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chapitre VI. — l’univers de minkowski.

On a donc

$dx\,dt=dx'dt'.$

Avec des tiges de longueurs au repos, $dx',$ $dy',$ $dz'$ dirigées parallèlement aux axes de coordonnées, formons un parallélépipède rectangle immobile dans $\mathrm {S'} \,;$ soit $dt'$ un intervalle de temps infiniment court marqué par une horloge au centre de ce parallélépipède ; comme avec notre choix particulier d’axes, $dy=dy'$ et $dz=dz',$ nous obtenons

$dx\,dy\,dz\,dt=dx'\,dy'\,dz'\,dt'$

ou encore, en prenant comme coordonnée de temps la longueur $u=ct,$

(6-6)

$dx\,dy\,dz\,du=dx'\,dy'\,dz'\,du',$

formule qui exprime l’invariance de l’élément d’hypervolume (quadridimensionnel) d’Univers.

24. Les lignes d’Univers (Minkowski).

Suivons maintenant la succession des événements qui constituent la vie d’une même portion de matière ou d’un même être. Leur ensemble forme dans l’Espace-Temps une « ligne d’Univers », comme en Géométrie une succession de points forme une ligne dans l’espace.

Dans l’espace de la Géométrie, l’élément d’arc de courbe s’écrit

$dl^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}$

dans l’Espace-Temps, l’élément d’arc de ligne d’Univers a pour expression l’invariant

(7-6)

$ds^{2}=-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}+c^{2}dt^{2},$

c’est l’intervalle, indépendant de tout système de référence, entre deux événements infiniment voisins pris sur la ligne d’Univers considérée. Entre deux événements $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ pris sur cette ligne, la longueur de l’arc de ligne d’Univers est

(8-6)

$\mathrm {I=\int _{A}^{B}} ds,$