé en général par

$n=\lambda _{1}\mathrm {P_{1}+L_{1}} ,$

$\mathrm {P} _{1}$ et $\mathrm {L} _{1}$ étant des nombres connus, et $\lambda _{1}$ un nombre quelconque entier.

Donc, si l’on veut que les quantités

$\mathrm {F} +\mathrm {G} p+\mathrm {H} q\quad {\text{et}}\quad \mathrm {F} _{1}+\mathrm {G} _{1}p+\mathrm {H} _{1}q$

soient en même temps divisibles, la première par $\mathrm {R}$ et la seconde par $\mathrm {R} _{1},$ il faudra que $n$ soit en même temps de ces deux formes : $\lambda \mathrm {P+L}$ et $\lambda _{1}\mathrm {P_{1}+L_{1}} ,$ de sorte qu’il ne s’agira que de trouver des nombres entiers $\lambda$ et $\lambda _{1}$ tels que l’on ait

$\lambda \mathrm {P+L=\lambda _{1}P_{1}+L_{1}} ,$

Problème que l’on résoudra par la méthode du n^o 8 ; et l’on trouvera que la valeur de $n$ sera de cette forme

$n=\varpi \Pi +\Lambda ,$

$\Pi$ étant le plus petit multiple commun de $\mathrm {P}$ et $\mathrm {P} _{1},$ $\Lambda$ étant un nombre donné et $\varpi$ un nombre quelconque entier ; de sorte qu’il y aura toujours une infinité de valeurs de $n$ qui satisferont à ces deux conditions.

74. Donc, puisque les valeurs des inconnues $x$ et $y$ d’une équation quelconque du second degré (2 et 64) se réduisent toujours, lorsque $u$ et $t$ sont des nombres entiers et que $\mathrm {B}$ est un nombre positif, à ces formes

$x={\frac {\mathrm {F} +\mathrm {G} p+\mathrm {H} q}{\mathrm {R} }},\quad y={\frac {\mathrm {F} _{1}+\mathrm {G} _{1}p+\mathrm {H} _{1}q}{\mathrm {R} _{1}}},$

l’exposant $n$ des quantités $\mathrm {X\pm Y{\sqrt {B}}}$ qui entrent dans les expressions de $p$ et $q$ pouvant être un nombre quelconque entier positif, on reconnaîtra aisément par les méthodes précédentes si les inconnues $x$ et $y$ peuvent être des nombres entiers ; et dans ce cas on trouvera aussi toutes les valeurs possibles de l’exposant $n$ qui peuvent rendre $x$ et $y$ des nombres entiers, valeurs dont le nombre sera toujours infini.

De sorte que le nombre des solutions en nombres entiers, dont une équation quelconque du second degré à deux inconnues est susceptible, sera toujours nécessairement ou nul ou infini.

Il resterait à donner quelques exemples pour montrer l’application des méthodes précédentes, mais comme elle ne peut avoir aucune difficulté, nous croyons pouvoir nous dispenser d’entrer dans ce détail, pour ne pas rendre ce Mémoire trop long.

§ VI. — Remarques particulières.

I.

La quantité $p^{2}-\mathrm {B} q^{2}$ peut être regardée comme le produit de ces deux-ci : $p+q{\sqrt {\mathrm {B} }}$ et $p-q{\sqrt {\mathrm {B} }}\,;$ d’où il s’ensuit que, si l’on multiplie cette quantité par une autre quantité de la même forme, telle que $p_{1}^{2}-\mathrm {B} q_{1}^{2},$ on aura le produit de ces quatre quantités

$p+q{\sqrt {\mathrm {B} }},\quad p-q{\sqrt {\mathrm {B} }},\quad p_{1}+q_{1}{\sqrt {\mathrm {B} }},\quad p_{1}-q_{1}{\sqrt {\mathrm {B} }}\,;$

or, le produit de $p+q{\sqrt {\mathrm {B} }}$ par $p_{1}+q_{1}{\sqrt {\mathrm {B} }}$ est

$pp_{1}+\mathrm {B} qq_{1}+\left(pq_{1}+qp_{1}\right){\sqrt {\mathrm {B} }},$

et celui de $p-q{\sqrt {\mathrm {B} }}$ par $p_{1}-q_{1}{\sqrt {\mathrm {B} }}$ est de même

$pp_{1}+\mathrm {B} qq_{1}-\left(pq_{1}+qp_{1}\right){\sqrt {\mathrm {B} }},$

c’est-à-dire qu’en faisant

$pp_{1}+\mathrm {B} qq_{1}=\mathrm {P} ,\quad pq_{1}+qp_{1}=\mathrm {Q} ,$

ces produits sont

$\mathrm {P+Q{\sqrt {B}}} \quad {\text{et}}\quad \mathrm {P-Q{\sqrt {B}}} \,;$

donc le produit de $p^{2}-\mathrm {B} q^{2}$ par $p_{1}^{2}-\mathrm {B} q_{1}^{2}$ sera égal à celui de $\mathrm {P+Q{\sqrt {B}}}$ par $\mathrm {P-Q{\sqrt {B}}} ,$ c’est-à-dire égal à $\mathrm {P^{2}-BQ^{2}} .$

Si, au lieu de multiplier d’abord $p+q{\sqrt {\mathrm {B} }}$ par $p_{1}+q_{1}{\sqrt {\mathrm {B} }},$ et $p-q{\sqrt {\mathrm {B} }}$ par $p_{1}-q_{1}{\sqrt {\mathrm {B} }},$ on multipliait $p+q{\sqrt {\mathrm {B} }}$ par $p_{1}-q_{1}{\sqrt {\mathrm {B} }},$ et $p-q{\sqrt {\mathrm {B} }}$ par $p_{1}+q_{1}{\sqrt {\mathrm {B} }},$ on aurait les produits

$\mathrm {P+Q{\sqrt {B}}} \quad {\text{et}}\quad \mathrm {P-Q{\sqrt {B}}} ,$

dans lesquels

$\mathrm {P} =pp_{1}-\mathrm {B} qq_{1},\quad \mathrm {Q} =pq_{1}-qp_{1}\,;$

de sorte qu’on aura en général

$\left(p^{2}-\mathrm {B} q^{2}\right)\left(p_{1}^{2}-\mathrm {B} q_{1}^{2}\right)=\mathrm {P^{2}-BQ^{2}} ,$

$\mathrm {P} =pp_{1}\pm \mathrm {B} qq_{1},\quad \mathrm {Q} =pq_{1}\pm qp_{1},$

comme nous l’avons vu (9).

Cette analyse a l’avantage défaire voir clairement pourquoi le produit de deux quantités de la forme $p^{2}-\mathrm {B} q^{2}$ ne peut être que deux fois de la même forme ; en effet, en réduisant l’équation

$\left(p^{2}-\mathrm {B} q^{2}\right)\left(p_{1}^{2}-\mathrm {B} q_{1}^{2}\right)=\mathrm {P^{2}-BQ^{2}}$

à la forme

$\left(p+q{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)\left(p-q{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)\left(p_{1}+q_{1}{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)\left(p_{1}-q_{1}{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)=\mathrm {\left(P+Q{\sqrt {B}}\right)\left(P-Q{\sqrt {B}}\right)} ,$

il est visible qu’on n’y peut satisfaire que par ces deux suppositions

$\mathrm {P\pm Q{\sqrt {B}}} =\left(p\pm q{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)\left(p_{1}\pm q_{1}{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)$

ou

$\mathrm {P\pm Q{\sqrt {B}}} =\left(p\pm q{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)\left(p_{1}\mp q_{1}{\sqrt {\mathrm {B} }}\right),$

ce qui donne les deux valeurs de $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ que nous avons trouvées.

Donc, puisque le produit de deux quantités de la forme $p^{2}-\mathrm {B} q^{2}$ est deux fois de la même forme, le produit de trois de ces quantités sera quatre fois de la même forme, le produit de quatre quantités sera huit fois de la même forme, et ainsi de suite ; à moins que quelques-unes de ces formes ne soient détruites par l’évanouissement des quantités $\mathrm {<} math>\mathrm {Q} ,$</math> ce qui doit arriver nécessairement lorsqu’on multiplie ensemble des quantités égales.

En effet, si l’on fait $p_{1}=p$ et $q_{1}=q,$ en sorte que

$\mathrm {P^{2}-BQ^{2}} =\left(p^{2}-\mathrm {B} q^{2}\right)^{2},$

les doubles valeurs de $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ se réduiront à celles-ci

$\mathrm {P} =p^{2}+\mathrm {B} q^{2},\quad \mathrm {Q} =2pq,$

et

$\mathrm {P} =p^{2}-\mathrm {B} q^{2},\quad \mathrm {Q} =0,$

dont les dernières ne nous apprennent rien ; de sorte que dans ce cas on n’aura, à proprement parier, qu’une seule valeur de $\mathrm {P}$ et une de $\mathrm {Q} .$

Mais voyons en général quelles sont les expressions de $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ qui peuvent satisfaire à l’équation

$\left(p^{2}-\mathrm {B} q^{2}\right)^{m}=\mathrm {P^{2}-BQ^{2}} .$

Suivant notre méthode, on réduira cette équation à la forme

$\left(p+q{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)^{m}\left(p-q{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)^{m}=\mathrm {\left(P+Q{\sqrt {B}}\right)\left(P-Q{\sqrt {B}}\right)} ,$

et l’on fera

${\begin{aligned}\mathrm {\left(P+Q{\sqrt {B}}\right)} =&\left(p+q{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)^{m},\\\mathrm {\left(P-Q{\sqrt {B}}\right)} =&\left(p-q{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)^{m},\end{aligned}}$

d’où l’on aura

${\begin{aligned}\mathrm {P} =&{\frac {\left(p+q{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)^{m}+\left(p-q{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)^{m}}{2}},\\\mathrm {Q} =&{\frac {\left(p+q{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)^{m}-\left(p-q{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)^{m}}{2{\sqrt {\mathrm {B} }}}},\end{aligned}}$

expressions qui seront toujours rationnelles, comme il est facile de s’en assurer par le développement des puissances de $p+q{\sqrt {\mathrm {B} }}$ et de $p-q{\sqrt {\mathrm {B} }}.$

Si l’on faisait

${\begin{aligned}\mathrm {\left(P+Q{\sqrt {B}}\right)} =&\left(p-q{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)^{m},\\\mathrm {\left(P-Q{\sqrt {B}}\right)} =&\left(p+q{\sqrt {\mathrm {B} }}\right)^{m},\end{aligned}}$

on aurait les mêmes valeurs de $\mathrm {P}$ et de $\mathrm {Q}$ que nous venons de trouver, à l’exception que celle de $\mathrm {Q}$ serait négative, ce qui est indifférent ici.

II.

Si l’on avait à multiplier ensemble deux quantités de cette forme

$p^{2}-\mathrm {B} q^{2}-\mathrm {C} r^{2}+\mathrm {BC} s^{2},$

on pourrait démontrer par la méthode précédente que le produit serait aussi de la même forme.

Car soient

${\begin{aligned}&p^{2}-\mathrm {B} q^{2}-\mathrm {C} r^{2}+\mathrm {BC} s^{2},\\&p_{1}^{2}-\mathrm {B} q_{1}^{2}-\mathrm {C} r_{1}^{2}+\mathrm {BC} s_{1}^{2}\end{aligned}}$

les deux quantités qu’il s’agit de multiplier l’une par l’autre : en faisant, pour abréger,

${\begin{alignedat}{2}p+q{\sqrt {\mathrm {B} }}=&\alpha ,\quad &p-q{\sqrt {\mathrm {B} }}=&\beta ,\\r+s{\sqrt {\mathrm {B} }}=&\gamma ,&r-s{\sqrt {\mathrm {B} }}=&\delta ,\end{alignedat}}$

et de même

${\begin{alignedat}{2}p_{1}+q_{1}{\sqrt {\mathrm {B} }}=&\alpha _{1},\quad &p_{1}-q_{1}{\sqrt {\mathrm {B} }}=&\beta _{1},\\r_{1}+s_{1}{\sqrt {\mathrm {B} }}=&\gamma _{1},&r_{1}-s_{1}{\sqrt {\mathrm {B} }}=&\delta _{1},\end{alignedat}}$

elles deviendront

$\alpha \beta -\mathrm {C} \gamma \delta \quad {\text{et}}\quad \alpha _{1}\beta _{1}-\mathrm {C} \gamma _{1}\delta _{1},$

dont le produit peut se réduire à cette forme

$\left(\alpha \alpha _{1}\pm \mathrm {C} \gamma \gamma _{1}\right)\left(\beta \beta _{1}\pm \mathrm {C} \delta \delta _{1}\right)-\mathrm {C} \left(\alpha \delta _{1}\pm \gamma \beta _{1}\right)\left(\beta \gamma _{1}\pm \delta \alpha _{1}\right).$

Or, il est facile de voir qu’on aura

${\begin{aligned}\alpha \alpha _{1}\pm \mathrm {C} \gamma \gamma _{1}=&\mathrm {P+Q{\sqrt {B}}} ,\\\beta \beta _{1}\ \pm \mathrm {C} \,\delta \delta _{1}=&\mathrm {P-Q{\sqrt {B}}} ,\\\alpha \delta _{1}\ \pm \gamma \beta _{1}\,\ \ =&\mathrm {R+S{\sqrt {B}}} ,\\\beta \gamma _{1}\,\ \pm \delta \alpha _{1}\,\ \ =&\mathrm {R-S{\sqrt {B}}} ,\end{aligned}}$

en faisant

${\begin{aligned}\mathrm {P} =&pp_{1}+\mathrm {B} qq_{1}\pm \mathrm {C} (rr_{1}+\mathrm {B} ss_{1}),\\\mathrm {Q} =&pq_{1}+qp_{1}\ \ \ \pm \mathrm {C} (rs_{1}+sr_{1}),\\\mathrm {R} =&pr_{1}-\mathrm {B} qs_{1}\,\pm \mathrm {C} (rp_{1}-\mathrm {B} sq_{1}),\\\mathrm {S} =&qr_{1}-ps_{1}\,\ \ \ \pm (sp_{1}-rq_{1}),\end{aligned}}$

d’où il s’ensuit que le produit des deux quantités données sera

$\mathrm {P^{2}-BQ^{2}-CR^{2}+BCS^{2}} ,$

et par conséquent de la même forme que ces mêmes quantités.

Si l’on voulait avoir le carré de

$p^{2}-\mathrm {B} q^{2}-\mathrm {C} r^{2}+\mathrm {BCs} ^{2},$

il n’y aurait qu’à supposer dans les formules précédentes $p_{1}=p,\ q_{1}=q,$$r_{1}=r,\ s_{1}=s,$ et l’on aurait, en prenant le signe supérieur,

${\begin{aligned}\mathrm {P} =&p^{2}+\mathrm {B} q^{2}+\mathrm {C} \left(r^{2}+\mathrm {B} s^{2}\right),\\\mathrm {Q} =&2pq+2\mathrm {C} rs,\\\mathrm {R} =&2pr-2\mathrm {B} qs,\\\mathrm {S} =&0\,;\end{aligned}}$

et, en prenant l’inférieur,

${\begin{aligned}\mathrm {P} =&p^{2}+\mathrm {B} q^{2}-\mathrm {C} \left(r^{2}+\mathrm {B} s^{2}\right),\\\mathrm {Q} =&2pq-2\mathrm {C} rs,\\\mathrm {R} =&0,\\\mathrm {S} =&2rq-2ps.\end{aligned}}$

On pourra trouver de même le cube et les puissances plus hautes de

$p^{2}-\mathrm {B} q^{2}-\mathrm {C} r^{2}+\mathrm {B} \mathrm {C} s^{2},$

lesquelles seront toujours aussi de la même forme, de sorte qu’on pourra résoudre en général l’équation

$\left(p^{2}-\mathrm {B} q^{2}-\mathrm {C} r^{2}+\mathrm {BC} s^{2}\right)^{m}=\mathrm {P^{2}-BQ^{2}-CR^{2}+BC} s^{2}.$

Au reste, il faut remarquer que, pour avoir toutes les valeurs possibles de $\mathrm {P,Q,R}$ et $\mathrm {S} ,$ il faudra faire successivement chacune des quantités $p,q,r,s$ positive et négative, à cause qu’il n’y a que les carrés de ces quantités qui entrent dans la quantité donnée $p^{2}-\mathrm {B} q^{2}-\mathrm {C} r^{2}+\mathrm {BC} s^{2}$

III.

Si l’on voulait trouver des fonctions de plus de deux dimensions qui eussent la même propriété, que le produit de deux fonctions semblables fût aussi une fonction semblable, on y parviendrait aisément par la considération suivante.

Que l’on considère la quantité irrationnelle

$t+ua{\sqrt[{n}]{\mathrm {A} }}+xa^{2}{\sqrt[{n}]{\mathrm {A} ^{2}}}+ya^{3}{\sqrt[{n}]{\mathrm {A} ^{3}}}+\ldots =p,$

$a$ étant une des racines $n$^ième de l’unité, il est facile de voir que, si l’on multiplie ensemble deux expressions semblables, le produit sera aussi de la même forme.

Or, si l’on désigne par $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots$ les différentes valeurs de $a,$ c’est-à-dire les différentes racines de l’équation $a^{n}-1=0,$ et par $p_{1},p_{2},p_{3},\ldots$ les valeurs correspondantes de $p,$ on sait que le produit $p_{1}p_{2}p_{3}\ldots$ sera toujours une quantité rationnelle ; donc cette quantité aura la propriété requise.

En effet, soit

$\theta +\nu a{\sqrt[{n}]{\mathrm {A} }}+\xi a^{2}{\sqrt[{n}]{\mathrm {A} ^{2}}}+\psi a^{3}{\sqrt[{n}]{\mathrm {A} ^{3}}}+\ldots =\varpi ,$

et la quantité $\varpi _{1}\varpi _{2}\varpi _{3}\ldots$ sera rationnelle et semblable à la quantité $p_{1}p_{2}p_{3}\ldots \,;$ donc, si l’on fait

$\mathrm {P} =p_{1}p_{2}p_{3}\ldots ,\quad \Pi =\varpi _{1}\varpi _{2}\varpi _{3}\ldots ,$

on aura $\mathrm {P} \Pi =p_{1}\varpi _{1}p_{2}\varpi _{2}p_{3}\varpi _{3}\ldots \,;$ mais en multipliant $p$ par $\varpi$ et nommant le produit $q,$ on trouvera, à cause de $a^{n}=1,$

$\mathrm {T+V} a{\sqrt[{n}]{\mathrm {A} }}+\mathrm {X} a^{2}{\sqrt[{n}]{\mathrm {A} ^{2}}}+\mathrm {Y} a^{3}{\sqrt[{n}]{\mathrm {A} ^{3}}}+\ldots =q,$

$\mathrm {T,V,X} \ldots$ étant des fonctions rationnelles de $t,u,x,\ldots ,\theta ,\nu ,\xi ,\ldots$ et $\mathrm {A} \,;$ donc si l’on fait de même

$\mathrm {Q} =q_{1}q_{2}q_{3}\ldots ,$

la quantité $\mathrm {Q}$ sera rationnelle et semblable à $\mathrm {P}$ et à $\Pi ,$ et l’on aura $\mathrm {Q=P} \Pi .$

De là on voit que, si l’on multiplie ensemble autant de fonctions semblables à $\mathrm {P}$ qu’on voudra, le produit sera toujours aussi une fonction semblable.

Donc, si l’on élève $\mathrm {P}$ à une puissance quelconque, cette puissance sera toujours aussi une fonction semblable à sa racine.

Pour trouver en général l’expression d’une puissance quelconque $\mathrm {P} ^{m},$ il faudra trouver d’abord celle de $p^{m},$ qui sera nécessairement de la forme

$\mathrm {T+V} a{\sqrt[{n}]{\mathrm {A} }}+\mathrm {X} a^{2}{\sqrt[{n}]{\mathrm {A} ^{2}}}+\mathrm {Y} a^{3}{\sqrt[{n}]{\mathrm {A} ^{3}}}+\ldots ,$

et alors on aura $\mathrm {P} ^{m}=p_{1}^{m}p_{2}^{m}p_{3}^{m}\ldots .$

Soit donc en général

$p^{m}=\mathrm {T+V} a{\sqrt[{n}]{\mathrm {A} }}+\mathrm {X} a^{2}{\sqrt[{n}]{\mathrm {A} ^{2}}}+\mathrm {Y} a^{3}{\sqrt[{n}]{\mathrm {A} ^{3}}}+\ldots \,;$

comme cette équation doit être identique, et par conséquent avoir lieu pour toutes les valeurs de $a,$ on aura celles-ci

${\begin{aligned}p_{1}^{m}&=\mathrm {T+V} a_{1}{\sqrt[{n}]{\mathrm {A} }}+\mathrm {X} a_{1}^{2}{\sqrt[{n}]{\mathrm {A} ^{2}}}+\mathrm {Y} a_{1}^{3}{\sqrt[{n}]{\mathrm {A} ^{3}}}+\ldots ,\\p_{2}^{m}&=\mathrm {T+V} a_{2}{\sqrt[{n}]{\mathrm {A} }}+\mathrm {X} a_{2}^{2}{\sqrt[{n}]{\mathrm {A} ^{2}}}+\mathrm {Y} a_{2}^{3}{\sqrt[{n}]{\mathrm {A} ^{3}}}+\ldots ,\\p_{3}^{m}&=\mathrm {T+V} a_{3}{\sqrt[{n}]{\mathrm {A} }}+\mathrm {X} a_{3}^{2}{\sqrt[{n}]{\mathrm {A} ^{2}}}+\mathrm {Y} a_{3}^{3}{\sqrt[{n}]{\mathrm {A} ^{3}}}+\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

qui seront au nombre de $n\,;$ donc, comme les quantités $\mathrm {T,V,X,Y} ,\ldots$ sont aussi au même nombre, on pourra les déterminer à l’aide de ces mêmes équations, et il est facile de voir qu’à cause que $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots$ sont les racines de l’équation $a^{n}-1=0,$ dont tous les termes intermédiaires manquent, on aura

${\begin{aligned}\mathrm {T} &={\frac {p_{1}^{m}+p_{2}^{m}+p_{3}^{m}+\ldots }{n}},\\\mathrm {V} &={\frac {a_{1}^{n-1}p_{1}^{m}+a_{2}^{n-1}p_{2}^{m}+a_{3}^{n-1}p_{3}^{m}+\ldots }{n{\sqrt[{n}]{\mathrm {A} }}}},\\\mathrm {X} &={\frac {a_{1}^{n-2}p_{1}^{m}+a_{2}^{n-2}p_{2}^{m}+a_{3}^{n-2}p_{3}^{m}+\ldots }{n{\sqrt[{n}]{\mathrm {A} ^{2}}}}},\\\mathrm {Y} &={\frac {a_{1}^{n-3}p_{1}^{m}+a_{2}^{n-3}p_{2}^{m}+a_{3}^{n-3}p_{3}^{m}+\ldots }{n{\sqrt[{n}]{\mathrm {A} ^{3}}}}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

expressions qui deviendront rationnelles par la substitution des valeurs de $p_{1}^{m},p_{2}^{m},p_{3}^{m},\ldots ,$ comme il est facile de s’en convaincre par cette considération que l’on a

${\begin{aligned}&a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots =0,\\&a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+\ldots =0,\\&a_{1}^{3}+a_{2}^{3}+a_{3}^{3}+\ldots =0,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\&a_{1}^{n}+a_{2}^{n}+a_{3}^{n}+\ldots =0,\\&a_{1}^{n+1}+a_{2}^{n+1}+a_{3}^{n+1}+\ldots =0,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\&a_{1}^{2n}+a_{2}^{2n}+a_{3}^{2n}+\ldots =0,\end{aligned}}$

et ainsi de suite ; de sorte qu’on pourra avoir les valeurs de $\mathrm {T,V,X} ,\ldots ,$ indépendamment des racines $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots .$

Cette même considération suffit aussi pour faire trouver en général la valeur de $\mathrm {P} =p_{1}p_{2}p_{3}\ldots$ sans connaître les racines $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots \,;$ car, si l’on fait

${\begin{aligned}p_{1}+p_{2}+p_{3}+\ldots =&\alpha ,\\p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}+\ldots =&\beta ,\\p_{1}^{3}+p_{2}^{3}+p_{3}^{3}+\ldots =&\gamma ,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots ,\end{aligned}}$

et ensuite

${\begin{aligned}b&={\frac {\alpha ^{2}-\beta }{2}},\\c&={\frac {\alpha b-\beta \alpha +\gamma }{3}},\\d&={\frac {\alpha c-\beta b+\gamma \alpha -\delta }{4}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

la quantité $\mathrm {P}$ sera égale, comme on sait, au terme $n$^ième de la série $a,b,$$c,d,\ldots \,;$ mais il est facile de voir que les valeurs de $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ ne peuvent contenir d’autres fonctions des racines $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots$ que la somme de ces racines, ou de leurs carrés, ou de leurs cubes, etc. ; donc, etc.

En général, il est évident que la quantité $\mathrm {P}$ n’est autre chose que, le dernier terme de l’équation dont les racines seraient $p_{1},p_{2},p_{3},\ldots ,$ c’est-à-dire de l’équation qui résultera de celle-ci

$t+ua{\sqrt[{n}]{\mathrm {A} }}+xa^{2}{\sqrt[{n}]{\mathrm {A} ^{2}}}+\ldots =p,$

en la délivrant des quantités radicales et l’ordonnant ensuite par rapport à $p,$ ou bien (ce qui revient au même) de l’équation résultante de l’élimination de $\omega$ dans ces deux-ci

$t+u\omega +x\omega ^{2}+y\omega ^{3}+\ldots =p,$

$\omega ^{n}-\mathrm {A} =0.$

Soit $n=2,$ en sorte que

$p=t+ua{\sqrt[{n}]{\mathrm {A} }}\quad {\text{et}}\quad a^{2}-1=0,$

on trouvera

$\mathrm {P} =t^{2}-\mathrm {A} u^{2}\,;$

c’est le cas que nous avons examiné plus haut (1).

Soit $n=3,$ en sorte que

$p=t+ua{\sqrt[{3}]{\mathrm {A} }}+xa^{2}{\sqrt[{3}]{\mathrm {A} ^{2}}}\quad {\text{et}}\quad a^{3}-1=0,$

on trouvera

$\mathrm {P} =t^{3}+\mathrm {A} u^{3}-3\mathrm {A} tux+\mathrm {A} ^{2}x^{3}.$

Donc, si l’on fait de même

$\Pi =\theta ^{3}+\mathrm {A} \nu ^{3}-3\mathrm {A} \theta \nu \xi +\mathrm {A} ^{2}\xi ^{3},$

le produit $\mathrm {P} \Pi$ sera de la même forme, c’est-à-dire qu’on aura

$\mathrm {P\Pi =T^{3}+AV^{3}-3ATVX+A^{2}X^{3}} ,$

et pour avoir les valeurs de $\mathrm {T,V}$ et $\mathrm {X}$ on considérera que

${\begin{aligned}\varpi =&\theta +\nu a{\sqrt[{3}]{\mathrm {A} }}+\xi a^{2}{\sqrt[{3}]{\mathrm {A} ^{2}}},\\p\varpi =&\mathrm {T+V} a{\sqrt[{3}]{\mathrm {A} }}+\mathrm {X} a^{2}{\sqrt[{3}]{\mathrm {A} ^{2}}},\end{aligned}}$

d’où l’on aura

${\begin{aligned}\mathrm {T} =&t\theta +\mathrm {A} (u\xi +\nu x),\\\mathrm {V} =&t\nu +\theta u+\mathrm {A} x\xi ,\\\mathrm {X} =&t\xi +\theta x+u\nu .\end{aligned}}$

Si l’on faisait $x=0$ et $\xi =0,$ les quantités $\mathrm {P}$ et $\Pi$ deviendraient

$t^{3}+\mathrm {A} u^{3}\quad {\text{et}}\quad \theta ^{3}+\mathrm {A} \nu ^{3},$

mais leur produit ne serait plus de la même forme, à cause que la quantité $\mathrm {X}$ ne deviendrait pas nulle.

Soit $n=4,$ en sorte que

$p=t+ua{\sqrt[{4}]{\mathrm {A} }}+xa^{2}{\sqrt[{4}]{\mathrm {A} ^{2}}}+ya^{3}{\sqrt[{4}]{\mathrm {A} ^{3}}}\quad {\text{et}}\quad a^{4}-1=0,$

on trouvera

$\mathrm {P} =t^{4}+\mathrm {A} \left[2t^{2}\left(x^{2}+uy\right)-4tu^{2}x+u^{4}\right]$

$+\mathrm {A} ^{2}\left(4txy^{2}+x^{4}-4ux^{2}y+2u^{2}y^{2}\right)-\mathrm {A} ^{3}y^{4},$

et le produit d’autant de fonctions de cette forme qu’on voudra sera toujours une fonction de la même forme, et ainsi de suite.

IV.

Si l’on avait à résoudre l’équation

$r^{n}-\mathrm {A} s^{n}=q^{m},$

il est évident qu’on y parviendrait si l’on pouvait rendre chaque facteur de $r^{n}-\mathrm {A} s^{n},$ comme $r-as{\sqrt[{n}]{\mathrm {A} }},$ égal à une puissance $m$^ième, $a$ étant toujours une des racines de l’équation $a^{n}-1=0.$

Soit donc en général

$r-sa{\sqrt[{n}]{\mathrm {A} }}=p^{m},$

en sorte que

$p={\sqrt[{m}]{r-sa{\sqrt[{n}]{\mathrm {A} }}}},$

il est facile de concevoir que la valeur de $p$ ne peut être exprimée que de cette manière

$p=t+ua{\sqrt[{n}]{\mathrm {A} }}+xa^{2}{\sqrt[{n}]{\mathrm {A} ^{2}}}+ya^{3}{\sqrt[{n}]{\mathrm {A} ^{3}}}+\ldots +za^{n-1}{\sqrt[{n}]{\mathrm {A} ^{n-1}}}\,;$

cette quantité étant élevée à la puissance $m,$ on aura (numéro précédent)

$p^{m}=\mathrm {T+V} a{\sqrt[{n}]{\mathrm {A} }}+\mathrm {X} a^{2}{\sqrt[{n}]{\mathrm {A} ^{2}}}+\mathrm {Y} a^{3}{\sqrt[{n}]{\mathrm {A} ^{3}}}+\ldots +\mathrm {Z} a^{n-1}{\sqrt[{n}]{\mathrm {A} ^{n-1}}}\,;$

donc

$r=\mathrm {T} ,\quad s=-\mathrm {V} \quad {\text{et}}\quad \mathrm {X=0,\quad Y=0,\quad Z} =0,\ldots ,$

et la valeur de $q$ sera égale à $p_{1}p_{2}p_{3}\ldots .$

Donc le Problème sera résoluble, au moins par cette méthode, toutes les fois qu’on pourra satisfaire aux équations

$\mathrm {X=0,\quad Y=0,\quad Z} =0\,;$

mais, quoique ces équations ne soient qu’au nombre de $n-2,$ et que les indéterminées $t,u,x,\ldots$ soient au nombre de $n,$ il arrivera bien souvent qu’il ne sera pas possible de les résoudre rationnellement.

Le cas de $n=2$ ayant déjà été examiné (1), faisons $n=3,$ et l’on aura

$p=t+ua{\sqrt[{3}]{\mathrm {A} }}+xa^{2}{\sqrt[{3}]{\mathrm {A} ^{2}}}.$

Soit maintenant $m=2,$ en sorte qu’il s’agisse de résoudre l’équation

$r^{3}-\mathrm {A} s^{3}=q^{2},$

et faisant le carré de $p,$ on aura

$p^{2}=t^{2}+2ux\mathrm {A} +\left(\mathrm {A} x^{2}+2tu\right)a{\sqrt[{3}]{\mathrm {A} }}+\left(u^{2}+2tx\right)a^{2}{\sqrt[{3}]{\mathrm {A} ^{2}}},$

en sorte qu’on aura

${\begin{aligned}\mathrm {T} =&t^{2}+2\mathrm {A} ux,\\\mathrm {V} =&\mathrm {A} x^{2}+2tu,\\\mathrm {X} =&u^{2}+2tx\,;\end{aligned}}$

par conséquent,

${\begin{aligned}r=&t^{2}+2\mathrm {A} ux,\\s=&-\mathrm {A} x^{2}-2tu,\end{aligned}}$

et l’équation à laquelle il faudra satisfaire sera

$u^{2}+2tx=0,$

laquelle donne sur-le-champ

$x=-{\frac {u^{2}}{2t}}\,;$

de sorte qu’en substituant cette valeur de $x$ dans celles de $r$ et $s,$ on aura

${\begin{aligned}r=&t^{2}-{\frac {\mathrm {A} u^{3}}{t}},\\s=&-{\frac {\mathrm {A} u^{4}}{4t^{2}}}-2tu.\end{aligned}}$

À l’égard de $q=p_{1}p_{2},$ on trouvera, comme dans le numéro précédent,

$q=t^{3}+\mathrm {A} u^{3}-3\mathrm {A} tux+\mathrm {A} ^{2}x^{3},$

ou bien, en substituant pour $x$ sa valeur $-{\frac {u^{2}}{2t}},$

$q=t^{3}+{\frac {5\mathrm {A} u^{3}}{2}}-{\frac {\mathrm {A} ^{2}u^{6}}{8t^{3}}}.$

Si l’on voulait éviter les fractions, il n’y aurait qu’à multiplier $r$ et $s$ par le carré $4t^{2},$ et $q$ par le cube $8t^{3},$ et l’on aurait plus simplement

${\begin{aligned}r=&4t\left(t^{3}-\mathrm {A} u^{3}\right),\\s=&-u\left(8t^{3}+\mathrm {A} u^{3}\right),\\q=&8t^{6}+20\mathrm {A} t^{3}u^{3}-\mathrm {A} ^{2}u^{6}.\end{aligned}}$

Soit $m=3,$ en sorte que l’équation à résoudre soit

$r^{3}-\mathrm {A} s^{3}=q^{3}\,;$

on fera le cube de $p,$ et l’on aura

${\begin{aligned}p^{3}=t^{3}&+\mathrm {A} u^{3}+6\mathrm {A} tux+\mathrm {A} ^{2}x^{3}\\&+3\left(t^{2}u+\mathrm {A} u^{2}x+\mathrm {A} tx^{2}\right)a{\sqrt[{3}]{\mathrm {A} }}+3\left(tu^{2}+t^{2}x+\mathrm {A} ux^{2}\right)a^{2}{\sqrt[{4}]{\mathrm {A} ^{2}}},\end{aligned}}$

d’où

${\begin{aligned}\mathrm {T} =&t^{3}+\mathrm {A} u^{3}+6\mathrm {A} tux+\mathrm {A} ^{2}x^{3},\\\mathrm {V} =&3t^{2}u+3\mathrm {A} \left(u^{2}x+tx^{2}\right),\\\mathrm {X} =&3\left(tu^{2}+t^{2}x+\mathrm {A} ux^{2}\right)\,;\end{aligned}}$

ainsi l’on aura

${\begin{aligned}r=&t^{3}+\mathrm {A} u^{3}+6\mathrm {A} tux+\mathrm {A} ^{2}x^{3},\\s=&-3t^{2}u-3\mathrm {A} \left(tx^{2}+u^{2}x\right),\end{aligned}}$

et il faudra qu’on ait $\mathrm {X} =0,$ savoir

$tu^{2}+t^{2}x+\mathrm {A} ux^{2}=0\,;$

quant à la valeur de $q,$ elle sera la même que ci-dessus, savoir

$q=t^{3}+\mathrm {A} u^{3}-3\mathrm {A} tux+\mathrm {A} ^{2}x^{3}.$

Ainsi, toute la difficulté se réduit à résoudre l’équation

$tu^{2}+t^{2}x+\mathrm {A} ux^{2}=0,$

c’est-à-dire à trouver une valeur quelconque rationnelle de $t,$ ou de $u,$ ou de $x,$ qui satisfasse à cette équation.

Pour la mettre sous une forme plus simple, faisons $u=ft,\ x=fgt,$ et divisant par $ft^{3},$ on aura

$f+g+\mathrm {A} f^{2}g^{2}=0\,;$

ou bien, divisant par $fg,$

${\frac {1}{f}}+{\frac {1}{g}}=\mathrm {A} fg\,;$

soit de plus ${\frac {1}{f}}+{\frac {1}{g}}=h,\ {\frac {1}{f}}-{\frac {1}{g}}=l,$ on aura

${\frac {4}{fg}}=h^{2}-l^{2}\,;$

donc l’équation précédente deviendra celle-ci

$h={\frac {4\mathrm {A} }{h^{2}-l^{2}}},$

c’est-à-dire

$4\mathrm {A} =h(h+l)(h-l)\,;$

soit encore $l=kh,$ et l’on aura

$4\mathrm {A} =h^{3}\left(1-k^{2}\right),$

c’est-à-dire que ${\frac {4\mathrm {A} }{1-k^{2}}}$ devra être un cube, et par conséquent que $2\mathrm {A} ^{2}\left(1-k^{2}\right)$ devra en être un aussi, dont la racine sera ${\frac {2\mathrm {A} }{h}}.$

Mais, comme nous ne nous proposons pas ici de traiter cette matière à fond, nous ne nous y arrêterons pas davantage quant à présent ; nous observerons seulement que M. de Fermat prétend, dans ses Remarques sur Diophante, avoir démontré en général ce théorème, que l’équation

$r^{n}+s^{n}=q^{n}$

n’est jamais résoluble d’une manière rationnelle lorsque $n$ surpasse $2$ ; mais ce Savant ne nous a pas laissé sa démonstration, et il ne paraît pas que personne l’ait encore trouvée jusqu’à présent. M. Euler a, à la vérité, démontré ce théorème dans le cas de $n=3$ et de $n=4,$ par une analyse particulière et très-ingénieuse, mais qui ne paraît pas applicable en général à tous les autres cas ; ainsi, ce théorème est un de ceux qui restent encore à démontrer, et qui méritent le plus l’attention des Géomètres.

1. Lu à l’Académie le 24 novembre 1768.
2. Œuvres de Lagrange, t. I, p. 671.