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$\mathrm {PM}$ seroit $x^{2}$ et j’aurois

$x={\sqrt {-{\frac {1}{2}}a+{\sqrt {{\frac {1}{4}}a^{2}+b^{2}}}}}\,;$

et ainsi des autres.

Enfin si j’ai

$z^{2}=az-b^{2},$

je fais $\mathrm {NL}$ (fig. 4) égale à ${\frac {1}{2}}a,$ et $\mathrm {LM}$ égale à $b,$ comme devant ; puis, au lieu de joindre les points $\mathrm {MN} ,$ je tire $\mathrm {MQR}$ parallèle à $\mathrm {LN} ,$ et du centre $\mathrm {N} ,$ par $\mathrm {L} ,$ ayant décrit un cercle qui la coupe aux points $\mathrm {Q}$ et $\mathrm {R} ,$ la ligne cherchée $z$ est $\mathrm {MQ} ,$ ou bien $\mathrm {MR} \,;$ car en ce cas elle s’exprime en deux façons, à savoir

$z={\frac {1}{2}}a+{\sqrt {{\frac {1}{4}}a^{2}-b^{2}}},$

et

                    fig. 4$\qquad \qquad \qquad z={\frac {1}{2}}a-{\sqrt {{\frac {1}{4}}a^{2}-b^{2}}}.$

Et si le cercle, qui ayant son centre au point $\mathrm {N}$ passe par le point $\mathrm {L} ,$ ne coupe ni ne touche la ligne droite $\mathrm {MQR} ,$ il n’y a aucune racine en l’équation, de façon qu’on peut assurer que la construction du problème proposé est impossible.

Au reste, ces mêmes racines se peuvent trouver par une infinité d’autres moyens, et j’ai seulement voulu mettre ceux-ci, comme fort simples, afin de faire voir qu’on peut construire tous les problèmes de la géométrie ordinaire sans faire autre chose que le peu qui est compris dans les quatre figures que j’ai expliquées. Ce que je ne crois pas