Mémoires extraits des recueils de l’Académie royale de Berlin/Nouvelle méthode pour résoudre les équations littérales par le moyen des séries

Joseph-Louis Lagrange

Nouvelle méthode pour résoudre les équations littérales par le moyen des séries

Mémoires extraits des recueils de l’Académie royale de Berlin, Gauthier-Villars, 1868, Œuvres de Lagrange. Tome III (p. 5-73).

NOUVELLE MÉTHODE
POUR
RÉSOUDRE LES ÉQUATIONS LITTÉRALES
PAR LE MOYEN DES SÉRIES^[1].

---

(Mémoires de l’Académie royale des Sciences et Belles-Lettres
de Berlin, t. XXIV, 1770.)

Je vais donner dans ce Mémoire une méthode très-simple et très-générale pour réduire les racines des équations littérales en suites infinies, matière sur laquelle plusieurs Géomètres se sont déjà exercés.

Ma méthode a, si je ne me trompe, de grands avantages sur toutes les méthodes connues pour le même objet :

1^o Elle donne l’expression de chaque racine de l’équation proposée, au lieu que les autres méthodes ne donnent ordinairement que l’expression d’une seule racine ;

2^o Elle donne les racines cherchées par des séries régulières, c’est-à-dire telles, que leurs termes suivent une loi générale et connue, de sorte qu’il est très-facile de les continuer autant que l’on veut ;

3^o Ces séries sont de plus telles, qu’on peut aisément trouver la forme de leurs derniers termes, et en déduire les conditions qui les rendent convergentes ou divergentes ;

4^o On peut aussi par la même méthode avoir l’expression d’une puissance quelconque de la racine cherchée, et même d’une fonction quelconque de cette racine ;

5^o Enfin cette méthode s’applique également aux équations transcendantes qui renferment des logarithmes et des arcs de cercle, et peut servir à résoudre différents Problèmes importants de cette espèce d’une manière plus simple et plus exacte qu’on ne pouvait le faire jusqu’à présent.

§ I. — De la manière d’avoir La somme des puissances d’un degré
quelconque de toutes les racines d’une équations donnée.

Quoique la solution de ce Problème soit assez connue, je crois pouvoir la donner ici, tant à cause du rapport qu’elle a avec le sujet de ce Mémoire, que parce que la méthode dont je me sers est en quelque façon plus simple et plus générale que celles qu’on emploie ordinairement.

1. Soit une équation d’un degré quelconque

(A)

$0=a-bx+cx^{2}-dx^{3}+\ldots$

dont les racines soient $p,q,r,\ldots \,;$ on aura, par la théorie connue des équations,

(B)

$a-bx+cx^{2}-dx^{3}+\ldots =a\left(1-{\frac {x}{p}}\right)\left(1-{\frac {x}{q}}\right)\left(1-{\frac {x}{r}}\right)\ldots$

Donc, en divisant par $a,$ on aura

$1-{\frac {bx-cx^{2}+dx^{3}-\ldots }{a}}=\left(1-{\frac {x}{p}}\right)\left(1-{\frac {x}{q}}\right)\left(1-{\frac {x}{r}}\right)\ldots ,$

et, prenant les logarithmes de part et d’autre,

$\log \left(1-{\frac {bx-cx^{2}+dx^{3}-\ldots }{a}}\right)$

$=\log \left(1-{\frac {x}{p}}\right)+\log \left(1-{\frac {x}{q}}\right)+\log \left(1-{\frac {x}{r}}\right)\ldots .$

Or, on a, en général,

$\log(1-u)=-u-{\frac {u^{2}}{2}}-{\frac {u^{3}}{3}}-\ldots \,;$

donc

${\begin{aligned}\log &\left(1-{\frac {x}{p}}\right)+\log \left(1-{\frac {x}{q}}\right)+\log \left(1-{\frac {x}{r}}\right)\ldots \\=&-\ x\ \ \left({\frac {1}{p}}\ \,+{\frac {1}{q}}\ \,+{\frac {1}{r}}\ \,+\ldots \right)\\&-{\frac {x^{2}}{2}}\left({\frac {1}{p^{2}}}+{\frac {1}{q^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}}}+\ldots \right)\\&-{\frac {x^{3}}{3}}\left({\frac {1}{p^{3}}}+{\frac {1}{q^{3}}}+{\frac {1}{r^{3}}}+\ldots \right)\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Donc, si l’on développe la quantité

$-\log \left(1-{\frac {bx-cx^{2}+dx^{3}-\ldots }{a}}\right)$

en une série de cette forme

$\mathrm {A} x+\mathrm {B} x^{2}+\mathrm {C} x^{3}+\ldots ,$

on aura

${\begin{aligned}\mathrm {A} &={\frac {1}{p}}\,\ +{\frac {1}{q}}\,\ +{\frac {1}{r}}\,\ +\ldots ,\\2\mathrm {B} &={\frac {1}{p^{2}}}+{\frac {1}{q^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}}}+\ldots ,\\3\mathrm {C} &={\frac {1}{p^{3}}}+{\frac {1}{q^{3}}}+{\frac {1}{r^{3}}}+\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

2. Puisqu’on suppose

$-\log \left(1-{\frac {bx-cx^{2}+dx^{3}-\ldots }{a}}\right)=\mathrm {A} x+\mathrm {B} x^{2}+\mathrm {C} x^{3}+\ldots ,$

on aura, en prenant les différentielles de part et d’autre et divisant par $dx,$

${\frac {b-2cx+3dx^{2}-\ldots }{a-bx+cx^{2}-dx^{3}+\ldots }}=\mathrm {A} +2\mathrm {B} x+3\mathrm {C} x^{2}+\ldots ,$

d’où, en multipliant en croix et comparant les termes, on tire

${\begin{aligned}\mathrm {A} &={\frac {b}{a}},\\2\mathrm {B} &={\frac {\mathrm {A} b-2c}{a}},\\3\mathrm {C} &={\frac {2\mathrm {B} b-\mathrm {A} c+3d}{a}},\end{aligned}}$

et ainsi de suite ; ce qui donne les formules connues de Newton.

De cette manière on ne peut déterminer chaque coefficient qu’à l’aide de tous les coefficients précédents ; mais si l’on voulait avoir tout de suite l’expression du coefficient d’une puissance quelconque $x^{m},$ coefficient que nous appellerons $\mathrm {M} ,$ et qui sera par conséquent égal à

${\frac {{\cfrac {1}{p^{m}}}+{\cfrac {1}{q^{m}}}+{\cfrac {1}{r^{m}}}+\ldots }{m}},$

on pourra s’y prendre de la manière suivante.

3. On considérera que

$\log \left(1-{\frac {bx-cx^{2}+dx^{3}-\ldots }{a}}\right)=\log \left(1-{\frac {bx}{a}}\right)+\log \left[1-{\frac {-cx^{2}+dx^{3}-\ldots }{a\left(1-{\cfrac {bx}{a}}\right)}}\right].$

Soit, pour abréger,

${\frac {-cx^{2}+dx^{3}-\ldots }{a}}=\mathrm {X} ,$

en sorte que l’on ait

$\log \left(1-{\frac {bx-cx^{2}+dx^{3}-\ldots }{a}}\right)=\log \left(1-{\frac {bx}{a}}\right)+\log \left(1-{\frac {\mathrm {X} }{1-{\cfrac {bx}{a}}}}\right).$

Donc, réduisant ces deux derniers logarithmes en série, on aura

${\begin{aligned}-&\log \left(1-{\frac {bx-cx^{2}+dx^{3}-\ldots }{a}}\right)\\&={\frac {bx}{a}}+{\frac {b^{2}x^{2}}{2a^{2}}}+{\frac {b^{3}x^{3}}{3a^{3}}}+\ldots +{\frac {\mathrm {X} }{1-{\cfrac {bx}{a}}}}+{\frac {\mathrm {X} ^{2}}{2\left(1-{\cfrac {bx}{a}}\right)^{2}}}+{\frac {\mathrm {X} ^{3}}{3\left(1-{\cfrac {bx}{a}}\right)^{3}}}+\ldots \\&=\mathrm {A} +\mathrm {B} x+\mathrm {C} x^{2}+\ldots +\mathrm {M} x^{m}+\ldots .\end{aligned}}$

Or, on sait que

${\begin{aligned}{\frac {1}{1-{\cfrac {bx}{a}}}}\qquad &=1+{\frac {bx}{a}}+{\frac {b^{2}x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {b^{3}x^{3}}{a^{3}}}+\ldots ,\\{\frac {1}{\left(1-{\cfrac {bx}{a}}\right)^{2}}}&=1+{\frac {2.bx}{a}}+{\frac {3.b^{2}x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {4.b^{3}x^{3}}{a^{3}}}+\ldots ,\\{\frac {1}{\left(1-{\cfrac {bx}{a}}\right)^{3}}}&={\frac {1}{2}}\left(1.2+{\frac {2.3.bx}{a}}+{\frac {3.4.b^{2}x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {4.5.b^{3}x^{3}}{a^{3}}}+\ldots \right),\\{\frac {1}{\left(1-{\cfrac {bx}{a}}\right)^{4}}}&={\frac {1}{2.3}}\left(1.2.3+{\frac {2.3.4.bx}{a}}+{\frac {3.4.5.b^{2}x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {4.5.6.b^{3}x^{3}}{a^{3}}}+\ldots \right),\end{aligned}}$

et ainsi de suite.

Donc, si l’on suppose, pour plus de simplicité,

${\begin{aligned}\mathrm {X} \ \ &=\alpha x^{2}+\alpha _{1}x^{3}+\alpha _{2}x^{4}+\ldots ,\\\mathrm {X} ^{2}&=\beta \,x^{4}+\beta _{1}x^{5}+\beta _{2}x^{6}+\ldots ,\\\mathrm {X} ^{3}&=\gamma \,x^{6}+\gamma _{1}\,x^{7}+\gamma _{2}x^{8}+\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

il est facile de voir que le coefficient de la puissance $x^{m}$ dans la quantité ${\frac {\mathrm {X} }{1-{\cfrac {bx}{a}}}},$ développée suivant les puissances de $x,$ sera représenté par

$\alpha \left({\frac {b}{a}}\right)^{m-2}+\alpha _{1}\left({\frac {b}{a}}\right)^{m-3}+\ldots +\alpha _{m-2}\,;$

que celui de la même puissance $x^{m}$ dans la quantité ${\frac {\mathrm {X} ^{2}}{2\left(1-{\cfrac {bx}{a}}\right)^{2}}}$ sera

${\frac {1}{2}}\left[(m-3)\beta \left({\frac {b}{a}}\right)^{m-4}+(m-4)\beta _{1}\left({\frac {b}{a}}\right)^{m-5}+\ldots +\beta _{m-4}\right],$

et que, dans la quantité ${\frac {\mathrm {X} ^{3}}{3\left(1-{\cfrac {bx}{a}}\right)^{3}}},$ il sera

${\frac {1}{2.3}}\left[(m-4)(m-5)\gamma \left({\frac {b}{a}}\right)^{m-6}+(m-5)(m-6)\gamma _{1}\left({\frac {b}{a}}\right)^{m-7}+\ldots +1.2.\gamma _{m-6}\right],$

et ainsi des autres.

De là il s’ensuit qu’on aura

${\begin{aligned}\mathrm {M} =&{\frac {1}{m}}\left({\frac {b}{a}}\right)^{m}\\&+\alpha \left({\frac {b}{a}}\right)^{m-2}+\alpha _{1}\left({\frac {b}{a}}\right)^{m-3}+\ldots +\alpha _{m-2}\\&+{\frac {1}{2}}\left[(m-3)\beta \left({\frac {b}{a}}\right)^{m-4}+(m-4)\beta _{1}\left({\frac {b}{a}}\right)^{m-5}+\ldots +\beta _{m-4}\right]\\&+{\frac {1}{2.3}}{\Biggl [}(m-4)(m-5)\gamma \left({\frac {b}{a}}\right)^{m-6}+(m-5)(m-6)\gamma _{1}\left({\frac {b}{a}}\right)^{m-7}{\Biggr .}\\&\qquad \quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\Biggl .}+\ldots +1.2.\gamma _{m-6}{\Biggr ]}\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Donc, puisque

$\mathrm {M} m={\frac {1}{p^{m}}}+{\frac {1}{q^{m}}}+{\frac {1}{r^{m}}}+\ldots ,$

on aura, en général,

${\frac {1}{p^{m}}}+{\frac {1}{q^{m}}}+{\frac {1}{r^{m}}}+\ldots$

${\begin{aligned}=&\left({\frac {b}{a}}\right)^{m}+m\alpha \left({\frac {b}{a}}\right)^{m-2}+m\alpha _{1}\left({\frac {b}{a}}\right)^{m-3}+\ldots +m\alpha _{m-2}\\&+{\frac {m(m-3)}{2}}\beta \left({\frac {b}{a}}\right)^{m-4}+{\frac {m(m-4)}{2}}\beta _{1}\left({\frac {b}{a}}\right)^{m-5}+\ldots +{\frac {m}{2}}\beta _{m-4}\\&+{\frac {m(m-4)(m-5)}{2.3}}\gamma \left({\frac {b}{a}}\right)^{m-6}+{\frac {m(m-5)(m-6)}{2.3}}\gamma _{1}\left({\frac {b}{a}}\right)^{m-7}\\&\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +\ldots +{\frac {m}{3}}\gamma _{m-6}\\&+{\frac {m(m-5)(m-6)(m-7)}{2.3.4}}\delta \left({\frac {b}{a}}\right)^{m-8}\\&\quad \qquad \qquad +{\frac {m(m-6)(m-7)(m-8)}{2.3.4}}\delta _{1}\left({\frac {b}{a}}\right)^{m-9}+\ldots +{\frac {m}{4}}\gamma _{m-8}\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

4. Exemple I. — Soit l’équation du second degré

$a-bx+cx^{2}=0\,;$

on aura, dans ce cas,

$\mathrm {X} =-{\frac {cx^{2}}{a}}\,;$

donc

$\mathrm {X} ^{2}={\frac {c^{2}x^{4}}{a^{2}}},\quad \mathrm {X} ^{3}=-{\frac {c^{3}x^{6}}{a^{3}}},\ldots ,$

donc

$\alpha =-{\frac {c}{a}},\quad \beta ={\frac {c^{2}}{a^{2}}},\quad \gamma =-{\frac {c^{3}}{a^{3}}},\ldots ,$

et toutes les autres quantités $\alpha _{1},\beta _{1},\ldots$ nulles ; donc, si $p$ et $q$ sont les racines de cette équation, on aura, en général,

${\begin{aligned}{\frac {1}{p^{m}}}+{\frac {1}{q^{m}}}=&\left({\frac {b}{a}}\right)^{m}-{\frac {mc}{a}}\left({\frac {b}{a}}\right)^{m-2}+{\frac {m(m-3)c^{2}}{2a^{2}}}\left({\frac {b}{a}}\right)^{m-4}\\&-{\frac {m(m-4)(m-5)c^{3}}{2.3a^{3}}}\left({\frac {b}{a}}\right)^{m-6}+\ldots ,\end{aligned}}$

en continuant cette série jusqu’à ce qu’on arrive à des puissances négatives de ${\frac {b}{a}}.$

5. Exemple II. — Soit encore l’équation générale du troisième degré

$a-bx+cx^{2}-dx^{3}=0\,;$

on aura, dans ce cas,

$\mathrm {X} =-{\frac {-cx^{2}+dx^{3}}{a}}=-{\frac {x^{2}}{a}}(c-dx),$

et, par conséquent,

${\begin{aligned}\mathrm {X} ^{2}&={\frac {x^{4}}{a^{2}}}\left(c^{2}-2cdx+d^{2}x^{2}\right),\\\quad \mathrm {X} ^{3}&={\frac {x^{6}}{a^{3}}}\left(c^{3}-3c^{2}dx+3cd^{2}x^{2}-d^{3}x^{3}\right),\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Donc

$\alpha =-{\frac {c}{a}},\quad \alpha _{1}={\frac {d}{a}},\quad \beta =-{\frac {c^{2}}{a^{2}}},\quad \beta _{1}=-{\frac {2cd}{a^{2}}},\quad \beta _{2}={\frac {d^{2}}{a^{2}}},$

$\gamma =-{\frac {c^{3}}{a^{3}}},\quad \gamma _{1}={\frac {3c^{2}d}{a^{3}}},\ldots .$

Donc, nommant $p,q,r$ les trois racines de l’équation proposée, on aura,

en général,

${\frac {1}{p^{m}}}+{\frac {1}{q^{m}}}+{\frac {1}{r^{m}}}$

${\begin{aligned}=&\left({\frac {b}{a}}\right)^{m}-{\frac {mc}{a}}\left({\frac {b}{a}}\right)^{m-2}+{\frac {md}{a}}\left({\frac {b}{a}}\right)^{m-3}\\&+{\frac {m(m-3)}{2a^{2}}}c^{2}\left({\frac {b}{a}}\right)^{m-4}+{\frac {m(m-4)}{2a^{2}}}2cd\left({\frac {b}{a}}\right)^{m-5}+{\frac {m(m-5)}{2a^{2}}}d^{2}\left({\frac {b}{a}}\right)^{m-6}\\&-{\frac {m(m-4)(m-5)}{2.3.a^{3}}}c^{3}\left({\frac {b}{a}}\right)^{m-6}+{\frac {m(m-5)(m-6)}{2.3.a^{3}}}3c^{2}d\left({\frac {b}{a}}\right)^{m-7}\\&-{\frac {m(m-6)(m-7)}{2.3.a^{3}}}3cd^{2}\left({\frac {b}{a}}\right)^{m-8}+{\frac {m(m-7)(m-8)}{2.3.a^{3}}}d^{3}\left({\frac {b}{a}}\right)^{m-9}-\ldots \end{aligned}}$

cette série étant continuée jusqu’à ce qu’on parvienne à des puissances négatives de\frac{b}{a}.

6. Exemple III. — Soit l’équation

$a-bx-x^{n}=0\,;$

on aura

$\mathrm {X} ={\frac {x^{n}}{a}},$

donc

$\mathrm {X} ^{2}={\frac {x^{2n}}{a^{2}}},\quad \mathrm {X} ^{3}={\frac {x^{3n}}{a^{3}}},\ldots .$

donc

$\alpha _{n-1}={\frac {1}{a}},\quad \beta _{2n-1}={\frac {1}{a^{2}}},\ldots ,$

et toutes les autres quantités nulles ; donc

${\begin{aligned}{\frac {1}{p^{m}}}+{\frac {1}{q^{m}}}+{\frac {1}{r^{m}}}=&\left({\frac {b}{a}}\right)^{m}\\&+{\frac {m}{a}}\left({\frac {b}{a}}\right)^{m-n}+{\frac {m(m-2n+1)}{2a^{2}}}\left({\frac {b}{a}}\right)^{m-2n}\\&+{\frac {m(m-3n+2)(m-3n+1)}{2.3.a^{3}}}c^{2}\left({\frac {b}{a}}\right)^{m-3n}\\&+{\frac {m(m-4n+3)(m-4n+2)(m-4n+1)}{2.3.4.a^{4}}}2cd\left({\frac {b}{a}}\right)^{m-4n}+\ldots \end{aligned}}$

jusqu’à ce qu’on arrive à des puissances négatives de ${\frac {b}{a}}.$

7. Au reste, quoique nous n’ayons donné que la formule qui exprime la somme des puissances $n$^ièmes des quantités ${\frac {1}{p}},{\frac {1}{q}},{\frac {1}{r}},\ldots$ ($p,q,r,$ étant les racines d’une équation quelconque donnée), il est facile d’avoir aussi l’expression de la somme des puissances n^ième des racines mêmes $p,q,r,\ldots \,:$ pour cela il n’y aura qu’à changer les racines de l’équation proposée en leurs réciproques, en écrivant ${\frac {1}{x}}$ à la place de $x$ ; car, nommant $p',q',r',\ldots$ les racines de l’équation transformée, on aura

${\frac {1}{p'^{m}}}+{\frac {1}{q'^{m}}}+{\frac {1}{r'^{m}}}+\ldots =p^{m}+q^{m}+r^{m}+\ldots$

Puisque (3)

${\begin{aligned}\mathrm {X} \ \ &=\alpha x^{2}+\alpha _{1}x^{3}+\ldots ,\\\mathrm {X} ^{2}&=\beta \,x^{4}+\beta _{1}x^{5}+\ldots ,\\\mathrm {X} ^{3}&=\gamma \,x^{6}+\gamma _{1}\,x^{7}+\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

il est clair que si l’on fait $x={\frac {1}{y}},$ et qu’on nomme $\mathrm {Y}$ la fonction de $y$ dans laquelle $\mathrm {X}$ se changera, on aura

${\begin{aligned}&\mathrm {Y} y^{m}=\alpha y^{m-2}+\alpha _{1}y^{m-3}+\ldots ,\\&{\frac {d(\mathrm {Y} ^{2}y^{m+1})}{dy}}=(m-3)\beta y^{m-4}+(m-4)\beta _{1}y^{m-5}+\ldots ,\\&{\frac {d^{2}(\mathrm {Y} ^{3}y^{m+2})}{dy^{2}}}=(m-4)(m-5)\gamma y^{m-6}+(m-5)(m-6)\gamma _{1}y^{m-7}+\ldots \\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

D’où il s’ensuit qu’on peut mettre la formule du numéro cité sous cette forme

${\frac {1}{m}}\left({\frac {1}{p^{m}}}+{\frac {1}{q^{m}}}+{\frac {1}{r^{m}}}+\ldots \right)$

$={\frac {y^{m}}{m}}+\mathrm {Y} y^{m}+{\frac {1}{2}}{\frac {d(\mathrm {Y} ^{2}y^{m+1})}{dy}}+{\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{2}(\mathrm {Y} ^{3}y^{m+2})}{dy^{2}}}+\ldots ,$

pourvu qu’on y substitue, après les différentiations, ${\frac {b}{a}}$ à la place de $y,$ et qu’on ait soin de rejeter tous les termes qui contiendraient des puissances négatives de $y$ ou de ${\frac {b}{a}},$ comme nous l’avons pratiqué dans les

Exemples précédents. De cette manière on pourra très-facilement trouver la somme des racines d’une équation quelconque élevées à telle puissance qu’on voudra.

§ II.— De la manière de trouver par les séries la racine
d’une équation quelconque.

8. Reprenons l’équation générale

(A)

$0=a-bx+cx^{2}-dx^{3}+\ldots ,$

dont on suppose que les racines soient $p,q,r,\ldots ,$ et voyons comment on pourra trouver la valeur d’une de ces racines en particulier.

On aura d’abord, comme nous l’avons vu dans le § I.

(B)

$\ \ a-bx+cx^{2}-dx^{3}+ex^{4}-\ldots =a\left(1-{\frac {x}{p}}\right)\left(1-{\frac {x}{q}}\right)\left(1-{\frac {x}{r}}\right).$

Qu’on divise cette équation par $bx,$ et, en y changeant les signes, on aura

${\begin{aligned}1-{\frac {a}{bx}}-{\frac {cx-dx^{2}+\ldots }{b}}&=-{\frac {a}{bx}}\left(1-{\frac {x}{p}}\right)\left(1-{\frac {x}{q}}\right)\left(1-{\frac {x}{r}}\right)\ldots \\&={\frac {a}{bp}}\left(1-{\frac {p}{x}}\right)\left(1-{\frac {x}{q}}\right)\left(1-{\frac {x}{r}}\right)\ldots .\end{aligned}}$

Donc, prenant les logarithmes de part et d’autre,

(C)

$\left\{{\begin{aligned}\log &\left(1-{\frac {a}{bx}}-{\frac {cx-dx^{2}+\ldots }{b}}\right)\\&=\log {\frac {a}{bp}}+\log \left(1-{\frac {p}{x}}\right)+\log \left(1-{\frac {x}{q}}\right)+\log \left(1-{\frac {x}{r}}\right)+\ldots .\end{aligned}}\right.$

Donc faisant, pour abréger,

$\mathrm {X} ={\frac {a}{x}}+cx-dx^{2}+ex^{3}-\ldots ,$

et réduisant en série les logarithmes de $1-{\frac {\mathrm {X} }{b}},\ 1-{\frac {p}{x}},\ 1-{\frac {x}{q}},\ldots ,$ on

aura, après avoir changé les signes,

(D)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {\mathrm {X} }{b}}+{\frac {\mathrm {X} ^{2}}{2b^{2}}}+{\frac {\mathrm {X} ^{3}}{3b^{3}}}+\ldots =&\log {\frac {bp}{a}}+{\frac {p}{x}}++{\frac {p^{2}}{2x^{2}}}+{\frac {p^{3}}{3x^{3}}}+\ldots \\&+\ x\,\ \left({\frac {1}{q}}\ \,+{\frac {1}{r}}\ \,+\ldots \right)\\&+{\frac {x^{2}}{2}}\left({\frac {1}{q^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}}}+\ldots \right)\\&+{\frac {x^{3}}{3}}\left({\frac {1}{q^{3}}}+{\frac {1}{r^{3}}}+\ldots \right)+\ldots \end{aligned}}\right.$

Or cette équation doit être identique, puisqu’elle vient de l’équation identique (B) ; donc, si l’on remet à la place de $\mathrm {X}$ sa valeur

${\frac {a}{x}}+cx-dx^{2}+ex^{3}-\ldots ,$

et qu’on suppose

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {X} }{b}}&+{\frac {\mathrm {X} ^{2}}{2b^{2}}}+{\frac {\mathrm {X} ^{3}}{3b^{3}}}+\ldots \\&=\left(\alpha +{\frac {\beta }{x}}+{\frac {\gamma }{x^{2}}}+{\frac {\delta }{x^{3}}}+\ldots \right)+\left(\mathrm {A} x+\mathrm {B} x^{2}+\mathrm {C} x^{3}+\ldots \right),\end{aligned}}$

on aura, par la comparaison des termes,

$\alpha =\log {\frac {bp}{a}},\quad \beta =p,\quad \gamma ={\frac {p^{2}}{2}},\quad \delta ={\frac {p^{3}}{3}},\ldots$

Ainsi l’on connaîtra non-seulement la valeur de la racine $p,$ mais aussi celle de son carré, de son cube, etc., comme aussi celle de son logarithme, qui sera

$\log p=\alpha -\log {\frac {b}{a}}=\alpha +\log {\frac {a}{b}}.$

9. Exemple I. — Soit l’équation du second degré

$a-bx+cx^{2}=0\,;$

on aura donc

$\mathrm {X} ={\frac {a}{x}}+cx\,;$

donc

${\begin{aligned}\mathrm {X} ^{2}&={\frac {a^{2}}{x^{2}}}+2ac+c^{2}x^{2},\\\mathrm {X} ^{3}&={\frac {a^{3}}{x^{3}}}+{\frac {3a^{2}c}{x}}+3ac^{2}x+c^{3}x^{3},\\\mathrm {X} ^{4}&={\frac {a^{4}}{x^{4}}}+{\frac {4a^{3}c}{x^{2}}}+6a^{2}c^{2}+4ac^{3}x^{2}+c^{4}x^{4},\end{aligned}}$

et ainsi de suite : donc

${\begin{aligned}\alpha =&{\frac {2ac}{2b^{2}}}+{\frac {4.3a^{2}c^{2}}{2.4.b^{4}}}+{\frac {6.5.4.a^{3}c^{3}}{2.3.6.b^{6}}}+\ldots ,\\\beta =&{\frac {a}{b}}+{\frac {3a^{2}c}{3b^{3}}}+{\frac {5.4.a^{3}c^{2}}{2.5.b^{5}}}+{\frac {7.6.5.a^{4}c^{3}}{2.3.7.b^{7}}}+\ldots ,\\\gamma =&{\frac {a^{2}}{2b^{2}}}+{\frac {4a^{3}c}{4b^{4}}}+{\frac {6.5.a^{4}c^{2}}{2.6.b^{6}}}+{\frac {8.7.6.a^{6}c^{3}}{2.3.8.b^{8}}}+\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et par conséquent, en mettant $x$ à la place de $p,$

${\begin{aligned}\log x&=\log {\frac {a}{b}}+{\frac {ac}{b^{2}}}+{\frac {3a^{2}c^{2}}{2.b^{4}}}+{\frac {5.4.a^{3}c^{3}}{2.3.b^{6}}}+\ldots ,\\x\ \ &={\frac {a}{b}}+{\frac {a^{2}c}{b^{3}}}+{\frac {4a^{3}c^{2}}{2b^{5}}}+{\frac {6.5.a^{4}c^{3}}{2.3.b^{7}}}+\ldots ,\\{\frac {x^{2}}{2}}&={\frac {a^{2}}{2b^{2}}}+{\frac {a^{3}c}{b^{4}}}+{\frac {5a^{4}c^{2}}{2b^{6}}}+{\frac {7.6.a^{6}c^{3}}{2.3.b^{8}}}+\ldots ,\\{\frac {x^{3}}{3}}&={\frac {a^{3}}{3b^{3}}}+{\frac {a^{4}c}{b^{5}}}+{\frac {6a^{5}c^{2}}{2b^{7}}}+{\frac {8.7.a^{6}c^{3}}{2.3.b^{9}}}+\ldots ,\end{aligned}}$

et ainsi de suite ; de sorte qu’on aura, en général,

${\frac {x^{m}}{m}}={\frac {a^{m}}{mb^{m}}}+{\frac {a^{m+1}c}{b^{m+2}}}+{\frac {(m+3)a^{m+2}c^{2}}{2b^{m+4}}}+{\frac {(m+5)(m+4)a^{m+3}c^{m}}{2.3.b^{m+6}}}+\ldots .$

En effet, cette équation, étant résolue, donne

$x={\frac {b}{2c}}\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2c}}\,;$

or, en réduisant en série le radical ${\sqrt {b^{2}-4ac}},$ on a

$b-{\frac {2ac}{b}}-{\frac {(2ac)^{2}}{2b^{3}}}-{\frac {1.3(2ac)^{3}}{2.3.b^{5}}}-{\frac {1.3.5(2ac)^{4}}{2.3.4.b^{7}}}-\ldots ,$

ou bien

$b-2\left({\frac {ac}{b}}+{\frac {a^{2}c^{2}}{b^{3}}}+{\frac {4a^{3}c^{3}}{2b^{5}}}+{\frac {6.5.a^{4}c^{4}}{2.3.b^{7}}}+\ldots \right)\,;$

de sorte que les deux valeurs de $x$ seront

${\begin{aligned}&{\frac {b}{c}}-{\frac {a}{b}}-{\frac {a^{2}c}{b^{3}}}-{\frac {4a^{3}c^{2}}{2b^{5}}}-{\frac {6.5.a^{4}c^{3}}{2.3.b^{7}}}-\ldots ,\\&{\frac {a}{b}}+{\frac {a^{2}c}{b^{3}}}+{\frac {4a^{3}c^{2}}{2b^{5}}}+{\frac {6.5.a^{4}c^{3}}{2.3.b^{7}}}+\ldots \,;\end{aligned}}$

or, cette dernière est précisément la même que celle que nous ayons trouvée plus haut.

10. Comme toute la difficulté se réduit (8) à trouver les coefficients $\alpha ,\beta ,$$\gamma ,\ldots$ des puissances négatives de $x$ dans la série

${\frac {\mathrm {X} }{b}}+{\frac {\mathrm {X} ^{2}}{2b^{2}}}+{\frac {\mathrm {X} ^{3}}{3b^{3}}}+\ldots ,$

tâchons de rendre la recherche de ces coefficients aussi facile et en même temps aussi générale qu’il est possible. Pour cela, je remarque que

${\frac {\mathrm {X} }{b}}+{\frac {\mathrm {X} ^{2}}{2b^{2}}}+{\frac {\mathrm {X} ^{3}}{3b^{3}}}+\ldots =-\log \left(1-{\frac {\mathrm {X} }{b}}\right)\,;$

de sorte que, comme

$\mathrm {X} ={\frac {a}{x}}+cx-dx^{2}+ex^{3}-\ldots ,$

si l’on fait, pour abréger,

$\xi ={\frac {cx-dx^{2}+ex^{3}-\ldots }{b}},$

on aura

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {X} }{b}}+{\frac {\mathrm {X} ^{2}}{2b^{2}}}+{\frac {\mathrm {X} ^{3}}{3b^{3}}}+\ldots =&-\log \left(1-{\frac {a}{bx}}-\xi \right)\\&-\log \left(1-{\frac {a}{bx}}\right)-\log \left(1-{\frac {\xi }{1-{\cfrac {a}{bx}}}}\right)\,;\end{aligned}}$

de sorte qu’en réduisant ces deux logarithmes en série on aura

${\frac {\mathrm {X} }{b}}+{\frac {\mathrm {X} ^{2}}{2b^{2}}}+{\frac {\mathrm {X} ^{3}}{3b^{3}}}+\ldots ={\frac {a}{bx}}+{\frac {a^{2}}{2b^{2}x^{2}}}+{\frac {a^{3}}{3b^{3}x^{3}}}+\ldots$

$+{\frac {\xi }{1-{\cfrac {a}{bx}}}}+{\frac {\xi ^{2}}{2\left(1-{\cfrac {a}{bx}}\right)^{2}}}+{\frac {\xi ^{3}}{3\left(1-{\cfrac {a}{bx}}\right)^{3}}}+\ldots ,$

et, par conséquent (8),

(E)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {a}{bx}}+{\frac {a^{2}}{2b^{2}x^{2}}}&+\ldots +{\frac {\xi }{1-{\cfrac {a}{bx}}}}+\ldots \\=&\log {\frac {bp}{a}}+{\frac {p}{x}}++{\frac {p^{2}}{2x^{2}}}++{\frac {p^{3}}{3x^{3}}}+\ldots \\&+\ x\ \left({\frac {1}{q}}+{\frac {1}{r}}+\ldots \right)+{\frac {x^{2}}{2}}\left({\frac {1}{q^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}}}+\ldots \right)\\&+{\frac {x^{3}}{3}}\left({\frac {1}{q^{3}}}+{\frac {1}{r^{3}}}+\ldots \right)+\ldots .\end{aligned}}\right.$

Or, nous avons déjà vu plus haut (3) qu’on a, en réduisant en série,

${\begin{aligned}&{\frac {1}{1-{\cfrac {a}{bx}}}}=1+{\frac {a}{bx}}+{\frac {a^{2}}{b^{2}x^{2}}}+{\frac {a^{3}}{b^{3}x^{3}}}+\ldots ,\\&{\frac {1}{\left(1-{\cfrac {a}{bx}}\right)^{2}}}=1+{\frac {2a}{bx}}+{\frac {3a^{2}}{b^{2}x^{2}}}+{\frac {4a^{3}}{b^{3}x^{3}}}+\ldots ,\\&{\frac {1}{\left(1-{\cfrac {a}{bx}}\right)^{3}}}={\frac {1}{2}}\left(1.2+{\frac {2.3.a}{bx}}+{\frac {3.4.a^{2}}{b^{2}x^{2}}}+\ldots \right),\\\end{aligned}}$

et ainsi de suite.

Donc, si l’on suppose, en général,

${\begin{aligned}\xi \,\ &=\varpi +\varpi _{1}x+\varpi _{2}x^{2}+\varpi _{3}x^{3}+\ldots ,\\\xi ^{2}&=\rho \ +\rho _{1}\,\ x+\rho _{2}\ x^{2}+\rho _{3}\ x^{3}+\ldots ,\\\xi ^{3}&=\sigma \ +\sigma _{1}\ x+\sigma _{2}\ x^{2}+\sigma _{3}\ x^{3}+\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

on trouvera, en faisant abstraction des termes qui renfermeraient des puissances positives de $x,$

${\begin{aligned}{\frac {\xi }{1-{\cfrac {a}{bx}}}}=&\varpi +\varpi _{1}{\frac {a}{b}}+\varpi _{2}{\frac {a^{2}}{b^{2}}}+\varpi _{3}{\frac {a^{3}}{b^{3}}}+\ldots \\&+\ {\frac {1}{x}}\ \left(\varpi \ {\frac {a}{b}}\ +\varpi _{1}{\frac {a^{2}}{b^{2}}}+\varpi _{2}{\frac {a^{3}}{b^{3}}}+\ldots \right)\\&+{\frac {1}{x^{2}}}\left(\varpi {\frac {a^{2}}{b^{2}}}+\varpi _{1}{\frac {a^{3}}{b^{3}}}+\varpi _{2}{\frac {a^{4}}{b^{4}}}+\ldots \right)\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\frac {\xi ^{2}}{2\left(1-{\cfrac {a}{bx}}\right)^{2}}}=&{\frac {1}{2}}\left(\rho +2\rho _{1}{\frac {a}{b}}+3\rho _{2}{\frac {a^{2}}{b^{2}}}+4\rho _{3}{\frac {a^{3}}{b^{3}}}+\ldots \right)\\&+\ {\frac {1}{2x}}\ \left(2\rho \,{\frac {a}{b}}\ +3\rho _{1}{\frac {a^{2}}{b^{2}}}+4\rho _{2}{\frac {a^{3}}{b^{3}}}+\ldots \right)\\&+{\frac {1}{2x^{2}}}\left(3\rho {\frac {a^{2}}{b^{2}}}+4\rho _{1}{\frac {a^{3}}{b^{3}}}+5\rho _{2}{\frac {a^{4}}{b^{4}}}+\ldots \right)\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\\{\frac {\xi ^{3}}{3\left(1-{\cfrac {a}{bx}}\right)^{3}}}=&{\frac {1}{2.3}}\left(1.2.\sigma +2.3.\sigma _{1}{\frac {a}{b}}+3.4.\sigma _{2}{\frac {a^{2}}{b^{2}}}+\ldots \right)\\&+\ {\frac {1}{2.3.x}}\ \left(2.3.\sigma \ {\frac {a}{b}}\,+3.4.\sigma _{1}{\frac {a^{2}}{b^{2}}}+4.5.\sigma _{2}{\frac {a^{3}}{b^{3}}}+\ldots \right)\\&+{\frac {1}{2.3.x^{2}}}\left(3.4.\sigma {\frac {a^{2}}{b^{2}}}+4.5.\sigma _{1}{\frac {a^{3}}{b^{3}}}+5.6.\sigma _{2}{\frac {a^{4}}{b^{4}}}+\ldots \right)\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et ainsi de suite.

Donc enfin, substituant ces valeurs dans l’équation (E) et comparant les termes affectés de $x^{0},x^{-1},x^{-2},\ldots ,$ à cause de $\log {\frac {bp}{a}}=\log p-\log {\frac {a}{b}},$ on trouvera

${\begin{aligned}\log p=&\log {\frac {a}{b}}+\varpi +\varpi _{1}{\frac {a}{b}}+\varpi _{2}{\frac {a^{2}}{b^{2}}}+\varpi _{3}{\frac {a^{3}}{b^{3}}}+\ldots \\&{\frac {1}{2}}\left(\rho +2\rho _{1}{\frac {a}{b}}+3\rho _{2}{\frac {a^{2}}{b^{2}}}+4\rho _{3}{\frac {a^{3}}{b^{3}}}+\ldots \right)\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&+{\frac {1}{2.3}}\left(1.2.\sigma +2.3.\sigma _{1}{\frac {a}{b}}+3.4.\sigma _{2}{\frac {a^{2}}{b^{2}}}+\ldots \right)\\&+{\frac {1}{2.3.4}}\left(1.2.3.\tau +2.3.4.\tau _{1}{\frac {a}{b}}+3.4.5.\tau _{2}{\frac {a^{2}}{b^{2}}}+\ldots \right)\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\\p\ \,=&{\frac {a}{b}}+\varpi {\frac {a}{b}}+\varpi _{1}{\frac {a^{2}}{b^{2}}}+\varpi _{2}{\frac {a^{3}}{b^{3}}}+\ldots \\&+{\frac {1}{2}}\left(2\rho {\frac {a}{b}}+3\rho _{1}{\frac {a^{2}}{b^{2}}}+4\rho _{2}{\frac {a^{3}}{b^{3}}}+\ldots \right)\\&+{\frac {1}{2.3}}\left(2.3.\sigma {\frac {a}{b}}+3.4.\sigma _{1}{\frac {a^{2}}{b^{2}}}+4.5.\sigma _{2}{\frac {a^{3}}{b^{3}}}+\ldots \right)\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\\p^{2}=&{\frac {a^{2}}{b^{2}}}+2\left(\varpi {\frac {a^{2}}{b^{2}}}+\varpi _{1}{\frac {a^{3}}{b^{3}}}+\varpi _{2}{\frac {a^{4}}{b^{4}}}+\ldots \right)\\&+{\frac {2}{2}}\left(3\rho {\frac {a^{2}}{b^{2}}}+4\rho _{1}{\frac {a^{3}}{b^{3}}}+5\rho _{2}{\frac {a^{4}}{b^{4}}}+\ldots \right)\\&+{\frac {2}{2.3}}\left(3.4.\sigma {\frac {a^{2}}{b^{2}}}+4.5.\sigma _{1}{\frac {a^{3}}{b^{3}}}+5.6.\sigma _{2}{\frac {a^{4}}{b^{4}}}+\ldots \right)\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\\p^{3}=&{\frac {a^{3}}{b^{3}}}+3\left(\varpi {\frac {a^{3}}{b^{3}}}+\varpi _{1}{\frac {a^{4}}{b^{4}}}+\varpi _{2}{\frac {a^{5}}{b^{5}}}+\ldots \right)\\&+{\frac {3}{2}}\left(4\rho {\frac {a^{3}}{b^{3}}}+5\rho _{1}{\frac {a^{4}}{b^{4}}}+6\rho _{2}{\frac {a^{5}}{b^{5}}}+\ldots \right)\\&+{\frac {3}{2.3}}\left(4.5.\sigma {\frac {a^{3}}{b^{3}}}+5.6.\sigma _{1}{\frac {a^{4}}{b^{4}}}+6.7.\sigma _{2}{\frac {a^{5}}{b^{5}}}+\ldots \right)\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et ainsi de suite.

11. Maintenant, puisqu’on a supposé

${\begin{aligned}\xi \,\ &=\varpi +\varpi _{1}x+\varpi _{2}x^{2}+\ldots ,\\\xi ^{2}&=\rho \ +\rho _{1}\,\ x+\rho _{2}\ x^{2}+\ldots ,\\\xi ^{3}&=\sigma \ +\sigma _{1}\ x+\sigma _{2}\ x^{2}+\ldots ,\\\end{aligned}}$

et ainsi de suite, il est facile de voir qu’on aura, en faisant $x={\frac {a}{b}},$

${\begin{aligned}\log p\ \,p&=\log x+\xi +{\frac {1}{2}}{\frac {d\left(\xi ^{2}x\right)}{dx}}+{\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{2}\left(\xi ^{3}x^{2}\right)}{dx^{2}}}+\ldots ,\\p\ \,&=x+\xi x+{\frac {1}{2}}{\frac {d\left(\xi ^{2}x^{2}\right)}{dx}}+{\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{2}\left(\xi ^{3}x^{3}\right)}{dx^{2}}}+\ldots ,\\p^{2}&=x^{2}+2\left[\xi x^{2}+{\frac {1}{2}}{\frac {d\left(\xi ^{2}x^{3}\right)}{dx}}+{\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{2}\left(\xi ^{3}x^{4}\right)}{dx^{2}}}+\ldots \right],\\p^{3}&=x^{3}+3\left[\xi x^{3}+{\frac {1}{2}}{\frac {d\left(\xi ^{2}x^{4}\right)}{dx}}+{\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{2}\left(\xi ^{3}x^{5}\right)}{dx^{2}}}+\ldots \right],\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et, en général,

(F)

$p^{m}=x^{m}+m\left[\xi x^{m}+{\frac {1}{2}}{\frac {d\left(\xi ^{2}x^{m+1}\right)}{dx}}+{\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{2}\left(\xi ^{3}x^{m+2}\right)}{dx^{2}}}+\ldots \right].$

Ainsi, $p$ sera une des racines de l’équation

$0=a-bx+cx^{2}-dx^{3}+\ldots ,$

ou bien, à cause de

$\xi ={\frac {cx-dx^{2}+\ldots }{b}},$

de l’équation

(G)

$a-bx+bx\xi =0,$

$\xi$ étant une fonction de $x.$

12. Exemple II. — Soit, par exemple, l’équation

$a-bx+cx^{n}=0\,;$

on aura, dans ce cas,

$bx\xi =cx^{n},$

et, par conséquent,

$\xi ={\frac {cx^{n-1}}{b}}\,;$

donc, en nommant $p$ une des racines de cette équation, on aura, en général,

$p^{m}=x^{m}+m\left({\frac {c}{b}}x^{m+n-1}+{\frac {c^{2}}{2b^{2}}}{\frac {dx^{m+2n-1}}{dx}}+{\frac {c^{3}}{2.3.b^{3}}}{\frac {d^{2}x^{m+3n-1}}{dx^{2}}}+\ldots \right)$

en mettant, après les différentiations, ${\frac {a}{b}}$ à la place de $x\,;$ ainsi l’on aura (en changeant $p$ en $x$)

${\begin{aligned}x^{m}={\frac {a^{m}}{b^{m}}}+m&\left[{\frac {ca^{m+n-1}}{b^{m+n}}}+{\frac {(m+2n-1)c^{2}a^{m+2n-2}}{2b^{m+2n}}}\right.\\&+{\frac {(m+3n-1)(m+3n-2)c^{3}a^{m+3n-3}}{2.3.b^{m+3n}}}\\&+\left.{\frac {(m+4n-1)(m+4n-2)(m+4n-3)c^{4}a^{m+4n-4}}{2.3.4.b^{m+4n}}}+\ldots \right].\end{aligned}}$

Si l’on fait $x={\frac {1}{y}},$ en sorte qu’on ait l’équation

$ay^{n}-by^{n-1}+c=0,$

on aura $y^{m}=x^{-m}\,;$ ainsi il n’y aura qu’à faire $m$ négatif dans la formule précédente pour avoir

${\begin{aligned}y^{m}={\frac {b^{m}}{a^{m}}}-m&\left[{\frac {cb^{m-n}}{a^{m-n+1}}}-{\frac {(m-2n+1)c^{2}b^{m-2n}}{2a^{m-2n+2}}}\right.\\&\left.+{\frac {(m-3n+1)(m-3n+2)c^{3}b^{m-3n}}{2.3.a^{m-3n+3}}}-\ldots \right].\end{aligned}}$

Je dois remarquer, à l’égard de cette dernière formule, qu’elle a déjà été trouvée par M. Lambert, qui me l’a communiquée il y a quelque temps sans démonstration.

13. Exemple III. — Soit l’équation à quatre termes

$a-bx+cx^{n}-x^{r}=0\,;$

on fera

$bx\xi =cx^{n}-x^{r},$

et, par conséquent,

$\xi ={\frac {cx^{n-1}-x^{r-1}}{b}}\,;$

donc

${\begin{aligned}\xi ^{2}&={\frac {c^{2}x^{2n-2}-2cx^{n+r-2}+x^{2r-2}}{b^{2}}},\\\xi ^{3}&={\frac {c^{3}x^{3n-3}-3c^{2}x^{2n+r-3}+3cx^{n+2r-3}-x^{3r-3}}{b^{3}}},\end{aligned}}$

et ainsi de suite.

Donc, en mettant $x$ à la place de $p,$

${\begin{aligned}x^{m}&={\frac {a^{m}}{b^{m}}}+m\left({\frac {ca^{m+n-1}}{b^{m+n}}}-{\frac {ca^{m+r-1}}{b^{m+r}}}\right)\\&+{\frac {m}{2}}\left[{\frac {(m+2n-1)c^{2}a^{m+2n-2}}{b^{m+2n}}}-2{\frac {(m+n+r-1)ca^{m+n+r-2}}{b^{m+n+r}}}\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +\left.{\frac {(m+2r-1)a^{m+2r-2}}{b^{m+2r}}}\right]\\\\&+{\frac {m}{2.3}}\left[{\frac {(m+3n-1)(m+3n-2)c^{3}a^{m+3n-3}}{b^{m+3n}}}\right.\\&\qquad -3{\frac {(m+2n+r-1)(m+2n+r-2)c^{2}a^{m+2n+r-3}}{b^{m+2n+r}}}\\&\qquad +3{\frac {(m+n+2r-1)(m+n+2r-2)ca^{m+n+2r-3}}{b^{m+n+2r}}}\\&\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -\left.{\frac {(m+3r-1)(m+3r-2)a^{m+3r-3}}{b^{m+3r}}}\right]\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

14. Exemple IV. — Soit l’équation générale

$a-bx+cx^{2}-dx^{3}+ex^{4}-fx^{5}+\ldots =0\,;$

on aura

$bx\xi =cx^{2}-dx^{3}+ex^{4}-fx^{5}+\ldots =0,$

et, par conséquent,

${\begin{aligned}\xi \ \ &={\frac {cx-dx^{2}+ex^{3}-fx^{4}+\ldots }{b}},\\\xi ^{2}&={\frac {c^{2}x^{2}-2cdx^{3}+\left(d^{2}+2ce\right)x^{4}-\ldots }{b^{2}}},\\\xi ^{3}&={\frac {c^{3}x^{3}-3cdx^{4}+\ldots }{b^{3}}},\\\xi ^{4}&={\frac {c^{4}x^{4}-\ldots }{b^{4}}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Donc

${\begin{aligned}x^{m}&={\frac {a^{m}}{b^{m}}}\\&+m\left({\frac {a^{m+1}c}{b^{m+2}}}-{\frac {a^{m+2}d}{b^{m+3}}}+{\frac {a^{m+3}e}{b^{m+4}}}-{\frac {a^{m+5}f}{b^{m+5}}}+\ldots \right)\\&+{\frac {m}{2}}\left[{\frac {(m+3)a^{m+2}c^{2}}{b^{m+4}}}-{\frac {(m+4)a^{m+3}.2cd}{b^{m+5}}}+{\frac {(m+5)a^{m+4}\left(d^{2}+2ce\right)}{b^{m+6}}}-\ldots \right]\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&+{\frac {m}{2.3}}\left[{\frac {(m+5)(m+4)a^{m+3}c^{3}}{b^{m+6}}}-{\frac {(m+6)(m+5)a^{m+4}.3cd}{b^{m+7}}}+\ldots \right]\\&+{\frac {m}{2.3.4}}\left[{\frac {(m+7)(m+6)(m+5)a^{m+4}c^{4}}{b^{m+8}}}-\ldots \right],\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Si $m$ est égal à $1,$ on aura

${\begin{aligned}x=&{\frac {a}{b}}+{\frac {a^{2}c}{b^{3}}}-{\frac {a^{3}c}{b^{4}}}+{\frac {a^{4}c}{b^{5}}}-{\frac {a^{5}c}{b^{6}}}+\ldots \\&+{\frac {2a^{3}c^{2}}{b^{5}}}-{\frac {5a^{4}cd}{b^{6}}}+{\frac {3a^{5}\left(d^{2}+2ce\right)}{b^{7}}}-\ldots \\&+{\frac {5a^{4}c^{3}}{b^{7}}}-{\frac {21a^{5}cd}{b^{8}}}+\ldots \\&+{\frac {14a^{5}c^{4}}{b^{9}}}+\ldots \\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

c’est la formule connue de Newton pour le retour des suites.

15. Considérons maintenant l’équation générale

$\alpha -x+\varphi (x)=0,$

$\varphi (x)$ étant une fonction quelconque de $x\,;$ comparant cette équation avec l’équation

$a-bx+bx\xi =0$

du n^o 11, ou bien

${\frac {a}{b}}-x+x\xi =0,$

on aura

$\alpha ={\frac {a}{b}}\quad {\text{et}}\quad \xi ={\frac {\varphi (x)}{x}}\,;$

donc, si l’on dénote par $p$ une des racines de l’équation proposée, on aura, par la formule (F) du numéro cité,

$p^{m}=x^{m}+m\left[x^{m-1}\varphi (x)+{\frac {1}{2}}{\frac {dx^{m-1}[\varphi (x)]^{2}}{dx}}+{\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{2}x^{m-1}[\varphi (x)]^{3}}{dx^{2}}}+\ldots \right],$

en faisant, après les différentiations, $x=\alpha .$

Or, puisque $mx^{m-1}={\frac {dx^{m}}{dx}},$ il est visible que la formule précédente peut se mettre sous cette forme

$p^{m}=x^{m}+{\frac {d(x^{m})}{dx}}\varphi (x)+{\frac {1}{2}}{\frac {d{\cfrac {d(x^{m})}{dx}}[\varphi (x)]^{2}}{dx}}+{\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{2}{\cfrac {d(x^{m})}{dx}}[\varphi (x)]^{3}}{dx^{2}}}+\ldots .$

D’où il est facile de conclure qu’une fonction quelconque de $p,$ comme $\psi (p),$ sera exprimée de la manière suivante

$\psi (p)=\psi (x)+{\frac {d\psi (x)}{dx}}\varphi (x)+{\frac {1}{2}}{\frac {d{\cfrac {d\psi (x)}{dx}}[\varphi (x)]^{2}}{dx}}+{\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{2}{\cfrac {d\psi (x)}{dx}}[\varphi (x)]^{3}}{dx^{2}}}+\ldots ,$

pourvu qu’on change, comme nous l’avons dit, $x$ en $\alpha$ après avoir exécuté les différentiations indiquées, ce qui fournit le théorème suivant, qui est très-remarquable par sa simplicité et par sa généralité.

16. Théorème. — Soit l’équation

(H)

$\alpha -x+\varphi (x)=0,$

$\varphi (x)$ étant une fonction quelconque de $x.$ Que $p$ soit une des racines de cette équation, c’est-à-dire une des valeurs de $x,$ et qu’on demande la valeur d’une fonction quelconque de $p$ comme $\psi (p).$ Qu’on dénote, pour plus de simplicité, la quantité ${\frac {d\psi (x)}{dx}}$ par $\psi '(x),$ et je dis qu’on aura, en général,

(I)

$\left\{{\begin{aligned}\psi (p)=&\psi (x)+\varphi (x)\psi '(x)+{\frac {1}{2}}{\frac {d[\varphi (x)]^{2}\psi '(x)}{dx}}\\&+{\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{2}[\varphi (x)]^{3}\psi '(x)}{dx^{2}}}+{\frac {1}{2.3.4}}{\frac {d^{3}[\varphi (x)]^{4}\psi '(x)}{dx^{3}}}+\ldots ,\end{aligned}}\right.$

où il faudra changer $x$ en $\alpha$ après les différentiations.

17. Si l’on fait $x=\alpha y,$ en sorte que l’équation (H) devienne

$1-y+{\frac {\varphi (\alpha y)}{\alpha }}=0,$

et que $q$ soit la valeur de $y,$ on aura l’expression d’une fonction quelconque $\psi (q),$ en mettant dans la formule (I) $q$ à la place de $p,$ $y$ à la place de $x,$ ${\frac {\varphi (\alpha y)}{\alpha }}$ à la place de $\varphi (y),$ et faisant ensuite $y=1$ après les différentiations.

Donc, puisque $q=y={\frac {x}{\alpha }},$ on aura

(K)

$\left\{{\begin{aligned}\psi \left({\frac {x}{\alpha }}\right)=&\psi (y)+{\frac {\varphi (\alpha y)\psi '(y)}{\alpha }}+{\frac {1}{2\alpha ^{2}}}{\frac {d\varphi (\alpha y)^{2}\psi '(y)}{dy}}\\&+{\frac {1}{2.3.\alpha ^{3}}}{\frac {d^{2}\varphi (\alpha y)^{3}\psi '(y)}{dy^{2}}}+{\frac {1}{2.3.4.\alpha ^{4}}}{\frac {d^{3}\varphi (\alpha y)^{4}\psi '(y)}{dy^{3}}}+\ldots ,\end{aligned}}\right.$

où la variable $y$ doit être supposée égale à $1$ après toutes les différentiations.

18. Donc, comme $\psi (y)=\int \psi '(y)dy,$ si l’on prend la fraction

${\frac {\psi '(y)}{z\left[1-z{\cfrac {\varphi (\alpha y)}{\alpha }}\right]}}$

et qu’on la développe suivant les puissances de $z,$ ce qui donnera

${\frac {\psi '(y)}{z}}+{\frac {\varphi (\alpha y)\psi '(y)}{\alpha }}+z{\frac {[\varphi (\alpha y)]^{2}\psi '(y)}{\alpha ^{2}}}+z^{2}{\frac {[\varphi (\alpha y)]^{3}\psi '(y)}{\alpha ^{3}}}+\ldots ,$

qu’ensuite on y change ${\frac {1}{z}}$ en $\int dy,$ $z$ en ${\frac {1}{2}}{\frac {d}{dy}},$ $z^{2}$ en ${\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{2}}{dy^{2}}},$ $z^{3}$ en ${\frac {1}{2.3.4}}{\frac {d^{3}}{dy^{3}}},$ et ainsi des autres puissances de $z\,;$ et qu’après avoir exécuté les différentiations indiquées de cette manière on fasse $y=1,$ on aura la valeur de $\psi ({\frac {x}{\alpha }}),$ $x$ étant une des racines de l’équation (H),

$\alpha -x+\varphi (x)=0.$

Ainsi l’on pourra faire en sorte que la série qui représente la valeur de $\psi \left({\frac {x}{\alpha }}\right)$ soit ordonnée par rapport à telle lettre qu’on voudra ; car pour cela il n’y aura qu’à ordonner, par rapport à cette même lettre, la série résultante de la fraction ${\frac {1}{1-z{\cfrac {\varphi (\alpha x)}{\alpha }}}},$ comme on va le voir dans les Exemples suivants.

19. Exemple V. — Reprenons l’équation générale de l’Exemple IV, savoir

$0=a-bx+cx^{2}-dx^{3}+ex^{4}-fx^{5}+\ldots ,$

et comparant avec l’équation (H), on aura, après avoir divisé par $b,$

$\alpha ={\frac {a}{b}},\quad \varphi (x)={\frac {cx^{2}-dx^{3}+ex^{4}-fx^{5}+\ldots }{b}}.$

Donc

${\frac {\varphi (\alpha y)}{\alpha }}={\frac {cay^{2}}{b^{2}}}-{\frac {da^{2}y^{3}}{b^{3}}}+{\frac {ea^{3}y^{4}}{b^{4}}}-{\frac {fa^{4}y^{5}}{b^{5}}}+\ldots ,$

de sorte que la fraction

${\frac {1}{1-z{\cfrac {\varphi (\alpha x)}{\alpha }}}}$

sera

${\frac {1}{1-z{\cfrac {cay^{2}}{b^{2}}}+z{\cfrac {da^{2}y^{3}}{b^{3}}}-z{\cfrac {ea^{3}y^{4}}{b^{4}}}+\ldots }}.$

Réduisons cette fraction en série, et supposons d’abord que la série soit ordonnée par rapport à la lettre $b,$ il est clair qu’à cause que les dimensions de $y$ et ${\frac {1}{b}}$ sont partout les mêmes, cette série sera de la forme suivante

$1+{\frac {\mathrm {P} y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {\mathrm {Q} y^{3}}{b^{3}}}+{\frac {\mathrm {R} y^{4}}{b^{4}}}-{\frac {\mathrm {S} y^{5}}{b^{5}}}+\ldots ,$

de sorte qu’en multipliant en croix et comparant les termes, on trouvera

${\begin{aligned}\mathrm {P} =&acz,\\\mathrm {Q} =&a^{2}dz,\\\mathrm {R} =&a^{3}ez+acz\mathrm {P} ,\\\mathrm {S} =&a^{4}fz+a^{2}dz\mathrm {P} +acz\mathrm {Q} ,\\\mathrm {T} =&a^{5}gz\,+a^{3}ez\mathrm {P} +a^{2}dz\mathrm {Q} +acz\mathrm {R} ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Or, si l’on développe ces valeurs en les ordonnant par rapport aux puis-

sances de $z,$ il est facile de voir qu’elles seront exprimées de cette manière

${\begin{aligned}\mathrm {P} &=\mathrm {A} z,\\\mathrm {Q} &=\mathrm {B} z,\\\mathrm {R} &=\mathrm {C} z+\mathrm {C} _{1}z^{2},\\\mathrm {S} &=\mathrm {D} z+\mathrm {D} _{1}z^{2},\\\mathrm {T} &=\mathrm {E} z+\mathrm {E} _{1}z^{2}+\mathrm {E} _{2}z^{2},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et l’on trouvera

${\begin{alignedat}{3}\mathrm {A} =&ac,\\\mathrm {B} =&a^{2}d,\\\mathrm {C} =&a^{3}e,&\mathrm {C} _{1}&=ac\mathrm {A} ,\\\mathrm {D} =&a^{4}f,&\mathrm {D} _{1}&=a^{2}d\mathrm {A} +ac\mathrm {B} ,\\\mathrm {E} =&a^{5}g,\qquad &\mathrm {E} _{1}&=a^{3}e\mathrm {A} +a^{2}d\mathrm {B} +ac\mathrm {C} ,\qquad &\mathrm {E} _{2}&=ac\mathrm {C} _{1},\\\ldots &\ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots .\end{alignedat}}$

Donc, on aura,

${\begin{aligned}{\frac {\psi '(y)}{z\left[1-{\cfrac {z\varphi (\alpha y)}{\alpha }}\right]}}=&{\frac {\psi '(y)}{z}}+{\frac {\mathrm {A} }{b^{2}}}y^{2}\psi '(y)-{\frac {\mathrm {B} }{b^{3}}}y^{3}\psi '(y)+{\frac {\mathrm {C} +\mathrm {C} _{1}z}{b^{4}}}y^{4}\psi '(y)\\&-{\frac {\mathrm {D} +\mathrm {D} _{1}z}{b^{5}}}y^{5}\psi '(y)+{\frac {\mathrm {E} +\mathrm {E} _{1}z+\mathrm {E} _{2}z^{2}}{b^{6}}}y^{6}\psi '(y)-\ldots .\end{aligned}}$

Donc, changeant ${\frac {1}{z}}$ en $\int dy,$ $z$ en ${\frac {1}{2}}{\frac {d}{dy}},\ldots$ (18), on aura

${\begin{aligned}\psi \left({\frac {bx}{a}}\right)=&\psi (y)\\&+{\frac {\mathrm {A} }{b^{2}}}y^{2}\psi '(y)\\&-{\frac {\mathrm {B} }{b^{3}}}y^{3}\psi '(y)\\&+{\frac {\mathrm {C} }{b^{4}}}y^{4}\psi '(y)+{\frac {\mathrm {C} _{1}}{b^{4}}}.{\frac {1}{2}}{\frac {d[y^{4}\psi '(y)]}{dy}}\\&+{\frac {\mathrm {D} }{b^{5}}}y^{5}\psi '(y)+{\frac {\mathrm {D} _{1}}{b^{5}}}.{\frac {1}{2}}{\frac {d[y^{5}\psi '(y)]}{dy}}\\&+{\frac {\mathrm {E} }{b^{6}}}y^{6}\psi '(y)+{\frac {\mathrm {E} _{1}}{b^{6}}}.{\frac {1}{2}}{\frac {d[y^{6}\psi '(y)]}{dy}}+{\frac {\mathrm {E} _{2}}{b^{6}}}.{\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{2}[y^{6}\psi '(y)]}{dy^{2}}}\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

où il n’y aura plus qu’à faire $y=1,$ après avoir exécuté les différentiations qui ne sont qu’indiquées.

Or, comme les coefficients $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ ne renferment point la lettre $b,$ il est clair que cette série sera ordonnée relativement aux puissances négatives de $b.$

Si l’on fait $\psi (y)=y^{m},$ ce qui donne $\psi '(y)=my^{m-1},$ on aura

${\begin{aligned}{\frac {b^{m}x^{m}}{a^{m}}}=&1+{\frac {m\mathrm {A} }{b^{2}}}-{\frac {m\mathrm {B} }{b^{3}}}+{\frac {m\mathrm {C} +{\cfrac {m(m+3)}{2}}\mathrm {C} _{1}}{b^{4}}}-{\frac {m\mathrm {D} +{\cfrac {m(m+4)}{2}}\mathrm {D} _{1}}{b^{5}}}\\&+{\frac {m\mathrm {E} +{\cfrac {m(m+5)}{2}}\mathrm {E} _{1}+{\cfrac {m(m+4)(m+5)}{2.3}}\mathrm {E} _{2}}{b^{6}}}-\ldots .\end{aligned}}$

Et si l’on fait $\psi (y)=\log y,$ d’où $\psi '(y)={\frac {1}{y}},$ on aura

$\log {\frac {bx}{a}}=1+{\frac {\mathrm {A} }{b^{2}}}-{\frac {\mathrm {B} }{b^{3}}}+{\frac {\mathrm {C} +{\cfrac {3}{2}}\mathrm {C} _{1}}{b^{4}}}-{\frac {\mathrm {D} +{\cfrac {4}{2}}\mathrm {D} _{1}}{b^{5}}}+{\frac {\mathrm {E} +{\cfrac {5}{2}}\mathrm {E} _{1}+{\cfrac {4.5}{2.3}}\mathrm {E} _{2}}{b^{6}}}-\ldots .$

20. Les séries que nous venons de trouver sont ordonnées relativement aux puissances de $b\,;$ si l’on voulait qu’elles le fussent relativement à celles de $a,$ il n’y aura qu’à ordonner de cette manière la série résultante de la fraction

${\frac {1}{1-z{\cfrac {cay^{2}}{b^{2}}}+z{\cfrac {da^{2}y^{3}}{b^{3}}}-z{\cfrac {ea^{3}y^{4}}{b^{4}}}+\ldots }}.$

Or, comme chaque puissance de $a$ y est toujours multipliée par une pareille puissance de ${\frac {y}{b}},$ il est clair que la série aura cette forme

$1+\mathrm {P} {\frac {ay}{b}}+\mathrm {Q} {\frac {a^{2}y^{2}}{b^{2}}}+\mathrm {R} {\cfrac {a^{3}y^{3}}{b^{3}}}+\mathrm {S} z{\cfrac {a^{4}y^{4}}{b^{4}}}+\ldots \,;$

on trouvera

${\begin{aligned}\mathrm {P} &={\frac {czy}{b}},\\\mathrm {Q} &=\mathrm {P} {\frac {czy}{b}}-{\frac {dzy}{b}},\\\mathrm {R} &=\mathrm {Q} {\frac {czy}{b}}-\mathrm {P} {\frac {dzy}{b}}+{\frac {ezy}{b}},\\\mathrm {S} &=\mathrm {R} {\frac {czy}{b}}-\mathrm {Q} {\frac {dzy}{b}}+\mathrm {P} {\frac {ezy}{b}}-{\frac {fzy}{b}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Or, en développant ces valeurs suivant les dimensions de ${\frac {zy}{b}},$ elles se trouveront exprimées de cette manière

${\begin{aligned}\mathrm {P} &=\mathrm {A} {\frac {zy}{b}},\\\mathrm {Q} &=\mathrm {B} {\frac {zy}{b}}+\mathrm {B} _{1}\left({\frac {zy}{b}}\right)^{2},\\\mathrm {R} &=\mathrm {C} {\frac {zy}{b}}+\mathrm {C} _{1}\left({\frac {zy}{b}}\right)^{2}+\mathrm {C} _{2}\left({\frac {zy}{b}}\right)^{3},\\\mathrm {S} &=\mathrm {D} {\frac {zy}{b}}+\mathrm {D} _{1}\left({\frac {zy}{b}}\right)^{2}+\mathrm {D} _{2}\left({\frac {zy}{b}}\right)^{3}+\mathrm {D} _{3}\left({\frac {zy}{b}}\right)^{4},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

De sorte que l’on aura

${\begin{aligned}\mathrm {A} \ \ &=c,\\\mathrm {B} \ \ &=-d,\\\mathrm {C} \ \ &=e,\\\mathrm {D} \ \ &=-f,\\\ldots &\ldots \ldots ,\\\mathrm {B} _{1}&=c\mathrm {A} ,\\\mathrm {C} _{1}&=-d\mathrm {A} +c\mathrm {B} ,\\\mathrm {D} _{1}&=e\mathrm {A} -d\mathrm {B} +c\mathrm {C} ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\mathrm {C} _{2}&=c\mathrm {B} _{1},\\\mathrm {D} _{2}&=-d\mathrm {B} _{1}+c\mathrm {C} _{1},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\mathrm {D} _{3}&=c\mathrm {C} _{2},\\\ldots &\ldots \ldots .\end{aligned}}$

Donc, on aura,