LETTRE DE A. DETTONVILLE A CARCAVY 363
Dans les sommes triangulaires, la première gran- deur se prend une fois, la seconde 2. fois, la troi- sième 3. fois, etc., selon l'ordre des nombres natu- rels. Et dans les sommes Pyramidales, la première grandeur se prend i. fois, la seconde 3. fois, la troisième 6. fois, etc., selon l'ordre des nombres triangulaires. Or tout nombre triangulaire, pris deux fois et diminué de son exposant\ est le mesme que le quarré de son exposant; comme, par exemple, le troisième nombre triangulaire 6, estant doublé, est 12, qui diminué de l'exposant 3, il reste 9, qui est le quarré de 3.
Gela est aisé par Maurolic ^ et de là paroist la vérité de ma proposition.
1. Exposant est pris ici dans le sens de rang. Le n'"^ nombre trian-
1 . n(n -(- I ) .
gulaire, -^^ — ■ — - , a pour exposant n.
a
2. L'abbé Francesco Maurolyco de Mrssine (i49^-i575). L'ouvrage auquel Pascal se réfère ici est intitulé: Arilhmeticoruin libri duo, apud D. Francisa Maurolyci, abbatis messanensis Opusrula Mathematica, Venise, 1575. La proposition qu'il énonce résulte de la combinaison de deux propositions démontrées par Maurol}XO dans son livre pre- mier, page 5 : Omnis radix mulliplicala in radicem sequentem producit duplum trianguli sibi collateralis. Omnis qnadratas cum radice sua con- junctus conficil sequentem parte altéra longiorem. Ces propositions étaient connues bien avant Maurolyco. — M. G. Vacca nous a fait ob- server (voir en particulier Bu//, ofthe AmericanMath. Society, novemb. 1909 : Maurolycus, by Dr. Vacca) que Pascal avait pu connaître dès 1654 les recherches de Maurolyco sur les nombres figurés et qu'il s'en était peut-êlre inspiré lorsqu'il composa le traité du Triangle Arithmétique (vide supra T. III, p 433 sqq.). Une chose est certaine en tout cas : c'est que Maurolyco fit un usage systématique de l'in- duction mathématique (appelée aussi induction complète), dont la pa- ternité a souvent été attribuée à Pascal. « Et sic deinceps in injînitum
— écrit par exemple Maurolyco (démonstration de la prop. i5 p. 7)
— semper i3^ [propositione] repetita, propositum demonstratur. » Et
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