Mémoires extraits des recueils de l’Académie royale de Berlin/Nouvelle méthode pour résoudre les équations littérales par le moyen des séries

Joseph-Louis Lagrange

Nouvelle méthode pour résoudre les équations littérales par le moyen des séries

Mémoires extraits des recueils de l’Académie royale de Berlin, Gauthier-Villars, 1868, Œuvres de Lagrange. Tome III (p. 5-73).

NOUVELLE MÉTHODE
POUR
RÉSOUDRE LES ÉQUATIONS LITTÉRALES
PAR LE MOYEN DES SÉRIES^[1].

---

(Mémoires de l’Académie royale des Sciences et Belles-Lettres
de Berlin, t. XXIV, 1770.)

Je vais donner dans ce Mémoire une méthode très-simple et très-générale pour réduire les racines des équations littérales en suites infinies, matière sur laquelle plusieurs Géomètres se sont déjà exercés.

Ma méthode a, si je ne me trompe, de grands avantages sur toutes les méthodes connues pour le même objet :

1^o Elle donne l’expression de chaque racine de l’équation proposée, au lieu que les autres méthodes ne donnent ordinairement que l’expression d’une seule racine ;

2^o Elle donne les racines cherchées par des séries régulières, c’est-à-dire telles, que leurs termes suivent une loi générale et connue, de sorte qu’il est très-facile de les continuer autant que l’on veut ;

3^o Ces séries sont de plus telles, qu’on peut aisément trouver la forme de leurs derniers termes, et en déduire les conditions qui les rendent convergentes ou divergentes ;

4^o On peut aussi par la même méthode avoir l’expression d’une puissance quelconque de la racine cherchée, et même d’une fonction quelconque de cette racine ;

5^o Enfin cette méthode s’applique également aux équations transcendantes qui renferment des logarithmes et des arcs de cercle, et peut servir à résoudre différents Problèmes importants de cette espèce d’une manière plus simple et plus exacte qu’on ne pouvait le faire jusqu’à présent.

§ I. — De la manière d’avoir La somme des puissances d’un degré
quelconque de toutes les racines d’une équations donnée.

Quoique la solution de ce Problème soit assez connue, je crois pouvoir la donner ici, tant à cause du rapport qu’elle a avec le sujet de ce Mémoire, que parce que la méthode dont je me sers est en quelque façon plus simple et plus générale que celles qu’on emploie ordinairement.

1. Soit une équation d’un degré quelconque

(A)

$0=a-bx+cx^{2}-dx^{3}+\ldots$

dont les racines soient $p,q,r,\ldots \,;$ on aura, par la théorie connue des équations,

(B)

$a-bx+cx^{2}-dx^{3}+\ldots =a\left(1-{\frac {x}{p}}\right)\left(1-{\frac {x}{q}}\right)\left(1-{\frac {x}{r}}\right)\ldots$

Donc, en divisant par $a,$ on aura

$1-{\frac {bx-cx^{2}+dx^{3}-\ldots }{a}}=\left(1-{\frac {x}{p}}\right)\left(1-{\frac {x}{q}}\right)\left(1-{\frac {x}{r}}\right)\ldots ,$

et, prenant les logarithmes de part et d’autre,

$\log \left(1-{\frac {bx-cx^{2}+dx^{3}-\ldots }{a}}\right)$

$=\log \left(1-{\frac {x}{p}}\right)+\log \left(1-{\frac {x}{q}}\right)+\log \left(1-{\frac {x}{r}}\right)\ldots .$

Or, on a, en général,

$\log(1-u)=-u-{\frac {u^{2}}{2}}-{\frac {u^{3}}{3}}-\ldots \,;$

donc

${\begin{aligned}\log &\left(1-{\frac {x}{p}}\right)+\log \left(1-{\frac {x}{q}}\right)+\log \left(1-{\frac {x}{r}}\right)\ldots \\=&-\ x\ \ \left({\frac {1}{p}}\ \,+{\frac {1}{q}}\ \,+{\frac {1}{r}}\ \,+\ldots \right)\\&-{\frac {x^{2}}{2}}\left({\frac {1}{p^{2}}}+{\frac {1}{q^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}}}+\ldots \right)\\&-{\frac {x^{3}}{3}}\left({\frac {1}{p^{3}}}+{\frac {1}{q^{3}}}+{\frac {1}{r^{3}}}+\ldots \right)\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Donc, si l’on développe la quantité

$-\log \left(1-{\frac {bx-cx^{2}+dx^{3}-\ldots }{a}}\right)$

en une série de cette forme

$\mathrm {A} x+\mathrm {B} x^{2}+\mathrm {C} x^{3}+\ldots ,$

on aura

${\begin{aligned}\mathrm {A} &={\frac {1}{p}}\,\ +{\frac {1}{q}}\,\ +{\frac {1}{r}}\,\ +\ldots ,\\2\mathrm {B} &={\frac {1}{p^{2}}}+{\frac {1}{q^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}}}+\ldots ,\\3\mathrm {C} &={\frac {1}{p^{3}}}+{\frac {1}{q^{3}}}+{\frac {1}{r^{3}}}+\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

2. Puisqu’on suppose

$-\log \left(1-{\frac {bx-cx^{2}+dx^{3}-\ldots }{a}}\right)=\mathrm {A} x+\mathrm {B} x^{2}+\mathrm {C} x^{3}+\ldots ,$

on aura, en prenant les différentielles de part et d’autre et divisant par $dx,$

${\frac {b-2cx+3dx^{2}-\ldots }{a-bx+cx^{2}-dx^{3}+\ldots }}=\mathrm {A} +2\mathrm {B} x+3\mathrm {C} x^{2}+\ldots ,$

d’où, en multipliant en croix et comparant les termes, on tire

${\begin{aligned}\mathrm {A} &={\frac {b}{a}},\\2\mathrm {B} &={\frac {\mathrm {A} b-2c}{a}},\\3\mathrm {C} &={\frac {2\mathrm {B} b-\mathrm {A} c+3d}{a}},\end{aligned}}$

et ainsi de suite ; ce qui donne les formules connues de Newton.

De cette manière on ne peut déterminer chaque coefficient qu’à l’aide de tous les coefficients précédents ; mais si l’on voulait avoir tout de suite l’expression du coefficient d’une puissance quelconque $x^{m},$ coefficient que nous appellerons $\mathrm {M} ,$ et qui sera par conséquent égal à

${\frac {{\cfrac {1}{p^{m}}}+{\cfrac {1}{q^{m}}}+{\cfrac {1}{r^{m}}}+\ldots }{m}},$

on pourra s’y prendre de la manière suivante.

3. On considérera que

$\log \left(1-{\frac {bx-cx^{2}+dx^{3}-\ldots }{a}}\right)=\log \left(1-{\frac {bx}{a}}\right)+\log \left[1-{\frac {-cx^{2}+dx^{3}-\ldots }{a\left(1-{\cfrac {bx}{a}}\right)}}\right].$

Soit, pour abréger,

${\frac {-cx^{2}+dx^{3}-\ldots }{a}}=\mathrm {X} ,$

en sorte que l’on ait

$\log \left(1-{\frac {bx-cx^{2}+dx^{3}-\ldots }{a}}\right)=\log \left(1-{\frac {bx}{a}}\right)+\log \left(1-{\frac {\mathrm {X} }{1-{\cfrac {bx}{a}}}}\right).$

Donc, réduisant ces deux derniers logarithmes en série, on aura

${\begin{aligned}-&\log \left(1-{\frac {bx-cx^{2}+dx^{3}-\ldots }{a}}\right)\\&={\frac {bx}{a}}+{\frac {b^{2}x^{2}}{2a^{2}}}+{\frac {b^{3}x^{3}}{3a^{3}}}+\ldots +{\frac {\mathrm {X} }{1-{\cfrac {bx}{a}}}}+{\frac {\mathrm {X} ^{2}}{2\left(1-{\cfrac {bx}{a}}\right)^{2}}}+{\frac {\mathrm {X} ^{3}}{3\left(1-{\cfrac {bx}{a}}\right)^{3}}}+\ldots \\&=\mathrm {A} +\mathrm {B} x+\mathrm {C} x^{2}+\ldots +\mathrm {M} x^{m}+\ldots .\end{aligned}}$

Or, on sait que

${\begin{aligned}{\frac {1}{1-{\cfrac {bx}{a}}}}\qquad &=1+{\frac {bx}{a}}+{\frac {b^{2}x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {b^{3}x^{3}}{a^{3}}}+\ldots ,\\{\frac {1}{\left(1-{\cfrac {bx}{a}}\right)^{2}}}&=1+{\frac {2.bx}{a}}+{\frac {3.b^{2}x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {4.b^{3}x^{3}}{a^{3}}}+\ldots ,\\{\frac {1}{\left(1-{\cfrac {bx}{a}}\right)^{3}}}&={\frac {1}{2}}\left(1.2+{\frac {2.3.bx}{a}}+{\frac {3.4.b^{2}x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {4.5.b^{3}x^{3}}{a^{3}}}+\ldots \right),\\{\frac {1}{\left(1-{\cfrac {bx}{a}}\right)^{4}}}&={\frac {1}{2.3}}\left(1.2.3+{\frac {2.3.4.bx}{a}}+{\frac {3.4.5.b^{2}x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {4.5.6.b^{3}x^{3}}{a^{3}}}+\ldots \right),\end{aligned}}$

et ainsi de suite.

Donc, si l’on suppose, pour plus de simplicité,

${\begin{aligned}\mathrm {X} \ \ &=\alpha x^{2}+\alpha _{1}x^{3}+\alpha _{2}x^{4}+\ldots ,\\\mathrm {X} ^{2}&=\beta \,x^{4}+\beta _{1}x^{5}+\beta _{2}x^{6}+\ldots ,\\\mathrm {X} ^{3}&=\gamma \,x^{6}+\gamma _{1}\,x^{7}+\gamma _{2}x^{8}+\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

il est facile de voir que le coefficient de la puissance $x^{m}$ dans la quantité ${\frac {\mathrm {X} }{1-{\cfrac {bx}{a}}}},$ développée suivant les puissances de $x,$ sera représenté par

$\alpha \left({\frac {b}{a}}\right)^{m-2}+\alpha _{1}\left({\frac {b}{a}}\right)^{m-3}+\ldots +\alpha _{m-2}\,;$

que celui de la même puissance $x^{m}$ dans la quantité ${\frac {\mathrm {X} ^{2}}{2\left(1-{\cfrac {bx}{a}}\right)^{2}}}$ sera

${\frac {1}{2}}\left[(m-3)\beta \left({\frac {b}{a}}\right)^{m-4}+(m-4)\beta _{1}\left({\frac {b}{a}}\right)^{m-5}+\ldots +\beta _{m-4}\right],$

et que, dans la quantité ${\frac {\mathrm {X} ^{3}}{3\left(1-{\cfrac {bx}{a}}\right)^{3}}},$ il sera

${\frac {1}{2.3}}\left[(m-4)(m-5)\gamma \left({\frac {b}{a}}\right)^{m-6}+(m-5)(m-6)\gamma _{1}\left({\frac {b}{a}}\right)^{m-7}+\ldots +1.2.\gamma _{m-6}\right],$

et ainsi des autres.

De là il s’ensuit qu’on aura

${\begin{aligned}\mathrm {M} =&{\frac {1}{m}}\left({\frac {b}{a}}\right)^{m}\\&+\alpha \left({\frac {b}{a}}\right)^{m-2}+\alpha _{1}\left({\frac {b}{a}}\right)^{m-3}+\ldots +\alpha _{m-2}\\&+{\frac {1}{2}}\left[(m-3)\beta \left({\frac {b}{a}}\right)^{m-4}+(m-4)\beta _{1}\left({\frac {b}{a}}\right)^{m-5}+\ldots +\beta _{m-4}\right]\\&+{\frac {1}{2.3}}{\Biggl [}(m-4)(m-5)\gamma \left({\frac {b}{a}}\right)^{m-6}+(m-5)(m-6)\gamma _{1}\left({\frac {b}{a}}\right)^{m-7}{\Biggr .}\\&\qquad \quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\Biggl .}+\ldots +1.2.\gamma _{m-6}{\Biggr ]}\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Donc, puisque

$\mathrm {M} m={\frac {1}{p^{m}}}+{\frac {1}{q^{m}}}+{\frac {1}{r^{m}}}+\ldots ,$

on aura, en général,

${\frac {1}{p^{m}}}+{\frac {1}{q^{m}}}+{\frac {1}{r^{m}}}+\ldots$

${\begin{aligned}=&\left({\frac {b}{a}}\right)^{m}+m\alpha \left({\frac {b}{a}}\right)^{m-2}+m\alpha _{1}\left({\frac {b}{a}}\right)^{m-3}+\ldots +m\alpha _{m-2}\\&+{\frac {m(m-3)}{2}}\beta \left({\frac {b}{a}}\right)^{m-4}+{\frac {m(m-4)}{2}}\beta _{1}\left({\frac {b}{a}}\right)^{m-5}+\ldots +{\frac {m}{2}}\beta _{m-4}\\&+{\frac {m(m-4)(m-5)}{2.3}}\gamma \left({\frac {b}{a}}\right)^{m-6}+{\frac {m(m-5)(m-6)}{2.3}}\gamma _{1}\left({\frac {b}{a}}\right)^{m-7}\\&\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +\ldots +{\frac {m}{3}}\gamma _{m-6}\\&+{\frac {m(m-5)(m-6)(m-7)}{2.3.4}}\delta \left({\frac {b}{a}}\right)^{m-8}\\&\quad \qquad \qquad +{\frac {m(m-6)(m-7)(m-8)}{2.3.4}}\delta _{1}\left({\frac {b}{a}}\right)^{m-9}+\ldots +{\frac {m}{4}}\gamma _{m-8}\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

4. Exemple I. — Soit l’équation du second degré

$a-bx+cx^{2}=0\,;$

on aura, dans ce cas,

$\mathrm {X} =-{\frac {cx^{2}}{a}}\,;$

donc

$\mathrm {X} ^{2}={\frac {c^{2}x^{4}}{a^{2}}},\quad \mathrm {X} ^{3}=-{\frac {c^{3}x^{6}}{a^{3}}},\ldots ,$

donc

$\alpha =-{\frac {c}{a}},\quad \beta ={\frac {c^{2}}{a^{2}}},\quad \gamma =-{\frac {c^{3}}{a^{3}}},\ldots ,$

et toutes les autres quantités $\alpha _{1},\beta _{1},\ldots$ nulles ; donc, si $p$ et $q$ sont les racines de cette équation, on aura, en général,

${\begin{aligned}{\frac {1}{p^{m}}}+{\frac {1}{q^{m}}}=&\left({\frac {b}{a}}\right)^{m}-{\frac {mc}{a}}\left({\frac {b}{a}}\right)^{m-2}+{\frac {m(m-3)c^{2}}{2a^{2}}}\left({\frac {b}{a}}\right)^{m-4}\\&-{\frac {m(m-4)(m-5)c^{3}}{2.3a^{3}}}\left({\frac {b}{a}}\right)^{m-6}+\ldots ,\end{aligned}}$

en continuant cette série jusqu’à ce qu’on arrive à des puissances négatives de ${\frac {b}{a}}.$

5. Exemple II. — Soit encore l’équation générale du troisième degré

$a-bx+cx^{2}-dx^{3}=0\,;$

on aura, dans ce cas,

$\mathrm {X} =-{\frac {-cx^{2}+dx^{3}}{a}}=-{\frac {x^{2}}{a}}(c-dx),$

et, par conséquent,

${\begin{aligned}\mathrm {X} ^{2}&={\frac {x^{4}}{a^{2}}}\left(c^{2}-2cdx+d^{2}x^{2}\right),\\\quad \mathrm {X} ^{3}&={\frac {x^{6}}{a^{3}}}\left(c^{3}-3c^{2}dx+3cd^{2}x^{2}-d^{3}x^{3}\right),\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Donc

$\alpha =-{\frac {c}{a}},\quad \alpha _{1}={\frac {d}{a}},\quad \beta =-{\frac {c^{2}}{a^{2}}},\quad \beta _{1}=-{\frac {2cd}{a^{2}}},\quad \beta _{2}={\frac {d^{2}}{a^{2}}},$

$\gamma =-{\frac {c^{3}}{a^{3}}},\quad \gamma _{1}={\frac {3c^{2}d}{a^{3}}},\ldots .$

Donc, nommant $p,q,r$ les trois racines de l’équation proposée, on aura,

en général,

${\frac {1}{p^{m}}}+{\frac {1}{q^{m}}}+{\frac {1}{r^{m}}}$

${\begin{aligned}=&\left({\frac {b}{a}}\right)^{m}-{\frac {mc}{a}}\left({\frac {b}{a}}\right)^{m-2}+{\frac {md}{a}}\left({\frac {b}{a}}\right)^{m-3}\\&+{\frac {m(m-3)}{2a^{2}}}c^{2}\left({\frac {b}{a}}\right)^{m-4}+{\frac {m(m-4)}{2a^{2}}}2cd\left({\frac {b}{a}}\right)^{m-5}+{\frac {m(m-5)}{2a^{2}}}d^{2}\left({\frac {b}{a}}\right)^{m-6}\\&-{\frac {m(m-4)(m-5)}{2.3.a^{3}}}c^{3}\left({\frac {b}{a}}\right)^{m-6}+{\frac {m(m-5)(m-6)}{2.3.a^{3}}}3c^{2}d\left({\frac {b}{a}}\right)^{m-7}\\&-{\frac {m(m-6)(m-7)}{2.3.a^{3}}}3cd^{2}\left({\frac {b}{a}}\right)^{m-8}+{\frac {m(m-7)(m-8)}{2.3.a^{3}}}d^{3}\left({\frac {b}{a}}\right)^{m-9}-\ldots \end{aligned}}$

cette série étant continuée jusqu’à ce qu’on parvienne à des puissances négatives de\frac{b}{a}.

6. Exemple III. — Soit l’équation

$a-bx-x^{n}=0\,;$

on aura

$\mathrm {X} ={\frac {x^{n}}{a}},$

donc

$\mathrm {X} ^{2}={\frac {x^{2n}}{a^{2}}},\quad \mathrm {X} ^{3}={\frac {x^{3n}}{a^{3}}},\ldots .$

donc

$\alpha _{n-1}={\frac {1}{a}},\quad \beta _{2n-1}={\frac {1}{a^{2}}},\ldots ,$

et toutes les autres quantités nulles ; donc

${\begin{aligned}{\frac {1}{p^{m}}}+{\frac {1}{q^{m}}}+{\frac {1}{r^{m}}}=&\left({\frac {b}{a}}\right)^{m}\\&+{\frac {m}{a}}\left({\frac {b}{a}}\right)^{m-n}+{\frac {m(m-2n+1)}{2a^{2}}}\left({\frac {b}{a}}\right)^{m-2n}\\&+{\frac {m(m-3n+2)(m-3n+1)}{2.3.a^{3}}}c^{2}\left({\frac {b}{a}}\right)^{m-3n}\\&+{\frac {m(m-4n+3)(m-4n+2)(m-4n+1)}{2.3.4.a^{4}}}2cd\left({\frac {b}{a}}\right)^{m-4n}+\ldots \end{aligned}}$

jusqu’à ce qu’on arrive à des puissances négatives de ${\frac {b}{a}}.$

7. Au reste, quoique nous n’ayons donné que la formule qui exprime la somme des puissances $n$^ièmes des quantités ${\frac {1}{p}},{\frac {1}{q}},{\frac {1}{r}},\ldots$ ($p,q,r,$ étant les racines d’une équation quelconque donnée), il est facile d’avoir aussi l’expression de la somme des puissances n^ième des racines mêmes $p,q,r,\ldots \,:$ pour cela il n’y aura qu’à changer les racines de l’équation proposée en leurs réciproques, en écrivant ${\frac {1}{x}}$ à la place de $x$ ; car, nommant $p',q',r',\ldots$ les racines de l’équation transformée, on aura

${\frac {1}{p'^{m}}}+{\frac {1}{q'^{m}}}+{\frac {1}{r'^{m}}}+\ldots =p^{m}+q^{m}+r^{m}+\ldots$

Puisque (3)

${\begin{aligned}\mathrm {X} \ \ &=\alpha x^{2}+\alpha _{1}x^{3}+\ldots ,\\\mathrm {X} ^{2}&=\beta \,x^{4}+\beta _{1}x^{5}+\ldots ,\\\mathrm {X} ^{3}&=\gamma \,x^{6}+\gamma _{1}\,x^{7}+\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

il est clair que si l’on fait $x={\frac {1}{y}},$ et qu’on nomme $\mathrm {Y}$ la fonction de $y$ dans laquelle $\mathrm {X}$ se changera, on aura

${\begin{aligned}&\mathrm {Y} y^{m}=\alpha y^{m-2}+\alpha _{1}y^{m-3}+\ldots ,\\&{\frac {d(\mathrm {Y} ^{2}y^{m+1})}{dy}}=(m-3)\beta y^{m-4}+(m-4)\beta _{1}y^{m-5}+\ldots ,\\&{\frac {d^{2}(\mathrm {Y} ^{3}y^{m+2})}{dy^{2}}}=(m-4)(m-5)\gamma y^{m-6}+(m-5)(m-6)\gamma _{1}y^{m-7}+\ldots \\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

D’où il s’ensuit qu’on peut mettre la formule du numéro cité sous cette forme

${\frac {1}{m}}\left({\frac {1}{p^{m}}}+{\frac {1}{q^{m}}}+{\frac {1}{r^{m}}}+\ldots \right)$

$={\frac {y^{m}}{m}}+\mathrm {Y} y^{m}+{\frac {1}{2}}{\frac {d(\mathrm {Y} ^{2}y^{m+1})}{dy}}+{\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{2}(\mathrm {Y} ^{3}y^{m+2})}{dy^{2}}}+\ldots ,$

pourvu qu’on y substitue, après les différentiations, ${\frac {b}{a}}$ à la place de $y,$ et qu’on ait soin de rejeter tous les termes qui contiendraient des puissances négatives de $y$ ou de ${\frac {b}{a}},$ comme nous l’avons pratiqué dans les

Exemples précédents. De cette manière on pourra très-facilement trouver la somme des racines d’une équation quelconque élevées à telle puissance qu’on voudra.

§ II.— De la manière de trouver par les séries la racine
d’une équation quelconque.

8. Reprenons l’équation générale

(A)

$0=a-bx+cx^{2}-dx^{3}+\ldots ,$

dont on suppose que les racines soient $p,q,r,\ldots ,$ et voyons comment on pourra trouver la valeur d’une de ces racines en particulier.

On aura d’abord, comme nous l’avons vu dans le § I.

(B)

$\ \ a-bx+cx^{2}-dx^{3}+ex^{4}-\ldots =a\left(1-{\frac {x}{p}}\right)\left(1-{\frac {x}{q}}\right)\left(1-{\frac {x}{r}}\right).$

Qu’on divise cette équation par $bx,$ et, en y changeant les signes, on aura

${\begin{aligned}1-{\frac {a}{bx}}-{\frac {cx-dx^{2}+\ldots }{b}}&=-{\frac {a}{bx}}\left(1-{\frac {x}{p}}\right)\left(1-{\frac {x}{q}}\right)\left(1-{\frac {x}{r}}\right)\ldots \\&={\frac {a}{bp}}\left(1-{\frac {p}{x}}\right)\left(1-{\frac {x}{q}}\right)\left(1-{\frac {x}{r}}\right)\ldots .\end{aligned}}$

Donc, prenant les logarithmes de part et d’autre,

(C)

$\left\{{\begin{aligned}\log &\left(1-{\frac {a}{bx}}-{\frac {cx-dx^{2}+\ldots }{b}}\right)\\&=\log {\frac {a}{bp}}+\log \left(1-{\frac {p}{x}}\right)+\log \left(1-{\frac {x}{q}}\right)+\log \left(1-{\frac {x}{r}}\right)+\ldots .\end{aligned}}\right.$

Donc faisant, pour abréger,

$\mathrm {X} ={\frac {a}{x}}+cx-dx^{2}+ex^{3}-\ldots ,$

et réduisant en série les logarithmes de $1-{\frac {\mathrm {X} }{b}},\ 1-{\frac {p}{x}},\ 1-{\frac {x}{q}},\ldots ,$ on

aura, après avoir changé les signes,

(D)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {\mathrm {X} }{b}}+{\frac {\mathrm {X} ^{2}}{2b^{2}}}+{\frac {\mathrm {X} ^{3}}{3b^{3}}}+\ldots =&\log {\frac {bp}{a}}+{\frac {p}{x}}++{\frac {p^{2}}{2x^{2}}}+{\frac {p^{3}}{3x^{3}}}+\ldots \\&+\ x\,\ \left({\frac {1}{q}}\ \,+{\frac {1}{r}}\ \,+\ldots \right)\\&+{\frac {x^{2}}{2}}\left({\frac {1}{q^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}}}+\ldots \right)\\&+{\frac {x^{3}}{3}}\left({\frac {1}{q^{3}}}+{\frac {1}{r^{3}}}+\ldots \right)+\ldots \end{aligned}}\right.$

Or cette équation doit être identique, puisqu’elle vient de l’équation identique (B) ; donc, si l’on remet à la place de $\mathrm {X}$ sa valeur

${\frac {a}{x}}+cx-dx^{2}+ex^{3}-\ldots ,$

et qu’on suppose

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {X} }{b}}&+{\frac {\mathrm {X} ^{2}}{2b^{2}}}+{\frac {\mathrm {X} ^{3}}{3b^{3}}}+\ldots \\&=\left(\alpha +{\frac {\beta }{x}}+{\frac {\gamma }{x^{2}}}+{\frac {\delta }{x^{3}}}+\ldots \right)+\left(\mathrm {A} x+\mathrm {B} x^{2}+\mathrm {C} x^{3}+\ldots \right),\end{aligned}}$

on aura, par la comparaison des termes,

$\alpha =\log {\frac {bp}{a}},\quad \beta =p,\quad \gamma ={\frac {p^{2}}{2}},\quad \delta ={\frac {p^{3}}{3}},\ldots$

Ainsi l’on connaîtra non-seulement la valeur de la racine $p,$ mais aussi celle de son carré, de son cube, etc., comme aussi celle de son logarithme, qui sera

$\log p=\alpha -\log {\frac {b}{a}}=\alpha +\log {\frac {a}{b}}.$

9. Exemple I. — Soit l’équation du second degré

$a-bx+cx^{2}=0\,;$

on aura donc

$\mathrm {X} ={\frac {a}{x}}+cx\,;$

donc

${\begin{aligned}\mathrm {X} ^{2}&={\frac {a^{2}}{x^{2}}}+2ac+c^{2}x^{2},\\\mathrm {X} ^{3}&={\frac {a^{3}}{x^{3}}}+{\frac {3a^{2}c}{x}}+3ac^{2}x+c^{3}x^{3},\\\mathrm {X} ^{4}&={\frac {a^{4}}{x^{4}}}+{\frac {4a^{3}c}{x^{2}}}+6a^{2}c^{2}+4ac^{3}x^{2}+c^{4}x^{4},\end{aligned}}$

et ainsi de suite : donc

${\begin{aligned}\alpha =&{\frac {2ac}{2b^{2}}}+{\frac {4.3a^{2}c^{2}}{2.4.b^{4}}}+{\frac {6.5.4.a^{3}c^{3}}{2.3.6.b^{6}}}+\ldots ,\\\beta =&{\frac {a}{b}}+{\frac {3a^{2}c}{3b^{3}}}+{\frac {5.4.a^{3}c^{2}}{2.5.b^{5}}}+{\frac {7.6.5.a^{4}c^{3}}{2.3.7.b^{7}}}+\ldots ,\\\gamma =&{\frac {a^{2}}{2b^{2}}}+{\frac {4a^{3}c}{4b^{4}}}+{\frac {6.5.a^{4}c^{2}}{2.6.b^{6}}}+{\frac {8.7.6.a^{6}c^{3}}{2.3.8.b^{8}}}+\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et par conséquent, en mettant $x$ à la place de $p,$

${\begin{aligned}\log x&=\log {\frac {a}{b}}+{\frac {ac}{b^{2}}}+{\frac {3a^{2}c^{2}}{2.b^{4}}}+{\frac {5.4.a^{3}c^{3}}{2.3.b^{6}}}+\ldots ,\\x\ \ &={\frac {a}{b}}+{\frac {a^{2}c}{b^{3}}}+{\frac {4a^{3}c^{2}}{2b^{5}}}+{\frac {6.5.a^{4}c^{3}}{2.3.b^{7}}}+\ldots ,\\{\frac {x^{2}}{2}}&={\frac {a^{2}}{2b^{2}}}+{\frac {a^{3}c}{b^{4}}}+{\frac {5a^{4}c^{2}}{2b^{6}}}+{\frac {7.6.a^{6}c^{3}}{2.3.b^{8}}}+\ldots ,\\{\frac {x^{3}}{3}}&={\frac {a^{3}}{3b^{3}}}+{\frac {a^{4}c}{b^{5}}}+{\frac {6a^{5}c^{2}}{2b^{7}}}+{\frac {8.7.a^{6}c^{3}}{2.3.b^{9}}}+\ldots ,\end{aligned}}$

et ainsi de suite ; de sorte qu’on aura, en général,

${\frac {x^{m}}{m}}={\frac {a^{m}}{mb^{m}}}+{\frac {a^{m+1}c}{b^{m+2}}}+{\frac {(m+3)a^{m+2}c^{2}}{2b^{m+4}}}+{\frac {(m+5)(m+4)a^{m+3}c^{m}}{2.3.b^{m+6}}}+\ldots .$

En effet, cette équation, étant résolue, donne

$x={\frac {b}{2c}}\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2c}}\,;$

or, en réduisant en série le radical ${\sqrt {b^{2}-4ac}},$ on a

$b-{\frac {2ac}{b}}-{\frac {(2ac)^{2}}{2b^{3}}}-{\frac {1.3(2ac)^{3}}{2.3.b^{5}}}-{\frac {1.3.5(2ac)^{4}}{2.3.4.b^{7}}}-\ldots ,$

ou bien

$b-2\left({\frac {ac}{b}}+{\frac {a^{2}c^{2}}{b^{3}}}+{\frac {4a^{3}c^{3}}{2b^{5}}}+{\frac {6.5.a^{4}c^{4}}{2.3.b^{7}}}+\ldots \right)\,;$

de sorte que les deux valeurs de $x$ seront

${\begin{aligned}&{\frac {b}{c}}-{\frac {a}{b}}-{\frac {a^{2}c}{b^{3}}}-{\frac {4a^{3}c^{2}}{2b^{5}}}-{\frac {6.5.a^{4}c^{3}}{2.3.b^{7}}}-\ldots ,\\&{\frac {a}{b}}+{\frac {a^{2}c}{b^{3}}}+{\frac {4a^{3}c^{2}}{2b^{5}}}+{\frac {6.5.a^{4}c^{3}}{2.3.b^{7}}}+\ldots \,;\end{aligned}}$

or, cette dernière est précisément la même que celle que nous ayons trouvée plus haut.

10. Comme toute la difficulté se réduit (8) à trouver les coefficients $\alpha ,\beta ,$$\gamma ,\ldots$ des puissances négatives de $x$ dans la série

${\frac {\mathrm {X} }{b}}+{\frac {\mathrm {X} ^{2}}{2b^{2}}}+{\frac {\mathrm {X} ^{3}}{3b^{3}}}+\ldots ,$

tâchons de rendre la recherche de ces coefficients aussi facile et en même temps aussi générale qu’il est possible. Pour cela, je remarque que

${\frac {\mathrm {X} }{b}}+{\frac {\mathrm {X} ^{2}}{2b^{2}}}+{\frac {\mathrm {X} ^{3}}{3b^{3}}}+\ldots =-\log \left(1-{\frac {\mathrm {X} }{b}}\right)\,;$

de sorte que, comme

$\mathrm {X} ={\frac {a}{x}}+cx-dx^{2}+ex^{3}-\ldots ,$

si l’on fait, pour abréger,

$\xi ={\frac {cx-dx^{2}+ex^{3}-\ldots }{b}},$

on aura

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {X} }{b}}+{\frac {\mathrm {X} ^{2}}{2b^{2}}}+{\frac {\mathrm {X} ^{3}}{3b^{3}}}+\ldots =&-\log \left(1-{\frac {a}{bx}}-\xi \right)\\&-\log \left(1-{\frac {a}{bx}}\right)-\log \left(1-{\frac {\xi }{1-{\cfrac {a}{bx}}}}\right)\,;\end{aligned}}$

de sorte qu’en réduisant ces deux logarithmes en série on aura

${\frac {\mathrm {X} }{b}}+{\frac {\mathrm {X} ^{2}}{2b^{2}}}+{\frac {\mathrm {X} ^{3}}{3b^{3}}}+\ldots ={\frac {a}{bx}}+{\frac {a^{2}}{2b^{2}x^{2}}}+{\frac {a^{3}}{3b^{3}x^{3}}}+\ldots$

$+{\frac {\xi }{1-{\cfrac {a}{bx}}}}+{\frac {\xi ^{2}}{2\left(1-{\cfrac {a}{bx}}\right)^{2}}}+{\frac {\xi ^{3}}{3\left(1-{\cfrac {a}{bx}}\right)^{3}}}+\ldots ,$

et, par conséquent (8),

(E)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {a}{bx}}+{\frac {a^{2}}{2b^{2}x^{2}}}&+\ldots +{\frac {\xi }{1-{\cfrac {a}{bx}}}}+\ldots \\=&\log {\frac {bp}{a}}+{\frac {p}{x}}++{\frac {p^{2}}{2x^{2}}}++{\frac {p^{3}}{3x^{3}}}+\ldots \\&+\ x\ \left({\frac {1}{q}}+{\frac {1}{r}}+\ldots \right)+{\frac {x^{2}}{2}}\left({\frac {1}{q^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}}}+\ldots \right)\\&+{\frac {x^{3}}{3}}\left({\frac {1}{q^{3}}}+{\frac {1}{r^{3}}}+\ldots \right)+\ldots .\end{aligned}}\right.$

Or, nous avons déjà vu plus haut (3) qu’on a, en réduisant en série,

${\begin{aligned}&{\frac {1}{1-{\cfrac {a}{bx}}}}=1+{\frac {a}{bx}}+{\frac {a^{2}}{b^{2}x^{2}}}+{\frac {a^{3}}{b^{3}x^{3}}}+\ldots ,\\&{\frac {1}{\left(1-{\cfrac {a}{bx}}\right)^{2}}}=1+{\frac {2a}{bx}}+{\frac {3a^{2}}{b^{2}x^{2}}}+{\frac {4a^{3}}{b^{3}x^{3}}}+\ldots ,\\&{\frac {1}{\left(1-{\cfrac {a}{bx}}\right)^{3}}}={\frac {1}{2}}\left(1.2+{\frac {2.3.a}{bx}}+{\frac {3.4.a^{2}}{b^{2}x^{2}}}+\ldots \right),\\\end{aligned}}$

et ainsi de suite.

Donc, si l’on suppose, en général,

${\begin{aligned}\xi \,\ &=\varpi +\varpi _{1}x+\varpi _{2}x^{2}+\varpi _{3}x^{3}+\ldots ,\\\xi ^{2}&=\rho \ +\rho _{1}\,\ x+\rho _{2}\ x^{2}+\rho _{3}\ x^{3}+\ldots ,\\\xi ^{3}&=\sigma \ +\sigma _{1}\ x+\sigma _{2}\ x^{2}+\sigma _{3}\ x^{3}+\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

on trouvera, en faisant abstraction des termes qui renfermeraient des puissances positives de $x,$

${\begin{aligned}{\frac {\xi }{1-{\cfrac {a}{bx}}}}=&\varpi +\varpi _{1}{\frac {a}{b}}+\varpi _{2}{\frac {a^{2}}{b^{2}}}+\varpi _{3}{\frac {a^{3}}{b^{3}}}+\ldots \\&+\ {\frac {1}{x}}\ \left(\varpi \ {\frac {a}{b}}\ +\varpi _{1}{\frac {a^{2}}{b^{2}}}+\varpi _{2}{\frac {a^{3}}{b^{3}}}+\ldots \right)\\&+{\frac {1}{x^{2}}}\left(\varpi {\frac {a^{2}}{b^{2}}}+\varpi _{1}{\frac {a^{3}}{b^{3}}}+\varpi _{2}{\frac {a^{4}}{b^{4}}}+\ldots \right)\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\frac {\xi ^{2}}{2\left(1-{\cfrac {a}{bx}}\right)^{2}}}=&{\frac {1}{2}}\left(\rho +2\rho _{1}{\frac {a}{b}}+3\rho _{2}{\frac {a^{2}}{b^{2}}}+4\rho _{3}{\frac {a^{3}}{b^{3}}}+\ldots \right)\\&+\ {\frac {1}{2x}}\ \left(2\rho \,{\frac {a}{b}}\ +3\rho _{1}{\frac {a^{2}}{b^{2}}}+4\rho _{2}{\frac {a^{3}}{b^{3}}}+\ldots \right)\\&+{\frac {1}{2x^{2}}}\left(3\rho {\frac {a^{2}}{b^{2}}}+4\rho _{1}{\frac {a^{3}}{b^{3}}}+5\rho _{2}{\frac {a^{4}}{b^{4}}}+\ldots \right)\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\\{\frac {\xi ^{3}}{3\left(1-{\cfrac {a}{bx}}\right)^{3}}}=&{\frac {1}{2.3}}\left(1.2.\sigma +2.3.\sigma _{1}{\frac {a}{b}}+3.4.\sigma _{2}{\frac {a^{2}}{b^{2}}}+\ldots \right)\\&+\ {\frac {1}{2.3.x}}\ \left(2.3.\sigma \ {\frac {a}{b}}\,+3.4.\sigma _{1}{\frac {a^{2}}{b^{2}}}+4.5.\sigma _{2}{\frac {a^{3}}{b^{3}}}+\ldots \right)\\&+{\frac {1}{2.3.x^{2}}}\left(3.4.\sigma {\frac {a^{2}}{b^{2}}}+4.5.\sigma _{1}{\frac {a^{3}}{b^{3}}}+5.6.\sigma _{2}{\frac {a^{4}}{b^{4}}}+\ldots \right)\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et ainsi de suite.

Donc enfin, substituant ces valeurs dans l’équation (E) et comparant les termes affectés de $x^{0},x^{-1},x^{-2},\ldots ,$ à cause de $\log {\frac {bp}{a}}=\log p-\log {\frac {a}{b}},$ on trouvera

${\begin{aligned}\log p=&\log {\frac {a}{b}}+\varpi +\varpi _{1}{\frac {a}{b}}+\varpi _{2}{\frac {a^{2}}{b^{2}}}+\varpi _{3}{\frac {a^{3}}{b^{3}}}+\ldots \\&{\frac {1}{2}}\left(\rho +2\rho _{1}{\frac {a}{b}}+3\rho _{2}{\frac {a^{2}}{b^{2}}}+4\rho _{3}{\frac {a^{3}}{b^{3}}}+\ldots \right)\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&+{\frac {1}{2.3}}\left(1.2.\sigma +2.3.\sigma _{1}{\frac {a}{b}}+3.4.\sigma _{2}{\frac {a^{2}}{b^{2}}}+\ldots \right)\\&+{\frac {1}{2.3.4}}\left(1.2.3.\tau +2.3.4.\tau _{1}{\frac {a}{b}}+3.4.5.\tau _{2}{\frac {a^{2}}{b^{2}}}+\ldots \right)\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\\p\ \,=&{\frac {a}{b}}+\varpi {\frac {a}{b}}+\varpi _{1}{\frac {a^{2}}{b^{2}}}+\varpi _{2}{\frac {a^{3}}{b^{3}}}+\ldots \\&+{\frac {1}{2}}\left(2\rho {\frac {a}{b}}+3\rho _{1}{\frac {a^{2}}{b^{2}}}+4\rho _{2}{\frac {a^{3}}{b^{3}}}+\ldots \right)\\&+{\frac {1}{2.3}}\left(2.3.\sigma {\frac {a}{b}}+3.4.\sigma _{1}{\frac {a^{2}}{b^{2}}}+4.5.\sigma _{2}{\frac {a^{3}}{b^{3}}}+\ldots \right)\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\\p^{2}=&{\frac {a^{2}}{b^{2}}}+2\left(\varpi {\frac {a^{2}}{b^{2}}}+\varpi _{1}{\frac {a^{3}}{b^{3}}}+\varpi _{2}{\frac {a^{4}}{b^{4}}}+\ldots \right)\\&+{\frac {2}{2}}\left(3\rho {\frac {a^{2}}{b^{2}}}+4\rho _{1}{\frac {a^{3}}{b^{3}}}+5\rho _{2}{\frac {a^{4}}{b^{4}}}+\ldots \right)\\&+{\frac {2}{2.3}}\left(3.4.\sigma {\frac {a^{2}}{b^{2}}}+4.5.\sigma _{1}{\frac {a^{3}}{b^{3}}}+5.6.\sigma _{2}{\frac {a^{4}}{b^{4}}}+\ldots \right)\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\\p^{3}=&{\frac {a^{3}}{b^{3}}}+3\left(\varpi {\frac {a^{3}}{b^{3}}}+\varpi _{1}{\frac {a^{4}}{b^{4}}}+\varpi _{2}{\frac {a^{5}}{b^{5}}}+\ldots \right)\\&+{\frac {3}{2}}\left(4\rho {\frac {a^{3}}{b^{3}}}+5\rho _{1}{\frac {a^{4}}{b^{4}}}+6\rho _{2}{\frac {a^{5}}{b^{5}}}+\ldots \right)\\&+{\frac {3}{2.3}}\left(4.5.\sigma {\frac {a^{3}}{b^{3}}}+5.6.\sigma _{1}{\frac {a^{4}}{b^{4}}}+6.7.\sigma _{2}{\frac {a^{5}}{b^{5}}}+\ldots \right)\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et ainsi de suite.

11. Maintenant, puisqu’on a supposé

${\begin{aligned}\xi \,\ &=\varpi +\varpi _{1}x+\varpi _{2}x^{2}+\ldots ,\\\xi ^{2}&=\rho \ +\rho _{1}\,\ x+\rho _{2}\ x^{2}+\ldots ,\\\xi ^{3}&=\sigma \ +\sigma _{1}\ x+\sigma _{2}\ x^{2}+\ldots ,\\\end{aligned}}$

et ainsi de suite, il est facile de voir qu’on aura, en faisant $x={\frac {a}{b}},$

${\begin{aligned}\log p\ \,p&=\log x+\xi +{\frac {1}{2}}{\frac {d\left(\xi ^{2}x\right)}{dx}}+{\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{2}\left(\xi ^{3}x^{2}\right)}{dx^{2}}}+\ldots ,\\p\ \,&=x+\xi x+{\frac {1}{2}}{\frac {d\left(\xi ^{2}x^{2}\right)}{dx}}+{\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{2}\left(\xi ^{3}x^{3}\right)}{dx^{2}}}+\ldots ,\\p^{2}&=x^{2}+2\left[\xi x^{2}+{\frac {1}{2}}{\frac {d\left(\xi ^{2}x^{3}\right)}{dx}}+{\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{2}\left(\xi ^{3}x^{4}\right)}{dx^{2}}}+\ldots \right],\\p^{3}&=x^{3}+3\left[\xi x^{3}+{\frac {1}{2}}{\frac {d\left(\xi ^{2}x^{4}\right)}{dx}}+{\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{2}\left(\xi ^{3}x^{5}\right)}{dx^{2}}}+\ldots \right],\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et, en général,

(F)

$p^{m}=x^{m}+m\left[\xi x^{m}+{\frac {1}{2}}{\frac {d\left(\xi ^{2}x^{m+1}\right)}{dx}}+{\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{2}\left(\xi ^{3}x^{m+2}\right)}{dx^{2}}}+\ldots \right].$

Ainsi, $p$ sera une des racines de l’équation

$0=a-bx+cx^{2}-dx^{3}+\ldots ,$

ou bien, à cause de

$\xi ={\frac {cx-dx^{2}+\ldots }{b}},$

de l’équation

(G)

$a-bx+bx\xi =0,$

$\xi$ étant une fonction de $x.$

12. Exemple II. — Soit, par exemple, l’équation

$a-bx+cx^{n}=0\,;$

on aura, dans ce cas,

$bx\xi =cx^{n},$

et, par conséquent,

$\xi ={\frac {cx^{n-1}}{b}}\,;$

donc, en nommant $p$ une des racines de cette équation, on aura, en général,

$p^{m}=x^{m}+m\left({\frac {c}{b}}x^{m+n-1}+{\frac {c^{2}}{2b^{2}}}{\frac {dx^{m+2n-1}}{dx}}+{\frac {c^{3}}{2.3.b^{3}}}{\frac {d^{2}x^{m+3n-1}}{dx^{2}}}+\ldots \right)$

en mettant, après les différentiations, ${\frac {a}{b}}$ à la place de $x\,;$ ainsi l’on aura (en changeant $p$ en $x$)

${\begin{aligned}x^{m}={\frac {a^{m}}{b^{m}}}+m&\left[{\frac {ca^{m+n-1}}{b^{m+n}}}+{\frac {(m+2n-1)c^{2}a^{m+2n-2}}{2b^{m+2n}}}\right.\\&+{\frac {(m+3n-1)(m+3n-2)c^{3}a^{m+3n-3}}{2.3.b^{m+3n}}}\\&+\left.{\frac {(m+4n-1)(m+4n-2)(m+4n-3)c^{4}a^{m+4n-4}}{2.3.4.b^{m+4n}}}+\ldots \right].\end{aligned}}$

Si l’on fait $x={\frac {1}{y}},$ en sorte qu’on ait l’équation

$ay^{n}-by^{n-1}+c=0,$

on aura $y^{m}=x^{-m}\,;$ ainsi il n’y aura qu’à faire $m$ négatif dans la formule précédente pour avoir

${\begin{aligned}y^{m}={\frac {b^{m}}{a^{m}}}-m&\left[{\frac {cb^{m-n}}{a^{m-n+1}}}-{\frac {(m-2n+1)c^{2}b^{m-2n}}{2a^{m-2n+2}}}\right.\\&\left.+{\frac {(m-3n+1)(m-3n+2)c^{3}b^{m-3n}}{2.3.a^{m-3n+3}}}-\ldots \right].\end{aligned}}$

Je dois remarquer, à l’égard de cette dernière formule, qu’elle a déjà été trouvée par M. Lambert, qui me l’a communiquée il y a quelque temps sans démonstration.

13. Exemple III. — Soit l’équation à quatre termes

$a-bx+cx^{n}-x^{r}=0\,;$

on fera

$bx\xi =cx^{n}-x^{r},$

et, par conséquent,

$\xi ={\frac {cx^{n-1}-x^{r-1}}{b}}\,;$

donc

${\begin{aligned}\xi ^{2}&={\frac {c^{2}x^{2n-2}-2cx^{n+r-2}+x^{2r-2}}{b^{2}}},\\\xi ^{3}&={\frac {c^{3}x^{3n-3}-3c^{2}x^{2n+r-3}+3cx^{n+2r-3}-x^{3r-3}}{b^{3}}},\end{aligned}}$

et ainsi de suite.

Donc, en mettant $x$ à la place de $p,$

${\begin{aligned}x^{m}&={\frac {a^{m}}{b^{m}}}+m\left({\frac {ca^{m+n-1}}{b^{m+n}}}-{\frac {ca^{m+r-1}}{b^{m+r}}}\right)\\&+{\frac {m}{2}}\left[{\frac {(m+2n-1)c^{2}a^{m+2n-2}}{b^{m+2n}}}-2{\frac {(m+n+r-1)ca^{m+n+r-2}}{b^{m+n+r}}}\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +\left.{\frac {(m+2r-1)a^{m+2r-2}}{b^{m+2r}}}\right]\\\\&+{\frac {m}{2.3}}\left[{\frac {(m+3n-1)(m+3n-2)c^{3}a^{m+3n-3}}{b^{m+3n}}}\right.\\&\qquad -3{\frac {(m+2n+r-1)(m+2n+r-2)c^{2}a^{m+2n+r-3}}{b^{m+2n+r}}}\\&\qquad +3{\frac {(m+n+2r-1)(m+n+2r-2)ca^{m+n+2r-3}}{b^{m+n+2r}}}\\&\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -\left.{\frac {(m+3r-1)(m+3r-2)a^{m+3r-3}}{b^{m+3r}}}\right]\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

14. Exemple IV. — Soit l’équation générale

$a-bx+cx^{2}-dx^{3}+ex^{4}-fx^{5}+\ldots =0\,;$

on aura

$bx\xi =cx^{2}-dx^{3}+ex^{4}-fx^{5}+\ldots =0,$

et, par conséquent,

${\begin{aligned}\xi \ \ &={\frac {cx-dx^{2}+ex^{3}-fx^{4}+\ldots }{b}},\\\xi ^{2}&={\frac {c^{2}x^{2}-2cdx^{3}+\left(d^{2}+2ce\right)x^{4}-\ldots }{b^{2}}},\\\xi ^{3}&={\frac {c^{3}x^{3}-3cdx^{4}+\ldots }{b^{3}}},\\\xi ^{4}&={\frac {c^{4}x^{4}-\ldots }{b^{4}}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Donc

${\begin{aligned}x^{m}&={\frac {a^{m}}{b^{m}}}\\&+m\left({\frac {a^{m+1}c}{b^{m+2}}}-{\frac {a^{m+2}d}{b^{m+3}}}+{\frac {a^{m+3}e}{b^{m+4}}}-{\frac {a^{m+5}f}{b^{m+5}}}+\ldots \right)\\&+{\frac {m}{2}}\left[{\frac {(m+3)a^{m+2}c^{2}}{b^{m+4}}}-{\frac {(m+4)a^{m+3}.2cd}{b^{m+5}}}+{\frac {(m+5)a^{m+4}\left(d^{2}+2ce\right)}{b^{m+6}}}-\ldots \right]\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&+{\frac {m}{2.3}}\left[{\frac {(m+5)(m+4)a^{m+3}c^{3}}{b^{m+6}}}-{\frac {(m+6)(m+5)a^{m+4}.3cd}{b^{m+7}}}+\ldots \right]\\&+{\frac {m}{2.3.4}}\left[{\frac {(m+7)(m+6)(m+5)a^{m+4}c^{4}}{b^{m+8}}}-\ldots \right],\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Si $m$ est égal à $1,$ on aura

${\begin{aligned}x=&{\frac {a}{b}}+{\frac {a^{2}c}{b^{3}}}-{\frac {a^{3}c}{b^{4}}}+{\frac {a^{4}c}{b^{5}}}-{\frac {a^{5}c}{b^{6}}}+\ldots \\&+{\frac {2a^{3}c^{2}}{b^{5}}}-{\frac {5a^{4}cd}{b^{6}}}+{\frac {3a^{5}\left(d^{2}+2ce\right)}{b^{7}}}-\ldots \\&+{\frac {5a^{4}c^{3}}{b^{7}}}-{\frac {21a^{5}cd}{b^{8}}}+\ldots \\&+{\frac {14a^{5}c^{4}}{b^{9}}}+\ldots \\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

c’est la formule connue de Newton pour le retour des suites.

15. Considérons maintenant l’équation générale

$\alpha -x+\varphi (x)=0,$

$\varphi (x)$ étant une fonction quelconque de $x\,;$ comparant cette équation avec l’équation

$a-bx+bx\xi =0$

du n^o 11, ou bien

${\frac {a}{b}}-x+x\xi =0,$

on aura

$\alpha ={\frac {a}{b}}\quad {\text{et}}\quad \xi ={\frac {\varphi (x)}{x}}\,;$

donc, si l’on dénote par $p$ une des racines de l’équation proposée, on aura, par la formule (F) du numéro cité,

$p^{m}=x^{m}+m\left[x^{m-1}\varphi (x)+{\frac {1}{2}}{\frac {dx^{m-1}[\varphi (x)]^{2}}{dx}}+{\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{2}x^{m-1}[\varphi (x)]^{3}}{dx^{2}}}+\ldots \right],$

en faisant, après les différentiations, $x=\alpha .$

Or, puisque $mx^{m-1}={\frac {dx^{m}}{dx}},$ il est visible que la formule précédente peut se mettre sous cette forme

$p^{m}=x^{m}+{\frac {d(x^{m})}{dx}}\varphi (x)+{\frac {1}{2}}{\frac {d{\cfrac {d(x^{m})}{dx}}[\varphi (x)]^{2}}{dx}}+{\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{2}{\cfrac {d(x^{m})}{dx}}[\varphi (x)]^{3}}{dx^{2}}}+\ldots .$

D’où il est facile de conclure qu’une fonction quelconque de $p,$ comme $\psi (p),$ sera exprimée de la manière suivante

$\psi (p)=\psi (x)+{\frac {d\psi (x)}{dx}}\varphi (x)+{\frac {1}{2}}{\frac {d{\cfrac {d\psi (x)}{dx}}[\varphi (x)]^{2}}{dx}}+{\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{2}{\cfrac {d\psi (x)}{dx}}[\varphi (x)]^{3}}{dx^{2}}}+\ldots ,$

pourvu qu’on change, comme nous l’avons dit, $x$ en $\alpha$ après avoir exécuté les différentiations indiquées, ce qui fournit le théorème suivant, qui est très-remarquable par sa simplicité et par sa généralité.

16. Théorème. — Soit l’équation

(H)

$\alpha -x+\varphi (x)=0,$

$\varphi (x)$ étant une fonction quelconque de $x.$ Que $p$ soit une des racines de cette équation, c’est-à-dire une des valeurs de $x,$ et qu’on demande la valeur d’une fonction quelconque de $p$ comme $\psi (p).$ Qu’on dénote, pour plus de simplicité, la quantité ${\frac {d\psi (x)}{dx}}$ par $\psi '(x),$ et je dis qu’on aura, en général,

(I)

$\left\{{\begin{aligned}\psi (p)=&\psi (x)+\varphi (x)\psi '(x)+{\frac {1}{2}}{\frac {d[\varphi (x)]^{2}\psi '(x)}{dx}}\\&+{\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{2}[\varphi (x)]^{3}\psi '(x)}{dx^{2}}}+{\frac {1}{2.3.4}}{\frac {d^{3}[\varphi (x)]^{4}\psi '(x)}{dx^{3}}}+\ldots ,\end{aligned}}\right.$

où il faudra changer $x$ en $\alpha$ après les différentiations.

17. Si l’on fait $x=\alpha y,$ en sorte que l’équation (H) devienne

$1-y+{\frac {\varphi (\alpha y)}{\alpha }}=0,$

et que $q$ soit la valeur de $y,$ on aura l’expression d’une fonction quelconque $\psi (q),$ en mettant dans la formule (I) $q$ à la place de $p,$ $y$ à la place de $x,$ ${\frac {\varphi (\alpha y)}{\alpha }}$ à la place de $\varphi (y),$ et faisant ensuite $y=1$ après les différentiations.

Donc, puisque $q=y={\frac {x}{\alpha }},$ on aura

(K)

$\left\{{\begin{aligned}\psi \left({\frac {x}{\alpha }}\right)=&\psi (y)+{\frac {\varphi (\alpha y)\psi '(y)}{\alpha }}+{\frac {1}{2\alpha ^{2}}}{\frac {d\varphi (\alpha y)^{2}\psi '(y)}{dy}}\\&+{\frac {1}{2.3.\alpha ^{3}}}{\frac {d^{2}\varphi (\alpha y)^{3}\psi '(y)}{dy^{2}}}+{\frac {1}{2.3.4.\alpha ^{4}}}{\frac {d^{3}\varphi (\alpha y)^{4}\psi '(y)}{dy^{3}}}+\ldots ,\end{aligned}}\right.$

où la variable $y$ doit être supposée égale à $1$ après toutes les différentiations.

18. Donc, comme $\psi (y)=\int \psi '(y)dy,$ si l’on prend la fraction

${\frac {\psi '(y)}{z\left[1-z{\cfrac {\varphi (\alpha y)}{\alpha }}\right]}}$

et qu’on la développe suivant les puissances de $z,$ ce qui donnera

${\frac {\psi '(y)}{z}}+{\frac {\varphi (\alpha y)\psi '(y)}{\alpha }}+z{\frac {[\varphi (\alpha y)]^{2}\psi '(y)}{\alpha ^{2}}}+z^{2}{\frac {[\varphi (\alpha y)]^{3}\psi '(y)}{\alpha ^{3}}}+\ldots ,$

qu’ensuite on y change ${\frac {1}{z}}$ en $\int dy,$ $z$ en ${\frac {1}{2}}{\frac {d}{dy}},$ $z^{2}$ en ${\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{2}}{dy^{2}}},$ $z^{3}$ en ${\frac {1}{2.3.4}}{\frac {d^{3}}{dy^{3}}},$ et ainsi des autres puissances de $z\,;$ et qu’après avoir exécuté les différentiations indiquées de cette manière on fasse $y=1,$ on aura la valeur de $\psi ({\frac {x}{\alpha }}),$ $x$ étant une des racines de l’équation (H),

$\alpha -x+\varphi (x)=0.$

Ainsi l’on pourra faire en sorte que la série qui représente la valeur de $\psi \left({\frac {x}{\alpha }}\right)$ soit ordonnée par rapport à telle lettre qu’on voudra ; car pour cela il n’y aura qu’à ordonner, par rapport à cette même lettre, la série résultante de la fraction ${\frac {1}{1-z{\cfrac {\varphi (\alpha x)}{\alpha }}}},$ comme on va le voir dans les Exemples suivants.

19. Exemple V. — Reprenons l’équation générale de l’Exemple IV, savoir

$0=a-bx+cx^{2}-dx^{3}+ex^{4}-fx^{5}+\ldots ,$

et comparant avec l’équation (H), on aura, après avoir divisé par $b,$

$\alpha ={\frac {a}{b}},\quad \varphi (x)={\frac {cx^{2}-dx^{3}+ex^{4}-fx^{5}+\ldots }{b}}.$

Donc

${\frac {\varphi (\alpha y)}{\alpha }}={\frac {cay^{2}}{b^{2}}}-{\frac {da^{2}y^{3}}{b^{3}}}+{\frac {ea^{3}y^{4}}{b^{4}}}-{\frac {fa^{4}y^{5}}{b^{5}}}+\ldots ,$

de sorte que la fraction

${\frac {1}{1-z{\cfrac {\varphi (\alpha x)}{\alpha }}}}$

sera

${\frac {1}{1-z{\cfrac {cay^{2}}{b^{2}}}+z{\cfrac {da^{2}y^{3}}{b^{3}}}-z{\cfrac {ea^{3}y^{4}}{b^{4}}}+\ldots }}.$

Réduisons cette fraction en série, et supposons d’abord que la série soit ordonnée par rapport à la lettre $b,$ il est clair qu’à cause que les dimensions de $y$ et ${\frac {1}{b}}$ sont partout les mêmes, cette série sera de la forme suivante

$1+{\frac {\mathrm {P} y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {\mathrm {Q} y^{3}}{b^{3}}}+{\frac {\mathrm {R} y^{4}}{b^{4}}}-{\frac {\mathrm {S} y^{5}}{b^{5}}}+\ldots ,$

de sorte qu’en multipliant en croix et comparant les termes, on trouvera

${\begin{aligned}\mathrm {P} =&acz,\\\mathrm {Q} =&a^{2}dz,\\\mathrm {R} =&a^{3}ez+acz\mathrm {P} ,\\\mathrm {S} =&a^{4}fz+a^{2}dz\mathrm {P} +acz\mathrm {Q} ,\\\mathrm {T} =&a^{5}gz\,+a^{3}ez\mathrm {P} +a^{2}dz\mathrm {Q} +acz\mathrm {R} ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Or, si l’on développe ces valeurs en les ordonnant par rapport aux puis-

sances de $z,$ il est facile de voir qu’elles seront exprimées de cette manière

${\begin{aligned}\mathrm {P} &=\mathrm {A} z,\\\mathrm {Q} &=\mathrm {B} z,\\\mathrm {R} &=\mathrm {C} z+\mathrm {C} _{1}z^{2},\\\mathrm {S} &=\mathrm {D} z+\mathrm {D} _{1}z^{2},\\\mathrm {T} &=\mathrm {E} z+\mathrm {E} _{1}z^{2}+\mathrm {E} _{2}z^{2},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et l’on trouvera

${\begin{alignedat}{3}\mathrm {A} =&ac,\\\mathrm {B} =&a^{2}d,\\\mathrm {C} =&a^{3}e,&\mathrm {C} _{1}&=ac\mathrm {A} ,\\\mathrm {D} =&a^{4}f,&\mathrm {D} _{1}&=a^{2}d\mathrm {A} +ac\mathrm {B} ,\\\mathrm {E} =&a^{5}g,\qquad &\mathrm {E} _{1}&=a^{3}e\mathrm {A} +a^{2}d\mathrm {B} +ac\mathrm {C} ,\qquad &\mathrm {E} _{2}&=ac\mathrm {C} _{1},\\\ldots &\ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots .\end{alignedat}}$

Donc, on aura,

${\begin{aligned}{\frac {\psi '(y)}{z\left[1-{\cfrac {z\varphi (\alpha y)}{\alpha }}\right]}}=&{\frac {\psi '(y)}{z}}+{\frac {\mathrm {A} }{b^{2}}}y^{2}\psi '(y)-{\frac {\mathrm {B} }{b^{3}}}y^{3}\psi '(y)+{\frac {\mathrm {C} +\mathrm {C} _{1}z}{b^{4}}}y^{4}\psi '(y)\\&-{\frac {\mathrm {D} +\mathrm {D} _{1}z}{b^{5}}}y^{5}\psi '(y)+{\frac {\mathrm {E} +\mathrm {E} _{1}z+\mathrm {E} _{2}z^{2}}{b^{6}}}y^{6}\psi '(y)-\ldots .\end{aligned}}$

Donc, changeant ${\frac {1}{z}}$ en $\int dy,$ $z$ en ${\frac {1}{2}}{\frac {d}{dy}},\ldots$ (18), on aura

${\begin{aligned}\psi \left({\frac {bx}{a}}\right)=&\psi (y)\\&+{\frac {\mathrm {A} }{b^{2}}}y^{2}\psi '(y)\\&-{\frac {\mathrm {B} }{b^{3}}}y^{3}\psi '(y)\\&+{\frac {\mathrm {C} }{b^{4}}}y^{4}\psi '(y)+{\frac {\mathrm {C} _{1}}{b^{4}}}.{\frac {1}{2}}{\frac {d[y^{4}\psi '(y)]}{dy}}\\&+{\frac {\mathrm {D} }{b^{5}}}y^{5}\psi '(y)+{\frac {\mathrm {D} _{1}}{b^{5}}}.{\frac {1}{2}}{\frac {d[y^{5}\psi '(y)]}{dy}}\\&+{\frac {\mathrm {E} }{b^{6}}}y^{6}\psi '(y)+{\frac {\mathrm {E} _{1}}{b^{6}}}.{\frac {1}{2}}{\frac {d[y^{6}\psi '(y)]}{dy}}+{\frac {\mathrm {E} _{2}}{b^{6}}}.{\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{2}[y^{6}\psi '(y)]}{dy^{2}}}\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

où il n’y aura plus qu’à faire $y=1,$ après avoir exécuté les différentiations qui ne sont qu’indiquées.

Or, comme les coefficients $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ ne renferment point la lettre $b,$ il est clair que cette série sera ordonnée relativement aux puissances négatives de $b.$

Si l’on fait $\psi (y)=y^{m},$ ce qui donne $\psi '(y)=my^{m-1},$ on aura

${\begin{aligned}{\frac {b^{m}x^{m}}{a^{m}}}=&1+{\frac {m\mathrm {A} }{b^{2}}}-{\frac {m\mathrm {B} }{b^{3}}}+{\frac {m\mathrm {C} +{\cfrac {m(m+3)}{2}}\mathrm {C} _{1}}{b^{4}}}-{\frac {m\mathrm {D} +{\cfrac {m(m+4)}{2}}\mathrm {D} _{1}}{b^{5}}}\\&+{\frac {m\mathrm {E} +{\cfrac {m(m+5)}{2}}\mathrm {E} _{1}+{\cfrac {m(m+4)(m+5)}{2.3}}\mathrm {E} _{2}}{b^{6}}}-\ldots .\end{aligned}}$

Et si l’on fait $\psi (y)=\log y,$ d’où $\psi '(y)={\frac {1}{y}},$ on aura

$\log {\frac {bx}{a}}=1+{\frac {\mathrm {A} }{b^{2}}}-{\frac {\mathrm {B} }{b^{3}}}+{\frac {\mathrm {C} +{\cfrac {3}{2}}\mathrm {C} _{1}}{b^{4}}}-{\frac {\mathrm {D} +{\cfrac {4}{2}}\mathrm {D} _{1}}{b^{5}}}+{\frac {\mathrm {E} +{\cfrac {5}{2}}\mathrm {E} _{1}+{\cfrac {4.5}{2.3}}\mathrm {E} _{2}}{b^{6}}}-\ldots .$

20. Les séries que nous venons de trouver sont ordonnées relativement aux puissances de $b\,;$ si l’on voulait qu’elles le fussent relativement à celles de $a,$ il n’y aura qu’à ordonner de cette manière la série résultante de la fraction

${\frac {1}{1-z{\cfrac {cay^{2}}{b^{2}}}+z{\cfrac {da^{2}y^{3}}{b^{3}}}-z{\cfrac {ea^{3}y^{4}}{b^{4}}}+\ldots }}.$

Or, comme chaque puissance de $a$ y est toujours multipliée par une pareille puissance de ${\frac {y}{b}},$ il est clair que la série aura cette forme

$1+\mathrm {P} {\frac {ay}{b}}+\mathrm {Q} {\frac {a^{2}y^{2}}{b^{2}}}+\mathrm {R} {\cfrac {a^{3}y^{3}}{b^{3}}}+\mathrm {S} z{\cfrac {a^{4}y^{4}}{b^{4}}}+\ldots \,;$

on trouvera

${\begin{aligned}\mathrm {P} &={\frac {czy}{b}},\\\mathrm {Q} &=\mathrm {P} {\frac {czy}{b}}-{\frac {dzy}{b}},\\\mathrm {R} &=\mathrm {Q} {\frac {czy}{b}}-\mathrm {P} {\frac {dzy}{b}}+{\frac {ezy}{b}},\\\mathrm {S} &=\mathrm {R} {\frac {czy}{b}}-\mathrm {Q} {\frac {dzy}{b}}+\mathrm {P} {\frac {ezy}{b}}-{\frac {fzy}{b}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Or, en développant ces valeurs suivant les dimensions de ${\frac {zy}{b}},$ elles se trouveront exprimées de cette manière

${\begin{aligned}\mathrm {P} &=\mathrm {A} {\frac {zy}{b}},\\\mathrm {Q} &=\mathrm {B} {\frac {zy}{b}}+\mathrm {B} _{1}\left({\frac {zy}{b}}\right)^{2},\\\mathrm {R} &=\mathrm {C} {\frac {zy}{b}}+\mathrm {C} _{1}\left({\frac {zy}{b}}\right)^{2}+\mathrm {C} _{2}\left({\frac {zy}{b}}\right)^{3},\\\mathrm {S} &=\mathrm {D} {\frac {zy}{b}}+\mathrm {D} _{1}\left({\frac {zy}{b}}\right)^{2}+\mathrm {D} _{2}\left({\frac {zy}{b}}\right)^{3}+\mathrm {D} _{3}\left({\frac {zy}{b}}\right)^{4},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

De sorte que l’on aura

${\begin{aligned}\mathrm {A} \ \ &=c,\\\mathrm {B} \ \ &=-d,\\\mathrm {C} \ \ &=e,\\\mathrm {D} \ \ &=-f,\\\ldots &\ldots \ldots ,\\\mathrm {B} _{1}&=c\mathrm {A} ,\\\mathrm {C} _{1}&=-d\mathrm {A} +c\mathrm {B} ,\\\mathrm {D} _{1}&=e\mathrm {A} -d\mathrm {B} +c\mathrm {C} ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\mathrm {C} _{2}&=c\mathrm {B} _{1},\\\mathrm {D} _{2}&=-d\mathrm {B} _{1}+c\mathrm {C} _{1},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\mathrm {D} _{3}&=c\mathrm {C} _{2},\\\ldots &\ldots \ldots .\end{aligned}}$

Donc, on aura,

${\begin{aligned}{\frac {\psi '(y)}{z\left[1-{\cfrac {z\varphi (\alpha y)}{\alpha }}\right]}}=&{\frac {\psi '(y)}{z}}+a{\frac {\mathrm {A} }{b^{2}}}y^{2}\psi '(y)\\&+a^{2}\left({\frac {\mathrm {B} y^{3}}{b^{3}}}+{\frac {\mathrm {B} _{1}zy^{4}}{b^{4}}}\right)\psi '(y)\\&+a^{3}\left({\frac {\mathrm {C} y^{4}}{b^{4}}}+{\frac {\mathrm {C} _{1}zy^{5}}{b^{5}}}+{\frac {\mathrm {C} _{2}z^{2}y^{6}}{b^{6}}}\right)\psi '(y)\\&+a^{4}\left({\frac {\mathrm {D} y^{5}}{b^{5}}}+{\frac {\mathrm {D} _{1}zy^{6}}{b^{6}}}+{\frac {\mathrm {D} _{2}z^{2}y^{7}}{b^{7}}}+{\frac {\mathrm {D} _{3}z^{3}y^{8}}{b^{8}}}\right)\psi '(y)\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

D’où l’on déduira (18) la formule générale

${\begin{aligned}\psi \left({\frac {bx}{a}}\right)&=\psi (y)\\&+a\ \ {\frac {\mathrm {A} }{b^{2}}}y^{2}\psi '(y)\\&+a^{2}\left[{\frac {\mathrm {B} }{b^{3}}}y^{3}\psi '(y)+{\frac {\mathrm {B} _{1}}{b^{4}}}.{\frac {1}{2}}{\frac {d\left[y^{4}\psi '(y)\right]}{dy}}\right]\\&+a^{3}\left[{\frac {\mathrm {C} }{b^{4}}}y^{4}\psi '(y)+{\frac {\mathrm {C} _{1}}{b^{5}}}.{\frac {1}{2}}{\frac {d\left[y^{5}\psi '(y)\right]}{dy}}+{\frac {\mathrm {C} _{2}}{b^{6}}}.{\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{2}\left[y^{6}\psi '(y)\right]}{dy^{2}}}\right]\\&+a^{4}\left[{\frac {\mathrm {D} }{b^{5}}}y^{5}\psi '(y)+{\frac {\mathrm {D} _{1}}{b^{6}}}.{\frac {1}{2}}{\frac {d\left[y^{6}\psi '(y)\right]}{dy}}+{\frac {\mathrm {D} _{2}}{b^{7}}}.{\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{2}\left[y^{7}\psi '(y)\right]}{dy^{2}}}\right.\\&\ \ \ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +\left.{\frac {\mathrm {D} _{3}}{b^{8}}}.{\frac {1}{2.3.4}}{\frac {d^{3}\left[y^{8}\psi '(y)\right]}{dy^{3}}}\right]\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

où il faudra faire $y=1.$

Soient, par exemple,

$\psi (y)=y^{m}\quad {\text{et}}\quad \psi '(y)=my^{m-1},$

on trouvera

${\begin{aligned}{\frac {b^{m}x^{m}}{a^{m}}}=&1\\&+{\frac {m\mathrm {A} }{b}}{\frac {a}{b}}\\&+\left[{\frac {m\mathrm {B} }{b}}+{\frac {m(m+3)\mathrm {B} _{1}}{2b^{2}}}\right]{\frac {a^{2}}{b^{2}}}\\&+\left[{\frac {m\mathrm {C} }{b}}+{\frac {m(m+4)\mathrm {C} _{1}}{2b^{2}}}+{\frac {m(m+4)(m+5)\mathrm {C} _{2}}{2.3.b^{3}}}\right]{\frac {a^{3}}{b^{3}}}\\&+\left[{\frac {m\mathrm {D} }{b}}+{\frac {m(m+5)\mathrm {D} _{1}}{2b^{2}}}+{\frac {m(m+5)(m+6)\mathrm {D} _{2}}{2.3.b^{3}}}\right.\\&\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +\left.{\frac {m(m+5)(m+6)(m+7)D_{3}}{2.3.4.b^{4}}}\right]{\frac {a^{4}}{b^{4}}}\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Donc, si $m=1,$ on aura, en multipliant par ${\frac {a}{b}},$

${\begin{aligned}x=&{\frac {a}{b}}\\&+{\frac {\mathrm {A} }{b}}{\frac {a^{2}}{b^{2}}}\\&+\left[{\frac {\mathrm {B} }{b}}+{\frac {4\mathrm {B} _{1}}{2b^{2}}}\right]{\frac {a^{3}}{b^{3}}}\\&+\left[{\frac {\mathrm {C} }{b}}+{\frac {5\mathrm {C} _{1}}{2b^{2}}}+{\frac {5.6.\mathrm {C} _{2}}{2.3.b^{3}}}\right]{\frac {a^{4}}{b^{4}}}\\&+\left[{\frac {\mathrm {D} }{b}}+{\frac {6\mathrm {D} _{1}}{2b^{2}}}+{\frac {6.7.\mathrm {D} _{2}}{2.3.b^{3}}}+{\frac {6.7.8.D_{3}}{2.3.4.b^{4}}}\right]{\frac {a^{5}}{b^{5}}}\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Et si l’on fait $\psi (y)=\log y,$ on trouvera, à cause de $\log y=0$ lorsque $y=1,$

${\begin{aligned}\log {\frac {bx}{a}}=&{\frac {\mathrm {A} }{b}}{\frac {a}{b}}\\&+\left({\frac {\mathrm {B} }{b}}+{\frac {3\mathrm {B} _{1}}{2b^{2}}}\right){\frac {a^{2}}{b^{2}}}\\&+\left({\frac {\mathrm {C} }{b}}+{\frac {4\mathrm {C} _{1}}{2b^{2}}}+{\frac {4.5.\mathrm {C} _{2}}{2.3.b^{3}}}\right){\frac {a^{3}}{b^{3}}}\\&+\left({\frac {\mathrm {D} }{b}}+{\frac {5\mathrm {D} _{1}}{2b^{2}}}+{\frac {5.6.\mathrm {D} _{2}}{2.3.b^{3}}}+{\frac {5.6.7.D_{3}}{2.3.4.b^{4}}}\right){\frac {a^{4}}{b^{4}}}\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Au reste, les valeurs de $x^{m}$ que nous venons de trouver dans ce numéro et dans le précédent sont les mêmes pour le fond que celle que nous avons déjà trouvée plus haut dans l’Exemple IV ; mais ces valeurs, et surtout la dernière, sont mises ici sous une forme plus simple et plus commode, par laquelle on voit clairement la loi de la série, en sorte qu’il est très-aisé d’en calculer les différents termes et de la continuer autant qu’on voudra.

21. Exemple VI. Soit proposée l’équation

$0=\alpha -x+\beta x^{p}+\gamma x^{p+q}+\delta x^{p+2q}+\varepsilon x^{p+3q}+\ldots \,;$

en la comparant avec l’équation (H) du n^o 16, on aura

$\varphi (x)=\beta x^{p}+\gamma x^{p+q}+\delta x^{p+2q}+\varepsilon x^{p+3q}+\ldots \,;$

donc

${\frac {\varphi (\alpha y)}{\alpha }}=\beta \alpha ^{p-1}y^{p}+\gamma \alpha ^{p+q-1}y^{p+q}+\delta \alpha ^{p+2q-1}y^{p+2q}+\ldots$

et

${\frac {1}{1-z{\cfrac {\varphi (\alpha y)}{\alpha }}}}={\frac {1}{1-\beta \alpha ^{p-1}y^{p}z-\gamma \alpha ^{p+q-1}y^{p+q}z-\ldots }}.$

Faisons, pour plus de simplicité,

$\alpha ^{p-q-1}y^{p-q}z=u,$

et l’on aura la fraction

${\frac {1}{1-\beta u(\alpha y)^{q}-\gamma u(\alpha y)^{2q}-\delta u(\alpha y)^{3q}-\ldots }},$

laquelle, étant développée suivant les puissances de $\alpha y,$ deviendra

$1-\mathrm {P} (\alpha y)^{q}+\mathrm {Q} (\alpha y)^{2q}+\mathrm {R} (\alpha y)^{3q}+\mathrm {S} (\alpha y)^{4q}+\ldots ,$

où l’on aura

${\begin{aligned}\mathrm {P} =&\beta u,\\\mathrm {Q} =&\mathrm {P} \beta u+\gamma u,\\\mathrm {R} =&\mathrm {Q} \beta u+\mathrm {P} \gamma u+\delta u,\\\mathrm {S} =&\mathrm {R} \beta u+\mathrm {Q} \gamma u+\mathrm {P} \delta u+\varepsilon u,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et, développant de nouveau ces valeurs suivant les puissances de $u,$

${\begin{aligned}\mathrm {P} =&\mathrm {A} u,\\\mathrm {Q} =&\mathrm {B} u+\mathrm {B} _{1}u^{2},\\\mathrm {R} =&\mathrm {C} u+\mathrm {C} _{1}u^{2}+\mathrm {C} _{2}u^{3},\\\mathrm {S} =&\mathrm {D} u+\mathrm {D} _{1}u^{2}+\mathrm {D} _{2}u^{3}+\mathrm {D} _{3}u^{4},\\\mathrm {T} =&\mathrm {E} u+\mathrm {E} _{1}u^{2}+\mathrm {E} _{2}u^{3}+\mathrm {E} _{3}u^{4}+\mathrm {E} _{4}u^{5},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

les coefficients $\mathrm {A,B} ,\ldots$ étant déterminés de la manière suivante

${\begin{alignedat}{5}\mathrm {A} &=\beta \\\mathrm {B} &=\gamma ,&\mathrm {B} _{1}&=\beta \mathrm {A} ,\\\mathrm {C} &=\delta ,&\mathrm {C} _{1}&=\mathrm {\gamma A+\beta B} ,&\mathrm {C} _{2}&=\beta \mathrm {B} _{1},&\\\mathrm {D} &=\varepsilon ,&\mathrm {D} _{1}&=\delta \mathrm {A+\gamma B+\beta C} ,&\mathrm {D} _{2}&=\gamma \mathrm {B_{1}+\beta C_{1}} ,\\\mathrm {E} &=\zeta ,\quad &\mathrm {E} _{1}&=\varepsilon \mathrm {A+\delta B+\gamma C+\beta D} ,\quad &\mathrm {E} _{2}&=\delta \mathrm {B_{1}+\gamma C_{1}+\beta D_{1}} ,\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}$

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {D} _{3}&=\beta \mathrm {C} _{2},\\\mathrm {E} _{3}&=\gamma \mathrm {C_{2}+\beta D_{2}} ,\quad &\mathrm {E} _{4}&=\beta \mathrm {D} _{3},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots .\end{alignedat}}$

Ainsi, remettant à la place de $u$ sa valeur $\alpha ^{p-q-1}y^{p-q}z$ on aura

${\frac {\psi '(y)}{z\left[1-z{\cfrac {\varphi (\alpha y)}{\alpha }}\right]}}$

${\begin{aligned}={\frac {\psi '(y)}{z}}&+\mathrm {A} \alpha ^{p-1}y^{p}\psi '(y)\\&+\mathrm {B} \alpha ^{p+q-1}y^{p+q}\psi '(y)+\mathrm {B} _{1}\alpha ^{2p-2}zy^{2p}\psi '(y)\\&+\mathrm {C} \alpha ^{p+2q-1}y^{p+2q}\psi '(y)+\mathrm {C} _{1}\alpha ^{2p+q-2}zy^{2p+q}\psi '(y)+\mathrm {C} _{2}\alpha ^{3p+q-3}z^{2}y^{3p}\psi '(y)\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Donc, pratiquant les transformations enseignées dans le n^o 18, on aura la valeur de $\psi \left({\frac {x}{\alpha }}\right)$ exprimée par la série suivante, dans laquelle il faudra se souvenir de faire $y=1$ après toutes les différentiations,

${\begin{aligned}\psi \left({\frac {x}{\alpha }}\right)=&\psi (y)\\&+\mathrm {A} \alpha ^{p-1}y^{p}\psi '(y)\\&+\mathrm {B} \alpha ^{p+q-1}y^{p+q}\psi '(y)+\mathrm {B} _{1}\alpha ^{2p-2}.{\frac {1}{2}}{\frac {d\left[y^{2p}\psi '(y)\right]}{dy}}\\&+\mathrm {C} \alpha ^{p+2q-1}y^{p+2q}\psi '(y)+\mathrm {C} _{1}\alpha ^{2p+q-2}.{\frac {1}{2}}{\frac {d\left[y^{2p+q}\psi '(y)\right]}{dy}}\\&\quad +\mathrm {C} _{2}\alpha ^{3p+q-3}.{\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{2}\left[y^{3p}\psi '(y)\right]}{dy^{2}}}\\&+\mathrm {D} \alpha ^{p+3q-1}y^{p+3q}\psi '(y)+\mathrm {D} _{1}\alpha ^{2p+2q-2}.{\frac {1}{2}}{\frac {d\left[y^{2p+2q}\psi '(y)\right]}{dy}}\\&\quad +\mathrm {D} _{2}\alpha ^{3p+q-3}.{\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{2}\left[y^{3p+q}\psi '(y)\right]}{dy^{2}}}+\mathrm {D} _{3}\alpha ^{4p-4}.{\frac {1}{2.3.4}}{\frac {d^{3}\left[y^{4p}\psi '(y)\right]}{dy^{3}}}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}+&\mathrm {E} \alpha ^{p+4q-1}y^{p+4q}\psi '(y)+\mathrm {E} _{1}\alpha ^{2p+3q-2}.{\frac {1}{2}}{\frac {d\left[y^{2p+3q}\psi '(y)\right]}{dy}}\\&+\mathrm {E} _{2}\alpha ^{3p+2q-3}.{\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{2}\left[y^{3p+2q}\psi '(y)\right]}{dy^{2}}}+\mathrm {E} _{3}\alpha ^{4p+q-4}.{\frac {1}{2.3.4}}{\frac {d^{3}\left[y^{4p+q}\psi '(y)\right]}{dy^{3}}}\\&+\mathrm {E} _{4}\alpha ^{5p-5}.{\frac {1}{2.3.4.5}}{\frac {d^{4}\left[y^{5p}\psi '(y)\right]}{dy^{4}}}\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Si l’on fait $\psi (y)=y^{m},$ et par conséquent $\psi '(y)=my^{m-1},$ on trouvera, en faisant $y=1,$

${\begin{aligned}{\frac {x^{m}}{\alpha ^{m}}}=&1\\&+m\mathrm {A} \alpha ^{p-1}\\&+m\mathrm {B} \alpha ^{p+q-1}+{\frac {m(m+2p-1)}{2}}\mathrm {B} _{1}\alpha ^{2p-2}+\\&+m\mathrm {C} \alpha ^{p+2q-1}+{\frac {m(m+2p+q-1)}{2}}\mathrm {C} _{1}\alpha ^{2p+q-2}\\&\quad +{\frac {m(m+3p-1)(m+3p-2)}{2.3}}\mathrm {C} _{2}\alpha ^{3p+q-3}\\\\&+m\mathrm {D} \alpha ^{p+3q-1}+{\frac {m(m+2p+2q-1)}{2}}\mathrm {D} _{1}\alpha ^{2p+2q-2}\\&\quad +{\frac {m(m+3p+q-1)(m+3p+q-2)}{2.3}}\mathrm {D} _{2}\alpha ^{3p+q-3}\\&\quad +{\frac {m(m+4p+q-1)(m+4p+q-2)(m+4p+q-3)}{2.3.4}}\mathrm {D} _{3}\alpha ^{4p-4}\\\\&+m\mathrm {E} \alpha ^{p+4q-1}+{\frac {m(m+2p+3q-1)}{2}}\mathrm {E} _{1}\alpha ^{2p+3q-2}\\&\quad +{\frac {m(m+3p+2q-1)(m+3p+2q-2)}{2.3}}\mathrm {E} _{2}\alpha ^{3p+2q-3}\\&\quad +{\frac {m(m+4p+q-1)(m+4p+q-2)(m+4p+q-3)}{2.3.4}}\mathrm {E} _{3}\alpha ^{4p-4}\\&\quad +{\frac {m(m+5p-1)(m+5p-2)(m+5p-3)(m+5p-4)}{2.3.4.5}}\mathrm {E} _{4}\alpha ^{5p-5}\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Et si l’on fait $\psi (y)=\log y,$ on aura à cause de $\log y=0,$

${\begin{aligned}\log {\frac {x}{\alpha }}&=\mathrm {A} \alpha ^{p-1}\\&+\mathrm {B} \alpha ^{p+q-1}+{\frac {2p-1}{2}}\mathrm {B} _{1}\alpha ^{2p-2}\\\\&+\mathrm {C} \alpha ^{p+2q-1}+{\frac {2p+q-1}{2}}\mathrm {C} _{1}\alpha ^{2p+q-2}+{\frac {(3p-1)(3p-2)}{2.3}}\mathrm {C} _{2}\alpha ^{3p-3}\\\\&+\mathrm {D} \alpha ^{p+3q-1}+{\frac {2p+2q-1}{2}}\mathrm {D} _{1}\alpha ^{2p+2q-2}\\&\quad +{\frac {(3p+q-1)(3p+q-2)}{2.3}}\mathrm {D} _{2}\alpha ^{3p+q-3}\\&\quad +{\frac {(4p-1)(4p-2)(4p-3)}{2.3.4}}\mathrm {D} _{3}\alpha ^{4p-4}\\\\&+\mathrm {E} \alpha ^{p+4q-1}+{\frac {2p+3q-1}{2}}\mathrm {E} _{1}\alpha ^{2p+3q-2}\\&\quad +{\frac {(3p+2q-1)(3p+2q-2)}{2.3}}\mathrm {E} _{2}\alpha ^{3p+2q-3}\\&\quad +{\frac {(4p+q-1)(4p+q-2)(4p+q-3)}{2.3.4}}\mathrm {E} _{3}\alpha ^{4p+q-4}\\&\quad +{\frac {(5p-1)(5p-2)(5p-3)(5p-4)}{2.3.4.5}}\mathrm {E} _{4}\alpha ^{5p-5}\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

22. Exemple VII. Si l’on avait l’équation

$0=\alpha -x^{r}+\beta x^{p}+\gamma x^{p+q}+\delta x^{p+2q}+\varepsilon x^{p+3q}+\ldots ,$

on pourrait la ramener à celle de l’Exemple précédent en faisant $x^{r}=t,$ ce qui la changerait en celle-ci

$0=\alpha -t+\beta t^{\frac {p}{r}}+\gamma t^{\frac {p+q}{r}}+\delta t^{\frac {p+2q}{r}}+\varepsilon t^{\frac {p+3q}{r}}+\ldots .$

laquelle est, comme on voit, dans le cas dont nous parlons ; de sorte qu’il n’y aura qu’à changer dans les formules précédentes $x$ en $t,$ $p$ en ${\frac {p}{r}}$ et $q$ en ${\frac {q}{r}}$ pour les appliquer à l’équation dont il s’agit ici.

Supposons, pour plus de simplicité, $\alpha =\rho ^{r},$ et l’on aura, en mettant $x^{r}$ à la place de $t$ et conservant les mêmes valeurs des coefficients $\mathrm {A,B,B'} ,\ldots ,$

${\begin{aligned}\psi ({\frac {x^{r}}{\rho ^{r}}})=&\psi (y)\\&+\mathrm {A} \rho ^{p-r}y^{\frac {p}{r}}\psi '(y)\\\\&+\mathrm {B} \rho ^{p+q-r}y^{\frac {p+q}{r}}\psi '(y)+\mathrm {B} _{1}\rho ^{2p-2r}.{\frac {1}{2}}{\frac {dy^{\frac {2p}{r}}\psi '(y)}{dy}}\\\\&+\mathrm {C} \rho ^{p+2q-r}y^{\frac {p+2q}{r}}\psi '(y)+\mathrm {C} _{1}\rho ^{2p+q-2r}.{\frac {1}{2}}{\frac {d\left[y^{\frac {2p+q}{r}}\psi '(y)\right]}{dy}}\\&\quad +\mathrm {C} _{2}\rho ^{3p-3r}.{\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{2}\left[y^{\frac {3p}{r}}\psi '(y)\right]}{dy^{2}}}\\\\&+\mathrm {D} \rho ^{p+3q-r}y^{\frac {p+3q}{r}}\psi '(y)+\mathrm {D} _{1}\rho ^{2p+2q-2r}.{\frac {1}{2}}{\frac {d\left[y^{\frac {2p+2q}{r}}\psi '(y)\right]}{dy}}\\&\quad +\mathrm {D} _{2}\rho ^{3p+q-3r}.{\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{2}\left[y^{\frac {3p+q}{r}}\psi '(y)\right]}{dy^{2}}}+\mathrm {D} _{3}\rho ^{4p-4r}.{\frac {1}{2.3.4}}{\frac {d^{3}\left[y^{\frac {4p}{r}}\psi '(y)\right]}{dy^{3}}}\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

où il faudra faire $y=1$ après les différentiations.

Si l’on suppose $\psi (y)=y^{\frac {m}{r}},$ on aura

$\psi \left({\frac {x^{r}}{\rho ^{r}}}\right)={\frac {x^{m}}{\rho ^{m}}}\,;$

donc on trouvera

${\begin{aligned}\left({\frac {x}{\rho }}\right)^{m}=&1\\&+{\frac {m}{r}}\mathrm {A} \rho ^{p-r}\\\\&+{\frac {m}{r}}\mathrm {B} \rho ^{p+q-r}+{\frac {m(m+2p-r)}{2r^{2}}}\mathrm {B} _{1}\rho ^{2p-2r}\\\\&+{\frac {m}{r}}\mathrm {C} \rho ^{p+2q-r}+{\frac {m(m+2p+q-r)}{2r^{2}}}\mathrm {C} _{1}\rho ^{2p+q-2r}\\&\quad +{\frac {m(m+3p-r)(m+3p-2r)}{2.3.r^{3}}}\mathrm {C} _{2}\rho ^{3p-3r}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&+{\frac {m}{r}}\mathrm {D} \rho ^{p+3q-r}+{\frac {m(m+2p+2q-r)}{2r^{2}}}\mathrm {D} _{1}\rho ^{2p+2q-2r}\\&\quad +{\frac {m(m+3p+q-r)(m+3p+q-2r)}{2.3.r^{3}}}\mathrm {D} _{2}\rho ^{3p+q-3r}\\&\quad +{\frac {m(m+4p-r)(m+4p-2r)(m+4p-3r)}{2.3.4.r^{4}}}\mathrm {D} _{3}\rho ^{4p-4r}\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Et si l’on suppose $\psi (y)=\log y,$ ce qui donne

$\psi \left({\frac {x^{r}}{\rho ^{r}}}\right)=\log {\frac {x^{r}}{\rho ^{r}}}=r\log {\frac {x}{\rho }},$

on aura, en divisant par $r,$

${\begin{aligned}\log {\frac {x}{\rho }}=&{\frac {1}{r}}\mathrm {A} \rho ^{p-r}\\&+{\frac {1}{r}}\mathrm {B} \rho ^{p+q-r}+{\frac {2p-r}{2r^{2}}}\mathrm {B} _{1}\rho ^{2p-2r}\\\\&+{\frac {1}{r}}\mathrm {C} \rho ^{p+q-r}+{\frac {2p+q-r}{2r^{2}}}\mathrm {C} _{1}\rho ^{2p+q-2r}+{\frac {3p-r}{2.3.r^{3}}}\mathrm {C} _{2}\rho ^{3p-3r}\\\\&+{\frac {1}{r}}\mathrm {D} \rho ^{p+3q-r}+{\frac {2p+2q-r}{2r^{2}}}\mathrm {D} _{1}\rho ^{2p+q-2r}\\&\quad +{\frac {(3p+q-r)(3p+q-2r)}{2.3.r^{3}}}\mathrm {D} _{2}\rho ^{3p+q-3r}\\&\quad +{\frac {(4p-r)(4p-2r)(3p-2r)}{2.3.4.r^{4}}}\mathrm {D} _{3}\rho ^{4p-4r}\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

23. Les formules que nous venons de trouver dans les deux derniers Exemples doivent être bien remarquées, tant à cause de leur généralité que parce qu’elles peuvent être très-utiles dans la recherche des différentes racines des équations ; ce qui fera l’objet du § III.

Mais, avant d’y passer, nous croyons devoir encore faire une observation touchant les coefficients $\mathrm {A,B,B_{1}} ,\ldots \,;$ c’est que ces coefficients ne dépendent nullement de la quantité, mais seulement des autres quantités $\beta ,\gamma ,\delta ,\ldots \,;$ de sorte que nos séries seront toujours d’elles-mêmes ordonnées relativement à la lettre $\alpha ,$ quelle que soit la fonction de ${\frac {x}{\alpha }}$ qu’elles expriment, puisque la variable $\gamma$ doit toujours être supposée égale à l’unité.

De plus, ces coefficients, une fois trouvés, serviront pour toutes les fonctions possibles de ${\frac {x}{\alpha }},$ et, comme leur loi est assez simple, il sera facile de les calculer aussi loin qu’on voudra ; on trouvera, par exemple,

${\begin{alignedat}{5}\mathrm {A} &=\beta \\\mathrm {B} &=\gamma ,&\mathrm {B} _{1}&=\beta ^{2},\\\mathrm {C} &=\delta ,&\mathrm {C} _{1}&=2\beta \gamma ,&\mathrm {C} _{2}&=\beta ^{3},&\\\mathrm {D} &=\varepsilon ,&\mathrm {D} _{1}&=2\beta \delta +\gamma ^{2},&\mathrm {D} _{2}&=3\beta ^{2}\gamma ,&\mathrm {D} _{3}&=\beta ^{4}\\\mathrm {E} &=\zeta ,\quad &\mathrm {E} _{1}&=2\beta \varepsilon +2\delta \gamma ,\quad &\mathrm {E} _{2}&=3\beta ^{2}\delta +3\beta \gamma ^{2},\quad &\mathrm {E} _{3}&=4\beta ^{3}\gamma ,\quad &\mathrm {E} _{4}&=\beta ^{5},\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots .\end{alignedat}}$

§ III. — Manière de trouver par les séries toutes les racines
d’une équation quelconque.

24. Nous avons vu, dans le II, comment on peut trouver, par les séries, l’expression d’une des racines d’une équation de degré quelconque nous allons voir, dans celui-ci, de quelle manière on peut parvenir à trouver toutes les autres racines que la même équation peut renfermer. Pour cela, il est nécessaire de faire quelques observations générales sur la nature des différentes racines d’une même équation et sur la manière de les distinguer l’une de l’autre.

Considérons l’équation générale

$0=a-bx+cx^{2}-dx^{3}+ex^{4}-\ldots ,$

laquelle soit d’un degré quelconque $m,$ et qui ait tous ses termes, en sorte qu’aucun des coefficients $a,b,c,\ldots$ ne soit nul ; supposons que l’on ait trouvé l’expression de chacune des racines de cette équation, dont le nombre sera $m\,;$ il est clair que ces expressions seront des fonctions de $a,$

$b,c,$ mais il faut voir à quel caractère on pourra distinguer ces différentes fonctions l’une de l’autre.

Je remarque d’abord que, si l’on suppose $a=0$ dans l’équation proposée, elle devient

$0=-bx+cx^{2}-dx^{3}+ex^{4}-\ldots ,$

de sorte qu’elle se décompose en ces deux-ci

${\begin{aligned}0=&x,\\0=&-b+cx-dx^{2}+ex^{3}-\ldots ,\end{aligned}}$

d’où l’on voit que la supposition de $a=0$ doit rendre nulle une des racines de l’équation ; par conséquent, parmi les fonctions qui expriment ces racines il doit y en avoir une qui s’évanouisse en faisant $a=0\,;$ et il est clair qu’il ne doit y en avoir qu’une seule qui ait cette propriété, puisque l’évanouissement de $a$ ne réduit à zéro qu’une seule racine.

En conservant la supposition de $a=0,$ et faisant maintenant abstraction de la racine $x=0$ que nous avons déjà trouvée, les autres racines seront déterminées par l’équation

$0=-b+cx-dx^{2}+ex^{3}-\ldots .$

Supposons de plus $b=0,$ et l’équation précédente se décomposera de nouveau en ces deux-ci

${\begin{aligned}0=&x,\\0=&c-dx+ex^{2}-\ldots ,\end{aligned}}$

ainsi cette supposition fera évanouir une nouvelle racine ; de sorte que parmi les fonctions qui représentent ces racines, il faudra qu’il y en ait une qui s’évanouisse en faisant $a=0$ et $b=0.$

En continuant le même raisonnement, on verra que parmi les fonctions dont il s’agit il y en aura aussi une qui s’évanouira par la supposition de

$a=0,\quad b=0,\quad c=0,$

une qui s’évanouira par la supposition de

$a=0,\quad b=0,\quad c=0,\quad d=0,$

et ainsi de suite.

25. Comme il est indifférent dans quel ordre les termes d’une équation soient disposés, nous supposerons toujours dans la suite qu’ils le soient de manière que les exposants de l’inconnue forment une progression arithmétique ascendante ; ainsi, par premier terme d’une équation il faudra entendre celui où l’inconnue ne se trouve pas, par second terme celui où l’inconnue se trouve au premier degré, et ainsi de "suite ; cela posé, nous appellerons en générale première racine d’une équation celle qui devient nulle lorsque le premier terme de cette équation est supposé nul ; seconde racine celle qui devient nulle lorsqu’on suppose nuls à la fois les deux premiers termes à la fois ; troisième racine celle qui devient nulle lorsqu’on suppose nuls à la fois les trois premiers termes ; et ainsi de suite.

De cette manière, on pourra toujours distinguer les différentes racines d’une équation entre elles ; et si l’on a plusieurs expressions des racines d’une même équation, on pourra reconnaître si ces expressions représentent la même racine ou des racines différentes.

26. Nous venons de voir que la supposition de $a=0$ et de $b=0$ doit rendre nulles deux des racines de l’équation proposée, lesquelles seront déjà par cette condition même distinguées de toutes les autres ; donc, si l’on suppose d’abord $b=0,$ il est visible qu’en faisant ensuite $a=0,$ les deux racines dont il s’agit s’évanouiront toutes deux en même temps ; or, voici comment on pourra, dans ce cas, distinguer ces mêmes racines l’une de l’autre. En faisant $b=0,$ l’équation proposée devient

$0=a+cx^{2}-dx^{3}+ex^{4}-\ldots \,;$

maintenant, au lieu de supposer a nul, supposons-le seulement infiniment petit, il est clair que les deux racines dont il s’agit devront aussi devenir infiniment petites (autrement elles ne s’évanouiraient pas lors-

que $a=0$) ; ainsi, en faisant $x$ infiniment petit et négligeant ce qu’il faut négliger en vertu de cette supposition, l’équation précédente deviendra

$a+cx^{2}=0,$

laquelle donne les deux racines

$+{\sqrt {-{\frac {a}{c}}}}\quad {\text{et}}\quad -{\sqrt {-{\frac {a}{c}}}}\,;$

ce qui fournit un nouveau caractère pour distinguer les deux premières racines de l’équation proposée, tant entre elles que de toutes les autres. Ainsi, il faudra que les fonctions qui représentent ces deux racines soient telles, qu’en y faisant $b=0$ et $a$ infiniment petit, elles deviennent les deux racines de l’équation $a+cx^{2}=0.$

On démontrera de même que les fonctions qui représentent les trois premières racines doivent être telles, qu’en y supposant à la fois $b=0,$ $c=0$ et $a$ infiniment petit, elles deviennent les trois racines de l’équation $a-dx^{3}=0,$ et ainsi de suite.

De plus, comme la seconde et la troisième racine deviennent nulles en faisant $b=0$ et $c=0,$ après avoir déjà supposé $a=0$ (numéro précédent), si l’on fait d’abord $c=0,$ il est visible que la supposition de $b=0$ rendra nulles ces deux racines en même temps ; par conséquent, si l’on suppose seulement $b$ infiniment petit, ces mêmes racines deviendront aussi infiniment petites ; mais si dans l’équation

$0=-b+cx-dx^{2}+ex^{3}-\ldots ,$

dont on a déjà séparé la première racine par la supposition de $a=0$ (numéro précédent), on fait $c=0,$ et $b$ et $x$ infiniment petits, elle se réduit à celle-ci

$-b-dx^{2}=0\,;$

ainsi, il faudra que les fonctions qui représentent la seconde et la troisième racine de l’équation proposée soient telles, qu’en y faisant $a=0,$ $c=0$ et $b$ infiniment petit, elles deviennent les racines de l’équation

$-b-dx^{2}=0\,;$

ce qui peut servir encore à reconnaître ces racines et à les distinguer de toutes les autres.

Pareillement, si l’on fait $c=0,$ $d=0$ et $b$ infiniment petit ($a$ étant toujours supposé nul), on verra que les fonctions qui représentent la seconde, la troisième et la quatrième racine de l’équation proposée doivent devenir les racines de l’équation

$-b+ex^{3}=0,$

et ainsi de suite.

En procédant de la même manière, on prouvera aussi que la troisième et la quatrième racine de l’équation proposée doivent être exprimées par des fonctions telles, qu’en y supposant d’abord $a=0,$ $b=0,$ et ensuite $d=0$ et $c$ infiniment petit, elles deviennent les racines de l’équation

$c+ex^{2}=0,$

et ainsi des autres.

Cette méthode de distinguer les racines d’une équation est plus générale que celle du n^o 24, laquelle ne saurait être employée dans bien des cas, surtout lorsqu’il manque dans l’équation quelqu’un des termes intermédiaires, parce qu’alors l’évanouissementd’une seule lettre fait évanouir plusieurs racines à la fois, comme nous venons de le voir.

Après ces réflexions sur la manière de distinguer les différentes racines d’une équation, voyons la méthode qu’on peut employer pour les trouver ; pour la faire mieux comprendre, nous l’appliquerons d’abord aux équations que nous avons déjà examinées dans le § III.

Problème I.

27. On demande les deux racines de l’équation

$a-bx+cx^{2}=0.$

Première Solution. — Nous avons déjà trouvé, dans le n^o 9, que l’une des valeurs de $x$ peut s’exprimer par cette série

${\frac {a}{b}}+{\frac {a^{2}c}{b^{3}}}+{\frac {4a^{3}c^{2}}{2b^{5}}}+\ldots \,;$

or, avant de chercher l’autre valeur, il est bon d’examiner quelle est la

racine qui est représentée par cette série ; pour cet effet, je suppose d’abord, suivant la méthode du n^o 24, $a=0,$ et comme je vois que cette supposition détruit tous les termes de la série dont il s’agit, j’en conclus que cette série exprime la première racine de l’équation proposée ; de sorte que c’est la seconde qui reste encore à trouver.

Pour y parvenir, je donne à la proposée cette forme

$b-cx-{\frac {a}{x}}=0,$

qui peut se rapporter, comme on voit, à l’équation du n^o 12 ; en y faisant $n=-1$ et changeant $a$ en $b,$ $b$ en $c$ et $c$ en $a.$ De cette manière, on aura, par la formule du même numéro (en y faisant $m=1$), $x$ égal à la série

${\frac {b}{c}}-{\frac {a}{b}}-{\frac {a^{2}c}{b^{3}}}-{\frac {4a^{3}c^{2}}{b^{5}}}-{\frac {5.6.a^{4}c^{3}}{2.3.b^{7}}}-\ldots .$

Or, en faisant d’abord $a=0,$ cette suite se réduit à son premier terme ${\frac {b}{c}},$ lequel s’évanouit ensuite lorsqu’on suppose $b=0\,;$ donc (25), cette série exprimera nécessairement la seconde racine de l’équation proposée ; c’est ce qui s’accorde avec ce que nous avons trouvé dans le n^o 9 par la résolution même de l’équation proposée.

Donc, en général, si l’on nomme $x_{1}$ et $x_{2}$ la première et la seconde racine de l’équation

$a-bx+cx^{2}=0,$

on aura, par les articles cités,

${\begin{aligned}x_{1}^{m}=&{\frac {a^{m}}{b^{m}}}+{\frac {ma^{m+1}c}{b^{m+2}}}+{\frac {m(m+3)a^{m+2}c^{2}}{2b^{m+4}}}+{\frac {m(m+4)(m+5)a^{m+3}c^{3}}{2.3.b^{m+6}}}+\ldots ,\\x_{2}^{m}=&{\frac {b^{m}}{c^{m}}}-{\frac {mb^{m-2}a}{c^{m-1}}}+{\frac {m(m-3)b^{m-1}a^{2}}{2c^{m-2}}}-{\frac {m(m-4)(m-5)b^{m-6}a^{3}}{2.3.c^{m-3}}}+\ldots ,\end{aligned}}$

et si l’on veut avoir les logarithmes de $x_{1}$ et $x_{2},$ on aura

${\begin{aligned}\log x_{1}=&\log {\frac {a}{b}}+{\frac {ac}{b^{2}}}+{\frac {3a^{2}c^{2}}{2b^{4}}}+{\frac {4.5.a^{3}c^{3}}{2.3.b^{6}}}+{\frac {5.6.7.a^{4}c^{4}}{2.3.4.b^{8}}}+\ldots ,\\\log x_{2}=&\log {\frac {b}{c}}-{\frac {ac}{b^{2}}}-{\frac {3a^{2}c^{2}}{2b^{4}}}-{\frac {4.5.a^{3}c^{3}}{2.3.b^{6}}}-{\frac {5.6.7.a^{4}c^{4}}{2.3.4.b^{8}}}-\ldots ,\end{aligned}}$

Seconde Solution. — Je fais $x^{2}=t,$ et par conséquent $x={\sqrt {t}},$ ce qui réduit l’équation proposée à celle-ci

$a+ct-b{\sqrt {t}}=0,$

laquelle peut se comparer de nouveau avec celle du n^o 12, en y changeant $b$ en $c,$ $c$ en $-b,$ $x$ en $t,$ et faisant $n={\frac {1}{2}}\,;$ ainsi, faisant pour plus de simplicité ${\sqrt {\frac {-a}{c}}}=\rho ,$ on aura

${\begin{aligned}t^{m}=&\rho ^{2m}-2m\rho ^{2m+1}\left({\frac {b}{2a}}\right)+{\frac {2m.2m}{2}}\rho ^{2m+2}\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}\\&-{\frac {2m(2m-1)(2m+1)}{2.3}}\rho ^{2m+3}\left({\frac {b}{2a}}\right)^{3}\\&+{\frac {2m(2m-2)(2m)(2m+2)}{2.3.4}}\rho ^{2m+4}\left({\frac {b}{2a}}\right)^{4}\\&-{\frac {2m(2m-3)(2m-1)(2m+1)(2m+3)}{2.3.4.5}}\rho ^{2m+5}\left({\frac {b}{2a}}\right)^{5}\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

Or, $x$ étant égal à ${\sqrt {t}},$ il n’y aura qu’à faire $m={\frac {1}{2}}$ pour avoir

$x=\rho -\rho ^{3}\left({\frac {b}{2a}}\right)+{\frac {1}{2}}\rho ^{3}\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {1.1.3}{2.3.4}}\rho ^{5}\left({\frac {b}{2a}}\right)^{4}+{\frac {1.1.3.3.5}{2.3.4.5.6}}\rho ^{7}\left({\frac {b}{2a}}\right)^{6}-\ldots .$

Mais, puisque $\rho ={\sqrt {\frac {-a}{c}}},$ il est clair que la valeur de $\rho$ sera également positive et négative ; de sorte qu’en substituant cette valeur on aura pour $x$ la double série

${\frac {b}{c}}\pm \left(1-{\frac {1}{2}}{\frac {b^{2}}{4ac}}-{\frac {1.1.3}{2.3.4}}{\frac {b^{4}}{2^{4}a^{2}c^{2}}}-{\frac {1.1.3.3.5}{2.3.4.5.6}}{\frac {b^{6}}{2^{6}a^{3}c^{3}}}-\ldots \right){\sqrt {\frac {-a}{c}}},$

laquelle représentera par conséquent les deux racines de l’équation

$a-bx+cx^{2}=0.$

En effet, en faisant $b=0,$ les deux séries se réduisent à

$\pm {\sqrt {\frac {-a}{c}}}\,;$

ce qui montre (26) que ces séries représentent effectivement la première et la seconde racine de l’équation dont il s’agit. C’est aussi de quoi on peut se convaincre facilement à posteriori en résolvant en série le radical ${\sqrt {b^{2}-4ac}}$ qui entre dans l’expression de $x$ (9), mais en prenant $-4ac$ pour le premier terme du binôme et $b^{2}$ pour le second.

Donc, faisant

$\rho =\pm {\sqrt {\frac {-a}{c}}},$

on aura, en général, dans l’équation

$a-bx+cx^{2}=0$

cette double valeur de $x^{m},$ savoir

$x^{m}=\rho ^{m}\left[1-{\frac {m^{2}}{2}}{\frac {b^{2}}{4ac}}+{\frac {m^{2}\left(m^{2}-4\right)}{2.3.4}}{\frac {b^{4}}{2^{4}a^{2}c^{2}}}\right.$

$\left.-{\frac {m^{2}\left(m^{2}-4\right)\left(m^{2}-16\right)}{2.3.4.5.6}}{\frac {b^{6}}{2^{6}a^{3}c^{3}}}+\ldots \right]$

$-m\rho ^{m+1}{\frac {b}{2a}}\left[1-{\frac {m^{2}-1}{2.3}}{\frac {b^{2}}{4ac}}+{\frac {\left(m^{2}-1\right)\left(m^{2}-9\right)}{2.3.4.5}}{\frac {b^{4}}{2^{4}a^{2}c^{2}}}\right.$

$\left.-{\frac {\left(m^{2}-1\right)\left(m^{2}-9\right)\left(m^{2}-25\right)}{2.3.4.5.6.7}}{\frac {b^{6}}{2^{6}a^{3}c^{3}}}+\ldots \right]$

Et si l’on veut avoir le logarithme de $x,$ on trouvera

$\log x=\log \rho -\rho {\frac {b}{2a}}\left(1+{\frac {1.1}{2.3}}{\frac {b^{2}}{4ac}}+{\frac {1.1.3.3}{2.3.4.5}}{\frac {b^{4}}{2^{4}a^{2}c^{2}}}+{\frac {1.1.3.3.5.5}{2.3.4.5.6.7}}{\frac {b^{6}}{2^{6}a^{3}c^{3}}}+\ldots \right).$

Remarque. — Les séries trouvées dans la première solution ont l’avantage de ne renfermer que des quantités rationnelles, au lieu que celles de la seconde solution renferment la quantité irrationnelle

${\sqrt {-{\frac {a}{c}}}},$

laquelle devient même imaginaire lorsque $a$ et $c$ sont de même signe,

quoique d’ailleurs les racines de l’équation puissent être réelles ; de sorte qu’à cet égard les séries de la première solution paraissent préférables, puisqu’elles se présentent toujours sous une forme réelle ; cependant ni les unes ni les autres ne peuvent être regardées comme bonnes, à moins qu’elles ne soient convergentes ; c’est ce que nous examinerons plus bas, § IV.

28. Pour peu qu’on ait fait d’attention la manière dont nous avons résolu le Problème précédent, on verra qu’en général, quelle que soit l’équation proposée, on pourra toujours trouver autant de différentes séries pour exprimer les racines de cette équation, que l’on pourra faire de combinaisons deux à deux des termes de la même équation ; et que de plus chacune de ces séries sera simple, ou double, ou triple, etc., suivant qu’elle répondra à une combinaison où les exposants de $x$ dans les deux termes différeront l’un de l’autre de l’unité, ou de deux unités, ou de trois, etc.

En effet, il est évident qu’on peut trouver autant de séries pour la valeur de $x$ qu’il y a de manières de comparer l’équation proposée à la formule générale

$\alpha -x+\varphi (x)=0$

du n^o 16 ; or, comme on peut prendre pour $\varphi (x)$ une fonction quelconque de $x,$ il s’ensuit qu’on pourra prendre, pour les deux premiers termes $\alpha -x$ de cette formule, deux quelconques des termes de la proposée à volonté ; et qu’ainsi la comparaison pourra se faire d’autant de manières différentes qu’il y aura de combinaisons possibles des termes de cette équation pris deux à deux.

29. Soient en général

$\mathrm {M} x^{\mu }-\mathrm {N} x^{\mu +\nu }$

deux termes quelconques de l’équation proposée ; et soit désignée par $\mathrm {X}$ la totalité des autres termes, en sorte que l’équation soit mise sous cette forme

$\mathrm {M} x^{\mu }-\mathrm {N} x^{\mu +\nu }+\mathrm {X} =0.$

On divisera d’abord par $\mathrm {N} x^{\mu },$ ce qui la réduira à celle-ci

$\mathrm {\frac {M}{N}} -x^{\nu }+{\frac {\mathrm {X} x^{-\mu }}{\mathrm {N} }}=0\,;$

ensuite on fera $x^{\nu }=t,$ et par conséquent

$x={\sqrt[{\nu }]{t}},$

et désignant par $\mathrm {T}$ la fonction de $t,$ dans laquelle se changera la quantité $\mathrm {X}$ par la substitution de ${\sqrt[{\nu }]{t}}$ à la place de $x,$ on aura la transformée

$\mathrm {\frac {M}{N}} -t+{\frac {\mathrm {T} t^{-{\frac {\mu }{\nu }}}}{\mathrm {N} }}=0,$

laquelle rentre évidemment dans la formule générale

$\alpha -x+\varphi (x)=0,$

en faisant

$\alpha =\mathrm {\frac {M}{N}} ,\quad x=t,\quad \varphi (x)=\varphi (t)={\frac {\mathrm {T} t^{-{\frac {\mu }{\nu }}}}{\mathrm {N} }}.$

On aura donc (16), en mettant $t$ ou $x^{\nu }$ à la place de $p,$

${\begin{aligned}\psi \left(x^{\nu }\right)=&\psi (t)+{\frac {\mathrm {T} t^{-{\frac {\mu }{\nu }}}\psi '(t)}{\mathrm {N} }}+{\frac {1}{2\mathrm {N} ^{2}}}{\frac {d\left[\mathrm {T} ^{2}t^{-{\frac {2\mu }{\nu }}}\psi '(t)\right]}{dt}}\\&+{\frac {1}{2.3.\mathrm {N} ^{3}}}{\frac {d^{2}\left[\mathrm {T} ^{3}t^{-{\frac {3\mu }{\nu }}}\psi '(t)\right]}{dt^{2}}}+\ldots ,\end{aligned}}$

où il faudra faire $t=\mathrm {\frac {M}{N}} ,$ après avoir exécuté les différentiations indiquées.

Donc, faisant $\psi (t)=t^{\frac {1}{\nu }},$ et par conséquent

$\psi '(t)={\frac {t^{\frac {1-\nu }{\nu }}}{\nu }},$

pour avoir $\psi (x^{\nu })=x,$ on aura

(L)

$x=t^{\frac {1}{\nu }}+{\frac {1}{\nu \mathrm {N} }}\mathrm {T} t^{\frac {1-\mu -\nu }{\nu }}+{\frac {1}{\nu \mathrm {N} ^{2}}}{\frac {d\left(\mathrm {T} ^{2}t^{\frac {1-2\mu -\nu }{\nu }}\right)}{dt}}+{\frac {1}{\nu \mathrm {N} ^{3}}}{\frac {d^{2}\left(\mathrm {T} ^{3}t^{\frac {1-3\mu -\nu }{\nu }}\right)}{dt^{2}}}+\ldots .$

C’est l’expression de la racine $x$ qui résultera de la combinaison des termes $\mathrm {M} x^{\mu }-\mathrm {N} x^{\mu +\nu }$ de l’équation proposée.

30. Maintenant il est visible que l’expression de $x$ que nous venons de trouver contiendra nécessairement le radical ${\sqrt[{\nu }]{\mathrm {\frac {M}{N}} }}$ qui proviendra de la substitution de $\mathrm {\frac {M}{N}}$ à la place de $t,$ et il est facile de se convaincre que cette expression ne contiendra point d’autre radical ; car, puisque $\mathrm {X}$ est une fonction rationnelle de $x,$ $\mathrm {T}$ sera aussi une fonction rafionnelle de ${\sqrt[{\nu }]{t}},$ et par conséquent toute la série qui exprime la valeur de $x$ sera une fonction rationnelle de ${\sqrt[{\nu }]{t}},$ c’est-à-dire de ${\sqrt[{\nu }]{\mathrm {\frac {M}{N}} }}.$

Or, on sait que le radical ${\sqrt[{\nu }]{\mathrm {\frac {M}{N}} }}$ a $\nu$ valeurs différentes qui sont les racines de l’équation

$\mathrm {M-N} x^{\nu }=0,$

et qui (par le théorème connu de Cotes), peuvent se représenter, en général, par la formule

$\left(\cos {\frac {\lambda \times 360^{\circ }}{\nu }}+{\sqrt {-1}}\sin {\frac {\lambda \times 360^{\circ }}{\nu }}\right){\sqrt[{\nu }]{\mathrm {\frac {M}{N}} }},$

$\lambda$ étant successivement égal à $1,2,3,\ldots$ jusqu’à $\nu .$

Donc, si l’on substitue cette quantité à la place de ${\sqrt[{\nu }]{\mathrm {\frac {M}{N}} }},$ la série qui représentera la valeur de $x$ se transformera en $\nu$ séries qui donneront autant de différentes expressions de $x.$

31. Je dis présentement que les $\nu$ séries ou expressions de $x$ qui résultent de la considération des termes $\mathrm {M} x^{\mu }-\mathrm {N} x^{\mu +\nu }$ de l’équation proposée, c’est-à-dire celles qu’on trouve en prenant ces deux termes pour les premiers de la formule générale (H), représentent nécessairement $\nu$ racines différentes de cette équation, et qu’en particulier (25) elles représentent les racines $\mu$^ième, $(\mu +1)$^ième, $(\mu +2)$^ième, …, jusqu’à la $(\mu +\nu -1)$^ième de la même équation.

Pour le prouver, il suffit de faire voir, suivant la méthode du n^o 26, qu’en supposant dans l’expression générale de $x$ de la formule (L) les coefficients des termes de l’équation proposée où les exposants de $x$ seraient moindres que $\mu ,$ chacun égal à zéro, comme aussi chacun des coefficients des termes intermédiaires entre les deux $\mathrm {M} x^{\mu }$ et $\mathrm {N} x^{\mu +\nu },$ et faisant en même temps $\mathrm {M}$ infiniment petit, cette expression se réduira à celle-ci ${\sqrt[{\nu }]{\mathrm {\frac {M}{N}} }},$ qui est la racine générale de l’équation

$\mathrm {M-N} x^{\nu }=0.$

Or, après la destruction des termes dont nous venons de parler, il est clair que la quantité $\mathrm {X}$ ne renfermera plus que des puissances de $x$ plus grandes que $x^{\mu +\nu },$ et qu’ainsi la quantité $\mathrm {T}$ ne renfermera que des puissances de $t$ plus grandes que $t^{\frac {\mu +\nu }{\nu }}\,;$ d’où il est facile de voir que les fonctions

$\mathrm {T} t^{\frac {1-\mu -\nu }{\nu }},\quad {\frac {d\left(\mathrm {T} ^{2}t^{\frac {1-2\mu -\nu }{\nu }}\right)}{dt}},\ldots$

de la formule (L) ne seront plus composées que des puissances de plus grandes que $t^{\frac {1}{\nu }}\,;$ donc, faisant $t=\mathrm {\frac {M}{N}} ,$ et supposant ensuite $\mathrm {M}$ infiniment petit, c’est-à-dire $t$ infiniment petit, il est évident que toutes ces puissances de $t$ s’évanouiront vis-à-vis du premier terme $t^{\frac {1}{\nu }}$ de l’expression de $x,$ laquelle se réduira par conséquent à $t^{\frac {1}{\nu }}$ ou à $\left(\mathrm {\frac {M}{N}} \right)^{\frac {1}{\nu }},$ à cause de $t=\mathrm {\frac {M}{N}} .$

32. De là il est aisé de conclure que, pour trouver toutes les racines d’une équation donnée, par le moyen de nos séries, il n’y aura qu’à combiner le premier terme de cette équation avec le dernier, ou immédiatement ce qui donnera une série qui renfermera toutes les racines, ou moyennant les termes intermédiaires, c’est-à-dire en combinant d’abord le premier terme avec quelqu’un des suivants, ensuite celui-ci avec le dernier, ou avec quelqu’un de ceux qui le précèdent, et ainsi de suite jusqu’à ce qu’on arrive au dernier terme [par cette expression de combiner deux termes de l’équation proposée, nous entendons qu’il faut prendre ces deux termes pour les deux premiers de notre formule générale (H) ; nous nous servirons aussi dans la suite de cette même expression abrégée]. Chacune de ces combinaisons donnera une série simple, ou double, ou triple, etc., qui représentera par conséquent une, ou deux, ou trois, etc., racines, suivant l’intervalle qu’il y aura entre les deux termes ; de sorte que, quels que soient les termes que l’on comparera successivement ensemble, on obtiendra toujours autant de racines ni plus ni moins que l’équation en doit avoir.

33. Il est bon de remarquer que les séries qu’on trouvera en combinant deux termes quelconques de l’équation proposée auront autant de valeurs réelles et autant d’imaginaires qu’il y aura de racines réelles et d’imaginaires dans l’équation qu’on pourra faire en égalant ces deux termes à zéro (30) ; de plus, il est clair que l’on ne trouvera de séries toutes rationnelles que lorsqu’on combinera des termes tels que

$\mathrm {M} x^{\mu }-\mathrm {N} x^{\mu +1}\,;$

ainsi, si l’équation a tous ses termes, on pourra, en combinant chaque terme avec celui qui le suit immédiatement, trouver des séries toutes rationnelles pour l’expression de chacune de ses racines ; mais s’il manque quelque terme dans l’équation, comme si l’on suppose que le terme $\mathrm {M} x^{\mu }$ soit suivi immédiatement du terme $-\mathrm {N} x^{\mu +\nu },$ en sorte qu’il manque $\nu -1$ termes intermédiaires, alors la combinaison de ces deux termes consécutifs donnera une série qui renfermera le radical

${\sqrt[{\nu }]{\mathrm {\frac {M}{N}} }},$

et qui représentera par conséquent les différentes racines qu’on aurait trouvées par la considération de tous les termes intermédiaires si ces termes n’avaient pas manqué.

Donc on aura dans ce cas autant de séries imaginaires que le radical

${\sqrt[{\nu }]{\mathrm {\frac {M}{N}} }}$

aura de valeurs imaginaires, c’est-à-dire qu’il y aura de racines imaginaires dans l’équation

$x^{\nu }-\mathrm {\frac {M}{N}} =0.$

Or, on sait que dans une équation qui manque de quelques-uns de ses termes, il y a nécessairement autant de racines imaginaires qu’il y en aurait dans l’équation qu’on pourrait faire, en égalant à zéro la somme des deux termes de cette équation entre lesquels devraient se trouver les termes manquants ; de sorte qu’en supposant ; comme plus haut, qué le terme $\mathrm {M} x^{\mu }$ soit suivi immédiatement du terme $-\mathrm {N} x^{\mu +\nu },$ il y aura nécessairement dans l’équation autant de racines imaginaires qu’il y en a dans l’équation

$\mathrm {M} x^{\mu }-\mathrm {N} x^{\mu +1}=0,$

ou bien

$\mathrm {\frac {M}{N}} -x^{\nu }=0.$

De là il s’ensuit qu’en combinant deux à deux tous les termes consécutifs d’une équation quelconque, on ne trouvera jamais d’expressions imaginaires pour les racines que lorsqu’il y aura réellement des racines imaginaires dans l’équation. Il n’en est pas de même lorsqu’on combine des termes qui ne sont pas immédiatement consécutifs ; dans ce cas, il arrivera souvent que les racines se présenteront sous une forme imaginaire, quoiqu’elles soient d’ailleurs réelles, comme nous l’avons déjà vu dans la Remarque qui est à la fin du Problème précédent.

34. Enfin, il résulte de ce que nous avons dit dans le n^o 31, que les séries trouvées dans les différents Exemples du § II ne représentent que les premières racines des équations proposées, puisque toutes ces séries ont été trouvées par la combinaison des deux premiers termes des mêmes équations ; ainsi, pour trouver les autres racines, il n’y aura qu’à combiner le second terme, ou immédiatement avec le dernier, ou avec quelqu’un des intermédiaires, et ensuite celui-ci avec le dernier, comme nous l’avons expliqué dans le numéro cité.

Problème II.

35. On demande toutes les racines de l’équation

$a-bx+cx^{n}=0,$

$n$ étant un nombre entier positif.

Première Solution. — En combinant d’abord les deux premiers termes de cette équation,

$a-bx,$

on trouvera pour $x$ la même série que nous avons déjà trouvée dans l’Exemple II du n^o 12 ; cette valeur de $x$ sera donc la première racine de l’équation proposée (numéro précédent) que nous nommerons $x_{1}\,;$ ainsi l’on aura, en général,

${\begin{aligned}x_{1}^{m}={\frac {a^{m}}{b^{m}}}&\left[1+{\frac {mca^{n-1}}{b^{n}}}+{\frac {m(m+2n-1)c^{2}a^{2n-2}}{2b^{2n}}}\right.\\&\quad +\left.{\frac {m(m+3n-1)(m+3n-2)c^{3}a^{3n-3}}{2.3.b^{3n}}}+\ldots \right].\end{aligned}}$

Pour trouver maintenant les autres $n-1$ racines de la même équation, il faudra combiner les deux termes $-bx+cx^{n}\,;$ c’est pourquoi nous mettrons d’abord (29) l’équation sous cette forme

${\frac {b}{c}}-x^{n-1}-{\frac {ax^{-1}}{c}}=0\,;$

et ensuite sous celle-ci

${\frac {b}{c}}-t-{\frac {at^{\frac {1}{1-n}}}{c}}=0,$

en faisant $t=x^{n-1},$ et par conséquent $x=t^{\frac {1}{n-1}}.$

Or, cette équation étant de la même forme que la précédente en $x,$ on pourra faire usage de la même formule pour en tirer la valeur de $t\,;$ on mettra donc $b$ à la place de $a,$ $c$ à la place de $b,$ $a$ à la place de $c,$ et changeant $x$ en $t,$ et $n$ en ${\frac {1}{1-n}},$ on aura, en général,

$t^{m}={\frac {b^{m}}{c^{m}}}\left[1-{\frac {mab^{\frac {n}{1-n}}}{c^{\frac {1}{1-n}}}}+{\frac {m\left(m+{\cfrac {1+n}{1-n}}\right)a^{2}b^{\frac {2n}{1-n}}}{2c^{\frac {2}{1-n}}}}\right.$

$\left.-{\frac {m\left(m+{\cfrac {2+n}{1-n}}\right)\left(m+{\cfrac {1+2n}{1-n}}\right)a^{3}b^{\frac {3n}{1-n}}}{2.3.c^{\frac {3}{1-n}}}}\right].$

Or, puisque $t=x^{n-1},$ mettons ${\frac {m}{n-1}}$ à la place de $m,$ et faisant, pour plus de simplicité,

$\left({\frac {b}{c}}\right)^{\frac {1}{1-n}}=\rho ,$

nous aurons

$x^{m}=$

$\rho ^{m}\left[1-{\frac {ma}{(n-1)b\rho }}+{\frac {m(m-n-1)a^{2}}{2(n-1)^{2}b^{2}\rho ^{2}}}-{\frac {m(m-n-2)(m-2n-1)a^{2}}{2.3.(n-1)^{3}b^{3}\rho ^{3}}}+\ldots \right].$

Or, puisque la quantité $\rho$ est égale à la racine $(n-1)$^ième de ${\frac {b}{c}},$ elle aura $n-1$ valeurs différentes, qui pourront s’exprimer en général de cette manière

$\rho =\left(\cos {\frac {\lambda \times 360^{\circ }}{n-1}}+\sin {\frac {\lambda \times 360^{\circ }}{n-1}}{\sqrt {-1}}\right){\sqrt[{n-1}]{\frac {b}{c}}},$

$\lambda$ étant égal à $1,$ ou $2,$ ou $3,$ ou …, jusqu’à $n-1.$

Donc, substituant cette expression de $\rho$ dans la formule précédente, on aura $n-1$ valeurs différentes de $x^{m}\,;$ ce seront les valeurs de $x_{2}^{m},$$x_{3}^{m},\ldots ,x_{n}^{m},$ et désignant par $x_{2},x_{3},\ldots ,x_{n}$ la seconde, la troisième, etc., jusqu’à la $n$^ième racine de l’équation proposée.

Ainsi l’on aura chacune des $n$ racines de cette équation, et même une puissance quelconque de ces racines. On pourra trouver aussi par nos formules une fonction quelconque de ces racines ; c’est sur quoi il ne paraît pas nécessaire d’entrer ici dans un plus grand détail.

Seconde Solution. — Prenons maintenant les deux termes extrêmes $a+cx^{n},$ et cette combinaison nous donnera immédiatementtoutes les n racines de l’équation proposée.

Pour cela, on mettra l’équation sous cette forme

${\frac {a}{c}}+x^{n}-{\frac {bx}{c}}=0,$

et l’on fera ensuite $x^{n}=t,$ et par conséquent $x=t^{\frac {1}{n}},$ pour avoir celle-ci

${\frac {a}{c}}+t-{\frac {bt^{\frac {1}{n}}}{c}}=0.$

Cette équation pouvant se rapporter à l’équation primitive

$a-bx+cx^{n}=0,$

on pourra déduire aisément la valeur de $t^{m}$ de celle de $x_{1}^{m}$ trouvée ci-dessus, en changeant seulement $x,$ en $t,$ $b$ en $-c,$ $c$ en $-b,$ et $n$ en ${\frac {1}{n}}.$ Ainsi l’on aura sur-le-champ

$t^{m}={\frac {a^{m}}{(-c)^{m}}}\left[1-{\frac {mba^{\frac {1-n}{n}}}{(-c)^{\frac {1}{n}}}}+{\frac {m\left(m+{\cfrac {2-n}{n}}\right)b^{2}a^{\frac {2-2n}{n}}}{2(-c)^{\frac {2}{n}}}}\right.$

$\left.-{\frac {m\left(m+{\cfrac {3-n}{n}}\right)\left(m+{\cfrac {3-2n}{n}}\right)b^{3}a^{\frac {3-3n}{n}}}{2.3.(-c)^{\frac {3}{n}}}}+\ldots \right].$

Or, $t=x^{n}\,;$ donc, si l’on met

\frac{m}{n} à la place de $m,$ et qu’on fasse, pour abréger,

$\left({\frac {a}{-c}}\right)^{\frac {1}{n}}=\rho ,$

on aura

$x^{m}=$

$\rho ^{m}\left[1-{\frac {mb\rho }{na}}+{\frac {m(m+2-n)b^{2}\rho ^{2}}{2n^{2}a^{2}}}-{\frac {m(m+3-n)(m+3-2n)b^{3}\rho ^{3}}{2.3.n^{3}a^{3}}}+\ldots \right].$

Mais on a, en général

$\rho =\left(\cos {\frac {\lambda \times 360^{\circ }}{n}}+\sin {\frac {\lambda \times 360^{\circ }}{n}}{\sqrt {-1}}\right){\sqrt[{n}]{\frac {a}{-c}}}.$

$\lambda$ étant égal à $1$ ou $2,$ ou $3,$ ou …, jusqu’à $n\,;$ donc, suhstituant cette valeur de $\rho$ dans l’expression précédente, on aura $n$ valeurs différentes de $x^{m},$ qui seront celles de $x_{1}^{m},x_{2}^{m},x_{3}^{m},\ldots ,x_{n}^{m}.$

Problème III.

36. On demande toutes les racines de l’éguation

$a-bx+cx^{n}-ex^{s}=0.$

$n$ et $s$ étant des nombres entiers positifs, et $s>n.$

Première Solution. — 1^o Puisque cette équation peut se rapporter à celle de l’Exemple VI du n^o 21, en faisant

$\alpha ={\frac {a}{b}},\quad \beta ={\frac {c}{b}},\quad \gamma =-{\frac {e}{b}},\quad \delta =0,\ldots ,$

$p=n,\quad q=s-n.$

il n’y aura qu’à faire ces substitutions dans les formules de cet Exemple, et l’on aura sur-le-champ l’expression d’une fonction quelconque de ${\frac {x}{\alpha }},$ où $x$ sera nécessairement la première racine de l’équation proposée (34).

2^o Pour trouver maintenant les autres racines, on prendra les deux termes $-bx+cx^{n}$ pour les premiers de la formule générale, en donnant à l’équation cette forme

$b-cx^{n-1}-ax^{-1}+ex^{s-1}=0.$

On fera ensuite $x^{n-1}=t,$ ce qui la ramènera à la même forme que celle de l’Exemple cité ; ou bien, ce qui revient au même, on comparera cette équation à celle de l’Exemple VII, en faisant

$\alpha ={\frac {b}{c}},\quad \beta ={\frac {-a}{c}},\quad \gamma ={\frac {e}{c}},\quad \delta =0,\ldots ,$

$r=n-1,\quad p=-1,\quad q=s\,;$

et l’on aura sur-le-champ la valeur d’une fonction quelconque de ${\frac {x}{\rho }},$

$\rho \mathrm {\ {\acute {e}}tant\ } ={\sqrt[{r}]{\alpha }}=\left({\frac {b}{c}}\right)^{\frac {1}{n-1}}\,;$

ainsi, donnant à $\rho$ les $r$ valeurs que cette quantité peut avoir, et qui s’expriment, en général, de cette manière

$\rho =\left(\cos {\frac {\lambda \times 360^{\circ }}{n}}+\sin {\frac {\lambda \times 360^{\circ }}{n}}{\sqrt {-1}}\right){\sqrt[{r}]{\alpha }},$

$\lambda$ étant égal à $1,$ ou $2,$ ou $3,$ etc., jusqu’à $r,$ on aura $r$ ou $n-1$ formules différentes qui se rapporteront à la seconde, ou à la troisième, etc., jusqu’à la $n$^ième racine inclusivement de l’équation dont il s’agit.

3^o On prendra enfin les deux derniers termes $cx^{n}-ex^{s}$ pour les premiers, en écrivant l’équation ainsi

$c-ex^{s-n}-bx^{1-n}+ax^{-n}=0\,;$

laquelle étant comparée de même à l’équation de l’Exemple VII, on aura

$\alpha ={\frac {c}{e}},\quad \beta =-{\frac {b}{e}},\quad \gamma ={\frac {a}{e}},\quad \delta =0,\ldots ,$

$s-n=r,\quad 1-n=p,\quad q=1\,;$

et l’on trouvera l’expression d’une fonction quelconque de ${\frac {x}{\rho }},$

$\rho \mathrm {\ {\acute {e}}tant\ toujours\ } ={\sqrt[{r}]{\alpha }}=\left({\frac {c}{e}}\right)^{\frac {1}{s-n}},$

dans laquelle mettant successivement les $r$ ou $s-n$ valeurs différentes de $\rho ,$ on aura autant d’expressions différentes qui se rapporteront aux $s-n$ dernières racines de l’équation.

Ainsi l’on aura trois formules dont la première se rapportera à la première racine, la seconde comprendra les $n-1$ racines suivantes, et la troisième renfermera les $s-n$ dernières racines ; de sorte qu’on connaîtra par ce moyen, non-seulement la valeur de chacune des $s$ racines de l’équation proposée, mais aussi une fonction quelconque de chacune de ces racines.

Seconde Solution. — Dans la Solution précédente nous avons considéré deux à deux les termes consécutifs de l’équation proposée ; or, la combinaison des termes qui ne sont pas immédiatement voisins nous donnera encore d’autres Solutions.

Et d’abord il est clair qu’après avoir combiné les deux premiers termes $a-bx,$ comme nous l’avons fait ci-dessus pour avoir la première racine de l’équation, on peut combiner immédiatement le terme $-bx$ avec le dernier $-ex^{s}$ pour avoir les autres racines. Pour cela on regardera donc ces deux termes comme les premiers, en écrivant l’équation ainsi

$b+ex^{s-1}-ax^{-1}-cx^{n-s}=0,$

laquelle, étant comparée à celle de l’Exemple VII, donnera

$\alpha ={\frac {b}{e}},\quad \beta =-{\frac {a}{e}},\quad \gamma =-{\frac {c}{e}},\quad \delta =0,\ldots ,$

$r=s-1,\quad p=-1,\quad q=n-s+1\,;$

de sorte qu’en substituant ces valeurs, on aura l’expression générale d’une fonction quelconque de ${\frac {x}{\rho }},$

$\rho \mathrm {\ {\acute {e}}tant\ } =\alpha ^{\frac {1}{r}}=\left({\frac {b}{e}}\right)^{\frac {1}{s-1}}\,;$

donc, mettant pour $\rho$ chacune de ses valeurs particulières, qui sont au nombre de $s-1,$ on aura autant d’expressions différentes qui se rapporteront aux $s-1$ racines cherchées.

Ainsi, en combinant la formule du 1^o de la Solution précédente avec celle dont nous venons de parler, on trouvera la valeur d’une fonction quelconque de chacune des $s$ racines de l’équation proposée.

Troisième Solution. — Combinons maintenant le premier terme $a$ de l’équation avec le terme $cx^{n},$ c’est-à-dire, prenons ces deux termes pour les deux premiers de notre formule générale, et rapportant l’équation sous ce point de vue à la formule de l’Exemple VII, on aura

$\alpha ={\frac {a}{c}},\quad \beta =-{\frac {b}{c}},\quad \gamma =-{\frac {e}{c}},\quad \delta =0,\ldots ,$

$r=n,\quad p=1,\quad q=s-1,$

ce qui, étant substitué, donnera une formule qui exprimera, en général, une fonction quelconque de ${\frac {x}{\rho }},$

$\rho \mathrm {\ {\acute {e}}tant\ } ={\sqrt[{r}]{\alpha }}=\left({\frac {a}{c}}\right)^{\frac {1}{n}}\,;$

donc, introduisant à la place de $\rho$ chacune des $n$ valeurs différentes que cette quantité peut avoir, on aura autant de formules particulières qui se rapporteront aux $n$ premières racines de l’équation proposée.

Pour trouver les $s-n$ racines restantes, il faudra combiner le terme $cx^{n}$ avec le dernier terme $-ex^{s}\,;$ or, cette combinaison ayant déjà été faite dans le 3^o de la première Solution, il n’y aura qu’à emprunter ici la formule trouvée dans cet endroit.

Donc on n’aura en tout que deux formules générales comme dans la Solution précédente ; et l’on pourra, par le moyen de ces formules, trouver non-seulement chaque racine en particulier, mais aussi une fonction quelconque de chaque racine.

Quatrième Solution. — Il reste encore une combinaison à faire, c’est celle des deux termes extrêmes $a$ et $-ex^{s},$ laquelle donnera immédiatement toutes les $s$ racines de l’équation.

En rapportant donc sous ce point de vue l’équation proposée à celle de l’Exemple VII, on aura

$\alpha ={\frac {a}{e}},\quad \beta =-{\frac {b}{e}},\quad \gamma ={\frac {c}{e}},\quad \delta =0,\ldots ,$

$r=s,\quad p=1,\quad q=n-1,$

et l’on trouvera une formule générale pour l’expression d’une fonction quelconque de ${\frac {x}{\rho }},$ où

$\rho ={\sqrt[{r}]{\alpha }}=\left({\frac {a}{c}}\right)^{\frac {1}{s}}\,;$

de sorte qu’en y substituant successivement les $s$ valeurs de $\rho ,$ on aura autant de formules particulières, dont chacune se rapportera à une des racines de l’équation dont il s’agit. Ainsi une seule formule générale suffira dans ce cas pour trouver la valeur d’une fonction quelconque de chacune de ces racines.

Comme nous avons épuisé toutes les combinaisons possibles des termes de l’équation proposée, pris deux à deux, on ne pourra pas trouver d’autres solutions que celles que nous venons de donner, au moins par nos formules ; ainsi nous ne nous arrêterons pas davantage sur cette matière, les Exemples donnés ci-dessus nous paraissant suffisants pour faire voir clairement l’application de notre méthode.

§ IV. Sur la convergence ou divergence des séries qui représentent
des fonetions quelconques des racines des équations.

37. Il ne suffit pas de pouvoir exprimer les racines des équations, ou leurs fonctions quelconques, par des séries régulières, et dont la loi soit bien développée ; il faut surtout pouvoir reconnaître par la loi même de ces séries si elles sont convergentes à l’infini ou non ; car il est clair que pour qu’une série puisse être regardée comme représentant réellement la valeur d’une quantité cherchée, il faut qu’elle soit convergente à son extrémité, c’est-à-dire que ses derniers termes soient infiniment petits, de sorte que l’erreur puisse devenir moindre qu’aucune quantité donnée. Voyons donc comment on pourra reconnaître si cette condition a lieu ou non dans les séries des paragraphes précédents.

Pour rendre notre recherche aussi générale qu’il est possible, nous considéreronsl’équation générale (H) du n^o 16, savoir

$\alpha -x+\varphi (x)=0,$

laquelle donne en général (n^o 17, formule K)

${\begin{aligned}\psi \left({\frac {x}{\alpha }}\right)=&\psi (y)+{\frac {\varphi (\alpha y)\psi '(y)}{\alpha }}+{\frac {1}{2\alpha ^{2}}}{\frac {d\varphi (\alpha y)^{2}\psi '(y)}{dy}}\\&+{\frac {1}{2.3.\alpha ^{3}}}{\frac {d^{2}\left[\varphi (\alpha y)^{3}\psi '(y)\right]}{dy^{2}}}+\ldots ,\end{aligned}}$

la variable $y$ devant être faite égale à $1$ après les différentiations.

Soit donc

${\frac {1}{1.2.3\ldots i.\alpha ^{i}}}{\frac {d^{i-1}\left[\varphi (\alpha y)^{i}\psi '(y)\right]}{dy^{i-1}}}$

un terme quelconque de cette sériee dont le quantième soit $i+1\,;$ et supposons que la fonction $\varphi (x)$ soit représentée par une suite quelconque de puissances de $x,$ en sorte que l’on ait

$\varphi (x)=\mathrm {A} x^{a}+\mathrm {B} x^{b}+\mathrm {C} x^{c}+\ldots ,$

$\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ étant des coefficients quelconques, et $a,b,c,$ des exposants aussi quelconques ; on aura donc de même

$\varphi (\alpha y)=\mathrm {A} \alpha ^{a}y^{a}+\mathrm {B} \alpha ^{b}y^{b}+\mathrm {C} \alpha ^{c}y^{c}+\ldots ,$

par conséquent un terme quelconque de la puissance $i$^ième de cette quantité, c’est-à-dire de la valeur de $\varphi (\alpha y)^{i}$ sera, comme on sait,

${\frac {1.2.3\ldots i}{1.2.3\ldots m\times 1.2.3\ldots n\times 1.2.3\ldots p\times \ldots }}\mathrm {A} ^{m}\mathrm {B} ^{n}\mathrm {C} ^{p}\ldots (\alpha y)^{am+bn+cp+\ldots },$

$m,n,p,$ étant des nombres entiers positifs, tels que

$m+n+p+\ldots =i.$

Supposons de plus que la fonction $\psi '(y)$ soit aussi représentée par une suite de termes tels que $\mathrm {F} y^{f}\,;$ et multipliant la quantité précédente par $\mathrm {F} y^{f}\,;$ on aura pour un terme quelconque de la valeur de $\varphi (\alpha y)^{i}\psi '(y),$ l’expression

${\frac {1.2.3\ldots i\times \mathrm {F} .\mathrm {A} ^{m}\mathrm {B} ^{n}\mathrm {C} ^{p}\ldots \alpha ^{\mu }}{1.2.3\ldots m\times 1.2.3\ldots n\times 1.2.3\ldots p\times \ldots }}y^{u+f},$

en faisant pour plus de simplicité

$ma+nb+pc+\ldots =u.$

Donc, différentiant cette quantité $i-1$ fois, en faisant $y$ variable et $dy$ constant, et divisant ensuite par $1.2.\ldots i.\alpha ^{i}dy^{i-1},$ on aura pour la valeur d’un terme quelconque de

${\frac {1}{1.2.3\ldots i.\alpha ^{i}}}{\frac {d^{i-1}\left[\varphi (\alpha y)^{i}\psi '(y)\right]}{dy^{i-1}}},$

après y avoir fait $y=1,$ la quantité

${\frac {(u+f)(u+f-1)(u+f-2)\ldots (u+f-i+2)}{1.2.3\ldots m\times 1.2.3\ldots n\times 1.2.3\ldots p\times \ldots }}\mathrm {F} .\mathrm {A} ^{m}\mathrm {B} ^{n}\mathrm {C} ^{p}\ldots \alpha ^{u-i}.$

Ainsi la difficulté se réduit maintenant à voir ce que cette quantité devient lorsqu’on suppose $i$ infiniment grand.

38. Pour cet effet, je remarque que l’on a, en prenant $\varpi$ pour le rapport de la circonférence au rayon,

${\begin{aligned}\log 1&+\log 2+\log 3+\log 4+\ldots \log x\\=&\left(x+{\frac {1}{2}}\right)\log x-x+{\frac {1}{2}}\log \varpi +{\frac {1}{12x}}-{\frac {1}{360x^{3}}}+\ldots ,\end{aligned}}$

comme MM. Stirling, Moivre et d’autres Géomètres l’ont démontré (voyez surtout le Calcul différentiel de M. Euler) ; de sorte que, lorsque $x$ est

infiniment grand, on a, sans erreur sensible,

${\begin{aligned}\log 1+\log 2+\log 3+\ldots \log x=&\left(x+{\frac {1}{2}}\right)\log x-x+{\frac {1}{2}}\log \varpi \\=&\left(x+{\frac {1}{2}}\right)\log x-\log e^{x}+{\frac {1}{2}}\log \varpi ,\end{aligned}}$

d’où, en passant des logarithmes aux nombres, on tire dans la même hypothèse

$1.2.3\ldots x={\frac {{\sqrt {\varpi }}x^{x+{\frac {1}{2}}}}{e^{x}}}.$

On a de plus, en général, quels que soient $x$ et $y,$

${\begin{aligned}\log x&+\log(x-1)+\log(x-2)+\ldots +\log(x-y+1)\\=&\left(x+{\frac {1}{2}}\right)\log x-x+{\frac {1}{12x}}-{\frac {1}{360x^{3}}}+\ldots \\&-\left(x-y+{\frac {1}{2}}\right)\log(x-y)+x-y-{\frac {1}{12(x-y)}}+{\frac {1}{360(x-y)^{3}}}+\ldots ,\end{aligned}}$

de sorte qu’en supposant $x$ et $y$ infiniment grands, on aura

${\begin{aligned}\log x&+\log(x-1)+\log(x-2)+\ldots +\log(x-y+1)\\=&\left(x+{\frac {1}{2}}\right)\log x-\left(x-y+{\frac {1}{2}}\right)\log(x-y)-y,\end{aligned}}$

et par conséquent, en passant des logarithmes aux nombres,

$x(x-1)(x-2)\ldots (x-y+1)={\frac {x^{x+{\frac {1}{2}}}e^{-f}}{(x-y)^{x-y+{\frac {1}{2}}}}}.$

De là il s’ensuit, pour le dire en passant, que le coefficient du $(y+1)$^ième terme du binôme élevé à la puissance $x$ sera, lorsque $x$ et $y$ sont très-grands,

${\frac {x^{x+{\frac {1}{2}}}}{{\sqrt {\varpi }}\times (x-y)^{x-y+{\frac {1}{2}}}\times y^{y+{\frac {1}{2}}}}}\,;$

de sorte qu’en faisant $y=px$ ce coefficient deviendra, en divisant le

haut et le bas par $x^{x+{\frac {1}{2}}},$

${\frac {1}{{\sqrt {\varpi }}(1-p)^{x+{\frac {1}{2}}}\left({\dfrac {p}{1-p}}\right)^{y}{\sqrt {y}}}}.$

39. Cela posé, puisque

$m+n+p+\ldots =i,$

et

$am+bn+cp+\ldots =u,$

il est clair qu’en supposant $i$ infiniment grand, $m,n,p,\ldots ,u$ le seront aussi, de sorte qu’on aura

$1.2.3\ldots m={\frac {{\sqrt {\varpi }}m^{m+{\frac {1}{2}}}}{e^{m}}},$

et ainsi des autres.

De plus en faisant, pour abréger, $g=f+1$ on aura

${\begin{aligned}&(u+f)(u+f-1)(u+f-2)\ldots (u+f-i+2)\\&\quad ={\frac {(u+g)(u+g-1)(u+g-2)\ldots (u+g-i+1)}{u+g}}\\&\quad ={\frac {(u+g)^{u+g-{\frac {1}{2}}}}{(u+g-i)^{u+g-i+{\frac {1}{2}}}e^{i}}}.\end{aligned}}$

De sorte qu’on aura, lorsque $i=\infty ,$

${\begin{aligned}&{\frac {(u+f)(u+f-1)(u+f-2)\ldots (u+f-i+2)}{1.2.3\ldots m\times 1.2.3\ldots n\times 1.2.3\ldots p\times \ldots }}\\&\quad ={\frac {(u+g)^{u+g-{\frac {1}{2}}}}{\varpi ^{\frac {\lambda }{2}}(u+g-i)^{u+g-i+{\frac {1}{2}}}m^{m+{\frac {1}{2}}}n^{n+{\frac {1}{2}}}p^{p+{\frac {1}{2}}}}},\end{aligned}}$

$\lambda$ étant le nombre des quantités $m,n,p,\ldots ,$ c’est-à-dire le nombre des termes de la fonction $\varphi (x).$

Donc, faisant, pour abréger,

$\mathrm {V} ={\frac {(u+g)^{2g-1}}{\varpi ^{\lambda }(u+g-i)^{2g+1}mnp\ldots }},$

la quantité proposée

${\frac {(u+f)(u+f-1)(u+f-2)\ldots (u+f-i+2)}{1.2.3\ldots m\times 1.2.3\ldots n\times 1.2.3\ldots p\times \ldots }}\mathrm {F} .\mathrm {A} ^{m}\mathrm {B} ^{n}\mathrm {C} ^{p}\ldots \alpha ^{u-i}.$

deviendra, lorsque $i=\infty ,$

$\mathrm {F{\sqrt {V}}} \times {\frac {(u+g)^{u}\mathrm {A} ^{m}\mathrm {B} ^{n}\mathrm {C} ^{p}\ldots \alpha ^{u-i}}{(u+g-i)^{u-i}m^{m}n^{n}p^{p}\ldots }}.$

40. Supposons maintenant

${\frac {m}{i}}=\mu ,\quad {\frac {n}{i}}=\nu ,\quad {\frac {p}{i}}=\pi ,\ldots \quad {\frac {u}{i}}=\upsilon ,$

et l’on aura, à cause de $m+n+p+\ldots =i$ et $am+bn+cp+\ldots =u,$

$\mu +\nu +\pi +\ldots =1,$

$\mu a+\nu b+\pi c+\ldots =\upsilon ,$

d’où l’on voit que les nombres $\mu ,\nu ,\pi ,\ldots$ seront des fractions plus petites que l’unité ; donc, faisant ces substitutions dans l’expression

${\frac {(u+g)^{u}\mathrm {A} ^{m}\mathrm {B} ^{n}\mathrm {C} ^{p}\ldots \alpha ^{u-i}}{(u-i+g)^{u-i}m^{m}n^{n}p^{p}\ldots }},$

elle deviendra, en divisant le haut et le bas par $i^{u},$

$\left[{\frac {\left(\upsilon +{\dfrac {g}{i}}\right)^{\upsilon }\mathrm {A} ^{\mu }\mathrm {B} ^{\nu }\mathrm {C} ^{\pi }\ldots \alpha ^{\upsilon -1}}{\left(\upsilon -1+{\dfrac {g}{i}}\right)^{\upsilon -1}\mu ^{\mu }\nu ^{\nu }\pi ^{\pi }\ldots }}\right]^{i},$

ou bien, en négligeant le terme ${\dfrac {g}{i}}$ qui devient nul lorsque $i=\infty ,$

$\left[{\frac {\upsilon ^{\upsilon }\alpha ^{\upsilon -1}\mathrm {A} ^{\mu }\mathrm {B} ^{\nu }\mathrm {C} ^{\pi }\ldots }{(\upsilon -1)^{\upsilon -1}\mu ^{\mu }\nu ^{\nu }\pi ^{\pi }\ldots }}\right]^{i}.$

Par les mêmes substitutions la quantité $\mathrm {V}$ deviendra, en divisant le haut et le bas par $i^{2g-1},$

${\frac {\left(\upsilon +{\dfrac {g}{i}}\right)^{2g-1}}{i^{\lambda +2}\varpi ^{\lambda }\left(\upsilon -1+{\dfrac {g}{i}}\right)^{2g+1}\mu \nu \pi \ldots }},$

ou bien, en négligeant le terme infiniment petit ${\frac {g}{i}},$ et remettant pour $g$ sa valeur $f+1$

${\frac {\upsilon ^{2f+1}}{i^{\lambda +2}\varpi ^{\lambda }(\upsilon -1)^{2f+3}\mu \nu \pi \ldots }}.$

41. Donc, si l’on fait

${\begin{aligned}\mathrm {M} =&{\frac {\upsilon ^{2f+1}}{\varpi ^{\lambda }(\upsilon -1)^{2f+3}\mu \nu \pi \ldots }},\\\mathrm {N} =&\upsilon \left({\frac {\upsilon \alpha }{\upsilon -1}}\right)^{\upsilon -1}\left({\frac {\mathrm {A} }{\mu }}\right)^{\mu }\left({\frac {\mathrm {B} }{\nu }}\right)^{\nu }\left({\frac {\mathrm {C} }{\pi }}\right)^{\pi }\ldots ,\end{aligned}}$

on aura, pour un terme quelconque de la valeur de

${\frac {1}{1.2.3\ldots i.\alpha ^{i}}}{\frac {d^{i-1}\left[\varphi (\alpha y)^{i}\psi '(y)\right]}{dy^{i-1}}}$

lorsque $i$ est infiniment grand, cette expression fort simple

${\frac {\mathrm {F{\sqrt {M}}.N} ^{i}}{i^{\frac {\lambda +2}{2}}}}$

dans laquelle $\lambda$ est le nombre des termes de la fonction $\varphi (x),$ et où $\mu ,\nu ,\pi ,\ldots$ sont des nombres quelconques positifs, tels que

$\mu +\nu +\pi +\ldots =1$

et

$a\mu +b\nu +c\pi +\ldots =\upsilon .$

Ainsi cette quantité sera infinie ou nulle, suivant que $\mathrm {N}$ aura une valeur, soit positive ou négative, plus grande que l’unité, ou non.

D’où il est aisé de conclure que la série qui représentera la valeur de $\psi \left({\frac {x}{\alpha }}\right)$ (37), sera convergente si l’on a, abstraction faite du signe,

$\mathrm {N} =\quad {\text{ou}}\quad <1\,;$

autrement elle sera divergente.

Or, comme la quantité $\mathrm {N}$ dépend seulement des coefficients $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ et des exposants $a,b,c,\ldots$ qui entrent dans l’expression de la fonction $\varphi (x),$ et nullement de ceux qui appartiennent à la fonction $\psi (x),$ et qui sont $\mathrm {F} ,f,\ldots$ il s’ensuit que si la série qui exprime la valeur d’une fonction quelconque de ${\frac {x}{\alpha }}$ est convergente, elle le sera aussi pour toute autre fonction de ${\frac {x}{\alpha }}.$

42. Au reste, il est bon de remarquer que, quoique les coefficient $\mathrm {A} ,$$\mathrm {B,C} ,\ldots$ puissent être positifs ou négatifs, ainsi que la quantité $\alpha \,;$ cependant, comme il ne s’agit ici que de la valeur absolue de la quantité (37)

${\frac {(u+f)\ldots (u+f-i+2)}{1.2.3\ldots m\times 1.2.3\ldots n\times }}\mathrm {F} \mathrm {A} ^{m}\mathrm {B} ^{n}\mathrm {C} ^{p}\ldots \alpha ^{u-i},$

il est indifférent de les prendre positivement ou négativement ; ainsi, pour éviter les imaginaires dans la valeur de $\mathrm {N} ,$ nous supposerons que les coefficients $\mathrm {A,B,C} ,$ soient pris positivement, à cause que $\mu ,\nu ,$ $\pi ,\ldots$ doivent être positifs par leur nature, et à l’égard de nous supposerons qu’il soit pris en sorte que ${\frac {\upsilon \alpha }{\upsilon -1}}$ soit positif ; par ce moyen, quels que soient les nombres $\mu ,\nu ,\pi ,\ldots ,\upsilon ,$ la valeur de $\mathrm {N}$ sera toujours sous une forme réelle.

43. Supposons que la fonction $\varphi (x)$ ne renferme qu’un seul terme $\mathrm {A} x^{a},$ en sorte que l’équation soit

$\alpha -x+\mathrm {A} x^{a}=0,$

dans ce cas on aura

$\mathrm {N} =\upsilon \left({\frac {\upsilon \alpha }{\upsilon -1}}\right)^{\upsilon -1}\left({\frac {\mathrm {A} }{\mu }}\right)^{\mu }$

et

$\mu =1,\quad a\mu =\upsilon \,;$

donc

$\mu =1,\quad \upsilon =a\,;$

donc

$\mathrm {N} =a\left({\frac {\alpha a}{a-1}}\right)^{a-1}\mathrm {A} \,;$

donc la série sera convergente si l’on a

$\mathrm {A} =\ \ {\text{ou}}\ \ <{\frac {1}{a}}\left({\frac {a-1}{\alpha a}}\right)^{a-1}.$

Ce cas est celui du Problème II, § III ; or, dans la première Solution, on a d’abord

$\alpha ={\frac {a}{b}},\quad \mathrm {A} ={\frac {c}{b}},\quad a=n\,;$

donc la première série de cette Solution, c’est-à-dire celle qui se rapporte à la première racine, sera convergente si l’on a

${\frac {c}{b}}=\quad {\text{ou}}\quad <{\frac {1}{n}}\left[{\frac {(n-1)b}{an}}\right]^{n-1},$

c’est-à-dire (abstraction faite des signes)

${\frac {a^{n-1}c}{b^{n}}}=\ \ {\text{ou}}\ \ <{\frac {(n-1)^{n-1}}{n^{n}}},$

en prenant $a,b$ et $c$ positivement.

Soit $n=2,$ on aura cette condition

${\frac {ac}{b^{2}}}=\quad {\text{ou}}\quad <{\frac {1}{2^{2}}},$

c’est-à-dire $b^{2}=$ ou $>4ac\,;$ or, c’est précisément la condition qui rend convergente la série provenant du développement du radical ${\sqrt {b^{2}-4ac}},$ et qui est la même que celle que nous avons trouvée par notre méthode (9).

Dans la seconde série de la même Solution, on a, en comparant l’équation

${\frac {b}{c}}-t-{\frac {a}{c}}t^{\frac {1}{1-n}}=0$

à la formule générale ci-dessus,

$\alpha ={\frac {b}{c}},\quad \mathrm {A} =-{\frac {a}{c}},\quad a={\frac {1}{1-n}}\,;$

donc là condition de la convergence de cette série sera (abstraction faite des signes)

${\frac {a}{c}}=\ \ {\text{ou}}\ \ <(1-n)\left({\frac {nc}{b}}\right)^{\frac {n}{1-n}},$

ou bien

${\frac {ca^{n-1}}{b^{n}}}=\ \ {\text{ou}}\ \ <{\frac {(n-1)^{n-1}}{n^{n}}},$

qui est la même condition que la précédente.

Dans la seconde Solution on aura, en comparant l’équation

${\frac {a}{c}}+t-{\frac {bt^{\frac {1}{n}}}{c}}=0$

à la même formule générale,

$\alpha =-{\frac {a}{c}},\quad \mathrm {A} ={\frac {b}{c}},\quad {\text{et}}\quad a={\frac {1}{n}}\,;$

d’où la condition de la convergence des séries de cette Solution sera, abstraction faite des signes,

${\frac {b}{c}}=\quad {\text{ou}}\quad <n\left[{\frac {(n-1)c}{a}}\right]^{\frac {1-n}{n}},$

laquelle se réduit à celle-ci

${\frac {ca^{n-1}}{b^{n}}}=\ \ {\text{ou}}\ \ >{\frac {(n-1)^{n-1}}{n^{n}}},$

qui est l’opposée de celle que nous avons trouvée pour la première Solution.

Donc :

1^o Si dans l’équation

$a-bx+cx^{n}=0,$

on a (abstraction faite des signes de $a,b,c$)

${\frac {a^{n-1}c}{b^{n}}}=\ \ {\text{ou}}\ \ <{\frac {(n-1)^{n-1}}{n^{n}}},$

il faudra employer la première Solution du Problème II, laquelle donnera toujours des séries convergentes, et par conséquent vraies pour toutes

les racines ; de sorte que ces racines seront réelles ou imaginaires, suivant que les séries qui les représentent le seront.

Donc (33) l’équation proposée aura dans ce cas autant de racines réelles et autant d’imaginaires qu’il y en aura de telles dans les équations qu’on pourra faire en combinant ensemble deux termes consécutifs de cette équation, et les égalant à zéro ; c’est-à-dire dans les équations

$a-bx=0\quad {\text{et}}\quad b-cx^{n-1}=0,$

d’où l’on voit qu’il y en aura toujours au moins une de réelle.

2^o Si l’on a

${\frac {a^{n-1}c}{b^{n}}}=\ \ {\text{ou}}\ \ >{\frac {(n-1)^{n-1}}{n^{n}}},$

alors il faudra employer la seconde Solution dont les séries seront nécessairement convergentes ; de sorte que dans ce cas l’équation aura autant de racines réelles et autant d’imaginaires qu’il y en aura de telles dans l’équation qu’on fera en égalant à zéro le premier elle dernier terme de la proposée, c’est-à-dire dans l’équation

$a+cx^{n}=0.$

44. Si l’on avait l’équation

$a-bx^{m}+cx^{m+n}=0,$

il n’y aurait qu’à faire, comme dans le n^o 22, $x^{m}=t,$ ce qui la changerait en celle-ci

$a-bt+ct^{\frac {m+n}{m}}=0,$

qui est dans le cas de l’équation du numéro précédent. Ainsi, mettant ${\frac {m+n}{m}}$ à la place de $n,$ on trouvera que la première Solution sera bonne lorsqu’on aura

${\frac {a^{\frac {n}{m}}c}{b^{\frac {m+n}{m}}}}=\quad {\text{ou}}\quad <{\frac {\left({\dfrac {n}{m}}\right)^{\frac {n}{m}}}{\left({\dfrac {m+n}{m}}\right)^{\frac {m+n}{m}}}},$

savoir, en élevant les deux membrés à la puissance $m,$

${\frac {a^{n}c^{m}}{b^{m+n}}}=\quad {\text{ou}}\quad <{\frac {m^{m}n^{n}}{(m+n)^{m+n}}},$

et que la seconde sera bonne lorsqu’on aura

${\frac {a^{n}c^{m}}{b^{m+n}}}=\quad {\text{ou}}\quad >{\frac {m^{m}n^{n}}{(m+n)^{m+n}}},$

de sorte que, dans le premier cas, l’équation aura autant de racines réelles et autant d’imaginaires qu’il y en aura de telles dans les deux équations

$a-bx^{m}=0\quad {\text{et}}\quad b-cx^{n}=0,$

et que, dans le second, le nombre des racines réelles et dés imaginaires sera le même (33) que dans l’équation

$a+cx^{m+n}=0.$

45. Si l’on avait

${\frac {a^{n}c^{m}}{b^{m+n}}}={\frac {m^{m}n^{n}}{(m+n)^{m+n}}},$

alors les deux conditions seraient les mêmes ; de sorte qu’il faudrait dire que l’équation aurait dans ce cas autant de racines réelles et autant d’imaginaires qu’il y en aurait de telles dans les équations

$a-bx^{m}=0\quad {\text{et}}\quad b-cx^{n}=0,$

et dans l’équation

$a+cx^{m+n}=0\,;$

donc, s’il arrive que le nombre des racines imaginaires de ces deux équations-là soit difl\delta rent de celui de cette équation-ci, il s’ensuivra qu’il y aura dans la proposée autant de racines égales qu’il y aura plus de racines imaginaires d’un côté que de l’autre ; car les racines égales étant les limites entre les racines réelles et les imaginaires, peuvent être regardées en quelque sorte comme appartenant aux unes ou aux autres.

46. Nous avons vu (41) que, pour que la série soit convergente, il faut que $\mathrm {N}$ ne soit pas $>1\,;$ on cherchera donc dans chaque cas la plus grande valeur de $\mathrm {N} ,$ en regardant les quantités $\mu ,\nu ,\pi ,\ldots$ comme variables, et si elle ne se trouve pas plus grande que l’unité, on en conclura que la série est convergente ; sinon elle sera divergente.

Faisons varier seulement $\mu$ et $\nu ,$ et l’on aura

${\frac {d\mathrm {N} }{\mathrm {N} }}=d\upsilon \log {\frac {\alpha \omega }{\upsilon -1}}+d\mu \left(\log {\frac {\mathrm {A} }{\mu }}-1\right)+d\nu \left(\log {\frac {\mathrm {B} }{\nu }}-1\right)\,;$

mais il faut que

$\mu +\nu +\pi \ldots =1\quad {\text{et}}\quad a\mu +b\nu +c\pi \ldots =\upsilon \,;$

donc

$d\mu +d\nu =0\quad ad\mu +bd\nu =d\upsilon \,;$

d’où

$d\mu ={\frac {d\upsilon }{a-b}},\quad d\nu ={\frac {d\upsilon }{b-a}}\,;$

donc, substituant ces valeurs, et égalant la différentielle $d\mathrm {N}$ à zéro, on aura

$\log {\frac {\alpha \upsilon }{\upsilon -1}}+{\frac {\log {\dfrac {\mathrm {A} }{\mu }}-\log {\dfrac {\mathrm {B} }{\nu }}}{a-b}}=0,$

d’où l’on tire

$\left({\frac {\alpha \upsilon }{\upsilon -1}}\right)^{a}{\frac {\mathrm {A} }{\mu }}=\left({\frac {\alpha \upsilon }{\upsilon -1}}\right)^{b}{\frac {\mathrm {B} }{\nu }}.$

On trouverait de même, en faisant varier $\mu$ et $\pi ,$

$\left({\frac {\alpha \upsilon }{\upsilon -1}}\right)^{a}{\frac {\mathrm {A} }{\mu }}=\left({\frac {\alpha \upsilon }{\upsilon -1}}\right)^{c}{\frac {\mathrm {C} }{\pi }},$

et ainsi de suite ; de sorte que les conditions du maximum ou minimum seront renfermées dans ces équations

$\left({\frac {\alpha \upsilon }{\upsilon -1}}\right)^{a}{\frac {\mathrm {A} }{\mu }}=\left({\frac {\alpha \upsilon }{\upsilon -1}}\right)^{b}{\frac {\mathrm {B} }{\nu }}=\left({\frac {\alpha \upsilon }{\upsilon -1}}\right)^{c}{\frac {\mathrm {C} }{\pi }}=\ldots .$

On aura donc, en prenant un coefficient quelconque, $\lambda ,$

${\begin{aligned}\mu =&\lambda \mathrm {A} \left({\frac {\alpha \upsilon }{\upsilon -1}}\right)^{a},\\\nu =&\lambda \mathrm {B} \left({\frac {\alpha \upsilon }{\upsilon -1}}\right)^{b},\\\pi =&\lambda \mathrm {C} \left({\frac {\alpha \upsilon }{\upsilon -1}}\right)^{c},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

donc, substituant ces valeurs dans les équations

$\mu +\nu +\pi +\ldots =1,\quad \mu a+\nu b+\pi c+\ldots =\upsilon ,$

on aura

${\begin{aligned}&\lambda \left[\ \mathrm {A} \ \left({\frac {\alpha \upsilon }{\upsilon -1}}\right)^{a}+\ \mathrm {B} \ \left({\frac {\alpha \upsilon }{\upsilon -1}}\right)^{b}+\,\mathrm {C} \ \left({\frac {\alpha \upsilon }{\upsilon -1}}\right)^{c}+\ldots \right]=1,\\&\lambda \left[\mathrm {A} a\left({\frac {\alpha \upsilon }{\upsilon -1}}\right)^{a}+\mathrm {B} b\left({\frac {\alpha \upsilon }{\upsilon -1}}\right)^{b}+\mathrm {C} c\left({\frac {\alpha \upsilon }{\upsilon -1}}\right)^{c}+\ldots \right]=\upsilon ,\end{aligned}}$

d’où l’on tire, en chassant $\lambda ,$

$\mathrm {A} (a-\upsilon )\left({\frac {\alpha \upsilon }{\upsilon -1}}\right)^{a}+\mathrm {B} (b-\upsilon )\left({\frac {\alpha \upsilon }{\upsilon -1}}\right)^{b}+\mathrm {C} (c-\upsilon )\left({\frac {\alpha \upsilon }{\upsilon -1}}\right)^{c}+\ldots =0,$

équation par laquelle on déterminera $\upsilon ,$ après quoi on aura

$\lambda ={\frac {1}{\mathrm {A} \left({\dfrac {\alpha \upsilon }{\upsilon -1}}\right)^{a}+\mathrm {B} \left({\dfrac {\alpha \upsilon }{\upsilon -1}}\right)^{b}+\mathrm {C} \left({\dfrac {\alpha \upsilon }{\upsilon -1}}\right)^{c}+\ldots }},$

et ensuite $\mu ,\nu ,\pi ,\ldots$ par les formules précédentes.

Ainsi l’on pourra toujours, par ce moyen, juger de la convergence ou de la divergence de chaque série.

1. Lu à l’Académie le 18 janvier et le 5 avril 1770.