Mémoires extraits des recueils de l’Académie royale de Berlin/Nouvelle méthode pour résoudre les Problèmes indéterminés en nombres entiers

Joseph-Louis Lagrange

Nouvelle méthode pour résoudre les Problèmes indéterminés en nombres entiers

Mémoires extraits des recueils de l’Académie royale de Berlin, Gauthier-Villars, 1868, Œuvres de Lagrange. Tome II (p. 655-726).

NOUVELLE MÉTHODE
POUR
RÉSOUDRE LES PROBLÈMES INDÉTERMINÉS
EN NOMBRES ENTIERS^[1].

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(Mémoires de l’Académie royale des Sciences et Belles-Lettres
de Berlin, t. XXIV, 1770.)

La plupart des Géomètres qui ont cultivé l’Analyse de Diophante se sont, à l’exemple de cet illustre inventeur, uniquement appliqués à éviter les valeurs irrationnelles, et tout l’artifice de leurs méthodes se réduit à faire en sorte que les grandeurs inconnues puissent se déterminer par des nombres commensurables.

L’art de résoudre ces sortes de questions ne demande guère d’autres principes que ceux de l’Analyse ordinaire ; mais ces principes deviennent insuffisants lorsqu’on ajoute la condition que les quantités cherchées soient non-seulement commensurables, mais encore égales à des nombres entiers.

M. Bachet de Méziriac, auteur d’un excellent Commentaire sur Diophante et de différents autres Ouvrages, est, je crois, le premier qui ait tenté de soumettre cètte condition au calcul. Ce savant a trouvé une méthode générale pour résoudre en nombres entiers toutes les équations du premier degré à deux ou plusieurs inconnues, mais il ne paraît pas avoir été plus loin, et ceux qui après lui se sont occupés du même objet ont aussi presque tous borné leurs recherches aux équations indéterminées du premier degré ; leurs efforts se sont réduits à varier les méthodes qui peuvent servir à la résolution de ces sortes d’équations, et aucun, si j’ose le dire, n’a donné une méthode plus directe, plus générale et plus ingénieuse que celle de M. Bachet, qui se trouve dans ses Récréations mathématiques intitulées : Problèmes plaisants et délectables qui se font par les nombres.

Il est à la vérité assez surprenant que M. de Fermat, qui s’était si longtemps et avec tant de succès exercé sur la théorie des nombres entiers, n’ait pas cherché à résoudre généralement les Problèmes indéterminés du second degré et des degrés supérieurs, comme M. Bachet avait fait ceux du premier degré ; on a cependant lieu de croire qu’il s’était aussi appliqué à cette recherche, par le Problème qu’il proposa comme une espèce de défi à M. Wallis et à tous les Géomètres anglais, et qui consisfait à trouver deux carrés entiers, dont l’un étant multiplié par un nombre entier donné non carré, et ensuite retranché de l’autre, le reste fût égal à l’unité ; car, outre que ce Problème est un cas particulier des équations du second degré à deux inconnues, il est comme la clef de la résolution générale de ces équations ; mais, soit que M. de Fermat n’ait pas continué ses recherches sur cette matière, soit qu’elles ne soient pas parvenues jusqu’à nous, il est certain qu’on n’en trouve aucune trace dans ses Ouvrages.

Il paraît même que les Géomètres anglais qui ont résolu le Problème de M. de Fermat n’ont pas connu toute l’importance dont il est pour la solution générale des Problèmes indéterminés du second degré ; du moins on ne voit pas qu’ils en aient jamais fait usage, et M. Euler est, si je ne me trompe, le premier qui ait fait voir comment à l’aide de ce Problème on peut trouver une infinité de solutions en nombres entiers de toute équation du second degré à deux inconnues, dont on connaît déjà une solution.

Ce grand Géomètre, à qui toutes les parties des Mathématiques sont si redevables, a aussi fait des recherches pour reconnaître à priori quand une équation de cette espèce est susceptible de quelque solution en nombres entiers, et il a trouvé par induction une règle qui, si elle était générale, renfermerait un des plus beaux théorèmes d’Arithmétique.

Cette règle est, que toute équation de la forme

$\mathrm {A} =p^{2}-\mathrm {B} q^{2}$

($\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ étant des nombres entiers donnés et $p,q$ deux indéterminées), est toujours résoluble en nombres entiers, lorsque $\mathrm {A}$ est un nombre premier de la forme

$4n\mathrm {B} +a^{2}\quad {\text{ou}}\quad 4n\mathrm {B} +a^{2}-\mathrm {B}$

($n$ et $a$ étant des nombres quelconques entiers), ou bien, lorsque les facteurs premiers de $\mathrm {A}$ sont chacun de l’une ou de l’autre de ces formes. (Voyez le premier Mémoire du tome IX des Nouveaux Commentaires de Pétersbourg.)

M. Euler ne donne point la démonstration de ce théorème, et il avoue même qu’il n’a jamais pu la trouver ; je l’ai aussi longtemps et inutilement cherchée, mais enfin je suis tombé par hasard sur une équation où j’ai reconnu que la règle de M. Euler était en défaut. Cette équation est celle-ci

$101=p^{2}-79q^{2},$

où $101$ est un nombre premier de la forme $4n\mathrm {B} +a^{2}-\mathrm {B} ,$ en faisant $\mathrm {B} =79,$ $a=38$ et $n=-4\,;$ de sorte qu’il faudrait qu’elle fût résoluble en nombres entiers cependant elle ne l’est pas, comme on peut aisément s’en assurer par notre méthode (voyez plus bas le n^o 38).

Si l’on voulait limiter le théorème de M. Euler en disant que tout nombre premier de la forme $4n\mathrm {B} +\alpha$ est aussi de la forme $p^{2}-\mathrm {B} q^{2},$ lorsque $\alpha$ est un nombre premier de la même forme $p^{2}-\mathrm {B} q^{2},$ l’exemple précédent ferait voir que cette limitation serait insuffisante : car

$101=4n\mathrm {B} +733,$

en faisant $n=-2$ et $\mathrm {B} =79,$ $733$ est un nombre premier de la forme $p^{2}-\mathrm {B} q^{2},$ en supposant $p=38$ et $q=3\,;$ or $101$ n’est pas de la même forme $p^{2}-\mathrm {B} q^{2}.$

Il résulte de tout ce que nous venons de dire que depuis l’ouvrage de M. Bachet, qui a paru en 1613, jusqu’à présent, ou du moins jusqu’au Mémoire que je donnai l’année passée, sur la solution des Problèmes indéterminés du second degré^[2], la théorie de ces sortes de Problèmes n’avait pas, à proprement parler, été poussée au delà du premier degré.

J’ai fait voir, dans le Mémoire dont je viens de parler, comment toutes les équations du second degré à deux indéterminées peuvent toujours se réduire à la forme très-simple

$\mathrm {A} =p^{2}-\mathrm {B} q^{2}\,;$

ensuite j’ai donné des méthodes directes et générales pour trouver toutes les solutions possibles tant en nombres entiers qu’en nombres fractionnaires de ces sortes d’équations. La méthode pour le cas où $\mathrm {B}$ est un nombre positif, et où $p$ et $q$ doivent être des nombres entiers, laquelle fait l’objet du § III, est à la vérité un peu longue et compliquée, et j’avoue même qu’elle l’est à un point qui la rend difficile à suivre ; mais je crois que cette difficulté ne doit être imputée qu’à la nature de la matière, et au grand nombre de cas auxquels il faut avoir égard quand on veut la traiter d’une manière aussi directe et aussi rigoureuse que nous l’avons fait. Cependant j’ai trouvé moyen depuis de simplifier beaucoup cette méthode et de l’étendre même à des équations d’un degré quelconque ; c’est ce que je me propose de développer dans ce Mémoire avec le plus d’ordre et de clarté qu’il me sera possible.

Comme la théorie des fractions continues est le fondement de la nouvelle méthode que je vais expliquer, je supposerai ici cette théorie telle que je l’ai donnée dans le Mémoire sur la résolution des équations numériques^[3], et dans Additions à ce Mémoire^[4], et je me contenterai d’en emprunter tout ce dont j’aurai besoin, en renvoyant pour les démonstrations à ces autres écrits.

Lemme I.

1. Si $a,b,c$ sont des nombres quelconques entiers et tels, que $b$ et $c$ soient premiers entre eux, je dis quon peut toujours trouver deux nombres entiers $y$ et $z$ tels que

$a=by-cz.$

Je supposerai ici pour plus de simplicité que $a,b$ et $c$ soient positifs ; si l’un d’eux comme $b$ était négatif, on pourrait toujours le regarder comme positif, et il n’y aurait qu’à prendre ensuite $y$ négativement, et ainsi du reste. ${\displaystyle }$

Qu’on divise les nombres $a+cz$ par $b,$ en faisant successivement $z=0,1,2,3,\ldots$ jusqu’à $b-1,$ et l’on aura $b$ restes dont chacun sera différent de tous les autres ; car si deux valeurs de $z,$ comme $z'$ et $z'',$ donnaient le même reste, il faudrait que la différence entre les deux dividendes $a+cz'$ et $a+cz''$ savoir le nombre $c(z''-z')$ fût divisible exactement par $b,$ ce qui ne se peut, à cause que $c$ est premier à $b,$ et que $z'$ et $z''$ sont tous les deux moindres que $b.$ Donc, puisque les $b$ restes dont il s’agit doivent être par leur nature moindres que $b$ et différents les uns des autres, il est clair que ces restes ne peuvent être que les nombres $0,1,2,3,\ldots ,b-1\,;$ d’où il s’ensuit qu’il y aura nécessairement une valeur de $z$ à laquelle répondra un reste nul, c’est-à-dire qui sera telle, que $a+cz$ soit divisible par $b\,;$ donc, nommant $y$ le quotient de cette division, on aura $by=a+cz\,;$ donc

$a=by-cz.$

2. Corollaire I. — Quand on aura trouvé deux valeurs correspondantes de $y$ et $z$ qui satisferont à l’équation

$a=by-cz,$

on pourra par leur moyen en trouver une infinité d’autres ; car, désignant par $p$ et $q$ les valeurs trouvées, en sorte que l’on ait

$a=bp-cq,$

et supposant en général

$a=by-cz,$

on aura

$b(y-p)-c(z-q)=0\,;$

d’où

${\frac {y-p}{z-q}}={\frac {c}{b}},$

et de là, à cause que $b$ et $c$ sont premiers entre eux,

$y-p=mc,\quad z-q=mb,$

et par conséquent

$y=p+mc,\quad z=q+mb,$

$m$ étant un nombre entier quelconque ; et il est facile de voir que ces expressions renfermeront nécessairement toutes les valeurs possibles de $y$ et $z$ dans l’équation proposée.

3. Corollaire II. — Or, puisque l’on peut prendre pour $m$ un nombre quelconque entier positif ou négatif, on pourra toujours faire en sorte que la valeur de $y$ soit égale à un nombre positif ou négatif, moindre que ${\frac {c}{2}},$ ou que celle de $z$ devienne égale à un nombre positif ou négatif, moindre que ${\frac {b}{2}}.$ Donc, quels que soient les nombres $a,b,c,$ pourvu que $b$ et $c$ soient premiers entre eux, on pourra toujours satisfaire à l’équation

$a=by-cz,$

en prenant pour $y$ un nombre entier positif ou négatif, moindre que ${\frac {c}{2}},$ ou pour $z$ un nombre moindre que ${\frac {b}{2}}\,;$ de sorte que pour trouver les valeurs convenables de $y$ et $z$ il n’y aura qu’à essayer successivement pour $y$ tous les nombres entiers moindres que ${\frac {c}{2}},$ pris positivement ou négativement, ou pour $z$ tous les nombres entiers moindres que ${\frac {b}{2}}$ pris aussi positivement ou négativement ; et ayant trouvé de cette manière

deux valeurs correspondantes de $y$ et de $z,$ on pourra ensuite, par les formules du Corollaire précédent, trouver toutes les autres valeurs possibles.

4. Corollaire III. — Soit $d$ le plus grand commun diviseur de $a$ et $c$ (on aura $d=1$ si $a$ et $c$ sont premiers entre eux), en sorte que $a=a'd,$ $c=c'd,$ $a',$ et $c'$ étant premiers entre eux, il est clair qu’à cause de $b$ premier à $c$ (hypothèse) on aura nécessairement, dans l’équation

$a=bp-cq,$

$p$ divisible par $d\,;$ donc, faisant $p=p'd,$ on aura $p+mc$ divisible par $a,$ si $p'+mc'$ est divisible par $a'\,;$ mais, par un raisonnement semblable à celui du Lemme, on peut prouver que le nombre $m$ peut toujours être pris tel que $p'+mc'$ soit divisible par $a'\,;$ donc (Corollaire I) on pourra toujours trouver une valeur de $y$ qui soit multiple de $a\,;$ soit donc

$y=ar,$

on aura

$a=abr-cz,$

ou bien

$a'=a'br-c'z\,;$

donc $c'z$ sera divisible par $a',$ et comme $c'$ est premier à $a'$ il faudra que $z$ soit aussi multiple de $a'\,;$ faisant donc

$z=a's,$

et divisant toute l’équation par $a',$ elle deviendra

$1=br-c's.$

Ainsi il n’y aura qu’à chercher les valeurs de $r$ et de $s$ qui peuvent satisfaire à cette équation, et l’on aura en général

$y=ra+mc,\quad z=sa'+mb,$

$m$ étant un nombre quelconque entier.

Problème I.

5. Étant donnée l’équation

(A)

$\mathrm {A} =\mathrm {B} t^{n}+\mathrm {C} t^{n-1}u+\mathrm {D} t^{n-2}u^{2}+\ldots +\mathrm {K} u^{n}$

que nous désignerons par (A), dans laquelle on suppose que $\mathrm {A,B,C,\ldots ,K}$ soient des nombres quelconques entiers donnés, et que $t,u$ soient deux indéterminées qui puissent être exprimées par des nombres entiers, dont l’un $u$ soit premier au nombre $\mathrm {A} ,$ on propose de ramener cette équation à une autre de la même espèce, et dans laquelle le terme tout connu soit l’unité.

Puisque $t,u$ et $\mathrm {A}$ sont des nombres entiers, et que $u$ et $\mathrm {A}$ sont premiers entre eux (hypothèse), on peut toujours trouver par le Lemme précédent deux nombres entiers $\theta$ et $y,$ tels que l’on ait

$t=u\theta -\mathrm {A} y.$

Donc, substituant cette valeur de $t$ dans l’équation (A), elle deviendra celle-ci

$\mathrm {A} =\alpha u^{n}-\beta \mathrm {A} u^{n-1}y+\gamma \mathrm {A} ^{2}u^{n-2}y^{2}-\ldots \pm \zeta \mathrm {A} ^{n}y^{n},$

en supposant, pour abréger,

${\begin{aligned}\alpha =&\mathrm {B} \theta ^{n}+\mathrm {C} \theta ^{n-1}+\mathrm {D} \theta ^{n-2}+\ldots +\mathrm {K} ,\\\beta =&n\mathrm {B} \theta ^{n-1}+(n-1)\mathrm {C} \theta ^{n-2}+(n-2)\mathrm {D} \theta ^{n-3}+\ldots ,\\\gamma =&{\frac {n(n-1)}{2}}\mathrm {B} \theta ^{n-2}+{\frac {(n-1)(n-2)}{2}}\mathrm {C} \theta ^{n-3}+\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Qu’on divise maintenant toute cette équation par $\mathrm {A} ,$ et l’on aura

$1={\frac {\alpha u^{n}}{\mathrm {A} }}-\beta u^{n-1}y+\gamma \mathrm {A} u^{n-2}y^{2}-\ldots \pm \zeta \mathrm {A} ^{n-1}y^{n},$

d’où l’on voit que la quantité ${\frac {\alpha u^{n}}{\mathrm {A} }}$ doit être égale à un nombre entier, puisque tous les autres termes de l’équation sont des nombres entiers (hypothèse), et qu’ainsi il faut que $\alpha u^{n}$ soit divisible par $\mathrm {A} \,;$ mais $u$

et $\mathrm {A}$ sont premiers entre eux (hypothèse), donc il faudra que $\alpha$ soit divisible par $\mathrm {A} \,;$ donc, faisant pour plus de simplicité

$\mathrm {{\frac {\alpha }{A}}=P,\quad -\beta =Q,\quad \gamma A=R,\quad -\delta A^{2}=S} ,\ldots ,\quad \pm \zeta \mathrm {A} ^{n-1}=\mathrm {V} ,$

on aura la transformée suivante, que nous désignerons par (B),

(B)

$1=\mathrm {P} u^{n}+\mathrm {Q} u^{n-1}y+\mathrm {R} u^{n-2}y^{2}+\ldots +\mathrm {V} y^{n},$

et qui a, comme on voit, la condition demandée par le Problème.

6. Corollaire I. — Il est visible que la quantité $\alpha$ n’est autre chose que le second membre de l’équation proposée (A) en y faisant $t=\theta$ et $u=1.$ De plus, il résulte du Corollaire II du Lemme précédent que le nombre $\theta$ peut toujours être pris moindre que ${\frac {\mathrm {A} }{2}}.$

Donc, pour que l’équation (A) puisse subsister dans les hypothèses du Problème, il faudra qu’en faisant $u=1$ on puisse trouver une valeur entière de $t$ positive ou négative, mais moindre que ${\frac {\mathrm {A} }{2}}$ (abstraction faite du signe de $t$ et de $\mathrm {A}$), laquelle rende le second membre de cette équation divisible par le premier $\mathrm {A} .$ On essayera donc pour $t$ tous les nombres entiers positifs ou négatifs, moindres que ${\frac {\mathrm {A} }{2}},$ et si l’on n’en trouve aucun qui ait la condition requise, on en conclura sur-le-champ qu’il est impossible que dans l’équation (A) les nombres $t$ et $u$ puissent être entiers et premiers entre eux, et au nombre $\mathrm {A} .$ Mais si l’on trouve un ou plusieurs nombres qui remplissent la condition prescrite, alors on pourra prendre chacun de ces nombres pour $\theta ,$ et l’on aura autant de différentes transformées (B) qu’on aura de valeurs de $\theta .$

7. Corollaire II. — Pour faciliter la recherche des valeurs de $\theta ,$ on peut employer la méthode des différences dont nous avons déjà fait usage dans le Scolie du n^o 13 du Mémoire sur la résolution des équations numériques. En effet, par cette méthode, dès qu’on aura trouvé les valeurs de la quantité $\alpha ,$ c’est-à-dire de

$\mathrm {B} \theta ^{n}+\mathrm {C} \theta ^{n-1}+\mathrm {D} \theta ^{n-2}+\ldots +\mathrm {K}$

lorsque $\theta =0,1,2,\ldots ,(n-1),$ on pourra ; par la seule addition, trouver les valeurs de la même quantité pour toutes les autres valeurs positives de $\theta ,$ et même pour les valeurs négatives en continuant les mêmes séries du côté opposé (3^o du numéro cité) ; il faudra seulement observer que, dans ce cas, chaque terme d’une série sera égal à celui qui le précédera dans la même série, moins celui qui se trouvera au-dessus de lui dans la série supérieure. Connaissant donc ainsi les valeurs de $\alpha$ depuis $\theta =0$ jusqu’à $\theta ={\frac {\mathrm {A} }{2}}$ d’un côté, et jusqu’à $\theta ={\frac {-\mathrm {A} }{2}}$ de l’autre, il n’y aura plus qu’à voir quelles sont celles qui sont divisibles par $\mathrm {A} ,$ ce qu’on pourra reconnaître aisément par les tables des diviseurs, et les valeurs correspondantes de $\theta$ seront les nombres cherchés.

Mais avant de se mettre à calculer les valeurs de $\alpha ,$ il sera à propos de simplifier l’expression de cette quantité en mettant, à la place des coefficients qui se trouveront plus grands que $\mathrm {A} ,$ les restes de leur division par $\mathrm {A} \,;$ on pourra même réduire tous les coefficients à n’être pas plus grands que ${\frac {\mathrm {A} }{2}}\,;$ car, en général, il est clair que si la quantité $\alpha$ est divisible par $\mathrm {A} ,$ les coefficients $\mathrm {B,C,D} ,\ldots$ ayant des valeurs quelconques données, elle le sera aussi après avoir retranché de ces coefficients ou y avoir ajouté des multiples quelconques de $\mathrm {A} \,;$ ainsi l’on pourra mettre $\mathrm {B} \pm m\mathrm {A}$ à la place de $\mathrm {B} ,$ $\mathrm {C} \pm n\mathrm {A}$ à la place de $\mathrm {C} ,$ et ainsi des autres, $m,n,\ldots$ étant des nombres quelconques entiers ; or, quelle que soit la valeur de $\mathrm {B} ,$ il est clair qu’on peut toujours déterminer la valeur et le signe du nombre $m,$ en sorte que $\mathrm {B} \pm m\mathrm {A}$ devienne moindre que ${\frac {\mathrm {A} }{2}}\,;$ il en est de même de $\mathrm {C} \pm n\mathrm {A} ,$ et ainsi du reste ; donc, etc.

8. Corollaire III. — Par la méthode du numéro précédent on peut trouver facilement toutes les valeurs de $\theta$ qui peuvent rendre la quantité $\alpha$ divisible par $\mathrm {A} \,;$ car tout se réduit à trouver celles qui sont moindres que ${\frac {\mathrm {A} }{2}}.$ En effet, supposons que $\alpha$ soit divisible par $\mathrm {A} ,$ $\theta$ ayant une valeur quelconque donnée, il est clair qu’en mettant $\theta \pm m\mathrm {A}$ à la place de $\theta$ ($m$ étant un nombre entier quelconque), la valeur résultante de $\alpha$ sera encore divisible par $\mathrm {A} \,;$ or on peut prendre le signe et la valeur de $m$ tels, que $\theta \pm m\mathrm {A}$ devienne moindre que ${\frac {\mathrm {A} }{2}},$ et il est facile de voir que cela ne peut se faire que d’une seule manière ; donc, si l’on désigne par $\theta '$ cette valeur de $\theta \pm m\mathrm {A}$ qui est moindre que ${\frac {\mathrm {A} }{2}},$ on aura en général

$\theta =\theta '\pm m\mathrm {A} .$

De là il est facile de conclure que, si $\theta ',\theta '',\theta ''',\ldots$ sont les valeurs de $\theta ,$ tant positives que négatives, mais plus petites que ${\frac {\mathrm {A} }{2}}$ lesquelles rendent la quantité $\alpha$ divisible par $\mathrm {A} ,$ toutes les autres valeurs possibles de $\theta$ qui pourront faire le même effet seront renfermées dans ces formules

$\theta '\pm m\mathrm {A} ,\quad \theta ''\pm n\mathrm {A} ,\quad \theta '''\pm p\mathrm {A} ,\ldots ,$

$m,n,p,\ldots$ étant des nombres quelconques entiers, positifs ou négatifs.

Ainsi, une équation quelconque de la forme

$\mathrm {A} y=\mathrm {B} \theta ^{n}+\mathrm {C} \theta ^{n-1}+\mathrm {D} \theta ^{n-2}+\ldots +\mathrm {K}$

étant donnée, on pourra reconnaître si elle est résoluble en nombres entiers, et trouver en même temps toutes les valeurs de $\theta$ et de $y.$

9. Corollaire IV. — Lorsque le nombre $\mathrm {A}$ est un nombre composé, alors, au lieu de prendre ce nombre même pour diviseur, il sera plus commode de prendre successivement chacun de ses facteurs. Car il est clair que la quantité $\alpha$ ne saurait être divisible par $\mathrm {A} ,$ à moins qu’elle ne le soit aussi par chacun des diviseurs de $\mathrm {A} .$ Soient donc $a,b,c,\ldots$ ces diviseurs, on essayera d’abord pour $\theta$ tous les nombres entiers tant positifs que négatifs moindres que ${\frac {a}{2}},$ et, nommant $t$ celui ou ceux (s’il y en a plus d’un) qui rendront $\alpha$ divisible par $a,$ toutes les valeurs possibles de $\theta$ qui pourront rendre $\alpha$ divisible par $a$ seront représentées par

$t+\theta 'a,$

$\theta '$ étant un nombre quelconque entier positif ou négatif. On substituera donc $t+\theta 'a$ à la place de $\theta$ dans la quantité $\alpha ,$ et divisant par $a,$ ordonnant par rapport à $\theta ',$ on aura une transformée que nous appellerons $\alpha ',$ et dans laquelle $\theta '$ sera un nombre indéterminé.

On essayera de nouveau pour $\theta '$ tous les nombres entiers positifs ou négatifs moindres que ${\frac {b}{2}},$ et, nommant $t'$ ceux qui rendront $\alpha '$ divisible par $b,$ on fera ensuite

$\theta '=t'+\theta ''b,$

ce qui donnera, après avoir divisé par $b,$ une nouvelle transformée $\alpha '',$ où $\theta ''$ sera un nombre indéterminé, et ainsi de suite. De cette manière, on trouvera aisément toutes les valeurs de $\theta$ qui pourront rendre $\alpha$ divisible par $a,$ par $b,$ par $c,\ldots ,$ et par conséquent par $abc\ldots .$

En effet, puisque $t+a\theta '$ représente toutes les valeurs de $\theta$ qui peuvent rendre $\alpha$ divisible par $a,$ et que $t'+\theta ''b$ représente toutes celles de $\theta '$ qui peuvent rendre $\alpha '$ ou ${\frac {\alpha }{a}}$ divisible par $b,$ il est clair que

$t+at'+ab\theta ''$

représenteront toutes les valeurs de $\theta$ qui pourront rendre $\alpha$ divisible, premièrement par $a,$ et ensuite par $b,$ c’est-à-dire divisible par $ab\,;$ donc si l’on a, par exemple,

$\mathrm {A} =ab,$

les valeurs de $\theta$ qui rendront $\alpha$ divisible par $\mathrm {A}$ seront exprimées en général par

$t+at'+\mathrm {A} \theta ''$

$\theta ''$ étant un nombre quelconque entier.

Par là on pourra trouver toutes les valeurs de $\theta$ moindres que ${\frac {\mathrm {A} }{2}}$ pour lesquelles $\alpha$ sera divisible par $\mathrm {A} \,;$ car il n’y aura pour cela qu’à déterminer le nombre $\theta ''$ en sorte que

$t+at'+\mathrm {A} \theta ''$

devienne moindre que ${\frac {\mathrm {A} }{2}},$ ce qui ne pourra se faire que d’une seule manière pour chaque valeur de $t+at'\,;$ de sorte qu’il ne pourra y avoir qu’autant des valeurs de $\theta$ dont nous parlons qu’il y aura de différentes valeurs de $t+at'.$

10. Corollaire V. — Si $\mathrm {A}$ est un nombre premier, il ne peut y avoir au plus que $n$ différentes valeurs de $\theta$ moindres que ${\frac {\mathrm {A} }{2}},$ et telles que $\alpha$ soit divisible par $\mathrm {A} \,;$ et si $\mathrm {A}$ est un nombre composé dont les facteurs premiers soient au nombre de $r,$ il ne pourra y avoir au plus que $n^{r}$ de ces valeurs de $\theta .$

Car, dans le premier cas, soit, par exemple, $n=3,$ en sorte que l’expression de $\alpha$ soit

$\mathrm {B\theta ^{3}+C\theta ^{2}+D\theta +E} ,$

$\mathrm {B,C,D,E}$ n’étant point divisibles par $\mathrm {A} ,$ et supposons, s’il est possible, qu’il y ait quatre valeurs de $\theta$ que nous désignerons par $\theta ,\theta ',\theta '',\theta ''',$ lesquelles soient positives ou négatives, mais toutes moindres que ${\frac {\mathrm {A} }{2}},$ et telles que $\alpha$ soit divisible par $\mathrm {A} \,;$ on aura donc ces quatre valeurs de $\alpha ,$ savoir

${\begin{aligned}&\mathrm {B\theta ^{3}\ \ \ +C\theta ^{2}\ \ +D\theta \ \ \,+E} ,\\&\mathrm {B\theta '^{3}\ \ +C\theta '^{2}\ +D\theta '\ \,+E} ,\\&\mathrm {B\theta ''^{3}\ +C\theta ''^{2}\,+D\theta ''\,+E} ,\\&\mathrm {B\theta '''^{3}+C\theta '''^{2}+D\theta '''+E} ,\end{aligned}}$

lesquelles seront chacune divisibles par $\mathrm {A} \,;$ donc leurs différences le seront aussi ; donc les trois quantités

${\begin{aligned}&\mathrm {B\left(\theta ^{3}-\theta '^{3}\ \ \right)+C\left(\theta ^{2}-\theta '^{2}\ \right)+D\left(\theta -\theta '\ \ \right)} ,\\&\mathrm {B\left(\theta ^{3}-\theta ''^{3}\ \right)+C\left(\theta ^{2}-\theta ''^{2}\,\right)+D\left(\theta -\theta ''\ \right)} ,\\&\mathrm {B\left(\theta ^{3}-\theta '''^{3}\right)+C\left(\theta ^{2}-\theta '''^{2}\right)+D\left(\theta -\theta '''\right)} ,\\\end{aligned}}$

seront chacune divisibles par $\mathrm {A} \,;$ mais la première de ces quantités est

divisible par $\theta -\theta ',$ la seconde par $\theta -\theta '',$ et la troisième par $\theta -\theta '''\,;$ donc, puisque les nombres

$\theta -\theta ',\quad \theta -\theta '',\quad \theta -\theta '''$

sont moindres que $\mathrm {A}$ (hypothèse) et que $\mathrm {A}$ est un nombre premier, il faudra que les quantités dont il s’agit soient divisibles par $\mathrm {A} ,$ abstraction faite des facteurs

$\theta -\theta ',\quad \theta -\theta '',\quad \theta -\theta '''\,;$

donc, rejetant ces facteurs, c’est-à-dire en les faisant disparaître par la division, on aura les quantités

${\begin{aligned}&\mathrm {B\left(\theta ^{2}+\theta \theta '\ +\theta '^{2}\ \ \right)+C(\theta +\theta '\ \ )+D} ,\\&\mathrm {B\left(\theta ^{2}+\theta \theta ''\,+\theta ''^{2}\ \right)+C(\theta +\theta ''\ )+D} ,\\&\mathrm {B\left(\theta ^{2}+\theta \theta '''+\theta '''^{2}\right)+C(\theta +\theta ''')+D} ,\end{aligned}}$

qui devront être chacune divisibles par $\mathrm {A} .$ Donc les différences de ces quantités le seront aussi ; mais ces différences sont

${\begin{aligned}&\mathrm {B\left(\theta \theta '+\theta '^{2}-\theta \theta ''\,-\theta ''^{2}\ \right)+C(\theta '-\theta ''\ )} ,\\&\mathrm {B\left(\theta \theta '+\theta '^{2}-\theta \theta '''-\theta '''^{2}\right)+C(\theta '-\theta ''')} ,\end{aligned}}$

dont la première est divisible par $\theta '-\theta '',$ et la seconde par $\theta '-\theta '''\,;$ donc, par la même raison que ci-dessus, il faudra qu’elles soient encore divisibles par $\mathrm {A} ,$ après avoir été divisées par

$\theta '-\theta '',\quad {\text{et par}}\quad \theta '-\theta '''\,;$

donc on aura les quantités

${\begin{aligned}&\mathrm {B\left(\theta +\theta '+\theta ''\ \right)+C} ,\\&\mathrm {B\left(\theta +\theta '+\theta '''\right)+C} ,\end{aligned}}$

qui seront donc encore divisibles par $\mathrm {A} .$ Donc leur différence le sera aussi ; mais cette différence est, comme on voit, $\mathrm {B} (\theta ''-\theta '''),$ qui ne peut être divisible par $\mathrm {A} ,$ à cause que $\mathrm {B}$ ne l’est pas, et que le nombre $\theta ''-\theta '''$ ne peut l’être, étant nécessairement plus petit que $\mathrm {A} .$ Donc, etc.

Il est visible que cette démonstration peut s’étendre au cas où $n$ aura une valeur quelconque, et qu’ainsi la proposition est générale. ${\displaystyle }$ Dans le second cas, supposons que le nombre $\mathrm {A}$ soit le produit de deux nombres premiers $a,b\,;$ il ne pourra y avoir, par le Corollaire précédent, plus de valeurs de $\theta$ moindres que ${\frac {\mathrm {A} }{2}},$ lesquelles rendent $\alpha$ divisible par $\mathrm {A} ,$ qu’il n’y aura de différentes valeurs de $t+at'\,;$ or, $a$ et $b$ étant des nombres premiers, il ne pourra y avoir au plus que $n$ valeurs de $t$ et autant de $t'\,;$ donc, combinant ensemble chacune des valeurs de $t',$ il ne pourra résulter au plus que $nn$ valeurs différentes de $t+at'\,;$ donc, etc.

On prouvera de la même manière que les valeurs de $\theta$ moindres que ${\frac {\mathrm {A} }{2}}$ ne pourront être qu’au nombre de $nnn,$ ou de $n^{3},$ lorsque $\mathrm {A}$ sera le produit de trois nombres premiers $a,b,c,$ et ainsi de suite.

Lemme II.

11. Si l’on a une équation quelconque déterminée qui ait une ou plusieurs racines réelles, on peut toujours, par la méthode que nous avons donnée dans notre Mémoire sur la résolution des équations numériques, exprimer chacune de ses racines positives par une fraction continue, et déduire de là une suite de fractions convergentes vers la même racine, mais alternativement plus grandes et plus petites que cette racine ; ensuite, si l’on insère encore entre ces fractions principales autant de fractions secondaires qu’il est possible, et qu’on range dans deux classes séparées les fractions plus grandes et les fractions plus petites que la racine cherchée, on aura deux séries de fractions convergentes vers cette même racine, et dont l’une commencera par ${\frac {0}{1}}$ et ne sera composée que de fractions plus petites que la racine dont il s’agit, et dont l’autre commencera par ${\frac {1}{0}}$ et sera composée de fractions plus grandes que la même racine.

Quant aux racines négatives, il n’y aura qu’à les rendre d’abord positives en changeant dans l’équation l’inconnue $x$ en $-x.$

Soit $a$ une des racines positives de l’équation donnée, on trouvera la fraction continue

$a=\lambda _{1}+{\frac {1}{\lambda _{2}+{\cfrac {1}{\lambda _{3}+\ldots }}}},$

$\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3},\ldots$ étant des nombres entiers positifs ; or, ces nombres étant ainsi connus, on fera

${\begin{alignedat}{2}l_{1}&=\lambda _{1},&\mathrm {L} _{1}&=1,\\l_{2}&=\lambda _{2}l_{1}+1,&\mathrm {L} _{2}&=\lambda _{2},\\l_{3}&=\lambda _{3}l_{2}+l_{1},&\mathrm {L} _{3}&=\lambda _{3}\mathrm {L_{2}+L_{1}} ,\\l_{4}&=\lambda _{4}l_{3}+l_{2},\qquad &\mathrm {L} _{4}&=\mathrm {\lambda _{4}L_{3}+L_{2}} ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}$

et l’on aura cette suite de fractions principales convergentes vers $a,$ et alternativement plus petites et plus grandes que $a,$

(C)

${\frac {0}{1}},\quad {\frac {1}{0}},\quad {\frac {l_{1}}{\mathrm {L} _{1}}},\quad {\frac {l_{2}}{\mathrm {L} _{2}}},\quad {\frac {l_{3}}{\mathrm {L} _{3}}},\quad {\frac {l_{4}}{\mathrm {L} _{4}}},\ldots ,$

que nous désignerons par (C).

De plus, on substituera successivement, dans les expressions de $l_{1},\mathrm {L} _{1},$ $l_{2},\mathrm {L} _{2},\ldots ,$ à la place des nombres $\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,$ tous les nombres entiers positifs moindres que ceux-ci ; et faisant, pour abréger,

${\begin{alignedat}{2}l_{1}\ \ &=\lambda _{1},&\mathrm {L} _{1}\ \ &=1,\\l_{1}^{(1)}&=l_{1}\ \ +1,&\mathrm {L} _{1}^{(1)}&=\mathrm {L} _{1},\\l_{1}^{(2)}&=2l_{1}+1,&\mathrm {L} _{1}^{(2)}&=2\mathrm {L} _{1},\\l_{1}^{(3)}&=3l_{1}+1,&\mathrm {L} _{1}^{(3)}&=3\mathrm {L} _{1},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots ,\\l_{1}^{(\lambda _{2})}&=\lambda _{2}l_{1}+1=l_{2},&\mathrm {L} _{1}^{(\lambda _{2})}&=\lambda _{2}\mathrm {L_{1}=L_{2}} \,;\\\\l_{2}^{(1)}&=\ \ l_{2}+l_{1},&\mathrm {L} _{2}^{(1)}&=\ \ \mathrm {L_{2}+L_{1}} ,\\l_{2}^{(2)}&=2l_{2}+l_{1},&\mathrm {L} _{2}^{(2)}&=2\mathrm {L_{2}+L_{1}} ,\\l_{2}^{(3)}&=3l_{2}+l_{1},&\mathrm {L} _{2}^{(3)}&=3\mathrm {L_{2}+L_{1}} ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots ,\\l_{2}^{(\lambda _{3})}&=\lambda _{3}l_{2}+1l_{1}=l_{3},\qquad &\mathrm {L} _{2}^{(\lambda _{3})}&=\lambda _{3}\mathrm {L_{2}+L_{1}=L_{3}} \,;\end{alignedat}}$

${\begin{alignedat}{2}l_{3}^{(1)}&=\ \ l_{3}+l_{2},&\mathrm {L} _{3}^{(1)}&=\ \ \mathrm {L_{3}+L_{2}} ,\\l_{3}^{(2)}&=2l_{3}+l_{2},&\mathrm {L} _{3}^{(2)}&=2\mathrm {L_{3}+L_{2}} ,\\l_{3}^{(3)}&=3l_{3}+l_{2},&\mathrm {L} _{3}^{(3)}&=3\mathrm {L_{3}+L_{2}} ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots ,\\l_{3}^{(\lambda _{4})}&=\lambda _{4}l_{3}+l_{2}=l_{3},\qquad &\mathrm {L} _{3}^{(\lambda _{4})}&=\lambda _{4}\mathrm {L_{3}+L_{2}} \,;\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\end{alignedat}}$

on aura ces deux séries de fractions convergentes vers $a,$

(D)

${\frac {0}{1}},{\frac {1}{1}},{\frac {2}{1}},{\frac {3}{1}},\ldots ,{\frac {l_{1}}{\mathrm {L} _{1}}},{\frac {l_{2}^{(1)}}{\mathrm {L} _{2}^{(1)}}},{\frac {l_{2}^{(2)}}{\mathrm {L} _{2}^{(2)}}},{\frac {l_{2}^{(3)}}{\mathrm {L} _{2}^{(3)}}},\ldots ,{\frac {l_{3}}{\mathrm {L} _{3}}},{\frac {l_{4}^{(1)}}{\mathrm {L} _{4}^{(1)}}},{\frac {l_{4}^{(2)}}{\mathrm {L} _{4}^{(2)}}},{\frac {l_{4}^{(3)}}{\mathrm {L} _{4}^{(3)}}},\ldots .$

(E)

${\frac {1}{0}},{\frac {l_{1}^{(1)}}{\mathrm {L} _{1}^{(1)}}},{\frac {l_{1}^{(2)}}{\mathrm {L} _{1}^{(2)}}},{\frac {l_{1}^{(3)}}{\mathrm {L} _{1}^{(3)}}},\ldots ,{\frac {l_{2}}{\mathrm {L} _{2}}},{\frac {l_{3}^{(1)}}{\mathrm {L} _{3}^{(1)}}},{\frac {l_{3}^{(2)}}{\mathrm {L} _{3}^{(2)}}},{\frac {l_{3}^{(3)}}{\mathrm {L} _{3}^{(3)}}},\ldots ,{\frac {l_{4}}{\mathrm {L} _{4}}},{\frac {l_{5}^{(1)}}{\mathrm {L} _{5}^{(1)}}},{\frac {l_{5}^{(2)}}{\mathrm {L} _{5}^{(2)}}},{\frac {l_{5}^{(3)}}{\mathrm {L} _{5}^{(3)}}},\ldots ,$

dont La première, que je désignerai par (D), est composée de fractions croissantes et toutes plus petites que $a,$ et dont la seconde, que je désignerai par (E), est composée de fractions décroissantes et toutes plus grandes que $a.$

12. Corollaire I. — Il est facile de voir que les numérateurs et les dénominateurs des fractions de chacune des trois séries (C), (D), (E) vont continuellement en augmentant.

13. Corollaire II. — Si ${\frac {l_{\rho }}{\mathrm {L} _{\rho }}},\ {\frac {l_{\rho +1}}{\mathrm {L} _{\rho +1}}}$ sont deux fractions consécutives de la série (C), on aura

$l_{\rho +1}\mathrm {L} _{\rho }-\mathrm {L} _{\rho +1}l_{\rho }=\pm 1,$

le signe supérieur étant pour le cas où l’exposant $\rho$ est impair, c’est-à-dire où la fraction ${\frac {l_{\rho }}{\mathrm {L} _{\rho }}}$ est plus petite que $a,$ et le signe inférieur pour le cas opposé ; d’où il s’ensuit :

1^o Que chaque fraction ${\frac {l_{\rho }}{\mathrm {L} _{\rho }}}$ est déjà réduite à ses moindres termes ; car autrement il faudrait que l’unité fût divisible par la plus grande commune mesure de $l_{\rho }$ et $\mathrm {L} _{\rho }\,;$

2^o Qu’il est impossible qu’entre les deux fractions ${\frac {l_{\rho }}{\mathrm {L} _{\rho }}},\ {\frac {l_{\rho +1}}{\mathrm {L} _{\rho +1}}},$ il puisse tomber une autre fraction rationnelle quelconque dont le dénominateur soit moindre que $\mathrm {L} _{\rho +1}\,;$ car soit, s’il est possible, ${\frac {h}{\mathrm {H} }}$ cette fraction, et il faudra que l’on ait, ou

${\frac {l_{\rho }}{\mathrm {L} _{\rho }}}-{\frac {h}{\mathrm {H} }}<{\frac {l_{\rho }}{\mathrm {L} _{\rho }}}-{\frac {l_{\rho +1}}{\mathrm {L} _{\rho +1}}},$

lorsque $p$ est pair, ou

${\frac {h}{\mathrm {H} }}-{\frac {l_{\rho }}{\mathrm {L} _{\rho }}}<{\frac {l_{\rho +1}}{\mathrm {L} _{\rho +1}}}-{\frac {l_{\rho }}{\mathrm {L} _{\rho }}},$

lorsque $p$ est impair, c’est-à-dire, dans le premier cas,

$l_{\rho }\mathrm {H} -\mathrm {L} _{\rho }h<\mathrm {\frac {H}{L_{\rho +1}}} \left(l_{\rho }\mathrm {L} _{\rho +1}-\mathrm {L} _{\rho }l_{\rho +1}\right)<\mathrm {\frac {H}{L_{\rho +1}}} ,$

et dans le second,

$\mathrm {L} _{\rho }h-l_{\rho }\mathrm {H} <\mathrm {\frac {H}{L_{\rho +1}}} \left(l_{\rho +1}\mathrm {L} _{\rho }-\mathrm {L} _{\rho +1}l_{\rho }\right)<\mathrm {\frac {H}{L_{\rho +1}}} ,$

ce qui ne se peut, à cause que $l_{\rho }\mathrm {H} -\mathrm {L} _{\rho }h$ dans le premier cas, et $\mathrm {L} _{\rho }h-l_{\rho }\mathrm {H}$ dans le second, est nécessairement un nombre entier positif, et que $\mathrm {\frac {H}{L_{\rho +1}}}$ est toujours une fraction (hypothèse) ;

3^o Que comme la racine $a$ tombe entre les deux fractions ${\frac {l_{\rho }}{\mathrm {L} _{\rho }}},\ {\frac {l_{\rho +1}}{\mathrm {L} _{\rho +1}}},$ mais plus près de ${\frac {l_{\rho +1}}{\mathrm {L} _{\rho +1}}}$ que de ${\frac {l_{\rho }}{L_{\rho }}},$ toute fraction, comme ${\frac {h}{\mathrm {H} }},$ qui aura un dénominateurs $\mathrm {H}$ moindre que $\mathrm {L} _{\rho +1},$ approchera toujours moins de la racine $a$ que la fraction ${\frac {l_{\rho +1}}{L_{\rho +1}}},$ et même moins que la fraction ${\frac {l_{\rho }}{L_{\rho }}}$ si cette fraction est du même côté de $a$ que la fraction ${\frac {h}{\mathrm {H} }},$ c’est-à-dire si l’une et l’autre sont en même temps plus grandes ou plus petites que $a.$

14. Corollaire III. — Si ${\frac {e}{\mathrm {E} }},{\frac {f}{\mathrm {F} }}$ désignent deux fractions consécutives quelconques de la série (D) ou (E), du Lemme précédent, on aura en général, par les formules

${\begin{alignedat}{2}e=&l_{\rho }+ml_{\rho +1},&\mathrm {E} =&\mathrm {L} _{\rho }+m\mathrm {L} _{\rho +1},\\f=&l_{\rho }+(m+1)l_{\rho +1},\qquad &\mathrm {F} =&\mathrm {L} _{\rho }+(m+1)\mathrm {L} _{\rho +1},\end{alignedat}}$

l’exposant $\rho$ étant toujours impair dans la série (D), où les fractions sont moindres que $a,$ et toujours pair dans la série (E), où elles sont plus grandes que $a.$

Ainsi l’on aura dans la série (D)

${\begin{aligned}&f\mathrm {L} _{\rho +1}-\mathrm {F} l_{\rho +1}=1,\\&f\mathrm {E} -\mathrm {F} e=1,\end{aligned}}$

et dans la série (E)

${\begin{aligned}&f\mathrm {L} _{\rho +1}-\mathrm {F} l_{\rho +1}=-1,\\&f\mathrm {E} -\mathrm {F} e=-1,\end{aligned}}$

d’où il est aisé de conclure, par un raisonnement semblable à celui du Corollaire précédent :

1^o Que toutes les fractions, tant de la série (D) que de la série (E), seront aussi réduites à leurs moindres termes ;

2^o Qu’il n’y a aucune fraction rationnelle qui, ayant un dénominateur moindre que $\mathrm {F} ,$ puisse tomber, soit entre les fractions ${\frac {f}{\mathrm {F} }},\ {\frac {l_{\rho +1}}{\mathrm {L} _{\rho +1}}}$ soit entre celles-ci ${\frac {f}{\mathrm {F} }},\ {\frac {e}{\mathrm {E} }}\,;$

3^o Que, comme les fractions ${\frac {f}{\mathrm {F} }},\ {\frac {l_{\rho +1}}{\mathrm {L} _{\rho +1}}}$ sont toujours l’une plus grande et l’autre plus petite que $a,$ et que les fractions ${\frac {f}{\mathrm {F} }},\ {\frac {e}{\mathrm {E} }}$ sont toutes deux ou plus grandes ou plus petites que $a,$ toute fraction rationnelle qui aura un dénominateur moindre que $\mathrm {F} ,$ et qui tombera du même côté de $a$ que les fractions ${\frac {e}{\mathrm {E} }},\ {\frac {f}{\mathrm {F} }},$ sera nécessairement moins approchante de $a$ que la fraction ${\frac {e}{\mathrm {E} }}.$

15. Scolie. — Si la racine $a$ est incommensurable, la fraction continue ira à l’infini, et par conséquent les séries (C), (D), (E) iront aussi à l’infini ; mais, si la racine $a$ est rationnelle, alors la fraction continue sera terminée, et la suite des fractions principales (C) le sera aussi, de sorte que la dernière de ces fractions sera égale à la valeur même de la racine $a\,;$ or, ce cas a lieu lorsque quelqu’un des dénominateurs $\lambda _{2},\lambda _{3},\ldots$ devient infini (n^o 21 du Mémoire sur la résolution des équations numériques) ; supposons donc en général que l’on ait trouvé $\lambda _{\mu }=\infty ,$ en sorte que le dénominateur précédent $\lambda _{\mu -1}$ soit la racine exacte de la transformée d’où il dépend, et la fraction ${\frac {l_{\mu -1}}{\mathrm {L} _{\mu -1}}}$ sera la dernière de la suite des fractions principales (C), de sorte que cette même fraction sera égale à la racine $a\,;$ or, il est facile de voir que, si $\mu -1$ est un nombre impair, la fraction ${\frac {l_{\mu -1}}{\mathrm {L} _{\mu -1}}}$ se trouvera dans la série (D), et sera par conséquent la dernière de cette série, et qu’à cause de $\lambda _{\mu }=\infty ,$ la série (E) ira nécessairement à l’infini ; vice versa, si $\mu -1$ est pair, la série (E) se terminera dans la fraction ${\frac {l_{\mu -1}}{L_{\mu -1}}}$ et la série (D) ira à l’infini ; de sorte que des deux séries (D) et (E) il y en aura toujours une qui ira à l’infini et l’autre qui se terminera dans la fraction ${\frac {l_{\mu -1}}{L_{\mu -1}}}\,;$ or, on peut aussi faire en sorte que celle-ci aille à l’infini ; pour cela, il n’y aura qu’à diminuer le nombre $\lambda _{\mu -1}$ d’une unité, ensuite faire $\lambda _{\mu }=1$ et $\lambda _{\mu +1}=\infty \,;$ car il est visible que

$\lambda _{\mu -1}+{\frac {1}{\infty }}$

est la même chose que

$\lambda _{\mu -1}-1+{\frac {1}{1+{\cfrac {1}{\infty }}}}\,;$

par ce moyen, la fraction continue sera augmentée d’un terme, de sorte que la dernière des fractions principales sera ${\frac {l_{\mu }}{\mathrm {L} _{\mu }}}.$ Ainsi, si l’exposant de

la dernière fraction est pair, il deviendra impair, et vice versa ; d’où il suit que parce moyen celle des deux suites (D) et (E) qui était terminée deviendra nécessairement infinie. Il semble qu’il pourrait y avoir quelque difficulté dans le cas où $\lambda _{\mu -1}$ serait égal à l’unité ; mais dans ce cas il arrivera que deux termes de la fraction continue disparaîtront en même temps, de sorte que le nombre des termes continuera à être pair ou impair, comme si $\lambda _{\mu -1}-1$ n’était pas nul ; en effet, si l’on considère la fraction continue

${\frac {1}{\lambda _{\mu -2}+{\cfrac {1}{\lambda _{\mu -1}-1{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\infty }}}}}}}},$

et qu’on suppose que $\lambda _{\mu -1}-1=0,$ elle deviendra

${\frac {1}{\lambda _{\mu -3}+1+{\cfrac {1}{\infty }}}},$

de sorte qu’au lieu qu’il y avait quatre dénominateurs il n’y en aura plus que deux. Au reste, il est facile de se convaincre avec un peu de réflexion que, lorsque la fraction continue est terminée, le dernier dénominateur $\lambda _{\mu -1}$ sera toujours different de l’unité.

De là nous pouvons conclure que les deux suites de fractions (D) et (E) peuvent toujours être supposées aller à l’infini, de sorte que tant les numérateurs que les dénominateurs de ces fractions formeront des suites de nombres commençant par $0$ ou par $1,$ et allant en augmentant à l’infini.

Problème II.

16. On propose de trouver tous les nombres entiers $u$ et $y$ qui peuvent satisfaire à l’équation

(F)

$\mathrm {P} u^{n}+\mathrm {Q} u^{n-1}y+\mathrm {R} u^{n-2}y^{2}+\ldots +\mathrm {V} y^{n}=1,$

que nous désignerons par (F), et dans laquelle nous supposons que $\mathrm {P,Q} ,$ $\mathrm {R,\ldots ,V}$ soient des nombres entiers donnés.

Il est d’abord évident que l’équation ne saurait subsister dans l’hypothèse que $u$ et $y$ soient entiers, si les nombres donnés $\mathrm {P,Q,R} ,\ldots$ avaient un commun diviseur autre que l’unité ; car alors, le premier membre étant tout divisible par ce commun diviseur, il faudrait que le second le fût aussi, ce qui ne se peut.

Par la même raison, on voit aussi que les nombres $u$ et $y$ doivent être premiers entre eux ; autrement tout le premier membre de l’équation serait divisible par leur plus grande commune mesure, élevée à la puissance $n,$ et par conséquent il ne saurait être égal à l’unité.

Cela posé, soient donc $u$ et $y$ deux nombres, entiers premiers entre eux qui satisfassent à l’équation (F) ; divisant cette équation par $y^{n}$ et faisant $x={\frac {u}{y}},$ on aura celle-ci

(G)

$\mathrm {P} x^{n}+\mathrm {Q} x^{n-1}+\mathrm {R} x^{n-2}+\ldots +\mathrm {V} ={\frac {1}{y^{n}}},$

que nous désignerons par (G).

Donc, si l’on considère en général l’équation à deux variables

(H)

$\mathrm {P} x^{n}+\mathrm {Q} x^{n-1}+\mathrm {R} x^{n-2}+\ldots +\mathrm {V} =z,$

que nous désignerons par (H) et qui représente, comme on voit, une courbe parabolique dont $x$ est l’abscisse et $z$ l’ordonnée, il faudra qu’en faisant $x={\frac {u}{y}}$ on ait $z={\frac {1}{y^{n}}},$ c’est-à-dire qu’à l’abscisse ${\frac {u}{y}}$ il réponde un ordonnée égale à ${\frac {1}{y^{n}}}.$ Or, si cette ordonnée n’est pas un minimum, il est ordonnée égale à visible que d’un côté ou de l’autre la courbe ira nécessairement s’approchant de l’axe jusqu’à ce qu’elle parvienne à un point d’intersection avec l’axe, ou de minimum ; soit donc a l’abscisse qui répondra à ce point, et toutes les ordonnées qui répondront à des abscisses comprises entre ces deux-ci ${\frac {u}{y}}$ et $a,$ auront nécessairement des valeurs moindres que ${\frac {1}{y^{n}}}$ et de même signe que ${\frac {1}{y^{n}}},$ c’est-à-dire des valeurs qui tomberont entre $0$ et ${\frac {1}{y^{n}}}\,;$ de sorte que, lorsque $z$ aura une valeur plus grande que ${\frac {1}{y^{n}}},$ ou

de signe différent, c’est-à-dire une valeur qui ne tombe pas entre et ${\frac {1}{y^{n}}}$ et $0,$ on sera sûr que l’abscisse correspondante $x$ ne pourra pas tomber entre ${\frac {u}{y}}$ et $a.$

Maintenant, comme la supposition de $x=a$ doit répondre à $z=0$ ou à $z$ égal à un minimum, il est clair que $a$ ne pourra être qu’une des racines de l’équation $z=0,$ savoir

$\mathrm {P} x^{n}+\mathrm {Q} x^{n-1}+\mathrm {R} x^{n-2}+\ldots +\mathrm {V} =0,$

ou de l’équation ${\frac {dz}{dx}}=0,$ savoir

$n\mathrm {P} x^{n-1}+(n-1)\mathrm {Q} x^{n-2}+(n-2)\mathrm {R} x^{n-3}+\ldots =0,$

de sorte qu’on pourra trouver toutes les valeurs de $a.$

Je suppose ici que la racine $a$ soit positive ; si elle était négative, on commencerait par la rendre positive en changeant les signes des termes qui renfermeraient des puissances impaires de $x\,;$ et pour cela il n’y aurait qu’à mettre, dans l’équation proposée (F), $-u$ à la place de $u,$ c’est-à-dire prendre $u$ avec un signe contraire.

On pourra donc trouver, par le Lemme précédent, deux suites infinies de fractions telles que (D) et (E) qui convergent vers $a,$ et qui aient les propriétés que nous avons exposées ; or, je dis que la fraction ${\frac {u}{y}}$ sera nécessairement une de ces mêmes fractions.

Je vais démontrer d’abord que la fraction ${\frac {u}{y}}$ doit être de même signe que la racine $a.$ Comme cette racine est positive (hypothèse), si la fraction ${\frac {u}{y}}$ est négative, il est clair que la fraction ${\frac {0}{1}}$ approchera plus de la racine $a$ que ne fera la fraction ${\frac {u}{y}}\,;$ donc, puisque ${\frac {0}{1}}$ tombe entre ${\frac {u}{y}}$ et $a,$ si dans l’équation (H) on fait, $x={\frac {0}{1}},$ il faudra que la valeur correspondante de $z$ tombe entre ${\frac {1}{y^{n}}}$ et $0\,;$ mais, en faisant $x=0,$ on a $z=\mathrm {V} \,;$ donc, puisque $\mathrm {V}$ est un nombre entier (hypothèse), il est impossible qu’il puisse tomber entre $0$ et ${\frac {1}{y^{n}}}\,;$ donc, etc.

Je démontrerai maintenant que la fraction ${\frac {u}{y}}$ doit être une de celles de la série (D) ou (E). Comme la fraction ${\frac {u}{y}}$ peut être plus petite ou plus grande que la racine $a,$ supposons d’abord le premier cas, en sorte que l’on ait ${\frac {u}{y}}<a\,;$ et je dis que ${\frac {u}{y}}$ sera nécessairement une des fractions de la série (D). Pour cela nous remarquerons que, comme cette série va à l’infini, et que les dénominateurs des fractions vont en augmentant, il faudra nécessairement que le dénominateur $y$ coïncide avec quelqu’un des dénominateurs des mêmes fractions, ou bien qu’il tombe entre deux dénominateurs consécutifs. Soient ${\frac {l}{\mathrm {L} }},{\frac {m}{\mathrm {M} }},$ deux fractions consécutives de la série (D), et que le nombre $y$ tombe, s’il est possible, entre les deux nombres $\mathrm {L}$ et $\mathrm {M} \,;$ substituant dans l’équation (H), à la place de $x,$ les fractions ${\frac {u}{y}},{\frac {l}{\mathrm {L} }},$ il est clair que la première de ces substitutions donnera (hypotèse) $z={\frac {1}{y^{n}}},$ et que la seconde donnera $z={\frac {\alpha }{\mathrm {L} ^{n}}},$ où l’on aura

$\alpha =\mathrm {P} l^{n}+\mathrm {Q} l^{n-1}+\mathrm {R} l^{n-2}+\ldots ,$

de sorte que $\alpha$ sera nécessairement un nombre entier. Donc, à cause que $y$ est plus grand que $\mathrm {L} ,$ la quantité ${\frac {\alpha }{\mathrm {L} ^{n}}}$ tombera nécessairement hors de ces limites $0,{\frac {1}{y^{n}}}\,;$ donc aussi ${\frac {l}{\mathrm {L} }}$ tombera hors des limites $a$ et ${\frac {u}{y}}\,;$ donc, puisque ${\frac {l}{\mathrm {L} }}$ et ${\frac {u}{y}}$ sont l’une et l’autre moindres que $a$ (hypothèse), il faudra nécessairement que ${\frac {u}{y}}$ tombe entre ${\frac {l}{\mathrm {L} }}$ et $a.$ Mais, à cause que $\mathrm {M}$ est plus grand que $y,$ la fraction ${\frac {m}{\mathrm {M} }}$ approchera plus de $a$ que la fraction ${\frac {u}{y}}$ (14), de sorte que ${\frac {m}{\mathrm {M} }}$ tombera nécessairement entre ${\frac {u}{y}}$ et $a.$ Donc il faudra que ${\frac {u}{y}}$ tombe entre les deux fractions ${\frac {l}{\mathrm {L} }}$ et ${\frac {m}{\mathrm {M} }},$ ce

qui ne se peut (numéro cité). Donc il est impossible que le nombre $y$ puisse tomber entre deux dénominateurs consécutifs $\mathrm {L}$ et $\mathrm {M} \,;$ il faudra donc que ce nombre soit égal à quelqu’un des mêmes dénominateurs ; soit $y=\pm \mathrm {L} ,$ je dis qu’on aura nécessairement ${\frac {u}{y}}={\frac {l}{\mathrm {L} }}.$ En effet, nous avons déjà vu qu’il implique contradiction que la quantité ${\frac {\alpha }{\mathrm {L} ^{n}}}$ tombe hors des limites $0$ et ${\frac {1}{y^{n}}}\,;$ mais, à cause que $\alpha$ est un nombre entier, il est clair que ${\frac {\alpha }{\mathrm {L} ^{n}}}$ ne saurait jamais tomber entre ces mêmes limites tant que $y=\pm \mathrm {L} \,;$ donc il faudra nécessairement qu’on ait

${\frac {1}{y^{n}}}={\frac {\alpha }{\mathrm {L} ^{n}}}\,;$

donc la valeur de $z$ qui répond à $x={\frac {u}{y}}$ sera égale à celle qui répond à $x={\frac {l}{\mathrm {L} }}$ dans l’équation (H) ; donc les deux valeurs de $x$ seront égales aussi ; donc

${\frac {u}{y}}={\frac {l}{\mathrm {L} }}.$

Donc, si la fraction ${\frac {u}{y}}$ est plus petite que la racine $a,$ il est démontré qu’elle ne peut être qu’une de celles de la série (D). On démontrera de la même manière que, lorsque cette fraction sera plus grande que la racine $a,$ elle sera nécessairement une de celles de la série (E) ; donc la fraction ${\frac {u}{y}}$ sera nécessairement une de celles des séries (D), (E), à moins qu’elle ne soit égale à $a,$ ce qui ne peut arriver que dans le cas où $a$ est la racine de l’équation

$dz=0\,;$

car, dans le cas où $a$ est racine de l’équation $z=0,$ il est clair que si ${\frac {u}{y}}=a,$ le second membre de l’équation proposée (F) deviendrait nul, au lieu qu’il doit être égal à l’unité.

Donc, puisqu’on doit avoir nécessairement

${\frac {u}{y}}={\frac {l}{\mathrm {L} }},$

${\frac {l}{\mathrm {L} }}$ étant (11) une des fractions des séries (D), (E), et que tant $u$ et $y$ que $l$ et $\mathrm {L}$ sont premiers entre eux, il s’ensuit qu’on aura en général

$u=\pm l,\quad y=\pm \mathrm {L} ,$

les signes ambigus de $l$ et $\mathrm {L}$ étant à volonté, pourvu qu’on prenne, à la fois les deux supérieurs ou les deux inférieurs.

Or, comme $a$ doit être une des racines de l’équation

$z=0,$

ou une de celles de l’équation

${\frac {dz}{dx}}=0$

qui répondent à un minimum, il faudra chercher toutes ces racines, dont chacune fournira deux suites infinies de fractions telles que (D) et (E), et l’on aura par là tous les nombres entiers qui pourront être admis pour $u$ et $y\,;$ de sorte qu’il ne restera plus qu’a les essayer successivement pour trouver ceux qui peuvent satisfaire en effet à l’équation proposée (F). Si l’on trouve des racines négatives, on les changera d’abord en positives, en changeant les signes des termes où il y aura des puissances impaires de $x\,;$ ensuite on prendra $u$ avec un signe contraire.

17. Corollaire I. — Lorsque $a$ est une des racines de l’équation

$z=0,$

on peut trouver les valeurs de $u$ et de $y$ par la même opération qui sert à trouver la fraction continue qui exprime la racine $a.$ En effet, nous avons vu que, pour trouver cette fraction, il faut d’abord chercher le nombre entier positif $\lambda _{1}$ qui est immédiatement moindre que la racine $a,$

que nous supposons positive ; ensuite on fait

$x=\lambda _{1}+{\frac {1}{x_{1}}},$

et, substituant cette valeur dans l’expression de $z,$ on a, après avoir multiplié tout par $x_{1}^{n}$ et ordonné les termes, une nouvelle équation en $x_{1},$ que nous désignerons par

$z_{1}=0,$

en sorte que $z_{1}$ soit égal au premier membre de cette équation ; on cherchera donc de nouveau le nombre entier positif qui sera immédiatement moindre que la racine de l’équation

$z_{1}=0,$

et, nommant ce nombre $\lambda _{2},$ on fera

$x_{1}=\lambda _{2}+{\frac {1}{x_{2}}},$

ce qui, étant substitué dans $z_{1},$ donnera, après la multiplication par $x_{2}^{n},$ une troisième équation

$z_{2}=0,$

dont $x_{2}$ sera l’inconnue, et sur laquelle on opérera comme sur les précédentes, et ainsi de suite. Tel est le procédé nécessaire pour réduire la racine $a$ en fraction continue ; or, considérons en général une quelconque des équations transformées

$z_{1}=0,\quad z_{2}=0,\ldots ,$

dont le quantième soit $\rho ,$ en sorte que cette équation soit $z_{\rho }=0,$ et que l’inconnue de cette équation soit $x_{\rho }\,;$ il est facile de voir, par ce que nous avons démontré dans les Additions au Mémoire sur la résolution des équations numériques (n^os 31 et 68), que, pour avoir l’expression de $z_{\rho },$ il n’y aura qu’à mettre, dans l’expression de $z,$

${\frac {l_{\rho }x_{\rho }+l_{\rho -1}}{\mathrm {L} _{\rho }x_{\rho }+\mathrm {L} _{\rho -1}}}$

à la place de $x,$ et faire disparaître les dénominateurs en multipliant tous les termes par $\left(\mathrm {L} _{\rho }x_{\rho }+\mathrm {L} _{\rho -1}\right)^{n}\,;$ or si l’on nomme $\zeta$ le premier membre de l’équation proposée (F), il est visible que la valeur de $z_{\rho }$ ne sera autre chose que l’expression de $\zeta ,$ en y mettant $l_{\rho }x_{\rho }+l_{\rho -1}$ à la place de $u,$ et $\mathrm {L} _{\rho }x_{\rho }+\mathrm {L} _{\rho -1}$ à la place de $y\,;$ d’ailleurs on voit, par les formules du Lemme, qu’en faisant successivement

$x_{\rho }=1,2,3,\ldots ,\lambda _{\rho +1},$

la quantité $l_{\rho }x_{\rho }+l_{\rho -1}$ devient

$l_{\rho }^{(1)},\quad l_{\rho }^{(2)},\quad l_{\rho }^{(3)},\ldots \quad l_{\rho }^{(\lambda _{\rho }+1)}=l_{\rho +1},$

et que la quantité $\mathrm {L} _{\rho }x_{\rho }+\mathrm {L} _{\rho -1}$ devient pareillement

$\mathrm {L_{\rho }^{(1)},\quad L_{\rho }^{(2)},\quad L_{\rho }^{(3)},\ldots \quad L_{\rho }^{(\lambda _{\rho }+1)}=L_{\rho +1}} \,;$

d’où, et de ce qui a été démontré plus haut (Problème précédent), je conclus que, pour trouver les valeurs entières de $u$ et de $y$ qui peuvent satisfaire à l’équation (F), c’est-à-dire en tant que ces valeurs dépendent de la racine $a$ de l’équation $z=0,$ il n’y aura qu’à faire successivement, dans chaque équation transformée, telle que $z_{\rho }=0,$ l’inconnue $x_{\rho }=1,2,3,\ldots$ jusqu’à $\lambda _{\mu +1}$ ($\lambda _{\mu +1}$ étant le nombre entier qui est immédiatement moindre que la vraie racine de cette équation), et si l’équation $\zeta =1$ est résoluble, il faudra que quelqu’une de ces suppositions donne $z_{\rho }=1$ lorsque l’exposant $n$ de la fonction $\zeta$ est pair, et $z_{\rho }=1$ ou $-1$ lorsque $n$ est impair.

Soient en général, pour abréger,

$l=x_{\rho }l_{\rho }+l_{\rho -1},\quad \mathrm {L} =x_{\rho }\mathrm {L} _{\rho }+\mathrm {L} _{\rho -1},$

en donnant à $x_{\rho }$ la valeur qui rend $z_{\rho }=1$ quand $n$ est pair, et $z_{\rho }=\pm 1$ quand $n$ est impair ; et l’on aura

$u=\pm l,\quad y=\pm \mathrm {L} ,$

où il faut remarquer, par rapport aux signes, que si $n$ est pair, on peut

prendre indifféremment les supérieurs ou les inférieurs ; mais si $n$ est impair, alors il faut les prendre comme dans l’équation

$z_{\rho }=\pm 1.$

18. Corollaire II. — Si l’équation

$z=0$

a toutes ses racines réelles, je dis : 1^o que les racines $a$ ne pourront être que les racines mêmes de cette équation ; 2^o que les nombres $l$ et $\mathrm {L}$ seront nécessairement les termes de quelqu’une des fractions principales (C) convergentes vers $a,$ et jamais des fractions secondaires.

Car on ne doit prendre pour $a$ que les racines de l’équation

$z=0$

ou celles de l’équation

${\frac {dz}{dx}}=0,$

qui répondent à des minimums (Problème précédent) ; or je vais prouver que, lorsque l’équation

$z=0$

a toutes ses racines réelles, il est impossible que $z$ devienne un minimum ; en effet, pour que $z$ devienne un minimum, il faut qu’on ait

${\frac {dz}{dx}}=0,$

et que la valeur de ${\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}$ soit de même signe que celle de $z,$ c’est-à-dire que ${\frac {1}{z}}{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}$ soit une quantité positive.

Or, nommant $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ les racines de l’équation

$z=0,$

on aura, comme on sait,

$z=\mathrm {P} (x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma )\ldots \,;$

prenant les logarithmes et différentiânt, on aura

${\frac {1}{z}}{\frac {dz}{dx}}={\frac {1}{x-\alpha }}+{\frac {1}{x-\beta }}+{\frac {1}{x-\gamma }}+\ldots \,;$

différentiant une seconde fois et changeant les signes, il viendra

${\frac {1}{z^{2}}}{\frac {dz^{2}}{dx^{2}}}-{\frac {1}{z}}{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}={\frac {1}{(x-\alpha )^{2}}}+{\frac {1}{(x-\beta )^{2}}}+{\frac {1}{(x-\gamma )^{2}}}+\ldots .$

Donc, s’il y avait un minimum, il faudrait que ${\frac {dz}{dx}}$ fût égal à $0,$ et ${\frac {1}{z}}{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}>0,$ et par conséquent que le premier membre de l’équation précédente devînt négatif, ce qui ne se peut tant que $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ sont des quantités réelles ; donc, etc.

Or, puisque l’équation

$z=0$

a toutes ses racines réelles, il est clair que chacune des équations transformées, comme $z_{\rho }=0,$ aura aussi toutes ses racines réelles ; car, à cause de

$x={\frac {l_{\rho }x_{\rho }+l_{\rho -1}}{\mathrm {L} _{\rho }x_{\rho }+\mathrm {L} _{\rho -1}}}$

(17), on aura $x_{\rho },$ c’est-à-dire l’inconnue de l’équation

$z_{\rho }=0,$

égale à

${\frac {l_{\rho -1}-x\mathrm {L} _{\rho -1}}{x\mathrm {L} _{\rho }-l_{\rho }}}\,;$

donc la quantité $z_{\rho }$ ne pourra jamais devenir un minimum ; donc, si l’équation

$z_{\rho }=0$

n’a qu’une seule racine positive égale à $p,$ et qu’on fasse successivement $x_{\rho }=0,1,2,\ldots$ jusqu’à $\lambda _{\rho +1}$ ($\lambda _{\rho +1}$ étant le nombre entier qui est immédiatement moindre que $p$), il est clair que la valeur de $z_{\rho }$ doit ou aller en

diminuant, ou bien augmenter d’abord et diminuer ensuite ; d’où il s’ensuit que la plus petite valeur de $z_{\rho }$p répondra nécessairement ou à $x_{\rho }=0$ ou à $x_{\rho }=\lambda _{\rho +1}\,;$ si l’équation

$z_{\rho }=0$

a plusieurs racines positives $p,q,r,\ldots ,$ il faudra prendre successivement pour $\lambda _{\rho +1}$ les nombres entiers qui sont immédiatement moindres que chacune de ces racines (n^o 19, Mémoire sur la résolution des équations numériques), et l’on en conclura de même que la plus petite valeur de $z_{\rho }$p sera nécessairement une de celles qui répondent à

$x_{\rho }=0\quad {\text{ou}}\quad x_{\rho }=\lambda _{\rho +1}\,;$

or, la valeur de $z_{\rho }$ étant toujours égale à un nombre entier lorsque $x_{\rho }$ est un nombre entier, il est clair qu’elle ne pourra devenir égale à $\pm 1,$ à moins qu’elle ne devienne la plus petite possible ; donc on aura nécessairement dans ce cas $x_{\rho }=0\ {\text{ou}}\ x_{\rho }=\lambda _{\rho +1}\,;$ ce qui donnera ou

$l=l_{\rho -1},\quad \mathrm {L} =\mathrm {L} _{\rho -1},$

ou

$l=\lambda _{\rho +1}l_{\rho }+l_{\rho -1}=l_{\rho +1},\quad \mathrm {L=\lambda _{\rho +1}L_{\rho }+L_{\rho -1}=L_{\rho +1}} \,;$

de sorte que les nombres $l$ et $\mathrm {L}$ ne pourront être que des termes des séries $l_{1},l_{2},l_{3},\ldots$ et $\mathrm {L_{1},L_{2},L_{3}} ,\ldots \,;$ donc, etc. (11).

Maintenant, si l’on suppose en général

$z_{\rho }=\mathrm {P} _{\rho }x_{\rho }^{n}+\mathrm {Q} _{\rho }x_{\rho }^{n-1}+\ldots ,$

il est facile de voir, par ce que nous avons dit dans le Corollaire précédent, que l’on aura

$\mathrm {P} _{\rho }=\mathrm {P} l_{\rho }^{n}+\mathrm {Q} l_{\rho }^{n-1}\mathrm {L} _{\rho }+\mathrm {R} l_{\rho }^{n-2}\mathrm {L} _{\rho }^{2}+\ldots +\mathrm {Z} \mathrm {L} _{\rho },$

de sorte que la valeur du coefficient $\mathrm {P} _{\rho }$ sera égale à ce que devient la quantité $\zeta ,$ en y mettant $l_{\rho }$ à la place de $u,$ et $\mathrm {L} _{\rho }$ à la place de $y.$

De là il est aisé de conclure que, pour résoudre l’équation

$\zeta =1$

dans le cas du présent Corollaire, il n’y aura qu’à faire attention au coefficient du premier terme de chaque équation transformée

$z_{1}=0,\quad z_{2}=0,\ldots \,;$

et si la proposée $\zeta =1$ est résoluble, on trouvera nécessairement, dans quelqu’une de ces équations transformées comme $z_{\rho }=0,$ le premier coefficient $\mathrm {P} _{\rho }=1$ quand $n$ est pair, ou $=\pm 1$ quand $n$ est impair ; alors on aura

$u=\pm l_{\rho },\quad y=\pm \mathrm {L} _{\rho },$

les signes ambigus étant à volonté lorsque $n$ est pair ; mais ils doivent répondre à ceux de l’équation

$\mathrm {P} _{\rho }=\pm 1,$

lorsque $n$ est impair, comme dans le Corollaire précédent.

19. Corollaire III. — Au reste, quelles que soient les racines de l’équation $z=0,$ je dis qu’on parviendra toujours nécessairement à une transformée telle que $z_{\rho }=0,$ dans laquelle la quantité $z_{\rho }$ n’aura aucun minimum du côté des $x_{\rho }$ positives, et que la même chose aura lieu pour toutes les transformées suivantes

$z_{\rho +1}=0,\quad z_{\rho +2}=0,\ldots \,;$

de sorte que, quand on sera arrivé à une telle transformée, alors on sera dans le cas du Corollaire précédent, et la résolubilité de l’équation

$\zeta =1$

ne dépendra plus que du coefficient du premier terme de chaque transformée.

Pour pouvoir démontrer cette proposition, il faut commencer par démontrer celle-ci, savoir, que lorsque, dans une équation quelconque, comme $z=0,$ il y a des racines réelles

$\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$

et des racines imaginaires.

$\mu +\nu {\sqrt {-1}},\quad \mu -\nu {\sqrt {-1}},\quad \varpi +\sigma {\sqrt {-1}},\quad \varpi -\sigma {\sqrt {-1}},\ldots ,$

et que ces dernières sont telles, que les quantités $\mu ,\varpi ,\ldots$ sont négatives, et que

$\mu ^{2}>\nu ^{2},\quad \varpi ^{2}>\sigma ^{2},\ldots ,$

la quantité $z$ ne peut jamais devenir un minimum du côté des $x$ positives.

Car on aura d’abord, comme dans le n^o 18,

${\frac {1}{z^{2}}}{\frac {dz^{2}}{dx^{2}}}-{\frac {1}{z}}{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}={\frac {1}{(x-\alpha )^{2}}}+{\frac {1}{(x-\beta )^{2}}}+{\frac {1}{(x-\gamma )^{2}}}+\ldots$

$+{\frac {1}{(x-\mu -\nu {\sqrt {-1}})^{2}}}+{\frac {1}{(x-\mu +\nu {\sqrt {-1}})^{2}}}$

$+{\frac {1}{(x-\varpi -\sigma {\sqrt {-1}})^{2}}}+{\frac {1}{(x-\varpi +\sigma {\sqrt {-1}})^{2}}}+\ldots ,$

ou bien, en réunissant deux à deux les termes imaginaires,

${\frac {1}{z^{2}}}{\frac {dz^{2}}{dx^{2}}}-{\frac {1}{z}}{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}={\frac {1}{(x-\alpha )^{2}}}+{\frac {1}{(x-\beta )^{2}}}+{\frac {1}{(x-\gamma )^{2}}}+\ldots$

$+2{\frac {(x-\mu )^{2}-\nu ^{2}}{\left(x^{2}-2\mu x+\mu ^{2}+\nu ^{2}\right)^{2}}}+2{\frac {(x-\varpi )^{2}-\sigma ^{2}}{\left(x^{2}-2\varpi x+\varpi ^{2}+\sigma ^{2}\right)^{2}}}+\ldots .$

Or il est clair que si $\mu ,\varpi ,\ldots$ sont négatifs et tels que $\mu ^{2}>\nu ^{2},$$\varpi ^{2}>\sigma ^{2},\ldots ,$ les quantités

$(x-\mu )^{2}-\nu ^{2},\quad (x-\varpi )^{2}-\sigma ^{2},\ldots$

seront toujours positives tant que $x$ sera positif ; donc le second membre de l’équation précédente sera aussi tout positif ; par conséquent il sera impossible que $z$ devienne un minimum (numéro cité).

Cela posé, considérons l’équation primitive $z=0,$ et supposons que cette équation ait des racines réelles $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots ,$ et des racines imaginaires représentées par les quantités

$\mu +\nu {\sqrt {-1}},\quad \mu -\nu {\sqrt {-1}},\quad \varpi +\sigma {\sqrt {-1}},\quad \varpi -\sigma {\sqrt {-1}},\ldots \,;$

qu’on mette, dans $z,$ $$