Page:Becquerel - Le Principe de relativité et la théorie de la gravitation, 1922.djvu/66

46

première partie. — la relativité restreinte.

23. La dilatation du temps (Einstein).

Une horloge est immobile dans le système $\mathrm {S} '\,;$ elle marque le temps $t'.$ Comment marche-t-elle, vue du système $\mathrm {S} \,?$

Supposant, comme précédemment, que, dans chacun des systèmes, le temps soit compté à partir de la coïncidence des origines $\mathrm {O}$ et $\mathrm {O} '$ des coordonnées, nous avons

$t'={\frac {1}{\alpha }}\left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right),$

$dt'={\frac {1}{\alpha }}\left(dt-{\frac {v\,dx}{c^{2}}}\right),\qquad dx=v\,dt\,;$

d’où

(5-6)

$dt={\frac {1}{\alpha }}\,dt'.$

En particulier, pour l’horloge du système $\mathrm {S} '$ placée à l’origine $\mathrm {O} '$ des coordonnées, $t={\frac {1}{\alpha }}t'.$

On peut raisonner encore de la façon suivante. Considérons une horloge du système $\mathrm {S} '$ et deux événements infiniment voisins se produisant sur cette horloge ; nous avons

invariant $\;ds^{2}=c^{2}dt'^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}\quad$ avec $\quad dx=v\,dt\,;$

d’où

$dt={\frac {1}{\alpha }}\,dt'.$

Ainsi, pour les observateurs du système $\mathrm {S} ,$ les horloges de $\mathrm {S} '$ retardent, par seconde, de $(1-\alpha )$ seconde.

Naturellement, la relation entre les temps $t$ et $t'$ est réciproque : pour les observateurs du système $\mathrm {S} ',$ ce sont les horloges du système $\mathrm {S}$ qui retardent de plus en plus sur celles de $\mathrm {S} '.$

La dilatation du temps est la contre-partie de la contraction des longueurs.

Soit, en effet, une tige infiniment courte dirigée parallèlement à la vitesse, immobile dans le système $\mathrm {S} '$ et de longueur $dx'$ dans ce système ; considérons deux événements infiniment voisins concernant cette tige ; d’après (4-6) et (5-6), l’observateur du système $\mathrm {S}$ mesure

$dx=\alpha \,dx'\qquad$ et $\qquad dt={\frac {1}{\alpha }}\,dt'.$