Mathématiques et mathématiciens/Chp 4 - Section : Géométrie
GÉOMÉTRIE
Diviser un triangle en deux parties qui aient à la fois même périmètre et même surface.
Construire un triangle, un pentagone, et plus généralement un polygone d’un nombre impair de côtés, connaissant les milieux de tous les côtés.
Quelle est la graduation de l’arc qui a la même longueur que le rayon ?
Tout triangle dont deux des bissectrices sont égales est isoscèle.
Connaissant le rayon d’un rouleau de papier peint et le nombre des feuilles, déterminer la longueur du rouleau.
Décrire une route circulaire équidistante de quatre points.
Étant donné un point sur une sphère impénétrable, construire le point diamétralement opposé, en se servant du compas sphérique.
Trouver avec le compas seulement les points de division d’une circonférence en quatre parties égales. — De même, en cinq, huit, douze, etc. parties égales.
On peut résoudre des problèmes avec le compas seul ; on peut aussi en résoudre avec la règle seule.
On a ainsi la géométrie du compas et la géométrie de la règle.
Inscrire dans un cercle un polygone régulier de dix-sept côtés.
Gauss, dans ses Disquisitiones arithmeticæ, démontre qu’on peut construire, avec la règle et le compas, le côté de tout polygone régulier inscrit dont le nombre des côtés est premier de la forme .
Il y a de curieuses relations entre les équations binomes et l’inscription des polygones réguliers.
Le triangle de Pythagore a pour côtés les nombres consécutifs 3, 4 et 5 et, en multipliant ces nombres par un nombre entier quelconque, on obtient une infinité de triangles rectangles, à côtés entiers.
Ce triangle simple permet d’élever, à l’aide de trois cordeaux, la perpendiculaire en un point d’une droite.
On déduit du triangle de Pythagore un autre triangle rectangle à côtés entiers, qui ne lui est pas semblable, en prenant pour côtés de l’angle droit la différence des carrés des deux côtés primitifs et le double produit de ces mêmes côtés. On trouve 7, 24 et 25.
Si les côtés de trois polygones semblables sont proportionnels à 3, 4 et 5, la surface du plus grand vaut la somme des surfaces des deux autres.
Proposition analogue pour quatre polyèdres semblables dont les côtés sont proportionnels à 3, 4, 5 et 6. On considère alors les volumes.
Deux villages occupent des positions connues des deux côtés d’un ruisseau, établir un pont qui soit équidistant de chacun d’eux.
Étant donné un triangle isoscèle, construire un second triangle isoscèle de même surface et de même périmètre que le premier.
Un gourmet paye un franc une botte d’asperges, entourée d’une ficelle ; le lendemain, il demande pour deux francs une botte des mêmes asperges, qui soit entourée d’une ficelle double. Est-ce équitable ?
Couper une pyramide quadrangulaire quelconque suivant un parallélogramme.
Couper un cube suivant un hexagone régulier.
Couper un prisme suivant un triangle équilatéral.
On propose de recouvrir entièrement une portion de plan avec un carrelage formé de polygones réguliers de même espèce, ou d’espèces différentes.
Montrer qu’on peut exécuter un pavage avec des triangles équilatéraux, ou avec des carrés, ou avec des hexagones réguliers, mais qu’on ne le peut avec des pentagones réguliers ou des polygones réguliers de plus de six côtés.
M. X… laisse à sa mort un pré carré dont on doit donner le quart aux pauvres, puis partager le reste entre les quatre enfants du défunt, en quatre parties de même surface et de même forme.
Trouver un triangle rectangle dont les côtés soient des nombres entiers et dont l’aire soit exprimée par le même nombre que le contour.
Réponses : 5, 12 et 13 ; 6, 8 et 10.
Décrire une circonférence tangente à trois circonférences données.
Décrire trois circonférences telles que chacune touche les deux autres et soit tangente à un côté d’un triangle donné.
Construire un triangle connaissant ses trois médianes ou ses trois hauteurs.
Tracer sur le terrain l’ovale de jardinier avec trois piquets et un cordeau.
Inscrire un carré à un triangle. — Sur lequel côté s’appuie le plus grand carré ?
Décomposer un pentagone régulier en sept parties, de façon qu’assemblées convenablement, elles forment un carré.
Trouver la surface d’une figure qu’il est impossible de décomposer en figures géométriques calculables. — Même question pour le volume.
Trouver la distance des centres de deux sphères données, en ne se servant que de la règle et du compas.
1o Mener la bissectrice d’un angle dont on ne peut pas prolonger les côtés jusqu’à leur point de rencontre.
2o Mener par un point donné une droite qui irait passer par le sommet de l’angle précédent.
3o Distance d’un point à un point inaccessible.
4o Distance de deux points inaccessibles.
5o Hauteur d’une tour dont le pied est accessible.
6o Hauteur d’une tour ou d’une montagne dont le pied est inaccessible.
7o Rayon d’un bassin inaccessible.
8o Prolonger une droite au-delà d’un obstacle.
9o Déterminer la largeur d’une rivière qu’on ne peut traverser.
10o Reconnaître si quatre points sont dans un même plan, puis s’ils sont sur une même circonférence.
Au grand soleil, je viens de mettre
La lance de mon étendard ;
Sa longueur vaut trois fois le mètre ;
Son ombre a cinq mètres un quart.
Vois aussi la tour de l’église :
Par son nombre elle marque cent.
Calcule la hauteur précise
Du vieux clocher retentissant.
Décomposer un carré en portions telles, qu’en les réunissant convenablement, on forme : 1o huit carrés égaux, 2o cinq carrés égaux, 3o trois carrés égaux.
Un jour d’été, une pie aperçoit de l’eau dans un trou conique de 3 pouces de diamètre au fond. Elle accourt et constate que l’eau a une surface de 6 pouces de diamètre et s’élève à une hauteur de 2 pouces. La pie ne pourrait atteindre l’eau que si sa surface avait 8 pouces de diamètre. Elle vole vers un trésor qu’elle a découvert, combien faudra-t-il qu’elle y prenne de pièces de monnaie d’une ligne d’épaisseur et de 16 pouces de diamètre pour qu’en les portant dans l’eau elle puisse boire à son aise ?
Cette pie n’était pas curieuse du système métrique.
Un étang a la forme d’un carré ; au sommet de chacun des angles est planté un arbre extérieur. Donner à l’étang une surface double sans changer sa forme et sans déplacer les arbres qui doivent toujours rester en dehors de l’étang.
Faire un dodécagone équilatéral et rectangulaire. (Il est concave : c’est la croix de Genève.)
Au milieu d’une pièce d’eau carrée de 10 pieds de longueur et de largeur pousse un roseau qui s’élève d’un pied au-dessus de l’eau. En le tirant vers le milieu d’un côté, il atteint juste le bord. Quelle est la profondeur de l’eau ?
La réponse à ce très ancien problème chinois est 12 pieds.
Partager un cercle en un nombre donné quelconque de parties ayant toutes le même périmètre et la même surface.
Étant donnés deux sommets d’un carré, déterminer les deux autres à l’aide du compas seul.
