Mathématiques et mathématiciens/Chp 4 - Section : Arithmétique

Alphonse Rebière

Mathématiques et mathématiciens

Librairie Nony & Cie, 1898 (p. 471-484).

Nos ancêtres goûtaient les récréations mathématiques et en particulier les problèmes plaisants et délectables (sic) de Bachet de Méziriac.

Nous proposons ici quelques questions de ce genre, en avertissant qu’un énoncé qui paraît facile conduit parfois à une équation supérieure.

ARITHMÉTIQUE

Combien faut-il de chiffres pour écrire les 10, les 100, les 1000, les 10 000 premiers nombres, etc.

Si l’on écrit bout à bout les nombres successifs, quel sera le chiffre occupant dans la suite un rang donné ? — On trouvera, par exemple, que le 75872^e chiffre est 4.

Étendons la question : on a écrit par ordre tous les nombres de 1 à 99 999. Combien a-t-on écrit de chiffres en tout ? Quel est le 40000^e chiffre écrit ? À quel nombre appartient-il ? Enfin, combien y a-t-il de 0, de 1, de 2… et de 9 dans la suite considérée ?

Vaincus par les Romains, quarante juifs et l’historien Josèphe se réfugièrent dans une caverne, bien décidés à se tuer plutôt que de se rendre. Ils se mirent sur un seul rang, se comptèrent trois par trois, et tuèrent chaque fois le troisième. On demande quelle place choisit Josèphe pour échapper au massacre ?

Josèphe se plaça au 16^e ou au 31^e rang et il resta finalement avec un seul homme qui devait se laisser tuer à son tour, mais qui préféra se rendre à l’ennemi.

Un navire est menacé de sombrer. Il faut sacrifier la moitié de l’équipage.

Il y a 32 marins, 16 blancs et 16 noirs. Le capitaine les fait ranger sur une seule ligne pour les décimer. Dans quel ordre, pour sauver les 16 blancs ?

Parmi les nombres l ; 11 ; 111 ; 1111… uniquement formés avec le chiffre 1, quels sont ceux qui sont composés, c’est-à-dire qui ne sont pas premiers ?

Rendre compte de la particularité que présentent les produits de 12345679 par 9 et chacun des multiples de 9 jusqu’à 81.

Combien faut-il de temps pour compter jusqu’à un trillion, en supposant qu’on compte 200 nombres à la minute ?

Réponse : 9 512 ans.

3 ouvriers mettent 5 heures pour aller de Paris à Versailles. Combien d’heures mettront 7 ouvriers pour faire le même voyage ?

Le 26 mai 1876, l’âge de Louis était les ${\frac {55}{71}}$ de l’âge de son frère Jean. Le 26 juillet suivant, il n’en était plus que les ${\frac {7}{9}}$. Trouver la date de la naissance de chacun d’eux.

Faire écrire, par exemple, 7 nombres de 5 chiffres, puis en écrire soi-même, immédiatement, 7 autres de façon que la somme des 14 nombres égale (7 × 99999 ou) 499993.

Expliquer pourquoi tous les produits de 37 par 3 et ses multiples sont chacun formés de plusieurs fois le même chiffre. — De même, pour les produits de 12345679 par 9 et ses puissances.

Une fontaine était formée d’un lion en bronze, portant cette inscription : « Je puis jeter de l’eau par les yeux, par la gueule et par le pied droit. Si j’ouvre l’œil droit, je remplirai mon bassin en deux jours et, si j’ouvre le gauche, en trois jours ; avec mon pied il me faudrait quatre jours et avec ma gueule six heures. Dites combien il me faudrait de temps pour remplir le bassin en jetant de l’eau à la fois par les yeux, par la gueule et par le pied. »

Deviner la date de la naissance d’une personne.

Faites écrire bout à bout les nombres obtenus en ajoutant respectivement 30, 60 et 50 au quantième, au numéro du mois et à l’âge, puis retranchez 306 050 du nombre obtenu, il suffit ensuite de lire le reste.

Exemple : 18 mars 1842, alors $18+30=48$, puis mars étant le 3^e mois, $3+60=63$ et enfin puisque, en 1890, l’âge est 48, $48+50=98$ ; on écrit 486 398 dont on retranche 306 050, il reste 18 348, soit le 18 du 3^e mois et la personne est âgée de 48 ans.

Trouver la racine carrée de ${\frac {2}{3}}$ à ${\frac {1}{3}}$ près, de ${\frac {3}{4}}$ à ${\frac {1}{4}}$ près, de ${\frac {5}{6}}$ à ${\frac {1}{6}}$ près, etc., en général de ${\frac {n-1}{n}}$ à ${\frac {1}{n}}$. — Même question pour la racine cubique, la racine quatrième, etc.

Une femme doit partager un héritage de 350 000 fr. avec son enfant à naître : si elle a un fils, elle ne recevra que la moitié de la part de ce fils, mais si elle a une fille elle prendra au contraire le double de la part de sa fille. Il advient que la femme a deux jumeaux, un fils et une fille. Comment répartira-t-on l’héritage ?

Réponse. — À la mère 100 000 fr., au fils 200 000 fr., à la fille 50 000 fr.

Montrer que la différence des deux escomptes égale l’escompte en dehors de l’escompte en dedans et qu’elle égale aussi l’escompte en dedans de l’escompte en dehors.

On appelait règle d’or notre vulgaire règle de trois, qui est un problème et non une règle, et où il s’agit généralement de plus de trois nombres.

Voir dans Taine (De l’Intelligence, t. 1) la philosophie de la règle de trois.

« J’ai un jardin enclos de haies, et on me vole mes fruits ; je me décide à l’entourer d’un mur, je prends ce que je trouve d’ouvriers dans le village, quatre par exemple et je vois au bout d’un jour qu’ils m’ont fait ensemble seulement douze mètres. J’envoie chercher six autres ouvriers au village voisin… »

Le fameux 45 peut être divisé en 4 parties telles qu’on obtienne le même résultat, en ajoutant 2 à la première, en retranchant 2 à la seconde, en multipliant la 3^e par 2 et enfin en divisant la 4^e par 2. (Question analogue pour 75 et 4.)

En second lieu, on a :

	Soustraction		Somme des chiffres
	987654321		45
−	123456789		45
=	864197532		45

Trouver m nombres entiers consécutifs dont aucun ne soit premier.

Former $\mathrm {N} =2\times 3\times 4\times 5\times 6\cdots \times m\times (m+1)$, puis prendre $\mathrm {N} +2,$ $\mathrm {N} +3,$ $\mathrm {N} +4,$ $\cdots \mathrm {N} +m+1.$

D’un nombre de trois chiffres, on retranche le nombre renversé et on donne le nombre des unités de la différence. Deviner les deux autres chiffres.

Réponse : Dans la différence, le chiffre des dizaines est toujours 9 et la somme des deux autres chiffres est toujours 9.

Combien y avait-il de pêches dans un panier que j’ai distribué à mes trois enfants ? Le premier a reçu la moitié du tout plus la moitié d’une pêche ; le second la moitié du reste plus la moitié d’une pêche ; enfin le 3^e la moitié du reste plus la moitié d’une pêche. Il m’est alors resté quatre pêches et je n’ai eu à couper aucune pêche.

Réponse : 39. — Autres solutions, lorsqu’on n’indique plus le nombre des pêches restantes : 7 ; 15 ; 23 ; 34 ; 47… Généralisation pour n enfants.

Les enfants montrent que 6 et 7 font 9 ; que 6 et 3 font 8 ; que 4 et 2 font 1, etc. Pour cela, ils tracent autant de petits traits verticaux que l’indique le premier des trois nombres et ils les joignent convenablement par autant de traits horizontaux ou inclinés que l’indique le second nombre, de façon à écrire, en lettres capitales, le troisième nombre.

Sur le bord d’une rivière se trouvent trois rois et trois valets. Ces derniers ont projeté de tuer les rois. Il n’y a qu’un bateau si petit que deux personnes seules peuvent y tenir. Il s’agit d’opérer l’embarquement de telle sorte que les valets ne soient jamais sur une rive en nombre supérieur aux maîtres.

Trouver un nombre de trois chiffres sachant qu’il est divisible par 5 et que le quotient est le nombre formé par les deux derniers chiffres du nombre demandé.

Les seules solutions sont 125, 250 et 375.

Trouver deux nombres sachant que l’un d’eux surpasse l’autre de $13{\frac {1}{2}}$ et le contient $13$ fois ${\frac {1}{2}}$.

Vous demandez mon âge et mon prénom ?

Mon âge est égal à son tiers plus le produit de son neuvième par les deux tiers de son septième. Quant à mon prénom, vous le trouverez dans le calendrier si à la moitié du nombre des jours écoulés depuis le commencement de l’année vous ajoutez le tiers des jours à courir du jour de ma fête jusqu’à la fin de l’année ordinaire.

Trouver un nombre de 4 chiffres égal au carré du nombre formé par ses deux derniers chiffres.

Réponse : 5776.

De combien de marches se compose un escalier quand en le montant de deux en deux, il en reste une ; de trois en trois, il en reste deux ; de quatre en quatre, il en reste trois ; de cinq en cinq, il en reste quatre ; de six en six, il en reste cinq ; et de sept en sept il n’en reste pas.

Trouver un nombre égal au cube de la somme de ses chiffres.

Réponse : 6859 ; 4913 ; 1 ; 512 ; 17576 ; 19683.

Dans son Monte-Christo, Alexandre Dumas demande d’établir une addition composée de tous les neuf premiers chiffres sans les répéter et sans employer le zéro, de façon que le total soit cent.

Réponse : $74$ ; $25$ ; ${\frac {3}{6}};{\frac {9}{18}}$.

Les nombres 49 ; 4 ⁴⁸ 9 ; 44 ⁴⁸ 89 ; 444 ⁴⁸ 889 etc., obtenus en insérant 48 au milieu du précédent sont des carrés parfaits.

Trouver un nombre entier x tel que la somme des x premiers nombres entiers se compose de 3 chiffres égaux.

Réponse : seulement x = 36 et alors la somme des 36 premiers nombres est 666.

Un nombre quelconque étant donné, si on le récrit en plaçant le 1^er chiffre sous le 4^e et si l’on ajoute, on a le nombre primitif multiplié par $7\times 11\times 13.$

Dans un compte, on trouve l’article suivant :

.1 à 2^f, 8 ci……… 98^f,38.

Les astérisques indiquent des chiffres effacés ou illisibles qu’il s’agit de rétablir.

Trois frères ont 30 ans, 20 ans et 6 ans ; dans combien d’années la somme des âges des deux plus jeunes égalera-t-elle l’âge de l’aîné ?

Combien faut-il de chiffres pour paginer un livre de 1 645 pages ?

Il en faut 5 473.

Quel est le nombre de pages d’un dictionnaire dont la pagination a nécessité 15 321 chiffres ?

4 107 pages.

On demande le nombre de 3 chiffres dont le double représente le nombre des chiffres de tous les nombres non supérieurs au nombre cherché.

Réponse : 108.

Trouver deux nombres entiers tels que leur somme égale leur produit. — Même question pour trois nombres.

Réponses : 1^o 2 et 2 ; 2^o 1, 2 et 3.

Trouver un nombre entier de deux chiffres qui soit égal au double produit de ses chiffres.

Réponse : 36.

Une brebis, un agneau et deux lapins mangeraient l’herbe d’un enclos, la première en 30 jours, le 2^e en 45 jours et les deux derniers en 90 jours, si cette herbe ne poussait pas ; mais l’herbe se renouvellerait en 60 jours. Dans combien de jours, l’herbe de l’enclos sera-t-elle épuisée ?

Quels sont les nombres égaux à la somme des chiffres de leurs cubes ?

Ce sont 1, 8, 17, 18, 26 et 27.

Un escargot grimpant le long d’un poteau de 12 mètres fait 3 mètres le jour et redescend 2 mètres la nuit. Au bout de combien de jours et de nuits aura-t-il atteint le sommet du poteau ?

Une ficelle a 30^m de long ; chaque jour, d’un coup de ciseau, on en coupe un mètre. Dans combien de jours aura-t-on fini ?

Un arabe laisse à ses trois fils 17 chameaux. Le premier doit en avoir la moitié, le second le tiers et le troisième le neuvième. Comment répartir les 17 chameaux ?

Le cadi appelé arrive monté sur son chameau, il y a alors 18 chameaux, le premier des frères en reçoit 9, le deuxième 6 et le troisième 2. Le cadi remonte sur son propre chameau et rentre sous sa tente.

Y a-t-il sur le globe deux hommes ayant le même nombre de cheveux ?

Soit 100 000, par exemple, le nombre de cheveux maximum sur une seule tête, alors il n’y a pas plus de 100 000 individus ayant un nombre de cheveux différent, or la terre compte plus de 100 000 habitants…

Question proposée par Nicole à la duchesse de Longueville. — Auguste Comte en parle aussi.

Trouver 6 fois 13 en 12.

Écrire les 12 premiers nombres, prendre les produits des extrêmes et ceux des nombres qui en sont équidistants.

Les trois Grâces, portant chacune le même nombre de couronnes, rencontrent les neuf Muses et leur distribuent des couronnes de façon que chaque Grâce et chaque Muse en ait autant l’une que l’autre. On demande combien chaque Grâce portait d’abord de couronnes ?

Extrait de l’Anthologie grecque.

Sur le bord d’une rivière se trouvent un loup, une chèvre et un chou ; il n’y a qu’un bateau si petit, que le batelier seul et l’un d’eux peuvent y tenir. Il s’agit de les passer tous les trois, de telle sorte que le loup ne mange pas la chèvre, ni la chèvre le chou en l’absence du batelier.

Ce problème de Bachet a peut-être donné lieu à la locution : « Ménager la chèvre et le chou », à moins qu’il n’ait été inspiré par elle.

Trois piétons, marchant ensemble, ont fait 24 lieues ; combien chacun a-t-il fait de lieues ?

Nous empruntons aux Récréations scientifiques de M. Lagarrigue, le problème suivant :

Trois femmes vont au marché pour vendre des oranges ; la 1^re en a 50, la 2^e 30 et la 3^e 10. Comment pourront-elles faire pour vendre leurs oranges au même prix et pour rapporter cependant chacune la même somme ?

Réponse. — Les femmes vendent leurs moins belles oranges à 7 pour 5 centimes autant de fois que possible, puis le reste à 15 centimes pièce.

Un cuisinier donne la moitié de ses œufs et la moitié d’un œuf, à son 1^er aide ; au 2^e aide, la moitié du reste des œufs et la moitié d’un œuf ; au 3^e aide, encore la moitié du reste des œufs et la moitié d’un œuf. Combien le cuisinier avait-il d’œufs et comment a-t-il pu procéder, pour ne pas casser d’œufs ?

Réponse, — 39 œufs, par exemple, et il en reste ensuite 4 au cuisinier.