Mémoires extraits des recueils de l’Académie royale de Berlin/Nouvelle méthode pour résoudre les Problèmes indéterminés en nombres entiers

Joseph-Louis Lagrange

Nouvelle méthode pour résoudre les Problèmes indéterminés en nombres entiers

Mémoires extraits des recueils de l’Académie royale de Berlin, Gauthier-Villars, 1868, Œuvres de Lagrange. Tome II (p. 655-726).

NOUVELLE MÉTHODE
POUR
RÉSOUDRE LES PROBLÈMES INDÉTERMINÉS
EN NOMBRES ENTIERS^[1].

---

(Mémoires de l’Académie royale des Sciences et Belles-Lettres
de Berlin, t. XXIV, 1770.)

La plupart des Géomètres qui ont cultivé l’Analyse de Diophante se sont, à l’exemple de cet illustre inventeur, uniquement appliqués à éviter les valeurs irrationnelles, et tout l’artifice de leurs méthodes se réduit à faire en sorte que les grandeurs inconnues puissent se déterminer par des nombres commensurables.

L’art de résoudre ces sortes de questions ne demande guère d’autres principes que ceux de l’Analyse ordinaire ; mais ces principes deviennent insuffisants lorsqu’on ajoute la condition que les quantités cherchées soient non-seulement commensurables, mais encore égales à des nombres entiers.

M. Bachet de Méziriac, auteur d’un excellent Commentaire sur Diophante et de différents autres Ouvrages, est, je crois, le premier qui ait tenté de soumettre cètte condition au calcul. Ce savant a trouvé une méthode générale pour résoudre en nombres entiers toutes les équations du premier degré à deux ou plusieurs inconnues, mais il ne paraît pas avoir été plus loin, et ceux qui après lui se sont occupés du même objet ont aussi presque tous borné leurs recherches aux équations indéterminées du premier degré ; leurs efforts se sont réduits à varier les méthodes qui peuvent servir à la résolution de ces sortes d’équations, et aucun, si j’ose le dire, n’a donné une méthode plus directe, plus générale et plus ingénieuse que celle de M. Bachet, qui se trouve dans ses Récréations mathématiques intitulées : Problèmes plaisants et délectables qui se font par les nombres.

Il est à la vérité assez surprenant que M. de Fermat, qui s’était si longtemps et avec tant de succès exercé sur la théorie des nombres entiers, n’ait pas cherché à résoudre généralement les Problèmes indéterminés du second degré et des degrés supérieurs, comme M. Bachet avait fait ceux du premier degré ; on a cependant lieu de croire qu’il s’était aussi appliqué à cette recherche, par le Problème qu’il proposa comme une espèce de défi à M. Wallis et à tous les Géomètres anglais, et qui consisfait à trouver deux carrés entiers, dont l’un étant multiplié par un nombre entier donné non carré, et ensuite retranché de l’autre, le reste fût égal à l’unité ; car, outre que ce Problème est un cas particulier des équations du second degré à deux inconnues, il est comme la clef de la résolution générale de ces équations ; mais, soit que M. de Fermat n’ait pas continué ses recherches sur cette matière, soit qu’elles ne soient pas parvenues jusqu’à nous, il est certain qu’on n’en trouve aucune trace dans ses Ouvrages.

Il paraît même que les Géomètres anglais qui ont résolu le Problème de M. de Fermat n’ont pas connu toute l’importance dont il est pour la solution générale des Problèmes indéterminés du second degré ; du moins on ne voit pas qu’ils en aient jamais fait usage, et M. Euler est, si je ne me trompe, le premier qui ait fait voir comment à l’aide de ce Problème on peut trouver une infinité de solutions en nombres entiers de toute équation du second degré à deux inconnues, dont on connaît déjà une solution.

Ce grand Géomètre, à qui toutes les parties des Mathématiques sont si redevables, a aussi fait des recherches pour reconnaître à priori quand une équation de cette espèce est susceptible de quelque solution en nombres entiers, et il a trouvé par induction une règle qui, si elle était générale, renfermerait un des plus beaux théorèmes d’Arithmétique.

Cette règle est, que toute équation de la forme

$\mathrm {A} =p^{2}-\mathrm {B} q^{2}$

($\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ étant des nombres entiers donnés et $p,q$ deux indéterminées), est toujours résoluble en nombres entiers, lorsque $\mathrm {A}$ est un nombre premier de la forme

$4n\mathrm {B} +a^{2}\quad {\text{ou}}\quad 4n\mathrm {B} +a^{2}-\mathrm {B}$

($n$ et $a$ étant des nombres quelconques entiers), ou bien, lorsque les facteurs premiers de $\mathrm {A}$ sont chacun de l’une ou de l’autre de ces formes. (Voyez le premier Mémoire du tome IX des Nouveaux Commentaires de Pétersbourg.)

M. Euler ne donne point la démonstration de ce théorème, et il avoue même qu’il n’a jamais pu la trouver ; je l’ai aussi longtemps et inutilement cherchée, mais enfin je suis tombé par hasard sur une équation où j’ai reconnu que la règle de M. Euler était en défaut. Cette équation est celle-ci

$101=p^{2}-79q^{2},$

où $101$ est un nombre premier de la forme $4n\mathrm {B} +a^{2}-\mathrm {B} ,$ en faisant $\mathrm {B} =79,$ $a=38$ et $n=-4\,;$ de sorte qu’il faudrait qu’elle fût résoluble en nombres entiers cependant elle ne l’est pas, comme on peut aisément s’en assurer par notre méthode (voyez plus bas le n^o 38).

Si l’on voulait limiter le théorème de M. Euler en disant que tout nombre premier de la forme $4n\mathrm {B} +\alpha$ est aussi de la forme $p^{2}-\mathrm {B} q^{2},$ lorsque $\alpha$ est un nombre premier de la même forme $p^{2}-\mathrm {B} q^{2},$ l’exemple précédent ferait voir que cette limitation serait insuffisante : car

$101=4n\mathrm {B} +733,$

en faisant $n=-2$ et $\mathrm {B} =79,$ $733$ est un nombre premier de la forme $p^{2}-\mathrm {B} q^{2},$ en supposant $p=38$ et $q=3\,;$ or $101$ n’est pas de la même forme $p^{2}-\mathrm {B} q^{2}.$

Il résulte de tout ce que nous venons de dire que depuis l’ouvrage de M. Bachet, qui a paru en 1613, jusqu’à présent, ou du moins jusqu’au Mémoire que je donnai l’année passée, sur la solution des Problèmes indéterminés du second degré^[2], la théorie de ces sortes de Problèmes n’avait pas, à proprement parler, été poussée au delà du premier degré.

J’ai fait voir, dans le Mémoire dont je viens de parler, comment toutes les équations du second degré à deux indéterminées peuvent toujours se réduire à la forme très-simple

$\mathrm {A} =p^{2}-\mathrm {B} q^{2}\,;$

ensuite j’ai donné des méthodes directes et générales pour trouver toutes les solutions possibles tant en nombres entiers qu’en nombres fractionnaires de ces sortes d’équations. La méthode pour le cas où $\mathrm {B}$ est un nombre positif, et où $p$ et $q$ doivent être des nombres entiers, laquelle fait l’objet du § III, est à la vérité un peu longue et compliquée, et j’avoue même qu’elle l’est à un point qui la rend difficile à suivre ; mais je crois que cette difficulté ne doit être imputée qu’à la nature de la matière, et au grand nombre de cas auxquels il faut avoir égard quand on veut la traiter d’une manière aussi directe et aussi rigoureuse que nous l’avons fait. Cependant j’ai trouvé moyen depuis de simplifier beaucoup cette méthode et de l’étendre même à des équations d’un degré quelconque ; c’est ce que je me propose de développer dans ce Mémoire avec le plus d’ordre et de clarté qu’il me sera possible.

Comme la théorie des fractions continues est le fondement de la nouvelle méthode que je vais expliquer, je supposerai ici cette théorie telle que je l’ai donnée dans le Mémoire sur la résolution des équations numériques^[3], et dans Additions à ce Mémoire^[4], et je me contenterai d’en emprunter tout ce dont j’aurai besoin, en renvoyant pour les démonstrations à ces autres écrits.

Lemme I.

1. Si $a,b,c$ sont des nombres quelconques entiers et tels, que $b$ et $c$ soient premiers entre eux, je dis quon peut toujours trouver deux nombres entiers $y$ et $z$ tels que

$a=by-cz.$

Je supposerai ici pour plus de simplicité que $a,b$ et $c$ soient positifs ; si l’un d’eux comme $b$ était négatif, on pourrait toujours le regarder comme positif, et il n’y aurait qu’à prendre ensuite $y$ négativement, et ainsi du reste. ${\displaystyle }$

Qu’on divise les nombres $a+cz$ par $b,$ en faisant successivement $z=0,1,2,3,\ldots$ jusqu’à $b-1,$ et l’on aura $b$ restes dont chacun sera différent de tous les autres ; car si deux valeurs de $z,$ comme $z'$ et $z'',$ donnaient le même reste, il faudrait que la différence entre les deux dividendes $a+cz'$ et $a+cz''$ savoir le nombre $c(z''-z')$ fût divisible exactement par $b,$ ce qui ne se peut, à cause que $c$ est premier à $b,$ et que $z'$ et $z''$ sont tous les deux moindres que $b.$ Donc, puisque les $b$ restes dont il s’agit doivent être par leur nature moindres que $b$ et différents les uns des autres, il est clair que ces restes ne peuvent être que les nombres $0,1,2,3,\ldots ,b-1\,;$ d’où il s’ensuit qu’il y aura nécessairement une valeur de $z$ à laquelle répondra un reste nul, c’est-à-dire qui sera telle, que $a+cz$ soit divisible par $b\,;$ donc, nommant $y$ le quotient de cette division, on aura $by=a+cz\,;$ donc

$a=by-cz.$

2. Corollaire I. — Quand on aura trouvé deux valeurs correspondantes de $y$ et $z$ qui satisferont à l’équation

$a=by-cz,$

on pourra par leur moyen en trouver une infinité d’autres ; car, désignant par $p$ et $q$ les valeurs trouvées, en sorte que l’on ait

$a=bp-cq,$

et supposant en général

$a=by-cz,$

on aura

$b(y-p)-c(z-q)=0\,;$

d’où

${\frac {y-p}{z-q}}={\frac {c}{b}},$

et de là, à cause que $b$ et $c$ sont premiers entre eux,

$y-p=mc,\quad z-q=mb,$

et par conséquent

$y=p+mc,\quad z=q+mb,$

$m$ étant un nombre entier quelconque ; et il est facile de voir que ces expressions renfermeront nécessairement toutes les valeurs possibles de $y$ et $z$ dans l’équation proposée.

3. Corollaire II. — Or, puisque l’on peut prendre pour $m$ un nombre quelconque entier positif ou négatif, on pourra toujours faire en sorte que la valeur de $y$ soit égale à un nombre positif ou négatif, moindre que ${\frac {c}{2}},$ ou que celle de $z$ devienne égale à un nombre positif ou négatif, moindre que ${\frac {b}{2}}.$ Donc, quels que soient les nombres $a,b,c,$ pourvu que $b$ et $c$ soient premiers entre eux, on pourra toujours satisfaire à l’équation

$a=by-cz,$

en prenant pour $y$ un nombre entier positif ou négatif, moindre que ${\frac {c}{2}},$ ou pour $z$ un nombre moindre que ${\frac {b}{2}}\,;$ de sorte que pour trouver les valeurs convenables de $y$ et $z$ il n’y aura qu’à essayer successivement pour $y$ tous les nombres entiers moindres que ${\frac {c}{2}},$ pris positivement ou négativement, ou pour $z$ tous les nombres entiers moindres que ${\frac {b}{2}}$ pris aussi positivement ou négativement ; et ayant trouvé de cette manière

deux valeurs correspondantes de $y$ et de $z,$ on pourra ensuite, par les formules du Corollaire précédent, trouver toutes les autres valeurs possibles.

4. Corollaire III. — Soit $d$ le plus grand commun diviseur de $a$ et $c$ (on aura $d=1$ si $a$ et $c$ sont premiers entre eux), en sorte que $a=a'd,$ $c=c'd,$ $a',$ et $c'$ étant premiers entre eux, il est clair qu’à cause de $b$ premier à $c$ (hypothèse) on aura nécessairement, dans l’équation

$a=bp-cq,$

$p$ divisible par $d\,;$ donc, faisant $p=p'd,$ on aura $p+mc$ divisible par $a,$ si $p'+mc'$ est divisible par $a'\,;$ mais, par un raisonnement semblable à celui du Lemme, on peut prouver que le nombre $m$ peut toujours être pris tel que $p'+mc'$ soit divisible par $a'\,;$ donc (Corollaire I) on pourra toujours trouver une valeur de $y$ qui soit multiple de $a\,;$ soit donc

$y=ar,$

on aura

$a=abr-cz,$

ou bien

$a'=a'br-c'z\,;$

donc $c'z$ sera divisible par $a',$ et comme $c'$ est premier à $a'$ il faudra que $z$ soit aussi multiple de $a'\,;$ faisant donc

$z=a's,$

et divisant toute l’équation par $a',$ elle deviendra

$1=br-c's.$

Ainsi il n’y aura qu’à chercher les valeurs de $r$ et de $s$ qui peuvent satisfaire à cette équation, et l’on aura en général

$y=ra+mc,\quad z=sa'+mb,$

$m$ étant un nombre quelconque entier.

Problème I.

5. Étant donnée l’équation

(A)

$\mathrm {A} =\mathrm {B} t^{n}+\mathrm {C} t^{n-1}u+\mathrm {D} t^{n-2}u^{2}+\ldots +\mathrm {K} u^{n}$

que nous désignerons par (A), dans laquelle on suppose que $\mathrm {A,B,C,\ldots ,K}$ soient des nombres quelconques entiers donnés, et que $t,u$ soient deux indéterminées qui puissent être exprimées par des nombres entiers, dont l’un $u$ soit premier au nombre $\mathrm {A} ,$ on propose de ramener cette équation à une autre de la même espèce, et dans laquelle le terme tout connu soit l’unité.

Puisque $t,u$ et $\mathrm {A}$ sont des nombres entiers, et que $u$ et $\mathrm {A}$ sont premiers entre eux (hypothèse), on peut toujours trouver par le Lemme précédent deux nombres entiers $\theta$ et $y,$ tels que l’on ait

$t=u\theta -\mathrm {A} y.$

Donc, substituant cette valeur de $t$ dans l’équation (A), elle deviendra celle-ci

$\mathrm {A} =\alpha u^{n}-\beta \mathrm {A} u^{n-1}y+\gamma \mathrm {A} ^{2}u^{n-2}y^{2}-\ldots \pm \zeta \mathrm {A} ^{n}y^{n},$

en supposant, pour abréger,

${\begin{aligned}\alpha =&\mathrm {B} \theta ^{n}+\mathrm {C} \theta ^{n-1}+\mathrm {D} \theta ^{n-2}+\ldots +\mathrm {K} ,\\\beta =&n\mathrm {B} \theta ^{n-1}+(n-1)\mathrm {C} \theta ^{n-2}+(n-2)\mathrm {D} \theta ^{n-3}+\ldots ,\\\gamma =&{\frac {n(n-1)}{2}}\mathrm {B} \theta ^{n-2}+{\frac {(n-1)(n-2)}{2}}\mathrm {C} \theta ^{n-3}+\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Qu’on divise maintenant toute cette équation par $\mathrm {A} ,$ et l’on aura

$1={\frac {\alpha u^{n}}{\mathrm {A} }}-\beta u^{n-1}y+\gamma \mathrm {A} u^{n-2}y^{2}-\ldots \pm \zeta \mathrm {A} ^{n-1}y^{n},$

d’où l’on voit que la quantité ${\frac {\alpha u^{n}}{\mathrm {A} }}$ doit être égale à un nombre entier, puisque tous les autres termes de l’équation sont des nombres entiers (hypothèse), et qu’ainsi il faut que $\alpha u^{n}$ soit divisible par $\mathrm {A} \,;$ mais $u$

et $\mathrm {A}$ sont premiers entre eux (hypothèse), donc il faudra que $\alpha$ soit divisible par $\mathrm {A} \,;$ donc, faisant pour plus de simplicité

$\mathrm {{\frac {\alpha }{A}}=P,\quad -\beta =Q,\quad \gamma A=R,\quad -\delta A^{2}=S} ,\ldots ,\quad \pm \zeta \mathrm {A} ^{n-1}=\mathrm {V} ,$

on aura la transformée suivante, que nous désignerons par (B),

(B)

$1=\mathrm {P} u^{n}+\mathrm {Q} u^{n-1}y+\mathrm {R} u^{n-2}y^{2}+\ldots +\mathrm {V} y^{n},$

et qui a, comme on voit, la condition demandée par le Problème.

6. Corollaire I. — Il est visible que la quantité $\alpha$ n’est autre chose que le second membre de l’équation proposée (A) en y faisant $t=\theta$ et $u=1.$ De plus, il résulte du Corollaire II du Lemme précédent que le nombre $\theta$ peut toujours être pris moindre que ${\frac {\mathrm {A} }{2}}.$

Donc, pour que l’équation (A) puisse subsister dans les hypothèses du Problème, il faudra qu’en faisant $u=1$ on puisse trouver une valeur entière de $t$ positive ou négative, mais moindre que ${\frac {\mathrm {A} }{2}}$ (abstraction faite du signe de $t$ et de $\mathrm {A}$), laquelle rende le second membre de cette équation divisible par le premier $\mathrm {A} .$ On essayera donc pour $t$ tous les nombres entiers positifs ou négatifs, moindres que ${\frac {\mathrm {A} }{2}},$ et si l’on n’en trouve aucun qui ait la condition requise, on en conclura sur-le-champ qu’il est impossible que dans l’équation (A) les nombres $t$ et $u$ puissent être entiers et premiers entre eux, et au nombre $\mathrm {A} .$ Mais si l’on trouve un ou plusieurs nombres qui remplissent la condition prescrite, alors on pourra prendre chacun de ces nombres pour $\theta ,$ et l’on aura autant de différentes transformées (B) qu’on aura de valeurs de $\theta .$

7. Corollaire II. — Pour faciliter la recherche des valeurs de $\theta ,$ on peut employer la méthode des différences dont nous avons déjà fait usage dans le Scolie du n^o 13 du Mémoire sur la résolution des équations numériques. En effet, par cette méthode, dès qu’on aura trouvé les valeurs de la quantité $\alpha ,$ c’est-à-dire de

$\mathrm {B} \theta ^{n}+\mathrm {C} \theta ^{n-1}+\mathrm {D} \theta ^{n-2}+\ldots +\mathrm {K}$

lorsque $\theta =0,1,2,\ldots ,(n-1),$ on pourra ; par la seule addition, trouver les valeurs de la même quantité pour toutes les autres valeurs positives de $\theta ,$ et même pour les valeurs négatives en continuant les mêmes séries du côté opposé (3^o du numéro cité) ; il faudra seulement observer que, dans ce cas, chaque terme d’une série sera égal à celui qui le précédera dans la même série, moins celui qui se trouvera au-dessus de lui dans la série supérieure. Connaissant donc ainsi les valeurs de $\alpha$ depuis $\theta =0$ jusqu’à $\theta ={\frac {\mathrm {A} }{2}}$ d’un côté, et jusqu’à $\theta ={\frac {-\mathrm {A} }{2}}$ de l’autre, il n’y aura plus qu’à voir quelles sont celles qui sont divisibles par $\mathrm {A} ,$ ce qu’on pourra reconnaître aisément par les tables des diviseurs, et les valeurs correspondantes de $\theta$ seront les nombres cherchés.

Mais avant de se mettre à calculer les valeurs de $\alpha ,$ il sera à propos de simplifier l’expression de cette quantité en mettant, à la place des coefficients qui se trouveront plus grands que $\mathrm {A} ,$ les restes de leur division par $\mathrm {A} \,;$ on pourra même réduire tous les coefficients à n’être pas plus grands que ${\frac {\mathrm {A} }{2}}\,;$ car, en général, il est clair que si la quantité $\alpha$ est divisible par $\mathrm {A} ,$ les coefficients $\mathrm {B,C,D} ,\ldots$ ayant des valeurs quelconques données, elle le sera aussi après avoir retranché de ces coefficients ou y avoir ajouté des multiples quelconques de $\mathrm {A} \,;$ ainsi l’on pourra mettre $\mathrm {B} \pm m\mathrm {A}$ à la place de $\mathrm {B} ,$ $\mathrm {C} \pm n\mathrm {A}$ à la place de $\mathrm {C} ,$ et ainsi des autres, $m,n,\ldots$ étant des nombres quelconques entiers ; or, quelle que soit la valeur de $\mathrm {B} ,$ il est clair qu’on peut toujours déterminer la valeur et le signe du nombre $m,$ en sorte que $\mathrm {B} \pm m\mathrm {A}$ devienne moindre que ${\frac {\mathrm {A} }{2}}\,;$ il en est de même de $\mathrm {C} \pm n\mathrm {A} ,$ et ainsi du reste ; donc, etc.

8. Corollaire III. — Par la méthode du numéro précédent on peut trouver facilement toutes les valeurs de $\theta$ qui peuvent rendre la quantité $\alpha$ divisible par $\mathrm {A} \,;$ car tout se réduit à trouver celles qui sont moindres que ${\frac {\mathrm {A} }{2}}.$ En effet, supposons que $\alpha$ soit divisible par $\mathrm {A} ,$ $\theta$ ayant une valeur quelconque donnée, il est clair qu’en mettant $\theta \pm m\mathrm {A}$ à la place de $\theta$ ($m$ étant un nombre entier quelconque), la valeur résultante de $\alpha$ sera encore divisible par $\mathrm {A} \,;$ or on peut prendre le signe et la valeur de $m$ tels, que $\theta \pm m\mathrm {A}$ devienne moindre que ${\frac {\mathrm {A} }{2}},$ et il est facile de voir que cela ne peut se faire que d’une seule manière ; donc, si l’on désigne par $\theta '$ cette valeur de $\theta \pm m\mathrm {A}$ qui est moindre que ${\frac {\mathrm {A} }{2}},$ on aura en général

$\theta =\theta '\pm m\mathrm {A} .$

De là il est facile de conclure que, si $\theta ',\theta '',\theta ''',\ldots$ sont les valeurs de $\theta ,$ tant positives que négatives, mais plus petites que ${\frac {\mathrm {A} }{2}}$ lesquelles rendent la quantité $\alpha$ divisible par $\mathrm {A} ,$ toutes les autres valeurs possibles de $\theta$ qui pourront faire le même effet seront renfermées dans ces formules

$\theta '\pm m\mathrm {A} ,\quad \theta ''\pm n\mathrm {A} ,\quad \theta '''\pm p\mathrm {A} ,\ldots ,$

$m,n,p,\ldots$ étant des nombres quelconques entiers, positifs ou négatifs.

Ainsi, une équation quelconque de la forme

$\mathrm {A} y=\mathrm {B} \theta ^{n}+\mathrm {C} \theta ^{n-1}+\mathrm {D} \theta ^{n-2}+\ldots +\mathrm {K}$

étant donnée, on pourra reconnaître si elle est résoluble en nombres entiers, et trouver en même temps toutes les valeurs de $\theta$ et de $y.$

9. Corollaire IV. — Lorsque le nombre $\mathrm {A}$ est un nombre composé, alors, au lieu de prendre ce nombre même pour diviseur, il sera plus commode de prendre successivement chacun de ses facteurs. Car il est clair que la quantité $\alpha$ ne saurait être divisible par $\mathrm {A} ,$ à moins qu’elle ne le soit aussi par chacun des diviseurs de $\mathrm {A} .$ Soient donc $a,b,c,\ldots$ ces diviseurs, on essayera d’abord pour $\theta$ tous les nombres entiers tant positifs que négatifs moindres que ${\frac {a}{2}},$ et, nommant $t$ celui ou ceux (s’il y en a plus d’un) qui rendront $\alpha$ divisible par $a,$ toutes les valeurs possibles de $\theta$ qui pourront rendre $\alpha$ divisible par $a$ seront représentées par

$t+\theta 'a,$

$\theta '$ étant un nombre quelconque entier positif ou négatif. On substituera donc $t+\theta 'a$ à la place de $\theta$ dans la quantité $\alpha ,$ et divisant par $a,$ ordonnant par rapport à $\theta ',$ on aura une transformée que nous appellerons $\alpha ',$ et dans laquelle $\theta '$ sera un nombre indéterminé.

On essayera de nouveau pour $\theta '$ tous les nombres entiers positifs ou négatifs moindres que ${\frac {b}{2}},$ et, nommant $t'$ ceux qui rendront $\alpha '$ divisible par $b,$ on fera ensuite

$\theta '=t'+\theta ''b,$

ce qui donnera, après avoir divisé par $b,$ une nouvelle transformée $\alpha '',$ où $\theta ''$ sera un nombre indéterminé, et ainsi de suite. De cette manière, on trouvera aisément toutes les valeurs de $\theta$ qui pourront rendre $\alpha$ divisible par $a,$ par $b,$ par $c,\ldots ,$ et par conséquent par $abc\ldots .$

En effet, puisque $t+a\theta '$ représente toutes les valeurs de $\theta$ qui peuvent rendre $\alpha$ divisible par $a,$ et que $t'+\theta ''b$ représente toutes celles de $\theta '$ qui peuvent rendre $\alpha '$ ou ${\frac {\alpha }{a}}$ divisible par $b,$ il est clair que

$t+at'+ab\theta ''$

représenteront toutes les valeurs de $\theta$ qui pourront rendre $\alpha$ divisible, premièrement par $a,$ et ensuite par $b,$ c’est-à-dire divisible par $ab\,;$ donc si l’on a, par exemple,

$\mathrm {A} =ab,$

les valeurs de $\theta$ qui rendront $\alpha$ divisible par $\mathrm {A}$ seront exprimées en général par

$t+at'+\mathrm {A} \theta ''$

$\theta ''$ étant un nombre quelconque entier.

Par là on pourra trouver toutes les valeurs de $\theta$ moindres que ${\frac {\mathrm {A} }{2}}$ pour lesquelles $\alpha$ sera divisible par $\mathrm {A} \,;$ car il n’y aura pour cela qu’à déterminer le nombre $\theta ''$ en sorte que

$t+at'+\mathrm {A} \theta ''$

devienne moindre que ${\frac {\mathrm {A} }{2}},$ ce qui ne pourra se faire que d’une seule manière pour chaque valeur de $t+at'\,;$ de sorte qu’il ne pourra y avoir qu’autant des valeurs de $\theta$ dont nous parlons qu’il y aura de différentes valeurs de $t+at'.$

10. Corollaire V. — Si $\mathrm {A}$ est un nombre premier, il ne peut y avoir au plus que $n$ différentes valeurs de $\theta$ moindres que ${\frac {\mathrm {A} }{2}},$ et telles que $\alpha$ soit divisible par $\mathrm {A} \,;$ et si $\mathrm {A}$ est un nombre composé dont les facteurs premiers soient au nombre de $r,$ il ne pourra y avoir au plus que $n^{r}$ de ces valeurs de $\theta .$

Car, dans le premier cas, soit, par exemple, $n=3,$ en sorte que l’expression de $\alpha$ soit

$\mathrm {B\theta ^{3}+C\theta ^{2}+D\theta +E} ,$

$\mathrm {B,C,D,E}$ n’étant point divisibles par $\mathrm {A} ,$ et supposons, s’il est possible, qu’il y ait quatre valeurs de $\theta$ que nous désignerons par $\theta ,\theta ',\theta '',\theta ''',$ lesquelles soient positives ou négatives, mais toutes moindres que ${\frac {\mathrm {A} }{2}},$ et telles que $\alpha$ soit divisible par $\mathrm {A} \,;$ on aura donc ces quatre valeurs de $\alpha ,$ savoir

${\begin{aligned}&\mathrm {B\theta ^{3}\ \ \ +C\theta ^{2}\ \ +D\theta \ \ \,+E} ,\\&\mathrm {B\theta '^{3}\ \ +C\theta '^{2}\ +D\theta '\ \,+E} ,\\&\mathrm {B\theta ''^{3}\ +C\theta ''^{2}\,+D\theta ''\,+E} ,\\&\mathrm {B\theta '''^{3}+C\theta '''^{2}+D\theta '''+E} ,\end{aligned}}$

lesquelles seront chacune divisibles par $\mathrm {A} \,;$ donc leurs différences le seront aussi ; donc les trois quantités

${\begin{aligned}&\mathrm {B\left(\theta ^{3}-\theta '^{3}\ \ \right)+C\left(\theta ^{2}-\theta '^{2}\ \right)+D\left(\theta -\theta '\ \ \right)} ,\\&\mathrm {B\left(\theta ^{3}-\theta ''^{3}\ \right)+C\left(\theta ^{2}-\theta ''^{2}\,\right)+D\left(\theta -\theta ''\ \right)} ,\\&\mathrm {B\left(\theta ^{3}-\theta '''^{3}\right)+C\left(\theta ^{2}-\theta '''^{2}\right)+D\left(\theta -\theta '''\right)} ,\\\end{aligned}}$

seront chacune divisibles par $\mathrm {A} \,;$ mais la première de ces quantités est

divisible par $\theta -\theta ',$ la seconde par $\theta -\theta '',$ et la troisième par $\theta -\theta '''\,;$ donc, puisque les nombres

$\theta -\theta ',\quad \theta -\theta '',\quad \theta -\theta '''$

sont moindres que $\mathrm {A}$ (hypothèse) et que $\mathrm {A}$ est un nombre premier, il faudra que les quantités dont il s’agit soient divisibles par $\mathrm {A} ,$ abstraction faite des facteurs

$\theta -\theta ',\quad \theta -\theta '',\quad \theta -\theta '''\,;$

donc, rejetant ces facteurs, c’est-à-dire en les faisant disparaître par la division, on aura les quantités

${\begin{aligned}&\mathrm {B\left(\theta ^{2}+\theta \theta '\ +\theta '^{2}\ \ \right)+C(\theta +\theta '\ \ )+D} ,\\&\mathrm {B\left(\theta ^{2}+\theta \theta ''\,+\theta ''^{2}\ \right)+C(\theta +\theta ''\ )+D} ,\\&\mathrm {B\left(\theta ^{2}+\theta \theta '''+\theta '''^{2}\right)+C(\theta +\theta ''')+D} ,\end{aligned}}$

qui devront être chacune divisibles par $\mathrm {A} .$ Donc les différences de ces quantités le seront aussi ; mais ces différences sont

${\begin{aligned}&\mathrm {B\left(\theta \theta '+\theta '^{2}-\theta \theta ''\,-\theta ''^{2}\ \right)+C(\theta '-\theta ''\ )} ,\\&\mathrm {B\left(\theta \theta '+\theta '^{2}-\theta \theta '''-\theta '''^{2}\right)+C(\theta '-\theta ''')} ,\end{aligned}}$

dont la première est divisible par $\theta '-\theta '',$ et la seconde par $\theta '-\theta '''\,;$ donc, par la même raison que ci-dessus, il faudra qu’elles soient encore divisibles par $\mathrm {A} ,$ après avoir été divisées par

$\theta '-\theta '',\quad {\text{et par}}\quad \theta '-\theta '''\,;$

donc on aura les quantités

${\begin{aligned}&\mathrm {B\left(\theta +\theta '+\theta ''\ \right)+C} ,\\&\mathrm {B\left(\theta +\theta '+\theta '''\right)+C} ,\end{aligned}}$

qui seront donc encore divisibles par $\mathrm {A} .$ Donc leur différence le sera aussi ; mais cette différence est, comme on voit, $\mathrm {B} (\theta ''-\theta '''),$ qui ne peut être divisible par $\mathrm {A} ,$ à cause que $\mathrm {B}$ ne l’est pas, et que le nombre $\theta ''-\theta '''$ ne peut l’être, étant nécessairement plus petit que $\mathrm {A} .$ Donc, etc.

Il est visible que cette démonstration peut s’étendre au cas où $n$ aura une valeur quelconque, et qu’ainsi la proposition est générale. ${\displaystyle }$ Dans le second cas, supposons que le nombre $\mathrm {A}$ soit le produit de deux nombres premiers $a,b\,;$ il ne pourra y avoir, par le Corollaire précédent, plus de valeurs de $\theta$ moindres que ${\frac {\mathrm {A} }{2}},$ lesquelles rendent $\alpha$ divisible par $\mathrm {A} ,$ qu’il n’y aura de différentes valeurs de $t+at'\,;$ or, $a$ et $b$ étant des nombres premiers, il ne pourra y avoir au plus que $n$ valeurs de $t$ et autant de $t'\,;$ donc, combinant ensemble chacune des valeurs de $t',$ il ne pourra résulter au plus que $nn$ valeurs différentes de $t+at'\,;$ donc, etc.

On prouvera de la même manière que les valeurs de $\theta$ moindres que ${\frac {\mathrm {A} }{2}}$ ne pourront être qu’au nombre de $nnn,$ ou de $n^{3},$ lorsque $\mathrm {A}$ sera le produit de trois nombres premiers $a,b,c,$ et ainsi de suite.

Lemme II.

11. Si l’on a une équation quelconque déterminée qui ait une ou plusieurs racines réelles, on peut toujours, par la méthode que nous avons donnée dans notre Mémoire sur la résolution des équations numériques, exprimer chacune de ses racines positives par une fraction continue, et déduire de là une suite de fractions convergentes vers la même racine, mais alternativement plus grandes et plus petites que cette racine ; ensuite, si l’on insère encore entre ces fractions principales autant de fractions secondaires qu’il est possible, et qu’on range dans deux classes séparées les fractions plus grandes et les fractions plus petites que la racine cherchée, on aura deux séries de fractions convergentes vers cette même racine, et dont l’une commencera par ${\frac {0}{1}}$ et ne sera composée que de fractions plus petites que la racine dont il s’agit, et dont l’autre commencera par ${\frac {1}{0}}$ et sera composée de fractions plus grandes que la même racine.

Quant aux racines négatives, il n’y aura qu’à les rendre d’abord positives en changeant dans l’équation l’inconnue $x$ en $-x.$

Soit $a$ une des racines positives de l’équation donnée, on trouvera la fraction continue

$a=\lambda _{1}+{\frac {1}{\lambda _{2}+{\cfrac {1}{\lambda _{3}+\ldots }}}},$

$\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3},\ldots$ étant des nombres entiers positifs ; or, ces nombres étant ainsi connus, on fera

${\begin{alignedat}{2}l_{1}&=\lambda _{1},&\mathrm {L} _{1}&=1,\\l_{2}&=\lambda _{2}l_{1}+1,&\mathrm {L} _{2}&=\lambda _{2},\\l_{3}&=\lambda _{3}l_{2}+l_{1},&\mathrm {L} _{3}&=\lambda _{3}\mathrm {L_{2}+L_{1}} ,\\l_{4}&=\lambda _{4}l_{3}+l_{2},\qquad &\mathrm {L} _{4}&=\mathrm {\lambda _{4}L_{3}+L_{2}} ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}$

et l’on aura cette suite de fractions principales convergentes vers $a,$ et alternativement plus petites et plus grandes que $a,$

(C)

${\frac {0}{1}},\quad {\frac {1}{0}},\quad {\frac {l_{1}}{\mathrm {L} _{1}}},\quad {\frac {l_{2}}{\mathrm {L} _{2}}},\quad {\frac {l_{3}}{\mathrm {L} _{3}}},\quad {\frac {l_{4}}{\mathrm {L} _{4}}},\ldots ,$

que nous désignerons par (C).

De plus, on substituera successivement, dans les expressions de $l_{1},\mathrm {L} _{1},$ $l_{2},\mathrm {L} _{2},\ldots ,$ à la place des nombres $\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,$ tous les nombres entiers positifs moindres que ceux-ci ; et faisant, pour abréger,

${\begin{alignedat}{2}l_{1}\ \ &=\lambda _{1},&\mathrm {L} _{1}\ \ &=1,\\l_{1}^{(1)}&=l_{1}\ \ +1,&\mathrm {L} _{1}^{(1)}&=\mathrm {L} _{1},\\l_{1}^{(2)}&=2l_{1}+1,&\mathrm {L} _{1}^{(2)}&=2\mathrm {L} _{1},\\l_{1}^{(3)}&=3l_{1}+1,&\mathrm {L} _{1}^{(3)}&=3\mathrm {L} _{1},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots ,\\l_{1}^{(\lambda _{2})}&=\lambda _{2}l_{1}+1=l_{2},&\mathrm {L} _{1}^{(\lambda _{2})}&=\lambda _{2}\mathrm {L_{1}=L_{2}} \,;\\\\l_{2}^{(1)}&=\ \ l_{2}+l_{1},&\mathrm {L} _{2}^{(1)}&=\ \ \mathrm {L_{2}+L_{1}} ,\\l_{2}^{(2)}&=2l_{2}+l_{1},&\mathrm {L} _{2}^{(2)}&=2\mathrm {L_{2}+L_{1}} ,\\l_{2}^{(3)}&=3l_{2}+l_{1},&\mathrm {L} _{2}^{(3)}&=3\mathrm {L_{2}+L_{1}} ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots ,\\l_{2}^{(\lambda _{3})}&=\lambda _{3}l_{2}+1l_{1}=l_{3},\qquad &\mathrm {L} _{2}^{(\lambda _{3})}&=\lambda _{3}\mathrm {L_{2}+L_{1}=L_{3}} \,;\end{alignedat}}$

${\begin{alignedat}{2}l_{3}^{(1)}&=\ \ l_{3}+l_{2},&\mathrm {L} _{3}^{(1)}&=\ \ \mathrm {L_{3}+L_{2}} ,\\l_{3}^{(2)}&=2l_{3}+l_{2},&\mathrm {L} _{3}^{(2)}&=2\mathrm {L_{3}+L_{2}} ,\\l_{3}^{(3)}&=3l_{3}+l_{2},&\mathrm {L} _{3}^{(3)}&=3\mathrm {L_{3}+L_{2}} ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots ,\\l_{3}^{(\lambda _{4})}&=\lambda _{4}l_{3}+l_{2}=l_{3},\qquad &\mathrm {L} _{3}^{(\lambda _{4})}&=\lambda _{4}\mathrm {L_{3}+L_{2}} \,;\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\end{alignedat}}$

on aura ces deux séries de fractions convergentes vers $a,$

(D)

${\frac {0}{1}},{\frac {1}{1}},{\frac {2}{1}},{\frac {3}{1}},\ldots ,{\frac {l_{1}}{\mathrm {L} _{1}}},{\frac {l_{2}^{(1)}}{\mathrm {L} _{2}^{(1)}}},{\frac {l_{2}^{(2)}}{\mathrm {L} _{2}^{(2)}}},{\frac {l_{2}^{(3)}}{\mathrm {L} _{2}^{(3)}}},\ldots ,{\frac {l_{3}}{\mathrm {L} _{3}}},{\frac {l_{4}^{(1)}}{\mathrm {L} _{4}^{(1)}}},{\frac {l_{4}^{(2)}}{\mathrm {L} _{4}^{(2)}}},{\frac {l_{4}^{(3)}}{\mathrm {L} _{4}^{(3)}}},\ldots .$

(E)

${\frac {1}{0}},{\frac {l_{1}^{(1)}}{\mathrm {L} _{1}^{(1)}}},{\frac {l_{1}^{(2)}}{\mathrm {L} _{1}^{(2)}}},{\frac {l_{1}^{(3)}}{\mathrm {L} _{1}^{(3)}}},\ldots ,{\frac {l_{2}}{\mathrm {L} _{2}}},{\frac {l_{3}^{(1)}}{\mathrm {L} _{3}^{(1)}}},{\frac {l_{3}^{(2)}}{\mathrm {L} _{3}^{(2)}}},{\frac {l_{3}^{(3)}}{\mathrm {L} _{3}^{(3)}}},\ldots ,{\frac {l_{4}}{\mathrm {L} _{4}}},{\frac {l_{5}^{(1)}}{\mathrm {L} _{5}^{(1)}}},{\frac {l_{5}^{(2)}}{\mathrm {L} _{5}^{(2)}}},{\frac {l_{5}^{(3)}}{\mathrm {L} _{5}^{(3)}}},\ldots ,$

dont La première, que je désignerai par (D), est composée de fractions croissantes et toutes plus petites que $a,$ et dont la seconde, que je désignerai par (E), est composée de fractions décroissantes et toutes plus grandes que $a.$

12. Corollaire I. — Il est facile de voir que les numérateurs et les dénominateurs des fractions de chacune des trois séries (C), (D), (E) vont continuellement en augmentant.

13. Corollaire II. — Si ${\frac {l_{\rho }}{\mathrm {L} _{\rho }}},\ {\frac {l_{\rho +1}}{\mathrm {L} _{\rho +1}}}$ sont deux fractions consécutives de la série (C), on aura

$l_{\rho +1}\mathrm {L} _{\rho }-\mathrm {L} _{\rho +1}l_{\rho }=\pm 1,$

le signe supérieur étant pour le cas où l’exposant $\rho$ est impair, c’est-à-dire où la fraction ${\frac {l_{\rho }}{\mathrm {L} _{\rho }}}$ est plus petite que $a,$ et le signe inférieur pour le cas opposé ; d’où il s’ensuit :

1^o Que chaque fraction ${\frac {l_{\rho }}{\mathrm {L} _{\rho }}}$ est déjà réduite à ses moindres termes ; car autrement il faudrait que l’unité fût divisible par la plus grande commune mesure de $l_{\rho }$ et $\mathrm {L} _{\rho }\,;$

2^o Qu’il est impossible qu’entre les deux fractions ${\frac {l_{\rho }}{\mathrm {L} _{\rho }}},\ {\frac {l_{\rho +1}}{\mathrm {L} _{\rho +1}}},$ il puisse tomber une autre fraction rationnelle quelconque dont le dénominateur soit moindre que $\mathrm {L} _{\rho +1}\,;$ car soit, s’il est possible, ${\frac {h}{\mathrm {H} }}$ cette fraction, et il faudra que l’on ait, ou

${\frac {l_{\rho }}{\mathrm {L} _{\rho }}}-{\frac {h}{\mathrm {H} }}<{\frac {l_{\rho }}{\mathrm {L} _{\rho }}}-{\frac {l_{\rho +1}}{\mathrm {L} _{\rho +1}}},$

lorsque $p$ est pair, ou

${\frac {h}{\mathrm {H} }}-{\frac {l_{\rho }}{\mathrm {L} _{\rho }}}<{\frac {l_{\rho +1}}{\mathrm {L} _{\rho +1}}}-{\frac {l_{\rho }}{\mathrm {L} _{\rho }}},$

lorsque $p$ est impair, c’est-à-dire, dans le premier cas,

$l_{\rho }\mathrm {H} -\mathrm {L} _{\rho }h<\mathrm {\frac {H}{L_{\rho +1}}} \left(l_{\rho }\mathrm {L} _{\rho +1}-\mathrm {L} _{\rho }l_{\rho +1}\right)<\mathrm {\frac {H}{L_{\rho +1}}} ,$

et dans le second,

$\mathrm {L} _{\rho }h-l_{\rho }\mathrm {H} <\mathrm {\frac {H}{L_{\rho +1}}} \left(l_{\rho +1}\mathrm {L} _{\rho }-\mathrm {L} _{\rho +1}l_{\rho }\right)<\mathrm {\frac {H}{L_{\rho +1}}} ,$

ce qui ne se peut, à cause que $l_{\rho }\mathrm {H} -\mathrm {L} _{\rho }h$ dans le premier cas, et $\mathrm {L} _{\rho }h-l_{\rho }\mathrm {H}$ dans le second, est nécessairement un nombre entier positif, et que $\mathrm {\frac {H}{L_{\rho +1}}}$ est toujours une fraction (hypothèse) ;

3^o Que comme la racine $a$ tombe entre les deux fractions ${\frac {l_{\rho }}{\mathrm {L} _{\rho }}},\ {\frac {l_{\rho +1}}{\mathrm {L} _{\rho +1}}},$ mais plus près de ${\frac {l_{\rho +1}}{\mathrm {L} _{\rho +1}}}$ que de ${\frac {l_{\rho }}{L_{\rho }}},$ toute fraction, comme ${\frac {h}{\mathrm {H} }},$ qui aura un dénominateurs $\mathrm {H}$ moindre que $\mathrm {L} _{\rho +1},$ approchera toujours moins de la racine $a$ que la fraction ${\frac {l_{\rho +1}}{L_{\rho +1}}},$ et même moins que la fraction ${\frac {l_{\rho }}{L_{\rho }}}$ si cette fraction est du même côté de $a$ que la fraction ${\frac {h}{\mathrm {H} }},$ c’est-à-dire si l’une et l’autre sont en même temps plus grandes ou plus petites que $a.$

14. Corollaire III. — Si ${\frac {e}{\mathrm {E} }},{\frac {f}{\mathrm {F} }}$ désignent deux fractions consécutives quelconques de la série (D) ou (E), du Lemme précédent, on aura en général, par les formules

${\begin{alignedat}{2}e=&l_{\rho }+ml_{\rho +1},&\mathrm {E} =&\mathrm {L} _{\rho }+m\mathrm {L} _{\rho +1},\\f=&l_{\rho }+(m+1)l_{\rho +1},\qquad &\mathrm {F} =&\mathrm {L} _{\rho }+(m+1)\mathrm {L} _{\rho +1},\end{alignedat}}$

l’exposant $\rho$ étant toujours impair dans la série (D), où les fractions sont moindres que $a,$ et toujours pair dans la série (E), où elles sont plus grandes que $a.$

Ainsi l’on aura dans la série (D)

${\begin{aligned}&f\mathrm {L} _{\rho +1}-\mathrm {F} l_{\rho +1}=1,\\&f\mathrm {E} -\mathrm {F} e=1,\end{aligned}}$

et dans la série (E)

${\begin{aligned}&f\mathrm {L} _{\rho +1}-\mathrm {F} l_{\rho +1}=-1,\\&f\mathrm {E} -\mathrm {F} e=-1,\end{aligned}}$

d’où il est aisé de conclure, par un raisonnement semblable à celui du Corollaire précédent :

1^o Que toutes les fractions, tant de la série (D) que de la série (E), seront aussi réduites à leurs moindres termes ;

2^o Qu’il n’y a aucune fraction rationnelle qui, ayant un dénominateur moindre que $\mathrm {F} ,$ puisse tomber, soit entre les fractions ${\frac {f}{\mathrm {F} }},\ {\frac {l_{\rho +1}}{\mathrm {L} _{\rho +1}}}$ soit entre celles-ci ${\frac {f}{\mathrm {F} }},\ {\frac {e}{\mathrm {E} }}\,;$

3^o Que, comme les fractions ${\frac {f}{\mathrm {F} }},\ {\frac {l_{\rho +1}}{\mathrm {L} _{\rho +1}}}$ sont toujours l’une plus grande et l’autre plus petite que $a,$ et que les fractions ${\frac {f}{\mathrm {F} }},\ {\frac {e}{\mathrm {E} }}$ sont toutes deux ou plus grandes ou plus petites que $a,$ toute fraction rationnelle qui aura un dénominateur moindre que $\mathrm {F} ,$ et qui tombera du même côté de $a$ que les fractions ${\frac {e}{\mathrm {E} }},\ {\frac {f}{\mathrm {F} }},$ sera nécessairement moins approchante de $a$ que la fraction ${\frac {e}{\mathrm {E} }}.$

15. Scolie. — Si la racine $a$ est incommensurable, la fraction continue ira à l’infini, et par conséquent les séries (C), (D), (E) iront aussi à l’infini ; mais, si la racine $a$ est rationnelle, alors la fraction continue sera terminée, et la suite des fractions principales (C) le sera aussi, de sorte que la dernière de ces fractions sera égale à la valeur même de la racine $a\,;$ or, ce cas a lieu lorsque quelqu’un des dénominateurs $\lambda _{2},\lambda _{3},\ldots$ devient infini (n^o 21 du Mémoire sur la résolution des équations numériques) ; supposons donc en général que l’on ait trouvé $\lambda _{\mu }=\infty ,$ en sorte que le dénominateur précédent $\lambda _{\mu -1}$ soit la racine exacte de la transformée d’où il dépend, et la fraction ${\frac {l_{\mu -1}}{\mathrm {L} _{\mu -1}}}$ sera la dernière de la suite des fractions principales (C), de sorte que cette même fraction sera égale à la racine $a\,;$ or, il est facile de voir que, si $\mu -1$ est un nombre impair, la fraction ${\frac {l_{\mu -1}}{\mathrm {L} _{\mu -1}}}$ se trouvera dans la série (D), et sera par conséquent la dernière de cette série, et qu’à cause de $\lambda _{\mu }=\infty ,$ la série (E) ira nécessairement à l’infini ; vice versa, si $\mu -1$ est pair, la série (E) se terminera dans la fraction ${\frac {l_{\mu -1}}{L_{\mu -1}}}$ et la série (D) ira à l’infini ; de sorte que des deux séries (D) et (E) il y en aura toujours une qui ira à l’infini et l’autre qui se terminera dans la fraction ${\frac {l_{\mu -1}}{L_{\mu -1}}}\,;$ or, on peut aussi faire en sorte que celle-ci aille à l’infini ; pour cela, il n’y aura qu’à diminuer le nombre $\lambda _{\mu -1}$ d’une unité, ensuite faire $\lambda _{\mu }=1$ et $\lambda _{\mu +1}=\infty \,;$ car il est visible que

$\lambda _{\mu -1}+{\frac {1}{\infty }}$

est la même chose que

$\lambda _{\mu -1}-1+{\frac {1}{1+{\cfrac {1}{\infty }}}}\,;$

par ce moyen, la fraction continue sera augmentée d’un terme, de sorte que la dernière des fractions principales sera ${\frac {l_{\mu }}{\mathrm {L} _{\mu }}}.$ Ainsi, si l’exposant de

la dernière fraction est pair, il deviendra impair, et vice versa ; d’où il suit que parce moyen celle des deux suites (D) et (E) qui était terminée deviendra nécessairement infinie. Il semble qu’il pourrait y avoir quelque difficulté dans le cas où $\lambda _{\mu -1}$ serait égal à l’unité ; mais dans ce cas il arrivera que deux termes de la fraction continue disparaîtront en même temps, de sorte que le nombre des termes continuera à être pair ou impair, comme si $\lambda _{\mu -1}-1$ n’était pas nul ; en effet, si l’on considère la fraction continue

${\frac {1}{\lambda _{\mu -2}+{\cfrac {1}{\lambda _{\mu -1}-1{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\infty }}}}}}}},$

et qu’on suppose que $\lambda _{\mu -1}-1=0,$ elle deviendra

${\frac {1}{\lambda _{\mu -3}+1+{\cfrac {1}{\infty }}}},$

de sorte qu’au lieu qu’il y avait quatre dénominateurs il n’y en aura plus que deux. Au reste, il est facile de se convaincre avec un peu de réflexion que, lorsque la fraction continue est terminée, le dernier dénominateur $\lambda _{\mu -1}$ sera toujours different de l’unité.

De là nous pouvons conclure que les deux suites de fractions (D) et (E) peuvent toujours être supposées aller à l’infini, de sorte que tant les numérateurs que les dénominateurs de ces fractions formeront des suites de nombres commençant par $0$ ou par $1,$ et allant en augmentant à l’infini.

Problème II.

16. On propose de trouver tous les nombres entiers $u$ et $y$ qui peuvent satisfaire à l’équation

(F)

$\mathrm {P} u^{n}+\mathrm {Q} u^{n-1}y+\mathrm {R} u^{n-2}y^{2}+\ldots +\mathrm {V} y^{n}=1,$

que nous désignerons par (F), et dans laquelle nous supposons que $\mathrm {P,Q} ,$ $\mathrm {R,\ldots ,V}$ soient des nombres entiers donnés.

Il est d’abord évident que l’équation ne saurait subsister dans l’hypothèse que $u$ et $y$ soient entiers, si les nombres donnés $\mathrm {P,Q,R} ,\ldots$ avaient un commun diviseur autre que l’unité ; car alors, le premier membre étant tout divisible par ce commun diviseur, il faudrait que le second le fût aussi, ce qui ne se peut.

Par la même raison, on voit aussi que les nombres $u$ et $y$ doivent être premiers entre eux ; autrement tout le premier membre de l’équation serait divisible par leur plus grande commune mesure, élevée à la puissance $n,$ et par conséquent il ne saurait être égal à l’unité.

Cela posé, soient donc $u$ et $y$ deux nombres, entiers premiers entre eux qui satisfassent à l’équation (F) ; divisant cette équation par $y^{n}$ et faisant $x={\frac {u}{y}},$ on aura celle-ci

(G)

$\mathrm {P} x^{n}+\mathrm {Q} x^{n-1}+\mathrm {R} x^{n-2}+\ldots +\mathrm {V} ={\frac {1}{y^{n}}},$

que nous désignerons par (G).

Donc, si l’on considère en général l’équation à deux variables

(H)

$\mathrm {P} x^{n}+\mathrm {Q} x^{n-1}+\mathrm {R} x^{n-2}+\ldots +\mathrm {V} =z,$

que nous désignerons par (H) et qui représente, comme on voit, une courbe parabolique dont $x$ est l’abscisse et $z$ l’ordonnée, il faudra qu’en faisant $x={\frac {u}{y}}$ on ait $z={\frac {1}{y^{n}}},$ c’est-à-dire qu’à l’abscisse ${\frac {u}{y}}$ il réponde un ordonnée égale à ${\frac {1}{y^{n}}}.$ Or, si cette ordonnée n’est pas un minimum, il est ordonnée égale à visible que d’un côté ou de l’autre la courbe ira nécessairement s’approchant de l’axe jusqu’à ce qu’elle parvienne à un point d’intersection avec l’axe, ou de minimum ; soit donc a l’abscisse qui répondra à ce point, et toutes les ordonnées qui répondront à des abscisses comprises entre ces deux-ci ${\frac {u}{y}}$ et $a,$ auront nécessairement des valeurs moindres que ${\frac {1}{y^{n}}}$ et de même signe que ${\frac {1}{y^{n}}},$ c’est-à-dire des valeurs qui tomberont entre $0$ et ${\frac {1}{y^{n}}}\,;$ de sorte que, lorsque $z$ aura une valeur plus grande que ${\frac {1}{y^{n}}},$ ou

de signe différent, c’est-à-dire une valeur qui ne tombe pas entre et ${\frac {1}{y^{n}}}$ et $0,$ on sera sûr que l’abscisse correspondante $x$ ne pourra pas tomber entre ${\frac {u}{y}}$ et $a.$

Maintenant, comme la supposition de $x=a$ doit répondre à $z=0$ ou à $z$ égal à un minimum, il est clair que $a$ ne pourra être qu’une des racines de l’équation $z=0,$ savoir

$\mathrm {P} x^{n}+\mathrm {Q} x^{n-1}+\mathrm {R} x^{n-2}+\ldots +\mathrm {V} =0,$

ou de l’équation ${\frac {dz}{dx}}=0,$ savoir

$n\mathrm {P} x^{n-1}+(n-1)\mathrm {Q} x^{n-2}+(n-2)\mathrm {R} x^{n-3}+\ldots =0,$

de sorte qu’on pourra trouver toutes les valeurs de $a.$

Je suppose ici que la racine $a$ soit positive ; si elle était négative, on commencerait par la rendre positive en changeant les signes des termes qui renfermeraient des puissances impaires de $x\,;$ et pour cela il n’y aurait qu’à mettre, dans l’équation proposée (F), $-u$ à la place de $u,$ c’est-à-dire prendre $u$ avec un signe contraire.

On pourra donc trouver, par le Lemme précédent, deux suites infinies de fractions telles que (D) et (E) qui convergent vers $a,$ et qui aient les propriétés que nous avons exposées ; or, je dis que la fraction ${\frac {u}{y}}$ sera nécessairement une de ces mêmes fractions.

Je vais démontrer d’abord que la fraction ${\frac {u}{y}}$ doit être de même signe que la racine $a.$ Comme cette racine est positive (hypothèse), si la fraction ${\frac {u}{y}}$ est négative, il est clair que la fraction ${\frac {0}{1}}$ approchera plus de la racine $a$ que ne fera la fraction ${\frac {u}{y}}\,;$ donc, puisque ${\frac {0}{1}}$ tombe entre ${\frac {u}{y}}$ et $a,$ si dans l’équation (H) on fait, $x={\frac {0}{1}},$ il faudra que la valeur correspondante de $z$ tombe entre ${\frac {1}{y^{n}}}$ et $0\,;$ mais, en faisant $x=0,$ on a $z=\mathrm {V} \,;$ donc, puisque $\mathrm {V}$ est un nombre entier (hypothèse), il est impossible qu’il puisse tomber entre $0$ et ${\frac {1}{y^{n}}}\,;$ donc, etc.

Je démontrerai maintenant que la fraction ${\frac {u}{y}}$ doit être une de celles de la série (D) ou (E). Comme la fraction ${\frac {u}{y}}$ peut être plus petite ou plus grande que la racine $a,$ supposons d’abord le premier cas, en sorte que l’on ait ${\frac {u}{y}}<a\,;$ et je dis que ${\frac {u}{y}}$ sera nécessairement une des fractions de la série (D). Pour cela nous remarquerons que, comme cette série va à l’infini, et que les dénominateurs des fractions vont en augmentant, il faudra nécessairement que le dénominateur $y$ coïncide avec quelqu’un des dénominateurs des mêmes fractions, ou bien qu’il tombe entre deux dénominateurs consécutifs. Soient ${\frac {l}{\mathrm {L} }},{\frac {m}{\mathrm {M} }},$ deux fractions consécutives de la série (D), et que le nombre $y$ tombe, s’il est possible, entre les deux nombres $\mathrm {L}$ et $\mathrm {M} \,;$ substituant dans l’équation (H), à la place de $x,$ les fractions ${\frac {u}{y}},{\frac {l}{\mathrm {L} }},$ il est clair que la première de ces substitutions donnera (hypotèse) $z={\frac {1}{y^{n}}},$ et que la seconde donnera $z={\frac {\alpha }{\mathrm {L} ^{n}}},$ où l’on aura

$\alpha =\mathrm {P} l^{n}+\mathrm {Q} l^{n-1}+\mathrm {R} l^{n-2}+\ldots ,$

de sorte que $\alpha$ sera nécessairement un nombre entier. Donc, à cause que $y$ est plus grand que $\mathrm {L} ,$ la quantité ${\frac {\alpha }{\mathrm {L} ^{n}}}$ tombera nécessairement hors de ces limites $0,{\frac {1}{y^{n}}}\,;$ donc aussi ${\frac {l}{\mathrm {L} }}$ tombera hors des limites $a$ et ${\frac {u}{y}}\,;$ donc, puisque ${\frac {l}{\mathrm {L} }}$ et ${\frac {u}{y}}$ sont l’une et l’autre moindres que $a$ (hypothèse), il faudra nécessairement que ${\frac {u}{y}}$ tombe entre ${\frac {l}{\mathrm {L} }}$ et $a.$ Mais, à cause que $\mathrm {M}$ est plus grand que $y,$ la fraction ${\frac {m}{\mathrm {M} }}$ approchera plus de $a$ que la fraction ${\frac {u}{y}}$ (14), de sorte que ${\frac {m}{\mathrm {M} }}$ tombera nécessairement entre ${\frac {u}{y}}$ et $a.$ Donc il faudra que ${\frac {u}{y}}$ tombe entre les deux fractions ${\frac {l}{\mathrm {L} }}$ et ${\frac {m}{\mathrm {M} }},$ ce

qui ne se peut (numéro cité). Donc il est impossible que le nombre $y$ puisse tomber entre deux dénominateurs consécutifs $\mathrm {L}$ et $\mathrm {M} \,;$ il faudra donc que ce nombre soit égal à quelqu’un des mêmes dénominateurs ; soit $y=\pm \mathrm {L} ,$ je dis qu’on aura nécessairement ${\frac {u}{y}}={\frac {l}{\mathrm {L} }}.$ En effet, nous avons déjà vu qu’il implique contradiction que la quantité ${\frac {\alpha }{\mathrm {L} ^{n}}}$ tombe hors des limites $0$ et ${\frac {1}{y^{n}}}\,;$ mais, à cause que $\alpha$ est un nombre entier, il est clair que ${\frac {\alpha }{\mathrm {L} ^{n}}}$ ne saurait jamais tomber entre ces mêmes limites tant que $y=\pm \mathrm {L} \,;$ donc il faudra nécessairement qu’on ait

${\frac {1}{y^{n}}}={\frac {\alpha }{\mathrm {L} ^{n}}}\,;$

donc la valeur de $z$ qui répond à $x={\frac {u}{y}}$ sera égale à celle qui répond à $x={\frac {l}{\mathrm {L} }}$ dans l’équation (H) ; donc les deux valeurs de $x$ seront égales aussi ; donc

${\frac {u}{y}}={\frac {l}{\mathrm {L} }}.$

Donc, si la fraction ${\frac {u}{y}}$ est plus petite que la racine $a,$ il est démontré qu’elle ne peut être qu’une de celles de la série (D). On démontrera de la même manière que, lorsque cette fraction sera plus grande que la racine $a,$ elle sera nécessairement une de celles de la série (E) ; donc la fraction ${\frac {u}{y}}$ sera nécessairement une de celles des séries (D), (E), à moins qu’elle ne soit égale à $a,$ ce qui ne peut arriver que dans le cas où $a$ est la racine de l’équation

$dz=0\,;$

car, dans le cas où $a$ est racine de l’équation $z=0,$ il est clair que si ${\frac {u}{y}}=a,$ le second membre de l’équation proposée (F) deviendrait nul, au lieu qu’il doit être égal à l’unité.

Donc, puisqu’on doit avoir nécessairement

${\frac {u}{y}}={\frac {l}{\mathrm {L} }},$

${\frac {l}{\mathrm {L} }}$ étant (11) une des fractions des séries (D), (E), et que tant $u$ et $y$ que $l$ et $\mathrm {L}$ sont premiers entre eux, il s’ensuit qu’on aura en général

$u=\pm l,\quad y=\pm \mathrm {L} ,$

les signes ambigus de $l$ et $\mathrm {L}$ étant à volonté, pourvu qu’on prenne, à la fois les deux supérieurs ou les deux inférieurs.

Or, comme $a$ doit être une des racines de l’équation

$z=0,$

ou une de celles de l’équation

${\frac {dz}{dx}}=0$

qui répondent à un minimum, il faudra chercher toutes ces racines, dont chacune fournira deux suites infinies de fractions telles que (D) et (E), et l’on aura par là tous les nombres entiers qui pourront être admis pour $u$ et $y\,;$ de sorte qu’il ne restera plus qu’a les essayer successivement pour trouver ceux qui peuvent satisfaire en effet à l’équation proposée (F). Si l’on trouve des racines négatives, on les changera d’abord en positives, en changeant les signes des termes où il y aura des puissances impaires de $x\,;$ ensuite on prendra $u$ avec un signe contraire.

17. Corollaire I. — Lorsque $a$ est une des racines de l’équation

$z=0,$

on peut trouver les valeurs de $u$ et de $y$ par la même opération qui sert à trouver la fraction continue qui exprime la racine $a.$ En effet, nous avons vu que, pour trouver cette fraction, il faut d’abord chercher le nombre entier positif $\lambda _{1}$ qui est immédiatement moindre que la racine $a,$

que nous supposons positive ; ensuite on fait

$x=\lambda _{1}+{\frac {1}{x_{1}}},$

et, substituant cette valeur dans l’expression de $z,$ on a, après avoir multiplié tout par $x_{1}^{n}$ et ordonné les termes, une nouvelle équation en $x_{1},$ que nous désignerons par

$z_{1}=0,$

en sorte que $z_{1}$ soit égal au premier membre de cette équation ; on cherchera donc de nouveau le nombre entier positif qui sera immédiatement moindre que la racine de l’équation

$z_{1}=0,$

et, nommant ce nombre $\lambda _{2},$ on fera

$x_{1}=\lambda _{2}+{\frac {1}{x_{2}}},$

ce qui, étant substitué dans $z_{1},$ donnera, après la multiplication par $x_{2}^{n},$ une troisième équation

$z_{2}=0,$

dont $x_{2}$ sera l’inconnue, et sur laquelle on opérera comme sur les précédentes, et ainsi de suite. Tel est le procédé nécessaire pour réduire la racine $a$ en fraction continue ; or, considérons en général une quelconque des équations transformées

$z_{1}=0,\quad z_{2}=0,\ldots ,$

dont le quantième soit $\rho ,$ en sorte que cette équation soit $z_{\rho }=0,$ et que l’inconnue de cette équation soit $x_{\rho }\,;$ il est facile de voir, par ce que nous avons démontré dans les Additions au Mémoire sur la résolution des équations numériques (n^os 31 et 68), que, pour avoir l’expression de $z_{\rho },$ il n’y aura qu’à mettre, dans l’expression de $z,$

${\frac {l_{\rho }x_{\rho }+l_{\rho -1}}{\mathrm {L} _{\rho }x_{\rho }+\mathrm {L} _{\rho -1}}}$

à la place de $x,$ et faire disparaître les dénominateurs en multipliant tous les termes par $\left(\mathrm {L} _{\rho }x_{\rho }+\mathrm {L} _{\rho -1}\right)^{n}\,;$ or si l’on nomme $\zeta$ le premier membre de l’équation proposée (F), il est visible que la valeur de $z_{\rho }$ ne sera autre chose que l’expression de $\zeta ,$ en y mettant $l_{\rho }x_{\rho }+l_{\rho -1}$ à la place de $u,$ et $\mathrm {L} _{\rho }x_{\rho }+\mathrm {L} _{\rho -1}$ à la place de $y\,;$ d’ailleurs on voit, par les formules du Lemme, qu’en faisant successivement

$x_{\rho }=1,2,3,\ldots ,\lambda _{\rho +1},$

la quantité $l_{\rho }x_{\rho }+l_{\rho -1}$ devient

$l_{\rho }^{(1)},\quad l_{\rho }^{(2)},\quad l_{\rho }^{(3)},\ldots \quad l_{\rho }^{(\lambda _{\rho }+1)}=l_{\rho +1},$

et que la quantité $\mathrm {L} _{\rho }x_{\rho }+\mathrm {L} _{\rho -1}$ devient pareillement

$\mathrm {L_{\rho }^{(1)},\quad L_{\rho }^{(2)},\quad L_{\rho }^{(3)},\ldots \quad L_{\rho }^{(\lambda _{\rho }+1)}=L_{\rho +1}} \,;$

d’où, et de ce qui a été démontré plus haut (Problème précédent), je conclus que, pour trouver les valeurs entières de $u$ et de $y$ qui peuvent satisfaire à l’équation (F), c’est-à-dire en tant que ces valeurs dépendent de la racine $a$ de l’équation $z=0,$ il n’y aura qu’à faire successivement, dans chaque équation transformée, telle que $z_{\rho }=0,$ l’inconnue $x_{\rho }=1,2,3,\ldots$ jusqu’à $\lambda _{\mu +1}$ ($\lambda _{\mu +1}$ étant le nombre entier qui est immédiatement moindre que la vraie racine de cette équation), et si l’équation $\zeta =1$ est résoluble, il faudra que quelqu’une de ces suppositions donne $z_{\rho }=1$ lorsque l’exposant $n$ de la fonction $\zeta$ est pair, et $z_{\rho }=1$ ou $-1$ lorsque $n$ est impair.

Soient en général, pour abréger,

$l=x_{\rho }l_{\rho }+l_{\rho -1},\quad \mathrm {L} =x_{\rho }\mathrm {L} _{\rho }+\mathrm {L} _{\rho -1},$

en donnant à $x_{\rho }$ la valeur qui rend $z_{\rho }=1$ quand $n$ est pair, et $z_{\rho }=\pm 1$ quand $n$ est impair ; et l’on aura

$u=\pm l,\quad y=\pm \mathrm {L} ,$

où il faut remarquer, par rapport aux signes, que si $n$ est pair, on peut

prendre indifféremment les supérieurs ou les inférieurs ; mais si $n$ est impair, alors il faut les prendre comme dans l’équation

$z_{\rho }=\pm 1.$

18. Corollaire II. — Si l’équation

$z=0$

a toutes ses racines réelles, je dis : 1^o que les racines $a$ ne pourront être que les racines mêmes de cette équation ; 2^o que les nombres $l$ et $\mathrm {L}$ seront nécessairement les termes de quelqu’une des fractions principales (C) convergentes vers $a,$ et jamais des fractions secondaires.

Car on ne doit prendre pour $a$ que les racines de l’équation

$z=0$

ou celles de l’équation

${\frac {dz}{dx}}=0,$

qui répondent à des minimums (Problème précédent) ; or je vais prouver que, lorsque l’équation

$z=0$

a toutes ses racines réelles, il est impossible que $z$ devienne un minimum ; en effet, pour que $z$ devienne un minimum, il faut qu’on ait

${\frac {dz}{dx}}=0,$

et que la valeur de ${\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}$ soit de même signe que celle de $z,$ c’est-à-dire que ${\frac {1}{z}}{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}$ soit une quantité positive.

Or, nommant $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ les racines de l’équation

$z=0,$

on aura, comme on sait,

$z=\mathrm {P} (x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma )\ldots \,;$

prenant les logarithmes et différentiânt, on aura

${\frac {1}{z}}{\frac {dz}{dx}}={\frac {1}{x-\alpha }}+{\frac {1}{x-\beta }}+{\frac {1}{x-\gamma }}+\ldots \,;$

différentiant une seconde fois et changeant les signes, il viendra

${\frac {1}{z^{2}}}{\frac {dz^{2}}{dx^{2}}}-{\frac {1}{z}}{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}={\frac {1}{(x-\alpha )^{2}}}+{\frac {1}{(x-\beta )^{2}}}+{\frac {1}{(x-\gamma )^{2}}}+\ldots .$

Donc, s’il y avait un minimum, il faudrait que ${\frac {dz}{dx}}$ fût égal à $0,$ et ${\frac {1}{z}}{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}>0,$ et par conséquent que le premier membre de l’équation précédente devînt négatif, ce qui ne se peut tant que $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ sont des quantités réelles ; donc, etc.

Or, puisque l’équation

$z=0$

a toutes ses racines réelles, il est clair que chacune des équations transformées, comme $z_{\rho }=0,$ aura aussi toutes ses racines réelles ; car, à cause de

$x={\frac {l_{\rho }x_{\rho }+l_{\rho -1}}{\mathrm {L} _{\rho }x_{\rho }+\mathrm {L} _{\rho -1}}}$

(17), on aura $x_{\rho },$ c’est-à-dire l’inconnue de l’équation

$z_{\rho }=0,$

égale à

${\frac {l_{\rho -1}-x\mathrm {L} _{\rho -1}}{x\mathrm {L} _{\rho }-l_{\rho }}}\,;$

donc la quantité $z_{\rho }$ ne pourra jamais devenir un minimum ; donc, si l’équation

$z_{\rho }=0$

n’a qu’une seule racine positive égale à $p,$ et qu’on fasse successivement $x_{\rho }=0,1,2,\ldots$ jusqu’à $\lambda _{\rho +1}$ ($\lambda _{\rho +1}$ étant le nombre entier qui est immédiatement moindre que $p$), il est clair que la valeur de $z_{\rho }$ doit ou aller en

diminuant, ou bien augmenter d’abord et diminuer ensuite ; d’où il s’ensuit que la plus petite valeur de $z_{\rho }$p répondra nécessairement ou à $x_{\rho }=0$ ou à $x_{\rho }=\lambda _{\rho +1}\,;$ si l’équation

$z_{\rho }=0$

a plusieurs racines positives $p,q,r,\ldots ,$ il faudra prendre successivement pour $\lambda _{\rho +1}$ les nombres entiers qui sont immédiatement moindres que chacune de ces racines (n^o 19, Mémoire sur la résolution des équations numériques), et l’on en conclura de même que la plus petite valeur de $z_{\rho }$p sera nécessairement une de celles qui répondent à

$x_{\rho }=0\quad {\text{ou}}\quad x_{\rho }=\lambda _{\rho +1}\,;$

or, la valeur de $z_{\rho }$ étant toujours égale à un nombre entier lorsque $x_{\rho }$ est un nombre entier, il est clair qu’elle ne pourra devenir égale à $\pm 1,$ à moins qu’elle ne devienne la plus petite possible ; donc on aura nécessairement dans ce cas $x_{\rho }=0\ {\text{ou}}\ x_{\rho }=\lambda _{\rho +1}\,;$ ce qui donnera ou

$l=l_{\rho -1},\quad \mathrm {L} =\mathrm {L} _{\rho -1},$

ou

$l=\lambda _{\rho +1}l_{\rho }+l_{\rho -1}=l_{\rho +1},\quad \mathrm {L=\lambda _{\rho +1}L_{\rho }+L_{\rho -1}=L_{\rho +1}} \,;$

de sorte que les nombres $l$ et $\mathrm {L}$ ne pourront être que des termes des séries $l_{1},l_{2},l_{3},\ldots$ et $\mathrm {L_{1},L_{2},L_{3}} ,\ldots \,;$ donc, etc. (11).

Maintenant, si l’on suppose en général

$z_{\rho }=\mathrm {P} _{\rho }x_{\rho }^{n}+\mathrm {Q} _{\rho }x_{\rho }^{n-1}+\ldots ,$

il est facile de voir, par ce que nous avons dit dans le Corollaire précédent, que l’on aura

$\mathrm {P} _{\rho }=\mathrm {P} l_{\rho }^{n}+\mathrm {Q} l_{\rho }^{n-1}\mathrm {L} _{\rho }+\mathrm {R} l_{\rho }^{n-2}\mathrm {L} _{\rho }^{2}+\ldots +\mathrm {Z} \mathrm {L} _{\rho },$

de sorte que la valeur du coefficient $\mathrm {P} _{\rho }$ sera égale à ce que devient la quantité $\zeta ,$ en y mettant $l_{\rho }$ à la place de $u,$ et $\mathrm {L} _{\rho }$ à la place de $y.$

De là il est aisé de conclure que, pour résoudre l’équation

$\zeta =1$

dans le cas du présent Corollaire, il n’y aura qu’à faire attention au coefficient du premier terme de chaque équation transformée

$z_{1}=0,\quad z_{2}=0,\ldots \,;$

et si la proposée $\zeta =1$ est résoluble, on trouvera nécessairement, dans quelqu’une de ces équations transformées comme $z_{\rho }=0,$ le premier coefficient $\mathrm {P} _{\rho }=1$ quand $n$ est pair, ou $=\pm 1$ quand $n$ est impair ; alors on aura

$u=\pm l_{\rho },\quad y=\pm \mathrm {L} _{\rho },$

les signes ambigus étant à volonté lorsque $n$ est pair ; mais ils doivent répondre à ceux de l’équation

$\mathrm {P} _{\rho }=\pm 1,$

lorsque $n$ est impair, comme dans le Corollaire précédent.

19. Corollaire III. — Au reste, quelles que soient les racines de l’équation $z=0,$ je dis qu’on parviendra toujours nécessairement à une transformée telle que $z_{\rho }=0,$ dans laquelle la quantité $z_{\rho }$ n’aura aucun minimum du côté des $x_{\rho }$ positives, et que la même chose aura lieu pour toutes les transformées suivantes

$z_{\rho +1}=0,\quad z_{\rho +2}=0,\ldots \,;$

de sorte que, quand on sera arrivé à une telle transformée, alors on sera dans le cas du Corollaire précédent, et la résolubilité de l’équation

$\zeta =1$

ne dépendra plus que du coefficient du premier terme de chaque transformée.

Pour pouvoir démontrer cette proposition, il faut commencer par démontrer celle-ci, savoir, que lorsque, dans une équation quelconque, comme $z=0,$ il y a des racines réelles

$\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$

et des racines imaginaires.

$\mu +\nu {\sqrt {-1}},\quad \mu -\nu {\sqrt {-1}},\quad \varpi +\sigma {\sqrt {-1}},\quad \varpi -\sigma {\sqrt {-1}},\ldots ,$

et que ces dernières sont telles, que les quantités $\mu ,\varpi ,\ldots$ sont négatives, et que

$\mu ^{2}>\nu ^{2},\quad \varpi ^{2}>\sigma ^{2},\ldots ,$

la quantité $z$ ne peut jamais devenir un minimum du côté des $x$ positives.

Car on aura d’abord, comme dans le n^o 18,

${\frac {1}{z^{2}}}{\frac {dz^{2}}{dx^{2}}}-{\frac {1}{z}}{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}={\frac {1}{(x-\alpha )^{2}}}+{\frac {1}{(x-\beta )^{2}}}+{\frac {1}{(x-\gamma )^{2}}}+\ldots$

$+{\frac {1}{(x-\mu -\nu {\sqrt {-1}})^{2}}}+{\frac {1}{(x-\mu +\nu {\sqrt {-1}})^{2}}}$

$+{\frac {1}{(x-\varpi -\sigma {\sqrt {-1}})^{2}}}+{\frac {1}{(x-\varpi +\sigma {\sqrt {-1}})^{2}}}+\ldots ,$

ou bien, en réunissant deux à deux les termes imaginaires,

${\frac {1}{z^{2}}}{\frac {dz^{2}}{dx^{2}}}-{\frac {1}{z}}{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}={\frac {1}{(x-\alpha )^{2}}}+{\frac {1}{(x-\beta )^{2}}}+{\frac {1}{(x-\gamma )^{2}}}+\ldots$

$+2{\frac {(x-\mu )^{2}-\nu ^{2}}{\left(x^{2}-2\mu x+\mu ^{2}+\nu ^{2}\right)^{2}}}+2{\frac {(x-\varpi )^{2}-\sigma ^{2}}{\left(x^{2}-2\varpi x+\varpi ^{2}+\sigma ^{2}\right)^{2}}}+\ldots .$

Or il est clair que si $\mu ,\varpi ,\ldots$ sont négatifs et tels que $\mu ^{2}>\nu ^{2},$$\varpi ^{2}>\sigma ^{2},\ldots ,$ les quantités

$(x-\mu )^{2}-\nu ^{2},\quad (x-\varpi )^{2}-\sigma ^{2},\ldots$

seront toujours positives tant que $x$ sera positif ; donc le second membre de l’équation précédente sera aussi tout positif ; par conséquent il sera impossible que $z$ devienne un minimum (numéro cité).

Cela posé, considérons l’équation primitive $z=0,$ et supposons que cette équation ait des racines réelles $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots ,$ et des racines imaginaires représentées par les quantités

$\mu +\nu {\sqrt {-1}},\quad \mu -\nu {\sqrt {-1}},\quad \varpi +\sigma {\sqrt {-1}},\quad \varpi -\sigma {\sqrt {-1}},\ldots \,;$

qu’on mette, dans $z,$ ${\frac {l_{\rho }x_{\rho }+l_{\rho -1}}{\mathrm {L} _{\rho }x_{\rho }+\mathrm {L} _{\rho -1}}}$ à le place de $x,$ et, multipliant ensuite par $\mathrm {L} _{\rho }x_{\rho }+\mathrm {L} _{\rho -1}$ élevé à la puissance $n,$ on aura l’expression de $z_{\rho }$ (17) ; d’où il est aisé de voir que chaque facteur simple et réel de $z,$ comme $x-\alpha ,$ donnera dans $z_{\rho }$ un facteur aussi réel, tel que

$(l_{\rho }-\alpha \mathrm {L} _{\rho })x_{\rho }+l_{\rho -1}-\alpha \mathrm {L} _{\rho -1},$

et que chaque facteur double à racines imaginaires, tel que $(x-\mu )^{2}+\nu ^{2},$ donnera, dans $z_{\rho }$ le facteur double

$\left[(l_{\rho }-\mu \mathrm {L} _{\rho })x_{\rho }+l_{\rho -1}-\mu \mathrm {L} _{\rho -1}\right]^{2}+\nu ^{2}(\mathrm {L} _{\rho }x_{\rho }+\mathrm {L} _{\rho -1})^{2},$

lequel, en faisant, pour abréger,

${\begin{aligned}\mathrm {A} =&(l_{\rho }-\mu \mathrm {L} _{\rho })^{2}+\nu ^{2}\mathrm {L} _{\rho }^{2},\\\mathrm {B} =&(l_{\rho }-\mu \mathrm {L} _{\rho })(l_{\rho -1}-\mu \mathrm {L} _{\rho -1})+\nu ^{2}\mathrm {L_{\rho }L_{\rho -1}} ,\\\mathrm {C} =&(l_{\rho -1}-\mu \mathrm {L} _{\rho -1})^{2}+\nu ^{2}\mathrm {L} _{\rho -1}^{2},\end{aligned}}$

se réduit à cette forme

$\mathrm {A} x_{\rho }^{2}+2\mathrm {B} x_{\rho }+\mathrm {C} .$

Or ce facteur donne ces deux racines

$\mathrm {\frac {-B+{\sqrt {B^{2}-AC}}}{A}} ,\quad \mathrm {\frac {-B-{\sqrt {B^{2}-AC}}}{A}} .$

où je remarque :

1^o Que $\mathrm {A}$ est toujours nécessairement positif ;

2^o Que $\mathrm {B}$ sera positif lorsque les deux quantités

$l_{\rho }-\mu \mathrm {L} _{\rho }\quad {\text{et}}\quad l_{\rho -1}-\mu \mathrm {L} _{\rho -1}$

seront de même signe, c’est-à-dire lorsque les fractions ${\frac {l_{\rho -1}}{\mathrm {L} _{\rho -1}}}$ et ${\frac {l_{\rho }}{\mathrm {L} _{\rho }}}$ seront toutes deux plus petites ou plus grandes que $\mu \,;$ or, comme les fractions ${\frac {l_{\rho -1}}{\mathrm {L} _{\rho -1}}},{\frac {l_{\rho }}{\mathrm {L} _{\rho }}},\ldots$ convergent constamment vers la racine $a,$ en sorte que la différence devient continuellement plus petite, il est clair que lorsque la

différence entre ${\frac {l_{\rho -1}}{\mathrm {L} _{\rho -1}}}$ et $a$ sera devenue plus petite que celle entre $\mu$ et $a,$ alors toutes les quantités

$l_{\rho -1}-\mu \mathrm {L} _{\rho -1},\quad l_{\rho }-\mu \mathrm {L} _{\rho },\ldots$

seront nécessairement de même signe, et par conséquent la quantité $\mathrm {B}$ sera toujours positive ; or la différence entre la fraction ${\frac {l_{\rho -1}}{L_{\rho -1}}}$ et $a$ est moindre que ${\frac {1}{\mathrm {L_{\rho -1}L_{\rho }} }}\,;$ donc la condition dont il s’agit aura sûrement lieu lorsque la quantité

${\frac {1}{\mathrm {L_{\rho -1}L_{\rho }} }}$

sera moindre que la différence entre $a$ et $\mu .$ Il ne pourrait y avoir de difficulté que lorsque $a=\mu \,;$ car dans ce cas les quantités

$l_{\rho -1}-\mu \mathrm {L} _{\rho -1}\quad {\text{et}}\quad l_{\rho }-\mu \mathrm {L} _{\rho }$

seront toujours nécessairement de signes différents ; mais alors on considérera qu’on a

$\mathrm {B} =\mathrm {L_{\rho }L_{\rho -1}} \left[\left({\frac {l_{\rho }}{\mathrm {L} _{\rho }}}-a\right)\left({\frac {l_{\rho -1}}{\mathrm {L} _{\rho -1}}}-a\right)+\nu ^{2}\right],$

de sorte que, comme la différence entre ${\frac {l_{\rho -1}}{\mathrm {L} _{\rho -1}}}$ et $a,$ de même qu’entre ${\frac {l_{\rho }}{\mathrm {L} _{\rho }}}$ et $a,$ va continuellement en diminuant, il arrivera nécessairement que le produit de ces deux différences deviendra moindre que $\nu ^{2},$ et alors il le sera toujours de plus en plus ; de sorte que la quantité $\mathrm {B}$ se trouvera aussi positive ; c’est ce qui arrivera sûrement lorsque la quantité

$\mathrm {\frac {1}{L_{\rho -1}L_{\rho }L_{\rho }L_{\rho +1}}}$

sera moindre que $\nu ^{2}.$ De plus, il est facile de voir que la quantité $\mathrm {B} ,$ quand elle sera devenue une fois positive, ira nécessairement en aug-

mentant parce que les nombres

$l_{\rho -1},\quad l_{\rho },\ldots ,\quad {\text{et}}\quad \mathrm {L} _{\rho -1},\quad \mathrm {L} _{\rho },\ldots$

augmentent continuellement.

3^o Je remarque que la quantité $\mathrm {B^{2}-AC}$ est égale à $-\nu ^{2}\,;$ car, en substituant les valeurs de $\mathrm {A,B,C}$ et effaçant ce qui se détruit, on trouve d’abord

$\mathrm {AC-B^{2}} =\nu ^{2}(l_{\rho }\mathrm {L} _{\rho -1}-l_{\rho -1}\mathrm {L} _{\rho })^{2}\,;$

mais, par la nature des fractions principales ${\frac {l_{\rho -1}}{\mathrm {L} _{\rho -1}}},\ {\frac {l_{\rho }}{\mathrm {L} _{\rho }}}$ on a (13)

$l_{\rho }\mathrm {L} _{\rho -1}-l_{\rho -1}\mathrm {L} _{\rho }=\pm 1\,;$

donc $\mathrm {AC-B^{2}} =\nu ^{2},$ et par conséquent

$\mathrm {\sqrt {B^{2}-AC}} =\nu {\sqrt {-1}},$

de sorte que les deux racines trouvées ci-dessus seront imaginaires et exprimées par

$\mathrm {-{\frac {B}{A}}+{\frac {\nu }{A}}{\sqrt {-1}},\quad -{\frac {B}{A}}-{\frac {\nu }{A}}{\sqrt {-1}}} .$

Or, puisque $\nu$ est constant et que $\mathrm {B}$ doit aller en augmentant, il est visible qu’il arrivera nécessairement que $\mathrm {B} ^{2}$ surpassera $\nu ^{2},$ et alors ces deux racines imaginaires auront les conditions énoncées plus haut ; de sorte que, quand toutes les racines imaginaires d’une équation transformée, comme $z_{\rho }=0,$ seront dans le même cas, alors $z_{\rho }$ ne pourra plus devenir un minimum, ainsi que $z_{\rho +1},z_{\rho +2},\ldots \,;$ donc, etc.

20. Corollaire IV. — Nous avons supposé, dans les Corollaires précédents, que la racine $a$ était une des racines de l’équation

$z=0\,;$

considérons maintenant le cas où elle en sera une de celles de l’équation

${\frac {dz}{dx}}=0.$

Pour que ce cas ait lieu, il faut que cette racine réponde à $z$ égal à un minimum ; c’est de quoi l’on pourra s’assurer aisément en examinant si $x=a$ rend $z$ et ${\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}$ de même signe ; si ${\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}$ était nul en même temps que ${\frac {dz}{dx}},$ alors il faudrait, comme on sait, que ${\frac {d^{3}z}{dx^{3}}}$ le fût aussi, et la condition du minimum serait que $z$ et ${\frac {d^{4}z}{dx^{4}}}$ fussent de même signe, et ainsi de suite.

Supposons donc qu’on ait trouvé que la racine $a$ de l’équation

${\frac {dz}{dx}}=0$

rend $z$ égal à un minimum, et soit cette valeur de $z$ égale à $\mathrm {Z} \,;$ je dis qu’on ne pourra jamais prendre dans l’équation (F) le nombre $y$ plus grand que ${\frac {1}{\sqrt[{n}]{\mathrm {Z} }}}\,;$ car nous avons vu (16) qu’il faut qu’en faisant $x={\frac {u}{y}}$ on ait $z={\frac {1}{y^{n}}}.$ Or je vais prouver que ${\frac {1}{y^{n}}}$ ne pourra jamais être plus petit que $\mathrm {Z} .$ En effet, supposons qu’il existe une valeur de $u$ et de $y$ telle, que $x={\frac {u}{y}}$ rende $z={\frac {1}{y^{n}}},$ et, comme $x=a$ rend $z$ égal à un minimum, la valeur de $z$ ne fera que diminuer depuis $x={\frac {u}{y}}$ jusqu’à $x=a$ (numéro cité) ; mais on a, lorsque $x=a,\ z=\mathrm {Z} \,;$ donc il faut que ${\frac {1}{y^{n}}}$ soit plus grand que $\mathrm {Z} ,$ ou au moins ne soit pas moindre que $\mathrm {Z} \,;$ donc on ne saurait avoir ${\frac {1}{y^{n}}}<\mathrm {Z}$ ou $y^{n}>{\frac {1}{\mathrm {Z} }},$ et de là $y>{\frac {1}{\sqrt[{n}]{\mathrm {Z} }}},$ abstraction faite des signes de $\mathrm {Z}$ et de $y.$

Donc, puisqu’on ne peut prendre pour les nombres $u$ et $y$ que les numérateurs et les dénominateurs des fractions des séries (D) ou (E) convergentes vers la racine $a$ (numéro cité), il suffira d’essayer dans l’équation (F), pour $u$ et $y,$ les termes des fractions dont les dénominateurs ne surpasseront pas le nombre ${\frac {1}{\sqrt[{n}]{\mathrm {Z} }}},$ de sorte que dans ce cas le nombre des où $a$ est une racine de l’équation

$z=0,$

comme nous l’avons vu plus haut.

De là on voit aussi rue les rs racines de l’équation

${\frac {dz}{dx}}=0$

ne peuvent jamais fournir qu’un nombre de solutions limité ; tandis que les racines de l’équation

$z=0$

peuvent en fournir une infinité.

Or, lorsque l’équation

$z=0$

n’a que des racines imaginaires, l’équation

${\frac {dz}{dx}}=0$

aura nécessairement des racines répondantes à des minimums, et l’on ne pourra prendre pour $a$ que ces mêmes racines ; donc, dans ce cas, l’équation (F) ne pourra jamais avoir qu’un nombre limité de solutions.

21. Scolie. — Si la quantité $z$ avait un diviseur rationnel tel que

$px^{m}+qx^{m-1}+rx^{x-2}+\ldots ,$

et que le quotient fût

$\varpi x^{n-m}+\chi x^{n-m-1}+\rho x^{n-m-2}+\ldots ,$

$p,q,r,\ldots$ et $\varpi ,\chi ,\rho ,\ldots$ étant des nombres entiers, alors il est clair que

le premier membre de l’équation (F) se décomposerait aussi en ces deux facteurs

${\begin{aligned}&pu^{m}+qu^{m-1}y+ru^{m-2}y^{2}+\ldots ,\\&\varpi u^{m-m}+\chi u^{n-m-1}y+\rho u^{n-m-2}y^{2}+\ldots ,\end{aligned}}$

de sorte que, comme chacun de ces facteurs est égal à un nombre entier et que leur produit doit être égal à l’unité, il faudra que chacun d’eux en particulier soit égal à $\pm 1\,;$ ainsi l’on aura deux équations par lesquelles on pourra déterminer les deux inconnues $u$ et $y\,;$ et, si les valeurs de ces inconnues se trouvent égales à des nombres entiers, on aura la solution de l’équation proposée ; sinon il en faudra conclure que cette équation n’est pas résoluble en nombres entiers.

Donc, lorsque, parmi les racines de l’équation

$z=0,$

il s’en trouvera une qui donnera une fraction continue finie ou périodique, on pourra trouver les nombres $u$ et $y$ sans aucun tâtonnement ; car dans le premier cas l’équation aura un diviseur d’une dimension, et dans le second cas elle en aura un de deux dimensions (voyez le § II des Additions au Mémoire sur la résolution des équations numériques).

Problème III.

22. Résoudre en nombres entiers l’équation

$\mathrm {A} =\mathrm {B} t^{n}+\mathrm {C} t^{n-1}u+\mathrm {D} t^{n-2}u^{2}+\ldots +\mathrm {K} u^{n},$

$\mathrm {A,B,C,}$ étant des nombres entiers donnés, et $t,u$ étant deux indéterminées qui doivent être aussi des nombres entiers.

Il est d’abord évident que, si les nombres $\mathrm {B,C,\ldots ,K}$ avaient un diviseur commun à tous, ce diviseur devrait l’être aussi du nombre $\mathrm {A} ,$ pour que les nombres $t$ et $u$ pussent être entiers, et alors il s’en irait de lui-même par la division actuelle ; ainsi l’on peut toujours supposer que les nombres $\mathrm {B,C,\ldots ,K}$ n’ont aucun diviseur commun.

De plus, si les nombres $t$ et $u$ avaient un commun diviseur $r,$ il est clair que le second membre de l’équation proposée serait tout divisible par $r^{n}\,;$ donc il faudrait que le premier $\mathrm {A}$ le fût aussi : d’où l’on voit que ce cas ne peut avoir lieu à moins que le nombre $\mathrm {A}$ ne soit divisible par une puissance $n$ d’un nombre quelconque ; si cela n’est pas, on sera sûr que les nombres cherchés $t$ et $u$ seront nécessairement premiers entre eux. C’est ce qui arrivera toujours lorsque $\mathrm {A}$ sera un nombre premier ; mais, lorsque $\mathrm {A}$ est un nombre composé, il faudra voir d’abord si, parmi ses diviseurs, il en a quelqu’un qui soit une puissance $n$^ième. Supposons que $r^{n}$ soit ce diviseur, alors les nombres $t$ et $u$ pourront être ou premiers entre eux ou divisibles l’un et l’autre par $r\,;$ ce qui formera deux cas qu’il faudra traiter séparément ; dans le second cas on fera

$t=rt',\quad u=ru'\quad {\text{et}}\quad \mathrm {A} =r^{n}\mathrm {A} ',$

et, substituant ces valeurs, on aura, après avoir divisé toute l’équation par $r^{n},$ une nouvelle équation en $t'$ et $u',$ dans laquelle ces nombres seront premiers entre eux. Ainsi l’on peut toujours ramener l’équation proposée au cas où les deux indéterminées sont des nombres premiers entre eux.

Supposons donc l’équation proposée déjà réduite à cet état, et il pourra encore arriver que le nombre $u$ ait un diviseur commun avec le nombre $\mathrm {A} \,;$ supposons que $s$ soit le plus grand diviseur commun de $u$ et $\mathrm {A} \,;$ il est clair qu’il faudra que le terme $\mathrm {B} t^{n},$ qui est sans $u,$ soit divisible par $s\,;$ mais $t$ ne saurait l’être parce qu’il est premier à $u$ (hypothèse) ; donc il faudra que $\mathrm {B}$ le soit ; donc $s$ devra être un diviseur commun de $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} .$

Ainsi, si $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ sont premiers entre eux, on sera assuré que $\mathrm {A}$ et $u$ le seront aussi. Mais, si $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ ont un commun diviseurs, alors $u$ pourra être multiple de $s$ ou non ; ce qui fera deux cas qu’il faudra considérer séparément ; dans le premier on fera

$u=su'\quad {\text{et}}\quad \mathrm {A} =s\mathrm {A} ',$

et l’on aura une transformée qui sera toute divisible par $s,$ et où $\mathrm {A} '$ et $u'$ seront premiers entre eux ; dans le second cas $\mathrm {A}$ et $u$ seront déjà premiers entre eux.

De cette manière, l’équation à résoudre sera toujours réduite à la forme et à l’état de l’équation (A) du Problème I ; et par conséquent elle sera susceptible de la méthode de ce Problème. On commencera donc, suivant cette méthode, par chercher une valeur de $t$ positive ou négative, mais moindre que ${\frac {\mathrm {A} }{2}},$ laquelle rende la quantité

$\mathrm {B} t^{n}+\mathrm {C} t^{n-1}+\mathrm {D} t^{n-2}+\ldots +\mathrm {K}$

divisible par $\mathrm {A} \,;$ et si, parmi les nombres entiers moindres que ${\frac {\mathrm {A} }{2}},$ pris positivement et négativement, on n’en trouve aucun de cette qualité ; on en conclura sur-le-champ que l’équation dont il s’agit n’admet aucune solution en nombres entiers (6) ; mais, si l’on en trouve un ou plusieurs qui aient la qualité requise, on nommera chacun de ces nombres $\theta ,$ et l’on substituera dans l’équation proposée $\theta u-\mathrm {A} y$ à la place de $t\,;$ moyennant quoi elle deviendra divisible par $\mathrm {A} ,$ et, la division faite, elle se trouvera dans le cas de l’équation (F) du Problème II ; ainsi il n’y aura plus qu’à y appliquer la méthode de ce dernier Problème.

23. Scolie. — Il est bon de remarquer que le premier membre de l’équation (H), que nous avons supposé égal à $z$ (16), peut s’exprimer ainsi

${\frac {\mathrm {B} (\theta x-\mathrm {A} )^{n}+\mathrm {C} (\theta x-\mathrm {A} )^{n-1}x+\mathrm {D} (\theta x-\mathrm {A} )^{n-2}x^{2}+\ldots +\mathrm {K} x^{n}}{\mathrm {A} }},$

d’où l’on voit que les racines de l’équation

$z=0$

dépendent de celles de l’équation

$\mathrm {B} t^{n}+\mathrm {C} t^{n-1}+\mathrm {D} t^{n-2}+\ldots +\mathrm {K} =0,$

de sorte que, par cette équation, on pourra juger d’abord de la nature des racines de l’équation

$z=0$

qui est souvent plus compliquée ; car si $t',t'',t''',\ldots$ sont les racines de

l’équation en $t,$ celles de l’équation

$z=0$

seront

${\frac {\mathrm {A} }{\theta -t'}},\quad {\frac {\mathrm {A} }{\theta -t''}},\quad {\frac {\mathrm {A} }{\theta -t'''}},\ldots \,;$

d’où l’on voit qu’il y aura dans l’une et dans l’autre le même nombre de racines réelles et d’imaginaires.

Mais, quant aux maximum et minimum de la quantité $z,$ ils ne correspondent pas à ceux de la quantité

$\mathrm {B} t^{n}+\mathrm {C} t^{n-1}+\mathrm {D} t^{n-2}+\ldots +\mathrm {K} ,$

comme il est facile de le voir ; de sorte qu’il faudra absolument les déterminer par l’équation

${\frac {dz}{dx}}=0.$

Problème IV.

24. On propose de résoudre en nombres entiers l’équation du premier degré

$\mathrm {A} =\mathrm {B} t-\mathrm {C} u.$

Je suppose d’abord que $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C}$ n’aient aucun diviseur commun (Problème III) ; or, $\mathrm {A}$ et $\mathrm {C}$ pouvant avoir un commun diviseur $\mathrm {D} ,$ soient $\mathrm {A=A'D}$ et $\mathrm {C=C'D} ,$ $\mathrm {A} '$ et $\mathrm {C} '$ étant maintenant premiers entre eux, et l’équation proposée pourra se ramener sur-le-champ à celle-ci (4)

$1=\mathrm {B} r-\mathrm {C} 's,$

dont il suffira même de connaître une seule solution.

Or, cette équation étant dans le cas du Problème II, on aura (en faisant ${\frac {r}{s}}=x$),

$\mathrm {B} x-\mathrm {C} '=z\,;$

et, comme $z=0$ donne $x=\mathrm {\frac {C'}{B}} ,$ on aura ici une seule valeur de $a$ qui

sera $\mathrm {\frac {C'}{B}} ,$ en prenant $\mathrm {C} '$ et $\mathrm {B}$ positivement ; donc (18) on sera sûr de trouver les valeurs de $r$ et $s$ parmi les termes d’une des fractions principales convergentes vers $\mathrm {\frac {C'}{B}} \,;$ or, cette fraction étant rationnelle et réduite déjà à ses moindres termes, sera nécessairement la dernière des fractions principales de la série (C) (11) ; donc, si ${\frac {l_{\rho }}{\mathrm {L} _{\rho }}}$ est l’avant-dernière fraction de la même série, on aura (13)

$\mathrm {C'L_{\rho }-B} l_{\rho }=\pm 1,$

le signe supérieur étant pour le cas où le quantième $\rho$ est impair, et l’inférieur pour celui où $\rho$ est pair ; ainsi il n’y aura qu’à prendre

$r=\mp l_{\rho }\quad {\text{et}}\quad s=\mp \mathrm {L} _{\rho }\,;$

si l’un des nombres $\mathrm {B,C'}$ ou tous les deux étaient négatifs, on les regarderait comme positifs, et l’on prendrait $r$ ou $s,$ ou tous les deux, avec des signes contraires.

Ayant ainsi trouvé des valeurs particulières de $r$ et $s,$ on aura, pour les valeurs générales de $t$ et $u$ (4),

$t=\mathrm {A} r+m\mathrm {C} ,\quad u=\mathrm {A} 's+m\mathrm {B} ,$

$m$ étant un nombre quelconque entier positif ou négatif.

25. Corollaire. — Le principal usage de ce Problème est pour résoudre les questions où l’on demande de trouver un nombre qui, étant divisé par autant de nombres donnés qu’on voudra, laisse des restes aussi donnés ; car, soient, $a,b,c,\ldots$ les diviseurs donnés, $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ les restes, et $t,u,x,\ldots$ les quotients inconnus, il est clair que le nombre cherché devra être exprimé également par

$at+\alpha ,\quad bu+\beta ,\quad cx+\gamma ,\ldots ,$

ce qui donnera autant d’équations qu’il y aura de diviseurs donnés, moins un.

On aura donc d’abord l’équation

$at+\alpha =bu+\beta ,$

laquelle se réduit à celle du Problème précédent en faisant

$\mathrm {A} =\beta -\alpha ,\quad \mathrm {B} =a,\quad \mathrm {C} =b\,;$

ainsi l’on trouvera l’expression générale de $t$ et $u.$

La seconde équation sera

$at+\alpha =cx+\gamma \,;$

or

$t=\mathrm {A} r+\mathrm {C} m,$

où $\mathrm {A} ,r$ et $\mathrm {C}$ sont donnés et $m$ est un nombre indéterminé ; donc on aura, en substituant,

$a\mathrm {C} m+a\mathrm {A} r+\alpha =cx+\gamma ,$

équation qu’on résoudra comme la précédente, en regardant $m$ et $x$ comme indéterminés, et le reste comme donné.

Et ainsi de suite.

26. Scolie. — Pour réduire en fraction continue toute fraction rationnelle telle que $\mathrm {\frac {C}{B}} ,$ il n’y a qu’à pratiquer sur cette fraction la même opération qu’on emploie pour trouver le plus grand commun diviseur de $\mathrm {C}$ et $\mathrm {B} \,;$ c’est-à-dire qu’on divisera $\mathrm {C}$ par $\mathrm {B} ,$ $\mathrm {B}$ par le reste de la première division, ce reste par celui de la seconde, et ainsi de suite, jusqu’à ce que la division se fasse exactement, et les quotients de ces différentes divisions seront les nombres $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3},\ldots$ de la fraction continue cherchée (11), à l’aide desquels on formera les fractions ${\frac {l_{1}}{\mathrm {L} _{1}}},{\frac {l_{2}}{\mathrm {L} _{2}}},\ldots ,$ par les formules du même article.

M. Bachet est, comme nous l’avons déjà remarqué, le premier qui ait résolu le Problème précédent ; sa méthode, quoique indépendante des fractions continues, revient cependant au même pour le fond que celle que nous venons d’exposer ; et, en général, toutes celles que d’autres Géomètres ont imaginées après lui se réduisent aux mêmes principes.

Exemple I.

27. On demande tous les nombres entiers qui peuvent être pris pour $t$ et $u$ dans l’équation

$101=41t-105u.$

Puisque les nombres $41$ et $105$ sont premiers entre eux, l’équation est résoluble et n’a besoin d’aucune réduction.

On fera donc

$\mathrm {A=101,\quad B=41,\quad C=105} ,$

et comme $101$ et $105$ sont aussi premiers entre eux, on aura

$\mathrm {D=1,\quad A'=A,\quad C'=C} \,;$

donc la fraction à réduire en fraction continue sera

$\mathrm {\frac {C}{B}} ={\frac {105}{41}}.$

Divisant donc $105$ par $41,$ on aura le quotient $2$ et le reste $23\,;$ divisant $41$ par $23,$ on aura, etc. Ainsi l’on aura cette suite de quotients $2,1,1,$$3,1,1,2,$ lesquels donneront les fractions principales

$2,\quad 1,\quad 1,\quad 3,\quad 1,\quad 1,\quad 2,$

${\frac {0}{1}},\quad {\frac {1}{0}},\quad {\frac {2}{1}},\quad {\frac {3}{1}},\quad {\frac {5}{2}},\quad {\frac {18}{7}},\quad {\frac {23}{9}},\quad {\frac {41}{16}},\quad {\frac {105}{41}}.$

Ainsi la fraction ${\frac {41}{16}}$ sera celle que nous avons désignée par ${\frac {l_{\rho }}{\mathrm {L} _{\rho }}}$ où $\rho$ sera $6,$ et par conséquent pair, de sorte qu’on aura

$r=41,\quad s=16,$

et de là

$t=101\times 41+105m,\quad u=101\times 16+41m,$

où $m$ pourra être un nombre quelconque entier positif ou négatif ; et ces expressions renfermeront toutes les valeurs entières de $t$ et de $u$ qui peuvent satisfaire à l’équation proposée.

Problème V.

28. Résoudre en nombres entiers l’équation

(I)

$\mathrm {A} =\mathrm {B} t^{2}+\mathrm {C} tu+\mathrm {D} u^{2}.$

Supposons cette équation déjà réduite à Pétât qu’exige notre méthode, c’est-à-dire que $\mathrm {B,C,D}$ n’aient aucun diviseur commun, et que $\mathrm {A}$ et $u$ soient premiers entre eux (Problème III). On cherchera d’abord un nombre entier, positif ou négatif, mais moindre que ${\frac {\mathrm {A} }{2}},$ lequel étant pris pour $t$ rende la quantité $\mathrm {B} t^{2}+\mathrm {C} t+\mathrm {D}$ divisible par $\mathrm {A} .$

Si l’on n’en trouve aucun de cette qualité, il en faudra conclure que la proposée n’admet point de solution en nombres entiers ; mais, supposons que l’on en ait trouvé un ou plus d’un qui ait la condition requise, on les désignera par $\theta ,$ et l’on fera les mêmes opérations sur chacun d’eux en les prenant successivement à la place de $\theta .$

Or, comme les racines de l’équation

$z=0$

dépendent (23) de celles de l’équation

$\mathrm {B} t^{2}+\mathrm {C} t+\mathrm {D} =0,$

il se présente ici deux cas qu’il faut examiner séparément ; l’un est celui où cette équation a deux racines réelles, l’autre celui où elle a deux racines imaginaires, à quoi l’on peut ajouter un troisième cas, pour les racines égales.

29. Premier cas, lorsque $\mathrm {C^{2}-4BD>} 0.$ — Qu’on substitue dans l’équation proposée $\theta u-\mathrm {A} y$ à la place de $t,$ et la divisant ensuite par $\mathrm {A} ,$ elle deviendra celle-ci

(K)

$\mathrm {P} u^{2}+\mathrm {Q} uy+\mathrm {R} y^{2}=1,$

où

${\begin{aligned}\mathrm {P} =&\mathrm {\frac {B\theta ^{2}+C\theta +D}{A}} ,\\\mathrm {Q} =&-2\mathrm {B\theta -C} ,\\\mathrm {R} =&\mathrm {AB} ,\end{aligned}}$

de sorte qu’on aura (16)

$\mathrm {P} x^{2}+\mathrm {Q} x+\mathrm {R} =z.$

Maintenant, comme l’équation

$z=0$

n’est ici que du second degré, elle aura toutes ses racines réelles, parce que nous supposons que celles de l’équation en $t$ le sont ; donc on aura le cas du n^o 18 ; de sorte qu’il n’y aura qu’à former les équations transformées

$z_{1}=0,\quad z_{2}=0,\ldots .$

et voir si l’on en trouve une où le coefficient du premier terme soit égal à l’unité prise positivement, à cause qu’on a ici $n=2.$

Or, les racines de l’équation

$z=0$

seront rationnelles ou non, selon que le nombre

$\mathrm {Q^{2}-4PR=C^{2}-4BD}$

sera un carré ou non.

Dans le premier cas, la quantité $z$ sera composée de deux facteurs rationnels du premier degré, de sorte qu’on aura le cas du n^o 21, qui est très-facile à résoudre.

Il n’en est pas de même de l’autre cas où $\mathrm {C^{2}-4DB}$ n’est pas carré, et où par conséquent les racines sont incommensurables ; il faudra donc dans ce cas réduire les racines en fractions continues, et pour cela on pourra se servir de la méthode que nous avons donnée dans la Remarque II du § II des Additions au Mémoire sur la résolution des équations numériques.

Pour pouvoir employer cette méthode, nous réduirons d’abord la quantité $z$ à la forme

$\mathrm {E} _{1}x^{2}-2\varepsilon x-\mathrm {E} ,$

en faisant

${\begin{aligned}\mathrm {E} \,\ =&-\mathrm {R=-AB} ,\\\mathrm {E} _{1}=&\mathrm {P} =\mathrm {\frac {B\theta ^{2}+C\theta +D}{A}} ,\\\varepsilon \ \ =&-\mathrm {{\frac {Q}{2}}=B\theta +{\frac {C}{2}}} ,\end{aligned}}$

en sorte que l’équation à résoudre soit

$\mathrm {E} _{1}x^{2}-2\varepsilon x-\mathrm {E} =z=0,$

sur quoi il faut remarquer que $\mathrm {E}$ et $\mathrm {E} _{1}$ seront toujours des nombres entiers, mais que $\varepsilon$ ne le sera que lorsque $\mathrm {C}$ sera divisible par $2\,;$ ainsi, pour que $\varepsilon$ soit aussi toujours entier, comme la méthode le demande, dans le cas où $\mathrm {C}$ sera un nombre impair, on aura soin de multiplier d’avance toute l’équation (I) par $2,$ ce qui ne la change point, c’est-à-dire qu’on mettra partout dans les formules précédentes $\mathrm {2A,2B,2C,}$$2\mathrm {D}$ à la place de $\mathrm {A,B,C,D} .$

Maintenant, comme l’équation

$z=0$

a les deux racines

$x={\frac {\varepsilon \pm {\sqrt {\beta }}}{\mathrm {E} _{1}}},$

en faisant

$\beta =\varepsilon ^{2}+\mathrm {EE_{1}=\left({\frac {C}{2}}\right)^{2}-BD}$

(je désigne ici par $\beta$ ce que j’ai appelé $\mathrm {B}$ dans l’endroit cité), il faudra les considérer successivement et faire la même opération sur l’une que sur l’autre.

Supposons que

${\frac {\varepsilon +{\sqrt {\beta }}}{\mathrm {E} _{1}}}$

désigne en général une quelconque de ces deux racines (le radical ${\sqrt {\beta }}$

pouvant être positif ou négatif) ; si elle était négative, il faudrait d’abord la rendre positive en prenant $\varepsilon$ et ${\sqrt {\beta }}$ avec des signes contraires, après quoi on changerait aussi le signe du nombre $u$ (16) ; regardant donc

${\frac {\varepsilon +{\sqrt {\beta }}}{\mathrm {E} _{1}}}$

comme positive, on formera d’après cette racine les trois séries suivantes, où le signe $<$ dénote qu’il faut toujours prendre le nombre entier qui est immédiatement au-dessous.

${\begin{alignedat}{3}\mathrm {E} _{1}&={\frac {\beta -\varepsilon ^{2}}{\mathrm {E} }},&\lambda _{1}&<{\frac {\varepsilon +{\sqrt {\beta }}}{\mathrm {E} _{1}}},&\varepsilon _{1}&=\lambda _{1}\mathrm {E} _{1}-\varepsilon ,\\\mathrm {E} _{2}&={\frac {\beta -\varepsilon _{1}^{2}}{\mathrm {E} _{1}}},&\lambda _{2}&<{\frac {\varepsilon _{1}+{\sqrt {\beta }}}{\mathrm {E} _{2}}},&\varepsilon _{2}&=\lambda _{2}\mathrm {E} _{2}-\varepsilon _{1},\\\mathrm {E} _{3}&={\frac {\beta -\varepsilon _{2}^{2}}{\mathrm {E} _{2}}},\qquad &\lambda _{3}&<{\frac {\varepsilon _{2}+{\sqrt {\beta }}}{\mathrm {E} _{3}}},\qquad &\varepsilon _{3}&=\lambda _{3}\mathrm {E} _{3}-\varepsilon _{2},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots .\end{alignedat}}$

Ces séries doivent être poussées jusqu’à ce que deux termes correspondants comme $\mathrm {E} _{\mu }$ et $\varepsilon _{\mu }$ reparaissent ensemble, en sorte que l’on ait, par exemple,

$\mathrm {E} _{\mu +\nu }=\mathrm {E} _{\mu },\quad \varepsilon _{\mu +\nu }=\varepsilon _{\mu },$

car alors tous les termes suivants dans chacune des trois séries seront les mêmes que ceux qu’on aura déjà trouvés, en sorte qu’en général les termes qui auraient pour exposant $\mu +\varpi +n\nu$ ($n$ étant un nombre entier positif quelconque) seront égaux aux termes des mêmes séries dont l’exposant serait $\mu +\varpi .$

Maintenant nous avons vu, dans l’endroit cité, que les équations transformées sont

${\begin{aligned}\mathrm {E} _{2}x_{1}^{2}-2\varepsilon _{1}x_{1}-\mathrm {E} _{1}&=0,\\\mathrm {E} _{3}x_{2}^{2}-2\varepsilon _{2}x_{2}-\mathrm {E} _{2}&=0,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots ,\end{aligned}}$

où il faut remarquer que nous avons supposé que les signes de chaque

transformée étaient changés ; d’où il s’ensuit qu’on aura ici

${\begin{aligned}\mathrm {E} _{1}x^{2}-2\varepsilon \ \,x\ \ -\mathrm {E} \ \ &=z,\\\mathrm {E} _{2}x_{1}^{2}-2\varepsilon _{1}x_{1}-\mathrm {E} _{1}&=-z_{1},\\\mathrm {E} _{3}x_{2}^{2}-2\varepsilon _{2}x_{2}-\mathrm {E} _{2}&=z_{2},\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots ,\end{aligned}}$

et en général

$\mathrm {E} _{\rho +1}x_{\rho }^{2}-2\varepsilon _{\rho }x_{\rho }-\mathrm {E} _{\rho }=\pm z_{\rho },$

le signe supérieur étant pour le cas où $\rho$ est impair, et l’inférieur pour le cas de $\rho$ pair.

Donc, pour que l’équation proposée (K), c’est-à-dire

$\mathrm {E} _{1}u^{2}-2\varepsilon uy-\mathrm {E} y^{2}=1,$

puisse se résoudre en nombres entiers, il faudra (18) que dans la suite des nombres $\mathrm {E,E_{1},E_{2}} ,\ldots$ il se trouve un terme comme $\mathrm {E} _{\rho +1},$ lequel soit égal à $\pm 1,$ en prenant le signe supérieur lorsque $\rho +1$ est impair, et l’inférieur lorsque $\rho +1$ est pair, et alors on aura, si la racines était positive,

$u=\pm l_{\rho },\quad y=\pm \mathrm {L} _{\rho },$

et si elle était négative, en sorte qu’on ait pris $\varepsilon$ avec un signe contraire,

$u=\mp l_{\rho },\quad y=\pm \mathrm {L} _{\rho }.$

30. Corollaire I. — Donc, puisqu’on a en général

$\mathrm {E} _{\mu +n\nu +\varpi }=\mathrm {E} _{\mu +\varpi },$

quel que soit le nombre $n,$ pourvu qu’il soit entier positif, il s’ensuit :

1^o Que si, dans toute la série $\mathrm {E,E_{1},E_{2}} ,\ldots$ jusqu’à $\mathrm {E} _{\mu -1},$ il ne se trouve aucun terme qui soit égal à l’unité, on en doit conclure que l’unité ne paraîtra jamais dans la même suite poussée à l’infini, et qu’ainsi la racine qui a donné cette suite ne fournira aucune solution en nombres entiers de l’équation proposée ;

2^o Que si, dans la suite $\mathrm {E,E_{1},E_{2}} ,\ldots$ jusqu’à $\mathrm {E} _{\mu -1},$ il se trouve un ou plusieurs termes tels que $\mathrm {E} _{\rho +1}$ ($\rho +1$ étant plus petit que $\mu$) qui soient égaux à l’unité positive ou négative, suivant que $\rho$ sera impair ou pair, alors chacun de ces termes donnera une solution de l’équation (K) ; mais nous démontrerons plus bas (34 vers la fin) que ce cas ne saurait jamais avoir-lieu ;

3^o Que, si dans la suite $\mathrm {E_{\rho },E_{\mu +1}} ,\ldots$ jusqu’à $\mathrm {E} _{\mu +\nu -1},$ il se trouve un ou plusieurs termes tels que $\mathrm {E} _{\mu +\varpi }$ ($\varpi$ étant plus petit que $\nu$) qui soient égaux à l’unité positive ou négative, alors chacun de ces termes, ou donnera une infinité de solutions de l’équation (K), ou n’en donnera aucune.

Car il est clair que le même terme $\mathrm {E} _{\mu +\varpi }$ reparaîtra une infinité de fois dans la même série aux places $(\mu +\varpi +\nu )$^ième, $(\mu +\varpi +2\nu )$^ième, …, et en général dans chaque place $(\mu +\varpi +n\nu )$^ième ; or, il faut ici distinguer deux cas, suivant que le nombre $\nu$ qui exprime le nombre des termes de chaque période sera pair ou impair.

Supposons premièrement $\nu$ pair ; en ce cas il est clair que, quelque valeur qu’on donne à $n,$ les nombres $\mu +\varpi +n\nu$ seront tous également pairs ou impairs ; de sorte que, si le terme $\mathrm {E} _{\mu +\varpi }$ est égal à $1$ lorsque $\mu +\varpi$ est impair, et égal à $-1$ lorsque $\mu +\varpi$ est pair, tous les termes suivants dont l’exposant du rang sera $\mu +\varpi +n\nu$ seront aussi de la même qualité, et par conséquent chacun de ces termes pourra fournir une solution de l’équation dont il s’agit. Ainsi l’on pourra faire dans ce cas

$\rho =\mu +n\nu +\varpi -1,$

et prendre pour $n$ tel nombre entier positif qu’on voudra. Si au contraire le terme $\mathrm {E} _{\mu +\varpi }$ était égal à $1$ lorsque $\mu +\varpi$ est pair, ou égal à $-1$ lorsque $\mu +\varpi$ est impair, alors ni ce terme, ni aucun des suivants dont l’exposant serait $\mu +n\nu +\varpi ,$ ne saurait fournir de solution de l’équation proposée.

Supposons en second lieu que $\nu$ soit impair : alors il est visible que les nombres $\mu +\varpi +n\nu$ seront tous de même espèce (c’est-à-dire pairs ou impairs) que le nombre $\mu +\varpi$ lorsque $n$ sera pair, et qu’au contraire ils seront d’espèce differente lorsque $n$ sera impair. Donc, si le terme $E_{\mu +\varpi }$ est égal à $1$ lorsque $\mu +\varpi$ est impair, ou égal à $-1$ lorsque $\mu +\varpi$ est pair, parmi tous les termes qui auront $\mu +\varpi +n\nu$ pour exposant, il n’y aura que ceux où $n$ sera pair qui seront de la même qualité, et qui pourront par conséquent donner des solutions de l’équation (K). Ainsi l’on fera dans ce cas, comme ci-dessus

$\rho =\mu +n\nu +\varpi -1,$

mais il ne faudra prendre pour $n$ que des nombres positifs pairs. Au contraire, si le terme est égal à $1,$ $\mu +\varpi$ étant pair, ou égal à $-1,$ $\mu +\varpi$ étant impair, alors tous les termes qui auront $\mu +n\nu +\varpi$ pour exposant, et où $n$ sera impair, seront égaux à $1$ lorsque l’exposant sera pair, et à $-1$ lorsqu’il sera impair ; ainsi, ces termes ayant la qualité requise pour la solution de l’équation, on pourra encore prendre en général

$\rho =\mu +n\nu +\varpi -1,$

pourvu que $n$ ne dénote que des nombres entiers positifs impairs. Au reste, ce cas peut aussi se ramener au précédent en prenant le terme $\mathrm {E} _{\mu +\nu +\varpi }$ au lieu du terme $\mathrm {E} _{\mu +\varpi }\,;$ car il est évident que le terme dans ce cas sera égal à $+1$ ou à $-1,$ selon que son exposant sera impair ou pair.

En général, le cas de $\nu$ impair peut se réduire à celui de $\nu$ pair, car pour cela il n’y aura qu’à continuer la série $\mathrm {E,E_{1},E_{2}} ,\ldots$ jusqu’au terme $\mathrm {E} _{\mu +2\nu },$ et ensuite prendre $2\nu$ à la place de $\nu ,$ tout le reste demeurant le même.

Connaissant ainsi l’exposant $\rho ,$ on pourra trouver les valeurs de $l_{\rho }$ et $\mathrm {L} _{\rho }$ d’où dépendent celles de $u$ et $y$ (numéro précédent) par les formules du n^o 11 ; pour cela, il faudra continuer la série des nombres $\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots$ jusqu’au terme $\lambda _{\rho },$ ce qui est facile ; car on aura

$\lambda _{\mu +\varpi +1}=\lambda _{\mu +1},\quad \lambda _{\mu +\varpi +2}=\lambda _{\mu +2},\ldots \quad \mathrm {et\ en\ g{\acute {e}}n{\acute {e}}ral} \quad \lambda _{\mu +n\nu +\varpi }=\lambda _{\mu +\varpi }.$

Mais, quand on aura une fois calculé les nombres $l_{1},l_{2},l_{3},\ldots$$\mathrm {L_{1},L_{2},L_{3}} ,\ldots$ jusqu’à $l_{\mu },\mathrm {L} _{\mu },$ on pourra trouver les expressions générales de $l_{\rho }$ et de $\mathrm {L} _{\rho },$ en supposant comme ci-dessus $\rho =\mu +n\nu +\varpi -1\,;$ car il n’y aura qu’à employer les formules données dans le n^o 44 des Additions citées, en ayant attention de mettre dans ces formules $\varpi -1$ à la place de $\varpi ,$ parce que nous y avons supposé $\rho =\mu +n\nu +\varpi .$

31. Corollaire II. — Maintenant, ayant trouvé $u$ et $y,$ on aura $t$ par la formule

$t=\theta u-\mathrm {A} y\,;$

ainsi l’on connaîtra les deux inconnues $t$ et $u$ de l’équation proposée (I).

Or, lorsque la racine $x$ est positive, on a (29)

$u=\pm l_{\rho },\quad y=\pm \mathrm {L} _{\rho },$

et, lorsqu’elle est négative, il faut prendre $u$ et $\varepsilon$ avec des signes contraires. De plus, on a en général (n^o 45 des mêmes Additions déjà citées)

$\mathrm {L} _{\rho }={\frac {l_{\rho }(\varepsilon _{\rho }-\varepsilon )+l_{\rho -1}\mathrm {E} _{\rho +1}}{\mathrm {E} }}.$

Donc, puisque (29)

$\mathrm {E=-AB\quad {\text{et}}\quad \varepsilon =B\theta +{\frac {C}{2}}} ,$

si l’on fait, pour abréger,

$g_{\rho }=l_{\rho }\varepsilon _{\rho }+l_{\rho -1}\mathrm {E} _{\rho +1},$

on aura, dans le cas de la racine ${\frac {\varepsilon +{\sqrt {\beta }}}{\mathrm {E} _{1}}}$ positive,

$u=\pm l_{\rho },\quad t=\pm {\frac {g_{\rho }-{\cfrac {\mathrm {C} }{2}}l_{\rho }}{\mathrm {B} }},$

et, dans le cas de la racine ${\frac {\varepsilon +{\sqrt {\beta }}}{\mathrm {E} _{1}}}$ négative,

$u=\mp l_{\rho },\quad t=\pm {\frac {g_{\rho }+{\cfrac {\mathrm {C} }{2}}l_{\rho }}{\mathrm {B} }}.$

Ces formules sont surtout très-commodes pour trouver les premières va-

leurs de $t$ et $u\,;$ car, dès que dans la série $\mathrm {E,E_{1},E_{2}} ,\ldots$ on sera parvenu à un terme $\mathrm {E} _{\rho +1}=1$ ou $-1,$ selon que $\rho$ sera pair ou impair, il n’y aura plus qu’à calculer les valeurs de $l,l_{1},l_{2},\ldots$ jusqu’à $l_{\rho }$ et l’on aura sur-le-champ les valeurs cherchées de $t$ et $u.$

Mais, si l’on veut avoir les expressions générales de $u$ et $t,$ alors il faudra calculer encore les nombres $\mathrm {H_{1},H_{2}} ,\ldots$ jusqu’à $\mathrm {H} _{\nu }$ par les formules suivantes

${\begin{aligned}\mathrm {H} \ \ &=0,\\\mathrm {H} _{1}&=1,\\\mathrm {H} _{2}&=\lambda _{\mu +2}\mathrm {H} _{1},\\\mathrm {H} _{3}&=\lambda _{\mu +3}\mathrm {H_{2}+H_{1}} ,\\\mathrm {H} _{4}&=\lambda _{\mu +4}\mathrm {H_{3}+H_{2}} ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et faisant, pour abréger,

${\begin{aligned}&f_{\mu }={\frac {l_{\mu }\varepsilon _{\mu }}{\mathrm {E} _{\mu +1}}}+l_{\mu -1},\\&\mathrm {K_{\nu }={\frac {H_{\nu }\varepsilon _{\mu }}{E_{\mu +1}}}+H_{\nu -1}} ,\\&\mathrm {G_{\varpi -1}=H_{\varpi -1}\varepsilon _{\mu +\varpi -1}+H_{\varpi -2}E_{\mu +\varpi }} ,\end{aligned}}$

on aura, par l’une des formules du n^o 44 des Additions citées,

$\left(f_{\mu }+{\frac {l_{\mu }{\sqrt {\beta }}}{\mathrm {E} _{\mu +1}}}\right)\mathrm {\left(G_{\varpi -1}+H_{\varpi -1}{\sqrt {\beta }}\right)} \mathrm {\left(K_{\nu }+{\frac {H_{\nu }{\sqrt {\beta }}}{E_{\mu +1}}}\right)} =g_{\rho }+l_{\rho }{\sqrt {\beta }},$

ou bien, en supposant encore

${\begin{aligned}\varphi =&f_{\mu }\mathrm {G} _{\varpi -1}+{\frac {l_{\mu }\mathrm {H} _{\varpi -1}\beta }{\mathrm {E} _{\mu +1}}},\\\psi =&f_{\mu }\mathrm {H} _{\varpi -1}+{\frac {l_{\mu }\mathrm {G} _{\varpi -1}}{\mathrm {E} _{\mu +1}}},\end{aligned}}$

on aura cette formule

$\left(\varphi +\psi {\sqrt {\beta }}\right)\mathrm {\left(K_{\nu }+{\frac {H_{\nu }{\sqrt {\beta }}}{E_{\mu +1}}}\right)} ^{n}=g_{\rho }+l_{\rho }{\sqrt {\beta }},$

d’où, à cause de l’ambiguïté naturelle du signe de ${\sqrt {\beta }},$ il est aisé de tirer

${\begin{aligned}g_{\rho }=&{\frac {\left(\varphi +\psi {\sqrt {\beta }}\right)\mathrm {\left(K_{\nu }+{\cfrac {H_{\nu }{\sqrt {\beta }}}{E_{\mu +1}}}\right)} ^{n}+\left(\varphi -\psi {\sqrt {\beta }}\right)\mathrm {\left(K_{\nu }-{\cfrac {H_{\nu }{\sqrt {\beta }}}{E_{\mu +1}}}\right)} ^{n}}{2}},\\l_{\rho }=&{\frac {\left(\varphi +\psi {\sqrt {\beta }}\right)\mathrm {\left(K_{\nu }+{\cfrac {H_{\nu }{\sqrt {\beta }}}{E_{\mu +1}}}\right)} ^{n}-\left(\varphi -\psi {\sqrt {\beta }}\right)\mathrm {\left(K_{\nu }-{\cfrac {H_{\nu }{\sqrt {\beta }}}{E_{\mu +1}}}\right)} ^{n}}{2{\sqrt {\beta }}}}.\\\end{aligned}}$

Si l’on fait dans ces expressions $n=0,$ on aura

$g_{\rho }=\varphi \quad {\text{et}}\quad l_{\rho }=\psi \,;$

ainsi $\varphi$ et $\psi$ seront les premières valeurs de $g_{\rho }$ et $l_{\rho },$ de sorte que si l’on avait déjà trouvé ces valeurs de la manière que nous avons enseignée ci-dessus, on pourrait d’abord les prendre à la place de $\varphi$ et $\psi ,$ et alors il ne resterait plus qu’à trouver la valeur de $\mathrm {H} _{\nu },$ et de $\mathrm {K} _{\nu }.$ Au reste, pour pouvoir faire $n=0,$ il faut que $n$ puisse être un nombre pair ; or, c’est ce qu’on peut toujours supposer (30).

32. Corollaire III. — On peut déduire de là une méthode très-simple et très-élégante pour résoudre les équations de la forme

$\mathrm {A} =t^{2}-\Delta u^{2},$

$\Delta$ étant un nombre entier positif non carré, et $\mathrm {A}$ un nombre entier positif ou négatif.

Car ayant, dans ce cas,

$\mathrm {B=1,\quad C=0,\quad D} =-\Delta ,$

on fera

$\mathrm {E=-A,\quad \varepsilon =\theta ,\quad E_{1}={\frac {\theta ^{2}-\Delta }{A}}={\frac {\varepsilon ^{2}-\Delta }{A}},\quad \beta =\Delta } .$

Ainsi l’on commencera par chercher un nombre entiers moindre que ${\frac {\mathrm {A} }{2}},$ lequel soit tel que $\varepsilon ^{2}-\Delta$ soit divisible par $\mathrm {A} ,$ et, si je n’en trouve aucun de cette qualité, on en conclura que la proposée n’est pas résoluble en nombres entiers. Supposons donc qu’on ait trouvé une valeur convenable

de $\varepsilon ,$ il est clair qu’elle pourra être également positive ou négative, mais il faudra la prendre telle, que

${\frac {\varepsilon +{\sqrt {\Delta }}}{\mathrm {E} _{1}}}={\frac {\mathrm {A} }{\varepsilon -{\sqrt {\Delta }}}}$

soit un nombre positif, en donnant au radical ${\sqrt {\Delta }}$ le signe positif ou négatif à volonté ; après quoi on fera le calcul suivant, où le signe $<$ dénote qu’il faut prendre le nombre entier qui est immédiatement au-dessous,

${\begin{alignedat}{3}\mathrm {E} \ \ &=-\mathrm {A} ,\\\mathrm {E} _{1}&={\frac {\Delta -\varepsilon ^{2}}{\mathrm {E} }},\qquad &\lambda _{1}&<{\frac {\varepsilon +{\sqrt {\Delta }}}{\mathrm {E} }},\qquad &\varepsilon _{1}&=\lambda _{1}\mathrm {E} _{1}-\varepsilon ,\\\mathrm {E} _{2}&={\frac {\Delta -\varepsilon _{1}^{2}}{\mathrm {E} _{1}}},&\lambda _{2}&<{\frac {\varepsilon _{1}+{\sqrt {\Delta }}}{\mathrm {E} _{1}}},&\varepsilon _{2}&=\lambda _{2}\mathrm {E} _{2}-\varepsilon _{1},\\\mathrm {E} _{3}&={\frac {\Delta -\varepsilon _{2}^{2}}{\mathrm {E} _{2}}},&\lambda _{3}&<{\frac {\varepsilon _{2}+{\sqrt {\Delta }}}{\mathrm {E} _{2}}},&\varepsilon _{3}&=\lambda _{3}\mathrm {E} _{3}-\varepsilon _{2},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}$

et il suffira de pousser ces séries jusqu’à ce que deux termes correspondants $\mathrm {E} _{\mu },\varepsilon _{\mu }$ reviennent ensemble, en sorte qu’on ait, par exemple,

$\mathrm {E} _{\mu +\nu }=\mathrm {E} _{\mu }\quad {\text{et}}\quad \varepsilon _{\mu +\nu }=\varepsilon _{\mu },$

car alors on aura aussi

$\mathrm {E} _{\mu +\nu +1}=\mathrm {E} _{\mu +1},\quad \varepsilon _{\mu +\nu +1}=\varepsilon _{\mu +1},\quad \lambda _{\mu +\nu +1}=\lambda _{\mu +1},$

et ainsi de suite.

Or, si l’équation proposée est résoluble, on doit arriver à un terme de la première série, comme $\mathrm {E} _{\rho +1},$ lequel soit égal à $1$ si l’exposant $\rho +1$ est impair, et égal à $-1$ si cet exposant est pair ; alors on fera

${\begin{aligned}l_{0}&=1,\\l_{1}&=\lambda _{1},\\l_{2}&=\lambda _{2}l_{1}+1,\\l_{3}&=\lambda _{3}l_{2}+l_{1},\\l_{4}&=\lambda _{4}l_{3}+l_{2},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,\\l_{\rho }&=\lambda _{\rho }l_{\rho -1}+l_{\rho -2},\end{aligned}}$

et l’on aura sur-le-champ

$u=l_{\rho },\quad t=\varepsilon _{\rho }l_{\rho }+\mathrm {E} _{\rho +1}l_{\rho -1}.$

Ensuite, nommant $\mathrm {T}$ et $\mathrm {U}$ ces premières valeurs de $t$ et $u,$ on aura en général (numéro précédent)

${\begin{aligned}t=&{\frac {\mathrm {\left(T+U{\sqrt {\beta }}\right)} \mathrm {\left(K_{\nu }+{\cfrac {H_{\nu }{\sqrt {\beta }}}{E_{\mu +1}}}\right)} ^{n}+\mathrm {\left(T-U{\sqrt {\beta }}\right)} \mathrm {\left(K_{\nu }-{\cfrac {H_{\nu }{\sqrt {\beta }}}{E_{\mu +1}}}\right)} ^{n}}{2}},\\u=&{\frac {\mathrm {\left(T+U{\sqrt {\beta }}\right)} \mathrm {\left(K_{\nu }+{\cfrac {H_{\nu }{\sqrt {\beta }}}{E_{\mu +1}}}\right)} ^{n}-\mathrm {\left(T-U{\sqrt {\beta }}\right)} \mathrm {\left(K_{\nu }-{\cfrac {H_{\nu }{\sqrt {\beta }}}{E_{\mu +1}}}\right)} ^{n}}{2{\sqrt {\beta }}}}.\end{aligned}}$

Si l’équation proposée était

$\mathrm {A=B} t^{2}-\Delta u^{2},$

il n’y aurait d’autre changement à faire à la solution précédente, sinon qu’il faudrait faire

$\mathrm {E=-AB} ,\quad \beta =\mathrm {B} \Delta \quad {\text{et}}\quad \varepsilon =\mathrm {B} \theta ,$

$\theta$ étant un nombre entier moindre que ${\frac {\mathrm {A} }{2}},$ et tel que $\mathrm {B} \theta ^{2}-\Delta$ fût divisible par $\mathrm {A} \,;$ ensuite on mettrait partout $\mathrm {B} t$ et $\mathrm {BT}$ à la place de $t$ et $\mathrm {T} .$

Quant aux signes de $u$ et $t,$ il est visible qu’ils peuvent être quelconques, parce que l’équation ne contient que les carrés de ces quantités.

Il est bon de remarquer que quand $\mathrm {A}$ est un nombre premier, on ne pourra trouver qu’une seule valeur de $\theta \,;$ car chaque valeur de $\theta ,$ pouvant être également positive et négative, équivaudra toujours à deux valeurs ; or, lorsque $\mathrm {A}$ est premier, nous avons démontré que le nombre des valeurs de $\theta$ ne peut pas passer l’exposant du degré de l’équation, lequel est ici $2$ (10) ; donc, etc.

33. Corollaire IV. — Par les principes établis jusqu’ici, on peut démontrer ce théorème, que toute équation de la forme

$\mathrm {E} _{1}=\mathrm {E} _{1}u^{2}-2\varepsilon uy-\mathrm {E} y^{2},$

où $\varepsilon ,\mathrm {E}$ et $\mathrm {E} _{1}$ sont des nombres entiers quelconques, est toujours résoluble en nombres entiers d’une infinité de manières, lorsque $\mathrm {E}$ et $\mathrm {E} _{1}$ sont de même signe.

Car nous ayons démontré (n^o  41 des Additions au Mémoire sur la résolution des équations numériques) que, dans ce cas, la série $\mathrm {E,E_{1},E_{2}} ,\ldots$ sera nécessairement périodique dès le premier ou le second terme ; en sorte qu’on sera sûr que le terme $\mathrm {E} _{1}$ reviendra nécessairement à chaque période ; ainsi l’on aura, par exemple,

$\mathrm {E_{1}=E_{\nu +1}=E_{2\nu +1}} =\ldots =\mathrm {E} _{n\nu +1}\,;$

or, de ce que nous avons vu ci-dessus dans les n^os 18 et 29, il est facile de conclure qu’on a, en général,

$\pm \mathrm {E} _{\rho +1}=\mathrm {E} _{1}l_{\rho }^{2}-2\varepsilon l_{\rho }\mathrm {L_{\rho }-EL} _{\rho }^{2},$

le signe supérieur étant pour le cas où $\rho$ est pair, et l’inférieur pour le cas où $\rho$ est impair ; donc, si l’on fait $\rho =n\nu ,$ et qu’on prenne pour $n$ un nombre quelconque entier positif, de manière que $n\nu$ soit pair, on aura

$\mathrm {E} _{1}=\mathrm {E} _{1}l_{\rho }^{2}-2\varepsilon l_{\rho }\mathrm {L_{\rho }-EL} _{\rho }^{2},$

de sorte que $u=\pm l_{\rho }$ et $y=\pm \mathrm {L} _{\rho }.$

Si l’équation à résoudre était

$-\mathrm {E} _{1}=\mathrm {E} _{1}u^{2}-2\varepsilon uy-\mathrm {E} y^{2},$

il est clair qu’elle serait aussi résoluble d’une infinité de manières si $\nu$ était impair ; car alors, en prenant $n$ impair, $n\nu$ serait aussi impair.

Si l’on fait $\mathrm {E} _{1}=1$ et $\varepsilon =0,$ on a le cas du Problème de M. Fermat dont nous avons parlé au commencement de ce Mémoire. De grands Géomètres avaient déjà donné des méthodes pour résoudre ce Problème (voyez l’Algèbre de Wallis, chap. XCVIII, et surtout son Commercium epistolicum ; voyez aussi les Commentaires de Pétersbourg, tome VI des Anciens et tome XI des Nouveaux] ; mais nous croyons être les premiers qui ayons démontré rigoureusement que le Problème est toujours nécessairement résoluble en nombres entiers (voyez le tome IV des Mémoires de Turin et le volume de l’année 1767 de ceux de cette Académie, p. 272)^[5].

34. Scolie. — Il n’est pas inutile de remarquer que les quantités $\mathrm {K} _{\nu }$ et $\mathrm {\frac {H_{\nu }}{E_{\mu +1}}} ,$ qui entrent dans les expressions générales de $l_{\rho }$ et $\mathrm {L} _{\rho }$ (31), sont toujours telles que

$\mathrm {K_{\nu }^{2}-\beta \left({\frac {H_{\nu }}{E_{\mu +1}}}\right)^{2}} =\pm 1,$

le signe supérieur ayant lieu lorsque $\nu$ est pair, et l’inférieur lorsque $\nu$ est impair.

Pour démontrer cette proposition dans toute sa généralité, il faut remonter aux formules du n^o 44 des Additions citées, et l’on verra que la quantité

$\mathrm {K_{\nu }+{\frac {H_{\nu }{\sqrt {\beta }}}{E_{\mu +1}}}}$

n’est autre chose que la quantité

$\mathrm {H} _{\nu }x_{\mu }+\mathrm {H} _{\nu -1},$

dans laquelle on a substitué pour $x_{\mu }$ sa valeur

${\frac {{\sqrt {\beta }}+\varepsilon _{\mu }}{\mathrm {E} _{\mu +1}}}$

(on doit se souvenir que la quantité que nous nommons ici $\beta$ est celle que nous avons nommée $\mathrm {B}$ dans l’endroit cité). Or la quantité

$\mathrm {H} _{\nu }x_{\mu }+\mathrm {H} _{\nu -1}$

est égale (n^o 25 des mêmes Additions) à

$x_{\mu +1}x_{\mu +2}\ldots x_{\mu +\nu },$

de sorte qu’on aura, en substituant pour $x_{\mu +1},x_{\mu +2},\ldots$ leurs valeurs,

$\mathrm {K_{\nu }+{\frac {H_{\nu }{\sqrt {\beta }}}{E_{\mu +1}}}={\frac {\varepsilon _{\mu +1}+{\sqrt {\beta }}}{E_{\mu +2}}}{\frac {\varepsilon _{\mu +2}+{\sqrt {\beta }}}{E_{\mu +3}}}\ldots {\frac {\varepsilon _{\mu +\nu }+{\sqrt {\beta }}}{E_{\mu +\nu +1}}}} \,;$

donc, prenant ${\sqrt {\beta }}$ en moins, ensuite multipliant ensemble les deux équations, on aura

$\mathrm {K_{\nu }^{2}-\beta \left({\frac {H_{\nu }}{E_{\mu +1}}}\right)^{2}={\frac {\varepsilon _{\mu +1}^{2}-\beta }{E_{\mu +2}^{2}}}{\frac {\varepsilon _{\mu +2}^{2}-\beta }{E_{\mu +3}^{2}}}\ldots {\frac {\varepsilon _{\mu +\nu }^{2}-\beta }{E_{\mu +\nu +1}^{2}}}} .$

Mais on a (n^o 33 des Additions citées).

$\beta =\varepsilon _{\mu +1}^{2}+\mathrm {E_{\mu +1}E_{\mu +2}=\varepsilon _{\mu +2}^{2}+E_{\mu +2}E_{\mu +3}} =\ldots .$

Donc, faisant ces substitutions et effaçant les quantités communes au numérateur et au dénominateur, il viendra

$\mathrm {K_{\nu }^{2}-\beta \left({\frac {H_{\nu }}{E_{\mu +1}}}\right)^{2}=(-1)^{\nu }{\frac {E_{\mu +1}}{E_{\mu +\nu +1}}}} =\pm 1.$

Cette démonstration a lieu, comme on voit, soit que, dans la série

$\mathrm {E_{\mu },\quad E_{\mu +1},\ldots ,\quad E_{\mu +\nu }} ,$

il se trouve un terme comme $\mathrm {E} _{\mu +\varpi }$ qui soit égal à l’unité ou non ; mais le cas où $\mathrm {E} _{\mu +\varpi }=\pm 1$ a de plus cette propriété que les nombres

$\mathrm {K_{\nu }\quad {\text{et}}\quad {\frac {H_{\nu }}{E_{\mu +1}}}}$

sont nécessairement entiers. Car, puisque

$x_{\mu +\nu +1}=x_{\mu +1},\quad x_{\mu +\nu +2}=x_{\mu +2},\ldots ,$

il est clair qu’on aura

$x_{\mu +1}x_{\mu +2}\ldots x_{\mu +\nu }=x_{\mu +\varpi }x_{\mu +\varpi +1}\ldots x_{\mu +\varpi +\nu -1}.$

Or on peut prouver, comme dans le n^o 25 des Additions citées, qu’en faisant

${\begin{aligned}\mathrm {P} \ \ &=0,\\\mathrm {P} _{1}&=1,\\\mathrm {P} _{2}&=\lambda _{\mu +\varpi +1}\mathrm {P} _{1},\\\mathrm {P} _{3}&=\lambda _{\mu +\varpi +2}\mathrm {P_{2}+P_{1}} ,\\\mathrm {P} _{4}&=\lambda _{\mu +\varpi +3}\mathrm {P_{3}+P_{2}} ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

on aura

$x_{\mu +\varpi }x_{\mu +\varpi +1}\ldots x_{\mu +\varpi +\nu -1}=\mathrm {P} _{\nu }x_{\mu +\varpi }+\mathrm {P} _{\nu -1}=\mathrm {P} _{\nu }x_{\mu +\varpi -1}+\mathrm {P} _{\nu -1}.$

Donc, mettant pour $x_{\mu +\varpi -1}$ sa valeur ${\frac {{\sqrt {\beta }}+\varepsilon _{\mu +\varpi -1}}{\mathrm {E} _{\mu +\varpi 1}}},$ on aura

$\mathrm {K_{\nu }+{\frac {H_{\nu }{\sqrt {\beta }}}{E_{\mu +1}}}={\frac {P_{\nu }\varepsilon _{\mu +\varpi -1}}{E_{\mu +\varpi }}}+P_{\nu -1}+{\frac {P_{\nu }{\sqrt {\beta }}}{E_{\mu +\varpi }}}} \,;$

donc, à cause de l’irrationnelle ${\sqrt {\beta }},$ on aura

$\mathrm {K_{\nu }={\frac {P_{\nu }\varepsilon _{\mu +\varpi -1}}{E_{\mu +\varpi }}}+P_{\nu -1}\quad {\text{et}}\quad {\frac {H_{\nu }}{E_{\mu +1}}}={\frac {P_{\nu }}{E_{\mu +\varpi }}}} \,;$

mais $\mathrm {E} _{\mu +\varpi }=\pm 1$ (hypothèse) et $\mathrm {P_{\nu },P_{\nu -1}} ,\varepsilon _{\mu +\varpi -1}$ sont toujours des nombres entiers ; donc, etc.

Nous avons vu (30) qu’on peut toujours supposer que $\nu$ soit pair ; ainsi, les nombres

$\mathrm {K_{\nu }\quad {\text{et}}\quad {\frac {H_{\nu }}{E_{\mu +1}}}}$

seront toujours tels que l’exige le Problème de M. Fermat ; d’où l’on voit que la solution de ce Problème est nécessaire pour la solution générale de tous les Problèmes indéterminés du second degré (voyez le tome VI des Anciens Mémoires de Pétersbourg et le tome IX des Nouveaux).

Nous remarquerons encore que les mêmes nombres

$\mathrm {K_{\nu }\quad {\text{et}}\quad {\frac {H_{\nu }}{E_{\mu +1}}}}$

ne dépendent que du nombre $\beta ,$ de sorte qu’ils sont toujours les mêmes pour toutes les équations où $\beta$ a une même valeur.

Car, puisque

$\lambda _{\mu +\varpi +1}<{\frac {\varepsilon _{\mu +\varpi }+{\sqrt {\beta }}}{\mathrm {E} _{\mu +\varpi +1}}},$

il faudra que

${\frac {\varepsilon _{\mu +\varpi }+{\sqrt {\beta }}}{\mathrm {E} _{\mu +\varpi +1}}}>1\,;$

mais, à cause de

$\beta =\varepsilon _{\mu +\varpi }^{2}+\mathrm {E_{\mu +\varpi }E_{\mu +\varpi +1}} ,$

on a

${\frac {\varepsilon _{\mu +\varpi }+{\sqrt {\beta }}}{\mathrm {E} _{\mu +\varpi +1}}}={\frac {\mathrm {E} _{\mu +\varpi }}{{\sqrt {\beta }}-\varepsilon _{\mu +\varpi }}}\,;$

donc, à cause de $\mathrm {E} _{\mu +\varpi }=\pm 1$ (hypothèse), il faudra que

${\frac {\pm 1}{{\sqrt {\beta }}-\varepsilon _{\mu +\varpi }}}>1\,;$

de sorte que $\varepsilon _{\mu +\varpi }$ ne pourra être que le nombre entier qui sera immédiatement plus petit ou plus grand que ${\sqrt {\beta }},$ suivant qu’on aura

$\mathrm {E} _{\mu +\varpi }=1\quad {\text{ou}}\quad =-1\,;$

ainsi $\varepsilon _{\mu +\varpi }$ et $\mathrm {E} _{\mu +\varpi }$ seront donnés ; par conséquent, les termes suivants le seront aussi par les formules du n^o 29, aussi bien que les nombres $\lambda _{\mu +\varpi +1},\lambda _{\mu +\varpi +2},\ldots \,;$ donc, etc.

Il s’ensuit aussi de cette démonstration qu’en général tout terme de la série $\mathrm {E,E_{1},E_{2}} ,\ldots$ qui est égal à $\pm 1$ est nécessairement périodique ; car, soit $\mathrm {E} _{\rho +1}$ ce terme, donc $\varepsilon _{\rho +1}$ sera égal au nombre entier qui est immédiatement au-dessous ou au-dessus de ${\sqrt {\beta }},$ selon que $\mathrm {E} _{\rho +1}$ sera égal à $+1$ ou égal à $-1\,;$ donc, à cause de

$\beta =\varepsilon _{\rho +1}^{2}+\mathrm {E_{\rho +1}E_{\rho +2}} ,$

il est visible que $\mathrm {E} _{\rho +1}$ et $\mathrm {E} _{\rho +2}$ seront nécessairement l’un et l’autre de

même signe ; donc celui de ces deux termes qui sera moindre que sera nécessairement un des termes périodiques (n^o 41 des Additions citées) ; mais $\mathrm {E} _{\rho +1}=\pm 1$ (hypothèse), donc, etc. ; donc $\rho +1$ sera nécessairement égal à $\mu$ ou plus grand que $\mu .$

35. Second cas, lorsque $\mathrm {C^{2}-4BD} <0.$ — Ayant fait la substitution de $\theta u-\mathrm {A} y$ à la place de $t,$ comme dans le n^o 29, on aura à résoudre l’équation (K)

$\mathrm {P} u^{2}+\mathrm {Q} uy+\mathrm {R} y^{2}=1,$

qui sera telle, que l’équation

$\mathrm {P} x^{2}+\mathrm {Q} x+\mathrm {R} =z=0$

n’aura que des racines imaginaires (21) ; de sorte qu’on aura nécessairement le cas du n^o 20.

On fera donc l’équation

${\frac {dz}{dx}}=2\mathrm {P} x+\mathrm {Q} =0,$

laquelle donne

$x=-\mathrm {\frac {Q}{2P}} ,$

et comme l’équation

$z=0$

n’a que deux racines imaginaires, on sera sûr que la racine que nous venons de trouver portera nécessairement à un minimum. Or, substituant cette valeur de $x$ dans l’expression de $z,$ on aura

$z=\mathrm {\frac {4PR-Q^{2}}{4P}} \,;$

ce sera la plus petite valeur de $z$ que nous avons désigné dans le numéro cité par $\mathrm {Z} ,$ de sorte qu’en substituant les valeurs de $\mathrm {P,Q,R}$ du n^o 29, on aura

$\mathrm {Z} =\mathrm {\frac {4BD-C^{2}}{4{\cfrac {B\theta ^{2}+C\theta +D}{A}}}} ,$

et la valeur de $y$ ne pourra jamais surpasser le nombre ${\frac {1}{\sqrt {\mathrm {Z} }}},$ c’est-à-dire le nombre

$\mathrm {\frac {2{\sqrt {\cfrac {B\theta ^{2}+C\theta +D}{A}}}}{\sqrt {4BD-C^{2}}}} .$

Maintenant il ne s’agira que de réduire en fraction continue la fraction $-\mathrm {\frac {Q}{2P}} ,$ c’est-à-dire celle-ci

$\mathrm {\frac {2B\theta +C}{2{\cfrac {B\theta ^{2}+C\theta +D}{A}}}} ,$

ce qu’on peut faire aisément par la méthode dont nous avons parlé dans le n^o 26 ; ensuite on formera deux séries de fractions convergentes analogues à celles que nous avons désignées par (D) et (E) dans le n^o 11, qu’il suffira de continuer jusqu’à ce qu’on parvienne à une fraction dont le dénominateur surpasse la limite trouvée ci-dessus ; et les termes de ces fractions donneront les nombres qu’on pourra admettre pour $u$ et $y,$ de sorte qu’il n’y aura plus qu’à les essayer successivement pour trouver ceux qui pourront satisfaire à l’équation proposée. Désignons par ${\frac {l}{\mathrm {L} }}$ chacune de ces fractions, et si l’équation (K) est résoluble en nombres entiers, on aura nécessairement

$u=\pm l,\quad y=\pm \mathrm {L} ,$

lorsque la racine $-\mathrm {\frac {Q}{2P}}$ est positive, et

$u=\mp l,\quad y=\pm \mathrm {L} ,$

lorsque cette racine est négative (16).

Au reste, il serait peut-être encore plus court, pour résoudre le cas présent, d’essayer d’abord, dans l’équation proposée (G), à la place de $u$ tous les nombres entiers moindres que

$\mathrm {\sqrt {\frac {4AB}{4BD-C^{2}}}} \,;$

car en multipliant cette équation par $4\mathrm {B} ,$ elle devient

$4\mathrm {AB} =(2\mathrm {B} t+\mathrm {C} u)^{2}+\mathrm {\left(4BD-C^{2}\right)} u^{2},$

d’où, à cause que $\mathrm {4BD-C^{2}}$ est supposé positif, il est clair que $u$ ne saurait jamais surpasser la racine carrée de $\mathrm {\frac {4AB}{4BD-C^{2}}} .$

36. Troisième cas, lorsque $\mathrm {C^{2}-4BD} =0.$ — Ce cas rentre naturellement dans le premier, où nous avons supposé réelles les racines de l’équation $z=0\,;$ mais, puisque ces racines sont de plus égales dans le cas présent, on peut simplifier beaucoup la résolution de l’équation (I) du Problème ; car il est clair qu’elle peut se mettre sous cette forme

$\mathrm {A} ={\frac {(2\mathrm {B} t+\mathrm {C} u)^{2}}{4\mathrm {B} }},,$

ou bien

$4\mathrm {AB} =(2\mathrm {B} t+\mathrm {C} u)^{2}\,;$

d’où l’on voit que, pour que l’équation soit résoluble, il faut que $\mathrm {AB}$ soit un carré ; supposons donc

$\mathrm {AB=E^{2}} ,$

et tirant la racine carrée, on aura

$2\mathrm {B} t+\mathrm {C} u=\pm 2\mathrm {E} ,$

équation réduite au cas du Problème IV.

Exemple II.

37. Soit proposé de résoudre l’équation

$101=t^{2}-13u^{2},$

qui est comme on voit, dans le cas du Corollaire III, en faisant $\mathrm {A} =101$ et $\Delta =13.$

On cherchera d’abord un nombre entier $\varepsilon$ moindre que ${\frac {101}{2}},$ et tel que $\varepsilon ^{2}-13$ soit divisible par $101,$ et l’on trouvera $\varepsilon =35\,;$ or, $101$ étant un nombre premier, on sera déjà sûr qu’il n’y aura point d’autre nombre que celui-ci qui puisse être pris pour $\varepsilon .$ Or, comme on a ici $\mathrm {A}$ positif et $\varepsilon >{\sqrt {\Delta }},$ il est évident que, pour que

${\frac {\mathrm {A} }{\varepsilon -{\sqrt {\Delta }}}}$

soit positif, il suffit que $\varepsilon$ le soit ; ainsi il faudra prendre $\varepsilon$ positif et ${\sqrt {\Delta }}$ successivement positive et négative.

On fera donc en premier lieu

${\begin{alignedat}{3}\mathrm {E} \ \ &=-101,&&&\varepsilon \ \ &=35,\\\mathrm {E} _{1}&={\frac {13-35^{2}}{-101}}=12,\qquad &\lambda _{1}&<{\frac {35+{\sqrt {13}}}{12}}=3,\qquad &\varepsilon _{1}&=3.12-35=1,\\\mathrm {E} _{2}&={\frac {13-1}{12}}\quad =1,\qquad &\lambda _{2}&<{\frac {1+{\sqrt {13}}}{1}}\ \ =4,\qquad &\varepsilon _{2}&=4.1-1=3,\\\mathrm {E} _{3}&={\frac {13-9}{1}}\quad =4,\qquad &\lambda _{3}&<{\frac {3+{\sqrt {13}}}{4}}\ \ =1,\qquad &\varepsilon _{3}&=1.4-3=1,\\\mathrm {E} _{4}&={\frac {13-1}{4}}\quad =3,\qquad &\lambda _{4}&<{\frac {1+{\sqrt {13}}}{3}}\ \ =1,\qquad &\varepsilon _{4}&=1.3-1=2,\\\mathrm {E} _{5}&={\frac {13-4}{4}}\quad =3,\qquad &\lambda _{5}&<{\frac {2+{\sqrt {13}}}{3}}\ \ =3,\qquad &\varepsilon _{5}&=1.3-2=1,\\\mathrm {E} _{6}&={\frac {13-1}{4}}\quad =4,\qquad &\lambda _{6}&<{\frac {1+{\sqrt {13}}}{4}}\ \ =1,\qquad &\varepsilon _{6}&=1.4-1=3,\\\mathrm {E} _{7}&={\frac {13-9}{4}}\quad =1,\qquad &\lambda _{7}&<{\frac {3+{\sqrt {13}}}{1}}\ \ =6,\qquad &\varepsilon _{7}&=6.1-3=3,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}$

Je m’arrête d’abord ici parce que je vois que $\mathrm {E} _{7}$ est égal à $1$ avec un exposant impair ; de sorte que j’aurai

$\rho =6,\quad \mathrm {E} _{\rho +1}=1,\quad \varepsilon _{\rho }=\varepsilon _{6}=3\,;$

ainsi je n’aurai plus qu’à calculer les nombres $l_{1},l_{2},\ldots$ jusqu’à $l_{6}$ de la

manière suivante

${\begin{aligned}l_{1}=&3,\\l_{2}=&4l_{1}+1=13,\\l_{3}=&l_{2}+l_{1}=16,\\l_{4}=&l_{3}+l_{2}=29,\\l_{5}=&l_{4}+l_{3}=45=l_{\rho -1},\\l_{6}=&l_{5}+l_{4}=74=l_{\rho },\end{aligned}}$

et j’aurai sur-le-champ

$u=74,\quad t=3.74+45=267.$

Ce sont là les premières valeurs de $t$ et $u\,;$ pour trouver maintenant les expressions générales de ces nombres, on remarquera que l’on a dans les séries précédentes

$\mathrm {E} _{7}=\mathrm {E} _{2}\quad {\text{et}}\quad \varepsilon _{7}=\varepsilon _{2}\,;$

donc (29)

$\mu =2,\quad \mu +\nu =7,$

d’où $\nu =5\,;$ et comme on a en même temps

$\mathrm {E} _{7}=1,$

on aura

$\mu +\varpi =7,$

et de là

$\varpi =5\,;$

de sorte qu’on aura, en général,

$\rho =\mu +n\nu +\varpi +1=6+5n,$

où, à cause de $\nu$ impair, il ne faudra prendre pour $n$ que des nombres pairs. On calculera donc les nombres $\mathrm {H,H_{1},H_{2}} ,\ldots$ jusqu’à $\mathrm {H} _{\nu }$ par les formules du n^o 31, et comme $\mu =2s$ et $\nu =5,$ on aura

${\begin{aligned}\mathrm {H} \ \ =&0,\\\mathrm {H} _{1}=&1,\\\mathrm {H} _{2}=&\lambda _{2}\mathrm {H} _{1}=1,\\\mathrm {H} _{3}=&\lambda _{3}\mathrm {H_{2}+H_{1}} =2,\\\mathrm {H} _{4}=&\lambda _{4}\mathrm {H_{3}+H_{2}} =3,\\\mathrm {H} _{5}=&\lambda _{5}\mathrm {H_{4}+H_{3}=20=H_{\nu }} \,;\end{aligned}}$

$\varepsilon ^{2}-13$ soit divisible par $101,$ et l’on trouvera $\varepsilon =35\,;$ or, $101$ étant un nombre premier, on sera déjà sûr qu’il n’y aura point d’autre nombre que celui-ci qui puisse être pris pour $\varepsilon .$ Or, comme on a ici $\mathrm {A}$ positif et $\varepsilon >{\sqrt {\Delta }},$ il est évident que, pour que

${\frac {\mathrm {A} }{\varepsilon -{\sqrt {\Delta }}}}$

soit positif, il suffit que $\varepsilon$ le soit ; ainsi il faudra prendre $\varepsilon$ positif et ${\sqrt {\Delta }}$ successivement positive et négative.

On fera donc en premier lieu

${\begin{alignedat}{3}\mathrm {E} \ \ &=-101,&&&\varepsilon \ \ &=35,\\\mathrm {E} _{1}&={\frac {13-35^{2}}{-101}}=12,\qquad &\lambda _{1}&<{\frac {35+{\sqrt {13}}}{12}}=3,\qquad &\varepsilon _{1}&=3.12-35=1,\\\mathrm {E} _{2}&={\frac {13-1}{12}}\quad =1,&\lambda _{2}&<{\frac {1+{\sqrt {13}}}{1}}\ \ =4,&\varepsilon _{2}&=4.1-1=3,\\\mathrm {E} _{3}&={\frac {13-9}{1}}\quad =4,&\lambda _{3}&<{\frac {3+{\sqrt {13}}}{4}}\ \ =1,&\varepsilon _{3}&=1.4-3=1,\\\mathrm {E} _{4}&={\frac {13-1}{4}}\quad =3,&\lambda _{4}&<{\frac {1+{\sqrt {13}}}{3}}\ \ =1,&\varepsilon _{4}&=1.3-1=2,\\\mathrm {E} _{5}&={\frac {13-4}{4}}\quad =3,&\lambda _{5}&<{\frac {2+{\sqrt {13}}}{3}}\ \ =3,&\varepsilon _{5}&=1.3-2=1,\\\mathrm {E} _{6}&={\frac {13-1}{4}}\quad =4,&\lambda _{6}&<{\frac {1+{\sqrt {13}}}{4}}\ \ =1,&\varepsilon _{6}&=1.4-1=3,\\\mathrm {E} _{7}&={\frac {13-9}{4}}\quad =1,&\lambda _{7}&<{\frac {3+{\sqrt {13}}}{1}}\ \ =6,&\varepsilon _{7}&=6.1-3=3,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}$

Je m’arrête d’abord ici parce que je vois que $\mathrm {E} _{7}$ est égal à $1$ avec un exposant impair ; de sorte que j’aurai

$\rho =6,\quad \mathrm {E} _{\rho +1}=1,\quad \varepsilon _{\rho }=\varepsilon _{6}=3\,;$

ainsi je n’aurai plus qu’à calculer les nombres $l_{1},l_{2},\ldots$ jusqu’à $l_{6}$ de la

et l’on aura (abstraction faite des signes)

$u=34,\quad t=-3.34-21=-123.$

Maintenant, puisque

$\mathrm {E} _{8}=\mathrm {E} _{3},\quad {\text{et}}\quad \varepsilon _{8}=\varepsilon _{3},$

on aura ici

$\mu =3\quad {\text{et}}\quad \nu =5$

comme plus haut, de sorte que $n$ devra être pair ; or nous avons démontré (34) que les nombres $\mathrm {K} _{\nu }$ et $\mathrm {\frac {H_{\nu }}{E_{\mu +1}}}$ sont toujours les mêmes pour une même valeur de $\beta \,;$ donc on aura aussi dans le cas présent

$\mathrm {\frac {H_{\nu }}{E_{\mu +1}}} =5,\quad \mathrm {K} _{\nu }=18,$

comme plus haut ; donc, prenant maintenant pour $\mathrm {T}$ et $\mathrm {U}$ les premières valeurs de $t$ et de $u$ que nous venons de trouver, on aura, en général,

${\begin{aligned}t=&{\frac {\left(123+34{\sqrt {13}}\right)\left(18+5{\sqrt {13}}\right)^{n}+\left(123-34{\sqrt {13}}\right)\left(18-5{\sqrt {13}}\right)^{n}}{2}},\\u=&{\frac {\left(123+34{\sqrt {13}}\right)\left(18+5{\sqrt {13}}\right)^{n}-\left(123-34{\sqrt {13}}\right)\left(18-5{\sqrt {13}}\right)^{n}}{2{\sqrt {13}}}},\end{aligned}}$

et ces formules, combinées avec celles que nous avons trouvées plus haut, renfermeront nécessairement toutes les solutions possibles en nombres entiers de l’équation proposée.

Exemple III.

38. On propose de résoudre l’équation

$101=t^{2}-79u^{2}.$

Cette équation étant aussi dans le cas du n^o 32, on opérera comme on a fait dans l’exemple précédent. On commencera donc par chercher un nombre entier $\varepsilon$ moindre que ${\frac {101}{2}}$ et tel que $\varepsilon ^{2}-79$ soit divisible par $101.$ et l’on trouvera $\varepsilon =33\,;$ et comme $101$ est premier, on sera assuré que ce nombre sera le seul de cette qualité.

Or, comme $\varepsilon >{\sqrt {79}},$ et qu’il faut que

${\frac {101}{\varepsilon -{\sqrt {79}}}}$

soit un nombre positif, il faudra prendre $\varepsilon$ positivement, et le radical ${\sqrt {79}}$ pourra être positif ou négatif.

On fera donc en premier lieu

${\begin{alignedat}{3}\mathrm {E} \ \ &=-101,&&&\varepsilon \ \ &=33,\\\mathrm {E} _{1}&={\frac {79-33^{2}}{-101}}=10,\quad &\lambda _{1}&<{\frac {33+{\sqrt {79}}}{10}}=4,\quad &\varepsilon _{1}&=4.10-33=7,\\\mathrm {E} _{2}&={\frac {79-49}{10}}\ \ =3,&\lambda _{2}&<{\frac {7+{\sqrt {79}}}{3}}\ \ =5,&\varepsilon _{2}&=5.3-7=8,\\\mathrm {E} _{3}&={\frac {79-64}{3}}\ \ =5,&\lambda _{3}&<{\frac {8+{\sqrt {79}}}{5}}\ \ =3,&\varepsilon _{3}&=3.5-8=7,\\\mathrm {E} _{4}&={\frac {79-49}{5}}\ \ =6,&\lambda _{4}&<{\frac {7+{\sqrt {79}}}{6}}\ \ =2,&\varepsilon _{4}&=2.6-7=5,\\\mathrm {E} _{5}&={\frac {79-25}{6}}\ \ =9,&\lambda _{5}&<{\frac {5+{\sqrt {79}}}{9}}\ \ =1,&\varepsilon _{5}&=9-5=4,\\\mathrm {E} _{6}&={\frac {79-16}{9}}\ \ =7,&\lambda _{6}&<{\frac {4+{\sqrt {79}}}{7}}\ \ =1,&\varepsilon _{6}&=7-4=3,\\\mathrm {E} _{7}&={\frac {79-9}{7}}\quad =10,&\lambda _{7}&<{\frac {3+{\sqrt {79}}}{10}}\ \ =1,&\varepsilon _{7}&=10-3=7,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}$

Je m’arrête ici parce que je vois que $\mathrm {E_{7}=E_{1}}$ et $\varepsilon _{7}=\varepsilon _{1}\,;$ et comme, dans toute la série des nombres $\mathrm {E,E_{1},E_{2}} ,\ldots$ jusqu’à $\mathrm {E} _{7}$ je n’en trouve aucun qui soit égal à l’unité, j’en conclus (30) que la proposée n’est pas résoluble, au moins d’après la racine

${\frac {101}{33-{\sqrt {79}}}}.$

Reste donc à examiner l’autre racine

${\frac {101}{33+{\sqrt {79}}}},$

et pour cela on fera en second lieu

${\begin{alignedat}{3}\mathrm {E} \ \ &=-101,&&&\varepsilon \ \ &=33,\\\mathrm {E} _{1}&={\frac {79-33^{2}}{-101}}=10,\quad &\lambda _{1}&<{\frac {33-{\sqrt {79}}}{10}}\ \ \ =2,\quad &\varepsilon _{1}&=2.10-33=-13,\\\mathrm {E} _{2}&={\frac {79-13^{2}}{10}}=-9,&\lambda _{2}&<{\frac {-13-{\sqrt {79}}}{-9}}=2,&\varepsilon _{2}&=-2.9+13=-5,\\\mathrm {E} _{3}&={\frac {79-25}{-9}}\ \ =-6,&\lambda _{3}&<{\frac {-5-{\sqrt {79}}}{-6}}\ \ =2,&\varepsilon _{3}&=-2.6+5=-7,\\\mathrm {E} _{4}&={\frac {79-49}{-6}}\ \ =-5,&\lambda _{4}&<{\frac {-7-{\sqrt {79}}}{-5}}\ \ =3,&\varepsilon _{4}&=-3.5+7=-8,\\\mathrm {E} _{5}&={\frac {79-64}{-5}}\ \ =-3,&\lambda _{5}&<{\frac {-8-{\sqrt {79}}}{-3}}\ \ =5,&\varepsilon _{5}&=-3.5+8=-7,\\\mathrm {E} _{6}&={\frac {79-49}{-3}}\ \ =-10,&\lambda _{6}&<{\frac {-7-{\sqrt {79}}}{-10}}\ \ =1,&\varepsilon _{6}&=-10+7=-3,\\\mathrm {E} _{7}&={\frac {79-9}{-10}}\quad =-7,&\lambda _{7}&<{\frac {-3-{\sqrt {79}}}{-7}}\ \ =1,&\varepsilon _{7}&=-7+3=-4,\\\mathrm {E} _{8}&={\frac {79-16}{-7}}\ \ =-9,&\lambda _{8}&<{\frac {-4-{\sqrt {79}}}{-9}}\ \ =1,&\varepsilon _{8}&=-9+4=-5,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}$

Or, puisque je vois que $\mathrm {E_{8}=E_{2}}$ et $\varepsilon _{8}=\varepsilon _{2},$ et que dans toute la série $\mathrm {E,E_{1}} ,\ldots$ jusqu’à $\mathrm {E} _{8}$ il n’y a aucun terme égal à l’unité, j’en conclus de même que la proposée n’est pas résoluble d’après la seconde racine.

D’où il s’ensuit que l’équation dont il s’agit n’admet absolument aucune solution en nombres entiers.

Exemple IV.

39. Qu’on propose maintenant l’équation suivante

$109=t^{2}+7u^{2},$

qui est, comme on voit, dans le cas du n^o 35.

On aura donc ici (28)

$\mathrm {A=109,\quad B=1,\quad C=0,\quad D=-7} \,;$

et il faudra d’abord chercher un nombre entier $\theta$ moindre que ${\frac {109}{2}},$ et tel que $\theta ^{2}+7$ soit divisible par $109\,;$ on trouvera

$\theta =\pm 50\,;$

et, à cause que $109$ est premier, on sera d’abord assuré qu’il n’y aura point d’autres nombres (10) qu’on puisse prendre pour $\theta ,$ On substituera donc dans la proposée $\pm 50u-109y$ à la place de $t,$ et la division étant faite par $109,$ on aura la réduite

$23u^{2}\mp 100uy+109y^{2}=1.$

Donc (35)

$\mathrm {P=23,\quad Q=\mp 100,\quad R=109} \,;$

et, à cause de $\mathrm {C=0,\ B} =1,$ la limite de $y$ sera

${\sqrt {\mathrm {\frac {\theta ^{2}+D}{AB}} }}={\sqrt {\frac {23}{7}}}<2\,;$

de sorte que $y$ ne pourra être que $0$ ou $1\,;$ ainsi il ne sera pas même nécessaire de chercher les fractions convergentes vers la fraction $\mathrm {\frac {Q}{2P}} ={\frac {50}{23}},$ pour trouver les valeurs de $u$ et $y\,;$ car, en faisant $y=1,$ on a

$23u^{2}\mp 100u+109=1\,;$

d’où

$u=\pm 2\quad {\text{et}}\quad t=100-109=-9\,;$

et faisant $y=-1,$ on aura

$u=\mp 2\quad {\text{et}}\quad t=-100+109=9\,;$

et donc en général

$u=\pm 2\quad {\text{et}}\quad t=\pm 9,$

les signes ambigus étant à volonté.

1. Lu à l’Académie le 21 juin 1770.
2. Œuvres de Lagrange, t. II, p. 377.
3. Œuvres de Lagrange, t. II, p. 539.
4. Œuvres de Lagrange, t. II, p. 581.
5. Œuvres de Lagrange, t. I, p. 671, et t. II, p. 377.