Page:Œuvres de Fermat, Tannery, tome 1, 1891.djvu/365

La bibliothèque libre.
Sauter à la navigation Sauter à la recherche
Le texte de cette page a été corrigé et est conforme au fac-similé.



quorum quilibet minor est unitate. Eo itaque res redit, ut inveniantur tres cubi, quorum quilibet sit minor unitate, summa autem ipsorum a ternario sublata, faciat quadratum. Et quia volumus cuborum quemque minorem esse unitate, si statuamus tres numeros simul unitate minores, multo minores singuli erunt unitate. Sic autem quadratum qui relinquetur oportebit majorem esse binario. Statuatur quadratus qui relinquitur 2¼. Oportet igitur ¾ dividere in tres cubos et horum multiplicia secundum aliquos cubos divisa. Esto secundum 216. Oportet igitur ut dividamus 162 in tres cubos. At 162 componitur ex cubo 125 et intervallo duorum cuborum, 64 et 27. Habemus autem in porismatis, omnium duorum cuborum intervallum componi ex duobus cubis. Recurramus ad propositum initio et sumamus unumquemque cuborum inventorum, et quolibet ab unitate subtracto, residua statuamus pro quæsitis numeris et sit summa 1N. Ita fiet ut cubus summæ, quovis ipsorum detracto, cubum faciat. Restat ut tres simul æquentur 1N. fit autem trium summa 2¼C. Hoc ergo æquatur 1N. unde fiet 1N, ⅔. Ad positiones. ἐστι τὸ πλῆθος τῶν δυ̅ ἐκ τοῦ ἀπὸ τϱιάδος ἀφαιρεῖσθαι τρεῖς κύβους, ὧν ἕκαστος ἐλάσσων ἔστι μονάδος μιᾶς. καὶ ἀπάγεται εἰς τὸ εὑρεῖν τρεῖς κύβους, ὅπως ἕκαστος αὐτῶν ἐλάσσων ᾖ μο α̅. τὸ δὲ σύνθεμα αὐτών ἀρθὲν ἀπὸ τριάδος ποιῇ τετράγωνον. καὶ ἐπεὶ ζητοῦμεν ἕκαστον αὐτῶν κύβον ἐλάσσονα εἶναι μονάδος μιᾶς, ἐὰν ἄρα κατασκευάσωμεν τοὺς τρεῖς ἀριθμοὺς ἐλάσσονας μονάδος α̅. πολλῷ ἕκαστος αὐτών ἐλάσσων μονάδος α̅. ὥστε ὀφείλει ὁ καταλειπόμενος τετράγωνος μείζων εἶναι δυάδος. τετάχθω καταλειπόμενος τετράγωνος μο β̅. α̅δʹ. δεῖ οὖν τὰ γ̅δʹ διελεῖν εἰς τρεῖς κύβους. καὶ κατὰ τούτων πολλαπλάσια κατὰ τινῶν κύβων διαιρεθέντων. ἔστω δὲ κατὰ τὸν σ̅ι̅ς̅. ὀφείλομεν οὖν τὀν ρ̅ξ̅β̅ διελεῖν εἰς τρεῖς κύβους. σύγκειται δὲ ὁ ρ̅ξ̅β̅ ἔκτε κύβου τοῦ ρ̅κ̅ε̅ καὶ δύο κύβων ὑπεροχῆς τοῦτε ξ̅δ̅ καὶ τοῦ κ̅ζ̅. ἔχομεν δὲ ἐν τοῖς πορίσμασιν * ὅτι πάντων δύο κύβων ἡ ὑπεροχὴ κ̅υ *. ἀνατρέχομεν εἰς τὸ ἐξ αρχῆς, καὶ τάσσομεν ἕκαστον κύβων εὑρεθέντων. τοὺς δὲ τρεῖς ἀριθμὸν α̅. καὶ συμβήσεται τὸν ἀπὸ τοῦ συγκειμένου ἐκ τῶν τριῶν κύβον λείψαντα ἕκαστον, ποιεῖν κύβον. λοιπόν ἐστι τοὺς τρεῖς ἰσῶσαι ς α̅. γίνονται δὲ οἱ τρεῖς κυ β̅ α̅δʹ. ταῦτα ἴσα ς α̅. ὅθεν γίνεται ὁ ς μο β̅γʹ. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις.

Solutionis modum Diophantus non exprimit aut græca corrupta sunt. Bachetus[1] casu adjutum Diophantum arbitratur, quod tamen non admittimus, quum Diophanteam methodum non difficilem inventu existimemus.

Inveniendus quadratus binario major, ternario minor, qui a ternario subtractus relinquat numerum in tres cubos dividendum.

  1. I1 est aisé de voir que la solution particulière donnée par Diophante ne peut être obtenue avec les positions de Fermat, et l’on a dès lors le droit de répéter avec Bachet : « Quamobrem casu factum videtur ut sumpserit autor 2¼, quo de 3 sublato relinquitur ¾ ex tribus cubis compositus. »